Otros Temas de la Estimación Inferencia Estadística Instituto IACC 09 de Enero 2017
1. Una empresa que recibe envíos de pilas alcalinas comprueba una muestra aleatoria de 9 pilas para aceptar el envío. Desea comprobar
que la verdadera duración media de todas las pilas del envío sea, al menos, de 50 horas. Se sabe por experiencia que la distribución poblacional de la duración es normal y tiene una desviación estándar de 3 horas. La duración media de una muestra de 9 pilas de un envío es 48,2 horas. Construya un test de hipótesis con un 10% de significancia, siendo la hipótesis nula que la media poblacional de la duración es al menos 50 horas.
Hipótesis nula:
H 0 : µ ≥50
Hipótesis alternativa:
H 1 : µ<50
Al ser una muestra menor a 30. Se utiliza la distribución t student con grado de libertad
n−1=9−1=8 α =0, 1
Z =1,397 Rechazar
Z=
H0
si:
x−µ <−Z α σ √n
O bien rechazar x< µ−
H0
si:
σ∗Z α √n
48,2<50−
3∗1,397 √9
48.2< 48,603
Interpretación: Al cumplirse la condición, se rechaza H 0 lo que implica que a un nivel de significación del 10% la duración de las pilas sería menor o igual a 50 horas.
2.
Una
empresa
farmacéutica
quiere
que
la
concentración
de
impurezas de sus píldoras no supere el 3%. Se sabe que la concentración de impurezas de un lote sigue una distribución normal que tiene una desviación estándar del 0,4%. Se toma una muestra aleatoria de 64 píldoras de un lote y se observa que la media muestral de la concentración de impurezas es del 3,07%. De acuerdo a la información anterior: a) Construya un test de hipótesis con un 5% de significancia, siendo la hipótesis
nula
que
la
media
poblacional
de
concentración
impurezas es del 3% frente a la alternativa que es de más del 3%. Hipótesis nula:
H 0 : µ ≤ 0,03
Hipótesis alternativa:
H 1 : µ>0,03
Z =1,65 Rechazar
Z=
H0
si:
x−µ > Zα σ √n
O bien rechazar x> µ+
H0
si:
σ∗Z α √n
0,0307>0,03+
0,004∗1,65 √ 64
0,0307>0,0308
de
Interpretación: Al no cumplirse la condición, no se rechaza H 0 lo que implica que a un nivel de significación del 5% la concentración de impurezas en las píldoras sería menor o igual al 3%. b) Halle la probabilidad que una prueba al 5% de significancia sea rechazada la hipótesis nula cuando la verdadera concentración de impurezas sea del 3,1%. Usando los datos anteriores se tiene:
x> µ+
σ∗Z α √n
0,031>0,03+
0,004∗1,65 √ 64
0,031>0,0308 Interpretación: como se cumple la condición, se rechaza H 0 con un nivel de significación del 5%. Existen pruebas que la concentración de las impurezas en las píldoras supere el 3%. 3. Un distribuidor de cerveza sostiene que una nueva presentación, que consiste en una foto de tamaño real de un conocido cantante de rock, aumentará las ventas del producto en los supermercados en una media de 50 cajas en una semana. En una muestra aleatoria de 20 supermercados, las ventas medias aumentaron en 41,3 cajas y la desviación estándar muestral fue de 12,2 cajas. Construya un test de hipótesis al nivel del 5% de significancia en que la hipótesis nula de que la media poblacional del aumento de las ventas es, al menos, 50 cajas. Indique los supuestos necesarios.
Hipótesis nula:
H 0 : µ ≥50
Hipótesis alternativa:
H 1 : µ<50
Al ser una muestra menor a 30. Se utiliza la distribución t student con grado de libertad:
n−1=20−1=19
α =0, 05
Z =1,729 Rechazar
Z=
H0
si:
x−µ <−Z α σ √n
O bien rechazar x< µ−
H0
si:
σ∗Z α √n
41,3<50−
12,2∗1,729 √ 20
41,3< 45,28 Interpretación: como se cumple la condición, se rechaza H 0 con un nivel de significación del 5%. Existen pruebas que la media de cajas vendidas en una semana en el supermercado es menor a 50.