Econometría II Grado en finanzas y contabilidad Metodología Box-Jenkins
Profesora: Dolores García Martos E-mail:
[email protected] Este documento es un resumen/modificación de la
Metodología Box-Jenkins
Metodología Box-Jenkins
Metodología Box-Jenkins •
La clase general de modelos de la metodología Box-Jenkings es la familia de modelos ARIMA con elementos determinísticos (constante, tendencia determinística, estacionalidad determinística, efecto semana santa, efecto días laborables, atípicos, etc)
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En la especificación de estos modelos entran distintos tipos de parámetros que capturan distintos rasgos de los datos
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El primer paso es determinar si el modelo se debe formular con los datos originales o con series transformadas. En todo caso, deben recoger:
•
Evolutividad de la tendencia
Evolutividad estacional
El modelo incorporará:
Diferencias regulares
Diferencia estacional
Constante
Factores determinísticos
Metodología Box-Jenkins Expresión general de los modelos ARIMA (p,d,q) (P,D,Q) s : (1-Φ1 L-Φ2 L2 –Φ3 L3 -………..-Φp Lp) (1-Φ1 L s-Φ2 L2s –Φ3 L3s -………..-ΦP L Ps) (1-L)d (1-Ls)D log Xt = δ+ (1-θ1 L-θ2 L2 –θ3 L3 -………..-θq L q) (1-θ1 L s-θ2 L2s –θ3 L3s -………..-θQ L Qs )a t s=4,12 Es decir, hace referencia a la parte estacional d=0,1,2 Hace referencia al número de diferenciaciones regulares a realizar de la serie original para hacerla estacionaria D=0,1 Hace referencia al número de diferencias estacionales a realizar de la serie original para hacer la parte estacional estacionaria Otra forma de expresión es: Φp (L) ΦP(Ls) Δd ΔDs log X = c+ θq (L) θQ (Ls) at
Metodología Box-Jenkins •
Transformada una serie en estacionaria (diferencias en la parte regular y estacional y logaritmos), los parámetros que especifican el modelo ARMA capturan la dependencia temporal
•
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Los correlogramas simples serán de utilidad para saber si se trata de modelos autorregresivos o de medias móviles
En el caso de los procesos de medias móviles, también nos servirá para determinar el orden del proceso
Para determinar el orden de los procesos autorregresivos se utilizara el criterio de información de Akaike.
Se analizan, por tanto, los gráficos y los correlogramas de las series: Xt , Δ Xt , Δ s Xt y ΔΔ s Xt. Si las series son anuales también habrá que analizar Δ2 Xt .
Metodología Box-Jenkins
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Hay que garantizarse que la serie de los residuos tiene estructura de ruido blanco
Metodología Box-Jenkins
Contraste de raíces unitarias
• Las implicaciones de las raíces unitarias en los datos económicos son relevantes • Si es I(1), los shocks tendrán efectos permanentes • Es habitual que la varianza del estimador de ρ pude ser muy pequeña y conducir a que en el
correspondiente intervalo de confianza no entre el valor unitario, cuando realmente existe tal raíz unitaria. Es decir, el contraste de la t habitual podría conducir a rechazar ρ=1 Cuando hay
raíces unitarias, el estimador muestral suele estar s esgado a la baja
Se utilizan unas tablas específicas: las tablas de Dickey-Fuller
Contraste de raíces unitarias
En la ecuación (2) se puede añadir una constante e incluso una tendencia determinística • Cuando hay correlación entre las variables es mejor utilizar un modelo
en el que se tenga en cuenta este aspecto. En este caso no estaríamos ante la hipótesis de que η se distribuye como ruido blanco
Contraste de raíces unitarias
Contraste de raíces unitarias
Contraste de raíces unitarias
El valor de la t es mayor que los valores críticos, se acepta la hipótesis nula de que δ=0 y, tanto, hay una raíz unitaria
ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO • Estimación del modelo por MCO o Máxima Verosimilitud • Contrastes de los parámetros por medio de la t • Varianza residual • Ver si la correlación entre los parámetros estimados es muy
elevada, de ser así, habría que eliminar alguno • Contrastar que los residuos tienen estructura de ruido blanco a
partir del correlograma • Se puede aplicar un test conjunto de la independencia de
las correlaciones muestrales. Test Q • Si los residuos no son ruido blanco hay que reformular el
modelo • Criterios de información (Akaike, Schwarz, etc). Cuanto más
pequeños mejor
ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO
• Si el modelo inicial no es satisfactorio:
Se recurre a considerar algunas de las hipótesis manejadas al principio de la identificación del modelo Dudas
en las diferencias regulares
Dudas
en relación con la estacionalidad
Dudas
en cuanto al orden del modelo AR o MA
A partir
de la estructura que presenten los residuos se reformula el modelo.
Aunque
el modelo estimado se pueda validar, es conveniente analizar modelos alternativos y de función del criterio de información (Akaike, Schwarz ) se puede decidir sobre el modelo final
ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO
ESTIMACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO
El contraste de la Q es un contraste conjunto
PREDICCIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS
• Como se viene diciendo a lo largo del curso, los
objetivos principales de la modelización ARIMA son: •Predicción •Estimación de los componente de una serie
temporal: Tendencia, estacional y ciclo
Esperanza y varianza incondicional vs condicional Esperanza Marginal W = ΦW t-1 + at E (W t )= Φ E (Wt-1 )+ E (a t ) µ = Φ µ+ 0 ,
at es un proceso ruido blanco con esperanza nula
E(Wt )= E (Wt-1 ) por estacionariedad
(1- Φ ) µ = 0 µ=E (W t )= 0 Varianza Marginal Var (W t )= Φ2 var (Wt-1 )+ var (a t ) con γ0 = Φ2 γ0 + σ2 ,
Var(Wt )= Var (Wt-1 ) por estacionariedad
(1- Φ 2) γ0 = σ2 γ0 =var (W
t
at es un proceso ruido blanco con varianza σ2
)= σ2/ (1- Φ 2)
Esperanza y varianza incondicional vs condicional Esperanza Condicional Wt = ΦW t-1 + at Et-1 (W t )= Φ Et-1 (Wt-1 )+ Et-1 (a t )
at es un proceso ruido blanco con esperanza nula
Et-1 (W t )= Φ Et-1 (Wt-1 ) = Φ W t-1 Varianza Condicional Var t-1 (W t )= Et-1 (Wt –μ condicional )2 Var t-1 (W t ) = Var t-1 (ΦW t-1 + a t) =Var t-1 (ΦW t-1 ) + Var t-1 (at) + +2 covt-1 (ΦW t-1, a t)= σ2 dado que W t-1 en el periodo t-1 es un dato conocido y, además, en ese periodo el valor observado, es independiente de la innovación o shock que se producirá en t Estos conceptos vienen de la estimación de una regresión, con la que se trata de estimar la media condicional de la variable dependiente dados los valores de las
PREDICCIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS Predicción
•Se apoya en el concepto de expectativa condicional:
Se trata de obtener el valor esperado de la variable económica en t+1 en función de la información disponible. • E(xt+1|Ω t) •Dependerá del tipo de modelo. Si se trata de un
modelo AR(1), se tendría: yt = Φy t-1 + a t Et (y t+1 )= Φ Et (yt ) + E t (a t +1) = Φ y t •La varianza de la predicción un periodo por delante es igual a σ2. Y aumenta a medida que aumenta el
horizonte de predicción
ANEXO
ESPECIFICACION DEL MODELO ARMA
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA
ESPECIFICACION DEL MODELO ARMA
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA
ESPECIFICACIÓN DEL MODELO ARMA