Tema 22. Los Números

TEMA 22 LOS NÚMEROS EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA). INTERVENCIÓN EDUCATIVA

INTRODUCCIÓN: El área de matemáticas posee un valor formativo orientado hacia el desarrollo de capacidades y habilidades instrumentales que perfeccionen y aumenten las posibilidades de conocimiento, como el cálculo mental, el lenguaje, la geometría, la resolución de problemas… Estas capacidades se adquieren con el pleno desarrollo de la competencia matemática, matemática, que es la habilidad para utilizar y relacionar relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana, favoreciendo así la participación efectiva en la vida social. Es por esto que las matemáticas suponen un importante campo que favorece el desarrollo cognitivo de los alumnos, ayudándole a que su pensamiento evolucione, a mejorar sus razonamientos dando una gran aportación a la formación intelectual general. Permiten estructural el conocimiento que se obtienen de la realidad, analizarla y lograr una información nueva para conocerla mejor, valorarla y tomar decisiones. Son necesarias en la vida cotidiana, para aprender a aprender ya que el uso de sus herramientas permite abordar una gran variedad de situaciones. Como vemos, las matemáticas son mucho más que simplemente hacer cálculos y trabajar con números o formas geométricas; lo que realmente son es una gran herramienta para nuestras vidas y ese es el objetivo de su estudio, por lo que no debemos apartarlas de los contextos reales de aprendizaje. El currículo del área se ha dividido en 5 bloques, siendo su bloque 2 dedicado a los números y sus operaciones. El tema que exponemos a continuación pretende dar una panorámica actual de lo que q ue representa el concepto de número, los diferentes tipos de números que existen, su necesidad y principales utilizaciones y sus métodos de cálculo. Además veremos cómo podemos dar a nuestros alumnos estrategias que les ayuden a una correcta adquisición de la noción de número introduciéndolos en las operaciones aritméticas básicas, y atendiendo tanto al cálculo escrito como al mental. 1

1. EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS 1.1.

Concepto de números y de cálculo numérico

Los números son números son el concepto que subyace en todo proceso de medición, ordenación, operación o comparabilidad de magnitudes escalares. La escuela Pitagórica en su célebre frase “Todo es número” quería expresar, ent re otras cosas, que el origen de todo cuando existe en el universo puede ser descrito mediante estos conceptos. El concepto de número es la base de las matemáticas. Con los números no sólo se simbolizan cantidades; también las acciones, relaciones y transformaciones cuantitativas que pueden realizarse sobre los objetos tienen un reflejo en las operaciones numéricas. El número expresa simbólicamente determinadas características del mundo real, en particular la cantidad, la orden y la medida. Pero por otra parte se pueden realizar acciones básicas: agregar, separar, reiterar y repartir, que expresan multitud de transformaciones con los objetos. Todas estas acciones sobre el mundo real tienen su expresión simbólica correspondiente en las operaciones numéricas básicas: suma, resta, producto y división. Son estas operaciones las que dan potencialidad al número, y es el trabajo con ellas lo que llamamos cálculo numérico. numérico. Podemos definir cálculo numérico como el conjunto de operaciones y procedimientos para operar con los números. La palabra cálculo procede del latín “calculus” que no eran sino las pequeñas piedras con las que los romanos realizaban sus cuentas. Los números y las operaciones aritméticas son fundamentales para el individuo, la sociedad, la ciencia y la vida cotidiana e intervienen en multitud de actividades. Bermejo (2004) señala los siguientes usos para el número: - Para contar: puede ser cardinal (tengo cinco cromos); - Para numerar según diversos propósitos: número de niños de la clase; para ubicar (en la segunda estantería), para localizar (número de vivienda), para nominar (teléfono, matrícula); - Para medir: describir medidas, valorar (porcentajes), asignar un número a una cantidad discreta (cardinar); - Para operar: sumar, restar, etc.; - Para ordenar: el primero, segundo (número ordinal). Pero la importancia de estos conocimientos va más allá de su utilidad práctica cotidiana: constituyen la base para la mayoría de los conocimientos matemáticos matemáticos son fundamentales para otros conocimientos científicos y otras disciplinas tienen un alto valor formativo contribuyendo al desarrollo de capacidades de alto nivel.   

2

1.2.

Contexto histórico

El número nace de la necesidad de contar, de la necesidad de saber qué cantidad de elementos se posee, se quiere o se necesita. Ya sea por su función cardinal (informar del número de los conjuntos de objetos) o por su función ordinal (señalar que lugar debe ocupar un objeto dentro de un grupo ordenado de objetos). El hombre prehistórico ya contaba usando los dedos de la mano, haciendo conjuntos de 5 o 10 elementos, o incluso de 20 si usaba los dedos de los pies. Otra opción era usar piedras, conchas… Surgen especialmente con las relaciones de comercio.

Los sumerios fueron los primeros en escribirlos. Lo hacían en tablas donde anotaban cantidades asociadas a diversas clases de mercancías, siendo las primeras actas constatables que se conocen, y lo hacían utilizando la base 60. Tanto los egipcios como los griegos trabajarán con distintos sistemas de numeración, pero ninguno será el que usamos actualmente. Los romanos por ejemplo, no tuvieron un sistema de numeración útil para el cálculo. El sistema de numeración que heredamos hoy en día no es otro que el hindú. Se comienza a usar en el siglo III a. C. con nueve cifras, propias de la escritura brahmi. Son los árabes, que usaron distintos sistemas de numeración los que nos traen al mundo occidental el sistema hindú. En el siguiente punto veremos los distintos tipos de números y cómo surgió cada uno.

1.3.

El aprendizaje de los números y de su cálculo

Los niños, desde muy temprana edad desarrollan una matemática informa matemática informa intuitiva a intuitiva a partir de la estimulación proveniente del ambiente ya que encuentran cantidades formando parte ineludible de su vida cotidiana en todos sus contextos. Es lo que Vigotsky llamó conocimiento matemático informal o espontáneo. A diferencia de esta formal  constituye un cuerpo teórico, “matemática informal”, la matemática formal  codificado, explícito y convencionalmente definido. El trabajo del profesor consistirá en un primer momento en ayudar al alumno en esta transición entre la matemática intuitiva y la formal. El concepto de número es una compleja abstracción que se interioriza a partir de una diversidad de experiencias. Para una elaboración adecuada del concepto se requiere básicamente la adquisición de la noción de conservación, conservación, es decir, una certeza de que todo está compuesto por un conjunto de partes que pueden distribuirse como se desee; y la noción de seriación, seriación, que hace referencia a la capacidad para ordenar elementos de una serie en función de un criterio.

3

Ya para el trabajo del cálculo numérico se requiere la adquisición de la función simbólica  simbólica  (se adquiere en Educación Infantil), y que el niño tenga conciencia de la reversibilidad  reversibilidad  (según Piaget es la característica que marca el paso entre el estadio preoperatorio y el estadio de las operaciones concretas; por lo tanto se adquiere en el primer ciclo de primaria. Es además condición indispensable para llegar a comprender las operaciones aritméticas una correcta percepción del tiempo  tiempo  y de la orientación espacial. espacial. Los números tienen pues su importancia en la Educación Primaria para la adquisición de la competencia matemática que permite posteriormente la transferencia de las actividades de recuento y ordenación a las actividades de la vida diaria. El aprendizaje de los números se realiza simultáneo al de las operaciones, ampliando la dificultad de éstas a medida que se incrementa la magnitud de los números. No se puede trabajar con las decenas sin haber trabajado previamente las unidades. Para las operaciones se aconseja que la noción de suma vaya unida a la de resta. A continuación la multiplicación como sumas sucesivas de números iguales, para seguir con la división. Es necesario que la noción de división esté clara para abordar los porcentajes al final de la etapa. Los números fraccionarios se trabajan como partes de un grupo. Mediante trabajos manipulativas se comienza con medios, cuartos… El décimo se relacionará con los

números decimales. Los números negativos se tratarán en aspectos codificables como (temperatura, pisos de sótano …).

4

2. TIPOS DE NÚMEROS 2.1.

Los tipos de números, concepto

En Matemáticas existen distintos tipos de números relacionados entre sí mediante un proceso de construcción formado por sucesivas ampliaciones: ampliaciones: los más elementales son los números naturales, entre los que se pueden realizar sin ninguna limitación las operaciones de sumar y multiplicar para dar lugar a nuevos números naturales. Pero no ocurre así con la resta y la división, puesto que no se pueden realizar operaciones como: 5  – 9 o 7 : 3. En consecuencia, hacen falta nuevos tipos de números para salvar estos inconvenientes: por un lado los números negativos, para poder restar cualquier par de números (ampliación de N a Z (enteros) (con lo que podemos poner: 5  – 9 = 4)), y por otro los números fraccionarios (división indicada o fracciones) y los decimales (números con coma que resultan de dividir numerador y denominador), para poder dividir cualquier par de números (con los que podemos poner: 7 : 3 = 7 / 3 = 2,33. .). Se realizan así, dos ampliaciones de los números naturales: una ampliación aditiva de los números naturales a los números enteros y otra ampliación multiplicativa de los números enteros a los números fraccionarios y decimales (dos maneras de representar los que se conocen como números racionales). Las dos nos permiten operar a nivel elemental de todas las formas posibles sin restricciones: la primera aditivamente y la segunda aditiva y multiplicativamente.

2.2.

Números naturales

Nacen por la necesidad humana de contar y de enumerar elementos. Son los números que forman parte del conjunto: N = {0, 1, 2, 3, . . }. }. Sirven para contar, asignar un valor a la cantidad de objetos separados de un conjunto (establecer el cardinal  cardinal  de una colección) o designar el orden en una serie discreta (establecer el ordinal  ordinal  de un elemento). Entre ellos hay definidas varias operaciones (suma, resta, multiplicación y división) y una relación de orden (menor o igual (≤)) que

permite situarlos en una semirrecta que comienza en cero y no n o tiene fin. 0123456... El número cero tiene algunas particularidades que lo distinguen de los demás números. Se incorporó al resto de números como primer elemento para expresar la ausencia de un determinado valor de posición. La secuencia numérica ascendente comienza en el 1, mientras que la descendente sí acaba en el cero. En el recuento usual se comienza por uno. Como cardinal el cero indica conjunto vacío. No suele usarse como número ordinal. En la antigüedad se utilizaban huecos en la escritura

5

numérica en lugar de ceros. Según la Teoría de Números, el cero no debe incluirse en los números naturales. Los Pitagóricos clasificaron los números naturales en pares e impares.

2.3.

Números enteros

Fueron introducidos por las civilizaciones antiguas en el momento en que se plantearon relaciones de débito y comercio. También son útiles para que sea posible la substracción en todos los casos (la resta que da negativo y que no podríamos realizar con números naturales), para cuantificar, operar y ordenar en situaciones con cantidades y medidas dirigidas (temperaturas positivas y negativas), adjetivadas (ganar, perder; subir, bajar; etc.) o con dos sentidos con un valor nulo central (tiempo antes de, después de; alturas por encima y por debajo del nivel del mar). Así pues se amplían los números naturales añadiéndoles los números negativos (naturales precedidos del signo -) y conservando todas las propiedades y operaciones definidas en N. De esta manera, los naturales son ahora números positivos a los que se añaden los negativos para dar lugar a un nuevo conjunto de números, conjunto de los números enteros (positivos, negativos y el cero), que se representa por la secuencia: Z = (. . , -2, -1, O, +1, +2, . . .) cuyos elementos se pueden situar en la recta numérica sin principio ni fin y cuyas posibilidades y campos de actuación son mayores que los que tenían los números naturales. El valor absoluto de un número entero es el valor del d el número prescindiendo del signo. Se simboliza colocando el número entre barras. -4= |4|= 4

2.4.

Números racionales o fraccionarios

Surge de la necesidad de realizar una división que da como resultado un número que no es entero. La división de dos enteros cuyo resultado no es un número entero nos dará un número fraccionario (Ej.: 8/3). Una fracción o número fraccionario es una pareja ordenada de números enteros (Ej.: 2/3; debe existir un orden porque 2/3 es una fracción distinta a 3/2); al primer número se le llama numerador y al segundo denominador (que debe ser distinto de cero porque la división por cero no está definida en estos conjuntos). La expresión a/b representa un todo o unidad que se ha divido en b partes iguales y hemos seleccionado a de dichas partes.

6

Ejemplo: el 75% de algo, o lo que es lo mismo, los ¾ de algo, indica que una unidad se ha dividido en 4 partes partes y hemos cogido 3 de ellas. Civilizaciones como la egipcia ya usaban las fracciones. El concepto de fracción puede tener varios significados concretos y cotidianos: relación parte-todo, cociente indicado, razón o proporción, operador, medida, porcentaje o, simplemente, número. El panorama de puntos en la recta entera cambia ahora radicalmente, ya que entre dos números enteros hay infinitos números fraccionarios, con lo que se “llena”1

literalmente de puntos el espacio que había entre dos números naturales o enteros (entre 1 y 2, por ejemplo, estarían todas las fracciones tales que al dividir numerador entre denominador dieran como resultado un número del tipo: 1,4567). Del mismo modo, las operaciones aritméticas y el orden en N y Z se mantienen y se amplían a los nuevos números. . . . -1 | 0 | 1/8 | ¼ | ½ | +1 . . . Existen diferentes tipos de fracciones: - Fracción propia: Cuando el denominador es menor que el numerador el número será superior a 1. - Fracción impropia: Cuando el denominador es mayor que el numerador, el resultado es menor que 1. - Fracción nula: Dada la fracción a/b, diremos que es nula si a=0. Normalmente se usan para representar números menores que la unidad. Para la buena comprensión del concepto de concepto de fracción, Bermejo (2004) y Castro (2001) destacan los puntos: 1. Unidad: identificar el número y las cantidades mayores y menores de la unidad. 2. Partes iguales de una unidad usando materiales concretos (tarta, material didáctico). 3. Dar nombres a las partes de la unidad: mitad, tercio, cuarto. 4. Representar fracciones con dibujos. Regiones sombreadas. 5. Escribir fracciones para representar partes de la unidad (2/5,3/8) 6. Ampliar la noción para fracciones mayores que la unidad (9/4, 10/6), números mixtos (6 y 1/4), fracciones equivalentes (1/2, 2/4, etc.) y trabajar el orden entre fracciones.

Situaciones cotidianas: cotidianas: recetas de cocina, ampliaciones o reducciones en fotografía y en fotocopiadora, escalas en mapas, comprar los ingredientes en el mercado (cuarto de kilo. medio de ... , etc.) para preparar una comida para varias personas. El postre es una tarta que hay que calcular para que todos tengan una ración x ... Los cálculos del coste total entran a formar parte del tema. 7

2.5.

Números decimales

Los números decimales son los resultados de divisiones no exactas o con resto no nulo entre números enteros (los repartos equitativos no exactos no se acaban cuando ya no quedan unidades, la parte sobrante se puede seguir repartiendo adoptando unidades sucesivamente más pequeñas). Los números decimales tienen dos partes separadas por una coma: la parte entera (antes de la coma) y la parte decimal (7,35). La parte decimal está formada por cifras que representan, según la posición que ocupen, cantidades de unidades del orden correspondiente, si bien en este caso van en sentido inverso a las que se utilizan para la parte entera (unidades, decenas, centenas, etc.) (Ej.: 7,35: 7 unidades, 3 décimas y 5 centésimas; una centésima es la décima parte de una décima y la centésima parte de una unidad; a medida que la posición se aleja de la coma hacia la derecha el orden es inferior). ±n, a1a2a3 ±(n + a1 x 10-1 + a2 x 10-2 + a3 x 10-3 +…) Se utilizan en numerosas situaciones cotidianas, como por ejemplo: - medidas (2,65 cm), dinero (20,75 euros) - aproximación (3,5 metros aproximadamente) aproximadamente) - porcentajes (el 4 por ciento es igual a un 0,04 del total). Los números decimales se comienzan a usar a partir de 1789 con el nacimiento y la implantación del Sistema Métrico Decimal en Francia, y se extiende por Europa. Los números decimales constituyen una forma alternativa de representar las fracciones y son el resultado de tratar de afinar las medidas reales y disminuir los errores de medición (obtener medidas cada vez más exactas o más cercanas al “verdadero valor”). Las fracciones y los números decimales: ¿son iguales o distintos? Una fracción es un par ordenado de números enteros. Son fracciones distintas aquéllas que tienen alguna diferencia en las cifras de los numeradores y/o los denominadores: 2/5, 2/4, 5/2, 33/7 y 21/22. Pero también son distintas las fracciones: 1/2, 2/4, 3/6, 8/16, etc., aunque todas ellas (y todas las que resulten de multiplicar numerador y denominador de una cualquiera de ellas por el mismo número) son equivalentes a la primera (1/2), que se llama fracción irreducible. Por otra parte, a pesar de ser todas distintas por estar formadas por pares de números distintos, todas dan el mismo número decimal al dividir el numerador por el denominador (0,5). Por tanto, un número decimal es, en realidad, la propiedad común a una clase o conjunto formado por todas las fracciones equivalentes a una fracción dada. Ejemplo: 3,33. . = 10/3 = 20/6 = 50/15 = . ., “propiedad común”  de los elementos del conjunto o clase:{10/3, 20/6, 50/15, . .}. Y todo número decimal con un número de cifras decimales finito o 8

limitado o bien infinito o ilimitado pero no periódico, representa lo que se conoce como número racional (Q). Fracción: 2/8 (par ordenado de números enteros) Expresión decimal de la fracción 2/8 : 0,25 (número con coma que resulta de dividir) Número decimal 0,25 = {1/4,2/8,3/12, . . .} (clase de fracciones equivalentes) Tipos de Tipos de decimales: -

Exactos: Tiene un número finito de cifras decimales no nulas. Ej: 43,27 Periódicos: Si la sucesión de números decimales tiene una estructura periódica a partir de alguna de ellas. Al conjunto de cifras que se repiden indefinidamente se le denominará periódico. Ej: 3,3333…; 127,27272727

-

Irracionales: La sucesión de números decimales es infinito pero sin contener una estructura periódica. Son expresiones irracionales que dan lugar a los llamados números irracionales. Ej: π=3,1415.. ; e= 2,7071…

A los números decimales también se les suele llamar reales, R, pues engloban a todo el conjunto de números.

9

3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN La representación de los números se ajusta a conjuntos de elementos signos, principios y reglas que reciben el nombre de sistemas de numeración  numeración  o sistemas de representación numérica. Estos sistemas de representación han estado marcados históricamente por criterios de utilidad práctica y han sufrido numerosos cambios. El objetivo fundamental ha sido siempre el de describir medidas o cantidades mediante unos pocos signos y operar con ellos de la manera más sencilla posible. Los sistemas de numeración se caracterizan por los siguientes elementos: base, cifras o dígitos y principios y reglas. Nuestro sistema de numeración tiene su origen en India, de donde fue copiado por los árabes, con los que mantenían relaciones comerciales, e introducido en occidente por Fibonacci. Es el sistema en base 10. Veamos lo que esto significa. El primer aspecto a tener en cuenta para representar cantidades y números es el de utilizar, por razones de economía, la menor cantidad posible de signos para representar cualquier número. Se llama base de base de un sistema de numeración al número de signos o símbolos, dígitos o cifras con cuyas combinaciones se obtienen todos los posibles números. - El sistema binario o de base 2 permite escribir cualquier número natural (y por tanto cualquier cantidad) combinando los dígitos 0 y 1 (se utiliza en informática: 0 (no pasa corriente), 1 (pasa corriente). - El sistema de base 10 o decimal emplea los diez dígitos 0, 1, 2 , 3, …, 9 para representar cualquier número. número. Surge de contar con los dedos de nuestras manos. - Además de la base 10, a lo largo de la historia se han utilizado otras bases y sistemas, como la que usaban los babilonios, numeración sexagesimal con la que todavía representamos la medida del tiempo o los ángulos; o la base hexadecimal (emplea los signos 0, 1, 2, . . , 9, A, B, C, D, E, F) que se utiliza en informática, ya que tratan la información agrupándola en grupos de 4 en 4 bits, lo que nos da 16 estados posibles. Los dígitos de dígitos de nuestro sistema en base diez serán: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El tercer aspecto a tener en cuenta es el conjunto de principios y reglas  reglas  para la combinación de los signos básicos. Aquí podemos po demos distinguir: - Estructura: Estructura: 

Sistemas aditivos (las cantidades se representan mediante signos cuyos valores se suman para obtener el número representado. representado. Ej.: sistema egipcio o romano: XXV=10+10+5=25); 10





Sistemas multiplicativos (los signos son de dos tipos: los que se repiten y los que indican las veces que se tienen que repetir los primeros. Ej. Sistema chino; nuestra numeración hablada es multiplicativa: tres miles, cuatro cientos, . . ) Sistemas posicionales (más evolucionados; cada cifra tiene dos valores, uno según su valor como cifra y otro por el lugar que ocupa en una serie de cifras ordenadas linealmente. Ejemplo: 25.346, el 5 tiene valor de cinco (valor absoluto) y de 5.000 (valor relativo) por ocupar el lugar de las unidades de millar). Aquí aparecen las unidades de distinto orden en función de la posición: unidades de orden cero o simplemente unidades, unidades de 2º orden o decenas, unidades de tercer orden o centenas, etc. El sistema decimal escrito o de base 10 de la cultura occidental es posicional y los órdenes se asocian a las sucesivas potencias de la base (10).

- Principios (en Principios (en sistemas posicionales como el decimal): Agrupamiento: Cada unidad de un orden  orden  equivale a x unidades del orden inferior (diez en nuestro sistema): 1 decena = 10 unidades; 1 centena = 10 decenas; etc. Para expresar la carencia de unidades de cualquier orden, se emplea el cero. cero. Los decimales decimales serían: 1 unidad unidad = 10 décimas; 1 décima = 10 centésimas; 1 centésima = 10 milésimas; 1 milésima = 10 diezmilésimas Posición: cada elemento o cifra o dígito en una representación numérica representa la cantidad de unidades del orden correspondiente al lugar que ocupa en la representación. Ejemplo: 2.347 = 2.000+300+40+7 = 2x103+ 3x102+ 4x10 + 7 (2 unidades de millar más 3 centenas más 4 decenas más 7 unidades), lo que también se podría escribir así: 2347= 2x103+3x102+4x101+7x100 



Además de la posición o el agrupamiento, otras reglas que tendremos que destacar serán las operaciones entre operaciones entre los números, sus relaciones, y las propiedades de estas operaciones. Esto lo veremos en el punto siguiente.

11

4. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS 4.1.

La relación entre los números, concepto.

La relación entre los diferentes números se conceptualiza como una relación de inclusión sucesiva de los números naturales hasta los racionales.

Los números son útiles, entre otras cosas, porque se pueden combinar entre sí para obtener nuevos números. Se pueden sumar, restar, etc. para obtener resultados de acciones o para resolver un problema. Los números se pueden relacionar entre sí y combinar a través de las operaciones aritméticas, aritméticas, que pueden ser consideradas desde los tres puntos de vista siguientes: - matemático : una operación aritmética es una “ley de composición interna” que se define entre los números; - semiótico / didáctico: una operación es un conjunto de significados ligados a acciones con cantidades y números números (resolución de problemas); problemas); suma o adición: reunir, agregar,  juntar, etc. resta o sustracción: perder, quitar, sustraer, separar, etc. multiplicación: reiterar, repetir, contar a saltos iguales, etc. división: restar sucesivamente, repartir equitativamente, equitativamente, fraccionar, distribuir, etc. - algorítmico: una operación aritmética es un procedimiento sistemático de cálculo aritmético. 12

Se han de trabajar a lo largo de todos los cursos de Educación Primaria los siguientes aspectos respecto a las operaciones: 1. las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir números naturales: significados y contextos; problemas aritméticos; aplicaciones de las operaciones aritméticas; cálculo del mínimo común múltiplo y Máximo común divisor. 2. representación y terminología de las operaciones aritméticas: signos, igualdades, tipos (vertical, horizontal); lenguaje asociado (doble, mitad, etc.); 3. propiedades de las operaciones aritméticas 4. relaciones entre el sistema decimal, los hechos numéricos, las relaciones entre números y las operaciones aritméticas.

4.2. Las relaciones entre los tipos de números y sus operaciones Las operaciones de cálculo con los números naturales  naturales  son las de adición, la sustracción, la multiplicación y la división: La suma o adicción: Propiedades de la suma: Propiedad conmutativa: 4 + 3 = 3 + 4 Propiedad asociativa: (4 + 6) + 3 = 4 + (6 + 3) Propiedad distributiva: 2 x (5 + 7) = 2 x 5 + 2 x 7 Elemento neutro (el cero): 5 + 0 = 5 La resta o substracción: substracción : Los términos de la sustracción se llaman minuendo y sustraendo, el resultado se denomina diferencia. La resta de dos números naturales no siempre es un número natural, por ello se dice que la resta no es una operación interna en N, ya que el resultado puede ser un número que no sea natural. La multiplicación de dos números naturales es siempre otro número natural. Está asociada a la idea de repetir un número. Es frecuente encontrar expresiones como 3 veces 5 es igual a quince. Propiedades de la multiplicación: Propiedad conmutativa: 6 x 2 = 2 x 6 Propiedad asociativa: (3 x 6) x 4 = 3 x (6 x 4) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: 3 x (5 + 9) = 3 x 5 + 3 x 9 Elemento neutro (la unidad): 4 x 1 = 4. La división está asociada a la idea de repartir, partir en un número finito de partes un todo. Entre las definiciones más convencionales encontramos la definición aritmética la cual nos dice que dados dos números naturales D y d, dividir D por d, significa encontrar otros dos números naturales cy r tales que D= d .c + r, siendo r menor que d.

13

Las operaciones con los números enteros son la adición y sustracción, multiplicación y división. Al sumar dos números enteros siempre resulta otro número entero. Por ello se dice que la suma es una operación interna en Z. Para sumar dos números enteros si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se les coloca el mismo signo, Si tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se coloca el signo del que tenga mayor valor absoluto. Para restar dos números enteros basta con sumar al primero el opuesto del segundo ab= a +(- b) Al multiplicar dos números enteros siempre se obtiene un número entero. Por ello decimos que la multiplicación es una operación interna en Z. En cuanto a la división, en el conjunto de los números números enteros sólo es posible realizar divisiones exactas. Las operaciones con los números fraccionarios en cuanto a la adición, los sumandos pertenecen al conjunto F. Si tienen el mismo denominador: se suman los numeradores y se deja invariante el denominador. La diferencia es igual. Si tienen distinto denominador: se reducen a común denominador ( m.c.m) y se aplican las normas anteriores. El producto de dos fracciones fracciones es igual al producto de los los numeradores y el el producto de los denominadores. La división consiste en multiplicar el dividendo por el inverso del divisor, convirtiendo por tanto la división de fraccionarios en un caso particular multiplicación. Las operaciones con números decimales en el caso de la adición se disponen los dos números en columnas y las comas debajo de las comas. Sólo queda aplicar el algoritmo habitual de adición o sustracción en N, aplicándole por tanto las mismas propiedades. La multiplicación consiste en realizar la multiplicación de los dos números como si fueran enteros, prescindiendo de la coma, para colocar finalmente la coma en el producto contando( a partir de la derecha) el número de cifras igual a la suma de las cifras de las partes decimales de los dos factores. El algoritmo de la división es el mismo que el de la división entera. Se traslada la coma al cociente cuando se la encuentra en el dividendo. Cuando se agotan las cifras del dividendo se continúa la división bajando ceros.

14

5. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO 5.1.

Concepto de cálculo y tipos

5.1.1. Concepto Las operaciones de cálculo fundamentales en primaria son las de adición, la sustracción, la multiplicación y la división. Una parte importante de las operaciones aritméticas, la parte operativa de las mismas, son los algoritmos o procedimientos sistemáticos para la realización práctica de dichas operaciones. Un Algoritmo es cualquier procedimiento mecánico consistente en la aplicación ordenada de una serie de pasos y acciones; es una técnica o método basado en un conjunto de actuaciones secuenciadas. Un algoritmo aritmético es aritmético es un algoritmo en el que intervienen números y operaciones aritméticas. El algoritmo aparece en el momento en que el aprendiz es capaz de trabajar con los números en forma simbólica en lugar de hacerlo físicamente con los objetos (Roa, 2001 citado en Castro, 2001) Pero una cosa es el algoritmo (fórmula o técnica) y otra distinta el cálculo aritmético (procedimiento práctico). Veamos en qué consiste esto: Cálculo aritmético: aritmético: Proceso por el que se efectúa una operación aritmética simple o compleja o varias de ellas combinadas. Cuando se habla de cálculo aritmético se hace referencia a un proceso de aplicación práctica de las operaciones aritméticas, bien sea mediante el algoritmo, o bien mediante otros procedimientos como veremos (calculadora, cálculo mental, etc.). El cálculo aritmético puede resolverse: - mediante el algoritmo (de lápiz y papel o con otro soporte; cálculo escrito); - mediante la manipulación de objetos y el recuento; - mediante material didáctico estructurado (modelos intermedios); - mediante la calculadora (cálculo con calculadora); - mediante lo que se conoce como “ hechos numéricos” y la utilización de la memoria y de estrategias de composición y descomposición (cálculo mental, cálculo estimado, etc.); Justificación de la enseñanza del cálculo: cálculo: La mayor parte del currículo de matemáticas de Educación Primaria está dedicada a la enseñanza de los algoritmos de las operaciones aritméticas elementales y a la adquisición de destrezas de cálculo aritmético. El motivo no es sólo la utilidad práctica sino que hay razones de tipo formativo (el trabajo sobre los algoritmos facilita la comprensión de los números y sus propiedades, ayuda a aprender a gestionar la información; el cálculo mejora las capacidades para el desarrollo de la autonomía, facilita el razonamiento, etc.) y de tipo funcional (calcular y operar influye sobre las habilidades de estimación y aproximación con cantidades y medidas, desarrolla las competencias de pensar y razonar o

15

argumentar, entre otras, y facilita la toma de decisiones en numerosas situaciones cotidianas). 5.1.2. Tipos Existen distintos tipos de cálculo aritmético que resultan de combinar dos a dos las modalidades siguientes: Tipo de cálculo por el resultado: - Exacto (valor o resultado exacto de la operación); - Estimado o aproximado (valor aproximado (valor o resultado aproximado de la operación); Tipo de cálculo por cálculo  por el soporte / procedimiento utilizado: - Algorítmico; Algorítmico; (CÁLCULO ESCRITO) - Mental; Mental; (CÁLCULO MENTAL) - Calculadora u otro soporte; soporte; (CÁLCULO CON CALCULADORA)

5.1.3. Los hechos numéricos Los hechos numéricos son numéricos son resultados procedentes de combinaciones numéricas o de relaciones aritméticas o que tienen que ver con propiedades de los números y las operaciones o con situaciones numéricas y aritméticas notables, curiosas o fácilmente recordables. Son los elementos básicos del cálculo mental o de cabeza, pueden ser útiles para la resolución de problemas o el aprendizaje de los algoritmos de las operaciones aritméticas. La mayoría de los hechos numéricos se pueden clasificar en dos grandes grupos: aditivos o multiplicativos. multiplicativos. Veamos algunos de ambos tipos. aditivos: contar hacia arriba a saltos iguales; dieces (sumar 10, 20 o 30 - Hechos aditivos: es fácil sin más que sumar 1, 2 o 3 a las unidades de orden superior); dobles o parejas de números iguales (doble de 8 es 8+8, doble de 3 es 3+3); conmutatividad; el cero en los cálculos; reglas y patrones aditivos: 8+6=14; 18+6=24; 28+6=34); -

Hechos multiplicativos: multiplicativos: las tablas de multiplicar; multiplicar por potencias de 10 es añadir ceros a la derecha; conmutatividad; doblar o hallar y utilizar dobles (tablas del 2, del 4 y del 8); reglas y patrones multiplicativos (multiplicar por 5 siempre da un número que termina en cero o en cinco).

16

5.2.

Cálculo escrito

Las operaciones de un solo dígito están íntimamente ligadas al concepto de cada operación concreta y sus resultados recogidos en tablas (de sumar o multiplicar) que conviene aprender de memoria. Pero los algoritmos nos permiten extender las operaciones a números de más de una cifra. El cálculo escrito se basa en estos algoritmos (partiendo también de esos cálculos de memoria como las multiplicaciones de dos cifras), y su resultado dependerá de la fidelidad con la que se sigan sus pasos o procedimientos. Un algoritmo posee propiedades: claridad, eficacia y universalidad, con lo que se consigue que su realización se convierta en algo mecánico, resuelto con un número finito de pasos y que se resuelve siempre de la misma forma, independientemente independientemente de la magnitud de los números con los que se opere. Es importante explicar y que los alumnos aprendan cómo se colocan los números para cada operación. Se colocan verticalmente, justificados a la derecha, excepto en la división que van uno junto a otro y separados por una caja. Se opera de derecha a izquierda, excepto en la división. También para las operaciones en que incluimos en una misma fila sumas, restas, multiplicaciones… es importante conocer el orden en

que se deben ejecutar si van seguidas, y si llevan paréntesis y corchetes qué cálculos realizar primero. Para asimilar los algoritmos de las operaciones aritméticas se utilizan materiales estructurados: objetos separados (caramelos, bolsas, bolas, cajas de bolas, etc.), bloques multibase, ábacos, etc.

5.3.

Cálculo mental

Realización de procedimientos de cálculo mediante procesos mentales internos (algoritmos mentales). Se suelen apoyar en un conjunto limitado de hechos numéricos y requieren ciertas habilidades (conteo, recolocación, compensación, descomposición, descomposición, redistribución, etc.). Son rápidos, flexibles, constructivos y exigen comprensión, y nos servirán para anticipar resultados y como recurso de apoyo para cálculos más complejos. Es un tipo de cálculo que se utiliza preferentemente para cálculos rápidos (ej.: buscando la base 10: 9+7=10+6=16). No tienen porqué estar exentos de anotaciones. Dos tipos de cálculo mental (según Gómez, B., 1998): - de estímulo-respuesta (tablas: ¡Cuánto es 8 por 7!), basado en la memoria; - cálculo pensado: con toma de decisiones y elección de estrategias (Ej.: resolver mentalmente 539  –  189 de todas las formas posibles). Presenta numerosas variantes, como por ejemplo: Cálculo pensado aditivo (Ej.: 77+148=70+7+130+18= . . .) 



Cálculo pensado multiplicativo , con las estrategias (Ej.: 8x4211; 8x4mil,

32mil; 8x2cientos, mil 6cientos; total 33mil6cientos; 8x10 . . .) 17



Cálculo estimado o cálculo aproximado . Es el que se realiza cuando lo que

se persigue no es la exactitud del resultado. Se emplea con cantidades grandes y se suele basar en el redondeo; presenta una utilidad social fuera de toda duda. Se debe emplear como mecanismo corrector o detector de errores en la realización de los algoritmos tradicionales; Es recomendable la realización de estimaciones antes del empleo del algoritmo tradicional.

5.4.

Cálculo estimado

Consiste en valorar el resultado o la cantidad de una operación de una manera aproximada. Aparecen dos tipos de estimaciones: estimación en cálculo, refiriéndonos exclusivamente a operaciones matemáticas y estimación en medida. Las características de las estimaciones son las siguientes: - Se valora la cantidad o el resultado de una operación. - La persona que va a hacer la estimación tiene alguna referencia, información o experiencia sobre la situación que va a enjuiciar. - La valoración se realiza por lo general de forma mental. - Se hace con rapidez y empleando números sencillos. - El valor no es exacto pero sí adecuado para tomar decisiones. - El valor admite distintas aproximaciones, según quién la realice. El cálculo estimado nos servirá para resolver más rápido problemas y una mejor comprensión de las relaciones numéricas, pudiendo anticiparse y reflexionar sobre los resultados. Es de gran utilidad en muchos momentos de nuestra vida cotidiana, con un uso fundamentalmente práctico más que formal.

5.5.

Cálculo con calculadora

Se trata de un aparato o máquina que por un procedimiento mecánico o electrónico obtiene el resultado de cálculos matemáticos. Tratándose de un recurso individual, cada alumno debe tener la suya propia. En Educación Primaria, aunque su uso no es frecuente, hay que saber que no están prohibidas, pero hay que hacerle ver al alumnado que no es la herramienta más idónea, dado que los cálculos que se realizan en esta etapa no contienen una gran dificultad y es preferible hacerlos mentalmente o con algoritmos. El maestro, por motivos didácticos, debe hacer que los alumnos utilicen habitualmente todos los tipos de cálculo, incluido este, y tratar de evitar la adopción de prácticas exclusivas de alguno de ellos por comodidad. Las principales operaciones que debe incluir son suma, resta, multiplicación, división entera y con decimales, fracciones y números mixtos. Es conveniente que tenga una tecla para cambiar el signo de un número y suficientes niveles de paréntesis. Por ejemplo: dado un número, sumar una cantidad fija un cierto número de veces. 18

6. INTERVENICIÓN EDUCATIVA 6.1. Fundamentación normativa 6.1.1. Matemáticas en la LOMCE (TEMA 20, resumen) 6.1.2. Los números y el cálculo numérico en el currículo Los números y el cálculo se trabajan en el currículo en el Bloque 2 de contenidos: contenidos: Números. Los objetivos y competencias son los explicados en el tema 20. Los aspectos más importantes a trabajar son: el cálculo mental, cálculo estimado y cálculo aproximado, las estrategias de cálculo, los recursos y modelos intermedios entre las cantidades y los números, como las regletas, los ábacos o los bloques multibase, la comprensión y el dominio de los algoritmos, las restas con llevadas y la división por números de varias cifras. Lo más difícil es la división en todas sus facetas (algoritmo, estrategias, comprensión, etc.). Pasemos ahora a los criterios de evaluación  evaluación  y a los estándares de aprendizaje evaluables que evaluables que siempre veremos juntos pues los segundos parten de los primeros. Los tenemos en el siguiente cuadro

19

6.2.

Principios pedagógicos y metodológicos

(Tema 20)

6.3.

-

Propuestas de intervención

6.3.1. Propuestas para los los diferentes contenidos Numeración: Para aprender a diferenciar números, aprender a contar, aprender a seriar, saber el valor posicional de las cifras… tenemos distintas

estrategias. Entre ellas podemos destacar: Partición: Descomponer un número según distintos criterios, por o ejemplo, según unidades de orden: Aprender a partir 72 en 7 decenas, 2 unidades; o saber que si tenemos 725 tenemos 7 centenas, 72 decenas, 725 unidades. Agrupación: Por ejemplo, componer un numero a partir de 5 centenas, 7 o decenas y 4 unidades, el resultado sería 574. O por ejemplo 5 centenas y 74 unidades, tenemos el mismo resultado. 20

o

o

o

Relación: Establecer relación entre las cifras que forman un número. Ejemplo, con 7 y 5 podemos formar dos números, 57 y 75. Otro ejemplo, construir un número mayor que 300 dados el 1, el 5 y el 7, y tendríamos como posibles resultados 751, 715, 571 y 517. O con esos números dados construir el mayor número posible. Secuencia verbal: Recitar en el orden habitual los números naturales, sin referirnos a ningún objeto externo. Es un aprendizaje memorístico, para el cual podemos valernos de canciones, por ejemplo. Recuento: Ahora asociaremos a cada término o número de la secuencia un objeto, es lo que llamamos recuento. Podemos hacerlo contando a los compañeros, contar las escaleras al subir y bajar…

o

Ordinal: Cuando un conjunto de objetos puede ser ordenado de manera que podemos asociar un número con el 1er elemento, otro con el 2º…

Podemos ver la clasificación de los equipos de futbol, ordenar el orden de llegada a clase, el orden de las diferentes materias a lo largo del día… o

Medida: Los números se emplean también para saber expresar el resultado de una medida. Medir con la regla su material escolar, medir el tiempo, medir la distancia…

o

Códigos: Para identificar los elementos de un conjunto, como por ejemplo los números de los jugadores de fútbol, los números de teléfono…

-

Suma y resta: resta: Su estudio debe realizarse en simultaneidad con el trabajo sistemático sobre los diferentes números. Cada número debe aparecer como un sistema integrado de relaciones y no como algo puramente estático (conocer el 5 es saber que 5=4+1, 5=3+2, 5=9- 4…). o Sumas en columna y en línea o Descomponer: De lo que acabamos de hablar, 5=4+1. Esto también vale para la resta, utilizando distintos tipos de descomposiciones para facilitar el proceso. Ej.: 28-9= 27-10=17 27-10 =17 o Combinar una suma que dea 10: Será más fácil sumar si uno de los términos es 10. 8+6 lo convertimos en 10+4, con lo que tenemos 14 rápidamente. Pedir-pagar: Esta y la siguiente servirán para trabajar las restas con o llevadas. Trabajando con un ábaco, para restar 32-13, restando primero las unidades vemos que hay que a 2 le hay que restar 3. Esto es imposible por lo que pedimos 10 en las unidades, y añadimos 1 en las decenas para compensar, y ahora sí se puede hacer la resta.

21

o

Pedir prestado al compañero: (sería como pedir cambio cuando no tenemos calderilla) Lo representamos con bloques, uno para las decenas y otro para las unidades. En las decenas habrá tres bloques de 10 cada uno y nos hará falta descomponer uno de esos bloques en 10 unidades, para añadir a las dos que ya teníamos y poder hacer la resta.

Ábaco: Solo con mover las bolitas de un lado para otro podemos ver muy gráficamente como se suma y se resta. Multiplicación y división o Multiplicación en horizontal o vertical o Multiplicación en celosía: Una cuadrícula de x columnas y x filas divididas en diagonales para multiplicar números de dos y tres cifras de manera sencilla. o Multiplicación china: Se hace con varillas en horizontal según el número del primer factor y varillas en vertical según el número del segundo factor. Al cruzar esas varillas se forman vértices que sumándolos nos darán los números que nos llevan al resultado. o Canciones para memorizar la tabla o

-

-

Fracciones: Fracciones: Para trabajar fracciones lo mejor serán ejemplos muy visuales, muchos dibujos con ejemplos reales y material manipulable. Cálculo mental o Por compensación: compensación:  Por ejemplo sumando a las dos cifras una misma cantidad para tener números más redondos: 74-28 (=76-30) o Búsqueda de dobles, triples, mitades … o Búsqueda de múltiplos y divisores de un número dado

22

Cálculo de la fracción de un número dado: Calcular mentalmente la fracción de los 2/3 de 30 kg o Multiplicar o dividir por la unidad seguida de ceros: Ej.: Ej.:12,3453:10000 12,3453:10000 Estimación Aproximación por cifras significativas: 6,54= 6,5; 0,09054= 0,00905 o o Aproximación mediante notación científica: Por ejemplo, cuando nos dicen que la distancia de la tierra al sol es a=1,495x10 9 nos están dando un números aproximado Proceso de redondeo: Como la aproximación, pero añadiendo 1 a la o última cifra que usamos si la descartada es mayor que 5. Ej: Aproxima a las centésimas: 6,527 = 6,53; Aproxima a las décimas: 0,456= 0,5 Uso de la calculadora  calculadora  juegos de búsqueda, comprobar resultados de operaciones, concursos cálculo mental Vs calculadora, conseguir que aparezcan números sin pulsarlos directamente y variarlos, aprender las combinaciones de diferentes teclas … o

-

-

6.3.2. Recursos específicos En cuanto a los recursos, se utilizará especialmente material manipulativo, muy útil para la numeración. Entre los materiales manipulativas más utilizados en el estudio de la numeración y las operaciones aritméticas están los ábacos, las regletas de Cuisenaire y recursos que ofrece la red o los materiales informáticos. Veamos más concretamente distintos tipos de recursos: -

-

Números de lija (se reconocen al tacto) y Números recortables (plantilla). Dominós y dominós suma: unir el número con los puntos de igual valor numérico. Balanza de operaciones: colocar en un brazo un número y en el otro las cifras cuya suma sea ese número. Bloques multibase: para comprender los sistemas de numeración, el valor de posición, las operaciones aritméticas y los algoritmos. Regletas: De Cuisenaire (diez tamaños y colores diferentes: formar series, establecer equivalencias, etc.) son las más famosas. Las regletas son un material estructurado, especialmente pensado para trabajar conceptos matemáticos. Consiste un unas barritas de madera (también puede haberlas de plástico) de diferentes colores y medidas que representan diferentes diferentes números o cantidades. cantidades. Se utilizan los colores y tamaños para representar los números, el 1 sería la blanca y más pequeña, de 1cm, el gráficamente que números es es mayor, sumar dos la roja de 2cm… Podemos ver gráficamente números, compararlos… Hay un material Montessori llamado “perlas” que es

23

-

-

-

-

-

parecido. Es el mismo concepto, está formado por bolitas de colores. Una bolita representa la unidad, dos bolitas juntas, el dos, tres bo litas juntas…. Ábacos: Soporte con varillas y ensartadas por bolas (cada una representa un orden del sistema decimal (unidades, decenas, centenas, etc.)) o ábacos planos (casillas dibujadas en lugar de varillas y cuentas, botones o fichas en lugar de bolas ensartadas). Sirven para el cálculo de operaciones aritméticas, representar números, conocer conocer el valor de posición de un número, etc. Material para fracciones: Áreas incompletas y sombreado de áreas (la parte rayada representa una fracción del área total de la figura considerada como la unidad). Ej.: (lo sombreado es 1/6 del área total); Troceado de folios; Volúmenes, capacidades (recipientes, líquidos, repartos); dominós de fracciones Calculadora (como herramienta auxiliar, para investigar y resolver problemas, etc.); Tabla 100: disposición cuadrada y ordenada de los 100 primeros números naturales en 10 filas. Propiedades de los números, n úmeros, divisibilidad, las operaciones son movimientos sobre la tabla, etc. Puzzles (números y colecciones de objetos; de sumas y restas; etc.). Tangrams: material para geometría y medida pero utilizado en este caso para el concepto de fracción (las áreas constituyen una fracción del área total) y las relaciones numéricas en las piezas Dados: Para trabajar la suma, tirar dos dados y decir el resultado. También para trabajar la probabilidad.

6.3.3. Propuestas de intervención en los diferentes cursos -

1er y 2º curso: En el primer curso los niños están aprendiendo a decodificar, y por tanto se están iniciando en el desarrollo de la capacidad de comprensión lectora. Se van iniciando en la escritura y su dependencia del adulto es bastante acusada. Mientras que en el segundo nivel el desarrollo de estas competencias está más avanzado y, por lo tanto, la metodología de trabajo es diferente. Cuando los alumnos ya han adquirido cierta agilidad y comprensión lectora se les puede presentar de forma escrita las actividades. En segundo curso podemos empezar con la multiplicación y división. o

Identificación de unidades, decenas y centenas…

Clasificación de un conjunto. o Cálculo mental de sumas. o Resolución de problemas de sumas y restas. 3er y 4º curso: curso : Partimos de unas capacidades que ya están en proceso de adquisición (comprensión lectora, más autonomía, desarrollo de destrezas de o

-

24

cálculo…)  por tanto la enseñanza se centrará más en la práctica e

interiorización del proceso. Se profundiza en la multiplicación y división con ejercicios como el cálculo de m.c.m o el M.C.D. Como actividades adecuadas puedo mencionar: Inventar y plantear problemas. Resolución por grupos. o o Análisis y comprobación del valor posicional de las cifras. o

Calcular dobles, mitades, triples…

Utilización del paréntesis. Resolución de problemas con dos o más operaciones o 5º y 6º curso: curso: Los alumnos poco a poco habrán ido interiorizando el proceso. Los resultados se van viendo de forma progresiva a lo largo de toda esta etapa y ahora nos encontramos en su último tramo. Serán más capaces de expresarse matemáticamente en sus razonamientos y habrán construido su propio juicio para la valoración del resultado obtenido al final del proceso. Las actividades adecuadas para este ciclo son: o Planteamiento y resolución de problemas en los que intervengan operaciones combinadas. o Ejecución individual de actividades con fracciones y números decimales. o Suma y resta con decimales. o

-

o

Cálculo de porcentajes etc…

6.3.4. Propuestas de intervención en alumnos con discalculia Discalculia o dificultades en el aprendizaje de las matemáticas (DAM) es una Discalculia o dificultad de aprendizaje específica en matemáticas que es el equivalente a la dislexia dislexia,, sólo que en lugar de tratarse de los problemas que enfrenta un niño para expresarse correctamente en el lenguaje, se trata de dificultad para comprender y realizar cálculos matemáticos. Afecta a un porcentaje de la población infantil entre el 3% y el 6%. Esta anomalía casi nunca se diagnostica ni es tratada adecuadamente. Puede ser causada por un déficit de percepción visual o problemas en cuanto a la orientación. El término discalculia se refiere específicamente a la incapacidad de realizar operaciones matemáticas o aritméticas. Es una discapacidad relativamente poco conocida; de hecho, se considera una variación de la dislexia. dislexia. Generalmente una persona con discalculia tiene un cociente intelectual normal o superior, pero manifiesta problemas con las matemáticas, señas, direcciones, etc y por lo tanto un bajo rendimiento escolar en contenidos puntuales. Discalculia es un término que hace referencia a un amplio rango de problemas relacionados con el aprendizaje de las habilidades matemáticas. No existe una única forma de trastorno del aprendizaje de las matemáticas y las dificultades que se presentan varían de persona a persona. A pesar de esto hay unas pautas generales para la intervención intervención del  del docente, que se simplifica a un uso de las estrategias habituales en el área pero… : 25

-

Más intensivas, con más práctica, más ejemplos Más extensivas en el tiempo, más que el resto de los alumnos Con repaso constante y con el uso de técnicas de memorización (con canciones por ejemplo)

CONCLUSIÓN A lo largo de la educación obligatoria las Matemáticas han de desempeñar, indisociable y equilibradamente, un papel formativo básico de capacidades intelectuales, un papel aplicado, funcional, a problemas y situaciones de la vida diaria y un papel instrumental en cuanto armazón formalizados de conocimientos en otras materias. Es necesario traer al aula situaciones cotidianas que supongan desafíos matemáticos atractivos y el uso habitual de variados recursos y materiales didácticos para ser manipulados por el alumnado. Sólo después de haber comprendido el concepto, es adecuado presentar al alumnado el símbolo que lo representa y que empiece a practicar para alcanzar el dominio de los mecanismos que rigen su representación simbólica. En ningún caso se dará por conocido y dominado un concepto, propiedad o relación matemática por el hecho de haber logrado presentar al alumnado el dominio mecánico de su simbología.

BIBLIOGRAFÍA Legislación: -

LEY ORGÁNICA 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa. LEY ORGÁNICA 2/2006, de 3 de mayo, de Educación REAL DECRETO 126/2014, de 9 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de Educación Primaria. DECRETO 105/2014 do 4 de setiembre, por el que se establece el currículo de educación primaria en Comunidad Autónoma de Galicia. ORDEN ECD/65/2015, de 21 de enero, por la que se describen d escriben las relaciones entre las competencias, los contenidos y los criterios de evaluación de la educación primaria, la educación secundaria obligatoria y el bachillerato.

Autores: Autores: -

BARBACHANO, BARBACHANO, R.R. (2012a): Aprende rápido con con las fracciones. Youtube

-

BARBACHANO, R.R. (2012b): Cálculo mental animado. ¡Comprueba tu agilidad 26

mental). Youtube.

-

BELLOS, A (2011):  Alex en el país de los números: un viaje al maravilloso mundo de las matemáticas. Barcenlona: Grijalbo

-

COLL, C. Psicología y currículum. Laia. Barcelona, 1987 y Cuadernos de Pedagogía

-

GONZÁLEZ MARÍA, J.L. (2010). Recursos para el aula de matemáticas.   Sevilla: Grupo Alberque.

-

ESCAMILLA, A. (1993): Unidades didácticas: una propuesta de trabajo en el aula. Zaragoza, Luis Vives. PIAGET E INHELDER (1993): Psicología del niño, Morata. Madrid SARRAMONA, J (2004): Las competencias básicas en la Educación Obligatoria. Ed. CEAC. Barcelona VAZQUEZ-REINA, VAZQUEZ-REINA, M. (2010): Materiales didácticos para matemáticas. Recuperado de: http://www.consumer.es/web/es/educacion/escolar/2010/07/30/194638.php VYGOTSKY, Lev. S (1991): Pensamiento y lenguaje, Ed. La Pléyade, Buenos Aires

-

-

27