Valoración Financiera
Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad del Perú. Decana de América
Facultad Facult ad de Ingeniería de d e Sistemas Escuela Profe Profesional sional de Ingeniería de Software
Finanzas para la Gestión
Valoración Financiera +
El dinero es un bien económico circulable y su uso o posesión ocasiona un costo o beneficio, cuya magnitud depende de la valorización como del tiempo de usufructo de dicho bien. Por ello se puede afirmar que: “el
Inflación
“Interés”
Devaluación Riesgos
La manifestación permanente del valor va lor di ne nerr o en en el tie ti empo
Flujo de efectivo 5,000 5,000
1
3
2
Periodo n
-
5,000 soles hoy, hoy, valen más que los mismos 5,000 soles dentro de uno ó dos años
diner di nero o ti ti ene valor valor en el tiempo”.
Este concepto es el origen y soporte del:
.
Remuneración Remuneración del dinero, con una rentabilidad, que el inversionista inversionista exigirá, en un futuro, por hacer uso de él hoy.
El interés es el precio del dinero en el tiempo. Interés = f (capital, tiempo, riesgo, inflación…)
%
De todos las técnicas que se utilizan en utilizan en finanzas , ninguna ninguna es
El valor del dinero en el tiempo Si un amigo te pide un préstamo de $10.000 No se necesita formación académica para entender que cuando se recibe dinero en calidad de préstamo, es "justo" pagar una suma adicional al devolverlo. Se puede definir
, en forma muy simple como:
Provecho, Provecho, ganancia, utilidad. Lucro producido por el capital. Tengamos presente que el interés , es el dinero pagado por el uso del dinero prestado prestado o interés interés es la renta renta obtenida obtenida por la inversión productiva productiva del del dinero
El valor del dinero en el tiempo. El VDT es el cambio en la cantidad de dinero durante un período de tiempo, se manifiesta en el Mercado a través de la “Tasa de Interés”, que, en términos prácticos, es la razón entre la ganancia producida por unas inversiones y la inversión misma en un periodo de tiempo dado. dado .
Ejemplos: Dos aspectos relevantes influyen en las Decisiones de Inversión y de Financiamiento: “El Riesgo y el Tiempo”. El VDT es valioso ya que da a conocer el efecto del tiempo y el riesgo en tales decisiones
Decisión de Inversión
Decisión de Financiamiento Carrera Profesional Crédito Universitario Plantación y tala de Aumento de Capital un bosque de pinos Propio Obras de Beneficiencia Lanzar un nuevo producto Mejoramiento de una carretera
Aporte de los socios Capitalización Capitalización de utilidades Impuestos
Algunos “ Un dólar hoy vale más que un dólar mañana bajo la premisa de que hoy puedo invertir ese dólar para generar intereses” “ Un dólar seguro vale más que uno con riesgo”, no todas las inversiones
tienen el mismo riesgo. Debemos comparar con alternativas alternativas de similar 4 riesgo. Ej. Bonos del Banco Central vs Proyecto Proyecto Inmobiliario
El valor del dinero en el tiempo. Veamos el ejemplo de un Director Financiero de una empresa: Dinero Oportunidad de inversión (Activos Reales)
Empresa
Invertir Se exige Rendimiento
Accionistas
Alternativa: pagar al contado a accionistas
Oportunidad de inversión en MK (Activos Financieros)
Los accionistas Invierten por sí mismo
Se exige Rentabilidad
Por lo tanto, el mínimo rendimiento rendimiento que se exige a los activos reales es la rentabilidad que obtendrían los accionistas en el mercado mer cado de capitales al realizar inversiones en activos financieros (Bonos y Acciones) de similar riesgo r iesgo al de los activos reales. Esto se denomina “Costo de Oportunidad del Capital” 5
El valoración Financiera Tasa de interés
Interés simple Interés compuesto
Tasa de interés nominal
Tasa de interés efectiva
Asociado
Plazo (Periodo de tiempo)
1 mes : mensual 2 meses : bimensual o bimestral 3 meses : trimestral 6 meses : semestral 1 año : anual 2 años 3 años 5 años
… Etc. Tasa de interés corriente
Tasa de interés real
Tasa de interés soles sol es
Tasa de interés dólares dól ares
Interés simple El interés: en términos prácticos, es el dinero pagado por el uso del dinero prestado ó es la renta obtenida por la inversión productiva del dinero
Cuando los intereses de una operación se acumulan, dan lugar a dos modalidades de acumulación: Interés Simple – los intereses se acumulan en una cuenta aparte. I =P × i × n ó I=F - P Interés Compuesto – los intereses se acumulan en la misma cuenta del capital, es decir, son objeto de generar más intereses una vez capitalizados. El interés compuesto capitaliza los intereses mientras que el simple no lo
donde: Ii : Monto de interés ($) P : Monto de capital principal ($) Tasa de interés por i: período (%) t: Número de períodos (días, meses, años, etc.)
Interés simple Capital principal = Tiempo = Tasa de interés (i) =
$100,000,000 6 meses 2% mensual
I =C × i × n ó I=F - C
Mes
Capital Inicial ($)
Intereses generados ($)
Capital final ($)
Intereses acumulados ($)
1
100,000,000
2,000,000
100,000,000
2,000,000
2
100,000,000
2,000,000
100,000,000
4,000,000
3
100,000,000
2,000,000
100,000,000
6,000,000
4
100,000,000
2,000,000
100,000,000
8,000,000
5
100,000,000
2,000,000
100,000,000
10,000,000
6
100,000,000
2,000,000
100,000,000
12,000,000
100,000,000
12,000,000
Final en cuentas Total por cancelar
112,000,000
Interés Compuesto Capital principal = Tiempo = Tasa de interés =
$100,000,000 6 meses 2% mensual
Mes
Capital Inicial ($)
Intereses generados ($)
Capital final ($)
1
100,000,000
2,000,000
102,000,000
2
102,000,000
2,040,000
104,040,000
3
104,040,000
2,080,800
106,120,800
4
106,120,800
2,122,416
108,243,216
5
108,243,216
2,164,864
110,408,080
6
110,408,080
2,208,162
112,616,242
Total por cancelar
112,616,242
Intereses acumulados ($)
Valoración Financiera Ejercicio 01:
Si el amigo te pide un préstamo de $10.000, con el objeto de que le pagues $11,000 al cabo de un año
VP $10.000 $10.000 $1,000
10%
$11,000
un año
Vf
Cantidad que varia una inversión o préstamo después de uno o más periodo
Es el dinero inicial que se presta, es decir, el CAPITAL Es la ganancia, producto del empleo o uso de un cierto capital durante un periodo de tiempo
Es el porcentaje que representa el interés sobre el capital en un periodo
VP I i
Interés simple Ejercicio 02: Calcular el monto de interés que paga un préstamo de $500,000 al 1.5% mensual por 18 meses: Solución :
I =P × i × n ó I=VF - P
Capital:
$500,000
Tasa de interés:
1.5%
Tiempo:
18 meses
I = $500,000 * 0.015 * 18
= 0.015 = $135,000
Interés simple Relación entre valor presente y valor futuro VF = VP + I VF = VP + VP*i*t = VP (1 + i * t)
Ejercicio 03: Calcular el valor a pagar en 18 meses cuando se cumpla un préstamo por $500,000 al 1.5% mensual simple. Solución :
I =VP (1+× i × n ) ó I=VF - VP
I = $500,000 * 0.015 * 18 VF = $500,000 + $135,000
= $135,000 = $635,000
VF = $500,000 * (1 + 0.015 * 18) = $635,000
o
Interés simple EJERCICIO 04 : Imagina que va al banco y ..............
1 2
Depositas en tu cuenta S/.50,000 por el periodo de un mes La Ejecutiva captadora te indica que aplicando 2% obtendrás una ganancia de S/.1,000
3 La Tasa de interés seria:
Entonces se tiene que: El CAPITAL es S/. 50,000 El INTERES es S/. i I C
1,000 2% mensual
No confundir interés con tasa de interés. Como ven son muy diferentes. El interés es un valor absoluto y la tasa se expresa en %
Interés simple Cálculo de Tasa de Interés
Cálculo de Tiempo
i = (VF/VP -1)/t
t = (VF/P -1)/i
Ejercicio 05: Calcule la tasa de interés mensual que se aplica a un préstamo de $1,948,052 que cancela $3,000,000 a los 18 meses: Solución : i = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/18 = 0.03 = Ejercicio 06:
3% mensual
Solución :
Calcule el tiempo necesario t = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/0.03 para que una deuda de $1,948,052 de convierta en 18 meses t = $3,000,000 al 3% mensual:
No se olvide de que: La tasa de interés “i” y el
Interés simple unidad de tiempo
plazo “n” deben estar referidos a una misma
Ejercicios de interés simple. 7. Cual seria la inversión inicial, si se ha obtenido utilidades de $ 300, después de 8 meses, a interés simple, y con el 28% de tasa de interés anual? Inversión inicial : $ 1,607.14
8. ¿Cuál es el valor presente, al 5% de interés simple anual de $1,800 con vencimiento en 9 meses ?VP : $ 1,734.94 9. ¿El día de hoy se obtiene un prestamo por $5,000 y después de un año, se paga 5,900. Determinar el interés y la tasa de interés.
Interés $ 900 y la i = 18% anual 10. Determinar en cuantos meses con un capital inicial de $ 850, se acumularían $1264 a un interés del 14% anual. 41,75 meses 11. Un pequeño empresario tiene un pagaré por $2000, ¿Cuál sería la cantidad a desembolsarse, después de 14 meses, si se reconoce una tasa del 8% anual?
El desembolso : 2,185.67
Interés Compuesto Es el interés (I) ganado en cada periodo (n) el cual es agregado al capital inicial (C) para constituirse en un nuevo capital (MC ó VF ) sobre el cual se calcula un nuevo interés produciéndose lo que se conoce como capitalización
El período mínimo pactado para que se pueda cobrar un interés se llama período de capitalización. Puede ser semanal, mensual, anual, etc. El interés es el pago que se hace El interés aumenta periódicamente al propietario del capital por el durante el tiempo que dura la uso del dinero, y está asociado a transacción. VFn = VP(1+i)n un periodo de tiempo
Interés Compuesto
Período Capital al inicio Interés del del período período
Capital al final del período
1
P
P*i
P + P*i = P(1+i)
2
P(1+i)
P(1+i)i
P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)(1+i)=P(1+i)2
3
P(1+i)2
P(1+i)2i
P(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)2(1+i)=P(1+i)3
P(1+i)n-1
P(1+i)n-1i
P(1+i)n-1+P(1+i)n-1i = P(1+i)n-1(1+i) = P(1+i)n
* * n
VFn = VP(1+i)n
Interés Compuesto Ejercicio 12: Un depósito de $5,000,000 se mantiene por cuatro años en una fiducia que capitaliza intereses y ofrece una tasa de interés del 1.5% mensual. ¿Cuánto se retira al final de los cuatro años? Solución : VF = $5,000,000*(1+0.015)4*12
VF = $10,217,391
Ejercicio 13 : ¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $250.000 depositado a una TASA del 2% mensual durante 8 meses, capitalizable mensualmente ?
Solución :
VF = 250.000 * (1+0.02)8
MC=VF = $ 292.915
Interés Compuesto Ejercicio 14 : ¿Cuánto debo invertir en la misma fiducia anterior si quiero retirar $1,000,000 en 12 meses (i=1.5% mes)? Solución :
VP=$1,000,000/(1.015)12
Ejercicio 15 :
= $ 836,387.42
¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12% anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ 250.000, capitalizable anualmente ?.
Solución :
VP = 250.000 / (1 + 0,12)2 VP = 250.000 / 1,2544
= $ 199,298
Interés Compuesto Ejercicio 16 : ¿Qué tasa de interés mensual triplica una inversión en un año? Solución :
i = (3P / P)1/12 – 1 = 31/12 – 1
= 0.0959 =
9.59 %
Ejercicio 17 : ¿En cuanto tiempo se triplica una inversión al 3% mensual? Solución :
n = log(3P/P) / log(1+0.03) = log(3)/log(1.03)
=
37.17meses
Interés Compuesto FF
Hasta ahora hemos trabajado solamente con un flujo de fondos. En la vida real generalmente son flujos múltiples:
0
0
1
2
3
4
n
FF1 FF2
Flujos de Fondos Múltiples 0
FFn FF3
FF4
1
2
3
4
n
VP FF1 FF2
0
1
2
3
4
FF3
n
FF1 FF2
FFn FF3
FF4
VF
FF4
Interés Compuesto Ejercicio 18 : Un padre requiere pagar las cuotas universitarias de sus hijos en Enero, Marzo y Abril (último día del mes) por valor de $5, $7 y $12 millones respectivamente. El 31 de Diciembre recibe la prima y quiere saber cuanto debe ahorrar de ella para poder cubrir las cuotas si su inversión renta 2.5% mensual? Solución : 5 7 12 VP
VP
(1.025 )1
(1.025 ) 3
VF = 0
1 5
2
3
4
12
(1.025 ) 4
$ 22.25 MM
7
Ejercicio 19 :
12
¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $350.000 depositado a una TASA del 4% mensual durante 8 meses, capitalizable mensualmente ?
Solución : MC=VF = $ 478,999.17
Interés Compuesto Ejercicio 20 : Un pobre empleado puede ahorrar $30, $40, $50 y $50 millones en uno, dos, tres, cuatro meses respectivamente para un viaje al exterior que tiene planeado dentro de un año. Si la inversión le da el 3% mensual, cuánto tendrá para su viaje? Solución : VF 121
VF 30 * (1 3%)
40 * (1 3%)12 2 50 * (1 3%)123 50 * (1 3%)12 4
VF = $ 223.86 MM
0
1 30
2 40
3
4
50
50
Ejercicio 21 : ¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12% anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ 250.000, capitalizable anualmente ?.
Solución : VP = $ 199.298
12
Interés Compuesto Ejercicio 22 : Un CAPITAL de $200.000, colocados a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO del 3,5%, capitalizable mensualmente, se convirtió en un MONTO COMPUESTO o VF de $ 237.537 ¿Cuánto TIEMPO duró la operación?
N = Log VP Log C / Log (1+i) N = Log 237.537 Log 200.000 / Log 1,035 N = 5,375731267 5,301029996 / 0,01494035 N = 4,999969739 = 5 Ejercicio 23 : Solución :
–
–
–
Un CAPITAL de $200.000, colocados durante 5 MESES en un banco, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537, capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la TASA DE INTERÉS de la operación?
i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1 i = (MC / C ) ^ 1/n - 1 i = 1,187685 ^ 1/5 - 1 i = 1,034999772 1 = 0,0349998 Solución :
–
Recordemos:
El valor del dinero en el tiempo. Recordemos :
Debemos igualar las unidades de tiempo en que están expresadas la tasa y el período. Interés simple: Interés ganado solo por la cantidad del capital inicial.
El interés simple es necesario conocer, pero en la práctica se emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se basan en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO. Interés compuesto: Interés ganado por el capital, así como por el interés reinvertido proveniente de los periodos previos
Debemos de reconocer que, al final de cada período el capital varía, y por
Tasa Nominal y Tasa Efectiva
1+1=3
Relación entre el Interés y la Tasa de Interés
El interés es el costo por las transacciones de dinero.
Interés Simple
Interés compuesto
La Tasa de interés es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que s refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero".
Interés Nominal
Interés Efectiva
Una tasa de interés alta incentiva al ahorro y una tasa de interés baja incentiva al consumo.
Tasa de Interés Se dijo, que:
• Se denominaba así, a la
medida porcentual del dinero en el tiempo y se expresa como un porcentaje de la cantidad original por unidad de tiempo.
Vi
Vf
Periodo Inicial
Final
Vi Monto de dinero al inicio del periodo Vf Monto de dinero al final del periodo i Tasa de interés.
“ Un dólar hoy vale más que un dólar mañana”, bajo la premisa del sacrificio del consumo actual por el consumo futuro, ésta compensación por aplazar el consumo recibe el nombre de tasa de interés.
Tasa Nominal, Capitalización y Tasa Efectiva Las instituciones financieras normalmente especifican sus tasas de manera nominal . Es decir, los intereses que devengan o cobran tienen que ser pagados en períodos distintos al año (más de una vez al año)
• En la vida cotidiana existen
períodos cortos (menores a 1 año) en los cuales es posible ganar intereses.
Tasa Nominal, Capitalización y Tasa Efectiva
Supongamos el caso de un banco que paga a sus depositarios 12% de interés anual CAPITALIZABLE CADA AÑO
¿ Qué significa esto?
Sólo después de transcurrido un año es posible cobrar ese interés.
En este caso al 12% se le llama
0
i = 12%
1
TASA NOMINAL ANUAL Y también, porque existe una sola capitalización.
TASA EFECTIVA ANUAL
1´012
1´000
Falta un año
Tasa Nominal, Capitalización y Tasa Efectiva
Supongamos ahora el caso de otro banco que paga a sus depositarios el mismo 12% de interés anual, pero esta vez ... CAPITALIZABLE CADA TRES MESES ¿ Qué significa esto?
Tasa Nominal, Capitalización y Tasa Efectiva
dado que se capitaliza en períodos menores a un año, existe una TASA EFECTIVA POR PERIODO (TRIMESTRAL) y otra TASA EFECTIVA ANUAL Faltan cuatro trimes tres
0
1
2
3
4
Tasa Nominal y Tasa Efectiva
La tasa efectiva por período se obtiene dividiendo la tasa nominal anual entre el número de períodos que tenga el año TASA TASA NOMINAL ANUAL EFECTIVA = --------------------------------------POR PERIODO # PERIODOS POR AÑO
Tasa Nominal, Capitalización y Tasa Efectiva
Si la TASA NOMINAL ANUAL es del 12%, la TASA EFECTIVA TRIMESTRAL será de
0.12 / 4 = 0.03 = 3%
Tasa Nominal y Tasa Efectiva
En nuestro caso, si: i = 3% n=4 TEA = (1+0.03)4 -1 = 0.1255 = 12.55% donde: TEA = Tasa Efectiva Anual
i 0.12
4
Tasa Nominal y Tasa Efectiva
Observe que: Capitalizar en periodos menores de un año hace que la
TASA EFECTIVA ANUAL (TEA) sea mayor que la
TASA NOMINAL ANUAL (TNA)
TEA > = TNA
Tasa Nominal y Tasa Efectiva Si la “Tasa Nominal Anual”
(TNA) = 12 % ¿Cómo será la Tasa Efectiva Anual (TEA) para distintos períodos de composición?
Digamos:
Semestral, Cuatrimestral, Trimestral, Mensual, Diario
Tasa Nominal y Tasa Efectiva
Período
Períodos
de
Anuales
Capitalización
n
Semestral Cuatrimestral Trimestral Mensual Diario
2 3 4 12 360
Tasa Efectiva Periódica
i 0.12 / 2 0.12 / 3 0.12 / 4 0.12 / 12 0.12 / 360
= = = = =
0.06000000 0.04000000 0.03000000 0.01000000 0.00033333
TEA
(1+i)^n 12.3600% 12.4864% 12.5509% 12.6825% 12.7473%
Tasas de interés nominal ( r )
Podemos decir que:
Es una tasa de interés enunciativa que no refleja el verdadero interés que se obtiene por el capital. Se presenta con fines nominativos. Esta tasa debe estar acompañada de los periodos de capitalización compuesta. Ejemplos Tasa nominal de 12% anual con capitalización semestral. Tasa nominal de 18% anual con capitalización bimestral. Tasa nominal de 21% anual con capitalización trimestral. 16% nominal anual con capitalización quincenal. 10% nominal anual con capitalización diaria. 32% con capitalización semestral.
i m = r/m
m : Número de periodos de capitalización en un año i m : Tasa de interés del periodo “m”
Tasas de interés nominal ( r ) El periodo acordado para convertir el interés en capital se llama Periodo de Capitalización o Periodo de Conversión. Puede ser, anual, semestral, mensual, semanal, diaria entre otros
El número de veces que el interés se capitaliza en un año se conoce como Frecuencia de Capitalización o Frecuencia de Conversión Ejemplos: La frecuencia de capitalización para una inversión que se realiza a una tasa de interés con capitalización mensual será de 12 y para una inversión con una tasa de interés con capitalización trimestral será de 4
Tasas de interés nominal ( r ) El Banco Atlántico ofrece una tasa de 10% nominal anual con capitalización semestral . ¿Cuál es la tasa semestral correspondiente? 10% nominal
0
1
5% semestral
2
0
5% semestral
1
2
r = 10% m = 2 (semestral) i m = r/m i m = 10%/2 i semestral = 5%
El Banco Fortaleza ofrece una tasa de 10% nominal anual con capitalización bimestral . ¿Cuál es la tasa bimestral correspondiente?
Tasas de interés nominal ( r ) El Banco Fortaleza ofrece una tasa de 12% nominal anual con capitalización diaria. ¿Cuál es la tasa diaria correspondiente? El Banco Nuevo Continente ofrece una tasa de 14% nominal anual con capitalización trimestral. ¿ Cuál es la tasa trimestral correspondiente? El Banco América ofrece una tasa de 24% nominal anual con capitalización quincenal. ¿Cuál es la tasa quincenal correspondiente? El Banco de Credito nos ofrece una tasa de 7% nominal mensual con capitalización semestral ¿ Cual es la tasa semestral correspondiente?
Tasa de interés efectiva ( i ) Es una tasa de interés que refleja el interés que verdaderamente se obtendrá por el capital. La tasa de interés efectiva emplea el concepto del interés compuesto. La tasa de interés efectiva se suele expresar en términos anual recibiendo el nombre de Tasa Efectiva Anual o TEA. La tasa de interés efectiva es la empleada entre otros en: Préstamos concedidos por los bancos a empresas. Compras de bienes de consumo a plazos. Créditos hipotecarios. Créditos vehiculares. Prestamos de consumo. Valuación de activos. Evaluación de inversiones.
Tasa de interés nominal ( r ) y Tasa de interés efectiva ( i )
Relación entre la Tasa de interés nominal (r) y la Tasa de interés efectiva ( i )
i m = r/m
m : Número de periodos de capitalización en un año i m : Tasa de interés efectiva del periodo “m”
i : Tasa de interés efectiva correspondiente al periodo de la Tasa de interés nominal “r” Tasa de interés nominal (tasa_efect, núm_per_año) Tasa de interés efectiva anual(TEA) = (tasa_nominal, núm_per_año)
i = (1 + r/m) m - 1
19) Calcular el monto a pagar dentro de 18 meses por una deuda de $30,000, si se devenga el 22% nominal con capitalización trimestral. n VP = 30,000; n= 18 m capitalizable trimestral = 18/3= 6 trimestres Para calcular el VF a partir de un VP = 30,000 luego de 6 trimestres se debe determinar la ie trimestral. Entonces i = 0,22/4 = 0,055
VF VP 1 i
VF 30,0001 0.055
6
VF = $ 41,365,28
Tasas de interés nominal (r ) y Tasa de interés efectiva (i ) Ejemplo
El Atlántico ofrece una tasa de 10% nominal anualº con capitalización semestral . ¿Cuál es la tasa efectiva anual correspondiente? 10% nominal
0
1
5% semestral
2
r = 10% m = 2 (dos capitalizaciones al año) i m = r/m i m = 10%/2 i semestral = 5%
0
5% semestral
1
2
i = (1+ r/m)m - 1 i = (1+ 5%)2 -1 i = 10.25% 10.25% efectivo
0
1
2
Tasa Nominal y Tasa Efectiva Cual es la tasa efectiva del dinero invertido a la tasa nominal de 25% capitalizable en forma semestral? El Banco continental cobra por sus prestamos vehiculares el 18% capitalizable mensualmente. Cual es la tasa efectiva anual? En cual banco invertiría usted su dinero, si banco X le ofrece un 28.5% con capitalización diaria o el banco Y, que le ofrece 30% capitalizable semestralmente Cual es el interés nominal que produce un rendimiento de 16.1292% anual efectivo si el interés se capitaliza cada quincena Se invierte 85,000 a una tasa de 24% capitalizable cada mes durante nueve meses. Hallar la tasa efectiva en el periodo de 9 meses
Ejercicios de interés simple ó nominal. 20) Se dispone de un capital inicial de $ 2000 y se coloca un interés de 2%
mensual (simple) ¿Cuál será el valor final al cabo del año? 21) Determine los intereses generados en el Banco por un deposito de
$24,000 durante el 05 al 30 de junio del presente año, si la tasa de interés simple fue de 20% anual los 15 primeros días y 25% el resto de los días. 22) Determine el tiempo en meses para un capital colocado al 20% anual se
triplique. 23) Alejandra tiene depositado un capital a una tasa de interés anual simple
de 12%, por motivos de falta de liquidez del sistema, la entidad le reajusta la tasa al 10% anual, con lo cual ve reducido sus ingresos por intereses diarios por intereses en S/8.00. Determine el monto del capital.
Ejercicios de interés efectivo. 24) La tienda “Sara” anuncia “Compre cualquier articulo de esta tienda con
un cargo de 15% anual. Para su comodidad salde su deuda con cómodos pagos semanales iguales. Determine la tasa de interés efectiva anual que cobra la tienda. 25) Determine “Z” si 1,25% mensual es equivalente a : i) Z % anual
capitalizable; ii) Z % semestral capitalizable trimestralmente y iii) X% bimestral capitalizable anualmente. 26) EL Scotiabank para deposito a plazo fijo paga un interés del 8% anual
capitalizable semestralmente. El BBV paga 7.9% y el BF paga una tasa de 7.8% anual capitalizable diariamente. Si Ud. Dispone de $500 para invertir. ¿Qué Banco eligiria si el periodo de deposito es de, al menos, un año. Determine el tiempo en meses para un capital colocado al 20% anual se triplique. 27) Determine la Tasa efectiva anual de un préstamo de $20,000 a una tasa
del 6% trimestral capitalizable mensualmente..
Ejercicios de interés efectivo. Ejercicio 28 :
Con que tasa de interés efectivo anual, un capital inicial de US$ 150,000 produce intereses durante 6 meses de US $ 30,000 Ejercicio 29 :
En cuanto años se duplica un capital colocado a un interés del 30% capitalizable trimestralmente
Tasas equivalentes
Dos o más tasas efectivas correspondientes a diferentes unidades de tiempo son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal
Recordemos:
• El valor del dinero en el tiempo
Es el cambio en la cantidad de dinero en un período de tiempo, tiempo , es decir, su evidencia se acredita con el interés que que resulta de la diferencia entre la cantidad final debida o acumulada y la suma originalmente prestada o invertida. Ejemplo: Requiero prestado prestado 200.000 y tengo que devolver 210.000. El interés pagado es 10.000 Cuando el interés se expresa como porcentaje del monto original por unidad de tiempo se obtiene la tasa de interés.
Recordemos:
• Interés Simple
El Interés Simple se se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier interés causado en los periodos de interés o de capitalización anteriores. Para calcular el valor futuro de una cantidad aplicando interés simple, se debe utilizar la siguiente fórmula:
VF VA 1 i n El interés es el pago que se debe hacer por transformar VA en VF, por trasladar dinero de tiempo presente present e a tiempo futuro
I VF VA
Recordemos:
• Interés compuesto
El interés compuesto, el interés de un periodo es calculado sobre el monto inicial más la cantidad acumulada de intereses en periodos anteriores. n
VF VA 1 i
En otras palabras se aplica interés sobre interés, de forma de ajustar el valor del dinero en el tiempo no sólo sobre el principal, sino también sobre el interés.
Recordemos: • Periodo de capitalización
Es el tiempo que hay entre dos fechas sucesivas en la que los intereses son agregados al capital. El número de veces por año en las que los intereses se capitalizan, se llama frecuencia de capitalización y se denota con m. Si el período de capitalización de intereses es, digamos mensual, entonces las expresiones siguientes son equivalentes: “el interés es capitalizable mensualmente”, “es convertible mensualmente”, es “compuesto mensualmente”, “es interés nominal mensual” ó “compuesto por mes”. En este caso m = 12.
Recordemos:
Período Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual Quincenal semanal diario
• Valores mas comunes para “m”
Frecuencia (m) 1 2 3 4 6 12 24 52 360
El valor futuro M ó VF de un capital C ó VP al final de nxm períodos, esta dado por:
n xm
VF VA 1 i / m
Donde n es el plazo en año, i la tasa de interés anual capitalizable en m períodos por año.
Entonces: El interés compuesto, es el importe que produce un capital generado por un tipo (o tasas) de interés nominal capitalizable m veces, o por un tipo de interés efectivo o equivalente periódico durante un determinado numero de periodos de capitalización
VF VF VF
500 1 0.40 / 6
5* 6
500( 6.93 ) 3,466.03
30. Encontrar la tasa de interés compuesto trimestral, si un capital se duplica en dos años. Si C es el capital original (VA), entonces el monto acumulado en dos años debe ser el doble es decir VF = 2 (C) , el plazo n = 2 años, la frecuencia de capitalización m = 4, porque es capitalizable trimestralmente: nm = 8. 31, ¿En cuanto tiempo se triplica un capital que se invierte al 48% compuesto mensualmente? Solución: n es la incógnita, i = 0.48, m = 12, el capital se triplica por tanto VF = 3 (C) .
Interés adelantado e interés vencido Losinteresessepuedenpagaralcomienzooalfinaldel periodo,aunqueinternacionalmentenoesmuycomúnquese paguendelaprimeraforma. Elinterésanticipadoseocasionacuandolosinteresesse paganalcomienzodelperiodo.
Elinterésvencidoseocasionaconelpagodeinteresesal I finaldelperiodo. •
VA
VA
Tasas de Interés adelantada La tasa anticipada se da cuando los intereses se reconocen al iniciar el periodo y no al finalizar como ocurre en la tasa efectiva; entonces, para que sean equivalentes, al CAPITAL inicial habría que descontar los intereses que se pagan antes de utilizar el dinero, de tal forma que la formula, a partir de i = I / VP, sería:
ia
iv
1 iv ó
i a
i / 1 i
Tasa interés vencido (iv) Es el porcentaje a ser aplicado a un capital inicial, el cual se hace efectivo al vencimiento del plazo de la operación pactada (cálculo racional, verdadero) ie = (1+ i)n -1
i v
ia 1 ia
I P I
i v
32. Calcular la tasa nominal anual, si se dispone de una tasa efectiva del 32% anual capitalizable por mes adelantado. TNA : 28.75% 33. Si el Scotiabank cobra una tasa nominal del 36% anual con liquidación mensual vencida. Determine la tasa anticipada correspondiente. ia : 2.913%
34. Determine el costo efectivo del siguiente crédito: Principal Plazo Tasa de interés Modalidad Comisión Retención
: : : : : :
S/.12000 un mes 1,5% mensual Pago de intereses por adelantado 2% Flat 5% (ganara una tasa de 0.5% mensual)
Ejercicio 35 :
Para viajar en un crucero a las Islas Griegas, Venencia y Turín dentro de 18 meses el tours cuesta US $ 10 000. Se requiere conocer el monto a depositar hoy para acumular esa cantidad, si el dinero es depositado en una cuenta que reconoce intereses del 12% efectivo anual.
Tasa vencida (iv) 36. Calcular el monto a pagar dentro de dieciocho meses por una deuda $ 30,000, si se devenga el 22% nominal con capitalización trimestral.
Monto a pagar: $41,365.28
37. Con que tasa de interés efectiva anual, un capital inicial $ 150000 produce intereses durante 6 meses de $ 30,000 TIE anual: 44 %
Importante:
Todas las fórmulas matemático-financieras se basan en tasas vencidas.
Recuerde: El tipo de interés (i) y el periodo de tiempo en el que se liquidan los intereses (n) han de ser homogéneos, es decir, deben expresarse en las mismas unidades temporales. Si el tiempo esta expresado en meses, el tipo de interés debe ser expresado en meses
Tasa de inflación (tf) Es una tasa efectiva, que indica el crecimiento sostenido de los precios de los bienes y servicios de la economía, en un período de tiempo determinado sobre la base de una canasta básica de consumo familiar.
Tasa de Inflación
•
•
•
La tasa de inflación representa el porcentaje de variación de los precios de los bienes y servicios de una economía de un periodo a otro. Cuando el porcentaje de variación es negativo se conoce como deflación. Los precios de los bienes y servicios de una economía se resumen en el Índice de Precios al Consumidor (IPC) que es calculado por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) (ver documento del INEI sobre la Metodología del IPC). Para una adecuada estimación de la tasa de interés real se utiliza la tasa de inflación esperada (que considera las expectativas de variación de los precios de los bienes y servicios). El Ministerio de Economía y Finanzas (MEF) estima la tasa de inflación esperada de los próximos dos años en su documento Marco Macroeconómico Multianual (MMM) (ver página web www.mef.gob.pe).
inf
IPC t 1 IPC t
1
inf = Inflación esperada IPC = Índice de Precios al Consumidor
Tasa de Inflación •
E l efecto de la inflación o mejor, las expectativas de inflación, que es
propio de la economía donde se presenta el problema de inversión. La inflación mide el aumento del nivel general de precios, a través de la canasta familiar; su efecto se nota en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda. •
A mayor inflación, mayor tasa de interés.
La Tasa REAL: Pretende medir en qué grado la inflación distorsiona los costos o rentabilidades “corrientes”,
quitando a la tasa efectiva el efecto de la inflación.
Tasa real (r)
Es una tasa de interés a la cual se le ha deducido el efecto de la inflación. Si conocemos “i” y “f”, podemos calcular la tasa real, corrigiendo la tasa de interés deflactándola de la inflación así:
Tasa real (r) 38. Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía donde la inflación es del 25% anual. ¿ Cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ Cuánto es mi capital nominal al final del año ?
Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r ) Donde = 0,25 e i =0,375 Si el capital inicial es C0 = $ 500
Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r)
(1+r) = 1,1 r = 10% Entonces: C1 = C0*(1+i) = 500*(1,375) C1= $ 687,5
El efecto del riesgo •
E l efecto del riesgo, que es intrínseco al
negocio o inversión en que se coloca el dinero o capital.
A mayor riesgo, mayor tasa de interés •
Relación multiplicativa
La relación de estos componentes para determinar la tasa de interés corriente, no es aditiva, sino multiplicativa , o sea que la tasa de interés corriente, se puede expresar así: •
i c 1i
1i 1i 1
r
donde: ic = tasa de interés corriente ir = tasa de interés real if = tasa de inflación i = componente de riesgo
f
Interés anticipado e interés vencido Un ejemplo... 39. Agricol es una empresa le acaban de pagar una factura por $400.000 con un cheque post fechado a un mes,comolaempresanecesitaurgentementeeldinero, decide recurrir a los servicios de un prestamista que entre sus actividades tiene el cambio de cheques post fechados. Elprestamista,gustosamentecambiaelchequeyle entregaaAgricol$380.000,puescobrólosintereses(5%) poradelantado.
Tasas de Interés en Soles y Dólares •
La Paridad de Tasas de Interés (PTI) es la identidad básica que relaciona las tasas de interés en distintas monedas y los tipos de cambio entre las mismas. iS / .
•
(1 iUS $ ) * (1 dev) 1
La determinación de la tasa de interés doméstica respecto a una extranjera dependerá de la devaluación esperada del tipo de cambio entre ambas monedas. iS/. = Tasa de interés en soles iUS$ = Tasa de interés en dólares dev = devaluación esperada 72
•
•
•
•
Tasa de Devaluación dev TC
La tasa de devaluación se calcula como el porcentaje de variación del tipo de cambio entre dos monedas (por ejemplo S/. por US$) de un periodo a otro. A la tasa de devaluación también se le conoce como tasa de depreciación.
La tasa de devaluación (o depreciación) representa un debilitamiento de la moneda local respecto a una moneda extranjera. Cuando el porcentaje de variación es negativo se conoce como apreciación -de la moneda doméstica. Se denomina devaluación a un incremento del tipo de cambio bajo un sistema de tipo de cambio fijo. En este sistema, la autoridad monetaria es la que determina el valor del tipo de cambio. Por otro lado, bajo un sistema de tipo de cambio flexible (o de libre flotación), el incremento del tipo de cambio se denomina depreciación. Para una adecuada estimación de la tasa de interés de una moneda a otra se utiliza la tasa de devaluación esperada (que considera las expectativas de variación del tipo de cambio). El Ministerio de Economía y Finanzas (MEF) estima la tasa de devaluación esperada de los próximos dos años en su documento Marco Macroeconómico Multianual (MMM) (ver página web www.mef.gob.pe).
t 1
TC t
1
dev = Devaluación esperada TC = Tipo de cambio (S/./US$) Tipo de Cambio Nominal promedio Año TC 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Fuente: BCR
S/. x $ 3,49 3,51 3,52 3,48 3,41 3,30 3,27 3,13 2,93 3,01 2,83 2,75 2,64 2,70
El valor del dinero en el tiempo.
C ada uno s e estira has ta donde le alcance la frazada
No es tán todos los que s on, Ni s on todos los que están Dichos y refranes populares , oídos en el Perú " No hay invers ión más rentable que la del conocimiento." Benjamín Franklin.
El valor del dinero en el tiempo. El
sol dentro de un año tendría menor poder adquisitivo Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco ganando una rentabilidad. S/.110
Momentos
0
1
Períodos 1 Inversión S/.400 S/.110
Momentos Períodos
0 1
S/.110
S/.110
S/.110
2
3
4
3
2
4
S/.110
S/.110
S/.110
1
2
3
2
3
5 5
5
4 4
Beneficio neto
5
Para poder sumar los flujos recibidos en diferentes años, primero debemos convertirlos en flujos equivalentes en momento común.
S/.40
El valor del dinero en el tiempo. S i una empres a tiene ahora la oportunidad de g astar $ 15,000 en alg una invers ión que le producirá $ 17,000 dis tribuidos en 5 años:
Capitalización Año 1 2 3 4 5
Ingresos
3,000 5,000 4,000 3,000 2,000
Valor Futuro -15000 0
3000 1
5000
4000
2
3
3000 4
2000 5
Fi n de añ Valor Presente
Descuento A ctualización La tasa de interés (r) es la variable requerida para determinar la
Valor Futuro ES EL VALOR ALCANZADO POR UN CAPITAL AL FINAL DEL PERÍODO ANALIZADO (VF). •
Supongamos que cuenta hoy con un capital inicial = C 0 y r es la rentabilidad al cabo de un período. ¿Cuál sería el valor en t=1 de C?
C
r
C
C1=C0+C0*r=C0 (1+r)
1
Luego,
0
t=0
t=1
VF1(C1)= C0 (1+r)
Valor Actual ES EL VALOR EQUIVALENTE HOY DE UN CAPITAL A RECIBIR AL FINAL DEL PERÍODO ANALIZADO (VA). • Supongamos que recibirá una cantidad C 1 al cabo de un año y r es la rentabilidad del mercado. ¿Qué cantidad HOY sería equivalente a C 1? Sabemos que C1= X(1+r)
C
r
C
0
t=0
Sea X=Valor Actual =VA, entonces:
1
t=1
VA= C1 * 1/ (1+r)
Donde:1/(1+r) corresponde al factor de descuento o actualización
El valor del dinero en el tiempo. VALOR FUTURO t=0
t=1
capitalizar
VALOR ACTUAL t=0
t=1
actualizar o descontar
La capitalización es la inversa de la actualización
Tasas de interés compuesta y simple Tasa de interés simple Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo. El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados VF VA * (1 r * n)
VA
VF
1 r * n
VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual) r = tasa de interés del periodo n = número de períodos
(1+r*n) : Factor acumulación simple 1 (1+r*n) : Factor descuento simple
Tasas de interés compuesta y simple 40. Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simple
Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año? Con tasa interés compuesta: C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405 1000
1120 1+r
1254 1+r
1405 1+r
Intereses ganados: Año 1: $ 120 Año 2: $ 134 Año 3: $ 151
Con tasa interés simple: C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360 1000
1360 1+r*3
Intereses ganados: Año 1: $ 120 Año 2: $ 120 Año 3: $ 120
Valor futuro (VF) y valor actual (VA) VALOR FUTURO
Sólo 1 periodo
Año: 0
1
VA
VF VF VA *
Año: 0
Si son 3 periodos
1
Donde:
r = tasa de interés
2
3
VF
VA VF VA*
Caso General:
1 r
1 r 1 r 1 r VA1 r 3
r
VF VA* 1
n
Valor futuro (VF) y valor actual (VA) VALOR ACTUAL
Caso 1 periodo
Año: 0
1
VA
VF VA
Año: 0
1
VF
1 r
Donde:
r = tasa de interés
2
3
VF
VA
Caso 3 periodos VA
Caso General:
VF
VF
1 r * 1 r * 1 r 1 r 3 VA
VF
1 r
n
VA con n>1 Luego, sumando los valores actuales queda: VA
C 1
(1 r )
Valor Actualizado Neto (VAN) Valor Presente Neto (VPN)
..... n
VA
i 1
C t
(1 r )
t
.....
C i
( 1 r )
i
Factor de capitalización (1+i)n Capital Inicial o actual VA
Factor de actualización 1/(1+i)n
Capital Final o Futuro VF
La capitalización compuesta es la inversa de la actualización o descuento compuesto
Capitalización y Actualización El Capital final o Valor Futuro El Capital inicial o Valor Actual
VF = (Cn) = C0 (1+r)n
VA= C0 = Cn * 1/ (1+r)n Cn 1/n - 1 C0
El interés
r =
El tiempo
Log Cn / Log C0 Log (1+r)
Los intereses producidos
I = VF-VA
Ejercicios de aplicación 41. Calcular el VF al final de 5 años de una inversión de UM 20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20% anual. Solución: VA = 20,000; n = 5; i = 0.20; VF = ? VF = 20,000(1+0,20)5 = 49,766,40 Si se aplica la función financiera VF de Excel, Sintaxis : VF (tasa;nper;pago;tipo) Tasa 0,2
N per 5
Pago
VA -20,000
Tipo
VF 49,766,40
Respuesta: El VF al final de los 5 años es UM 49,766.40
Ejercicios de aplicación 42. Yo tengo un excedente de utilidades de $ 1,000 y los guardo en un banco a plazo fijo, que anualmente me paga 8%; ¿cuánto tendré dentro de 3 años? Solución:
VA = 1,000; n = 3; i = 0.08; VF = ? VF = 1,000(1+0,08)3 = 1,259,71 Si se aplica la función financiera VF de Excel, Sintaxis : VF (tasa;nper;pago;tipo) Tasa 0,08
N per 3
Pago
VA -1,000
Tipo
VF 1,259,71
Respuesta: El VF al final de los 3 años es $ 1,259,71
Ejercicios de aplicación 43. Inversamente, alguien nos ofrece $ 5,000 dentro de 3 años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad al 10% anual. ¿Cuánto es el monto a entregar hoy? Solución: VF = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA = ?
Aplicamos la fórmula y/o la función financiera VA: Respuesta: El monto a entregar el día de hoy es $ 3,757.57
Ejercicios de aplicación 44. Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de $ 25,000 que ha generado en tres años intereses totales por $ 6,500. Solución: (VF = 25,000 + 6,500); i = ?; VA = 25,000; n = 3; I = 6,500; VF = 31,500
Aplicando la fórmula o la función TASA, se tendría: 3 i = 0,0801 i 31500 / 25000 1 Sintaxis: Tasa(nper;pago;VA;VF;Tasa) N per 3
Pago
VA
VF
Tasa
25,000
-31500
0,0801
Respuesta: La Tasa de interés aplicada es: 8.01% anual
Ejercicios de aplicación 45. Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de $ 35,000, si el monto producido fue $56,455 con un interés de 9 %. Solución VA = 35,000; VF = 56,455; i = 0.09; n = ? Aplicando la fórmula o la función NPER, tenemos:
Log (56,455/35,000) n= Log (1+0,09)
5.5478 años
0.5478*12 =6,5736 m
0.5736*30= 17 días
Sintaxis: nper(tasa;pago;VA;VF;Tipo) Tasa 0,09
Pago
VA 35000
VF -56,455
Tipo
n 5,5478
R espuesta: El tiempo en que ha estado invertido el capital fue de 5 años, 6 meses y 17 días
Ejercicios de aplicación 46. Determinar el valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de 3 años a partir de hoy si la tasa de interés es 9%. Solución:
VF = 100; n = 3; i = 0.09; VA = ?
Aplicando la fórmula o la función financiera de FA, se tendría: 100 VA = = 77.2183 1,093 Sintaxis: VA(tasa;n per; pago;VF;Tipo) Tasa 0,09
NPer 3
Pago
VA -100
Tipo
VA 77.2183
R espuesta: El VA al final de los 3 años es $ 77.22
Ejercicios de aplicación 49. Calcule el valor actual del siguiente flujo de caja considerando una tasa de descuento de 15% donde el primer año se paga 500, el segundo y el tercero se paga 700 y el ultimo año se paga 900 Solución:
50. El Banco descontó el 5 de abril del 2014 un pagaré por $ 10,000 que tenía esta misma fecha. Devengaba el 6% de interés y vencía el 5 de mayo del presente año. Si el tipo de descuento del Banco es también del 6% mensual, ¿cuál es el descuento retenido por el Banco?
Ejercicios de aplicación
Solución
VA = 10,000; n = 1; i = 0.06; VF =? VF = 10,000[1+(0.06*1)] = $ 10,600 2º Calculamos el descuento, VF = VN: VN = 10,600; n = 1; d = 0.06; D =? D = 10,600*1*0.06 = UM 636.00
Ejercicios de aplicación 50. Determinar los intereses y el capital final producido por $ 50,000 al 15% de interés durante 1 año. Solución
VA = 50,000; i = 0.15; n = 1; I =?; VF=? Calculamos el interés y el VF: I = 50,000[(1+0,15) 1 -1] = $ 7,500 VF = 50,000*(1+0.15) = $ 57,500 Para el cálculo de I se puede igualmente aplicar la fórmula I = 57,500 - 50,000 = $ 7,500
•
Anualidades Las anualidades son pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo (generalmente de un año) que se llaman intervalos de pago.
• En la práctica existen numerosos casos en que nos enfrentamos a la alternativas de pagar o ahorrar con cuotas iguales, versus pagar el valor actual de dichas alternativas. • Por ejemplo, la posibilidad de realizar compras en un cierto número de cuotas versus precio contado (valor actual) que ofrecen las casas comerciales, compañías de seguros, valores de arriendos, etc.; ahorrar periódicamente sumas fijas de dinero y su valor capitalizado; comprar instrumentos de mercado que ofrecen pagos periódicos; contratar deudas, como préstamos, créditos hipotecarios, etc.
Anualidades • Activo que produce cada año una suma fija y constante durante un determinado número de años
C
VA
C
(1 r )
C
(1 r )
2
...........
C
(1 r )
n 1
C
(1 r ) n
Anualidades • Multiplicando la ecuación anterior por (1+r): (1 r )VA C
C
(1 r )
...........
C
(1 r )
n 2
• Restando la primera ecuación de la segunda: (1 r ) VA VA C
C
(1 r )
n
C
(1 r )
n 1
Anualidades •
Despejando el valor de VA:
1 1 VA C n r r(1 r)
( 1 r) 1 VAN C n ( 1 r) r
O bien:
n
Ó VAN
C *
1 ( 1 r )
r
n
Ejercicio 51. Suponga usted pagó cuotas mensuales de $250.000 por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1% mensual. Cuál fue el valor del préstamo?
1 (1 0,01) VA 250.000 * 0,01
24
3.186.508
Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en la AFP será de $20.000 mensuales, si la AFP le ofrece una rentabilidad mensual de 0,5% ¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de jubilar?
(1 0,005) VF 20.000 * 0,005
360
1
20.090.301
Ejercicio 52. Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 y solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo (180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual. ¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ?
VA
F 1 *
1 (1 r ) n r
Entonces:
F 1
VA *
r
1 (1 r ) n
Así: Asi:
F 1
0,005 168 .771 20 .000 .000 * 180 1 (1,005 )
Perpetuidades • Corresponde a un flujo constante que se paga hasta el infinito. Veamos el caso de la deuda perpetua con un pago anual de C
0 C
C
C
C
C
1 1 VA lim C n n r r(1 r)
C
C r
• Considerando una tasa r, tomamos el límite de una anualidad cuando n tiende a infinito:
Ejercicio 53. Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los 50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000 mensuales hasta que muera. La tasa de interés relevante es de 1% mensual y la empresa que le dará la renta supone una “larga vida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal vez 95 o porqué no 100 años). ¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener para poder cubrir dicha obligación?
50 .000 VA 5.000 .000 0,01
En rigor, usando la fórmula de valor actual de una anualidad (no perpetua) se tendría: Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858 Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803 Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231 Todos muy cercanos a $5 millones
Equivalencia Financiera Factor de Simple de capitalización FSC
F P (1 i )
n
Factor de capitalización de la serie FCS
F
(1 i ) n 1 R (1 i ) 1
(F / P, i, n)
Factor de Simple de Actualización FSA
1 P F (1i )
n
(P/F, i, n) F 0 P
%
n
Factor de deposito al fondo de Actualización FDFA
R R
(1 ii) 1 F F (( i) 1 1 1 i ) n 1
(F/R, i, n)
= VA (i,n,R) R RR 0 1 2 3
(P/R, i, n) F=? R n
(R/F, i, n) Factor de Recuperación del capital FRC
Factor de Actualización de la serie FAS n n (1i ) 1 i 1(1 ) P R R n i ( 1 ) i i
i (1 i i ) P P (1 i ) 1 n i 1 ( 1 ) n
R R
n
= PAGO (i,n,P) (R/P, i, n) F R RR R=? 0 1 2 3
n
Equivalencia de Flujos de Caja Fórmula del Valor Futuro
Dada una cantidad presente P se puede hallar su valor futuro F al final de n períodos a un interés compuesto i. Devuelve el valor futuro de una inversion inicial y a una tasa de interés. P
F
54. Ejemplo
Se realiza un depósito en una institución financiera por la cantidad de $. 3 000 a plazo fijo de 90 días a una tasa de 1% mensual. Cuánto retirará vencido el plazo. F = 3 000*(F/P,1%,3) ó
i Capitalizar
3 000*(1.01)3 0
n
F = P(1 + i)n = P(F/P,i%,n) F = P + compensación aplazar consumo
F = 3 000 *(1.030 ) F = 3 090
Periodos de capitalización diferentes:
La tasa de interés debe ser efectiva (e). Para ello, es importante considerar el número de veces en que la capitalización se repetirá durante el año. Porque mientras mayor sea la frecuencia con que se gana interés y éste, a su vez gana nuevo interés, mayor será la tasa efectiva anual. Fn = P ( 1 + i / m )m x n F = P = i = n = m=
valor al final del periodo n Valor al inicio del periodo Tasa de interes nominal número de periodos número de capitalizaciones en el periodo n
55. Ejemplo:
Se realiza una inversión de S/.1,000 a dos años al 4% de interés anual capitalizado trimestralmente. Cual es el valor del Capital al finalizar el segundo año. F 2 = 1,000 ( 1 + (.04 / )) 4*2 F 2 = 1,000 ( 1.0828567 ) F 2 = 1,082.86
Fórmula del Valor Presente
56. Ejemplo
Dada una cantidad futura F se puede determinar su valor presente P al inicio del período a un interés compuesto i. Valor actual es el valor que tiene hoy la suma de una serie de pagos que se efectuarán en el futuro. P F
Cuanto deberá aportarse en una institucion financiera si se desea obtener en un futuro la cantidad de S/. 3 090 a plazo fijo de 90 días a una tasa de 1% mensual. P = 3 090 *(P/F,1%,3)
Actualizar i 0
n
P = F / (1 + i)n = F (P/F,i%,n) 1 P F (1 i )
n
1 P 3090 (1 0.01)
3
P = 3 090 [ 1 / (1.01 )] 3 P = 3 000
Fórmulas de Serie Uniforme
57. Ejemplo
Se utiliza para hallar la serie futura de pagos A al final de cada período, que permita recuperar una cantidad actual P sobre n períodos a interés compuesto i.
Se recibe un préstamo por S/.20 000 a pagar en 18 cuotas mensuales a una tasa de 3%.
A = 20 000*(A/P,3%,18)
P
A
1
A=
0.03(1 0.03)18 18 ( 1 0 . 03 ) 1
A 20000
i% 0
Hallar el monto de la cuota a pagar
n
FRC
i(1 i) n A P n (1 i) 1 P(A/P,i%,n)
FAS (1 i ) n 1 P = A(P/A,i%,n) P A n (1 i ) i
A = 20 000*( 0.0727 ) A = 1 454
Valor presente de una serie uniforme de flujos de efectivo 58. Ejercicio: Un inversionista tiene un contrato de compra con pagos diferidos sobre una maquinaria. El contrato exige el pago de $140 a fin de cada mes, durante un periodo de 5 años. El primer pago es dentro de un mes. El inversionista ofrece el contrato en venta por $6,800 en efectivo hoy. Si se puede obtener el 1% mensual sobre el dinero en otra inversión, ¿debe aceptarse o recharzarse la oferta del inversionista?
(1+0.01)12*5 1 –
P = 140
P = 140
0.01 (1+0.01)12*5 0.8166967 0.018167
P = A (P/A,i%,n) FAS (1 i ) n 1 P A (1 i ) n i
P = 140
44.955038
P = 6,293.7054
Fórmulas de Serie Uniforme
59. Ejemplo
También podemos hallar el valor acumulado F en n pagos a interés compuesto i dado una serie uniforme de pagos de final del período A.
Una persona piensa depositar semestralmente S/. 1000 en un fondo que paga 6% por período durante 4 años. Cuánto recibirá al final si decide hacerlo.
F
F = 1000*(F/A,6%,8)
A
0
n FCS
1
F = A(F/A,i%,n)
(1 i ) n 1 F A i
FDFA
A = F(A/F,i%,n)
i ( 1 ) 1
A F
i
(1 0.06)8 1 F 1000 0 . 06
F = 1000 * (9.897 ) F = 9 897
60. Ejercicio: Una persona desea comprar una parcela de 10 hectáreas por $1,000 en efectivo. Decidió ahorrar una cantidad igual al final de cada mes, con objeto de tener $1,000 requeridos al final de un año. El fideicomiso donde invertirá paga el 6% anual de interés capitalizado mensualmente. ¿Cuánto debe depositar cada mes ?
A = 1000
A = 1000
(0.06/12) (1+0.06/12)12 1 (0.005) .06167781
A = F (A/F,i%,n) i A F (1 i ) 1
FDFA
A = 1000 A = 81.07
0.0810664
Perpetuidades con crecimiento •
Supongamos que los flujos crecen a una tasa g.
0
•
C1
C2
Donde: C2=C1(1+g) C3=C2(1+g)=C1(1+g)2 Ct=C1(1+g)t-1 –
–
–
Ct
Entonces: (sup r>g)
C1 VA (r g)
Ejercicio • 60. Usted quiere comprar un departamento que cuesta $3.600. El banco le ofrece un crédito hipotecario por el 75% del valor, a 10 años plazo, con una tasa anual de 8%. ¿Cuánto va a cancelar como dividendo mensual? • Primero, calculamos la tasa de interés mensual: rm = (1+ra)(1/12) -1 = (1+0,08)(1/12) -1 = 0,0064 = 0,64% mensual • El monto del crédito será 0,75 x UF3.600 = UF2.700 • El dividendo mensual es:
( 1 r )n r ( 1 0,0064 )120 0,0064 2.700 C VA n [( 1 r ) 1 ] [( 1 0,0064 )120 1 ] 2.700 0,0120 $ 32,36
Ejercicio •
•
•
61. Una gran tienda ofrece un nuevo modelo de televisor. El precio contado es de $165.990. La tienda ofrece un crédito en 12 cuotas de $17.687 cada una. ¿Cuál es la tasa de interés anual implícita que cobra esta tienda? Sabemos que la relación entre las cuotas y el precio contado está dado por:
Luego:
(1 r ) n r C VA n [(1 r ) 1] (1 r m )12 r m 17 .687 165.990 [(1 r m )12 1]
•
Iterando hasta lograr la igualdad, llegamos a que la tasa mensual implícita es de 4%, o en términos anuales, (1+0,04) 12-1 = 0,601 = 60,1%
Ejercicio •
62.Una persona obtuvo un crédito de consumo de $1.300.000 a 18 meses, pagadero en cuotas iguales, con una tasa de 1,65% mensual. Calcule la cuota. (1 r ) n r C VA [(1 r ) n 1]
(1 0,0165)18 0,0165 C 1.300.000 84.067 18 [(1 0,0165) 1] •
En un crédito que se paga en cuotas iguales, cada cuota paga intereses y amortizaciones, en montos variables.
PRESTAMO TASA PLAZO CUOTA MES
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 TOTAL
1.300.000 1,65% mensual 18 meses 84.067 mensual DEUDA AL INICIO DEL MES
1.300.000 1.237.383 1.173.732 1.109.032 1.043.264 976.410 908.454 839.376 769.158 697.782 625.228 551.478 476.510 400.305 322.843 244.102 164.063 82.703
CUOTA
INTER S
AMORTIZACIÓN DE CAPITAL
84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067 84.067
21.450 20.417 19.367 18.299 17.214 16.111 14.989 13.850 12.691 11.513 10.316 9.099 7.862 6.605 5.327 4.028 2.707 1.365
62.617 63.650 64.701 65.768 66.853 67.956 69.078 70.218 71.376 72.554 73.751 74.968 76.205 77.462 78.740 80.040 81.360 82.703
1.513.210
213.210
1.300.000
DEUDA AL FINAL DEL MES
1.237.383 1.173.732 1.109.032 1.043.264 976.410 908.454 839.376 769.158 697.782 625.228 551.478 476.510 400.305 322.843 244.102 164.063 82.703 0
Ejercicio 63. Usted quiere comprar un departamento que cuesta UF3.600. El banco le ofrece un crédito hipotecario por el 75% del valor, a 10 años plazo, con una tasa anual de 8%. ¿Cuánto va a cancelar como dividendo mensual? 64. Considere una deuda al 12% anual por un monto de 1.000 UF, a ser pagada en tres años. ¿Cuál es el valor que habría que pagar? 65. Un matrimonio joven, con un hijo que acaba de cumplir hoy 9 años, pretende ahorrar para financiar la educación universitaria del niño. Suponiendo que el niño ingresará a la universidad al cumplir los 18 años, el matrimonio estima que se requerirán 150 UF anualmente para cubrir todos los gastos de la educación durante 5 años. Si la tasa de interés real para los depósitos es de 6% anual, determine el ahorro anual que debe realizar esta familia hasta el momento de matricular al hijo en la universidad. (Nota: suponga que esta familia hará el primer depósito apenas Ud. le entregue el resultado y que realizará todos los depósitos una vez al año, al comenzar el año. De igual forma, esta familia cancelará todos los gastos de la universidad al comenzar el año)
Ejercicio 66. Una empresaria necesita para las actividades de su negocio un furgón. Para obtenerlo tiene dos alternativas: Comprarlo: a un precio de $6.500.000. Al cabo de 5 años, podría venderlo a un precio de $2.000.000 Arrendarlo, en cuotas mensuales de $100.000. El furgón tiene una vida útil de 5 años. La tasa de descuento es 1% mensual. (No considere depreciación) ¿cuál alternativa le conviene más? 70. Un ingeniero recibe por un trabajo US$10.000, el que decide invertirlo en certificados del gobierno a 15 años, los cuales tienen una tasa de 8% anual. Si la inflación permanece con una tasa de 6%, ¿cuál es el valor final de su inversión?
