BUKU AJAR
STRUKTUR BAJA I MODUL III: BATANG TEKAN TUNGGAL DAN BATANG TEKAN SUSUN DIGUNAKAN SEBAGAI BAHAN KULIAH PADA JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS JANABADRA YOGYAKARTA [ Dicetak ulang pada 22 Sept 2011 ]
Disusun oleh: Ir. Setijadi Harianto MN., MT. Staf Edukatif JTS FT UJB
JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS JANABADRA YOGYAKARTA 2010 1
BAB IV. BATANG TEKAN A. Batang Tekan Tunggal 1. Pengertian dan definisi Batang tekan adalah elemen struktur yang mendukung gaya tekan aksial. Gaya tekan aksial ialah gaya tekan yang mempunyai arah searah sumbu memanjang batang. Bila batang tekan mendukung beban utama struktur (umumnya besar) maka disebut kolom. Batang tekan dapat dijumpai pada hampir semua struktur bangunan sipil yang menggunakan baja sebagai bahan utama. Pada suatu struktur, jarang dijumpai batang yang hanya mendukung gaya tekan aksial saja, sebab umumnya bekerja juga momen lentur, gaya lintang dan torsi. Batang yang dibebani kombinasi gaya tekan aksial dan momen lentur disebut “batang tekan–lentur” (beam-column). Bila momen lentur relatip kecil, batang dianggap sebagai batang tekan dengan terdapat momen lentur. Bila gaya tekan aksial relatip kecil, maka batang dianggap sebagai batang lentur yang mengalami gaya tekan aksial. Dalam prakteknya, idealisasi batang prismatis sulit dipenuhi. Juga dijumpai batang tidak homogen, sehingga sumbu batang tidak lurus, akibatnya terdapat eksentrisitas sehingga terjadi momen lentur dan batangpun menjadi batang tekan – lentur. Jadi pada setiap tampang batang tekan, akan terdapat tegangan normal akibat gaya tekan aksial dan juga tegangan lentur akibat momen lentur.
2
Selanjutnya didefinisikan bahwa batang tekan akan mengalami kegagalan akibat tekuk bila kombinasi kedua tegangan tersebut (yakni tegangan normal dan tegangan lentur) telah mencapai tegangan leleh bahan. 2. Keruntuhan batang tekan Secara singkat, keruntuhan batang tekan tergantung pada dua (2) hal, sebagai berikut. a). kondisi ujung (bentuk ujung) b). angka kelangsingan Ujung suatu batang dapat memiliki “bentuk ujung” atau “kondisi ujung” yang berbeda-beda. Misalnya bentuk ujung jepit, ujung sendi, ujung bebas dan lain sebagainya. Setiap bentuk ujung tertentu mempunyai suatu skor angka (yaitu suatu faktor) yang disebut faktor kondisi ujung atau faktor bentuk ujung dan ditulis dengan simbol k maka angka kelangsingan ditulis dengan simbol λ (baca: lambda), sedangkan hubungan antara λ dan adalah sebagai berikut: angka kelangsingan = λ = (4.1)
k. i
............................
dengan: = panjang batang sebenarnya i = jari-jari inersia batang =
I A
I = Inersia batang pada arah yang sesuai (yang ditinjau) A = luas tampang sedangkan panjang tekuk
ditulis
k
=
k.
....................................... (4.2)
dengan: 3
panjang tekuk = jarak dari titik belok ke titik belok berikutnya pada kelengkungan batang. Jika terdapat dua atau lebih nilai λ , maka nilai λ terbesar adalah nilai yang lebih kritis sehingga menentukan terhadap kegagalan. Angka kelangsingan maksimum dibatasi 240 untuk batang utama (atau 300 untuk batang sekunder). 3. Daerah perilaku tekuk Jika nilai-nilai λ itu digambarkan, maka sepanjang nilai λ , (yaitu dari λ = 0 sampai dengan λ = λ maks = 240 atau 300), perilaku tekuk dibagi dua, yaitu: a). zona perilaku Elastis berlaku rumus Euler, dengan batangnya langsing. berlaku dari nilai λ = λ g sampai dengan λ =λ maks dengan:
λ g =π . (4.3)
E 0,7. σ
.....................................................................................................
b). zona perilaku inelastis (tidak elastis) berlaku beberapa rumus dari beberapa penemu, diantaranya: rumus PPBBG, AISC, AASHTO, Gordon Rankine, Tetmayer, Secant Modulus, dan beberapa lagi. Untuk Indonesia, dipilih dan diberlakukan rumus PPBBG. Zona dimulai dari λ = 0 sampai dengan λ = λg . Jika zona perilaku tekuk tersebut digambarkan, maka dapat dilihat daerah perilaku tekuk sebagai berikut.
4
Berlaku PPBBG
Berlaku Euler
λ = λg λ
λ=0 atau
300
λ =240
4. Persamaan garis elastis Diturunkan dari persamaan garis elastika, maka diperoleh: 2 2 Pcr = π .EI2 = π .EI2 .............................................................(4.4).[Padosbajayo (k) (k.) Pcr π 2 .E 4-50] A λ2 σcr = = Pcr =σcr..A atau ................................. (4.5) 5. Percobaan Euler pada zona elastis Pada zona elastis, Euler melakukan penelitian beban kritis (batas runtuh) batang tekan dengan berbagai bentuk ujung. a). kondisi ujung sendi – sendi Pers. Euler untuk sendi-sendi:
Pcr = diperoleh
(4.6)
k=
π 2.EI 2
..................................................................
dari pers. garis elastis: π 2 .EI Pcr = (k.) 2 ............................(4.4).[Padosbajayo 4-
50]
bila pers. Euler disamakan dengan pers. garis elastis: π 2 .EI π 2 .EI diperoleh k = 2 = ( k. ) 2 1 =1
Jadi untuk bentuk ujung sendi–sendi maka k = 1 k = panjang tekuk k = k. = 1. =
b). kondisi ujung jepit – jepit Pers. Euler untuk jepit – jepit: 5
Pcr = (4.7)
4.π 2 .EI
2
...............................................................
dari pers. garis elastis: 2 k = 0,5. P = π .EI ……………….......(4.4).[Padosbajayo 4cr (k.) 2
diperoleh
50]
bila pers. Euler disamakan dengan pers. garis elastis maka: π 2 .EI 1 = diperoleh k = = 2 (k.) 4
λ
0,5
Jadi untuk bentuk ujung jepit–jepit maka panjang tekuk k= k.
k = 0,5
k = 0,5.
c). kondisi ujung sendi – jepit Pers. Euler untuk sendi –jepit:
Pcr = (4.8)
2.π 2 .EI
2
..............................................................
dari pers. garis elastis: π 2 .EI k 0,707. P = cr = (k.) 2 ……………...……..(4.4).[Padosbajayo 4-
diperoleh
50]
bila pers. Euler disamakan dengan pers. garis elastis: 2.π 2 .EI π 2 .EI 1 = diperoleh k = = 2 2 (k.) 2 0,707
Jadi untuk bentuk ujung sendi–jepit maka k = 0,707 panjang tekuk k = k. k = 0,707.
d). kondisi ujung jepit – bebas
6
Pers. Euler untuk jepit – bebas 2 Pcr = π .EI .................................................................... 4.2
(4.9) diperoleh
k= 2.
dari pers. garis elastis: π 2 .EI Pcr = (k.) 2
..............................(4.4)
[Padosbajayo 4-50]
bila pers. Euler disamakan dengan pers. garis elastis: π 2.EI π 2 .EI = diperoleh k = 4 (k.) 2 4.2
=2
Jadi untuk bentuk ujung jepit–bebas maka: panjang tekuk k = k.
k=2
k = 2.
6. Zona Inelastis dan zona Elastis Pada daerah inelastis, terdapat banyak sekali rumusrumus menurut asumsi yang berbeda-beda dari para penemunya. Untuk mempersempit bahan studi, diambil dan dibahas salah satu metoda yaitu Metoda PPBBG (sesuai ketentuan Menteri PU, 1987). Didefinisikan λ g yaitu λ yang membatasi zona elastis – inelastis, dengan memperhitungkan tegangan sisa. dengan:
λ g =π . (4.3)
E 0,7. σ
.....................................................................................................
Zona λ inelastis (yaitu dari λ =0 -s.d.- λ = λ g ), dibagi dua daerah (zona), yaitu zona I (dari λ = 0 –s.d.- λ =20), dan zona II
λg 7
(dari λ =20 -s.d.- λ = λ g ), sedangkan zona elastis (zona Euler) disebut zona III (dari λ = –s.d.- λ =240 atau 300). Berlaku PPBBG zona I
λ =0
Berlaku Euler
zona II
zona III
λ = λg
λ =20
λ =240 (atau 300)
λ
7. Zona I Untuk zona I (pada zona inelastis), yaitu untuk 0 ≤ λ ≤ 20 berlaku rumus-rumus sebagai berikut. Jika didefinisikan (0 ≤ λ ≤ 20) berlaku:
ω
=
σ σk
σcr = σ
λ =1
σk = ω. AP ≤ σ
maka:
σk = σ1,5
P ≤
cr
A.σ ω
σ
= 0,66 .
=σ
.....................
(4.10)
8. Zona II Untuk zona II (pada zona inelastis), yaitu berlaku rumus-rumus sebagai berikut. Jika didefinisikan
ω
(20 ≤ λ ≤ λ g ) berlaku:
λs
ω
= =
=
σ σk
dan
λs =
20 ≤ λ ≤ λ g
λ λ g maka:
λ λg
σ σk
P σ k = ω. A ≤σ
ω
P≤
=
A.σ ω
1,41 1,593 − λs ................................................
8
(4.10)
9. Zona III Zona III adalah zona Elastis atau zona Euler, yaitu untuk λ g ≤ λ ≤ 240 (atau 300) berlaku rumus Euler (dan ini sesuai dengan persamaan garis elastika). Jika didefinisikan
ω
σ σk
=
dan
λs =
λ λ g maka:
λ g ≤ λ ≤ 240 (atau 300) berlaku: λ λs = λg
σ σk
ω
σk = ω. AP ≤ σ
=
ω = 2,381. λ
P ≤
2 s
A.σ ω
σ
10. Diagram tegangan tekuk – kelangsingan ( k – λ ) Dari uraian tersebut pada butir 6 sampai dengan butir 9 seperti tersebut di atas, maka dapat digambarkan sebuah diagram yang menggambarkan semua rumus yang berlaku, yaitu diagram k – λ , sebagai berikut.
=
σk σ
ω=1
σ
ω=
1,41
1,593 − λ s
σk zona I
zona II
σk 0
2 s
zona III
Berlaku PPBBG
zona I
ω=2,381.λ
zona II
Berlaku Euler zona III
9
=
λ =0
λ = λg
λ =20
Gambar: diagram Ringkasan:
λg = π
E Kalau 0,7.σ
σ
λ =240 (atau 300)
λ
σk – λ
nilainya naik
λg
nilainya
akan turun. Mutu baja makin tinggi σ akan makin besar. Mutu baja makin tinggi λ g akan makin kecil. Untuk bangunan struktur baja mutu baja yang dipakai adalah BJ 33 -s.d.- BJ 52 karena harus bersifat elastis (disebut perancangan elastis). Mutu Baja Tegangan leleh ( σ ) BJ 33 BJ 34 BJ 37 BJ 41
σ = σ = σ = σ =
BJ 44 BJ 50
σ = 280 MPa σ = 290 MPa
BJ 52
σ = 360 MPa
200 MPa 210 MPa 240 MPa 250 MPa
Tegangan dasar = Tegangan ijin ( ) = 133,3 MPa = 140 MPa = 160 MPa = 166,6 MPa = 188,7 MPa = 193,3 MPa = 240 MPa
σ
σ σ σ σ σ σ σ
Kita selalu bekerja dengan 0 ≤
λ ≤
Kita selalu bekerja dengan 90,69 ≤
Pcr =
π 2 .EI (k.) 2
Jika nilai
Nilai
λg
121,6734 118,7410 111,0721 108,8280 102,8327 101,0442 90,6900
240 (atau 300)
λg
≤ 121,6734
k membesar, maka besarnya
beban batas (beban runtuh) = Pcr akan mengecil
σ
cr =
π 2 .E maka jika λ2
Pcr =
σcr .A
―> λ makin besar
maka besarnya Pcr makin kecil. 10
Besar beban diijinkan = P =
Pcr n
dengan n = angka aman (factor of safety) = 1,5 –– 4 •
λ =
k. i
I A
I = Inersia batang mengelilingi sumbu yang ditinjau A = luas tampang batang • λ makin besar batang makin kritis/berbahaya • = k. k • panjang tekuk adalah jarak dari titik belok ke titik belok berikutnya pada kelengkungan batang. • zona perilaku tekuk dibagi dua, yaitu a). tekuk elastis berlaku rumus Euler b). tekuk inelastis berlaku rumus PPBBG •
i=
Berlaku PPBBG
Berlaku Euler
λ = λg
λ =0
•
λs
=
λ λg
dengan
σk
λ
λ =240 atau 300
ω = faktor tekuk = σσ
k
σk = tegangan yang timbul akibat tekuk
ω =1
ω=
1,41 1,593 − λ s
I
II
ω = 2,381. λ 2s III
11
0
•
•
•
20
λ g = 240 atau 300
λ
untuk zona I, yaitu dari λ = 0 -s.d- λ = 20 berlaku
ω
σk
=1
ω. P ≤ σ A
=
P≤
A. σ
ω
untuk zona II, yaitu dari λ = 20 -s.d- λ = λ g berlaku
ω=
σk
1,41 dengan 1,593 − λs
=
ω. P ≤ σ A
λs
=
λ λg
P≤
A. σ
ω
untuk zona III, yaitu dari λ = λ g -s.d- λ = λ maks berlaku 2 = 2,381. λ s
ω
σk
=
ω. P ≤ σ A
• jika diketahui: profilnya [nilai ] panjang kolom [ ] kondisi ujung [k]
i
P≤
A. σ
ω
maka λ dapat dicari
ω ditemukan P dapat dihitung
• jika: profilnya tidak diketahui panjang kolom diketahui [ℓ] kondisi ujung diketahui [k]
harus diupayakan profil diketahui
12
dengan cara asumsi atau trial atau cara lain sekarang
menjadi diketahui: profilnya [dengan asumsi] panjang kolom [ ] kondisi ujung [k]
maka λ dapat dicari
ω ditemukan P dapat dihitung
Verifikasi P hasil tsb. dengan P beban yang bekerja
Contoh soal. Sebuah kolom dari baja dengan profil WF 450x300x11x16, tinggi kolom 7,0 m. Ujung-ujung kolom dapat dianggap sendi. Jika tegangan leleh baja 240 MPa, tentukan beban P yang diijinkan berdasarkan spesifikasi PPBBG. 11. Cara mencari profil (suatu cara pendekatan) a). Berdasarkan A profil. P Berdasarkan k = (anggap ω =1) A besarnya k ~ 0,5. σ .
σ
σ
dapat diasumsikan
13
Jadi besarnya A dapat ditemukan yaitu: A = P A yang ditemukan untuk mencari profil di tabel 0,5dapat .σ profil. b). Berdasarkan i Berdasarkan hubungan λ = k atau i = k maka jika λ λ i II) yaitu misalnya λ = 100, dapat diasumsikan (pada zona maka nilai i dapat ditemukan yang kemudian dapat digunakan mencari profil di tabel profil. c). Bedasarkan kombinasi A dan i Dapat digunakan kombinasi a dan b sebagai tersebut di muka. Maka dapat dicari profil yang syarat A-nya pada butir a dan syarat i-nya pada butir b. d). Berdasarkan asumsi besarnya λ (lihat butir b).
ω
e). Berdasarkan asumsi besarnya . Asumsikan besarnya (pada zona II), yaitu ≤ 2,381 maka berdasarkan ω. P≤ σ A dapat ditemukan A dan digunakan untuk mencari profil.
ω
ω
14
B. BATANG TEKAN SUSUN Batang tekan susun atau batang tersusun adalah gabungan dua batang atau lebih, satu dengan yang lain dihubungkan/dirangkai sedemikian sehingga membentuk satu kesatuan. Penghubung dapat berupa plat, batang ataupun profil. Batang penghubung dapat disusun melintang, diagonal atau kombinasi melintang dengan diagonal Diperlukan batang susun karena: 1. memperbaiki kemampuan terhadap tekuk pada sumbu lemah, 2. kapasitas profil belum tersedia atau belum cukup, 3. diperlukan batang dengan kekakuan besar, 4. detil sambungan membutuhkan penampang ter-tentu, 5. hanya untuk faktor keindahan saja.
1. Sumbu Utama Sumbu utama adalah sumbu yang menghasilkan inersia maksimum atau minimum. Sumbu yang meng-hasilkan inersia maksimum disebut sumbu kuat (strong axis), sedangkan sumbu yang menghasilkan inersia minimum disebut sumbu lemah. Sumbu simetri suatu penampang selalu merupakan sumbu utama, namun sumbu utama belum tentu merupakan sumbu simetri. Pada gambar (a), sumbu x dan sumbu y adalah sumbu simetri, karenanya adalah sumbu utama. Pada gambar (b), sumbu x dan sumbu y adalah bukan sumbu simetri dan juga bukan sumbu utama. 15
η
y
y
ξ sumbu diputar
x
x
x
x
ξ y
η
y
Gambar (a)
Gambar (b)
Sebagai sumbu utama adalah sumbu ξ (baca: ksi) dan sumbu η (baca: eta) [lihat Gambar (b)].
2. Sumbu Bahan dan Sumbu Bebas Bahan Sumbu bahan adalah sumbu yang memotong semua elemen batang, sedangkan sumbu bebas bahan adalah sumbu yang sama sekali tidak memotong elemen bahan atau hanya memotong sebagian elemen bahan. y
y
x
x
x
x
y
y
x-x = sumbu bahan y-y = sumbu bebas bahan
x-x = sumbu bebas bahan y-y = sumbu bebas bahan y
x
x
x-x = sumbu bebas bahan y-y = sumbu bebas bahan y
16
3. Tekuk pada Batang Susun Digunakan istilah tekuk ⊥ sumbu yang berarti tekuk pada arah sumbu lainnya. Jadi tekuk ⊥ sumbu x-x berarti tekuk terjadi pada arah sumbu y-y (atau pada bidang sumbu y-y). Demikian pula sebaliknya tekuk ⊥ sumbu y-y berarti tekuk terjadi pada arah sumbu x-x (atau pada bidang sumbu x-x). Pada batang susun, semua tekuk yang terjadi harus ditinjau. a). Tekuk ⊥ sumbu x-x Berlaku: (1). kx = kx. dengan: kx = panjang tekuk batang susun terhadap tekuk ⊥ sumbu x, (2). λ x = kx kx = faktor kondisi ujung terha-dap ix tekuk ⊥ sumbu x, = panjang batang susun sebenarnya, (3). ωx P ≤ σ λ x = angka kelangsingan batang suA sun terhadap tekuk ⊥ sumbu x. ix = jari-jari inersia batang susun atau terhadap tekuk ⊥ sb. x.
.
P
≤
A. σ
ω
P = beban
aksial
tekan
batang
susun, A = luas tampang batang susun. Besarnya ω adalah sebagai berikut. Untuk 0 ≤ λ x ≤ 20 ω =1 Untuk 20 ≤
λ x ≤ λg
ω =
1,41 1,593 − λ s
17
Untuk λ g ≤
λ x ≤ 240
ω = 2,381. λs2
b). Tekuk ⊥ sumbu y-y Bila sumbu y-y adalah sumbu bebas bahan maka (untuk setiap sumbu bebas bahan) harus dihitung kelangsingan idiil [ λiy ],
λ12 dengan rumus: λiy = λ 2y + m 2 Berlaku: (1). ky = ky . dengan: ky = faktor kondisi ujung terhadap tekuk ⊥ sb. y-y. = panjang batang susun sebenarnya. λ 2y + m λ12
(2). λiy =
2
dengan: λiy = angka kelangsingan idiil batang susun untuk tekuk ⊥ sumbu y-y.
λy =
ky iy
= angka kelangsingan batang susun untuk
tekuk ⊥ sumbu y-y. m = jumlah elemen (jumlah profil anggota) batang susun
λ1 =
1
i min
= angka kelangsingan elemen (yaitu ba-
tang tunggal anggota, sejarak plat kopel). 1 = jarak plat kopel dari as – as. i min = salah satu dari: i y' jika profilnya adalah bukan profil siku
18
.
(3). ωiy
i η jika profilnya adalah profil siku
P A
≤σ
dengan:
ωiy= faktor tekuk idiil. P = beban aksial tekan batang susun. A = luas tampang batang susun. c). Tinjauan stabilitas elemen Berlaku: λ x ≥ 1,2 λ1
λiy ≥ 1,2 λ1
λ1 ≤ 50 d). Tinjauan plat kopel Berlaku: (1). D = 0,02.P
(2).
dengan: D = gaya aksial plat kopel yang timbul (arahnya aksial/memanjang plat kopel atau berarah ⊥ batang susun) P = beban aksial tekan batang susun. Ip ≤ 10 . I1 a 1 dengan: I1 = momen inersia elemen batang susun (yaitu batang tunggal), terhadap sumbu yang memberi nilai i min Ip = momen inersia plat kopel Jika 2 plat muka belakang maka Ip = 2 x Ip1 19 P A
Contoh aplikasi (pokok bahasan I1): Diketahui data suatu profil adalah sebagai berikut. ix = 38,00 mm iy = 22,70 mm A = 1910 mm2 iξ = 40,70 mm iη = 17,10 mm Berilah gambaran tentang profilnya dan berapakah nilai I1 seperti yang dimaksud dalam uraian diatas (yakni I terhadap sumbu yang memberi nilai i min )? Jawaban. Profil memiliki nilai iξ dan iη maka profil adalah profil siku. I
Selanjutnya i = A maka I = A . i2 Menggunakan formula tersebut maka: Imin = A.(imin)2 sehingga Iη = A.(iη)2 = 1910x17,102 = 558503,10 mm4 Jadi I1 = Iη = 558503,10 mm4. Apabila diutarakan simbol/notasi milik batang tunggal atau bermakna batang tunggal, maka simbol/notasi diberi tanda ‘aksen’ atau diberi indeks angka 1. Contoh: λ1 ialah λ batang tunggal, 1 ialah batang tunggal, Ix ialah Ix profil batang susun, sebab tidak diberi indeks 1 atau diberi tanda aksen, i 'x ialah i x batang tunggal, A’ ialah A batang tunggal. A ialah A batang susun, sebab tidak ada tanda ‘aksen’ atau indeks 1, I’x ialah Ix batang tunggal, 20
λ y ialah λ
dari suatu batang susun, maka harus dihitung, Semua simbol/notasi yang bermakna batang tunggal, pada akhirnya dapat ditemukan nilainya pada tabel profil, sebaliknya untuk simbol/notasi yang bermakna batang susun, nilainya harus diperoleh dari hitungan. Contoh Soal 1 [Soal Padosbajayo 4.7] Suatu kolom ujung-2nya sendi, tinggi kolom 3,5 m. Gaya tekan aksial yang bekerja P = 220 kN. Rencanakanlah batang tersebut menggunakan dua profil siku tidak sama kaki. Mutu baja BJ 37 dan jarak profil dari sisi luar ke sisi luar = 12 mm. Jawaban. 1. Mendeteksi batang susun atau bukan. P=220 kN
= 3,5 m
y
x
x
1
12 mm
y
•
Karena ada petunjuk: profil yang digunakan adalah dua profil siku tidak sama kaki maka ini jelas adalah persoalan batang tekan susun.
2. Mengasumsikan profil • Lihat gambar profilnya. Terdapat sumbu bahan x–x dan 21
sumbu bebas bahan y–y terdapat sumbu x dan sumbu idiil iy berarti terdapat λ x dan λiy yang harus diperiksa • Digunakan cara 1, yaitu berdasarkan luas profil (cara ini tidak selalu berhasil). • Diasumsikan k = ½. σ = ½.160 = 80 MPa. P P 220.000 Jadi Atotal = σ = 12 σ = 80 = 2750 mm2 (2 profil).
σ k
Perkiraan untuk 1 profil A’ = ½.A = 1375 mm2. (Buka tabel profil) Dicoba profil 2 L 80x120x10 Data profil (tunggal): ξ
y
x ey ex
η
A’ = 1910 mm2.
i'x = 38,00 mm
e’x = ex = 19,5 mm.
i'y = 22,70 mm
e’y = ey = 39,2 mm. I’x = 276.104 mm4.
i'ξ= 40,70 mm
I’y = 98,1.104 mm4.
i'η = 17,10 mm
• Profil batang susun (profil gabungan) Ix= (Ix profil batang susun) y = Ix1 + Ix2 = 2.I’x A = A1 + A2 = 2.A’
x
x
r
r y
Jadi:
ix =
Ix A
=
2.I ' x = i 'x ' 2.A
♦ kesimpulan: jika sumbu elemen berimpit dengan sumbu gabungan maka, jari-2 inersia tidak berubah.
22
♦
Keterangan : x - x = sumbu gabungan
i x = i 'x ( i x batang gabungan sa- ma dengan i x batang
tunggal). Iy gabungan = [I’y + A1.r2] + [I’y + A2.r2] Karena A1 = A2 maka Iy = 2.I’y + 2.A’.r2 Kesimpulan: Ix = 2.I’x Iy = 2.I’y + 2.A’.r2 Selanjutnya karena profil telah diasumsikan (dengan suatu cara) maka kasusnya dapat dipecahkan dengan verifikasi beban ijin profil dengan beban yang bekerja. 3. Tekuk ⊥ sumbu x-x
λx
=
kx
ix
rumus ini ditulis dulu, baru
dilengkapi
kx = kx. = 1.3500 = 3500 i x = i 'x = 38,00
λ x = i kx x
λg = π
λs
=
λx λg
Karena
1.3500 = 38,00 = 92,1053
E
0,7.σ
=
=π
92,1053 111,0721
λx ≤
λg
2,1.105 = 111,0721 0,7.240 = 0,8292
maka berlaku
1,41 ω = 1,593 − λs
23
1,41 = ω = 1,593 − λs P
≤
1,41 1,593 − 0,8292
A. σ
ω
σ
A = 2x1910 mm2; 2.1910.160 1,8460
P≤
= 1,8460
= 160 MPa;
P ≤ 331094,2579 N.
• Pmaks profil yang diijinkan = 331094,2579 N = 331,0943 kN. • P beban yang bekerja = 220 kN • P = 220 kN < Pmaks = 331,0943 kN Profil aman dipakai 4. Tekuk ⊥ sumbu y-y
λiy = λ 2y + m2 λ12
rumus ini ditulis dulu, untuk kemudian dilengkapi,
ky k y . = iy = iy λ1 = i1 min dulu,
λy
♦
=
1.3500
iy
iy harus ditemukan dulu, 1
harus
direncanakan
mencari iy
Iy = 2. I’y + 2.A’.r2 = 2.98,1.104 + 2.1910.(ex + ½.12)2 = 444,59.104 mm4.
iy =
Iy A
=
444,59.10 4 2.1910
1
♦ merencanakan
λ1 ≤ 50
= 34,1152
λ1 = i
1
min
ketentuan dari PPBBG
1 1 ≤ i min .50 i min ≤ 50 Karena profil adalah siku, maka i min dipilih i η dengan nilai:
24
iη
Jadi 1 ≤ 17,10x50 = 855 1 ≤ 855 Karena tinggi kolom = 3500 mm, diambil jumlah median n = 5 buah. Untuk n = 5 buah, maka 1 = 700 mm. = 17,10 mm.
1 Untuk 1 = 700 mm, maka λ1 = i = min Jadi λ1 = 40,9357
700 17,10
= 40,9357 ≤ 50
(Langkah kemudian diulang lagi) 2 m 2 λ iy
=
λy +
λy
=
ky k y . = iy = iy
λ 2 1
1.3500 34,1152
= 102,593
λ1 = 40,9357 m =2
maka:
λiy
λg = π
λs
λ 2y + m λ12
=
2
E
0,7.σ
λy λg
=
=
P
=
≤
λg
1,41 1,593 − λs
102 ,593 2 +
2 40,9357 2 2
= 0,9945
maka berlaku =
= 110,458
2,1.105 = 111,0721 0,7.240
=π
110,4580 111,0721
Karena λiy ≤
ωiy
=
1,41 1,593 −0,9945
ωiy
=
1,41 1,593 − λs
= 2,3359
A. σ
ω
A = 2x1910 mm2;
σ
= 160 MPa;
25
P≤
2.1910.160 2,3359
P ≤ 261655,0366 N.
• Pmaks profil yang diijinkan = 261655,0366 N = 261,6550 kN. • P beban yang bekerja = 220 kN • P = 220 kN < Pmaks = 261,6550 kN Profil aman dipakai 5. tinjauan stabilitas elemen λ x ≥ 1,2 λ1 λ x = 92,1053 ≥ 1,2 λ1 = 60 λiy ≥ 1,2 λ1 λiy = 110,4580 ≥ 1,2 λ1 = 60 λ1 ≤ 50 λ1 = 40,9357 ≤ 50 Jadi stabilitas elemen dipenuhi profil aman dipakai 6. tinjauan plat hubung Pada kasus ini tidak terdapat plat kopel, yang ada adalah plat hubung. (a). Gaya lintang plat hubung D = 0,02.N (b). Gaya geser plat hubung tiap satuan panjang: D.m Ssh = I y dengan: m = statis momen luasan yang lari/lepas/bergerak (lihat gambar)
y
1
26
y
(c). Gaya geser plat hubung V = Ssh. 1 (d). Syarat plat hubung Ip ≤ 10 . I1 a 1 (e). Gaya geser di pusat baut Momen yang timbul: M = V.x (f).
Check kekuatan plat kopel
Contoh Soal 2 Suatu kolom ujung-2nya sendi, tinggi kolom 3,5 m. Gaya tekan aksial yang bekerja P = 220 kN. Batang tersebut direncanakan menggunakan dua profil siku tidak sama kaki, yaitu 2 L 80x120x10. Mutu baja BJ 37 dan jarak profil dari sisi luar ke sisi luar = 12 mm. Rencanakanlah jarak plat hubung/plat rangkai. Jawaban: Pertanyaannya adalah perencanaan jarak plat hubung atau plat perangkai (dalam gambar ditulis 1 ). P=220 kN
y
27
= 3,5 m
x
x
1
12 mm
y
Pada batang susun, besarnya λ1 dibatasi maksimum 50 1 atau λ1 ≤ 50. Padahal λ1 = i Jadi 1 ≤ i min .50. min Kesimpulan: ∴ 1 ≤ i min .50. ∴
1 tergantung pada profil yang dipakai.
Berikut ini adalah jawaban lengkap soal 4.7 tersebut di atas. Suatu kolom ujung-2nya sendi, tinggi kolom 3,5 m. Gaya tekan aksial yang bekerja P = 220 kN. Rencanakanlah batang tersebut menggunakan dua profil siku tidak sama kaki. Mutu baja BJ 37 dan jarak profil dari sisi luar ke sisi luar kanal = 12 mm. Jawaban: 1. Kolom adalah batang susun. Karena menggunakan dua profil siku tidak sama kaki, maka kolom adalah batang susun. Karena itu dapat dilakukan analisis lengkap untuk batang susun. P=220 kN
y
28
= 3,5 m
x
1
x
y
12 mm
2. Profil tidak diketahui. Karena itu profil harus diasumsikan. •Digunakan cara 1, yaitu berdasarkan luas profil. • Diasumsikan k = ½. σ = ½.160 = 80 MPa. P 220.000 Jadi Atotal = σ = 1 P = 80 = 2750 mm2 (2 profil).
σ k
2
σ
Perkiraan untuk 1 profil A’ = ½.A = 1375 mm2. Dicoba profil 2 L 80x120x10 Data profil (tunggal): i'y = 22,70 mm. A’ = 1910 mm2. e’y = 39,20 mm. i'ξ = 40,70 mm. I’x = 276.104 mm4. e’x = 19,50 mm. i'x = 38,00 mm. iη I’y = 98,1.104 mm4. = 17,10 mm. 3. Tekuk ⊥ sumbu x-x
λ x = i kx x
kx = kx. = 1.3500 = 3500 i x = i 'x = 38,00
λ x = i kx x
1.3500 = 38,00 = 92,1053
29
λg
=
λs
=
E
π
0,7.σ
λx λg
Karena
=
92,1053 111,0721
λ x ≤ λg
1,41 ω = 1,593 − λs = P
≤
=π
2,1.105 =111,0721 0,7.240 = 0,8292
1,41 1,593 − 0,8292
= 1,8460
A. σ
ω
σ
A = 2x1910 mm2; 2.1910.160 1,8460
P ≤
1,41 ω = 1,593 − λs
maka berlaku
= 160 MPa;
P ≤ 331094,2579 N.
• Pmaks = 331094,2579 N = 331,0943 kN. • P beban yang bekerja = 220 kN • P = 220 kN < Pmaks = 331,0943 kN
Verifikasi OK.
Profil aman dipakai. 4. Tekuk ⊥ sumbu y-y Harus dipenuhi:
λiy = λ 2y + m λ12 2
ky k y . 1.3500 iy = i y = iy • dicari iy terlebih dahulu 2 Iy = 2. I’y + 2.A’.r
λy =
= 2.98,1.104 + 2.1910.(ex + ½.12)2 = 444,5955.104 mm4. iy =
Iy A
=
444,5955.10 4 2.1910
= 34,11524
• Jadi iy = 34,1154
30
λ1 = i
1
min
• direncanakan 1 terlebih dahulu
λ1 ≤ 50
1 karena λ1 = i min
maka:
1 1 ≤ i min .50 i min ≤ 50 Karena profil adalah siku, maka i min dipilih isinya adalah i η dengan nilai:
iη
= 17,10 mm.
1 ≤ 17,10x50 = 855 Jadi 1 ≤ 855 Karena tinggi kolom = 3500 mm, diambil jumlah median n = 5 buah. Untuk n = 5 buah, maka 1 = 700 mm.
1 Untuk 1 = 700 mm, maka λ1 = i = min Jadi λ1 = 40,9357 ≤ 50 OK!. • Jadi 1 = 700 mm.
λ1
700 17,10
= 40,9357
= 40,9357
λiy = λ 2y + m λ12 2
ky k y . iy = i y =
λy
=
λ1
= 40,9357
1.3500 34,1152
= 102,593
m =2
maka:
λ 2y + m λ12
λiy
=
λg
= π
2
E
0,7.σ
=
102 ,593 2 +
2 40,9357 2 2
= 110,458
2,1.105 =π =111,0721 0,7.240
31
λs
=
λy λg
=
110,4580 111,0721
= 0,9945
Karena λiy ≤ λ g maka berlaku ωiy
ωiy P
≤
=
1,41 1,593 − λs
=
1,41 1,593 −0,9945
= 2,3359
A. σ
ω
A = 2x1910 mm2; P ≤
=
1,41 1,593 − λs
2.1910.160 2,3359
σ
= 160 MPa;
P ≤ 261655,0366 N.
• Pmaks = 261655,0366 N = 261,6550 kN. • P beban yang bekerja = 220 kN • P= 220 kN < Pmaks = 261,6550 kN
Verifikasi OK. Profil aman dipakai.
5. Tinjauan stabilitas elemen λ x ≥ 1,2 λ1 λ x = 92,1053 ≥ 1,2 λ1 = 60 λiy ≥ 1,2 λ1 λiy = 110,4580 ≥ 1,2 λ1 = 60 λ1 ≤ 50 λ1 = 40,9357 ≤ 50 Jadi stabilitas elemen dipenuhi profil aman dipakai. 6. Tinjauan plat hubung Pada kasus ini tidak terdapat plat kopel, yang ada adalah plat hubung. (a). Gaya lintang plat hubung D = 0,02.P = 0,02.220 = 4,4 kN
(b). Gaya geser plat hubung tiap satuan panjang: D.m Ssh = I y dengan: 32
m = statis momen terhadap sumbu y-y luasan yang lari/lepas/bergerak (lihat gambar). = 1910.(e’x + 6) = 1910.(19,50 + 6) = 48705 mm3. Iy = 444,5955.104 mm4. D.m 4400.48705 Ssh = I = 4445955 = 48,2016 N/mm. y
a
y
1
e 'x
6
y
(c). Gaya geser plat hubung V = Ssh. 1 1 = 700 mm dan Ssh = 48,2016 N/mm maka: V = Ssh. 1 = 48,2016.700 = 33741,12 N. (d). Syarat plat hubung
Ip ≤ 10 . I1 a 1 I1
= (Iη karena profilnya profil siku) = A’.
i2η
= 1910.(17,10)2 = 558503,10 mm4.
1 = 700 mm.) a = jarak sumbu elemen (lihat gambar) = 2.(e’x + 6) = 2.(19,50 + 6) = 51 mm.
33
Ambil tebal plat hubung sama dengan tebal profil yang digunakan yaitu b = 10 mm dan tinggi plat hubung sebesar h mm maka: Ip =
1 .b.h 3 12
Pertidak-samaan: 1 12
Ip ≤ 10 . I1 a 1
.b.h 3 I ≥ 10. 1 a
1
1 12
.10.h 3 558503,10 ≥ 10. 51 700
diperoleh: h3 ≥ 488291,2817 h ≥ 78,7456 mm. Dicoba tinggi h = 110 mm tebal t = 10 mm Petunjuk: untuk memperoleh tinggi h, dibuat sketsa rancangan sambungan (untuk dilihat ruang sambung yang dibutuhkan lihat gambar ruang sambung berikut ini).
110 25 30
g1
34
g tinggi h = g + 2.g1 g1
g1 = ½. g g1 = jarak ujung
σ σ
σ σ
1,5.d – 2.d untuk tu = 1,2. 2.d – 3.d untuk tu= 1,5.
(nilai normal). ambil baut Φ 19 mm ambil g1 antara 1,5.d – 2.d besarnya
g
sebagai berikut:
g1 = 30 mm sehingga
σ tu = σ1,2.
2,5.d ≤ g ≤ 7.d atau 47,5 ≤ g ≤ 133
ambil g = 50 mm (masuk persyaratan OK) maka h = 50+2.30 = 110 mm. (e). Gaya geser di pusat baut Momen yang timbul: M = V.x
(lihat gambar berikut ini).
Asumsikan letak lubang baut di tengah-2 lebar sayap, maka: x = (½ lebar profil siku pendek ditambah 6 mm) = (½.80 + 6) = 46 mm. M = V.x = (33741,12).(46) = 1552091,52 Nmm. (f). Check kekuatan plat hubung Anetto = (lihat gambar di atas) Inetto
= [110 – 2.(19+1)].10 = 700 mm2. = (Ibruto – I0 lubang – 2.A’.r2)
35
1
1
= ( 12 .10.1103) – (2. 12 .10.203) – (2.10.20.252) = 845833,3333 mm4. Snetto
τ
=
σ= σi
=
I y =
V A netto =
845833,3333 25 + 30
33741,12 700
M = Sx σ 2 + 3.τ 2
= 48,2016 MPa
1552091,52 15378,7879
= 100,9242 MPa
= = 100,9242 2 +3.48,2016 2 = 130,9804 MPa
Jadi:
σi
= 15378,7879 mm3
= 130,9804 MPa ≤
OK.
σ = 160 MPa
Check
(g). Check pola baut Sambungan baut tampang satu ini masih harus diuji terhadap momen sekunder yang timbul melalui uji pola baut. 1). Kapasitas geser baut: Ngeser = Ng = =
π 4
π 4
.d2. τ 2
.192.(0,58.
σ)
2
=
π 4
.192.(0,58.160)2
= 2441704,118 N.
Jadi: Ng = 2441704,118 N. 2). Kapasitas tumpu plat: Ntumpu plat = Ntp = A. σ tu = 10.19.(1,2.160) = 36480 N. 3). Penentuan geser baut atau tumpu plat Karena Ng < Ntp maka Ng menentukan (lemah). 4). Gaya geser yang timbul akibat gaya lintang V 36
Gaya geser (yang terjadi) untuk satu baut: Ngs1 = ½.V =
33741,12 2
= 16870,56 N.
5). Gaya yang timbul akibat momen M R1V
Center line
R2V
x
Gaya akibat momen:
M.x i Rv = x 2 + y 2
Xi = (6 + ½.80) = 46 X = Xi = 46 Y = 25 M = 1552091,52 Jadi: 1552091,52.46 Rv = = 26047,50 462 + 252 6). Gaya geser akibat kombinasi gaya lintang V dan momen M 2 + R 2v K = N gs1
=
16870,562 + 26047,502
31033,66 7). Kesimpulan tentang pola baut K = 31033,66 > Ng = 2441704,118 Jadi pola baut harus diubah. =
No!
37
Tes tertulis A. Sebuah kolom tinggi 4,5 m, ujung2-nya sendi untuk kedua arah, mendukung beban 250 kN. Kolom direncanakan dengan baja satu tampang saja dengan syarat kekuatan tampang sama pada arah x-x maupun arah y-y. Mutu baja yang digunakan adalah baja BJ 37. Pertanyaan: 1. Sebutkan soal tersebut di atas adalah soal kasus apa? (batang bengkok, apa batang lurus, apa batang ga dipake, apa batang satu tampang, apa kolom batang tunggal, apa kolom batang susun atau apakah? Jelaskan dan term-nya harus dapat diterima).
2. Kekuatan tampang sama pada arah x-x maupun arah y-y, itu maksudnya apa? (jelaskan jawaban sdr. se-jelas2-nya) 3.Bukalah
bagan umum pada hal 20 (kalau perlu kutiplah) Kemudian jawablah soal di atas dengan merujuk bagan umum tersebut. 4. Berapa nilai λ x dan berapa nilai λ y pada jawaban sdr? Bagaimanakah komentar sdr. mengenai nilai λ tersebut? B. Sebuah kolom tinggi 4,4 m, ujung2-nya sendi untuk kedua arah, mendukung beban 420 kN. Kolom direncanakan dengan dua profil kanal. Mutu baja yang digunakan adalah baja BJ 37. Filosofi apa yang digunakan untuk memecahkan soal ini? Tentukan ukuran profil tersebut serta jarak antar profil.
38
Soal n. Sebuah kolom tingginya 5 m, ujung-2nya sendi, mendukung beban 450 kN. Kolom dirancang dengan dua profil kanal. Tentukan ukuran profil tersebut serta jaraknya jika tegangan leleh baja 240 MPa (BJ 37). Jawab: x
Terdapat 1 sumbu bebas bahan maka terdapat dua nilai λ yang harus diperiksa yaitu: λ dan λ iy
y Jarak kedua profil dapat dipilih sedemikian hingga: λ iy kx kx i Diinginkan λ = 85 x = λ= i λx x 5000 ix = = 58,82 85 pada arah x: i x = i'x jadi i'x = 58,82 mm dicari pada tabel, profil C yang i'x nya ≥ 58,82 mm
∞ λ
∴
Dicoba 2 C18 i x = 69,5 mm A = 2800 mm2 i y = 20,2 mm h = 180 mm b = 70 mm Ix = 1350.104 mm4 e = 19,2 mm Iy = 114.104 mm4 • Tekuk ⊥ sumbu x-x i x = i'x = 69,5 mm 1.5000 λ = ikx = 69,5 = 71,9424 x E λ g = π 0,7.σ = π 2,1.105 = 111,0721 0,7.240 20 < λ < λ g profil berada di zona 2 39
λs
=
λ λg
71,9424
= 111,0721 = 0,6478
1,41
ωx = 1,593 − λs
σk ≤ σ
1,41
= 1,593 − 0,6478 = 1,4916
P≤σ ω. A
1,4916.
450.000 ≤ 160 2.2800 133,178
≤ 160
OK!.
• Tekuk ⊥ sumbu y-y Tekuk ⊥ sumbu y-y tidak ditinjau karena λ iy ∞ λ • Mencari jarak antara profil Jarak antara profil dapat dicari dari: Iy = 2. Iy′ + 2.A′.r2
λ = λ x = 71,9424 iy
λ = λ 2y + m λ 2 1
Anggap dulu λ1 = 50
iy
2
71,9424
2 2 2 = λ y + 2 .50
71,94242
= λ y 2 + 2500
λ y2
= 2675,7089
λ
y
= 51,727
i y = ky = 1.5000 = 96,661 mm iy 51,727
i y = Iy Iy Iy
96,661
=
Iy 2.2800
A = 96,6612.2.2800 = 52322753,96 mm4 = 2. Iy′ + 2.A′.r2 = 2.114.104 + 2.2800.r2 52322753,96 = 2.114.104 + 2.2800.r2 r2 = 8936,2061 mm2 r = 94,532 mm
40
a
= jarak antar profil = 2(r – e) = 2.(94,532 - 19,2) = 150,66 mm
Dicoba jarak a = 152 mm Dihitung kembali dengan jarak a = 152 mm e
a
r=
x
152 + 19,2 = 95,2 mm 2
r y 70
a=152
70
= 2. Iy′ + 2.A′.r2 = 2.114.104 + 2.2800.95,22 = 53033024 mm4
Iy
iy =
Iy = 53033024 = 97,3149 A 5600
λ = ky = 1.5000 = 51,38 97,3149 iy dengan λ1 = 50 dan λ = 51,38 λ = λ2 + m λ2 maka y
y
y
iy
2 1
= 51,382 + 2 .502 2
= 71,69
∴ diperoleh
λ
λ iy
= 71,9424
= 71,69
λ = 50 1
41
