UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE OCCIDENTE FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER DE OSCILACIONES Responda las siguientes preguntas, justifique: a) Si la coordenada de una una partícula varia como x= -Acos(wt), a) ¿Cuál ¿Cuál es la constante de fase si la ecuación de movimiento es x= Asen(wt+θo). b) Cuál es la posición inicial de la partícula? b) Determine si las siguientes cantidades pueden estar en la misma dirección para un oscilador armónico simple: El desplazamiento y la velocidad; la velocidad y la aceleración; el desplazamiento y la aceleración. c) La amplitud A y la constante de fase φo pueden determinarse si sólo se especifica la posición en t=0. d) ¿Cuál es la distancia total recorrida por un cuerpo que ejecuta un movimiento armónico simple en un tiempo igual a su periodo si su amplitud es A? e) En el movimiento armónico simple, la energía total es proporcional al cuadrado de la amplitud. f) ¿Que ocurre con el periodo de un un péndulo simple simple si la longitud de este se duplica? ¿Qué sucede con el periodo si la masa suspendida se duplica.? g) Un péndulo simple efectúa un movimiento armónico simple cuando θ es pequeño. ¿El movimiento es periódico cuando θ es grande? ¿Cómo cambia el periodo cuándo θ aumenta? h) Un péndulo esta hecho de una esfera llena con agua. ¿Qué ocurriría a la frecuencia de vibración de ese péndulo si la esfera tuviese un agujero que permita al agua descargarse lentamente? lenta mente? i) Si la aceleración de una partícula es proporcional al desplazamiento pero de sentido opuesto, el movimiento es armónico simple. j) La energía de un oscilador amortiguado, no forzado decrece exponencialmente con el tiempo. k) En un movimiento amortiguado la energía total decae exponencialmente exponencialmente con el tiempo a una tasa igual a -2δEo. l) Se produce produce resonancia cuando la frecuencia impulsora es igual a la frecuencia natural. m) Si ωi = ωo en un oscilador, habrá resonancia en la energía y la fuerza estará en fase con la velocidad. n) Si el valor de Q es alto, la resonancia es aguda?
M.A.S 1. Un resorte con masa despreciable y constante de fuerza k está unido a un cilindro de masa M y radio R (vea fig.1), de tal forma que puede rodar sin resbalar sobre una superficie horizontal. Si el sistema se suelta desde desde el reposo en una una posición en la que el resorte se encuentra estirado, mostrar que el movimiento del centro de masa del cilindro es un MAS y calcule su periodo.
Fig.1
2. En t=0 una partícula con movimiento armónico simple se encuentra en x 0 =2 cm, r con una velocidad V = − 24 cm / s ˆi . Si el periodo de su movimiento es de 0.5 s, determine la fase inicial y la amplitud de las oscilaciones.
3. La posición, la velocidad y la aceleración iniciales de un objeto que se mueve con movimiento armónico simple son x o, v o, y ao; la frecuencia angular de oscilación es ω. A) Muestre que la posición y la velocidad del objeto para todo el tiempo puede escribirse como: x(t) = xocosωt + (vo/ω)senωt v(t) = - xoωsenωt + vocosωt b) Si la amplitud de del movimiento es A muestre que: v2 – ax = v o2 – aoxo = ω2A2
4. Una partícula con movimiento armónico simple desplazándose a lo largo del eje x parte de la posición de equilibrio, el origen, en t=0 y se mueve a la derecha. La amplitud de su movimiento movimiento es de 2.0 cm y la frecuencia de 1.5 Hz. A) Muestre Muestre que el desplazamiento de la partícula esta dada por x= 2.0sen3πt. Determine b) la máxima rapidez y el tiempo previo (t >0), al cual la partícula tiene dicha rapidez, c) la máxima aceleración y el tiempo previo (t>0) al cual la partícula tiene dicha aceleración, y d) la distancia total viajada entre t=0 y t= 1s.
5. Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2.0 rad/s. El sistema resorte-partícula esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse ( respecto de la caja del elevador ) conforme la caja desciende a una rapidez constante de 1.5 m/s. La caja se detiene repentinamente. A) ¿Con qué amplitud oscila la partícula? b) ¿Cuál es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva).
6. Un cubo de madera de arista L y densidad ρm, flota en un lago apacible con densidad ρa. Muestre que si se ignora la fricción, cuando se empuje el bloque suavemente hacia abajo dentro del agua, entonces vibrará con M.A.S. Determine una expresión para la constante de la fuerza.
7. Una partícula ejecuta un movimiento armónico simple con una amplitud de 3.0 cm. ¿A
qué desplazamiento desde el punto medio de su movimiento su rapidez es igual a la mitad de su rapidez máxima?
5. Un bloque descansa sobre una placa plana que ejecuta un movimiento armónico simple vertical con un periodo de 1.2 s. ¿Cuál es la amplitud máxima del movimiento en el cual el bloque no se separa de la placa?
6. Una partícula de masa m se desliza en el interior de un tazón esférico de radio R. Demuestre que para pequeños desplazamientos a partir de la posición de equilibrio, la partícula efectúa un movimiento armónico simple con una frecuencia angular igual a la de un péndulo simple de longitud R. Es decir, ω
=
g R
.
7. Una bola que se deja caer desde una altura de 4.0 m efectúa un choque perfectamente elástico contra el suelo. Suponiendo que no se pierde pie rde energía ener gía debido a la resistencia del aire, a) demuestre que el movimiento es periódico, y b) determine el período del movimiento. c) ¿El movimiento es armónico simple? Explique.
MOVIMIENTO AMORTIGUADO 1. Si la constante γ de amortiguación es una décima parte de la constante ω de oscilación armónica, ¿ cuántos ciclos deberán transcurrir para que la amplitud inicial se reduzca en un 25 %?
2. En el extremo inferior de un resorte sujeto al techo se suspende un peso de 3.2 N. El peso queda en reposo en la posición de equilibrio, en donde la elongación elongación del resorte es 62.5 cm. A continuación se lleva dicho peso a 50 cm por debajo de la posición de equilibrio y en t = 0 se libera desde el reposo. La resistencia del medio es r
f = − 1.28 v j$ N s/m. Clasifique el movimiento resultante y determine la posición del peso en función del tiempo.
3. Un objeto oscila sin amortiguamiento con un período de 1.5 s. Si se considera el efecto de la amortiguación del aire el período es de 1.50015 s. Encuentre el número de ciclos necesarios para que la energía del sistema se reduzca en un 25% de su valor inicial.
4. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que la energía de las oscilaciones amortiguadas de un péndulo de longitud L = 24.7 cm se reduzca 9.4 veces?. Resuelva este problema para el caso en el que el decremento logarítmico por periodo sea igual a Ln (A1/A2)=0.01 y suponga que w>>b/2m.
5. Un oscilador amortiguado pierde el 2% de su energía en cada ciclo. a) ¿Cuál es su factor Q? b) Si su frecuencia de resonancia es 300 Hz, ¿cuál es el ancho de la curva de resonancia ∆ω cuando el oscilador está impulsado?
6. Una partícula de masa 2 Kg, con un movimiento oscilatorio amortiguado comienza sus oscilaciones en t=0 con x o = 3cm y v o= 0. Si la frecuencia natural de las oscilaciones ωo es 4 rad/s y la fuerza de amortiguamiento es f = = -2v i N, escriba la función de posición x(t) para estas oscilaciones amortiguadas. Para ello, debe encontrar todas las variables físicas involucradas en la expresión de x(t).
MOVIMIENTO AMORTIGUADO FORZADO 1. Un objeto de 2 kg oscila sobre un muelle de constante de fuerza k = 400 N/m. La constante de amortiguamiento es b = 2.00 kg/s. Está impulsado por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10N y frecuencia angular ω = 10 rad / s . a)¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones? b) Si se varía la frecuencia de la fuerza impulsora, a qué frecuencia se producirá la resonancia? c) Halle la amplitud de las oscilaciones en la resonancia. d) ¿Cuál es el ancho ∆ω del pico de resonancia?
2. Obtenga la expresión de la potencia media cedida por una fuerza externa impulsora a un oscilador forzado. A) Demostrar que la potencia instantánea cedida por la fuerza impulsora es p=fv=-Aω f 0 cos ωt sen (ωt - δ). B) Expresar p=A ωf 0 senδ cos2ωt - Aωf cosδ cosωt senωt. C) Muestre que Pm = 12 A ω f 0 sen δ .
3. Supongamos que la amplitud de un oscilador disminuye en un factor R en cada ciclo. Es decir, si A1 es la amplitud después del primer ciclo, A2=A1R es la correspondiente al segundo ciclo, y a si sucesivamente. Se aplica una fuerza externa impulsora de la forma F(t)=kBcosωet al oscilador, siendo k la constante de fuerza del oscilador y B es una constante. Demostrar que si ωe = ω0, la amplitud viene dada por A=
πB
( R )
ln 1
4. Un niño se balancea en un columpio con un periodo de 4 s. La masa del niño y del columpio es de 40 kg. El columpio es impulsado por una persona de tal forma que su amplitud es constante. En la parte inferior de la trayectoria de oscilación, la rapidez es de 2 m/s. determine: Energía total del sistema. Si el factor de calidad es 10, cuánta energía se disipa durante cada oscilación?. ¿Cuál es la potencia que aplica la persona al oscilador?.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 1. Un péndulo de longitud L y masa M tiene un resorte de constante de fuerza k conectado a él a una distancia h abajo de su punto de suspensión como lo muestra la fig.2. Muestre que el movimiento es un MAS y encuentre la frecuencia de vibración del sistema para valores pequeños de la amplitud θ . (Suponga que la suspensión vertical de longitud L es rígida, pero ignore su masa.)
Fig. 2 2. La fig. 3 muestra un pequeño disco delgado de radio r y masa m que está rígidamente unido a la cara de un segundo disco delgado de radio R y masa M. El centro del disco pequeño se localiza en el borde del disco grande, el cual está montado en su centro sobre un eje horizontal sin fricción. El arreglo se hace girar un ángulo ángulo θ a partir de su posición posición de equilib equilibrio rio y se suelta. suelta. a) Demuestre Demuestre que que la velocidad del centro del disco pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es 3.
Rg (1 − cos θ) v=2 2 M r + ( m) ( R ) + 2
1
2
b) Muestre que el periodo del movimiento es 1
( M + 2 m) R 2 + mr 2 2 T = 2π . 2 m g R
Fig. 3 4. Un tablón horizontal de masa m y longitud L está articulado en un extremo (vea fig. 4), y en el otro está unido a un resorte de constante k. El momento de inercia del tablón alrededor del pivote es (1/3)m L2. Cuando el tablón se desplaza un ángulo pequeño θ a partir de la horizontal y se suelta, pruebe que se mueve con un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular es
ω=
3k m
.
Fig.4 4. Halle el periodo de las oscilaciones verticales de un sistema masa - muelle considerando la masa m del resorte además de la masa M del objeto colgante (laboratorio).
5. Una masa m está conectada a dos ligas de hule de longitud L, cada una bajo una tensión T como se muestra en la fig. 5. La masa se desplaza verticalmente una pequeña distancia y. Suponga que la tensión no cambia, demuestre que (a) la fuerza 2 T L y , (b) el sistema efectúa movimiento armónico simple restauradora es − con una frecuencia angular
ω=
2T mL
.
fig.5 6. Una esfera sólida de radio R rueda sin deslizar en un canal cilíndrico de radio 5R como se indica en la fig.6 Demuestre que, para pequeños desplazamientos desde el punto de equilibrio, la esfera ejecuta un movimiento armónico simple con periodo T = 2π
28 R
Fig.6
5g
7. Una masa m se conecta a dos resortes de constantes de fuerza k 1 y k 2, como se muestra en las figuras 7a y 7b. En cada caso la masa se mueve mueve sobre una una mesa sin fricción y se desplaza de la posición de equilibrio y se suelta. Demuestre que en cada caso la masa tiene movimiento armónico simple con periodo respectivos de:
a) b)
T = 2π
m(k 1
T = 2π
+ k 2 )
k 1 k 2 m k 1
+
k 2
8. Se perfora un túnel pequeño a través de la tierra (vea fig. 8). Demuestre que el movimiento de una partícula de masa m situada en el túnel es un MAS y muestre que su periodo es T = 2π
R T g
Fig.8 Supuesto. Considere la densidad de la tierra uniforme y desprecie la fricción entre la partícula y el túnel.
BIBLIOGRAFÍA P. Tipler, tomo 1 R. A. Serway, vol. 1, 4 0 Edi. D. Giancoli, vol. 1
