Tema 8: Potencia en Circuitos
Potencia Triángulo de potencias
Factor de otencia Mejora del factor de potencia
Potencia Triángulo de potencias
Factor de otencia Mejora del factor de potencia
Efecto Joule
“Es la disi disi ación ación de ener ener ía en orma orma de calor calor al asar asar una una corrie corriente nte eléctr eléctrica ica or un elemento pasivo”. Supongamos una resistencia R conectada a los bornes de una fuente de tensión u(t); u (t ) = 2 ⋅U ⋅ cos ω t
E =
T
∫
0
p(t ) dt =
T
∫
0
i(t ) =
u (t ) i(t ) dt =
T
∫
0
u (t ) R
= 2⋅
U R
R i (t ) dt = R
Q = 0.24 ⋅ R I 2T (Cal)
2
⋅ cos ω t = 2 ⋅ I ⋅ cos ω t T
∫
0
i 2 (t ) dt = R I 2T (J)
Y ef =
1
T 2 ∫0 y (t ) dt
,
activa y reactiva.
,
,
Su on amos una im edancia Z conectada a los bornes de una uente de tensión u t ; u (t ) = 2 ⋅U ⋅ cos ω t ⇒ U = U ∠0º Z = Z ∠ϕ
=
⋅
U
U ∠0º
U
Z
Z ∠ϕ
Z
−
−
−
p(t ) = u (t ) i(t ) = 2 UI cosω t ⋅ cos(ω t − ϕ ) = UI [cos(2ω t − ϕ ) + cosϕ ] = cos a cos b =
1
[cos(a + b) + cos(a − b)]
−
−
p(t ) = P f + P
Potencia Fluctuante
+
f
Potencia Fluctuante
Potencia Activa
=
Potencia Activa
Potencia Instantánea
-
Z = R∠0º ⇒ p(t ) = UI cos(2ω t − ϕ ) + UI cosϕ = UI cos 2ω t + UI = P f + P
-
Z = ω L∠90º ⇒ p(t ) = UI cos(2ω t − ϕ ) + UI cosϕ = UI cos(2ω t − 90) = P f
Z =
1
∠ − 90º ⇒ p(t ) = UI cos(2ω t − ϕ ) + UI cosϕ = UI cos(2ω t + 90) = P f
ω C
pmedia =
T
∫ p(t )dt = T ∫ 0
0
cos(2ω t − ϕ )dt +
T
∫
0
cosϕ dt = UI cosϕ = P
CERO
pmedia = P p(t ) = UI Cos ϕ + UI Cos (2ω t − ) = P [1 + Cos 2ω t ] + UI Sen
Sen 2ω t =
cos(a − b) = cos a cos b + sena senb
= P [1 + Cos 2ω t ] + UI Sen Sen 2ω t = P [1 + cos 2ω t ] + Q sen 2ω t Potencia reactiva
=
−
=
=
P = UI ⋅ Cos ϕ (W)
(Potencia activa)
Q = UI ⋅ Sen ϕ (VAr)
(Potencia reactiva)
S = UI (VA)
(Potencia aparente)
La potencia activa (potencia media)
La potencia aparente es la que proporciona el generador
U = U ∠0º ⎫
= ∠ϕ
⎬ ⇒ I =
U ∠0º
=
U
∠ − ϕ = I ∠ − ϕ
P = UI cos ϕ = U ⋅ I ⋅ cos U , I = U ⋅ I
ϕ
“La potencia activa se puede expresar como un roducto escalar de dos vectores”
u(t ) = 2 ⋅U ⋅ cos ω t ⇒ U = U ∠0º Z = Z ∠ϕ
I =
U Z
=
U ∠0º Z ∠ϕ
=
U Z
∠ − ϕ = I ∠ − ϕ
U ⋅ I * = U ∠0º I ⋅ ∠ϕ = UI ∠ϕ ⇒ U ⋅ I * = UI ⋅ Cos ϕ + jUI ⋅ Sen ϕ
S = U ⋅ I * = P + jQ
La potencia activa absorbida por un conjunto de receptores es la suma algebraica de las potencias activas absorbidas por cada uno de ellos. T
=
i
La potencia reactiva absorbida por un conjunto de receptores es la suma algebraica e as po enc as reac vas a sor as por ca a uno e e os. QT =
∑Q
i
La potencia aparente absorbida por un conjunto de receptores es la suma vectorial de las potencias aparentes absorbidas por cada uno de ellos. S T =
∑ S ⇒ S i
T
= P T 2 + QT 2
Ejemplo: Circuito en serie S = U ⋅ I * = [U 1 + U 2 + L + U N ]⋅ I * = U 1 ⋅ I * +U 2 ⋅ I * + L + U N ⋅ I * = 1
2
L
= ( P 1 + P 2 +
L
N
1
1
2
+ P N ) + j (Q1 + Q2 +
2 L
L
N
+ Q N ) = P T + jQT
N
Factor de potencia =
S
=
UI cosϕ UI
S
“Cantidad real de energía aprovechada por la carga respecto la recibida”
= Cos ϕ ⇒ f .d . p. = Cos ϕ ngulo de la carga Z
Ejemplo: Efectuar un estudio comparativo para una instalación en la que se desea alimentar un motor de 20kW (inductivo), a 380 V, mediante una línea monofásica cuya resistencia total es de 0,003 Ω /m y una longitud total de 100 m, para; i) Cos φ = 1 ii) Cos φ = 0,5
La intensidad ue circula or el circuito cuando conectamos la car a (motor) es: Nota: en los motores, en vez de trabajar con el valor de su impedancia, trabajamos con el valor de la potencia eléctrica consumida (cuando se conecta a su tensión . ⎧ 20000 380 U U = 52,632 A ⇒ Z = = ∠ϕ = ∠00 = 7,22∠ 0º Ω ⎪⎪ P 52,632 I I = = 380×1,0 380 U U U ⋅ Cosϕ ⎪ 20000 = 105,26 A ⇒ Z = = ∠ϕ = ∠ 60º = 3,61∠ 60º Ω ⎪⎩ 380× 0,5 105,26 I I
Por efecto Joule, la potencia disipada en forma de calor por la línea monofásica es:
2
P L = R ⋅ I =
2
= , ⎨ ⎪⎩0,3×105,262 = 3323,9 W ,
,
¡Ojo, los datos proporcionados son potencia mecánica, rendimiento y factor de potencia!
La otencia ro orcionada or el enerador al sistema ara ue uncione el motor en su tensión nominal es:
⎧831,04 + 20000 = 20831,04 W P P P = + = ⎨ G L M ,
,
El rendimiento de las dos instalaciones es:
⎧ 20000 = 96,00% ⎪ P ⎪ M η = = ⎨ 20831,04 G = 85,75 % ⎪⎩ 23323,90 La otencia reactiva consumida or el motor es:
⎧20000× tan 0º = 0 VAr Q = P ⋅ tan ϕ = ⎨ 20000× tan 60º = 34641 VAr
Medida del factor de potencia Medida del factor de potencia a través de contadores de activa y reactiva: os ϕ =
P S
=
P P 2 + Q 2
P ⋅ t
=
( P ⋅ t ) 2 + (Q ⋅ t ) 2
=
kWh kWh2 + kVArh2
Corrección del factor de otencia r
a) Corrección de un f.d.p. inductivo ( Z = Z ∠ϕ t.q. ϕ > 0)
Boucherot
Q f = Q0 + QC ⇒ QC = Q f − Q0 ⇒ QC = P ⋅ tan ϕ f − tan ϕ 0 ∗
⎛ U ⎞ U * ⎟ = U ⋅ = U ∠ 0º⋅ S = U ⋅ I * = U ⋅ ⎜ * C ⎝ C ⎠ (
U ∠ 0º
∠ − 90º ) *
ω C
=
U 2 ∠ 0º
= − U 2ω C =
∠ 90º
ω C
⇒ QC = −U 2ω C ⇒ −U 2ω C = P ⋅ tan ϕ f − tan ϕ 0 ⇒ C =
⋅ an ϕ 0 − an ϕ f U 2ω
+
⇒
orrecc n e un . .p. capac vo Mismo procedimiento que en el caso anterior, pero esta vez usando una bobina conectada en paralelo (las impedancias de corrección de f.d.p. no se conectan en serie porque entonces habría que generar más tensión para compensar la caída por la impedancia conectada en serie). Realizando el mismo procedimiento, el valor de la bobina es:
L =
U 2 ω P ⋅
[tan ϕ 0 − tan ϕ f ]
Una obra alimentada por una red monofásica a 220 V y 50 Hz, tiene las siguientes cargas: 1) Grúa con una potencia total instalada de 10 kW, cosφ = 0,8 inductivo, rendimiento 90%. 2) Dos hormigoneras de 5 CV cada una, cosφ = 0,75 inductivo, η = 88%. , = , . . . .
Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga. b) Corriente total y su f.d.p. , , en la misma. d) Potencia reactiva de los condensadores necesaria para elevar el f.d.p. de la instalación a 0.9. e) Nueva corriente que circulará por la línea con los efectos de los condensadores conectados y potencia perdida en la línea por efecto Joule. f) Sección de los conductores de la línea antes y después de conectar la batería de condensadores si la densidad de corriente admitida es 3 A/mm2
Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
220 V 50 Hz
Grúa 10kW . . . . rendimiento 90%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
P = UI cosϕ ⇒ I =
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
U cosϕ
⇒ I =
Grupo soldadura 5kW . . . . rendimiento 97%
mec
η ⋅ U cosϕ
Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
220 V 50 Hz
Grúa 10kW . . . . rendimiento 90%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW . . . . rendimiento 97%
Grúa:
I =
mec
η ⋅ U cos ϕ
=
=
0.9 ⋅ 220 ⋅ 0.8
=
= 63.13 A
I = 63.13∠ − 36.87º A
Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
220 V 50 Hz
Grúa 10kW . . . . rendimiento 90%
Hormigonera:
I =
mec
η ⋅ U cos ϕ
=
=
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
× 0.88 ⋅ 220 ⋅ 0.75
=
= 25.34 A
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW . . . . rendimiento 97%
I = 25.34∠ − 41.41º A
Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
220 V 50 Hz
Grúa 10kW . . . . rendimiento 90%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Grupo soldadura:
I =
mec
η ⋅ U cosϕ
=
0.97 ⋅ 220 ⋅ 1
=
= 23.43 A =
I = 23.43∠0º A
Grupo soldadura 5kW . . . . rendimiento 97%
Calcular: b) Corriente total y su factor de potencia.
220 V 50 Hz
Grúa 10kW . . . . rendimiento 90%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW . . . . rendimiento 97%
I T = I Grúa + 2 ⋅ I Hormigoner a + I Grupo = 63.13∠ − 36.87º +2 × 25.34∠ − 41.41º +23.43∠0º =
= 132.76∠ − 32.53º A
cos 32.53º = 0.84 inductivo
Calcular: c) Si la línea tiene una resistencia total de 0,1Ω , calcular la potencia perdida por efecto Joule en la misma. 220 V 50 Hz
Grúa 10kW . . . . rendimiento 90%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
P calor = R ⋅ I 2 = 0.1⋅132.762 = 1762.52 W
Grupo soldadura 5kW . . . . rendimiento 97%
Calcular: d) Potencia reactiva de los condensadores necesaria para elevar el f.d.p. de la instalación a 0.9.
220 V 50 Hz
Grúa 10kW . . . . rendimiento 90%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
cos 32.58º = 0.84
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW . . . . rendimiento 97%
cosϕ f = 0.9 ⇒ ϕ f = 25.84º
QC = P ⋅ tan ϕ i − tan ϕ f = 220 ⋅132.76 ⋅ 0.84 ⋅ [tan 32.58º − tan 25.84º ] = 3.78 kVAr
Calcular: e) Nueva corriente que circulará por la línea con los efectos de los condensadores conectados y potencia perdida en la línea por efecto Joule. 220 V 50 Hz
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Grúa 10kW . . . . rendimiento 90%
Hormigonera 5CV . . . . rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW . . . . rendimiento 97%
El condensador que ha mejorado el factor de potencia no modifica la potencia activa consum a por as cargas, por an o conocemos a po enc a ac va: P = 24.7 kW = 220 ⋅ I ⋅ 0.9 ⇒ I = 124.34 A ⇒ I = 124.34∠ − 25.84º calor
⋅
2
. ⋅
.
2
.