Interazione struttura-terreno Un’analisi rigorosa delle strutture di fondazione richiede Io studio dell’interazione tra la fondazione, la struttura in elevazione e il terreno. Le incognite del problema non sono costituite unicamente dalle reazioni che il terreno trasmette ad esempio a una trave, bensì anche dalle mutue azioni che la struttura e la fondazione si scambiano alla base dei piedritti. Non sono in generale accettabili, se non in casi particolari, le usuali schematizzazioni che risolvono il problema disaccoppiando la risposta della struttura da quella della fondazione interagente con il terreno, risolvendo ad esempio dapprima la struttura come vincolata ad appoggi non cedevoli e, successivamente, analizzando lo stato di sforzo della fondazione soggetta ai carichi rappresentati dalle reazioni dei piedritti, determinate secondo lo schema precedente.
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Interazione e configurazioni limite Il problema in esame può essere convenientemente impostato utilizzando il metodo dei vincoli ausiliari (Pozzati, 1953; Chiarugi e Merli, 1977).
In figura mostrata una trave di fondazione, solidale alla struttura, che riposa su un mezzo deformabile. Se al disotto di ogni piedritto si introducono momentaneamente dei vincoli fissi, le travi superiori si comportano come travi su appoggi fissi e la trave di fondazione risulta inerte. Gli appoggi ausiliari devono, in questa situazione arbitraria, fornire le reazioni ma, poiché tali vincoli non esistono nella realtà, essi devono essere successivamente rimossi. Ciò equivale ad
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applicare al complesso costituito dalla struttura scarica e dalla trave di fondazione le reazioni cambiate di segno e, in questa seconda fase, la trave di fondazione si deforma, con conseguenze statiche anche sulla struttura in elevato. Se X j e Z j sono le aliquote che competono rispettivamente alla trave di fondazione e alla struttura nel secondo schema, l’equilibrio del nodo richiede
Se lo spostamento del nodo j viene indicato con y j e D ji e Fji rappresentano i coefficienti di rigidezza della struttura e della fondazione, risulterà anche
Sostituendo queste espressioni nella precedente, per ogni nodo si ha una equazione di equilibrio del tipo
e il sistema generale
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consente di ricavare le incognite rappresentate dagli spostamenti y (nello spirito del “metodo dell’equilibrio”). Una volta noti tali spostamenti, le equazioni che legano gli abbassamenti alle azioni sollecitanti telaio e trave consentono di determinare le aliquote da applicare alla struttura, per tener conto dei cedimenti subiti dalla base dei piedritti, e i carichi da applicare alla trave di fondazione. L’applicazione pratica del procedimento sopra esposto non è comunque semplice ed è effetta da incertezze: ad esempio rimangono di difficile schematizzazione la sequenza dei carichi, i fenomeni differiti nel tempo etc. La precisione ottenuta raffinando i calcoli può risultare così solo apparente, mentre può essere più significativo cercare di individuare le configurazioni limite, entro le quali si colloca la situazione reale.
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Configurazioni limite del rapporto tra le rigidezze strutture e fondazione per la risoluzione del secondo schema
a) Se la struttura si può considerare flessibile rispetto alla trave, risulta legittimo isolare la fondazione e considerarla soggetta a una configurazione nota dei carichi, in quanto la deformazione della fondazione non è contrastata dalla struttura di rigidezza nulla e i carichi trasmessi non risultano influenzati dai cedimenti differenziali. b) Se la struttura viene invece supposta di rigidezza infinita rispetto alla trave, i carichi trasmessi alla trave di fondazione possono ottenersi imponendo la condizione geometrica che i cedimenti dei piedritti siano allineati
avendo indicato con y 0 il cedimento del primo piedritto, in corrispondenza del quale è fissata l’origine delle x, e α 0 è la rotazione rigida della struttura. Le ulteriori due equazioni da aggiungere sono ovviamente quella di equilibrio alla traslazione e quella di equilibrio alla rotazione
Così facendo si impongono (n + 2) condizioni che consentono di ottenere gli n carichi P trasmessi alla fondazione, lo spostamento rigido y 0 e la rotazione α 0 .
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Va osservato che i carichi dipendono in questo caso dalla interazione tra la trave e il terreno, giacché gli abbassamenti y nell’equazione che esprime il mantenimento dell’allineanento tra le basi dei ritti vanno espressi nella forma
dove i coefficienti i dipendono dalla rigidezza relativa della fondazione e quindi dal modello utilizzato per simulare la risposta del terreno, come sarà descritto tra poco.
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La trave su suolo elastico Il modello più noto per l’analisi di una trave su appoggi elastici infinitamente vicini è dovuto a Winkler (1867).
Con riferimento alla figura, l’equazione fondamentale della linea elastica si ricava utilizzando le relazioni della teoria delle travi inflesse ad asse rettilineo. Se le deformazioni dovute al taglio sono trascurabili, l’asse della trave e le sezioni si mantengono ortogonali nella deformazione. Questa relazione geometrica si traduce analiticamente nel seguente legame tra la rotazione θ della sezione e lo spostamento y dell’asse della trave (trascurando l’infinitesimo di ordine superiore dovuto alla curvatura, pari a −1 2dθ dx )
che esprime la condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di una deformazione della trave congruente con determinati spostamenti, e può perciò riguardarsi come l’equazione di congruenza della deformazione (in presenza anche di una deformazione angolare di taglio risulterebbe
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Le relazioni di Saint- Venant tra lo stato di deformazione e le caratteristiche di sollecitazione consentono di esprimere la curvatura 1 ρ in funzione del momento M
Infine le condizioni di equilibrio del tronco di trave soggetto al carico uniforme q(x) e alla reazione del terreno r(x) forniscono (trascurando gli ( r(dx infinitesimi di secondo ordine
Le equazioni scritte consentono di risolvere il problema della trave inflessa, genericamente vincolata e caricata, e di determinare quindi le caratteristiche di spostamento, di deformazione e di sollecitazione. Sostituendo ordinatamente si ottiene l’equazione della linea elastica, nella forma:
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se il modulo di rigidezza a flessione EJ è costante. Se invece EJ è variabile
Il legame costitutivo suggerito da Winkler lega il cedimento di un punto alla reazione agente unicamente su quel punto tramite un coefficiente di proporzionalità K1, definito coefficiente di reazione
Se si fa riferimento alla reazione r(x) per unità di lunghezza della trave, si ottiene
dove K = K1 . b è definito modulo di reazione e ha dimensioni FxL-2.
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Se si introduce il parametro
l’equazione differenziale della linea elastica può essere riscritta nella forma
Il procedimento generale di risoluzione di equazioni differenziali ordinarie lineari come questa porta alla combinazione di una soluzione principale con n soluzioni indipendenti della omogenea associata, se n è 1’ordine dell’equazione differenziale. I coefficienti della combinazione sono determinati in modo da rispettare le condizioni al contorno. Nel presente caso la soluzione principale è rappresentata da una funzione y(x) che sostituita nella equazione differenziale la verifica in ogni punto con il carico q(x) assegnato. Come provato nel seguito, se si suppone ad esempio q = cost una soluzione particolare è rappresentata da y =q/K.
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Essa rappresenta anche la soluzione finale nel caso la trave sia uniformemente caricata su tutta la sua lunghezza e non sia vincolata alle estremità, in corrispondenza delle quali dev’essere y” = y”’= 0, in modo che ivi siano nulli momento flettente e taglio. In qualsiasi altro caso si devono aggiungere le soluzioni dell’omogenea associata. Ogni soluzione dell’omogenea associata rappresenta la distribuzione delle ordinate che si avrebbero nella trave, scarica ovviamente delle q(x), caricata in corrispondenza delle sezioni terminali da coppie e forze che vi producano i momenti (-EJ y’’) e i tagli (EJy”’) calcolati in base alla soluzione y(x) considerata.
Fatte queste premesse, se si esprime il carico distribuito nella forma
la soluzione particolare risulta
con l’esponente n minore o uguale a 3. Se n è uguale a zero (carico uniforme) o uguale a 1 (carico variabile linearmente), y” = 0 e la trave risulta inerte essendo la reazione del terreno uguale e opposta al carico.
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L’equazione differenziale omogenea associata è una equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti.
Osservando che la derivata di una funzione esponenziale è ancora una funzione esponenziale, si può cercare di soddisfare l’equazione in esame tramite una funzione del tipo eβx . Sostituendo tale funzione nell’equazione differenziale si ottiene l’equazione caratteristica” Una volta note le radici β1 , β2 , β3 , β4 , dell’equazione caratteristica:
si ottiene la soluzione generale dell’omogenea associata come combinazione lineare delle quattro soluzioni trovate
ovvero
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nella quale i coefficienti A. sono da determinare successivamente imponendo le condizioni al contorno Volendo esprimere la soluzione in forma reale, si osserva preliminarmente che se due soluzioni soddisfano l’equazione omogenea, una qualsiasi loro combinazione lineare soddisfa pure la stessa equazione. Richiamando le formule di Eulero
si osserva che, se e ± ix è una soluzione, anche la parte reale e il coefficiente dell’immaginario sono una soluzione della stessa equazione, per cui in definitiva si ha
nella quale il parametro 1 λ . assume il significato di una lunghezza caratteristica, essendo legato alla lunghezza d’onda l dalla relazione
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Se la trave è rigida relativamente al terreno (in pratica tale ipotesi è verificata quando la lunghezza della trave è minore di π 4λ ), tale lunghezza è grande e l’effetto dei carichi si risentirà anche a distanze significative dal loro punto di applicazione. Viceversa, se la trave è flessibile (ipotesi vera quando la lunghezza della trave supera π λ ), il valore di 1 λ è piccolo e gli effetti del carico si smorzano rapidamente allontanandosi dal punto di applicazione.
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Caso ideale della trave di lunghezza infinita
Le costanti che figurano nell’equazione omogenea generale si determinano osservando innanzitutto che l’inflessione della trave deve smorzarsi per valori di x tendenti all’infinito, per cui C1 e C2 devono essere nulle. Se si considera una trave di lunghezza infinita soggetta a un carico verticale, imponendo la condizione di tangente orizzontale al disotto del carico, si ottiene C3 = C4. Pensando di praticare un taglio in corrispondenza dell’origine e imponendo la condizione al contorno
si ricava poi
(in alternativa, per ricavare C3 si può imporre la condizione che la somma delle reazioni deve essere uguale al carico P).
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Se si introducono per comodità le seguenti notazioni
la soluzione completa in termini di inflessione, rotazione, momento e taglio diventa
In relazione agli effetti di smorzamento sinteticamente rappresentati dalla lunghezza d’onda l = 2π λ è possibile ora osservare che mentre per x = 0 le quantità A e C sopra introdotte valgono 1, per x = l/2 esse si riducono a -0.0432 e per x = l diventano pari a 0.00187.
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In modo analogo a quanto sopra visto per il caso di una forza concentrata, la soluzione relativa all’applicazione di una coppia M0 viene espressa nella forma
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Se la trave è considerata illimitata soltanto da una parte (Figura 6.6) ed è soggetta a un carico e a una coppia applicati nella sezione iniziale, la soluzione completa, ottenuta sovrapponendo gli effetti diventa
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In pratica le travi sono di lunghezza finita, per cui l’analisi va fatta tenendo conto delle effettive condizioni delle estremità. Un procedimento semplice, suggerito da Hetenyi (1946), consiste nel calcolare i momenti e i tagli in corrispondenza delle sezioni estreme con la soluzione relativa alla trave infinita e nell’applicare a tale schema delle coppie e delle forze fittizie in modo tale che le condizioni al contorno siano soddisfatte. La soluzione finale si ottiene quindi sovrapponendo gli effetti.
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