Suponga que la admisión a una universidad satisface el modelo de logística, si hace 5 años la admisión era 1.000 y si la admisión ahora es 1.500 y si la máima admisión de la universidad es !.500. "#uándo llegará la admisión a 1.$00, !.100 y !.%00& 'a ecuación logística para este pro(lema viene dada de la forma)
dp = kp ( 2500 − p ) dt
*l pro(lema nos dice que hace 5 años la admisión era de 1.000 persona, esto nos da a entender que para t=0 P=1000. +am(in +am(in dice que la admisión ahora es de 1.500 personas, esto quiere decir que para t=5 años P=1.500. Separando varia(les tenemos que) dp p ( 2500− p )
=k dt
dp =∫ kdt ∫ p (2500 − p )
1 A B + = P ( 2500 − P ) P ( 2500 − P)
-ara -0, y multiplicando los trminos de la siguiente manera tendríamos que) P ( A ) B P + = P P ( 2500− P ) P ( 2500− P )
igual a
/
1 2500
, ahora para encontrar el valor de volvemos a
multiplicar de la siguiente manera
A (2500− P ) B ( P ) + =0 P ( 2500− P )
-ara - 0 los trminos de la fracción de / se reducen a cero y entonces A =
tenemos que el valor de es
∫
1 2500
p
+
1 2500 1 2500
(2500− p )
dp =kt + c
*ntonces) 1 1 ln ( p)− ln ( 2500 − p )= kt + c 2500 2500
Simplicando)
(
ln
p 2500− p
( e
ln
p 2500− p
) )
1 2500
=kt + c
1 2500
=e kt + c
2inalmente tendríamos)
(
ln
p 2500− p
)
1 2500
=C e Kt
#omo se esta(leció al comien3o cuando t0 -1000, con estos datos se despe4a # t=0 P=0
(
1000 ln 2500−1000
)
1 2500
. *ntonces # seria)
=C e K (0 )
(
1000 ln 2500−1000
)
1 2500
=C
*l segundo parámetro esta(lecido fue que para t5 años -1500, con estos datos despe4amos nuestra constante , teniendo ya el valor de #
(
1500 ln 2500−1500
) ( 1 2500
=
1000 ln 2500 −1000
)
1 2500
K (5)
e
k (5 )
1,00016= 0,9998 e
6espe4ando)
ln
1,00016 =k ( 5 ) k = 0,9998
ln
1,00016 0,9998 5
la ecuación nal es
(
ln
p 2500− p
) =( 1 2500
ln
1000 2500 −1000
)
1 2500
−5
e
7,2 x 10
( t )
+endríamos que para tt -1$00
(
1800 ln 2500−1800
) ( 1 2500
=
1000 ln 2500 −1000
)
1 2500
−5
e
7,2 x 10
(t )
7na ve3 operados los parntesis, tenemos que t es igual a) ln ( 1,00057 )=t (7,2 x 10
−5
) ) t = ln ( 1,00057 =7,91 años − (7,2 x 10 5 )
-ara tt y -!100
(
2100 ln 2500−2100
) ( 1 2500
=
1000 ln 2500−1000
8esolviendo parntesis tenemos)
)
1 2500
e
7,2 x10
−5
(t )
7 años
ln ( 1,00066 )=t ( 7,2 x 10
−5
) ) t = ln ( 1,00066 − = 9,16 años (7,2 x 10 5 )
9 años
-ara tt y -!%00
(
2400 ln 2500−2400
) ( 1 2500
=
1000 ln 2500−1000
)
1 2500
e
7,2 x10
−5
(t )
8esolviendo parntesis tenemos) ln ( 1,00147 )=t ( 7,2 x 10
−5
) ) t = ln ( 1,00147 − = 20,40 años (7,2 x 10 5 )
20 años
PROBLEMA 45
*n 199$ se tomó una muestra de un tro3o de madera que hacia parte del sarcófago de un faraón del antiguo *gipto y se halló que contenía un 55.:1; de #1% de la cantidad de material original.
-ara eliminar elevamos a e toda la epresión entonces tenemos) e(
ln ( p) )
=e−kt +c → p= p0 e−kt
Se sa(e que la vida media del #1% son 5=00 años entonces) 1 p 1 = P = P O 2 p0 2
igualando o(tengo) PO
1 = p0 e−kt 2
Se #ancelan los - 0 que están a am(os lados de la epresión 1 = e−kt 2
#omo la vida media del #1% es 5=00 años, reempla3o para t5=00 1 = e−k (5600 ) 2
Se esta ecuación se puede despe4ar
ln
1 −1 1 −4 ln k 1,23 x 10 =−k ( 5600 ) → k = 2 5600 2
Se dice que se encontró el 55,: ; de #1% original, entonces el restante es %%,>; entonces) −kt
P= p0 e
y P= PO ( 0,443)
Se igualan ecuaciones y se cancelan los - ? quedando) −(1,23 x 10− 4) t
e
=( 0,443 )
6e la ecuación anterior se despe4a t
−1,23 x 10−4 t =ln ( 0.443 ) t =
ln 0,4 43
−1.23 x 10−4
t =6619
7na ve3 hallado el tiempo, que son años se restan con los dados inicialmente para sa(er la fecha de fallecimiento del faraón, entonces) 6619−1998 =4621 año fallecimientofaraon
