Tema 01

TEMA 1

CONCEPTO DE MUESTREO PROBABILÍSTICO. DISTRIBUCIÓN DE UN ESTIMADOR EN EL MUESTREO. ERROR CUADRÁTICO MEDIO Y SUS COMPONENTES. MÉTODOS DE SELECCIÓN Y PROBABILIDAD DE LA UNIDAD DE PERTENECER A LA MUESTRA. MÉTODOS ESPECIALES DE SELECCIÓN CON PROBABILIDADES PROPORCIONALES AL TAMAÑO.

Muestreo

Tema 1

l. CONCEPTO DE MUESTREO PROBABILÍSTICO.

La inferencia esa!"sica es #n ra$%na&ien% !e!#ci'% en e( )#e a *arir !e (as frec#encias %+ser'a!as !e #na 'aria+(e raa&%s !e !e!#cir e( &%!e(% *r%+a+i("sic% )#e ,a -enera!% (%s !a%s. Eisen !iferenes f%r&as !e ,acer inferencia. C#an!% (% )#e )#ere&%s es !escri+ir #na 'aria+(e % (as re(aci%nes eisenes enre #n c%n/#n% !e 'aria+(es0 #i(i$a&%s 1cnicas !e &#esre%0 c%nsisenes en eraer #n c%n/#n% re*resenai'% !e (a *%+(aci2n en es#!i%. C#an!% ,a+(a&%s !e *%+(aci2n0 n%s esa&%s refirien!% a #n c%n/#n% !e e(e&en%s en (%s c#a(es se es#!ia #na !eer&ina!a caracer"sica. A,%ra +ien0 en &#(i#! !e %casi%nes n% res#(a *%si+(e es#!iar %!%s e((%s *#es ese es#!i% *#e!e i&*(icar (a !esr#cci2n !e (%s e(e&en%s0 % *#e!e res#(ar #n an3(isis !e&asia!% c%s%s%0 % ese *#e!e ((e'ar !e&asia!% ie&*%. En esas si#aci%nes se(ecci%nar"a&%s #n c%n/#n% re*resenai'% !e (a *%+(aci2n0 a( )#e ((a&a&%s &#esra0 c%n e( c#a( *%!e&%s %+ener #na inf%r&aci2n si&i(ar a (a !a!a  *%r #n cens%0 es !ecir0 #n es#!i% e,a#si'% !e %!%s s#s e(e&en%s0 c%n &a4%r ra*i!e$ 4 &en%r c%se. Desi-na&%s *%r  u5  0...0 u N    a (as N #ni!a!es )#e c%nsi#4e (a *%+(aci2n finia %+/e% !e es#!i%. Una s#cesi2n %r!ena!a !e n e(e&en%s !e (a *%+(aci2n  u i5  0...0 u in   se !en%&ina muestra de tamaño n. P#es +ien0 #n *r%ces% &e!iane e( c#a( se se(ecci%na #na !e esas &#esras0 !e &%!% )#e ca!a #na en-a #na !eer&ina!a *r%+a+i(i!a! !e ser e(e-i!a !eci&%s )#e es #n  procedimiento de muestreo probabilístico . E( &ecanis&% a(ea%ri% e&*(ea!% *%r e( in'esi-a!%r *ara se(ecci%nar (a &#esra !e+e !efinir en e( c%n/#n% !e &#esras *%si+(es S #na f#nci2n !e *r%+a+i(i!a! * a( )#e6  p 8 s7  90

  p8 s7  5  sS 

2.DISTRIBUCIÓN DE UN ESTIMADOR EN EL MUESTREO.

Sea : (a 'aria+(e a(ea%ria en es#!i%0 4  x5  0...0  x n  #na &#esra era"!a !e (a *%+(aci2n c#4%s e(e&en%s *%seen (a caracer"sica :. S#*%n-a&%s )#e : iene #na !isri+#ci2n c%n%ci!a caraceri$a!a *%r #n%s *ar3&er%s    )#e n%s s%n !esc%n%ci!%s0 4 c#4% 'a(%r  'a&%s a inferir a *arir !e (a inf%r&aci2n !e (a &#esra. L(a&are&%s estadístico a c#a()#ier f#nci2n !e (as %+ser'aci%nes
sra(es T 8 X 5 0...0  X n 7 0 !%n!e ca!a  X i es #na '.a c%n (a &is&a !isri+#ci2n )#e :. L(a&are&%s estimador a c#a()#ier esa!"sic% c#4% 'a(%r #i(ice&%s *ara esi&ar   ; sien!% (a estimación e( 'a(%r !e( esi&a!%r *ara #na &#esra c%ncrea. A( raar !e !eer&inar (as *r%*ie!a!es !e (%s esi&a!%res0 n%s enc%nra&%s c%n (a !ific#(a! !e )#e e( esi&a!%r es #n '.a0 *#es es #na f#nci2n T 8 X 5 0...0  X n 7 !e n '.a0 c#4% 'a(%r 'aria !e &#esra en &#esra. La !isri+#ci2n )#e si-#e esa '.a. se !en%&ina distribución del estimador en el muestreo 0 (a c#a( !e*en!er3 en -enera( !e (a *%+(aci2n !e (a )#e sea era"!a (a &#esra 4 !e( a&a<% &#esra( n. S# c3(c#(% &ae&3ic% es 0 en -enera(0 c%&*(ica!%. Sin e&+ar-%0 sie&*re *%!e&%s !e!#cir(a !e &anera a*r%i&a!a *%r  !iferenes &1%!%s. En %r%s cas%s0 (as c%&*araci%nes enre esi&a!%res n% re)#ieren =

Muestreo

Tema 1

c%n%cer %!a (a !isri+#ci2n0 sin% s2(% s#s *rinci*a(es &%&en%s0 )#e s" *#e!en ener #n c3(c#(% &3s faci+(e. 3. ERROR CUADRÁTICO MEDIO Y SUS COMPONENTES.

Dire&%s )#e #n esi&a!%r  > !e    es inses-a!% % cenra!% si e( 'a(%r *r%&e!i% !e s%+re %!as (as &#esras *%si+(es es i-#a( a   .

>  

E( ,ec,% !e )#e #n esi&a!%r sea cenra!% n% es !efinii'% *ara e(e-ir a ese esi&a!%r *ara ((e'ar a ca+% (a esi&aci2n. P%r e/e&*(%0 *#e!e %c#rrir )#e #n esi&a!%r f#era cenra!% >  *er% #'iera #na a(a 'aria+i(i!a! 4 *%r an% ser  *%c% *recis%0 4 e(i-i1ra&%s %r%    >  !e &en%r 'aria+i(i!a!0 a#n)#e ses-a!%.   5

=

   ?

 

A fin !e e(e-ir enre !%s esi&a!%res c%n *r%*ie!a!es c%nra*#esas0 % +ien enre !%s esi&a!%res c%n !iferenes ses-%s0 #n crieri%  #i(i$a!% es e( !e esc%-er a)#1( )#e  *resene #n &en%r error cuadrática medio0 !efini!% as"6



 E .C . M .8 >7   E 8 >    7@   E 8 >   E 8 >7   E 8 >7    7@   E 8 >   E 8 >77



=

 8 E 8 >7   7@

)#e es (a s#&a !e (a 'arian$a !e  >  4 e( c#a!ra!% !e s# ses-%. La *ri&era c%&*%nene !a (#-ar a( c%nce*% !e  precisión0 4 a&+as /#nas0 a( !e acuracidad .

4.MÉTODOS DE SELECCIÓN Y PROBABILIDAD DE LA UNIDAD DE PERTENECER A LA MUESTRA.

En *ri&er (#-ar0 *%!e&%s c(asificar (%s *r%ce!i&ien%s !e se(ecci2n en6 



Selección con reposición0

!%n!e (a #ni!a! &#esra( es !e'#e(a a (a *%+(aci2n #na 'e$ %+ser'a!a0 *%r (% )#e *#e!e '%('er a ser se(ecci%na!a !e n#e'% en (a &#esra. Selección sin reposición0

!%n!e (a #ni!a! &#esra( n% se !e'#e('e a (a *%+(aci2n ras ser %+ser'a!a0 4 *%r an% %!as (as #ni!a!es
sra(es s%n !isinas enre si.

Aen!ien!% a esa c(asificaci2n0 *%!e&%s !esacar (%s si-#ienes *r%ce!i&ien%s +3sic%s !e se(ecci2n6 a7 Selección con probabilidades iguales y sin reposición %!as (as #ni!a!es !e (a  *%+(aci2n ienen i-#a( *r%+a+i(i!a! !e ser e(e-i!a en ca!a se(ecci2n0 sien!% esa  *r%+a+i(i!a! 5N en (a *ri&era se(ecci2n0 58N57 en (a se-#n!a0 (8N=7 en (a ercera 

Muestreo

Tema 1

As"0 si  u5  0...0 u n  es #na &#esra c#a()#iera0 s# *r%+a+i(i!a! !e se(ecci2n es 5

5 5 E EEE  N   N   5  N   n  5

c%nsi!eran!% )#e s%n &#esras i-#a(es c%n (%s &is&%s e(e&en%s sin fi/arn%s en s# %r!en0 en%nces0  p   u5 0...u n    8 nF8 N   n 7F7 A N F   *#es ,a4 nF  2r!enes !iferenes. En a&+%s cas%s %!as (as &#esras ienen i-#a(  *r%+a+i(i!a! !e ser e(e-i!as. Si !efini&%s (as 'aria+(e a#i(iares  e5  0...0 e N   0

50 si u  muestra 0  e  9 0 si u  muestra 0 5   i

i

i

i

Se iene )#e  E 8ei 7 

  

i

i

.

En%nces 0    N     N  n   E   ei     i   i 5   i 5

L(a&an!%   a (a *r%+a+i(i!a! !e )#e  u i 0 u !  es1n en (a &#esra 0 4 sean &#esras )#e c%nienen u 4  X  u !  (as )#e c%nienen u   ! 0 en%nces i!

   (as

 X  ui

i

 i    p 8 X 8u i 77 0  i!    p8 X 8u i 0 u  ! 77 i 0  !

4 a( s#&ar (%s 'a(%res   *ara   !   i  a*arecer3n re*ei!as n5 'eces (as &#esras )#e c%nienen u i ; *%r eisir en ca!a #na n5 #ni!a!es c%n   !   i 0 (#e-% i!



i!

 8n  57 i

i   !

4

  i

i!

 nE8n  57

i !

G

Muestreo

Tema 1

A!e&3s0 (a *r%+a+i(i!a! !e )#e u i  sea se(ecci%na!a en (a *ri&era0 se-#n!a0 ercera0 ec. se(ecci%nes es res*eci'a&ene 5

 N 

 N   5 5 5 E   N   N   5  N 

 N   5  N   = 5 E ....   N   N   5  N 

 +7 Selección con probabilidades iguales y con reposición6 %!as (as #ni!a!es !e (a  *%+(aci2n iene i-#a( *r%+a+i(i!a! !e ser e(e-i!as en ca!a se(ecci2n0 sien!% esa  *r%+a+i(i!a! 5N en ca!a #na !e e((as. Si  u5  0...0 u n   es #na &#esra c#a()#iera0 (a *r%+a+i(i!a! )#e iene !e ser se(ecci%na!a ser3 5 A  N  n  *#es (as se(ecci%nes s%n in!e*en!ienes enre s" a( ser e( *r%ce!i&ien% c%n re*%sici2n. A,%ra +ien0 si c%nsi!era&%s &#esras i-#a(es (as )#e c%nienen (%s &is&%s e(e&en%s a#n)#e en !isin% %r!en en%nces esa *r%+a+i(i!a! 'ariar3 !e #na &#esra a %ra. Si !efini&%s (as '.a ei  n H de "eces u i está en la muestra

en%nces *%r c%nsr#cci2n e( 'ec%r a(ea%ri%  e5  0...0 e N    si-#e #na !isri+#ci2n 5     5 0...0   N      N 

 M n  n0

 4 *%r an%  E 8ei 7 

n  N 

5   5   #ar 8ei 7  nE 5    N     N  

4 Co"8ei 0 e  ! 7  

La *r%+a+i(i!a! !e )#e (a #ni!a! s%n in!e*en!ienes enre s".

ui

n  N @

 es1 en (a &#esra ser3 nN0 *#es (as se(ecci%nes



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Tema 1

c7 Selección sistemática con arran$ue aleatorio0 s#*%n-a&%s )#e ene&%s #na *%+(aci2n !e a&a<% N0  u5  0...0 u N   0 c%n NJnK. E( *r%ce!i&ien% c%nsise en se(ecci%nar  a(ea%ria&ene #n n&er% ener% enre 5 4 K0 !e &%!% )#e si ese n&er% es /0 se se(ecci%nan (a #ni!a! 0 u   !  0 as" c%&% u  ! 5 0...0 u  !  8 n 57 %  .T%!as (as &#esra *%si+(es ienen en%nces i-#a( *r%+a+i(i!a! !e ser se(ecci%na!a0 5K0 )#e c%inci!e c%n (a  *r%+a+i(i!a! !e e(e-ir a / enre 5 4 K. Esa se(ecci2n iene (a 'ena/a !e een!er (a &#esra s%+re %!a (a *%+(aci2n0 4 ser !e f3ci( a*(icaci2n. Sin e&+ar-%0 *#e!e ((e'ar a inr%!#cir ses-%s !e+i!% a( ,ec,% !e )#e ca!a #ni!a! en (a &#esra es se(ecci%na!a c%n #na *eri%!ici!a! c%nsane0 K. !7 Selección con probabilidades desiguales sin reposición6 en %casi%nes res#(a &3s c%n'eniene en 1r&in%s !e re*resenai'i!a! asi-nar *r%+a+i(i!a!es !esi-#a(es !e se(ecci2n a (as #ni!a!es !e (a *%+(aci2n0 c%n e( fin !e res*ear cieras !iferencias )#e  *#e!an eisir enre a(es #ni!a!es. E( cas% &3s c%&n c%nsise en asi-nar *r%+a+i(i!a!es *r%*%rci%na(es a( a&a<%  M i !e (as #ni!a!es. E( cas% sin re*%sici2n res*%n!e en%nces a( cas% !e #na #rna !%n!e ,a4 M +%(as !%n!e  M i  !e e((as re*resenan a u i  0 *ara iJ(0....0N0 4 se se(ecci%nan a( a$ar n !e e((as. Ca!a 'e$ )#e #na #ni!a! se se(ecci%na se reiran !e (a #rna %!as (as  +%(as )#e (e re*resenan. En%nces0 (a *r%+a+i(i!a! !e e(e-ir a u  en (a *ri&era se(ecci2n es i

 M i

 M 

en (a se-#n!a

 M  !  M i

  M   M  M  E

 !  i

 !

4 as" s#cesi'a&ene.  N% &aniene (as *r%+a+i(i!a!es *r%*%rci%na(es a( a&a<%. e7 Selección con probabilidades desiguales con reposición6 si !efini&%s (as '.a

50 si u  muestra 0  e  9 0 si u  muestra 0 5   i

i

i

i

i

Se iene 0 *%r c%nsr#cci2n )#e e( 'ec%r a(ea%ri%  e5  0...0 e N   si-#e #na !isri+#ci2n  M n  n 0  p5 0...0 p N   0 sien!%  pi (a *r%+a+i(i!a! !e se(ecci2n !e u  0 4 *%r an% i

 E 8ei 7  nE p i #ar 8ei 7  nE p i 85  pi 7

4 

Muestreo

Tema 1

Co" 8ei 0 e  ! 7   nE p i E p  !

En e( cas% !e *r%+a+i(i!a!es *r%*%rci%na(es a( a&a<%0

 p i 

 M i  M 

0 (a se(ecci2n

c%nsisir"a en e(e-ir #n n&er% a(ea%ri% enre 5 4 M 4 se(ecci%nar u  si ese n es3 en e( iner'a(% 8 M 5  ...   M i 5 0 M 5  ...  M i  . Es (% )#e se c%n%ce c%&n&ene c%&% m&todo de los inter"alos . i

5.MÉTODOS ESPECIALES DE SELECCIÓN PROBABILIDADES PROPORCIONALES AL TAMAÑO.

CON

C%n %+/e% !e ener )#e f%r&ar (%s iner'a(%s en (a a*(icaci2n !e( &1%!% aneri%r0 La,iri 8557 *r%*#s% e( si-#iene &1%!% 8&1%!% !e La,iri76 Sea  M 9   M i i 0 4 e(i/a&%s a(ea%ria&ene i 4 / c%n 5  i   N 0 5    !  M 9 . Si   !    M i 0 se se(ecci%na u ; si   !    M i  se re*ie e( *r%ces%. As"0 (a *r%+a+i(i!a! !e #na se(ecci2n sin efec% !e u i ser3 i

5  M 9   M i E  N   M 9

Y (a *r%+a+i(i!a! !e #na se(ecci2n sin efec% c#a()#iera )#e f#era (a #ni!a! es  p 

 N 

5  M 9  M i

  N E i 5

 M 9

 5

 M   N E M 9

En%nces0 (a *r%+a+i(i!a! !e )#e u i 0 sea se(ecci%na!a0 ca(c#(a!a c%&% (a s#&a !e (as  *r%+a+i(i!a!es !e )#e sea se(ecci%na!a en infini%s inen%s ser"a6  M i  N E M 9  M i 5  M i 5  M  5  M  E   p E i   p @ E i  ...  E   N   M 9  N   M 9  N   M 9  N E M 9  M   M 

es !ecir se c%nser'an efeci'a&ene (as *r%+a+i(i!a!es !e se(ecci2n c%&% *r%*%rci%na(es a( a&a<%. P%!e&%s *resenar a&+i1n %r% &1%!% !e se(ecci2n sin re*%sici2n 4 *r%+a+i(i!a!es  *r%*%rci%na(es a( a&a<%0 ((a&a!% !e  selección con probabilidades gradualmente "ariables0 *r%*#es% *%r S3nc,e$Cres*%0 en e( c#a( c#an!% #na +%(a !e (a #rna es %+ser'a!a 1sa n% se !e'#e('e0 *er% a&*%c% se reiran %!as (as +%(as )#e re*resenan esa &is&a #ni!a!. As"0 ca!a u  s2(% *#e!e esar en (a &#esra #n n !e 'eces i-#a( a( &"ni&% !e  M i  4 n. i

Ese &1%!% a&+i1n c%nser'a (as *r%+a+i(i!a!es !e se(ecci2n6 5 se(ecci2n6  p8ui 7 

 M i  M 

Q

Muestreo

Tema 1

= se(ecci2n6  M i  M i  5  M   M   5

   ! i

 M   !  M i  M   M   5

 M i 8 M i  57   M i



 M 

  !

  ! i



 M 8 M   57

 M i 8 M i  57   M i 8 M    M i 7  M 8 M   57



 M i  M 

Y as" s#cesi'a&ene. M1%!% !e P%iss%n6 *ara ca!a #ni!a! !e (a *%+(aci2n se se(ecci%na a(ea%ria&ene #n n&er%0 m 0 enre 9 4 5. Si m   i 0 se se(ecci%na u . Nin-#na #ni!a! se se(ecci%na &3s !e #na 'e$. E( a&a<% !e (a &#esra n% es fi/%0 4 es i-#a( a i

n



i

s%(% en s# 'a(%r es*era!%6  N     N     N   E   ei    E 8ei 7    i  n i 5   i 5   i 5

