UNIDAD III
“CONCEPTOS BÁSICOS DEL MÉTODO PERT/CPM” 1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS Desde su aparición, en el año 1958, las modernas técnicas de programación y control de proyectos se han aplicado con éxito en campos muy diversos, tales como: construcciones de barcos o aviones; proyectos de ingeniería civil; introducción en el mercado de un nuevo producto; puesta en órbita de satélites; edición y lanzamiento de libros; instalación y puesta a punto de computadores; y en otros. El método PERT (Program Evaluation and Review Technique)1 y el método CPM (Critical Path Method)2 constituyen las dos técnicas pioneras en el campo de la moderna programación y control de proyectos. Tanto PERT como el CPM hicieron su aparición aproximadamente al mismo tiempo (1958). (1958). Aunque estas dos técnicas se gestaron a partir de investigaciones totalmente independientes, en sus formas esenciales son idénticas, existiendo sólo ligeras diferencias en sus aspectos formales y de notación. El desarrollo del método PERT se inició en 1957, cuando la Marina de los Estados Unidos se enfrentó a los tremendos problemas de coordinación y control que surgieron en la realización del proyecto de submarinos atómicos armados con proyectiles Polaris (Proyecto Polaris). Aparte de los problemas técnicos y científicos propios de un proyecto de estas características, c aracterísticas, surgieron los inconvenientes referentes a la coordinación y al control del mismo. En este proyecto, la Marina de los Estados Unidos debía mantener relación con 250 contratistas directos, con más de 9 000 subcontratistas, además, de con un número elevado de agencias gubernamentales, todo lo cual suponía la coordinación de una gran cantidad de recursos y esfuerzos humanos. Los responsables del proyecto vieron enseguida que las técnicas de planificación y control de que podían disponer resultaban insuficientes para aplicarlas con éxito a un proyecto de esta envergadura. Prácticamente, el único método de planificación y control de proyectos que existía en esa época era el diagrama de barras de Gantt. (Curiosamente, Henry L. Gantt desarrolló su sistema de planificación también dentro del marco de las necesidades militares. Durante la Primera Guerra Mundial, con el objeto de establecer racionalmente los programas de municionamiento). Ante la imposibilidad de programar el Proyecto Polaris por medio de un diagrama de Gantt, la Marina de los Estados Unidos decidió emprender una investigación con objeto de obtener una nueva técnica más perfeccionada de 1
Evaluación de Programas Y Revisión Técnica. Método de Camino Crítico.
2
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Elaboración y Evaluación de Proyectos
programación y control de proyectos. De esta manera, bajo iniciativa del almirante W.F. Raborn se constituyó en 1958, un equipo investigador formado por personal técnico de la Oficina de Proyectos Especiales de la Marina, de la empresa de material aeronáutico Lockheed y de la empresa de Ingenieros Consultores Booz., Allen y Hamilton. El proyecto de investigación se designó con el nombre de PERT (Program Evaluation and Research Task)3. Cuando apareció el primer informe interno en la Marina sobre este proyecto se le designó con el nuevo nombre de Program Evaluation and Review Technique, que también corresponde a las siglas PERT y que q ue no ha experimentado ningún cambio hasta nuestros días. En septiembre de 1959, la revista Operations Research publicó, en su número de septiembre, artículo realizado por por D.C. D.C. Malcom, J. H. Roseboom, Roseboom, C. E. Clark y W. Fazar (miembros del equipo investigador patrocinado por la marina)4. Este artículo constituyó el primer trabajo publicado sobre el método PERT. La aplicación del método PERT a la programación y al control del proyecto Polaris constituyó un enorme éxito, pues se consiguió una reducción en el tiempo de ejecución del proyecto de dos años, cuando la duración prevista del mismo era de cinco años. Este éxito supuso una rápida difusión del nuevo método de planificación en los campos comercial e industrial. En 1957, la empresa E. I. Du Pont quiso desarrollar un método que le permitiera programar y controlar los proyectos de mantenimiento en sus plantas de fabricación. Con este objeto, Morgan R. Walker, de la división de Ingeniería de la Dupont, y James E. Kelley, quien trabajaba con el Remington Rand – Univac, desarrollaron el método de planificación de proyectos conocido por CPM o método del camino crítico5 El método CPM es esencialmente análogo al método PERT, salvo en ligeras cuestiones de detalle y de forma. Con posterioridad, J. E. Kelly prolongó el método CPM, introduciendo la relación que existe entre coste y duración de una actividad. De esta forma surgió la programación de proyectos a coste mínimo.
2. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL MÉTODO PERT El método PERT, igual que su predecesor, el diagrama Gantt, parte de la descomposición del proyecto en una serie de obras parciales o actividades. 3
Evaluación de Programas e Investigación de Tareas. Concretamente, Concretamente, Malcom, Roseboom y Clark firmaron firmaron el artículo como miembros de la Booz, Allen y Hamilton, y Fazar como técnico de la Oficina de Proyectos Especiales de la Marina. Ahora bien, el artículo es una síntesis de un trabajo realizado por un colectivo más amplio, como sus propios autores reconocen al citar en el texto la colaboración directa en la realización del trabajo de más de diez personas. Véase MALCOM, D.C; ROSEBOOM. J. H, CLARK, C.E; FAZAR, W. Application , Application of a Technique for for Research and Development Development Program Program Evaluation “Operation Research”, Volumen 7. 1959, 1959, Págs. 646 646 – 70. – 70. 5 Véase Kelley Kelley J. E. y Walter, M. R. Critical Path Planning Planning and Scheduling – Scheduling – Procedings Procedings of the Eastern Joint Computer Conference, 1959, Págs. 160 – 160 – 173. 173. 4
Elaboración y Evaluación de Proyectos
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Entendiendo por actividad la ejecución de una tarea, que exige para su realización la utilización de recursos tales como: mano de obra, maquinaria, materiales. Así, por ejemplo, la nivelación de terrenos, la excavación de cimientos, la colocación de tuberías, etc., son actividades en el proyecto de construcción de un edificio. Después del concepto de actividad, el método PERT establece el concepto de suceso. Un suceso es un acontecimiento, un punto en el tiempo, una fecha en el calendario. Pero no consume recursos, sólo indica el principio o el fin de una actividad o de un conjunto de actividades. Para representar las diferentes actividades en que se descompone un proyecto, así como sus correspondientes sucesos, se utiliza una estructura de gráfico. Los arcos del gráfico representan las actividades y los vértices, los sucesos6. Así, el vértice 1 de la figura N° 1 indica el suceso de la actividad A y el vértice 2, el suceso fin de dicha actividad. A
Figura N° 1
El arco que une los vértices 1 y 2 representa la propia realización de la actividad. De otra parte, habíamos dicho que un suceso puede representar el principio o el fin de un conjunto de actividades. En efecto, en la figura N° 2, el vértice 1 representa el suceso inicio de las actividades A, B y C y en la figura N° 3, el vértice 4 representa el suceso fin de las actividades A, B y C. Es interesante que el lector se familiarice con la idea de que la longitud de un arco no tiene por qué guardar relación con el tiempo previsto para ejecutar la actividad que representa.
Figura N° 2
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En el método de los pontenciales de Bernard Roy, las actividades vienen representadas por los vértices del gráfico y los arcos del mismo indican el orden en quese deben ejecutarse las actividades. Es decir, el gráfico Roy es el dual del gráfico PERT.
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Elaboración y Evaluación de Proyectos
Figura N° 3
Una vez descompuesto el proyecto en actividades, la fase siguiente del método PERT consiste en establecer las prelaciones existentes entre las diferentes actividades. Estas prelaciones nos indican el orden en que deben ejecutarse dichas actividades.
En efecto, por razones de tipo técnico, económico o jurídico, las diferentes actividades que constituyen un proyecto deben ejecutarse según un cierto orden. Así, por ejemplo, en un proyecto de construcción, para poder iniciar la actividad “montar las vigas de techo” es necesario que previamente se haya finalizado la actividad “montar las columnas”; para poder iniciar la fase de excavación es necesario que previamente se haya finalizado la actividad de nivelación, etc. Los ejemplos que acabamos de comentar corresponden a prelaciones de carácter técnico. Ahora bien, en ocasiones son condicionantes de tipo económico o jurídico los que imponen las prelaciones, como ocurre cuando, para poder iniciar las obras, se haya tenido que conseguir previamente el correspondiente permiso administrativo. Vamos a estudiar seguidamente de qué manera podemos pasar al gráfico desde las prelaciones. Es decir, cómo conseguiremos que el gráfico refleje las prelaciones existentes entre las diferentes actividades que constituyen el proyecto. Comenzaremos por el caso más sencillo, que son las prelaciones lineales. Estas prelaciones se presentan cuando para poder iniciar una determinada actividad, es necesario que haya finalizado previamente una única actividad (la precedente). En la figura N° 4 se ha representando un caso de prelación lineal. Para poder iniciar la actividad B es necesario que haya finalizado la
Elaboración y Evaluación de Proyectos
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actividad A. Es decir, el vértice 2 representa el suceso fin de la actividad A y, a la vez, el suceso comienzo de la actividad B.
Figura N° 4
A continuación, vamos a estudiar el caso de las prelaciones que originan una convergencia. Este caso se presenta cuando, para poder iniciar una cierta actividad, es necesario que se haya finalizado previamente más de una actividad (las precedentes). En la figura N° 5 se ha presentado un caso de convergencia. Para poder iniciar la actividad D, es necesario que se hayan finalizado las actividades A, B y C. Es decir, el vértice 4 representa el suceso fin de las actividades A, B y C, y a la vez, el suceso comienzo de la actividad D.
Figura N° 5
El caso opuesto al anterior es el de las prelaciones que originan una divergencia. Este caso se presenta cuando, para poder iniciarse un conjunto de actividades es necesario que se haya finalizado previamente un sola actividad (la precedente) En la figura N° 6 se ha representado un caso de divergencia. Para poder iniciar las actividades B, C y D es necesario que se haya finalizado la actividad A. Es decir, el vértice 2 representa el suceso fin de la actividad A y, a la vez, el suceso comienzo de las actividades B, C y D.
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Elaboración y Evaluación de Proyectos
Figura N° 6 Para finalizar, podemos estudiar el caso que, en las prelaciones, origina convergencia y divergencia. Este caso se presenta cuando, para poder iniciar un conjunto de actividades, es necesario que se haya finalizado previamente más de una actividad (las precedentes). En la figura N° 7 se ha representado un caso de convergencia – divergencia. Para poder iniciar las actividades D, E y F es necesario que se hayan finalizado las actividades A, B y C. Es decir, el vértice 4 representa el suceso fin de las actividades A, B y C y, a la vez, el suceso comienzo de las actividades D, E y F.
Figura N° 7
En seguida vamos a ver, por medio de un ejemplo, un problema que se plantea en la construcción del gráfico PERT cuando, entre ciertas actividades, se presenta un caso de prelaciones lineales y de convergencia o divergencia, simultáneamente.
Elaboración y Evaluación de Proyectos
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Supongamos que queremos que un gráfico refleje las siguientes prelaciones: las actividades A y B preceden a la C (prelación de convergencia) y la actividad A precede a la D. En principio se podría pensar que el gráfico de la figura N° 8 refleja correctamente las prelaciones anteriores. Ahora bien, una observación detallada de dicho gráfico nos lleva a la conclusión de que no refleja correctamente dichas prelaciones. En efecto, el vértice 3 nos indica, entre otras cosas, que para poder iniciar la actividad D es necesario que previamente se haya finalizado la actividad B, siendo esta una prelación no incluida en las prelaciones del ejemplo.
Figura N° 8 Para resolver este tipo de problemas, que suelen plantearse con frecuencia en la construcción de gráficos PERT, debemos recurrir a las actividades ficticias. Estas acciones no consumen tiempo ni recursos, son únicamente, enlaces lógicos, que nos permiten reflejar formalmente las prelaciones existentes entre las diferentes actividades que constituyen el proyecto. En la figura N° 9 se ha representado un gráfico que refleja con precisión las prelaciones existentes entre las actividades de nuestro ejemplo anterior. La actividad representada por el arco de trazo discontinuo es la actividad ficticia. El gráfico refleja ahora correctamente las prelaciones, ya que el vértice 3 representa sólo el fin de la actividad A y el inicio de la D y el vértice 4, el fin de las actividades A y B y el inicio de la C.
Figura N° 9
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Elaboración y Evaluación de Proyectos
Otro problema que debe tenerse en cuenta en la construcción de gráficos PERT es el de las actividades en paralelo. Supongamos que queremos que un gráfico refleje las siguientes prelaciones: la actividad A es anterior a las actividades B, C y D y las actividades B, C y D son anteriores a la actividad E. Una forma de reflejar las prelaciones anteriores es la que viene representada en la figura N° 10.
Figura N° 10
Dicho gráfico refleja las prelaciones anteriores correctamente, siempre que el correspondiente proceso de cálculo del método PERT se efectúe manualmente, ya que si dicho proceso se efectúa por medio de un computador, la máquina no puede distinguir las actividades B, C y D entre sí, pues para ella las tres actividades son la misma, dado que todas comienzan en el vértice 2 y finalizan en el vértice 3. Para resolver este problema se puede recurrir a las actividades ficticias, como se muestra en el gráfico de la figura 1.11.
Figura N° 11
En efecto, de acuerdo con el gráfico de la figura 1.11, el computador distinguirá perfectamente las actividades B, C y D ya que las tres actividades, aun naciendo en el mismo vértice, mueren en vértices distintos.
3. CONSTRUCCIÓN DEL GRÁFICO PERT En el apartado anterior habíamos estudiado los principios básicos en los que se fundamenta la representación de las actividades y sus correspondientes prelaciones en una estructura de gráfico. En este apartado vamos a estudiar,
Elaboración y Evaluación de Proyectos
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apoyándonos en un ejemplo, la construcción del gráfico PERT de un proyecto completo. Para ello comenzaremos por introducir los conceptos de suceso inicio del proyecto y de suceso fin del mismo. Se entiende por suceso inicio del proyecto aquel que, representando el comienzo de una o más de una actividad, no representa, sin embargo, el fin de ninguna actividad. A este suceso se le reconoce fácilmente en el gráfico y está representado por el único vértice del que salen, pero al que no llegan arcos. Por el contrario, el suceso fin del proyecto es aquel que, representado el fin de una o más de una actividad, no representa, sin embargo, el comienzo de ninguna actividad. A este suceso se le reconoce en el gráfico por el único vértice al que llegan, pero del que no salen arcos. Antes de comenzar el desarrollo del ejemplo, conviene que hagamos un comentario acerca de cómo deben numerarse los vértices. Sea que los cálculos del PERT se efectúen manualmente o con computador, la numeración de los vértices ha de cumplir la siguiente condición: i j. Es decir, el número del vértice que representa el suceso comienzo de una cierta actividad debe ser menor que el número del vértice que representa el suceso fin de dicha actividad. A continuación, y a título de ejemplo, vamos a construir el gráfico PERT de un proyecto cuyas actividades y prelaciones existentes entre las mismas son: A
precede
a
A, C, D, E
B
precede
a
C
C
precede
a
K
D
precede
a
F, G
E
precede
a
J
F
precede
a
I
G
precede
a
H
H, I, J
precede
a
L
K
precede
a
M
L
precede
a
P
M
precede
a
N
N, P
precede
a
Q
Q
precede
a
R
Para construir el gráfico PERT debemos comenzar por recoger, de una manera sistematizada, la información contenida en el anterior conjunto de prelaciones. Para ello, existen básicamente dos procedimientos: la matriz de encadenamientos y el cuadro de prelaciones. La primera consiste en una matriz cuadrada cuya dimensión es igual al número de actividades en que se ha descompuesto el proyecto.
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Elaboración y Evaluación de Proyectos
Cuando un elemento de dicha matriz aparece marcado, por ejemplo con una X, esto nos indica que para poder iniciar la actividad que corresponde a la fila que cruza ese elemento es necesario que se haya finalizado, previamente, la actividad que corresponde a la columna que cruza dicho elemento. Con arreglo a esta estructura, la matriz de encadenamiento para nuestro ejemplo es la siguiente: Cuadro N° 01
Actividades precedentes
s e t n e i u g i s s e d a d i v i t c A
A B C D E F G H I J K L M N P Q R
A
B
X X X
X
C
D
E
F
G
H
I
J
X
X
X
K
L
M
N
P
X
X
Q
X X X X X X X X X X
Es interesante observar que aquellas filas de la matriz en las que no aparece ninguna X nos indican las actividades que no tienen ningún precedente. Es decir, aquellas actividades cuyo suceso inicial coincide con el suceso inicio del proyecto. En nuestro ejemplo vemos que las dos primeras filas de la matriz no tienen ninguna X; por tanto, las actividades A y B no tienen ningún precedente. Es decir, A y B son las actividades inicio del proyecto. De otra parte, aquellas columnas de la matriz en las que no aparece ninguna X nos indican aquellas acciones que no tienen ningún movimiento siguiente. Es decir, aquellas actividades cuyo suceso final coincide con el suceso fin del proyecto. En nuestro ejemplo vemos que la última columna de la matriz no tiene ninguna X; por tanto, la actividad R no tiene ninguna actividad siguiente. Es decir, R es la actividad fin del proyecto. En nuestro ejemplo vemos que la última columna de la matriz no tiene ninguna X; por tanto, la acción R es la actividad fin del proyecto. El otro procedimiento es el cuadro de prelaciones, el cual está formado por dos columnas. En la primera columna están representadas todas las
Elaboración y Evaluación de Proyectos
55
R
actividades en que se ha descompuesto el proyecto. En la segunda columna figuran las actividades precedentes de su homóloga en la primera columna. Con los datos de nuestro ejemplo elaboramos el cuadro de prelaciones, que es el siguiente: Cuadro N° 02
Actividades (1)
Precedentes (2)
A B C D E F G H I J K L M N P Q R
----------A, B A A D D G F E C H,I,J K M L N, P Q
La actividad o actividades inicio del proyecto se reconocen en el cuadro de prelaciones por no tener ninguna actividad precedente (actividades A y B en el ejemplo). La actividad o actividades fin del proyecto se reconocen en el cuadro de prelaciones por no aparecer en la columna (2) de dicho cuadro (actividad R en el ejemplo). A partir de la matriz de encadenamientos o del cuadro de prelaciones se construye fácilmente el gráfico PERT correspondiente7. Para los datos de nuestro ejemplo, el gráfico PERT está representado en la figura N° 12.
4. ORDENACIÓN EN NIVELES DE UN GRÁFICO Cuando un proyecto origina un gráfico PERT muy complejo puede resultar útil ordenar el gráfico en niveles. De esta manera se facilita la comprensión del gráfico, así como la posterior fase de realización de cálculos, tanto si se realizan manualmente como si se realizan por medio de un computador. Vamos a exponer seguidamente dos procedimientos que permiten efectuar la ordenación de un gráfico en niveles. En primer lugar, comentaremos un método gráfico que resulta útil para proyectos descompuestos en un número no demasiado elevado de actividades.
7
En los ejemplos sucesivos utilizaremos el cuadro de prelaciones por considerar que es más sencillo y más fácil de aplicar que la matriz de encadenamientos.
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Elaboración y Evaluación de Proyectos
Enseguida comentaremos un algoritmo matricial que resulta muy eficaz, tanto si realizamos los cálculos de la ordenación en niveles manualmente como si los realizamos por medio de un computador. Vamos a exponer el método gráfico realizando la ordenación en niveles del gráfico PERT de la figura N° 12. En primer lugar, se observa el gráfico con objeto de encontrar el subconjunto de vértices de los que no nace ningún arco. Este subconjunto, que en nuestro ejemplo está formado por el vértice 18, constituye el último nivel del gráfico.
Figura N° 12
Elaboración y Evaluación de Proyectos
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Figura N° 13 A continuación suprimimos el vértice 18, así como los arcos relacionados con él, que en nuestro ejemplo es el arco que corresponde a la actividad R. En el subgráfico obtenido se vuelve a buscar el subconjunto de vértices de los que no nace ningún arco. Este subconjunto, que en nuestro ejemplo está formado por el vértice 17, constituye el penúltimo nivel del gráfico. A continuación se eliminará el vértice 17, así como los arcos relacionados con él,
58
Elaboración y Evaluación de Proyectos
obteniendo un nuevo subgráfico. Repitiendo iterativamente este proceso obtendríamos el gráfico ordenado en niveles de la figura 1.13. Para exponer el algoritmo matricial, que permite ordenar en niveles un gráfico, comenzaremos por introducir el concepto de matriz asociada a un gráfico. A todo gráfico “G” de “n” vértices se le puede asociar una matriz cuadrada de dimensión “n” tal que sus elementos sean 1 o 0. Un cierto elemento a ij de la matriz asociada toma el valor 1 cuando existe un arco que une el vértice i con el vértice j, y toma el valor cero cuando no existe un arco que una dichos vértices8. De acuerdo con esta definición, la estructura de la matriz anterior asociada al gráfico de la figura 1.12 es la que se muestra en la parte izquierda del cuadro N° 03. Cuadro N° 03 j
V1 V2 V3
V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
2
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
3
3
3
3
3
3
2
0
X
3
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
X
X
4
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
1
0
X
X
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
X
X
X
6
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
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0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
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X
X
X
X
7
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0
0
0
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0
0
0
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0
0
1
1
1
1
1
0
X
X
X
X
8
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0
0
0
0
0
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0
0
0
0
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0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
X
X
X
9
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0
0
0
0
0
0
0
0
1
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0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
X
X
X
10
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
X
X
X
X
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
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0
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1
1
1
1
0
X
X
X
X
X
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0
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0
0
0
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1
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0
X
X
X
X
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0
0
0
0
0
0
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0
0
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0
X
X
X
X
X
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0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
X
X
X
X
X
X
15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
X
X
X
X
X
X
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0
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
X
X
X
X
X
X
X
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
X
X
X
X
X
X
X
X
18
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
X
X
X
X
X
X
X
X
18
17
14
11
6
5
3
2
1
15
13
7
8
4
10
9
II
I
i
16
12 X
8
IX
VIII
VII
VI
V
Podemos definir formalmente la matriz asociada a un gráfico de n vértices como una matriz cuadrada de orden n, cuyos elementos a ij sean: a ij = 1 si existe u ij a ij = 0 si no existe u ij donde uij representa un arco que une los vértices i y j.
Elaboración y Evaluación de Proyectos
59
IV
III
A partir de la matriz anterior vamos a explicar el algoritmo de Demoucron 9, que nos va a permitir ordenar en niveles el gráfico. El primer paso en la aplicación de este algoritmo consiste en ampliar la matriz asociada al gráfico por medio de un vector columna ( V1 ). Los elementos de este vector son iguales a la suma de los elementos de cada fila de la matriz asociada. De esta forma obtendremos el vector V1. Los elementos de V1 que sean cero, nos indican los vértices que constituyen el último nivel del gráfico. En nuestro ejemplo, en el vector V1 existe un único cero, el correspondiente al vértice 18. Por tanto, el último nivel (en nuestro caso, nivel X) está formado únicamente por dicho vértice (18), que se anota en el pequeño cuadro inferior. El segundo paso en la aplicación de este algoritmo consiste en ampliar la matriz asociada al gráfico por medio de un nuevo vector columna V 2. Los elementos de este nuevo vector se obtienen restando a los elementos de vector V1, los elementos homólogos de la(s) columna(s) que corresponden a los vértices que en dicho vector V1 tomen el valor cero, teniendo en cuenta que cuando el minuendo y el sustrayendo de la resta sean cero, se escribe como resultado de la diferencia un aspa en vez de un cero. En la columna V 1 se encuentra un cero en la fila 18, entonces para obtener los valores de V 2, restar a los elementos de V1 sus correspondientes de la columna 18. Pero nunca olvide que cero menos cero es X.
Los elementos de V2 que sean cero nos indican los vértices que constituyen el penúltimo nivel del gráfico (nivel, IX). En nuestro ejemplo, en el vector V2 existe un único cero, el correspondiente a la fila 17, que se escribe debajo de la columna correspondiente a V2. Por lo tanto, para obtener los elementos del vector columna V3, se deben de restar a los elementos de V2 sus correspondientes de la columna 17. El vector V4, muestra ceros en las filas 14 y 15. Por tanto, para obtener el vector V5, se deben de restar a los elementos de la columna V4 la suma de las columnas 14 y 15. Repitiendo iterativamente este proceso obtendremos los demás vectores columna correspondientes a nuestro ejemplo y que figuran reflejados en la parte derecha del cuadro 1.1. Estos vectores nos indican una ordenación en niveles del gráfico que, como es lógico, resulta análoga a la que habíamos obtenido por el método gráfico. El algoritmo que acabamos de explicar puede aplicarse con facilidad a gráficos de gran dimensión. Además, este algoritmo reúne la ventaja de ser fácil de procesar en computador10.
9 10
Véase Kaufmann, A. y Desbazeille G. Método del camino crítico. Sagitario 1965. Existen otros algoritmos matriciales que permiten ordenar un gráfico en niveles. Ahora bien, para poderlos aplicar es necesario recurrir al cálculo booleano de matrices. Véase, por ejemplo, Kaufmann A, Desbazeille G. Op. Cit. Págs. 29 – 32.
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Elaboración y Evaluación de Proyectos
5. EJERCICIOS Ejercicio N° 1 Dados los cuadros de prelaciones de tres proyectos, representar los gráficos PERT relativos a los mismos:
1° Proyecto Alfa: A precede a B, C B precede a D, E C precede a D, E, F D precede a G E precede a H, I F precede a I G precede a J H precede a J I precede a K J precede a K
2° Proyecto Beta: A precede a B, C, D B precede a E C precede a E D precede a E E precede a F, G F precede a H G precede a H
3° Proyecto Sigma: A precede a D B precede a F, G C precede a E D precede a F, G E precede a F, G F precede a H G precede a I H precede a J I precede a J
Elaboración y Evaluación de Proyectos
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Ejercicio N° 2 La matriz de encadenamiento del proyecto Alfa será: Cuadro N° 04 Actividades precedentes
A
Actividades siguientes
B
C
D
E
F
G
H
I
G
H
H
I
J
A B C D E F G H I J K
La matriz de encadenamiento del proyecto Beta será: Cuadro N° 05 Actividades precedentes
A
B
C
D
E
F
A B C D E F G H
Actividades siguientes
La matriz de encadenamiento del proyecto Sigma será: Cuadro N° 06 Actividades precedentes
A
Actividades siguientes
62
B
C
D
E
F
G
J
A B C D E F G H I J
Elaboración y Evaluación de Proyectos
K
Ejercicio N° 3 A partir del gráfico adjunto:
7
3 B A 1
H
E G
C 2
K
I 9
6
5 D
F1
J
F
10
F2 8
4
Figura N° 14
Se pide: Determinar el gráfico ordenado en sus diferentes niveles, utilizando el método gráfico. Determinar el gráfico ordenado en sus diferentes niveles utilizando el algoritmo de Demoucrón. Calcular el cuadro de prelaciones del gráfico. Solución:
Determinar niveles gráficamente: Determinar niveles mediante el algoritmo de Demoucrón: Cuadro N° 07
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 V 1 V2 .....
.....
...
..
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Elaboración y Evaluación de Proyectos
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