Cap´ıtulo 3
Anillos Hemos utilizado estructuras en las que hay dos operaciones, como la suma y el producto en Z. El objeto m´ as as b´asico asico de este tipo es un anillo, cuyos axiomas son bastante parecidos a los axiomas aritm´eticos eticos de los enteros, aunque ligeramente m´as as d´ebiles; ebiles; y, por lo tanto, m´as as generales.
3. 3.1 1
Anil Anillo loss
Definici´ on on 3.1.1 Un anillo es un conjunto A en el que hay definidas dos operaciones binarias + y que
·
cumplen los axiomas siguientes: 1. (A, +) es un grupo conmutativo
· es asociativa 3. · es distributiva respecto a +. Las operaciones + y · se llaman suma y producto en el anillo (aunque pueden ser diferentes de la suma y producto usuales). El elemento neutro para + se representa represen ta con el e l s´ımbolo ımbolo 0 (elemen (ele mento to cero) y el sim´etrico etr ico aditivo aditivo de a se escribe −a y se denomina opuesto de a. Si la operaci´ on · es conmutativa se dice que A es un anillo conmutativo conmutativo.. Si existe neutro para para · se 2.
dice que A es un anillo unitario y el neutro se denota por el s´ımbolo 1 (elemento uno). 1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (Zm , +, )
·
Ejemplo 3.1.1
·
·
·
2. El conjunto conjunto de matrices matrices 2 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma y producto de matrices. Este anillo no es conmutativo, conmutativo, pero pero s´ı es unitario.
×
3. (Z, , ) con y definidas, para cada par de n´ umeros x, y por x por x y = x + y 1, x y = x + y xy. Es un anillo conmutativo y unitario en el cual el neutro para es el n´ umero entero 1 y el neutro para es el n´ umero entero 0.
⊕⊗ ⊗
⊕ ⊗
⊕
⊕
−
⊗
−
4. En A = a,b,c,d,e se define las operaciones siguientes dadas por la tablas
{
}
+
a
b
c
d
e
·
a
b
c
d
e
a
a
b
c
d
e
a
a
a
a
a
a
b
b
c
d
e
a
b
a
b
c
d
e
c
c
d
e
a
b
c
a
c
e
b
d
d
d
e
a
b
c
d
a
d
b
e
c
e
e
a
b
c
d
e
a
e
d
c
b
Es un anillo finito conmutativo y unitario. El elemento a es el neutro para la suma, mientras que b es el neutro para el producto.
CAP ´ ITULO 3. ANILLOS
2 A partir de aqui, consideraremos que ( A, +, ) es un anillo.
·
Proposici´ on 3.1.1
1. Para todo elemento a
∈ A se verifica que 0 = 0 · a = a · 0.
2. Si A es unitario y A = 0 entonces 0 = 1.
{} En efecto, para a = 0, a · 1 = a = 0 = a · 0, por lo tanto 0 = 1. 3. (−a) · b = −(a · b) = a · (−b), ∀a, b ∈ A. 4. (−a) · (−b) = a · b, ∀a, b ∈ A. (Demostraci´ on.)
3.2
Divisores de cero y unidades
Definici´ on 3.2.1 Un elemento a de un anillo A se llama divisor de cero si existe un elemento no nulo
b
∈ A tal que a · b = 0 ´ o b · a = 0. Cuando a = 0 se denomina divisor de cero propio. Un elemento a de un anillo unitario A se llama inversible (o unidad) si a posee inverso multiplicativo, es decir, si existe un elemento b ∈ A tal que a · b = 1 = b · a. Observaci´ on 3.2.1 Con la notaci´ on anterior, si a es unidad el elemento b es unico, ´ se denomina inverso
de a y se representa por a 1 . Se denota por U (A) el conjunto de los elementos inversibles del anillo A, que es un grupo con la operaci´ on producto, llamado grupo multiplicativo de A. −
Ejemplo 3.2.1
1. Z no tiene divisores de cero propios y U (Z) = 1, 1 .
{ −}
2. En R no hay divisores de cero propios y U (R) = R
− {0}.
3. En Zm un elemento a es inversible si, y s´ olo si, m.c.d.(a, m) = 1, de lo que se deduce que U (Zm ) es un grupo de orden φ(m). Por ejemplo, U (Z8 ) = 1, 3, 5, 7 .
{
}
4. En el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes reales, la matriz B es un divisor de cero, y las matrices inversibles son aquellas cuyo determinante es no nulo; por ejemplo, D es inversible.
B =
„ « 2
4
3
6
D =
„ « 2
3
3
6
5. En el apartado 4 del Ejemplo 3.1.1, todo elemento no nulo es inversible. Proposici´ on 3.2.2 Sea a
∈ A, a = 0.
1. El elemento a es un divisor de cero si, y s´ olo si, a no es simplificable para el producto. 2. Si a es un elemento inversible, a no es divisor de cero. (Demostraci´ on.)
3.3.
3
DOMINIOS Y CUERPOS
3.3
Dominios y cuerpos
Los conceptos de divisor de cero e inversible conducen a dos tipos importantes de anillos: los dominios y los cuerpos. Definici´ on 3.3.1 Un anillo conmutativo unitario A, se denomina
1. dominio de integridad (o, simplemente, dominio) si no tiene divisores de cero propios; 2. cuerpo (conmutativo) si todo elemento distinto de 0 tiene inverso (es decir, U (A) = A
− {0}).
Observaci´ on 3.3.1 Un cuerpo es un dominio. En efecto, si a b = 0 con a = 0 en un cuerpo K entonces
·
existe a 1 K y por tanto b = a 1 a b = a 1 0 = 0. Sin embargo, no todos los dominios son cuerpos, por ejemplo Z el anillo de los n´ umeros enteros es un dominio pero no es cuerpo ya que, por ejemplo 2 no tiene inverso multiplicativo. −
−
∈
−
· ·
·
Proposici´ on 3.3.2 Todo dominio finito es un cuerpo.
Demostraci´ on. Sea D un dominio cuyos elementos son d1 , , dn . Veamos que si a = 0 es un elemento arbitrario distinto del 0 entonces existe su inverso multiplicativo. Observemos que los productos a.d1 , ,a.dn son distintos dos a dos pues si a.di = a.dj entonces a.(di dj ) = 0 de donde se concluye que di = dj . Luego el conjunto C = a.d1 , ,a.dn tiene los mismos elementos que D. En particular, existe un i tal que 1 = adi . Como D es conmutativo tenemos que 1 = di .a y por tanto a 1 = di .
· ··
·· ·
−
{
·· ·
}
−
odulo n, Zn , es un cuerpo si y s´ olo si n es un n´ umero primo. Proposici´ on 3.3.3 El anillo de enteros m´ Demostraci´ on. Veamos en primer lugar que Zn cuerpo implica que n es un n´ umero primo. Haremos un razonamiento por contradicci´on. Supongamos que n no es un n´ umero primo. Si n = 1 entonces Zn = Z no es cuerpo. Si n > 1 entonces n = ab con a y b enteros estrictamente menores que n. En Zn , tenemos que [a][b] = [ab] = [n] = [0]. Si Zn fuese un cuerpo, necesariamente [a] = [0] o bien [ b] = [0]. Pero eso se cumple si n a o n b lo que contradice la hip´otesis. Veamos ahora que si n es primo entonces Zn , es un cuerpo. Para ello, probaremos que todo elemento Zn con m < n. Por ser n primo no nulo tiene inverso multiplicativo. En efecto, consideremos [ m] tenemos que m y n son primos entre s´ı y por tanto existen enteros tales que 1 = am + bn, de donde [1] = [a][m] + [b][n] = [a][m] + [b][0] = [a][m]. Luego [m] tiene inverso en Zn .
|
|
∈
Ejemplo 3.3.1
1. (Q, +, ) y (R, +, ) son cuerpos.
·
·
2. Dado a Zm , a = 0, si mcd (a, m) = 1 entonces a es inversible en Zm, si mcd (a, m) = 1, entonces a es divisor de cero. En consecuencia, Zm es cuerpo si, y s´ olo si Zm es un dominio si, y s´ olo si, m es primo.
∈
3.4
Subanillos y subcuerpos
Definici´ on 3.4.1 Sea (A, +, ) un anillo (cuerpo), un subconjunto no vac´ıo S de A se dice que es un
·
subanillo (subcuerpo) de A si (S, +, ) (es decir, S con restricci´ on de la suma y el producto de A) es un anillo (cuerpo). Ejemplo 3.4.1
·
1. Para cualquier anillo A, los conjuntos 0 y A son subanillos de A (subanillos
{}
triviales).
2. El conjunto de los enteros pares es un subanillo (aunque no unitario) de (Z, +, ). De hecho, para cualquier entero m > 0, el conjunto < m > de los m´ ultiplos de m es un subanillo de (Z, +, ).
·
3. (Z, +, ) es subanillo de (Q, +, ), y ´este es subcuerpo de (R, +, ).
·
·
·
·
CAP ´ ITULO 3. ANILLOS
4 El resultado siguiente caracteriza los subconjuntos de A que son subanillos:
Proposici´ on 3.4.1 Sea (A, +, ) un anillo y S un subconjunto no vac´ ıo de A.
·
1. S es subanillo de A si, y s´ olo si, x, y
∀
(i) x
∈ S se verifica
− y ∈ S (equivale a que (S, +) sea subgrupo de (A, +)) y (ii) x · y ∈ S. 2. Si (A, +, ·) es un cuerpo, S es subcuerpo de S si, y s´ olo si, ∀x, y ∈ S se verifica (i) x − y ∈ S y 0. (ii) x · y ∈ S, para y = −1
(Demostraci´ on.)
1. El conjunto de enteros impares es un subanillo de (Z, , ) (Ejemplo 1, ( 3)).
⊕⊗
Ejemplo 3.4.2
2. El conjunto de las matrices de la forma
x x y
y
es un subanillo de las matrices de orden 2 con
coeficientes enteros.
√
3. Q y a + b 2, a, b
{
∈ Q}son subcuerpos de R con (a + b√ 2)
−1
= a/(a2
− 2b ) + (−b/(a − 2b ))√ 2. 2
2
2
4. R es un subcuerpo de C.
3.5
Ideales y anillo cociente
Definici´ on 3.5.1 Sea (A, +, ) un anillo, un subconjunto no vac´ıo I de A se llama ideal de A si
·
1. α
− β ∈ I, ∀α, β ∈ I (equivalentemente, I es un subgrupo de (A, +)). 2. Para cada α ∈ I, y cada a ∈ A. α · a y a · α ∈ I. Observaci´ on 3.5.1 Si S es un subanillo de A, S es un subgrupo del grupo conmutativo (A, +) y, por lo
tanto, la relaci´ on de equivalencia inducida por S en A es compatible con la operaci´ on +. Sin embargo, para definir el anillo cociente, se precisa una relaci´ on que tambi´en sea compatible con el producto. Si (A, +, ) es un anillo e I un subgrupo de (A, +), la relaci´ on inducida por I en A (x y si, y s´ olo si, x y I ) es compatible con la suma. Adem´ as, es compatible con si, y s´ olo si, I es un ideal de A. En este caso, el conjunto cociente A/I tiene estructura de anillo (llamado anillo cociente) con las operaciones suma y producto inducidas por las de A. N´ otese que [0] = I, [a] = a + I, a A.
− ∈
·
∼
∼
·
∀ ∈ Definici´ on 3.5.2 Si A es un anillo conmutativo unitario y a ∈ A, el conjunto (a) = {x · a = a · x, x ∈ A} es un ideal, llamado ideal principal generado por a. Ejemplo 3.5.1
1. Para todo entero m, < m > es un ideal de (Z, +, ) y Z/ < m > = Zm n
2. En Z, (m) = s m, s
·
∈ Z} coincide con < m >, pues 2 + 2 + · ·· + 2 = n · m. Pero, no siempre se verifica; por ejemplo, en (Q, +, ·), < 2 >= {2 + 2 + ·· · + 2, n ∈ Z} mientras que (2) = {q · 2, q ∈ Q} = Q. { ·
n
3. En Z todos los ideales son principales. 4. Si K es un cuerpo e I un ideal de K, entonces I = 0 o bien I = K.
{}
5. Todo ideal es un subanillo, pero el rec´ıproco no siempre se cumple. Por ejemplo, Z es un subanillo, pero no ideal de Q. 6. El conjunto de las matrices enteros y no es un ideal.
x x y
y
es un subanillo de las matrices de orden 2 con coeficientes
3.6.
5
MORFISMOS DE ANILLOS
3.6
Morfismos de anillos
Definici´ on 3.6.1 Sean (A, +, ) y (B, +, ) anillos. Una aplicaci´ on f : A
anillos si a1 , a2
∀
·
∈A
·
→ B se denomina morfismo de
1. f (a1 + a2 ) = f (a1 ) + f (a2 ) 2. f (a1 a2 ) = f (a1 ) f (a2 ).
·
·
Proposici´ on 3.6.1
2. f ( a) =
−
1. f (0A ) = 0B
−f (a), ∀a ∈ A.
3. Si A es un subanillo de A, entonces f (A ) es un subanillo de B .
En particular, Im(f ) = f (A) es un subanillo de B. 4. Si B es un subanillo de B, entonces f 1 (B ) es un subanillo de A.
−
En particular, Ker(f ) = a
{ ∈ A, f (a) = 0 }es un subanillo de A. B
5. Ker(f ) es ideal de A. 6. f es inyectiva si, y s´ olo si, Ker(f ) = 0A .
{ }
7. Sean A un cuerpo y f : A
→ B un morfismo de anillos. Si f = 0 entonces f es inyectiva.
(Demostraci´ on.) 1. f : Z
Ejemplo 3.6.1
m,
→Z
con f (x) = [x] es un epimorfismo.
2. f : Z Z6 , definida por f (2n) = 0, f (2n + 1) = 3 es un morfismo de anillos, ambos son unitarios, pero f (1) = 1.
→
3. f : Z4 Z8 , definida por f (a) = a2 no es un morfismo de anillos, pues conserva el producto, pero no la suma (por ejemplo, f (2 + 3) = f (2) + f (3)).
→
Z8 , definida por f (a) = 2a no es un morfismo de anillos, pues conserva la suma, pero no 4. f : Z4 el producto (por ejemplo, f (1 2) = f (1) f (2)).
→
·
·
Observaci´ on 3.6.2 La definici´ on de morfismo de cuerpos es la misma que la de morfismo de anillos,
es decir, una aplicaci´ on entre cuerpos que conserva las operaciones. Por la Proposici´ on 3.6.1, apartado 7, todo morfismo de cuerpos es nulo o es inyectivo. Si f : K K es un morfismo no nulo, entonces f : K 0 K 0 es un morfismo de grupos (con el producto) y, en consecuencia, f (1K ) = 1K y f (x 1 ) = (f (x)) 1 .
− { } −→
−
3.7
−
→
−{ }
Caracter´ıstica de un cuerpo
Sea (K, +, ) un cuerpo, se llama caracter´ıstica de K al orden del elemento 1 en el grupo ( K, +). Puede ocurrir que:
·
1. El orden del elemento 1 sea un natural n primo y ord (x) = n, x K, x = 0.
∀ ∈
n
∈ N (por ejemplo, cuando K es finito). En este caso, n es
2. El 1 tenga orden infinito, es decir, 1+ +1 = 0, n dice que K es un cuerpo de caracter´ıstica 0.
·· ·
∀ ∈ N (por ejemplo, Q, R ´o C). En este caso se
Ejercicio. Si K es un cuerpo de caracter´ıstica p = 0, (x + y) p = x p + y p .
un entero Observaci´ on 3.7.1 Si K es un cuerpo finito de caracter´ıstica p, entonces K = pn , para alg´
| |
positivo n. Rec´ıprocamente, para cualquier entero positivo n, existe un cuerpo finito de cardinal pn . En la construcci´ on de estos cuerpos se utilizan polinomios con coeficientes en el cuerpo Z p .
CAP ´ ITULO 3. ANILLOS
6
3.8
Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo
Sea (K, +, ) un cuerpo.
·
Definici´ on 3.8.1 Un polinomio en la indeterminada x con coeficientes en K es una expresi´ on de la
forma a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn donde ai K, para todo 0 i n. El conjunto de polinomios en la indeterminada x con coeficientes en K se denota por K [x].
· ··
∈
Definici´ on 3.8.2 Sea a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +
1. Si ai = 0, para todo 0
≤ ≤
n nx
·· · + a
un polinomio en K [x].
≤ i ≤ n, a(x) se llama polinomio cero.
2. Si a(x) no es el polinomio cero, (a) el mayor entero s tal que as = 0 se llama grado del polinomio a(x), denotado por ∂a(x).
(b) as se llama coeficiente principal y as xs t´ermino principal; (c) ai es el coeficiente de grado i (d) ai xi el t´ermino de grado i, para 0
≤ i ≤ n.
3. Un polinomio de grado 0 se l lama polinomio constante. 4. Cuando el coeficiente principal es 1, el polinomio se llama m´ onico. 5. Dos polinomios, a(x) y b(x), son iguales si tienen el mismo grado y ai = bi , para todo i, 0 ∂a(x) = ∂b(x).
≤i≤
6. Los s´ımbolos x, x2 , x3 , s´ olo indican las posiciones de los coeficientes, por el lo, tambi´ en se de fine un polinomio con coeficientes en un cuerpo K como una sucesi´ on finita (a0 , a1 , a2 , , an ) de elementos de K o una aplicaci´ on a : N K tal que a(n) = 0, si n > ∂a.
· ··
·· ·
→
Ejemplo 3.8.1 En (Z5 , +, ) la expresi´ on 3x6 + 4x5 + x2 + 4x + 2 es un polinomio de grado 6, con
·
coeficiente principal 3 y t´ermino constante 2.
3.8.1
Suma y producto en K[x]
Sean a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn y b(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + + bm xm polinomios de K [x]. Podemos suponer que n m, y si n > m ponemos bm+1 = bm+2 = = bn = 0. Se define la suma a(x) + b(x) y el producto a(x) b(x) de los polinomios de la forma siguiente:
·· ·
≥
··· · ··
·
a(x) + b(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 +
n
·· · + (a + b )x a(x)·b(x) = (a · b ) + (a · b + a · b )x + (a · b + a · b + a · b )x + · ·· + a · b Es decir, el coeficiente de x en a(x) + b(x) es a + b , para cada 0 ≤ i ≤ n. El coeficiente de x en a(x)·b(x) para 0 ≤ i ≤ n + m, es 0
0
0
1
1
0
i
0
1
i
1
1
n
2
0
n
2
n
n+m mx
i
i
i
a0 bi + a1 bi
·
·
−1
+ a2 bi
·
−2
a · b + · ·· + a · b = i
k
0
k=0
i−k
=
a ·b j
k
j +k=i
donde las sumas y productos son en K. De estas definiciones se deduce que los coeficientes de a(x) + b(x) y de a(x) b(x) pertenecen a K, es decir, la suma y el producto son operaciones internas en K [x]. Adem´ as, si a(x) + b(x) = 0 y a(x) b(x) = 0 entonces
·
∂ (a(x) + b(x))
·
≤ max{∂a(x), ∂b(x)} y ∂ (a(x)·b(x)) = ∂a(x) + ∂b(x).
7
3.8. ANILLO DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO
1. Si a(x) = 3 + 2x + 4x2 + 4x5 y b(x) = 3x + 2x2 + 4x3 en R[x],
Ejemplo 3.8.2
a(x)+ b(x) = (3+0)+(2+3)x+(4+2)x2 +(0+4)x3 +(4+0)x5 = 3+5x+6x2 +4x3 +4x5 a(x) b(x) = (3 0)+(3 3+ 2 0)x+(3 2+ 2 3+ 4 0)x2 + = 16x8 +8x7 +12x6 +16x5 +16x4 +28x3 +12x2 +9x.
·
·
·
·
·
·
·
······
2. En Z5 [x], si a(x) = 3 + 2x + 4x2 + 4x5 y b(x) = 3x + 2x2 + 4x3 a(x) + b(x) = (3 + 0) + (2 + 3)x + (4 + 2)x2 + (0 + 4)x3 + (4 + 0)x5 = 3 + 1x2 + 4x3 + 4x5 a(x) b(x) = (3 0)+(3 3+2 0)x+(3 2+2 3+4 0)x2 + = x8 +3x7 +2x6 +x5 +x4 +3x3 +2x2 +4x.
·
·
·
·
·
·
·
······
Observaci´ on 3.8.1 Con estas operaciones (K [x], +, ) es un anillo conmutativo unitario sin divisores de
·
cero propios, es decir, es un dominio. Sin embargo, K [x] no es un cuerpo, los ´ unicos elementos inversibles son los polinomios constantes no nulos. En los apartados que siguen, veremos c´omo las propiedades de divisibilidad (y los resultados que de ellas se deducen) en K [x] son las mismas que en Z.
3.8.2
Algoritmo de divisi´ on en K[x]
En cursos anteriores se aprendi´o a dividir polinomios con coeficientes reales, se vi´o c´ omo se obtiene el cociente y el resto. La misma t´ecnica se aplica cuando los coeficientes de los p olinomios se toman en un cuerpo K. Proposici´ on 3.8.2 Algoritmo de divisi´ on. Sean a(x) y b(x) polinomios con coeficientes en un cuerpo
K, siendo b(x) = 0. Se verifica que existen polinomios ´ unicos q (x), r(x) de K [x] tales que
a(x) = q (x)b(x) + r(x), donde ∂r(x) < ∂ b(x) ´ o r(x) = 0. Demostraci´ on. grado de a(x).
Para obtener la existencia, se considerar´a b(x) fijo y se demostrar´a por inducci´on en el
1. Caso ∂a(x) = 0. Si ∂b(x) = 0, b(x) = b0 = 0 y a(x) = a0 = (a0 b0 1 )b0 + 0 y basta tomar q (x) = (a0 b0 1 ) y r(x) = 0. Si ∂b(x) > 0, el resultado se cumple para q (x) = 0 y r(x) = a(x). −
−
2. Paso inductivo. Supongamos ∂a(x) > 0 y que el teorema se cumple para polinomios de grado estrictamente menor que el grado de a(x). En primer lugar, observemos que si ∂a(x) < ∂b(x), el resultado se cumple para q (x) = 0 y r(x) = a(x). Veamos el caso ∂a(x) ∂b(x).
≥
Si a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn , con an = 0 y b(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + + bmxm , con bm = 0, el polinomio α(x) = a(x) an bm 1 xn m b(x) cumple que ∂α(x) < ∂ a(x). Por hip´otesis de inducci´ on, existen polinomios γ (x), ρ(x) tales que α(x) = γ (x)b(x) + ρ(x) con ∂ρ(x) < ∂ b(x), o bien ρ(x) = 0. As´ı pues, a(x) = an bm 1 xn m b(x) + α(x) = (an bm 1 xn m + γ (x))b(x) + ρ(x) y tomando q (x) = an bm 1 xn m + γ (x) y r(x) = ρ(x) se obtiene a(x) = q (x)b(x) + r(x), donde ∂r(x) < ∂b(x) ´o r(x) = 0. Esto completa la inducci´on y el resultado es cierto para todos los valores de ∂a(x).
·· ·
−
−
−
−
−
−
·· ·
−
−
−
Unicidad: si a(x) = q 1 (x)b(x) + r1 (x) = q 2 (x)b(x) + r2 (x), donde ∂r i (x) < ∂b(x) o ri (x) = 0, (i = 1, 2) entonces (q 1 (x) q 2 (x))b(x) = r2 (x) r1 (x). Si q 1 (x) = q 2 (x), ∂ [(q 1 (x) q 2 (x))b(x)] ∂b(x), mientras que ∂ (r2 (x) r1 (x)) max ∂r 1 (x), ∂r 2 (x) < ∂ b(x). Se llega as´ı a una contradicci´on y, en consecuencia, q 1 (x) = q 2 (x) y r1 (x) = r2 (x).
−
−
≤
{
−
}
−
≥
Los polinomios q (x) y r(x) se llaman cociente y resto, respectivamente, de dividir a(x) por b(x). N´ otese que la construcci´on de α(x) en la demostraci´on indica la manera (algoritmo) de dividir dos polinomios. Ejemplo 3.8.3 Si a(x) = 5x4 + 2x3 + 4x2 + 3x + 2 y b(x) = 3x2 + 5 en (Z7 [x], +, ), el cociente es
·
c(x) = 4x2 + 3x + 4 y el resto r(x) = 2x + 3.
Definici´ on 3.8.3 Al igual que en Z, si a(x) y b(x) son polinomios con coeficientes en K tales que el
resto de dividir a(x) por b(x) es 0, se dice que a(x) es m´ ultiplo de b(x) o que b(x) es divisor (o factor) de a(x); es decir, a(x) = q (x)b(x) para alg´ un q (x) de K [x]. Se representa b(x) a(x).
|
CAP ´ ITULO 3. ANILLOS
8 1. x
Ejemplo 3.8.4
2
− 1 es divisor de x − 1 en R[x].
2. x + 3 es divisor de x2 + 1 en Z5 [x] pero no lo es en R[x]. Definici´ on 3.8.4 Sean a(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +
n nx
· ·· + a 2
a(x) en α al elemento de K, a(α) = a0 + a1 α + a2 α Se dice que α es ra´ız de a(x) si a(α) = 0.
∈ K [x] y α ∈ K, se llama valor del polinomio + · ·· + a α ∈ K. n
n
Proposici´ on 3.8.3 Teorema del resto.
Sean a(x)
∈ K [x] y α ∈ K ; el resto de la divisi´ on de a(x) por x − α es a(α). Demostraci´ on. Por el teorema de divisi´on, a(x) = (x − α)q (x) + r(x) con r = 0 o ∂r(x) < ∂ (x − α) = 1. Por lo tanto, r(x) = r es un elemento de K. Si evaluamos a(x) en α se obtiene a(α) = (α − α)q (α) + r(α) = 0 + r.
Proposici´ on 3.8.4 Teorema del factor.
Sean a(x)
∈ K [x] y α ∈ K ; x − α divide a (es un factor de) a(x) si, y s´ olo si, α es ra´ız de a(x). Demostraci´ on. x − α divide a a(x) si y s´olo si r(x) = 0 si y s´olo si a(α) = 0. 1. a(x) = −7 + 3x − x + 4x − 6x + x ∈ Q[x]. El resto de dividir a(x) por x − 2 es Ejemplo 3.8.5 a(2) = −5 y el resto de dividir a(x) por x + 1 es a(−1) = −2. 2. Si se divide b(x) = 2 + 2x + x + x + 3x + x ∈ Z [x] por x + 4 = x − 1, el resto es b(1) = 0 2
2
4
3
5
4
7
5
5
en Z5 . En consecuencia, x + 4 divide a b(x), es decir, b(x) = (x + 4)q (x) con ∂q (x) = 4. El polinomio q (x) = 3 + x + 4x3 + x4 , tiene a 3 como ra´ız, y por lo tanto, tambi´en b(x), con lo cual b(x) = (x 1)(x 3)(x3 + 2x2 + x + 4).
−
−
Observaci´ on 3.8.5 Si α
∈ K es una ra´ız de a(x), entonces a(x) = (x − α)q (x). Si α es de nuevo ra´ız de q (x), entonces q (x) = (x − α)q (x) y as´ı a(x) = (x − α) q (x). Siguiendo este proceso se llegar´ a 0 y se dice que α es ra´ız de a un m, con 1 ≤ m ≤ ∂a(x), tal que a(x) = (x − α) q (x) con q (α) = 1
1
1
2
2
m
2
m
m
multiplicidad m del polinomio a(x). Proposici´ on 3.8.6 Si a(x)
K [x] tiene grado n 1, entonces a(x) tiene a lo sumo n ra´ıces en K (considerando cada una de el las tantas veces como indica su multiplicidad como ra´ız de a(x)).
∈
≥
Demostraci´ on. Por inducci´ on en ∂a(x). 1. a(x) = 9 6x + x2 R[x] tiene a lo sumo dos ra´ıces, en este caso 3 es ra´ız de multiplicidad 2 y a(x) = (x 3)(x 3) es una factorizaci´ on” de a(x).
− −
Ejemplo 3.8.6
−
∈
2. a(x) = 4 + x2
∈ R[x] no tiene ra´ıces reales, lo que no contradice la nota anterior. 3. a(x) = 4+ x ∈ C[x] tiene dos ra´ıces complejas, 2i y −2i, se factoriza como a(x) = (x − 2i)(x + 2i). 4. Si a(x) = 6 + 2x + x ∈ Z [x], entonces a(2) = 0, a(3) = 0 y ´estas son las unicas ´ ra´ıces del polinomio. As´ı, a(x) = (x − 2)(x − 3) = (x + 5)(x + 4). Observaci´ on 3.8.7 En general, si a(x) ∈ K [x] y α , α , ·· · , α son las ra´ıces de a(x) en K, entonces a(x) = a (x − α ) · ·· (x − α )q (x) donde a es el coeficiente principal de a(x) y q (x) un polinomio m´ onico 2
2
7
1
n
1
s
2
s
n
sin ra´ıces.
El algoritmo de divisi´on, permite demostrar, al igual que para el anillo Z, el siguiente resultado Proposici´ on 3.8.8 Todo ideal de K [x] es un ideal principal.
Demostraci´ on. Sea I un ideal de K [x]. Consideremos d(x), el polinomio m´onico de menor grado en I. Claramente, (d(x)) est´a contenido en I. Por otra parte, si a(x) I, por el algoritmo de divisi´on a(x) = q (x)d(x)+ r(x) con ∂r(x) < ∂ d(x) o r(x) = 0. Pero si a(x), d(x) I, entonces r(x) = a(x) q (x)d(x) I, y por la elecci´on de d(x) no puede ocurrir ∂r(x) < ∂d(x). As´ı pues, r(x) = 0, es decir, a(x) (d(x)) y (d(x)) = I.
∈ ∈
−
∈
∈
9
3.8. ANILLO DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO
3.8.3
M´ aximo com´ un divisor de polinomios.
A partir del algoritmo de divisi´on en K [x], veremos definiciones y resultados sobre divisibilidad de polinomios an´alogos a los ya conocidos en Z. Definici´ on 3.8.5 Dados dos polimonios a(x) y b(x) de K [x], se dice que d(x) es un m´ aximo com´ un
divisor de a(x) y b(x) si 1. d(x) es divisor de a(x) y b(x) 2. todo divisor de a(x) y b(x) es tambi´en divisor de d(x). un esta definici´ on, en general no existe un ´ unico mcd de dos polinomios. Si d1 (x) y d2 (x) 3.8.9 Seg´ verifican las condiciones 1 y 2, entonces d1 (x) = λd2 (x), para alguna constante λ. De esta forma, existir´ a un unico ´ m´ aximo com´ un divisor m´ onico y definiremos el mcd(a(x), b(x)) como el polinomio m´ onico que verifica las condiciones 1 y 2. Observemos que si a(x) = b(x)q (x) + r(x) entonces mcd(a(x), b(x)) = mcd(b(x), r(x)). Observaci´ on 3.8.10 Para calcular el mcd de a(x) y b(x) en K [x] imitaremos el m´ etodo utilizado en Z
de dividir repetidamente; ´este es el algoritmo de Euclides para K [x]. Sean a(x), b(x) K [x], supongamos ∂a(x) ∂b(x), con b(x) = 0. Llamamos a0 (x) = a(x), a1 (x) = b(x) y hacemos las divisiones siguientes:
≥
∈
as
a0 (x) = q 1 (x)a1 (x) + a2 (x) a1 (x) = q 2 (x)a2 (x) + a3 (x) a2 (x) = q 3 (x)a3 (x) + a4 (x)
con
∂a 2 (x) < ∂ a1 (x) ∂a 3 (x) < ∂ a2 (x) ∂a 4 (x) < ∂ a3 (x)
·· ·
·· ·
·· ·
(x) = q s 1 (x)as 1 (x) + as (x) as 1 (x) = q s (x)as (x) + 0
−2
−
−
∂a s (x) < ∂ as
−1
(x)
−
Dado que el grado de los restos decrece estrictamente, se llegar´ a a un resto as+1 (x) = 0. La ultima ´ ecuaci´ on indica que as (x) es divisor de as 1 (x); en consecuencia, as (x) es un mcd de as 1 (x) y as (x). Utilizando las igualdades anteriores en orden inverso se tiene: as (x) = mcd(as (x), as 1 (x)) = mcd(as 1 (x), as 2 (x)) = = mcd(a2 (x), a1 (x)) = mcd(a1 (x), a0 (x)) = mcd(a(x), b(x)). Entonces el ultimo ´ resto no nulo, as (x), es un mcd de a(x) y b(x) y es un m´ ultiplo del mcd m´ onico de estos polinomios. Para obtener el mcd (a(x), b(x)) bastar´ a multiplicar as (x) por el inverso de su coeficiente principal. −
−
−
−
· ··
−
Por substituciones sucesivas en las ecuaciones, podemos expresar as (x) de la forma λ(x)a(x) + µ(x)b(x), donde λ(x) y µ(x) son polinomios de K [x]. La existencia del mcd de dos polinomios en K [x] viene dada por el teorema de Bezout. Teorema 3.8.11 Teorema de Bezout. Sean a(x), b(x)
K [x], existe d(x) = mcd (a(x), b(x)). Adem´ as existen polinomios λ(x) y µ(x) en K [x] tales que d(x) = λ(x)a(x) + µ(x)b(x).
∈
(Demostraci´ on). Ejemplo 3.8.7
1. Hallar el mcd (x3 + 2x2 + x + 1, x2 + 5) en Z7 [x]
x3 + 2x2 + x + 1 = (x + 2)(x2 + 5) + (3x + 5) x2 + 5 = (3x + 5)(5x + 1). Entonces mcd (x3 + 2x2 + x + 1, x2 + 5) = 3
−1
(3x + 5) = x + 4.
2. Hallar el mcd (x4 + x3 + x2 + 1, x4 + 1) en Z2 [x] x4 + x3 + x2 + 1 = 1.(x4 + 1) + (x3 + x2 ) x4 + 1 = (x + 1)(x3 + x2 ) + (x2 + 1) x3 + x2 = (x + 1)(x2 + 1) + (x + 1) x2 + 1 = (x + 1)(x + 1) + 0. Entonces mcd (x4 + x3 + x2 + 1, x4 + 1) = x + 1.
CAP ´ ITULO 3. ANILLOS
10
un Definici´ on 3.8.6 Dados dos polimonios a(x) y b(x) de K [x], se dice que m(x) es un m´ınimo com´ m´ ultiplo de a(x) y b(x) si 1. m(x) es m´ ultiplo de a(x) y b(x) 2. todo m´ ultiplo de a(x) y b(x) es tambi´en m´ ultiplo de m(x). 3.8.12 Al igual que para el m´ aximo com´ un divisor, si pedimos que el polinomio m(x) sea m´ onico se obtiene la unicidad; por ello, definiremos el mcm (a(x), b(x)) como el polinomio m´ onico que verifica las condiciones 1 y 2. El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos polimonios a(x) y b(x) de K [x], se obtiene de la siguiente igualdad mcm (a(x), b(x)) = a(x) b(x)/mcd(a(x), b(x)) convertido en polinomio m´ onico si es necesario.
·
3.8.4
Polinomios irreducibles
En el estudio de los n´umeros enteros se vio c´omo todo entero mayor o igual que 2, puede escribirse como producto de primos de forma ´unica. En este apartado veremos los resultados an´alogos para K [x], donde los primos ser´an los llamados polinomios irreducibles. En primer lugar, n´otese que la existencia de polinomios constantes no nulos permite factorizar trivialmente cualquier polinomio. Esto se debe a que una constante no nula α tiene inverso en K, que tambi´en es su inverso en K [x]; de manera que a(x) = α(α 1 (a(x)) es una factorizaci´on de a(x) en K [x]. Por ese motivo los polinomios irreducibles se definen de la forma siguiente. −
Definici´ on 3.8.7 Un polinomio a(x)
K [x] con ∂b(x), ∂c(x)
∈ K [x] se denomina reducible si existen polinomios b(x), c(x) ∈
≥ 1 tales que a(x) = b(x)c(x). En caso contrario, se dice que a(x) es irreducible.
1. Como consecuencia de la definici´ on, todo polinomio de grado menor o igual que 1 es irreducible.
Observaci´ on 3.8.13
2. Sea a(x) K [x] con ∂a(x) 2. Si a(x) tiene alguna ra´ız en K, entonces a(x) es reducible. Si α K una ra´ız de a(x), entonces a(x) = (x α)q (x) donde ∂q (x) = ∂a(x) 1 2 1 = 1. Por lo tanto, a(x) es reducible.
∈
∈
≥
−
− ≥ −
3. El rec´ıproco no siempre es cierto; por ejemplo, ( x2 + 1)(x2 + 1) es reducible en R[x], pero no tiene ra´ıces en R. 4. Sin embargo, para ∂a(x) = 2 ´ o ∂a(x) = 3, a(x) es reducible en K [x] si, y s´ olo si, a(x) tiene alguna ra´ız en K (o, si se prefiere, es irreducible en K [x] si, y s´ olo si, no tiene ra´ıces en K ). En efecto, si a(x)es reducible, a(x) = b(x)c(x) con ∂b(x), ∂ c(x) 1. Como ∂a(x) = 2 o ´ 3, ∂b(x) = 1 o ∂c(x) = 1, por lo tanto b(x) ´ ´ o c(x) tiene una ra´ız en K (si b(x) = b0 + b1 x, entonces b0 b1 1 es una ra´ız de b(x) en K ).
≥
−
1. x2 + 1 es irreducible en Q[x] y R[x], pero x2 + 1 = (x + i)(x es reducible en C[x].
Ejemplo 3.8.8
−
− i) y, por lo tanto,
2. En Z2 [x], a(x) = x3 + x2 + x + 1 es reducible ya que a(1) = 0, de lo que se deduce que a(x) = (x 1)q (x). Sin embargo, b(x) = x2 + x + 1 es irreducible porque b(0), b(1) = 0.
−
3. x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2)(x2 + 1) es reducible en R[x], aunque no tiene ra´ıces en R. 4. El polinomio x4 + 1 no tiene ra´ıces en Z3 , por lo que la ´ unica posible factorizaci´ on ser´ıa como producto de dos polinomios de grado 2, x4 + 1 = (x2 + αx + β )(x2 + µx + δ ). Las ecuaciones que se obtienen de la igualdad de los polinomios anteriores, permiten calcular los coeficientes: α = 1, β = 2, µ = 2, δ = 2. Por lo tanto x4 + 1 = (x2 + x + 2)(x2 + 2x + 2) y es reducible en Z3 [x]. 5. El polinomio b(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 tampoco tiene ra´ıces en Z3 , la posible factorizaci´ on ser´ıa como producto de dos polinomios de grado 2, x4 + x3 + x2 + x +1 = (x2 + αx + β )(x2 + µx + δ ). Pero el sistema de ecuaciones que se obtiene de la igualdad de los polinomios anterior no tiene soluci´ on en Z3 , por lo que b(x) es irreducible en Z3 [x].
11
3.9. CUERPOS FINITOS
Siguiendo el paralelismo con Z, tambi´en en K [x] todo polinomio no constante se puede expresar como producto de una constante (su coeficiente principal) por polinomios m´onicos irreducibles de una ´unica forma, salvo el orden de los factores. Igualmente, el mcd y el mcm de polinomios puede obtenerse a partir de la factorizaci´on de ´estos en irreducibles.
3.9
Cuerpos finitos
Se pueden construir cuerpos finitos siguiendo el mismo procedimiento que en la construcci´on de (Z p , +, ), con p un n´ umero primo, pero partiendo del anillo de polinomios.
·
onico de Observaci´ on 3.9.1 Recordemos que si I = ( p(x)) es un ideal de K [x] con p(x) un polinomio m´ grado ∂p(x), los elementos del anillo cociente K [x]/( p(x)) son las clases de equivalencia de la relaci´ on definida en K [x] por a(x) b(x) a(x) b(x) ( p(x)) a(x), b(x) dan el mismo resto al dividirlos por p(x). Consideremos el subconjunto de K [x] formado por los posibles restos al dividir un polinomio por p(x),
∼
⇔
−
R = a(x)
{
∈
⇔
∈ K [x]/∂a(x) < ∂ p(x)}.
f
Consideremos la aplicaci´ on K [x]/( p(x)) R dada por f ([a(x)]) = r(x) siendo r(x) el resto de dividir a(x) por p(x). Se verifica que f es una aplicaci´ on biyectiva. En efecto,
→
1. f esta bien definida: [a(x)] = [b(x)] a(x) por p(x). Luego f ([a(x)]) = f ([b(x)]).
⇔
2. f es inyectiva: f ([a(x)]) = f ([b(x)]) a(x) b(x) [a(x)] = [b(x)].
∼
⇔
∼ b(x) ⇔ a(x), b(x) tienen el mismo resto al dividirlos
⇔ a(x), b(x) tienen el mismo resto al dividirlos por p(x) ⇔
3. f es sobreyectiva: Dado r(x) K [x]/( p(x)) consideramos la clase del propio polinomio r(x) en K [x]/( p(x)) y tenemos que f ([r(x)]) = r(x).
∈
En consecuencia K [x]/( p(x)) y R tienen el mismo cardinal y se podr´ıan identificar al conjunto K n , siendo n = ∂p(x) (usando que R = a0 + a1 x + a2 x2 + + an 1 xn 1 , ai K ).
{
·· ·
−
−
∈ }
Al igual que sucede en Zn, los elementos de K [x]/( p(x)) son inversibles o son divisores de cero seg´un sean primos con p(x) como pone de manifiesto la siguiente proposici´on Proposici´ on 3.9.2 Sea [a(x)]
∈ K [x]/( p(x)), se verifica que,
1. si mcd (a(x), p(x)) = 1 entonces [a(x)] es unidad en el anillo K [x]/( p(x)). 2. Si mcd (a(x), p(x)) = 1 entonces [a(x)] es un divisor de cero en el anillo K [x]/( p(x)).
(Demostraci´ on similar al caso Zn ). Corolario 3.9.3 El anillo cociente K [x]/(q (x)) es un cuerpo si y s´ olo si q (x) es un polinomio irreducible.
En ese caso, su caracter´ıstica coincide con la caracter´ıstica de K. Demostraci´ on. La primera afirmaci´on se prueba de forma an´aloga al caso Zn . La caracter´ıstica de K [x]/(q (x)) coincide con la caracter´ıstica del cuerpo K pues para todo natural n se verifica que n [1K ] = [0K ] si y s´olo si n 1K = 0 K .
·
·
Podemos describir la construcci´on de cuerpos finitos cuyo cardinal sea distinto de un n´umero primo. Consideramos como cuerpo base Z p , siendo p es un n´umero primo y q(x) un polinomio irreducible de grado n con coeficientes en Z p . Por lo visto anteriormente el anillo cociente F = Z p [x]/(q (x)) tiene estructura de cuerpo, su cardinal es pn y su caracter´ıstica es p. Todo cuerpo finito F tiene la estructura descrita en el p´arrafo anterior. Es decir, si F es un cuerpo finito, su caracteristica es un n´umero primo p y su cardinal es un potencia de p, siendo F isomorfo a un cuerpo Z p [x]/(q (x)) con q (x) un polinomio irreducible de grado n.
CAP ´ ITULO 3. ANILLOS
12
1. p(x) = x2 + x + 1 es irreducible en Z2 [x], el cuerpo Z2 [x]/( p(x)) tiene 22 = 4 elementos que son de la forma ax + b con a, b Z2 , Z2 [x]/(x2 + x + 1) = 0, 1, x, 1 + x .
Ejemplo 3.9.1
∈
{
}
Teniendo en cuenta que x2 + x + 1 = 0 en el anillo cociente, se pueden facilitar los c´ alculos en el 2 2 cociente. Por ejemplo, x + 1 = x = x, entonces (x + 1)(x + 1) = x + 1 = x.
−
2. El mismo polinomio p(x) = x2 +x+1 no es irreducible en Z3 [x], de hecho, p(1) = 0 y p(x) = (x 1)2 . El anillo cociente Z3 [x]/(x2 + x + 1) no es un cuerpo, como lo demuestra, entre otras cosas que (x 1)(x 1) = p(x) = 0. Aunque algunos elementos tienen inverso, por ejemplo, (x + 1) ya que (x + 1)2x = 2x2 + 2x = 1 en Z3 [x]/(x2 + x + 1).
−
−
−
