3.1.
Sucesi esiones
Definici´ on on 1 R que se acostumbra a denotar Una sucesi´on on es una funci´ on definida de N por an en lugar de f ( f (n), costumbre costumbre que tambi´ tambi´en en adoptaremos en este texto, as´ı, an R, n N
→
∈
∀ ∈
lla ma t´ermino ermi no n–´esim esimoo o t´ermi er mino no de luga lu garr n. an : se llama a1: es el primer t´ermino ermino de la sucesi´ on. on. ak : es el k –´esimo esi mo t´ermi ermino no de la sucesi suc esi´ on. o´n. Las sucesiones se encuentran presentes en casi todos los t´opicos opicos de las matem´aticas, aticas, de ah ah´´ı su importanc impo rtancia. ia. Eventualmente, n N0 , N 0 = N 0 .
∈
∪{ }
Ejemplo 1
Vamos a dar algunas a lgunas sucesiones sucesione s definidas por su t´ermino ermino n–´esimo, esi mo, o bien, bie n, en
forma recursiva. 1. an =
2n−1 n2 +1
2. an = 2n
−1
3. an = ( 1)n
−
4. an = cos(nπ cos(nπ)) 5. an = 1 + 2 + 3 + . . . + n 6. an =
1 n
7. a1 = 1, a2 = 2, . . . , an+2 = an+1 + an 8. a1
√ = 2, a
2
=
2+
√ 2, . . . , a
n+1
=
√ 2 + a
n
Dada la sucesi´on on a1 , a2, . . . , an , su k –´esi es imo t´ermin mi no es ak , el siguient sig uientee t´ermiermi no es ak+1 tambi´ ta mbi´en en llama llamado do sucesor , el anterior al k –´esimo si mo t´ermin mi no es ak−1 tambi´ ta mbi´en en llam ll amad adoo antecesor . Ejemplo 2
Dada la sucesi´on on an = anter anterio iorr t´ermin ermino. o.
2n−1 , 3n+1
determine el k –´esimo esim o t´ermino, ermi no, su siguiente sigu iente y
De inmediato se tiene que: ak =
2k−1 3k +1
ak =
2k−1−1 3(k−1)+1
=
2k−2 3k−2
es su anterior anter ior t´ermino. ermi no.
ak =
2k+1−1 3(k+1)+1
=
2k 3k+4
es su siguient sig uientee t´ermino. ermi no.
es el k –´esimo t´ermino.
El gr´afico afico de una sucesi´on, on, aunque no es relevante, es un conjunto discreto de puntos que siempre se encuentran en el primer o en el cuarto cuadrante de los ejes cartesianos, es decir:
DIBUJO Observaci´ on. on.
Los conceptos de sucesiones crecientes, no crecientes, acotadas, convergentes, etc., no se abordar´an an en este texto. Para ellos consultar en el texto de C´ alculo Integral y Diferencial en una Variable .
3.2. 3.2.
Ejer Ejerci cici cios os resu resuel elto toss
1. Dada la sucesi´on: on: 1, 1, 12 , 13 , . . . a ) Determine Determi ne su t´ermino ermino n–´esimo. b ) Pruebe que ak c ) Calcul Calculee a1
−a
k +1
−a
n+1
=
1 k (k +1)
.
.
Soluci´ on. on. a ) De inmed inmediat iatoo an = b ) ak c ) a1
−a −a
1
k +1
=
k
n+1
=
1 1
− −
1 n
1 k +1
1 n+1
=
k +1−k k (k +1)
=
n n+1
2. Dada la sucesi´on on 1, 1 + 12 , 1 +
1 2
=
1 k (k +1)
+ 13 . . .
a ) Determine el t´ ermino ermino de lugar n. b ) Determine el siguiente t´ermino ermino al n–´esimo. c ) Demuestr Demuestree que an+1 > an ,
∀ n ∈ N.
Soluci´ on. on. a ) De inmedi inmediato ato se tiene tiene que:
an = 1 +
1 2
b ) an+1 = 1 +
+ 13 + . . . + 1 2
1 n
+ 13 + . . . +
1 n
+
1 n+1
c ) an+1
1 1 + 12 + 13 + . . . + n1 + n+1
−a
= pero como n n
≥ 1 ⇒ a −a n+1
n
>0
− ⇒
1 2
1 3
1+ + +...+ an+1 > an .
1 n
=
1 n+1
,
3. Dada la sucesi´on: on: 11 , 13 , 15 , . . . a ) Determine Determi ne el t´ermino ermino n–´esimo. b ) Determine el anterior y siguiente t´ermino ermino al n–´esimo. c ) Calcul Calculee a2k
−a
2k+1 .
Soluci´ on. on. 1
a ) an = b)
.
2n−1 an−1 = 2n1−3
c ) a2k
−a
2k +1
1 2n+1 1 2(2k+1)−1
y an+1 =
=
1 2(2k)−1
−
=
2 16k2 −1
4. Desarrolle Desarrolle la siguien siguiente te sucesi´ sucesi´ on on definida recursivamente recursivamente y de aqu´ aqu´ı deduzca el n–´esimo t´ermino: a1 = 2, . . . , an+1 = 2an + 1. Soluci´ on. on.
a1 = 2 a2 = 2a1 + 1 = 2 2 + 1 = 2 2 + 1 a3 = 2a2 + 1 = 2(2 2 + 1) + 1 = 23 + 2 + 1 a4 = 2a3 + 1 = 2(2 3 + 2 + 1) 1) + 1 = 24 + 22 + 2 + 1 ....................................... ............ an = 2an−1 + 1 = 2 n + 2n−2 + 2n−3 + . . . + 22 + 2 + 1
·
M´as as adelante, en el cap´ cap´ıtulo de progresiones, estaremos en condiciones para efectuar esta suma, cuyo resultado es an = 3 2n−1 1.
·
5. Si a1 = 1 . . . an+1 = an + a ) a1 + a2 = 3(a 3(a3 b ) an = 1 +
1 2
1 n+1
demuestre que:
− 1) y que a
+ 13 + . . . +
1
1
n
+ a2 + a3 =
13 3
−
Soluci´ on. on. a ) a1
a2 a3 a1 + a2
=1 = a1 + 12 = 1 + 12 = 32 = a2 + 13 = 32 + 13 = 11 6 3 5 = 1 + 2 = 2 y 3(a 3(a3
luego, a1 + a2 = 3(a 3(a3 b ) a2
−a −a −a
1
= = =
− 1) = 3
− 1), finalmente, a
1
11 6
−
1 =
5 2
+ a2 + a3 =
13 . 3
1 2 1 3 1 4
a3 2 a4 3 .. . an−1 an−2 = n−1 1 an an−1 = n1
−
−
Sumando miembro a miembro se tiene:
an
3.3. 3.3.
1 1 1 1 + + + . . . + 1 2 3 4 n 1 1 1 1 an = 1 + + + + . . . + 2 3 4 n
−a
=
Ejer Ejerci cici cios os prop propue uest stos os
1. Escriba los cuatro primeros primero s t´erminos, erminos, el t´ermino ermino k –´esim es imo, o, el t´ermi er mino no anterior y siguiente del t´ermino ermino k –´esimo esimo de las siguientes sucesiones cuyo cu yo t´ermi er mino no n–´esim es imoo es: es : a)
n2
d) ( 1)n n
b) 2n
e)
c)
f)
−n 3n − 5 n+2
− (−1)
n+1 2n
3
1 n
1+
n
Respuestas. a ) 12 , 22 , 32 y 42 ; k 2 , (k b ) 1, 2, 5, 12; 2k 2 1 4 7 3 4 5 6
2
2
− 1) y (k + 1) − k, 2 − − (k − 1) y 2 − (k + 1) k 1
k +1
3k 5 3k 8 3k 2 k +2 k +1 k +3
−, , , ; −, −, − d ) −1, 2, −3, 4; (−1) k, (−1) − (k − 1), (−1) (k + 1) e ) 3 , −3 , 3 , −3 ; (−1) 3 , (−1) 3 − , (−1) 3 c )
k 1
k
2
4
3 2 2
6
4 3 3
8
k +1
k +1 2k
5 4 ; 4
1 k
k 2k 2
1
f ) 2,
,
,
1+
k
, 1 + k −1
k −1
k 2k +2
, 1+
k +1 1 . k +1
2. Escriba el t´ermino ermino n–´esimo esimo de las siguientes sucesiones: sucesion es:
a ) 1, 3, 5, 7, . . . b ) 3, c )
−9, 27, 27, −81, 81, . . .
1 , 1, 1, 1 1·2 2·3 3·4 4·5
+ ...
d ) 5 1, 11 3, 17 5, 23 7, . . . 7 11 −15 e ) 13·2 , − , , ,... 3·3 5·4 7·5 f ) 1 x2 , 5 + x3 , 9 x4 , 13 + x5 , . . .
·
·
·
·
− − g ) 1 · ( p − 1), 1), 3 · ( p − 2), 2), 5 · ( p − 3), 3), . . ., ., p constante.
Respuestas.
a)
an = 2n
−1
b) an = ( 1)n−1 3n
−
c)
an =
1
d) an = (6n (6n
−1 −1) an = (−(21)n−1)((4nn+1)
f)
an = 4n
g)
n(n+1)
n
e)
1)(2n − 1) − 1)(2n
n n+1
− 3 + (−1) x a = (2n (2n − 1)( p 1)( p − n); 1≤p≤n n
3. Desarrollar Desarrollar las siguien siguientes tes sucesione sucesioness definidas definidas recursivamen recursivamente te y determine mine el t´ermin erminoo k –´esimo: a ) a0 = 0, an+1 = (1
− x)a
b ) µ0 = 1; µn = nµn−1
n
+ nx, nx, x
∈ R, x = 1.
Respuestas. a ) a0 = 0, a1 = 0, a2 = x, a3 = (1 x)x + 2x 2x , . . . a = (1 x)k−2x + (1 x)k−3 2x + (1 x)k−4 3x + . . . +
−
− (1 − x)(k )(k − 2)x 2)x + (k (k − 1)x 1)x k
−
−
b ) µ0 = 1
µ1 = 1µ0 = 1 µ2 = 2µ1 = 2 1 µ3 = 3µ2 = 3 2 1 µ4 = 4µ3 = 4 3 2 1 .......................................... 1)(k 2) . . . 3 2 1 = k ! µk = kµk−1 = k(k 1)(k
· · · · · · −
−
· ·
4. Determine el t´ermino ermino n–´esimo esimo de las siguientes sucesiones definidas recursivamente: a ) µ1 = 2, . . . , µn = µn−1 + 2 b ) µ0 = 2, µ1 = 3, . . . , µn+1 = 3µn c ) µ1
√ = 2, µ
2
=
√
− 2µ − √ = 2µ
n 1
2 2, . . . , µn+1
n
Respuestas. a ) µn = 2n b ) 2, 3, 5, 9, 17, 17, . . . , µn = 2n + 1, n 1 2
3 22
7 23
≥0
c ) µ1 = 2 , µ2 = 2 , µ3 = 2 , . . . , µn = 2
n
2
−1
2n
1
, es decir, µn = 21− 2
n
5. En cada una de las siguien siguientes tes sucesione sucesiones, s, cuyo cuyo t´ermino ermino general general es an , determine si son consecutivos o no los l os dos t´erminos erminos que se indican, en caso de no serlo indique cuales son: a ) an = 2n; 2k b ) an c ) an
− 2 y 2k = 2n − 1; 2k y 2k + 1 √ √ = n + 1 + n; √
1 √ k +1− k
√ √ y k−1+ k
Respuestas.
a) y c) son consecutivos. b) no son consecutivos, los posibles consecutivos son: 2k 2k + 1 y 2 k + 3 o´ 2k 1 y 2k + 1.
−
3.4.
Inducci´ on on
Sean m N0 , N0 = N 0 y A el conjunto de los naturales que son iguales o mayores que m, es decir:
∈
Axioma de Inducci´ on. on.
A= n/n
{
∪{ }
≥ m, m ∈ N }. 0
Si S es un subconjunto de A con las siguientes dos propiedades: 1. Contiene a m, 2.
∀ k ∈ A: si k ∈ S ,
entonces (k (k + 1) S , luego el conjunto S es S es igual a A. En muchas aplicaciones de este axioma se tiene que m = 1, por tanto N = A.
∈
Cuando se use este axioma para demostrar propiedades del tipo que estamos N, nos lo considerando, el conjunto A y la forma proposicional p(n), n dan en la proposici´on on de la propiedad. Se toma S como el subconjunto de A que contiene aquellos naturales para los cuales p(n) es verdad. As´ As´ı po podemos demos volver a formular el axioma como un proceso operacional que se acostumbra a llamar Principio de Inducci´ on Matem´ atica .
∈
Sea A = n / n m, m N0 una proposici´ on on de la forma n A : p(n), probaremos la verdad de esta proposici´on on estableciendo lo siguiente:
Principi Principio o de Inducci´ Inducci´ on. on.
∀ ∈
1. p(m) es verdad.
{
≥
∈ }
on p(n) ⇒ p(n + 1) es verdad. ∀ n ∈ A, la implicaci´on Notemos que usualmente m = 1, luego A = {n / n ≥ 1}} = N. Tamb Tambi´en 2.
suponer la verdad de p(n), se acostumbra a llamar hip´otesis otesis inductiva (H.I). Ejemplo 3
Demostrar
∀ n ∈ N, que 1
1 2
·
+
1
2 3
·
+
1 3 4
·
+ ... +
1 n = n(n + 1) n+1
Demostraci´ on. on.
Se tiene que: m = 1, A = n / n 1 , 1 1 1 n p( p(n) : + +...+ = 1 2 2 3 n(n + 1) n+1
{
·
≥ }
·
1. p(1) es verdad, pues 11·2 =
1 1+1
2. p(n) es verdad, es decir, se cumple 1 1 1 n + +...+ = 1 2 2 3 n(n + 1) n+1
·
·
entonces p(n + 1), es decir, debemos establecer que: 1 1 1 1 n+1 + + + + = 1 2 2 3 n(n + 1) (n + 1)(n 1)(n + 2) n+2
·
·
···
(H.I.)
(T.)
En efecto: 1 1 1 1 n 1 + +...+ + = + 1 2 2 3 n(n + 1) (n + 1)(n 1)(n + 2) n + 1 (n + 1)(n 1)(n + 2) n(n + 2) + 1 = (n + 1)(n 1)(n + 2) (n + 1)2 = (n + 1)(n 1)(n + 2) n+1 = n+2
·
·
Ejemplo 4
Demostrar
∀ n ∈ N, que an = 11n+2 + 122n+1
es divisible por 133.
Demostraci´ on. on.
Se tiene que: m = 1, A = n / n
{
≥ 1}
an = 11n+2 + 122n+1 = 133 p,
+
∀p∈Z
1. a1 = 113 + 123 = 3059 = 133 23, es verdad.
·
2. Sea an = 11n+2 + 122n+1 = 133 p, 133 p, p
+
(H.I.)
∈Z
entonces, an+1 = 11n+3 + 122n+3 sea divisible por 133
(T.)
En efecto: an+1 an+1 an+1 an+1 an+1
= = = = =
11n+2 11 + 122n+1 122 11(11n+2 + 122n+1) + 122n+1122 11a 11an + 122n+1(122 11) 11 133 p + 122n+1 133 113 (11 p + 122n+1)
·
·
·
lo que prueba la tesis.
Principio General de Inducci´ on. on.
·
− ·
2n+1
− 11 · 12
3.5. 3.5.
Ejer Ejerci cici cios os Resu Resuel elto toss
1. Demuestr Demuestree que si n es cualquier entero positivo, 13 (n3 + 2n) es un entero. Demostraci´ on. on. 1 3 ( n 3
Sea S = n
{ ∈N/ 1 3
+ 2n 2n) es un entero .
}
3
∈ S , pues (1 + 2 · 1) = 1 y 1 es un entero. ii) Si n ∈ S se tiene que (n + 2n 2n) es un entero. Por demostrar que (n (n + 1) ∈ S . i) 1
1 3
3
(H.I.)
En efecto, 1 1 3 [(n [(n + 1)3 + 2(n 2(n + 1)] = (n + 3n 3n2 + 3n 3n + 1 + 2n 2 n + 2) 3 3 1 3 = (n + 2n 2n) + (n ( n2 + n + 1) 3 es un entero, pues 31 (n3 + 2n) lo es por (H.I.) y n2 + n + 1 es un ente entero, ro, pues n lo es, es , as´ı n S (n + 1) S , por tanto, S = N.
∈ ⇒
∈
Nota: en adelante vamos a dejar de formular al conjunto A o bien
S , dej´andolo andolo sobreentendido, pero el lector, si es su deseo, bien puede hacerlo. 2. Si ui+1 = 2ui + 1, i
∈ N. Demostrar que u
n
+ 1 = 2 n−1(u1 + 1).
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1
⇒u
1
+ 1 = 2 1−1 (u1 + 1) = u1 + 1.
ii) Hip´otesis otesis Inductiva: para n = k uk + 1 = 2 k−1 (u1 + 1). Por demostrar para n = k + 1, o sea, uk+1 + 1 = 2 k (u1 + 1).
⇒
En efecto, en la hip´otesis otesis del problema hagamos i = k, luego uk+1 = 2uk + 1
⇒u
k +1
+ 1 = 2u 2 uk + 2 = 2(u 2(uk + 1), 1),
usando la hip´otesis otesis inductiva:
⇒u
k +1
+ 1 = 2(2k−1(u1 + 1)) = 2k (u1 + 1). 1) .
3. Sabiendo que: 4 = Demostrar: un =
3
= u1 +
u1
3 u2
= u2 +
3
3
= . . . = un +
u3
un+1
.
3n+1 −3 . 3n+1 −1
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1
⇒u
1
= 34 ; u1 =
31+1 −3 31+1 −1
3 3 = 99− −1 = 4 .
ii) Hip´otesis otesis inductiva: para n = k uk = +2 3 para n = k + 1, o sea, uk+1 = 33 +2− −1 .
⇒
k
3k+1 −3 , 3k+1 −1
por demostrar
k
En efecto, por hip´otesis otesis del problema tenemos: 4 = uk +
3 uk+1
⇒u
k +1 =
3 4
−u
; k
ahora, usando la hip´otesis otesis inductiva: 3 4 (3k+1 3)/ 3)/(3k+1 1) 3(3k+1 1) = 4 3k+1 4 3k+1 + 3 3k+2 3 = k+1 3 (4 1) 1 3k+2 3 = k+2 3 1
uk+1 =
−
−
·
uk+1
− −
−
− − − − − −
4. Si u1 = 0 y un+1 = (1 + x)un un
− nx, nx, ∀ n ∈ N, demostrar que: 1 = [1 + nx − (1 + x) ], x = 0. x n
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1, u1 = 0; u1 = x1 [1 + x
1
− (1 + x)] = · 0 = 0. ii) Hip´otesis otesis inductiva. Para n = k ⇒ u = [1 + kx − (1 + x) ], por x
k
demostrar para n = k + 1, o sea, uk+1 =
1 [1 + (k (k + 1)x 1)x x
1
k
x
− (1 + x)
k +1
].
En efecto, hacemos n = k en la hip´otesis otesis del problema uk+1 = (1 + x)uk kx, kx, ahora reemplazando la hip´otesis otesis inductiva:
−
1 uk+1 = (1 + x) [1 + kx (1 + x)k ] kx x 1 uk+1 = [(1 + x) + (1 + x)kx (1 + x)(1 + x)k ] x 1 = [1 + x + kx + kx2 (1 + x)k+1 kx2 ] x 1 [1 + x + kx (1 + x)k+1] uk+1 = x 1 = [1 + (1 + k )x (1 + x)k+1] x
−
⇒
−
−
−
⇒
5. Demuestr Demuestree
−
− −
n+4
∀ n ∈ N, que: 2
> (n + 4)2 .
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1; 21+4 > (1 + 4)2
5
2
⇒ 2 > 5 ⇒ 32 > 25. ii) Hip´otesis otesis inductiva, para n = k ⇒ 2 > (k + 4) . k +4
2
Por demostrar para n = k + 1, o sea, 2k+5 > (k + 5)2 .
En efecto, como 2k+4 > (k + 4)2
k +4
2
⇒ 2 · 2 > (k + 4) · 2
k +5
> 2k 2 + 16k 16k + 32
k +5
10k + 25 + k 2 + 6k 6k + 7 y com comoo > k 2 + 10k
⇒2 ⇒2
k 2 + 10k 10k + 25 + k 2 + 6k 6k + 7 > k 2 + 10k 10k + 25 2k+5 > k 2 + 10k 10k + 25
k +5
2
⇒ 2 > (k + 5) . 6. Demuestr Demuestree ∀ n ∈ Z; n ≥ 1; h ≥ −1; que: (1 + h)n
⇒
≥ 1 + nh
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1; (1 + h)1
≥ 1 + h ⇒ 1 + h = 1 + h.
− kx
ii) Hip´otesis otesis inductiva, para n = k (1 + h)k 1 + kh. kh. Por demostrar para n = k + 1, o sea, (1 + h)k+1 1 + (k ( k + 1)h 1)h,.
⇒
En efecto, como (1 + h) (1 + h)k (1 + h)
≥
≥
≥ 0, tenemos:
≥ (1 + kh)(1 kh)(1 + h)
k +1
2
2
⇒ (1 + h) ≥ 1 + h + kh + kh ≥ 1 + h + kh pues kh ≥ 0 ( k + 1)h 1)h ⇒ (1 + h) ≥ 1 + (k 7. Demostrar que los n´umeros umeros de la forma u = 2 3n − 2 son − 9n + 3n k +1
2n+1
n
2
divisibles por 54. Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1; u1 = 23
− 9 + 3 − 2 = 0 y 0 es divisible por 54. ii) Hip´otesis otesis inductiva, para n = k ⇒ u = 2 3 k − 2 es − 9k + 3k k
2k+1
2
divisible por 54. Por demostrar para n = k + 1, o sea que uk+1 = 22k+3 1)2 + 3(k 3(k + 1) 2 sea divisible por 54.
−
9(k + − 9(k
En efecto: uk+1
−u
k
= 2k+1(22
− 1) − 18k 18k − 6 = 3(2
2k+1
− 6k − 2), 2),
sumando y restando 27k 27k 2, tenemos:
⇒
uk+1 uk+1
= 3[22k+1 9k 2 + 3k 3k = 3uk + 27(k 27(k )(k )(k 1)
−u −u
−
k k
−
2
27k − 27k 27k − 2] + 27k
ahora como el producto de dos n´umeros umeros consecutivos es par, podemos poner k (k 1) = 2S, 2S, (S N),
−
luego: uk+1
−u
k
∈
= 3uk + 54S 54S
como por hip´otesis otesis inductiva 4uk = 54 p, 54 p, ( p
⇒u
∈ N) ⇒ u
con lo que uk+1 es divisible por 54.
k +1
k +1
= 4uk + 54S 54S
= 54(S 54(S + + p)
8. Demost Demostrar rar que que un = 34n+2 + 52n+1 es m´ ultiplo ultiplo de 14. Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1, u1 = 34·1+2 + 52·1+1 = 854, es m´ultiplo ultiplo de 14. ii) Hip´otesis otesis inductiva, para n = k ultiplo uk = 34k+2 + 52k+1 es m´ultiplo de 14. Por demostrar que para n = k + 1 uk+1 = 34k+6 + 52k+3 es m´ultiplo ultiplo de 14.
⇒
⇒
En efecto, sea: uk+1 uk+1
−u
k
−u
k
uk+1
= = = =
80 34k+2 + 52k+1 24 24(34k+2 + 52k+1) + 56 34k+2 24u 24uk + 14 4 34k+2 25u 25uk + 14S, 14S, S = 4 34k+2
·
·
· ·
⇒
·
·
Como uk es m´ ultiplo de 14, ambos sumandos son m´ultiplos ultiplo ultiplos de 14, luego ultiplo ultiplo de 14. uk+1 es m´ 9. Demost Demostrar rar que que
∀ n ∈ N; f ( f (n) = 10
n
+ 3 4n+2 + 5 es divisible por 9.
·
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1; f (1) f (1) = 101 + 3 41+2 + 5 = 207.
·
ii) Por hip´ hip´ otesis otesis inductiva, para n = k divisible por 9. Por demostrar que para n = k + 1 sea divisible por 9. En efecto, sea:
⇒ f ( f (k + 1) = 10
k
+ 3 4k+2 + 5 es es
− f ( f (k )
·
−
·
·
·
k +1
= 10k (10 1) + 3 4k+2(4 = 9 10k + 9 4k+2 f ( f (k + 1) = 9(10k + 4k+2) + f ( f (k)
f ( f (k + 1)
⇒
f (k) = 10 ⇒ f (
+ 3 4k+3 + 5
·
− 1)
como f ( f (k ) es divisi divisible ble por 9 y tambi tambi´´en en 9(10 9(10k + 4k+2), tenemos que f ( f (k + 1) es divisible por 9.
10. Demostrar: Demostrar: n−1
cos α cos2α cos2α cos4α cos4α . . . cos2
·
(α = kπ,k
·
· ·
sen 2n α α= n 2 sen α
∈ Z).
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1, cos α =
sen2α 2sen α
=
2sen α cos α 2sen α
= cos α
ii) Hip´otesis otesis inductiva, para n = k : cos α cos2α cos2α cos4α cos4α . . . cos2α cos2α
·
·
· ·
k −1
sen2k α α= k 2 sen α
Por demostrar, para n = k+1
⇒
sen 22k+1α cos α cos2α cos2α cos4α cos4α . . . cos2 α = k+1 2 sen α
·
·
· ·
k
en efecto, multiplicando la hip´otesis otesis induct inductiv ivaa por cos 2k α, tenemos k −1
cos α cos2α cos2α . . . cos2
·
k
=
k
=
· · α · cos2 α cos2α · . . . · cos2 α ⇒ cos α · cos2α
= =
sen2k α cos2k α k 2 sen α 2sen2k α cos2k α 2 2k sen α sen sen 2(2k α) 2k+1 sen α sen2k+1α 2k+1 sen α
·
·
11. Demost Demostrar rar que cos( cos(nπ) nπ) = ( 1)n .
−
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1, cos π = ( 1)1
− ⇔ (−1) = (−1)
ii) Hip´otesis otesis inductiva, para n = k ; cos(kπ cos(kπ)) = ( 1)k .
−
Por demostrar, para n = k + 1 como:
cos[(k + 1)π 1) π ] = (−1) ⇒ cos[(k
cos(kπ cos(kπ)) cos(kπ cos(kπ)( )( 1) cos(π cos(π + kπ) kπ ) cos[(k cos[(k + 1)π 1)π ]
−
12. Demost Demostrar rar
= = = =
( ( ( (
k +1
. En efecto,
k
−1) −1) (−1) −1) −1) k
k +1 k +1
n
∀ n ∈ Z; n ≥ 4, que 1 · 2 · 3 · . . . · n = n! > 2 .
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 4: 1 2 3 4 > 24
⇒ 24 > 16. ii) Hip´otesis otesis inductiva, para n = k , k ≥ 4: k ! > 2 Por demostrar, para n = k + 1 ⇒ (k + 1)! > 2 , en efecto, como 1 · 2 · 3 · . . . · k > 2 ⇒ 1 · 2 · 3 · . . . · k · (k + 1) > 2 (k + 1) ⇒ (k + 1)! > 2 (k + 1) (*) · · ·
k
k +1
k
k
k
Dado que,
∀k≥4 ⇒ ⇒
k+1 > 4 2k (k + 1) > 4 2k 2k (k + 1) > 4 2k > 2 2k 2k (k + 1) > 2k+1
⇒
·
· · ⇒
(**)
luego, por (*) y (**) concluimos (k ( k + 1)! > 2k+1. 13. Se definen los n´umeros umeros a1 , a2 , a3 , . . . mediante a1 Demostrar que an < 2 para todo n.
√ = 2ya
n+1
=
√ 2a . n
Demostraci´ on. on. a ) Para n = 1, a1
√ = 2 < 2.
b ) Hip´ otesis otesis inductiva, para n = k : ak < 2, por demostrar para
1, o sea: a efecto, como a < 2 ⇒ 2a < 4 ⇒ n = k + √ < 2. En√ √ 2a < 4 ⇒ por definici´on on 2a = a luego a < 2. k +1
k
k
k
k +1
k
k +1
14. Demostrar Demostrar
∀ n ∈ N, que 1 2 3 n + 2 + 3 +...+ n = 2 2 2 2 2
− n 2+ 2 n
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1
⇒
1 2
=2
−
1+2 2
=
1 2
verdadero.
ii) Sea v´alido alido para n, o sea se verifica que 1 2 3 n + 2 + 3 +...+ n = 2 2 2 2 2
− n 2+ 2
(H.I.)
n
Por demostrar para n + 1, o sea que: 1 2 3 n n+1 + 2 + 3 + . . . + n + n+1 = 2 2 2 2 2 2
− n2 + 3
(T)
n+1
En efecto: 1 2 3 n n+1 + 2 + 3 + . . . + n + n+1 = 2 2 2 2 2 2 = =
− n 2+ 2 + n2 + 1 2(n 2(n + 2) − (n + 1) 2− 2 n+3 2− 2 n
n+1
n+1
15. Si a1 = 1, a2 = 3, . . . , an+2 = 12 (an+1 + an ), probar que: i) a1 < a3 < a5 < . . . y a2 > a4 > a6 > . . . ii) an = iii) an+2 Prueba.
7 3
4 3
1 n −1 2
− − −a = − n
1 n−1 2
y an+2
−a
n+1
=2
1 n 2
−
i) Vamos a demostrar demostrar que a2n−1 < a2n+1 . 1) Para n = 1, a1 < a3
n+1
⇔ 1 < 2 que es verdad.
2) Sea v´alido alido para n, o sea, se cumple a2n−1 < a2n+1 En efecto, a2n−1 < a2n+1
(H.I.)
1 1 (a2n + a2n−1 ) < (a2n+1 + a2n ) 2 2 a2n+1 < a2n+2 2a2n+1 < a2n+2 + a2n+1 1 a2n+1 < (a2n+2 + a2n+1 ) 2 a2n+1 < a2n+3,
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
⇔
an´alogamente alogamente se establece: a2 > a4 > a6 > . . . ii) 1) Pa Para n = 1 a1 = 73 43 = 1 que es verdad. 2) Sea v´alido alido para n, o sea, que se verifica
⇒
−
7 an = 3
−
4 3
n −1
− 1 2
7 3
(H.I.) n
1 Por demostrar para n + 1, o sea, an+1 = (T) 2 En efecto, como an+1 = 12 (an + an−1 ) y tomando en cuenta el principio general de inducci´ on, on,
an+1
1 = 2
an+1
7 = 3
an+1
7 = 3
4 3
−
−
− − − − − − − − − − − − 7 3
4 3
1 4 2 3
1 2
1 2
1 2
4 3
n−1
n−1
7 + 3
(1
1 2
4 3
1 2
n −2
2)
n −1
7 = 3
4 3
1 2
n
iii) Como en ii) est´a establecida la validez de la f´ormula ormula para todo n se tiene: an+2
−a
n
7 = 3 4 = 3
− − − − − − − − − − ·− 4 3
An´ alogamente alogamente para an+2
1 2
1 2
n −1
n+1
1
an+1 = 2
7 3
1 2
1 n . 2
4 3
1 2
2
=
n −1
1 2
n −1
16. Demuestr Demuestree que x2n
−y
2n
es divisible por x + y ,
∀ n ∈ N.
Demostraci´ on. on. 2n
Sea S = n
2n
{ ∈ N / x − y es divisible por x + y}. i) 1 ∈ S pues x − y = (x + y )(x )(x − y ) es divisible por (x (x + y ). ii) Si n ∈ S se tiene que x − y es divisible por x + y (H.I.) Por demostrar que (n (n + 1) ∈ S , o sea, x sea divisible por −y 2
2
2n
2n
2(n+1)
2(n+1)
(x + y )
(T)
En efecto: x2(n+1)
−y
2(n+1)
= x2n+2 y 2n+2 = x2 (x2n y 2n ) + x2 y 2n = x2 (x2n y 2n ) + y 2n (x
− − −
2n+2
−y − y)(x )(x + y )
es divisible por (x (x + y ) pues x2n y 2n lo es por hip´otesis ote sis y el t´ermino ermi no que se suma contiene a (x (x + y ), por tanto, (n (n + 1) S , luego S = N.
−
3.6. 3.6.
∈
Ejer Ejerci cici cios os Prop Propue uest stos os
1. Si a1 = 1 y ak+1 = 2ak + 1, probar que an = 2n 2. Si u1 = 0 y uk+1 = (1
− x)u
un =
k
1 [nx x
+ kx, kx,
− 1.
∀ k ∈ N, pruebe que n
− 1 + (1 − x) ],
x = 0.
3. Probar Probar que que si si u0 = 2, u1 = 3, . . . , uk+1 = 3uk 2uk−1 , entonces n un = 2 + 1.
−
4. Siendo u1 = c y uk+1 = 2uk +1,
n 1
∀ k ≥ 1, probar que u +1 = 2 − (c+1). n
5. Se definen los n´umeros umeros de Fibonacci inductivamente por: u0 = 0, u1 = 1, . . . , uk+1 = uk + uk−1 , pruebe que:
∀ n ≥ 0,
a ) un+1
√
n
−u
n
≤ 1+ 5 2
b ) un+1 un−1
·
2
= ( 1)n
−
c ) un+1 = u0 + u1 + . . . + un−1 + 1 d ) un+ p−1 = un−1u p−1 + un u p
6. Se define u1 = 1 y uk+1 = uk +
1 . k +1
Pruebe que u1 + u2 + . . . + un = (n + 1)u 1)un
− n.
7. Pruebe que: a ) 9 divide a (3n (3n + 1)7n b ) 15 divide a 2 4n
−1
−1 48n − 1 c ) 2304 divide a 7 − 48n d ) 8 divide a 3 − 1 e ) 5 divide a 7 · 16 + 3 16n − 1 f ) 64 divide a 7 + 16n g ) 48 divide a 7 − 1 h ) 64 divide a 9 − 8n − 1 2n
2n
n
2n 2n
n
8. Pruebe que: a ) xn
−y
n
es divisible por x
−y
b ) x2n−1 + y 2n−1 es divisible por x + y
9. Demuestr Demuestree que a ) 2n
∀ n ∈ N, que:
≥ 1+n
b ) (2n (2n)! < 22n (n!)2 , n > 1 c )
3 2
d )
n+1
−
1
1 n
+
+
1 n2
1 n+2 n
e ) n! > 2 , n
<
1 12
+
+...+
1 + 22 1 2n+1
≥4
10. Probar que 24 divide a n(n2
...+
≤
5 6
1 n2
<2
−
1 n
,n>1
− 1) si n es impar. 11. Demuestr Demuestre: e: n(n + 1)(n 1)(n + 2) . . . (n + p − 1) es divisible por p.
12. Pruebe que: 13 + 33 + . . . + (2n (2n + 1)3 = (n + 1)2(2n (2n2 + 4n 4n + 1), 1),
n
≥0
13. Probar que el el producto producto (2n (2n + 1) n´ numeros u ´ meros reales negativos es un n´umero umero negativo. 14. Probar que para n > 2, la suma de los ´angulos angulo s interiores interior es de un pol´ pol´ıgono regular de n lados es (n (n 2)π 2)π .
−
15. Determine Determine la falla del m´ etodo etodo de inducci´ inducci´ on on en la demostraci´on on de: n N la f´ormula ormula p(n) = n2 n + 41 proporcio proporciona na solo n´ umeros umeros primos.
∈
∀
−
16. Demostrar: Demostrar: a ) 12 + 32 + 52 + . . . + (2n (2n 1)2 = 13 n(4n (4n2 1) b ) 2 + 5 + 13 + . . . + (2n−1 + 3n−1 ) = 12 (2n+1 + 3n
−
c )
1 1·3
e )
5 1·2
−
+ 31·5 + 51·7 + . . . + 4n21−1 = 2nn+1 d ) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n (2n + 1) = (n (n + 1)2 f ) g )
1 3
7 23
1 32
9 34
1 33
er mino nos) s) = 1 − · + · · + · · + . . . (n t´ermi − − − − + . . . ( n t´ ermi e r mino nos) s) = + ( 1) · · · − + − . . . + (−1) − = 1 − −
8 35 1 4
12 57
1 42
16 79
1 3
1 43
n 1 1
1 5
4n
17. Demostrar Demostrar que: que: a )
− 3)
1 2
1 3
1 4
n 1
1
1 ( 4)n
1
1
... 1
n+1
=
n+1 n
2
b ) (1
x)(1 + x)(1 + x2 )(1 + x2 ) . . . (1 + x2 ) = 1
c )
1 22
1
1
1 32
1
1 42
1 (n+1)2
... 1
1 2n+3
1
− − − − − − − − − 1
1 (n+1)3n
=
2n+1
−x
n+2 2(n+1)
18. Demuestr Demuestree que: 12
2
−2
+ 32
n 1
2
− . . . + (−1) − n
19. Sean µ1 = 10, 10, µ2 = 47 . . . µn = 23µ 23µn−1 µn = 20n−1 + 3n+1
1 = ( 1)n−1 n(n + 1) 2
−
60µ − , n ≥ 3. Pruebe que: − 60µ n 2
20. Dado que a0 = 12, 12, a1 = 11, 11, . . . , an+2 = an+1 + 6a 6 an , n que an = 7 3n + 5( 2)n .
·
−
21. Sean a1 = 0, a2 = 1, . . . , an+1 = n(an + an−1 ), n an = n!
1 2!
−
≥ 2. Demostrar que:
1 ( 1)n +...+ 3! n!
−
≥ 0. Demuestre
22. a1 = a, a2 = b, a3 = 13 (a1 + 2a 2 a2 ), a4 = 13 (a2 + 2a 2 a3), . . . a, a, b Demostrar que: an = a
3.7. 3.7.
−
3c c+3
− c 3
n −1
−
1 ,
c=b
∈ R, a = b.
− a.
Suma umator torias ias
Una sumatoria sumat oria es un s´ s´ımbolo que se ocupa o cupa para par a denotar denota r en forma fo rma comprimida compri mida la suma sucesiva de los ´terminos terminos de una sucesi´on. on. Definici´ on on 2
Se define defin e el s´ımbolo ımbo lo 1
1.
(que se lee sumatoria) inductivamente, por
ai = a1
i=1
n+1
2.
n
ai =
i=1
ai + an+1, donde an es una sucesi´on on cualquiera.
i=1
De esta definici´on on se desprende f´acilmente acilmente que, n+1
1
ai =
i=1
i=1
ai + a2 + a3 + . . . + an + an+1 = a1 + a2 + a3 + . . . + an+1
n
Note que
ai representa a una suma desde de sde el primer t´ermino ermino de la sucesi´on on
i=1
a1 para i = 1 hasta el ultimo u ´ ltimo t´ermino ermino que en este caso es an para i = n. Es decir, en i = 1 se inicia la suma de los sucesivos sucesivos t´erminos erminos de ai e i = n indica donde se finaliza la suma. Nota. En este texto se estudiar´ an las sumatorias finitas simples y dobles, an
que deber debe r´ıan llamarse llamar se series finitas. En un curso posterior es estudiar´an an las sumatorias infinitas de los t´erminos erminos de una sucesi´on, on, a ´estas estas se suelen llamar series .
N´ umero ume ro de T´ ermino erm inos. s. n
Dada
ai con 0
i= p
igual a n
≤ p ≤ n, p ∈ N ∪ {0} el n´umero umero de t´erminos erminos siempre es
umero es n. − p + 1 para el caso particular de p = 1, dicho n´umero
Propiedades. n
1.
n
n
ai =
i=1
a j =
j =1
ak
k =1
El valor de la l a sumatoria sumat oria no depende dep ende del s´ s´ımbolo que se use como c omo ´ındice. n
2.
c = c(n p + 1), 1), 0
−
i= p
≤ p ≤ n, c es una constante real que no depende
del de l ´ındi ın dice ce i. n
Para el caso particular de
1 = n.
i=1
3.
n
n
i=1
cai = c
i=1
n
4.
i=1
ai , c es una constante. n
(ai + bi ) =
n
ai +
i=1
i=1
bi
5. Propiedad Propiedad Telesc Telesc´ opica: o´pica: n
(ai+1
i= p
tambi´ mbi´en
i= p
n
a )
b)
n+1
i
ai =
n −r
i= p
i= p−r
n
n+r
ai =
i= p
i= p+r
−a
i+1
) = a p
0
≤ p ≤ n,
−a
n+1
,
0
≤ p ≤ n.
ai+r ; p
− r ≥ 0, 0 ≤ p ≤ n
ai−r ; 0
≤p≤n
n
7. Sea p
p
n
(ai
6.
−a ) = a −a ;
≤ n, entonces
n
p−1
− ai =
i= p
ai
i=1
ai
i=1
Observaci´ on. on.
Todas estas propiedades se prueban en forma sencilla, en base a la definici´on on o bien por inducci´on. on.
Sumatorias Notables n
1.
1 k = n(n + 1) 2 k =1
n
2.
1 k 2 = n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) 6 k =1 n
1 3. k 3 = n(n + 1) 2 k =1
2
n
4.
r
k −1
p−1
=r
k = p
rn− p+1 1 , r = 1, 0 r 1
−
−
≤p≤n
Observaci´ on. on.
Todas estas sumas se prueban por inducci´on, on, algunas de ellas se encuentran en los ejemplos o bien en los ejercicios resueltos. Ejemplo 5
Desarrollar las siguientes sumatorias: 8
a)
k (2k (2k
k =4
− 1)
b)
n −1
−
k +1
( 1)
k =0
2k + 1 k+2
De la definici´on on se tiene: 8
a)
k (2k (2k
− 1) = 4 · 7 + 5 · 9 + 6 · 11 + 7 · 13 + 8 · 15, note que son 5 = 8 − 4 + 1 t´ermin erminos os como como deber deb er´´ıa ser. ser . k =4
b)
n−1
−
( 1)
k +1
k =0
2k + 1 = k+2
−
n −1 20 + 1 21 + 1 +1 n2 + + . . . + ( 1) . 2 3 n+1
Note que en este caso se tiene n
−
er min nos. − 1 − 0 + 1 = n t´ermi
Ejemplo 6
Escribir usando
, las siguientes sumas:
1. 12 + 32 + 52 + . . . (hasta n + 1 t´ermi er mino nos) s) 2. 2 7 + 5 9 + 8 11 + . . . + 422 287
·
3. 38·5
·
−
12 5·7
+ 716·9
· · − . . . (hasta p t´ermi er mino nos) s)..
De inmediato se tiene: n
1.
(2k (2k + 1) 2 , note que n
k =0
− 0 + 1 = n + 1 t´ermi er mino nos. s.
2. Notemos que ak = (3k (3k 1)(2k 1)(2k + 5), k = 1, 2, . . . la sumatoria debe terminar en 3k 3k 1 = 422 2k + 5 = 287 de donde en ambos casos
−
−
141
k = 141, por tanto
∧ (3k (3k − 1)(2k 1)(2k + 5).
− k =1
p
( 1)k−1
3. De inmediato se tiene
k =1
4(k 4(k + 1) . (2k (2k + 1)(2k 1)(2k + 3)
Ejemplo 7 6
Sea a1 = 3, . . . , an = 6n
− 3 calcular
k =3
ak−1ak+1.
Note que la sumatoria sumator ia consta de cuatro cuatr o t´erminos, erminos, as´ as´ı, 6
k =3
ak−1ak+1 = a2 a4 + a3 a5 + a4a6 + a5 a7 = 9 21 + 15 27 + 21 33 + 27 39 = 2340
·
·
·
·
Ejemplo 8
Vamos a calcular las siguientes sumatorias, aprov a provechando echando para ello la propiedad telesc´ opica. opica. 20
a)
i=1
1 i+2
n+1
b)
i= p
1 2i
−
1 i+1
−1 −
1 2i + 1
Por tanto, se tiene para: 20
a)
i=1
1 i+2
−
1 i+1
=
1 20 + 2
− 1 +1 1 = 221 − 12 = − 115
b) Note que en este caso los t´erminos erminos son consecutivos consecutivos aunque aparentemente parecen no serlo, lo importante es que: ai =
1 2i
y ai+1 =
−1
1 , 2i + 1
as´ı pu puees, n+1
i= p
3.8. 3.8.
1
− 2i − 1
=
1
1 − 2 p − 1 2n + 3
Suma Sumato tori rias as dobl dobles es
Sea aij una sucesi´on on tal que i, j
as´ı se define defi nen n ∈ N × N, as´
n
1.
1 2i + 1
m
n
m
aij =
i=1 j =1
m
aij
i=1
j =1
n
m
n
aij
=
j =1
n, m
;
i=1
∈ N.
aij , la sumatoria sumator ia entre par´entesis entesis suma sobre j
Note que en
i=1
j =1
manteniendo i constante, an´alogamente alogamente para
m
aij
j =1
i y j la considera constante.
n
i=1
2. Si es el caso que aij = bi c j , entonces
n
m
n
m
aij =
i=1 j =1
n
bi c j =
i=1 j =1
m
bi
i=1
c j
j =1
suma sobre
n
3. Ahora si se trata de
i
aij entonces,
i=1 j =1 n
i
n
i
aij =
i=1 j =1
aij
i=1
j =1
y en este caso la sumatoria sumatoria indicada indicada entre entre par´ par´entesis entesis es la que se debe efectuar necesariamente en primera instancia. Nota.
Para el c´alculo alculo o desarrollo de una sumatoria doble se aprovechan las propiedades y las sumas notables de las sumatorias simples. Ejemplo 9
Desarrollaremos y calcularemos 3
a)
2
1 +k j
k =1 j =1
2
b)
i
2 ji j i
i=1 j =1
As´ As´ı, para a) se tiene:
· 3
2
k =1 j =1
1 +k j
3
2
=
k =1
3
=
k =1
=
2
1 + k j j =1 j =1 1 1 + +k 2 1 2
3
=
k =1
3 33 3 + 2(1 + 2 + 3) = . 2 2
·
3
3 +2 k 2 k =1
Para b), el desarrollo se puede efectuar como sigue: 2
1
i
2
2 ji j i =
2 j +
i=1 j =1
j =1
4 j = 2 1 + 4 1 + 4 2 = 14
·
j =1
·
·
el c´alculo alculo tambi´ tambi´en en se puede hacer en la forma: 2
2
i
2 ji j i =
2i
i=1 j =1
3.9. 3.9.
2
i
i=1
1 = 2i i(i + 1) = 2 i=1
j
j =1
= 12 2 + 2 2 3 = 14
·
·
2
i2 (i + 1)
i=1
Ejer Ejerci cici cios os Resu Resuel elto toss
1. Calcular Calcular las siguiente siguientess sumatorias: sumatorias: a)
2n
n
k
b)
k =1
k
c)
k =3
2n−1
k
k =n+1
Soluci´ on. on. 2n
a)
1 k = 2n(2n (2n + 1) = n(2n (2n + 1) 2 k =1
− − n
b)
n
k=
k =3
c)
2n−1
1 (1 + 2) = n(n + 1) 2
k
k =1
k=
k =n+1
= n(2n (2n
2n−1
n
k
k =1
− 1) −
k =1
1 n(n 2
1 k = (2n (2n 2
−3
1 1)(2n − 1 + 1) − n(n + 1) − 1)(2n 2
+ 1)
2. Si ak = 13 k (k + 1)(k 1)(k + 2) demuestre que ak n
aqu´ aqu´ı calcule cal cule el valor de
i=1
i(i + 1).
−a −
k 1
= k(k + 1) y de
Soluci´ on. on.
ak
−a −
k 1
= 13 k (k + 1)(k 1)(k + 2)
= 13 k(k + 1)(k 1)(k + 2 Luego,
3. Dada
n
n
− 1)(k 1)(k (k + 1)
i(i + 1) =
(ai
i=1
−a− ) =a −a i 1
n
1 = n(n + 1)(n 1)(n + 2) 3 1 = n(n + 1)(n 1)(n + 2) 3
0
− 13 0(0 + 1)(0 + 2)
1 i(i + 1) = n(n + 1)(n 1)(n + 2) 3
i=1
1 (k 3
− k + 1) = k(k + 1).
i=1
n
−
2n+1
n
Calcule
i=1
i(i
− 1)
y
k(k + 1).
k =n
Soluci´ on. on.
Por la propiedad 6), se tiene: n
i=1
i(i
− 1)
=
n −1
(i + 1)(i 1)(i + 1
i=0
=
n −1
− 1)
i(i + 1)
i=1
=
1 (n 3
2n+1
2n+1
k (k + 1) =
k =n
k =1
1)n(n + 1) − 1)n k(k + 1)
n−1
−
k(k + 1)
k =1
1 1 (2n (2n + 1)(2n 1)(2n + 2)(2n 2)(2n + 3) (n 1)n 1)n(n + 1) 3 3 1 = (n + 1)[(2n 1)[(2n + 1) 2(2n 2(2n + 3) (n 1)n 1)n] 3 1 = (n + 1)(7n 1)(7n2 + 17n 17n + 6) 3 =
−
·
− − −
4. Calcul Calcular: ar: a)
n
n
( j + 1)3
b)
j =1
(n
k =1
− k + 1)
Soluci´ on. on. n+1
n
a)
( j + 1)3 =
j =1
j 3 =
j =2
n
b)
n+1
k (n
− k + 1)
k =1
j 3
j =1
− 1 = 14 (n + 1) (n + 2) − 1 2
n
= (n + 1)
2
n
− k
k =1 1 + 1) 2 n(n
k2
k =1
= (n + 1) = 16 n(n + 1)(n 1)(n + 2)
−
1 n(n 6
+ 1)(2n 1)(2n + 1)
5. Calcul Calculee la sumatori sumatoriaa y luego luego verifiq verifique ue su c´alculo alculo por inducci´on. on. n+1
(1 + 2k−1)
k =1
Soluci´ on. on.
n+1
n+1
(1 + 2k−1) =
k =1
n+1
1+
k =1
2 k −1
k =1
2n+1 1 = (n + 1) + 1 = n + 2n+1 2 1
· −−
Ahora, por inducci´on on vamos a demostrar que: n+1
(1 + 2k−1) = n + 2n+1
k =1
1
⇒
i) Para n = 0
(1 + 2k−1) = 0 + 2
k =1
cumple.
⇔ 1+2
0
= 2 por tanto se
ii) Sea v´alido alido para n, o sea, se verifica que: n+1
(1 + 2k−1) = n + 2n+1
(H.I.)
k =1
Por demostrar para n + 1, o sea que: n+2
(1 + 2k−1) = n + 1 + 2 n+2
(T)
k =1
En efecto: n+2
n+1
(1 + 2k−1 ) =
k =1
(1 + 2k−1) + (1 + 2 n+2−1)
k =1
= n + 2n+1 + 1 + 2 n+1 = n + 1 + 2 2n+1 = n + 1 + 2 n+2
·
6. Demostrar Demostrar que: que:
n
k =1
1 n = k(k + 1) n+1
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1: n
k =1
1 1 1 = = k (k + 1) 1(1 + 1) 1+1
ii) Hip´otesis otesis inductiva, para n = p: p
k =1
1 p = k (k + 1) p + 1
⇒ 12 = 12
Por demostrar para n = p + 1 p+1
k =1
⇒:
1 p+1 = . k (k + 1) p + 2
En efecto, como: p
k =1
1 p = k(k + 1) p + 1 p
k =1
p+1
k =1
⇒
1 1 1 p + = + k (k + 1) ( p + 1)( p 1)( p + 2) p + 1 ( p + 1)( p 1)( p + 2) 1 p( p + 2) + 1 ( p + 1)2 p+1 = = = k (k + 1) ( p + 1)( p 1)( p + 2) ( p + 1)( p 1)( p + 2) p + 2
7. Demostrar: Demostrar: p
−
( 1)i−1
i=0
4(i 4(i + 1) 1 1 = + ( 1)n−1 (2i (2i + 1)(2i 1)(2i + 3) 3 2n + 3
−
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1: 1
−
( 1)i−1
i=1
4(i 4(i + 1) 1 1 = + ( 1)1−1 (2i (2i + 1)(2i 1)(2i + 3) 3 2 1+3
( 1)1−1
−
−
k
( 1)i−1
i=1
⇒
4(1 + 1) 4(2) = (2 1 + 1)(2 1 + 3) 3 5
·
8 8 = ⇔ · 15 15
·
ii) Hip´otesis otesis inductiva, para n = k :
−
· ·
4(i 4(i + 1) 1 1 = +( 1)k−1 (2i (2i + 1)(2i 1)(2i + 3) 3 2k + 3
−
(H.I.)
Por demostrar, para n = k + 1: k +1
⇒ −
( 1)i−1
i=1
4(i 4(i + 1) 1 1 = + ( 1)k . (2i (2i + 1)(2i 1)(2i + 3) 3 2k + 5
−
(T.)
En efecto, como: k
− ⇒ −
( 1)i−1
i=1
4(i 4(i + 1) 1 1 = + ( 1)k−1 (2i (2i + 1)(2i 1)(2i + 3) 3 2k + 3
−
k
( 1)i−1
i=1
=
4(i 4(i + 1) 4(k 4(k + 2) + ( 1)k (2i (2i + 1)(2i 1)(2i + 3) (2k (2k + 3)(2k 3)(2k + 5)
−
1 1 4(k 4(k + 2) + ( 1)k−1 + ( 1)k 3 2k + 3 (2k (2k + 3)(2k 3)(2k + 5)
−
k +1
−
i−1
=
−
( 1)
i=1
−
4(i 4(i + 1) 1 ( 1)k−1(2k (2k + 5) + ( 1)k 4(k 4(k + 2) = + (2i (2i + 1)(2i 1)(2i + 3) 3 (2k (2k + 3)(2k 3)(2k + 5)
−
−
1 ( 2k 5 + 4k 4 k + 8) 1 1 + ( 1)k = + ( 1)k 3 (2k (2k + 3)(2k 3)(2k + 5) 3 2k + 5
− −
−
2n
8. Demuestr Demuestree y calcule:
n
−
k 2
( 1) k =
k =1
(4k (4k
k =1
− 1).
Demostraci´ on. on. a ) Desarrolland Desarrollando: o: 2n
−
( 1)k k2 =
−1
=
k =1
2
+ 22
2
−3
n
(2k (2k )2
−
k =1
2
− 1)
[(2k [(2k )2
− (2k (2k − 1) ]
[(2k [(2k)2
(2k) − (2k
k =1 n
=
(2k (2k
k =1
k =1 n
=
2
(2n − 1) − 5 − . . . − (2n
n
k =1 n
=
+ 42
(4k (4k
2
− 1)
2
+ 2(2k 2(2k)
− 1]
2
+ (2n (2n)2
2n
n
−
( 1)k k 2 =
b)
k =1
n
(4k (4k
k =1 n(n+1)
= 4 n
9. Calcul Calcular: ar: S =
k =1
(2k (2k
−
2
n
− k
− 1) = 4 − n = 2n
k =1
2
1
k =1
+n
1 1)(2k 1)(2k + 1)
Soluci´ on. on.
Por fracciones parciales (2k (2k k=
1 2
1 A B = + 1)(2k 1)(2k + 1) 2k 1 2k + 1
− ⇒A= n
S =
1 2
− ;k=− ⇒B=− 1 2
k =1
1 1 2 2k 1
1 − − 2k + 1
n
10. Calcul Calcular: ar: S =
k =1
1 , 2
(2k + 1) + B (2k (2k − 1) ⇔ 1 = A(2k
as´ı:
=
1 1 2 2 1 1
1 − · − 2n + 1
=
n 2n + 1
k 4 + k2 + 1 k4 + k
Soluci´ on. on.
k 4 + k2 + 1 k2 k + 1 = 1+ (divisi´on on de polinomios) k4 + k k4 + k k 4 + k2 + 1 k2 k + 1 1 = 1 + = 1 + , k4 + k k4 + k k (k + 1)
−
−
as´ı: n
S =
n
n
− 1+
k =1
S = n +
1 1
1 = k (k + 1)
1+
k =1
1 n(n + 2) = n+1 n+1
k =1
n
1 1 = n+ k (k + 1) k k =1
− k +1 1
n
11. Calcul Calcular: ar: S =
k =1
2k + 1 k 2 (k + 1)2
Soluci´ on. on. n
S =
k =1 n
S =
n
k2 + 2k 2k + 1 k 2 = 2 2 k (k + 1)
k =1
−
1 k2
− (k +1 1)
2
12. Calcul Calcular: ar:
=
k =1
1 12
n
S =
(k + 1)2 k2 (k + 1)2
− (n +1 1)
−
k2 k2 (k + 1)2
2
k
log
k =1
k+1 k
Soluci´ on. on. n
S =
k
k+1 k
log
k =1
, desarrollando tenemos: 2
3
2 3 4 S = log + log + log 1 2 3 2 32 43 (n + 1)n S = log ... 1 22 33 nn
· ·
13. Calcul Calcular: ar:
n
S =
log 1 +
k =1
+ . . . + log
n+1 n
n
(n + 1)n = log n!
1 k 2 + 2k 2k
Soluci´ on. on. n
n
(k + 1)2 log = S = k ( k + 2) k =1 n
S =
(log(k (log(k + 1)
k =1
S = log(n + 1)
[2 log( log(k k + 1)
k =1
− log k)
log(k)(k )(k + 2)] − log(k
n
−
[log(k [log(k + 2)
k =1
log(k + 1)] − log(k
2(n 2(n + 1) (log(n + 2) − log log 2) = log log − log1 − (log(n (n + 2)
14. Calcul Calcular: ar:
n
S =
k 1 + k 2 + k4
k =1
Soluci´ on. on.
Haciendo 1 + k 2 + k 4 = 1 + 2k 2k 2 + k 4 n
S =
k =1
(1 + k 2
−
−k
2
= (1 + k2)2
−k
2
se tiene:
k . 2 k)(1 + k + k )
Por otra parte: (1 + k2
k Ak + B Ck + D = + k )(1 + k2 + k ) (1 + k 2 k) 1 + k 2 + k
−
−
k = (Ak + B )(1 + k2 + k) + (C ( C k + D)(1 + k2 k ) k = (A + C )k 3 + (A (A + B C + C + D)k 2 + (A (A + B + C
−
−
A + C = 0 A + B C + C + D = 0 A + B + C D = 1 B+D =0
−
−
n
S =
− k =1 n
1 = 2
k =1
1 = 1 2
1 2 k2
− D)k + B + D
A = C = 0 B = 12 D = 12 , de donde
−
1 2 k2
−k − 1+ +k 1 1 − 1 + k − k 1 + (k ( k + 1) − (k + 1)
1+
2
2
1 1 + n2 + n
15. Calcul Calcular: ar:
√ √ n
S =
k =2
− √ − − 3 − 6 − 4 2 −
5k + 3 5k 2 25k 25k 2 + 5k 5k 6
k 4 k
k +2
Soluci´ on. on.
√ − √ − − − − − − − − − √ − √ − − − √ − √ − − − n
S =
k =2 n
S =
k =2
S = S =
5k + 3 (5k (5k + 3)(5k 3)(5k
2)
1 (5k (5k
1 (5k (5k + 3)
1 8 1 8
2)
1 4
16. Calcul Calcular: ar:
n+2
S =
2)
k =2
n
n
32k−4 +
k =2
k =2
1 (32 )n−1 1 1 12 + 4 9 1 4 1 2n−2 1 1 (3 1) + 32 2 2
1 5n + 3 1 5n + 3
n
5k 2 (5k (5k + 3)(5k 3)(5k
n −1
1 2
3k−42k 3k 2k+2
1 2k
1
1
n
n
( j
j =2
4
− 1)
−
k4
k =1
Soluci´ on. on.
Haciendo j 1 = k en la primera sumatoria y para j = 2 j = n + 2 k = n + 1, luego
− ⇒
n+1
S =
n
n
− k4
k4 =
k =1
k =1
n
(n + 1)4 k4 + (n
k =1
−
k 4 = (n + 1)4 .
k =1
17. Calcul Calcular: ar: S = 4 7 + 7 12 + 10 17 + . . . + 157 262.
·
·
·
·
Soluci´ on. on. ?
N´otese otese que S =
⇒ k = 1;
(3k (3k + 1)(5k 1)(5k + 2), tal que:
k =1
3k + 1 = 157 5k + 2 = 262
⇒
k = 52, 52,
2
−2
con lo que 52
S =
(3k (3k + 1)(5k 1)(5k + 2)
k =1
52
S =
(15k (15k 2 + 11k 11k + 2)
k =1
S = 15
52 53 105 52 53 + 11 + 2 52 = 738712 6 2
· ·
18. Calcul Calcular: ar: S =
· ·
·
1 1 1 1 + + + ...+ 8 15 24 6240
Soluci´ on. on.
S =
1 2 4
·
?
S =
k =1
k + 1 = 78 k + 3 = 80
⇒
1
+
+
1
3 5 4 6 1 , (k + 1)(k 1)(k + 3)
·
·
+ ...+
1 78 80
·
tal que
k = 77, 77 , as´ı:ı: 77
S =
k =1
1 . (k + 1)(k 1)(k + 3)
con ayuda de fracciones parciales: 1 A B = + (k + 1)(k 1)(k + 3) k+1 k+3
⇔ 1 = A(k + 3) + B(k + 1)
Si k =
−3 ⇒ B = −
1 S = 2 = S =
1 2
77
1 ; 2
−
si k =
1 k+1
k =1
77
k =1
1 1 2 2
−
1 k+1
1 1 + 79 3
19. Calcul Calcular: ar: S n =
−1 ⇒ A = 12 , luego: 1 k+3
− k +1 2 − 801
77
+
k =1
1 k+2
− k +1 3
= 0,404087553
5
1 7 1 9 1 · · · + + +... 1·2 3 2·3 3 3·4 3 2
3
Soluci´ on. on. n
S n =
k =1
2k + 3 2k + 3 A B , de donde = + k (k + 1)3k k(k + 1) k k+1
A=3yB=
−1, as´ı: n
S n =
k =1
S n =
⇔
3 k
− k +1 1
1 1 30
n
·
1 − · (n + 1)3
1 = 3k
n
=1
k =1
1 k 3 k −1
− (n +11)3
− (k +11)3
n
20. Probar Probar por inducci inducci´ on o´n que: 2n
2n
1 ( 1) j +1 = ; k j j =1 k =n+1
− ∗
n
≥1
Prueba. 2
i) Para n = 1
2
1 ( 1) j +1 = k j =1 j
− ⇒ k =2
⇔ 12 = 1 − 12 = 12
k
ii) Sea v´alido alido para n, o sea, se cumple n 1. Por probar para n + 1, o sea, 2n+2 2n+2 1 ( 1) j +1 = , k j j =1 k =n+2
en efecto: 2n+2
2n
1 = k k =n+2
1 k k =n+1
− − − − 2n
=
j =1
2n
=
j =1
2n+2
=
j =1
∗∀ ≥ −
1 1 1 + + n + 1 2n + 1 2n + 2
( 1) j +1 1 + j 2n + 1
− 2n 1+ 2
( 1) j +1 ( 1)(2n+1)+1 ( 1)(2n+2)+1 + + j 2n + 1 2n + 2
−
−
( 1) j +1 j
N´otese otese que (2n (2n + 1) 1) + 1 es par y que que (2n (2n + 2) + 1 es impar. 21. Sab Sabien iendo do que (a (a + 1)5 = a5 + 5a4 + 10a 10a3 + 10a 10a2 + 5a + 1, demostr demostrar ar que n
S =
k4 cumple con la ecuaci´on: on:
k =1
n(n + 1) (n +1) 5 = 1+5S 1+5S +10 +10 2
2
+10
n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) n(n + 1) +5 +n 6 2
encuentre el valor de S cuando n = 5. Soluci´ on. on.
Haciendo a = 1, a = 2, a = 3, . . . , a = n en el desarrollo dado, tenemos: (1 + 1)5 = 25 = 15 + 5 14 + 10 13 + 10 12 + 5 1 + 1
· · · · (2 + 1) = 3 = 2 + 5 · 2 + 10 · 2 + 10 · 2 + 5 · 2 + 1 (3 + 1) = 4 = 3 + 5 · 3 · 4 + 10 · 3 + 10 · 3 + 5 · 3 + 1 ······························ 5
5
5
4
5
5
5
4
3
2
3
2
(n + 1)5 = (n + 1)5 = n5 + 5n 5n4 + 10 n3 + 10 n2 + 5n 5n + 1
·
·
sumando miembro a miembro y simplificando, obtenemos: (n + 1)5 = 1 + 5(14 + 24 + . . . + n4 ) + 10(13 + 23 + . . . + n3 ) + +10(12 + 22 + . . . + n2 ) + 5(1 + 2 + . . . + n) + 1 n
n(n + 1) = 1 + 5S + S + 10 2 n(n + 1) +5 + n, 2
(n + 1)5
·
2
+ 10
n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) + 6
despejando S y para n = 5 se tiene S =
1 5 6 5
2
1 + 10
· 304
+ 10
330 30 +5 +5 6 2
= 979
1
22. Si f ( f (k ) = a ) f ( f (k)
−
k2
− f ( f (k + 1) =
2k+1 k 2 (k +1)2
b ) Ap Apro rov veche eche a) y calcule calcule la suma de n t´erminos
3 12 22
·
+
5 22 32
·
+
7 32 42
·
...
Soluci´ on. on.
De inmediato, inmediato, f ( f (k )
−
1 1 (k + 1)2 k2 f ( f (k + 1) = 2 = k (k + 1)2 k2 (k + 1)2 (k + 1 k )(k )(k + 1 + k) 2k + 1 = = k2 (k + 1)2 k 2 (k + 1)2
−
−
−
Observe que n
k =1
2k+1 (k+1)2
k2
nos va generando los t´erminos erminos de la suma, luego:
2k + 1 = k 2(k + 1)2
n
k =1
= f (1) f (1)
f ( f (k)
− f ( f (k + 1)
1 − f ( f (n + 1) = 1 − (n + 1)
2
23. Demuestr Demuestree por inducci´ on on n
k (n
k =1
1)(n + 2) − k + 1) = 16 n(n + 1)(n
Demostraci´ on. on. n
i) Para n = 1,
k (2
k =1
− k) = 1(2 − 1) = 1 = 16 1(1 + 1)(1 + 2).
ii) Sea v´alido alido para n = j , se verifica que: j
k( j
k =1
− k + 1) = 16 j( j ( j + 1)( j 1)( j + 2)
Por demostrar para n = j + 1, o sea, j +1
k( j + 1
k =1
1)( j + 2)( j 2)( j + 3) − k + 1) = 16 ( j + 1)( j
En efecto: j +1
j +1
k =1
k ( j + 1
− k + 1)
=
[k ( j
k =1
− k + 1) + k]
j +1
=
j +1
k( j
k =1 j
=
k =1
k( j
− k + 1) +
k
k =1
− k + 1) + ( j( j + 1)( j 1)( j − ( j + 1) + 1)
1 + ( j + 1)( j 1)( j + 2) 2 1 1 = j( j ( j + 1)( j 1)( j + 2) + ( j + 1)( j 1)( j + 2) 6 2 1 = ( j + 1)( j 1)( j + 2)( j 2)( j + 3) 6
24. Si
n
2n
ui = 2n2 + 3n 3n, calcule el valor de
i=1
ui y un .
i=n+1
Soluci´ on. on. 2n
2n
n
− − ⇒ ui =
i=n+1
ui
i=1
ui = 2(2n 2(2n)2 + 3(2n 3(2n)
i=1
2
− (2n (2n
+ 3n 3n),
+ 3(n 3(n
− 1)] = u
2n
as´ı,
(2n + 1), ahora como ui = 3n(2n
i=n+1 n
ui
i=1
n−1
2n2 + 3n 3n
ui = un
i=1
2
− [2(n [2(n − 1)
n
simplificando se llega a un = 4n + 1. 25. Demostrar Demostrar que: que: 2n+1
−
( 1)k−1k 2 = (n + 1)(2n 1)(2n + 1)
k =1
Demostraci´ on. on.
i) Para n = 1: 3
−
( 1)k−1k 2 = (1 + 1)(2 1 + 1)
·
k =1
⇒ 1 − 4 + 9 = (2)(3) ⇒ 6 = 6
ii) Hip´otesis otesis inductiva, para n = j : 2 j +1
−
( 1)k−1 k2 = ( j + 1)(2 j 1)(2 j + 1). 1).
k =1
Por demostrar para n = j + 1, o sea, 2 j +3
−
( 1)k−1k2 = ( j + 2)(2 j 2)(2 j + 3). 3).
k =1
En efecto, como: 2 j +1
− −
( 1)k−1 k2 = ( j + 1)(2 j 1)(2 j + 1)
k =1
⇒
2 j +1
( 1)k−1 k2 + ( 1)(2 j +2)−1 (2 j + 2)2 + ( 1)(2 j +3)−1 (2 j + 3)2
−
k =1
−
= ( j + 1)(2 j 1)(2 j + 1) + ( 1)2 j +1(2 j + 2)2 + ( 1)2( j +1) (2 j (2 j + 3)2
−
−
como 2 j 2 j + 1 es impar y 2( j 2( j + 1) es siempre par, entonces: 2 j +3
−
( 1)k−1 k2 = ( j + 1)(2 j 1)(2 j + 1)
k =1
= = = =
− (2 j + 2)
2
+ (2 j (2 j + 3)2
2 j 2 + 3 j 3 j + 1 (4 j 2 + 8 j 8 j + 4) + (4 j (4 j 2 + 12 j 12 j + 9) 2 j 2 + 3 j 3 j + 1 + 4 j 4 j + 5 2 j 2 + 7 j 7 j + 6 ( j + 2)(2 j 2)(2 j + 3)
−
26. Se define 0! = 1, 1 , 1! = 1, 1, . . . , (n + 1)! = n!(n !(n + 1). Por tanto, (n (n + 1)! 1)! = 1 2 3 . . . n (n + 1).
· ·
·
Calcular:
a)
n
n
kk! kk !
b)
k =1
(k2 + 1)k 1)k !
k =1
Soluci´ on. on.
a)
n
n
n
kk! kk ! =
k =1
(k + 1
k =1 n
=
− 1)k 1)k! =
[(k [(k + 1)!
k =1
[(k [(k + 1)k 1)k!
k =1
− k!] = (n (n + 1)! − 1!
− k!]
·
b)
n
n
(k2 + 1)k 1)k ! =
k =1
[(k [(k + 1)2
k =1 n
=
− 2k]k! n
(k + 1)2k !
k =1 n
=
−
(k + 1)(k 1)(k + 1)! kk! kk !
k =2 n+1
=
kk! kk !
k =1
k =1 n+1
=
2
2[(n + 1)! − 1!] − 2[(n
2(n + 1)! + 2 − 2(n
kk! kk !
2(n + 1)! + 2 − 1 · 1! − 2(n (n + 2)! − 1! − 1 · 1! − 2(n 2(n + 1)! + 2 (n + 2)! − 2(n 2(n + 1)! = (n (n + 1)!n 1)!n k =1
= = 27. Calcul Calcular: ar: 2n−1
k a) (k + 1)! k =n+1
b)
n−1
k =0
k + 1 k2 (k + 1)!
−
Soluci´ on. on.
a) 2n−1
k = ( k + 1)! k =n+1
=
2n−1
2n−1
k+1 1 1 = (k + 1)! k! k =n+1 k =n+1
1 (n+1)!
−
−
1 (2n)!
−
1 (k + 1)!
b) Con el fin de evitar artificios artificios algebraicos algebraicos como como el efectuado en a), a continuaci´on on damos un m´etodo etodo similar al de fracciones parciales para separar en fracciones t´erminos erminos que contienen factoriales. k + 1 k2 A B C = + + (1) (k + 1)! (k + 1)! k! (k 1)! Tres constantes pues el grado del numerador es dos, dos constantes si el grado es uno como en a) y los denominadores decrecientes a partir de (k (k + 1)! uno por cada constante.
−
−
As´ As´ı, de (1) se tiene que k + 1 k 2 = A + B (k + 1) + C k (k + 1). Si k = 1 A = 1. Si k = 0 A+B =1 B = 2. Si k = 1 A + 2B 2B + 2C 2C = 1 C = 1. Se obtienen los mismos resultados por igualdad de coeficientes, por tanto queda
− ⇒ ⇒ ⇒
−
−
⇒
⇒
−
k + 1 k2 1 2 = + (k + 1)! (k + 1)! k!
−
−
− (k −1 1)! ,
con lo que n−1
k =0
k + 1 k2 = 1+ (k + 1)!
−
= 1+
n−1
k + 1 k2 (k + 1)!
k =1
n−1 k =1
= 1+
n−1 k =1
−1
2 + (k + 1)! k ! 1 k!
−
1 (k + 1)!
1 1 1 + 1! n! (n 1)! 1 1 + n! (n 1)!
= 1+ = 1
−
− (k − 1)! n−1
+
k =1
1 k!
1 − 0! −
−
−
1
1
− (k − 1)!
−
28. Calcul Calcular: ar: 1 21 2 22 3 23 + + + ... 3! 4! 5!
·
·
·
(n t´ermi er mino nos) s)
Soluci´ on. on. k Notemos que ak = (k+2)! 2k , k = 1, 2, . . . , n siguiendo siguien do el m´etodo eto do del problema anterior se tiene:
k A B = + , (k + 2)! (k + 2)! (k + 1)! de donde k = A + B (k + 2).
Si k = n
k =1
−2 ⇒ A = −2 y si k = 0 ⇒ B = 1, luego
2k + 1 k 2 = (k + 2)!
n
k =1
1 (k + 1)!
−
2 (k + 2)!
n
2k =
k =1
2k (k + 1)!
−
2k+1 (k + 2)!
finalmente para la propiedad telesc´opica opica se tiene que: n
k =1
2k + 1 k 2 = (k + 1)!
2! 2!
−
2n+1 (n + 2)!
=1
−
2n+1 (n + 2)!
29. Calcul Calcular: ar: n
S n =
k =1
1 , 1)(k + 2) . . . (k + p) k (k + 1)(k
p = 0.
Soluci´ on. on.
N´otese otese que: A k (k + 1) . . . (k + p
Si k = 0
⇒A=
1 p
−
B 1 = 1) (k + 1)(k 1)(k + 2) . . . (k + p) k (k + 1) . . . (k + p) +
⇔ A(k + p) + Bk = 1 y si k = − p ⇒ B − , luego: 1
p
n
S n
1 1 = p k(k + 1) . . . (k + p k =1
S n
1 1 = p 1 2 . . . p
·
−
− 1) −
1 (k + 1)(k 1)(k + 2) . . . (k + p)
1 . (n + 1)(n 1)(n + 2) . . . (n + p)
N´otese otese que: uk =
1 k(k + 1) . . . (k + p
− 1)
y uk+1 =
1 (k + 1)(k 1)(k + 2) . . . (k + p)
n
30. Calcul Calcular: ar:
n
(ai + bj), bj ), a, b constantes.
i=1 j =2
Soluci´ on. on. n
n
− n
(ai + bj) bj ) =
i=1 j =2
n
n
ai
i=1
1+b
j =2
j
j =2
n
=
ai( ai(n
n(n + 1) 2
1) + b
i=1
=
1
1 1)n(n + 1) + bn[( bn[(n n(n + 1) − 2)] − 1)n 2
7
n
31. Calcul Calcule: e:
1 a(n 2
−
(2i (2i2 j
j =1 i=1
− 20).
Soluci´ on. on.
7
n
7
n
(2i (2i2 j
j =1
− − · −
i=1
− 20)
7
i2
2 j
=
j =1
i=1
n
2 j
=
j =1
7(7 + 1)(14 + 1) 6 n
j
= 28 0
140
j =1
= 140n(n + 1) = 140n2
n
32. Calcul Calcule: e:
i
i=1 j =1
2 j . 3i
1
i=7
n
20
1
j ==1
140n − 140n
20 7
Soluci´ on. on. n
i
i=1 j =1
· · − − − − − − − − − n
j
2 3i
= =
i
i=1
j =1
n
1 2i 2 i 3 2
i=1
= 2
1 3
=
2 n 3 2 3
2 3
n
n
2 j 3i
=
i=1
1 =2 1
1
2 j
j =1
n
i
2 3
i=1
1 n 3 1 3
1 2 3
1
i
1 3i
i
1 3
1
1
n
2 4 3
+3
33. Calcul Calcular ar la suma de n–t´ermi er mino noss de: de: a ) 1 2 + (1 2 + 2 3) + (1 2 + 2 3 + 3 4) + . . .
·
b) 2
·
·
· 1 1· 2 + 3
· ·
1
1 2
·
+
1 2 3
·
·
·
· +4
1 1 2
·
+
1 2 3
·
n+1 n+2 n+2 c ) + + + n(n + 1) n(n + 1) (n + 1)(n 1)(n + 2) n+3 n+3 n+3 + + + n(n + 1) (n + 1)(n 1)(n + 2) (n + 2)(n 2)(n + 3)
+
1 3 4
·
+...
+ . . ..
Soluci´ on. on. n
a ) S n =
k
j( j ( j + 1) =
k =1 j =1 n
=
k =1 n
=
n
j =1
k
2
j +
k =1
j =1
j
j =1
1 1 k (k + 1)(2k 1)(2k + 1) + k (k + 1) 6 2
(k 3 + 3k 3k 2 + 2k 2k ) =
1 3
k
1 n(n + 1)(n 1)(n + 2)(n 2)(n + 3) 12
n
b ) S n =
k
k+1 = j( j ( j + 1) k =1 j =1
− n
=
1
k =1 n
c ) S n =
k
k =1 j =1
1 k +1
k
1 j
(k + 1)
j =1 n
k =1
− j +1 1
1 k = n(n + 1) 2 k =1
(k + 1) =
n+k (n + j 1)(n 1)(n + j )
−
n
=
n
k
(n + k)
k =1 n
− − − 1 n+j
j =1
1 = (n + k) n k =1
1 n+j
1
1 n+k
n
=
k =1
k 1 = (n + 1) 2 n
34. Calcul Calcule: e:
− 1 1
2 2 + 1 1+2
− 22
+
3 1+2+3
−
2 n +. . .+ 3 1+2...+n
− n2
Soluci´ on. on.
Note que la suma se puede expresar por:
n
k
k
k =1
j
− k2
j =1
n
=
k =1
= 2
k 1 k(k + 1) 2
1 n+1
− 1 1
− k2 =
n
=2
k =1
1 k+1
− k1
− n2+n 1
35. Calcul Calcular: ar: n+1
a)
i
i=2 j =1
n
2i+ j
b)
m
k =1 i=2
k +1 i2 1
−
n
c)
j
k
i
k =1 j =2
i=1
−1
(k + 1)
.
Soluci´ on. on. n+1
a )
n+1
i
i+ j
2
i
=
j
2
i=2 j =1
(2
i=2
2n
2 = 2 24 2 2 1 2n+5 = (2 3
·
b)
m
k+1 = i2 1
i=1
n+1
2i ) = 2
22i
i=2 n
−1 −1 −2
−1 −2·2 2 −1 2−1 −1 −2 )−2 +2 2
5
n
n+3
m
n+1
3
1 1)(i 1)(i + 1)
k =1
=
1
k =1
m
1 2
1 1 n(n + 1) + n 2 2
1 = n(n + 3) 4 n
1 1
i
k =1 j =1
i=2
1 m
+
j =1
2(k 2(k + 1) 1
k =1
1
1
i
1 i
1
1 2
1 m+1
n
k
k =1 j =1
k
k =1 n
i
1 i+1
(k + 1) =
2(k 2(k + 1)
=
i=2 m
i=1
n
=
1
−1
j
k
(i
i=2
k =1
n
k+
=
(k + 1)
1 j
2i
i=2
− − − − − − − − − − k =1 i=2 n
c )
2i 2 2 2 i
2 =
i=2 j =1 n+1 2i
= 2
n
n+1
i
· −
m
+
i=2
2 j( j ( j + 1)
1 i
− i +1 1
(k + 1)
1 j + 1
1 k+1
n
=
2k = n(n + 1)
k =1
36. Calcule la suma de todos los n´umeros umeros del siguiente cuadro 1 1 1 1 . .. 1
+ 2 + 2 + 2 .. . .. . + 2
+ 3 + 3 + 4 . .. . .. . .. . .. . .. . .. + 3 + + ... + n
Soluci´ on. on.
Primera forma: Sumando por filas. 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + . . . + (1 + 2 + . . . + n) es decir, expres´andolo andolo como doble sumatoria, queda: n
i
n
k =
i=1 k =1
1 i(i + 1) 2
i=1
n
1 = 2
n
i2 +
i=1
i
i=1
1 1 1 = n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) + n(n + 1) 2 6 2 1 = n(n + 1)(n 1)(n + 2) 6 Segunda forma: Sumando por columnas. n
n−1
n−2
1+
k =1
2+
k =1
1
3+ ...+
k =1
n
=
i=1
n
k =1
= 1 n + 2 (n
·
· − 1) + 3 · (n − 3) + . . . + n · 1 i(n − i + 1) = (n ( n + 1) i− i n
n
i=1
2
i=1
1 1 = (n + 1) n(n + 1) 1)(2n + 1) n(n + 1)(2n 2 6 1 n(n + 1)(n 1)(n + 2) 6 naturalmente da el mismo resultado.
−
37. Calcul Calcular: ar:
n
S n =
i
jx j xi−1
i=1 j =1
Expandiendo la doble suma se tiene:
con x = 1
n(n + 1) n−1 x 2 (n 1)n 1)n n−1 n(n + 1) n xS n = x + 3x 3x2 + 6x 6x3 + 10x 10x4 + 15x 15x5 + . . . + x + x . 2 2 Restando miembro a miembro, resulta: S n = 1 + 3x + 6x 6x2 + 10x 10x3 + 15x 15x4 + . . . +
−
− n(n2+ 1) x n(n + 1) + . . . + (n (n − 1)x 1)x − + nx − x 2
n
= 1 + 2x + 3x 3x2 + 4x 4x3 + 5x 5x4 + . . . + nxn−1
n
= x + 2x 2x2 + 3x 3x3 + 4x 4x4
− x)S x(1 − x)S (1
n
n 1
n+1
n
Restando miembro a miembro nuevamente: (1
2
= 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn−1
− x) S
n
(1
n
−nx + n(n2+ 1) x x − 1 n(n + 3) n(n + 1) − x + x x−1 2 2 1 x − 1 n(n + 3) n(n + 1) − x + x (1 − x) x−1 2 2 n+1
n
2
− n(n2+ 1) x
n
− x) S
=
n
S n =
n+1
n
2
n
n
38. Calcular Calcular la suma del siguiente siguiente cuadro: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 (n + 1) filas. Soluci´ on. on.
La suma se puede expresar como sigue: 1 + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + . . . o bien, 1
4
9
(2k (2k
k =1
− 1) +
(2k (2k
k =2
− 1) +
k =5
(2k (2k
− 1) + . . .
n+1
.
Luego, la suma pedida es: (i+1)2
n
− − − (i+1)2
n
(2k (2k
i=0 k =i2 +1
− 1)
=
i2
(2k (2k
i=0
1)
k =1
(2k (2k
k =1
− 1)
n
=
[(i [(i + 1)4
i4 ] = (n + 1)4
i=0
3.10 3.10..
Ejer Ejerci cici cios os Prop Propue uest stos os
1. Desarrollar Desarrollar las siguiente siguientess sumatorias sumatorias:: 6
a)
k =3
2n+1
n
32k 1 k+2
−
b)
−
k
( 1) (n + 1)k 1)k!
c)
k =1
k =n+1
Respuesta.
a)
36 −1 5
b)
−(n + 1)1! + (n (n + 1)2! − (n + 1)3! + . . . + (−1) (n + 1)n 1)n!
+
38 −1 6
+
310 −1 7
+
312 −1 8 n
n+2 n+3 2n+1 c) n−+1 + + + + . . . 1 −2 −3 −(n+1)
2. Escribir Escribi r usando el s´ s´ımbolo
las siguientes sumas:
a ) 1 1 + 3 2 + 5 3 + . . . hasta n t´ermi er mino nos. s.
·
·
·
1 1 1 + 2 + ... + n. 3 3 3 1 1 + 3 21 + 7 22 + . . . + 223 256
b) 1 + c )
− ·
·
Respuesta. n
a )
(2i (2i
i=1
− 1)i 1)i
·
·
k (n
− k)
n+1
b)
k =1
1 3k−1
57
c )
(4 j
j =1
j 1
− 5)2 −
3. Calcul Calcular: ar: a)
n
n
(k
k =2
1)(k + 1) − 1)(k
b)
1 n(n 6 1 n(n 2
1)(2n + 5) − 1)(2n b) + 1) + · − 45 − · c ) n(n + 2) − (3n (3n + 7n 7n + 2) 1 2
1 3n 2
1 2
1 2 39
4. Calcul Calcular: ar: n
a )
i=20
b)
n−1
k =2
c )
n−1
1 i+1 3 2k ai
i=0
60
d )
k =4
i+1
−a
a2i+1
k (k + 1)!
b) c ) d )
1 1 n+2 21 3 1 1 n 2 2 1
−
−
an+1
1 4!
−
−1 1 61!
1 i+2
− 2k 3+ 2
Respuesta. a )
−
(k
k =10
Respuesta. a )
2n+1
, a = 0.
−
3−k )
c)
k =n
(n
− k)
5. Determine el t´ermino ermino que falta en las l as siguientes igualdades: n
a )
− − − 1 1 ? = 6k 6
k =1 n
b)
?
k =1
3 2k + 5
2n
c )
=
3 2n + 7
− 37
2n+4
22i+1 =
?
i=0
i=?
n
d )
1 6n + 6
1 = k (2k (2k + 1)
k =1
n+1
?
k =2
Respuesta. a ) b)
1 6k +6 3 2k +7
c ) i = 4 y 22i−7 d )
1 (k−1)(2k −1)
6. Calcul Calcular: ar: a ) 2 5 + 4 6 + 6 7 + . . . + 480 244
· · · · b ) 2 · 5 + 3 · 7 + 4 · 9 + . . . + 28 · 57 c ) 3 − 4 + 5 − 6 + . . . − 46 3
3
Respuesta. a ) 9543600 b ) 15831 c )
−50248
7. Calcul Calcular: ar: 2n+1
a )
−
( 1)k k
k =1
3
3
3
2n+1
b)
−
( 1)k k2
k =0
Respuesta. a )
−(n + 1)
b ) (n + 1)(2n 1)(2n + 1)
8. Calcule la suma de n t´ermi er mino noss de: de: a ) 12 + 2 22 + 32 + 2 42 + . . . + n2 , para n impar.
·
b ) 1 n2 + 2(n 2(n
·
− 1)
2
·
+ 3(n 3(n
− 2)
2
+...
Respuesta. a ) b)
1 (n + 1)n 1)n2 2 1 n(n + 1)2(n 12
+ 2)
9. Sumar 2n 2n t´ermi er mino noss de: de: a ) 2 5 + 3 6 + 4 7 + . . .
· · · b ) 3 · 6 + 5 · 10 + 7 · 14 + . . .
Respuesta. a ) b)
4 n(n + 2)(2n 2)(2n + 5) 3 4 n(16n (16n2 + 24n 24n + 11) 3
10. Sumar 2n 2n + 1 t´ermi erminos nos de: de: 13
Respuesta.
4n3 + 9n 9n2 + 6n 6n + 1
−2
3
+ 33
3
−4
+ 53
− ...
11. Calcul Calcular ar la suma de n t´ermi er mino noss de: de: 3 17 11 2 15 3 a ) + 3+ 3 + 3 + ... 1 3 2 4 3 5 4 6 1 1 1 b) + + + ... 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 7 10 c ) 1 + + 2 + 3 + . . . 3 3 3 12 22 2 32 3 d ) 4+ 4 + 4 +... 2 3 3 4 4 5 170 1 194 1 218 1 + + +... e ) 6 7 8 5 7 5 6 8 5 7 9 5
· · · · · · · · · · · · ·
·
·
· ·
· ·
Respuesta. a )
1 (4n+5)3n 2 (n+1)(n+2)
b)
n(n+3) 1 4 (n+1)(n+2)
c )
3 2
d )
1 3 7 6
e )
−
5 4
1 3n+1 −6n−5 4 3n−1 (n−1)4n+1 +2n+4 n+2 1 6n+35 55 (n+5)(n+6)
+
· −
·
1 5n+5
12. Determine el n´ umero umero natural n para el cual se cumpla: 3
n−1
k =1
Respuesta.
n=4 13. Calcul Calcular: ar: n
a )
i
i=1 j =1 m
b)
4 j i
n
j =4 i=1
3i+ j
(k
− 4) + 6 =
2n−1
k =n
(k
− 4)
m
c )
n−1
i=n+1 j =1 n
d )
4 j 2 + 1 ,m>n 2 4 j 1
− − − n
i(k
i)
k =1 i=1 n
e )
k
k =1 j =1 n
f )
n+k (n + j 1)(n 1)(n + j )
j
k 2k+ j
j =1 k =1 n
g )
j
2 j k+ j
j =2 k =1
Respuesta. a ) n(n + 3) b ) 243 (3m−3
n
− 1)(3 − 1) c ) (m − n) n − − d ) n (n + 1)(1 − n) 4
e )
f ) g )
1
2n 1
1 2 2 1 (n + 1) 2 1 (n 1)22n+3 3 1 n(n + 1)(n 1)(n + 6
−
−
32 2(n−1) (2 9 n+1
2) + 2
−5
14. Demostrar Demostrar por inducci´ inducci´ on: on: 2n
a )
1 1 = 2n k (k + 1) k =n
− n
b)
i=1
1 1 = (n + i 1)(n 1)(n + i) 2n
n
c )
log 1 +
k =1
1 k
n
− 1) + 4(2 − 1)
= log(n log(n + 1)
− n
d )
k
1 j j =1
k =1
n
=
j =1
n
e )
cos(2k cos(2k
1)x 1)x =
k =1
n+1 j
− j
sen2nx sen2nx 2sen x
n
f )
k (k +1)(k +1)(k + 2) . . . (k + p) p) =
k =1
1 n(n + 1) . . . (n + p+1), p +1), p p + 2
15. Calcul Calcular: ar: n+1
a )
k =2 n
b)
k =1
k2 k2
−1
k3 + k2 + 1 k2 + k
Respuesta. a )
1 (4n (4n 4
b)
1 n 2
+ 3)
−
n+1+
1 2(n+1) 2 n+1
−
1 2(n+2)
16. Calcule la suma de n–t´ermi er mino noss de: de : a ) 1 2 + (1 2 + 2 3) + (1 2 + 2 3 + 3 4) + . . .
· · · · · · b ) 2(−1) + (2(−1) + 4 · 0) + (2(−1) + 4 · 0 + 6 · 1) + . . .
c ) 12 + (12 + 22 ) + (12 + 22 + 32 ) + . . . Respuesta. a ) b) c )
1 n(n + 1)(n 1)(n + 2)(n 2)(n 12 1 n(n + 1)(n 1)(n + 2)(n 2)(n 6 1 n(n + 1)2(n + 2) 12
+ 3)
− 3)
∈ N.
17. Determine Determine la suma suma de de n t´erminos ermi nos (los (lo s que se encuentra encu entran n entre par´enteentesis). (2+4+6)+(8+10+12+14+16+18)+(20+22+24+26+28+30+32+34+36)+.. . . (2+4+6)+(8+10+12+14+16+18)+(20+22+24+26+28+30+32+34+36)+
Respuesta. 3 n(n 2
3 n(n 2
+ 1)
+ 1) + 1
18. Demostrar: Demostrar:
j
n
n
k2 =
j =1 k =1
19. Si S k =
∞
k
i=1
1 k+1
i−1
i(n
i=1
− i + 1)
2
; k = 1, 2, . . . , n. n. Demuestre que:
2n
n
S j = 3
j =n+1
(n
k =1
1). − k + 1).
20. Hallar el n´umero umero de esferas en un apilamiento sobre una base rectangular cuyos lados contienen 15 y 20 esferas, si el tope es una l´ınea. Respuesta.
1840. 21. Demuestr Demuestree que la suma suma de todos los naturales impares impares que son menores menores 2 que 6n 6n y que no son m´ultiplos ultiplos de 3, es 6n 6n . 22. Probar que la suma de los productos en parejas (distintas) de los n primeros n´umeros umeros naturales impares es: 1 n(n 6
2
1)(3n − n − 1). 1). − 1)(3n
23. Demuestr Demuestree que la suma de los productos productos de todas las las parejas de de n´ umeros umeros distintos que se pueden sumar con los n primeros n´ umeros umeros naturales es: 1 n(n2 1)(3n 1)(3n + 2). 2). 24
−
24. Esferas Esferas iguales son son apiladas apiladas en forma de una una pir´ amide de base cuadrada. amide Hallar el n´umero umero de esferas en una pir´amide amide incompleta que tiene n capas si cada lado de la base contiene 2n 2n esferas. Respuesta. 1 n(2n (2n 6
+ 1)(7n 1)(7n + 1).
25. Sea la sucesi´on on definida por: a1 = 1, a2 = 2, . . . , an = 2an−1 ,
∀ n ≥ 2.
a ) Examinand Examinandoo algunos valores valores,, conjeture una f´ ormula ormula para an , luego
verif´ verif´ıquela ıqu ela po porr inducci indu cci´ on. o´n. 2n+1
b ) Calcul Calcular ar
kak para n
k =4
Respuesta.
b) n22n+2
− 16.
26. Calcul Calcular: ar: n
a )
k =1 n
b)
k =1 n
c )
k =1
k2 + k 1 (k + 2)!
−
k2 2 (k + 2)!
−
k 2 + 5k 5k + 5 (k + 4)!
Respuesta. a )
1 2
− b) − c ) −
n+1 (n+2)! n
(n+2)!
1 8
1 (n+4)(n+2)!
≥ 2.
27. Si ai = i2 (i n
2
(2i − 1), simplifique a − a − 1) (2i i+1
i
y apl a pl´´ıquela ıque la para par a calc c alcula ular: r:
k4.
k =1
i
28. Si S i =
j demuestre que:
j =1
n
j =1
S i S n−i+1 =
1 n(n + 1)(n 1)(n + 2)(n 2)(n + 3)(n 3)(n + 4) 120
29. Ocupe Ocupe la iden identidad tidad
1 cos n + x 2
− cos
− n
1 x= 2
x 2 sen( en(nx)sen nx)sen , 2
−
para demostrar que: n
k =1
sen(kx sen(kx)) =
cos2 x2
n+ sen x
− cos
1 2
x cos x2
.
