ALUMNO: DAVID ANTONIO DE LA CRUZ BONIFACIO (Correo:
[email protected]) FACULTAD: ING. AMBIENTAL Y RR.NN. PROFESOR: DR. HUGO CHIRINOS CICLO: 2017-V
PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA- TRABAJO 1. 100 g de oxígeno están contenidos en un sistema cilindro-pistón a 150 kPa y 20°C. Se le añaden lentamente pesas al pistón de manera que el gas se comprima isotérmicamente hasta 600 kPa. Calcule el trabajo hecho durante el proceso. Datos: W O2 = 100g; T=293,15k; P0 =150kPa Como el proceso es Isotérmico se cumple: PV= Cte. 150V1 = 600V2 V1 4 = V2 1 Solución: dwgas = dP ∆ v
∫ dw=∫ dpΔv Wgas =
∫
Wgas = RTn
RTn v
∫
dv
dv v
4 Wgas = RTn Ln( 1
)
Wgas = -8,31x293,15x3,125x1,3863 W = -10,553KJ; el signo negativo indica que el gas se comprime. gas
4. Un sistema como el de la figura se llena inicialmente vapor saturado de R-134a a 25°C. Inicialmente el primer resorte apenas toca el émbolo. Cuando el sistema aumenta su volumen un 5% toca el segundo resorte, siendo la presión de 0,7 MPa. Al llegar a una presión de 1 MPa, el volumen es 10% mayor que el inicial. a) ¿Cuál es la temperatura en este punto? b) Halle el trabajo total hecho por el sistema.
Datos: T 0 =25 ° C
1.Vo=100 , 2. volumen aumenta 5 3. P 2=1 MPa
V 1=105 V 2=110
P1=0,7 MPa Solución: Po. Vo=P1. V 1
P1 x 100=0,7 MPax 105 T3 = ¿? Po . Vo P 2. V 2 = ¿ T3
P1=0,735 MPa 0,735 MPa .100 1 MPa .110 = 298 K T3
T 3=445,99 K
1
W 12=∫ P . dV =P ( V 2−V 1 )
W 12=0,7 x 106 Pa ( 105−100 )
W 12=35 x 105 Pa. m3
2
3
W 32=∫ P . dV =P ( V 3−V 2 )
W 32=106 Pa ( 110−105 )
W 32=50 x 105 Pa. m3
2
W T =W 12 +W 32=85 x 10 5 Pa .m3
5. Un cilindro que tiene un volumen inicial de 2 m 3 contiene 0,1 kg de agua a 40°C. El sistema se comprime lenta e isotérmicamente hasta alcanzar una calidad del 50%. Calcule el trabajo requerido para llevar a cabo el proceso. Datos: 3 V o=2m
3
m=0,1 Kg=100 gH 20 → V 2=1 m
T =40 ° C≠313 K Solución: 2
W =∫ P . dV 1
W =−10016 J
2
W =nRT ∫ 1
dV V
W =−10 KJ
W =nRT . ln
( VV 21 )
W=
J 1 mol ) 8,31 x 313 K . ln ( ) ( 100 18 mol . K 2
6. Suponga que para un gas se puede aplicar la ecuación de estado virial truncada en el segundo coeficiente: Z = 1+ B.P, donde B es una constante y Z y P son el factor de compresibilidad y la presión respectivamente. Calcule el trabajo por mol efectuado sobre el gas al ser comprimido isotérmicamente a 30°C desde 100 kPa hasta 450 kPa. Compare el resultado obtenido si el gas obedeciera la ley de gases ideales. Datos: Z=1+BP n=1mol T1=T2=303K P1=100KPa P2=450KPa Solución: Para gas ideal:
P1. V 1=P 2.V 2
W =nRT . ln
100 KPa .V 1=450 KPa .V 2
( VV 21 )
W =1molx 8,31 W =−3787,16 J
P . V´ P . V´ Z= = PV ideal RT W = (1+ BP ) x 8,31
2
2
W =∫ P . dV
W =∫
1
1
J V2 x 303 KxLn mol . K 4,5V 2
(
)
V 1=4,5 V 2
J V2 x 303 K . ln mol . K 4,5V 2
(
)
W =−3.8 KJ
ZRT . dV V
W =ZRT . ln
( VV 21 )
W =−3.8 KJ (1+ B . P)
7. Aire, inicialmente a 75 kPa y 1000 K ocupa un volumen de 0,12 m 3. El sistema se comprime isotérmicamente hasta reducir su volumen a la mitad. Luego sufre un proceso a presión constante hasta disminuir de nuevo el volumen a la mitad. Suponiendo un comportamiento de gas ideal a) muestre el proceso en un diagrama P-v y b) determine el trabajo total. Datos: Pi= 75kPa Pf=¿? Ti= 1000k Tf= ¿? V1= 0.12m3 V2= 0.06m Dónde: Pi: Presión inicial, Pf: Presión final, Vi: Volumen inicial, Vf: Volumen final, Ti: Temperatura inicial, Tf: Temperatura final Solución:
Proceso Isotérmico
Según condiciones del problema el sistema es un proceso isotérmico P .V =R . T . n=Cte C
P .V =C
Calculo del trabajo realizado C W =∫ P . dV =∫ . dV V v2
W =C∫ v1
dV v
W =R . T . n . ln
v2 v1
( )
W =75 kPa x 12m3 x ln
( 0.12 0.60 )
W =6.23 KJ Proceso Isobárico
Según condiciones del problema el sistema es un proceso isobárico P=Cte C Calculo del trabajo realizado W =∫ P . dV v2
W =P .∫ dV v1
W =P .(V 2 −V 1) W =P . ( 0.6−0.3 ) … … … … … … … … ..(a)
Para terminar de calcular el trabajo nos falta calcular la presión final, pues es ese punto donde el proceso se vuelve isobárico. Calculo de la presión final: P1 . V 1=P2 .V 2 3
75 kPa.0 .12 m =P2 .0 .60 m
3
P2=15 kPa … … … … … … … … … .(b)
Reemplazamos (b) en (a) :
W =P . ( 0.6−0.3 ) W =15 kPa. ( 0.6−0.3 ) m 3 W =4.5 Kj
El problema nos pide que calculemos el trabajo total realizado ( proceso isotérmico + proceso isobárico)
Wisotérmico+Wisobárico=W total
W total=6.23 KJ +4.5 KJ W total=10.73 KJ Diagrama P – v
Diagrama P - v 80 60 40 20 0 Presión
Volumen
8. Considere un sistema cilindro-pistón acoplado a un resorte de comportamiento ideal. En el estado inicial el resorte toca el pistón mas no ejerce fuerza sobre él. La presión interna es de 100 kPa y el volumen de 0,1 m3. El cilindro se calienta, haciendo que el sistema expanda hasta el doble de su volumen inicial, punto en el cual la presión alcanza los 300 kPa. Durante el proceso la fuerza ejercida por el resorte es proporcional al desplazamiento del pistón. Muestre el proceso en un diagrama P-v. Considerando el gas dentro del cilindro, calcule el trabajo hecho por el sistema. ¿Qué porcentaje de este trabajo fue realizado contra el resorte?
Datos: P1=100 KPa P2=300 KPa Solución: F RESORTE ∝ X
3
V 1=0,1 m V 2=0,2 m
3
PSISTEMA =Patm + P res dX =
dV Aemb
dFres=C . dX
dPres . Aemb=
Pres=C . V +C 1
C . dV Aemb
Fres=Pres . Aemb
dPres=
C . dV 2 Aemb
dRes=dPres . Aemb
Pres=
V = Aemb . X
C.V +C 1 2 Aemb
Donde: Psist =Patm+C .V +C 1, Patm+ C 1=C 2
Psist=C . V +C 2 a)
Diagrama:
Atotal= A 1+ A 2 A 2=( 0,2−0,1 )
A 1=( 0,2−0,1 ) x 100 Kpa=10 Kpa . m3
( 300−100 ) KPa =10 KPa .m3 2
W 12= A 1+ A 2
W 12=20 KPa. m 3
9. Un globo se ha construido de un material tal que su presión interna es proporcional al cuadrado de su diámetro. Inicialmente este globo contiene 2 kg de amoníaco a 0°C y 60% de calidad. El globo se calienta hasta llegar a una presión interna de 600 kPa. Considerando al amoníaco como el sistema, ¿Cuánto trabajo realizó el sistema? Datos Pi WNH3 = 2Kg; T= 273,15K ; Calidad = 0.6; Presión = 600kPa D2 = Cte. A
esta temperatura para el amoniaco hay cierta relación de la calidad con
de volumen
específico, volumen del fluido y volumen del fluido gas: V e =Vf + calidadxVfg, también Ve= Unidades: Ve: volumen específico Vf: volumen del fluido Vfg: volumen del fluido del gas Para el problema a esta temperatura Vg = 0.2895; Vfg= 0.2879; Vf = 0,001566 Solución: Reemplazando en la fórmula
V e =V f + calidad x V fg Ve = 0.001566 + 0.6x0.2879 v Ve= 0.174306 = m V= 2x 0.174306
v m
V= 0.348612m 3; además como el cuerpo es una esfera se
4π D cumple V= 3 2
3
( )
Obteniendo D = 0.8732 siendo D el diámetro en un inicio Pi Luego según la proporción D2 = Cte.
429.44 KPa 0.87322
=
600 KPa Df 2
Df =1.03214, donde Df es el diámetro final. Finalmente hallando el trabajo del gas: Pinicial π D4 dD Pdv W= ∫ = Dinicial 2 ∫ 2 Df
Pinicial π 4 W= Dinicial 2 2 ∫ D dD Dinicial
W=
429.44 KPa x π 0.87322 x 2
x 0.132742
W= 117.44KpPa m3 10. Vapor de amoníaco inicialmente a 30 °C se comprime dentro de un cilindro. Experimentalmente se han medido las siguientes condiciones dentro del cilindro: P (KPa) V (L)
500 1.25
653 1.08
802 0.96
945 0.84
1100 0.72
1248 0.60
1400 0.50
Determine el trabajo requerido para efectuar el proceso y la temperatura final del vapor. Solución: La compresión del cilindro se ejecutara a partir de una fuerza externa que actúa sobre el pistón lo cual es proporcional a la altura del cilindro; por lo que la presión varía linealmente con el volumen.
Aplicaremos el método de mínimos cuadrados:
P=a+ b .V Donde:
V
∑¿
¿ ¿ n .∑ V 2 – ¿ n . ∑ P .V −∑ P . ∑ V b= ¿
´ a= P−b . V´ Reemplazamos los datos de la tabla en b:
b=
35,94332 . KPa .m 3−39,5556 . KPa . m 3 6 KPa =−1,208 . 10 −6 6 −6 6 3 38,3915. 10 . m – 35,4025 . 10 . m m
(
a=949,71 KPa− −1,208. 106 .
KPa ( 0,85 .10−3 m3 )=1 976,51 KPa 3 m
)
P=1976,51 KPa−1,208. 106
Por lo tanto:
KPa 3 m .V
V inicial=1,25 . 10−3 . m3−−−−−−P inicial=500 KPa
Cuando:
W =∫ P . dV
Luego:
1976,51 KPa−1,208 . 6 KPa .V )dV (¿ 10 m3 −3
0,5 .10
W=
∫ 1,25 .10
¿ −3
W N H ( en el proceso )=−0,6896 KJ 3
Para el cálculo de la temperatura final nos ayudaremos de la tabla termodinámica: Según la tabla: Entonces: Finalmente:
30°C y 500 KPa
M N H =1,25 . 10−3 /0,2813=4,443610−3 Kg 3
1 400 KPa :
−3
3
3
V final =0,5. 10 m −−−−−v final =0,1125 m / Kg
En consecuencia: al interpolar los datos resulta que: :
T final ( amoniaco )=78,41 ° C
11. Se tiene un sistema cilindro-pistón que contiene argón a 300 kPa y 200°C. Al sistema se le permite una expansión desde un volumen inicial de 0,2m 3 hasta que su temperatura sea de 100°C. La expansión se lleva a cabo según la relación PV 1,2= constante Determine el trabajo hecho por el gas durante este proceso Datos: P0 = 300kPa
T0 = 200°C <> 473°K Tf = 100°C <> 373°K
V0=0.2m3 Vf = 0.656m3
Solución: Relación de expansión del gas: PV1.2 = Cte P1V 11.2 = P2V21.2
P1 P2
=
( VV 21 )
1.2
… (1)
Por ecuación de los gases ideales tenemos:
P 1∗V 1 T1 P1 P2
=
=
P 2∗V 2 T2
T 1∗V 2 T 2∗V 1 …(2)
Tenemos la relación de 1 con 2:
T 1∗V 2 V 2 = T 2∗V 1 V 1
( )
T1 V2 = T2 V1
( )
0.2
473 ° K V2 = 373° K 0.2m 3
(
1.2
)
0.2
V=0.6558m3=0.656m3 Cálculo del trabajo: P*V1.2=Cte W=
∫ PdV V2
W=C
∫ Vdv1.2 V1
1 1 C W= −0.2 ( V 20.2 - V 10.2 ) 1 1 −C 0.2 W= 0.2 ( 0.656 - 0.20.2 )
1 1 −P 1∗V 11.2 0.2 w= ( 0.2 0.656 0.20.2 ) 3 1 1 KPa∗0.2¿ −300 0.2 W= ( 0.656 - 0.20.2 ) 0.2 ¿ w=63.437KJ
15. Considere un sistema cilindro-pistón que contiene 0,1 kg de un gas a 300K y 400 kPa. El gas se expande isotérmicamente. ¿Cuál de los siguientes gases (si es que hay diferencia) producirá más trabajo?: Metano, Nitrógeno, Argón, Hidrógeno u Oxígeno. Datos: To = 300 K
P = 400 KPa
Solución: Proceso Isotérmico ( T = Cte ) P. V = R. T. n = CTE “C” P. V = C V2
w=∫ P . dV V1 V2
V2
C dV w=∫ dV =C . ∫ V1 V V1 V w=C . ln (
v1 ) v2
Calculo del valor de la constante
C=R .T .n
C=0.08206
atm . L 0.1 Kg .300 K . ´ mol . K M
El valor de la constante será diferente para cada componente debido a su masa molecular de las sustancias.
Calculo del trabajo:
w=R .T .
m v1 . ln( ) ´ v2 M
w=R .T .
m v1 . ln( ) ´ v2 M
w=R .T . n. ln (
v1 ) v2
w=
1 v1 R . T . m . ln( ) ´ v2 M
´ =R . T . m. ln( v 1 ) w. M v2 Al desarrollar la fórmula del trabajo se encontró que existe una relación inversamente proporcional entre el trabajo realizado por el gas y su respectiva masa molecular. Es por ello concluimos que un gas realizara mayor trabajo si este tiene una baja masa molecular. (Hidrógeno gaseoso). 16. Se comprime un kilogramo de un gas de peso molecular 35 isotérmicamente (77 °C) desde 50 L hasta 25 L. La relación P-v-T para el gas, en este rango de condiciones, es
Donde b = 2 m2/ kmol2. ¿Cuál será el trabajo realizado? Si la constante b es igual a cero, ¿será el trabajo menor, mayor o igual que el calculado anteriormente? Datos:
´ =35 g /mol m=1 Kg M
T =77 ° C≠350 ° K ( proceso isotérmico ) V inicia l=50 LV final =25 L
Relación P – v – T para el gas b P .V =R . T . 1+ 2 V
(
)
Donde: 2
m KJ R=8,314 2 Kmol . K K . mol
b=2
Solución: Calculo del trabajo (proceso isotérmico)
(
P .V =R . T . 1+
P=R . T .
(
b 2 V
1 b + V V3
)
)
W =∫ P . dV
W =R . T . ∫
( V1 + Vb ) dV 3
[
V2
V2
1
1
dV dV W =R . T ∫ +b .∫ 3 V V V V
[(
W =R . T . ln
]
V2 b 1 1 − . − V 1 2 V 22 V 12
) (
[
W =8,341 x 350 x ln
)]
( 2550 )− 22 . ( 251 − 501 )] 2
2
W =−2020,48 J W =−2,020 KJ
Calculo del trabajo
(
P .V =R . T . 1+
(
P=R . T . 1+
0 3 V
b V2
)
)
W =∫ P . dV V2
W =R . T . ∫ V1
W =R . T . ln
dV V V2 V1
( )
W =8,3414 x 350 x ln
( 2550 )
W =−2016, 98 J =−2.016 KJ
b = 0 (proceso isotérmico)
