FLUJO NO IDEAL
1. INTRODUCCIÓN Los reactores químicos estudiados (RDTA, RCFP, RCTA) se han diseñado considerando que su comportamiento es el de un reactor ideal. Desgraciadamente, Desgraciadamente, en la práctica nos encontramos con frecuencia con comportamientos que se alejan bastante del considerado como ideal. En consecuencia, consecuencia, al trabajar con ellos, el ingeniero químico debe ser capaz de manejar y diagnosticar el comportamiento de dichos reactores. A la hora de describir el comportamiento no ideal de un di str i buci ón de tiempos de r esi denci denci a, la cal i dad de mezcla mezcla y reactor se introducen 3 conceptos: conceptos: l a dis . Estos 3 conceptos se utilizarán para describir las el m odel odel o empl empl eado para descri descri bir bi r el sistema sistema desviaciones desviaciones de los modelos de mezcla asumidos en los modelos ideales, pudiendo ser considerados como características de la mezcla en reactores no ideales. Un modo de enfocar el estudio de los reactores no ideales es considerarlos, en una primera aproximación, como si el modelo de flujo fuera el correspondiente a un RCTA o a un RCFP. Ahora bien, en los reactores reales el modelo de flujo no ideal implica i mplica una pérdida de conversión, por lo que se debe de disponer de un método que permita tener en cuenta esta pérdida de conversión. Por ello, un mayor nivel de aproximación implica el uso de información acerca de la macromezcla (DTR, distribución de tiempos de residencia) . Un tercer nivel de aproximación emplea la información a microescala (micromezcla) para realizar predicciones acerca de la conversión que se obtendría en un reactor no ideal, para lo cual se propondrá un modelo adecuado. Dado que el primer nivel ya ha sido estudiado anteriormente, en lo que sigue se procederá a desarrollar el estudio de los dos siguientes niveles.
2. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE RESIDENCIA (DTR) La idea de introducir la distribución de tiempos de residencia (DTR) en el análisis del comportamiento de los reactores se debe a MacMullin y Weber (1935), siendo Danckwerts (1953) quien estructuró este análisis y definió la mayoría de las distribuciones de interés. En un RCFP ideal, todos los átomos de material que abandonan el reactor han permanecido en él exactamente el mismo tiempo. De forma análoga, en un RDTA ideal todos los átomos han estado en su interior el mismo periodo de tiempo. El tiempo que estos átomos han permanecido en el reactor es lo que denominamos tiempo de residencia de esos átomos en ese reactor. Los reactores ideales RCFP y RDTA son los únicos en los que todos los átomos presentes en el reactor tienen el mismo tiempo de residencia. En todos los otros reactores, los átomos que entran con el alimento permanecen en el interior del reactor periodos de tiempo distintos; es decir, existe una distribución de tiempos de residencia en el interior del reactor. Por ejemplo, consideremos un RCTA ideal; el alimento que se introduce al reactor en un momento determinado se mezcla de forma instantánea y completa con el resto de material que existe ya en el interior del reactor. Es decir, que algunos de los átomos que entran al reactor, abandonan éste de forma casi inmediata con la corriente de salida, mientras que otros átomos permanecen de forma casi indefinida, ya que nunca es arrastrado todo el material. Desde luego, muchos de los átomos abandonan el reactor al cabo de un periodo de tiempo próximo al tiempo medio de residencia. En cualquier reactor, la DTR puede afectar de forma significativa el comportamiento que vaya a tener dicho reactor.
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1. INTRODUCCIÓN Los reactores químicos estudiados (RDTA, RCFP, RCTA) se han diseñado considerando que su comportamiento es el de un reactor ideal. Desgraciadamente, Desgraciadamente, en la práctica nos encontramos con frecuencia con comportamientos que se alejan bastante del considerado como ideal. En consecuencia, consecuencia, al trabajar con ellos, el ingeniero químico debe ser capaz de manejar y diagnosticar el comportamiento de dichos reactores. A la hora de describir el comportamiento no ideal de un di str i buci ón de tiempos de r esi denci denci a, la cal i dad de mezcla mezcla y reactor se introducen 3 conceptos: conceptos: l a dis . Estos 3 conceptos se utilizarán para describir las el m odel odel o empl empl eado para descri descri bir bi r el sistema sistema desviaciones desviaciones de los modelos de mezcla asumidos en los modelos ideales, pudiendo ser considerados como características de la mezcla en reactores no ideales. Un modo de enfocar el estudio de los reactores no ideales es considerarlos, en una primera aproximación, como si el modelo de flujo fuera el correspondiente a un RCTA o a un RCFP. Ahora bien, en los reactores reales el modelo de flujo no ideal implica i mplica una pérdida de conversión, por lo que se debe de disponer de un método que permita tener en cuenta esta pérdida de conversión. Por ello, un mayor nivel de aproximación implica el uso de información acerca de la macromezcla (DTR, distribución de tiempos de residencia) . Un tercer nivel de aproximación emplea la información a microescala (micromezcla) para realizar predicciones acerca de la conversión que se obtendría en un reactor no ideal, para lo cual se propondrá un modelo adecuado. Dado que el primer nivel ya ha sido estudiado anteriormente, en lo que sigue se procederá a desarrollar el estudio de los dos siguientes niveles.
2. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE RESIDENCIA (DTR) La idea de introducir la distribución de tiempos de residencia (DTR) en el análisis del comportamiento de los reactores se debe a MacMullin y Weber (1935), siendo Danckwerts (1953) quien estructuró este análisis y definió la mayoría de las distribuciones de interés. En un RCFP ideal, todos los átomos de material que abandonan el reactor han permanecido en él exactamente el mismo tiempo. De forma análoga, en un RDTA ideal todos los átomos han estado en su interior el mismo periodo de tiempo. El tiempo que estos átomos han permanecido en el reactor es lo que denominamos tiempo de residencia de esos átomos en ese reactor. Los reactores ideales RCFP y RDTA son los únicos en los que todos los átomos presentes en el reactor tienen el mismo tiempo de residencia. En todos los otros reactores, los átomos que entran con el alimento permanecen en el interior del reactor periodos de tiempo distintos; es decir, existe una distribución de tiempos de residencia en el interior del reactor. Por ejemplo, consideremos un RCTA ideal; el alimento que se introduce al reactor en un momento determinado se mezcla de forma instantánea y completa con el resto de material que existe ya en el interior del reactor. Es decir, que algunos de los átomos que entran al reactor, abandonan éste de forma casi inmediata con la corriente de salida, mientras que otros átomos permanecen de forma casi indefinida, ya que nunca es arrastrado todo el material. Desde luego, muchos de los átomos abandonan el reactor al cabo de un periodo de tiempo próximo al tiempo medio de residencia. En cualquier reactor, la DTR puede afectar de forma significativa el comportamiento que vaya a tener dicho reactor.
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La DTR de un reactor es una característica de la mezcla que está teniendo lugar en el interior de dicho reactor. Así, en un RCFP ideal no hay mezcla axial y esta ausencia queda reflejada en la DTR que exhiben este tipo de reactores. Por contra, en un RCTA ideal hay un gran grado de mezcla, por lo que la DTR que exhiben estos reactores es muy distinta a la de los de flujo pistón. Como se verá más tarde, sin embargo, no todas las DTR son exclusivas de un tipo de reactor; reactores con marcadas diferencias diferencias pueden dar DTR idénticas. A pesar de ello, la DTR de un determinado reactor presenta claves distintivas respecto al tipo de mezcla que está teniendo lugar en su interior i nterior y es una de las formas de caracterizar el reactor que suministra más información. 2.1. Medida de la DTR
La determinación experimental de la DTR se realiza inyectando una substancia química, molécula o átomo inerte (llamada trazador ) en el reactor a tiempo t = 0, midiendo seguidamente la concentración concentración de trazador en la salida a distintos tiempos. El trazador, además de ser inerte, debe ser fácilmente detectable, con propiedades físicas similares a las de las substancias presentes en la mezcla reaccionante y fácilmente soluble en ella. Además, no debería quedar adsorbido sobre las paredes u otras superficies del reactor. El objetivo es que refleje, lo mejor posible, el comportamiento de las substancias que están fluyendo a través del reactor. Los trazadores más empleados son colorantes y material radiactivo, mientras que los métodos de inyección más empleados son entrada en impulso y entrada en escalón . 2.1.1. Entrada en impulso Consiste en introducir en la corriente que entra al reactor, rápidamente y de una vez , una cantidad No de trazador. La concentración concentración de salida es medida posteriormente como una función del tiempo. Curvas concentración-tiempo características para la entrada y la salida de un reactor arbitrario pueden observarse en la figura 1. La curva concentración-tiempo correspondiente al efluente se denomina curva C en el análisis de la DTR.
Figura 1. Determinación de la DTR 2
Consideremos un sistema con una sola entrada y una sola salida, en el que se inyecta en impulso un trazador y en el que éste es transportado, exclusivamente a causa del flujo (no por causa de la dispersión), a través del sistema. Si elegimos un t lo suficientemente pequeño pequeño como para que la concentración de trazador, C (t), que abandona el sistema entre los instantes t y t + t sea esencialmente constante, podremos expresar la cantidad de trazador, N, que abandona el reactor entre t y t + t como: N = C (t) Qv t
(1)
Es decir, N es la cantidad de trazador que ha permanecido en el reactor un intervalo de tiempo comprendido entre t y t + t. Si ahora dividimos por la cantidad total de trazador inyectada en el reactor: N N o
Qv C ( t )
N o
t
(2)
obtenemos la fracción de trazador cuyo tiempo de residencia en el reactor está comprendido entre t y t + t. Para una inyección en impulso definimos la función de distribución de tiempos de residencia , E (t), como: E (t )
QvC (t ) N o
(3)
expresión que describe de una forma cuantitativa cuánto tiempo han pasado los distintos elementos N/No = E(t)t de fluido en el interior del reactor. En consecuencia: (4) Si No no se conoce directamente, podrá obtenerse a partir de las concentraciones de salida, sumando las distintas cantidades de trazador, N, que han salido entre 0 e . Poniendo la expresión en forma diferencial: dN = QvC(t)dt e integrando, obtenemos:
N o
Q C (t )dt v
0
(5)
Dado que el caudal volumétrico generalmente generalmente es constante, podemos definir E(t) como: E (t )
C (t )
C(t )dt
(6)
0
siendo la integral del denominador el área bajo la curva C. Es decir, que a partir de la concentración de trazador, C(t), es posible hallar la curva E(t). Otra manera de interpretar la función de tiempos t iempos de residencia es en su forma integral: Fracción de trazador abandonando el t reactor tras haber permanecido permaneci do en él t E (t )dt un tiempo tiempo compren comprendido dido entre entre t1 y t 2 2
1
Ahora bien, la fracción de trazador que ha residido en el reactor un tiempo t, comprendido entre 0 y es igual a 1. Por tanto:
E (t )dt 1 0
3
(7)
El principal inconveniente que presenta el uso de la técnica de impulso radica en la dificultad de conseguir una entrada de trazador al reactor que sea razonablemente en impulso. La inyección debe tener lugar en un periodo muy corto comparado con los tiempos de residencia y la dispersión de trazador entre el punto de inyección y la entrada al reactor debe ser despreciable. Si estas condiciones se satisfacen, la técnica es una forma sencilla y directa de obtener la DTR. En ocasiones las curvas concentración-tiempo presentan colas muy largas, lo que puede plantear problemas de imprecisión durante el análisis, especialmente a la hora de calcular la curva C. En estos casos se recomienda extrapolar la cola y continuar el cálculo de forma analítica. Una solución aceptable es aproximar la cola a una exponencial. 2.1.2. Entrada en escalón Una vez entendido el significado de la curva DTR para una entrada en impulso, formularemos una relación más general entre una inyección de trazador variable con el tiempo y la correspondiente concentración de trazador en el efluente (corriente que sale del sistema). Sin demostrarla (el desarrollo puede verse en la pg. 270 del libro de Levenspiel, "Ingeniería de las reacciones químicas), estableceremos que la concentración de trazador que sale de un recipiente está relacionada con la concentración de entrada mediante la integral de convolución: C sal (t )
t
C 0
ent
(t t ') E( t') dt'
(8)
La concentración de entrada puede hacerse bien en forma de entrada en impulso (función delta de Dirac, véase Levenspiel), bien como inyección en impulso imperfecta o como entrada en escalón (figura 1). Consideremos un sistema de caudal volumétrico constante en el que se produce una entrada de trazador en forma de escalón, con una velocidad de adición de trazador al alimento constante y que empieza a producirse a tiempo t = 0. Antes de ese instante se considera que no entra trazador con el alimento. En estas condiciones: Co(t) = 0 para t < 0 Co(t) = constante para t > 0 La concentración de trazador en el alimento se mantiene en este valor hasta que la concentración de trazador en el efluente es prácticamente la misma que la del alimento, momento en el que se puede interrumpir el test. En la figura 1 se muestra una curva de concentración de salida típica para este tipo de entrada. Dado que la concentración de entrada (C o) permanece constante a lo largo del tiempo, podremos sacarla del signo de la integral:
t
C sal Co E (t ')dt ' 0
t C sal 0 E (t ')dt ' F (t ) C o escalón Diferenciando esta expresión obtenemos la función de DTR, E(t): d C(t ) E (t ) dt C o escalón
4
(9) (10)
(11)
El uso de una entrada en escalón positiva es, por lo general, más fácil de llevar a cabo experimentalmente que la entrada en impulso y tiene la ventaja adicional de que no hay que conocer la cantidad total de trazador introducida a lo largo del periodo del test, como sucede con los ensayos con entradas en impulso. A cambio presenta algunas desventajas: a) es difícil mantener constante una concentración de trazador en el alimento; b) la obtención de la DTR implica la diferenciación de los datos, lo que puede conducir, en ocasiones, a grandes errores; c) la cantidad de trazador requerida es muy grande (si el trazador es caro se suele usar una entrada en impulso). Otras técnicas para introducir el trazador son posibles: escalón negativo (dilución del alimento), una señal periódica o una señal al azar. Sin embargo suelen ser más difíciles de llevar a cabo y no suelen usarse a menudo. 2.2. Características de la DTR
En ocasiones a la E(t) se le denomina como función de distribución de edades de salida . Si consideramos la edad de un átomo como el tiempo que ha permanecido en las condiciones en que se realiza la reacción, entonces E(t) está relacionado con la distribución de edades del efluente. Es la más usada de las funciones de distribución relacionadas con el análisis de reactores ya que caracteriza el tiempo que los distintos átomos deben pasar en las condiciones de reacción. En la figura 2 se muestran las DTR que resultan para distintos tipos de reactores.
Figura 2. (a) DTR para un reactor que se comporta casi como flujo pistón. (b) DTR para comportamiento próximo a mezcla completa. (c) DTR para reactor de lecho empaquetado con zonas muertas y caminos preferenciales. (d) reactor de lecho empaquetado. (e) DTR para reactor tipo tanque con flujo en cortocircuito (bypass). (f) RCTA con zonas muertas. 5
Los casos a) y b) corresponden, respectivamente, a un RCFP y un RCTA casi ideales. En c) se observa la aparición de un pico principal a un tiempo inferior al tiempo espacial ( = V/Qv) y también que parte del trazador sale a tiempos mayores que el tiempo espacial. Esta curva es representativa de un reactor de lecho empaquetado con caminos preferenciales y zonas muertas (reactor como en mostrado en la figura 2 d). En e) se muestra la DTR de un RCTA con zonas muertas y bypass (figura 2 f). La zona muerta reduce el volumen efectivo de reactor, indicando que el volumen efectivo de reactor es menor que el esperado. La fracción de la corriente de salida que ha permanecido en el reactor durante un periodo de tiempo inferior a un valor dado, t, es igual a la suma sobre todos los tiempos menores que t de la función E(t)t, o expresado de forma continua: Fracción de efluente que ha permanecido E (t )dt F (t ) 0 en el reactor un tiempo menor que t
t
que representa la función DTR acumulativa, F(t). Análogamente: Fracción de efluente que ha permanecido E (t )dt 1 F (t ) t en el reactor un tiempo mayor que t
Dado que t aparece en los límites de integración de ambas expresiones, ambas serán función del tiempo. La función de distribución acumulativa F(t) puede calcularse a diversos valores de t a partir del área de la curva de la representación de E(t) frente a t. La forma de la curva F(t) para una entrada en escalón de trazador se puede observar en la figura 3. Puede observarse que el 80% de las moléculas han permanecido en el reactor 40 minutos o menos [F(t)], mientras que un 20% ha permanecido más de 40 minutos [1-F(t)] en el reactor.
Figura 3. Curva de distribución acumulativa, F (t). La curva F es otra función que ha sido definida como la respuesta normalizada a una entrada particular, en este caso, un escalón positivo. En ocasiones, la curva F se emplea del mismo modo que la DTR al diseñar los reactores químicos. Un ejemplo puede encontrase en el estudio efectuado por Wolf y White (1976), A.I.Ch.E. J. 22, 122.
6
2.2.1. Tiempo medio de residencia Al estudiar los reactores ideales se definió el tiempo espacial y el tiempo medio de residencia. Veremos que con independencia de la DTR que exista en un reactor determinado, ideal o no ideal, el tiempo nominal de permanencia, , es igual al tiempo medio de residencia, t m,para un sistema de densidad constante. Al igual que sucede con otras variables descritas mediante funciones de distribución, el valor medio de la variable es igual al primer momento de la función DTR, E(t). De modo que el tiempo medio de residencia se define como:
t m
tE(t )dt tE(t )dt E (t )dt
0
0
(12)
0
Veamos cómo calcular el volumen total de reactor a partir de la función de distribución acumulativa. Consideremos la siguiente situación: un reactor completamente lleno con moléculas de maíz; en un instante t = 0 empezamos a inyectar moléculas azules para reemplazar las moléculas de maíz que llenan el reactor. Es decir, el volumen de reactor V es igual al volumen ocupado por las moléculas de maíz. En un cierto instante dt, el volumen de moléculas que abandonará el reactor es Qvdt. La fracción de estas moléculas que ha permanecido en el reactor durante un tiempo t o mayor es [1-F(t)]. Dado que sólo las moléculas de maíz han permanecido en el reactor un tiempo t o superior, el volumen de moléculas de maíz, dV, que abandona el reactor en el instante dt es: dV = (Qvdt)[1-F(t)] (13) Si sumamos todas las moléculas de maíz que han abandonado el reactor en el periodo comprendido entre 0 < t < tendremos: V
Q 1 F (t )dt v
0
(14)
Para caudal volumétrico constante: V Qv
1 F (t )dt 0
(15)
Haciendo una integración por partes: V Qv
1
t1 F (t )0 tdF 0
(16)
ya que cuando t , [1 - F(t)] = 0. Por otra parte, cuando t = 0, F(t) = 0. Por tanto: V Qv
1
tdF
(17)
0
Pero, puesto que dF = E(t) dt:
tE( t )dt
(18)
0
7
Ahora bien, el lado derecho de esta igualdad es, justamente, el tiempo medio de residencia, por lo que podemos concluir que tiempo espacial y tiempo medio de residencia son iguales en sistemas de densidad constante, independientemente de que el flujo sea o no ideal: = tm (19) Este resultado sólo es válido para sistemas cerrados (es decir, sin dispersión). El volumen exacto del reactor puede determinarse ahora fácilmente: V = Qv tm (20) 2.2.2. Otros momentos de la DTR A la hora de comparar DTRs se suele emplear sus momentos en lugar de usar toda la distribución. Con este fin, 3 son los momentos que se suelen emplear. El primero es el tiempo medio de residencia, ya definido. El segundo se calcula a partir de la media y es la varianza, o cuadrado de la desviación standard, que se define como: 2
0
( t tm ) 2 E (t ) dt
(21)
La magnitud de este momento da una medida de la dispersión de la distribución; cuanto mayor es este momento, mayor es la dispersión de la distribución. El tercer momento se calcula, también, a partir de la media y se conoce como coeficiente de asimetría ( skewness). Se define como: s3
1 3/ 2
(t t 0
m
) 3 E (t )dt
(22)
La magnitud de este momento mide la extensión que está desplazada, en una dirección u otra, la distribución respecto a la media. En rigor, para describir de forma completa una distribución, habría que calcular todos los momentos. En la práctica, estos tres son razonablemente suficientes para caracterizar una DTR. 2.2.3. Función DTR normalizada Con frecuencia se suele usar una DTR normalizada en lugar de la función E(t). Si definimos = t / el parámetro como: (23) se puede definir una nueva función adimensional E( ) como: E() = E(t)
(24)
y representarla como una función de . La cantidad representa el número de volúmenes de reactor de fluido, en las condiciones de entrada, que han atravesado el reactor en un tiempo t. El uso de esta función de distribución normalizada permite comparar directamente el comportamiento del flujo en el interior de reactores de distintos tamaños. Por ejemplo, mediante el uso de la función E ( ), el valor numérico de la DTR es el mismo para cualquier reactor continuo de tanque agitado y sin embargo, cuando se emplea la función E(t), los valores pueden ser muy distintos para diferentes reactores de tanque agitado. Tal como veremos posteriormente, para un RCTA ideal: 8
E (t) = (1/)exp(-t/)
(25)
E () = E (t) = exp (-)
(26)
y, por tanto: A partir de estas ecuaciones se puede apreciar que los valores de E (t) a tiempos idénticos pueden ser bastante distintos para 2 reactores con tiempos de residencia medios diferentes. En cambio, para un mismo valor de , el valor de E ( ) es el mismo, independientemente del tamaño de RCTA ideal.
3. LA DTR EN REACTORES IDEALES 3.1. DTR de los reactores RDTA y RCFP
La DTR de estos dos tipos de reactores es la más sencilla que podemos considerar. Todos los átomos que abandonan estos reactores han permanecido el mismo tiempo en el interior del reactor. La función de distribución en tales casos es una flecha de altura infinita y anchura cero, cuya área es igual a uno. Esta flecha aparece a t = V/Q v = o = 1. Matemáticamente esta flecha viene representada por la función delta de Dirac. La E (t) para un RCFP es:
E (t) = (t - )
(27)
La función delta tiene las siguientes propiedades: ( x ) 0
cuando x 0
(x) =
cuando x 0
-
(x)dx = 1
a
g(x) (x - )dx = g( ) b
si a < < b
= 0 si no está dentro del intervalo ab
La función puede verse en la figura 4.
Figura 4. Respuesta de un RCFP ideal a una entrada de trazador en impulso
9
3.2. DTR de un RCTA ideal
En un RCTA la concentración de cualquier substancia en la corriente de salida es idéntica a la concentración en el interior del reactor. En consecuencia, es posible obtener la DTR a partir de consideraciones conceptuales de una forma bastante directa. Planteando un balance de materia para el trazador inerte que ha sido inyectado en impulso en el RCTA, obtenemos: Entrada - Salida = Acumulación 0 - QvC = V(dC/dt)
(28)
Dado que el reactor está perfectamente agitado, C es la concentración de trazador tanto a la salida como en cualquier punto del reactor. Separando variables e integrando, teniendo en cuenta que C = Co para t = 0, obtenemos: C (t) = Co exp (-t/) (29) expresión que permite obtener la concentración de trazador en el efluente para cualquier instante t. Si tenemos en cuenta la definición de E(t) e introducimos el valor de C(t), obtendremos la DTR de un RCTA ideal: E (t )
C (t )
Co exp( t / )
C(t )dt C exp( t / )dt 0
o
0
(30)
Evaluando la integral del denominador, se obtiene la DTR para un RCTA ideal (figura 5): E (t ) exp ( t / ) /
E ( ) exp ( )
(31)
Figura 5. Respuesta de un RCTA a una entrada de trazador en impulso. Con anterioridad ya vimos que el tiempo medio de residencia en un reactor viene dado por V/Qv o . Esta relación puede obtenerse ahora de un modo más simple aplicando la definición de tiempo medio de residencia de una DTR para un RCTA: tm
0
tE (t )dt
t
0
exp( t / )dt
(32)
Es decir, que el tiempo de permanencia nominal (tiempo espacial) = V/Qv es también el tiempo medio de residencia que el material permanece en el reactor. 10
Para conocer la dispersión, calcularemos el segundo momento, la varianza: 2 ( t ) 2 2 (33) exp( t / )dt ( x 1) 2 exp( x )dx 2 0 0
Es decir, . O lo que es lo mismo, que la desviación standard de la distribución de tiempos de residencia es tan grande como la propia media. 3.3. DTR de RCFP/RCTA en serie
En los reactores de tanque agitado existen zonas, en las proximidades del agitador, con un alto grado de agitación y que pueden modelarse como un RCTA ideal. Dependiendo de la localización de las conducciones interiores y exteriores, la mezcla reaccionante puede seguir un camino algo tortuoso bien al entrar, bien al salir de la zona perfectamente agitada, o en ambos casos. Este camino tortuoso puede ser modelado como si se comportara como un reactor de flujo pistón. Así, el reactor tipo tanque se puede modelar como se si tratara de un RCTA en serie con un RCFP, y el RCFP puede preceder o seguir al RCTA. A continuación estudiaremos la DTR para este tipo de reactor.
Figura 6. Reactor real modelado como un RCTA y un RCFP en serie Consideremos, en primer lugar, el sistema constituido por un RCTA seguido de un RCFP (figura 6). El tiempo de residencia en el RCTA lo denominaremos t y el tiempo de residencia en el RCFP, p. Si inyectamos un impulso de trazador a la entrada del RCTA, la concentración a la salida del tanque variará con el tiempo de acuerdo con la expresión: (34) C Coexp ( t / t ) Esta concentración de salida saldrá del RCFP en serie retrasada un tiempo p. Por tanto, la DTR del sistema de reactores en serie vendrá dada por (figura 7):
Figura 7. DTR para un RCTA y un RCFP en serie
11
E(t) = 0 E (t )
t < p
exp ( t p ) / t
t p
t
Veamos ahora el caso de un RCTA precedido por un RCFP. Si se introduce una señal de trazador en impulso a la entrada del RCFP, la misma señal aparecerá a la entrada del RCTA, pero con un retraso de p segundos, por lo que la DTR del sistema será: t < p
E(t) = 0 E (t )
exp ( t p ) / t
t
t p
que es exactamente la misma que cuando el RCTA va seguido por el RCFP. Es decir, no importa el orden en que se coloquen ambos reactores, la DTR resultante es la misma a condición de que la suma de los tiempos de residencia en las dos secciones sea la misma. Sin embargo, esto no es lo único que se debe considerar; en caso de que la reacción que tiene lugar en el sistema fuera de segundo orden, la conversión que se obtendría con ambas disposiciones sería distinta. Ello quiere decir que la DTR no es una descripción completa de lo que sucede en un reactor o sistema de reactores. La DTR es única para un reactor en particular; sin embargo, el reactor o sistema de reactores no es único para una DTR en particular. Al analizar reactores no ideales, no basta con la DTR para caracterizar su comportamiento, sino que necesitamos más información. Veremos que, además de la DTR, es necesario un modelo adecuado acerca del tipo de flujo que hay en el reactor no ideal, así como un conocimiento de la calidad de la mezcla o "grado de segregación" si se quiere caracterizar el reactor de forma adecuada.
4. MODELIZACIÓN DEL REACTOR CON LA DTR En muchas ocasiones el flujo en el interior de un reactor no se ajusta ni a mezcla completa, ni a flujo pistón, por lo que al intentar usar la DTR para predecir la conversión que vamos a obtener, nos encontramos con que los modelos ideales con los que hemos trabajado hasta ahora ya no nos sirven. Habrá, por tanto, que ajustar el reactor real a algún tipo de modelo. Los modelos los vamos a clasificar atendiendo al número de parámetros ajustables que se extraen de la información suministrada por la DTR. PARÁMETROS AJUSTABLES 0 1
2
MODELOS
Modelo de segregación Modelo de máxima mezcla Modelo de tanques en serie Modelo de dispersión Reactor ideal con bypass Reactor ideal con zona muerta Modelado del reactor real como combinación de reactores ideales
12
La DTR proporciona información acerca de cuánto tiempo han permanecido los distintos elementos de fluido en el interior del reactor, pero no da información acerca del intercambio de materia entre dichos elementos, es decir sobre la mezcla. Esta mezcla es uno de los factores que tienen mayor influencia a la hora de controlar el comportamiento de los reactores químicos. Afortunadamente, en reacciones de primer orden, el saber el tiempo que ha pasado cada molécula en el interior del reactor es todo lo que necesitamos para predecir la conversión, ya que la conversión no depende de la concentración. Ello quiere decir que, en este tipo de reacciones, una vez determinada la DTR, podemos predecir la conversión que se obtendrá en el reactor real conocida la velocidad especifica de reacción. Para otros ordenes, sin embargo, la DTR no es suficiente para predecir la conversión y se debe tener información acerca del grado de mezcla de las moléculas, además de la referida al tiempo que han permanecido en el reactor. Consecuentemente, los modelos que desarrollemos deberán tener en cuenta la mezcla de las moléculas en el interior del reactor; deberemos tener información, no sólo de la macromezcla, sino también de la micromezcla. La macromezcla suministra una distribución de tiempos de residencia, pero no especifica de qué modo las moléculas de distintas edades se ponen en contacto entre sí en el reactor. La micromezcla , por otro lado, describe de qué modo se ponen en contacto en el reactor moléculas de distintas edades. La micromezcla oscila entre dos situaciones extremas: En un caso, todas las moléculas con la misma edad permanecen juntas, viajando a través del reactor sin mezclarse con grupos de otras edades, hasta salir del reactor (segregación completa). En el otro, moléculas pertenecientes a grupos de edades distintas, se mezclan completamente a nivel molecular tan pronto como entran al reactor (máxima mezcla). Para un estado dado de macromezcla (dada una DTR), estos dos extremos darán los límites superior e inferior de conversión para un reactor no ideal. En el caso de reacciones de orden >1, el modelo de segregación dará la conversión más alta, mientras que para orden <1, será el de máxima mezcla el que proporcione la máxima conversión. Por otra parte, denominaremos macrofluido a aquel fluido en el que los agregados de moléculas de una cierta edad no se mezclan con otros agregados, mientras que si las moléculas son libres para moverse por donde quieran, el fluido es un microfluido. En la figura 8 se esquematizan ambos tipos de fluidos: cuando la mezcla se produce sólo a la salida ( segregación completa) y cuando la mezcla se produce desde el principio ( máxima mezcla).
Figura 8. (a) Segregación completa.
(b) Máxima mezcla
13
5. MODELOS SIN PARÁMETROS AJUSTABLES 5.1. Modelo de segregación
En un RCTA perfectamente mezclado, el fluido que entra se supone que se distribuye de forma inmediata y uniforme en toda la mezcla reaccionante. Se supone, también, que la mezcla tiene lugar a escala microscópica y que los elementos con edades distintas se mezclan entre sí para formar un fluido completamente micromezclado. Si los elementos de fluido de distintas edades no se mezclan totalmente, los elementos permanecen segregados unos de otros y el fluido se denomina completamente segregado. Ambos extremos constituyen los límites para la micromezcla de la mezcla reaccionante. A la hora de desarrollar un modelo de mezcla segregada emplearemos un RCTA, ya que la aplicación del concepto de mezcla se puede entender más fácilmente si se utiliza este tipo de reactor. En el modelo de flujo segregado, el flujo a través del reactor se visualiza como un flujo continuo de distintos agregados de moléculas (figura 9). Estos agregados mantienen su identidad; es decir, no intercambian materia con otros agregados presentes en el fluido durante el tiempo que permanecen en el medio reaccionante. Además, cada agregado permanece en el reactor un periodo de tiempo distinto. En resumen, estamos considerando que en un mismo agregado se encuentran agrupadas todas las moléculas que tienen el mismo tiempo de residencia.
Figura 9. Pequeños reactores discontinuos (agregados) dentro de un RCTA Otro modo de enfocar el desarrollo del modelo de segregación para un sistema continuo es considerar un RCFP como el de la figura 10.
Figura 10. Modelo de reactor donde la mezcla se hace en el ultimo punto posible
14
Dado que el fluido atraviesa el reactor en flujo pistón, cada salida corresponderá a un tiempo de residencia distinto. Grupos de moléculas se extraen del reactor en diferentes puntos a lo largo de la longitud del mismo, de tal modo que se duplique la función DTR, E(t), del reactor real. Las moléculas extraídas cerca de la entrada corresponden a aquéllas cuyo tiempo de residencia en el reactor es corto. Físicamente este efluente correspondería a las moléculas que atraviesan rápidamente el reactor. Cuanto más viajen las moléculas a través del reactor antes de ser extraídas, mayor será su tiempo de residencia. El punto en que los distintos grupos o cargas de moléculas son extraídos corresponde a la función DTR del reactor. Dado que no hay intercambio molecular entre los agregados, cada uno de ellos actúa como si fuera su propio reactor discontinuo. El tiempo de reacción en cualquiera de estos pequeños reactores discontinuos es igual al tiempo que ese agregado en particular está en contacto con el medio reaccionante. La distribución de tiempos de residencia entre los agregados viene dada por la DTR de ese reactor particular. Para calcular la conversión media en la corriente de salida, sumaremos las conversiones de los distintos agregados en la corriente de salida: Conversión media de aquellos Conversión alcanzada tras Fracción de agregados que agregados que han permanecido permanecer en el reactor x ha permanecido en el en el reactor entre t y t + dt un tiempo t reactor entre t y t + dt d X X (t ) E (t )dt
Extendiéndolo a todos los agregados, la conversión media de acuerdo con el modelo de segregación será: X
X (t ) E (t )dt 0
Por tanto, si tenemos la ecuación para X(t) en el reactor discontinuo y determinamos experimentalmente la DTR, podremos calcular la conversión media en la corriente de salida. Es decir, si disponemos de la DTR y de la expresión de la velocidad en una situación de flujo segregado, podemos calcular la conversión. Consideremos el caso de la reacción de primer orden: A productos Para un RDTA y un sistema de densidad constante: dNA/dt = r AV = - kCAV
NA = NAo (1-X)
dX/dt = k (l - X) Resolviendo para X(t), tenemos la conversión media para una reacción de primer orden: X(t)= l - exp(-kt) X
0 1 exp( kt ) E (t )dt 0 E (t )dt 0 X 1
0
exp( kt ) E (t )dt
15
exp( kt ) E (t )dt
Este modelo se puede aplicar al caso de que la DTR corresponda tanto a un RCFP como a un RCTA (Fogler, 1992; pag. 741). Para primer orden, la conversión que resulta de aplicar el modelo de máxima mezcla o de segregación total es exactamente la misma. Ello se debe a que el cambio en la conversión no depende de la concentración de las moléculas de reactivo y, por tanto, no importa el tipo de molécula anexa a, o colindante con, una determinada molécula. Así, la extensión de la micromezcla no afecta y el modelo de flujo segregado puede utilizarse para calcular la conversión. El resultado es que para calcular la conversión de una reacción de primer orden, sólo se necesita la DTR, sea cual sea el tipo de reactor . Ni el grado de micromezcla, ni el modelo de flujo en el reactor necesitan ser conocidos. 5.2. Modelo de máxima mezcla
En un reactor con flujo segregado, la mezcla entre partículas de fluido no tiene lugar hasta que el fluido abandona el reactor. Evidentemente, la salida del reactor es el último punto posible en que la mezcla puede tener lugar y cualquier efecto de mezcla se pospone hasta que toda la reacción ha tenido lugar. El flujo totalmente segregado puede considerarse, también, como un estado de mínima mezcla. Consideremos ahora el otro extremo; es decir, el de máxima mezcla acorde con una distribución de tiempos de residencia dada. Consideremos de nuevo un RCFP provisto de entradas laterales a lo largo de la longitud del reactor (figura 11). Tan pronto como el fluido entra al reactor se mezcla completamente en el sentido radial (pero no longitudinalmente) con el fluido ya existente en el reactor. El fluido que entra se alimenta a través de las entradas laterales, de tal modo que la DTR del RCFP con entradas laterales es idéntica a la DTR del reactor real.
Figura 11. Modelo de reactor donde la mezcla tiene lugar lo antes posible En la figura 11, los agregados del extremo izquierdo corresponden a las moléculas que han permanecido en el reactor durante un largo periodo, mientras que los del extremo derecho corresponden a las moléculas que han atravesado el reactor mediante caminos preferenciales. En el reactor con entradas laterales, la mezcla tiene lugar lo antes posible, de acuerdo con la DTR del sistema. De este modo, el efecto de mezcla se produce tanto como es posible a través del reactor; es lo que se denomina máxima mezcla.
16
Veamos cómo calcular la conversión en un reactor en las condiciones de máxima mezcla. Llamemos al tiempo que tarda el fluido en moverse desde un punto determinado hasta el final del reactor; es decir, la expectativa de vida del fluido dentro del reactor en el punto considerado (figura 12). Conforme nos movemos en el reactor de izquierda a derecha, disminuye, haciéndose 0 a la salida. En el extremo izquierdo del reactor tiende a , o al tiempo máximo de residencia si éste no es infinito. El caudal volumétrico alimentado a través de las entradas laterales del reactor en el intervalo comprendido entre + y viene dado por Q Vo E() .
Figura 12. Modelado de la máxima mezcla mediante un reactor de flujo pistón con entradas laterales Puesto que en el extremo izquierdo del reactor el caudal es 0, si integramos para las entradas al reactor, desde el punto correspondiente a hasta el extremo izquierdo, el caudal volumétrico en el reactor en el punto correspondiente a vendrá dado por: Qv ( ) Qvo
E ( ) d Qvo 1 F( )
El volumen de fluido cuya expectativa de vida esta comprendida entre y + es: V Qvo1 F ( ) La generación de substancia A en este volumen viene dada por: rA V rA Qvo 1 F()
Si planteamos un balance de substancia A entre y + : [ Entrada en + ] + [ Entrada lateral ] - [ Salida en ] + [ Generación ] = 0 Q vo 1 F( ) CA
Qvo CAo E( ) Qvo 1 F( ) CA rA Qvo 1 F( ) 0
Dividiendo por Qvo y tomando el limite para 0, tendremos: d 1 F ( ) C A ( ) r A 1 F ( ) 0 E ( ) C Ao d
17
C Ao E ( ) 1 F ( )
dC A d
dC A d
C A E ( ) rA1 F ( ) 0
r A (CA C Ao )
E ( ) 1 F ( )
Esta expresión se puede poner, también, en función de la conversión: C Ao dX
d
dX d r A C Ao
r A (C Ao X )
E ( ) 1 F ( )
E ( ) 1 F ( )
X
La condición límite cuando es C A = C Ao (X = 0). Para obtener una solución, la ecuación se integra numéricamente, empezando para grandes valores de y finalizando con la conversión final para = 0. 5.3. Grado de segregación
Los dos modelos de cero parámetros estudiados permiten establecer los límites entre los que se moverá la conversión en un reactor no ideal. A fin de determinar cuál es nivel de micromezcla existente, Zwietering (Chem. Eng. Sci. 11, 1, 1959) definió el grado de segregación, J, como: J=
Varianza de las edades entre puntos de fluido Varianza de las edades de todas las moléculas del sistema
Este grado de segregación puede variar entre: J=1 Segregación total J=0 Máxima mezcla Valores de la varianza y de J para casos intermedios pueden obtenerse en los trabajos de Zwietering (1959) y Himmenblau y Bischoff (1968).
6. MODELOS QUE EMPLEAN PARÁMETROS No todos los reactores tipo tanque están perfectamente mezclados ni todos los reactores tubulares exhiben un comportamiento de flujo pistón. Por ello, se requiere el empleo de una serie de medios para tener en cuenta las desviaciones del comportamiento ideal a la hora de efectuar los cálculos. Hemos visto que la DTR es suficiente cuando la reacción es de primer orden o si el fluido está en un estado de mezcla máxima o de total segregación. Ambos modelos (mezcla máxima y segregación total) se utilizan para definir la conversión que se podrá obtener cuando no se emplean parámetros ajustables. En el caso de reacciones que no son de primer orden, en fase líquida y con buena micromezcla, no es suficiente con disponer de la DTR, algo que es bastante común al analizar reactores y que no puede ser ignorado. Para predecir la conversión en estos sistemas es necesario disponer de un modelo del tipo de flujo que hay en el reactor. Para ello se utilizará combinaciones y/o modificaciones de los reactores ideales que permitan representar el reactor real. Tendremos dos grupos de modelos: los que utilizan un parámetro (modelo de tanques en serie, modelo de 18
dispersión) y los que emplean dos parámetros (reactor con bypass y zona muerta, etc.). La DTR se emplea en estos modelos para evaluar los parámetros correspondientes. La elección del modelo particular a emplear depende, en gran medida, del juicio ingenieril (criterio) de la persona que está llevando a cabo el análisis, cuya misión es seleccionar el modelo que mejor conjuga los intereses contrapuestos de la simplicidad matemática y el realismo físico. Para un reactor real dado, no resulta raro que se usen todos los modelos mencionados para calcular la conversión y luego se haga una comparación. Respecto a la simplicidad matemática, las ecuaciones que describan el modelo deberán poder resolverse y obtener una solución sin un gasto excesivo de tiempo humano o de ordenador. No tiene sentido describir un cierto comportamiento de una forma muy precisa con un conjunto de ecuaciones integrodiferenciales muy interconectadas y con condiciones límite muy complejas, si luego la solución es prácticamente inobtenible. Por ello, lo normal suele ser asegurar la tratabilidad matemática del modelo mediante la modelización del reactor real como una combinación de reactores ideales. Una aproximación alternativa es realizar ligeras modificaciones en el modelo ideal en lugar de utilizar combinaciones de ellos. La modificación debe conducir a ecuaciones que se resuelvan fácilmente, sin requerir un esfuerzo adicional no justificado. Algunas posibles modificaciones son el RCTA con zonas muertas, el RCPF con dispersión axial superpuesta y el RCPF con entradas y salidas laterales. Respecto al realismo físico, las principales características del reactor real, las que provocan su desviación del comportamiento ideal, deben quedar reflejadas con precisión por el modelo. La elección se convierte así, en algo parecido a un arte: En el caso de un reactor agitado, hay una zona próxima al agitador muy agitada, mientras que en zonas más alejadas, la agitación es menor. Tanto el conducto de entrada como el de salida del reactor están conectadas con la región más agitada. En la figura 13 se muestran dos posibles combinaciones de reactores ideales para describir el comportamiento real. Cualquiera de los dos modelos es posible, por lo que la selección de cuál representa mejor la situación real depende por completo del conocimiento del ingeniero.
Figura 13. Dos posibles combinaciones de reactores ideales para describir un RCTA real . Señalemos, por último, que a la hora de modelizar el reactor debemos tener en cuenta una regla casi inviolable: " El número máxi mo de parámetr os ajustabl es en el modelo debe ser 2 ". Si se emplean más de dos parámetros, cualquier ensayo con el modelo pierde su valor y no existe criterio
19
para definir si el modelo representa o no de forma razonable la situación física real. Esta restricción se debe a que una expresión con más de 2 parámetros ajustables se puede ajustar a una variedad de datos experimentales y el proceso de modelización, en este caso, se convierte meramente en uno de ajustar una curva. Si un modelo de 1 parámetro es suficientemente práctico, será preferible a uno de 2 parámetros. Sin embargo, en sistemas complejos donde pueden medirse otros parámetros independientemente, puede resultar aceptable usar más de 2 parámetros. Entre los modelos de 1 parámetro, además del de tanques en serie o el de dispersión, se pueden proponer muchas combinaciones de modelos ideales. Así, si el reactor fuera modelizado como un RCPF y un RCTA en serie, el parámetro sería la fracción de volumen total que se comporta como RCTA. Otra posibilidad sería la fracción de fluido que atraviesa en cortocircuito el reactor ideal. A pesar de todas las posibilidades que podemos imaginar con 1 parámetro, en ocasiones esto no es suficiente para adecuar teoría y práctica. Para solventarlo, se combinarán reactores ideales empleando 2 parámetros. Una vez elegido un modelo, tendremos que ver si es razonablemente adecuado y determinar el valor de sus parámetros. El modo más sencillo de obtener los datos necesarios es, por lo general, mediante algún ensayo con trazador. A partir del ensayo podemos obtener la DTR y con ella ver la adecuación del modelo y el valor de sus parámetros. Por lo general, no es necesario calcular la función de DTR E(t). La información necesaria se puede obtener directamente de la medida de concentración de trazador a la salida. La predicción teórica del resultado del test de trazador en el modelo elegido se compara con la medida de trazador en el reactor real. Los parámetros del modelo se elegirán de modo que se obtenga la mayor concordancia posible entre el comportamiento de ambos test de trazador. Si la concordancia es lo suficientemente grande, el modelo se considerará que es razonable; en caso contrario, se elegirá otro modelo. Lógicamente el criterio por el cual se considera que la concordancia es "suficientemente grande" depende del juicio del ingeniero. Lo máximo que se puede pedir es que el error máximo en la predicción no exceda el error estimado en el ensayo con trazador y que no se aprecien tendencias a lo largo del tiempo en la diferencia entre la predicción (el modelo) y la observación (el reactor real). Una exigencia menos estricta es, por lo general, permisible sin que por ello el modelo deje de ser adecuado.
7. MODELOS DE UN PARÁMETRO En estos modelos el parámetro ajustable suele ser evaluado a partir del análisis de la DTR que se obtiene con un test de trazador. Ejemplos de modelos de 1 parámetro para un RCTA no ideal son: el reactor con un volumen muerto (V D) en el que no tiene lugar reacción o con una parte del fluido (f) que atraviesa el reactor en cortocircuito y por tanto no reacciona. En el caso de reactores tubulares hay dos modelos: en el de tanques en serie , el parámetro es el nº de tanques (n), mientras que en el de dispersión , el parámetro es el coeficiente de dispersión ( De). Una vez conocido el valor del parámetro, procederemos a calcular la conversión y/o las concentraciones a la salida del reactor. En el caso de un reactor tubular no ideal, éste puede estar vacío o puede estar empaquetado con una substancia que actúe como catalizador, o como medio de transmisión de calor o promotor 20
del contacto entre fases. Hasta ahora, al analizar un reactor tubular ideal hemos supuesto que el fluido se mueve en flujo pistón a través del reactor, con lo que cada átomo pasa en el reactor el mismo tiempo, y que el perfil de velocidades es plano y no hay mezcla axial. Ambas suposiciones son falsas, en mayor o menor medida, en todos los reactores tubulares; en ocasiones, lo suficientemente falsas como para necesitar ciertas modificaciones. Dos aproximaciones suelen usarse para compensar los fallos en las dos suposiciones ideales. En un caso se modeliza el reactor real como una serie de RCTA del mismo tamaño. En el otro (modelo de dispersión) se superpone una dispersión axial al flujo pistón. 7.1. Modelo de tanques en serie
En primer lugar analizaremos la DTR para determinar el nº de RCTA en serie necesarios para obtener una DTR similar al reactor real. A continuación, aplicaremos las ecuaciones estudiadas para el RCTA ideal a fin de calcular la conversión. Veremos primero el caso de tres tanques (figura 14), desarrollando las ecuaciones para la expresión de la DTR y luego lo generalizamos para n reactores en serie a fin de obtener una ecuación que nos de el nº de tanques en serie que mejor se ajusta a los datos de la DTR real.
Figura 14. Modelo de tanques en serie Si se inyecta una señal de trazador en impulso en el primer tanque, la fracción de trazador que abandona el sistema de 3 reactores tras permanecer en el sistema un tiempo comprendido entre t y t+t, viene dado por: Q C (t )t C (t ) E (t )t v 3 3 t
N 0
0
C 3 (t )dt
y por tanto: E (t )
C 3 (t )
0
C 3 (t )dt
En esta expresión, C 3(t) es la concentración de trazador en la salida del tercer reactor. Ahora debemos obtener esta concentración en función del tiempo. Para un sólo RCTA, el balance de materia del primer reactor será:
21
dC 1
V 1
dt
QvC 1
Integrando, obtenemos la expresión de la concentración de trazador a la salida del primer reactor: C 1 C 0 exp( Qvt V 1 ) C 0 exp( t 1 ) Dado que el caudal volumétrico es constante (Q v = Qv0) y que el volumen de todos los reactores es el mismo (V 1 = V2 = Vi), los tiempos espaciales serán idénticos ( 1 = 2 = i), siendo i el tiempo de residencia en uno de los reactores, no en todo el sistema. Planteando un balance del trazador en el segundo reactor: dC 2
V i
dt
QvC 1 QvC 2
Teniendo en cuenta la expresión que hemos obtenido anteriormente para C 1, llegamos a la ecuación diferencial: dC 2 dt
C 2
i
C 0
exp( t i )
i
que puede resolverse usando un factor de integración exp (t/i) junto con la condición inicial C 2 = 0 para t = 0: C 2
C 0t i
exp( t i )
Usando el mismo procedimiento para el tercer reactor, obtenemos la expresión para la concentración de trazador a la salida del tercer tanque (y, por tanto, del sistema): C 3
C 0t 2 2 i
exp( t i )
2
Sustituyendo en la ecuación para la curva E(t): E (t )
C 3 (t )
0
C 3 (t )dt
t 2 2 i
3
exp( t i )
Si generalizamos para n tanques iguales en serie: E (t )
t n 1 (n 1)! i
n
exp( t i )
Dado que el volumen total es nV, se cumplirá que i = /n siendo el cociente del volumen total del sistema por el caudal volumétrico Q v, y si llamamos = t/, tendremos: E ()
n ( n) n
1
( n 1)!
exp n n i E (t )
En la figura 15 se muestra la DTR para distinto nº de RCTA en serie. Conforme aumenta n, el comportamiento se acerca más a flujo pistón. 22
Figura 15. Respuesta a una entrada de trazador en impulso en función del número de tanques de acuerdo con el modelo de tanques en serie. El número de reactores en serie puede calcularse a partir de la varianza adimensional ( )2: 2
2 2
( 1)2 E ()d 0
0
0
0
2 E ()d 2 E ()d E ()d
E ()d 1 2
0
2
n ( n)
(n 1)!
0
nn ( n 1)!
n 1
0
n 1
exp( n) d 1
exp( n) d 1
1 (n 1)! 1 ( n 1)! n n 2 n nn
Por tanto: n
1
2
2 2
expresión que nos da el nº de tanques necesarios para modelizar el reactor real como una serie de n RCTA en serie. Si la reacción es de primer orden: 1er reactor:
C A1
2o reactor:
V 2
C A0 1 1k 1
n A1 n A2 (r A ) 2
Qv 0 (C A1 C A 2 ) k 2C A 2
23
Despejando C A2: C A2
C A1 1 2 k 2
C A0 (1 2 k 2 )(1 1k 1 )
Como 1 = 2 = i y la Tª es constante (k 1 = k 2 = k i), podremos generalizar la expresión como: C An
C A0 (1 i k )
n
C A0 (1 Da ) n
siendo ik el número de Damkohler de la reacción. Por tanto, podremos expresar la conversión como: siendo
i
X 1
1 (1 i k ) n
V / n Qv 0
Por lo general, se considera el valor de n obtenido a partir de la varianza como un nº no entero a la hora de calcular la conversión. Si la reacción no es de primer orden habrá que realizar balances molares secuenciales en cada reactor. 7.2. El modelo de dispersión
En este modelo se considera que existe una dispersión del material, regida por una expresión análoga a la de Fick para difusión, que se superpone al flujo. Así, además del término uS debido al flujo de la masa de fluido, cada componente de la mezcla será transportado a través de cualquier sección del reactor con una velocidad adicional [ DeS(dC/dz)] debida a la difusión molecular y turbulenta. A primera vista, este modelo sencillo podría servir sólo para los efectos de la mezcla axial. Sin embargo, puede verse que sirve para compensar también los efectos de mezcla radial y los debidos a perfiles de velocidad no planos. Estas fluctuaciones en la concentración pueden deberse tanto a distintas velocidades y caminos de flujo, como a difusión molecular y turbulenta. Para ilustrar el modo en que la dispersión afecta a la concentración en un reactor tubular, consideraremos el caso de una inyección de trazador en impulso (figura 16). Puede verse que el impulso se va ensanchando conforme avanza por el reactor y se va haciendo más diluido.
Figura 16. Efecto de la dispersión sobre una entrada en impulso en un reactor tubular.
24
El caudal molar de trazador tanto por convección como por dispersión es: nT De S
C T
uSC T
z
En esta expresión, De es el coeficiente de dispersión efectivo (m 2/s) y u es la velocidad superficial. En el texto de Levenspiel (2009) pueden obtenerse expresiones para correlacionar De en sistemas líquidos y gaseosos. Si planteamos un balance de trazador inerte:
nT z
S
C T t
Substituyendo para n T y dividiendo por la sección de paso S: De
2C T 2
z
(uC T ) z
C T t
Si utilizamos las variables adimensionales:
C T C T 0
=
z
=
L
tu L
t
donde CTo es el cociente entre la masa de trazador inyectada (M) y el volumen del recipiente (V), llegamos a la siguiente ecuación diferencial adimensional: De 2 uL 2
El parámetro De/uL es el denominado " módulo de dispersión del r ecipi ente " o módulo de Peclet-Bodestein (Bo) que mide el grado de dispersión axial. Cuando este módulo tiende a cero, el sistema está en flujo pistón y cuando tiende a infinito (gran dispersión) tenemos mezcla completa. En el caso de un lecho empaquetado, el módulo sería De/ud p donde d p es el diámetro de partícula y la porosidad del lecho. A la hora de establecer las condiciones límite consideraremos dos casos: recipientes cerrado-cerrado en los que no exista ni dispersión ni variación radial de la concentración, tanto aguas arriba como aguas abajo de la zona de reacción; recipientes abierto-abierto en los que hay dispersión tanto aguas arriba como aguas abajo de la zona de reacción. Ambos casos se recogen en la figura 17, donde se observa que las fluctuaciones de la concentración debidas a la dispersión se superponen al perfil de velocidades en flujo pistón. Un recipiente cerrado-abierto no tendría dispersión a la entrada pero sí a la salida de la zona de reacción.
Figura 17 Efecto de la dispersión sobre el perfil de velocidades. 25
a) Condiciones de contorno para un recipiente cerrado-cerrado: En este caso, inmediatamente antes de la zona de entrada al reactor (z = 0 -) e inmediatamente después de la zona de salida (z = L +) tenemos flujo pistón (sin dispersión). Sin embargo, entre z = 0 + y z = L- hay dispersión y reacción. La correspondiente condición de contorno es: nT(0-, t)=nT(0+, t) Substituyendo el valor de n T obtenemos: uSC T (0 , t ) S De
C T
uSC T (0 , t ) z z 0
Teniendo en cuenta que a la entrada C T(0-, t)=CTo: C To
De C T
C T (0 , t ) u z z 0
A la salida de la zona de reacción, la concentración es continua y no hay gradiente de trazador. Por tanto, cuando z = L: C T ( L ) C T ( L ) C T z
0
que son conocidas como las condiciones de contorno de Danckwerts (1953). Bischoff (1961) las obtuvo de forma rigurosa resolviendo la ecuación diferencial que rige la dispersión en las secciones de entrada y salida y tomando el límite conforme De en las secciones de entrada y salida tiende a 0. A partir de la solución, obtuvo unas condiciones de contorno en la sección de reacción idénticas a las propuestas por Danckwerts. La condición inicial es : t = 0, z > 0 CT (0+, 0) = 0 La masa de trazador inyectada (M) viene dada por:
M uS
0
C T (0 , t )dt
En forma adimensional, las condiciones de contorno de Danckwerts son: De
uL
0
1
C T (0 , t ) C To
0
En la figura 18 se puede observar una representación de la concentración de trazador adimensional en función del tiempo adimensional , para diversos valores del módulo de dispersión. Bischoff y Levenspiel (1963) encontraron para este caso las siguientes relaciones para el tiempo medio de residencia y la varianza:
26
Figura 18. Curvas C en recipientes cerrados predichas por el modelo de dispersión en función del grado de micromezcla. t m
D D 2 e 2 e 2 t m uL uL
2
2
uL 1 exp De
Levenspiel (1972) presenta una serie de correlaciones del módulo de dispersión con los módulos de Reynolds y Schmidt. Experimentalmente, el módulo de dispersión puede calcularse a partir de los valores de tm y 2 obtenidos de la DTR, substituyendo en la expresión anterior. b) Condiciones de contorno para un recipiente abierto-abierto Estas condiciones serían aplicables en el caso de un lecho empaquetado en el que se inyectara trazador en un punto situado aguas abajo de la entrada, una distancia que fuera 2-3 veces el diámetro de partícula, y cuya concentración se midiera a cierta distancia antes de la salida. Una solución de la ecuación diferencial adimensional podría obtenerse para el caso de una inyección en impulso. Para un sistema abierto-abierto, las condiciones de contorno a la entrada son: nT (0-, t) = nT (0+, t) y si el coeficiente de dispersión es el mismo a la entrada que en la zona de reacción, tendremos:
27
C uC T 0 , t De T uC T 0 , t z z 0 z z 0 C T 0 , t C T 0 , t
De
C T
mientras que a la salida: C uC T L , t De T uC T L , t z z L z z L C T L , t C T L , t
De
C T
Además de estas condiciones de contorno, pueden darse muchas otras modificaciones. Así, el coeficiente de dispersión puede tomar valores distintos en cada una de las 3 regiones (z < 0; 0 z L y z > L) y/o el trazador puede inyectarse en un punto z 1 distinto de z = 0. Su resolución puede encontrarse en la bibliografía. Sin embargo, nosotros consideraremos sólo el caso de que el coeficiente de dispersión sea el mismo para cualquier valor de z y que se inyecte trazador en impulso en el punto z = 0 a tiempo t = 0. Utilizando las condiciones de contorno anteriores, la ecuación diferencial adimensional conduce a la siguiente expresión para la concentración de trazador a la salida: (1 ) 2 C T ( L, t ) 1 (1, ) exp C To 2 De / uL 4 De / uL El tiempo medio de residencia correspondiente es:
t m 1 2
De uL
donde está basado en el volumen entre z = 0 y z = L; es decir, el volumen de reactor medido con un aparato calibrado (probeta o similar). Nótese que el tiempo medio de residencia para un sistema abierto es mayor que para un sistema cerrado. La varianza será: D 2 8 e 2 t m uL uL
2
De
2
A continuación consideraremos 2 casos en los que se puede utilizar las expresiones anteriores para determinar los parámetros del sistema: 1er caso:
Se conoce el tiempo espacial . Es decir, V y Q vo han sido medidos de forma independiente. Podemos calcular el módulo de dispersión si, a partir de los datos de concentración-tiempo, obtenemos los valores de t m y 2 y los introducimos en la expresión de la varianza. Otra posibilidad es calcular t m y, en la expresión del tiempo medio, hallar el módulo de dispersión y compararlos, aunque esto es menos preciso. 2º caso:
No se conoce el tiempo espacial . Esta situación se presenta cuando hay zonas muertas o estancadas en el reactor, junto con efectos de dispersión. En este caso, calculamos primero t m y 2 a partir de los datos concentración-tiempo. Seguidamente, se resuelve la expresión para la varianza y se obtiene el módulo de dispersión. Por último, se substituye en la expresión del tiempo medio y se
28
obtiene el valor de y, por tanto, de V. El volumen muerto es la diferencia entre el volumen medido con un aparato calibrado y el volumen calculado con la DTR. Como ya se ha comentado, uno de los problemas que presenta la inyección en impulso es conseguir que la entrada se haga rápidamente. En ocasiones no es posible y se tarda un cierto tiempo en introducir el trazador. En estos casos, la diferencia entre las varianzas a la entrada y a la salida del reactor puede servir para calcular el módulo de dispersión: 2 S 2 E 2
siendo 2E la varianza medida aguas arriba (cerca de la entrada) y S2 la varianza medida aguas abajo (cerca de la salida). En el caso de un sistema abierto-abierto, Aris (1959) encontró que el módulo de dispersión puede calcularse a partir de la siguiente expresión: De 2 2 2 t m
uL
Cuando la dispersión es pequeña: (1 ) 2 C T ( L, t ) 1 (1, ) exp C To 2 De / uL 4 De / uL t / 1
2
2
2 De / uL
m2
7.2.1. Sistemas con reacción y dispersión Si consideramos un reactor tubular en el que simultáneamente tenemos dispersión y reacción y planteamos un balance molar de componente A, en un intervalo z del reactor: nA – (nA + dnA) + r A dV = 0
1 dn A S dz
r A 0
S dz dV
Combinando esta expresión con la del caudal molar de substancia A: n A De S
C A z
uSC A
obtenemos una ecuación diferencial de segundo orden: De d 2C A u
dz 2
dC A dz
r A u
0
que sólo es lineal cuando la velocidad de reacción es de orden 0 o 1. Cuando la cinética es de primer orden (r A = - k CA) se obtiene la expresión: De d 2C A u
dz 2
dC A dz
kC A u
0
que tiene en cuenta el flujo, la dispersión y la reacción. 29
Utilizando de nuevo parámetros adimensionales: De d 2 2
uL d
d d
kL u
0
El cociente kL/u es el llamado número de Damköhler para convección (Da) y, físicamente, su significado es: Da
velocidad de desaparición de A por reacción velocidad de transporte de A por convección
kCnAo1L u
kCnAo1
Podemos observar que la concentración del reactivo A, a su paso a través del reactor, depende de 3 módulos adimensionales: el módulo de Damköhler, el de dispersión y el orden de reacción. Si consideramos un sistema cerrado-cerrado, aplicaremos las condiciones de contorno de Danckwerts: Para 0
De d
uL d d 0 d
1
1
A la salida del reactor, donde = 1, la solución será: L
C AL C Ao
1 uL 2 D e
4a exp
1 X A
2 De
siendo
1 + a 2 exp a uL 1 - a 2 exp a uL 2 De
a 1 4 Da De / uL
expresión que permite conocer la conversión que se obtendría para una reacción de 1 er orden que se realizara en un reactor tubular o en reactor de lecho empaquetado con dispersión. Si se reordenan los términos, obtenemos la conversión en función del Da y del módulo de dispersión: 1 uL 2 D e
4a exp X A 1
1 + a 2 exp a uL 1 - a 2 exp a uL 2 De
2 De
En la figura 19 se muestra una gráfica que permite comparar fácilmente el tamaño de reactor para flujo pistón y para flujo disperso en pistón. Cuando hay poca desviación del flujo pistón, la ecuación queda reducida a: 2 2 k 2 De exp Da Da exp Da C Ao uL 2
C A
30
Figura 19. Comparación entre un reactor real y un RCFP para reacción de orden 1 en fase líquida Si comparamos con un RCFP ideal, para una misma conversión (C A = CAp): L L p
V V p
1 Da
De uL
y para un mismo tamaño de reactor (V = V p): C A C Ap
1 Da 2
De uL
8. MODELOS DE DOS PARÁMETROS Por desgracia, en los modelos más complejos no es posible obtener con facilidad los parámetros, por lo que deben calcularse mediante una regresión lineal, empleando directamente la curva de respuesta del trazador predicha. No obstante, existen excepciones a esta regla general: En la figura 1 veíamos dos posibilidades de que el RCTA real pudiera ser modelizado. Se trata, tan solo, de dos de las muchas posibilidades existentes. Ahora bien, si limitamos el número de parámetros ajustables a 2, el problema se puede abordar más fácilmente, Para ilustrarlo, consideraremos 2 modos distintos de modelizar un RCTA. 8.1. RCTA con intercambio de materia
Consideremos el caso de que exista una región fuertemente agitada en las proximidades del agitador y que fuera de esta región, la agitación es menor (figura 20). Ambas regiones tienen un 31
importante intercambio de materia. Consideraremos, además, que las conducciones de entrada y salida están conectadas con la zona de mayor agitación. Cada zona se modelizará como un RCTA, estando ambos conectados y existiendo transferencia de material entre ellos.
Figura 20: a) Reactor real.
b) Reactor modelizado
Si planteamos un balance molar sobre el trazador (Figura 21), inyectado en impulso a t = 0, para cada uno de los tanques, obtenemos: A=E-S (no hay generación de trazador) 1)
V 1
2)
V 2
dC T 1 dt dC T 2 dt
Qv1C T 2 (Qv 0C T 1 Qv1C T 1 ) Qv1C T 1 Qv1C T 2
siendo CT1 y CT2, respectivamente, las concentraciones de trazador en ambos reactores. Por otra parte, (CT1)o = NTo/V1 y (CT2)o = 0.
Figura 21. Reactor modelizado como 2 RCTA con intercambio de materia En este modelo, los dos parámetros ajustables son el caudal intercambiado (Q v1) y el volumen de la región más agitada (V 1). Hay que recordar que el volumen medido (V) es la suma de V1 y V2. Llamaremos a la fracción del caudal total que se transfiere entre ambos reactores: 32
Qv1 = Qvo y a la fracción del volumen total que corresponde a la zona más agitada: V1 = V V2 = (1 - ) V Por otra parte, el tiempo espacial ( ) viene dado por el cociente V/Q vo, por lo que:
tQv0 V
Substituyendo en los balances de ambos reactores, llegamos a dos ecuaciones diferenciales acopladas que describen el comportamiento en R.N.E. del trazador y que deben resolverse de forma simultánea:
dC T 1 d
(1 )
C T 2 (1 )C T 1 dC T 2 d
(*)
C T 1 C T 2
Las condiciones iniciales ( = 0) para este caso son: 1) CT1 = (CT1)o 2) (CT2)o = 0 y, por tanto, en la ecuación (*), obtenemos: 1 dC T 1 C T 1 o d o
3)
La resolución [Fogler (1992), pg. 781-2] nos permite obtener la concentración de trazador a la salida del sistema: C T 1
C T 1 o impulso
( m1 1)exp m2t / ( m2 1) exp m1t / (m1 m2 )
siendo: 1 4 (1 ) 1 1 1 2 2 (1 )
m1 , m2
Si el tanque 1 es pequeño comparado con el 2 ( pequeño) y la velocidad de transferencia entre ambos reactores es pequeña ( pequeño), el segundo término exponencial tiende a 1 durante la primera parte de la respuesta a una inyección en impulso. Durante la segunda parte, el primer término exponencial tiende a 0. Si representamos el logaritmo de la concentración de trazador frente al tiempo, la curva de respuesta tenderá a una linea recta en ambos extremos de la curva y los parámetros se obtendrán a partir de las pendientes (m 1 para =t/ y m2 para 0 ) y de los puntos de corte de ambas rectas (para , el punto de corte vale – {m2 + + 1}/{m1 – m2}). Una vez determinados los parámetros del modelo, los utilizaremos para determinar la conversión que se obtendría en el reactor real. Para ello, habrá que plantear los balances de materia en R.E. para ambos reactores (Figura 20b): 33
1)
( QvoC Ao Qv1C A 2 ) (QvoC A1 Qv1C A1 ) rA1V1 0
2)
Qv1C A1 Qv1C A 2 rA 2 V2 0
Resolviendo simultáneamente ambos balances y teniendo en cuenta la ley de velocidad, podemos obtener la conversión. Consideremos una reacción de primer orden: - r A = k CA Teniendo en cuenta los parámetros del modelo: Qv1=Qv0 V1=V el balance en el segundo reactor se transforma en: Qvo CA1- Qvo CA2- k CA2 (1-) V = 0
y despejando C A2: C A2
C A1 (1 ) k
Sustituyendo en el balance del primer reactor, obtenemos: C A1 QV 0C A0 QV 0 QV 0C A1 QV 0C A1 kC A1 V 0 ( 1 ) k Despejando C A1: C A1
C A0
1 k 2 (1 ) k
y ya podemos obtener la conversión: 1
C A1 C A0
( k ) (1 ) k 2
(1 k ) (1 ) k 2
Para valores de k elevados: C A1
C A0 1 k
C A0 k
se puede apreciar que la concentración que sale del sistema depende de los tamaños relativos de ambos volúmenes ( ), pero no de la cantidad de fluido intercambiada ( ). Esto es también válido para el caso en que >>(1-)k: C A1
C A0 1 k 2 /
Para valores de k pequeños: C A1
C A0 1 0 2 /
34
C A0
C A0 k
lo que demuestra la consistencia de la ecuación obtenida. En efecto, si k es muy pequeño el avance de la reacción no debe ser significativo. Veamos ahora el caso de que el número de Damköhler tenga un valor intermedio, por ejemplo k = 1: Si = 0.5 y = 0.5 Si = 1
C A1 C A0 C A1
y = 0
C A0
0.57 X 0.43 0.5 X 0.5
8.2. RCTA con volumen muerto y cortocircuito
En este caso el RCTA real se modeliza como la combinación de un RCTA ideal de volumen Vt, una zona muerta de volumen V d y un bypass (cortocircuito) de caudal volumétrico Q vb (figura 22). Mediante una inyección de trazador evaluaremos los parámetros del modelo V t y Qvt. Dado que el volumen total y el caudal volumétrico son conocidos, una vez hallemos los valores de V t y Qvt, Vd y Qvb son fácilmente obtenibles. Si inyectamos trazador en escalón positivo en el esquema de la figura 22b, el balance en RNE de trazador no reaccionante en el volumen de reactor V T, es: QVt C To QVt C Ts
dN Ts dt
V t
dC Ts dt
Recordando que para una entrada en escalón positiva se cumple que a: t<0 CT = 0 t 0 CT = CTo el balance de trazador en el punto de unión de ambas corrientes será: C T
QvbC To Qvt C Ts Qvo
Figura 22. a) Reactor real.
b) Reactor modelizado. 35
Si definimos: Vt = V Qvb = Qvo = V/Qvo
Integrando y substituyendo en la expresión del balance de trazador en el reactor, tendremos: 1 t C Ts 1 exp C To por lo que la expresión de la concentración de trazador que sale del sistema será: 1 t C T 1 (1 ) exp C To Si reordenamos la ecuación, podremos obtener los parámetros del modelo (Q vt y Vt) a partir de una representación de la concentración de trazador a la salida en función del tiempo: ln
C To C To C T
ln
1 t 1 1
En consecuencia, al representar ln[C To/(CTo - CT)] frente al tiempo, si el modelo es correcto, debería obtenerse una linea recta de pendiente (1 - )/ y una ordenada en el origen de valor ln[1/(1-)]. Veamos cómo obtener la conversión con este modelo en el caso de la reacción de primer orden: AB. Si planteamos un balance de reactivo A en el punto 2, en el que la corriente en cortocircuito y la corriente de salida del reactor se mezclan (figura 23), obtendremos: CAo Qvb + CAs Qvt = CA (Qvb +Qvt)
Figura 23.- Reactor tipo tanque con volumen muerto y cortocircuito 36
Despejando C A, la concentración a la salida del sistema: C A
QvbC Ao Qvt C As Qvb Qvt
QvbC Ao Qvt C As Qvo
Si definimos = Vt/V y = Qvb/Qvo, tenemos: CA = CAo + (1 - ) CAs Para una reacción de primer orden, el balance molar de A en el reactor donde tiene lugar la reacción (Vt) da: Qvt C Ao Qvt C As kC AsV t 0 C As
Por tanto:
C A C A0
C A0 (1 )Qv 0 (1 )Qv 0 Vk
1 X
(1 ) 2 (1 ) k
expresión que permite calcular la conversión en función de los parámetros del modelo. En los modelos anteriores se ha tratado de modelizar el reactor real mediante una combinación de reactores ideales. En cada caso aparecen dos parámetros ( y ). Si ambos parámetros son conocidos, podremos predecir fácilmente la conversión para cada modelo.
9. OTROS MODELOS DE REACTORES REALES QUE EMPLEAN RCTA Y RCFP Hasta ahora hemos discutido acerca de diversos modelos de reactores. Todos ellos se basan en la observación física de que en casi todos los tanques agitados hay una zona bien mezclada en las proximidades del agitador, zona que se suele representar mediante un RCTA. La región exterior a esta zona bien agitada puede modelizarse de diversos modos. Los modelos más sencillos, que tienen el RCTA principal conectado a una zona muerta, ya han sido considerados; si se sospecha que algo del alimento puede salir en cortocircuito, se añade una corriente en bypass. La etapa siguiente será probar todas las otras posibles combinaciones que pueden emplearse para modelizar un reactor real usando sólo RCTA, RCFP, volúmenes muertos y cortocircuitos. La cantidad que se transfiere entre dos reactores es uno de los parámetros del modelo. La situación de la entrada y de la salida del modelo de reactor dependerá de la situación física en el reactor real. La figura 24 muestra la respuesta de trazador, en términos de curvas E o F, para distintos modelos (Levenspiel, 2009).
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Figura 24: Combinaciones de reactores ideales usadas para modelizar reactores reales.
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Figura 24: Continuación
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Figura 24: Continuación
10. EL EMPLEO DE LA DTR FRENTE A LA NECESIDAD DE UN MODELO A lo largo del tema hemos visto cómo predecir la conversión en reactores no ideales. Casi siempre, necesitaremos medir o estimar la DTR del reactor. Si la reacción es de primer orden, la conversión se puede predecir, simplemente, usando la DTR. Un mayor conocimiento del tipo de flujo y sus características no es necesario para predecir la conversión en reacciones de primer orden. Si no es de primer orden, la DTR se suele emplear para establecer los límites de la conversión, utilizando los conceptos asociados con la micromezcla. Un límite se obtiene tratando el fluido reactante como si estuviera completamente segregado; el otro, se obtiene de considerar el fluido en estado de máxima mezcla.
40
Si la reacción no es de primer orden y se requiere una estimación más precisa de la conversión, se debe asumir un modelo de reactor. La elección del modelo apropiado es casi un arte, debiendo poseer el modelo de flujo propuesto las características más importantes del reactor real. Las figuras 25 y 26 muestran desviaciones del comportamiento esperable en caso de flujo pistón y mezcla completa, así como posibles causas de esa deviación. Existen disponibles modelos standard que han sido utilizados con cierto éxito y que pueden servir como punto de partida. Los modelos para reactores tipo tanque consisten, por lo general, en combinaciones de RCFP, RCTA perfectamente agitados y espacios muertos, en una combinación que se ajusta, tanto como es posible, al modelo de flujo en el reactor. Para reactores tubulares, el modelo de dispersión es el más empleado. Los parámetros en el modelo, que no deberían ser más de 2, se obtienen a partir de la DTR. Una vez evaluados los parámetros, se puede calcular la conversión en el modelo y, por tanto, en el reactor real. En los modelos típicos de reactor tipo tanque, la conversión es la correspondiente a un sistema de reactores serie-paralelo. En el modelo de dispersión, la ecuación diferencial de 2º orden se debe resolver, generalmente por métodos numéricos. Una solución analítica sólo es posible en reacciones de primer orden, pero ya hemos indicado que en este caso no hace falta suponer un modelo, basta con disponer de la DTR. Existen correlaciones para predecir la dispersión que cabría esperar en reactores de lecho empaquetado comunes, por lo que estos sistemas podrán diseñarse empleando el modelo de dispersión y sin necesidad de obtener o estimar la DTR. Éste es, quizás, el único caso en que la DTR no es necesaria para el diseño de un reactor no ideal.
Figura 25. Desviaciones del comportamiento ideal de flujo pistón 41
