ALGEBRA LINEAL
TAREA 2: SIATEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOS VECTORIALES
GRUPO: 100408_201
SAIDY YURANY ORTIZ MADY NELLY MUÑOZ CARLOS MARIO SALAZAR ELKIN MARIANO RESTREPO
TUTOR RUBERNEY RAMOS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD MAYO 09 DE 2019
INTRODUCCION En el siguiente la siguiente actividad mediante ejemplos podemos observar en el contexto de algebra que los vectores resultan una herramienta muy potente y eficaz para la resolución de diferentes problemas de la geometría analítica y son métodos para su análisis, el sistema de ecuaciones lineales, las rectas en R3 y planos a través del estudio, análisis y solución de problemas y ejercicios propuestos.
EJERCICIO 1: CONCEPTUALIZACIÓN CONCEPTUALIZACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS. a. Qué es un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales y a qué corresponden corresponden sus variables, coeficientes y valores independientes
b. Cuáles son las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Dé ejemplos gráficos y clasifíquelas entre soluciones consistentes e inconsistentes.
c) Cuál es la diferencia entre los métodos de solución: reducción de GaussJordan y eliminación gaussiana.
e. Qué son planos pl anos en R3, qué qu é parámetros parámetr os se requieren requ ieren y qué procedimiento debe seguirse para establecer su ecuación, qué condición se debe cumplir para que sean paralelos, y en caso de no ser paralelos qué método se aplica para llegar a las ecuaciones de la recta que forma su intersección.
DESCRIPCIÓN DEL EJERCICIO 2 Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss –Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*.
Se desea obtener un preparado semanal que cubra las necesidades mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas. Suponga que el preparado debe contener una mezcla de los productos A, B y C cuyos contenidos por onzas son los que se indican en la siguiente tabla: Proteínas
Hidratos
Grasas
2
1.5
3
0.5
3
1.5
Producto A Carne de pollo Producto B Carne de ternera
Producto C 1.5
1,5
0.5
0.5 lb =
0.5 lb =
0.5 lb =
8 onzas
8 onzas
8 onzas
Pescado de mar Disponibilidad
¿Cuántas onzas de cada producto deberán mezclarse semanalmente para obtener el preparado? Sistema de ecuaciones
2A+0,5B+1,5C=8 1,5A+3B+1,5C=8 3A+1,5B+0,5C=8 Escribiendo la matriz aumentada
21,5 03,5 11,,55 |88 3 1,5 0,5 8 Dividiendo la fila 1 por 2
11,5 0,325 01,7,55 |48 3 1,5 0,5 8 Multiplicando la fila 1 por -1,5 y sumando la fila 2 Multiplicando la fila 1 por -3 y sumando la fila fi la 3
10 20,6,2255 00,3,7755 | 42 0 0,75 −1,75 −4 Dividiendo la fila 2 por 2,625
10 0,125 00,,1745 |0,476 0 0,75 −1,75 −4 Multiplicando la fila 2 por -0,25 y sumando la fila 1
Multiplicando la fila 2 por -0,75 y sumando la fila 3
10 01 00,7,1145 | 3,0,8716 0 0 −1,855 −4,57 Dividiendo la fila 3 por -1,855
10 01 00,7,1145 |3,0,8716 0 0 1 2,46 Multiplicando la fila 3 por -0,715 y sumando la fila 1 Multiplicando la fila 3 por -0,14 y sumando la fila 2
10 01 00 |2,0,0452 0 0 1 2,46 Demostración en geogebra
RESPUESTA: Para obtener el preparado es necesario que se mezcle 2,05 onzas de carne de pollo, 0,41 onza de carne de ternera y 2,46 onzas de pescado de mar.
DESCRIPCIÓN DEL EJERCICIO 3 Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss –Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*. “Un virus ha destruido parte de la información de los datos de aprobación
del curso de Álgebra Lineal (e-learning) (e -learning) del año 2018. Se ha logrado rescatar parte de la base de datos, sabiendo que el promedio de estudiantes del curso de Álgebra Lineal (e-learning) que entregaron y aprobaron las tareas 1, 2 y 3 del periodo 16-04 de ese año fue de 1.243 estudiantes. Se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 2 supera en 230 estudiantes al promedio de los que aprobaron la Tarea 1 y la Tarea 3. Así mismo, se sabe que el número número de estudiantes que aprobaron aprobaron la Tarea 3 es menor en 90 estudiantes al promedio de los estudiantes que aprobaron las Tareas 1 y 2.
Con estos datos, se busca saber cuántos estudiantes aprobaron cada una de las tareas del curso y reconstruir así los datos estadísticos del informe a presentar.”
Encontrando las ecuaciones según los datos
++ 3 =1243 ++=3 ++=31243 1243 ++=3.729 1
−230= +2 2−230 =+ 2−460=+ −+2−=460 2 +90= +2 2+90 =+ 2+180=+ + − 2 = 180 3 Escribiendo la matriz aumentada
1−1 21 −11 |3729 460 1 1 −2 180 Sumando las filas 1 y 2 Multiplicando la fila 1 por -1 y sumando la fila fi la 3
10 13 10 | 3729 4189 0 0 −3 −3549 Dividiendo la fila 2 por 3
3729 10 11 10 |4189/3 0 0 −3 −3549 Multiplicando la fila 2 por -1 y sumando la fila fi la 1
10 01 10 |6998/3 4789/3 0 0 −3 −3549 Dividiendo la fila 3 por -3
10 01 10 |6998/3 4189/3 0 0 1 1183 Multiplicando la fila 3 por -1 y sumando la fila fi la 1
10 01 00 |3449/3 1 0 0 1150 ≈ | 0 1 0 1396 4189/3 0 0 1 1183 0 0 1 1183 Comprobación en geogebra
RESPUESTA: La tarea 1 la aprobaron 1150 estudiantes, la tarea 2 la aprobaron 1396 estudiantes y la tarea 3 la aprobaron 1183 estudiantes.
DESCRIPCIÓN EJERCICIO 4. Defina las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las siguientes rectas, y grafíquelas con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a. De la recta que pasa por los puntos P= (-3,4,8) y Q=(2,5,7). Ecuación vectorial
Utilizando la formula
⃗=⃗+⃗
donde
⃗= −3,4,8 ⃗= = 2,5,7 − −3,4,8 =5,1,−1 ⃗= −3,4,8 +5,1,−1
Para hallar el vector dirección debemos de hallar el vector Reemplazando en la ecuación tenemos
Ecuaciones paramétricas Escribimos el vector posición en coordenadas x y z, realizamos las operaciones y despejamos las componentes del vector posición.
,,= −3,4,8 +5,1,−1 ,,= −3,4,8 +5,,− ,, ,, =−3+5,4+,8− = −3−3 + 5 = 4+ = 8− 8−
Ecuaciones simétricas Despejamos a t en las ecuaciones paramétricas e igualamos
= −3+5 = +5 3 = 4 + = − 4 = 8 − = 8 − +5 3 =−4=8−
b. De la recta que pasa pasa por el punto punto R=(-5, 4,-3) y que es paralela paralela a la recta que pasa por los puntos A=(-2,4,6) y B=(1,-3,5). Debemos hallar el vector dirección de la recta que pasa por los puntos A=(2,4,6) y B=(1,-3,5), ya que las rectas son paralelas, es decir tienen el mismo vector dirección.
⃗= = −2,4,6 − 1,−3,5 =−3,7,1 ⃗= −5,4,−33 ⃗=⃗+⃗ ⃗= −5,4,−33 + −3,7,1
Para hallar el vector dirección debemos de hallar el vector Ecuación vectorial
Utilizando la formula
donde
Reemplazando en la ecuación tenemos Ecuaciones paramétricas
Escribimos el vector posición en coordenadas x y z, realizamos las l as operaciones y despejamos las componentes del vector posición.
,,= −5,4,−3 +−3,7,1 ,,= −5,4,−3 +−3,7, ,, =−5−3,4+7,−3+ = −5−5 − 3 = 4+7 4 +7 = −3+ −3+
Ecuaciones simétricas Despejamos a t en las ecuaciones paramétricas e igualamos
= −5−3 = −3+ 5 = −−5 3 = 4 + 7 = −7− 4 = −3 + = + 3 −−5 − 4 = 3 7 =+3
c. De la recta que pasa por el punto punto S= (-9, 6,11) y cuyo vector vector director es V= (-2, 7,-6). Ecuación vectorial Utilizando la formula
⃗=⃗+⃗ ⃗= −9,6,11 ⃗=−2,7,−6 donde
Reemplazando en la ecuación tenemos
⃗= −9,6,111 +−2,7,−6
Ecuaciones paramétricas Escribimos el vector posición en coordenadas x y z, realizamos las operaciones y despejamos las componentes del vector posición.
,,= −9,6,11 +−2,7,−6 ,,= −9,6,11 +−2,7,−6 ,, =−9−2,6+7,11−6 = −9−9 − 2 = 6+7 6 +7 = 11−6 1− 6
Ecuaciones simétricas Despejamos a t en las ecuaciones paramétricas e igualamos
= −9−2 = −2+ 9 = −−9 2
= 6 + 7 = −7 6 11− = 11 − 6 = −11 = −6 6 −−9 − 6 11− = = 2 7 6
Descripción ejercicio 5. Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) ¿Son pararelos los siguientes planos
1:3x+8y-3z=1 y
2:-15x-
40y+15z=-5? Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos. Dos planos son paralelos si los vectores normales son múltiplos escalares Planos
Vectores normales
:3+8−3=1 :−15−40+15=1 =3,8,−3 = −15,−40,155 = −5 −53,8,−33
Como el vector normal 2 ( ) es un múltiplo del vector normal 1 ( concluye que los planos son paralelos
) se
b) ¿Cuál es la ecuación ecuación del plano plano que contiene los puntos A(-3,7,9), B(2,4,6) y C(2,2,-1)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.
= 2,4,6 − −3,7,9 =5,−3,−3 = 2,2,−11 − −3,7,9 =5,−5,−10
Hallando el producto vectorial entre los vectores encontrados para hallar el vector normal al plano
= |55 −−35 −−130| = −−35 −−130−55 −−310+55 −3−5 =[(−3−10)−−5−3]−[(5−10)−(5−3)] +[(5 +[(5−5 −5)−5 )−5−3 −3] = 30−15 − −50+15 + −25+15 =15+35−10 = 15,+35,−10 10 =,, = ,, − −3,7,9 = +3,−7,−9 ( ). = +3,−7,−9. 15,+35,−10
Teniendo un punto
en el plano, hallamos el vector
Hallamos el producto punto entre vector normal y el vector AT
( ). = +315+−735+−9 −10 ( ). =15+45+35−245−10+90 ( ). =15+35−10=−110 ( ). =3+7−2=−22
Mady Nelly Muñoz Link video ejercicio No. 2 https://youtu.be/qUj24cuEfy4 Carlos Mario Salazar https://www.youtube.com/watch?v=6KCAhAzfcUk
CONCLUSIONES Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y ejercicios de la Unidad 2, cuyo contenido puntual es la solución de sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales. .Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver problemas en diversos enfoques empresariales, mediante los sistemas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar las debidas decisiones,
BIBLIOGRAFIA Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Intr oducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 68 a 79. Recuperado de::http://bibliotecavirtual.unad.edu.c de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.acti o:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=77&d on?ppg=77&d ocID=10584265&tm=1468967325440 Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 164 a 182. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081 Vargas, J. (2015). Sistemas de ecuaciones lineales: Matriz inversa. [Video]. Universidad Nacional Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado Recuperado dehttp://hdl.handle.net/10596/7191 de http://hdl.handle.net/10596/7191 Amaya, H. (2016). Sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales: Gauss-Jordan. Gauss-Jordan. [Video]. Universidad Nacional Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado Recuperado dehttp://hdl.handle.net/10596/7192 de http://hdl.handle.net/10596/7192 Gutiérrez, M. (2016). Soluciones no triviales tr iviales en un sistema de ecuaciones lineales. [Video]. Universidad Nacional Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado Recuperado dehttp://hdl.handle.net/10596/7202 de http://hdl.handle.net/10596/7202 Amaya Cocunubo, I. (2017). Algebra Algebra lineal. [Archivo de video]. Recuperado Recuperado dehttp://hdl.handle.net/10596/11542 de http://hdl.handle.net/10596/11542 Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Recuperado de: de :http://hdl.handle.net/10596/7081 Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Intr oducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones.Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.c http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.ac o:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=105 tion?docID=105 84265&p00=algebra+lineal Gómez, D. (2016). Ecuación Vectorial y Paramétrica en R3. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7106 Rodriguez J., (N-D.) Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y rectas. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7091 Alvarez, V. (2015) Planos en R3. [Video]. [Video]. Universidad Nacional Abierta Abierta y a Distancia. Recuperado de: de :http://hdl.handle.net/10596/7151 Alvarez, A. (2017). Sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11518
