1_SBM - Elon Lages Lima - Temas e Problemas

P r e facio ´ ´ O conte udo deste livro livro e´ o mesmo d daass 10 1 0 au las que foram foram dadas pelo pelos a utores a prof professores essores que atu am no Ensino M´ Medio e´ dio no Rio de Janeiro, em janeiro de 2001. O c urso duro u uma semana, com du as aulas em ca da ma nha˜ ˜ e a discuss ˜ em en enqua quanto nto aass tarde tardess eram d ded edic icadas ada s a` r es olu çao discuss ao conjunto dos exerc´ exerc´ıcios ı cios propostos. Todos dos os proble problema ma s aqui apresent ados tem eˆ m respostas completas no final. final. A Sociedade Brasileira de Matem at ´ ica ica disp˜ dispo˜ e de um conjunto ˜ gravadas, a o viv de 10 v´ v´ıdeos ı deos nos quais est ao vivo o, as au las. As pessoas e in st itu iço˜ es inter essad as na aqu isic isiçao ˜ dos mesmos podem dirigir-se a` S BM nos en dere ços ¸ os qu e cons cons ta m n o presen te volume. Ao p or oˆ r eeste ste m material aterial a` di s p osic osi çao ˜ dos professores e estudan´ s que se prepar am para o exerc tes universit arios ario exerc´´ıcio ı cio do ma gist erio, e´ rio, a in t en ç ao ˜ dos autores e´ a de destac ar alguns temas usualmen t e e s t u d a d o s n o E n s i n o M´ Medio, e´ dio, mostrando que, ao lado de sua ˜ apropriada, eles podem ser ilustrados por meio de con ceit u a çao problemas simples, acess´ acess´ıveis, ı veis, por em e´ m desafiadores desafiadores e contextua contextua is. is. Evidentemente, trata-se de uma pequena amostra, indicando um f ertil e´ rtil e atra ente caminho a ser t rilha rilha do. do. Mais uma vez, as atividades que realizamos, o livro publicado e os v´ v´ıdeos ı deos gravados devem sua existencia eˆ ncia em grande grand e pa rte a VITAE, ITAE, ao IMPA e a` SBM. A estas not a´ veis ins tit u içoes, o˜ es, o agradeciment deciment o dos dos a ut ores. Rio de J an eiro, eiro, jun jun ho de 2001 Elon Lages Lima Paulo Cezar P. Carvalho Edua rdo Wagner Wagner August o C´ Cesar e´ sar Morgado

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C a p ´ıtu ı tu lo 1

Proporcionalidade e F u n ç oes o˜ es Afins ´ ˜ PetersEm seu livro “Elementos de Algebra”, publicado em S ao Peters´ burgo em 1770, o grande matem atico Leonardo Euler prop oe o˜ e o seguinte problema: Uma lebre est a´ 50 pulos a` frent e de um cachorr cachorr o, o qua l d a´ 3 pulos pulos n o tempo tempo que que ela leva leva para dar 4. S Sabe abendo ndo que 2 pu los los do cachorro cachorro valem 3 da lebre, qua qua nt os pu los los ´ ele ele deve deve dar para peg´ pega-la? ˜ que se refere a proporcionalidade, E s t e e´ u m exemplo exemplo de quest ao assunto que exporemos a seguir.

1

P r o po p o rc r c i o n al a l id id a d e

Diz-se que duas grandezas s a˜ o proporcionais quando existe existe uma correspond encia eˆ ncia x → y, que associa a cada valor x de uma delas del as um valor y bem definido da out ra , de ta l modo que sejam cumpr ida s a s segu int es condiçoes: o˜ es:



´ 1) Quan to maior maior for x, ma ior ior ser a´ y. Em termos matem aticos: s e x → y e x → y en t a˜ o x < x implica y < y .













˜ o valor 2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x en t ao correspondente de y s er a´ dobra dobra do, do, tr iplic iplicado, ado, etc. etc. N a lingua lingua ´ a: se x → y en t a˜ o nx → ny para todo n N. gem matem atica: atic





N a s con di çoes o˜ es acima, a correspond encia eˆ ncia x proporcionalidade. proporcionalidade. 3

∈

→ y chama-se uma

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Temas e Problemas

E x e m p l o 1 . Sejam x o volume e y o peso de um a porça˜ o d e u m ´ıquido homog eneo. lıquido eˆ neo. A correspond encia eˆ ncia x → y cumpre claramente a s d u a s cond içoes o˜ es a cima cima , logo logo o volum volum e e´ proporcional ao peso.



ˆ lelas. Dado qualquer ret angulo E x e m p l o 2 . Sejam r e s reta s para lelas. que tenha dois lados contidos nessas retas, chamemos de x o comprimento de um desses lados lados e z a area ´ do ret ret angulo. ˆ s z r Figura 1

A corr corr espond espond encia eˆ ncia x → z e´ um a pr oporci porcio ona lidade. lidade. Ou seja: seja: ˆ ´ z e´ proporcioquando a altur alturaa de um ret angulo e´ fixada fixada , sua area n a l a` base x. ´ z do Com efeito, em primeiro lugar, se x < x en t a˜ o a area ˆ gulo ´ ˆ gulo de base x mais z do ret an r et an gulo de base x e´ igua igua l a` area ´ ˆ gulo de base x − x, logo z < z . a area de um ret an ˆ gulo de base n x pode ser expresEm segun segun do lugar, lugar, um r et an ˜ de n r et an ˆ gulos so como reuni ao gulos justa postos postos de ba se x (e mesm a ´ z) logo sua a´ r e a e´ n z. area













·

·

˜ contida no Exemplo 2 e´ uma consecons eOb s e rv a ç a˜ o . A a fir m a ç ao ´ ˆ q u¨ encia eˆ ncia imediata da f o´ rm ula que exprime exprime a area de um ret angulo como o produto da base pela a ltura . E sta e, e´ , entr entr etan to, to, uma justi´ ficat ficat iva iva a posteriori. posteriori. N a˜ o e´ convenient convenient e us a-la no presen te cont cont exto pois, pois, na verda de, o primeir o pass o da d edu çao ˜ daquela daquela f ormula o´ rmula ˜ da proporcio e´ a ver ifica ç ao proporciona na lidade lidade acima.



AOB OB e u m a r e Consideremoss no plano um angulo ˆ E x e m p l o 3 . Consideremo t a r q u e n a˜ o e´ par alel alela ao lado OA n e m a OB (Figur Figur a 2). 2). Dado qualquer segmento segmento de reta de co compriment o x, contido em OA, a s paralelas a r tr açada s por por su as extr emidades det erm inam sobre sobre o lado OB um segment segment o de co compriment o y.

˜ Afins Proporcionalidade e Funç oes

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B

r y

O

A

x

Figura 2

Afirmamos que a correspond eˆ ncia x → y e´ u ma proporciona lidade. ˜ devemos m ostr ar que o comAntes de just ificar est a a firm aç ao primento y depende apena s do compriment o x m a s n a˜ o da posi ça˜ o do segmento toma do sobre o lado OA. (Isto significa que a corr espond eˆ ncia x → y est a´ bem definida.) Ora, se tomarmos sobre o lado OA dois segmentos de m esmo comprimento x en t ao ˜ na F igur a 3, onde MN e M N s ao ˜ par alelos ˆ MNP e M N P t eˆ m , c a d a u m , u m l a d o d e a OA, o s t r i angulos ˆ M=M mesmo comprimento x, compr eendido entr e dois angulos ˆ e N = N . Logo s a˜ o t r i angulos congruentes e da ´ı MP = M P = y. ˜ inicial, sempr e que t iverm os x → y e A par tir dest a observa çao x → y , se quisermos compa ra r y com y podemos supor qu e x e x ˜ medidas de segmentos com origem no v e´ rtice O. E n t ao ˜ fica s ao claro que se x < x ⇒ y < y e que x = n x ⇒ y = n y, como mostra a Figur a 4 (onde n = 3).









 











 



















·







·

E x e m p l o 4 . Investindo uma quantia x numa cadernet a de poupa n ça , a p o´ s o decurso de um m eˆ s obt e´ m-se um montante y. A correspond eˆ ncia x → y e´ uma proporcionalidade: o que se recebe n o fi m d o m eˆ s e´ pr oporcional ao que se a plicou. Com efeito, e´ claro qu e aplican do-se mais recebe-se mais e investindo-se uma quantia n vezes m aior do que x, pode-se consid er ar ess a oper a ça˜ o como n investimentos iguais a x, logo o que s e r ecebe e´ n y.



·

6

Temas e Problemas

B

P’ y M’ r

N’

x

P y M

N

x O

x

A

x Figura 3

B

B y y'

y

y O

y A

x

O

x'

Figura 4

x

x

x

A


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Ob s e rv a ç a˜ o . Se uma quan tia fi xa gera, ap o´ s um m eˆ s de investimento, um r etorn o y, n a˜ o e´ verda de que ap o´ s n meses essa mesma quan tia gere o retorno n y, mesm o que a ta xa de jur os perm an eça constante. Pois ao final de cada m eˆ s e´ como se tivesse sido aplicada novamente uma quantia maior, igual a` existente no m eˆ s anterior ma is os juros corr espondentes. Assim o retorn o (nu m per ´ıodo fixo) e´ proporcional ao capital inicial mas n a˜ o e´ proporcional ao tempo de investimento.

·

˜ mostra que a propriedade “qua nt o ma ior for x, E st a obser va çao ˜ assegura a proporcionalidade entre x e y. Outro maior ser a´ y ” n ao ˆ x → y, onde x e´ o lado de um exemplo disto e´ a correspond encia quadrado e y e´ sua a´ r e a .



Dian te dos exemplos an ter iores, podemos form ula r a d efiniça˜ o ´ m a t e m atica de pr oporciona lidade, onde a s gran dezas são substi´ ˜ suas medidas. t u ´ıdas por n umer os r eais, que s ao Estamos considerando apenas grandezas que t eˆ m medida po´ ico da proporciona lidade leva em sitiva, logo o modelo ma tem at ˜ apenas n um ´ eros r eais positivos. cons ider a çao Uma proporcionalidade (num e´ rica) e´ u m a fun ça˜ o f : R → R com as seguintes propriedades: ˜ crescente, isto e´ x < x 1) f e´ u ma fun çao quaisquer x, x R . 

2) P ar a todo x

∈

∈R

e todo n



⇒

f(x) < f(x ) p a r a 

∈ N tem-se f(nx) = n · f(x).

Num a pr oporciona lidade a propriedade 2), acima adm itida ape´ nas quando n real positivo qualquer. N, va le p a r a u m n umero ´ E s t e e´ o cont e udo do

∈

Te o r e m a F u n d a m e n t a l d a P r o p o r c io n a l i d a d e . S e f : R → R e´ u m a fun çao ˜ crescente tal que f(nx) = n f(x) para todo x R e todo n N , ent ao ˜ f(cx) = c f(x) para quaisquer x e c em R .

∈

∈

·

·

˜ do teorema acima est a´ no Ap eˆ ndice 1 na p ag. ´ 16. A dem ons t r a çao Ver tamb e´ m os seguintes livros, publicados pela S.B.M.: “Meu

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Temas e Problemas

´ ´ 129, e “A Mat em atica ´ Pr ofessor de Ma tem atica”, p ag. do Ensino ´ 94. M e´ dio, vol. 1”, p ag. ´ ´ Na pr atica, e´ bem mais f acil mostrar que f(nx) = n f(x) p a r a n N do que verificar que f(cx) = c f(x) para todo c R . (Pense em c = 2 ou c = π . ) Por outro lado, o fato de que uma propor´ cionalidade f satisfaz esta igualdade par a qualquer numero real positivo c tem importa ntes conseq u¨ eˆ ncias, como verem os agora.

∈

·

√

∈

·

Coro l ario. ´ S e f : R → R e´ u m a proporciona lida de entao ˜ tem -se, para todo x > 0 , f(x) = ax , onde a = f(1). Com efeito, pelo Teorema Fundamental, para quaisquer x, c R , vale f(xc) = x f(c) = f(c) x. E m p a r t icu l a r, t om a n d o c = 1, obtemos f(x) = a x, onde a = f(1).

·

·

·

∈

´ Um a fun ça˜ o f : R → R definida por f(x) = ax, onde a R e uma constante, chama-se uma fun ç ao ˜ linear . Qu a n do a > 0, a ˜ linear f(x) = ax transforma um n umero ´ fu n çao real positivo x n o ´ ˜ uma proporcionan umero positivo ax, logo defin e, p or r est r içao, lidade f : R → R . Acabam os de ver que, r eciprocam ente, toda ˜ linear a R . O coeproporcionalidade e´ a r es t r iça˜ o de u m a fun çao ficiente a cha ma-se o fator de proporcionalidade. ´ E s t a ultima observaça˜ o n os per mit e con clu ir qu e se f : R → R e´ uma proporcionalidade ent ao, ˜ para quaisquer x , x com f(x ) = y , f(x ) = y , tem-se y /x = y /x . Com efeito, am bos esses quocientes s ao ˜ iguais ao fat or de proporciona lidade a. A igualda de y /x = y /x chama-se uma propor¸cao. ˜ Chama-se regra de trˆ es ao pr oblema que consiste em, conh e´ x , y , x , y , determina r o quar to. cendo t r eˆ s dos n umeros H a´ du as m an eira s tr adiciona is de resolver esse problema. Suponhamos dados x , y e x . O quarto elemento da proporça˜ o ˜ deve ser y /x = y/x , d o n d e s e t i r a ser a´ c h a m a d o y. E n t ao y = x y /x . E s t a e´ uma forma de resolver a regra de tr eˆ s . O outro m e´ todo de resolver a regra de tr eˆ s cha m a-se “r edu ça˜ o a` unidade”. Sabendo que f(x ) = y , ou seja, ax = y , obtemos a = y /x e da ´ı vem o valor do termo y que falta na pr opor ça˜ o y /x = y/x : y = f(x ) = ax = y x /x . O n ome “red uç a˜ o a`

∈


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unidade” prove´ m do fato de que a = f(1) e´ o valor de f(x) quando x = 1. Deve-se ressaltar enfaticamente que a r egr a de tr eˆ s, proven ien te da pr oporça˜ o y /x = y/x , s o´ pode ser legitimamente empregada quan do se tem um a proporcionalidade f, sendo y = f(x ) e y = f(x ). ˜ a ser feita e´ qu e, em d iversa s situ aço˜ es ond e Ou t r a obser vaç ao se usa a proporciona lidade (ou a regra de tr eˆ s), o fator de p roporcionalidade a e´ irrelevante e/ou complicado de se obter. No Exemp lo 1, o fat or de p roporciona lidade a = peso / volume, chama do a densidade do l´ı quido (ou, mais precisamente, o peso ´ il. Assim, peso = densidade volume. espec´ ıfico), e´ um conceito ut ˜ tem a menor No Exemplo 3, o fator de proporcionalidade n ao ˆ cia. (Por acaso ele e´ o quociente dos senos dos angulos ˆ import an que a reta r forma com os lados OA e OB, m as est a inform aç a˜ o e´ uma mera cur iosidade.) No Exemplo 4, e´ costume escrever o fator de proporcionalidade sob a forma a = 1 + i, portanto tem-se y = (1 + i)x. O n u´ m e r o i cha ma -se o juro. Se o investimento inicial x for mant ido durant e n m eˆ ses e os jur os se m an tiverem fixos, tem-se ao final do n-é simo m eˆ s y = (1 + i) x. ´ ˆ z de um ret angulo Qua nt o ao Exemplo 2, ele nos diz que a area ˆ cia entre as par alelas r e s) e´ proporcional de altura fixa y (= dist an a` b a s e x, logo z = A x, onde o fator de proporcionalidade A e´ a area ´ do ret angulo ˆ de mesma a ltura y e base 1. Mas e´ clar o que o ´ A que vale par a a base vale tambe´ m para a altura. Logo, a area d e u m r e t angulo ˆ de base 1 e altura y e´ proporciona l a y, ou seja, ´ ˆ A = B y, onde B e´ a area do ret angulo de base 1 e altura 1. Ora, este e´ o quadr ado unit a´ r io logo, p or defi n iça˜ o, B = 1. Assim A = y ´ ˆ z do ret angulo e a area de base x e a l t u r a y e´ dada por z = xy. ´ 17.) (Veja o livro “Medida e Form a em Geometr ia”, p ag. ˜ de proporciona lidade inversa. Diz-se Existe tamb e´ m a n oçao que duas grandezas sa˜ o inversam ente proporcionais quando existe uma correspond eˆ ncia x → y que associa a cada valor x d e u m a delas um valor bem definido y da outra , de tal modo que sejam ˜ cumpr idas as seguin tes cond içoes:

×

·

·



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Temas e Problemas

´ 1) Quan to maior for x, menor ser a´ y. Em termos matem aticos: se x → y e x → y en t a˜ o x < x ⇒ y < y. 











˜ o valor 2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x en t ao correspondente de y ser a´ dividido por dois, por tr eˆ s, etc. Em ´ ica: se x → y en t a˜ o nx → y/n, para t odo linguagem ma tem at n N.



∈



Portanto, dizer que y e´ inversam ent e proporciona l a x equivale a dizer que y e´ proporcional a 1/x. Segue-se ent ao ˜ do Teorema Fundamental da Proporcionalidade que se y e´ inversamente proporcional a x en t ao ˜ t em-se y = a/x, onde o fator de proporcionalidade a e´ o valor de y que corresponde a x = 1. ˆ gulos de ba se x, altur a y e area ´ igual E x e m p l o 5 . Entr e os ret an a 1, tem-se y inversamente proporcional a x, com y = 1/x.

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Gr a n d e z a p r o po r c io n a l a v a´ r i a s o u t r a s

Em mu itas situa ço˜ es tem-se uma grandeza z, de tal modo relacionada com outras, digamos x, y, u, v, w, que a cada escolha de valores para estas ultimas ´ corr esponde u m valor bem determina ´ x, y, u, v, w do par a z. E n t a˜ o z cha ma-se uma fun ç ao ˜ das variaveis e escreve-se z = f(x,y,u,v,w ). Ne st a s con diç o˜ es, diz-se qu e z e´ (direta mente) proporcional a x quando: 1) Para quaisquer valores fixados de y, u, v, w, a grandeza z ˜ crescente de x, i sto e´ , a desigualdade x < x e´ u ma fun çao implica f(x,y,u,v,w ) < f(x ,y,u,v,w ). 



2 ) P a r a n N e x, y, u, v, w quaisquer t em-se f(nx,y,u,v,w) = n f(x,y,u,v,w ).

·

∈

Analogamente, diz-se que z e´ inv ersam ente proporciona l a x quando: 1’) Para quaisquer valores fixados de y, u, v e w, a grandeza z ˜ decrescente de x, isto e´ , a desigualdade x < x e´ u m a fun çao implica f(x,y,u,v,w ) > f(x ,y,u,v,w ). 




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2’) Par a n N e x, y, u, v, w quaisquer t em-se f(nx,y,u,v,w) = 1 f(x,y,u,v,w ). n

∈

·

Segue-se do Teorema Fun damen tal da Proporciona lidade que as propriedades 2) e 2’) acima valem pa ra c > 0 real qualquer em lugar de n N. Isto tem a seguinte conseq u¨ eˆ ncia:

∈

Se z = f(x,y,u,v,w ) e´ (diretamente) proporcional a x e y e inversamente proporcional a u, v e w en t a˜ o, tomando-se a = f(1,1,1,1), tem-se

f(x,y,u,v,w ) = a Com efeito,

· u x· v· y· w ·

f(x,y,u,v,w ) = f(x 1,y,u,v,w ) = x f(1,y,u,v,w ) xy f(1,1,1,v,w ) = xy f(1,1,u,v,w ) = u xy xy f(1,1,1,1,w) = f(1,1,1,1,1) = uv uvw xy =a uvw

· · ·

·

·

·

·

·

˜ universal, de Newton, afirma que E x e m p l o 6 . A lei da gr a vit a çao dois corpos, de massas m e m respectivamente, situados a uma ˆ d um do outr o, se at ra em segundo uma força cuja indist ancia tensidade F e´ proporcional a essas massas e inversamente proporˆ cional ao quadrado d da dist ancia entre eles. Resulta do acima mm exposto que F = c , onde a consta nte c depende do sistema d de unidades utilizado. 



·

˜ de grandeza proporcional a va´ r i a s o u t r a s E x e m p l o 7 . A n oç ao permite deduzir a f o´ rm ula do volume de um bloco reta ngular. O volume de um s o´ lido geom e´ trico X, que se escreve vol (X), e´ u m ´ n umer o real com as seguintes propriedades: 1 ) S e o s o´ lido X es t a´ contido propriamente no s o´ lido X en t a˜ o vol (X) < vol (X ). 



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Temas e Problemas

˜ de dois s o´ lidos adjacentes X e X 2 ) S e o s o´ lido Y e´ a r e u n i ao ˜ vol (Y ) = vol (X) + vol (X ). en t ao





˜ de pr oporcioDessa s du as pr oprieda des d o volum e, e da defin içao na lidade acima da da, resulta que se X e´ um bloco ret an gular cujas ˜ o volum e de X e´ proarestas medem x, y e z respectivam ente ent ao porcional a x, y e z. Portanto vol (X) = a xyz, onde a e´ o volum e do bloco reta ngular cujas tr eˆ s arestas medem 1. Mas ta l bloco e´ ˜ seu volume e´ igual a 1. Logo o cubo d e a res ta 1 e, por defin içao, vol (X) = xyz.

·

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F u n ç o˜ e s a fi n s

E x e m p l o 8 . As escalas termom e´ tricas assinalam valores positivos e n egativos. Elas se baseiam na altura de uma coluna de ´ io, a qua l aum enta ou diminui conform e a t emperat ur a somercur be ou desce. Na escala Celsius, o valor 0 corresponde a` tempera tu ra em que o gelo começa a fun dir-se e o va lor 100 assinala a ´ a ent ra em ebu liça˜ o (a` press ao ˜ do n ´ıvel temperatura em que a agu do mar). Na escala Fahrenheit esses valores s a˜ o 32 e 212 respectivamente. Assim, 0 C = 32 F e 100 C = 212 F. Os demais valo˜ marcados dividindo-se o intervalo entre res n a escala Celsius s ao aquelas duas temperatura s em 100 par tes de igual comprimento e, na escala Fahrenheit, em 180 partes tamb e´ m de comprimentos igua is. Usan do-se esses compriment os em cada caso, a s escalas ˜ estendidas par a ass inalar em valores de temperaturas supes ao ˜ da agua ´ ˜ do gelo. Isso riores a` da eb u liçao e inferiores a` da fus ao ´ requer o uso de n umeros negativos. Pergunta-se: em que tempera tur a a s escalas Celsius e Fah renh eit a ssinalam o mesmo valor? Qual a temperatura Celsius que e´ a metade do valor correspondente em graus Fahr enheit? ◦

◦

◦

◦

˜ em que se emprega a O exemplo acima ilust ra um a situa çao ˜ a fim, conform e veremos a seguir. fu n çao Um a fu n ça˜ o f : R → R chama-se afi m quan do, para todo x R, ˜ do tipo f(x) = ax + b, onde o valor f(x) e´ dado por uma express ao a e b s ao ˜ consta ntes.

∈


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´ custa a reais por km rodado E x e m p l o 9 . Uma corrida de t axi mais uma taxa fixa de b reais, chamada a “bandeirada”. Ent a˜ o o pr eço de u ma corr ida de x km e´ f(x) = ax + b reais. Nu m a fun çao ˜ afim f(x) = ax + b, o n u´ m e r o b = f(0) chamase o valor inicial e o coeficient e a = f(1) − f(0) e´ chamado a taxa de varia¸cao ˜ de f. O m otivo para esta denominaç a˜ o e´ q u e , p a r a quaisquer x, h R, com h = 0, tem-se a = [f(x + h ) − f(x)]/h , ˜ de f(x) por unidade donde a = f(x + 1) − f(x), logo a e´ a va r ia çao ˜ de x. (Compare com o exemplo acima.) de va r ia çao ˜ linear f(x) = ax e´ u m caso par ticular de fun ça˜ o Um a fu n çao ˜ afim e´ o da s fun ço˜ es consafim . Out ro caso pa rt icular de funçao t a n t e s f(x) = b. ˜ afim f(x) = ax + b e´ crescente, isto e´ , Quando a > 0, a fu n çao x < x ⇒ f(x ) < f(x ). Com efeito se x < x en t a˜ o x − x > 0 logo

∈



f(x ) − f(x ) = ax + b − ( ax + b) = a(x − x ) > 0, ou seja, f(x ) < f(x ). Analogamente, se a < 0 en t a˜ o x < x ⇒ f(x ) > f(x ), e a ˜ afim f(x) = ax + b e´ , nest e caso, decrescente. fu n çao

Teo rem a d e Cara cte riza ç ao ˜ da s Fu n ç o˜ e s A fi n s . S eja f : R → R um a fu n ç ao ˜ crescente ou d ecrescen te. S e a d iferenca ¸ f(x + h ) − f(x) depender apenas de h , m as n ao ˜ de x , ent ao ˜ f e´ u m a fun ¸cao ˜ afim . ˜ n o Ap eˆ ndice 2 na p ag. ´ 17.) (Ver dem ons t r a çao ´ ´ an alise, os E x e m p l o 1 0 . Retomemos o Exemplo 8. Em ultima ˜ diferen tes u nidades de compr iment o, com a s qua is graus C e F s ao se mede a altura de uma coluna de mercur ´ io. Assim , a mu da nça de escala, de Celsius para Fahr enheit e´ um a funç a˜ o f : R → R que ass ocia a` medida x, segundo C, a medida f(x), segundo F, da ´ mesma coluna de mercurio. Evidentemente, f e´ crescente. Al e´ m dis so, a difer en ça f(x+h )− f(x) e´ a medida, segun do F, do segment o de reta de extremos f(x) e f(x + h ) o qual, segund o C, tem extrem os

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Temas e Problemas

x e x + h , logo seu C-comprimento e´ igua l a h . Ora, a medida deste segmento depende apenas de h m a s n a˜ o d e x e o m e s m o s e d a´ com a difer en ça f(x + h ) − f(x). Pelo Teorema de Ca r acter izaça˜ o, ˜ afim: f(x) = ax + b. Sabemos que conclu ´ımos que f e´ u m a fun çao f(0) = 32 e f(100) = 212. E n t a˜ o b = 32 e 100a + 32 = 212, donde a = 1,8. P or tanto f(x) = 1,8x + 32 e´ a f o´ rmula que permite passar d a t e m pe r a t u r a x na escala Celsius para a temper at ur a f(x) em graus Fahrenheit. A primeira per gunta do Exemplo 8 era: para qual valor de x tem-se f(x) = x ? Deve-se ter 1,8x + 32 = x, donde x = − 40. A resposta e: ´ − 40 graus Celsius e´ o mesmo que − 40 graus Fahrenheit. A segunda pergunta era: para qual valor de x tem-se f(x) = 2x ? E n t a˜ o 1,8x + 32 = 2x e da´ı x = 160. Assim 160 graus Celsius equivalem a 320 graus Fahr enheit. ˜ afim e´ u m a Provaremos a seguir que o gr a´ fico de u ma fun çao ˆ cia en tre dois ponreta. Para isso, usaremos a f o´ rmula da dist an t os P = (x , y ) e Q = (x , y ), segundo a qual se tem d(P, Q) = (x − x ) + ( y − y ) . ˜ afim f : R → R, f(x) = ax + b, seu gr afico ´ G Da da a fun çao e´ o conjunto dos pontos (x,ax + b) R , onde x R. S eja m M = (x , ax + b), N = (x , ax + b) e P = (x , ax + b) t r es ˆ pont os quaisquer de G. Sem perda de generalidade, podemos admitir que x < x < x . Mostrar emos que d(M, N) + d(N, P ) = d(M, P ). De fato, temos



∈

 d(M, N) = (x

∈

− x ) + a (x − x ) = (x − x )

√ 



1+a .

Analogamente, d(N, P ) = (x − x ) 1 + a , logo d(M, N)+d(N, P) = (x −x +x −x )



1 + a = (x −x )

1 + a = d(M, P).

´ ˜ colinea res. CoG s ao Porta nto tr eˆ s pontos quaisquer do gr afico m o G possu i pont os com qu aisquer abscissa , segue-se que G e´ uma reta. ´ O n u´ m e r o b e´ a ordena da do ponto em que o gr afico de f(x) = ax + b corta o eixo OY . N a F igu r a 5 vê -se como aos acr e´ scimos iguais x → x + h e x → x + h dados a x e x correspondem 






15

a cr e´ scimos iguais f(x + h ) − f(x) = f(x + h ) − f(x ). A in clin a ça˜ o ˜ ao eixo horizontal e´ [f(x + h ) − f(x)]/h = d a r e t a G em r ela çao [a(x + h ) − ax ]/h = a. Port ant o, para valores ma iores ou meno˜ afim f(x) = ax + b e´ mais ou menos res de a, o gr a´ fico d a fun çao inclina do em r elaç a˜ o a OX. 



G

( x’ +h) – f ( x’ )

h ( x+h) – f ( x)

b

h

x

x+h Figura 5

x'

x'+h

16

Temas e Problemas

ˆ AP END ICE 1 Te o r e m a F u n d a m e n t a l d a P r o p o r c i o n a l i d a d e . S eja f : R → R um a fu n ç ao ˜ com as seguintes propriedades: 1) x < x



⇒

f(x) < f(x ); 

2) f(nx) = n f(x) para todo n

· ∈ N e todo x ∈ R . Ent ao ˜ f(cx) = c · f(x) para todo c ∈ R e todo x ∈ R . Conseq u¨ entem en te, f(x) = ax para todo x ∈ R , com a = f(1). ´ De m on st raç a˜ o : Em primeiro lugar, par a todo n umero racional r = m/n, com m, n N, e todo x R vale

∈

∈

n f(rx) = f(n rx) = f(mx) = m f(x),

·

·

·

m f(x) = r f(x). Assim, a igualdade f(cx) = n ´ quando c e´ raciona l. Suponham os, por a bsurdo, c f(x) e´ v alida que exista c > 0 irracional tal que f(cx) = c f(x) p a r a a l g u m ˜ ou f(cx) < c f(x) ou f(cx) > c f(x). Considerex R . E n t ao mos o primeiro caso. Temos ent a˜ o f(cx)/f(x) < c. Seja r um valor ra ciona l apr oximado de c, de modo que f(cx)/f(x) < r < c, logo f(cx) < r f(x) < c f(x). Como r e´ racional, vale r f(x) = f(rx). Assim, podemos escrever f(cx) < f(rx) < c f(x). E m p a r ticu la r f(cx) < f(rx). Mas, como r < c, tem-se rx < cx e, pela propriedade 1), isso obriga f(rx) < f(cx) e n a˜ o f(cx) < f(rx). E st a ˜ mostra que n a˜ o e´ poss´ıvel ter-se f(cx) < c f(x). De cont r a diç ao ´ modo inteira ment e an alogo se v eˆ que f(cx) > c f(x) e´ imposs´ıvel. Porta nt o deve ser f(x) = c f(x) para quaisquer c, x R . por 2), logo f(rx) =

·

· ∈

·

·

·

 · ·

·

·

·

·

·

∈

´ Ob s e rv a ç a˜ o . Um teorema an alogo, com a mes ma dem onst ra ça˜ o, vale para f : R → R, escrevendo, na propriedade 2), n Z em vez de n N.

∈

∈


17

ˆ AP ENDICE 2 Teo rem a d e Cara cte riza ç ao ˜ da s Fu n ç o˜ e s A fi n s . S eja f : R → R crescente ou decrescente. S e a diferen ca ¸ f(x +h )− f(x) depende apenas de h m as n ao ˜ de x , en t ao ˜ f e´ u m a fun çao ˜ afim . De m on st ra ç a˜ o : Tra tar emos a penas do caso em que f e´ crescente pois o outro e´ a n alogo. ´ Pela h ipo´ tese feita sobre f, a fun ça˜ o ϕ : R → R, dada por ϕ(h ) = f(x + h ) − f(x), est a´ bem definida. Evidentemente ϕ e´ crescente. Al e´ m disso, para todo h R vale

∈

ϕ(2h ) = f(x + 2h ) − f(x)

= [f((x + h ) + h ) − f(x + h )] + [f(x + h ) − f(x)] = ϕ(h ) + ϕ(h ) = 2 ϕ(h ).

·

Ana logamen te se v eˆ que ϕ(nh ) = n ϕ(h ) para todo n ainda

·

∈ N. Tem-se

ϕ(−h ) = f(x − h ) − f(x) = −[f(x) − f(x − h )] = −ϕ(h ) pois x = (x − h ) + h . Segue-se que, para todo n vale

∈ N e todo h ∈ R

ϕ((−n)h ) = ϕ(−nh ) = −ϕ(nh ) = −[n ϕ(h )] = (−n)ϕ(h ).

·

Como e´ o´ bvio que ϕ(0) = 0, vemos qu e ϕ(nh ) = n ϕ(h ) para todo ˜ ao fina l do Ap eˆ ndice 1, conclu ´ı mos que n Z. Pela Obser vaç ao ϕ(ch ) = c ϕ(h ) para quaisquer c, h R, logo ϕ e´ linear. Assim, pondo a = ϕ(1) = f(x + 1) − f(x), t em-se ϕ(h ) = a h para todo ˜ para quaisquer x, h R vale f(x + h ) − f(x) = a h . h R. E n t ao, Trocando h por x, vem: f(h + x) − f(h ) = ax. F a ze n do h = 0 e escrevendo b = f(0), obtemos f(x) − b = ax, donde f(x) = ax + b e o teorema est a´ demonstr ado.

∈

∈

·

·

∈

∈

·

·

18

Temas e Problemas

Problemas Propostos∗ 1. Sejam r, s retas coplanar es. Para cada segmento de reta AB ˜ ort ogona l sobre s. Prove que cont ido em r, seja A B su a pr ojeçao o compr iment o de A B e´ pr oporciona l a o de AB. 







˜ pontos distintos 2. Seja P um ponto fora da reta r. Se X e Y s ao ´ ˆ PXY e´ proporcional ao compriem r, prove que a area do triangulo ment o de XY . Qual e´ o fator de proporciona lidade?



ˆ α = AOB, para cada par de pontos X em OA e 3. Dado o angulo Y em OB, sejam x e y as medidas dos segmentos OX e OY respectivamente. Prove que a area ´ do paralelogramo que tem OX e OY como dois de seus lados e´ p roporciona l a x e y. Q u a l e´ o fator de proporciona lidade? Saben do que a area ´ desse paralelogramo e´ de 29 cm quando x = 6 cm e y = 7 cm, qual o valor dessa a´ r e a p a r a x = 2 cm e y = 3 cm ? ˜ coplana res e x, y, z a s 4. Sejam OA, OB e OC semi-retas n ao medidas dos segmentos OX, OY e OZ, respectivamente contidos em OA, OB e OC. Prove que o volume do paralelep ´ıpedo que tem OX, OY e OC como tr eˆ s das suas arestas e´ proporcional a x, y e z.

5. O movimento de um ponto sobre um eixo chama-se un iform e qua ndo ele percorr e espa ços iguais em t empos igua is. Sua velo´ p or de fin içao, ˜ o espaço percorr ido na un idad e de tem po. cidade e, Formu le es ta s defin iço˜ es matematicamente e obtenha a abscissa ˜ de t e do f(t) do ponto n o instante t explicita m en te como fun çao ponto de par tida. ´ reta. Como 6. Por dois pontos dados no plano passa uma unica ˜ em ter mos de fun ço˜ es afins? Prove-a se tr aduz esta afirm açao algebricamente. ∗

´ Solu ço˜ es na p agina 133.


19

7. Um fazendeiro possu i ra ça˜ o s u fi cie n t e p a r a a l im e n t a r s u a s 16 vacas duran te 62 dias. Apó s 14 dias, ele vende 4 vacas. Passados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quan tos dias, no total, dur ou s ua reser va de r aça˜ o? 8. Uma caravana com 7 pessoas deve atravessar o Sahara em 42 ´ dias. Seu suprimento de agua permite que cada pessoa disponha de 3,5 litros por dia. Ap o´ s 12 dias, a car avana encontra 3 bedu´ınos sedentos, v´ı tima s de u ma tempestade de a reia, e os a colhe. Pergunta-se: ´ ˜ a cada pessoa se a a) Quantos litros de agua por dia caber ao caravana prosseguir sua rota como planejado? b) S e os membros da caravana (bedu´ınos inclusive) continua´ rem consum indo agua como ant es, em qu an tos dias, no m a´ ´ ´ ximo, ser a´ necess ario encontrar um oasis?

9. Numa estrada retil´ı nea, dois carr os par tem, a o mesmo tempo, de dois pontos A e B, com d(A, B) = d, dirigindo-se no mesmo sentido. O que partiu de A vai a v quilô metros por hora e o que ˆ saiu de B roda a w quilômetros por h ora. A que dist ancia de A eles se en cont ra m? 10. D o i s t r e n s d e c a r g a , n a m e s m a l i n h a fe´ r r e a , s e g u e m u m a ˜ rota de colis ao. Um deles vai a 46 km/h e o outro a 58 km/h. No in s t a n t e e m q u e e le s s e e n con t r a m a 2 60 k m u m d o ou t r o, u m ´ p assaro, que voa a 60 km/h, parte de um ponto entre os dois, at e´ ˜ volta para o outr o e continua nesse encontrar um deles e ent ao vai-e-vem at e´ morrer esmagado no momento em que os t rens s e ´ chocam. Quantos quil oˆ metros voou o pobre p assaro? 11. Na loja A, um apa relho custa 3800 reais ma is uma taxa mensa l de m an ut ençao ˜ de 20 rea is. Na loja B, o mesmo apar elho cust a 2500 reais por e´ m a taxa de ma nu tenç a˜ o e´ d e 5 0 r e a is p or m eˆ s . ˜ e´ a ma is van tajosa? Qu a l da s d u a s opçoes ˜ do Exemplo 3, a cada ponto X da semi-reta OA 12. Na sit u a çao faça m os corr esp onde r o pont o Z em OB, tal que XZ seja paralelo a`

20

Temas e Problemas

reta r. C hamando de x e z os compr iment os de OX e XZ respectivamente, mostre que a correspond eˆ ncia x → z e´ uma proporcionalida de. Em qu e condiço˜ es o fator de proporcionalidade e´ o mesmo que o da corr espondeˆ ncia x → y do Exemplo 3?





Ca p´ı tu lo 2

´ F u n ço˜ es Quadr aticas Um r esta ur an te a qu ilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais ˜ revelou qu e, por cada rea l de auo quilo. Uma pesquisa de opiniao men to no preço, o rest au ra nt e perd eria 10 client es, com o consu mo m e´ dio de 500 gr am as cada um . Qua l deve ser o preç o do quilo de comida par a qu e o restau ra nte t enha a m aior receita poss´ıvel? ˜ do segun do grau, ou seja, Est e pr oblema recai n um a equa çao na busca dos zeros de um a fun çao ˜ qua dr atica. ´

A fo rm a c a n oˆ n i c a

1

´ Um a fun ça˜ o f : R → R chama-se q u a d ratica quando, para todo x R, tem -se f(x) = ax + bx + c, onde a,b,c R s ao ˜ consta ntes, com a = 0. ˜ de Diversos pr oblemas inter essan tes recaem na considera çao ´ icas. Um d os ma is an tigos consiste em a cha r dois fu n ço˜ es quadr at ´ n umeros conhecendo sua soma s e seu produto p. Se um desses ´ n umeros e´ x, o outro ser a´ s − x, logo x (s − x) = p. Efetuando a ˜ vem sx − x = p ou seja, x − sx + p = 0. Enconm u lt iplica çao, ˜ do segundo t r a r x (e, porta nt o, s − x) significa re solver a equ a çao grau x − sx + p = 0, isto e´ , achar os valores de x para os quais a ˜ quadr atica ´ f(x) = x − sx + p se anula. Esses valores s a˜ o fu n çao ˜ quadr atica ´ chamados os zeros da fu n çao ou as ra ızes ´ da equ a ça˜ o correspondente. Note que se x for um a ra iz da equa ça˜ o x − sx + p = 0 en t a˜ o s − x t a m b e´ m ser a, ´ pois

∈

∈



·

(s − x) − s(s − x) + p = s − 2sx + x − s + sx + p = x − sx + p = 0.

˜ os n umeros ´ Portan to as duas ra ´ızes dess a equ a ça˜ o s ao procurados. Deve-se observar entretanto que, dados arbitrariamente os 21

22

Temas e Problemas

s e p, nem semp re existem dois n um ´ ´ eros cuja soma e´ s e n umeros cujo produt o e´ p.

˜ existem dois n umeros ´ E x e m p l o 1 . N ao reais cuja soma seja 2 e cujo produto seja 5. Com efeito, como o produto 5 e´ positivo esses ´ n umeros teriam o mesmo sinal. E como sua soma 2 t a m b e´ m e´ positiva eles dois seriam positivos, logo ambos seriam < 2. S e u ˜ seria menor do que 4, portan to diferente de 5. Os produto en t ao ´ ´ n umeros procurados podem tamb e´ m reduzir-se a um unico, como no caso em que a soma dada e´ 6 e o produto e´ 9, p ois a equ a ça˜ o x − 6x + 9 = 0, da qual eles s a˜ o ra ´ızes, es creve -se como (x − 3) = 0 logo sua un ´ ica ra iz e´ 3. J a´ os n um ´ eros cuja soma e´ 1 e cujo produt o 5)/2. e´ −1 s ao ˜ as ra ´ızes da equ a ça˜ o x − x − 1 = 0, que s a˜ o (1

±

√

´ ´ Um procedimento util pa ra estudar a funça˜ o q u a d r atica e´ o com pletam ento do quadrado. Basicamente, o m e´ todo de comple˜ de que ta r o quadr ado se r esum e na observaçao x + px =

Exemplo 2.



p x+ 2



−

p . 4

x + 10x = x + 2 5 x + 5 − 5 = (x + 5) − 25.

· ·

E x e m p l o 3 . 3x + 12x + 5 = 3(x + 4x) + 5 = 3[(x + 2) − 4 ] + 5 = 3(x + 2) − 7. f(x) = ax + bx + c, escre˜ quadr atica ´ Em gera l, dada a fun çao vemos:







b b f(x) = a x + x +c = a x+ a 2a





b b − +c = a x+ 4a 2a



4ac − b + 4a

C om o ve r em os logo e m s eg u id a , e´ conveniente escrever m = −b/2a e k = ( 4ac − b )/4a. Verifica-se facilmente que k = f(m). Com e st a n ota çao, ˜ temos, para todo x R:

∈

f(x) = a(x − m) + k,

onde

m = −b/2a e k = f(m).

Esta e´ a chamada form a can onica ˆ do trin oˆ mio f(x) = ax + bx + c.

·

˜ Quadr aticas ´ Funçoes

23

E x e m p l o 4 . Se f(x) = 2x − 5x + 3, tem os m = 5/4, k = −1/8, logo a form a can oˆ nica deste t rin oˆ mio e´



5 f(x) = 2 x − 4



−

1 8

·

Escrevendo o trin oˆ mio f(x) = 2x − 5x + 3 na forma can oˆ nica, podemos tira r pelo men os du as conclus o˜ es: 1) o menor valor de f(x) para todo x x = 5/4.

∈ R e´ −1/8, obtido quan do

2 ) a s r a ´ızes d a equ a ça˜ o 2x − 5x + 3 = 0 se obt eˆ m escrevendo sucessivamente



5 2 x− 4 5 x− = 4

 ±



1 5 − = 0, 2 x − 8 4 1 5 1 , x= 4 4 4



1 = , 8



5 x− 4



=

1 , 16

± ·

Logo essas ra´ızes s a˜ o x = 1 e x = 3/2. De um modo geral, a forma can oˆ nica f(x) = a(x − m) + k nos permite concluir que, quando a > 0, o menor valor de f(x) e´ k = f(m) e, quando a < 0, k = f(m) e´ o maior valor de f(x), para qualquer x R. A forma can oˆ nica nos fornece tamb e´ m, quando b − 4ac 0, a s r a ´ızes da equ a ça˜ o ax + bx + c = 0, pois esta igualdade equivale sucessivamente a

∈

≥

a(x − m) = −k, b − 4ac , 4a b − 4ac , 2a b − 4ac −b = 2a

(x − m) = −k/a =

x−m =

±

x=m

√

±

√

u m a fo´ rm ula mu ito bem conh ecida.

± √b

2a

− 4ac

,

24

Temas e Problemas

∆ = b − 4ac chama-se o discriminante da fun ça˜ o ´ O n umero f(x) = ax + bx + c. Vimos acima que, quando ∆ > 0, a ´ quadr atica equ a ça˜ o f(x) = 0 tem duas ra ´ı zes reais e qua ndo ∆ = 0, a mesma ˜ possui um a un ´ ica r aiz, cha mada de raiz dupla . Note que equ a çao ∆ = − 4ak, portan to ∆ = 0 equivale a k = 0. Logo, quando ∆ = 0, a forma can oˆ nica se reduz a f(x) = a(x − m) , fican do claro en t a˜ o b qu e f(x) = 0 somente quando x = m = − Vemos ainda que, 2a quando ∆ = − 4ak e´ negat ivo, a e k t eˆ m o mesmo sinal, o qual e´ , neste caso, o sinal de f(x) = a(x − m) + k para qualquer x R. Logo ela nu nca se a nu la, ou seja, a equa ça˜ o ax + bx + c = 0 n a˜ o possui raiz real.

·

∈

f(x) = 2x − 12x + 19, tem -se ˜ quadr atica ´ E x e m p l o 5 . Pa r a a fun çao f(x) = 2(x − 6x) + 19 = 2(x − 6x + 9) + 1 = 2(x − 3) + 1, logo f(x) > 0 ˜ se tem f(x) = 0 para valor a lgum para todo x. E m pa rticular, n ao de x R.

∈

√

√

Sejam α = (−b + ∆)/2a e β = (−b − ∆)/2a a s r a´ızes da ´ equ a ça˜ o ax + bx + c = 0. U m calculo imediato n os mostra que α + β = −b/a e α β = (b − ∆)/4a = c/a. Vemos que a m e´ dia ar itm e´ tica das ra´ızes, (α + β)/2 = −b/2a, e´ igua l ao n u´ m e r o m tal que f(m) e´ o menor valor de f(x) (se a > 0) ou o ma ior (qua ndo a < 0). 0, isto e´ , qu an do a equa ça˜ o Vemos tamb e´ m que, quando ∆ ax + bx + c = 0 possui as ra ´ızes r eais α, β, tem -se

·

≥



b c ax + bx + c = a x + x + a a

 



= a x − ( α + β)x + αβ .

Logo ax + bx + c = a(x − α)(x − β).

Esta e´ a chama da form a fatorada do trin oˆ mio do segund o grau . A for m a fa t or a da for n ece im ed ia t a men t e a s egu in t e f(x) = ax + bx + c : ˜ quadr atica ´ in form a ça˜ o sobre o sin a l da fun çao S e x est a´ situado entre du as ra´ ızes d a equa¸cao ˜ f(x) = 0 ent ao ˜ f(x) tem sinal oposto ao sinal de a. Caso contr ario, ´ ou x e´ raiz ou f(x) tem o mesm o sinal de a.


25

Com efeito, o produt o (x − α)(x − β) e´ nega tivo se, e somente se, x es t a´ e n t r e α e β. ˜ a cima inclui o cas o em qu e a equa ça˜ o f(x) = 0 n a˜ o A a fir m a çao possui raiz real. (Ent a˜ o f(x) tem o mesmo sinal de a para todo x ´ m o caso em que essa equa çao ˜ possui u ma R.) Inclui tamb e ˜ para todo x = α, f(x) tem o mesmo sinal raiz dupla α. ( E n t ao, de a.) Vejamos a seguir alguns problemas que envolvem o uso da ˜ quadr atica. ´ fu n çao

∈



´ positivos t eˆ m soma E x e m p l o 6 . Mostrar que se dois n umeros consta nte, seu produto e´ m a´ ximo quan do eles s ao ˜ iguais. ´ ˜ Sejam x, y os n umeros em quest ao, com x + y = b, logo y = b − x. Seu produto e´ f(x) = x(b − x) = −x + bx, u m a fun ça˜ o ´ ´ quadr atica de x com coeficiente a = −1 < 0, logo f(x) e´ m aximo quando x = −b/2a = −b/(−2) = b/2 e da´ı y = b − x = b/2. E x e m p l o 7 . Tenho material suficiente para erguer 20 m de cerca. Com ele pr etendo fazer um cercado reta ngular de 26 m de a´ r e a . ˆ Qua nt o devem medir os lados desse ret angulo? ˜ as medidas (em metros) dos lados do cercado reSe x e y s ao tan gular, temos x + y = 10. Pelo exemplo an terior, o ma ior valor xy e´ 5 5 = 25. Logo, com 20 m de cerca n a˜ o ´ poss´ı vel para a area ˆ gulo de 26 m de a´ r e a . posso cercar um ret an

×

´ positivos E x e m p l o 8 . Mostr ar que se o produto de dois n umeros e´ constante, sua soma e´ m ´ı nima qua ndo eles s ao ˜ iguais. ´ Sejam x, y n umeros positivos tais que xy = c. O s va l or e s poss´ı veis para a soma s = x + y s a˜ o a q u e l e s p a r a o s q u a i s a equ a ça˜ o x − sx + c = 0 possui ra ´ızes reais, ou seja, o discrimi0. Isto significa s 4c, isto e´, s 2 c. n a n t e ∆ = s − 4c e´ O menor valor poss´ıvel para a soma s e´ portan to s = 2 c, que t orn a ∆ = 0 e a equ a ça˜ o x − sx + c = 0 admite a raiz dupla x = s/2, ´ ˜ iguais. x, y s ao portanto y = s/2 e os n umeros

≥

≥

√ ≥ √

´ eros poE x e m p l o 9 . Mostra r que a m e´ dia a ritm e´ tica de dois n um sitivos e´ sempre maior do que ou igual a` m e´ dia geométrica, sendo ˜ iguais. igua l apena s qua ndo eles sao

26

Temas e Problemas

´ Sejam a, b os n umeros dados. Ponh amos c = ab. Entr e todos ´ os n umeros positivos x, y tais que xy = c, a soma x + y e´ m ´ınima quando x = y, ou seja, x = y = c . (Vide E xemplo 8.) Nest e caso, ´ a soma m ´ınima e´ 2 c . Em pa rticular, como a e b s a˜ o n umeros 2 c ; noupositivos cujo produto e´ c, conclu´ı mos que a + b a+b ab, com igua ldade valendo apenas qu an do tros termos: 2 a = b.

√

√

≥

≥ √

√

E x e m p l o 1 0 . Na Figura 6, determinar x de modo que a a´ r e a d o ˆ para lelogramo inscrito n o r et angulo seja m´ın i m a . S u p o˜ e-se que a b 3a.

≤ ≤

b – x

x

x

a – x

a – x

x x

b – x Figura 6

´ A area do paralelogramo inscrito e´ f(x) = ab − x(a − x) − x(b − x) = 2x − ( a + b)x + ab.

Os dad os do problema imp o˜ em que 0 x a. O m ´ınimo de f(x) e´ a tingido no ponto m = (a + b)/4 e vale f(m) = ab − (a + b) /8. A con diça˜ o b 3a equivale a (a + b)/4 a, logo m a, portan to ˜ obtida e´ leg´ı tima. a solu çao

≤

≤ ≤ ≤

≤

E x e m p l o 1 1 . Dois comerciantes formam uma sociedade com o capital de 100 mil reais. Um deles tra balha 3 dias por semana e o outr o 2. Ap o´ s algum tempo, desfazem a sociedade e cada um recebe 99 m il rea is. Qua l foi a cont ribuiça˜ o d e c a d a u m p a r a o capita l da sociedade? Um dos s o´ cios entrou com x e o outro com 100 − x mil r eais. Seus lucros foram 99 − x e 99 − (100 − x) = x − 1 mil reais respectivamen te. Sem perda de generalidade, podemos supor que a


27

sociedade du rou 5 dias. Os lucros de cada um por dia de serviço foram respectivamente (99 − x)/2 e (x − 1)/3 mil reais. Cada mil re a is a plicados d eu , por dia de ser viço, o lu cro 99 − x x−1 = . 2x 2(100 − x)

˜ exprime a equita tividade da sociedade.) Da´ı vem (Es t a equ a çao a eq u a ça˜ o x − 595x + 29700 = 0, cujas r a´ızes s a˜ o 55 e 540. Como 540 > 100, a unica ´ raiz que serve e´ x = 55. Assim, um s o´ cio con t ribuiu com o capita l inicial de 55 mil rea is e o out ro com 45 mil. ˜ do problema, tivess e´ mos Ob s e rv a ç a˜ o : Se, a o mont ar a equa çao cham ado de x o capital inicial do s o´ cio que tra balhou 3 dias por semana, ter´ıamos 99 − x x−1 = , 3x 2(100 − x) o que nos levaria a` equ a ça˜ o x + 395x − 19800 = 0, cujas ra ´ızes s a˜ o 45 e − 440. Desprezando a raiz negativa, concluir´ı amos a inda q u e o s o´ cio que trabalhou 3 dias por semana entrou com 45 mil reais e o outro com 55. Obtemos portanto a mesma resposta, a ˜ diferen te. pa rt ir de u ma equa çao

2

´ co d e u m a fun ç a˜ o q u a d r a´ t i c a O g r afi

f : R → R, d ada p or ´ ´ O gr afico de uma funça˜ o qu a dr atica f(x) = ax + bx + c, x ´ o subconjunto G R, e R formado ´ pelos pontos (x, ax + bx + c), cuja abscissa e´ u m n umero real arx e cuja ordena da e´ o valor f(x) qu e a fun ça˜ o a s s u m e n o ´ bitr ario ´ ponto x. Começarem os m ostr an do que G e´ u m a p a r abola. Isto ˜ seguinte. re qu er a defin içao Consideremos n o plan o uma reta d e um ponto F fora dela. A par´ abola de foco F e diretriz d e´ o conjunto dos pontos do plano ˜ equidistan tes do ponto F e da reta d (Figura 7). que s ao ˆ cia de um ponto a uma reta e´ o compr iLembrem os que a dist an men to do segmento perpen dicular baixado do pont o sobre a reta .

∈

⊂

28

Temas e Problemas

P

F V d D

Q

Figura 7

A reta que cont e´ m o foco e e´ perpendicular a` diretriz chama-se ´ ´ o eixo d a p a r abola. Chama-se v ertice ´ d a p a r abola ao ponto dessa curva que est a´ mais pr o´ ximo da diretriz. Ele e´ o ponto m e´ dio do segment o cujas extr emidades s a˜ o o foco e a in t er se ça˜ o do eixo com a diretriz. ´ Se o ponto P pertence a` p a r abola e P e´ o seu sim e´ trico em ˜ a o eixo, ent a˜ o d(P , F) = d(P, F) e d(P , d) = d(P, d), logo r ela çao P t a m b e´ m pert ence a` p a r abola. ´ Isto significa que o que denomi´ na mos eixo e´ , de fat o, um eixo de simetr ia da par abola. ˜ quadr atica ´ Mostraremos inicialmente que o gr a´ fico d a fun çao f(x) = ax e´ a p a r abola ´ em R cujo foco e´ o ponto F = (0, 1/4a) e cuja diretriz e´ a r eta h orizonta l y = −1/4a. Para nos convencermos disso, verificamos primeiro que, para todo x R, vale a igualdade 







∈

x +



1 ax − 4a

  =



1 ax + , 4a

ˆ cia do pont o gen e´ onde o primeiro membr o e´ o qua drado da dist an ´ rico P = (x,ax ) do gr afico de f(x) = ax ao foco F = (0, 1/4a) e o ˆ cia do mesmo pont o a` reta segun do membro e´ o qua dra do da distan ´ y = −1/4a. Isto mostra que t odo ponto do gr afico de f pertence a` ´ ˜ pa r abola em quest ao. Reciprocam ent e, se P = (x, y) e´ um ponto ´ qualquer dessa par abola, o pont o P = (x, ax ), como a caba mos de ver, tamb e´ m pertence a` p a r abola, ´ logo y = ax pois essa curva n ao ˜ cont e´ m dois pontos distint os com a mesm a a bscissa. Porta nt o ´ ´ todo ponto da pa r abola pert ence ao gr afico de f.


29

y = ax tem a concavidade voltada para ´ Se a > 0, a p a r abola cima e seu ve´ rtice (0,0) e´ o ponto de menor ordenada. Se a < 0, y = ax e´ voltada para baixo e seu ´ a concavidade da parabola v e´ rtice (a origem) e´ o pont o de maior orden ada (Figura 8).

æ 1 ö ÷ è 4a ø

Y

F = ç 0,

Y

y =

1 4a

X X

1 y = 4a

æ è

F = ç 0,-

1 ö ÷ 4a ø

Figura 8

˜ qua dr atica ´ f(x) = Em seguida, examinem os o gr a´ fico da fun çao a(x − m) . Afirmamos que ele e´ u m a p a r a´ bola, cujo foco e´ o pont o F = (m, 1/4a) e cuja diretriz e´ a reta y = −1/4a (Figura 9). y = a ( x - m) 2

Y

æ è

F = ç m, F

1 ö ÷ 4a ø

X m

y = -

1 4a

Figura 9

Para chegar a esta conclus a˜ o, t em -se du a s opço˜ es. Ou se verifica que, para todo x R, vale a igualdade

∈



1 (x − m) + a(x − m) − 4a

 



1 = a(x − m) + , 4a

30

Temas e Problemas

˜ observa-se simplesmente que o gr afico ´ ou ent ao de f(x) = a(x−m) ˜ horizontal (x, y) → resulta daquele de g(x) = ax pela tr a ns laç ao (x + m, y), que leva o eixo vert ical x = 0 na reta vertical x = m. f(x) = a(x − m) + k ˜ quadr atica ´ Fina lment e, o gr a´ fico da fun çao e´ a par a´ bola cujo foco e´ o ponto F = (m, k + 1/4a) e cuja diretriz e´ a r eta h orizonta l y = k − 1/4a (Figura 10).



Y

y = a ( x - m) 2 + k

æ è

F = ç m, k +

F

y = k m

1 ö ÷ 4a ø

1 4a

X

Figura 10

Com efeito, o gr afico ´ de y = a(x − m) + k resulta daquele de y = a(x − m) pela tr a n sla çao ˜ vertical (x, y) → (x, y + k), que leva o eixo OX n a r e t a y = k e a reta y = −1/4a na reta y = k − 1/4a. ˜ quadr atica ´ f(x) = ax + bx + c pode ser Ora , qu alqu er fun çao escrita sob a forma f(x) = a(x − m) + k, onde m = −b/2a e ´ ´ k = f(m). Logo, o gr afico de um a fun ça˜ o q u a d r atica e´ sempre ´ u m a p a r abola. ´ Que significado gr afico t eˆ m os coeficientes a, b, c da fun ça˜ o f(x) = ax + bx + c? ´ quadr atica O mais o´ bvio e´ o significado de c: o valor c = f(0) e´ a abscissa y = ax + bx + c cort a o eixo OY . ´ do ponto em que a par abola O coeficient e a mede a maior ou menor abertura da par a´ bola. ´ ´ Como o gr afico de f(x) = ax + bx + c se obt e´ m d o gr afico de g(x) = ax por um a tr a n sla çao ˜ horizont al seguida de um a t ra ns laçao ˜ ver˜ figuras congruent es, basta examina r o signifitical, portan to s ao




31

´ cado d e a no gr afico de g(x) = ax . Por simplicidade, suponh am os a > 0. E n t a˜ o a < a ⇒ ax < a x para todo x = 0, logo a pa r abola ´ y = a x situa-se no interior de y = ax . Assim, quan to ma ior for a mais fechada ser a´ a p a r abola ´ e, vice-versa, quanto menor e´ a ´ mais aberta se vê a par abola. No caso de a e a nega tivos, “ma ior” e “men or” devem ser tomados n o sentido de valor absolut o (Figura 11). 









Y

y = 2 x 2 y = x 2

y = ax 2 + bx + c

Y

1 y = x 2 2 c

X

O

X O Figura 11

´ O coeficient e b e´ a in clina ça˜ o d a r e t a t a n g en t e a` p a r abola no ˜ da par a´ bola com o eixo y. Expliquem os ponto P = (0, c), in t er se çao e pr ovemos est a afir ma ça˜ o. ´ Seja P um ponto de uma par abola. Uma reta que passe por P determina dois semiplanos. Diz-se que essa r eta e´ tangente a` ´ ´ pa r abola no pont o P quando a par abola est a´ contida int eiram ente num desses semiplanos. A reta que passa pelo ponto P = (0, c) e t em in clina ça˜ o b e´ descrit a p ela eq u a ça˜ o y = bx + c. Os semiplan os por ela det ermin ados ˜ descritos pelas desigua ldades y bx + c (semiplano super ior) s ao ´ e y bx+c (semiplan o inferior). Os pontos (x, y) da par abola cum ˜ todos no semiplano superior da prem y = ax + bx + c logo est ao ˜ todos no semiplano inferior reta y = bx + c quando a > 0 ou est ao se for a < 0. Porta nto a reta y = bx + c, d e in clin a ça˜ o b, e´ tangente ´ y = ax + bx + c no ponto P = (0, c) (Figura 12). a` p a r abola

≤

≥

E x e m p l o 1 1 (completa ndo o Exemplo 10). Agora que conh ecef(x) = ´ mos a forma geom e´ trica do gr a´ fico d a fun ça˜ o q u a d r atica

32

Temas e Problemas

Y

y = ax 2 + bx + c

X O

y = bx + c Figura 12

ax + bx + c, podemos ver claramente que, se a > 0, e n t a˜ o a ˜ que assume seu valor m´ı nimo quando x = m = −b/2a, fu n çao, e´ decrescente a` e s q u e r d a d e m e crescente a` direita de m. No ´ 3a ou b > 3a, a area Exemplo 10, independentemente de ser b ˆ do par alelogramo inscrito n o r et angulo e´ sempre igual a f(x) = 2x − (a + b)x + ab. Trata-se de achar, entre os n umeros x ta is que ´ 0 x a, aqu ele para o qual o valor f(x) e´ o menor poss´ıvel. Como estamos supondo 3a < b, t em os 4a < a + b, don de a < (a + b)/4 = m. Assim, o intervalo [0, a ] es t a´ a` esquerda do ˜ quadr atica ´ ponto m n o qua l a fun çao assume seu m ´ınimo. Logo f e´ decrescent e no interva lo [0, a ] e, consequent ¨ emente, seu m enor valor nesse intervalo e´ f(a). Portanto, x = a e´ a resposta do problema n o caso em qu e b > 3a. O par alelogramo de a´ r e a m´ınima e´ ˜ aquele hachura do na Figura 13. en t ao

≤

≤ ≤

b – a

a

a

a b – a

a Figura 13


33

A reta vertical x = −b/2a cont e´ m o v e´ rtice (−b/2a, f(−b/2a)) y = ax + bx + c, logo e´ o eixo de simetria dessa ´ d a p a r abola curva, gr a´ fico d a fun ça˜ o f(x) = ax + bx + c. Porta nt o dois pon´ t os (x , y) e (x , y) d a p a r abola t eˆ m a mesma ordenada, ou seja, f(x ) = f(x ) se, e somen te se, −b/2a e´ o ponto m e´ dio do int ervalo cujos extremos s a˜ o x e x . Noutras palavras, 











b x +x = 2a 2 





f(x ) = f(x ) ⇔ −



⇔





x + x = −b/a.

´ Este fato pode ser verificado sem o gr afico, a partir da forma ca n oˆ nica f(x) = (x − m) + k, onde m = −b/2a e k = f(m). Com efeito, 



f(x ) = f(x )





⇔

(x − m) + k = (x − m) + k

⇔

(x − m) = (x − m)

⇔

x −m=







±(x



− m).

Or a x −m = x −m equivale a x = x , enquant o x −m = −(x −m) equivale a m = (x + x )/2. 







3









Mo v im e n t o u n i fo rm e m e n t e v a ri a d o

Um dos exemplos ma is relevant es em que se a plicam as fun ço˜ es ´ quadr aticas e´ o m oviment o uniformemen te variado. Aqui se tem um ponto m o´ vel, qu e se d esloca a o longo de u m e ixo. Su a posiça˜ o no instant e t e´ determina da pela abscissa f(t). O que caracteriza o movimento uniformemente variado e´ o fat o de f ser u m a fu n ça˜ o ´ quadr atica, que se escreve usualmente sob a forma f(t) =

1 at + bt + c. 2

˜ a consta nte a chama-se a acelera¸cao Nesta express ao, ˜ , b e´ a velocidade inicial (no instant e t = 0) e c e´ a posi¸cao ˜ inicial do pont o. Em qua lquer moviment o retil´ıneo, dado por um a funçao ˜ ar bif(t), o quocient e t r aria ´ f(t + h ) − f(t) esp a ço per cor r ido = h tempo de percurso

34

Temas e Problemas

cha ma -se a velocid ad e m edia ´ do pont o no int erva lo cujos extr emos 1 s a˜ o t e t + h . No caso em que f(t) = at + bt + c, a velocidade 2 ah m e´ dia nesse intervalo e´ igua l a at + b + Para valores cada vez 2 ´ men ores de h , este n umero vale aproximadam ente at + b. Por isso dizemos que v(t) = at + b

·

e´ a velocidade (no movimento un iformement e variado) do ponto no instant e t. Qu a n d o t = 0, tem-se v(0) = b. Por isso b se cha ma a velocidade inicial. Alé m disso, para t e h quaisquer, tem-se [ v(t + h ) − v(t)]/h = a, logo a a celer a çao ˜ consta nte a e´ a t a x a d e ˜ da velocidade. va r ia çao Um importa nte exemplo de movimento un iformement e varia˜ da grado e´ a qu eda livre de u m corp o, ist o e´ , sujeito apena s a` a çao vidade, desprezada a resist eˆ ncia do ar. Nest e caso, a a celera ça˜ o da gravidade e´ representada por g e seu valor, deter mina do experimentalmente, e´ g = 9,81 m/seg . Se o corp o e´ simplesmente deixado cair de u ma altu ra (que consideram os de coordena da zero n um eixo vertical, orient ado pa ra baixo) sem ser empurr ado, ent ao ˜ sua velocidade inicial e´ zero e su a posiç ao ˜ inicial e´ dada por c = 0, logo sua coordenada, após 1 t segundos de queda, e´ gt = x. Reciprocam ente, esse corpo 2 percorre x metros em t = 2x/g segundos. ˜ quadr at ´ ica permite r esponder Nosso conh ecimen t o da fun çao ` m ais diversas qu est o˜ es a respeito do moviment o uniform emen as te variado. Por exemplo, se uma part ´ıcula e´ posta em movimento sobre um eixo a part ir de u m ponto de a bscissa −6 com velocida˜ consta nte de −2 m/seg , quan to de inicial de 5 m /seg e a celer a çao tempo se passa a t e´ sua trajet o´ ria mu de de sen tido e ela comece a voltar par a o pont o de par tida? Resposta: t emos f(t) = −t + 5t − 6. ´ Logo o valor m aximo de f e´ obtido quan do t = −5(−2) = 2,5 seg. Podemos ain da dizer qu e o pont o começa a volta r qua nd o v(t) = 0. Como v(t) = −2t + 5 isto nos d a´ novamente t = 2,5 seg. O movimen to uniform ement e variado pode ocorr er t am bé m no plano. Um exemplo disso e´ o movimen to de um projé til (um a bala,




35

ˆ ea e, a um a bola, u ma pedr a, et c.) lan çad o por u ma força in sta nt an ˜ da gravidade, sendo desprezada a partir da ´ı, sujeito apen as a` a çao resist eˆ ncia d o ar (moviment o no vácuo). Em bora o pr ocesso ocorr a no espa ço tridim ens iona l, a tr ajet o´ ria do projé til est a´ contida no plano determinado pela reta vertical no ponto de partida e pela ˜ da velocida de in icial. dir eçao Quanto se tem um movimento retil´ıneo (sobre um eixo), a ve´ locidade do m o´ vel e´ expressa por um n umer o. Mas qua ndo o movimen t o ocorr e n o plan o ou n o espa ço, a velocida de e´ expressa p or um vetor (segment o de reta orient ado), cujo compr iment o se cha m a a velocidade escalar do m o´ vel (ta nt os m etros por segun do). A ˜ e o sent ido desse vetor indicam a direçao ˜ e o sentido do dir eçao movimento. No plano em que se d a´ o movimento, tomemos um sistema de coordenadas cuja origem e´ o ponto de partida do projé til e cujo eixo OY e´ a vert ical que p assa por esse pont o. A velocidade inicial do projé til e´ o vetor v = ( v , v ) cuja primeira coordenada v fornece a velocidade da componente horizontal ˜ do projé til do m ovimen to (deslocamen to d a sombra , ou p rojeçao sobre o eixo horizontal OX). ´ ica força at ua nd o sobre o projé til e´ a gravidade, a Como a un ˜ possui component e h orizont al, n enh um a força at ua soq u a l n ao bre est e moviment o horizont al, que e´ port an to um movimen to uni˜ do pr ojé til n o instante t, forme. Assim, se P = (x, y) e´ a posiç ao tem-se x = v t. Por su a vez, a acelera ça˜ o (= for ça ) da gra vida de e´ consta nte, vertical, igua l a −g. (O sinal menos se deve ao sentido da gra˜ do eixo vertical OY .) Portan to, a vidade ser oposto a` orien t a çao componente vertical do movimento de P e´ um movimento unifor˜ igua l a −g e memente acelerado sobre o eixo OY , com a celer a çao velocida de inicial v . Logo, em cada instante t, a ordenada y do ponto P = (x, y) e´ 1 dada por y = − gt + v t. (N a˜ o h a´ termo consta nte porque y = 0 2 quando t = 0.) Veja a Figura 14.

36

Temas e Problemas

Y P = ( x, y)

1 y = gt 2 + v2t 2 v2

X O

x = v1t

v1

Figura 14

˜ para todo t, tem -se x = v t = 0, logo P = (0, y), Se v = 0 en t ao, com 1 y = − gt + v t . 2 Neste caso, a tr ajet o´ ria do projé til e´ vertical. ˜ de x = v t ve m t = x/v . Suponham os agora v = 0. E n t ao, ˜ de y, obtemos Substituindo t por este valor na express ao



y = ax + bx,

onde

a = −g/1v

e b = v /v .

´ Isto mostra que a tra jet o´ ria do projé til e´ u m a p a r abola.

4

A p r o p ri e d a d e r e fl e t o ra d a p a r a´ b o l a

Ou t ra a plicaçao ˜ bast an te difun dida da fun ça˜ o qua dr atica, ´ ou me´ ´ lhor, da par abola qu e lhe serve de gr afico, diz respeito a` propriedade refletora dessa curva. ´ Se girarmos uma par abola em torno do seu eixo, ela vai gera r um a super f´ıcie cham ada parabol´ oide de revolu¸cao ˜ , t a m b e´ m conh ecida como superf´ ıcie parab olica ´ . E st a su per f´ıcie p ossui in u´ me ra s a plicaço˜ es interessantes, todas elas decorrentes de uma propriedade geométrica da par abola, ´ qu e verem os nest a seça˜ o. A f a m a d a s s u p e r f´ı cies parab o´ licas remonta a` Antiguidade. H a´ u ma lenda segundo a qual o extraordinario ´ ma tem atico ´ grego


37

Arquimedes, que viveu em Siracusa em torno do ano 250 A.C., destruiu a frota que sitiava aquela cidade incendiando os navios com os raios de sol refletidos em espelhos parab o´ licos. Em bora ´ isto seja teoricam ente poss´ıvel, h a´ s e´ rias d uvidas hist o´ ricas sobre a capa cidade tecnoló gica da e´ poca pa ra fabr icar ta is espelhos. Mas a lenda sobreviveu, e com ela a id e´ ia de que ondas (de luz, ´ de calor, de r adio ou de outr a qualquer n at ureza), quan do refletidas numa superf ´ıcie para bo´ lica, concentram-se sobre o foco, assim am pliando gra ndement e a intensidade do sinal recebido. Da lenda de Arquimedes restam hoje um interessante acendedor solar de cigar ros e out ros a rt efat os que provocam igniça˜ o fazendo convergir os raios de sol para o foco de uma superf ´ıcie p a r a bo´ lica polida. Outros instrumentos atuam inversamente, concentrando na ˜ pa ra lela a o eixo os raios de luz que em an am do foco. Como dir eçao exemplos, cita mos os h olofotes, os far o´ is de autom o´ veis e as sim˜ que t eˆ m font es luminosas a` frente de uma ples lanternas de m ao, superf ´ıcie parabo´ lica refletora.

x o i e

F

Figura 15

Um important e uso recente destas su perf ´ıcies e´ dado pelas a n´ tenas parab o´ licas, empr egadas n a r adio-astronomia, bem como no ˜ refletindo os d e´ beis sinais dia-a-dia dos aparelhos de televis ao, provenientes de um sat e´ lite sobre su a superf ´ıcie, fazendo-os con´ ico pont o, o foco, d este modo t orna nd o-os cons ivergir para um un deravelment e ma is n´ıtidos. ˜ (estaS e a a n t e n a p a r a bo´ lica estiver volta da pa ra a posiçao ´ ia) do sat e´ lite, a gra nde dist an ˆ cia far a´ com que os sina is por cion ar

38

Temas e Problemas

ele emitidos que a tingem a ant ena sigam tra jet o´ rias pr aticam ente pa ralelas ao eixo da superf ´ıcie da an ten a, logo eles se refletir a˜ o ˜ pa ra o foco. Par a a demonstr ação da na superf ´ıcie e convergir ao ´ ´ propriedade refletora da par abola, vide o livro “A Matem atica do ´ En sino M e´ dio”, vol. 1, p aginas 135 a 141.


39

Problemas Propostos∗ 1. Se x > 0, mostre que x +

quando x = 1.

1 x

≥ 2, valendo a igualdade somente

´ 2. Sejam a e b n umeros positivos. Prove que, para x > 0 e y > 0 com xy = c (constante), a soma ax + by assum e seu valor m ´ınimo quando ax = by = abc.

√

3. Deseja-se cavar um buraco retangular com 1 m de largura de modo que o volume cavado t enh a 300 m . Sa bendo que cada m etro ´ quadrado de area cavada custa 10 reais e cada metro de profundidade custa 30 reais, determinar o comprimento e a profundidade do bura co a fim de que seu custo seja o menor poss´ıvel. 4. Duas torneiras junta s enchem um tanque em 12 horas. Uma delas sozinha levaria 10 horas ma is do que a outra para enchêlo. Quantas horas leva cada uma das torneiras para encher esse tanque? 5. Se uma torneira enche um tanque em x horas e outr a em y h oras, quant o tempo levariam a s duas junt as par a en cher esse mesmo tanque? 6. Usar a f o´ rm ula qu e serve de resposta ao exerc´ıcio an ter ior pa ra resolver o seguinte pr oblema: Dois guinda stes levam junt os 6 h oras para descarr egar um navio. Se os dois operassem sozinhos, um deles levaria 5 horas a menos do que o outro para efetuar a descarga. Em quan to tempo cada um dos guindastes descarr egaria o navio? 7. Dois comer ciant es vendem um certo t ecido. O segun do vendeu 3 metros mais do que o primeiro. No fim do dia, os dois recebem jun tos o total de 35 r eais pela venda daquele tecido. O primeiro diz: “Se eu tivesse vendido a meu preç o a quan tidade que você ∗

Solu ço˜ es na p a´ gina 138.

40

Temas e Problemas

vendeu, teria apurado 24 reais”. O segundo responde: “E eu teria recebido R$ 12,50 pelo tecido que você vendeu”. Quan tos metros vendeu cada um e a que pr eço?

√

˜ quan 8. Mostr e qu e a equ a ça˜ o m + x = x tem uma u´ n ica solu çao 0 do m > 0 ou m = −1/4, t em du a s soluço˜ es quan do −1/4 < m e nen hu ma soluça˜ o q u a n d o m < −1/4. Interprete graficamente este resultado.

≤

´ 9. Um professor comprou v arios exemplares de um livro para presentear seus alunos, gastando 180 r eais. Ganhou 3 livros a ˜ e com isso cada livro ficou 3 reais mais baram a is d e b onifica çao t o. Qu a n tos livros com pr ou e a q ue p re ço? 10. Quantos lados tem um pol´ıgono convexo que possui 405 diagonais? 11. Um campeonato e´ disputado em 2 turnos, cada clube jogando duas vezes com cada um dos outros. O total de partidas e´ 306. ˜ no campeonat o? Qua nt os clubes est ao 12. Um grupo de amigos, numa excursa˜ o , a l u g a u m a v a n p o r 342 reais. Findo o passeio, t r eˆ s deles estavam sem dinheiro e os outros tiveram que completar o total, pagando cada um deles 19 reais a ma is. Qua ntos eram os am igos? 13. Desprezando a resist eˆ ncia do ar, determinar a profundidade de um poço, sa bend o que decorr era m t segundos entre o instante em que se deixou cair uma pedra e o momento em que se ouviu ´ o som do seu choque com a agua no fundo. (Dar a resposta em ˜ da gravidade g e da velocidade do som v. fu n ça˜ o da a celera çao Tem-se g = 9,8 m/seg e v = 340 m/seg, ma s estes n umeros ´ n a˜ o precisam ser u sados.)

´ 14. Na s aguas pa radas de um lago, um remador r ema seu barco a 12 km por hora. Num certo rio, com o mesmo barco e a mesma força n as rem ad as, ele percorreu 12 km a favor da corr ent e e 8 km


41

contr a a corrent e, nu m t empo total de 2 horas. Qual era a velocidade do rio, quan to tempo ele levou para ir e qua nto tempo para voltar? ˆ 15. U m t r i angulo is o´ sceles mede 4 cm de base e 5 cm de altuˆ ra. Nele deve-se inscrever outro tri angulo is o´ sceles in vert ido, cu ja base e´ par alela a` base do ma ior e cujo vé rtice e´ o ponto m e´ dio ´ ˆ da base do primeiro. Qual e´ a a´ r e a m axima poss´ıvel do tr iangulo ˆ gulo de area ´ ´ invertido? Qual a altur a desse tri an m axima? ´ ´ 16. Qual e´ o valor m aximo (ou m ´ın im o) da s fun ço˜ es qua dr aticas f(x) = 2(x − 2)(x + 3), g(x) = 3(2 − x)(5 + x)? ˆ gulo de 17. Retiram os de u m dos extremos da ba se b de um ret an altura a (com a < b) um segment o de compr iment o x e o acrescenˆ gulo tem area ´ tamos a` altur a. Pa ra qu al valor de x este novo ret an ´ m axima? 18. A soma das m edidas da s diagona is de um losan go e´ 8 cm. Qua l ´ ea desse losan go? o maior valor poss´ıvel da ar

˜ os valores poss´ıveis par a o produt o de dois n umeros ´ 19. Quais s ao re a is cuja diferen ça e´ 8 ? H a´ u m m en or valor poss´ıvel? Um m a ior? ´ f assume seu va20. Seja m o pont o onde a fun ça˜ o q u a d r atica lor m´ın im o k = f(m). Exprima algebricam ent e a fun ça˜ o inversa f : [k, +∞) → [m, +∞). Trat e explicitament e o caso part icular f(x) = x − 6x + 10. ˆ gulo de lados a, b 21. A partir de dois v e´ rtices opostos de um ret an mar quemos qua tro segmentos de comprimento x (Figura 16). As extremidades desses segmentos forma m um para lelogramo. Para ´ qual valor de x a area desse paralelogramo e´ a m aior poss´ıvel? ´ 22. Quais n umeros: ˜ pelo men os 16% ma iores do que seu s qua dra dos? a ) S ao b) S ao ˜ no m aximo ´ 22% men ores do que o quadr ado de sua s metades?

42

Temas e Problemas

x x b x x a Figura 16

c) T eˆ m o qua dra do de sua m eta de 30% ma ior do que sua qu inta parte? ˜ inteiros ´ı mpares, prove que a equaçã o 23. Se p, q e r s ao px + qx + r = 0 n ao ˜ pode ter ra iz raciona l. 24. Dois digitadores, A e B, se alterna m na prepara ça˜ o d e u m man uscrito de 354 lau das. A trabalhou 3 horas a mais do que B. Se A tivesse trabalha do duran te o mesmo tempo que B trabalhou, teria digitado 120 lauda s. Se B tivesse digitado dura nte o mesmo tempo que A trabalhou, t eria completado 252 laudas. Durante quanto tempo cada um trabalhou e quantas laudas cada um digitou? 25. De um tonel de vinho, algu e´ m retira uma certa quan tidade e ´ a substitui por um volume igual de agua. Ap o´ s repetida a mesma ˜ o l´ı quido que restou no tonel e´ metade vinho, metade oper a çao, ´ ´ a foi colocada n o tonel cad a u ma da s dua s vezes? agua. Quanta agu f t a l q u e f(1) = 2, f(2) = 5 e ´ 26. Qual e´ a fun ça˜ o q u a d r atica f(3) = 4 ? f(x) = ax + bx + c e´ tal que seu gr afico ˜ qu adr atica ´ ´ 27. A fun çao tan gencia o eixo das abscissas. Sabendo que f(1) = f(3) = 2, determine a, b e c.

Ca p´ı tu lo 3

F u n ço˜ es Exponenciais e Logar ´ıtmicas ´ P r o b l e m a 1 . Uma piscina tem capacidade para 100 m de agua. Quando a piscina est a´ completamente cheia, e´ colocado 1 kg de ´ cloro na piscina. Agua pura (sem cloro) continua a ser colocada na ˜ const an te, sen do o excesso de agua ´ piscina a u ma vaz ao elimina do ˜ Depois de 1 hora , um t este revela que a inda a t r a vé s de um ladr ao. restam 900 g de cloro na piscina. a) Que quant idade de cloro restar a´ n a p i s c i n a 1 0 h o r a s a p o´ s su a coloca ça˜ o? b ) E a p o´ s meia h ora da a plicaça˜ o? c) E ap o´ s t horas? Uma resposta muitas vezes dada par a a primeir a perg unta e´ que, ap o´ s 10 horas, n a˜ o h a´ m ais cloro na piscina. Esta resposta ˜ d o modelo mais simp les de var iaça˜ o d e u m a r esu lta da ap licaçao ˜ afim. Segun do este m odelo, gra ndeza, expresso por um a fun çao ˜ sofrida em cada intervalo de 1 hora e´ s e m pr e a m e sa va r ia çao ma. Assim, se na primeira hora foram eliminados 100 g de cloro, o mesmo deveria ocorrer em cada uma das 10 horas se guintes, fazendo com que t odo o cloro seja eliminado n estas 10 h ora s. O ´ gr afico da F igur a 17 ilustr a este ra cioc´ınio. ˜ acima, entretanto, n ao ˜ est a´ correta. N a˜ o e´ razoavel ´ A solu çao ˜ de cloro se d eˆ a uma taxa constante. ad mit ir-se qu e a elimina çao De fato, e´ mu ito mais ra zoável que esta t axa dependa da quantidade de cloro presente na piscina: quanto maior a quantidade de 43

44

Temas e Problemas

Cloro (g) 1000 900

Tempo (h) 1

10 Figura 17

cloro, m ais cloro e´ eliminado por unidade de tempo. Na verdade, par ece intuitivo que a quan tidade eliminada por unidade de t empo seja proporcional a` qu ant idade existente de cloro. Par a veri¨ ficarmos esta conjetura, utilizaremos um recurso freq uentemente utilizado para analisar problemas envolvendo grandezas que variam continuamente: vamos discretizar o problema. Ao invé s de ´ considerar que a agua ingressa na piscina e e´ dela eliminada de modo cont ´ınuo, vam os dividir o tempo em pequen os int ervalos de comprimento ∆t e imaginar que, em cada um destes intervalos, o processo ocorr a da form a descrita a seguir. Pr imeiro, ingressa na piscina, cujo volume representaremos por V , uma quantidade ´ ˜ (expressa, por exemde agua pura igual a v∆t, onde v e´ a v a zao plo, em m por hora); esta agua ´ e´ a diciona da a` mistura existente ´ de cloro e agua. A seguir, um volume igual a v∆t e´ retirado da mistura, restaurando o volume inicial (veja a Figura 18). Vejamos o que ocorre com a quantidade c(t) de cloro em cada um destes i nter valos. No in´ıcio do processo, esta massa est a´ un iform emente distribu ´ı da em um volume V de l´ıquido. Ap o´ s o ´ ˜ se altera, mas ingresso de agua pura, a quantidade de cloro n ao passa a estar distribu ´ıda em um volume igual a V + v∆t. D es t e volume, retira-se v∆t , r etendo-se u m volume igual a V . Como o

45

˜ Exponenciais e Logar´ıtmicas Funçoes

Água pura é acrescentada (volume V +vDt )

Piscina no instante t (volume V )

Água pura se misturaà água da piscina

Volume vDt é retirado (volume V )

Figura 18

cloro est a´ distribu´ı do uniform emente, a quan tidade de cloro que perma nece n a piscina e´ proporcional ao volume retido. Isto e´ , temos, o seguinte quadro:

Antes da sa ´ıd a Depois da sa ´ıd a

Volum e d e l´ı quido V + v∆t V

Quantidade de cloro c ( t) ?

˜ dado por c(t + ∆t) = c(t) O valor desconhecido e´ , ent ao, . O mais importante a observar e´ que a fraça˜ o e´ constante par a cada intervalo de compriment o ∆t. Assim, em cada um destes int ervalos, a quan tidade de cloro e´ multiplicada por um valor constan te. Note que o m esmo ocorrer a´ em um interval o maior, for ma do pela just ap osiça˜ o d e n intervalos de comprimento ∆t: a quantidade de cloro em um intervalo de tamanho n∆t e´ multiplicada por ˜ da qu an tidade de cloro, por sua . A va r ia çao ˜ acima subtraindo-se a quantidade inivez, e´ obtida da equa çao cial c(t) em cada lado, o que fornece





c(t + ∆t) − c(t) = c(t)





V −1 V + v∆t



v∆t = c(t) − V + v∆t



.

Uma out ra form a de expressar o mesm o fat o e´ dizer qu e a var iaça˜ o relativa e´ constant e e igual a − . Isto confirma o comportam ento que t ´ı nhamos intu´ıdo ant eriorm ent e: a varia ça˜ o

46

Temas e Problemas

da quantidade de cloro em intervalos de mesmo comprimento e´ proporcional a` qu an tidade existente n o in´ıcio do int er valo. ´ Voltemos a o nosso problema . A an alise acima mostra a inade˜ da primeira ten ta tiva de soluçao ˜ e ap onta a soluç ao ˜ corqu a çao reta . A perda de cloro, nos per´ıodos consecutivos de 1 hora, n a˜ o e´ a m e s m a . O qu e e´ constante, em cada um destes per ´ıodos, e´ a ˜ relat iva: se 10% do cloro foi elimina do na primeira hora , va r ia çao o mesmo ocorr e em cada hora a s eguir. E quivalentem ent e, se 90% do cloro per ma nece ap o´ s a primeira hora , o mesm o ocorr e em cada ˜ a quantidade de hora a seguir. Logo, ap o´ s 10 hora s da ap licaçao, cloro ter a´ sido multiplicada por (0,9) = 0,349. P or t a n t o, n e s t e instante h aver a´ 349 grama s de cloro na piscina. De modo geral, podemos express ar a qu an tidade d e cloro ao final de n hora s (onde n e´ na tura l) por:

c(n) = 1000 (0,9) , p a r a n = 0 , 1 , 2 , . . .

·

A Figura 19 ilustr a este comportam ento.

1200 1000 ) g ( o r o l C

800 600 400 200 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo (h)

Figura 19

˜ geoObserve que estas quantidades forma m uma progressao m e´ trica. Na verdade, ao se considerar a quantidade de cloro em


47

inst an tes igu alm ent e espa çad os, obte´ m-se sempre uma progress a˜ o geom e´ trica, ja´ que a quela quantidade e´ multiplicada pela mesma constan te em cada intervalo. Podemos u sar este fato para responder a` segun da pergunta do problema, su bdividindo o per´ıodo ˜ de cloro em dois per ´ıodos de meia d e u m a h o r a a p o´ s a a pli ca çao hora cada. Em cada um destes per ´ıodos, a quantidade de cloro e´ multiplicada por uma constante k (Figura 20). Como ao final dos dois per ´ıodos de meia hora a quantidade de cloro e´ multiplicada por 0,9, temos k k = 0,9 e, da ´ı, k = 0,9 = 0,948. Logo, a quantidade de cloro ap o´ s 6 hora s e´ igual a 1000 0,948 = 948 g. Note que, se tiv e´ ssemos u sado o modelo afim da Figura 17, ter´ıamos obtido 950 g para a qu ant idade de cloro neste insta nte.

√

·

×

´ ´

k

½

0

0,9

1

Figura 20

˜ acima e calcular a quantidade Podemos gen er alizar a soluçao de cloro a intervalos constantes de meia hora. De fato, para um instante da forma t = n, com n natu ral, temos c(t) = c n = c(0)k , onde k e´ a constante calculada acima. Assim,

 

1 c(t) = c( n) = 1000 2

√  0,9

= 1000 (0,9)

, para n = 0,1,2,...

˜ geom e´ trica, Novamente, estes valores formam uma progress ao ilustra da n a F igura 21. Esta progressa˜ o e´ obtida a partir da pro˜ da Figura 19 “interpolando um meio geom e´ trico” entre gress ao cada par de termos consecutivos. Observe que, substituindo por t, temos c(t) = 1000 (0,9) para todo t da forma . Na verdade, podemos mostrar que a ex˜ acima vale para todo t racional, aplicando o mesmo propress ao cesso acima. De fato, seja t = p/q. Como este intervalo e´ formado

·

48

Temas e Problemas

1200 1000 ) g ( o r o l C

800 600 400 200 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo (h)

Figura 21

˜ de p intervalos de compriment o 1/q, a q u a n t ipe la ju st a posiç ao dade de cloro restante neste instante e´ dada por c( p/q) = c(0)k , onde k e´ a constan te pela qual a quantidade de cloro e´ multiplicada em intervalos de tempo de comprimento 1/q. M a s q destes intervalos forma m um intervalo de compriment o 1, em que c(t) e´ mu ltiplicado por 0,9. Assim, k = 0,9 e k = 0,9 (veja a Figura 22). ´ ´

0,9

k

0 1/ q

1

p / q

Figura 22

Su bst itu indo na equa çao ˜ a cima, obtemos



c(t) = c( p/q) = c(0). 0,9



= 1000 0,9

·

= 1000 0,9 .

·

E para valores irracionais de t? A r e s pos t a e´ que todo t ir ˜ arbitr aria, ´ racional pode ser aproximado, com precis ao por uma


49

valores racionais. Os valores correspondentes de c fornecem, por su a vez, a pr oxima ço˜ es par a c(t). E s t e e´ exatamen te o mecan ismo ˜ exponencial, como veremos a t r a vé s do qu al se defin e u ma funçao ma is a diant e. Assim, a funçao ˜ que forn ece a quan tidade de cloro q u e r e s t a n o in s t a n t e t e´ dada por c(t) = 1000 0,9 , para todo t real. O gr a´ fico des t a fun ça˜ o e´ dado na Figur a 23.

·

1200 1000 ) g ( o r o l C

800 600 400 200 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo (h)

Figura 23

O exemplo acima ilustra um modelo matem a´ t ico d e va r iaç a˜ o ˜ importa nt e qu an to o modelo dado por u ma funçao ˜ afim. qu e e´ t ao ˜ ˜ aquelas em que, ao inve´ s As si t u a çoes em que ele se aplica s ao ˜ absoluta f(x + h ) − f(x) n ao ˜ depender de x (depender, da va r ia çao portan to, a penas de h ) , quem tem esta propriedade e´ a va r ia ça˜ o relativa . F u n ço˜ es crescentes (ou decrescentes) com esta ˜ necessariamen te da form a f(x) = ba . Os va lores propriedade s ao de a e b, a e xem plo do que ocor r e n a s fun ço˜ es afins, pode ser facilmente interpreta do em term os dos valores de f nos pont os x = 0 e x = 1. Temos f(0) = b a = b. Logo, b corr esponde ao valor inicial f(0). J a´ no ponto x = 1, temos f(1) = b a = f(0)a. Portan to, a = f(1)/f(0) e corr esponde a` consta nte pela qual f e´ m ultiplicada em t odo int ervalo de compr iment o 1. Em resum o, temos o teorema abaixo, discut ido em mais deta´ lhes em “A Matem atica do Ensino M e´ dio”, vol. 1.

·

·

50

Temas e Problemas

˜ m on otona ´ injetiva (isto e, ´ Teorema. S eja f : R → R um a fun ç ao crescen te ou d ecrescen te) tal qu e, par a cad a x e h , a varia ç ao ˜ relativa [f(x + h ) − f(x)]/f(x) (ou , equiv alent em ente, a ra zao ˜ f(x + h )/f(x)) depende apenas de h e n ao ˜ de x. En t ao, ˜ se b = f(0) e a = f(1)/f(0) , tem -se f(x) = ba para todo x R.

∈

P r o b l e m a 2 . Uma pessoa t omou 60 mg de um a cert a medicaç a˜ o. A bula do rem e´ dio informava que sua meia-vida era de seis hora s. Como o paciente n ao ˜ sabia o significado da palavra, foi a um dicion ar ´ io e encont rou a seguin te d efiniça˜ o: Meia-vida: tempo necess a´ r i o pa r a q u e u m a gr a n d e za (f ´ısica, biolo´ gica) a tinja met ade d e seu valor inicial. ˜ do rem e´ dio, qu al e´ a quantidade a) Ap o´ s 12 horas da ingest ao do rem e´ dio ainda presente no organ ismo? ˜ do rem e´ dio? b ) E a p o´ s 3 horas da ingest ao c) E ap o´ s t horas de sua ingest a˜ o? Para respondermos a` primeira pergunta , basta aplicar a defi˜ de meia -vida. Na verd ad e, esta defin iça˜ o d a´ uma importan te n içao ˜ a respeito do fen oˆ meno a que se refere: em qualquer in for m a çao per ´ı odo de 6 hora s, a quan tidade da droga presente n o organismo s e r e du z a` m e t a d e d o s e u v a l o r n o i n ´ıcio deste per ´ıodo. Deste 60 = 30 mg. Em mais modo, a p o´ s as primeira s 6 h ora s, haver a´ 6 horas, este valor se reduz n ovamente a` metade, passando a ser 30 = 15 m g. igual a Note qu e, como no problema an ter ior, n a˜ o e´ apr opria do utilizarse u ma fun çao ˜ a fim para modelar a variaça˜ o d a m edicaç ao. ˜ Tal modelo conduziria a` conclus ao ˜ equivocada de que, ao final das ˜ haveria mais droga presente no organismo (por este 12 horas, n ao racioc´ınio, a quantidade de droga eliminada no segundo per ´ıodo de seis horas seria igual a` quan tidade eliminada no primeiro, le˜ total em 12 horas). Mas por que es te modevando a` elim in a çao ˜ lo e´ ina dequado pa ra esta situaçao? Na verdade, o processo de ˜ de uma droga do organismo e´ a n alogo ´ eli m in a çao a o pr ocesso d e

×

×


51

˜ do cloro n a piscina do problema an ter ior. Pode-se pen elim in a çao sar na corrente sangu¨ ´ı nea como sendo a piscina, n a qual a droga ` medida que mais agua ´ es t a´ presente. A e´ ingerida, ela e´ adicion a d a a` corrente sangu¨ ´ınea, sendo o excesso de l´ıquido elimina do ˜ a t r a vé s dos o´ r gaos excretores. Como no caso da piscina, a quan tidade de droga eliminada e´ maior qua ndo a qua ntidade de dr oga presente e´ ma ior. Assim, e´ r a zoavel ´ adotar-se, par a a quantidade de droga no organism o, u m modelo segundo o qua l a var iaça˜ o relativa em intervalos de t empo de m esma dur aça˜ o e´ s e m p r e a mesm a, o qu e n os leva a um modelo expresso por um a fun çao ˜ da forma f(x) = ba . Para calcular a quantidade de droga no instant e t = 3, basta ˜ 3 hora s, observar, ma is um a vez, que em cada in ter valo de du ra çao a qua ntidade de droga e´ mu ltiplicada por uma consta nte k. Como em 6 hora s a dr oga se reduz a` m etade, temos k k = e, portanto,



·

√

˜ a massa k = = = 0,707. Logo, ap o´ s 3 horas da ingest ao, restante de droga e´ igual a 60 0,707 = 42 g, aproximadamente (compa r e com o valor qu e obter´ıam os com o modelo afim , que ser ia igual a 45 g).

×

Para obter a quantidade de droga em um instante qualquer t, ut ilizar emos os valores f(0) = 60 e f(6) = 30 par a calcular os coeficientes a e b de f(x) = ba . A primeira igualdade fornece b = 60 e a segunda d a´ 60a = 30, de onde obtemos a =



=2

. Logo, a

quantidade de droga ap o´ s t horas da ingest a˜ o e´ dada por

 

f(t) = 60 2

= 60 2

·

.

P r o b l e m a 3 . Um banco afirma que empresta dinheiro a juros de 100% ao ano. Na h ora de pagar a su a d´ıvida, um ano depois, um ˜ mais altos. Ele procucliente observa que os juros cobrados s ao ra o gerente do banco que explica que, na verdade, os juros sa˜ o 100% = 8,333% ao m eˆ s . capitalizados mensalmente, a` taxa de

×

52

Temas e Problemas

a ) Q u a l e´ a ta xa a nu al efetivam ente cobrada pelo banco? ˜ capitalizados b) E se o ban co resolve consider ar que os jur os sao a cada dia? ˜ capita lizados cont ic) E se o banco considera r que os juros sao nuamente?

˜ m onet a´ r i a s ao ˜ modelados por funPr oblema s de capita lizaç ao ço˜ es do tipo exponencial, j a´ que o valor e´ multiplicado, em cada per ´ıodo, pelo fator (1 + i), onde i e´ a taxa de juros corresponden´ t e a o p e r´ı odo. Na pr atica, por e´ m, o pr ocesso de capita lizaç a˜ o e´ discreto (como descrito nas duas primeiras pergunta s). No primeiro caso, o inter valo de 1 an o e´ dividido em 12 intervalos com ˜ u m m eˆ s de du r a çao. Em cada um desses intervalos, a d´ıvida e´ multiplicada por (1 + 1/12). Logo, ao fim dos 12 m eses, a d´ıvida e´ multiplicada por (1 + 1/12) 2 = 2,613. As s im , a t a x a a n u a l d e juros e´ igua l a 161,3% (e n a˜ o 100%). No segundo caso, o per´ı odo de um ano e´ subdividido em 365 per ´ı odos de 1 dia. Em cada per´ıodo, a d´ıvida e´ multiplicada por (1 + 1/365) e, ao fim do an o, ter a´ sido multiplicada por (1 + 1/365) ˜ = 2,714. Assim, segun do este esquem a de capitalizaçao, a taxa anu al ser a´ igual a 171,4%. ˜ capitalizados continuaFinalmente, a dmitir que os juros s ao mente corresponde a tomar o valor limite dos processos descritos acima. Se dividirmos o per ´ıodo de 1 a no em n per ´ıodos e capitalizarmos a quan tia em cada um deles a juros de , o o capita l inicial ser a´ multiplicado por 1 + . A resposta a` terceira pergunte e´ ˜ O valor obtida t oma ndo o limite qu an do n → +∞ desta express ao. ´ deste limite e´ denotado pela letr a e e e´ u m n umero fundam ental ´ ica. Seu valor e´ aproxima dament e igua l a 2,718, o que na Matem at leva a uma taxa anual de 171,8% em n osso problema . Algun s dos ˜ discutidos mais adiant e. usos do n u´ m e r o e ser ao

 

Problema 4. Voltando ao P roblema 1, quan to tempo deve tra nscorr er pa ra que a quan tidade de cloro na piscina se reduza a` metade?

53


Como vimos, a quantidade de cloro no instante t e´ dada por c(t) = 1000 0,9 . Logo, o instante t e m q u e e s t a q u a n t i d a d e se r eduz a` met ade sat isfaz a equa ça˜ o 500 = 1000 0,9 , ou seja, 0,9 = 0,5. Com o r esolver est a equ a çao? ˜ Existe u m t al valor de t?

×

×

Par a responder a estas pergun ta s, precisamos olhar com m ais cuida do a s propriedades das fun ço˜ es exponenciais (para maiores ´ deta lhes veja “A Matem atica do Ensino M e´ dio”, vol. 1). Lembr a˜ exponencial de base a (onde a > 0 e a = 1) mos que um a funç ao e´ u ma fun ça˜ o f : R → R definida por f(x) = a . Ma s ser a´ q u e a ´ f o´ rmula a tem sen tido par a todo n umero real? Certamente, a es t a´ bem definido quando x e´ n a t u r a l : a e´ a (com n fat ores). Mais definido como o produto a a a a precisamente, o valor de a e´ definido recursivamen te: a = a e a ˜ podem = a a, par a t odo n na tu ra l. A part ir desta definiçao, ser demonstr ada s as propriedades fundamen ta is das potê ncias d e expoente natural: a a e a =a = a , para quaisquer ´ disso, se m < n, ent a˜ o a < a quando a > 1 n a t u r a i s m e n; a l em e a > a quando 0 < a < 1 . ˜ ˜ feitas As de fin içoes das pot eˆ ncias de expoente real de a s ao de modo que esta s pr opriedades sejam válidas para quaisquer expoentes. Assim, a e´ definido como sendo 1, de modo que a iden´ tidade a = a a seja v alida para todo n n a t u r a l . A se gu i r, a , p a r a n n a t u r a l , e´ definido como , p a r a q u e a id en t i da d e a a =a = a = 1 se cumpra para todo n. ˜ das p ot eˆ ncias de expoenUm pouco mais delicada e´ a de fin içao te r acional. Basta, por e´ m, proceder como fizemos ao resolver o Problema 1. Inicialmente, dado um n atur al q, desejamos defin ir a de modo que a deve ser = a = a. Portan to, a ra iz d a equa ça˜ o x = a. Ma s, pa r a t od o q na tu ra l, a fun ça˜ o g : [0, +∞ ] → [0, +∞ ] t a l q u e g(x) = x e´ cont ´ı nua, estritamente crescente e ilimitada (veja a Figur a 24). Em consequ¨ eˆ ncia, para ´ todo a positivo, existe exat amen te um n umer o rea l positivo x t a l qu e a = 1, que e´ den ota do por a ou a. Agora, podemos definir a para todo x ra ciona l: se x = p/q, definimos a =a . = a



· · · · ··

·

·

 

·

 

√

 

54

Temas e Problemas

Y g ( x) = xq a

X a1/ q Figura 24

As pot eˆ ncias de expoente racional assim definidas preservam as propriedades fundamentais das pot eˆ ncias de expoente natural: a = a a , a = a e, se x < y, e n t a˜ o a < a quando a > 1 e a > a quando 0 < a < 1 .

 

·

Consideremos, finalmente, pot eˆ ncias de expoente irracional. √ Por exemplo, qual e´ o significad o de a ? A id e´ ia b asica ´ e´ que todo ´ ˜ ar bitr aria, ´ n umero irracional pode ser aproximado, com precis ao ´ eros ra ciona is. Por exemplo, a s melhores a proxima ço˜ es por n um por falta, de 2 com 1, 2 e 3 casas decimais s a˜ o 1,4, 1,41 e 1,414. Os valores de a pa ra ta is ap roxima ço˜ es conduzem, por sua vez, √ a a pr oxima ço˜ es cada vez melhores para a . Devido a` monotonicidade das pot eˆ ncias de expoent e ra ciona l, est as apr oxima ço˜ es ˜ por falta (quan do a > 1) ou por excesso (qua ndo 0 < a < 1). ser ao Em qua lquer caso, o valor limite desta s apr oxima ço˜ es (definido ´ como o men or n umer o real ma ior que ou igual a t odas esta s apr o´ xim a ço˜ es, no caso a > 1, ou o ma ior n umero real menor que ou √ ˜ de a igual a elas, no caso 0 < a < 1) e´ tom a do com o d efin içao ´ (veja “A Matem atica do Ensino Me´ dio”, vol. 1, par a ma iores deta lhes).

√

Assim, definimos os valores de a para todos os valores reais ´ de x, com o resultado sendo sempr e um n umer o positivo. Com isso, constru ´ımos u ma fun ça˜ o f : R → (0, ∞) t a l q u e f(x) = a , ˜ exponencial de base a, que tem as seguintes cha ma da de funç ao propriedades:


55

a ) f(x + y) = f(x)f( y) para quaisquer reais x e y; b) f e´ crescente (isto e´ , x > y ⇒ f(x) > f( y)) q u a n d o a > 1 e e´ decrescente (x > y ⇒ f(x) < f( y)) q u a n d o a < 1; em conseq u¨ eˆ ncia, f e´ sempre injetiva, ou seja, f(x) = f( y) ⇒ x = y; c) f e´ cont ´ı nua; d ) s e a > 1,

lim f(x) = 0

e

lim f(x) = +∞;

´ para todo y > 0 existe x tal que a = y). e) f e´ sobrejetiva (isto e,

´ A Figura 25 mostra o gr afico de f(x) = a nos casos a > 1 e 0 < a < 1. Y

Y

x

(x) = a

(a >1)

1

1

x

f(x) = a (0
X

X Figura 25

Podemos voltar agora a` p er g u n t a q u e a b r iu e st a d is cu s sa˜ o (“existe um valor rea l de x para o qual 0,9 = 0,5?”) e respond eˆ -la afir ma tiva men te. Como as fun çoes ˜ exponenciais (em particular, a ˜ injetivas e t eˆ m por imagem o conjunto dos r eais de base 0,9) s ao positivos, existe exata ment e u m n umero ´ real x tal que 0,9 = 0,5 (veja a Figura 26). ´ ico real x tal que De modo geral, dado u m n u´ m e r o y > 0, o un a = y (onde y > 0) e´ chama do de logaritmo de y na base a e re˜ logar´ıtmica de ba se a, que a ssocia presen ta do por log y. A fu n çao

56

Temas e Problemas

Y

1 f(x) = 0,9 x

0,5

X x Figura 26

´ a cada n umer o real positivo o seu logaritmo na base a, e´ , portan˜ exponen cial de bas e a e sua s propriedades to, a inversa da fu n çao decorrem das propriedades da exponencial. Ass im , a fu n ça˜ o log : (0, +∞) → R tem a s seguintes proprieda´ des (veja os gr aficos da Figura 27): a) log (xy) = log (x) + log ( y), para quaisquer x, y > 0. b) log (x ) = r log (x), para qualquer r e qua lquer x > 0. c) log (a ) = x, para todo x, e alog

= x, para todo x > 0.

d) log e´ cr e s ce n t e q u a n d o a > 0 < a < 1.

1 e d ecr e s ce n t e q u a n d o

e ) s e a > 1,

lim log (x) = −∞

se 0 < a < 1 ,

e

lim log (x) = +∞

lim log (x) = +∞; e

lim log (x) = −∞.

f) log e´ sobrejetiva. Assim, para resolver o Problema 4 devemos obter log 0,5. Como obter este valor? H a´ a l gu m a s d e´ cadas, a resposta seria consultar uma tabela de logaritmos, que eram usadas n a˜ o s o´ p a r a


Y

f(x) = log a x (a >1)

57

Y f(x) = log a x (0
X

X

1

1

Figura 27

obter a resposta a problemas como estes, mas tamb e´ m para faci´ litar calculos, explora ndo o fato de que logaritmos tr an sforma m produtos em soma s. Hoje em dia, e´ ma is provável que a resposta seja obtida com uma calculadora cient ´ıfica. Em am bos os casos, o u su ar ´ io de primeira viagem depar a-se com uma dificuldade: n a˜ o h a´ tabelas de logaritmos na base 0,9, nem teclas na calculadora para calcular tais logaritmos. As bases em que valores de logarit˜ usualmente tabeladas ou dispon ´ıveis em calculadoras mos est ao s ao ˜ as bases 10 e e (a base dos logaritmos naturais ou neperianos). Mas, na verdade, qua lquer base de logaritmos pode ser u sada para calcular um logaritmo em qualquer outra base. ˜ da equaça˜ o D e fa t o, com o v im os , log 0,5 e´ a soluç ao 0,9 = 0,5. Aplicando a s propriedades dos logaritmos em uma base qualquer a, temos, sucessivam ent e log 0,9 = log 0,5

x log 0,9 = log 0,5 x = log 0,5/ log 0,9

Logo, obtem os log

0,5 = log 0,5/ log 0,9.

58

Temas e Problemas

Se usam os logaritmos na base 10, obtemos

x = −0,30103/0,04576 = 6,57881. Se preferimos logaritmos na base e, resulta

x = −0,69315 / − 0,10356 = 6,57881. ˜ necess arias ´ 6,57881 A resposta, naturalmente, e´ a m esm a : s ao horas (aproximadamente 6 horas e 35 minutos) para que a quantidade de cloro se r eduza a` m etade. P r o b l e m a 5 . Uma pessoa deposita uma quantia em um banco, que a remuner a a` taxa de 1% ao m eˆ s. Em quantos meses a quantia depositada dobra? Ap o´ s n meses, a quantia depositada ter a´ sido mu ltiplicada por (1 + 0.01) = 1,01 . Para que a quant ia dobre, devemos t er 1,01 = 2. Tomando logaritmos em uma base qualquer (por exemplo, na base 10), temos

n log 1,01 = log 2. C om a u x´ılio d e u m a t a b ela ou d e u m a ca l cu l a dor a , ob t em os log 1,01 = 0,00432 e log 2 = 0,30103 e da´ı

n = 0,30103/0,00432 = 69,68. ´ Assim, seria necess ario esperar 70 meses para que a quantia dobre. ˜ do Pr oblema 4, conclu´ımos que log 0,5 = No fin a l da r es oluçao log 0,5/ log 0,9, onde a e´ qua lquer real positivo e diferente de 1. De modo gera l log x = log x/ log b, ´ para quaisquer n umeros positivos a,b,c (com a = 1 e b = 1). ´ E s t a ultima identidade e´ bem conhecida como a “f o´ rmula de muda nça de base” dos logaritmos. O que n a˜ o e´ muito destacado e´ qu e ela m ostr a que d ua s fun ço˜ es logar´ı tmicas quaisquer s a˜ o






59

og b x

Y

B

B

log a x

A

A

=

logb a

X

Figura 28

´ sempre m ultiplas u ma da outra. De fato, a f o´ rmula nos diz que log x = k log x, onde a const an te k e´ igua l a 1/ log b. A Figura 28 ilustra este fato. ˜ acima e´ q u e a s fun ço˜ es expoUma conseq u¨ eˆ ncia da discuss ao ˜ todas relaciona das entr e si. De fato, se a nenciais tamb e´ m est ao ´ eros positivos e diferen tes de 1, temos e b s a˜ o n um

a = blog

= b log

.

Logo, existe u ma const an te k = log a tal que

a =b . Portanto, a exemplo do que ocorre com os logaritmos, quando tr a ba lha mos com fu nç o˜ es exponenciais podemos sempre expressa´ las u san do nossas bases favoritas. Na maior part e dos casos, preferimos trabalhar com a base e, pelas raz o˜ es explicadas a seguir. Assim, ao inv e´ s de cara cteriza rm os as funçõ es do tipo exponen cial como sendo aquelas da forma f(x) = ba , poder ´ıamos, equivalentement e, car acterizá-las como sendo da form a f(x) = be . A prefer eˆ ncia pela base e se deve ao fato de que o coeficien˜ Como t e k na express a˜ o be tem u ma importa nt e int erpr eta çao. vim os, fu n ço˜ es do tipo exponencial t eˆ m a propriedade fundamen˜ relativa em intervalos de comprimento tal de que sua variaçao

60

Temas e Problemas

˜ insconstante e´ consta nte. Em part icular, sua taxa de variaçao ˆ ea (que e´ o valor d a d er ivad a d a fu n çao ˜ no inst an te considet a n t an rado) e´ pr oporciona l ao seu valor na quele inst an te. Mas a fun ça˜ o derivada de f(x) = be e´ f  (x) = bke = kf  (x). Portan to, k = ˜ consta nte ent re o valor da t axa de para todo x. Ou seja, k e´ a razao ˜ instant an ˆ ea de u ma fun çao ˜ do tipo exponencial e o seu va r ia çao valor no pont o considera do. 

Problema 6. No Problema 1, vimos que a qu an tidad e de cloro na 0,9 . piscina ap o´ s t horas e´ dada por c(t) = 1000

×

˜ na form a c(t) = be . a) Es creva est a fun çao ˆ ea de escoam ent o de cloro no insta nb ) Q u a l e´ a taxa instan t an te inicial? Repetindo o pr ocesso a cima, tem os

0,9 = elog

=e

log

=e

.

Logo,

c(t) = 1000 e

·

.

˜ de cloro no instante inicial e´ obtida multiA t axa de varia çao ˜ existente (1000) m ultiplicada pela plicando a quantidade ent ao constante k (−0,10536). Logo, o cloro est a´ se escoando a` t a x a ˜ significa que instant aˆ n e a d e 1 0 5 g p or h or a . N ot e q u e is t o n ao ˜ eliminada s na primeira hora, pois a ta xa ins105 g de cloro s er ao t a n t aˆ n e a n a˜ o e´ consta nte.


61

Problemas Propostos∗ ˜ de um a cidade cresça 2% a cada 5 1. Es tim a-se qu e a popula çao anos. a ) Q u a l e´ o crescimento estimado para um per´ıodo de 20 an os? b) E em um per ´ıodo de t anos? 2. As bact e´ rias em u m recipient e se reproduzem de forma t al que o ´ ero em u m int ervalo de tem po de compr imenau mento do seu n um ´ to fixo e´ proporcional ao n umer o de bact e´ rias presentes no in´ıcio do intervalo. Suponhamos que, inicialmente, haja 1000 bact e´ rias no recipiente e que, ap o´ s 1 hora, este n u´ m e r o t en h a a u m e n t a d o para 1500. Quantas bact e´ rias haver a´ cinco horas ap o´ s o in ´ıcio do experimento? 3. A lei do resfriamento de Newton estabelece que, quando um corpo e´ colocado em um ambiente mantido a` temperatura constant e, sua temperatura varia de modo a ser a m esma do ambiente, a uma taxa proporcional a` diferença de t emperat ur a entr e o corpo e o a mbiente. Uma peça de m eta l a 120◦ e´ colocada sobre a bancada do labora t o´ rio, mantido a` temperatu ra constan te de 20◦ . Dez minut os depois, verificou-se que a tem pera tu ra da peça tinh a se r eduzido para 80◦ . a) Qual ser a´ a temp era tu ra da peça um a h ora depois de ter sido colocada na bancada? ´ b) Es boce o gr afico que expr ime a t emp era tu ra da p eça a o longo do tem po. 4. A meia vida do is o´ topo ra dioat ivo do carbono (C ) e´ de 5500 anos. Que percentual da massa original de C restar a´ e m u m a amostra ap o´ s 10000 a nos? ∗


62

Temas e Problemas

5. Qual e´ a m e ia vid a d e u m m a t e r ia l r a d ioa t i vo q u e s ofr e ˜ de 20% de sua m assa em um per´ıodo de 1 ano? de sin t egr a çao ` 23 ho6. O corpo de um a v´ıtima de assassinato foi descoberto as ` 23:30 e imediatam ente tomou r a s . O m e´ dico da pol´ıcia chegou as ´ a temperatu ra do cad aver, que era de 34,8◦ . Uma hora mais tarde ele t omou a temperatura outra vez e encontrou 34,1◦ . A t e m p er a t u r a d o qu a r t o e r a m a n t i da con s t a n t e a 20◦ . U s e a l ei d o r e s friament o de Newton para estimar a hora em que se deu a m orte. Admita que a tempera tur a n orma l de uma pessoa viva e´ 36,5◦ . ´ de um reser vat o´ rio se evapora a` taxa de 10% ao m eˆ s . 7. A agua Em quan to tempo ela se r eduzir a´ a um ter ço do que era no in´ıcio? 8. Em uma caverna da Fra nça, famosa pelas pintur as feita s por ˜ vehomens pr e´ -hist o´ ricos, fora m encontr ad os peda ços de carvao getal, nos quais a radioatividade de C er a 0,145 vezes a r adioatividade nu m peda ço de car vão feito hoje. Calcule a idade do carva˜ o e d eˆ uma estimativa para a e´ poca em que a s pintu ra s fora m feita s. 9. Fora m injetadas 20 mg de uma certa droga em um paciente. A ˆ ea de elimina çao ˜ da droga, imediatam ente ap o´ s a taxa instant an in je ça˜ o, e´ de 5 mg por hora. Qual e´ a meia-vida da droga? (Cuidado! A resposta n ao ˜ e´ 2 horas.) ˜ da Figura 29 foi desenhado utilizando-se 10 . O gr a´ fico d a fun çao uma escala logar´ı tmica para o eixo Y (ou seja, as ordenadas no ´ gr afico rep res ent am o logar itm o decima l dos valores da função). a) Mostr e que o gr a´ fico de u m a fun ça˜ o f neste t ipo de represent a ça˜ o e´ uma reta se e somente se ela e´ do tipo exponencial (f(x) = ba ). ˜ representa da pelo gr afico ´ b ) Q u a l e´ a fu n çao da figura ? 11. No problema da piscina (Problema 1), verifique que a taxa ˆ ea de var iaçao ˜ da quantidade de cloro no instant e t e´ instant an igual a −c(t) . U tilizand o este fat o e o resu ltado do Problema 6, ´ determine com que vaz a˜ o a agua pura ingressa na piscina.

·


Y

10000 1000 100 10 1

X

0

1

2

3

Figura 29

4

5

63

Ca p´ı tu lo 4

Ap lica ço˜ es da Trigonometria ´ ´ Os livros did aticos para o ensino m e´ dio dedicam muita s p aginas ˜ fica claro nem par a o ao ensino da t rigonometria. E ntr etan to, n ao aluno, nem pa ra o professor, para que serve este abunda nte mat erial. Vam os m ostr ar aqu i alguma s a plicaço˜ es em sit u a ço˜ es reais e, par a resolver os pr oblemas, necessitar emos apen as das relações ˆ gulo ret an ˆ gulo, da lei dos cossenos e da lei trigonom e´ tricas no tri an dos senos. Nes t as a plicaço˜ es estaremos calculando senos, cossenos e tangentes de angulos ˆ e cabe aqui um esclarecimento ao leitor. Quando escrevem os por exemplo sen 30 , querem os dizer seno do angulo ˆ ˆ cuja medida e´ 30 , ou seja, estamos identificando o angulo com ˆ gulos agudos, ess u a m e did a . I s t o e´ pr a´ t i co e n a t u r a l . P a r a an ˜ definidas atr ave´ s das tradicionais t a s fu n ço˜ es tr igonom e´ tricas s ao ˆ ˆ r a zo˜ e s e n t r e l a d o s d e u m t r i angulo ret angulo e, par a qualquer ˆ ˆ angulo obtuso x (quer dizer: angulo cuja medida x es t a´ e n t r e 90 e 180 ), defin imos sen x = sen (180 − x) e cos x = − cos (180 − x). E isto e´ tu do o que pr ecisamos. Desde a a ntiguidade e at e´ hoje, o homem sem pre teve a necesˆ cias inacess´ı veis. Na verdade, s ao ˜ muito sidade de avaliar dist an ˆ poucas as dist ancias que podem ser medidas diretamente, com uma trena, por exemplo. Praticamente tudo que o desejamos saˆ cias no mu ndo em que vivemos e´ calculado com o ber sobre dist an a u x´ılio da t rigonometr ia. ´ O problema b asico, e que estar a´ sempre presente em t odas as sit u a çoes, ˜ e´ o da r es oluça˜ o de u m t r i angulo. ˆ Mas, o que significa ˆ ˜ seus lados e isto? Os elementos pr incipais de um tri angulo s ao ˆ gulos. Resolver um t ri an ˆ gulo significa determ inar 3 desses seus an ˜ dados (desde que n ao ˜ sejam os elementos quan do os outr os 3 s ao ˆ ´ t r eˆ s angulos). Este problema b asico, d ependen do dos da dos, pode ◦

◦

◦

◦

◦

64

◦

˜ da Trigonometria Aplicaçoes

65

˜ pode ser imposs´ı vel ou pode ter mais de t e r u m a u´ n ica solu çao, ˜ e você poder a´ ver ificar isto nos pr oblemas qu e vamos u m a solu çao discutir. ˆ Para medir uma dist ancia inacess´ı vel n ecessitar emos de uma trena, que nada ma is e´ q u e u m a fi t a m e´ trica comprida que possa ˆ cias r elativamente pequenas no plano horizonta l e de medir dist an ˆ u m teodolito. Um teodolito e´ um instru mento que mede angulos, tan to no plano horizontal quanto n o plano vertical. Trata-se de uma luneta, apoiada em um trip e´ que pode fornecer os seguintes dados:

a) Se o observador T veˆ um objeto P, ele pode determinar o ˆ gulo que a r eta TP faz com o plano h orizont al. an

P

T

θ

Figura 30

66

Temas e Problemas

b) se o observador T vê um objeto A e girando a luneta veˆ u m objeto B, ambos no plano horizontal, ele pode determinar o ˆ angulo ATB.

T

B θ

A Figura 31

˜ instrumentos equivalentes a` r e´ gua A trena e o teodolito s ao graduada e ao tra nsferidor quando trabalhamos no papel. A tr ena de hoje e a da an tiguidade diferem a penas do mat erial em que ˜ o mesmo instrumenforam constru´ı das mas essencialmente, s ao to. En tret ant o, o teodolito de h oje e´ muito mais sofisticado que o equivalente antigo. E neste ponto est a´ a difer ença. Hoje, poˆ ˜ muit ´ıssimo maior do que demos medir angulos com uma precis ao antigamente. ´ ios pr oblemas que vamos a bordar fazem r eferê ncia a` cidaVar ˜ de de do Rio de J an eiro. O m orr o do Corcovado, o m orr o do P ao ´ Açucar, o aterr o do Flamengo e sua vista a` cidade de Niter o´ i do outro lado da Ba´ı a de Guan abar a forn eceram situações interessant es de medidas inacess´ıveis. Nestes problemas as medidas s a˜ o todas rea is. ´ P r o b l e m a 1 . Medir a altura do P a˜ o d e Açucar. Medir a altur a de um morro distan te em relaça˜ o a u m p l a n o horizont al pr o´ ximo e´ um problema permanente em toda a hist o´ ria. Ele fica facilitado se o observador puder an dar neste plano hori˜ ao morro, um a razoável dist ancia, ˆ zont a l, e m dir eçao o que nem

˜ da Trigonometria Aplicaçoes

67

´ sempre e´ poss´ıvel. Ma s, no caso do P a˜ o d e Açucar o ater ro do Flamen go forn ece u m plano h orizont al especial par a este objetivo. Enunciado: Um observador est a´ em um ponto A do aterr o do Fla´ ˆ gulo de 10 com o pla no men go e v eˆ o P a˜ o d e Açucar segundo um an ˜ ao seu horizonta l (medido com o teodolito). Ele a nd a em direç ao objetivo at e´ u m p o n t o B distante 650 m de A e a g o r a veˆ o P a˜ o de Aç ucar ´ segundo um an ˆ gulo de 14 . Q u a l e´ a a lt u r a d o P ao ˜ de Açu´ car em r ela çao ˜ a o pla n o de obse r va ça˜ o? ◦

◦

ˆ cia de um pont o do Rio de Ja neiro a P r o b l e m a 2 . Medir a dist an um ponto vis´ıvel de Niter o´ i. ˆ O segundo problema importante e´ o de medir a dist ancia de um ponto a out ro inacess´ıvel no plano horizontal. Para calcular a ˆ dist ancia de um ponto A (onde est a´ o observador) a um ponto P , inacess´ıvel, e´ preciso que este observador possa se locomover para um ponto B no plano horizonta l de onde possa ta mb e´ m ver P. Enunciado: De um ponto A na praia do Flamengo no Rio de J aneiro, avista-se um ponto P n a p r a ia d e I ca r a´ı em Niter o´ i (estes ˜ em lados opostos do can al de ent ra da d a Ba´ıa de dois pontos est ao Guanabara). De um ponto B na Pr aia do Flamengo, distan te 1 km de A t a m b e´ m se avista o ponto P (Figura 32). Um observador no Rio de Janeiro mediu os angulos ˆ BAP = 119 e ABP = 52 . Qual e´ ˆ a dist ancia entre A e P? ◦

◦

ˆ entre dois pontos, ambos inaP r o b le m a 3 . Medir a dist ancia cess´ıveis. ˆ O problema anterior resolveu o caso de medir uma dist ancia entre um ponto (acess´ı vel) a um outro inacess´ıvel. Vam os agoˆ r a t r a t a r d e m e d i r u m a d i s t ancia no plano h orizonta l ent re dois pontos ina cess´ıveis ao observa dor. Enunciado: De uma pra ia e´ poss´ıvel ver duas ilhas X e Y . Um observador assinala nesta praia dois pontos A e B distantes 1 km enˆ t r e s i, e com s eu in s tr u m en t o m ed e os s egu in t es angulos:

68

Temas e Problemas

Baía de Guanabara

RIO DE JANEIRO

P

Icaraí

A

NITERÓI

Flamengo B

Figura 32

ˆ XAY = 62 , YAB = 54 , ABX = 46 e XBY = 74 . Q u a l e´ a dist ancia e n t r e X e Y ? ◦

◦

◦

◦

Medir o raio da Terr Terr a. P r o b l e m a 4 . Medir Desde a an tiguidade, este pr oblema est eve present e na cabeça dos matem a´ ticos. Divers a s s olu olu ço˜ es apar eceram eceram mas os rresul esultata¨ ˜ eram bons dos freq uentemente n ao bons pois pois se exig exigia ia a medida entr e dois dois pontos pontos m uito afastados, o que era mu ito dif dif ´ıcil ı cil de fazer com ˜ ou a medida de an ˆ gulos precis ao, gulos muito pequenos, pequenos, o que era mais d if ´ıcil ı cil ainda. Em meados do s eculo e´ culo XX j a´ havia instrumentos que ˆ ˜ de 1 cent esimo podiam medir angulos com precis ao e´ simo de grau, mas ˜ inimagin a´ ve hoje os instrumentos eletr onicos oˆ nicos t em eˆ m precis ao v e l. l. O probl problema ema a seguir seguir,, exig exigee apenas um instrumento r elativ elativamente amente antigo. es t a´ o Cristo Redentor no Rio de Enunciado: A montanha onde est ˜ ao n ´ıvel J aneiro est est a´ a 703 m de a ltur a em r elaçao ı vel do mar. L a´ d e cima, um observador veˆ o h orizonte rizonte (no ma r) segundo um angulo ˆ

˜ da Trigonometria Apli Ap lica cac ç oes

69

d e 0,85 com o plano horizontal. Encontre uma medida aproximada par a o raio da Terra Terr a . ◦

P r o b l e m a 5 . Ainda o ra io da Terra . U m a b e la t en e n t a ti t i v a d e m ed e d ir ir o r a io io d a Te r r a d ev ev e -s e a E r a t o´ sten es n o terceiro terceiro s eculo e´ culo ant es de Cr isto. isto. Medidas fora fora m feifei˜ a proxitas nas cidades de Assu a˜ e Alex Alexan an dria, n o Egito, Egito, que est ao proximadamente no mesmo meridiano terrestre, e por rara felicidade, Assu a˜ est a´ quase sobre o tr opico o´ pico de C an ˆ cer. er. Ist o quer quer fizer fizer que no ˜ ao meio dia, ˜ perfei primeiro dia do verao, dia, os ra ios ios solares solares s ao perfeitatament e vertic verticais. ais. Na quele tempo, tempo, uma un idade co comum para medir dist an ˆ cias gran des era o estadio. adio ´ . O est adio ´ era o co compr iment o da pista de corrida utilizada nos jogos ol´ ol´ımpicos ı mpicos da antiguidade (de 776 a 394 aC.) e era equivalente a 1/10 de milha, ou seja, aproximada ment e 161 m. Enunciado: No dia do solst solst´´ıcio ı cio de ver a˜ o , E r a t ostenes o´ stenes verificou que, a o meio dia, o sol sol br ilhava ilhava diretament e dentr o de um poc poço ¸o ´ profun profun do em Assu a˜ e, em Alexandria, a 5000 est adios ao norte de ˜ algu em ˆ Assu a, e´ m mediu o angulo que os raios solares faziam com a vertic vertical, al, enco encontr an do 1/50 1/50 do c´ c´ırculo ı rculo.. Com Com base n estes dados, calcule o ra io da Terr a. P r o b l e m a 6. 6 . O problema da corrida. ˜ os seOs dados e o objetivo deste interessante problema s ao guintes. Um corredor A es t a´ sobre sobre uma r eta r e corr corr e sobre ela n o ˜ est a´ e m r e, corr sentido AX. U m corr corr edor edor B n ao corr endo em linh linh a r eta , pret end e alcan ça ¸ a r A (Figur Figur a 33). 33). Sen do a part ida simult aˆ n e a , ˜ deve tomar B se a s veloc ˜ conh qu e dir eçao velocidades d e am bos bos s ao conh eciecidas? Enunciado: 1) Considere BAX = 110 , velocidade de A igua igua l a 8 m/s e vevelocidade de B igua igua l a 9 m/s. m/s. Determine o aˆ n g u lo lo qu qu e a t r a jet oria o´ ria de B deve fazer com a reta BA para que o encontro seja poss´ poss ´ıvel. ı vel. ◦

70

Temas e Problemas

r

X

A

?

B Figura 33

2) Considere Considere BAX = 110 , velocidade de A igua igua l a 8 m/s, velovelocidade de B igua igua l a 8,1 8,1 m/s e AB = 50 m. Sendo B um corˆ cia ele perco redor inteligente, determine que dist an percorr eu a t e´ a lca n ça ¸ a r A. ◦

P r o b l e m a 7 . Novamente a corrida, mas um fato muito estranho acontece. Enunciado: Considerando ainda a Figura 33, seja BAX = 60 . O corredor A tem velocidade 15% maior que a de B. P or or e´ m , o corredor B e´ int elig eligente, ente, planejou planejou cuidadosamen uidadosamen te sua tra jet oria, o´ ria, ˆ e a lcan çou ¸ ou o corr edor A no ponto C d a r e t a r. Calc Calcule o angulo ABC. ◦

ˆ Observa¸ca˜ o: voc eˆ vai encontrar dois valores para o angulo ABC. ˜ poss´ Ambos s ao poss ´ıveis? ı veis? Por que ocorre isto? Problemas Suplementares

∗

veloci-1 . No problema da corrida, se os corredores A e B tivere m veloci dades igua igua is, co como B deve deve plan plan ejar ejar sua tr ajet´ ajetoria? o´ ria? 2 . No problema da corrida, BAX = 50 , velocidade de A = 9 m/s e velocidade de B = v. Determine para que valores de v o encontro e´ poss´ poss ´ıvel. ı vel. ◦

∗

´ S olu ol u ç oes o˜ es na p agina 155.

˜ da Trigonometria Apli Ap lica cac ç oes

71

constr u ´ıda ı da em um plano horizo horizonn3 . Uma estrada que est a´ sendo co tal e ser a´ formada pelos trechos retos XP, PQ e QY como mostra a ´ Figura 34. No trecho PQ s er a´ constru ´ıdo ı do um t unel para atravessar a montan montan ha. Os engenhei engenheiros ros deve devem m saber tan to em P q u a n t o ˜ devem ´ em Q, qu e dir eç ao devem tomar para constr uir o t unel AB de forma que o tr echo echo PABQ seja reto. Eles ent ao ˜ fixara fixara m um ponto C d o plano h orizont rizont al, vis´ vis ´ıvel ı vel ta nto de P quanto de Q e det deteerminara rminara m as seguintes medidas: CP = 1,2 k m , CQ = 1,8 k m e PCQ = 27 . ˆ Calcule os angulos CPQ e CQP. ◦

Q B x

P

A y

C Figura 34

Par a calcular a altu ra do morr morr o do Corco Corcovado vado no Rio de J an eiro ˜ foi poss´ n ao poss ´ıvel ı vel utilizar o m etodo e´ todo ut iliz ilizado ado no Pr oblema 1, qua ndo ´ medimos medimos a a ltura do P a˜ o d e Aç ucar. N a˜ o h a´ como como se apr oxima xima r do ˜ em um plano horizontal. Corcovado Corcovado cam inh an do em su a direçao ˜ que bu scar um a out ra soluc Temos ent ao soluça˜ o. Figuraa 35, vocˆ voceˆ v eˆ u m a p eq eq u en en a p a r t e d o b a ir ir r o d o J a r 4 . Na Figur ˆ dim Bot anico do Rio de Janeiro. Na avenida Borges de Medeiros, a` beira da Lagoa Rodrigo de Freitas, e portanto qua se ao n´ n ´ıvel ı vel do mar, fixamos dois pontos A e B de onde se s e avista avista o ponto ponto C,

72

Temas e Problemas

´ cume do Corcovado e p e´ d a e st atua do Cristo Redentor. Sendo ˜ da perpen dicular tr açada por C ao plano horizonP a in t er se çao tal que cont e´ m A e B, considere os seguintes dados: AB = 660 m , CAP = 29,7 , CBP = 30,6 , PAB = 70,5 , PBA = 77,9 . Calcule a altu ra do morro do Corcovado. ◦

◦

◦

◦

CRISTO REDENTOR

P

B A

L AGOA RODRIGO DE FREITAS

Figura 35

Ca p´ı tu lo 5

˜ ao U m a In t r odu çao ´ C alculo de Volumes Para introduzir o conceito de volume, o professor deve, antes de ˜ form al, apresentar um a ide´ i a qua lquer t ent at iva de um a defin içao intuitiva e fornecer diversos exemplos para que os alunos possam compreender do que vai se falar. E qual e´ a primeira coisa que ˜ nos ocorre nenhuma outra frase melhor que devemos dizer? N ao a seguinte: Volume de um s´ olido e´ a quantidade de espa¸c o por ele ocupada. Com esta id e´ ia, in u´ me r a s compa r a ço˜ es provocativa s podem ser feitas. Dadas duas caixas, qual delas tem maior volume? Quem tem m aior volume: Mar ia ou Pedro? Observando um a pa nela pequena e uma garrafa, que objeto parece ter maior volume? Uma bola de futebol ou uma caixa de sapatos? ˜ No caso da p an ela Mu ita s comp a r a ço˜ es s a˜ o o´ bvias, out ra s n ao. ´ e da gar ra fa, pode-se encher a ga rr afa com agua e despejar dent ro ´ da panela. Para comparar volumes de objetos imperme aveis pode´ mos mergulh a-los, um de cada vez, em um reservat o´ rio contendo ´ a´ g u a a t e´ o bordo e comparar a quantidade de agua que tra nsbord ou . S e t i ve r m os u m r e s er v a t o´ rio cil´ındrico de vidro, podemos colar em su a pa rede u ma escala de nossa escolha e, com ela m edir ´ volumes de pequenos objetos imperme aveis, como uma pedra de form at o irregular, por exemplo. Este tipo de experi eˆ ncia e´ um elemento motivador par a o estudo dos volumes e pode at e´ ser eventu almente de alguma utilidade ´ pr atica, mas na maioria dos problemas que teremos que enfren´ tar, e´ totalmente in util. Por exemplo, o mestr e de obras precisa 73

74

Temas e Problemas

˜ das saber o volume de concreto que ser a´ ut ilizado n a cons tr uç ao colunas, vigas e lajes de u m edif ´ı cio. A forma e a s dimens o˜ es de ˜ na plant a e o cálculo do volum e deve cada um destes objetos est ao ˜ pequenos ser feito ant es que o edif ´ıcio exista. Alguns objetos s ao ˜ inacess´ıveis ou, simplesmendemais, ou grandes demais, ou s ao te, n ao ˜ existem concretament e. Sentimos en t ao ˜ a necessidade de obter m e´ todos para o cálculo de volumes, pelo menos de objetos simples, conhecendo sua forma e suas dimens o˜ es. Para medir esta grandeza chamada volume, devemos compar a´ la com uma unidade e, tradicionalmente, a unidade de volume e´ o cubo cuja aresta mede uma unidade de comprimento, denominado ´ io. Por exemplo, se um cubo tem 1 cm de a rest a, seu de cubo unit ar volume e´ a u nidade chama da de cent´ ımetro c´ ubico (cm ).

1 unidade de volume

1 1 1 Figura 36

Assim, o volume de um s o´ lido deve ser um n umero ´ que exprima quantas vezes ele cont e´ m o cubo unit a´ r i o. E s t a e´ a i d e´ i a que devemos ter par a desenvolver o estu do dos volum es m as, convenham os que a inda t em u m significado mu ito vago. Por exem´ plo, quantos cubos unit arios de 1 cm de ar esta cabem dentro de ˜ saber´ı amos dizer. En tr etan to, esta id e´ ia inicial uma panela? N ao vai nos permitir calcular precisamente o volume de um paraleˆ gulo, ou simplesment e, um bloco reta ngular. le p´ıpedo ret an

˜ ao Calculo ´ Uma Introduçao de Volumes

1

75

O v o lu m e d o b lo c o r e ta n g u la r

Imaginemos inicialmente umm bloco retangular com dimens o˜ es 4 cm, 3 cm e 2 cm. Qua l e´ o seu volume?

2

3 4 Figura 37

Observando o desenho, n a˜ o h a´ d uvida ´ que este bloco pode ser ´ ios e, port an to, seu volum e e´ dividido em 4 × 3 × 2 = 24 cubos unit ar ´ icos bra sileiros u sa u m exemde 24 cm . A maioria dos livros did at plo como este par a “concluir” que o volume de u m par alelep´ıpedo ˆ r et angulo qualquer e´ o produto de suas dimens o˜ es. Este chute e´ ˜ do bloco n ao ˜ forem dif ´ıcil de aceitar. O que ocorre se as dimens ao inteiras? Continua valendo o produto? Por que? ˜ pode fazer E st a´ certo que em muitas ocasi o˜ es o professor n ao ˜ completa de cada um dos conem sa la de au la um a dem onst ra çao ´ ˜ o fizer, t e udos exigidos n o progra ma do ensino m e´ dio. Mas, se n ao deve oferecer algo mais que a f o´ rm ula pronta ou o decreto publi´ ico. Vejamos u m exemplo. cado n o livro did at

E x e m p l o . Calcule o volum e do bloco ret an gular de 5,6 cm de comprimen to, 4,7 cm de largu ra e 2,0 cm d e altu ra (Figur a 38). Para resolver este problema, dividamos cada aresta do cubo unit ario ´ (com 1 cm de aresta) em 10 partes iguais (Figura 39). Tr a ça n do pelos pont os de divis ao ˜ plan os pa ra lelos as ` faces, dividi´ mos esse cubo unit ario em 1000 cubinhos de aresta 1/10.

76

Temas e Problemas

2

4,7 5,6 Figura 38

1

1 _ 10

Figura 39

Natur almente que o volume de cada cubinho e´ v = 1/1000, e e´ f ácil contar quantos destes cubinhos enchem o bloco retangular dado: s a˜ o 54 × 47 × 20 cubinh os. Logo, o volum e d o bloco ret an ´ ero de cubinh os mu ltiplicado pelo volume de gular e´ igua l ao n um 1 1 cubinho, ou seja, 56 × 47 × 20 × = 5,6 × 4,7 × 2,0. 1000 Este singelo exemplo confirm a o produto das dimens o˜ es para ´ o calculo do volume do bloco r etan gular e cont e´ m a e s s eˆ ncia do ´ io par a a demonstr açao ˜ no caso em que a s m edidas qu e e´ n ecess ar ´ eros ra ciona is (veja o Problema 1 pr oposto no das arestas s a˜ o n um


77

final deste cap´ıtulo). Para o caso gera l, onde a s m edidas das ar estas do bloco retan ´ gular s a˜ o n umeros reais positivos quaisquer, o volume e´ a i n da o produto dessas medidas e, para demonstr ar, usar emos o teorema funda men ta l da pr oporciona lidade. O roteiro par a a demonstr açã o es t a´ n o Problema 2. Considerem os p ort an to esta belecido que o volume de u m bloco retangular cujas arestas medem x, y e z, e´ da do por V = xyz.

2

A d e fi n i ç a˜ o d o v o l u m e

Chamaremos de poliedro retangular a todo s o´ lido form ado pela ˜ de um n umero ´ r e u n iao finito de blocos retangulares justapostos.

Figura 40

O volume de u m poliedro reta ngula r e´ a soma d os volumes dos ˜ definir o volublocos r eta ngula res que o const ituem . Vam os ent ao m e d e u m s o´ lido S qualquer utilizando os poliedros r etan gulares cont idos em S.

78

Temas e Problemas

Seja V o volume de S e seja v(P) o volume de u m poliedro retangular P cont ido em S. O n u´ m e r o V n a˜ o e´ ainda conhecido mas deve satisfazer a` con diça˜ o v(P) ≤ V para todo poliedro retangula r P cont ido em S. Par a cada poliedro retan gular P cont ido em S, ˜ igual a S, e´ poss´ı vel sempre obter um poliedro reta ngum a s n ao la r P , maior que P e a inda contido em S. B asta acrescentar a P novos blocos retangulares que ainda estejam dentro de S. Portan t o, v(P) < v(P ) ≤ V , o que qu er dizer qu e v(P) e´ u m a a pr oxima ça˜ o ˜ melhor por falta para o volume de S e v(P ) e´ um a ap roximaç ao par a este r esultado. Cont inuan do este procediment o, obteremos a pr oxim a ço˜ es cada vez melhores par a o volume de S e essa id e´ i a conduz a` d efi n iç a˜ o: V = v(S) e´ um n um ´ ero real cujas aproxim a c˜ ¸oes por falta s˜ ao os volumes dos poliedros retangulares contidos em S ˜ (veja o Problema 3 para coment a´ r ios s obre es t a d efin içao). 





S o´ l id o s s e m e l h a n t e s

3

Seja B(x,y,z) um bloco ret an gular de dimen s o˜ es x, y e z. Os blocos B(x,y,z) e B (x , y , z ) s a˜ o semelhantes se, e somente se, x = kx, ´ o real positivo k, chamado y = ky e z = kz p a r a a l g u m n umer ˜ raz ao ˜ de sem elhan¸ca (ou fat or de a mp liaçao). Os volumes de B ˜ tais que v(B ) = kx · ky · kz = k xyz = k v(B), ou seja, e B s ao multiplicando a s arestas de B por k, seu volume ficou multiplicado por k (Figura 41). Este resultado vale natu ralmente para poliedros retangulares semelhantes P e P , e levando em conta a ˜ de volume, vale tam b e´ m para dois s o´ lidos semelhantes defin iç ao quaisquer: 



















A raza˜ o en t re os v olu m e s d e solidos ´ sem elhantes e´ o cubo d a raz ao ˜ de sem elhan ça. ˜ est ao ˜ demonstr ando este import an Os argum entos acima n ao ˜ apenas mostran do as ide´ ias necest ´ı ssimo resultado. Eles est ao ´ ias pa ra a dem onst ra çao. ˜ Para realiza-la, ´ s ar o conceito de semelh a n ça e´ fundamental e para conhecer ou rever este assunto, recomendamos a leitura do livro “Medida e Forma em Geometria” do prof. Elon Lages Lima (p. 33 e 55).


79

S’

S

kz

z x

y ky kx

Figura 41

4

O P ri n c ı´ p i o d e C a v a l i e r i

´ O calculo dos volumes dos diversos s o´ lidos s o´ va i ava nça r com esta n ova ferra ment a. Imagine inicialment e um s o´ lido qualquer S apoiado em um plano horizontal H. Imagine tam b e´ m que S t e n h a sido cort ado por plan os pa ra lelos a H em fatias muito finas, todas d e m e sm a a l t u r a . O bs er v e en t a˜ o q u e o s o´ lido S pode mudar de forma qua ndo deslizam os ligeira men te cada fat ia em relaçã o com a que est a´ abaixo dela. Podemos assim obter um outro s o´ lido S , diferente de S, m a s com o mesmo volum e de S, uma vez que eles ˜ const itu ´ıdos das mesmas fatias (Figura 42). s ao 

S

S’

H

Figura 42

80

Temas e Problemas

Esta id e´ ia inicial ja´ nos conduz a dois importantes resultados. a ) D o i s p r i s m a s d e m e s m a b a s e e m e s m a a l t u r a t eˆ m mesmo volume (Figura 43).

Figura 43

b ) D u a s p i r aˆ m i d e s d e m e s m a b a s e e m e s m a a l t u r a p o s s u e m mesm o volume (Figur a 44).

Figura 44

As si t u a ço˜ es que acabamos de apresenta r constituem um caso bastante particular do princ´ıpio que vam os en un ciar. Aqui, fat ias que est ao ˜ na mesma a ltura nos dois só lidos s ao ˜ congruentes. Mas, ˜ ma is geral, considera ndo dois s o´ lidos quaisquer em u m a s itu a çao A e B (Figur a 45), se as duas fatias que estiverem na mesma altu˜ como possuem mesma espessura, ra tiver em mesma a´ r e a e n t ao, t er ao ˜ muito aproximadamente volumes iguais. Tanto mais aproximadamente quanto mais finas forem. Sendo o volume de cada s o´ lido a s oma dos volum es da s r espectivas fatia s, e a a pr oxima ça˜ o ˜ precisa quanto entr e os volumes da s fatias podendo torna r-se t ao ˜ iguais. se deseje, conclu ´ımos que os volumes de A e B s ao


81

B

A

SB

S A h

Figura 45

O P r i n c ı´pio de Cavalieri e´ enu nciado da seguinte forma : Sejam A e B dois s olidos. ´ S e qualquer plan o horizontal secciona A e B segundo figuras planas de m esma area, ´ ent ao ˜ estes s´ olidos tˆ em volumes iguais. E´ preciso deixar claro ao leitor que o Pr inc´ı pio de Cavalieri n ao ˜ pode ser demonstrado com apenas os recursos da Matem atica ´ elementa r. Ele deve ser incorporado a` teoria como um axioma, mas os argumentos anteriores s ao ˜ bastante intuitivos e convincentes. Os exerc´ıcios que se seguem, complementam o texto, suger em dem onst r a ço˜ es e a lgum a s a plicaço˜ es.

5

Co m en t a´ r i o fi n a l

´ Nos livros did aticos brasileiros, este assunto e´ apresentado, em geral, de forma bastante insatisfat o´ ria. Muitos s equer dizem o que significa calcular um volume e varios ´ chutam, sem d o´ nem piedade, todas as f o´ rmu las. Alguns citam o Pr inc´ıpio de Cavalie˜ o utilizam corr etam ente, e outr os n em isto fazem. O r i , m a s n ao important ´ıssimo conceito de sem elha nça n a˜ o e´ abordado por nenhum deles e, por conseq u¨ eˆ ncia, a teoria presente nesses livros e´ quase inintelig´ıvel. Para refer eˆ ncias adequ ada s a o professor do ensino me´ dio recomendamos:

82

Temas e Problemas

• “Medida e Forma em Geomet ria” – Elon Lages Lima – SBM

´ • “A Ma te m atica do Ensino Me´ dio”, vol. 2 – 4 autores – SBM


83

Problemas Propostos∗ 1. Demonstr e que o volume de u m bloco reta ngular cujas medidas ´ das arestas s a˜ o n umeros racionais e´ o produt o das tr eˆ s dimens o˜ es. ´ S ugest ao: ˜ Tr eˆ s n umeros racionais sempre podem ser expressos ˜ como dicom o fr a ço˜ es de mesmo denominador. Considere ent ao ´ mens o˜ es do bloco ret an gular os n umeros a/d, b/d e c/d, e mostr e que o volume e´ o produto dessas t r eˆ s dimens o˜ es.

2. Mostre que o volume de qualquer bloco retangular e´ o produto de suas dimens o˜ es. S ugest ao: ˜ Verifique que se du as dimen s o˜ es do bloco ficam cons ta n˜ Use o teorema tes, o volume e´ proporcional a` terceira dimens ao. fundamental da proporcionalidade (Cap´ı tulo 1 desde livro) para concluir o resultado. ˜ que demos par a o volume V de um 3. Exp lique me lhor a d efin içao s o´ lido qua lquer S: V = v(S) e´ o n umero ´ real cujas aproxima¸coes ˜ por falta s ao ˜ os volum es dos poliedros retan gulares cont idos em S. ˜ do vestibular da UF RJ era a ssim: desman cha ndo 4. Uma quest ao um brigadeiro (um a bola d e ma ssa de chocolate) de ra io R, quant os brigadeiros de raio R/2 podemos form ar ? ´ 5. Uma loja para turistas vende miniaturas da est atua do Cristo Redentor feita s em gesso, um as com 10 cm de a ltur a e out ra s com 15 cm de altura. Se as menores pesam 120 g, cada uma, quanto pesam as maiores?

6. Demonstre que o volume de um prisma qualquer e´ o produto ´ da area da base pela altura. ˆ 7. Divida um pr isma tr iangular em tr eˆ s pir amides triangulares de mesm o volume (Figura 46). ∗


84

Temas e Problemas

Figura 46

ˆ 8. Demonstr e que o volume de qualquer pir amide e´ a ter ça pa rt e ´ do produto da area da base pela altura.

9. Por que o volume de um cilindro de base circular com raio R e altura h e´ πR h ? 10. Calcule o volume de um cone com base circular de raio R e altura h . 11. Mostr e que o volume de um tronco de cone de altur a h cujas πh bases s a˜ o c´ırculos de raios R e r e´ da do por V = (R + r + Rr). 3 ¨ tem ent e dois t ipos de copos pl a´ s12. Todos n o´ s utilizamos freq uen ´ ´ ticos descart aveis. Os m aiores pa ra agua ou r efrigera nte e os menores para o caf e´ . a) Observe os dois copos e d eˆ u m c h u t e b a s e a d o a p e n a s n a ˜ in t u iç ao: quanta s vezes o volume do copo grande e´ maior que o do copo pequeno? b ) C o m u m a r e´ gua, meç a as dimens o˜ es dos copos, calcule os ˜ estava pr o´ xima do resu ltado volum es e veja se a su a in tu içao correto.

13. Faça um a pesqu isa nos livros qu e você disp o˜ e e mostre como se pode calcular o volume de uma esfera de raio R.

Ca p´ı tu lo 6

Combinat o´ ria 1

P ri n c ı´ p i o s b a´ s i c o s

O princ´ıpio fun dam ent al da cont agem diz que se h a´ x modos de tomar uma decisa˜ o D e, toma da a decis a˜ o D , h a´ y modos de t oma r ˜ o n umer ´ a decis a˜ o D , ent ao o de modos de tomar sucessivam ente as deciso˜ es D e D e´ xy.

E x e m p l o 1 . Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? S o l uçao: ˜ Forma r um casa l equivale a t omar as decisõ es: D : Escolha do homem (5 modos). D : Escolha da mulher (5 modos). H a´ 5 × 5 = 25 modos de formar um casal.

E x e m p l o 2 . Uma bandeir a e´ formada por 7 listras que devem ser coloridas usan do-se apena s a s cores verde, azul e cinza. Se ˜ podem ser usadas cores cada listra deve ter apena s um a cor e n ao igua is em listra s adjacentes, de quan tos modos se pode colorir a bandeira? S o l uç ao: ˜ Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada list r a . H a´ 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir da´ı, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta e´ 3 × 2 = 192. ˜ os n umeros ´ de tr eˆ s d´ıgitos distintos? E x e m p l o 3 . Quantos s ao S o l uçao: ˜ O primeiro d´ıgito pode s er escolhido de 9 modos, pois n a˜ o pode ser igua l a 0. O segun do d´ıgito pode ser escolhido de 9 modos, ˜ pode ser igua l a o primeiro d´ıgito. O t erceiro d´ıgito pode pois n ao 85

86

Temas e Problemas

˜ pode ser igua l nem ao primeiro ser escolhido de 8 modos, pois n ao nem ao segun do d´ıgitos. A resposta e´ 9 × 9 × 8 = 648. Você ja´ deve ter percebido nesses exemplos qual e´ a estrat e´ gia para resolver problemas de Combinat o´ ria: 1) P o s t u r a : Devemos sempre nos colocar no pa pel da pessoa qu e de ve fazer a a çao ˜ solicitada pelo problema e ver que decis o˜ es devemos tomar. No Exemplo 3, n o´ s nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o n u´ m e r o d e t r eˆ s d´ıgitos; no Exemplo 2, n o´ s nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no Exemplo 1, n o´ s nos colocam os n o papel da pessoa que deveria form ar o casa l. 2) Div is a˜ o : Devemos, sempre que poss´ıvel, dividir as decis o˜ es a serem tomadas em decis o˜ es mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a ban deira foi dividido em colorir cada listr a; form ar u m n umero ´ de tr eˆ s d´ıgitos foi dividido em escolher cada um dos tr eˆ s d´ıgitos. ´ Vam os voltar ao exemplo ant erior — Qua nt os s a˜ o os n umeros d e t r eˆ s d´ı gitos distintos?—para ver como algumas pessoas conseguem, por erros de estrat e´ gia, tornar complicadas as coisas ma is simples. ´ Começan do a escolha dos d´ıgitos pelo ultimo d´ıgito, h a´ 10 ´ modos de escolher o ultimo d´ı gito. Em seguida, h a´ 9 modos ˜ podemos r epetir o d´ıgito de escolher o d´ıgito centr al, pois n ao ja´ usado. Agora temos um impasse: de quantos modos podemos escolher o primeiro d´ıgito? A resposta e´ “depende”. Se ˜ t ivermos u sado o 0, haver a´ 7 modos de escolher o prin ao ˜ poderemos u sar nem o 0 nem os dois meiro d´ıgito, pois n ao d´ıgitos ja´ u sados nas dema is casa s; se já t ivermos usado o 0, haver a´ 8 m odos de escolher o primeiro d´ıgito. Um passo importan te na estrat e´ gia para resolver problemas de Combinat o´ ria e´ :

´ Combinatoria

87

3) N a˜ o a d i a r d i fi c u l d a d e s . Pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma das decis o˜ es a serem tomadas f or mais r estrita que as demais, essa e´ a decis ao ˜ que deve ser tomada em primeiro lugar. No Exemplo 3, a escolha do primeiro d´ı gito era uma decis ao ˜ ma is restrita do que a s outra s, pois o primeiro d´ıgito n ao ˜ pode ser igual a 0. E s s a e´ portanto a decis ao ˜ que deve ser tomada em primeiro lugar e, conforme acabamos de ver, ´ posterg a-la s o´ serve para cau sar problemas.

E x e m p l o 4 . O código Morse usa dua s letra s, ponto e tr aço, e a s ˜ as palavras do có digo palavras t eˆ m d e 1 a 4 l et r a s . Q u a n t a s s ao Morse? S o l u ç ao: ˜ H a´ 2 p a la v r a s d e u m a le t r a ; h a´ 2 × 2 = 4 palavras de dua s letra s, pois h a´ dois modos de escolher a primeira letra e dois modos de escolher a segunda letra ; ana logamen te, h a´ 2 × 2 × 2 = 8 palavras de tr eˆ s letras e 2 × 2 × 2 × 2 = 16 palavras de 4 letras. O ´ ero total de palavras e´ 2 + 4 + 8 + 16 = 30. n um

Exemplo 5. Qua nt os divisore s int eiros e positivos possu i o n u´ m e r o ˜ pares? Quantos sa˜ o ´ı mpares? 360 ? Quan tos desses divisores s ao ˜ quadrados perfeitos? Quantos s ao S o l uçao: ˜ a ) 360 = 2 × 3 × 5. Os divisores inteiros e positivos de 360 ˜ os n umeros ´ s ao da forma 2 × 3 × 5 , com α ∈ {0,1,2,3}, β ∈ {0,1,2} e γ ∈ {0, 1}. H a´ 4 × 3 × 2 = 24 m a n e i r a s d e escolher os expoentes α, β e γ. H a´ 24 divisores. ˜ pode ser 0. H a´ 3 × 3 × 2 = 18 b) Para o divisor ser par, α n ao divisores pares. c) Para o divisor ser ´ımpar, α d eve s er 0 . H a´ 1 × 3 × 2 = 6 divisores ´ı mpares. Claro que poder´ı amos ter achado ess a resposta subtr aindo (a)−(b). d) Para o divisor ser quadrado perfeito, os expoentes α, β e γ ˜ quadra dos devem ser pares. H a´ 2 × 2 × 1 = 4 divisores que s ao perfeitos.

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Temas e Problemas

˜ os n umeros ´ pares de tr eˆ s d´ıgitos distinE x e m p l o 6 . Quantos s ao tos? ´ S o l uç ao: ˜ H a´ 5 modos de escolher o ultimo d´ıgito. Note que come´ ´ ça m os pe lo ultimo d´ıgito, que e´ o mais r estrito; o ultimo d´ıgito s o´ pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Em seguida, vamos ao primeiro d´ı gito. De quan tos modos se pode escolher o primeiro d´ıgito? A resposta e´ “depende”: se n a˜ o tivermos u sado o 0, haver a´ 8 modos de escolher o primeiro d´ıgito, ˜ poderemos usa r n em o 0 nem o d ´ıgito ja´ u sado na ultima ´ pois n ao casa ; se ja´ tivermos usado o 0, haver a´ 9 modos de escolher o pri˜ poder a´ s er u s a d o n a p r i m eir a meiro d´ı gito, pois apenas o 0 n ao casa. ˜ de problemas e h a´ Esse t ipo de impasse e´ comu m n a r esoluç ao dois m e´ todos para vencê-lo. ´ e contar separaO primeiro m e´ todo consiste em voltar atr as ´ damente. Contaremos separadamente os n umeros que terminam ˜ terminam em 0. Comecemos pelos que t erm iem 0 e os que n ao ´ n a m e m 0. H a´ 1 modo de escolher o ultimo d´ıgito, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o d ´ıgito central. H a´ ´ eros term inados em 0. 1 × 9 × 8 = 72 n um P a r a o s q u e n a˜ o t e r m i n a m e m 0, h a´ 4 modos de escolher o ´ ultimo d´ıgito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de esco´ ˜ terminam lher o d´ıgito cent ra l. H a´ 4 × 8 × 8 = 256 n umer os que n ao em 0. A resposta e´ 72 + 256 = 328. O segundo m e´ todo consiste em ignora r um a das rest riço˜ es do problema, o que nos far a´ conta r em dema sia. Depois desconta remos o que houver s ido cont ado indevidamen te. Primeiramente fazemos de conta que o 0 pode ser usado na pri´ meira casa do numero. Procedendo assim, h a´ 5 m odos de escolher ´ o ultimo d´ıgito (so´ pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8), 9 modos de escolher ˜ podemos repetir o d ´ı gito usado na ultima ´ o primeiro d´ıgito (n ao casa — note que esta mos permitindo o uso do 0 na primeira casa) ´ e 8 m odos de es colher o d´ıgito cent ra l. H a´ 5 × 9 × 8 = 360 n umeros, a ´ı in clu sos os qu e começa m por 0. Agora vamos determinar quantos desses n u´ me r os come ça m

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˜ esses os n um ´ eros que fora m cont ados indevidam ent e. por zero; s ao H a´ 1 modo de escolher o primeiro d´ıgito (tem que ser 0), 4 modos ´ de escolher o ultimo (s o´ pode ser 2, 4, 6 ou 8 — lembre-se qu e os d´ıgitos s ao ˜ distintos) e 8 modos de escolher o d´ıgito central (n a˜ o ´ podemos repetir os d´ıgitos ja´ usados). H a´ 1 × 4 × 8 = 32 n umeros com eça dos por 0. A resposta e´ 360 − 32 = 328. E´ claro que este problema poderia ter sido resolvido com um ˜ os n umeros ´ t r u q u e. P a r a d et e r m in a r q u a n t os s ao pares de tr eˆ s ´ eros de tr eˆ s d´ıgitos med´ıgitos distintos, poder ´ıamos fazer os n um ´ ´ı mpares de tr eˆ s d´ıgitos distintos. nos os n umeros ´ Para os n umeros de tr eˆ s d´ıgitos distintos, h a´ 9 modos de escolher o primeiro d´ıgito, 9 modos de escolher o segundo e 8 modos ´ de escolher o ultimo. H a´ 9 × 9 × 8 = 648 n umeros ´ de tr eˆ s d´ıgitos distintos. ´ ´ım p a r e s d e t r eˆ s d´ıgitos distintos, h a´ 5 m oP a r a o s n umeros ´ dos de escolher o ultimo d´ıgito, 8 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o d´ıgito cent ra l. ´ ´ımpares de tr eˆ s d´ıgitos. H a´ 5 × 8 × 8 = 320 n umeros A resposta e´ 648 − 320 = 328.

Problemas Propostos∗ ˜ os gabaritos poss´ı veis de um teste de 10 qu est o˜ es 1. Quantos s ao ´ de m ultipla-escolha, com 5 alternativas por quest a˜ o?

2. Quan tos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos? 3. De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila? ∗


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4. De quant os modos 5 h omens e 5 mu lheres podem se sent ar em 5 bancos de 2 lugar es, se em cada banco deve ha ver um homem e uma mulher? 5. De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas ˜ n ao-adjacentes de um tabuleiro 8 ×8? E se os reis fossem igua is? 6. De quan tos modos podemos colocar 8 t orr es iguais em um ta˜ haja duas torres na mesma linha buleiro 8 ×8, de modo que n ao ou na mesma coluna? E se as torres fossem diferentes? 7. De um bara lho comu m de 52 car tas, sa cam-se sucessivam ente ˜ dua s cart as. De quan tos modos isso pode ser feito e s em r ep osiç ao ˜ deve ser u m se a primeira cart a deve ser de copas e a segunda n ao rei? 8. O conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B, 7 elementos. ˜ injetivas? Qu a n t a s fun ço˜ es f : A → B existem? Quantas delas s ao 9. a) De qua nt os m odos o n u´ m e r o 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? Aqui consideramos, na tur almente, 8 × 90 como sen do o mesm o que 90 × 8. b) E o n u´ m e r o 144? ´ ios, num erados de 1 a 900, ini10. Em um corr edor h a´ 900 arm ar cialmente todos fechados. 900 pessoas, n umeradas de 1 a 900, atravessam o corredor. A pessoa de n u´ m e r o k reverte o estado de ´ ´ ´ todos os ar m arios cujos n umer os s a˜ o m ultiplos de k. Por exemplo, a pessoa de n u´ m e r o 4 mexe nos ar m arios ´ de n umeros ´ 4, 8, 12, . . . , abr indo os que en cont ra fecha dos e fecha ndo os que en contr a a ber´ ios ficar ao ˜ a bertos? tos. Ao final, quais arm ar

11. Dispomos de 5 cores distinta s. De quan tos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um c´ı rculo, cada quadr an te com ˜ p odem u m a s o´ cor, se quadrantes cuja fronteira e´ u m a linha n ao receber a mesma cor? 12. De quantos modos podemos formar uma palavra de 5 letras de um alfabeto de 26 letra s, se a letra A deve figura r n a palavra ma s

´ Combinatoria

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˜ pode ser a primeira letra da palavra? E se a palavra devesse n ao ter letras distintas? ˜ forma das por tr eˆ s letr as (de um a l13. As placas dos ve´ıculos s ao fabeto de 26) seguidas por 4 a lgar ismos. Quan tas placas poderã o ser form adas?

14. U m v a ga˜ o d o m e t r oˆ tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais n a˜ o t eˆ m prefer eˆ ncia. De quan tos modos eles podem se senta r, respeita das as prefer eˆ n cias? 15. Escrevem-se os inteiros de 1 a t e´ 2222. Quantas vezes o algarismo 0 e´ escrito? ˜ os inteiros positivos de 4 d´ıgitos nos quais o al16. Quantos s ao garismo 5 figura?

17. E m u m a b a n ca h a´ 5 exemplar es igua is da “Veja”, 6 exempla´ res iguais da “Epoca” e 4 exemplares iguais da “Isto e´ ”. Quanta s coleço˜ es n ao-vazias ˜ de revistas dessa banca podem ser formadas? 18. Uma turm a tem aulas as segundas, quarta s e sextas, de 13h a` s 1 4 h e d e 1 4 h a` s 1 5h . As m a t e´ rias s ao ˜ Matem atica, ´ F´ısica e Qu ´ı mica, cada uma com du as au las seman ais, em dias diferentes. De qua nt os m odos pode ser feito o hor ario ´ dessa turm a? 19. O problema do Exemplo 1 — Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?—foi resolvido por um alun o do modo a seguir: “A primeira pessoa do casa l pode ser escolhida de 10 modos, pois ela pode ser homem ou mulher. Escolhida a primeira pessoa, a segunda pessoa s o´ poder a´ ser escolhida de 5 m odos, pois deve ser de sexo diferen te do da primeira pessoa. H a´ portanto 10 × 5 = 50 modos de form ar um casa l.” Onde est a´ o err o?

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20. Escrevem-se n u´ m e r o s d e 5 d´ıgitos, inclus ive os com eça dos ˜ se alteram de cabeça paem 0, e m c a r t o˜ es. Como 0, 1 e 8 n ao ra baixo e como 6, de cabeça par a baixo, se tr ansforma em 9 e ˜ pode r epresentar dois n umeros ´ vice-versa , um mesm o car t ao (por ´ exemplo, 06198 e 86190). Qua l e´ o n umero m ´ınimo de car t o˜ es par a representa r todos os n umer ´ os de 5 d´ıgitos? S u g e s t o˜ e s 2. Para formar um subconjunto você deve perguntar a cada elemen tos do conjun to se ele deseja par ticipar do subconjun to. 5. O ta buleiro de 64 casa s possui 4 casa s de cant o (vé rt ices), 24 casas l at er ais que n a˜ o s a˜ o v e´ rtices e 36 casa s centr ais. Cada casa de canto possui 3 casas adjacentes; cada lateral possui 5 casas adjacentes e cada centr al possui 8 casas adjacentes. Conte separa damen te conform e o rei negro ocupe u ma casa de canto, later al ou central. 6. Haver a´ uma torre em cada linha . 7. Conte separadamente os casos em que a carta de copas e´ u m rei e em que a cart a de copas n a˜ o e´ um r ei. ˜ você deve pergunta r a cada elemen8. Pa ra cons tr uir u ma fun çao, to de A quem ele deseja flechar em B.

9. a ) 720 = 2 × 3 × 5 tem 30 divisores positivos. b) Note que 144 = 12 × 12. ´ ´ de n u´ m e r o k e´ mexido pelas pessoas cujos n ume10. O a r m ario ˜ divisores de k. U m a rm ar ´ io ficar a´ aberto se for mexido ros s ao ´ ero de divisores u m n u´ m e r o ´ımpar de vezes. Lembr e-se que o n um positivos de 2 × 3 × 5 × · · · e´ igua l a (α + 1)(β + 1)( γ + 1) · · · .

11. Conte separadamente os casos em que os quadr antes 1 e 3 t eˆ m cores igua is e cores diferen tes.

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˜ p erm itida s rep etiço˜ es , a con diça˜ o 12. Note que n o caso em qu e s ao da letra A figura r n a palavra e´ ter r ´ıvel, pois ela pode figur ar um a s o´ vez, ou duas, etc. Por isso e´ melhor conta r t odas a s palavras do alfabeto e diminu ir as que n a˜ o t eˆ m A e a s q u e começa m p or A. No ˜ você poderia tamb e´ m contar diretamente: h a´ caso sem r epet içao, 4 modos de escolher a posiçao ˜ do A, 25 modos de escolher a letra da primeira casa restante, 24 para a segunda casa restante, etc.

15. Conte quantas vezes o 0 aparece nas unidades, some com o ´ n umero de vezes que ele aparece nas dezenas, etc. ˜ p er mit idas rep etiço˜ es, a cond içao ˜ do 5 fi16. Note que como s ao gu r a r n o n u´ m e r o e´ t e r r ´ı vel, pois ele pode figur ar uma s o´ vez, ou ´ dua s, etc. E´ melhor fazer todos os n umer os men os aqueles em que ˜ figura. o 5 n ao ˜ você deve decidir quantas “Veja” 17. Pa ra form ar um a coleçao, ˜ etc. N ao ˜ se esqueça de r etira r da sua confa r a˜ o pa r t e d a coleçao, ˜ vazia. t a gem a coleçao ´ 18. H a´ 3 modos de escolher os dias de Matem atica; escolhidos os dias, digamos s egundas e quartas, h a´ 2 modos de escolher o ´ io da a ula de Matem atica ´ h or ar da segunda e 2 modos de escolher o ´ io da au la de Matem atica ´ h or ar da quart a. H a´ 2 modos de escolher ˜ podem ser os mesmos da Matem atica ´ os dias da F ´ısica (n ao sen a˜ o a Qu ´ımica ficar ia com a s a ulas no mesm o dia), etc. ˜ podem ser virados de 20. H a´ t r eˆ s ti pos de cart o˜ es: os que n ao cabeça pa ra baixo, os qu e vira dos de cabeça pa ra baixo cont inu am ´ ero e os que vira dos de cabeça par a representan do o mesmo n um ´ baixo passam a representar n umeros diferentes. Se h a´ x, y e z cart o˜ es de cada um desses tipos, respectivamente, a resposta e´

x + y + E´ f ácil calcula r y, z + y e x + y + z.

z · 2

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2

Temas e Problemas

˜ s e co m bin aç o˜ e s P e r m u t a ç oe

H a´ alguns (poucos) problemas de Combinat o´ ria que, embora se˜ ´ jam a pli ca çoes do princ´ıpio b asico, aparecem com muita freq u¨ eˆ n cia. Para esses problemas, vale a pena saber de cor as suas respostas. O primeiro desses problemas e´ o:

P roblem a d as pe rmu taç o˜ e s s i m p l e s : De quantos m odos podemos ordenar em fila n objetos distintos? A escolha do objeto que ocup ar a´ o primeiro lugar pode ser feita de n modos: a es colha do objeto que ocup ar a´ o segundo lugar pode ser feita de n − 1 modos; a escolha do objeto que ocupa r a´ o ter ceiro lugar pode ser feita de n − 2 modos, etc.; a escolha do objeto que ´ ocupar a´ o ultimo lugar pode ser feita de 1 modo. A resposta e´ n(n − 1)(n − 2) · · · 1 = n! . Cada ordem que se d a´ aos objetos e´ ch a m a d a d e u m a permuta ç ao ˜ simples dos objetos. Assim, por exemplo, a s perm ut aço˜ es simples das letras a, b e c s a˜ o (abc), (acb), (bac), (bca), (cab) e (cba). ´ ero de perm ut aç o˜ es simples de n objetos disPortanto, o n um ´ tintos, ou seja, o n umero de ordens em que podemos colocar n objetos distintos e´ P = n! . ˜ os anagramas da palavra “PRATO”? E x e m p l o 1 . Quantos s ao Qua nt os começam por cons oant e? S o l uçao: ˜ Cada an agra ma corr esponde a um a ordem de colocaçã o ´ dessas 5 letras. O n umero de anagrama s e´ P = 5! = 120. Par a form ar um an agr am a começado por consoan te devemos primeiramente escolher a consoante (3 modos) e, depois, arrumar as quat ro letra s resta ntes em seguida a` consoan te ( 4! = 24 modos). H a´ 3 × 24 = 72 an agr am as começad os por consoan te.

E x e m p l o 2 . De quantos modos podemos arrumar em fila 5 li´ vros diferentes de Matem atica, 3 livros diferentes de Estat ´ıstica e 2 livros diferentes de F´ısica, de modo que livros de uma mesma m a t e´ ria p er ma neçam jun tos?

´ Combinatoria

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Podemos escolher a ordem das mat e´ rias de 3! modos. S o l uçao: ˜ ´ Feito isso, h a´ 5! modos de colocar os livros de Matem atica nos lugares que lhe fora m destinados, 3! modos par a os de Esta t´ıstica e 2! modos para os de F ´ısica. A resposta e´ 3! 5! 3! 2! = 6 × 120 × 6 × 2 = 8640.

E x e m p l o 3 . De qua nt os m odos podemos dividir 7 objetos em um gru po de 3 objetos e u m de 4 objetos? S o l u ç ao: ˜ Um processo de fazer a divis a˜ o e´ colocar os objetos em ´ fila; os 3 pr imeiros forma m o grupo de 3 e os 4 ultimos formam o grupo de 4. H a´ 7! modos de colocar os objetos em fila. ˜ filas Ent reta nto, note que filas como abc · defg e bac · gfde s ao ˜ em gru pos. Cada divisao ˜ em diferentes e gera m a m esma divis ao grup os foi cont ada um a vez par a cada ordem dos objetos dentr o de cada grupo. H a´ 3! 4! modos de arrumar os objetos em cada grupo. ˜ em gru pos foi cont ada 3! 4! vezes. Cada divis ao 7! A resposta e´ = 35. 3! 4! O segundo problema importa nte e´ o

P roblem a d as com bin aç o˜ e s s i m p l e s : De quantos m odos podem os seleciona r p objetos distintos entre n objetos distintos dados? Ca da se leçao ˜ de p objetos e´ cham ad a de u ma combin aç ao ˜ simples de classe p dos n objet os. Ass im, p or exe mp lo, a s combin a ço˜ es simples de classe 3 dos objetos a, b, c, d, e s a˜ o {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e} e {c,d,e}. Representamos o n u´ mer o de comb ina ço˜ es simples de classe p de n elementos por C ou . Assim, C = = 10. Pa ra res olver o pr oblema da s combin açõ es simples basta notar que seleciona r p entr e os n objetos equivale a dividir os n objetos ˜ os seleciona dos, e u m grup o de em um grupo de p objetos, que s ao ˜ os n ao-selecionados. ˜ n − p objetos, que s ao n! Esse e´ o problema d o Exemplo 3 e a resposta e´ C = · p! (n − p)!

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E x e m p l o 4 . Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comiss o˜ es de 4 pessoas, com exatamente 2 homens, podem ser formadas? ˜ devemos escolher 2 dos h omen s S o l uç ao: ˜ Par a form ar a comissao e 2 das mulheres. H a´ C · C = 10 × 6 = 60 comiss o˜ es.

E x e m p l o 5 . Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comiss o˜ es de 4 pessoas, com p elo men os 2 h omen s, podem s er form ada s? S o l uç ao: ˜ H a´ comiss o˜ es com: 2 h omens e 2 m ulheres, 3 homens e 1 mulher, 4 homens. A resposta e´ C · C + C · C + C = 10 × 6 + 10 × 4 + 5 = 105. Um erro muito comum aparece no racioc´ı nio a seguir: Como a comiss ao ˜ deve ter pelo menos 2 homens, a primeira coisa a ser feita e´ escolher dois homens para a comiss ao, ˜ o que pode ser feito de C = 10 modos. Em seguida devemos escolher m ais du as pes˜ o que pode ser feito soas, homens ou mulheres, para a comiss ao, de C = 21 modos. A resposta e´ 10 × 21 = 210. Qual e´ o err o? Algum as comiss o˜ es fora m cont ada s ma is de uma vez. Por exem˜ Arnaldo, Car los, Edu ar do e Beat riz foi conta da 3 plo, a comiss ao vezes. Rea lment e, o processo de cont agem usa do escolhia, em um a primeira etapa, dois homens para garantir que fosse satisfeita a ˜ exigeˆ ncia de pelo menos dois homens na comiss ao. Foi conta da ˜ os homens escolhidos na uma vez quando Ar naldo e Carlos s ao ˜ escolhidos na segunda primeira etapa (e Eduardo e Beatriz s ao ˜ selecionados Aretapa); outra vez quando na primeira eta pa sao na ldo e Edu ar do e, finalmente, uma terceira vez quan do Car los e ˜ escolhidos na primeira etapa. Eduar do s ao Se todas as comiss o˜ es houvessem sido conta das 3 vezes, n a˜ o haveria grandes problemas: bastaria dividir por 3 o resultado da ´ contagem. Mas h a´ comiss o˜ es que foram contadas uma unica vez ˜ Are outr as que fora m cont ada s 6 vezes. Por exemplo, a comissao na ldo, Carlos, Beatr iz e Mar ia s o´ foi cont ad a u ma vez e a comiss a˜ o Arn aldo, Car los, Edu ar do e Pau lo foi cont ada 6 vezes. ˜ os an agra ma s d a palavr a “BANANA”? E x e m p l o 6 . Quantos s ao

´ Combinatoria

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A resposta n ao ˜ e´ 6! = 720. O fato de haver letras r epetidas faz ´ com que o n umero de anagramas seja menor do que seria se as letras fossem diferentes. S o l uçao ˜ 1: Par a form ar um an agra ma de “BANANA” devemos co˜ todas diferentes) em 6 lugares. locar as seis letras (que n a˜ o s ao Para isso devemos escolher 3 dos 6 lugares para colocar as let r a s A, o que pode ser feito de C = 20 modos; em seguida devemos escolher 1 dos 3 lugares restantes para colocar a letra B, o que pode ser feito de 3 m odos; fina lment e, h a´ a penas um modo de colocar as dua s letra s A nos dois lugares restantes. A resposta e´ 20 × 3 × 1 = 60. S o l uç ao ˜ 2: Se as letra s fossem diferentes a resposta seria 6! . Co˜ igua is, qua ndo as trocamos ent re si obtem o a s t r eˆ s letras A s ao mos o mesmo anagra ma e n ao ˜ um a na grama distinto, o que a conteceria se fossem diferentes. Isso faz com que na nossa contagem de 6! tenhamos contado o mesmo anagrama v arias ´ vezes, 3! ve zes precisamente, pois h a´ 3! modos de t rocar as l et ras A e n t r e si. Problema an alogo ´ ocorr e com as dua s letr as N, que podem ser 6! trocada s entr e si de 2! modos. A resposta e´ = 60. 3! 2! ´ ero de perm ut aç o˜ es de n objetos, dos De modo geral, o n um ˜ iguais a A, β s ao ˜ iguais a B, γ s ao ˜ iguais a C, etc., quais α s ao n! · e´ P = α! β! γ! . . . O exemplo a seguir mostra um tipo de racioc´ı nio que, a pesar de inesper ado, pode ser mu ito eficiente. ˜ os an agra mas da palavra “ANAGRAE x e m p l o 7 . Quantos s ao ˜ possuem duas vogais adjacentes? MA” que n ao S o l uçao: ˜ Vam os pr imeira mente ar ru mar as consoantes e, depois, ´ vamos entremear as vogais. O n umero de modos de a rru mar em fila as consoantes N, G, R e M e´ P = 4! = 24. Arru madas as consoantes, por exemplo na ordem NGRM, devemos colocar as 4 vogais nos 5 es pa ços da figur a:

N

G

R

M

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Temas e Problemas

˜ p odemos colocar du as vogais no m esm o espa ço, qu aComo n ao ˜ ocupados, cada um com uma letra A, e u m tr o dos e sp a ços s er ao es pa ço fica r a´ vazio. Temos C = 5 modos de escolher os quatro es pa ços qu e s er ao ˜ ocupados. A resposta e´ 24 × 5 = 120.

E x e m p l o 8 . H a´ 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre u ma ˜ os tr ian ˆ gulos e os qua driláteros reta R paralela a R. Quan tos s ao con vexos com vé rtices nesses pontos? 

ˆ gulo ou você toma um ponto em R S o l uçao: ˜ Para formar um tr ian e dois pontos em R , ou t oma um ponto em R e dois pontos em R. ´ ˆ O n umero de tri angulos e´ 5 · C + 8 · C = 140 + 80 = 220. Tamb e´ m poder ´ıamos tomar 3 dos 12 pontos e excluir dessa conta gem as escolhas de pontos colinea res, o que da ria C − C − C = 286 − 56 − 10 = 220. Par a form ar um qua drilát ero convexo, devemos toma r d ois pontos em R e dois pontos em R , o que pode ser feito de C · C = 10 · 28 = 280 modos. 





E x e m p l o 9 . De um bara lho de p oˆ quer (7, 8, 9, 10, valete, dama, ´ cada um desses grupos aparecendo em 4 naipes: copas, rei e as, our os, paus, espadas), sacam-se simulta neam ente 5 carta s. Qua nt a s s a˜ o a s extr a ço˜ es: a) poss´ıveis? b) nas qua is se form a um pa r (dua s car ta s em um mesmo grupo e as outr as tr eˆ s em tr eˆ s outros grupos diferentes)? c) nas quais se formam dois par es (duas carta s em um grupo, duas em outro grupo e uma em um terceiro grupo)? d) na s quais se forma uma trinca (tr eˆ s car tas em um gru po e as outras duas em dois outros grupos diferentes)? e) na s qua is se form a u m “four” (quat ro car ta s em u m gru po e uma em outro grupo)? f) na s qua is se forma um “full han d” (tr eˆ s carta s em um grupo e dua s em outr o gru po)?

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g) nas quais se forma uma seq u¨ eˆ ncia (5 cart as de gru pos con˜ sendo todas do mesmo na ipe)? secut ivos, n ao h) na s quais se form a u m “flush” (5 car tas do mesmo naipe, na˜ o sendo elas de 5 gr upos consecutivos)? i) n as quais se forma um “straight flush” (5 cartas de grupos consecutivos, t odas do mesm o na ipe)? j) na s qua is se form a um “royal st ra ight flush” (10, valete, da´ de um mesmo naipe)? ma, rei e as S o l uç ao: ˜ a) C

= 201 376.

b) H a´ 8 modos de escolher o grupo das duas cartas ˜ o par propriamente dito; h a´ C = 6 modos m a r ao lher os naipes dessas cartas; h a´ C = 35 modos de os grupos das outras tr eˆ s carta s e 4 = 64 modos de seus n aipes. A resposta e´ 8 × 6 × 35 × 64 = 107520.

que forde escoescolher escolher

c) H a´ C = 28 modos d e escolher os grupos dos dois pa res (por exemplo 7 e valete), h a´ [C ] = 36 modos d e escolher os na ip es d es s a s c a r t a s ; h a´ 6 modos de escolher o grupo da out r a ca r t a e 4 m od os d e e s colh e r s eu n a i pe. A r e sp os t a e´ 28 × 36 × 6 × 4 = 24192. Um erro mu ito comum e´ o seguinte: H a´ 8 m odos de escolher o grupo do primeiro par, h a´ C = 6 modos de escolher os naipes do primeiro par, h a´ 7 modos de escolher o gru po do segun do par, ha´ C = 6 modos de escolher os n aipes do segun do par, ha´ 6 modos de escolher o gru po da outr a car ta e 4 m odos de escolher o seu n aipe. A resposta e´ 8 × 6 × 7 × 6 × 6 × 4 = 48384. O err o consiste em termos conta do cada jogo duas vezes. O jogo em que os pares são de setes e valetes, por exemplo, foi contado uma vez quando os setes formam o primeiro par e os valetes, o segundo e foi conta do novamen te quan do os valetes form am o primeiro par e os setes, o segun do.

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d) H a´ 8 modos de escolher o grup o das t r eˆ s car tas que form ar a˜ o a tr inca propriamente dita; h a´ C = 4 modos de escolher os naipes dessas cartas; h a´ C = 21 modos de escolher os grupos das outr as duas cartas e 4 = 16 modos de escolher seus n aipes. A resposta e´ 8 × 4 × 21 × 16 = 10752. e) H a´ 8 modos de escolher o grupo das quatro cartas que for˜ o “four” propriamente dito; h a´ C = 1 modo de escom a r ao lher os naipes dessas carta s; ha´ 7 m odos de escolher o gru po da outra carta e 4 modos de escolher seu naipe. A resposta e´ 8 × 1 × 7 × 4 = 224. f) H a´ 8 modos de escolher o grupo das cartas que formar a˜ o a tr inca; h a´ C = 4 modos de escolher os n aipes desa s t r eˆ s cartas; h a´ 7 m odos de escolher o gru po ds carta s que form ar a˜ o o pa r e h a´ C = 6 modos de escolher os naipes dessas dua s car tas. A resposta e´ 8 × 4 × 7 × 6 = 1344. g) H a´ 4 modos de escolher os grupos das cartas que formar a˜ o a seq u¨ eˆ ncia: do 7 ao valete, do 8 a` dama , do 9 ao rei, do 10 ao as. ´ Se todas as escolhas de na ipes fossem l´ıcitas, os naipes dessas cartas poderiam ser escolhidos de 4 = 1024 modos. H a´ entretanto 4 escolhas il´ı citas par a os n aipes: todas de outr os, todas de copas, todas de espadas e todas de pau s. A resposta e´ 4 × 1020 = 4080. ´ h ) H a´ 4 m odos de escolher o naipe unico das cartas. Se todas as escolhas de grupos fossem l´ıcitas, haveria C = 56 modos de escolher os grupos das car ta s. E ntr etan to, 4 escolhas sa˜ o il´ıcitas: do 7 ao valete, do 8 a` dama , do 9 ao rei, do 10 ao a´ s. A resposta e´ 4 × 52 = 208. i) H a´ 4 modos de escolher os gru pos da s car ta s (do 7 ao valete, ´ e 4 modos de escolher o do 8 a` dama , do 9 ao rei, do 10 ao as) ´ ico. A resposta e´ 4 × 4 = 16. naipe un j) Ha´ u m s o´ modo de escolher os gru pos das car tas e 4 modos de escolher o naipe un ´ ico. A resposta e´ 4.

E x e m p l o 1 0 . De qua nt os m odos 5 crian ças podem form ar um a roda de ciranda ?

´ Combinat oria

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` primeira vista parece que, par a forma r uma roda com S o l uçao: ˜ A as cinco crian ças, ba sta escolher um a ordem par a elas, o que poderia ser feito de 5! = 120 modos. Entretanto, as rodas ABCDE e EABCD s ao ˜ igua is, pois na roda o que importa e´ a posiçao ˜ relativa das crian ças ent re s i e a roda ABCDE pode ser “vira da” na roda EABCD. Como cada roda pode ser “virada” de cinco modos, a nossa contagem de 120 rodas contou cada roda 5 vezes e a resposta e´ 120/5 = 24. ´ De modo geral, o n umero de modos de colocar n objetos em c´ırcu lo, de m odo qu e disp osiço˜ es qu e possa m coincidir p or r ota ça˜ o ´ ero de p er mu ta ço˜ es circusejam consideradas iguais, isto e´ , o n um n! lares de n objetos e´ (PC) = = (n − 1)! . n ˜ E x e m p l o 1 1 . Q u a n t a s s a˜ o a s solu ço˜ es inteiras e n ao-negativas da eq u a ça˜ o x + x + · · · + x = p? S o l uçao: ˜ A resposta deste problema e´ representada por CR . Para determinar o valor de CR , vamos representar cada so˜ por uma fila de sinais, + e | . Por exemplo, para lu ça˜ o da equ a çao a eq u a ça˜ o x + y + z = 5, a s solu ço˜ es (2,2,1) e (5,0,0) seriam representadas por ++ | ++ | + e + + + + + | |, respectivam ente. Nessa ˜ as barra s s ao ˜ usadas para separar as incó gnitas e r epr esen ta çao, a quantidade de sinais + indica o valor de cada incó gnita. ˜ seria r eprePa r a a equ a ça˜ o x + x + · · · + x = p, ca da solu çao ˜ para separa r sentada por uma fila com n − 1 barras (as barr as sao as incógnitas; par a separa r n in cógnitas, usa mos n − 1 barras) e p sinais +. O r a , p a r a f or m a r u m a fi la com n − 1 b a r r a s e p sinais +, basta escolher dos n + p − 1 lugares da fila os p lugares ˜ colocados os sinais +, o que pode ser feito de C onde ser ao modos.

E x e m p l o 1 2 . De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes em um bar que os oferece em 6 sabores distintos? S o l uçao: ˜ A resposta n a˜ o e´ C = 20. de comprar 3 sorvetes diferentes.

´ C seria o n umero de modos

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Temas e Problemas

´ ero de sorvetes do k-é simo sabor qu e vaChaman do de x o n um ˜ mos compr ar, devemos determ inar valores inteiros e n ao-negativos p a r a x , k = 1,2,3,4,5,6, tais que x + x + · · · + x = 3. Isso pode ser feito de CR = C = 56 modos.

Problemas Propostos∗ ´ ˜ os an agram as da pa lavra “CAP ITULO”: 1. Quantos s ao a) poss´ıveis? b) que começam e ter min am por vogal? c) que t eˆ m as vogais e as consoantes intercaladas? d ) q u e t eˆ m as letra s C, A, P junta s nessa ordem? e) que t eˆ m as letra s C, A, P junta s em qua lquer ordem? f) que t eˆ m a letra P em pr imeiro lugar e a letra A em segun do? g) que t eˆ m a letra P em primeiro lugar ou a letra A em segundo? h ) q u e t eˆ m P em pr imeiro lugar ou A em segundo ou C em terceiro? i ) n o s q u a i s a l e t r a A e´ u m a d a s l e t r a s a` e s q u e r d a d e P e a letra C e´ uma da letras a` direita de P? j) que t eˆ m as vogais em ordem alfab e´ tica?

2. Se A e´ um conjunto de n elementos, quant as s a˜ o a s fun ço˜ es f : A → A bijetoras? 3. De quantos modos e´ poss´ıvel colocar 8 pessoas em fila de modo ˜ fiquem juntas? que duas dessas pessoas, Vera e Paulo, n ao ∗


´ Combinat oria

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4. De quantos modos e´ poss´ıvel colocar 8 pessoas em fila de modo ˜ fiquem junta s e dua s que du as dessas pessoas, Vera e Pau lo, n ao out ra s, Helena e Pedr o, perm an eçam junt as? 5. De qua ntos m odos e´ poss´ı vel dividir 15 atletas em tr eˆ s times de 5 a tletas, denominados Esporte, Tupi e Minas? 6. De qua ntos m odos e´ poss´ı vel dividir 15 atletas em tr eˆ s times de 5 atletas? 7. De quantos modos e´ poss´ıvel dividir 20 objetos em 4 grupos de 3 e 2 grupos de 4? 8. Um campeonato e´ disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quan tos modos e´ poss´ıvel seleciona r os jogos da primeira rodada? 9. Permutam-se de todas as formas poss´ıveis os algarismos 1, 2, ´ 4, 6, 7 e escrevem-se os n umer os forma dos em ordem crescente. Determine: ´ ero 62 417. a) que lugar ocupa o n um ´ ero ocupa o 66o¯ lugar. b) que n um c) qual o 166o¯ algar ismo escrito. ´ d) a soma dos n umeros assim formados.

10. De quantos modos e´ poss´ıvel colocar r rapazes e m m oça s em fila de m odo que a s moças per ma neçam jun ta s? ´ 11. Quantos dados diferentes e´ poss´ıvel form ar grava ndo n umeros de 1 a 6 sobre as faces de um cubo? a) Suponha uma face de cada cor. b) Suponha as faces igua is. c) Suponha que a s faces são iguais e que a soma dos pontos de faces opostas deva ser igual a 7.

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Temas e Problemas

12. Resolva o problema anterior, no caso b), para os outros 4 poliedros regulares (naturalmente, n u´ m e r os d e 1 a 4 , de 1 a 8 , d e 1 a 12 e de 1 a 20 para o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedr o, respectivament e). ˜ os anagramas da palavra “ESTRELADA”? 13. Quantos s ao ˜ os seus sub14. O conjunto A possui n elementos. Quan tos s ao conjuntos com p elementos?

15. Uma faculdade r ealiza seu vestibular em 2 dias de provas, ˜ foi: com provas de 4 mat e´ r ia s e m ca d a d ia . E s t e a n o a d ivis ao ´ ica, Portu gu eˆ s, Biologia e Ingl eˆ s n o primeiro dia e GeoMatem at grafia, Hist o´ ria, F´ı sica e Qu ´ımica no segundo dia. De quantos ´ io de provas? modos pode ser feito o calend ar 16. Quan tas diagonais possui: a) um octaedro regular? b) um icosaedro regular ? c) um dodecaedro regular? d) um cubo? e) um prisma hexagonal regular?

17. Sejam I = {1 , 2 , . . . , m} e I = {1 , 2 , . . . , n}, com m ≤ n. Q u a n t a s s a˜ o a s fu n ço˜ es f : I → I estritam ente crescentes? 18. Quantos s a˜ o o s n u´ m e r o s n a t u r a i s d e 7 d´ı gitos nos quais o d´ıgito 4 figur a exata men te 3 vezes e o d´ıgito 8 exat am ent e 2 vezes? ˜ os subconjun tos de {a , a , . . . , a }, com p elemen19. Quan tos s ao tos, nos qua is: a ) a figura; ˜ figura; b) a n ao c) a e a figuram;

´ Combinat oria

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d) pelo menos um dos elementos a , a figura; e) exata ment e um dos elementos a e a figura.

20. O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n ele˜ f : A → B sobrejetivas mentos. Determine o n u´ me r o de fun çoes para: a ) p = n; b) p = n + 1; c) p = n + 2.

21. Considere um conjunto C de 20 pontos d o espa ço que tem um subconjunto C form ado por 8 pontos coplana res. Sabe-se que ˜ coplanar es, ent ao ˜ eles s ao ˜ pontos toda vez que 4 pontos de C s ao ˜ os planos qu e cont eˆ m pelo menos tr eˆ s pont os de C . Qua ntos s ao de C? 22. Uma fila de cadeiras no cinema tem 10 poltronas. De quantos modos 3 casais podem n elas se sentar de modo que nenh um marido se sente separado de sua mulher? ˜ os an agr am as d a pa lavra “PARAGUAIO” que n a˜ o 23. Quan tos s ao possuem consoantes adjacentes?

24. De quantos modos podemos selecionar p elementos do conjun ´ t o {1 , 2 , . . . , n} sem selecionar dois n umeros consecutivos? 25. Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por quest o˜ es ˜ gua rda dos em um cofre protegido por de s egur an ça, os plan os s ao mu itos cadeados de m odo que s o´ e´ poss´ıvel abr i-los t odos se h ouver pelo menos 5 cientistas presentes. ´ a ) Q u a l e´ o n umero m ´ınimo poss´ıvel de cadeados? ˜ do item a), quantas chaves cada cientista deve b) Na situ aç ao ter?

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Temas e Problemas

26. Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de exatamente d u a s b a n c a s e c a d a d u a s b a n c a s t eˆ m exatamente um professor em comum. a) Calcule x. b) Determine quan tos professores h a´ em cada banca.

27. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com ˜ fiquem 6 crianças, de modo que dua s delas, Vera e Isadora, nao juntas? 29. Q u a n t a s s a˜ o a s solu ço˜ es inteiras e positivas de x + y + z = 7? ˜ ivas d e x + y + z ≤ 30. Quantas s a˜ o a s solu ço˜ es inteira s e n ao-negat 6? ´ ˜ vendidas em fabrica 5 tipos de balas que s ao 31. Uma ind ustria caixas de 20 balas, de um s o´ tipo ou sort idas. Quan tos tipos de caixas podem ser montados?

S u g e s t o˜ e s 1. c) Os a na gra ma s p odem começar por vogal ou p or cons oant e. d) Tudo se passa como se cap fosse uma letra s o´ . e) Escolha inicialmente a ordem da s letra s c, a, p. Recai-se no item anterior. g) Ao somar os que t eˆ m p em primeiro com os que t eˆ m a em ˜ consegundo, os que t eˆ m p em pr imeiro e a em segundo s ao tados dua s vezes. Fazer um diagra ma de conjuntos ajuda. h) Um diagrama de conjuntos ajuda. i) H a´ 3! = 6 ordens poss´ıveis pa ra essas letras. A resposta e´ do total de a nagrama s.

1 6

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˜ se 3. Faça o total men os aqu elas n as qua is elas ficam junt as. Nao esqu eça qu e elas podem ficar junt as em 2! ordens poss´ıveis.

4. Faça t odas com H elena e Pedro junt os men os a quelas na s qu ais ˜ jun tos e Vera e Pau lo ta mb e´ m est ao ˜ juntos. Helena e Pedro est ao 5. Você deve escolher 5 jogadores para o Esporte, depois escolher 5 dos que sobra ra m par a o Tupi e form ar o Minas com os restan tes. ˜ ponha os 15 jogadores em fila: os 5 primeiros formam Ou ent ao, ´ o Esporte, os 5 seguintes o Tupi, os 5 ultimos o Mina s. Note qu e, tr ocan do a ordem dent ro de cada bloco, você muda a fila, mas n a˜ o ˜ em t imes. muda a divis ao 6. A resposta e´ a anterior dividida por 3!, pois agora, tr ocan do os times entre si, a divis a˜ o e´ a mesma. 8. Voceˆ pode colocar os 12 t imes em u ma ma triz 6 × 2. Note que trocar as linhas entre si, ou trocar em uma linha a ordem dos ˜ dos jogos. elemen tos, n a˜ o alt er a a seleçao Você t a m b e´ m poderia pensar assim: Tenho 11 modos de esco´ lher o advers ario do Botafogo; depois tenho 9 modos de escolher ´ io do primeiro (em ordem alfab e´ tica) time que sobrou; o advers ar depois ten ho 7 . . . 9. a) Para descobrir o lugar do 62 417 você tem que contar quan´ eros o ant ecedem. Ant ecedem-no todos os n umeros ´ tos n um com eça dos em 1, em 2, em 4, em 61, et c. ´ c) O 166 o¯ algarismo escrito e´ o 1 o¯ algar ismo do 34o¯ n umero. ´ d) A soma da s un idades dos n umeros e´ (1 + 2 + 4 + 6 + 7) · 4!, pois cada um dos a lgar ismos 1, 2, 4, 6, 7 ap ar ece como algarism o ´ das unidades em 4! n umeros. Determine analogamente a soma das dezenas, etc. ´ Um tru que, bonito mas t ruque, e´ grupar os 5! = 120 n umer os em 60 casais do seguint e modo: o cônjuge de cada n u´ m e r o e´ o n u´ m e r o

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Temas e Problemas

˜ do que dele se obt e´ m tr oca n do a posiça˜ o do 1 com o 7 e a posiçao 2 com o 6. Teremos 60 casais e a soma em cada casa l e´ 88 888. A resposta e´ 88 888 × 60. ´ eros em 6 lugares. A resposta e´ 6!. 11. a) Devem os colocar 6 n um ˜ obtem os o mesm o b) Agora , qua nd o mud am os o cubo de posiçao d a d o. P or e xe m plo, u m d a d o qu e t e m o 1 e o 6 e m f a ce s opostas. Antes, colocar o 1 em cima, na face preta, e o 6 em baixo, na face bran ca, era diferen te de colocar o 6 em cima e o 1 embaixo. Agora n a˜ o, e´ o mes mo da do de cabeça pa r a baixo. A resposta e´ a anterior dividida pelo n u´ m er o de posiç o˜ es de colocar um cubo. H a´ 6 modos de escolher a face que fica em baixo e 4 modos de escolher nessa face a aresta que fica de frente.

˜ diagonais, arestas 16. Os segmentos que ligam dois v e´ rtices s ao ou diagonais de faces. ˜ fica det erm inada qua ndo se escolhem os m elementos 17. A fu n çao de I que forma r ao ˜ a imagem.

18. Ignore o problema do 0 na primeira casa. Escolha os lugares ´ dos 4, dos 8, preencha a s casas resta ntes. Desconte os n umeros come ça dos em 0. ˜ bijetoras. 20. a ) Es sa s fun ço˜ es s ao b) Um elemento de B tem sua imagem inversa formada por dois ´ elementos e os demais t eˆ m imagens inversa s un it arias. c) H a´ duas possibilidades: um elemento de B tem sua imagem inversa for mada por tr eˆ s elementos e os demais t eˆ m i m a ´ ias ou dois element os de B t eˆ m imagens gens inversas un itar inversa s forma das por dois elementos e os dema is t eˆ m ima´ gens inversas u nit arias.

´ Combinat oria

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22. Escolhida a ordem em que cada casal vai se sentar (marido a` direita, mulher a` esquer da ou vice-versa), você tem que formar uma fila com 3 casais e 4 lugares vazios. 23. Arrume primeiramente apenas as vogais e depois entremeie as consoantes. 24. Marque, no conjunto {1 , 2 , . . . , n} com o sinal + os elementos selecionados para o subconjunto e com o sinal − os elementos n a˜ o seleciona dos. Você tem que form ar um a fila com p sinais + e n− p sinais − , sem que haja dois sinais + adjacentes. 25. Um grupo de 4 cientistas, ABCD, e´ barrado por pelo menos um cadeado. Na situaç a˜ o d o n u´ m e r o m ´ınimo de cadeados, por exat amen te u m cadeado. Batizemos esse cadeado de ABCD. A, B, C, D n a˜ o t eˆ m a cha ve desse cadea do e todos os outr os cient istas ˜ pense mais nos cadeados e sim nos seus nomes. a t eˆ m. N ao ` ban cas 1 e 2 e´ 26. Um bom nome para o professor que pertence as professor 1 − 2.

29. C h a m a n d o x de 1 + a, y de 1 + b e z de 1 + c, você tem de ˜ det er min a r solu ço˜ es inteiras e n ao-negativas para a + b + c = 4. ˜ a folga, que e´ a diferença ent re o 30. Defina , pa ra cada soluçao, ´ valor m aximo que x + y + z poderia atingir e o valor que x + y + z rea lmen te a tin ge. Por exemplo, a soluça˜ o x = 1 y = 2, z = 1 t em folga 2. Ca da soluça˜ o da ine qu a ça˜ o x + y + z ≤ 6 corresponde a u m a solu ça˜ o da equ a ça˜ o x + y + z + f = 6 e vice-versa.

Ca p´ı tu lo 7

Noço˜ es de Matem a´ t ica Fina n ceir a 1

O v a lo r d o d i n h e ir o n o te m p o

´ ´ ˜ de emA op er a ça˜ o b asica da matem atica financeira e´ a oper a çao pr e´ stimo. Algu e´ m que disp o˜ e de um capital C (chamado de principal), empresta-o a outrem por um certo per ´ıodo de tempo. Ap o´ s esse per´ıodo, ele r ecebe o seu capit al C de volta, acrescido de um a r em u n er a ça˜ o J pelo empr e´ stim o. E ssa r emu ner aç a˜ o e´ cha mada de juro. A soma C + J e´ chamada de montante e ser a´ representada por M. A r a za˜ o i = J/C, que e´ a taxa de crescimento do capital, e´ sem pre referida ao per´ı odo d a opera çao ˜ e chamada de taxa de juros. E x e m p l o 1 . Pedro tomou um empr e´ stimo de R$100,00. Dois meses depois, pagou R$140,00. Os juros pagos por Pedro são de 40 R$40,00 e a t axa de juros e´ = 0,40 = 40% ao bimestre. O pr in100 cipal, qu e e´ a d´ıvida inicial de Pedro, e´ igual a R$100,00 e o montante, que e´ a d´ı vida de Pedro na e´ poca do pagamento, e´ igual a R$140,00.

O leitor deve ficar at ent o par a o fat o que Pedro e quem lhe emprest ou o dinh eiro concorda ra m que R$100,00 no in´ıcio do referido bimestre t eˆ m o m esmo valor que R$140,00 no fina l do referido bimestre. E´ importante perceber que o valor de uma quantia depende da e´ poca a` qua l ela est a´ referida. Neste exemplo, quantias diferentes (R$100,00 e R$140,00), referidas a e´ pocas diferent es, t eˆ m o m esmo valor. 11 0

˜ de Matem atica ´ Noçoes Financeira

111

˜ exemplos de erros comu ns em ra cioc´ınios financeiros: S ao a ) Ach a r q u e R$ 14 0,0 0 t eˆ m va lor m a ior q u e R $1 00 ,0 0. R$140,00 t eˆ m maior valor que R$100,00, se referidos a` mesm a e´ poca. Referidos a e´ pocas diferentes, R$140,00 podem ter o mesmo valor que R$100,00 (veja o exemplo an ter ior) ou a t e´ mesmo um valor inferior. Todos n o´ s preferir ´ıamos r eceber R$100 000,00 a gora do que R$140 000,00 daqu i a seis a nos. Com efeito, R$100 000,00 colocados em um a cader net a de poupa nça, a juros de 0,5% a o m eˆ s, cresceriam a` t a x a d e 0 , 5 % a o m eˆ s e transformarse-iam, depois de 72 meses, em 100 000,00 · (1 + 0,005) = R$143 204,43. b) Achar que R$100,00 t eˆ m sem pr e o mesm o valor que R$100,00. Na verdade, R$100,00 hoje valem mais que R$100,00 daqui a um ano. ˜ ser c) Somar quantias referidas a e´ pocas diferent es. Pode n ao verdade, como mostrar a´ o Exemplo 5, que comprar em tr eˆ s pr est a ço˜ es de R$50,00 seja melhor que comprar em cinco pr est a ço˜ es de R$31,00, apesar de 50 + 50 + 50 < 31 + 31 + 31 + 31 + 31. E x e m p l o 2 . Pedro tomou um empr e´ stimo de R$100,00, a juros de ta xa 10% ao meˆ s. Ap o´ s um m eˆ s, a d´ıvida de Pedro ser a´ acrescida de 0,10 × 100 reais = 10 reais de juros (pois J = iC), passando a 110 reais. Se Pedro e seu credor concordar em em adiar a liqu ida ça˜ o d a d´ı vida por mais um m eˆ s, mantida a mesma taxa de juros, o empr e´ stimo ser a´ quitado, dois meses depois de cont r a ´ıdo, por 121 reais, pois os juros relativos ao segundo m eˆ s ser a˜ o ˜ chade 0,10 × 110 = 11 reais. Esses juros a ssim calculados s ao mados de jur os com postos. Ma is precisamen te, no regime de jur os ˜ calculados, conforme e´ compostos os juros em cada per ´ıodo s ao natural, sobre a d´ıvida do in´ıcio desse per ´ıodo. No regim e de juros com postos d e taxa i , um principal C transformase, ap os ´ n per´ ıodos de tempo, em um montante C = C (1 + i) .

112 Temas e Problemas P a r a c a d a k, seja C a d´ı vida ap o´ s k per ´ı odos de tempo. Ora, C = C + iC = (1 + i)C . Portan to, a cada per´ıodo de tem˜ por 1 + i. Ap o´ s n per ´ıodos p o a d´ıvida sofre um a mu ltiplicaçao de tempo a d´ıvida sofrer a´ n m u lt iplica ço˜ es por 1 + i, ou seja, ser a´ mu ltiplicada por (1 + i) . Logo, C = C (1 + i) . E x e m p l o 3 . Pedro toma um empr e´ stimo de R$1 500,00 a juros de 12% ao m eˆ s. Qual ser a´ a d´ıvida de Pedro tr eˆ s meses depois? C = C (1 + i) = 1500(1 + 0,12) = 2107,39.

Outro modo de ler a f o´ rmula C = C (1 + i) e´ : u m a q u a n t ia , ´ depois de n per ´ıodos de tempo, hoje igual a C , transformar-se-a, em uma quantia C = C (1 + i) . Isto e´ , uma quan tia, cujo valor a t u a l e´ A, equ ivaler a´ no futuro, depois de n per ´ıodos de tempo, a F = A(1 + i) . Essa e´ a f o´ rmu la fun damen tal da equivalê ncia de capitais: Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i) . • Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1 + i) . •

E x e m p l o 4 . Pedro tomou um empr e´ stimo de R$300,00 a juros de 15% ao m eˆ s. Um m eˆ s ap o´ s, Pedro pagou R$150,00 e, dois meses ap o´ s esse pa gamen to, Pedro liquidou seu d e´ bito. Qual o valor ´ desse ultimo pagament o?

˜ equivalentes. Logo, Os esquemas de pagamento abaixo sao R$300,00, na data 0, tê m o mesmo valor de R$150,00, u m m es ˆ a p o´ s, mais um pagament o igual a P, na data 3. 0

1

3

300

150

P

Figura 47


113

Igualando os valores, na mesma e´ poca (0, por exemplo), dos paga men tos nos dois esquem as, obtemos: 300 =

150 P , ou seja, 300 = 150 · 1,15 + 1 + 0,15 (1 + 0,15)

Finalmente, P = [300 − 150 · 1,15 ] · 1,15

+ P · 1,15 .

= 257,89 reais.

E x e m p l o 5 . Pedr o t em du as opço˜ es de pagamento na compra de u m eletr odom e´ st ico: tr eˆ s pr est a ço˜ es men sais de R$50,00 cada , ou cinco p re st a ço˜ es mensais de R$31,00. Em qualquer caso, a pr imeira pr esta ça˜ o e´ paga no ato da compra. Se o dinheiro vale ˜ que Pedro possui? 5% ao m eˆ s para Pedro, qual e´ a m elh or op çao

0

1

2

0

1

2

3

50

50

50

31

31

31

31

4

31

Figura 48

Para compar ar, determina remos o valor das du as s e´ ries de pagamentos na mesma e´ poca, por exemplo na e´ poca 2. Temos V = 50(1 + 0,05) + 50(1 + 0,05) + 50 = 157,63 V = 31(1 + 0,05) + 31(1 + 0,05) + 31 + 31/(1 + 0,05) + 31/(1 + 0,05)

= 155,37.

Pedr o deve preferir o paga men to em cinco prest açõ es. E x e m p l o 6 . Pedro tem tr eˆ s op ço˜ es de pagamento na compra de ´ vestu ario.

` vista , com 3% de des cont o. a) A b) Em dua s presta ço˜ es mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um m eˆ s ap o´ s a compr a.

114 Temas e Problemas c) Em tr eˆ s pr est a ço˜ es m ensa is iguais, sem descont o, vencendo a primeira no ato da compra . ˜ para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, Qua l a melh or opçao 2,5% ao m eˆ s ?

0

291

1

150

2

150

0

1

2

100 100 100

Figura 49

Fixa n do o preço do bem em 300, t em os os t r eˆ s esquemas acima. Comparando os valores na e´ poca 0, obtemos: V = 291 150 150 V = + = 289,11 1,025 1,025 100 100 V = 100 + + = 292,74 1,025 1,025

A melhor altern at iva para Pedro e´ a compr a em dois paga men tos, e a pior e´ a compra em tr eˆ s pr est a ço˜ es. E´ interessante observar que a melhor alternativa para Joaquim pode n ao ˜ ser a melhor alternativa para Joã o. Se J oaquim e´ pessoa de poucas posses e decide compr ar a pra ´ zo, tendo dinheiro par a compr ar a` vista , e´ provavel que ele invista o dinheiro que sobrou, em uma cadern eta de poupança que lhe ˜ para ele seria indiferente ren deria, d igam os, 1,5% ao m eˆ s. Ent ao, comprar a` vista ou a pra zo com jur os de 1,5% ao meˆ s. ˜ tiver a cesso a investimen tos melhores, ele poderia faS e J oao zer render a sobra de dinheiro a, digamos, 2,5% ao m eˆ s . E n t a˜ o, ˜ comprar a prazo com juros de 1,5% ao s er ia a t r a t i vo p a r a J oao m eˆ s .


115

Logo, o dinheiro t em valores diferentes para J oão e Joaquim. Essa taxa de juros que representa o valor do dinheiro para cada pessoa e que e´ , em suma, a taxa a` qual a pessoa consegue fazer render seu dinheiro, e´ chama da de taxa m´ ınima de atratividade. O m otivo do nome e´ claro: para essa pessoa, u m investimento so´ e´ a tra tivo se render, no m´ınimo, a essa taxa. E x e m p l o 7 . Um a loja ofer ece du a s opçõ es de pagamento:

` vista , com 30% de des cont o. a) A b) Em d ua s prest aç o˜ es men sais igua is, sem descont o, a primeira pr est a çao ˜ sendo paga n o ato da compra . Qual a taxa mensal dos juros embutidos na s vendas a prazo? Fixan do o valor do bem em 100, temos os esquema s de pagamento abaixo: 0

0

1

70

50

50

Figura 50

Igualando os valores na e´ poca 0, obtemos 70 = 50 +

50 ı, · Da ´ 1+i

1 + i = 2,5 e i = 1, 5 = 150%. A loja cobra juros de 150% ao m eˆ s nas vendas a prazo.

E x e m p l o 8 . Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quan to tem po você dobrar a´ o seu capital in icial? ln 2 Temos C (1 + 0,008) = 2 C . Da ´ı, 1,08 = 2 e n = = 9. ln 1,08 Aqui ln est a´ r epresentando o logaritmo nat ura l. Em aproximadamente nove meses você dobrar a´ o seu capital inicial. ∼

116 Temas e Problemas

Problemas Propostos∗ 1. Investindo R$450,00 você r e t i r a , a p o´ s 3 meses, R$600,00. A que ta xa m ensal de juros rendeu o seu investimento? 2. Investindo a 8% ao m eˆ s, você obt e´ m, depois de 6 meses um monta nt e de R$1 480,00. Qu an to havia sido investido? 3. Qual o montante produzido em 3 meses por um principal de R$2 000,00 a juros de 10% ao mês ? 4. Em que prazo um principal de R$1 400,00 gera um montante de R$4 490,00 a juros de 6% a o mês ?

˜ em u ma loja que oferece um d es5. Laura quer comprar um viol ao conto de 30% nas compras a` vista ou pagamento em t r eˆ s prestaço˜ es mensa is, sem jur os e sem descont o. Deter mine a t axa m ensa l de juros embut ida n as vendas a prazo, supondo o primeiro pagamento no ato da compra . 6. Malu cont raiu u m empr e´ stimo de R$9 000,00 pa ra ser pa go em du as pr esta ço˜ es, com vencimentos tr eˆ s e cinco meses depois do empr e´ stimo. Se a segunda prest aça˜ o e´ o dobro da primeira e os ˜ de 2% ao m eˆ s, deter min e a s pr est aç o˜ es. juros s ao 7. Regin a t em du a s opço˜ es de pagamento:

a ) a` vista, com x% de descont o. b) em dua s prest aç o˜ es m ensais igua is, sem juros, vencendo a primeira um m eˆ s ap o´ s a compra . Se a taxa m´ı nima de at rat ividade de Regina e´ de 5% ao m eˆ s, para que valores de x ela preferir a´ a primeira alternativa? 8. Certa loja, no nat al de 1992, oferecia a seu s client es dua s a lterna tivas de pagamen to: ∗



117

a) pagamento de uma s o´ vez, um m eˆ s ap o´ s a compra . b) pagamento em tr eˆ s pr est a ço˜ es mensais iguais, vencendo a primeira no ato da compra . Se você fosse client e des sa loja, qu al s eria a su a opça˜ o? 9. Certa loja convidou, em dezembro de 1992, os seus clientes a liquida rem su as pr esta ço˜ es mensais vincendas, oferecendo-lhes em troca um desconto. O descont o seria dado aos que pagassem, d e u m a s o´ vez, toda s as pres ta ço˜ es a vencer em mais de 30 dias e seria de 40% para os que pagassem duas prestaçõ es. Supondo u m a t a xa m´ı nima de atratividade de 27% ao m eˆ s, a oferta era vantajosa?

´ 10. L ucia compr ou um exaust or, pagan do R$180,00, um mê s ap o´ s a compr a, e R$200,00, dois meses a pó s a compra. Se os juros s a˜ o de 2,5% ao m eˆ s, qual e´ o pr eço a` vista ?

2

Ta x a s d e ju r o s

Os leigos costum am achar que juros de 10% ao meˆ s equivalem a juros de 20% ao bimestre, de 30% ao trimestre, de 120% ao ano etc. Isso n a˜ o e´ verdade, como mostra a tabela a seguir, que d a´ a ˜ de um principal igua l a 100, a juros de 10% ao mês . evolu çao M eˆ s Ca pit a l

0 100

1 110

2 121

3 133,1

Observe que juros de 10% ao m eˆ s equivalem a juros de 21% ao bimestre e de 33,1% ao trimestre. S e a taxa de juros relativam ente a um determinado per´ ıodo de tem po e´ igual a i, a taxa de juros relativam ente a n per´ ıodos de tem po e´ I tal que 1 + I = (1 + i) .

Basta calcular quanto valer a´ no futuro, depois de n pe r´ıodos de tem po, um pr incipal igua l a A. Se usamos a taxa i, devemos avan ça r n per´ı odos de tempo e, se usa mos a ta xa I, de vemos ava nça r 1 per´ıodo de tempo. Logo, A(1 + I) = A(1 + i) e 1 + I = (1 + i) .

118 Temas e Problemas E x e m p l o 1 . A taxa a nua l de juros equivalente a 12% ao mês e´ I tal que 1 + I = (1 + 0,12) . Da ´ı, I = 1,12 − 1 = 2,90 = 290%. E x e m p l o 2 . A taxa m ensal de juros equivalente a 40% ao ano e´ i tal que 1 + 0,40 = (1 + i) . Da ı´, 1 + i = 1,4 e i = 1,4 −1 = 0,0284 = 2,84%.

Um erro mu ito comu m e´ achar que juros de 12% ao m eˆ s equivalem a juros anu ais de 12 × 12% = 144% ao a no. Taxa s como 12% ˜ chama das de taxas proporcionais, pois a o m eˆ s e 144% ao ano s ao ˜ entre elas e´ igual a` r a zao ˜ dos per´ıodos aos quais elas se a r a zao referem. Taxas proporcionais n a˜ o s ao ˜ equivalentes. E x e m p l o 3 . As ta xas de 20% ao m eˆ s, 60% ao trimest re e 240% ao ˜ t axas proporciona is. ano s ao

´ ´ Um (p e´ ssimo) h abito em Matem atica Finan ceira e´ o d e a n u n ciar ta xas pr oporciona is como se fossem equ ivalent es. Uma ex˜ como “12% a o a no, com capita lização mensal” significa press ao que a taxa usada na operaçã o n a˜ o e´ a taxa de 12% anunciada e sim a taxa m ensal que lhe e´ pr oporciona l. Portanto, a trad u çao ˜ da expressao ˜ “12% ao an o, com capita liza çao ˜ mensal”´ e “1% ao m es”. ˆ ˜ t rimest ra l” significa E x e m p l o 4 . “24% a o a n o com capit a lizaçao ˜ semestral” sig“6% ao tr imestre”; “1% ao m eˆ s com cap it a liza çao nifica “6% a o sem estr e” e “6% a o a no com capita lização m ensal” significa “0,5% ao m eˆ s”. E x e m p l o 5 . Ver oˆ nica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano ˜ mensal. Qual a taxa anual de juros a` qua l est a´ com cap it a liza çao investido o capital de Ver oˆ nica?

´ na realidade, investido a juros Ora, o dinheiro de Ver oˆ nica est a, de taxa i = 6% ÷ 12 = 0,5% ao m eˆ s. A taxa anual equivalente e´ I tal que 1 + I = (1 + 0,005) . Da ´ı, I = 1,005 − 1 = 0,061 7 = 6,17% ao an o. A (falsa) t axa de 6% ao an o e´ dita nominal. A ta xa (verdadeira ) de 6,17% ao an o e´ dita taxa efetiva .


119

E x e m p l o 6 . A taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao ˜ mensal e´ I tal que 1 + I = (1 + 0,04) . sem est re com capit a lizaçao Da ´ı, I = 1,04 − 1 = 26,53% ao semestre.

Problemas Propostos∗ 1. Determine as taxas mensais equivalentes a 100% ao ano e a 39% ao trimestre. 2. Determine as taxas anuais equivalentes a 6% ao m eˆ s e a 12% ao trimestre. 3. Determine as ta xas efetivas an uais equivalentes a:

a ) 30% ao a n o, com cap ita lização mensal. b) 30% ao a n o, com capit a lização trimestral. c) i ao an o, capita lizados k vezes a o an o.

3

An u id ad e s

Uma lista de quantias (chama das u sualmente de pagamentos ou termos ), referidas a e´ pocas diversas, e´ chama da de s erie ´ ou anuid a d e ou, a inda, renda certa . Se esses pa gamentos forem igua is e igua lmen te es pa çad os no tem po, a serie ´ diz-se uniforme. O valor atual (isto e, ´ o valor d a s erie ´ um a u nidade d e tem po antes do primeiro pagam ento) de um a s erie ´ uniforme de n pagamentos 1 − ( 1 + i) iguais a P , e, ´ sendo i a taxa de juros, igual a A = P . i ˜ ao significado das letra s n a f o´ rmu la a cima: i e´ a taxa At en çao

de juros (referida a` u n i d a d e d e t e m p o , a q u a l e´ o t e m p o en t r e ´ ero d e pr esta ço˜ es, P e´ o valor pr es t a ço˜ es consecut ivas), n e´ o n um de cada pres ta ça˜ o e A e´ o valor da s e´ rie uma unidade de tempo an tes do primeiro pagamento. ∗


120 Temas e Problemas Com efeito, par a determinar o valor da se´ rie um tempo antes do primeiro pagam ent o, devemos ret roceder u m tem po com o primeiro pa gamen to, dois tem pos com o segundo, . . . , n tem pos com o n-é simo pagamento. Logo, A=

P P P P + +···+ +···+ 1+i ( 1 + i) (1 + i) (1 + i)

·

Multiplicando por (1 + i), obtemos A(1 + i) = P +

P P P + + ···+ 1+i ( 1 + i) ( 1 + i)

·

Subt ra indo, obtemos P (1 + i) Ai = P − P(1 + i) 1 − ( 1 + i) A=P i

A(1 + i) − A = P −

E x e m p l o 1 . Um bem , cujo p r eço a` vista e´ R$1 200,00, e´ vendido em 8 p re st a ço˜ es mensais iguais, postecipadas (isto e´ , a primeira e´ p a ga u m m eˆ s a p o´ s a compra ). Se os juros s a˜ o d e 8 % a o m eˆ s, deter min e o valor da s pr esta ço˜ es.

Temos A = 1 200, n = 8, i = 0,08. Ap lica n d o a fo´ rmula, A = 1 − ( 1 + i) , obtemos: P i 1200 = P

1 − 1,08 0,08

;

P = 1200

0,08 1 − 1,08

= 208,82.

As pr est a ço˜ es s ao ˜ de R$208,82. E x e m p l o 2 . Um bem , cujo pr eço a` vista e´ R$1 200,00, e´ vendido em 6 p r est a ço˜ es mensais iguais, antecipadas (isto e´ , a pr imeira e´ paga no ato da compra). Se os juros s ao ˜ de 8% ao m eˆ s, determine o valor d a s p re st a ço˜ es.


121

O valor da s e´ rie de pr esta ço˜ es um m eˆ s antes do pagamento da pr imeira pr esta ça˜ o ( o u s e j a , u m m eˆ s antes da compra) e´ A = 1 − (1 + i) 1 − 1,08 ´ igua l a o pr eço a` vista, P = P · Esse valor e i 0,08 1200 ´ isto e´, e´ igua l a u m m eˆ s atr as, · Logo, 1,08 P

1 − 1,08 0,08

=

1200 1,08

e

P=

1200 0,08 1,08 1 − 1,08

= 240,35.

˜ de R$240,35. As pr es t a ço˜ es s ao ` vezes n ecessitam os calcular o valor futu ro (ou montan te) As ´ d e u m a s e´ rie u niform e, isto e´ , o valor da s e´ rie na e´ poca do ultimo paga men to. Par a isso, basta avan çar n tem pos o valor A, isto e´ , F = A(1 + i) = P

1 − ( 1 + i) i

( 1 + i) = P

( 1 + i) − 1 · i

O v a lor d e u m a s erie ´ uniforme na epoca ´ do ultim ´ o pagam ento e´ (1 + i) − 1 . F=P i

E x e m p l o 3 . Investindo mensa lmente R$150,00 em u m fun do de investimentos que rende 0,5% ao m eˆ s, qua l e´ o monta nte imediat a m e n t e a p o´ s o 120 o¯ depó sito? O montan te da s e´ rie e´ F=P

1,005 − 1 ( 1 + i) − 1 = 150 = 24 581,90. i 0,005

Trata remos agora de rend as perp´ etuas . Rendas perpe´ tuas apar ecem e m loca ço˜ es. Com efeito, qua nd o se alu ga u m bem , cede-se a posse do mesmo em t roca d e um aluguel, digam os, mensal. En t a˜ o, a s e´ rie dos alugu e´ is constitui um a renda perp e´ tua ou perpetuidad e. Par a obter o valor a tua l de uma renda perp e´ tua , basta fazer n tender para infinito na f o´ rmula A=P

1 − ( 1 + i) i

·

122 Temas e Problemas O valor de um a perpetuid ade d e term os iguais a P, um tem po antes P do prim eiro pagamento, e, ´ sendo i a taxa de juros, A = . i

E x e m p l o 4 . Se o dinheiro vale 1% ao m eˆ s, por quan to deve ser alugado um im o´ vel qu e va le R$40 00,00?

Qua ndo você aluga um im o´ vel, você cede a posse do im o´ vel em ˜ igua is ao valor do troca de u ma r enda perp e´ tua cujos termos s ao ˜ o valor do im o´ vel deve ser igua l ao valor da sé rie aluguel. Ent ao, de alugu e´ is. P Logo, com o A = , tem os P = Ai = 4000 × 0,01 = 400. i Deve ser alugado por R$400,00.

E x e m p l o 5 . Helena tem dua s alternat ivas pa ra obter uma copiadora:

´ a) Aluga-la por R$480,00 por m eˆ s. N esse caso, o locador se r esponsa biliza pela s despesa s de man ut ençã o. ´ b) Compr a-la por R$8 000,00. Nesse caso, já que a vida econ oˆ mica da copiadora e´ de 2 an os, Helena vender a´ a copiadora a p o´ s 2 an os, por R$1 000,00. As desp esa s de m an ut ençã o s a˜ o ˜ de R$100,00 por m eˆ s no de responsabilidade de Helena e sao primeiro an o e de R$150,00 por m eˆ s, no an o seguint e:

Se o dinheiro vale 1% ao m eˆ s, qu a l a m elhor opçao ˜ para Helena?

Na alternativa b), vejamos o valor, na e´ poca da compra, dos gastos de Helena durante esses dois anos. Temos:


123

i) um a p ar cela de R$8 000,00; ii) o valor atua l de uma s e´ rie de 12 pa gamentos de R$100,00, 1 − 1,01 igual a 100 = R$ 1 125,51; 0,01 iii) o valor, na e´ poca da compr a, dos gastos no segun do ano. Pa ra determin a-lo, ´ calcula mos o valor at ua l dos gast os no segun do 1 − 1,01 ano, 150 = 1 688,26, e dividimos esse valor por 0,01 ´ obtendo finalmente 1,01 , p a r a t r a zeˆ -lo u m a n o p a r a t r as, R$1 498,25; iv) o valor, na e´ poca da compra, da receita auferida com a venda, ´ isto e´ , 1000 ÷1,01 = R$1 000,00 tr azidos dois a nos par a tr as, 787,57. Portanto, os gastos s a˜ o d e 8000 + 1 125,51 + 1 498,25 − 787,57 = 9 836,19. Na alternativa a), o valor dos gastos na e´ poca da compra e´ o v a l o r a t u a l d e u m a s e´ rie de 24 pagamentos iguais a R$480,00, 1 − 1,01 480 = R$ 10 196,83. 0,01 A melhor alternativa e´ a compra.

Problemas Propostos∗ 1. Um t elevis or, cu jo pr eço a` vista e´ R$900,00, e´ vendido em dez ˜ pa gos jur os de 4% ao m eˆ s, det erpr es t a ço˜ es men sais iguais. Se s ao ˜ paga: min e o valor da s pres ta ço˜ es, sup ondo a pr imeira pres ta çao

a) no ato da compra . b ) u m m eˆ s ap o´ s a compr a. c) dois meses ap o´ s a compr a. ∗


124 Temas e Problemas 2. Se a taxa de juros e´ de 0,6% ao m eˆ s, por quanto se aluga um im o´ vel cu jo pr eço a` vista e´ R$80 000,00, supondo o aluguel m ensa l pago vencido? E se fosse pago adiant ada men te? 3. Supondo juros de 1% ao mês, quan to você deve investir mensalmente duran te 10 a nos par a obter a o fim desse prazo, por 30 an os, uma renda mensal de R$500,00? 4. Supondo juros de 1% ao m eˆ s, quan to você deve investir m ensa lment e duran te 35 an os par a obter, ao fim desse prazo, uma renda perp e´ tu a de R$1 000,00? 5. Considere uma renda perp e´ tua cujos termos crescem a uma taxa constante j e cujo primeiro ter mo e´ igua l a P. Supondo juros de taxa i (i > j), determine o valor da renda na e´ poca do primeiro pagamento. 6. Minha mulher acha que devemos vender o carro novo que compr am os por R$18 000,00 qu an do ele estiver com dois an os d e uso. Conseguir´ı amos vend eˆ -lo por R$14 000,00 e compr ar´ıamos outr o igua l, zero quilômetro. Eu acho que seria melhor esperar quatro anos para vender o carro, caso em que s o´ consegu ir´ıamos R$10 000,00 na venda, mesm o levan do em cont a qu e gasta r´ıamos em consert os cerca de R$1 000,00 n o terceiro an o e de R$2 000,00 no quart o ano. Supondo que o dinheiro valha 15% ao an o, quem tem raz a˜ o?


125

ˆ AP ENDICE C o m o c a l c u l a r a t a x a d e j u r o s u t i li z a n d o o E x c e l

Para calcular a taxa de juros em sé ries uniform es de pagamen tos, inicialmente, deve-se clicar na tecla do menu f . ˜ a parecer a´ na tela: Com e st a oper a çao

Figura 51

Role o cursor no quadro a` esquerda e clique em Financeira, como mostra a Figura 52. Em seguida no qua dro a` direit a pr ocur e a fun ça˜ o TAXA (Figura 53). Clique OK.


Figura 52

Figura 53


127

´ ´ Aparecer a´ u m a c a i x a d e d ialogo e ser a´ necess ario preencher algumas janelas: ´ N p e r coloque nesta lacuna o n umero total de termos da s e´ rie uniforme. P g t o coloque nesta lacuna o n u´ m e r o t ot a l d e t e r m os d a s e´ rie uniforme. VP preen cha este qu adr o com o valor presen te (valor at ua l), com sinal cont r ario ´ ao pagamento. Se o VF e´ preenchido esta cé lula deve ficar em bra nco.

´ Vf preen cha este qu adr o com o valor fut ur o, com sinal cont r ario a o p a ga m e n t o. S e o Vp e´ preenchido esta cé lula deve ficar em branco. ´ ero 0 ou 1, conform e os paga men tos sejam posteciTipo e´ o n um pados ou a nt ecipados. Se for deixado em bra nco, o Excel assu mira´ 0, considera ndo os pa gamen tos postecipados. E s t i m a t i v a e´ a sua estimativa para a t axa. Deixe em branco. Obs e rv a ç a˜ o . O Excel trabalha com a “lo´ gica do contador”, na ´ qua l os paga men tos e os recebiment os devem ter sinais cont r arios. Logo, se o valor pr esen te e´ um valor p ositivo, o va lor da s pr est a ço˜ es e´ obrigatoriamen te n egativo. E x e m p l o 1 . Qual e´ a ta xa de juros na compra de um ve´ıculo cujo pr eço a` vista e´ de R$8 000,00 e e´ pago em 24 pagament os men sais de R$400,00, o primeiro sendo efetu ado um meˆ s ap o´ s a compra ?

Preencha Nper = 24, P g t o = − 400 e Vp = 8000. Aparecer a´ TAXA (24; − 400; 8000) = 0,015130844, ou seja, 1,51% ao m eˆ s . E x e m p l o 2 . Qual e´ a t axa de juros na compra de um ve´ıcu lo cujo pr eço a` vista e´ de R$8 000,00 e e´ pago em 24 pagament os men sais de R$400,00, o primeiro sendo efetu ado n o ato da compr a?

Preencha Nper = 24, P g t o = − 400, Vp = 8 000, e Tipo = 1. Aparecer a´ TAXA (24; − 400, 8000; ; 1) = 0,016550119, ou seja, 1,66% a o m eˆ s .

128 Temas e Problemas E x e m p l o 3 . O Excel tamb e´ m calcula taxas de juros em s e´ ries ˜ n ao-uniformes. Vejamos como calcular a taxa de juros ao ano do finan ciamento a seguir:

An o Valor

0 80

1 50

2 50

3 0

4 − 40

5 − 40

6 −60

7 −70

Os valores est a˜ o em milhares de reais, as entradas de capital fora m considera das positivas e as sa´ıdas, negativas. Inicialmente devemos colocar os valores do fluxo em cé lulas adjacentes de uma mesma coluna da planilha, por exemplo, nas cé lulas de B1 a B8. Procedendo como an teriorment e, usamos os comandos f , Finan ceira e TIR (encontr a-se imediatam ente a pós TAXA). ˜ digite Aparecer a´ uma caixa de diálogo. Par preench eˆ -la, n ao ˜ esquerdo do mouse aperta do, cubra as cé lulas nada. Com o bot ao na s qua is foi colocado o flu xo de caixa, n o caso a s cé lulas de B1 a ˜ dentro de um ret angulo ˆ B8. Elas ficar ao com efeito de movimento na borda e a caixa de diálogo se preencher a´ sozinha, aparecendo: VALORES B1:B8 TIR(B1:B8) = 0,031826856 A taxa e´ de 3,18% ao an o.

Problemas Propostos∗ 1. J oelma comp r ou um a gela deir a , cu jo pr eço a` vista era R$800,00, com uma entrada de R$200,00 e seis prestaço˜ es m ensais de R$120,00. Qua l e´ a taxa mensal dos juros que ela est a´ pa gando? 2. Ma nu el comp rou um te levisor, cujo preço a` vista era R$500,00, em dez p r est a ço˜ es men sais de R$60,00 cada, vencendo a pr imeira dois m eses ap o´ s a compra. Qual e´ a taxa mensal dos juros que ele es t a´ pagan do? ∗



129

´ 3. Uma caixa de funcion arios de certa empresa empr esta dinheiro a seus a ssociados e calcula os juros de modo peculiar. Para um empr e´ stimo de R$1 000,00, para pagamento em 5 vezes, os juros ˜ de “3% ao m eˆ s”, isto e´ , 15% em 5 meses. Portanto, o total a s ao ser pago e´ de R$1 150,00, ou seja , 5 p re st a ço˜ es de R$230,00 cada. Qual e´ na realidade a ta xa de juros com que t raba lha a caixa?

˜ do Cap´ıtulo 1 Soluçoes

133

S o lu ç o˜ e s d o s P r o b le m a s d o C a p ı´ t u l o 1 1. Caso particular do Exemplo 3. ˆ o resultado e´ 2. Admitindo a f o´ rmula da a´ r e a d e u m t r iangulo, ˆ imediato. O fat or de pr oporciona lidade e´ a m e t a d e da d is t ancia ˆ de P a r, que e´ a medida comu m das a ltur as de todos esses tri angulos. Deste modo, o exerc´ıcio se torna uma conseq u¨ eˆ ncia (indireta) ´ ˆ gulo resulta da area ´ do Exemplo 2, pois a f o´ rm ula da area do tri an ˆ do ret angulo. ´ ea do para lelogramo que t em OX e OY como la3. Seja f(x, y) a ar dos. A prova de qu e f(x, y) e´ proporcional a x e y se faz exatam enˆ gulo. A consta nte de proporciona lidade te como n o caso do ret an ´ ˆ gulos internos α e e´ a = f(1, 1) = (area do losango de lado 1 e an 180 − α) = sen α. P or tanto f(x, y) = (sen α)x · y. N a˜ o e´ preciso ta´ bela de senos n em calculadora par a responder a ultima pergunta do exerc´ıcio. Sabendo que a · 6 · 7 = 29, obtemos a = 29/42. Logo f(2, 3) = (29/42) · 2 · 3 = 29/7. ˜ de que o volume f(x,y,z) do pa ra lelep´ıpedo que 4. A v er ifica çao t em OX, OY e OZ como a resta s e´ proporcional a x, y e z, se faz do mesmo modo que no caso do bloco ret an gular. Tem-se porta nt o f(x,y,z) = axyz, onde o fat or de pr oporciona lidade a = f(1,1,1) e´ ˜ sobre o volume do paralelep´ı pedo cujas arestas medem 1 e est ao as semi-retas OA, OB e OC. Se AOB = α, AOC = β e BOC = γ en t a˜ o a e´ a r aiz quadr ada do determinan te da “mat riz de Gram ”:



 

1 cos α cos β

cos α 1 cos γ





 

cos β cos γ . 1

´ ´ 152.) Observe (Veja “A Matem atica do Ensino M e´ dio”, vol. 3, p ag. que quando α = β = γ = 90 tem-se a = 1 e reca ´ımos no volum e do bloco r eta ngular. ◦

5. Para todo t ≥ 0, seja f(t) a abscissa do ponto m o´ vel n o instan t e t. Dizer que o pont o percorr e espa ços igua is em temp os igua is

134 Temas e Problemas significa dizer que f(t + h ) − f(t), espa ço per corr ido n o int er valo de ˜ de t. A constante tempo [t, t + h ], depende apenas de h , m a s n ao v = f(t + 1) − f(t), espaço percorr ido na un idade de t empo, cha ma se a velocidade do ponto m o´ vel. Pelo Teorema de Ca ra cteriza ça˜ o ˜ da s F u n çoes Afins, se pusermos b = f(0) = abscissa do ponto de partida, teremos, para todo t, f(t) = vt + b, desde que saibamos ˜ crescente (ou decrescente). Do ponto de vista qu e f e´ u m a fun çoes f ´ısico, isto significa que o ponto se m ove sem pr e no mesm o sent ido. ˜ pode, sem pr eju´ızo algum, ser inclu ´ıda n a d efin iça˜ o E st a cond içao de movimento uniforme. (Veja tamb e´ m o comen t ario ´ a` p ag. ´ 101 do ´ livro “A Matem atica do Ensino M e´ dio”, vol. 1.) Deve-se notar que ˜ afim f(t) = vt + b a posi¸cao ˜ do m o´ vel no eixo e´ da da pela fun çao por e´ m o espa¸co (dist ancia) ˆ que ele percorr eu e´ d a do pe la fun ça˜ o linear e = vt.

6. A contr apartida algé brica do fato de que por dois pontos distintos do plano passa uma, e somente uma, r eta e´ a pr oposiça˜ o segundo a qual, dados x , x , y , y em R, com x  = x , existe um a, e somen te u ma , fun çao ˜ afim f(x) = ax + b, tal que f(x ) = y ˜ afim fica determinada e f(x ) = y . Em palavras: uma funç ao quando se conhecem seus valores (tomados arbitrariamente) em ˜ que resulta imediatamendois pontos dist int os. Es ta pr oposiçao, ˜ geom e´ trica acima mencionada, pode ser provada te da sua vers ao algebricam ente observando-se que, dados a rbitrar iamente x , x , y , y , com x  = x , o sistema linear ax + b = y ax + b = y , ´ cujas incó gnitas s a˜ o a e b, pos su i a solu ça˜ o unica

a = ( y − y )/(x − x ) e b = (x y − x y )/(x − x ).

7. O primeiro (e ma is importa nte) fat o a n otar par a resolver este ´ ero de dias que dur a a ra ça˜ o e´ inversamenproblema e´ que o n um ´ te p roporciona l a o n umero de vacas a serem alimentadas: qua nto


135

´ ma is vacas, men os dur a a ra ça˜ o e a le´ m disso, se o n umero de va´ ca s e´ multiplicado por um n u´ m e r o n a t u r a l n, o n umero de dias que d ur a a ra ça˜ o e´ d ividido por n. Passados os primeiros 14 dias, o fazen deiro tin ha ain da r açao ˜ suficient e para alimentar 16 vacas d u r a n t e 62 − 14 = 48 dias. Par a saber durante quantos dias esta r a çao ˜ poderia alimentar as 12 (= 16 − 4) vacas resta ntes, observamos que 12 = 16 × (3/4) logo esse n umer ´ o de dias e´ 48 ÷ 3/4 = 64. Depois d e m ais 15 d ias, a ra çao ˜ que resta d a´ para alimentar a s 12 vacas durante 64 − 15 = 49 dias. Ess a m esma r aça˜ o e´ suficiente para alimentar 21(= 12 + 9) vacas durante 49 ÷ (21/12) = 28 dias, 21 ˆ pois 21 = 12 × . Tota lizand o, na s circun st ancias do problema, a 12 ˜ dura 14 + 15 + 28 = 57 dias. r a çao ´ ˜ se8. Este exerc´ıcio e´ a n alogo a o a nt erior, porta nt o su a soluçao gue as m esmas linhas. Ao final de 12 dias de viagem, a caravan a ´ t em agua suficiente par a ser vi r 7 pessoas durante 42 − 12 = 30 dias. E 10(= 7 + 3) pessoas? Como 10 = 7 × (10/7), a a´ g u a d u r a r a´ 30÷ (10/7) = 21 dias. Como ainda faltam 30 dias para o fim da via´ io de agua ´ gem, se for ma nt ido o mesmo consum o diar por pessoa, ´ u m oasis deve ser encontrado em 21 dias ou menos. Isto responde ˜ dia´ r i a d e agua ´ o item b). Quan to ao item a), a ra çao por pessoa ´ t a m b e´ m e´ inversam ente proporcional ao n umer o de pessoas. Co´ m o 10 = 7 × (10/7), o consumo di ario por pessoa numa caravana de 10 pessoas deve ser de 3,5 ÷ (10/7) = 2,45 litros.

9. No eixo orientado AB, tomaremos A como origem das abscissas. Decorr idos t h or a s a p o´ s a partida, o carro que partiu de A encontra-se no ponto de abscissa f(t) = vt, enquanto o que par tiu de B tem abscissa g(t) = wt + d. Se eles se encontra m no tempo d t, tem-se vt = wt + d, donde t = . Evidentement e, se v = w v − w e d > 0 os carr os nu nca se encontra m. Tamb e´ m s e u < w n a˜ o ˆ wt + d − vt = ( w − v)t + d h a´ encont ro e, na verdade, a distancia a u m e n t a a` m edida que pa ssa o tempo. 10. Ao depar ar com este pr oblema, a t end eˆ ncia natur al e´ soma r as ˆ ´ dist ancias percorr idas pelo passaro em suas idas e vindas, o que

136 Temas e Problemas ´ du a. A soluçao ˜ mais simples consiste em e´ u m a t a r e f a m u i t o ar calcular o tempo. Os dois tr ens se chocam no momento t em que 46t + 58t = 260, ou seja, ap o´ s t = 260/104 = 2 horas e 30 minutos ´ E s t e e´ exatamente o tempo em que o p assaro voou. Portanto ele percorreu 60 × 2,5 = 150 quiloˆ metros.

11. Ap o´ s x meses de uso, quem comprou o aparelho na loja A gastou f(x) = 3800 + 20x reais, enquanto quem comprou na loja B gastou g(x) = 2500 + 50x. Tem-se g(x) − f(x) = 30x − 1300. Logo, 1 para todo x ≥ 1300/30 = 43 , tem-se g(x) − f(x) ≥ 0. N ou t r a s 3 palavras, ap o´ s 43 m eˆ ses e 10 dias de u so, o aparelho comprado na loja B, que inicialmente era mais barato, torna-se mais caro do que o comprado na loja A.

˜ deste exerc´ıcio e´ a n aloga ´ ˜ do Exema` explica çao 12. A solu çao plo 3, s o´ que ma is simples porque n a˜ o h a´ necessidade de m ostr ar que a correspond eˆ ncia x → z es t a´ bem definida. A partir do pont o Z, trace uma semi-reta paralela a OA, contida no interior do ˆ AOB. Se X e´ um ponto de OA tal que X es t a´ e n t r e O e X angulo ˜ o segmento X Z corta essa paralela num (ou seja, x < x ) ent ao ponto M. (Faça a figu ra !) Logo x < x ⇒ z < z . Al e´ m disso, se OX = XX = x en t ao OXZ e Z < Z s ao ˜ os tri angulos ˆ ˜ congruen tes por terem os lados OX e XX igua is compreendidos entr e os ˆ gulos igua is O = Z e X = M. P or t a n t o MZ = XZ. C om o e´ an claro que XZ = X M, segue-se que z = 2z. (Est a e xplicaça˜ o s o´ faz sentido se for a compan ha da de uma figur a.) Analogamente, x = nx ⇒ z = nz.























    









˜ (vide Exemplo 3) dua s proporciona lidades: x →  y Temos ent ao ˜ iguais quando  z. Os dois fatores de proporcionalidade s ao e x → y/x = z/x, ou seja, qua ndo z = y (para o mesmo x). Isto significa ˆ OXZ e´ is o´ sceles. Portanto os fatores de proporcioque o triangulo ˜ igua is se, e somen te se, a ret a r forma an ˆ gulos iguais na lidade s ao com OA e OB.


137

S o lu ç a˜ o d o p r o b l e m a d a l e b r e e d o c a c h o r r o Um pulo de lebre e´ igua l a 2/3 de um pulo de cachorro. Portanto a dianteira da lebre e´ de 100/3 pulos de cachorro. No momento em que alcançar a lebre, o cachorr o t era´ d a d o x pulos e a lebre ter a´ dado 4/3 pulos (de lebre), ou seja, ( 4/3) × (2/3)x = (8/9)x pulos ˆ cia per corr ida pelo cachorro de cachorr o. Nesse m omen to, a dist an ` (medida em termos de pulos) e´ igua l aquela percorrida pela lebre mais a dianteira qu e ela levava n o princ´ıpio. Assim:

x=

8 100 x+ , donde 9x = 8x + 300 e x = 300. 9 3

Port an to, dan do 300 pu los, o cachorr o alcança a lebre.


S o lu ç o˜ e s d o s P r o b le m a s d o C a p´ı t u l o 2 1 1 e´ o d ob r o d a m e´ dia aritm e´ tica de x e , lox x go e´ maior do que ou igual ao dobro da m e´ dia geom e´ trica desses 1 ´ 2 para todo x > 0. A n umeros, que e´ igual a 1. Assim, x + x 1 igua ldade ocorr e apena s qua ndo x = , ou seja, qua ndo x = 1. x 1. Note que x +

≥

2. A soma ax + by e´ o d o b r o d a m e´ dia aritm e´ tica de ax e by, logo e´ maior do que ou igual ao dobro da m e´ dia geom e´ trica des´ ses n umeros, s endo igual apenas quando ax = by, caso em que ax + by = 2 ax by = 2 abc. E st e e´ , portanto, o menor valor de ax + by quando xy = c. Como ax = by, cada um destes dois ´ n umeros e´ igua l a abc.

√ ·

√

√

3. Se o comprimento procurado e´ x metros e a profundidade e´ ˜ como a largura e´ 1 metr o, o volume do bura co e´ y metros ent ao, 1 x y = 300 m . O custo da ta refa de cavar e´ 10x + 30y. Tra ta-se, portanto, de minimizar a soma 10x + 30y sabendo que xy = 300. Pelo exerc´ıcio an ter ior, o valor m´ınimo e´ obtido quan do 10x = 30y. Sendo y = 300/x, isto nos d a´ 10x = 30 300/x = 9000/x, logo 10x = 9000, x = 30 e y = 300/30 = 10. Logo o bura co deve ter 30 met ros de compriment o e 10 metr os de pr ofun didade. Seu custo ser a´ de 600 reais.

· ·

·

4. U m a d a s t or n e ir a s e n ch e o t a n q u e e m x h o r a s e a o u t r a e m x + 10 horas. E m u ma h ora as dua s torneiras junta s enchem 1/12 do tanque, sendo 1/x e 1/(x + 10) r espectivam ent e a s fra ço˜ es do volume do ta nque que representa m a contr ibuiça˜ o d e ca d a u m a nesse per´ıodo. Logo 1 1 1 . + = x x + 10 12 Eliminan do os den omina dores e simplifican do, tem -se

x − 14 − 120 = 0.


139

˜ pode ser As r a´ızes dest a equa ça˜ o s a˜ o 20 e −6. Com o x n ao negativo, deve ser x = 20. Logo, uma das torneiras enche o tanque em 20 hora s e a outra em 20 + 10 = 30 horas. ´ o de hora s que as duas t orn eira s jun tas levariam 5. Seja z o n umer par a encher o tan que. Em u ma hora, a fraça˜ o d o t a n q u e q u e a s 1 1 1 1 x+y duas torneiras juntas enchem e´ . Logo = + = e da ´ı z z x y xy xy z= . (Note que z e´ a metade da m e´ dia ha rm oˆ nica de x e y.) x+y ´ ´ de horas necessarias 6. Sejam x e y respectivamente o n umero para que cada guindaste descarr egue sozinho o na vio. Temos xy x(x + 5) = 6 e y = x + 5, logo = 6 e da ´ı x − 7x − 30 = 0. x+y 2x + 5 As ra ´ızes d est a equ a ça˜ o s a˜ o 10 e −3, logo x = 10 e y = 15.

7. O primeiro comercian te vendeu x met ros ao pr eço de p reais por metr o. O segun do vendeu x + 3 metros a q reais cada metro. Os dados do problema se traduzem por px + q(x + 3) = 35,

(x + 3) p = 24

Logo p = 24/(x + 3) e q = 12,5/x. equ a ça˜ o:

24x 12,5(x + 3) = = 35 x+3 x

ou

e

xq = 12,5.

S u b st it u i n do n a p r im e ir a

48x 25(x + 3) + = 70. x+3 x

Eliminan do os den omina dores e s implifican do, reca´ı mos na equaça˜ o x − 20x + 75 = 0, cujas r a´ızes s a˜ o x = 5 e x = 15. Ambas as r a ´ızes servem, logo o problema admite duas respostas certas. Primeira resposta: um dos comerciantes vendeu 5 m etros a 24/(5 + 3) = 3 reais o metr o e o out ro vendeu 8 metr os a 12,5/5 = 2,50 reais cada met ro. Segunda resposta: um dos comerciantes vendeu 15 metros a 4/3 de rea is o metro e o out ro vendeu 18 metr os a 5/6 de real cada metro.


√

˜ dada sob a form a x = x − m e elevando8. E scre ven do a equ a çao a a o qua dra do, vemos que ela e´ equivalent e a` s segu in t es condiço˜ es ˆ simult aneas:

x − ( 2m + 1)x + m = 0,

x

≥ 0,

x

≥ m.

˜ do segundo grau acima e´ ∆ = 4m + 1. O discrimin an te da equa çao Vam os sepa ra r os valores poss´ıveis de m em cinco casos: 1 o¯) m < −1/4. E n t a˜ o ∆ < 0, logo n a˜ o h a´ solu ça˜ o. ˜ do segundo grau acima 2 o¯) m = −1/4. E n t a˜ o ∆ = 0, a eq u a çao tem apenas a ra iz x = 1/4, que cumpr e x 0 e x m, logo a equ a ça˜ o m + x = x tem n este caso uma u´ n ica solu ça˜ o.

≥

√

≥

3 o¯) −1/4 < m < 0. E n t a˜ o ∆ > 0, logo a eq u a ça˜ o x − ( 2m + 1)x + m = 0 t e m d u a s r a´ızes, am bas positivas (pois 2m + 1 > 0 e m > 0), amba s m aiores do que m (pois m e´ negativo), logo, n est e cas o, a equ a ça˜ o m + x = x t em du a s soluç o˜ es.

√

4 o¯) m = 0. E n t a˜ o

√s = x te m du a s soluçoes: ˜ x = 0 e x = 1.

5 o¯) m > 0. E n t a˜ o a eq u a ça˜ o x −( 2m+1)+ m = 0 tem duas ra ´ızes distinta s, amba s positivas, com pr odut o m , logo apen as um a delas e´ ma ior do que m. Assim, neste caso, m + x = x t em u m a u´ n ica solu ça˜ o.

√

√

˜ os Geometricamente, as ra ´ızes x da eq u a ça˜ o m + x = x s ao ˜ da sem i-par abola ´ pont os de int er seç ao deitada y = m + x, x 0, com a reta y = x, bissetr iz do primeiro e terceiro quadr antes. A Figur a 54 ilust ra as possibilidades, conform e os valores de m.

√

≥

9. O professor comprou x livros e cada um custou 180/x reais. Segundo o enu nciado, tem-se 180 180 = − 3. x+3 x Elimin an do os den omina dores e sim plifican do obtem os a equ aça˜ o x + 3x − 180 = 0, cujas ra ´ızes s a˜ o 12 e −15. Logo o professor comprou 12 livros a 15 reais cada um.


Y

Y

y = x

y = x y

y

=

1

-

1

-

4

1

4

m + x

X

1 4

4

(b) m =

(a) m < - ¼

Y

=

m + x

X

-

Y

y = x

¼

y = x y = x

y

=

m + x

1

X -

1

X

1 4

(c)

-¼

(d) m = 0

Y

y = x y

X

(e) m > 0

Figura 54

141

=

m + x

142 Temas e Problemas ´ de diagonais de um pol´ıgono convexo de n lados e´ 10. O n umero igu a l a n(n − 3)/2. I gu a la n do-o a 405, obtemos a equaça˜ o n − 3n − 810 = 0, cuja unica ´ raiz positiva e´ n = 30. P or t a n t o o pol´ıgono tem 30 lados. ´ o de jogos nu m cam peona to disputado por n clubes 11. O n umer em dois turnos e´ n(n − 1). Logo n − n = 306. Resolvendo esta ˜ encontramos a un ´ ica ra iz positiva n = 18. equ a çao,

12. E r a m x amigos. Se todos pagassem, a cota de cada um se˜ paga ra m, a cont ribuiçao ˜ individual r ia 342/x reais. Como 3 n ao passou a ser 342/(x − 3) reais. Segun do o enu nciado do problema, tem-se 342/(x − 3) = (342/x) + 19. Eliminan do os denominadores e simplificando, vemos que x e´ a ra iz positiva da equa ça˜ o x − 3x − 54 = 0, logo x = 9. Eram porta nto 9 a migos, que deveriam pagar 342/9 = 38 reais cada m as, no final, os 6 que pagar am contribu íram com 342/6 = 57 = 38 + 19 reais cada um. 



13. Seja x a pr ofun dida de do poço. O t empo de qued a e´ t = 2x/g e o tem po que leva o som pa ra ir do fun do do poço a` altur a do solo e´ t = x/v. Logo t = t + t nos d a´ 



t=





2x/g + x/v,



2x/g = t − x/v

( )

∗

Elevando ( ) ao quadrado, obtemos

∗

2x 2tx x , =t − + g v v

ou

x −

2v v gt (gt + v)x + = 0. g g

˜ do segundo gra u, encontr amos as ra´ızes: Resolven do est a equ a çao

v x= gt + v g

±





v( v + 2gt) .

˜ ambas positivas, pois e´ claro que (gt + v) = E s t a s r a´ızes s ao (gt) + 2vgt + v > 2vgt + v = v( v + 2gt). ´ M a s a unica raiz adequada para o pr oblema e´ a que cor res´ ponde ao sinal − an tes do radical. Com efeito, se tom assemos o sinal + t er ´ıamos x > vt , o que e´ absurdo pois x = vt < vt. 


143

14. Seja x a velocidade das a´ g u a s d o r i o e m k m p or h or a . N o movimento uniforme, tem-se tempo = es pa ço/velocida de. Logo, soma nd o o tem po de ida com o de volta r esu lta a equa ça˜ o 12 8 + = 2, 12 + x 12 − x

ou s eja ,

x − 2x − 24 = 0.

´ ica ra iz positiva dest a equ aça˜ o e´ x = 6. Port an to a velocidade A un do rio e´ de 6 km por hora. O remador levou 40 minutos para ir e 1 hora e 20 minutos para voltar. ˆ invertido. Por 15. Sejam x a a l t u r a e y a b a s e d o t r iangulo sem elha nça , vale (5 − x)/5 = y/4. (Faç a a figur a!) Logo y = 4 ˆ (5 − x). Segue-se que a a´ r e a d o t r iangulo invertido, inscrito no 5 m a ior, em fu n çao ˜ da sua a ltura, e´ expressa p or xy/2 = 2x −( 1/5)x . ´ ˆ gulo ma ior, Seu valor m aximo e´ atingido quando x = 5/2. O t r ian ´ ˆ cuja area e´ 10 m , fi ca assim decomposto em 4 tri angulos conˆ gruentes, de a´ r e a i g u a l a (5/2) m , u m d o s q u a i s e´ o t r i angulo invertido inscrito. ˜ as r a´ızes da eq u a ça˜ o ax +bx+c = 0 en t a˜ o a fu n ça˜ o 16. Se α e β s ao f(x) = ax + bx + c atinge, par a x = −b/2a = (α + β)/2, quadr atica ´ seu valor m aximo ´ se a < 0 ou seu valor m´ınimo se a > 0. P ortan to f(x) = 2(x − 2)(x + 3) e´ m ´ı nimo para x = (2 − 3)/2 = −1/2. E s s e m ´ınimo e´ f(−1/2) = −25/2. Ana logamente, g(x) = 3(2 − x)(5 + x) ´ assum e seu valor m aximo quan do x = (1 − 5)/2 = −3/2. E sse valor e´ g(−3/2) = 147/4. ˆ gulo tem base b − x e altura a + x, logo su a a´ r e a 17. O n ovo ret an e´ f(x) = (a + x)(b − x). As ra ´ızes da equ a ça˜ o f(x) = 0 s a˜ o −a e b. O coeficiente de x em f(x) e´ −1. Logo a fun çao ˜ quadr atica ´ ´ f(x) assume seu valor m aximo quando x = (b − a)/2. Note que, ˆ gulo de base b − x e altura a + x e´ , na par a este valor de x, o ret an realidade, o quadr ado de lado (a + b)/2. Outro modo de resolver este problema consiste em observar ˆ gulo de base x b, o per ´ı metro do ret an que, para todo x com 0 ´ ´ b − x e altura a + x e´ constante, logo sua area e´ m axima qua ndo ele e´ um quadrado, ou seja, quando b−x = a+x, o que d a´ x = (b−a)/2.

≤ ≤

144 Temas e Problemas ´ do mesmo e´ 18. As diagona is do losango s a˜ o x e 8 − x logo a area  1  ´ x(8 − x)/2 = x 4 − x e seu valor m aximo e´ obtido par a x = 4. 2 ˜ as duas di agonais s ao ˜ iguais e o losango e´ u m q u a dr a d o E n t ao cujo lado m ede 2 2.

√

´ ent a˜ o x + 8 e´ o outro e seu 19. Se x e´ o menor dos dois n umeros produto f(x) = x(x + 8) assum e o valor m´ınimo f(− 4) = −16, logo os valores poss´ıveis desse produto formam o intervalo [−16, +∞). ´ N a˜ o h a´ valor m aximo.

20. O enunciado do problema ja´ indica que, se escrev eˆ ssemos a ˜ na forma f(x) = ax + bx + c, t e r ´ıamos a > 0, logo seu fu n çao gr afico ´ e´ u m a p a r abola ´ com a concavidade voltada para cima. E´ ma is convenient e, por e´ m, escrever f(x) = (x − m) + k. Para todo y k, queremos achar x m t a l q u e (x − m) + k = y, ou seja, y − k, logo x = (x − m) = y − k. D ev e s er e n t a˜ o x − m = ˜ adequada e´ x = m y − k. Como se deseja x m, a solu çao ˜ inversa f : [k, +∞) → [m, +∞) m + y − k. Porta nt o, a fun çao e´ dada por f ( y) = m + y − k, onde m = −b/2a e k = f(m). No caso particular em que f(x) = x − 6x + 10, tem-se m = 3, k = f(3) = 1 e a in ver sa da fun ça˜ o f : [3, +∞) → [1, +∞) e´ dada por f ( y) = 3 + y − 1.

≥ ± √√

≥

√

±√

≥

√

˜ deve-se ter b. E n t ao 21. P a r a fi x a r a s i d e´ ias, suponhamos a ´ ´ 0 x a b. A area ab do paralelogramo e´ igual a` area ˆ ˆ do ret angulo menos a soma das a´ r e a s d e 4 t r iangulos, logo e´ expressa por f(x) = ab − (a − x)(b − x) − x = x(a + b − 2x), com 0 x a b. As r a´ızes da equ a ça˜ o f(x) = 0 s a˜ o x = 0 e x = (a + b)/2. Logo a fu n ça˜ o f assume seu valor m aximo ´ no pont o x = m, onde m = (a + b)/4. Se tivermos b ˜ ser a´ 3a en t ao ˜ do problema. Se, entreta nto, for m a e x = m ser a´ a solu çao ´ b > 3a en t a˜ o a fu n ça˜ o f assu me seu valor m aximo no pont o m > a. ´ ´ O gr afico de f e´ u m a p a r abola com a concavidade para baixo, que cort a o eixo OX nos pont os de abscissas 0 e (a + b)/2 (esboce-o!). ´ Como seu m aximo e´ a tingido no ponto m, que est a´ a` direita de a, ´ a fu n ça˜ o e´ crescente no intervalo [0, a ] porta nt o o m aximo de f(x)

≤ ≤

≤

≤ ≤

≤

≤

≤

≤


145

x a e´ f(a). Neste caso (b > 3a), a resposta e´ x = a. para 0 (Desenhe o paralelogramo obtido quando x = a.)

≤ ≤

´ ˜ pelo menos 16% ma iores do que seus x que s ao 22. a) Os n umeros x + 0,16x ou seja quadrados s a˜ o a s solu ço˜ es d a ine qu a ça˜ o x 1,16x − x 0. A s r a ´ızes da equ a ça˜ o 1,16x − x = 0 s a˜ o x = 0 e ´ ˜ todos aqueles que x = 0,862. Portan to os n umer os pr ocur ados s ao cum pr em a con diça˜ o 0 x 0,862. ´ ˜ no m aximo, ´ x que s ao, b) Os n umeros 22% menores do que o ˜ qu a dr a do d e su a s m et a des sao as soluço˜ es da inequa ça˜ o x 0. P or t a n t o a (x/2) + 0,22(x/2) , ou seja, 1,22 x − 4x 0 ou x 4/1,22 = 3,278, ou seja, todos os n umeros, resposta e´ x ´ exceto os n um ´ eros positivos m enores do que 3,278. x x x ´ x tais que c) Pedem-se os n umeros = + 0,3 , ou seja, 2 5 5 ´ x − 1,04x = 0. Logo os n umer os pr ocur ados s a˜ o x = 0 e x = 0,961.

≥

≤

≤ ≤

≤

≤

≥

·

≥

23. Seja m/n racional. Se fosse p(m/n) + q(m/n)+ r = 0 t er ´ıamos pm + qmn + rn = 0. Podemos su por m/n irredut ´ıvel, digamos m p a r e n ´ımpar. Como o produto de um inteiro par por qualquer outr o inteiro e´ ainda par, pm e qmn s ao ˜ pa res, logo a soma pm + qmn e´ par. Por outr o lado r e n s a˜ o ´ı mpares portan to rn ´ e´ ´ı mpar. En t a˜ o ( pm + qmn) + rn , s oma de um n umer o par com ¨ u m n u´ m e r o ´ımpar, e´ ´ımpar, conseq uentemente = 0. Con t r a diç a˜ o. ´ Se fosse m ´ı mpar e n par, o argumento seria an alogo: a primeira parcela da soma pm + qmn + rn seria ´ım p a r e a s d u a s ou t r a s ˜ poderia ser igual a zero. par es, logo a soma n ao



24. A trabalhou um total de x + 3 horas e B, x horas. O n u´ m e r o de laudas que A digitou por hora foi 120/x enquanto que B digitou 252/(x + 3) laudas em cada h ora . O total de laudas digitado por A foi 120(x + 3)/x e, o de B, 252x/(x + 3). Logo 120(x + 3) 252x + = 354. x x+3 Eliminan do os den omina dores e simplifican do:

x − 19x + 60 = 0.

146 Temas e Problemas Portanto, devemos ter x = 15 ou x = 4. Ambas as possibilida´ des s a˜ o validas: o problema admite du as r espostas. Se tomarm os x = 15, isto significa que A tra balhou um t ota l de 18 horas, digitando 120/15 = 8 laudas por h ora enquanto B t r a b a lhou du ra nte 15 hora s, digitan do 252/18 = 14 laudas por h ora . Ao todo, A digitou 144 laudas e B digitou 210. Se tomarm os x = 4, isto significa que A t r a b a lh ou d u r a n t e 7 horas, fazendo 120/4 = 30 laudas por hora e B tra balhou duran te 4 horas, completando 252/7 = 36 laudas por hora. (Do ponto de vista matem atico, ´ ambas as respostas s ao ˜ cor´ r e ta s . N a p r atica, a primeira resposta requer habilidade mas e´ poss´ı vel, enquan to a segun da e´ a ltamente implaus ´ıvel.)

25. Tomemos o vinh o cont ido inicialment e no t onel como u nidad e ´ de volume. Seja x o volume de agua introduzida no tonel (igual x 1. Ap o´ s a ao volume do l´ıquido retirado) cada vez. Ent a˜ o 0 ˜ o tonel continha um volume x de agua, ´ pr imeir a oper a çao, a qual adm itiremos que se mistur ou imediat am ent e com o vinh o form an do um l´ıquido homog eˆ neo. Assim, o volume x do l´ı quido retira do ˜ cont e´ m u m a p a r t e d e a´ g u a q u e e´ no in ´ıcio da segun da opera çao ´ proporcional a` agua contida no tonel inteiro, logo s a˜ o r e t ir a d a s x unidades de agua, ´ r estan do no tonel um l´ıquido contendo x − x ´ a. A segun da opera çao ˜ se completa acrescenta nunidades de agu ´ a. A encerra r-se a a çao, ˜ o tonel cont e´ m do mais x unidades de agu portanto 2x − x unidades de agua. ´ O enun ciado o problema diz que este e´ a metade do total. Portan to 2x − x = 1/2. Resolvendo es t a equ a çao, ˜ obtemos x = 1 2/2. Como deve ser 0 x 1, segue-se que x = 1 − 2/2 = 0,293. Port an to, em cada opera ça˜ o a ´ agua colocada no tonel corr esponde a proxima dam ent e a 3 dé cimos ´ do seu cont e udo.

≤ ≤

√

±

√

≤ ≤

˜ procur ada. Os dados f(1) = 2, 26. Seja f(x) = ax + bx + c a fu n çao f(2) = 5 e f(3) = 4 significam que

a+ b+c = 2 4a + 2b + c = 5 9a + 3b + c = 4


147

Resolvendo este sistema, encontr amos a = −2, b = 9 e c = −5, logo f(x) = −2x + 9x − 5. ´ 27. De f(1) = f(3) resulta que m = (3 + 1)/2 = 2. Como o gr afico ˜ procur ada de f tangencia o eixo OX, vemos que k = 0, logo a fu n çao e´ f(x) = a(x − 2) . A in form a ça˜ o f(3) = 2 nos d a´ ent a˜ o a = 2 e ent a˜ o f(x) = 2(x − 2) = 2x − 8x + 8.

S o lu ç a˜ o d o p r o b l e m a d o r e s t a u r a n t e a q u i l o Se o quilo de comida pas sar de 12 p a r a 12 + x reais, o restauran te perder a´ 10x clientes e deixar a´ de vender 5x quilos de comida. A ´ venda diaria passar a´ a ser 100 − 5x quilos e a receita ser a´ de

(100 − 5x)(12 + x) = −5x + 40x + 1200 reais. ´ O m a´ x im o d es s a fu n ça˜ o qu adr atica e´ a t in gid o qu a nd o x = (− 40) (−10) = 4. Portan to, o preç o que dar a´ a m a i o r receita ao restaura nte ser a´ de 12 + 4 = 16 reais o quilo.

÷


S o lu ç o˜ e s d o s P r o b le m a s d o C a p´ı t u l o 3 ˜ da cidade e´ m ultiplicada 1. A cada per´ıodo de 5 a n os, a popu laçao por 1,02. Logo, em 20 anos, ela e´ multiplicada por 1,02 = 1,0824 . Assim, o crescimen to estima do e´ de 0,0824, ou seja, 8,24%. E st a´ impl´ıcito n o enu nciado do pr oblema, que a populaça˜ o e´ multiplicada por uma constante em qualquer intervalo de tempo ˜ fixa (n ao ˜ n ecessar iamen te com a dur açao ˜ de 5 anos). de du r a çao E s t e e´ um modelo adequado para crescimento populacional, pois ˜ em um cert o inter vatr ad uz o fat o de que o au men to da popu laçao, ˜ n o in´ıcio deste intervalo. lo de tem po, e´ proporcional a` pop u la çao Em conseq u¨ eˆ n cia, a popu laç a˜ o p(t) n o i n s t a n t e t e´ expressa ˜ do tipo exponencial p(t) = ba , onde b = p(0) e´ por u ma fun çao ˜ no insta nte inicial. O valor de a pode ser calculado a pop u la çao usa ndo o fat o de que, em 5 an os, h a´ um crescimento de 2%. Temos p(5) = p(0) × a = p(0) × 1,02. Portan to, a = 1,02 e p(t) = p(0) × 1,02 . Logo, o crescimento r elativo em um per´ıodo d e du r a ça˜ o t anos e´

p(t) − p(0) p(0) × 1,02 − p(0) = = 1,02 − 1. p(0) p(0) ´ de bact e´ r ia s n o i n s t a n t e t e´ da forma f(t) = ba . 2. O n umero Como f(0) = 1000, temos b = 1000. Com o f(1) = 1500, temos 1500 = 1000 · a e, da ´ı, a = . Assim, = . Logo, f(t) = 1000 · ´ 5 horas a p o´ s o in ´ıcio do experim ent o, o n umer o de bact e´ rias ser a´



f(5) = 1000

·  ≈ 3 2

7594 bact e´ rias.

3. A lei do resfriam ent o est abelece que a diferen ça T − 20 e n t r e as tempera tur as da peça e do am biente varia, ao longo do tempo, com um a ta xa de va riaç a˜ o q u e e´ proporcional ao seu valor. ˜ do tipo expoIsto significa que T − 20 e´ dada por uma fun çao nencial do tempo. Ou seja, T − 20 = ba ou, equivalentemen te,

149


T = 20 + ba . Para calcular a e b, usamos as temperaturas observadas nos ins tantes t = 0 e t = 10 (estamos escolhendo medir o temp o em minu tos). Temos 20 + ba = 120, de onde obtemos b = 100 e 20 + 100a = 80, de onde obtemos a = = 0,6 e, da ´ı, a = 0,6 . Ou seja, a temperatura T ao longo do t empo e´ dada por T = 20 + 100 · 0,6 . Ap o´ s 1 hora (ou s ej a, para t = 60 minutos), a temperatura ser a´ T (60) = 20 + 100 × 0,6

= 20 + 100 × 0,6

≈ 24,7.

´ O gr afico da temp era tu ra ao longo do tem po est a´ na Figura 55.

T 120 80

20

t Figura 55

4. A massa de ma t e´ ria radioativa e´ dada por m(t) = m · a , onde m e´ a massa no insta nte inicial. Como a m eia-vida e´ 5500 anos, temos m(5500) = m · a = m · . Logo, a = e, portan to,



. Assim, a ma ssa de ma terial ra dioativo que resta ap o´ s a= 10000 anos e´

m(10000) = m

·a

=m

·  1 2

=m

· 0,284.

150 Temas e Problemas Logo, r esta m 28,4% do mat erial r adioativo original.

5. A m a s s a n o in s t a n t e t e´ m(t) = m · a . C omo m(1) = 0,8m , temos m · a = 0,8m e, portanto, a = 0,8. A meia-vida e´ o tempo e m q u e a m a s s a s e r e d u z a` m e t a d e . E´ obtida, portanto, resolven do a equ a ça˜ o m · 0,8 = m · , ou seja, 0,8 = 0,5. Assim, . Usa ndo, por exemplo, logaritt log 0,8 = log 0,5 e, da´ı, t = log log mos na base 10, tem-se t=

−0,30103 = 3,10628 anos. −0,09691

6. Segun do a lei de r esfriam ent o, a diferença T − 20 e n t r e a t e m peratura do corpo e a temperatura do ambiente e´ d a d a p or u m a ˜ do tipo exponencial. Assim, T − 20 = b · a , ou seja, T = fu n çao 20 + b · a . Adotando t = 0 como o insta nt e em que a tem pera tu ra do corpo foi tomada pela primeira vez e medindo o tempo em horas, temos T (0) = 34,8 e T (1) = 34,1. Assim, temos 20 + b · a = 34,8, o que nos fornece b = 14,8. E m seguida, 20 + 14,8 · a = 34,1, de onde tira mos a = . Portanto,

 

temos T = 20 + 14,8 . P a r a e n con t r a r o i n s t a n t e d a m or t e , d ev em os d et e r m in a r t de modo que T = 36,5. Ou seja, devemos resolver 36,5 = 20 + . Temos 14,8

·

 

  ×  

16,5 = 14,8 16,5 = 14,8

14,1 14,8

14,1 14,8 14,1 log 16,5 = t log 14,8

Empr egan do logaritmos na base e, temos 0,10873 = −0,04845t , de onde obtemos t = −2,24. O sinal negativo indica que o instan te em que a temperatura do corpo er a de 36,5 e´ a nt erior ao moment o da pr imeira mediça˜ o. ◦


151

Assim, a morte ocorreu aproximadamente 2,24 horas, ou seja, 2 ´ horas e 14 minutos antes das 23:30. Isto e´ , o hor ario estimado para a morte e´ 21:16. ´ antes de mais nada, interpretar corr et amente 7. E´ necess ario, ˜ implica em a s in for m a ço˜ es forn ecidas. A taxa de 10% ao m eˆ s n ao ´ que, ao longo de um m eˆ s, 10% da agua se evapore. O valor d ado se ˜ Ou seja, se a agua ´ refere a` t a xa in s t a n t aˆ ne a d e eva pora çao. continuasse a se evaporar a uma taxa constante e igual a` do instant e ´ inicial, 10% da agua se evapora ria em um m eˆ s. No entan to, a ta xa ´ de eva por a ça˜ o e´ proporcional a` quan tidade de agua existente e e´ , porta nt o, decrescent e a o longo do tem po. Como a ta xa de evaporaça˜ o e´ proporcional a` q u a n t i d a d e d e ´ ˜ do tipo exponen agua no reservat o´ rio, est a e´ da da por u ma fun çao ˜ na forma q(t) = q · e , cial. E´ conven ient e expres sa r es ta funçao onde q e´ a quantidade inicial de a´ g u a n o r e s er v a t o´ rio e k e´ a consta nte de proporciona lidade entr e a taxa de evaporaça˜ o e a ´ quantidade de agua. O dado do problema e´ que esta constante de proporcionalidade (logo o valor de k) e´ igual a 10% = 0,1 (com ˜ da quantidade de o temp o medido em meses). A lei de var iaç ao ´ agua e´ , assim, q(t) = q · e . ´ io par a que a agua ´ Para achar o tempo necessar se reduza a` 1/3 de su a qua nt idade inicial, devemos r esolver a equa ça˜ o

q

·e

=q

· 13 .

Temos −0,1t = log = −1,09861 . Logo, t = 10,9861 , o que indica ´ que a quan tidade de agua se reduz a 1/3 de seu valor em aproximadamente 11 meses.

8. No problema 4, estabelecemos que a massa de C

 ·

ao longo

do tempo e´ dada por m(t) = m . Se a radioatividade da amostra hoje e´ 0,45 da observada em uma amostra viva do mesmo material, temos que o tempo t decorr ido entre a e´ poca em que o material estava vivo e os dias de hoje satisfaz

m

·  1 2

=m

· 0,145.




Logo, log = 0,145, ou seja, Utilizando logaritmos na base e:

= log 0,145.

t · (−0,69315) = −1,93102 5500 Portanto, t 15322 . Logo, as pinturas foram feitas aproximadamente 15000 anos atr a´ s.

≈

˜ da qua ntidade de dr oga pode ser expressa n a 9. A lei de va r ia çao forma q(t) = q · e , onde q e´ a quan tidade inicial da droga (20 ˜ en tr e a ta xa de eliminaç a˜ o e a q u a n t id a d e d e mg) e k e´ a r a z ao droga. N este caso,

k=

5 mg/hora = 0,25 hora 20 m g

(note a unidade apropriada para k). Assim q(t) = 20 e Para calcular a meia-vida t, r esolvemos a equ a ça˜ o

·

20 · e

= 20 ·

.

1 2

Temos:

e

= 0,5

−0,25t = log 0,5 log 0,5 t= = 2,772 log 0,25

≈

2 horas e 46 minutos.

10. Empregar uma escala logar´ı tmica para o eixo Y equivale a representar, par a cada valor de x, o p ar (x, log f(x)) n o p la n o ´ cart esian o. Logo, o gr afico ser a´ u ma r eta s e e somente se os pont os ˜ sobre uma reta. Isto ocorre se e s o´ se existem (x, log f(x)) es t ao constantes a e b tais que log f(x) = ax + b, ou seja, f(x) = 10 onde B = 10 e A = 10 .

= 10

· (10

) =B·A ,


153

Na parte b), temos log 0y = ax + b, onde os valores de a e b ´ podem ser encontrados com o aux´ılio de dois pontos do gr afico. P a r a x = 0, tem os y = 10 e, par a x = 4, tem os y = 1000. Logo log log

10 = 1 = a · 0 + b

1000 = 3 = a · 4 + b

Resolvendo o sistema , encont ra mos b = 1 e a = . Logo, log

x + 1, ou seja, y = 10

= 10

· √  10

y=

.

˜ do problema 1, vimos que, a o discret izar o fen oˆ meno 11. Na solu çao segun do inter valos de d ur aça˜ o ∆t, obtemos:

c(t + ∆t) − c(t) = c(t) ·

− v∆t . V + v∆t

Logo,

c(t + ∆t) − c(t) v = −c(t) · . ∆t V + v∆t ˜ obtida t oma ndo o limite Porta nto, a taxa instant aˆ ne a de va r iaçao ˜ a cima e´ igua l a −c(t) · . quando ∆t → 0 da express ao ˜ da quant idade J a´ n o pr oblema 6, vimos que a ta xa d e var iaçao de cloro no instante inicial e´ igual a -105 g/hora . Logo, − c(0) = −105. Como V = 100 m e c(0) = 1000 g, temos − · 1000 = −105 e, portanto, v = = 10,5 m /hora. ×

12. a) No insta nte 0, e´ ingerida uma quantidade q. I mediatamen´ ent ao, ˜ inte an tes do instante h , a quan tidade se reduz a q/2. E, gerida uma nova quantidade igual a q, elevan do a qua ntidade de droga para + q = . Ao longo do pr o´ ximo per ´ıodo de du r a ça˜ o h ,

    ·

a quan tidade de dr oga decai segun do a lei q(t) = , onde t e´ o tempo decorr ido a par tir do instan te h . Logo, a quan tidade de

·

droga existente no instan te = h + e´ = (2). b) Basta analisar o que ocorr e i mediatamente depois da in˜ de cada dose da droga. Entre estes instantes a quantidade gest ao ˜ do tipo de droga decai a` met ade d e seu valor segund o uma funçao exponencial.

154 Temas e Problemas Seja q(n) a quan tidade de droga imediata ment e apo´ s o instant e nh . Temos q(0) = q e q(n + 1) = q(n) + q, p a r a t o d o q (observe que, entre os instantes nh e (n + 1)h a q u a n t i d a d e d e droga se reduz a` m etade, mas e´ acrescida de uma nova dose igual a q). Assim:

·

1 +q 2 1 1 1 1 · +q = q· +q· +q q· 2 2 4 2

q(1) = q · q(2) = etc.

 

˜ que E´ s imp les pr ovar, por in du çao,

q(n) = q



1 1 + 2 2



+ ···+ 1

= q·

1−



1−

  

= 2q 1 −

1 2

O valor limite, quan do n → ∞, da quantidade q(n) de droga no organ ismo logo ap o´ s s u a in jeça˜ o e´ , port ant o igual a 2q. ´ O gr afico da Figura 56 mostra o comportamen to da qua ntidade de dr oga ao longo do tempo.

2q

q

h

2h

3h

Figura 56

4h

5h

.

˜ do Cap´ıtulo Soluç oes ıtulo 4

155

S o l u ç o˜ e s d o s P r o b le l e m a s d o C a p ı´t u l o 4 Problema 1

h 14

10

A

x

B Figura 57

˜ a o plan Seja h a altur alturaa do P a˜ o d e Aç u´ car em r ela çao plan o horizo horizon˜ e seja x a dist ancia ˆ t a l d e m ediç ao de B a o p e´ da altura (Figura 57). ˆ ˆ gulos Nos dois tri angulos angulo s ret an gulos form form ados n o plan plan o vert vert ical ical t emos:

h = t g 14 = 0,2493 x ◦

h = t g 10 = 0,1763 650 + x ◦

Resolvido este sistema, obtemos h = 391,4.

Problema 2 ˆ ABP (Figura 58) temos: Aplic plican do a lei dos dos sen os n o tri angulo 1 x = s en 9 s en 52 ◦

◦

x=

donde

0,7880 = 5,04. 0,1564

Problema 3 ´ ˆ gulos E´ f ´ f acil calcular calcular os s eguintes an gulos (Figur (Figur a 59): 59): ◦

AXB = 18 

e

◦

AYB = 6 

ˆ XAB temos: Aplic plican do a lei dos dos s enos no tr iangulo

XA 1 , = s en 46 s en 18 ◦

◦


P

9

x

A 119

1 52

B Figura 58

Y

6

X 18

74

62 54

A

46

B Figura 59


157

o que fornece XA = 1,328. Sendo ABY = 120 , novam novam ent e a lei dos dos senos fornece: YA 1 , = s en 120 s en 6 ˆ AXY usamos agora a lei dos o q u e d a´ YA = 8,285. N o t r iangulo cossenos: ◦



◦

◦

XY = XA + YA − 2 · XA · YA · cos (XAY ) 

e os calculos ´ indicam XY = 7,48.

Problema 4 plano horizontal

h horizonte

R α

R

O

Figura 60

ˆ α entre a hor Observando a Figura 60, vemos que o angulo horiizontal e a linha de visada ao horizonte, aparece tamb em e´ m no centr centr o da Terra. Da´ Da ´ı, ı, R cos α = h + R e, portanto, h cos α R= . 1 − cos α P a r a h = 0,703 k m e α = 0,85 encontra-se R = 6633 k m . O r a i o m edio e´ dio da Terra e´ de cerca erca de 6 370 370 km. O resultado ´ encontrado e´ bastante rrazo azoavel. ◦

158 Temas e Problemas Problema 5

A

O

S

Figura 61

360 en t ao ˜ o comprimento da circunfer eˆ ncia da Terra 50 ´ e´ 50 vezes o compr iment o do arco SA, ou seja 250 000 est adios ou 40250 40 250 km. Da´ı, R = = 6409 km, um resultado mu ito bom. 2π ◦

Se α =

Problema 6 ˜ p roporciona is respectiva1) Os compr iment os de AC e BC s ao ment e a 8 e 9 (Figur a 62). Da´ı, pela lei dos senos, 9k 8k = sen 110 sen θ ◦

Encontramos sen θ = 0,835 e como θ e´ u m an ˆ gulo agudo, tem-se θ = 56,6 . ◦

2) Veja a Figura 63.

8,1 8 = sen 110 sen θ ◦

◦

⇒

θ = 68,14

⇒

BC = 1448 m .

Logo, ACB = 1,86 . 

◦

BC 50 = sen 110 sen 1,86 ◦

◦


r

C

8k

A

159

110

9k

θ B Figura 62

C

8k

A 110

50 8,1k

θ B Figura 63

Problema 7 ˜ os lados Como a velocida de d e A e´ 15% ma ior qu e a de B, ent ao BC e AC do tr i an ˆ gulo s ao ˜ respectivament e pr oporciona is a 1 e 1,15 (Figura 64). Da´ı, 1 1,15 = sen 60 sen θ ◦

⇒

sen θ = 0,99593.

Mas, isto fornece θ = 84,8 ou θ = 180 − 84,8 = 95,2 . ◦

◦

◦

◦

Por que h a´ d u a s r e s p o s t a s ? ˜ Os v e´ rtices A e B do tr iangulo ˆ ABC Im agin e a segu int e situ açao. ˜ fixos e a ra zao ˜ entr e os lados CA e CB e´ const an te (Figur a 65). s ao Vam os mostr ar que nes ta s condiço˜ es o lugar geom e´ trico de C e´ uma circunfer eˆ ncia.


1,15k

A

C

60

k θ B Figura 64

C

A Figura 65.

CA CB

B

= r, constante. Qual e´ o lugar geom e´ tr ico do v e´ rtice C ?

Dividamos o segmento AB harmonicamente na raz a˜ o r. I st o significa encontrar os pontos M e N d a r e t a AB, um interior ao segmento AB e outr o exter ior, ta is que

MA NA = = r. MB NB CA MA ˆ gulo interno C do = , ent a˜ o CM e´ bissetriz do an MB CB ˆ ABC (recorde o teorema da s bissetrizes e sua rec´ıproca). t r i angulo NA CA Como , ent a˜ o CN e´ bissetriz do angulo ˆ extern o C do = NB CB ˆ ABC (Figura 66). t r i angulo Como


C

161

β

β

α α

A

M

B

N

Figura 66

˜ fixos e o angulo ˆ MCN e´ reto. Logo, C Ora , os pont os M e N s ao es t a´ s obre a circunfereˆ ncia de diaˆ m e t r o MN (Figura 67). C

A

M

B

N

Figura 67

Este lugar geom e´ trico chama-se “circunfer eˆ ncia de Apol oˆ nio” do segmento AB n a r a za˜ o r. Voltemos ent ao ˜ a o problema . CA Se A e B s ao ˜ fixos e = 1,15 en t a˜ o C es t a´ na circunfer eˆ ncia CB ˜ Como C es t a´ n a r e t a r, de Apol oˆ nio do segment o AB e nessa r a zao. ˜ dessas du as figura s. en t a˜ o a solu ça˜ o e´ a in t er se çao

162 Temas e Problemas No n osso problema, h a´ dois pontos poss´ıveis para o encontro: ˆ C ou C . Os angulos calculados foram ABC = 84,8 e ABC = 95,2 . (Figura 68). 

◦

r

A



◦

C

’

C

B

Figura 68

Problemas suplementares ˜ os corr edores percorr er a˜ o 1. Se a s velocidades forem iguais en t ao ˆ ˜ da dist ancias iguais. Se α = BAC e´ agudo ent a˜ o C e´ a in t er seç ao mediatriz de AB com r. Se α e´ r eto ou obtu so, n a˜ o h a´ solu ça˜ o. ˆ ˜ r espectivam ente proABC, os lados AC e BC s ao 2. No tri angulo porciona is a 9 e v. Da ´ı, pela lei dos senos,

9 v = sen α sen 50

◦

9 · sen 50 sen α = ≤ 1. v ◦

don de

Da ´ı, v ≥ g · sen 50 , ou seja, v ≥ 6,89m/s. N ot e qu e a m e n or ˆ ABX e´ ret o. velocida de de B ocorr e qua ndo o angulo ◦


r

A

C

163

x

α

α B Figura 69

3. Veja a Figura 70. Pela lei dos cossenos, ◦

PQ = 1,2 + 1,8 − 2 · 1, 2 · 1, 8 · cos 27 , donde PQ = 911 m . Aplicando a lei dos senos,

1,8 0,911 = sen α sen 27

◦

⇒

sen α = 0,897.

β = 89,2 . Temos ent a˜ o α = 63,8 e, conseq uentemente, ¨ ◦

◦

ˆ PAB e PBA foram medidos, 4. Veja a Figura 71. Como os angulos encontramos APB = 31,6 . ◦

PA 660 = sen 77,9 sen 31,6 ◦

◦

⇒

PA = 1231,6

◦

h = PA · t g (CAP) = 1231,6 · t g 29,7 = 702,5 m . ˆ O leitor poder a´ calcular a m esma a ltura utilizando o tri angulo ˜ das m edidas. PBC par a verificar a exatidao


Q

β x

P

α

y

1,8 1,2

27° C Figura 70

C

h

P B A

660m Figura 71


165

S o lu ç o˜ e s d o s P r o b le m a s d o C a p ı´ t u l o 5

´ io em d cubinhos de ar esta 1. Divida o cubo u nit ar de cada um e´

1 · d

Dividindo as arestas de comprimentos

1 · O volum e d

a b c , e respectivad d d

1 e tr açan do pelos pont os d ˜ planos par alelos as ` faces, o bloco ficar a´ dividido em abc de d ivis ao cubinhos justapostos. O volume do bloco ser a´ ent a˜ o mente em a, b e c segmentos iguais a

V = abc ·

1 a b c = · · . d b d d

˜ do bloco por um 2. Quando multiplicamos apenas uma dimens ao n u´ m e r o n a t u r a l n, o volume fica multiplicado por n, ou seja, o novo bloco e´ formado por n blocos justapostos iguais ao inicial. Isto mostra que o volume do bloco r etangular e´ proporcional a qualquer u ma de suas dimens o˜ es. Seja V (x,y,z) o volume do bloco reta ngular cujas ar estas medem x, y e z. Pelo teorema fundamenta l da proporcionalidade ´ tem-se, para todo n umero real positivo c,

V (cx,y,z) = V (x,cy,z) = V (x,y,cz) = c · V (x,y,z). Portanto,

V (x,y,z) = V (x · 1,y,z ) = x · V (1,y,z ) = = x · V (1, y · 1, z) = xy · V (1,1,z) = xy · V (1,1,z · 1) = = xyz · V (1,1,1) = xyz · 1 = xyz.

˜ significa que: 3. E st a d efin içao a) Par a t odo poliedro retangular P cont ido em S, v(P) ≤ V .

166 Temas e Problemas ´ b) Para todo n umero real r < V , e´ poss´ıvel encontrar um poliedro retan gular Q, cont ido em S, tal que r < v(Q) ≤ V . ˜ de sem elhan ça en tr e o brigadeiro gra nde e o pequeno e´ 4. A raz ao R ˜ entre os volumes e´ k = 2 = 8. k= = 2. A raz ao R/2 ˜ de sem elhan ça ent re a est a´ t u a p eq u en a e a g r a n d e e´ 5. A r a z ao 10 2 k= = · Su pondo na tu ra lmen te qu e os objetos sejam m aciços, 15 3 ˜ entre as massas a m a s s a e´ pr oporciona l a o volume. Logo, a ra zao 8 ˜ dos volumes, ou seja, k = e´ igua l a` r a zao · Temos ent a˜ o: 27

120 8 = M 27

⇒

M = 405g.

6. Seja P um prisma cuja base est a´ sobre u m plano horizonta l H. ´ Sejam A a area da base e h a a l t u r a d e P (Figura 72). ˆ ´ A e, Sobre o plano horizontal construa um ret angulo de area em seguida, um bloco retangular B, com altura h e t e n d o es t e ˆ gulo como ba se. r et an Ora, qualquer plano pa ralelo a H secciona P segundo um poˆ l´ıgono congru ent e a` sua base e secciona B segundo um ret angulo congruente a` sua base. ˜ mesma Como as bases dos dois s o´ lidos t eˆ m, por cons tr uç ao, ´ ˜ as ar ´ eas da s du as seço˜ es s ao ˜ iguais. Conclu´ımos en t a˜ o area, ent ao pelo Princ´ıpio de Cava lieri qu e v(P) = v(B) = Ah.

7. Na Figura 73, o prisma ficou dividido nos tetraedros: A B C A, ACC B , ACC B e ABCC . ˜ congruentes e as alV = V pois as bases A B C e ABC s ao ˆ ˆ turas (dist ancia de A ao plano A B C e dist ancia de B ao plano ˜ iguais. ABC) s ao 





























167


P

B

h A1

A 2

A

A

H

F i g u r a 7 2 . A 1 = A = A2

A

’

C

’

C

’

B

’

A

B

B

’

A

’

C

A

C B

V

V 2

1

V 3

Figura 73

˜ congruen tes e a a ltura V = V pois as bases AA C e ACC s ao ˆ cia de B ao plan o ACC A ) e´ a mesma. (dist an Logo, V = V = V . 











8. Considere o prisma tr iangular do exerc´ıcio ant erior. Sen do S a ´ ˆ ABC e h a a ltura do prisma, seu volume e´ Sh . area do triangulo ˆ ABCB que tem a mesma ba se do prisma O volum e da p ir amide 1 e a mesma a ltur a do prisma tem volume do volume do prisma, 3 1 ou seja, Sh . 3 

168 Temas e Problemas ˆ ˆ Uma pir amide qualquer pode ser dividida em pir amides t rianˆ gulares de mesma altura da pir amide dada. Basta dividir a base ˆ ˆ da pir amide em tr i angulos, como mostra a Figura 74.

s1

s2

s3

Figura 74

´ ˆ Seja S a area da base da pir amide e h sua altura. Dividindo a ˆ base em tri angulos de a´ r e a s S , . . . , S com S + · · · + S = S, tem os ˆ par a o volume da piramide qualquer,

V =

1 1 1 1 S h + S j + · · · + S h = Sh. 3 3 3 3

˜ paralela a` b a s e e´ congruen9. Em um cilindr o, qua lquer seçao t e c om a b a s e. U s a n d o o m es m o a r gu m e n t o d o exe r c´ı cio 6 e o Princ´ıpio de Cavalieri, conclu ´ı mos que o volume de qualquer ci´ lindro e´ o produto da area da base pela altura. Sendo h a a l t u r a e R o raio da base, o volume ser a´ πR h .

10. Considere a base do cone sobre um plano horizontal H. Consˆ gulo de area ´ S = πR e em seguida, uma trua no plano H u m t r i an ˆ ˆ gulo (Figur a 75). Um pir amide de altura h com base neste tri an plano par alelo a H distando h − x de H corta os dois s o´ lidos p r oduzin do seç o˜ es de a´ r e a s S e S . C a da se ça˜ o e´ semelhante a` respecti˜ e a base e´ x/h . va base e a raza˜ o de s em elh a n ça en t r e a seçao


169

x h

S1

S2

S

S

H

Figura 75

˜ entre as areas ´ Como a r az ao de figura s semelhant es e´ igua l ao ˜ de sem elha nça tem os: quadrado da r a zao

S = S

 x h

=

S S

ˆ e portanto S = S . Pelo Pr inc´ıpio de Cavalieri, o cone e a p ir amide ˜ a ter ça par te do t eˆ m mesmo volume. O volume do cone e´ e n t ao ´ produto da area da base pela a ltura.

11. Considere um cone de raio R e altura x (Figur a 76). Um plano paralelo a` base formou um cone menor, semelhant e a o primeiro, ˆ com raio r e a l t u r a y. S eja h a dist ancia entre os dois planos paralelos. O volume do tronco de cone e´ a diferen ça ent re os volumes desses dois cones, ou seja, 1 1 πR x − πr y 3 3 π = [R (h + y) − r y ] 3 π = (R h + R y − r y) 3 π = [R h + y(R − r )] 3

V =


y x

r h

R Figura 76

mas,

R r R−r rh = = , ou seja, y = . Logo, x y h R−r





π rh V = R h + (R − r ) 3 R−r π = [R h + rh (R + r)] 3 πh = [R + r + Rr ]. 3

´ ˜ que tenho em m aos possuem as 12. Os copos comuns de pl astico seguintes dimens o˜ es em cm:

2R 6,6 4,8

2r 4,8 3,4

h 8,0 3,6

Os volumes s a˜ o: π − 8 V = (3,3 + 2,4 + 3,3 · 2,4) = 205,7 cm 3 π · 3,6 V = (2,4 + 1,7 + 2,4 · 1,7) = 48 cm 3 ∼

∼

e a r a za˜ o e´

205,7 = 4,3. 48 ∼


171

S o lu ç o˜ e s d o s P r o b le m a s d o C a p ı´ t u l o 6 S e ç a˜ o 1 ˜ pode ser marcada de 5 modos 1. A resposta da primeira quest ao diferentes. A da segunda , tamb e´ m de 5 modos, etc. A resposta e´ 5 .

2. Para formar um subconjunto você deve perguntar a cada elemento do conjunto se ele deseja participar do subconjunto. O primeiro elemento pode r esponder de dois m odos: sim ou n a˜ o. O segundo elemento, de dois modos, etc. A resposta e´ 2 . 3. A primeira pessoa pode escolher sua cadeira de 5 modos; a segun da, de 4; a terceira , de 3. A resposta e´ 5 × 4 × 3 = 60. ˜ de 10 modos. A 4. A primeir a mu lher pode escolher su a posiçao segunda, de 8 modos. As outras, de 6, de 4 e de 2 modos. O primeiro homem, de 5 m odos. Os dem ais, de 4, de 3, de 2, de 1. A resposta e´ 10 × 8 × 6 × 4 × 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 460 800.

5. O tabuleiro de 64 casas possui 4 casas de canto (v e´ rtices), 24 casas laterais que n a˜ o s a˜ o v e´ rtices e 36 casas centr ais. Cada casa de canto possui 3 casas adjacentes; cada lateral possui 5 casas adjacentes e cada centr al possui 8 casa s adjacentes. Vam os cont ar separ ada men te os casos qu e ocorr em conform e o rei negro ocupe u ma casa de canto, lat eral ou centra l. Se o rei negro ocupar uma casa de canto, haver a´ 4 pos iço˜ es pa ra o rei n egro e 60 p osiço˜ es para o rei branco, pois das 64 casas ˜ poder a˜ o do tabuleiro 1 esta r a´ ocupada e as 3 a ela a djacentes n ao ser ocupa das pelo rei bra nco. H avera´ portan to 4 × 60 = 240 modos de dispor os reis. ˜ seja de canto, Se o rei negro ocupar uma casa lateral que n ao haver a´ 24 posiço˜ es pa r a o rei n egr o e 58 p osiço˜ es pa ra o rei bran co,

172 Temas e Problemas pois das 64 casa s do ta buleiro 1 esta r a´ ocupada e as 5 a ela adja˜ poder ao ˜ ser ocupa das pelo rei bra nco. H avera´ portan to cent es n ao 24 × 58 = 1392 modos de dispor os reis. Se o rei negro ocupar uma casa centr al , haver a´ 36 pos iço˜ es pa ra o rei negr o e 55 posiço˜ es para o rei branco, pois das 64 casas ˜ poder a˜ o do tabuleiro 1 esta r a´ ocupa da e a s 8 a ela a djacentes n ao ser ocupadas pelo rei branco. Haverá p o r t a n t o 36 × 55 = 1980 modos de dispor os reis. Port an to, a r esposta e´ 240 + 1392 + 1980 = 3612. Se os reis fossem iguais, a resposta seria a metade da resposta anterior, 1 806.

6. Haver a´ u m a t or r e e m ca d a lin h a . A t or r e d a p r im e ir a lin h a pode ser colocada de 8 modos; a da segunda linha, de 7 modos, pois n ao ˜ pode ficar na mesma coluna da ant erior, etc. A resposta e´ 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40 320. S e a s t or r e s s ao ˜ diferentes, devemos primeira ment e escolher qual a torre que fi car a´ na primeira linha (8 modos) e depois escolher onde coloca-la ´ na primeira linha (8 modos). H a´ 8 × 8 = 64 modos de colocar a torre da primeira linha . Analogamente, h a´ 7 × 7 = 49 modos de colocar a torre da segunda linha etc. A resposta e´ 64 × 49 × 36 × 25 × 16 × 9 × 4 × 1 = 1 625 702 400. 7. Vamos contar separadamente os casos em que a carta de copas e´ um r ei e em que a car ta de copas n a˜ o e´ um r ei. Se a primeira carta for o rei de copas , a segunda p oder a´ s e r selecionada de 48 modos. Se a primeira carta for de copas sem ser o rei, ela poder a´ ser seleciona da de 12 m odos e a segunda , de 47 m odos. A resposta e´ 1 × 48 + 12 × 47 = 612. ˜ você deve pergunta r a cada elemen8. Pa ra cons tr uir u ma fun çao, to de A quem ele deseja flechar em B. O primeiro elemento de A pode fazer sua escolha de 7 m odos, o segun do element o de A pode fazer su a escolha de 7 m odos etc. A resposta e´ 7 × 7 × 7 × 7 = 2401. ˜ for injetiva, o primeiro element o de A poder a´ fazer Se a fu n çao sua escolha de 7 m odos, o segun do element o de A poder a´ fazer sua


173

˜ poder a´ escolher o mesmo elemento escolha de 6 modos (pois n ao selecionado pelo primeiro), etc. A resposta e´ 7 × 6 × 5 × 4 = 840. ˜ da forma 9. a ) 720 = 2 × 3 × 5. Os divisores positivos de 720 s ao a ·3 ·5 , com α ∈ {0,1,2,3,4}, β ∈ {0,1,2} e γ ∈ {0, 1}. H a´ 5×3×2 = ˜ de 720 em um 30 divisor es positivos de 720. Um a decomp osiçao produto de dois inteiros positivos, 720 = x · y, fica determinada quan do se escolhe x, que deve ser divisor de 720. H a, ´ portan to, 30 de comp osiç o˜ es: 1 × 720, 2 × 360, 3 × 120,...,720 × 1. C om o o enu nciado ma nda consider ar igua is a s decomposiçoes ˜ 1 × 720 e 720 × 1, 2 × 360 e 360 × 2, etc., a r esposta e´ 15. b) Analogamente, 144 = 2 · 3 admite 5 × 3 = 15 divisores positivos. H a´ 15 decom posiço˜ e s , u m a d a s q u a i s e´ 12 × 12. As out r a s 14 d ecomp osiço˜ es podem ser a grupada s em 7 par es: 1 × 144 e 144 × 1, 2 × 72 e 72 × 2, etc. Como o enu nciado man da considera r igua is a s du a s de com posiço˜ es de cada par, a resposta e´ 8. ´ io de n u´ m e r o k e´ mexido pelas pessoas cujos n umeros ´ 10. O arm ar ˜ divisores de k. U m a rm ar ´ io ficar a´ aberto se for mexido um s ao ´ n u´ m e r o ´ı mpar de vezes. Lembre-se que o n umero de divisores positivos de k = 2 × 3 × 5 × . . . e´ igual a (α + 1)(β + 1)( γ + 1) . . . , qu e e´ ´ı mpar se e somente se α, β, γ , . . . forem todos pa rs, ou s eja, se e somente se k for qua dra do perfeito. ´ ios que ficam a bert os s ao ˜ os de n umeros ´ Os ar m ar 1, 4, 9, 16, . . . , 900.

11. Vamos conta r separa damen te os casos em que os quadr ant es 1 e 3 t eˆ m cores igua is e cores diferen tes. Pondo cores igua is nos qua dra ntes 1 e 3, temos 5 × 4 × 4 = 80 ´ possibilidades, pois h a´ 5 modos de escolher a cor unica para os quadr ant es 1 e 3, h a´ 4 m odos de escolher a cor do qua dra nt e 2 e ha´ 4 modos de escolher a cor do quadrante 4. Pondo cores diferentes nos quadrant es 1 e 3, h a´ 5 × 4 × 3 × 3 = 180 possibilidades, pois h a´ 5 modos de escolher a cor para o quadrante 1, h a´ 4 modos de escolher a cor do quadrante 3, h a´ 3 modos de escolher a cor do quadran te 2 e h a´ 3 modos de escolher a cor do quadrante 4. A resposta e´ 80 + 180 = 260.

174 Temas e Problemas ˜ per mit idas rep etiço˜ es , a con diça˜ o 12. Note que n o caso em qu e s ao da letra A figura r na palavra e´ ter r ´ıvel, pois ela pode figur ar um a s o´ vez, ou duas, etc... Por isso e´ melhor contar todas as palavras do alfabeto e diminuir a s qu e n a˜ o t eˆ m A e a s qu e começa m por A. A resposta e´ 26 − 25 − 26 = 1 658 775. No ca so s em r epet içao, ˜ pode-se conta r diretament e: h a´ 4 modos de escolher a posiça˜ o d o A, 25 modos de escolher a letra da primeira casa restante, 24 para a segunda casa restant e, etc. A resposta e´ 4 × 25 × 24 × 23 × 22 = 1214400. Pode-se ta mb e´ m r epetir o r acioc´ın io do ca so com r epe t iça˜ o: 26 × 25 × 24 × 23 × 22 − 25 × 24 × 23 × 22 × 21 − 1 × 25 × 24 × 23 × 22 = 1214400.

13. H a´ 26 modos de escolher cada letra e 10 modos de escolher cada algarismo. A resposta e´ 26 × 10 = 175 760 000. 14. Os 4 que preferem sentar de frente podem faz eˆ -lo de 5 × 4 × 3 × 2 = 120 modos; os que preferem s ent ar de costa s podem fazê -lo de 5 × 4 × 3 = 60 modos; os d ema is podem s e colocar nos lugar es restantes de 3 × 2 × 1 = 6 modos. A resposta e´ 120 × 60 × 6 = 43 200. ´ 10, 20, 15. O 0 aparece nas unidades 222 vezes, nos n umeros ´ 30, . . . , 2200. Apar ece na s dezena s 220 vezes, nos n umeros 10x, ´ 20x, . . . , 220x. Aparece nas centenas 200 vezes, nos n umeros 10xy e 20xy. A resposta e´ 222 + 220 + 200 = 642. ˜ p erm itida s re petiçoes, ˜ ˜ do 5 fia cond içao 16. Note que como s ao gu r a r n o n u´ m e r o e´ t e r r ´ı vel, pois ele pode figur ar uma s o´ vez, ou duas, etc . . . E´ melhor fazer t odos os n umer ´ os men os a queles em que o 5 n ao ˜ figura. A resposta e´ 9 × 10 × 10 × 10 − 8 × 9 × 9 × 9 = 3168. ˜ você deve decidir quantas “Veja” 17. Pa ra form ar um a coleçao, ˜ etc. fa r a˜ o pa r t e da coleçao,


175

A quan tidade de r evista s “Veja” pode ser escolhida de 6 modos ´ ´ de 5 (0, 1, 2, 3, 4, 5). A de “Epoca”, de 7 m odos. A de “Isto E”, modos. O n u´ m er o de coleço˜ es e´ 6 × 7 × 5 = 210. ˜ O n u´ m er o de coleço˜ es n ao-vazias e´ 209. ´ ica. Escolhidos 18. H a´ 3 modos de escolher os dias de Matem at os dias, digamos s egundas e quartas, h a´ 2 modos de escolher o ´ ´ h or ario da aula de Matem atica da segunda e 2 modos de escolher o hor ario ´ da aula de Matem atica ´ da qua rta. ˜ podem ser os H a´ 2 modos de escolher os dias da F ´ısica (n ao ´ ˜ a Qu ´ı mica ficar ia com a s a ulas no mesmos da Matem atica, sen ao mesmo dia); em um desses dias, a aula de F´ısica s o´ pode ser posta ´ io de um un ´ ico modo (pois a Mat em atica ´ no h or ar ja´ ocupou o outro tempo) e, no outro, pode ser posta de 2 modos. Finalmente, a ´ Qu ´ımica s o´ pode ser posta no hor a´ r i o d e u m unico modo – nos tempos restantes. A resposta e´ 3 × 2 × 2 × 2 × 1 × 2 × 1 = 48. ˜ foi considerado diferente do casal Maria19. O casal J oao-Maria J oao. ˜ Isso e´ devido a ter mos tr aba lhado com o conceito de pr imeira pessoa do casa l. Por isso a r esposta encontr ada e´ o dobro da resposta real. ˜ podem ser virados de 20. H a´ t r eˆ s ti pos de cart o˜ es: os que n ao cabeça pa ra baixo, os qu e vira dos de cabeça pa ra baixo cont inu am ´ ero e os qu e vira dos de cabeça par a representan do o mesmo n um ´ baixo passam a representar n umeros diferentes. Se h a´ x, y e z cart o˜ es de cada um desses tipos, respectivamente, a resposta e´ z x + y + . E´ f ácil calcula r y, z + y e x + y + z: 2 z + y = 5 , pois os cart o˜ es que vira dos de cabeça par a baixo continuam representan do n umeros ´ s ao ˜ os formados apenas com 0, 1, 6, 8 e 9. x + y + z = 10 . y = 5 × 5 × 3, pois os cart o˜ es que vira dos de cabeça pa ra bai´ xo continu am representa ndo o mesmo n umero devem ter nas cas a s e xt r e m a s u m d os p a r e s 1 1, 0 0 , 8 8, 6 9 ou 9 6. N a s s egu n d a

176 Temas e Problemas ´ e pen ultima casas, a mesma coisa. Finalmente, na casa central deve estar 0, 1 ou 8. Resolvendo o sistem a, encont ra -se z = 3050 e

x+y+

z = 100 000 − 1525 = 98 475. 2

S e ç a˜ o 2

1. ˜ simples das letra s C, A, a ) C a d a a n a g r a m a e´ um a p er mu ta çao ´ P, I, T, U, L, O. O n umero de anagram as e´ P = 8! = 40 320. b) A escolha da vogal inicial pode ser feita de 4 modos e, depois disso, a vogal fina l pode ser escolhida de 3 modos. As r estantes seis letras podem ser arrumadas entr e ess as vogais seleciona das de P = 6! = 720 modos. A resposta e´ 4 × 3 × 720 = 8 640. c) Os a na gra ma s podem começar por vogal ou por consoan te. No primeiro caso, devemos ar ru ma r as 4 vogais nos lugares ´ımpares e as 4 consoantes n os lugares par es, o que pode ser feito de 4! × 4! = 24 × 21 = 576 modos. O segun do caso e´ ´ a n alogo. A resposta e´ 576 + 576 = 1152. d) Tudo se passa como se CAP fosse uma letra s o´ . P or t a n t o devemos arrumar 6 objetos, o bloco CAP e as 5 letra s de ITULO. A resposta e´ 6! = 720. e) Escolha inicialmente a ordem das letras C, A, P, o que pode ser feito de 3! = 6 modos. Recai-se no item anterior. A resposta e´ 6 × 720 = 4 320. f) Tudo que se tem a fazer e´ a r r u m a r a s 6 le t r a s d e C I TU LO a p o´ s o PA. A res posta e´ 6! = 720.


177

g) Ao somar os que t eˆ m p em primeiro (7! = 5 040) com os que t eˆ m a em segundo (7! = 5040), os que t eˆ m p em primeiro e ˜ contados duas vezes. A resposa em segundo (6! = 720) s ao t a e´ 5040 + 5040 − 720 = 9360. Pode-se tamb e´ m fazer um diagrama de conjuntos.

Figura 77

O r e t angulo ˆ de contorno ma is claro representa o conjunto dos ana grama s que teˆ m p em pr imeiro lugar e o ret an ˆ gulo de contorno ma is escur o representa o conjunto dos an agram as ˜ possui 6! = 720 q u e t eˆ m a em segund o lugar. A inter seçao ˆ elementos e cada ret angulo possui 7! = 5 040 elementos. Portanto, as regio˜ es do diagra ma t eˆ m 5040 − 720 = 4 320, 7 20 e 4 320 elementos. A resposta e´ 4 320 + 720 + 4320 = 9360. h) Ao somar os que t eˆ m p em primeiro (7! = 5040) com os que t eˆ m a em segundo (7! = 5 040) e o s q u e t eˆ m c em terceiro (7! = 5 040), os que t eˆ m p em pr imeiro e a em segundo (6! = 720), bem como os qu e t eˆ m a em segun do e c em ter ceiro (6! = 720) e os que t eˆ m p em primeiro e c em terceiro (6! = 720), ˜ conta dos duas vezes. Devemos, port ant o, descont a-los ´ s ao um a vez. Mas, ao fazermos isso, os qu e t eˆ m p em pr imeiro e ˜ sido cont ados a em segundo e c em terceiro (5! = 120) t er ao t r eˆ s vezes e descont ados t r eˆ s vezes. Devemos cont a-los ´ uma vez. A resposta e´ 5040 + 5040 + 5040 − 720 − 720 − 720 + 120 = 13 080. Poder´ı amos ter feito um diagrama de tr eˆ s conjun tos: os que t eˆ m p em pr imeiro, os qu e t eˆ m a em segundo e os que t eˆ m c em t erceiro lugar. Cada um desses conjuntos tem 7! = 5040 elem en tos, as in te r seç o˜ es dois a dois t eˆ m 6! = 720 elementos

178 Temas e Problemas ˜ dos tr eˆ s conjun tos tem 5! = 120 elementos. As e a in t er se çao ˜ 3 720, 3 720, 3 720, sete regio˜ es internas do diagrama ter ao 600, 600, 600 e 120 elementos. A resposta e´ 3 720 + 3720 + 3720 + 600 + 600 + 120 = 13 080. i) H a´ 3! = 6 ordens poss´ıveis pa ra essas letras. A resposta e´

1 6

1 de 8!, que e´ igual a 6 720. 6 Tamb e´ m poder ´ıam os escolher 3 d a s 8 posiço˜ es do anagrama ´ para colocar essas tr eˆ s l e t r a s (C = 56 m odos), coloca-las na ordem apc (1 modo) e arrumar as 5 outras letr as nos 5 lugares restantes (5! = 120 modos). A resp osta e´ 56 × 1× 120 = 6720. 1 j) Ha´ 4! = 24 ordens poss´ıveis para as vogais. A resposta e´ 24 1 do total de a nagrama s, de 8!, que e´ igual a 1 680. 24 Tamb e´ m poder ´ıam os escolher 4 d a s 8 posiço˜ es do anagrama para colocar as vogais (C = 70 modos), colocar as vogais nos lugares escolhidos (1 modo, pois elas devem entrar em ordem alfab e´ tica) e a rru mar as 4 consoantes nos 4 lugares restantes ( 4! = 24 modos). A resposta e´ 70 × 1 × 24 = 1680. do total de a nagrama s,

2. A imagem do primeiro elemento de A pode ser selecionada de n modos, a do segundo, de n − 1 modos, etc. A resposta e´ n · (n − 1) . . . 1 = n! 3. Do total de ar ru ma ço˜ es (8! = 40 320), devem ser descontadas a q u e l a s n a s q u a i s e l a s fi c a m j u n t a s ( 2! × 7! = 10 080, pois elas podem ficar jun tas em 2! ordens poss´ıveis). A resposta e´ 40 320 − 10 080 = 30 240. ˜ com Helena e Pedro junt os (2! × 7! = 4. Do total de ar ru ma çoes 10 080), devem ser desconta das a quelas na s quais H elena e Pedro ˜ juntos e Vera e Pau lo tam b e´ m est ao ˜ juntos (2! × 2! × 6! = es t ao 2 880). A resposta e´ 10 080 − 2880 = 7200.


179

5. Você deve escolher 5 jogadores para o Esporte, depois escolher 5 dos que sobra ra m par a o Tupi e form ar o Minas com os restan tes. A resposta e´ C · C · C = 3003 × 252 × 1 = 756 756. Ou, ent ao, ˜ ponha os 15 jogadores em fila: os 5 primeiros forma m o Esport e, os 5 seguint es o Tupi, os 5 ultimos ´ o Minas. Note que, trocando a oredem dentro de cada bloco, voceˆ m u d a a fi la , 15! m a s n ao ˜ muda a divisao ˜ em times. A resposta e´ = 756 756. 5! 5! 5! 6. A resposta e´ a anterior dividida por 3! = 6, pois agora, trocando os times entre si, a divis a˜ o e´ a mesma, ou seja, a resposta e´ 756 756 = 126 136. 6 7. Ponha os 20 objetos em fila, o que pode ser feito de 20! m odos: os 3 primeiros formam o “primeiro” grupo de 3, os 3 seguintes formam o “segundo” grupo de 3, etc. Note que, trocando a ordem dos elementos dentro de cada gru˜ muda a divis ao ˜ em grupos. Note po, você m u d a a fi l a m a s n ao t a m b e´ m qu e tr ocan do os gru pos de 3 entr e si (o que pode ser feito de 4! modos) e os de 4 ent re si (o que pode ser feito de 2! m odos), ˜ muda a divis ao ˜ em grupos. voc eˆ muda a fila mas n ao 20! A resposta e´ = 67 897 830 000. (3!) ( 4!) 4!2! Voceˆ t a m b e´ m poderia pensar assim: H a´ C modos de es colher o “pr imeiro” gru po de 3, C modos de escolher o “segun do” gru po de 3, etc. Note que tr ocan do os gru pos de 3 en tre si (o que pode ser feito de 4! m odos) e os de 4 en tr e si (o que pode ser feito de 2! ˜ muda a divisao ˜ em grupos. modos), você n ao C C C C C C A resposta e´ = 67 897 830 000. 4!2! 8. Devemos colocar os 12 times nos 12 lugares de uma matriz 6 × 2. Note que trocar as linhas entre si, ou trocar em uma linha a ordem dos element os, n a˜ o alt er a a seleçao ˜ dos jogos. 12! A resposta e´ = 10 395. 6!(2!) Voceˆ t a m b e´ m poderia pensar assim: Tenho 11 modos de esco´ lher o advers ario do Botafogo; depois tenho 9 modos de escolher

180 Temas e Problemas ´ io do primeiro (em ordem alfab e´ tica) time que sobrou; o advers ar depois ten ho 7 . . . A resposta e´ 11 × 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 10 395.

9. a) Para descobrir o lugar do 62 417 você tem que conta r qua ntos ´ n umeros o antecedem. Antecedem-no todos os n u´ m er os come ça dos em 1 ( 4! = 24), em 2 ( 4! = 24), em 4 ( 4! = 24), em 61 (3! = 6) e em ´ 62 1 (2! = 2). Ant ecedem-no 24 + 24 + 24 + 6 + 2 = 80 n umeros. Ele o ocup a o 81 ¯ lugar. ´ ˜ um a um, natu ralmente) b) Vamos contar os n umer os (mas n ao Co m eç ad os p or

Qu a nt id ad e

Ac um u la do

1

4!=24

24

2

4!=24

48

41

3!=6

54

42

3!=6

60

46

3!=6

66

´ 0 66 o¯ n umer o escrito e´ o u´ ltim o (ou seja , o m a ior ) dos começa dos por 46. A resposta e´ 46 721. c) 166 = 5 × 33 + 1. Porta nto, par a escrever 166 algarismos, devemos escrever 33 ´ n umeros completos e mais um algarismo. O 166 o¯ algarismo escrito e´ o 1 o¯ algar ismo do 34o¯ n umero. ´ ´ er os começam em 1 e os 23 s eguin tes Os 4! = 24 primeiros n um o com eça m em 2. O 34 ¯ n u´ m er o come ça em 2. A resposta e´ 2. ´ d) A soma das unidades dos n umeros e´ (1 + 2 + 4 + 6 + 7) · 4! = 480, pois cada um dos algarismos 1, 2, 4, 6, 7 aparece como ´ algarismo das unidades em 4! n umer os. Ana logamente, a soma das dezena s e´ 480 dezenas, ou seja, 4 800. A das cent ena s e´ 48 000, a das unidades de milhar e´ 480 000 e a das dezenas de milhar e´ 4 800 000. A resposta e´ 480 + 4 800 + 48 000 + 480 000 + 4800000 = 5 333 280.


181

´ Um tru que, bonito mas t ruque, e´ grupar os 5! = 120 n umeros em 60 casa is do seguin m odo: o cô njuge de cada n u´ m e r o e´ o n u´ m e r o ˜ do que dele se obt e´ m tr oca n do a posiça˜ o do 1 com o 7 e a posiçao 2 com o 6. Teremos 60 casais e a soma em cada casas e´ 88 888. A resposta e´ 88 888 × 60 = 5 333 280.

10. H a´ m! modos de es colher a ordem da s moças. Feito isso, devemos arrumar em fila r + 1 objetos, os r r a pa zes e o bloco da s m oça s, o que pode ser feito de (r + 1)! modos. A resposta e´ m!(r + 1)!. ´ em 6 lugares. A resposta e´ 11. a) Devemos colocar 6 n umeros 6! = 720. ˜ obtemos o mesb) Agora, qua nd o mu da mos o cubo d e p osiçao mo da do. Por exemplo, considere um dad o com o 1 e o 6 em faces opostas. Ant es, colocar o 1 em cima, n a face pr eta , e o 6 em baixo, na face branca, era diferente de colocar o 6 em cima e o 1 embaixo. Agora n a˜ o, e´ o m esmo dad o de cabeç a par a baixo. A resposta e´ anterior dividida pelo n u´ me r o d e posiço˜ es de colocar um cubo. ´ Para determinar esse n umer o, repare que h a´ 6 modos de escolher a face que fica em baixo e 4 modos de escolher nessa face a ares˜ ta que fica de frente. O n u´ m er o de posiç oes de colocar um cubo e´ 720 6 × 4 = 24. A resposta e´ = 30. 24 Podemos tam b e´ m pensa r diret am ent e: Todo dado pode ser imaginado com o 1 na face de baixo; se o 1 estiver em outro lugar, sempre se poder a´ virar o dado par a que o 1 fique em ba ixo. ´ H a´ 5 modos de escolher o n umero que ficar a´ na face oposta ao 1, ou s eja, n a face de cima ; digamos qu e se t enh a escolhido o 6 ´ para a face de cima. Agora devemos colocar os n umeros 2, 3, 4 e 5 nas 4 faces restantes: frontal, traseira, direita e esquerda. O 2 sempre poder a´ ser ima gina do na face da frente; se o 2 estiver em out ra face, bast a r odar o dado par a qu e o 2 fique na face da fren te. H a´ 3 m odos de es colher o n umero ´ que ficar a´ n a face oposta a 2, ´ digam os qu e ten ha mos escolhido o 4 par a ou s eja, n a face de tr as; ´ Note que agora n a˜ o h a´ mais movimentos poss ´ıveis a face de tr as. par a o dado: qua lquer movimento ou tirar a´ o 1 de baixo ou tirar a´ o 2 da frente.

182 Temas e Problemas Agora tem os que colocar o 3 e o 5 na s faces direita e esquer da, o que pode ser feito de 2 modos dist intos. A resposta e´ 5 × 3 × 2 = 30. c) Todo dad o pode se r ima gina do com o 1 em ba ixo, o que obriga ˜ do 6 em cima. O 2 sempre pode ser posto na face da a coloca çao fren te, o q u e obr iga a coloca çao ˜ do 5 na face de tr as. ´ Agora temos que colocar o 3 e o 5 na s faces direita e esquerda , o que pode ser feito de 2 modos dist intos. A r esposta e´ 2.

12. Tetraedro: H a´ 4 modos de escolher a face que fica em baixo e 3 modos de escolher nessa face a aresta que fica de frente. O n u´ m er o de posiç o˜ es de colocar um tetraedro e´ 4 × 3 = 12. 4! A resposta e´ = 2. 12 Octaedro: H a´ 8 modos de escolher a face que fica em ba ixo e 3 modos de escolher n essa face a ar esta que fica d e fren te. O nu´ m e r o de p os iç o˜ es de colocar um octaedro e´ 8 × 3 = 24. Você t a m b e´ m poderia imaginar o octaedro com um v e´ rtice em baixo. H a´ 6 modos de escolher o v e´ rtice que fica em baixo e 4 modos de escolher, dent re as ar estas que o cont eˆ m , a a r e s t a q u e fi ca d e fr e n t e. O n u´ me r o d e posiço˜ es de colocar um octaedro e´ 6 × 4 = 24. 8! A resposta e´ = 1680. 24 Dodecaedro: H a´ 12 modos de escolher a face que fica em baixo e 5 modos de escolher nessa face a aresta que fica de frente. O n u´ m er o de posiç o˜ es de colocar um dodecaedro e´ 12 × 5 = 60. 12! A resposta e´ = 7 983 360. 60 Icosaedro: H a´ 20 modos de escolher a face que fica em baixo e 3 modos de escolher nessa face a aresta que fica de frente. O n u´ m er o de posiç o˜ es de colocar um icosaedro e´ 20 × 3 = 60. 20! · A resposta e´ 60 13.

P

14.

C .

=

9! = 90 720. 2!2!1!1!1!1!1!


183

15. H a´ C = 70 modos de escolher as mat e´ rias par a o primeiro dia e, depois disso, um s o´ modo de escolher as do segun do dia. A resposta e´ 70 × 1 = 70. ˜ diagonais, arestas 16. Os segmentos que ligam dois v e´ rtices s ao ´ ero de diagonais e´ o n u´ m e r o ou diagona is de faces. Port an to o num de comb in a ço˜ es de classe 2 dos vé rtices menos as arestas menos as diagonais das faces. a) O octaedr o regular e´ formado por 8 faces triangulares e possui 6 v e´ rtices e 12 a resta s. Como n a˜ o h a´ diagonais de faces, a r esposta e´ C − 12 = 15 − 12 = 3. b) O icosaedro regular e´ f or mado por 20 faces triangulares e possui 12 ve´ rtices e 30 a restas. Como n a˜ o h a´ diagonais de faces, a r esposta e´ C − 30 = 66 − 30 = 36. c) O dodecaedro regular e´ formado por 12 faces pentagonais e possui 20 ve´ rtices e 30 arestas. Como cada face possui 5(5 − 3) ˜ 12 faces, h a´ 5 × 12 = 60 diagonais = 5 diagona is e s ao 2 de faces. A resposta e´ C − 30 − 60 = 190 − 90 = 100. d) O cubo e´ form ado por 6 faces qua dra das e possui 8 vé rt ices e ˜ 6 faces, 12 arestas. Como cada face possui 2 diagonais e s ao h a´ 6 × 2 = 12 diagona is de faces. A resposta e´ C − 12 − 12 = 28 − 24 = 4. e) O prisma hexagonal e´ formado por 6 faces quadrangulares e duas faces hexagonais e poss ui 12 ve´ rtices e 18 arestas. Como cada face qua dra ngula r possui 2 diagonais e cada face 6(6 − 3) hexagonal possui = 9 diagona is, h a´ 6 × 2 + 2 × 9 = 30 2 diagona is de faces. A resposta e´ C − 18 − 30 = 66 − 48 = 18. Tamb e´ m se poderia pensa r a ssim: Chama ndo as faces hexagonais de A e B, as diagonais ligam um vé rtice de A a u m v e´ rtice de B. H a´ 6 modos de escolher o ve´ rtice de A e, depois d isso, 3 modos de escolher o vé rtice de B. A resposta e´ 6 × 3 = 1.

184 Temas e Problemas ˜ fica det erm inada qua ndo se escolhem os m elementos 17. A fu n çao ˜ a imagem, o que pode ser feito de C modos. de I que form ar ao Com efeito, escolhidos os elementos que formar a˜ o a i m a g e m , a fu n çao ˜ est a´ determinada pois f(1) deve ser igual ao menor dos elementos escolhidos, f(2) deve ser igual ao menor dos elementos resta ntes, etc. A resposta e´ C .

18. Ignore o problema do 0 na primeira casa. A escolha dos lugares para os 4 pode ser feita de C = 35 modos; depois disso, a escolha dos lugares para os 8 pode ser feita de C = 6 modos; as casas resta ntes podem ser pr eenchidas de 8 × 8 = 64 modos, o que da ria ´ para r esultado 35 × 6 × 64 = 13 440. Devemos descontar os n umeros começad o em 0. P ar a form ar um n u´ me r o começa do em 0, de vemos escolher os lugares para os 4 (C = 20 modos), par a os 8 (C = 3 modos) e preen cher a casa rest an te (8 modos). Ha´ 20 × 3 × 8 = 480 ´ eros começados em 0. A resp osta e´ 13 440 − 480 = 12 960. n um 19. a) Basta escolher os p − 1 companheiros de a dentre os n − 1 demais elementos. A resposta e´ C . b) Basta escolher os p elementos dentre os n − 1 elementos diferentes de a . A resposta e´ C . Tamb e´ m se poderia fazer o t otal das combinaço˜ es e delas subtrair aquelas das quais o elemento a participa, obtendo a r esposta C − C . c) Basta escolher os p − 2 companheiros de a e a dentre os . n − 2 demais elementos. A resposta e´ C d) H a´ C com bi n a ço˜ es em que o elemento a fi g u r a e C ˜ em qu e o elemen to a figura. Somando, teremos combin a çoes contado duas vezes as C combin a ço˜ es que cont eˆ m a e a . A resposta e´ 2C . −C Tamb e´ m se p oderia fazer o tota l de combina ço˜ es C e excluir ˜ cont eˆ m nem a n em a . A resposta e´ C − as C que n ao . C


185

Tamb e´ m se poderia somar as combina ço˜ es que cont eˆ m a m a s n a˜ o a (C ), com as que cont eˆ m a m a s n a˜ o a , com as que cont eˆ m ambos (C ). A resposta e´ 2C +C . e) H a´ C com bin a ço˜ es que cont eˆ m a m a s n a˜ o a e C bin a ço˜ es que cont eˆ m a m a s n a˜ o a . A resposta e´ 2C

com.

Tamb e´ m s e poder ia conta r as combin açõ es que cont eˆ m pelo men os um dos dois element os e descont ar as que cont eˆ m ambos, obten do a resposta 2C − 2C ou C − C −C ou . 2C

20. ˜ bijetoras. A resposta e´ n!. a) Es sa s fun ço˜ es s ao b) Um elemento de B tem sua imagem inversa formada por dois elementos e os dema is t eˆ m imagens inversas unit a´ r i a s . H a´ modos de n modos de escolher aquele elemento de B e C escolher sua imagem inversa. Agora sobram n − 1 elementos em cada conjunto e a correspond eˆ ncia entre eles, que deve ser um-a-um, pode ser feita de (n − 1)! modos. A resposta e´ n · (n + 1)! · (n − 1)! = · n·C 2 c) H a´ duas possibilidades: um elemento de B tem sua imagem inversa for mada por tr eˆ s elementos e os demais t eˆ m ima´ ias ou dois element os de B t eˆ m imagens gens inversas un itar inversa s forma das por dois elementos e os demais t eˆ m ima´ gens inversas unit arias. No primeiro caso h a´ n modos de escolher o elemen to de B e C modos de escolher sua imagem inversa. Agora sobram n − 1 elemen tos em cada conjun to e a corr espondeˆ ncia entre eles, que deve ser u m-a-um, pode ser feita de (n − 1)! modos. No segundo caso h a´ C modos de escolher os dois elemen tos de B e · C modos de escolher su as ima gens inversa s. Agora sobra m C n − 2 elementos em cada conjunto e a correspond eˆ ncia entre eles,

186 Temas e Problemas que deve ser u m-a-um, pode ser feita de (n − 2)! modos. A resposta e´

n· C

· (n − 1)! + C · C

· C · (n − 2)! =

n · (n + 2)! n · (n − 1) · (n + 2)! + = 6 8 n · (3n + 1) · (n + 2)! · = 24

=

´ ero de m odos de escolher 3 dos 20 pontos e´ C = 1 140. 21. O n um Assim, o plano determinado pelos 8 pontos e´ contado C = 56 ve zes. A resposta e´ 1140 − 55 = 1085. Poder-se-ia ta mb e´ m contar separadamente os planos determinados por tr eˆ s dentre os doze pontos (C = 220), por dois dentr e os doze e um d ent re os oito (C · 8 = 528), por um dent re os doze e dois den tr e os oito (12 · C = 336) e por tr eˆ s dent re os oito (1 plan o apena s). A resposta e´ 220 + 528 + 336 + 1 = 1085.

22. Escolhida a ordem em que cada casal vai se senta r (mar ido a` direita , mu lher a` esquerda ou vice-versa), o que pode ser feito de 2 × 2 × 2 = 8 modos, você tem que formar uma fila (de 7 lugares) com 3 casa is e 4 lugar es vazios. H a´ 7 modos de colocar o primeiro casa l, 6 de colocar o segundo e 5 de colocar o terceiro. A resposta e´ 8 × 7 × 6 × 5 = 1680. 23. Vamos arrumar primeiramente apenas as vogais, o que pode 6! ser feito de = 120 modos, e depois ent rem ear as consoan 3! 1! 1! 1! tes. S e a s voga is e st ive r em , p or e xe mp lo, n a or d em A A U A I O , h a ver a´ 7 possibilida des pa r a a coloca çao ˜ d o P, 6 par a o R e 5 para o G. A resposta e´ 120 × 7 × 6 × 5 = 25 200. 24. Marque, no conjunto {1 , 2 , . . . , n}, com o sinal + os elementos selecionados para o subconjunto e com o sinal − os elementos ˜ s eleciona dos. Você tem que formar uma fila com p sinais + n ao


187

e n − p sinais − , sem que haja dois sinais + a dja cent es. Fa ça ´ ico modo) e ent rem eie os sin ais uma fila com os sinais − (u m un + . H a´ n − p + 1 espa ços en tr e os sina is − (e antes do primeiro e depois do ultimo) ´ dos quais devemos selecionar p para colocar os sinais + , o que pode ser feito de C modos. A resposta e´ C .

25. a) Um grupo de 4 cientistas, ABCD, e´ barrado por pelo menos um cadeado. Na situaç a˜ o d o n u´ m e r o m ´ı nimo de cadeados, por exat amen te u m cadeado. Batizemos esse cadeado de ABCD. A, B, C e D n a˜ o t eˆ m a chave desse cadeado e todos os outros cientistas a t eˆ m. Como a corr espond eˆ ncia entre os cadeados e seus nomes e´ ˜ os nomes dos cadea dos, C = um-a-um, basta contar quantos s ao 330. b) Cada cientista possui a s chaves dos cadeados que na˜ o o cont eˆ m n o nome, C = 210. Voceˆ t a m b e´ m poderia pensar que h a´ 330 cadeados e de cada cadea do h a´ 7 cópias d e cha ves. O tota l de cha ves e´ 330 × 7 = 2310. Cada cient ista possui 2310 ÷ 11 = 210 chaves. Observe que n este racioc´ınio part imos do fato de que todos os cient istas t eˆ m o mesm o ´ n umero de chaves. ` bancas 1 e 2 26. Um bom nome para o professor que perten ce as ´ e´ professor 1 − 2. O n umero de professores e´ C = 28. E m c a d a banca h a´ 7 pr ofessores.

27. H a´ 4! = 24 modos de formar uma roda com a s m eninas. O primeiro men ino pode ser posto na r oda de 5 m odos; o segun do, de 4, etc. A resposta e´ 24 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 2880. ´ ero de rodas que podem ser forma da s sem a pa r ticipa ça˜ o 28. O n um de Vera e´ 4! = 24. H a´ 3 modos de colocar Vera na roda. A resposta e´ 24 × 3 = 72.

29. C h a m a n d o x de 1 + a, y de 1 + b e z de 1 + c, você t e m d e ˜ ˜ det er min a r soluç oes inteiras e n ao-negativas par a a + b + c = 4. A resposta e´ CR = C = 15.

188 Temas e Problemas ˜ a folga, que e´ a diferença ent r e o 30. Defina , pa ra cada soluçao, ´ valor m aximo que x + y + z poderia atingir e o valor que x + y + z re alm ent e a tin ge. Por exemplo, a soluça˜ o x = 1, y = 2, z = 1 t em folga 2. Ca da soluça˜ o da ineq u a ça˜ o x + y + z ≤ 6 corresponde a u m a solu ça˜ o da equ a ça˜ o x + y + z + f = 6 e vice-versa . A resposta e´ CR = C = 84.

31.

CR

=C

= 10 626.


189

S o l u ç o˜ e s d o s P r o b le l e m a s d o C a p ı´t u l o 7 S e ç a˜ o 1

1 . 600 = 450(1 + i) , donde i =

  600 450

− 1 = 0,1006.

2 . 1480 = A · 1,08 , donde A = 1480 · 1,08

= 932,65.

662,00 00 3 . 2000 · 1,1 = 2 662,

4 . 4490 = 1400 · 1,06 , donde n =

log ( 4490/1400) = 20 meses. log 1,06

vista pagam-se 70% de 90, ou seja, 5 . Fixan do o p reço em 90, a` vista 63. A prazo, paga m-se tr es eˆ s pr est a ç o˜ es men sais de 30. 63 = 30 +

Pondo x = 33 = 0.

30 30 + . ( 1 + i) 1+i

1 , obt em e´ m -se a equ a çao ˜ do segun segun do gra gra u 30x + 30x − 1+i

√

−5 + 135 A r a iz positiva d essa equ a ça˜ o e´ x = = 0,66190. 20 1 Logo, i = − 1 = 0,5108. x

6 . 9000 =

P 2P + , donde P = 9000/[1,02 1,02 1,02

+ 2.1,02 ] =

3268,23. As p r es t a ç oes o˜ es s a˜ o P e 2P , ou seja , R$ 3 268,23 e R$ 6 536,46,

7 . Fixa n do o preço em 100 , devem os ter 100 − x <

Da ´ı, ı, x > 7,03.

50 50 + 1,05 1,05

·

190 Temas e Problemas 8 . Fixemos o preço em 90 e t omemos a da ta focal ocal u m m es eˆ s ap os o´ s a compra. ˜ a) e´ A = 90 e o va lor da opçao ˜ b) Na da t a focal, o va lor da opçao 30 e´ B = 30(1 + i) + 30 + · 1+i i ˜ a ) deve > 0. Logo, B > A e a op çao deve ser preferiB − A = 30 1+i da . 9 . Suponh am os u m client lient e com com dua s pr esta çoes, o˜ es, cada uma no valor valor de 100, a vencer em 30 e 60 dias. dias. O valor valor a tu al a pa gar aceiacei˜ aceitando, tan do a oferta oferta seria de 60% de 200, 200, ou ou seja, seja, 120. Nao 100 100 + seria de = 140,74. A oferta era vantajosa. 1,27 1,27 10.

180 200 + = 365,97. 1,025 1,025

S e ç a˜ o 2

ı, i = 2 − 1 = 0,0595 = 5,95%. 1 . a ) 1 + 1 = (1 + i) . Da ´ı, b) 1 + 0,39 = (1 + i) . Da ´ı, ı, i = 1,39 − 1 = 0,1160 = 11,60%. ı, I = 1,06 − 1 = 1,0122 = 101,22%. 2 . a ) 1 + I = (1 + 0,06) . Da ´ı, b) 1 + I = (1 + 0,12) . Da ´ı, ı, I = 1,12 − 1 = 0,5735 = 57,35%. ˜ mensal significa 30%/12 = 3 . a) 30% ao an o co com capita lizac lizaçao 2,5% ao m es eˆ s . ı, I = 1,025 − 1 = 0,3449 = 34,49%. 1 + I = (1 + 0,025) . Da ´ı, ˜ tr imestra l significa b) 30% ao an o com com cap cap ita lizac lizaçao significa 30%/ 30%/4 = 7,5% ao m es eˆ s . 1 + I = (1 + 0,075) . Da ´ı, ı, I = 1,075 − 1 = 0,3355 = 33,55%. c) i ao a no capitalizados k vezes ao a no significa i/k por per´ per ´ıodo ı odo de cap it a liza ça˜ o. i i 1+I= 1+ . Da ´ı, ı, I = 1 + − 1. k k










191

S e ç a˜ o 3 1 . a) Pondo Pondo a da ta focal u m m es eˆ s ant es da compra compra , 900 1 − 1,04 =P · Da ´ı,ı, P = 106,69. 1,04 0,04 b) Pondo Pondo a dat a focal n o ato da compr a, 1 − 1,04 900 = P · Da ´ı,ı, P = 110,96. 0,04 c) Pondo a data focal um m es eˆ s depois da compra, 900 × 1,04 = 1 − 1,04 P · Da ´ı,ı, P = 115,40. 0,04 2. a )

b)

P · Da ´ı,ı, P = 480,00. 0,006 80000 P = · Da ´ı,ı, P = 477,14. 1,006 1,006

80 000 000 =

3 . Igualando o valor dos dep ositos o´ sitos ao das retiradas, na epoca e´ poca do ´ ultimo dep osito, o´ sito, obtemos 1,01 − 1 1 − 1,01 · Da ´ı,ı, P = 211,31. = 500 P 0,01 0,01 4 . Igualando o valor dos dep ositos o´ sitos ao das retiradas, na epoca e´ poca do ´ ultimo dep osito, o´ sito, obtemos 1,01 − 1 1000 = P · Da ´ı,ı, P = 15,55. 0,01 0,01 5. P +

P(1 + j) P(1 + j) + + ··· = 1+i ( 1 + i)

P 1+i · =P 1+i i−j 1− 1+i

˜ Vam 6 . P r im eir a s oluçao: Vam os comp comp ar ar os gast os em 4 an os: O fluxo de caixa t rocan rocan do o car car ro de dois em dois an os e´ (em (em milha milha res de reais): −18 0 − 4 0 14 Observ Observee que n o segundo segundo an o gastamos gastamos 18 na compra de u m carro n ovo, vo, ma s r ecebemos ecebemos 14 na venda do velho velho.. 4 14 O valor atual desse fluxo e´ −18 − + = −10,44. 1,15 1,15

192 Temas e Problemas O fluxo de caixa t rocan do o car ro somen te n o qua rt o ano e´ (em milhares de reais): −18

0

0

−1

8.

Observe que n o quarto a no gastamos 2 em consertos, mas recebemos 10 na venda do car ro. O valor at ua l desse fluxo e´ −18 −

1 8 + = −14,08. 1,15 1,15

Logo, e´ melhor t rocar de carr o de dois em dois an os. ˜ Vamos comparar os custos por ano: Se gu n da solu çao: O fluxo de caixa trocando o carro de dois em dois anos e´ (em, milhares de reais): −18 0 14 Vamos determinar o custo anual equivalente C. ˜ equivalentes. Logo, Os flu xos −18 0 14 e 0 C s ao −18 +

14 1 − 1,15 =C 1,15 0,15

e C = − 4,56.

O fluxo de caixa t rocan do o car ro somen te n o qua rt o ano e´ (em milhares de reais): −18

0

0

−1

8

Vamos determinar o custo anual equivalente C. ˜ equivaOs fluxos −18 0 0 − 1 8 e 0 C C C C s ao lent es. Logo, −18 −

1 8 1 − 1,15 + =C 1,15 1,15 0,15

e C = − 4,93.

Logo, e´ melhor t rocar de carr o de dois em dois an os.

1_SBM - Elon Lages Lima - Temas e Problemas

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