Tarea Larga 1

Tarea Larga 1 Soluciones basadas en los ejemplos del archivo [29. [ 29. Diferencial.pdf , Página 7]. 7].

1.

Si calentamos un trozo circular de lámina de 50 m de diámetro, éste aumenta 2 cm. ¿Cuánto se incrementa aproximadamente su área? DATOS: Diámetro inicial = 50 m. = 25 m  Radio Inicial Diámetro Final = 50.02 m  Radio Final =25.01 m. FORMULA: Área del círculo El dato se toma como valor final de la variable independiente El valor más cercano conocido, se toma como el valor inicial de la variable independiente. Se encuentra

Se modela modela el dato como función de . Se obtiene la diferencial de la la función respecto a . Siempre que

sea pequeño, se reemplazan

por

y

por

El incremento del Área es:

2 .

Comparar el volumen exacto con el volumen aproximado de una cáscara esférica de 250 mm de diámetro exterior y 1 mm de espesor. DATOS: = 124.5 mm.  Radio Interior Diámetro Interior = 249 mm

Diámetro Exterior = 250 mm.  Radio Exterior FORMULA: Volumen de la cascara esférica de radio . Calculando valor aproximado del volumen de la cáscara.

= 125 mm

El dato se toma como valor final de la variable independiente El valor más cercano conocido, se toma como el valor inicial de la variable independiente. Se encuentra

Se modela el dato como función de . Se obtiene la diferencial de la función respecto a . Siempre que sea pequeño, se reemplazan Volumen aproximado de la cáscara: Calculando valor real del volumen de la cáscara. Volumen exterior

por

y

por

Volumen interior

Volumen Real de la cáscara:

Comparación entre volumen aproximado y volumen real: El valor real es El Valor aproximado es

La diferencia por aproximación es:

3 .

Calcular el error absoluto del área de un cuadrado de 2 m de lado, cuando éste se incrementa en 1 mm y comparar el valor aproximado y exacto. DATOS: Lado Incremento FORMULA: Área del cuadrado Calculando el Error Absoluto Calcular

Obtener el diferencial Siempre que

sea pequeño, se reemplaza

por

, y se toma el dato

El error absoluto Calculando el Valor Exacto Calculando el Valor Aproximado El dato se toma como valor final de la variable independiente El valor más cercano conocido, se toma como el valor inicial de la variable independiente. Se encuentra Se modela el dato como función de . Se obtiene la diferencial de la función respecto a . Siempre que


Se despeja el valor de valores para encontrar el valor buscado El Valor Aproximado es

por

y

por y se sustituyen los

Comparando Valor Exacto y Valor Aproximado

4 .

Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumentó 0.04 cm. ¿Cuál es el aumento en su área? ¿Cuál es el aumento en su área aproximadamente? ¿Es aceptable la aproximación? ¿Por qué? DATOS:

Lado Incremento FORMULA: Área del cuadrado Calculando Áreas Área Inicial Área Final

Aumento del Área Calculando aumento de área Aproximado Incremento en la longitud Diferencial Cambiando

por

y aproximamos

con el valor obtenido de

Error Porcentual

La Aproximación Es Aceptable

5 .

Si al enfriarse una placa cuadrada metálica de 20 cm de lado, éste disminuye 0.03%, ¿Cuánto disminuye su área? DATOS: Lado Incremento Disminuye en 0.03% FORMULA: Área del cuadrado Encontrando Disminución Aproximada de Área

El Área disminuye aproximadamente 0.24 cm 2

6 .

Usando diferenciales, estima el valor de DATOS Encontrando Se Elige

al valor más cercano a 59º del cual conocemos el valor del coseno.

Como las funciones seno y coseno trabajan en radianes, no en grados, debo transformar el incremento a radianes.

Encontrar Aproximar Estimar

7 .

Usando diferenciales, estima el valor de DATOS Encontrando Se Elige al valor más cercano a 3.1 del cual conocemos el valor de la exponencial Encontrar Aproximar Estimar

8 .

Usando diferenciales, estima el valor de DATOS Encontrando Se Elige

al valor más cercano a 31 del cual conocemos el valor de la

Encontrar Aproximar

Estimar

9 .

La pared lateral de un depósito cilíndrico de 1 m de diámetro y 1.5 m de altura debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto en kilómetros que se requiere? DATOS: Diámetro inicial = 1 m=0.001 km  Radio Inicial = 0. 5 m Diámetro Final = 1.03 m=0.00103 km Altura FORMULA: Volumen del cilindro Se encuentra



Radio Final

=0. 5015 m.

Se modela el dato como función de . Se obtiene la diferencial de la función respecto a . Siempre que


por

y

por

El incremento del Volumen es: de kilómetros

concreto,

en

10 . Se mide el radio de una esfera y se encuentra que es igual a 7 cm, si la medición no tiene un error mayor de 1 mm estimar el porcentaje del error relativo. DATOS: Radio Inicial = 7 cm Radio Final = 7.1 cm. FORMULA: Porcentaje del Error Relativo

11. Hallar las ecuaciones particulares de las siguientes funciones

Teoría Antiderivada Para encontrar tal que Ejemplo

debemos recordar las reglas de derivación y buscar

Recordemos la derivada de la potencia que se pide arriba

en lo

Teoría Antiderivada Particular Una vez encontrada la antiderivada general, y dan condiciones , se substituye en y se busca el valor de C que satisfaga la igualdad Ejemplo (Continuación) Cuando

Antiderivada Particular a)

b)

c)

d)

e)

cuando

f)

12 . Por medio de aproximaciones de áreas de figuras conocidas, calcule el área aproximada de la siguiente figura:

Lo voy a calcular mediante el semicírculo verde de radio de lados .

13 . Si se toma

y el rectángulo Azul

calcule el área por defecto, por exceso y promedio de y= 9-x 2 en

I=[0,3] Base de los rectángulos Área Por Defecto

Gráfico 1 Área Por Defecto

Obsérvese en el Gráfico 1. que el valor mínimo se encuentra evaluando en el extremo derecho del rectángulo.

Rectángulo 1, altura

, Área


, Área

Rectángulo i, altura A partir de la formula anterior, i

x_i

1

0.25

2

0.5

3

0.75

4

1

5

1.25

6

1.5

7

1.75

8

2

9

2.25

10

2.5

11

2.75

12

3

, Área calculando en EXCEL…

h_i

A_i

8.9375

2.234375

8.75

2.1875

8.4375

2.109375

8

2

7.4375

1.859375

6.75

1.6875

5.9375

1.484375

5

1.25

3.9375

0.984375

2.75

0.6875

1.4375

0.359375

0

0

Area =

16.84375

El Área por defecto es 16.84375 Área Por Exceso

Gráfico 2 Área Por Exceso

Obsérvese en el Gráfico 2. que el valor máximo se encuentra evaluando en el extremo izquierdo del rectángulo. Rectángulo 1, altura

, Área

Rectángulo 2, altura Rectángulo i, altura A partir de la formula anterior,

, Área , Área calculando en EXCEL…

i

x_i

1

0

2

0.25

3

0.5

4

0.75

5

1

6

1.25

7

1.5

8

1.75

9

2

10

2.25

11

2.5

12

2.75

h_i

A_i 9

2.25

8.9375

2.234375

8.75

2.1875

8.4375

2.109375

8

2

7.4375

1.859375

6.75

1.6875

5.9375

1.484375

5

1.25

3.9375

0.984375

2.75

0.6875

1.4375

0.359375

Area =

19.09375

El Área por Exceso es 19.09375 Área Por Promedio

Gráfico 3 Área Por Promedio

Obsérvese en el Gráfico 3. que el valor de evaluación se encuentra en el punto medio del rectángulo. Rectángulo 1, altura

, Área


, Área

Rectángulo i, altura A partir de la formula anterior,


i

x_i

h_i

A_i

1

0.25

8.984375

2.24609375

2

0.75

8.859375

2.21484375

3

1.25

8.609375

2.15234375

4

1.75

8.234375

2.05859375

5

2.25

7.734375

1.93359375

6

2.75

7.109375

1.77734375

7

3.25

6.359375

1.58984375

8

3.75

5.484375

1.37109375

9

4.25

4.484375

1.12109375

10

4. 75

3. 359375

0. 83984375

11

5. 25

2. 109375

0. 52734375

12

5. 75

0. 734375

0. 18359375

Area =

18.015625

El Área por Promedio es 18.015625 O bien el promedio del defecto y el exceso NOTA: El verdadero valor del área (calculado en MATHEMATICA ® ) 3

9

In[11]:=

x^2

x

0

Out[11]= 18

14 . Si se toma

calcule el área por defecto, por exceso y promedio de y= x 2+2

en I=[-2,2]




Base de los rectángulos Obsérvese en los gráficos 4 a 6 que el área del 0 a la izquierda es igual que el área del 0 a la derecha, por lo que solo se va a calcular el área de la izquierda y el total es dos veces dicho valor. Área Por Defecto


Obsérvese en el Gráfico 7. el valor mínimo se encuentra evaluando en el extremo derecho del rectángulo. De manera similar al ejemplo anterior, es posible encontrara el area del rectángulo i-esimo. Rectángulo i, altura A partir de la formula anterior,


i

x_i

1

-1.75

2

-1.5

3

-1.25

4

-1

5

-0.75

6

-0.5

7

-0.25

8

0

h_i

A_i

5.0625

1.265625

4.25

1.0625

3.5625

0.890625

3

0.75

2.5625

0.640625

2.25

0.5625

2.0625

0.515625

2

0.5

Area =

6.1875

El Área por defecto es Área Por Exceso


Obsérvese en el Gráfico 8. que el valor máximo se encuentra evaluando en el extremo izquierdo del rectángulo. De manera similar al ejemplo anterior, es posible encontrara el area del rectángulo i-esimo. Rectángulo i, altura A partir de la formula anterior,


i

x_i

1

-2

2

-1.75

3

-1.5

4

-1.25

5

-1

6

-0.75

7

-0.5

8

-0.25

h_i

A_i 6

1.5

5.0625

1.265625

4.25

1.0625

3.5625

0.890625

3

0.75

2.5625

0.640625

2.25

0.5625

2.0625

0.515625

Area =

7.1875

El Área por exceso es Área Por Promedio


Obsérvese en el Gráfico 3. que el valor de evaluación se encuentra en el punto medio del rectángulo.

De manera similar al ejemplo anterior, es posible encontrara el area del rectángulo i-esimo. Rectángulo i, altura A partir de la formula anterior,


i

x_i

h_i

A_i

1

- 1. 875

5. 515625

1. 37890625

2

- 1. 625

4. 640625

1. 16015625

3

- 1. 375

3. 890625

0. 97265625

4

- 1. 125

3. 265625

0. 81640625

5

- 0. 875

2. 765625

0. 69140625

6

- 0. 625

2. 390625

0. 59765625

7

- 0. 375

2. 140625

0. 53515625

8

- 0. 125

2. 015625

0. 50390625

Area =

6.65625

El Área por Promedio es O bien el promedio del defecto y el exceso NOTA: El verdadero valor del área (calculado en MATHEMATICA ® ) 2

x^2

In[83]:=

2.

2

Out[83]= 13.3333

15 . Calcular la integral indefinida de las siguientes funciones a) b) c)

d)

e)

f)

Tarea Larga 1

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