Tema 2 Primera Parte

TEMA 3: Transporte de energía eléctrica

Alicia Triviño Cabrera Profesora Titular de Universidad Dpto. Ingeniería Eléctrica

Bibliografía



“Electric Energy Systems”, A. Gómez Expósito, CRC Press



“Análisis de sistemas de potencia”, Grainger G rainger et al. McGrawHill



“Powe “Powerr syste system m operati operations ons”, ”, A. A. Conejo Conejo et al., Spring Springer er

Índice

Índice

1. Mode Modelad lado o de la red elé eléctr ctrica ica de tra transpo nsporte rte 2. Un Unid idad ades es no norm rmal aliz izad adas as 3. Flujo de de ca cargas 4. Despa paccho econ onó ómic ico o - OPF

Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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Representación unifilar


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MODELO DEL SISTEMA DE ENERGÍA ELÉCTRICO Basado en un análisis nodal.



Nudo Nudos: s: Gene Genera raci ción ón,, cons consum umo. o.



Líneas


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NUDOS / BUSES

Un nudo está completamente caracterizado cuando se sabe:



V, , P, Q. • Nudos PQ. Se sabe P, Q

Carga

• Nudos PV. Se sabe P, V.

Generador

• Nudo slack. Magnitud y fase de la tensión constantes.

Interconexión


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MODELO DE LA LÍNEA Línea corta:


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MODELO DE LA LÍNEA Línea larga: Hay que emplear concepto de diferencial de cable

….


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MODELO DE LA LÍNEA Línea larga: Se emplea modelo en

 Z

Y

Y

=+ =+

Y


Admitancia de shunt

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Índice

Índice

1. Modelado de la red eléctrica de transporte 2. Unidades normalizadas 3. Flujo de cargas 4. Despacho económico - OPF


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NORMALIZACIÓN DE MAGNITUDES: POR UNIDAD/ PER UNIT (p.u.) En líneas de transmisión vamos a tener habitualmente kV y kW/MW. Normalización = dividir magnitud por su base/referencia.

PASO 1: Para cada región: Elegir tensión de línea referencia Elegir potencia aparente de referencia


  Página 11 de 100

NORMALIZACIÓN DE MAGNITUDES: POR UNIDAD/ PER UNIT (p.u.) Las referencias/bases deben estar relacionadas para usar LKV, LKI Impedancia de referencia Tensión de línea de referencia

Potencia de referencia

Corriente de referencia PASO 1: Para cada región: Elegir tensión de línea referencia Elegir potencia aparente de referencia


  Página 12 de 100

NORMALIZACIÓN DE MAGNITUDES: POR UNIDAD/ PER UNIT (p.u.) Facilita la comparación de la operación de sistemas de energía eléctrica. PASO 2: Cálculo de la corriente de referencia



 = 3  PASO 3: Cálculo de la impedancia de referencia. ESTRELLA

Z =  Tema 3: Transporte de energía eléctrica

TRIÁNGULO

Z =  Página 13 de 100

EJEMPLO DE CLASE: Resolución Generador trifásico

Línea de transmisión

Carga

 =1.4 75 >

¿Tensión de fase?

! ="# 3#>

$%&'()*,- /,/02'/  E 6

a

+



Conexión en estrella Tensión línea: 4.4 kV

I 6

a'

8

Z

!

Z

V 69

N

6 = V 6!:9: =1"7

N’

?3#


A

V 69

V 6:9:

= 4.4 3;< = "54 ;< #

= V 6:9: +68 ="@A7 ;< ".7# Página 14 de 100

EJEMPLO DE CLASE: Resolución con p.u.

Generador trifásico ¿Tensión de fase?


 =1.4 75 > Tensión de base = 4.4 kV Intensidad de base = 127 A

Carga

! ="# 3#> Conexión en estrella Tensión línea: 4.4 kV

Debo calcular resto de parámetros de base: Como

 = 3 

 = B 3  = CA7.DA EFG

   Z =  = "# > Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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Generador trifásico


Carga

 =1.4 75 >

¿Tensión de fase?

! ="# 3#> Conexión en estrella Tensión línea: 4.4 kV

$HIJ2'K, L M)N,'-&L2 , M/,/02'/ %&'()*,- , I.& E 6

+



N

a

I 6 V 69

I.&. 8 =#.#7 75

Z

O.P. ! =1 3#

 = 1 I.& = Q.Q.QQ RST RST  # Se divide por  3 por ser tensión de fase

V 6:9:

Z

Se divide por ZB Tema 3: Transporte de energía eléctrica

a'

N’

Página 16 de 100


$HIJ2'K, L M)N,'-&L2 , M/,/02'/ %&'()*,- , I.& E 6

a

+



I 6 V 69

N

I.&. 8 =#.#7 75

a'

Z

O.P. ! =1 3#

Z

N’

Se divide por ZB

6 = V 6!:9: = 1

?3#

p.u.

V 69

= V 6:9: +68 =1.#51 ".7# I.&  * 

* IB = 127

6 =1"7

?3#


A

 = 1 I.& = Q.Q.QQ RST RST  # Se divide por  3 por ser tensión de fase

V 6:9:

V 69

="@A7 ;<

".7# Página 17 de 100

CAMBIO DE BASE: Características se dan en una base que no es la que se emplea en la red

UVWX6 = Y8


<Y8 [ UVWX6 <UVWX6 Y8

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Índice

Índice

1. Modelado de la red eléctrica de transporte 2. Unidades normalizadas 3. Flujo de cargas 4. Despacho económico - OPF


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DEFINICIÓN ¿Qué es un flujo de cargas ? Conocidos los consumos en cada nudo y la potencia generada por los alternadores, hay que determinar tensiones en los nudos y los flujos de potencia por las líneas y los transformadores. Consta de dos etapas: • Calcular tensiones complejas en todos los nudos eléctricos. • Calcular flujos de potencia activa y reactiva, pérdidas. Se usa para: estimar estado, para planificación, por seguridad.


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FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: ANÁLISIS DE NUDOS

ac^ c

h

^

acR

c = dace fc ? e g + ajc k c

R

ach

ei^ h

h

ei^

ei^

c = dace + ajc c ? d ace e

h

Matriz de admitancias

ajc

\ Diagonal

']^ a^^ _ _ ']` = ?a`^ _ _ ']U ?aU^

bSimétrica ?a^` b ?a^U ^ b _ b _ _ b a`` b ?a`U ` b _ b _ _ b ?aU` b aUU U

Y pp = suma de admitancias que concurren en nudo p

No Diagonal Y pk = suma de admitancias comunes a los nudos p y k U p = Potencial del nudo p respecto del nudo 0 Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: Ley de Kirchhoff:

I = YU

U ≡Vector

de tensiones nodales I ≡ Vector de intensidades netas inyectadas en los nudos

n

I i

=

Y U ij

j

i =1

Donde Y es la matriz nxn de admitancias, también denominada matriz Y bus. Construcción de la matriz Y bus: • Un elemento de la matriz tiene la siguiente expresión:

Y ij Tema 3: Transporte de energía eléctrica

=

g ij

+

jbij Página 22 de 100

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: • El elemento Y jj situado en la diagonal de la matriz Y que corresponde al nudo j, será igual a la suma algebraica de todas las admitancias conectadas al nudo j. • El elemento que relaciona dos nudos cualquiera i y j será igual a menos la suma de todas las admitancias que conectan el nudo i con el nudo j. En cada nudo se cumple:

Si= Sgi- Sci= Ui·Ii*

Para todos los nudos (expresión matricial):  S  U 0  1  1  S   0 U 2  2=  ...   ... ...  S   0 0  n  Tema 3: Transporte de energía eléctrica

 * ... 0   I 1   ... 0   I 2*  · ... ...   ...      ... U n   I *   n Página 23 de 100

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: De las expresiones anteriores sabemos:

=L')Nfglk =L')Nfglfalgk Descomponemos la potencia compleja en potencia activa y potencia reactiva: S = P + jQ = diag (U )·(G − jB)·U * n

Pi + jQi = U i · (Gij − jBij )·U j*

j

= 1,2,..., n

j =1

n



Pi = Vi·V j ·(Gij ·cosθij + Bij ·senθ ij )

  i = 1, 2,..., n Qi = Vi· V j ·(Gij ·senθij − Bij ·cosθ ij )  j =1  j =1 n




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EJEMPLO: Sistema:

Matriz de admitancias:

P2

?

Q3 Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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FLUJO DE POTENCIA: EJERCICIO PROPUESTO COMO TG

c ce + ce

e

c mcnejo

p ce qce

?

Línea


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PÉRDIDAS EN LAS LÍNEAS

rse + rts = ce

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FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: De las expresiones anteriores sabemos:

S = diag (u)·I * = diag (u)·(Y ·U ) * Descomponemos la potencia compleja en potencia activa y potencia reactiva: S = P + jQ = diag (U )·(G − jB)·U * n

Pi + jQi = U i · (Gij − jBij )·U j*

j

= 1,2,..., n

j =1

Separamos las ecuaciones en 2·n ecuaciones reales: n



Pi = Vi·V j ·(Gij ·cosθij + Bij ·senθ ij )

  i = 1, 2,..., n Qi = Vi· V j ·(Gij ·senθij − Bij ·cosθ ij )  j =1  j =1 n




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FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: Algunas variables ya están definidas •Nudos de consumo: Se conoce el consumo de potencia activa y reactiva, siendo nula la potencia generada. Número de nudos es nD. Datos : Piesp = −Pciesp , Qiesp = −Qciesp Incognitas : V i , θ i

•Nudos de generación: Un generador regula la tensión a un valor especificado (Viesp) e inyecta una potencia activa (PGiesp). Número de nudos es nG-n- nD-1

v)-/2 pcWj` = pwcWj` ? pwcWj`n
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FORMULACIÓN DEL PROBLEMA: En función de la clasificación anterior, las ecuaciones nos quedan: n esp Pi = Vi · V j ·(Gij ·cosθij + Bij ·senθ ij ) j =1 n esp V j · ij ·senθij − Bij ·cosθ ij Qi = Vi j =1



· (G

Con las nG ecuaciones calculamos la potencia generador. Obtenemos un sistema de mediante proceso iterativo. plano:

)

i=1,2,...,nD + nG i=1,2,...,nD

excluidas de la segunda expresión reactiva que inyecta/absorbe cada ecuaciones no lineales, lo resolvemos Como condición inicial utilizamos perfil

• θi0 = 0, para todos los nudos. • Vi0 = 1 pu, para todos los nudos de consumo. Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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EJEMPLO: Considérese la red de 3 nudos mostrada en la siguiente figura:

Los datos de esta red, sobre una base de 100 MVA, se muestran en la siguiente tabla. Nudo 1 2 3


V 1.1 1.05

P G

P D

0 0.6

0 1 0.2

G

0 -

Q D

0 0.4 0.05

Impedancia serie 1-2:

z12=0.03+0.3 j

Impedancia serie 2-3:

z23=0.06+0.2 j

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EJEMPLO: La matriz de admitancias de nudos es la siguiente:  0.3300 − 3.3003 j Y = − 0.3300 + 3.3003 j  0

j 0   1.7062 − 7.8875 j − 1.3761 + 4.5872 j  1.3761 − 4.5872 j  − 1.3761 + 4.5872 j

− 0.3300 + 3.3003

Las incógnitas son θ2, V2 para el nudo 2 y valores especificados: esp

=

Q2

esp

= QG 2 − QC 2 = −0.4

P3esp

=

P2


θ3

PG 2 − PC 2 PG 3 − PC 3

para el nudo 3. Los

= −1

=

0.4

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EJEMPLO: Las funciones no lineales, en coordenadas polares, que ligan los datos con las incógnitas son las siguientes: (1.7V 2 − 0.363 cosθ 2 + 3.63senθ 2 − 1.445 cosθ 23 + 4.816senθ 23 ) = 0 esp Q2 − V 2 (7.887V 2 − 3.63 cos θ 2 − 0.363senθ 2 − 4.816 cosθ 23 − 1.445senθ 23 ) = 0 esp P3 − 1.05(1.445 − 1.376V 2 cosθ 32 + 4.587 senθ 32 ) = 0 esp

P2

− V 2

Obtener el flujo de cargas para esta red consiste en resolver las ecuaciones anteriores pasa las potencias especificadas. Una vez resueltas, puede obtenerse la potencia activa y reactiva que debe inyectar el generador 1, la potencia reactiva del generador 3, los flujos de potencia en cada extremo de línea y las pérdidas totales. ¡¡Sistema de ecuaciones no lineal! Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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RESOLUCIÓN DEL REPARTO DE CARGAS:

 Método

de Gauss-Seidel

 Método

de Newton-Raphson

 Método

desacoplado rápido

Estos métodos requieren que le demos un intervalo de valores a las incógnitas.


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MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL: EJEMPLO Se va a resolver la siguiente ecuación: f(x)=x 2 -5x+4=0 . Despejamos x , con lo que resulta: x=0.2x 2 +0.8 En la iteración r+1 se tiene que: x

( r +1)

=

0.2( x (

)

r ) 2

+ 0.8

Tomando como punto de partida x (0) =2 , los resultados obtenidos con el paso de las iteraciones es: x(1) = 0.2 + 22 + 0.8 = 1.6

x(8) = 0.2 + 1.00422 + 0.8 = 1.0017

x(2) = 0.2 + 1.62 + 0.8 = 1.312

x(9) = 0.2 + 1.00172 + 0.8 = 1.0007

x(3) = 0.2 + 1.3122 + 0.8 = 1.443

x(10) = 0.2 + 1.00072 + 0.8 = 1.0003

x(4) = 0.2 + 1.4432 + 0.8 = 1.0619

x(11) = 0.2 + 1.00032 + 0.8 = 1.0001

x(5) = 0.2 + 1.06192 + 0.8 = 1.025

x(12) = 0.2 + 1.00012 + 0.8 = 1.0000

x(6) = 0.2 + 1.0252 + 0.8 = 1.0103

x(13) = 0.2 + 1.00002 + 0.8 = 1.0000

x(7) = 0.2 + 1.01032 + 0.8 = 1.0042 Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL: El objetivo es encontrar x tal que verifique: f(x) = 0 Problema del punto fijo: x = F(x) Solución: Partiendo de un valor inicial x 0 , se obtiene iterativamente: xik +1 = Fi  x1k +1,..., xik−+11, xik ..., xnk  

Flujo de cargas: PASO 1: Especificar las siguientes magnitudes:



• Inyección de potencia activa en todo los nudos menos en el Slack. • Inyecciones de potencia reactiva en los nudos PQ. • Módulos de tensión en los nudos PV. • Módulos y ángulos de fase de la tensión en el nudo de referencia . • Límites de tensión en los nudos PQ. • Límites de inyección de potencia reactiva en los nudos PV. Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL: PASO 2: Calcular la matriz de admitancias nodales del sistema Y bus . PASO 3: Inicializar las tensiones dependiendo de tipo de nudo tratado: • Módulo de las tensiones en los nudos PQ: V i

=

(0)

V i

• Ángulos de fase de las tensiones en todos los nudos excepto en el nudo de referencia: δ i = δ i( 0) PASO 4: Calcular los ángulos de fase de las tensiones en los nudos PQ.


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MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL: PASO 5: Calcular las inyecciones netas de potencia reactiva y los ángulos de fase de las tensiones de los nudos PV. PASO 6: Comprobar el cumplimiento del criterio de parada: ( r +1)

V i


( r )

− V i

≤ ε

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MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL: Si se cumple, calcular: • Inyecciones de potencia activa y reactiva en el nudo Slack: n

P1 − jQ1

*

= V ∞

 Y V ∞

k =1

• Flujos de potencia en cada una de las líneas: P

ij

Q

ij

= V ·V · i

j

b

p ,ij

j

ij

ij

(G ·senθ

= V ·V · i

G ·cosθ

ij

ij

+ B

ij

− B

ij

≡ Susceptancia

·senθ

ij

·V

−G

2

ij

i

·cosθ ) − V ·( B 2

ij

i

ij

−b

p ,ij

)

paralelo del modelo Π

• Pérdidas en las líneas: S ik + S ki = S ik . perdida S perdida = S ik , perdida



∀k ,i

En otro caso volver al paso 4. Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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MÉTODO DE NEWTON-RAPSON: El objetivo es encontrar x tal que verifique: f(x) = 0, aproximamos f(x) por su desarrollo en serie alrededor de x k .

0fHg y 0fH R g+zfH R glfH R{^ ? H R g = # F(x) es el jacobiano de f(x).

Proceso se detiene cuando se cumple:


max f i ( x k ) ≤ ε i

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MÉTODO DE NEWTON-RAPSON: •Formulación polar: El vector x tiene dimensión 2·nD+ nG  θ   1   θ 2   ...  θ      θ n−1  x =  −  =   V 1 V       V  2  ...    V nD   

∆Pi = Pi

esp

 ∆P1    P ∆  2   ...   ∆P       ∆Pn−1  f ( x) =  −  =  ∆Q1       ∆Q   ∆Q  2  ...    ∆QnD  n

V j ·( Gij ·cosθij + Bij ·senθ ij )  j 1

−Vi ·

i = 1,2,..., n −1

=

n esp ∆Qi = Qi −Vi · V j · j =1

 (Gij ·senθij − Bij ·cosθ ij )


i = 1,2,..., nD

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MÉTODO DE NEWTON-RAPSON:

42

MÉTODO DE NEWTON-RAPSON: La ecuación -F(x)· ∆x k =f(x k ) se expresa en forma matricial:  H   

k

k  k    ∆P  N  ∆θ  ·  = L   ∆V   ∆Q     V 

θ    V   

k +1

k

θ   ∆θ   =  + V   ∆V     

k

Para i # j H ij = Lij = V i ·V j (Gij senθ ij − Bij cosθ ij ) N ij

(G

= − M ij = V i ·V j

ij

cosθ ij + Bij senθ ij )

Para i = j


2

H ii

= −Qi − Bii ·V i

N ii

=

Pi

2

+ Gii ·V i

Lii

=

M ii

2

Qi − Bii ·V i

=

Pi

2

− Gii ·V i

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MÉTODO DE NEWTON-RAPSON: Flujo de cargas: PASO 1: Especificar las siguientes magnitudes: • Inyección de potencia activa en todo los nudos menos en el Slack. • Inyecciones de potencia reactiva en los nudos PQ. • Módulos de tensión en los nudos PV. • Módulos y ángulos de fase de la tensión en el nudo de referencia . • Límites de tensión en los nudos PQ. • Límites de inyección de potencia reactiva en los nudos PV. PASO 2: Calcular la matriz de admitancias nodales del sistema. PASO 3: Inicializar las tensiones dependiendo de tipo de nudo tratado: • Módulo de las tensiones en los nudos PQ: V i

=

V i ( 0 )

• Ángulos de fase de las tensiones en todos los nudos excepto en el nudo de referencia: δ i = δ i( 0 ) Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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MÉTODO DE NEWTON-RAPSON: PASO 4: Calcular ∆P y ∆Q, según las ecuaciones anteriores. PASO 5: Comprobar el cumplimiento del criterio de parada: Si se cumple, calcular: • Inyecciones de potencia activa y reactiva en el nudo Slack: n P1 − jQ1

*

= V 1

 Y V

1k k

k =1

• Flujos de potencia en cada una de las líneas: S ki S ik

( = V (V

*

)Y + V V (Y ) − V )Y + V V (Y ) *

= V k V k − V i *

k

i

* k

* ik

* ik

* k k

sh * ki

*

sh * ik

i

i

• Pérdidas en las líneas: S ik + S ki = S ik . perdida S perdida = S ik , perdida



∀k ,i

• Problema resuelto, el proceso iterativo ha finalizado. Tema 3: Transporte de energía eléctrica

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MÉTODO DE NEWTON-RAPSON: En otro caso ir al siguiente paso. PASO 6: Calcular las submatrices: H, N, M y L del jacobiano. PASO 7: Resolver la ecuación:

 ∆θ ( r 1)   H ( r ) N ( r )   ∆V ( r 1)  =    ( r )   M ( r ) L( r )   V  +

+

−1

 ∆P ( r )  ⋅ ( r )  Q ∆  

PASO 8: Actualizar módulos y ángulos de fase de las tensiones: ( r +1)

δ

( r )

= δ

( r +1)

+ ∆δ

( r +1)

V

( r )

= V

( r +1)

+ ∆V

PASO 9: Volver al paso 4.


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MÉTODO DESACOPLADO RÁPIDO: Simplificaciones: • No recalcular el jacobiano en cada iteración. •Desacoplamiento entre las potencias activas y módulos de tensiones y las potencias reactivas y ángulos de fase. Flujo de cargas desacoplado rápido (FCDR): este método hace una serie de simplificaciones: 1) Hace cero las matrices N y M. 2) Se asumo que: cos θij ≅ 1, Gij· sen θij << Bij, Qi << Bii·Vi2

3)

•Subproblema activo: Vi=1, se omiten en H las reactancias y condensadores en paralelo, valor nominal para toma de transformadores. •Subproblema reactivo: en la matriz L se ignoran los trasnformadores desfasadores.


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MÉTODO DESACOPLADO RÁPIDO: El sistema de ecuaciones resultante, queda desacoplado en dos sistemas:

B '·∆θ = ∆P V ∆Q B ''·∆V = V

B’ y B’’ son

constantes

El FCDR puede divergir o comportarse oscilatoriamente cerca de la solución cuando el sistema esta fuertemente cargado


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SIMPLIFICACIÓN CON ANÁLISIS DC: Se trata de obtener una relación lineal entre P y θ. Hipótesis que se realizan: • Vi = 1 en todos los nudos. • Pij = Gij·(cos θij - 1) + Bij· sen θij • Diferencias angulares son pequeñas: cos θij ≅ 1, sen θij ≅ θi - θ j El flujo de potencia activa nos queda:   θ −θ   i j  

Pij = Bij· Bij =

1

xij rij2 + xij2 x

R

ij


<

=

xij

1 ≈ 2 x ij 

 r 1+  ij x   ij  

  1  Pij = x ·θi −θ j   ij 

ij

3 Página 49 de 100

COMPARATIVA DE MÉTODOS: Gauss-Seidel: • Tiempo que se requiere para calcular una iteración es función lineal del número de nudos del sistema • Converge a la solución aunque el punto de partida esté alejado de la solución final, aunque lo hace lentamente. • Velocidad de convergencia lineal hace necesarias un gran número de iteraciones para alcanzar la solución Todo esto hace que el método sea poco eficaz para sistemas de gran tamaño, pues requiere un gran número de iteraciones, pero lo hace muy útil en aquellas ocasiones en las que se necesita un punto de partida mejor que el estado plano


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COMPARATIVA DE MÉTODOS: Newton-Raphson: • Velocidad de convergencia cuadrática. • El tiempo requerido en cada iteración aumenta linealmente con el número de nudos, pero el tamaño del sistema no influye en el número de iteraciones necesario para resolver el problema. • Matriz jacobiana es cuasi-vacía. • Este método no es sensible a la presencia de condensadores en serie o a qué nudo se elige como nudo de referencia o slack. • Es muy sensible a la elección de la solución inicial, de forma que si no está suficientemente próxima a la solución final el proceso puede diverger.


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Tema 2 Primera Parte

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