LEANDRO VAZ DE AZEVEDO
FILOSOFIA MATEMÁTICA DE IMMANUEL KANT
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do título de licenciado
em
Matemática,
pelo
Curso
de
Licenciatura em Matemática da Faculdade Integrado de Ciências Humanas e Educação de Guarulhos. Orientador: Prof. Dr. Rogério Fonseca Fonseca
GUARULHOS 2009
Dedico esse trabalho, especialmente à memória de meu pai, que até hoje me lembro de nunca ter aprendido o conceito de raiz quadrada, pai pelo menos isso eu consegui.
Dedico esse trabalho, especialmente à memória de meu pai, que até hoje me lembro de nunca ter aprendido o conceito de raiz quadrada, pai pelo menos isso eu consegui.
Existem situações na vida que é fundamental contar com a ajuda de algumas pessoas. A minha esposa, Cristiane Félix, que foi minha fortaleza; A minha mãe, Maria Regina pelo incentivo; Ao meu orientador Prof. Dr. Rogério Rogério Fonseca; A todos os professores pelos conhecimentos conhecimentos adquiridos durante essa jornada;
“O homem só pode ser homem mediante a educação”
(Immanuel Kant – 1724 a 1804)
Resumo
A problemática a ser desenvolvida consiste: Como é possível a Matemática Pura, segundo Kant? Como um estudante se baseia numa ciência com a Matemática sem ao menos conhecer os critérios que a validem como ciência. A intenção do trabalho não é dizer se Kant está correto em suas definições, mas sim expor as ideias Matemáticas desse filósofo que revolucionou o pensamento. O trabalho apresenta a História da Filosofia Matemática, passando por Racionalismo, Empirismo, Construtivismo, entre outras correntes.
Palavras Chaves : Kant, Filosofia da Matemática, Epistemologia, História da Matemática.
Abstract The problem to be developed consists: How is the Pure Mathematics possible, according to Kant? As a student bases on a science with the Mathematics without at least to know the criteria that validate her/it as science. The intention of the work is not Kant to say it is correct in their definitions, but to expose that philosopher's Mathematical ideas that it revolutionized the thought. The work presents the History of the Mathematical Philosophy, going by Rationalism, Empiricism, Constructivism, among other currents. .
Key words: Kant, Philosophy of the Mathematics, Epistemology, History of the Mathematics
Sumário INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 9 1 – CORRENTES FILOSÓFICAS ..................................................................... 10 1.1 Pitágoras ............................................................................................ 10 1.2 Platão ................................................................................................. 11 1.3 Aristóteles .......................................................................................... 11 1.4 Leibniz ............................................................................................... 12 1.5 Logicismo........................................................................................... 13 1.5.1 Frege ............................................................................................... 13 1.5.2 Russel .............................................................................................. 13 1.6 Construtivismo .................................................................................. 13 1.7 Intucionismo ...................................................................................... 13 1.8 Predicatismo de Poincaré.................................................................. 14 1.9 Formalismo........................................................................................ 14 1.10 Teorema de Gödel ........................................................................... 14 2 - Biografia ......................................................................................................... 15 3 - Epistemologia Kantiana ................................................................................. 16 3.1 Distinção entre conhecimento puro e empírico ....................... 16 3.2 Distinção entre Juízos Analíticos e Sintéticos ......................... 18 4 - Estética Transcendental ................................................................................. 20 4.1 Espaço....................................................................................... 21 4.2 Tempo....................................................................................... 21
5 - GEOMETRIA ................................................................................................ 21 5.1 Geometria como conhecimento a priori ................................... 22 5.2 Geometria como conhecimento Sintético ................................ 22 6 - KANT E O MÉTODO ANÁLISE – SÍNTESE.............................................. 24 6.1 Descartes ................................................................................ 25 6.2 Newton ................................................................................... 25 6.3 Kant........................................................................................ 25 7 – ARITMÉTICA............................................................................................... 27 7.1 Número..................................................................................... 28 8 – ÁLGEBRA ..................................................................................................... 28 CONCLUSÃO ..................................................................................................... 29 REFÊRENCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................ 30
INTRODUÇÃO Os motivos que levam a explicitar as ideias de Kant não só na matemática, mas também na epistemologia é a grande influência que esse filósofo causou e ainda causa no pensamento contemporâneo. Kant está para filosofia assim como Copérnico está para Astronomia, portanto não se trata de que o sujeito gravita em torno das coisas em si, como também, com a novidade da astronomia de Copérnico, não se trata mais de que todo o corpo de astros gira em torno de nós espectadores (geocentrismo). As coisas, como fenômenos, se orientando em função de nosso modo de relacionamento com elas são agora os objetos que se conformam e que se moldam, segundo a forma da nossa subjetividade. As ideias de Kant em relação à matemática são citadas por outros filósofos, mesmo esses, não concordando com ele. Isso prova a necessidade de explicitar sua filosofia matemática. A problemática a ser desenvolvida consiste na seguinte questão: Como são possíveis os conhecimentos matemáticos, segundo Kant? A intenção deste trabalho, aqui apresentado, não é dizer se Kant está correto em suas definições, mas sim explicitar as ideias matemáticas desse filósofo que revolucionou o pensamento. O método utilizado foi na pesquisa teórica baseada em referência bibliográfica. Até mesmo pelo tema do trabalho, o leitor pode se perguntar: Qual a relação da matemática com a filosofia? A Filosofia da Matemática (em especial a de Kant) tem como objetivo responder questões relacionadas a problemas sobre a matemática e não de matemática. Como é possível a Matemática Pura? Qual a definição de Números? Que tipo de conhecimento a Matemática está ancorada? Que raciocínios matemáticos podem ser considerados Pensamentos Sintéticos à Priori?
A Matemática apresenta peculiaridades para qualquer epistemologia, dentre as quais se destacam algumas correntes filosóficas.
1. CORRENTES FILOSÓFICAS Em princípio, a matemática surgiu na cultura como sendo uma técnica de fazer cálculos aritméticos e geométricos. Historicamente, os Egípcios destacaram-se com uma matemática mais desenvolvida, mas a história mostra que os Babilônios foram melhores. Certamente, os Babilônios tinham conhecimento sobre o Teorema de Pitágoras, mas tinha uma pendência: necessitava de uma demonstração mais detalhada. O que marca o início da Matemática Grega pode ser remetido aos tempos de Tales de Mileto, a quem foi admitido à primeira demonstração. Tales, também, é considerado como o primeiro filósofo. Os gregos viam, na matemática, o acesso à própria estrutura íntima dos cosmos. Pitágoras e Platão são considerados como os grandes matemáticos gregos.
1.1 Pitágoras Pitágoras nasceu em Samos vivendo por volta do final do século VI a.C. Pitágoras, juntamente com seus discípulos, criou uma espécie de seita mística, na qual predominava o racionalismo grego e alguns elementos que consideravam mágicos e que foram utilizados pelos povos do leste e do sul da Grécia. Para Pitágoras a Arché era os números. Pouco sabe-se da vida de Pitágoras. Uma das descobertas dos pitagóricos consistia nos intervalos musicais que correspondiam às razões numéricas simples (a oitava a
, mas o ápice dos pitagóricos foi à descoberta das
grandezas incomensuráveis. O pináculo da Matemática Grega deu-se com Platão e Aristóteles.
1.2 Platão A filosofia matemática de Platão é marcada pela seguinte definição: Os objetos matemáticos, como os números e as figuras geométricas, existem independentes de qualquer sujeito e objeto e para conhecer esses objetos, apenas será possível, por meio do intelecto (entendimento). Para Platão, o Entendimento era ascender ao reino dos objetos matemáticos. Os objetos são ideias que existem fora do tempo e do espaço. A geometria é considerada por Platão como a atividade essencial para filosofia. A quem diga que no pórtico que ficava na entrada de sua Academia tinha os seguintes dizeres: “Não adentrasse quem não conhecesse geometria”.
Segundo Platão, o conhecimento matemático é puramente intelectual e não requeria a participação dos sentidos. A matemática, segundo Platão, aplica-se ao mundo real, porque esse mundo participa das formas ideais.
1.3 Aristóteles Já para Aristóteles, a matemática seguia um outro caminho, mesmo ele sendo o maior discípulo de Platão. Para Aristóteles, os objetos matemáticos de caráter quantitativo e geométrico do mundo real existem independentes de um sujeito, mas não de objetos reais. Alguns objetos existem apenas como possibilidades, ou ficções, se pudessem ser construídos. Por exemplo, o miríagono (polígono de dez mil lados), para Aristóteles, ele existe, pois pode ser construído por figuras como círculos e segmentos de retas, ou seja, algo que existe. Para Aristóteles, existe uma matemática de cenários possíveis, pronta para uma realidade que poderia existir.
Como Platão, Aristóteles acreditava que o conhecimento matemático era intelectual, mas a discrepância entre ele e Platão era que Aristóteles acreditava que precisava de uma certa medida dos sentidos. Para eles, sem os sentidos, não teria como ter acesso aos objetos matemáticos. Aristóteles defendia a matemática como sendo uma ciência racional com abstração do mundo empírico. O que percebe-se ao longo da História ou até mesmo da Filosofia da Matemática era a incessante discussão entre o conhecimento matemático: se ele era racional ou empírico. A partir do século XVII essa dicotomia fica mais explícita. Grandes mudanças ocorreram no século XVII. Surgia a Filosofia Moderna de Descartes. Há a criação do cálculo infinitesimal por Leibniz e Newton.
1.4 Leibniz Para Leibniz, existem dois tipos de verdades: as verdades de fato, as quais se podem negar a infração da lógica e as verdades da razão, cujas negações são contradições lógicas. A matemática enquadra-se nas verdades da razão, segundo Leibniz. Não obstante, as verdades da razão são necessariamente verdadeiras e se fossem falsas não poderiam conhecer com as ferramentas da Lógica. Portanto, as verdades matemáticas eram, segundo Leibniz, necessárias e a priori. As verdades matemática encontram-se dormentes na mente humana e para conhecê-las, segundo Leibniz, é migrada por vontade divina já, que Deus a conhece com toda distinção. Para Leibniz, as noções matemáticas de números e as de figuras são simultaneamente sensíveis e inteligíveis, por serem universalmente aplicadas, só podem ser racionais, mesmo que, para compreendê-las, precise de auxilio dos sentidos.
1.5
Logicismo
1.5.1 Frege Gottlob Frege (1848 – 1925) era filósofo e matemático alemão, que tinha como intenção reduzir a Aritmética à Lógica. Frege criou uma lógica moderna diferente daquela criada por Aristóteles. Para Frege, os conhecimentos aritméticos eram analíticos, ou seja, eram pura lógica. Já na Geometria, Frege concordava com Kant, para ele os conhecimentos da Geometria eram sintéticos a priori.
1.5.2 Russel Bertrand Russell (1872 – 1970) foi filósofo e matemático britânico e para ele, o problema não estava tão ancorado no sistema lógico de Frege. Segundo Russell, a origem do problema pertence a uma classe que foi definida como à totalidade de conjuntos SILVA (2007, p.134) “é o conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si próprios”. O sistema de Russell envolve apenas expressões do t ipo “ y satisfaz O”
Onde y representa um objeto indeterminado e O uma constante determinada.
1.6 Construtivismo A ideia central do construtivismo era que todo e qualquer conhecimento deveria partir da intuição.
1.7 Intuicionismo O fundamento da Filosofia Intuicionista era de que as entidades abstratas existiam somente quando eram construídas pela mente humana, ou seja, o que não iniciasse da intuição não era matemática. Um dos principais representantes foi Luitzen E. J. Brower.
1.8 Predicatismo de Poincaré Henri Poincaré, considerado como o maior matemático nos fins do século XIX, concordava com Kant, com relação a Aritmética em sua filosofia matemática. Na Geometria, para SILVA (2007, p.169) : “Uma Geometria nada mais era que o estudo das invariantes de um grupo de transformação”. “Um grupo de transformações é um conjunto de funções definidas num domínio de objetos que podem ser compostas e que obedecem a certas propriedades”. “Os invariantes de um grupo são as propriedades dos objetos sobre os quais essas transformações agem que não se perdem por ação delas ”.
1.9 Formalismo O principal objetivo do formalismo é provar que as ideias matemáticas não apresentam contradições. O pensamento central é que as entidades matemáticas não existem nem como objeto real nem como objeto mental. O principal ícone da filosofia formalista foi David Hilbert. A intenção de Hilbert era estabelecer uma linguagem formal, com demonstrações livrando a matemática da contradição. Para completar SILVA (2007, p. 204) “Todo problema matemático bem posto Admitiria uma solução”.
1.10 Teorema de Gödel Em 1931, um jovem austríaco, de 25 anos, põe em questão o formalismo de Hilbert. Esse jovem chamava-se Kurt Gödel. Gödel apresentava nesse mesmo ano seu artigo intitulado de “Sobre proposições formalmente indecidíveis do Principia Mathematica e sistemas relacionados I”.
Segundo SILVA (2007, p. 204 e 205):
Gödel desferia dois golpes quase fatais no programa formalista de Hilbert. O primeiro: ele demonstrava que a aritmética formal, e por extensão a maior parte das teorias matemáticas interessantes, era incompleta (e, pior, incompletável). Ainda em SILVA (2007, p. 205): “Gödel constrói uma asserção A que “diz” que ela própria não é demonstrável”. Se essa asserção fosse falsa, seria demonstrável; logo,
verdadeira (pois tudo que se pode demonstrar é verdadeiro). “Logo, como se supõe que a teoria é consistente, ela é verdadeira, sendo, portanto, indemonstrável” .
Ou seja, há uma asserção aritmética (a
“tradução” de A na aritmética via o processo inventado por Gödel em
que asserções meta-teóricas são traduzidas mecanicamente em asserções aritmética) verdadeira, mas não demonstrável na aritmética formal. Afinal, essas foram as principais correntes da Filosofia da Matemática, a intenção foi expor alguns pensamentos em relação à Filosofia da Matemática. Sendo assim será explicitado o objetivo do trabalho que é a Filosofia Matemática de Immanuel Kant.
2. BIOGRAFIA Immanuel Kant nasceu em Könisberg, uma cidade da antiga Prússia, que hoje se situa na Polônia, em 22 de abril de 1724. Filho de pais pobres, tem sua formação escolar e universitária financiada por um teólogo amigo da família. Em 1740, matricula-se na Universidade de Könisberg, no curso de teologia, mas logo seu interesse se concentra na Matemática e nas Ciências Naturais, em especial a Física Newtoniana. Torna-se livre docente nessa mesma universidade em 1755 e passa a se dedicar ao estudo da filosofia racionalista de Leibniz (1646 – 1716) e Wolff (1679 – 1754). A partir de 1770, ano em que se faz professor catedrático, ministra cursos nas mais diversas áreas de interesse acadêmico. Preparava uma de suas mais importantes obras, a Crítica da Razão Pura, que aparece só em 1781.
Em 1788, é publicada a segunda Crítica, a Crítica da Razão Prática, e, em 1790, a terceira, Crítica da Faculdade do Juízo. Na década de 1790, Kant publica importantes obras sobre religião, direito, antropologia e filosofia da história. Em 1796, o filósofo encerra sua atividade na Universidade de Könisberg e falece em 12 de fevereiro de 1804. A Filosofia Moderna é marcada pelo conflito entre duas correntes filosóficas: o Racionalismo e o Empirismo. Tanto os racionalistas como os empiristas concordavam que as proposições da matemática são analíticas. Kant pode ser considerado o sintetizador desses dois pensamentos. Da mesma maneira que Copérnico revolucionou a Astronomia, Kant a Filosofia.
3. EPISTEMOLOGIA KANTIANA 3.1 Distinção entre conhecimento puro e empírico Antes de começar a falar da filosofia matemática de Kant é mister distinguir os tipos de conhecimento. Todo conhecimento começa com a experiência, pois do contrário, de que forma a faculdade do conhecimento deveria ser despertada para o exercício senão por meio de objetos que tocam nossos sentidos. Embora, todo conhecimento comece com a experiência, nem por isso todo conhecimento origina-se da experiência. Na Crítica da Razão Pura, Kant distingue dois tipos de conhecimento: o empírico ou a posteriori; e o puro ou a priori. O conhecimento empírico ou a posteriori reduz aos dados fornecidos pela experiência, já o conhecimento puro ou a priori não depende de nenhuma experiência sensível. É importante salientar a definição de conhecimento para Kant.
Segundo Kant, o conhecimento (cognitio) define-se como percepção objetiva ou representação objetiva sem consciência. Por consciência, entende-se a representação que forma a condição universal de todo conhecimento geral. Existem conhecimentos que derivam de fontes de experiência, costuma-se dizer que somos participantes dele a priori, porque o derivamos não imediatamente da experiência. Por exemplo, se alguém tirar as colunas de um prédio, ele pode saber a priori que o prédio pode vir a desmoronar-se, mesmo sem a experiência de seu desmoronamento, mas não podia sabê-lo inteiramente a priori, pois o fato dos corpos serem pesados e caem quando suas colunas são retiradas, tinha antes que ser conhecidos pela experiência. Para um conhecimento ser a priori, ele não pode ser independente da experiência, ele deve ser “absolutamente” independente da experiência.
A experiência nos ensina que algo é constituído deste ou daquele modo, mas não que possa ser diferente. Se uma proposição é pensada concomitante a sua necessidade, então ela é um juízo a priori. Juízo fornece a matriz de toda filosofia de Kant. A definição de juízo pode se enquadrar como a faculdade de julgar, mas para Kant existem três tipos de Juízo: Os Juízos Teóricos contém “um é ou um não é” e são
encontrados na Crítica da
Razão Pura; Os Juízos Práticos conté m um “deve”, a necessidade de por que a razão, algo acontece para este ou aquele fim, encontrado na Crítica da Razão Prática; Juízos Estéticos do Gosto contém uma referência aos sentimentos do prazer ou desprazer, encontrados na Crítica da Faculdade do Juízo. No âmago da Crítica da Razão Pura está a afirmação de que “todos os juízos são funções da unidade de nossas representações”.
A experiência jamais dá aos seus juízos, universalidade verdadeira ou rigorosa, mas somente suposta e compativa (indução).
Se um juízo é pensado com universalidade rigorosa, isto é, de modo a não ser permitida nenhuma exceção como possível, então não é derivado da experiência.
3.2 Distinção entre Juízos Analíticos e Sintéticos Os Juízos Analíticos são aqueles quando a conexão do predicado com o sujeito, for pensada por identidade, ou seja, aqueles que nada acrescentam ao sujeito. Exemplo: “O triângulo é um polígono de três lados”. Esse Juízo também pode ser chamado de Juízo de Elucidação. Os Juízos Analíticos são a priori, independem da experiência, serve apenas para tornar mais claro aquilo que se conhece, é universal e necessário, pois mesmo assim são poucos úteis a ciência por não conduzirem a novos conhecimentos. Os Juízos Sintéticos são aqueles quando a conexão do predicado com o sujeito, não for pensada com identidade, ou seja, são aqueles que acrescentam algo ao sujeito. Exemplo: “Todos os corpos são pesados”. Esse Juízo pode ser chamado de Juízo de Ampliação. Os Juízos Sintéticos são classificados em dois tipos: Juízos Sintéticos a posteriori e Juízos Sintéticos a priori.
Juízos Sintéticos a posteriori é quando o predicado não está contido na ideia do sujeito, mas é atribuído por meio da experiência e por serem particulares e incertos não têm valor nenhum à ciência. Juízos Sintéticos a priori, são sintéticos quando acrescentam algo ao sujeito e a priori por serem universais e necessários. Segundo Kant, esse tipo de Juízo é encontrado na Matemática e na Física. Como são possíveis esses juízos na matemática?
4. ESTÉTICA TRANSCENDENTAL Pode até parecer confuso falar de conhecimento referindo-se a Estética, mas o sentido de Estética para Kant, nesse contexto, está relacionado à Sensibilidade que vem do grego aísthèsis e já a palavra Transcendental vem do vocabulário medieval
que significa, aquilo que torna possível alguma coisa, a condição necessária de possibilidade de existência e do sentido de alguma coisa. Portanto, segundo Kant, a Estética Transcendental é uma ciência de todos os princípios da sensibilidade a priori. A definição de sensibilidade para Kant é a faculdade das intuições, e por intuição entende-se a visão direta e imediata de um objeto, não obstante, é a capacidade que o espírito possui de ser afetado por objetos. É importante salientar, que o sentido da palavra espírito na filosofia é definido pelo conjunto total das faculdades intelectuais. Segundo Kant, Sejam quais forem a maneira e os meios pelos quais um conhecimento possa relacionar-se com objetos, o modo pelo qual o conhecimento se relaciona imediatamente a ele, e ao qual todo pensamento visa a um meio (para atingi-lo), é intuição. O primeiro passo para o conhecimento é a sensação, que é a produção de um objeto na sensibilidade. Nesse caso, a intuição que se relaciona com objeto é chamada por Kant de intuição empírica e o objeto dessa intuição fenômeno. Por exemplo, ao se deparar com um triângulo, a visão imediata chamará intuição empírica e o triângulo fenômeno. Não obstante, a sensação do fenômeno é chamada de matéria. A ordenação múltipla do fenômeno, Kant denomina forma. Usando como exemplo o triângulo, seus lados, vértices e ângulos são o conteúdo da sensação, ou seja, a matéria, e a maneira que esses elementos se ordenam é a forma. Se a matéria é dada pela sensação, a posteriori, logo a forma é dada a priori. Mas não é só no entendimento que se encontram as formas, elas podem ser encontradas na Sensibilidade. Segundo Kant, quando na representação de um corpo, se abstraí do que ele pensa o entendimento, como substância, a força, a divisibilidade, bem como daquilo que pertence à sensação, como a impenetrabilidade, a dureza, a cor, resta-se ainda alguma coisa dessa intuição empírica, a saber, a extensão e a figura.
Nessa citação de Kant, ele diz que mesmo abstraindo a matéria e a forma, ainda resta a extensão e a figura que são denominadas intuições puras, por não pertencerem as formas do entendimento, nem da sensação. O que restam são princípios do conhecimento a priori, espaço e tempo. Kant define espaço sendo a forma do sentido exterior, ou seja, a representação do objeto fora de nós. Já em relação ao tempo, Kant define como forma do sentido interior, ou seja, de perceber estados internos. Tudo aquilo que se situa fora de nós, situa-se no Espaço e todas as determinações de nós mesmos situa-se no Tempo.
4.1 Espaço Segundo Newton, são seres reais ou realidades absolutas. Já para Leibniz, são relativos, sendo o espaço a ordem das coexistências e o tempo a ordem das sucessões. Kant afirma que o espaço não pode ser um conceito formado a partir da experiência exterior, visto como, ao contrário, toda experiência exterior supõe o espaço. Segundo PASCAL (2005, p. 52 - 53): O espaço não é um conceito empírico derivado de experiências exteriores. Com efeito, parta que certas sensações possam ser referidas a alguma coisa fora de mim (isto é, a uma coisa situada em outro lugar do espaço, diferente daquele que me encontro) e, da mesma forma, para que eu possa representar-me as coisas como fora e ao lado umas das outras e, por conseguinte, como sendo diferentes, mas situadas em lugares diferentes, é preciso que a representação do espaço esteja posta como fundamento. O espaço é a priori, porque a sua representação é a própria condição da possibilidade dos fenômenos. Pode se ter um espaço sem nenhum objeto, mas não se pode perceber objeto fora do espaço. O espaço não é conceitual, pois um conceito é constituído de elementos mais simples do que ele, e uma parte do espaço não são mais simples que o espaço visto como um todo.
O espaço só pode ser uma intuição.
4.2 Tempo Assim como o espaço, o tempo é uma intuição pura. Segundo PASCAL (2005, p.57) “é a condição de todo vir-a-ser; a mecânica e a física repousam nessa intuição a priori, assim como a Geometria repousa na intuição do a priori espaço” .
O tempo não pode originar-se da experiência, pois se percebe as relações temporais de simultaneidade ou de sucessão por termos. Para PASCAL (2005, p. 58) “ O tempo é a condição formal a priori de
todos os
fenômenos em geral. ”. Pelo que foi apresentado até então, a Estética Transcendental responde a pergunta Como é possível a Matemática Pura?, ou seja, pela análise das formas a priori da
sensibilidade, do espaço e tempo.
A sensibilidade é apenas uma das duas fontes do conhecimento, a outra é o entendimento. Segundo PASCAL, (2005, p. 62): Intuição e conceitos constituem, pois, os elementos de todo nosso conhecimento; de sorte que nem os conceitos sem uma intuição de algum modo lhe correspondam, nem uma intuição sem conceitos pode fornecer um conhecimento.
5. GEOMETRIA Segundo Kant, a Geometria se baseia na intuição pura do espaço, e é assim que se explica a certeza a priori de seus princípios. Segundo PASCAL (2005, p. 54): A Geometria é uma ciência que determina sinteticamente e, contudo, a priori as propriedades do espaço, para que tal
conhecimento dele se torne possível? Ele deve ser originalmente, uma intuição; pois de um simples conceito é impossível tirar proposições que ultrapassem o conceito, o que, entretanto, ocorre em Geometria (Introdução V).
5.1 Geometria como conhecimento a pri ori Como devem ser encarados os postulados de Euclides e que posição deve assumir empírico ou a priori? Segundo Platão, os conhecimentos geométricos não podiam ser a posteriori, pois nunca se podem ver pontos, o que se vê são manchas, nunca se pode ver linhas o que se vê são linhas com alguma espessura. Em relação às figuras, nunca se vê um círculo ou um triângulo genuíno, por isso o conhecimento geométrico não pode ser empírico, logo é a priori. Obviamente o argumento de Platão não é conclusivo. Na Critica da Razão Pura, Kant dá um novo argumento para a Geometria em relação ao tipo de conhecimento que ela está ancorada. Para Kant, os postulados de ponto, linha e reta, não podem ser a posteriori. Para ele, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos, se fosse empírica não seriam todos os triângulos, mesmo que o observador tivesse contato com inúmeros triângulos, ou seja, não apresentaria universalidade, não obstante, sabe que é necessário que a soma dos ângulos internos de um triângulo seja igual a dois ângulos retos.
5.2 Geometria como conhecimento Sintético Até o século XIX, acreditavam que os postulados de Euclides eram dedutíveis, ou seja, constituíam verdades a priori. Isso tornaria os princípios sintéticos e não analíticos. Qual seria a demonstração de verossimilhança da Geometria como conhecimento sintético? Segundo Kant, as leis são simples verdades verbais como encontradas na Lógica. É óbvio que alguns enunciados são analíticos, exemplo do círculo, que é uma figura,
logo isso decorre da definição do círculo. Um círculo é uma figura plana contida por uma linha, tal que, todas as linhas retas que a ela conduzem, de um ponto existente no interior da figura, são iguais. Assim sendo sintéticos, os postulados da Geometria, como possuir esse conhecimento? Segundo o pensamento de Kant, a absorção das verdades geométricas não está ligada a nada exterior, e sim interior ou em melhores palavras, às formas da Sensibilidade. Para Kant, a Geometria é uma ciência que determina sinteticamente e, contudo, a priori as propriedades do espaço. Segundo PASCAL (2005, p. 54): O que deve ser então a representação do espaço, para que tal conhecimento dele se torne possível? Ele deve ser originariamente, uma intuição; pois de um simples conceito é impossível tirar proposições que ultrapassam o conceito, o que, entretanto, ocorre em geometria, mas essa intuição deve encontrar-se em nós a priori, isto é, anteriormente a toda percepção de um objeto; por conseguinte, deve ser uma intuição pura, e não empírica. Pois as proposições Geométricas são todas apodíticas, isto é, implicam a consciência de sua necessidade. Reforçando os conhecimentos geométricos como sintéticos a priori, segundo SILVA (2007 p.99-100). “Consideremos o teorema angular de Tales, ele nos garante que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a dois retos ”.
Usa-se a intuição para chegar até essa verdade. Traça-se na imaginação, um triângulo qualquer, o que se precisa é apenas do espaço (intuição pura), que é dado pela sensibilidade. Agora, por um dos vértices do triângulo “imaginário”,
traça-se uma reta paralela ao lado oposto a esse vértice,
percebe-se que, os três ângulos formados pelos dois lados do triângulo adjacentes ao vértice, por onde passa a reta, somam dois retos. Segundo SILVA (2007, p. 101) “ Essa construção mostra que o teorema de Tales é válido para qualquer triângulo que se possa conceber” .
Ainda em SILVA (2007, p.101- 102) “Vemos, assim, como as intuições puras do espaço e do tempo e a imaginação pura nos fornecem um substituto dos sentidos e da experiência empírica esse nos fornecem conhecimentos sintético a nos dão um conhecimento sintético
posteriori , aqueles
a priori”.
6. KANT E O MÉTODO ANÁLISE – SÍNTESE Antes de iniciar a trajetória de Kant em relação aos geômetras gregos, é fundamental definir alguns conceitos. Kant combina dois sentidos de análise em sua obra: a primeira tramita lematicamente e parte do pressuposto de que uma proposição é verdadeira e procura-se outra verdade conhecida, da qual essa proposição pode ser reduzida. A segunda decompõe totalidades complexas em seus elementos. Na síntese, aquilo que antes era antecedente, e ligando-se uns aos outros se chega ao final à construção daquilo que é procurado. Há dois tipos de Análise: a Teórica que procura a verdade e a Problemática que serve para executar o que se deseja fazer. No livro Logic, Language Games and Information , de Hintikka, foi a primeira possibilidade dos pensamentos de Kant relacionados com a Geometria Grega. O método analítico consiste num determinado procedimento dos antigos geômetras gregos no sentido de descobrir a prova de teoremas ou construção de figuras geométricas requeridas. Esse método era composto de um duplo movimento Análise e Síntese: Análise: buscavam os antecedentes dos teoremas a serem provados ou as condições que tornassem possíveis a construção de figuras geométricas; Síntese: por meio da análise, apresentava a prova dos teoremas ou construção de figuras geométricas. Antes de se aprofundar no método análise-síntese em Kant, é interessante citar alguns filósofos em relação ao mesmo método.
6.1 Descartes Em Descartes, o método Analítico foi a base para suas considerações metodológicas gerais. Segundo Descartes, a análise mostra o verdadeiro caminho pelo qual uma coisa foi metodicamente descoberta e revela como os efeitos dependem de suas causas. A síntese, ao contrário, mostra claramente o que está contido em suas conclusões e serve-se de uma longa série de definições. Descartes disse que os geômetras só apresentavam a parte sintética em seus inscritos. Os matemáticos tinham ocultado intencionalmente os métodos analíticos, que para Descartes eram vitais. Por sua vez, nos Elementos de Euclides, as demonstrações já começam com certas condições, cujo trâmite heurístico não é exibido. Ainda em Descartes, o racionalista optava pelo método analítico no qual parece ser “o mais próprio ao ensino” e é onde se mostra toda estrutura heurística.
6.2 Newton Já para Newton, em seu livro Opticks, influenciado por Descartes, disse que os métodos analíticos revelam como os efeitos dependem de suas causas, ou seja, uma sequência de passos que vai dos efeitos até suas causas. Ressalta Newton que a análise consiste em fazer experimentos e observações e deles tirar conclusões por indução, não admitindo quaisquer objeções contra tais conclusões. Newton dá ênfase, associando seu método de investigação à análise geométrica grega.
6.3 Kant Como não houve uma teoria geral do método utilizado na filosofia de Kant, os métodos dos antigos geômetras encontram-se espalhados por diversas de suas obras. Podem ser destacados os Prolegômenos e a Critica da Razão Pura.
Nos Prolegômenos, Kant diz que o método analítico, na medida em que é oposto ao sintético, é algo muito diferente do que um agregado de proposições analíticas. Isso quer dizer que, se começa do que está sendo buscado como já se fosse dado, e sobem-se as condições sob as quais é possível. Nos Prolegômenos, Kant usou o método analítico, pois se trata de adotar um procedimento regressivo até as fontes que não se conhece. Já na Crítica da Razão Pura, Kant utilizou o método sintético, pois Kant procede progressivamente “da própria razão” e dos elementos de seu uso puro até a exposição do conhecimento pretendido, o sistema Transcendental. Kant reconheceu junto aos geômetras, que o primeiro movimento do método análise-síntese é um método heurístico, pois mostra o que tem que fazer para trazer à realidade uma ciência, já o segundo movimento, serve para expor a ciência descoberta na análise. Quando Kant cita a palavra “construção” existem vár ios
sentidos dentre os quais
todos inspirados naqueles da Matemática. Para Kant, quando se quer construir um triângulo, restringe-se a sua instanciação na intuição pura, tem um trâmite intrinsecamente matemático. Os gregos antigos, para provar um teorema (proposição), eram instanciados por intermédio da exibição de uma figura e essas instanciações são empregadas na descoberta e na prova de incógnitas objetivas. Kant exemplifica da seguinte maneira: Suponha-se que, um geômetra se depare com o problema de descobrir como a soma dos ângulos internos de um triângulo se relaciona com um ângulo reto. O método de análise-síntese o instrui a supor o problema como resolvido e começar a construir um triângulo. Em seguida, já na análise estrita ou transformação, o geômetra amplifica o triângulo construído prolongando um de seus lados a fim de obter dois ângulos adjacentes que somam o mesmo que dois retos e dividindo o ângulo externo com uma linha paralela ao lado oposto do triângulo.
Na resolução, ele demonstra a legitimidade das construções auxiliares recémdescobertas, recorrendo entre outras coisas, à proposição que afirma que, a soma de dois ângulos retos perfaz exatamente tanto quanto a soma de todos os ângulos adjacentes traçáveis, a partir de um ponto pertencente a uma linha reta. Finalmente, na síntese, o geômetra constrói efetivamente o triângulo suposto e, mediante uma cadeia de inferências, chega à solução totalmente elucidativa e concomitante universal do problema.
7. ARITMÉTICA A filosofia de Kant em relação à Aritmética gira em torno da proposição , na qual Kant insiste que é uma verdade sintética a priori. Kant afirma que as proposições aritméticas, denominadas por ele de fórmulas de igualdade numéricas, são indemonstráveis. Os axiomas são proposições que devem ser universais, porém sintéticas. As noções comuns de Euclides ou as idênticas de Leibniz são consideradas por Kant de fórmulas numéricas. Voltando à proposição
, essa proposição não pode ser analítica, pois
não se pensa no número 12 sendo uma representação de sete mais cinco. O conceito de sete é representado intuitivamente por uma sequência temporal de sete instantes, do mesmo modo representa-se o número cinco, que adicionado a primeira “parcela” resulta doze.
Kant sugeriu o auxilio dos dedos das mãos. Para Kant, a regra para obtenção de exemplos de conceitos numéricos na intuição temporal consiste na representação de sequências temporais de unidades homogêneas indiferenciadas.
7.1 Número Segundo ABBAGNANO (1998, p. 733): Kant só fazia expressar o mesmo conceito geral ao afirmar que o número é um esquema mais precisamente que ele é “a representação que compreende a sucessiva adição de um a um”. A novidade do
conceito kantiano é que o número é uma operação empírica, efetuada em material sensível, mas uma operação puramente intelectual, que atua sobre a multiplicidade dada pela intuição pura (do tempo), que então é empírico; mas o número continua sendo uma operação do sujeito. O número é o esquema correspondente às categorias das quantidades: unidade, pluralidade e totalidade. Ainda em Kant, o esquema é a representação de um procedimento universal da capacidade da imaginação, tendo como incumbência proporcionar a um conceito sua imagem. Por exemplo: colocam-se cinco pontos um após o outro, isto é uma imagem do número cinco. Se pensar só num número, por exemplo, 666, o pensamento será só um método de representar uma quantidade. Enumerar segundo Kant, é uma síntese segundo conceitos, pois ocorre segundo um fundamento comum da unidade. Kant afirma que somente objetos de uma possível intuição sensível podem estar sujeito a uma avaliação numérica ou quantitativa, ou seja, a Matemática só pode ser aplicada a objetos sensíveis.
8. ÁLGEBRA Na época de Kant, a Álgebra era vista como uma ciência matemática que consistia num conjunto de técnicas para resolução de equações denominadas algébricas. Assim como a Geometria e a Aritmética, proposições algébricas eram consideradas por Kant como sintéticas a priori, pelo fato de incógnitas e variáveis representar números.
Os Números Irracionais não podem ser representados pela intuição pura temporal, mas segundo Kant, por exemplo:
pode ser representado pela diagonal de um
quadrado de lado de medida 1. Os números imaginários, segundo Kant, são denominados conceitos vazios, pois não podem ser representas nem pela intuição pura espacial nem temporal, e ainda acrescenta, deveria ser banido da matemática. Em relação à Geometria não euclidiana, Kant dizia ter uma estrutura intrinsecamente euclidiana.
Conclusão A intenção do trabalho foi explicitar, parcialmente, as ideias de Kant, em relação à Matemática, mostrando à possibilidade dos conhecimentos matemáticos, a definição de número, a distinção entre conhecimento analítico e sintético e por fim, as correntes filosóficas que influenciaram Kant e foram influenciadas por ele. É interessante salientar que, muitos pensadores concordavam com Kant e outros discordavam, mas em suas teses citaram esse filósofo. O objetivo não foi julgar se Kant estava certo ou não, mas sim, mostrar que esse “Copérnico da Filosofia” influenciou e ainda influencia muitos pensadores.
E usando a última palavra que Kant disse antes de morrer, se encerra esse trabalho: Basta!
Referências Bibliográficas ABBAGNANO, Nicola. Dicionário de Filosofia: Ed. Martins Fontes. São Paulo. 1998 BOYER, Carl. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide – 2ª Ed, São Paulo: Ed. Edgar Blünger, 1996. CAYGILL, Howard. Dicionário Kant. Trad. Álvaro Cabral – Rio de Janeiro: Ed. Jorge Zahar. 2000. CHAUI, Marilena. Convite à Filosofia – São Paulo: Ed. Ática, 2002. DOURADO, Pedro Antônio de Rezende. A crise nos fundamentos da Matemática e a Teoria da Computação, UNB, 1999. ENGELMANN, Jaqueline. Uma Recepção da Teoria Kantiana dos Conceitos, 2004. FENGLER, Dayane. Conhecimento Simbólico na Filosofia Kantiana da Aritmética, Dissertação de Mestrado, UFSM. 2005. FERRATER, José Mora. Dicionário de Filosofia: Ed. Dom Quixote Lisboa. 1978. FRANGIOTTI, Marco Antônio. Kant e a Análise da Geometria Grega. UNICAMP, 1988. GILLES, Deleuze. A Filosofia Crítica de Kant, 1963: Ed Edições 70. GIUSTI, Ernesto Maria. Signo e Sentido interno na Filosofia da Matemática précrítica. Universidade São Judas Tadeu. GODOY, Evandro. Uma aproximação das concepções de Lógica de Kant e Frege 2002, UFSM. JOSÉ, Jairo da Silva. Filosofias da Matemática, São Paulo: Ed. UNESP, 2007. KANT, Immanuel. Crítica da Razão Pura. Trad. Valério Rohden e Udo Baldur Moosburger – 2 ed. – são Paulo: Abril Cultural, 1983.
