Tema 22. Los Números

TEMA 22 LOS NÚMEROS EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTO PROCEDIMIENTOSS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA). INTERVENCIÓN EDUCATIVA

INTRODUCCIÓN: La finalidad de la educación primaria es garantizar una formación integral que contribuya al pleno desarrollo de la personalidad y a la integración social y profesional de los alumnos, tal como refleja la Ley Orgánica 2/2006, 2/2006, de 3 de mayo, de educación (LOE), LOE), modificada por la Ley Orgánica 8/2013, 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa (LOMCE (LOMCE)) tanto en su preámbulo como en sus artículos 2 y 16. Para ello es preciso trabajar contenidos de diverso tipo que están relacionados con muchas parcelas de la realidad, y que en la Educación Primaria (E.P.), han quedado organizados en áreas. Contenidos que tienen que ver con el entorno inmediato de los alumnos y con los conocimientos culturales básicos que se consideran imprescindibles en la etapa. Estas áreas no se tratarán de forma independiente, sino que tendrán, tal como recoge la legislación, un carácter global e integrador, ya que es de esta forma la manera en que los niños perciben la realidad. Una de estas áreas será el área de matemáticas, la cual posee un valor formativo que favorece el desarrollo de capacidades instrumentales instrumentales que perfeccionan y aumentan las posibilidades de conocimiento, como son el cálculo mental, la geometría, la representación… Es por ello que las matemáticas suponen un importante campo que

favorece el desarrollo cognitivo de los alumnos. Permiten estructurar el conocimiento que se obtienen de la realidad, analizarla y lograr una información nueva para conocerla mejor, valorarla y tomar decisiones. Uno de los instrumentos intelectuales intelectuales aportados por las Matemáticas que más valora la sociedad son los conocimientos numéricos. El aprendizaje de los números implica el conocimiento de los sistemas de numeración, del cálculo y de las diferentes operaciones aritméticas, y para que este conocimiento sirva como herramienta para la vida de los alumnos, ha de trabajarse en contextos reales de aprendizaje. Junto a este aprendizaje se trabajarán estrategias de cálculo mental, estimaciones, el uso de la calculadora y la memorización de combinaciones numéricas (hechos numéricos) que también facilitan la resolución de problemas.

Tema 22 – Los números

Noé Rañón

1. EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO 1.1 El concepto de número y cálculo numérico El principal elemento de las matemáticas son los números. El número expresa simbólicamente determinadas características del mundo real, en particular la cantidad, el orden y la medida. La escuela Pitagórica en su célebre frase “Todo es número” quería expresar, entre otras cosas, que el origen de todo cuando existe en el universo puede ser descrito mediante estos conceptos. El número nace de la necesidad de contar, de la necesidad de saber qué cantidad de elementos se posee, se quiere o se necesita. Ya sea por su función cardinal (informar del número de los conjuntos de objetos) o por su función ordinal (señalar que lugar debe ocupar un objeto dentro de un grupo ordenado de objetos). Pero por otra parte se pueden realizar acciones básicas: agregar, separar, reiterar y repartir, que expresan multitud de transformaciones con los objetos. Todas estas acciones sobre el mundo real tienen su expresión simbólica correspondiente en las operaciones numéricas básicas: suma, resta, producto y división. Son estas operaciones las que dan potencialidad al número, y es el trabajo con ellas lo que llamamos cálculo numérico. Podemos definir cálculo numérico como el conjunto de operaciones y procedimientos para operar con los números. La palabra cálculo procede del latín “calculus” que no eran

sino las pequeñas piedras con las que los romanos realizaban sus cuentas. Se conoce con el nombre de algoritmos de cálculo a todos los procedimientos o métodos que se pueden usar para calcular. Los cálculos se sustentan en lo que se llama hechos numéricos básicos, resultados que se almacenan en la memoria y que en un momento dado hay que recordad para realizar una operación. Son resultados exactos y que se consideran necesarios porque ayudan a alcanzar los automatismos del cálculo. Los números y las operaciones aritméticas son fundamentales para el individuo, la sociedad, la ciencia y la vida cotidiana e intervienen en multitud de actividades. BERMEJO (2004) señala los siguientes usos para el número: - Para contar: puede ser cardinal (tengo cinco cromos); - Para numerar según diversos propósitos: número de niños de la clase; para ubicar (en la segunda estantería), para localizar (número de vivienda), para nominar (teléfono, matrícula); - Para medir: describir medidas, valorar (porcentajes), asignar un número a una cantidad discreta (cardinar); - Para operar: sumar, restar, etc.; - Para ordenar: el primero, segundo (número ordinal). 2


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El aprendizaje de los números en la E.P.

Los niños, desde muy temprana edad desarrollan una matemática informa intuitiva a partir de la estimulación proveniente del ambiente ya que encuentran cantidades formando parte ineludible de su vida cotidiana en todos sus contextos. Es lo que Vigotsky llamó conocimiento matemático informal o espontáneo. A diferencia de esta “matemática informal”, la matemática formal constituye un cuerpo teórico, codificado, explícito y convencionalmente definido. El trabajo del profesor consistirá en un primer momento en ayudar al alumno en esta transición entre la matemática intuitiva y la formal. El concepto de número es una compleja abstracción que se interioriza a partir de una diversidad de experiencias. Para una elaboración adecuada del concepto se requiere básicamente la adquisición de la noción de conservación, es decir, una certeza de que todo está compuesto por un conjunto de partes que pueden distribuirse como se desee; y la noción de seriación, que hace referencia a la capacidad para ordenar elementos de una serie en función de un criterio. Ya para el trabajo del cálculo numérico se requiere la adquisición de la función simbólica (se adquiere en Educación Infantil), y que el niño tenga conciencia de la reversibilidad (según Piaget es la característica que marca el paso entre el estadio preoperatorio y el estadio de las operaciones concretas; por lo tanto se adquiere en el primer ciclo de primaria. Es además condición indispensable para llegar a comprender las operaciones aritméticas una correcta percepción del tiempo y de la orientación espacial. Los números tienen pues su importancia en la Educación Primaria para la adquisición de la competencia matemática que permite posteriormente la transferencia de las actividades de recuento y ordenación a las actividades de la vida diaria. El aprendizaje de los números se realiza simultáneo al de las operaciones, ampliando la dificultad de éstas a medida que se incrementa la magnitud de los números. No se puede trabajar con las decenas sin haber trabajado previamente las unidades. Para las operaciones se aconseja que la noción de suma vaya unida a la de resta. A continuación la multiplicación como sumas sucesivas de números iguales, para seguir con la división. Es necesario que la noción de división esté clara para abordar los porcentajes al final de la etapa. Los números fraccionarios se trabajan como partes de un grupo. Mediante trabajos manipulativas se comienza con medios, cuartos… El décimo se relacionará con los

números decimales. Los números negativos se tratarán en aspectos codificables como (temperatura, pisos de sótano …).

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1.3 El cálculo y los números en el currículo Una de las finalidades de la Educación Primaria, según la LOE-LOMCE es facilitar a los alumnos y alumnas los aprendizajes de cálculo, entre otros aspectos. Además, desde los objetivos de etapa de la Educación Primaria, incluidos en el Decreto 105/2014, de 4 de septiembre, por el que se establece el currículo de educación primaria en Galicia, se destaca en relación con las matemáticas y el cálculo numérico el siguiente: g) Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana.

Entre las competencias clave que trabajamos la más directamente relacionada es la Competencia Matemática y competencias básicas en Ciencia y Tecnología (CMCT), que comprende la habilidad de resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral a través del razonamiento matemático. Será una de las que se debe potenciar especialmente, según el Decreto 105/2014, junto con la Competencia en Comunicación Lingüística (CCL). Los números y el cálculo se trabajan en el currículo en el “Bloque 2. Números”. En él se trata el conocimiento de los números y sus relaciones, así como las operaciones aritméticas. Los aspectos más importantes a trabajar son: el cálculo mental; cálculo estimado y cálculo aproximado; las estrategias de cálculo; los recursos y modelos intermedios entre las cantidades y los números, como las regletas, los ábacos o los bloques multibase; la comprensión y el dominio de los algoritmos; las restas con llevadas y la división por números de varias cifras. Lo más difícil es la división en todas sus facetas (algoritmo, estrategias, comprensión, etc.). También podemos relacionar el tema con el “Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas”, ya que en este se trabajará la resolución de problemas en la que se ponen en práctica las estrategias de cálculo, los proyectos de investigación matemática, la modelización, las actitudes adecuadas para desarrollar el trabajo científico y la utilización de las tecnologías de la información y la comunicación.

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2. TIPOS DE NÚMEROS: NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES 2.1 Los números naturales Nacen por la necesidad humana de contar y de enumerar elementos. Son los números que forman parte del conjunto infinito: N = {0, 1, 2, 3, . . }. Sirven para contar, asignar un valor a la cantidad de objetos separados de un conjunto o especificar el tamaño (establecer el cardinal de una colección) o designar la posición de un elemento en una secuencia ordenada (establecer el ordinal de un elemento). Entre ellos hay definidas varias operaciones (suma, resta, multiplicación y división) y una relación de orden (menor o igual (≤)) que permite situarlos en una semirrecta que

comienza en cero y no tiene fin, donde a cada número le corresponde un punto de dicha recta. El número cero se incorporó al resto de números como primer elemento para expresar la ausencia de un determinado valor de posición. La secuencia numérica ascendente comienza en el 1, mientras que la descendente sí acaba en el cero. En el recuento usual se comienza por uno. Como cardinal el cero indica conjunto vacío. No suele usarse como número ordinal. Según la Teoría de Números, el cero no debe incluirse en los números naturales.

2.2 Los números enteros Un número entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos, los números negativos (naturales precedidos del signo -) y conservando todas las propiedades y operaciones definidas en N. De esta manera, los naturales son ahora números positivos a los que se añaden los negativos para dar lugar a un nuevo conjunto de números, conjunto de los números enteros (positivos, negativos y el cero), que se representa por la secuencia: Z = (. . , -2, -1, O, +1, +2, . . .) cuyos elementos se pueden situar en la recta numérica sin principio ni fin, situándose los enteros positivos a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. El valor absoluto de un número entero es el valor del número prescindiendo del signo. Se simboliza colocando el número entre barras. -4= |4|= 4 Fueron introducidos por las civilizaciones antiguas en el momento en que se plantearon relaciones de débito y comercio. También son útiles para que sea posible la substracción 5


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en todos los casos (la resta que da negativo y que no podríamos realizar con números naturales), para cuantificar, operar y ordenar en situaciones con cantidades y medidas dirigidas (temperaturas positivas y negativas), adjetivadas (ganar, perder; subir, bajar; etc.) o con dos sentidos con un valor nulo central (tiempo antes de, después de; alturas por encima y por debajo del nivel del mar). En la etapa se trabajan desde estos contextos reales para comprender su utilidad.

2.3 Los números fraccionarios Una fracción o número fraccionario es una pareja ordenada de números enteros (Ej.: 2/3; debe existir un orden porque 2/3 es una fracción distinta a 3/2); al primer número se le llama numerador y al segundo denominador (que debe ser distinto de cero porque la división por cero no está definida en estos conjuntos). La expresión a/b representa un todo o unidad que se ha divido en b partes iguales (denominador) y hemos seleccionado a de dichas partes (numerador).

Ejemplo: el 75% de algo, o lo que es lo mismo, los ¾ de algo, indica que una unidad se ha dividido en 4 partes y hemos cogido 3 de ellas. Civilizaciones como la egipcia ya usaban las fracciones. Surge de la necesidad de realizar una división que da como resultado un número que no es entero. La división de dos enteros cuyo resultado no es un número entero nos dará un número fraccionario (Ej.: 8/3). El panorama de puntos en la recta entera cambia ahora radicalmente, ya que entre dos números enteros hay infi nitos números fraccionarios, con lo que se “llena”1 literalmente de puntos el espacio que había entre dos números naturales o enteros (entre 1 y 2, por ejemplo, estarían todas las fracciones tales que al dividir numerador entre denominador dieran como resultado un número del tipo: 1,4567). Del mismo modo, las operaciones aritméticas y el orden en N y Z se mantienen y se amplían a los nuevos números. . . . -1 | 0 | 1/8 | ¼ | ½ | +1 . . . Existen diferentes tipos de fracciones: - Fracción propia: Cuando el numerador es menor que el denominador, y el número será superior a 1. - Fracción impropia: Cuando el numerador es mayor que el denominador, el resultado es menor que 1. - Fracción nula: Dada la fracción a/b, diremos que es nula si a=0. - Fracción unitaria: Mismo numerador y denominador. El resultado es 1. - Fracción mixta: Contiene un número entero y una fracción. - Fracciones equivalentes: Representan el mismo valor (Ej.: ½ = 2/4) 6


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Normalmente se usan para representar números menores que la unidad. Para la buena comprensión del concepto de fracción, BERMEJO (2004) y CASTRO (2001) destacan los puntos: 1. Unidad: identificar el número y las cantidades mayores y menores de la unidad. 2. Partes iguales de una unidad usando materiales concretos (tarta, material didáctico). 3. Dar nombres a las partes de la unidad: mitad, tercio, cuarto. 4. Representar fracciones con dibujos. Regiones sombreadas. 5. Escribir fracciones para representar partes de la unidad (2/5,3/8) 6. Ampliar la noción para fracciones mayores que la unidad (9/4, 10/6), números mixtos (6 y 1/4), fracciones equivalentes (1/2, 2/4, etc.) y trabajar el orden entre fracciones. El concepto de fracción puede tener varios significados concretos y cotidianos: relación parte-todo, cociente indicado, razón o proporción, operador, medida, porcentaje o, simplemente, número. Su aprendizaje se inicia en 4º curso, y es recomendable trabajarlas en contextos reales, en situaciones cotidianas: recetas de cocina, ampliaciones o reducciones en fotografía y en fotocopiadora, escalas en mapas, comprar los ingredientes en el mercado (cuarto de kilo. medio de ... , etc.) para preparar una comida para varias personas. El postre es una tarta que hay que calcular para que todos tengan una ración x ... Los cálculos del coste total entran a formar parte del tema.

2.4 Los números decimales Se llaman números decimales a los racionales (números que se pueden expresar como fracción) para los cuales existe una fracción decimal representante. Esto es, cuando su denominador es una potencia de 10 y que se encuentra formado por una parte entera, una coma y una parte decimal (Ej.: 45,28). Los números decimales son los resultados de divisiones no exactas o con resto no nulo entre números enteros. La parte decimal está formada por cifras que representan, según la posición que ocupen, cantidades de unidades del orden correspondiente, si bien en este caso van en sentido inverso a las que se utilizan para la parte entera (unidades, decenas, centenas, etc.) (Ej.: 7,35: 7 unidades, 3 décimas y 5 centésimas; una centésima es la décima parte de una décima y la centésima parte de una unidad; a medida que la posición se aleja de la coma hacia la derecha el orden es inferior). ±n, a1a2a3 ±(n + a1 x 10-1 + a2 x 10-2 + a3 x 10-3 +…) Se utilizan en numerosas situaciones cotidianas, como por ejemplo:

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- medidas (2,65 cm), dinero (20,75 euros) - aproximación (3,5 metros aproximadamente) - porcentajes (el 4 por ciento es igual a un 0,04 del total). Los números decimales se comienzan a usar a partir de 1789 con el nacimiento y la implantación del Sistema Métrico Decimal en Francia, y se extiende por Europa. Los números decimales constituyen una forma alternativa de representar las fracciones y son el resultado de tratar de afinar las medidas reales y disminuir los errores de medición (obtener medidas cada vez más exactas o más cercanas al “verdadero valor”).

Todo número decimal con un número de cifras decimales finito o limitado o bien infinito periódico, representa lo que se conoce como número racional (Q). Los tipos de decimales serían pues: - Exactos o finitos (Q): Tiene un número finito de cifras decimales no nulas. Ej: 43,27 - Infinitos Periódicos (Q): Si la sucesión de números decimales tiene una estructura periódica a partir de alguna de ellas. Al conjunto de cifras que se repiden indefinidamente se le denominará periódico. Ej: 3,3333…; 127,27272727 Irracionales (I): La sucesión de números decimales es infinito pero sin contener una estructura periódica. Son expresiones irracionales que dan lugar a los ▪

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llamados números irracionales. Ej: π=3,1415.. ; e= 2,7071…

A los números decimales también se les suele llamar reales, R, pues engloban a todo el conjunto de números.

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3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema. Por ejemplo: N= S + R Siendo N el conjunto de números naturales, S los símbolos permitidos {0,1,2…9}, y por

último las reglas R que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no y que serán diferentes para cada sistema de numeración considerado. Los sistemas de numeración se caracterizan por los siguientes elementos: base, cifras o dígitos (símbolos) y principios y reglas. Se llama base de un sistema de numeración al número de signos o símbolos, dígitos o cifras con cuyas combinaciones se obtienen todos los posibles números. - El sistema binario (de base 2) permite escribir cualquier número natural (y por tanto cualquier cantidad) combinando los dígitos 0 y 1 (se utiliza en informática: 0 (no pasa corriente), 1 (pasa corriente). - El sistema decimal (de base 10) emplea los diez dígitos 0, 1, 2, 3, …, 9 para representar cualquier número. Surge de contar con los dedos de nuestras manos. - A lo largo de la historia se han utilizado otras bases y sistemas, como la que usaban los babilonios, numeración sexagesimal con la que todavía representamos la medida del tiempo o los ángulos; o la base hexadecimal (emplea los signos 0, 1, 2. . . 9, A, B, C, D, E, F) que se utiliza en informática, ya que tratan la información agrupándola en grupos de 4 en 4 bits, lo que nos da 16 estados posibles.

A lo largo de la historia se han sucedido innumerables sistemas de numeración dependiendo, fundamentalmente, de la zona geográfica y las culturas predominantes en dichas zonas. Los sumerios fueron los primeros en escribir números. Lo hacían en tablas donde anotaban cantidades asociadas a diversas clases de mercancías, siendo las primeras actas constatables que se conocen, y lo hacían utilizando la base 60. Tanto los egipcios como los griegos trabajarán con distintos sistemas de numeración, pero ninguno será el que usamos actualmente. Los romanos, por ejemplo, no tuvieron un sistema de numeración útil para el cálculo. El sistema de numeración que heredamos hoy en día no es otro que el hindú. Se comienza a usar en el siglo III a. C. con nueve cifras. Son los árabes, que usaron distintos sistemas de numeración los que nos traen al mundo occidental el sistema hindú. Según CASADOS, S y BATANERO, C. (2004) los sistemas de numeración se clasifican en:

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Sistemas aditivos (las cantidades se representan mediante signos cuyos valores se suman para obtener el número representado. Ej.: sistema egipcio o romano: XXV=10+10+5=25); Sistemas multiplicativos: El número se obtiene multiplicando cada potencia de la base por el valor del símbolo que le precede y sumando los resultados junto con las unidades. (los signos son de dos tipos: los que se repiten y los que indican las veces que se tienen que repetir los primeros. Ej. Sistema chino; nuestra numeración hablada es multiplicativa: tres miles, cuatrocientos. . . ) Sistemas posicionales Son los más evolucionados. Cada cifra tiene dos valores, uno según su valor como cifra y otro por el lugar que ocupa en una serie de cifras ordenadas linealmente. Ejemplo: 25.346, el 5 tiene valor de cinco (valor absoluto) y de 5.000 (valor relativo) por ocupar el lugar de las unidades de millar). Aquí aparecen las unidades de distinto orden en función de la posición: unidades de orden cero o simplemente unidades, unidades de 2º orden o decenas, unidades de tercer orden o centenas, etc. El sistema decimal escrito o de base 10 de la cultura occidental es posicional y los órdenes se asocian a las sucesivas potencias de la base (10).

Además de la posición o el agrupamiento, otras reglas que tendremos que destacar serán las operaciones entre los números, sus relaciones, y las propiedades de estas operaciones. Esto lo veremos en el punto siguiente.

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4. RELACIÓN ENTRE NÚMEROS La relación entre los diferentes números se conceptualiza como una relación de inclusión sucesiva de los números naturales hasta los racionales. Surge de la necesidad de crear signos que, asociados a cantidades u órdenes, permitan operaciones de tipo comercial, administrativo o social.

Los números son útiles, entre otras cosas, porque se pueden combinar entre sí para obtener nuevos números. Se pueden sumar, restar, etc. para obtener resultados de acciones o para resolver un problema. Los números son lo más importante en Matemáticos, pero también las estructuras que estos conforman: - Las relaciones entre los números son leyes que establecen una vinculación entre los elementos de dos conjuntos. Al primer conjunto se le denomina dominio y al segundo recorrido. Ejemplo: Conjunto A = {1,2,3,4} y Conjunto B = {4,5,6,7,8}. Si bucamos una relación de y = 2x (es decir, el doble), tenemos los siguientes dígitos: (2,4)(3,6)(4,8), teniendo en cuenta que el primer números del paréntesis es del

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conjunto A y el segundo del conjunto B. Así, el dominio sería 2, 3, 4 y el recorrido 4, 6, 8. - Las transformaciones son leyes que, aplicadas a cada uno de los elementos de un conjunto de entes, los transforma en otros. Ejemplo: Dado el conjunto A = {2,3,4,5,6} y queriendo hacer una transformación multiplicando cada elemento por 2, sale el siguiente conjunto: B = {4,6,8,10,12}. - Las operaciones son leyes que, aplicadas a dos o más elementos pertenecientes a uno o más conjuntos, dan por resultado otro, en general de otro conjunto. Ejemplo: Tenemos los conjuntos A = {2,3,4} y B = {1,2,3}. Si se quieren sumar sus elementos, sale el siguiente conjunto: C = {3,4,5,6,7}. Es decir, se sumaron los elementos de los dos conjuntos entre sí y se eliminaron los que estaban repetidos. Las relaciones entre los números implican también el estudio de las relaciones entre las operaciones y las transformaciones. Estas relaciones, transformaciones y operaciones constituyen el objeto de estudio del álgebra y el cálculo, y por lo tanto, estarán presentes a lo largo de la etapa de E.P.

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5. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA 5.1 Operaciones de cálculo Educación Primaria se trabajan los siguientes aspectos respecto a las operaciones: 1. las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir números naturales: significados y contextos; problemas aritméticos; aplicaciones de las operaciones aritméticas; cálculo del mínimo común múltiplo y Máximo común divisor. 2. representación y terminología de las operaciones aritméticas: signos, igualdades, tipos (vertical, horizontal); lenguaje asociado (doble, mitad, etc.); 3. propiedades de las operaciones aritméticas 4. relaciones entre el sistema decimal, los hechos numéricos, las relaciones entre números y las operaciones aritméticas.

Las operaciones de cálculo son las de adición, la sustracción, la multiplicación y la división: - La suma o adición: Es la operación aritmética de combinar o añadir dos números para obtener un cantidad final o total. lustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetida de sumar uno, es la forma más básica de contar. Las propiedades de la suma son la conmutativa (4 + 3 = 3 + 4), la asociativa [(4 + 6) + 3 = 4 + (6 + 3)], la distributiva [2 x (5 + 7) = 2 x 5 + 2 x 7] y el elemento neutro, el cero (5 + 0 = 5). - La resta o substracción: Es la operación opuesta a la adición. Los términos de la sustracción se llaman minuendo y sustraendo , el resultado se denomina diferencia. La resta de dos números naturales no siempre es un número natural, por ello se dice que la resta no es una operación interna en N, ya que el resultado puede ser un número que no sea natural. - La multiplicación: Es una operación que consiste en hallar un número llamado producto a partir de dos números llamados multiplicando y multiplicador , que indican el número que hay que multiplicar y el número de veces que multiplicarlo, respectivamente. Está asociada a la idea de repetir un número. Es frecuente encontrar expresiones como 3 veces 5 es igual a quince. Propiedades de la multiplicación son conmutativa, asociativa, distributiva del producto respecto de la suma [3 x (5 + 9) = 3 x 5 + 3 x 9] y elemento neutro, la unidad (4 x 1 = 4). 13


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La división: Es la inversa a la multiplicación. Supone repartir entre partes o grupos iguales, partir en un número finito de partes un todo. Entre las definiciones más convencionales encontramos la definición aritmética la cual nos dice que dados dos números naturales D y d , dividir D por d , significa encontrar otros dos números naturales c y r tales que D= d .c + r , siendo r menor que d . Consiste en averiguar cuántas veces está el divisor contenido en el dividendo, dando como resultado el cociente.

El cálculo aritmético se puede resolver de diferentes formas, mediante la manipulación de objetos y el recuento, mediante diferentes materiales, mediante la calculadora, mediante hechos numéricos (que conocemos de memoria como las tablas de multiplicar) y cálculo mental y mediante algoritmos. Así pues distinguimos tipos cálculo por el soporte / procedimiento utilizado: - Algorítmico; (CÁLCULO ESCRITO) - Mental; (CÁLCULO MENTAL) - Calculadora u otro soporte; (CÁLCULO CON CALCULADORA)

5.2 Procedimientos de cálculo: escrito, mental, estimación y calculadora 5.2.1. Cálculo escrito o algorítmico El cálculo escrito es aquel en el que nos valemos de un soporte escrito para ir realizando las operaciones, pero el procedimiento que realizamos es algorítmico. Una parte importante de las operaciones aritméticas, la parte operativa de las mismas, son los algoritmos o procedimientos sistemáticos para la realización práctica de dichas operaciones. Un algoritmo es cualquier procedimiento mecánico consistente en la aplicación ordenada de una serie de pasos y acciones; es una técnica o método basado en un conjunto de actuaciones secuenciadas. El algoritmo aparece en el momento en que el aprendiz es capaz de trabajar con los números en forma simbólica en lugar de hacerlo físicamente con los objetos (CASTRO, 2001). Las operaciones de un solo dígito están íntimamente ligadas al concepto de cada operación concreta y sus resultados recogidos en tablas (de sumar o multiplicar) que conviene aprender de memoria (hechos numéricos). Pero los algoritmos nos permiten extender las operaciones a números de más de una cifra. El cálculo escrito se basa en estos algoritmos (partiendo también de esos cálculos de memoria como las multiplicaciones de dos cifras), y su resultado dependerá de la fidelidad con la que se sigan sus pasos o procedimientos. Su realización se convierte en algo mecánico, resuelto

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con un número finito de pasos y que se resuelve siempre de la misma forma, independientemente de la magnitud de los números con los que se opere. Es importante explicar y que los alumnos aprendan cómo se colocan los números para cada operación, el orden en que se deben ejecutar si van seguidas, y si llevan paréntesis y corchetes qué cálculos realizar primero. Para asimilar los algoritmos de las operaciones aritméticas se utilizan materiales estructurados: objetos separados (caramelos, bolsas, bolas, cajas de bolas, etc.), bloques multibase, ábacos, etc.

5.2.2. Cálculo mental Realización de procedimientos de cálculo mediante procesos mentales internos (algoritmos mentales). Se suelen apoyar en un conjunto limitado de hechos numéricos y requieren ciertas habilidades (conteo, recolocación, compensación, descomposición, redistribución, etc.). Son rápidos, flexibles, constructivos, exigen comprensión, y nos servirán para anticipar resultados y como recurso de apoyo para cálculos más complejos. Es un tipo de cálculo que se utiliza preferentemente para cálculos rápidos (ej.: buscando la base 10: 9+7=10+6=16). No tienen por qué estar exentos de anotaciones, pero su esencia es que no se usen soportes escritos. Según GÓMEZ, B (1998), distinguimos dos tipos de cálculo mental: - de estímulo-respuesta (tablas: ¡Cuánto es 8 por 7!), basado en la memoria; - cálculo pensado: con toma de decisiones y elección de estrategias (Ej.: resolver mentalmente 539 – 189 de todas las formas posibles). Presenta numerosas variantes, como por ejemplo: Cálculo pensado aditivo (Ej.: 77+148=70+7+130+18= . . .) •

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Cálculo pensado multiplicativo , con las estrategias (Ej.: 8x4211; 8x4mil,

32mil; 8x2cientos, mil 6cientos; total 33mil6cientos; 8x10 . . .) •

Cálculo estimado o cálculo aproximado . Definido a continuación.

5.2.3. Estimación Consiste en valorar el resultado o cantidad de forma aproximada, cuando lo que se persigue no es la exactitud del resultado. Se emplea con cantidades grandes y se suele basar en el redondeo. Se debe emplear como mecanismo corrector o detector de errores en la realización de los algoritmos tradicionales. Las características de las estimaciones son las siguientes: - Se valora la cantidad o el resultado de una operación. - La persona que va a hacer la estimación tiene alguna referencia, información o experiencia sobre la situación que va a enjuiciar. - La valoración se realiza por lo general de forma mental. - Se hace con rapidez y empleando números sencillos. 15


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- El valor no es exacto, pero sí adecuado para tomar decisiones. - El valor admite distintas aproximaciones, según quién la realice. El cálculo estimado nos servirá para resolver más rápido problemas y una mejor comprensión de las relaciones numéricas, pudiendo anticiparse y reflexionar sobre los resultados. Es de gran utilidad en muchos momentos de nuestra vida cotidiana, con un uso fundamentalmente práctico más que formal: longitudes, distancias, tiempos, cantidades...

Existen tres procedimientos fundamentales de estimación: -

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Redondeo: Consiste en suprimir cifras de la derecha de un número y sustituirlas por ceros (153 : 150). Si la cifra de la derecha es mayor o igual que 5, la que va a su izquierda aumenta una unidad (157:160). Truncamiento: Consiste en suprimir dígitos de un número a partir de un determinado orden de unidades y sustituirlos por ceros (12,511; 12,5) Sustitución: Consiste en sustituir los datos por otros próximos a ellos, pero “compatibles”, en el sentido de que la operación resulte sencilla (2.985:3000)

5.2.4. Cálculo con calculadora Se trata de un aparato o máquina que por un procedimiento mecánico o electrónico obtiene el resultado de cálculos matemáticos. Tratándose de un recurso individual, cada alumno debe tener la suya propia. En Educación Primaria, aunque su uso no es frecuente, hay que saber que no están prohibidas, pero hay que hacerle ver al alumnado que no es la herramienta más idónea, dado que los cálculos que se realizan en esta etapa no contienen una gran dificultad y es preferible hacerlos mentalmente o con algoritmos. El maestro, por motivos didácticos, debe hacer que los alumnos utilicen habitualmente todos los tipos de cálculo, incluido este, y tratar de evitar la adopción de prácticas exclusivas de alguno de ellos por comodidad. Su uso es apropiado cuando se quiere centrar la atención en el proceso, en las técnicas de resolución de problemas. Las principales operaciones que debe incluir son suma, resta, multiplicación, división entera y con decimales, fracciones y números mixtos. Es conveniente que tenga una tecla para cambiar el signo de un número y suficientes niveles de paréntesis. Por ejemplo: dado un número, sumar una cantidad fija un cierto número de veces. Es también conveniente su uso como recurso lúdico, ya que existen gran variedad de juegos con la misma: juegos de búsqueda, comprobar resultados de operaciones, concursos cálculo mental Vs calculadora, conseguir que aparezcan números sin pulsarlos directamente y variarlos, aprender las combinaciones de diferentes teclas…

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6. INTERVENCIÓN EDUCATIVA 6.1 Estrategias generales Debemos poner en práctica estrategias específicas del área como: La resolución de problemas actúa como eje vertebrador que puede recorrer transversalmente todos los bloques. Debe ser fuente y soporte principal del aprendizaje matemático a lo largo de la etapa. Importancia especial en el área de la experiencia (resolución de problemas en contextos reales), del desarrollo en espiral y del orden lógico y progresivo de los contenidos (pasando de lo manipulativo y concreto a lo abstracto). Importancia especial del material manipulativo: El maestro recurrirá a un material alternativo familiar a los niños (frutas, bola s, corchos…), junto a materiales comercializados (ábacos, regletas, balanzas, bloques multibase, dominós, números de lija y recortables, puzles, dados…). Del mismo modo, se acostumbrará a los niños a utilizar instrumentos alternativos de medida (cartulinas o libros para el trazado de líneas, cuerdas o hilos para hacer circunferencias), junto con instrumentos

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propios de esta etapa (regla, escuadra, compás…).

Importancia del material gráfico y visual para mejorar la comprensión. Se debe afianzar la autoestima y dejar tiempo para que los alumnos traten de resolver por sí mismos los problemas El juego se convierte en una poderosa herramienta de apredizajes matemáticos, resolver problemas como si fuese un reto o mediante juegos aumentará la motivación El uso de las TIC con las matemáticas será también útil para motivar, así como para promover el desarrollo de distintas capacidades. Las calculadoras, programas de cálculo, los programas de simulación, la iniciación a la programación, el GPS o los mapas son algunos de los recursos digitales útiles en el área.

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6.2 Propuestas de intervención en los diferentes cursos -

1er y 2º curso: En el primer curso los niños están aprendiendo a decodificar, y por tanto se están iniciando en el desarrollo de la capacidad de comprensión lectora. Se van iniciando en la escritura y su dependencia del adulto es bastante acusada. Mientras que en el segundo nivel el desarrollo de estas competencias está más avanzado y, por lo tanto, la metodología de trabajo es diferente. 17


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Cuando los alumnos ya han adquirido cierta agilidad y comprensión lectora se les puede presentar de forma escrita las actividades. En segundo curso podemos empezar con la multiplicación y división. o

Identificación de unidades, decenas y centenas…

Clasificación de un conjunto. o Calcular aproximando. Estimar y redondear el resultado o Cálculo mental de sumas. o Resolución de problemas de sumas y restas. Utilizar números ordinales o Recontar, medir, ordenar y expresar cantidades en situaciones cotidianas o (leer escribir y comparar números hasta el 999) 3er y 4º curso: Partimos de unas capacidades que ya están en proceso de adquisición (comprensión lectora, más autonomía, desarrollo de destrezas de cálculo…) por tanto la enseñanza se centrará más en la práctica e interiorización del proceso. Se profundiza en la multiplicación y división con ejercicios como el cálculo de m.c.m o el M.C.D. Como actividades adecuadas puedo mencionar: Usar la división en contextos reales o o Profundizar en las estrategias de cálculo mental o Análisis y comprobación del valor posicional de las cifras. Leer y escribir números de 5 cifras en 3º y de más de 6 en 4º. Utilizar números romanos o o Uso d fracciones sencillas (en 4º), comparando y representando gráficamente. o

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Calcular dobles, mitades, triples…

Utilización del paréntesis. o Resolución de problemas con dos o más operaciones 5º y 6º curso: Los alumnos poco a poco habrán ido interiorizando el proceso. Los resultados se van viendo de forma progresiva a lo largo de toda esta etapa y ahora nos encontramos en su último tramo. Serán más capaces de expresarse matemáticamente en sus razonamientos y habrán construido su propio juicio para la valoración del resultado obtenido al final del proceso. La numeración en estos cursos amplía los conocimientos y la complejidad en torno a los números decimales y fracciones: o Planteamiento y resolución de problemas en los que intervengan operaciones combinadas. o Utilizar múltiplos y divisores o Utilizar en contextos reales los números positivos y negativos o Obtener fracciones equivalentes o Suma y resta con decimales. Utilizar porcentajes y expresar partes con ellos, y la correspondencia con fracciones y decimales (en 6º) o

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CONCLUSIÓN Es necesario traer al aula situaciones cotidianas que supongan desafíos matemáticos atractivos y el uso habitual de variados recursos y materiales didácticos para ser manipulados por el alumnado. Con ello aumentará la motivación y la comprensión de la utilidad de los aprendizajes, con lo que estos serán mucho más significativos y enriquecedores. Los números están presentes en todos los momentos de la vida, por lo que es conveniente despertar esta conciencia en los alumnos y que puedan verlo reflejado en sus situaciones cotidianas, lo que le permitirá conocerlos mejor y asimilarlos de una manera más competencial. Es por ello también importante la participación de las familias, pues es el ambiente doméstico un lugar ideal para ejercitar los contenidos del área de manera práctica.

RECURSOS DOCUMENTALES Legislación: -

LEY ORGÁNICA 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa. LEY ORGÁNICA 2/2006, de 3 de mayo, de Educación DECRETO 105/2014 do 4 de setiembre, por el que se establece el currículo de educación primaria en Comunidad Autónoma de Galicia. Bibliografía: -

BERMEJO, V. (2004): Cómo enseñar matemáticas para aprender mejor. Madrid: CCS. CASTRO, E. (2001). Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis. FERNÁNDEZ, J. (2000): Técnicas creativas para la resolución de problemas matemáticos. Barcelona: CISS/Praxis. GODINO, J (2004): Didáctica de las matemáticas para maestros. Departamento de didáctica de la matemática. Facultad de ciencias de la educación de la Universidad de Granada.

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Tema 22. Los Números

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