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Mai 2010
année
A. LAATAOUI
Section : Maths
Thèmes abordés :
Complexes (Coniques) ; Arithmétiques ; Similitudes ; Fonction logarithme népérien et exponentielle Exercice n°1 :
© r r
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O, u, v ) . 1. Résoudre dans
£
l’équation z 2 + z + 1 = 0 .
2. Pour tout complexe z tel que a) b) c) d)
= eiq avec -p £ q £ p , q ¹
2p 2p et q ¹ - , on pose z ' = 3 3
2
1 . + z + 1
Vérifier que z 2 + z + 1 = z (1 + z + z ) . Calculer le module et un argument de z’ en fonction de q . 2 On pose z ' = x + iy avec ( x, y ) Î ¡ 2 . Montrer que x 2 + y 2 = (1 - 2 x ) . En déduire que le point M d’affixe z’ appartient à une hyperbole que l’on caractérisera.
Exercice n°2 :
©
Partie A : Question de cours 1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. 2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. Partie B Il s’agit de résoudre dans
¢
ì n º 13 ( 19 ) . îï n º 6 ( 12 )
le système ( S ) ïí
1. Démontrer qu’il existe un couple ( u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19 u + 12v = 1. (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple). Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13 ´ 12v + 6 ´ 19 u est une solution de ( S ). ). ì n º n0 ( 19 ) 2. a. Soit n0 une solution de ( S ),), vérifier que le système ( S ) équivaut à ïí . îï n º n0 ( 12 )
ì n º n0 ( 19 ) b. Démontrer que le système ïí équivaut à n º n0 ( 12 ´ 19 ) . îï n º n0 ( 12 )
3. a. Trouver un couple ( u ; v) solution de l’équation 19 u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante. b. Déterminer l’ensemble des solutions de ( S ) (on pourra utiliser la question 2. b.). 4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13. On divise n par 228 = 12 ´ 19. Quel est le reste r de cette division ? Exercice n°3 :
©
ABC est un triangle rectangle en A et de sens direct tel que
(
uur uur
BC , BA
p
) º 6 [ 2p ] . Soit A’ le symétrique de A
·
par rapport à C. On note S la similitude directe qui transforme A’ en C et C en B. 1. a) Déterminer le rapport et l’angle de S. b) Soit W le centre de S. Montrer que les droites ( WC ) et (BC) sont perpendiculaires. Construire W . 1
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r r
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( A, u, v ) tel que B a pour affixe 1. a) Calculer les affixes des points C et A’. b) Déterminer la forme complexe de S. c) En déduire l’affixe du point W . 3. a) Préciser le rapport de la similitude indirecte f de centre C et qui transforme B en A. b) Déterminer l’axe de f. 4. a) Soit j = f o S . Montrer que j est une symétrie glissante. b) Déterminer les éléments caractéristiques de j . Problème :
Partie I Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. On considère la fonction g n définie sur IR* + par n ( x) = nx + 2ln x . 1) Dresser le tableau de variation de g n. 2) Montrer que pour tout x Î IR*+, on a x > ln x . 3) a) Montrer que l’équation g n ( x) = 0 admet dans IR* + une unique solution notée a n , puis montrer 1 1 que < a n < . n
n
b) En déduire que lim a n = 0 . n ®+¥
Partie II I. soit f la fonction d éfinie sur [0, + ¥[par f (x) = 3
e - x .
r r
r
r
On note C f sa représentation graphique dans un repère orthonormé ( O, i, j ) . On prend i = j = 3cm . 1) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2) Calculer lim f . Interpréter graphiquement le résultat obtenu. +¥
1 - 3 x ö 3) a) Montrer que pour tout réel x Î ]0, + ¥[, on a : f '( x) = æç ÷ f (x) . è 3 x ø b) Dresser le tableau de variation de f .
æ1ö 4) tracer C f . on prendra f ç ÷ ; 0.5 . è 3ø é1 ù II. On pose I = ê ,1ú . ë3 û 1) a) Montrer que f (I) Ì I. 2 b) A l’aide de la question 3) a) de la partie II, montrer que f '( x) £ . 3 c) Montrer que éë = a 3 Û ( x > 0 et f ( x ) = x )ùû , où a3 est la solution de l’équation g3 ( x ) = 0 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = f ( un ) . 3 a) Montrer que pour tout entier naturel n, un Î I .
2) Soit ( un )n³0 la suite définie par u0 =
2
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2 u - a3 . 3 n n +1 2ö æ c) En déduire que pour tout entier naturel n, un - a 3 £ ç ÷ . è3ø d) Montrer que la suite ( un )n³0 est convergente et donner sa limite.
b) Montrer que pour tout entier naturel n, un+1 - a 3 £
Partie III. 8 x
Soit F la fonction définie sur [0, + ¥[ par ò f (t )dt . x 1) a) Montrer que F est dérivable sur [0, + ¥[ . b) Donner l’expression de F ¢ ( x) pour tout x appartenant à [0, + ¥[ et en déduire le sens de variation de F. 2) a) Montrer que pour tout x appartenant à [0, + ¥[, on a 0 £ F ( x) £ 2 f ( x ) (1 - e -7 x ) . b) En déduire la valeur de lim F( x) . x ®+¥
c) Dresser le tableau de variation de F.
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A. LAATAOUI
Exercice n°1 :
1)
z
2
+ z + 1 = 0
D = b² - 4ac = 1 – 4 = - 3 = ( i 3 ) z ' =
-1 - i 3 -1 + i 3 et z '' = 2 2
= eiq avec -p £ q £ p , q ¹
2)
2
:
i
2
2p 2p 1 et q ¹ - , on pose z ' = 2 . 3 3 z + z + 1
2p 3
-i
2p 3
+ z + 1 ¹ 0 Û z ¹ e et z ¹ e 2 a) z (1 + z + z ) = z + z ² + z z = z + z ² + z = z + z ² + 1 N.B
b)
z
z ' =
1 1 1 1 æ ö ´ e -iq = = = ç ÷ 2 iq z + z + 1 z (1 + z + z ) e (1 + 2cos q ) è 1 + 2cos q ø
1 1 + 2cos q 1 ù 2p 2p é > 0 et arg z ¢ º - q [2p] Si q Î ú - ; ê alors 1 + 2cos q û 3 3ë 2p 2p 1 Si q Î éê -p ; - éê È ùú ; p ùú alors < 0 et arg z ¢ º (p - q) [2p]. 3 3 1 2cos q + ë ë û û 2 c) On pose ' = x + iy avec ( x, y ) Î ¡ . 1 2 z ' = x² + y ² = 2 (1 + 2 cos q ) cos( -q ) cos q = De plus on a : Ré(z ¢) = x = 1 + 2cos q 1 + 2cos q cos q 1 Þ x + 2 x cos q = cos q Þ (1 - 2 x) cos q = x Þ cos q = Þ 1 + 2cos q = = 1- 2 1 - 2x x 1 2 Þ ' = x² + y ² = = (1 - 2 x )2 . 2 (1 + 2cos q ) z '
=
2
æ 2ö 4 d) x + y = (1 - 2 x ) Û x ² + y ² = 1 - 4 x + 4 x ² Û - 3x ² + 4 x + y ² = 1 Û - 3 ç x - ÷ + + y ² = 1 è 3ø 3 2 2 æ x - 2 ö æx - 2ö 2 ç 3÷ 2ö 1 çè 3 ÷ø y ² æ ø - y² = 1 Û -3 ç x - ÷ + y ² = - Û - = 1Û è 2 2 1 1 3 è 3ø æ1ö æ 1 ö ç 3÷ ç ÷ 9 3 è ø è 3ø 2 X 2 Y ² On pose X = x - et Y = y Þ M (z ¢ ) Î H : =1 2 2 3 æ1ö æ 1 ö ç3÷ ç ÷ è ø è 3ø r r æ2 ö dans le repère R ¢= ( W, u, v ) où W ç ,0 ÷ . è 3 ø( O,u , v ) 2
2
2
r r
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æ2 ö è 3 ø R '
1ö 6 ø R '
æ è
H est une hyperbole de foyer F ç ,0 ÷ , de directrice ç D : X = ÷ et d’excentricité e = 2
4 Þ F æç ,0 ö÷ et è 3 ø R
æ D : x = 5 ö ç 6 ÷ø R è
Exercice n°2 : Partie A
1)
: Théoème de Bézout : Soit a et b deux entiers non nuls.
a et b sont premiers entre eux
si, et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.
Théorème de Gauss : Soit a, b et c trois entiers non nuls. Si a Ù b = 1et a | bc alors a | c. 2) Si a Ù b = 1et a | bc alors il existe deux entiers u et v tels que Þ acu + bcv = c Þ acu + kav = c Þ a (cu + kv) = c Þ a | c Partie B :
au + bv = 1 et a | bc
ìï n º 13 ( 19 ) ì n º 13 + 19 k Ûí . ( S ) í î n º 6 + 12k ¢ îï n º 6 ( 12 )
1) Théorème de Bézout : 19 et 12 sont premiers entre eux donc il existe un couple ( u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19 u + 12v = 1. N = 13 ´ 12 v + 6 ´ 19 u est une solution de ( S ) : il faut mettre N sous la forme N º 13 + 19 k . Or 12v = 1 - 19 u donc N = 13 ( 1 - 19 u ) + 6 ´ 19 u = 13 + 19 ´ ( -7 u ) . De même N = 13 ´ 12v + 6 ´ 19 u = 13 ´ 12 v + 6 ( 1 - 12 v ) = 6 + 12 ´ 7 v . 2) a. Si n0 est une solution de ( S ), on a ìí n0 = 13 + 19k 0 d’où en soustrayant ligne à ligne : ïì n - n0 í îï n - n0
î n0 = 6 + 12 k 0¢ = 19 ( k - k0 ) ïì n º n0 ( 19 ) Ûí . = 12 ( k ¢ - k0¢ ) ïî n º n0 ( 12 )
b. En fait 19 divise n - n0 de même que 12 ; comme ils sont premiers entre eux, 19 ´ 12 divise n - n0 , ce qui équivaut à n º n0 ( 12 ´ 19 ) . 3) a. Avec l’algorithme d’Euclide on a 19 ( -5 ) + 12 ( 8 ) = 1 ; on peut donc prendre u = −5 dans N = 13 + 19 ´ ( -7 u ) , ce qui donne N = 678 ; de même on prend v = 8 et N = 6 + 12 ´ ( 7 v ) , ce qui redonne bien N = 678 . b. n º n0 ( 12 ´ 19 ) º 678 ( 12 ´19 ) º 678 ( 228 ) º 222 ( 228 ) . 4) 222. Exercice n°3 :
S la similitude directe qui transforme A’ en C et C en B. 1) a) soit k le rapport de S Þ k =
CB A'C
=
CB CA
=
1 Ù
=
1
sin ABC sin uuuurÙ uuur
p
=2
2 uuur Ùuuur
Soit q une mesure de l’angle de S Þ q º ( A ' C , CB ) [ 2p ] º ( CA, CB ) [ 2p ] º
p
3
[2p ]
ìW B = 2WC ï b) Soit W le centre de S Þ S (W) = W, or S ( C) = B Þ í uuurÙ uuur p ï( WC , WB ) º 3 [ 2p ] î Montrons que le triangle W BC est rectangle en C : 5
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uuur uuur
CB² + C W ² = C W ² + WB ² - 2W C × W B + C W ² = 2CW ² + W B ² -
æ p ö 2W C ´ W B cos ç ÷ = W B ² è 3ø
Þ (WC) ^ (CB). Construction de W : (On montre de même que W A¢C est rectangle en A ¢).
W
2) B (1, 0)
æ p ö AC Þ AC = 3 Þ C æ 0, 3 ö Þ z = i 3 a) tan ç ÷ = çç ÷÷ C 3 3 è 6 ø AB è 3 ø uuur uuur 3 AA ' = 2 AC Þ z A ' = 2i 3 b) S a pour forme complexe : z ' = az + b, où a Î £ * et b Î £ 3 S (C) = B Û ai + b = 1 Û ia 3 + 3b = 3 (1) 3 3 3 +b =i Û 2ia 3 + 3b = i 3 (2) S (A¢) = C Û 2ai 3 3 6-i 3 (1) et (2) donnent : a = 1 + i 3 et b = 3 6-i 3 1 3 b c) W = (Vérifier sur le graphique). = 3 = + 2i 1- a 3 3 -i 3 3) a) f est une similitude indirecte de centre C et qui transforme B en A. 6
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1 = . CB 2 b) Soit D l’axe de f Þ D est la bissectrice intérieure de l’angle [CB, CA]. Soit k ¢ le rapport de f Þ k ' =
CA
4) a) Soit j = f o S j est la composée de deux similitudes de natures différentes Þ j est une similitude indirecte de 1 rapport le produit des rapports ´ 2 = 1 Þ j est un antidéplacement 2 j ( A¢ ) = C et j ( C ) = A Þ j o j ( A¢ ) = A ¹ A¢ Þ j o j ¹ id Þ j n’est pas une symétrie axiale Þ j est une symétrier glissante. b) est un vecteur directeur de D j = tur o S D = S D o tur , où u r 1 uuur uuur j o j ( A¢ ) = A Þ u = AA ' = AC 2 uuur j ( C ) = A Þ C * A Î D Þ D est la droite passant par C * A et de vecteur directeur AC Þ D = (AC).
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