Tema 21. Trazos básicos de geometría

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Tema 21: Trazados geométricos Básicos

Tema 21 Trazados geométri geo métricos cos Básicos. ÍNDICE 1.- INTRODUCCIÓN. 2.- SEGMENTOS. 2.1. Operaciones: suma, suma, resta, división en partes iguales, mediatriz. 3.- ÁNGULOS. 3.1. Transporte, suma y diferencia, bisectriz, división de un ángulo recto en tres partes partes iguales y trisección aproximada de un ángulo menor de 60º. 4.- TRIÁNGULOS. 4.1. Elementos E lementos y designación: lados, ángulos, vértices, clasificación, ortocentro, ortocentro, baricentro, baricentro, circunce ci rcuncentro ntro e incentro. 5.- CUADRILÁTEROS. CUADRILÁTEROS. 5.1. Enumeración Enum eración de tipos y propiedades. 5.2. Construcción. Construcción. 6.- POLÍGONOS. 6.1. Trazado a partir de la l a circunferencia circunferencia circunscrita. Procedimiento general para cualquier polígono. 6.2. Trazado a partir del lado: pentágono. Procedimiento general para cualquier polígono 7.- IGUALDAD Y SEMEJANZA. 7.1. Procedimientos Procedimi entos para el trazado de figuras iguales. 7.2. Trazado de figuras semejantes. dc427.4shared.com/doc/9E‑90ZGV/preview.html

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8.- TANGENCIAS. 8.1. Definición. 8.2. Trazados básicos. 9.- ÓVALO Y OVOIDE. 9.1. Óvalo. 9.2. Ovoide. 10.- CÓNICAS. 10.1. Elipse. 10.2. Hipérbola. 10.3. Parábola. 11.- CONCLUSIONES.

BIBLIOGRAFÍA. DIÉGUEZ GONZÁLEZ, A : Dibujo geométrico y normalización. Ed. Mc GRAW-HILL. GRAW-HILL. RODRÍGUEZ DE ABAJO, J.F. Curso de dibujo geométrico y de croquización. Ed. Marfil. SENABRE, SENABRE, J. J . Dibujo Técnico. Ed. Edelvives.

1.- INTRODUCCIÓN.

¿Qué es la geometría?, ¿cuáles son las construcciones geométricas básicas?, ¿qué es el dibujo geométrico?. A estas y a otras preguntas daremos respuesta a lo largo del desarrollo de este tema.

Comenzamos Comenzamos definiendo definiendo a la geometría como c omo aquella rama rama de las matemáticas que trata de las propiedade propiedadess de las l as figuras y de las relaciones entre los puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos. Una de las ramas de la geometría es la geometría plana, que estudia las figuras cuyos puntos y líneas están en un mismo plano, y es la que vamos a tratar en este tema. dc427.4shared.com/doc/9E‑90ZGV/preview.html

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El dibujo geométrico está fundamentado en la geometría, y su estudio comienza a partir del análisis de una serie de construcciones geométricas sencillas, elementales y necesarias en construcciones posteriores de mayor dificultad. Parte de los trazados geométricos básicos: rectas, circunferencias, ángulos, triángulos y cuadriláteros.

Aunque el punto, punto, la recta y el plano no se pueden definir con el rigor que exigen las matemáticas, matemátic as, en dibujo podemos podemos aceptar como conceptos básicos necesarios para desarrollar este tema, los siguientes:

Punto: Es la intersección de dos rectas. Normalmente se nombra con una letra mayúscula. Línea recta: Es una sucesión de puntos en la misma dirección. Se nombra con una letra minúscula. Línea curva: Es una sucesión de puntos que no están en la misma dirección. Se nombra con una letra minúscula. Semirrecta: Es una recta limitada limit ada en un extremo. Se nombra por el punto origen origen y una letra minúscula. Segmento: Es una parte de recta limitada en sus extremos. Se nombra por dos letras mayúsculas situadas en sus extremos. Plano: Se define por dos rectas rect as que se cortan o por tres puntos no alineados. alineados. También se define por dos rectas paralelas paralelas o por una recta y un punto que no se pertenezcan. Se designan por una letra griega minúscula. Ángulo: Es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Las semirrectas son los lados del ángulo y el punto de intersección es el vértice.

2.- SEGMENTOS. 2.1. Operaciones: suma, suma, resta, división en partes iguales, mediatriz.

Suma de dos o más segmentos: se realiza colocando estos sobre una recta, con los extremos coincidentes. El segmento resultante es la suma. (Fig.1).

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Resta: se obtiene colocando el segmento de mayor longitud sobre una recta y, superpuesto con él, y a partir del origen, se sitúa el segmento que se resta. Lo que queda del segmento mayor es la resta o diferencia. (Fig. 2).

División en partes iguales: Es una aplicación del teorema de Thales. Por el extremo A del segmento que queremos dividir, se traza una semirrecta oblicua cualquiera y sobre ella se llevan tantas partes iguales como divisiones queramos obtener en el segmento. El extremo C de la última división se une con el B y por las divisiones se trazan paralelas a BC, que dividen al segmento en las partes deseadas. (Fig. 3).

Mediatriz de un segmento AB: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. También se puede decir que esla recta perpendicular al segmento que lo corta en su punto medio. Se determina haciendo centro en los extremos del segmento, con un radio mayor que la mitad del segmento. Uniendo las intersecciones de los arcos, se obtienen la mediatriz. (Fig. 4).

3.- ÁNGULOS. 3.1. Transporte, suma y diferencia. Bisectriz. Bisectriz. Trisección de un ángulo recto. recto. Trisección aproximada de un ángulo agudo. Transporte: Transporte: Para transportar un ángulo, ángulo, se traza un arco cualquiera sobre éste, con c on centro en su vértice v értice V, obteniéndose obteniéndose los puntos de corte con los lados , A y B. Se traza una semirrecta r y, en su origen, se fija el vértice V´. Con centro en él y con el mismo radio del arco anterior se traza un nuevo arco, que en su intersección con la semirrecta nos da el punto B´. A partir de él se lleva con el compás la cuerda del arco AB y uniendo este punto con V´ queda resuelto el problema. (Fig. 5)


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Suma: Sean los dos ángulos dados en la figura 6. Para sumarlos se traza uno igual al primero de ellos, por el procedimiento anterior, y a continuación se traza el otro. El ángulo obtenido es la suma de los dos. (Fig. 6).

Diferencia: Dados los ángulos ay b se traza un ángulo igual al mayor de ellos. A partir de uno de sus lados, se traza el menor. menor. El E l ángulo comprendido comprendido entre ellos es el ángulo diferencia. diferencia. (Véase fig. 7).

Bisectriz: Es el lugar geométrico de los puntos equidistantes a los lados del ángulo. O bien la semirrecta que lo divide en dos partes iguales. Sea el ángulo a de lados r y s y vértice V. Se traza un arco arbitrario que corta a los lados en A y B. Con centro en A y B se trazan dos arcos iguales, que se corten. Uniendo el punto de corte P con V, obtenemos la bisectriz. (Fig. 8).

Trisección de un ángulo recto: Se trata de dividirlo en tres partes iguales. Sea el ángulo recto de vértice V y lados r y s. dc427.4shared.com/doc/9E‑90ZGV/preview.html

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Se traza un arco de radio cualquiera, con centro en V, que corta en los puntos R y S a los respectivos lados del ángulo. Con el mismo radio y centro en R y en S, se corta al arco anterior, obteniéndose así la división exacta del ángulo recto en tres partes, es decir, ángulos de 30 y 60 grados. (Fig. 9). Trisección aproximada de un ángulo menor de 60º grados: Sea el ángulo de vértice V y lados r y s. Trazamos un arco cualquiera que corta a los lados en A y B. Prolongamos uno de los lados del ángulo y, sobre esta prolongación se lleva dos veces el radio VA, oby teniéndose así el punto C. Se une C con B y, por el vértice V se traza una paralela a CB, que nos dividirá al ángulo en una tercera parte. Llevando sobre el arco AB con el compás una cuerda igual a él, el ángulo dado queda dividido en tres partes aproximadamente aproximadamente iguales (no existe exi ste procedimiento procedimiento exacto). exac to). (Fig.10).

4.- TRIÁNGULOS. 4.1. Elementos E lementos y designación: lados, ángulos, vértices. Clasificación. Ortocentro, Ortocentro, baricentro, circuncentro circuncentro e incentro. Triángulo Triángulo es la interferencia interferencia (conjunto de puntos comune c omunes) s) de tres t res semiplanos del mismo m ismo plano. O también la porción de plano comprendida entre tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de corte de las rectas son los vértices del triángulo A, B y C y los segmentos entre ellos son los lados. El lado a, será el opuesto al ángulo A; el lado b, el opuesto al ángulo B y el lado c, el opuesto al ángulo C. La suma de los tres ángulo de un triángulo es de dos ángulos rectos.

Según sean sus lados, un triángulo puede ser: Equilátero: Tiene sus tres ángulos y sus tres lados iguales. Isósceles: Dos lados y dos ángulos iguales. Escaleno: Sus tres lados y ángulos desiguales.


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Según los ángulos, un triángulo puede ser: Acutángulo: Los tres ángulos son agudos. Rectángulo: Tiene un ángulo recto. Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.

Ortocentro: Es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo. Recordemos Recordemos que la altura es el segmento que, partiendo de un vértice es perpendicular al lado opuesto. (Fig. 13)

Baricentro: Es el punto donde se cortan las tres medianas del triángulo. La mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. (Fig. 14). Es el centro de gravedad del triángulo.

Circuncentro: Es el punto donde se cortan las tres mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. (Fig. 15)


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Incentro: Es el punto donde se cortan las tres bisectrices de los ángulos. Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. (Fig. 16).

4.2. Casos directos e indirectos. Se consideran casos directos en la construcción de triángulos, aquellos en que los datos son ángulos y/o lados. Generalmente no necesitan de figura de análisis, porque su resolución es muy sencilla. Basta, en la mayoría de los casos, con colocar los datos en su sitio.

Casos indirectos son aquellos en que los datos son, además de lados y/o ángulos, alturas, medianas, perímetro, etc. Normalmente necesitan de una figura de análisis y, la mayoría de las veces, conocer la resolución del problema, puesto que algunos de ellos son ciertamente complejos.

Dibujaremos, a título de ejemplo, 3 casos indirectos: Trazado de un triángulo conociendo un lado, el ángulo opuesto y su altura correspondiente (a, A y ha). Comenzamos por trazar el arco capaz para el segmento y el ángulo dados. dados. Arco A rco capaz para un segmento y un ángulo ángulo dados es el lugar geométrico geométrico de los l os puntos que unidos con c on los extremos ex tremos del segmento, s egmento, forman el ángulo dado. dado. Para trazarlo, dibujamos el lado a=BC y su mediatriz. Por uno de sus extremos se lleva el ángulo A, de lados a y z. Por B se traza una perpendicular a z y donde esta corta a la mediatriz del lado, es el centro del arco capaz. Llevamos perpendicularmente al lado a, su altura ha, obteniendo sobre el arco capaz los vértices A y A´ de los dos triángulos triángulos solución. s olución. (Fig. 17).


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Trazado de un triángulo conocidas sis tres medianas ma, mb y mc: A partir de una figura de análisis se ve que el romboide GBGĆ es de fácil construcción ya que BG=CG´= 2/3 mb; GC=BG´=2/3 mc y GG´= 2/3 ma. Se construye el romboide mediante dos triángulos de lados 2/3 ma, 2/3 mb y 2/3 mc. La diagonal BC es el lado a del triángulo; el punto G, su baricentro y el vértice A está a 2/3 de ma del mismo. (Fig. 18).

Trazado de un triángulo conocido el perímetro y dos ángulos: 2p, B y C.: Trazamos el segmento 2p y en sus extremos los ángulos mitades de los dados A/2 y B/2. Se forma así el triángulo a, A´, A´´ . Las mediatrices de AAý de AA´´, nos dan los vértices B y C del triángulo solución ABC. (Fig. 19).

5.- CUADRILÁTEROS. CUADRILÁTEROS. 5.1. Tipos y propiedades. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Paralelogramos: Son los que tienen sus lados paralelos dos a dos. Son los siguientes: Cuadrado: Los cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos rectos. Las diagonales iguales, perpendiculares y se cortan en su punto medio. Rectángulo: Sus lados iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos rectos. Sus diagonales iguales y se cortan en su punto medio. Rombo: Sus cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos. Sus diagonales se cortan en su punto medio y dc427.4shared.com/doc/9E‑90ZGV/preview.html

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son perpendiculares. Romboide: Romboide: Lados y ángulos ángulos iguales dos a dos. Diagonales Diagonales desiguales, pero se cortan en su punto medio. (Véase fig. 20).

Trapecios: Trapecios: Son los cuadriláteros cuadriláteros que tienen dos lados l ados paralelos. paralelos. Se distinguen dist inguen:: Trapecio Trapecio rectángulo: Dos ángulos rectos. rectos . Trapecio isósceles: Dos lados iguales y los ángulos iguales dos a dos. Trapecio escaleno: Los cuatro ángulos y desiguales. (Fig. 21).

Trapezoide: Es el cuadrilátero que no tiene iguales ni paralelos sus lados y sus ángulos son desiguales, así como sus diagonales. diagonales. (Fig. 22).

5.2. Construcciones. Para construir un cuadrado es necesario conocer un solo dato; un rectángulo y un rombo se podrán construir conociendo dc427.4shared.com/doc/9E‑90ZGV/preview.html

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dos datos; un romboide conociendo tres datos, un trapecio cuatro datos y un trapezoide cinco datos. Algunos de estos datos se pueden sustituir por condiciones. Las construcciones de cuadriláteros están basadas generalmente en su descomposición en triángulos. Veamos algunos casos de los muchísimos que se podrían plantear.

Cuadrado conociendo la suma de su diagonal y el lado: Sea d+l=AB. Por A se traza un ángulo de 22º30´ y por B una perpendicular que corte al lado del ángulo, resultando el lado del cuadrado (Fig. 23).

Rectángulo dados un lado y el ángulo de sus diagonales: Se traza el arco capaz para el ángulo y el lado dados. El punto medio de este arco será s erá el centro geométrico del rectángulo. Acabar su trazado t razado es elemental, teniendo en cuenta que desde este punto a los extremos del lado son las semidiagonales. (Fig.24).

Rombo dados el lado y una de sus diagonales: Se traza la mediatriz de la diagonal. Con centro en uno de sus extremos y radio igual al lado, se traza un arco que donde corte a la mediatriz nos dará los otros dos vértices del rombo. (Fig. 25).

Romboide dados uno de los lados l y las dos diagonales d y d´ (Fig. 26): El triángulo DMB de lados DM=2l, DB=d y MB=d ´ resuelve el problema por la condición de paralelismo e igualdad de los lados del romboide y puesto que los segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas, son iguales.

Trapecio dadas las dos bases b y b´ y las dos diagonales d y d´: Se resuelve de manera similar al anterior, trazando en primer lugar lugar el triángulo BDM, que tiene por lados BM=b+b´; BM= b+b´; MD=dý BD=d., que nos conducirá al trapecio buscado busc ado ya que MD y AC son iguales y paralelas. (Fig. 27).


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Trapezoide Trapezoide conociendo sus cuatro lados y el ángulo que forman forman dos opuestos: Por elemental descomposición del trapezoide, trapezoide, se s e dibujará primero primero el triángulo ABH, luego el HAD y, y , por último el romboide DCBH. DCBH. Todos ellos resultan casos directos en los que sobra cualquier explicación adicional. (Fig. 28).

6.- POLÍGONOS. 6.1. Trazado a partir de la l a circunferencia circunferencia circunscrita. Triángulo Triángulo y hexágono: hexágono: Con el mismo mis mo radio de la circunferencia, se s e van tomando t omando cuerdas cuerdas sobre la misma. mis ma. La habremos dividido así en 6 partes iguales obteniendo el hexágono. Uniendo los puntos alternadamente obtendremos el triángulo. (Fig. 29).

Cuadrado y octógono: Los extremos de una pareja de diámetros perpendiculares serán los vértices del cuadrado. Las mediatrices de dichos lados nos darán sobre la circunferencia los otros cuatro vértices del octógono. (Fig. 30).

Heptágono, pentágono y decágono: (Fig. 31). El lado del heptágono regular inscrito en una circunferencia es aproximadamente aproximadamente igual ala mitad del lado l ado del triángulo triángulo regular inscrito en la misma mis ma (no existe exist e procedimiento exacto).

Haciendo centro en Pm (punto medio del radio) radio) y con radio hasta A, trazamos el arco AR cuya cuy a cuerda será el lado del pentágono pentágono regular regular inscrito inscrit o en la circunferencia. La distancia dis tancia RO cereal lado del decágono regular regular inscrito.


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Procedimiento general general aproximado; aproximado; polígono de n lados: (Fig. 32). Se traza t raza un diámetro vertical y se divide div ide en tantas partes iguales como lados tenga el polígono (n). Con centro en los extremos de dicho diámetro y con una abertura de compás igual al mismo, se trazan los arcos que se cortan en E. Uniendo E con la división nº 2 del diámetro nos determina sobre sobre la circunferen c ircunferencia cia el lado aproximado. aproximado. Para acabar el polígono basta llevarlo sobre la circunferen c ircunferencia cia y compensar el error de cierre, si lo hubiera.

6.2. Trazados a partir del lado.

Haremos Haremos sólo s ólo el pentágono por procedimiento procedimiento particular, puesto que el triángulo y el cuadrado, son elementales, el heptágono y el eneágono no se pueden trazar por procedimiento exacto y el hexágono se hace trazando la circunferencia circunscrita con el mismo radio que el lado.

Pentágono: Pentágono: El procedimiento procedimiento de construcción c onstrucción está est á basado en que el lado del pentágono pentágono y su s u diagonal diagonal están est án en la proporción aúrea. Se traza la perpendicular al lado por un extremo y se lleva sobre ella la magnitud del lado. Se traza una circunferencia con centro en el punto medio C de esta perpendicular y que tenga el lado por diámetro. Uniendo el otro extremo del lado A con c on el centro de la circunferen c ircunferencia cia y prolongan prolongando do hasta que la corte c orte en D, obtenemos en este punto la longitud de la diagonal diagonal del pentágono. pentágono. Ya Y a sólo es cuestión de determinar vértices sobre el arco, con c on el compás abierto abierto el lado. (Fig. 33)


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Procedimiento general general por semejanza: Para construir const ruir un polígono polígono de n lados conociendo c onociendo su lado l=AB, se ttraza raza una circunferencia cualquiera y se divide en n partes iguales tal y como se hizo en la figura 32. El lado nos habrá salido más grande o más pequeño que l. Aprovechando que todos los polígonos regulares de n lados son semejantes, sólo nos restará dibujar un semejante al primero cuyo lado sea l. Para ello se inscribe el lado en el ángulo central NOM del polígono de tal manera que que nos quede paralelo paralelo a MN. Con centro en O y radio OA se traza t raza la circunferen ci rcunferencia cia circunscrita c ircunscrita al polígono solución.

7.- IGUALDAD Y SEMEJANZA.

7.1. Procedimientos P rocedimientos para trazar figuras iguales. Dos figuras son s on iguales cuando pueden pueden descomponerse descomponerse en el mismo número de triángulos iguales e igualmente dispuestos. También se puede decir que dos figuras son iguales cuand c uandoo superpuestas superpuestas coinciden. Alguno Al gunoss procedimientos procedimientos para su trazado son:

Triangulación: Se descompone la figura en triángulos y luego se van construyendo cada uno de los triángulos en el mismo orden. (Fig. 35).


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Rodeo o itinerario: Consiste en rodear la figura construyendo ángulos iguales de lados iguales. (Fig. 36).

Coordenadas: Se utiliza un sistema de ejes cartesianos, en el que cada punto viene definido por su ordenada y su abcisa correspondiente. (Fig. 37).

Traslación paralela: paralela: Se trazan por cada uno de los vértices v értices de la l a figura líneas paralelas y con aperturas aperturas de compás c ompás iguales, se van trasladando cada uno de los vértices. (Fig. 38)

7.2. Trazado de figuras semejantes. semejantes.

Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma y distintas dimensiones. Sus ángulos son iguales y sus lados proporcionales. Cada punto de una de ellas tiene su correspondiente en la otra y las longitudes de los lados están en la misma relación. A esta relación se la llama razón de semejanza. Algunas construcciones a partir de la razón de semejanza:

Por radiación radiación exterior ext erior:: Dado el polígono que tiene por vértices los puntos ABCDE, se s e quiere dibujar dibujar uno semejante de razón de semejanza ½. Se toma un punto exterior P y se une con todos los vértices del polígono dado. Se divide en dos partes iguales una de las radiaciones, radiaciones, por ejemplo PA y se vvan an trazando por A´ paralelas paralelas a los lados hasta que corten c orten a las corre c orrespondientes spondientes radiaciones. radiaciones. (Fig. 39).


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Por coordenadas: (Fig. 40). Es el mismo que en igualdad (Fig. 37), sólo que si la razón de semejanza es ½, se dividen por 2 las coordenadas.

Por radiación interior: Se procede de igual manera que por radiación exterior, pero con el punto P en el interior del polígono.

8.- TANGENCIAS.

8.1. Definición: Una recta y una circunferencia son tangentes cuando la distancia de la recta al centro de la circunferencia es una magnitud igual al radio de la misma. Dos circunferencias son tangentes cuando sus centros distan la suma o la diferencia de sus radios. En el primer caso son tangentes exterior ext eriores es y en el segundo interiores. interiores.

8.2. Trazados básicos:

Recta tangente a una circunferencia en un punto T de ella. La tangente en un punto T a una circunferencia es la perpendicular al radio OT, según la definición. (Fig. 41).


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Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P: (Fig. 42). Se une el punto exterior P con el centro O y se traza la circunferencia de diámetro OP, la cual corta en T1 y T2 a la dada. Las rectas tangentes t1 y t2 se obtienen uniendo uniendo PT1 y PT2.

Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias dadas: (Fig. 43) Las circunferencias dadas de centros O1 y O2, tienen de radios r y R respectivamente. Con centro en O2 se traza una circunferencia de radio R-r y desde O1 se trazan las tangentes a ella. Las rectas paralelas a éstas y que pasan por los puntos de tangencia T1, T´1 y T2, T´2, son las soluciones. Los puntos de tangencia se obtienen trazando por O1 y O2 las perpendiculares a las tangentes auxiliares.

Rectas tangentes interiores a dos circunferencia dadas (Fig. 44): El procedimiento a seguir es el mismo que en el caso anterior, pero trazando con centro en O, la circunferencia auxiliar de radio R+r.

Circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas, conocido el radio de la solución (Fig. 45). Sean r y R los radios de las circunferencias dadas y r el radio de las de solución. Con centro en O2 y radio R+r se trazan dos arcos y con centro en O1 y radio r+r se trazan otros dos que corten a los anteriores. Los puntos de corte son los centros de las circunferencias solución. Los puntos de tangencia se determinarán uniendo los centros de las circunferencias dadas con dc427.4shared.com/doc/9E‑90ZGV/preview.html

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los centros de las soluciones.

Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia dadas, conocido el radio de las soluciones. (Fig. 46): Sea R el radio de la circunferencia dada y r el radio de las soluciones. Se traza una recta paralela a la dada r y a la distancia de r. Con centro en O y radios R+r se trazan arcos que cortarán a la paralela a r en los centros de las soluciones O1 y O2. Los puntos de tange t angencia ncia se s e obtienen uniendo uniendo los centros c entros y trazando la perpendicular perpendicular a la recta.

9.- ÓVALO Y OVOIDE. 9.1. Óvalo. El óvalo es una curva plana cerrada, formada por arcos de circunferencia tangentes y simétrica respecto a dos ejes perpendiculares.

Conocido el eje mayor: (Fig. 47). Dado el eje mayor AB, se divide entres partes iguales, obteniendo los pontos O1 y O2. Con centro en estos puntos se trazan las circunferencias de radios O1A y O2B y los puntos de intersección O3 y O4, son los centros que permiten completar el óvalo.

Conocido Conocido el eje menor(Fig. menor(Fig. 48). Dado el eje menor CD, se construye c onstruye la circunferen c ircunferencia cia de diámetro dicho eje y se ttrazan razan dc427.4shared.com/doc/9E‑90ZGV/preview.html

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dos diámetros perpendiculares. Los puntos O1, O2, O3, y O4 son los centros de los arcos de circunferencia que permiten construir el óvalo.

9.2. Ovoide. El ovoide es una curva plana y cerrada formada por arcos de circunferencia tangentes y simétrica respecto a una sólo eje.

Trazado conocido el eje de simetría. (Fig. 49). Se divide el eje AB en 6 partes iguales y sobre la perpendicular a AB por la división 2, se toman 4 partes en los dos sentidos, obteniendo así los puntos O1 y O3 que, junto con O2 y O4 (división nº 5) son los centros de los arcos que formarán el ovoide.

Conocido Conocido el diámetro de la circunferencia de cabeza. Fig. 50). Trazada la circunferen ci rcunferencia, cia, se ttrazan razan dos diámetros perpendiculares. Los puntos O1, O2, O3 y O4 son los centros de los arcos que forman el ovoide.

10. CÓNICAS. Las cónicas son las curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano. La superficie cónica de revolución está engendrada por una recta que gira alrededor de otra a la que corta, manteniendo constante el ángulo entre ellas. Esta segunda recta es el eje y la recta que gira es la generatriz. El punto de intersección de ambas es el vértice de la superficie.

10.1 Elipse. La elipse resulta cuando el plano es oblicuo al eje de la superficie cónica y corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice. Es una curva cerrada, plana, lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a otros dos fijos F y F´ llamados dc427.4shared.com/doc/9E‑90ZGV/preview.html

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focos es constante e igual a 2.a que es la longitud del eje mayor AB. Tiene dos ejes de simetría: mayor o real que se representa por 2.a y menor 2.b. Los focos están sobre el eje mayor a una distancia F-F´ que se llama distancia focal y se representa por 2.c. Entre a, b y c existe la relación: a 2=b2+c 2

Construcción de una elipse a partir de los ejes. (Fig. 51). Dados los ejes AB=2.a y CD=2.b. Con centro en C y radio a se corta al eje mayor en F y F´, focos de la curva. Se toma un punto N cualquiera en el eje mayor, comprendido entre el foco y el centro. Con radio AN y centro en F se traza el arco 2 y con radio BN y centro en F´ se traza el arco 1. Estos dos arcos se cortan en el punto M de la elipse. Repitiendo esta operación con otros puntos como N, obtendremos tantos puntos como queramos de la curva, que se deben unir con plantillas de curvas o a pulso.

10.2. Hipérbola. La hipérbola se produce cuando se corta una superficie cónica por un plano paralelo a dos de sus generatrices. La hipérbola es una curva abierta, plana, lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos llamados focos, es constante e igual al eje real. Tiene dos ejes de simetría perpendiculares que se cortan en su punto medio: eje real que se representa por 2.a y eje imaginario 2.b. Los focos están en el eje real y a una distancia 2.c (distancia focal).

Dibujo de una hipérbola conocidos el eje real AB y la distancia focal FF´. (Fig 52). Se toman puntos como el N y con radios AN y BN y centros en F y F¨se trazan dos arcos que se cortan en M, punto de la hipérbola. De esta manera podremos podremos obtener tantos puntos como queramos queramos que, unidos a mano alzada o con plantillas plantill as nos determinarán determinarán la curva.


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10.3. Parábola. La parábola resulta cuando se corta una superficie cónica por un plano paralelo a una de sus generatrices. La parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. Tiene un vértice V y un eje de simetría que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. El vértice, como otro punto cualquiera de la parábola, equidista del foco y de la directriz.

Trazado de la parábola: (Fig. 53). Se conocen la directriz d, el eje y el foco F. El vértice es el punto medio del segmento AF. Se obtienen puntos así: Se traza por un punto cualquiera del eje (1) una perpendicular al mismo; con la distancia 1 A y centro en F se trazan arcos que la corten, obteniendo así puntos de la curva.


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11. CONCLUSIONES. Consideramos que el conocimiento de los trazados geométricos es fundamental en el campo del Dibujo Técnico. Un estudio exhaustivo requiere, sin embargo, mucho más de un tema. Es difícil, por tanto, resumir aunque sea lo más básico, en unos folios, cuando hay tratados completos que tratan de la materia. Se han limitado los trazados a aquellos que se entienden básicos y, por ejemplo en las cónicas, se han limitado las construcciones a un solo procedimiento para cada una de ellas, cuando se conocen muchos más.

El dibujo geométrico se puede puede considerar como un tema instrumental i nstrumental para el Dibujo Técnico y, por tanto, fundamental como base para la expresión gráfica y la representación representación de cualquie c ualquierr elemento, mecanismo o proyecto.

BIBLIOGRAFÍA. DIÉGUEZ GONZÁLEZ, A : Dibujo geométrico y normalización. Ed. Mc GRAW-HILL. GRAW-HILL. RODRÍGUEZ DE ABAJO, J.F. Curso de dibujo geométrico y de croquización. Ed. Marfil. SENABRE, SENABRE, J. J . Dibujo Técnico. Ed. Edelvives.

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Rafael López González


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Tema 21. Trazos básicos de geometría

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