LABORATORIO DE TRANSFERENCIA DE CALOR Superficies extendidas (aletas / “fins”) OBJETIVOS - Analizar la transferencia de calor en superficies extendidas. MARCO TEÓRICO La transferencia de calor por convección entre una superficie sólida y un fluido adyacente, está gobernada por la ley de enfriamiento de Newton
q = h A (Ts-T∞) Para incrementar dicha transferencia de calor existen varias opciones: - Aumentar el coeficiente de convección h (aumentando la velocidad y/o la turbulencia del fluido). - Aumentar el diferencial de temperatura (Ts - T∞) entre la superficie (Ts) y el fluido (T∞) - Incrementar el área de contacto A, usando superficies extendidas o aletas (Figura 1).
Figura 1. Uso de aletas para aumentar la transferencia de calor (Tomado de ref. [1])
En muchas situaciones, el aumento de h o de (Ts - T∞), no son soluciones suficientes, prácticas o viables económicamente, por lo que el aumento del área usando aletas, suele ser la opción más adecuada. En la figura 2 se muestran diferentes configuraciones de aletas.
Figura 2. Configuraciones de aletas. a) Aleta recta de sección transversal uniforme. b) Aleta de sección transversal no uniforme (triangular). c) Aleta anular. d) Aleta de aguja (“pin fin”). (Tomado de ref. [1])
Ecuación de energía para condiciones unidimensionales en una aleta En una aleta, el calor de la base es transferido internamente por conducción, de forma quasi-unidimensional en la dirección perpendicular a la base, y adicionalmente, el calor también es transferido por convección a través de la superficie de la aleta. Para hallar la ecuación que describe el comportamiento de la temperatura en la aleta, se aplica la ecuación de conservación de energía al elemento diferencial de la figura 3:
(Ec. 1)
Figura 3. Balance de energía para un elemento diferencial de una superficie extendida. (Tomado de ref. [1])
Adicionalmente, aplicando la ley de Fourier y considerando solamente conducción en la dirección x, la transferencia de calor por conducción es: (Ec. 2) donde k es la conductividad del material y Ac(x) es el área de la sección transversal de la aleta en la posición x (ver fig. 3). En la posición x+dx la conducción de calor se representa por (usando expansión de Taylor de primer orden): (Ec. 3) Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 3, se tiene: (Ec. 4) Por otro lado, el segundo término del lado derecho de la ecuación 1 representa la transferencia de calor por convección y se puede calcular como: (Ec. 5) Donde h es el coeficiente convectivo promedio de transferencia de calor sobre la aleta (h se asume como un dato conocido), T∞ es la temperatura del ambiente en el que se encuentra expuesta la aleta y dAs es el área expuesta del elemento diferencial (ver fig. 3). Reemplazando las ecuaciones 2, 4 y 5 en la ecuación 1, y simplificando, se obtiene: (Ec. 6) Expandiendo términos, se obtiene:
(Ec. 7) Distribución de temperaturas, transferencia de calor y desempeño de una aleta Solucionando la ecuación 7 usando condiciones de frontera apropiadas (ver ejemplo en la siguiente sección), se obtiene la distribución de temperaturas sobre una aleta. Usualmente la distribución de temperaturas T(x) se expresa como un exceso de temperatura θ(x) (Ec. 8) De la distribución de temperaturas θ(x) obtenida, se puede calcular la transferencia de calor de la aleta qf , utilizando la ecuación 2 aplicada a la base de la aleta (x = 0)
(Ec. 9) En otras palabras, la transferencia de calor de la aleta qf debe ser igual a la transferencia de calor por conducción en la base de la misma qb (ver fig. 4). Adicionalmente, qf también se puede calcular integrando la transferencia de calor por convección a lo largo de la superficie de la aleta: (Ec. 10) donde Af es el área total de la superficie de la aleta. q1 qb
q2
Figura 4. Transferencia de calor de una aleta (qf ) qf = q1 + q2 + q3 = qb
q3
Una vez calculada la transferencia de calor de la aleta, se puede calcular la eficiencia y la efectividad de ésta: Eficiencia ηf
ηf ≡
q qf transferencia de calor de la aleta real (Ec. 11) = f = transferencia de calor de toda la aleta a temperatura Tb qmax hA f θ b
Af es el área total de la superficie de la aleta.
Efectividad εf
εf ≡
qf transferencia de calor con aleta (Ec. 12) = transferencia de calor sin aleta hAc,bθ b
ε f =η f
Af
(Ec. 13)
Ac,b
Ac,b es el área de la sección transversal de la aleta en la base (x = 0)
Aletas de sección transversal uniforme Para las aletas de sección transversal uniforme, Ac es una constante y As = Px, donde As es el área de la superficie medida de la base a la posición x y P es el perímetro de la aleta. En consecuencia, dAc/dx = 0 y dAs/dx = P, y la ecuación 7 se reduce a (Ec. 14) Expresando esta ecuación, en términos de un exceso de temperatura θ(x), se obtiene (Ec. 15) donde (Ec. 16) La solución general de la ecuación 15 es (Ec. 17) Para evaluar las constantes C1 y C2 de la ecuación 17, es necesario especificar condiciones de frontera apropiadas. Una condición se especifica en términos de la temperatura en la base de la aleta (x = 0) (Ec. 18) donde Tb es la temperatura en la base de la aleta. La segunda condición de frontera, especificada en el extremo de la aleta (x = L), puede corresponder a cuatro diferentes situaciones físicas, las cuales se indican en la tabla 1, junto con sus distribuciones de temperatura y transferencias de calor, respectivas.
Tabla 1. Condiciones de frontera en x = L, distribución de temperaturas y transferencias de calor para aletas de sección uniforme. (Tomado de ref. [1])
En lugar de la expresión, un tanto elaborada, para la transferencia de calor qf de una aleta rectangular recta con un extremo activo (caso A, tabla 1), se mostró que se pueden obtener predicciones aproximadas, incluso precisas, usando la transferencia de calor qf del extremo adiabático resultante (caso B) con una longitud de aleta corregida de la forma Lc = L + (t/2) para una aleta rectangular, y Lc = L + (D/4) para una aleta de sección circular uniforme [2]. La corrección se basa en la suposición de equivalencia entre la transferencia de calor de la aleta real con convección en el extremo y transferencia de calor de una aleta hipotética más larga con un extremo adiabático. Aletas de sección transversal no-uniforme El análisis del comportamiento térmico de una aleta de sección variable se vuelve más complejo, ya que Ac(x) es entonces una función de x y por lo tanto el segundo término de la ecuación 7 ((1/Ac)(dAc/dx)(dT/dx)) debe conservarse. Esto implica que las soluciones no aparecerán en forma de funciones exponenciales o hiperbólicas simples, sino que, en los casos más comunes, en forma de funciones de Bessel de primer y segundo orden (ver tabla 2 (página siguiente)).
Tabla 2. Eficiencia de formas comunes de aletas. (Tomado de la tabla 3.5 de ref. [1]). NOTA: para las aletas de sección transversal uniforme se asume una condición adiabática en el extremo, usando una longitud corregida Lc
Cálculo aproximado de la eficiencia y/o la efectividad de una aleta según datos experimentales Para calcular la eficiencia o la efectividad de una aleta se pueden usar las fórmulas de la tabla 2. Sin embargo, dichas fórmulas requieren conocer el factor m (m2=hP/kAc), el cual incluye el coeficiente de convección promedio h, cuyo valor usualmente no se conoce con anterioridad. Dada ésta situación, se pueden realizar las siguientes aproximaciones: A. Aletas de sección transversal uniforme 1. Si se puede asumir una condición de frontera de aleta infinita, se puede obtener un valor de m usando una regresión de mínimos cuadrados con los datos discretos de la distribución de temperatura y después despejar h de éste. 2. Si la aleta es de sección transversal uniforme, pero no se puede asumir una condición de frontera de aleta infinita, la distribución teórica de temperaturas en aletas (basadas en funciones hiperbólicas, de Bessel, etc.) no tiene un método de mínimos cuadrados disponible para encontrar el valor de m. En este caso se puede usar el siguiente método: haciendo un balance de energía en un elemento diferencial localizado en la base de la aleta (ver figura adyacente --tomada de ref. [3]--) y usando la fórmula de la transferencia de calor qf correspondiente (ver tabla 1), itere el valor de h hasta encontrar un valor que cumpla con la ecuación de la figura. B. Aletas de sección transversal no-uniforme En este caso se puede aproximar la integral para calcular la transferencia de calor de la aleta qf (ver ecuación 10) por una sumatoria q f ≈ h θ i ∆As ,i (Ec. 19)
∑ i
donde θi es el valor del exceso de temperatura en la posición (xi) y ∆As,i es el área superficial de la aleta entre la posición (xi-1/2) y la posición (xi+1/2) {xi-1/2 = xi - ∆x/2 , xi+1/2 = xi + ∆x/2, xi-1/2 = 0 para i = 0}. Reemplazando esta expresión en la ecuación 11, se tiene h ∑ θi ∆As ,i (Ec. 20) ηf ≈ i hAf θ b de la cual se puede aproximar la eficiencia de la aleta, dado que el coeficiente de convección se cancela de la expresión. Con la eficiencia obtenida, se puede calcular la efectividad de la aleta usando la ecuación 13.
DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO Y PROCEDIMIENTO Se utilizará un horno como fuente de calor con un orificio localizado en su compuerta (ver figura 5). En el orificio se introducirá una barra de metal, de geometría larga, recta, delgada y sección transversal uniforme. Se esperará que el sistema alcance el estado estable y se medirán temperaturas a lo largo de la barra, a intervalos constantes, desde x = 0 hasta x = L. Mida la temperatura del ambiente (T∞). Mida la geometría de la sección transversal de la aleta (ancho y espesor). Anote la distancia de la barra expuesta al ambiente (L). Identifique el material de la aleta para establecer el valor de conductividad k en los cálculos. Usando una pinza amperométrica y un voltímetro, mida la corriente (pasando un solo conductor –-diferente del neutro-- a través de la pinza) y el voltaje suministrados al horno.
Figura 5. Esquema del montaje experimental
TABLA DE DATOS, CALCULOS Y PREGUNTAS 1. Incluya una tabla de datos con unidades (T∞, temperatura vs posición, conductividad, etc.) 2. Elabore una gráfica de la distribución de temperaturas sobre la barra ((T-T∞) vs x). (no una los puntos con segmentos o curvas). Describa cómo se comporta la temperatura cuando x se acerca a L. Según su criterio, ¿puede asumirse una condición de frontera de aleta “infinita”? Explique. 3. Asumiéndose una condición de frontera de aleta “infinita” y usando el método explicado en el apartado A.1 del cálculo aproximado de la eficiencia y/o la efectividad de una aleta, calcular el valor promedio de h (use el valor identificado para la conductividad k del material) 4. Calcular transferencia de calor qf de la aleta basándose en el resultado del punto 3. Calcule la potencia que consume el horno y compare los dos datos: ¿Cuántas aletas de este tipo se necesitarían para disipar la potencia consumida por el horno? 5. Calcule la eficiencia ηf y la efectividad εf para el valor calculado en el punto 4. 6. Calcule de nuevo el valor promedio de h, usando el método explicado en el apartado A.2 del cálculo aproximado de la eficiencia y/o la efectividad de una aleta. 7. Calcule la eficiencia ηf y la efectividad εf para el valor de h hallado en el punto 6. 8. Calcule la eficiencia ηf y la efectividad εf , usando el método explicado en el apartado B. del cálculo aproximado de la eficiencia y/o la efectividad de una aleta. 9. Construya una tabla de los diferentes valores calculados de ηf y εf para los 3 métodos usados (puntos 5, 7 y 8). Compare los valores, comente sobre cual método es más preciso y mencione ventajas y desventajas de cada uno.
BIBLIOGRAFIA [1] Incropera, F. P. y DeWitt, D. P., “Fundamentos de Transferencia de Calor”, 4ª Edición, Prentice Hall, 1999. [2] Harper, D. R. y W. B. Brown, “Mathematical Equations for Heat Conduction in the Fins of Air Cooled Engines”, Reporte NACA núm. 158, 1922. [3] Abu-Mulaweh, H. I., “Integration of a fin experiment into the undergraduate heat transfer laboratory”, International Journal of Mechanical Engineering Education, Vol. 33, No.1, pp. 83-92, 2005.
