Stiffness 9

‫المحاضرة التاسعة‬

‫‪Lecture No. : 9‬‬

Remember Solution Steps of assembly method : Drive the member local stiffness matrix

l l l F = K D Drive the member transformation matrix

T Obtain the member global stiffness matrix g

l

Km = T Km T

T

Remember

g

Km

Make assembly

g

Km

g

g

Km

F = K

Km

D

Make partition

Fu

Fr

=

Kuu Kur

Du

Kru Krr

Dr

Remember Extract the stiffness equation

Fu

Fr

=

Kuu Kur

Du

Kru Krr

Dr

Fu = Kuu Du + Kur

Dr

Obtain the deformation

Du = Kuu

-1

{F

u

- Kur

Dr

}

Remember Calculate the reactions

Fr = Kru

Du + Krr

Find internal forces in members

l T g l Fm = Km T D m

Dr

d2 d3 d1

Normal Force doesn’t taken d1 d2

Drive the member local stiffness matrix d2

d4

d1

d3

F1

k11

k12

k13

k14

d1

F2

k21

k22

k23

k24

d2

k31

k32

k33

k34

d3

k41

k42

k43

k44

d4

F3 F4

=

First column in Local Stiffness matrix

d1 =1

d2

d3

d4

d2

6 EI D L2 6 EI D L2

D

12 EID L3

12 EID L3

6 EI D L2

D

6 EI D L2

12 EID L3

12 EID F1 = L3 6 EI D F2 = L3

12 EID L3 12 EID F3 = L3 6 EI D F4 = L3

12 EI L3 6 EI L2

k11

k21

= k31

k41

-12EI L3 6 EI L2

Second column in Local Stiffness matrix

d1

d4

d2

d2 =1 q

4 EI q L

d3

2 EI q L 6 EI q L2

6 EI q L2

q

4 EI q L

F1 =

2 EI q L 6 EI q L2

6 EI q L2

4 EI q F2 = L

6 EI q L2

6 EI q F3 = L2

2 EI q F4 = L


6 EI k12

L2

k22

= k32 k42

4 EI L 6 EI - 2 L

2 EI L

Third column in Local Stiffness matrix

d1

d3 d4

d2

d3 =1

6 EI D L2

6 EI D L2

D

12 EID L3

12 EID L3

6 EI D L2 12 EID L3 12 EID F1 3 L = 6 EI D F2 = L2

6 EI D L2 12 EID L3 12 EID F3 = L3 6 EI D F4 = L2

D


k13

12 EI L3

k23

6 EI L2

k33

k33

=

12 EI L3 6 EI L2

Fourth column in Local Stiffness matrix

d4 =1

2 EI q L

d1

d3

d4

d2

4 EI q L 6 EI q L2

6 EI q L2

q

2 EI q L

F1 = F2 =

4 EI q L 6 EI q L2

6 EI q L2

q

6 EI q L2

6 EI D F3= L2

2 EI q L

4 EI q F4= L


6 EI k14

L2

k24

= k34 k44

2 EI L 6 EI - 2 L

4 EI L

K

l

=

12 EI L3

6 EI L2

-12 EI L3

6 EI L2

6 EI L2

4 EI L

-6 EI L2

2 EI L

-12 EI L3

-6 EI L2

12 EI L3

-6 EI L2

6 EI L2

2 EI L

-6 EI L2

4 EI L

K

l

12 EI L3

6 EI

-12 EI L3

6 EI

6 EI

4 EI L

-6 EI L2

2 EI L

L2

-12 EI L3

-6 EI L2

12 EI L3

-6 EI L2

6 EI

2 EI L

-6 EI L2

4 EI L

L2

L2

=

L2

12 EI 6 EI -12 L2 EIL3 L3 Kl

6 EI L2 =

-12 EIL3 6 EI L2

K

l

=

EI L3

12

6L

- 12

6L

6L

4 L2

6L

2 L2

- 12

-6L

12

-6L

6L

2 L2

6L

4 L2

4 EI -6 EI L2 L

6 EI L2

2 EI L

-6 EI 12 EI -6 EI L2 L3 L2 2 EI -6 EI L L2

4 EI L

Normal Force doesn’t taken d1 d2

If Shear is omitted

d1

Drive the member local stiffness matrix d1

d2

F1

F2

k11

k12

d1

k21

k22

d2

=

K

l

=

12 EI L3

6 EI L2

-12 EI L3

6 EI L2

6 EI L2

4 EI L

-6 EI L2

2 EI L

-12 EI L3

-6 EI L2

12 EI L3

-6 EI L2

6 EI L2

2 EI L

-6 EI L2

4 EI L

K

l

K

=

l

=

4 EI L

2 EI L

2 EI L

4 EI L

2EI L

2

1

1

2

Example 1: Construct the stiffness matrix for the shown beam where EI is constant for all members A

B

8

C

10

First element : (A-B ) Start Joint : A

K

l

=

EI L3

End Joint : B 12

6L

- 12

6L

6L

4 L2

6L

2 L2

- 12

-6L

12

-6L

6L

2 L2

6L

4 L2

l = Kg K

K

l

12 EI L3

6 EI

-12 EI L3

6 EI

6 EI

4 EI L

-6 EI L2

2 EI L

L2

-12 EI L3

-6 EI L2

12 EI L3

-6 EI L2

6 EI

2 EI L

-6 EI L2

4 EI L

L2

L2

=

L2

K

l

=

EI L3

12

6L

- 12

6L

6L

4 L2

6L

2 L2

- 12

-6L

12

-6L

6L

2 L2

6L

4 L2

A .023

K

l

= EI

.0937 -.023 .0937

B

.0937 .5 .0937

-.023

.0937

.0937

.25

.023

ِ

A

-.0937

B .25

-.0937

.5

Second element : ( B-c) Start Joint : B

K

l

End Joint : c 12 EI L3

6 EI

-12 EI L3

6 EI

6 EI

4 EI L

-6 EI L2

2 EI L

L2

-12 EI L3

-6 EI L2

12 EI L3

-6 EI L2

6 EI

2 EI L

-6 EI L2

4 EI L

L2

L2

=

L2

B .012

K

l

C .06

-.012

.06

B = EI

.06

-.012

.06

.4

-.06

-.06

.012

.2

-.0937

.20 -.06

.4

C

Assembly :

A .023 g

K1 =

EI .0937 -.023 .0937

B .0937 .5

-.023 .0937

.0937

A

.25

.0937

.023

-.0937

.25

-.0937

.5

B

C

B .012 g

K2 =

EI

. 06

.06 .4

-.012

-.06

-.012

-.06

.012

.06

.2

-.06

.06

B .2 -.06

C .4

A .023 .0937

Ks =

EI

-.023 .0937

B

C

.0937

-.023

.0937

0

0

.5

.0937

.25

0

0

.0937

.035

.25

-.0337

0

0

-.012

0

0

.06

-.0337 -.012 .9 -.06

A

.06 .2

-.06

.012

-.06

.2

-.06

.4

B C

Partition u

K

=

r

Kuu Kur

u

Kru Krr

r

Kuu =

EI

.90

Example 2: Construct the stiffness matrix for the shown beam where EI is constant for all members

A

C

B

4

5

E

D

2

4

K

K

l

l

=

K

g

12/L^3

6/L^2

6/L^2

4/L

-12/L^3

-6/L^2

= EI

6/L^2

2/L

- 12/L^3

-6/L^2

12/L^3

-6/L^2

6/L^2

2/L

-6/L^2

4/L

First element : (A-B ) Start Joint : A

End Joint : B Angle

:0

s = sin q = 0 c = cos q = 1 EA

Is conastant

LAB = 400 cm

A .1875

l

K = EI

.375

B

.375

-.1875

.375

-.375

1

-.1875

-.375

.375

.5

.1875 -.375

.5

-.375 1

A B

Second

element : B-C )

Start Joint : B

End Joint : c Angle

:0


Is conastant

LBC = 500 cm

C

B

g

K1 = EI

.096

.24

-.096

.24

.8

-.24

-.096

-.24

.24

.4

.096 -.24

.24

B .4 -.24 .8

C

Third

element : (C-D )

Start Joint : C

End Joint : D Angle

:0


Is conastant

LCD = 200 cm

C 1.5

l

K = EI

D 1.5

-1.5

1.5

C 1.5 -1.5

1.5

2

-1.5

1

-1.5

1.5

-1.5

.2

-1.5

.2

D

Fourth

element : (D-E )

Start Joint :D

End Joint : E Angle

:0


Is conastant

LD-E = 400 cm

D .1875

K

l

E

.375

-.1875

ُ .375

D =

EI

.375 -.1875 .375

1

-.375

.5

-.375

.5

.1875

-.375

-.375

E 1

B

A .1875 .375

K = s

-.1875 .375

.375 -.1875 .375 1 -.375 .5 -.375

.5

0

0

0

0

D

C 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

.2835 -.135 -.096 -.135 1.8 -.24

.24

0

0

.4

0

0

0 0

-1.5 1.5

1.5 1

0 0

1.596 1.26

-.096 .24

-.24 .4

1.26

0 0

0

0

-1.5

1.5

0

0

1.5

0

0

0

0

0

1 0

0

0

0

0

0

0

0 0

E

2.8

0

1.687 -1.125 -1.125 3

-.1875 .375

-.1875 -.375 .5 .375

.1875 -.375

-.375

-.375

A

B C

D

.5

1

E

KUU

=

1.8 EI

0.4 EI

0

1.8 0.4

0

0.4 EI

2.8 EI

EI

= EI 0.4 2.8

1

0

EI

3 EI

0

1

3

Example 3: Calculate the deformation of the shown beam where EI = 105 kN.m2 for all members

60 kNm

A

4

B

50 kNm

30 kNm

C

5

D

2

4

E

The stiffness equation

F= K D Stiffness matrix From Exampl (2)

1.8 EI

0.4 EI

0

1.8 0.4

0

KUU 0.4 EI

2.8 EI

EI

= EI 0.4 2.8

1

EI

3 EI

0

0

1

3

qB

F1 F

-60 =

D = qC qD

-50

2

F

30

3

-60 -50

30

F= K

D

.4

.4

2.8

1

d2

1

3

d3

= 0

0

d1

1.8

D=

qC = 1

qD

1

105 12.84

F -1

qB

qB

-1 K

1.8 0.4

0

- 60

qC = 1 0.4 2.8

1

- 50

qD

3

30

EI

0

1

7.4 -1.2 .4

- 60

-1.2 5.4 -1.8

-3 X10 - 50 = - 0.196

.4

-1.8 4.88

30

- 0.290

0.165 rad

Example 4: Draw B.M.D for the shown beam where EI = 105 kN.m2 for all members

60 kNm

A

50 kNm

B

4

30 kNm

C

5

D

2

4

E

From the previous example qB qC qD

- 0.290 =

- 0.196

X10-3

0.165

rad

A

E

4

B

5

C

2

D qB

EI = 105 kN.m2 For member AB

2 EI MAB =

LAB

4 - 0.290

qC = - 0.196 X10-3

qD

0.165 rad

(2 qA + qB ) =5x104(0-0.29)x10-3 = - 14.5 kN.m

2 EI MBA= (2 qB + qA ) =5x104(2X-0.029)x10-3 LAB = - 29 kN.m

A

E

4

B

5

C

2

D qB

EI = 105 kN.m2 For member BC

MBC =

MCB=

LBC 2 EI LBC

4 - 0.290

qC = - 0.196 X10-3

qD

0.165 rad

(2 qB + qC ) = 4x104(2x-0.29-0.196)x10-3 = - 31 kN.m

(2 qC + qB ) = 4x104(2x-0.196-0.029)x10-3 = - 27.3 kN.m

MAB = - 14.5 kN.m MBA= - 29 kN.m

MBC = - 31 kN.m MCB= - 27.3 kN.m

MCD = - 22.7 kN.m MDC= 13.5 kN.m

MDE = 16.5 kN.m MED= 8.3 kN.m

A 14.5

B

B 29

31

C 27.3

C 22.7

D 13.5

D 16.5

E 8.3

A 14.5

B

B 31

29

C 27.3

C 22.7

27.3

14.5

D

D

13.5

16.5

13.5 31

22.7

B.M.D

16.5

E 8.3

29

27.3

16.5

14.5

13.5

31

A

60 kNm

B

22.7

50 kNm

C

30 kNm

D

E

Example 5: Draw B.M.D for the shown beam where EI is constant for all members 100 kN

A

200 kN

B 2

1

150 kN

D

C 2

2

1

2

Solution Steps of assembly method :

Drive the member local stiffness matrix Local F1

k11

k12

k13

k14

d1

F2

k21

k22

k23

k24

d2

k31

k32

k33

k34

d3

k41

k42

k43

k44

d4

F3 F4

=

d2

d4

d1

d3


L2

6 EI D

D=1

6 EI D

12 EID L3

L2

F1 =

12 EID L3

F2 = 6 EI D

L2

F3 = - 12 EID

L3

F4 =

6 EI D L2

first column in Local Stiffness matrix

k11

k21

k31

k41

=

12 EID L3 6 EI D L2 -12 EID L3 6 EI D L2

Second column in Local Stiffness matrix d2 =1

4 EI q L

2 EI q L 6 EI q L2

6 EI q L2

F1 =

F2 =

6 EI q L2

4 EI q L

F3 = - 6 EI q L2

F4 =

2 EI q L


6 EI q k12

L2

k22

= k32 k42

4 EI q L 6 EI q L2

- 2 EI q L


6 EI D L2

d3 =1

6 EI D L2

12 EID L3

12 EID L3


-12 EID L3

k13

k23 =

k33

k33

-6 EID L2 12 EID L3

-6 EID L2

F1 =

F2 =

-12 EID L3 -6 EID L2

F3 =

F4 =

12 EID L3 -6 EID L2


2 EI q L

4 EI q L 6 EI q L2

6 EI q L2

F1 =

F2 =

6 EI q L2

2 EI q L

-6 EI D F3= L2 F4 =

4 EI q L

6 EI q -12 EI D 6 EI q 12 EID 2 3 L 2 L L 3 L

K

l

=

6 EI q L2

4 EI q -6 EID 2 EI q 2 L L L -6 EI D 12 EI D -6 EI D -12 EID 2 3 L 2 L L 3 L 2 EI q -6 EID 4 EI q 6 EI q 2 2 L L L L

First element : (A-B )

Start Joint : A

End Joint : B Angle

:0


Is conastant

LAB = 300 cm

K

K

l

l

=

EI

K

g

12/L^3

6/L^2

6/L^2

4/L

- 12/L^3

-6/L^2

6/L^2

2/L

= -12/L^3

6/L^2

-6/L^2

2/L

12/L^3

-6/L^2

-6/L^2

4/L

A

0.44

K

l

=

EI

B

0.67

-0.44

0.67

1.33

-0.67

-0.44

-0.67

0.44

0.67

0.67 ِ Aِ 0.67 -0.67

B

0.67

-0.67

1.33

Second element : ( B-c) Start Joint : B

K

l

EI

End Joint : c

12/L^3

6/L^2

6/L^2

4/L

-12/L^3

- 6/L^2

- 12/L^3

-6/L^2

6/L^2

2/L

=

6/L^2

2/L

12/L^3

-6/L^2

-6/L^2

4/L

B

0.1875

K

l

C

0.375

-0.1875

0.375 B

=

EI

0.375

-0.1875

0.375

1

-0.375

-0.375

0.5

0.1875

-0.375 C

0.5

-0.375

1

Second element : ( C-D ) Start Joint : C

K

l

EI

End Joint : D

12/L^3

6/L^2

6/L^2

4/L

-12/L^3

- 6/L^2

- 12/L^3

-6/L^2

6/L^2

2/L

=

6/L^2

2/L

12/L^3

-6/L^2

-6/L^2

4/L

D

C 0.44

K

l

=

EI

0.67

-0.44

0.67

1.33

-0.67

-0.44

-0.67

0.44

0.67

0.67 ِ C 0.67 -0.67 D

0.67

-0.67

1.33

A

0.44

K

g

=

EI

B

0.67

-0.44

0.67

1.33

-0.67

-0.44

-0.67

0.44

0.67

0.67 ِ A 0.67 -0.67 B

0.67

-0.67

1.33

B

0.1875

K

g=

C

0.375

-0.1875

0.375 B

EI

0.375

-0.1875

0.375

1

-0.375

-0.375

0.5

0.1875

-0.375 C

0.5

-0.375

1

D

C 0.44

K

g=

EI

0.67

-0.44

0.67

1.33

-0.67

-0.44

-0.67

0.44

0.67

0.67

ِ C 0.67

-0.67 D

0.67

-0.67

1.33

A 0.44

0.67

B

-0.44

C

0.67

D

0

0

0

0 A

Ks =

EI

0.67 . 0 -0.44 9 3 0.677

0

-0.67

0.67

-0.67 .0.6275 .-0.295

0

0

-0.1875 0.375

0 0

0 0 B

0.67

-0.295

0

-0.1875

2.33

-.375

-0.375 .2525

0.5 0.295

0 -.44

0 0.67

C

0 0 0

K

1.33

l

0

0.375

0.5

0.295

0

0

0

-.44

0

0

0

=

K

g

.67

2.33 -.67 0.67

-.67 0.44

.67

-.67 -.67 1.33

D

Partition u

K

=

r

Kuu Kur

u

Kru Krr

r

Kuu =

2.33

0.5

0.5

2.33

EI

Force vector Transformation from member forces to Joint forces

P PL 8

PL 8

L P

P a b2 L2

a

b

L

P b a2 L2 90

100 kN

150 kN

200 kN

A

B 2 100 kN

D

C

1

2

2

1

44.4 kNm 66.7 kNm

2 150 kN

33.3 kNm

22.2 kNm

200 kN

Fixed End Reaction (FER) 100 kNm

100 kNm

100 kN

150 kN

200 kN

A

B 2 100 kN

D

C

1

2

2

1

44.4 kNm 66.7 kNm

2 150 kN

33.3 kNm

22.2 kNm

200 kN

Fixed End Action (FEA) 100 kNm

100 kNm

100 kN

150 kN

200 kN

A

B 2

1

D

C 2

2

1

100 kNm

2

100 kNm 44.4 kNm 66.7 kNm

55.6 kNm

33.3 kNm

100 kN

150 kN

200 kN

A

B 2

1

D

C 2

2

55.6 kNm

1

2

33.3 kNm

F1

F2

-55.6 =

33.3

F= K D k11 k12 d1

F1

F2

=

k21

-55.6

k22 d2

7/3 0.5

qB

0.5 7/3

qC

= EI

33.3

-1

qB qC

=

1

7/3 0.5

-55.6

EI

0.5 7/3

33.3

-1

qB qC

=

qB

qC

=

1

7/3 0.5

-55.6

EI

0.5 7/3

33.3

1

EI

-28.18 20.31

Internal forces in beam elements

2 EI q q ( 2 A+ B ) MAB= L 2 EI q ( A+ 2 qB ) MBA= L 2 EI q q ( 2 A+ B ) MAB= M(FER) AB + L 2 EI ( qA+ 2 qB ) MBA= M(FER) BA + L

100 kN

150 kN

200 kN

A

B

2 100 kN

D

C

1

2

2

1

44.4 kNm 66.7 kNm

2 150 kN

33.3 kNm

22.2 kNm

200 kN

Fixed End Reaction (FER) 100 kNm

100 kNm

A 100 kN

B

qB qC

22.2 kNm

=

1 EI

44.4 kNm

2 EI q q ( 2 A+ B ) MAB= M(FER) AB + L = 22.2 + 2/3 (-28.18) = 3.4

2 EI ( qA+ 2 qB ) MBA= M(FER) BA + L = -44.4 + 2/3 (2x-28.18) = - 82

-28.18 20.31

B 200 kN

C

qB qC

100 kNm

=

1

-28.18

EI

20.31

100 kNm

2 EI q q ( 2 B+ C ) MBC= M(FER) BC + L = 100 + 2/4 (2x-28.18+20.31) = 82

2 EI ( qB + 2 qC ) MCB= M(FER) CB + L = -100 + 2/4 (-28.18+2x20.31) = - 93.8

C

150 kN

D

qB qC

66.7 kNm

=

1 EI

33.3 kNm

2 EI q q ( 2 C+ D ) MCD= M(FER) CD + L = 66.7 + 2/3 (2x20.31) = 93.8

2 EI ( qC+ 2 qD ) MDC= M(FER) DC + L = -33.3 + 2/3 (20.31) = - 19.8

-28.18 20.31

MAB= 3.4 MBA= -82

MBC= 82 MCB= -93.8

MCD= 93.8 MDC= -19.8 93.8

82

19.8 3.4

B.M.D

100 kN

150 kN

200 kN

A

B 2 55.8

1 82

D

C 2

2 87.9

1

2

93.8

69.1 19.8

3.4

66.7

200

100

10.9

B.M.D

30.9 112.1

Example 6: Draw B.M.D for the shown beam where EI is shown in figure 100 kN

200 kN

B

A 3 2I

C 5 2I

5 2I

100 kN

250 kN

D 2 I

3 I

E 2 I

Solution Steps of assembly method :

Drive the member local stiffness matrix Local F1

k11

k12

k13

k14

d1

F2

k21

k22

k23

k24

d2

k31

k32

k33

k34

d3

k41

k42

k43

k44

d4

F3 F4

=

d2

d4

d1

d3


L2

6 EI D

D=1`

6 EI D

12 EID L3

L2

F1 =

12 EID L3

F2 = 6 EI D

L2

F3 = - 12 EID

L3

F4 =

6 EI D L2

first column in Local Stiffness matrix

k11

k21

k31

k41

=

12 EID L3 6 EI D L2 -12 EID L3 6 EI D L2

Second column in Local Stiffness matrix d2 =1

4 EI q L

2 EI q L 6 EI q L2

6 EI q L2

F1 =

F2 =

6 EI q L2

4 EI q L

F3 = - 6 EI q L2

F4 =

2 EI q L


6 EI q k12

L2

k22

= k32 k42

4 EI q L 6 EI q L2

- 2 EI q L


6 EI D L2

d3 =1

6 EI D L2

12 EID L3

12 EID L3


-12 EID L3

k13

k23 =

k33

k33

-6 EID L2 12 EID L3

-6 EID L2

F1 =

F2 =

-12 EID L3 -6 EID L2

F3 =

F4 =

12 EID L3 -6 EID L2


2 EI q L

4 EI q L 6 EI q L2

6 EI q L2

F1 =

F2 =

6 EI q L2

2 EI q L

-6 EI D F3= L2 F4 =

4 EI q L

6 EI q -12 EI D 6 EI q 12 EID 2 3 L 2 L L 3 L

K

l

=

6 EI q L2

4 EI q -6 EID 2 EI q 2 L L L -6 EI D 12 EI D -6 EI D -12 EID 2 3 L 2 L L 3 L 2 EI q -6 EID 4 EI q 6 EI q 2 2 L L L L

First element : (B-C )

Start Joint : B

End Joint : C Angle

:0


Is conastant

LAB = 1000 cm

K

K

l

l

=

EI =

K

g

12/L^3

6/L^2

6/L^2

4/L

-12/L^3

6/L^2

6/L^2

2/L

- 12/L^3

6/L^2-

12/L^3

6/L^2-

6/L^2

2/L

-6/L^2

4/L

C

B 0.024

K

l

=

EI

0.12

-0.024

0.12

0.8

-0.12

-0.024

-0.12

0.024

0.12

ِ B

0.4

-0.12

C 0.12

0.4

-0.12

0.8

First element : (C-D )

Start Joint : C

End Joint : D Angle

:0


Is conastant

LAB = 500 cm

K

K

l

l

=

EI

K

g

12/L^3

6/L^2

6/L^2

4/L

-12/L^3

- 6/L^2

- 12/L^3

-6/L^2

6/L^2

2/L

=

6/L^2

2/L

12/L^3

-6/L^2

-6/L^2

4/L

D

C 0.096

K

l

0.24

-0.096

0.24

C =

EI

0.24

-0.096

0.8

-0.24

-0.24

0.096

0.4

-024 D

0.24

0.4

-0.24

0.8

Assembly : C

B 0.024

K

g=

EI

0.12

-0.024

0.12

0.8

-0.12

-0.024

-0.12

0.024

0.12

ِ B

0.4

-0.12

C 0.12

0.4

-0.12

0.8

D

C 0.096

K

g=

0.24

-0.096

0.24

C EI

0.24

-0.096

0.8

-0.24

-0.24

0.096

0.4

-024 D

0.24

0.4

-0.24

0.8

B

0.024

Ks =

EI

0.12

-0.024

0.12

0

0

-0.12

0.4

0

0

. 0 0.12 9 3 7-0.024

0.8

0.12

0.4

0.12

0

0

-0.096

0

0

0.024

K

l

D

C

-0.12

=

0.12

K

g

0.12

-0.096 0.24

1.6

-0.24

B

C

0.4 D

-0.024

0.096 -0.24

0.4

-0.24

0.8

Partition u

K

=

r

Kuu Kur

u

Kru Krr

r

Kuu =

EI

0.8

0.4

0

0.4

1.6

0.4

0

0.4

0.8


P PL 8

PL 8

L P

P a b2 L2

a

b

L

P b a2 L2 128

100 kN

200 kN

B

A 3

C 5

100 kN

250 kN

5

D 2

3

E 2

100 kN

200 kN 200 kNm 100 kN

250 kNm

300 kNm

250 kNm 180 kNm

250 kN

120 kNm

100 kN

200 kN

B

A 3

C 5

100 kN

250 kN

5

D 2

3

E 2 100 kN

200 kN

200 kNm 100 kN

250 kNm 300 kNm

250 kNm 180 kNm

250 kN

Fixed End Action (FEA)

120 kNm

100 kN

200 kN

B

A 3

C 5

5

300 kNm

50 kNm

D 2

250 kNm 250 kNm

100 kN

250 kN

3

E 2

200 kNm

180 kNm 120 kNm

70 kNm

80 kNm

100 kN

200 kN

B

A 3

C 5

5 70 kNm

50 kNm

F1

50

F2 =

70

F3

- 80

100 kN

250 kN

D 2

3

E 2 80 kNm

The stiffness equation

F= K D 50

0.8

70 = EI 0.4 - 80

qB qC qD

0.8

=

1

EI

0 0.4

0

0.4

1.6 0.4

0

0.4 0.8

0.4

qB

0

1.6 0.4

qC

0.4 0.8

qD

-1

50

27.08 1

70 = EI - 80

70.83 - 135.42

qB

qC qD

27.08 1

= EI

70.83

- 135.42


2 EI q q ( 2 A+ B ) MAB= M(FER) AB + L 2 EI ( qA+ 2 qB ) MBA= M(FER) BA + L

100 kN

200 kN

B

A 3

C 5

100 kN

250 kN

5

D 2

3

E 2 100 kN

200 kN

200 kNm 100 kN

250 kNm 300 kNm

250 kNm 180 kNm

250 kN

Fixed End Reaction (FER)

120 kNm

B 200 kN

C

qB qC

250 kNm

250 kNm

qD

27.08 1

70.83

= EI

- 135.42

2 E(2I) q q ( 2 B+ C ) MBC= M(FER) BC + L = 250 + 4/10 (2x27.08+70.83) = 300

2 E(2I) ( qB + 2 qC ) MCB= M(FER) CB + L = -250 + 4/10 (27.08+2x70.83) = - 182.5

B 200 kN

C

qB qC

250 kNm

250 kNm

qD

27.08 1

70.83

= EI

- 135.42

2 E(2I) q q ( 2 B+ C ) MBC= M(FER) BC + L = 250 + 4/10 (2x27.08+70.83) = 300

2 E(2I) ( qB + 2 qC ) MCB= M(FER) CB + L = -250 + 4/10 (27.08+2x70.83) = - 182.5

MBC= 300 MCB= -182.5

MCD= 182.5 MDC= -200

300 182.5

200

A

E

B

C B.M.D

D

100 kN

200 kN

B

A 3

C 5

5 300

D 2

241.25

182.5 500

3

189.5

E 2

200

300

A

E B

B.M.D

100 kN

250 kN

C 258.75

D 110.5

Example 7: Draw B.M.D for the shown beam where EI is constant for all members 240 kN

A

120 kN

B 5

5

C 5

5

12 EID 6 EI q -12 EID 2 3 L L L3 K

l

=

6 EI q L2

4 EI q L

-6 EID L2

2 EI q L

-12 EID -6 EID L3 L2

12 EID L3

-6 EID L2

2 EI q L

-6 EID L2

4 EI q L

6 EI q L2

6 EI q L2

First element : (A-B ) EA

conastant

LAB = 10 m

12 EI L3 6 EI q L2

=0.012EI

4 EI q =0.4 EI L

=0.06 EI

2 EI q =0.2 EI L

A

0.012 EI

B

0.06 EI

0.012 EI

0.06 EI A

K

l

0.06 EI

0.4 EI

0.06 EI

0.2 EI

0.012 EI

0.06 EI

0.012 EI

0.06 EI

=

B

0.06 EI

0.2 EI

0.06 EI

0.4 EI

Second element : ( B-c) EI

conastant

LAB = 10 m

12 EI L3 6 EI q L2

=0.012EI

4 EI q =0.4 EI L

=0.06 EI

2 EI q =0.2 EI L

A

0.012 EI

B

0.06 EI

0.012 EI

0.06 EI A

K

l

0.06 EI

0.4 EI

0.06 EI

0.2 EI

0.012 EI

0.06 EI

0.012 EI

0.06 EI

=

B

0.06 EI

0.2 EI

0.06 EI

0.4 EI

K

l

=

g

K

Assembly :

g

K1

=

0.012 EI

0.06 EI

0.012 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.4 EI

0.06 EI

0.2 EI

0.012 EI

0.06 EI

0.012 EI

0.06 EI

0.06 EI

0.2 EI

0.06 EI

0.4 EI

A

0.012 EI

B

0.06 EI

0.012 EI

0.06 EI A

g

K2

0.06 EI

0.4 EI

0.06 EI

0.2 EI

0.012 EI

0.06 EI

0.012 EI

0.06 EI

=

B

0.06 EI

0.2 EI

0.06 EI

0.4 EI

A

0.012

0.06

B

-0.012

c

0.06

0.0

0.0 A

0.06

K

s

0.4

= EI -0.012 -0.06

-0.06

0.2

0.024

0

0.0

0.0

-0.012 0.06 B

0.06

0.2

0.0

0.8

-0.06

0.2

0.0

0.0

-0.012

-0.06

0.012 -0.06 c

0.0

0.0

0.06

0.2

-0.06

0.4

Partition u

K

=

r

Kuu Kur

u

Kru Krr

r


P

-

PL 8

L

PL 8

240 kN

120 kN

A

B 5

300 kNm

240 kN

5

C 5

300 kNm

150 kNm


5

120 kN

150 kNm

240 kN

120 kN

A

B 5

300 kNm

120

5

C 5

300 kNm 150 kNm

120 60

5 150 kNm

60

F1

120

F2

-300

F3

180

F4

=

150

F5

60

F6

150

120

0.012

0.06

-0.012

0.06

0.0

0.0

d1

-300

0.06

0.4

-0.06

0.2

0.0

0.0

d2

-0.012

-0.06

0.024

0

-0.012

0.06

d3

150

0.06

0.2

0.0

0.8

-0.06

0.2

d4

60

0.0

0.0

-0.012

-0.06

0.012

-0.06

d5

150

0.0

0.0

0.06

0.2

-0.06

0.4

d6

180 = EI

120

0.06

-0.012

0.06

0.0

0.0

d1

-300

0.4

-0.06

0.2

0.0

0.0

d2

-0.06

0.024

0.0

-0.012

0.06

d3

0.2

0.0

0.8

-0.06

-0.06

0.012

180 =EI

150

60

0.0

0.0

-0.012

150

0.0

0.0

0.06

0.2

-0.06

0.2 -0.06

d4 d5

0.4 d6

150

0.8 0.2

qB

0.2 0.4

qC

= EI

150

-1

qB qC

=

1

0.8 0.2

150

EI

0.2 0.4

150

-1

qB qC

=

qB qC

=

1

0.8 0.2

150

EI

0.2 0.4

150

1 EI

107.14 321.43



240 kN

120 kN

A

B 5

300 kNm

240 kN

5

C 5

300 kNm

150 kNm


5

120 kN

150 kNm

A 240 kN

B

qB qC

300 kNm

=

1 EI

107.14

321.43

300 kNm

2 EI q q ( 2 A+ B ) MAB= M(FER) AB + L = 300 + 2/10 (107.14) = 321.4

2 EI ( qA+ 2 qB ) MBA= M(FER) BA + L = -300 + 2/10 (2x107.14) = - 257.1

B 120 kN

C

qB qC

150 kNm

=

1 EI

107.14 321.43

150 kNm

2 EI q q ( 2 B+ C ) MBC= M(FER) BC + L = 150 + 2/10 (2x107.14+321.43) = 257.1

2 EI ( qB + 2 qC ) MCB= M(FER) CB + L = -150 + 2/10 (107.14+2x321.43) = 0

MAB= 321.4 MBA= -257.1

MBC= 257.1 MCB= 0

321.4 257.1

B.M.D

240 kN

120 kN

A

B 5

5 321.4

C 5

5 93.8

289.25

257.1 128.55

600

300

310.75

171.45

B.M.D

Beams with settlement 6 EI D L2 D

6 EI D L2 Fixed End Reaction (FER)

12 EID L3

12 EID L3

Beams with settlement 6 EI D L2 D

12 EID L3 Fixed End Reaction (FER)

12 EID L3

6 EI D L2

Beams with settlement

D


3 EI D L3

3 EI D L3

Beams with settlement

D


3 EI D L3

3 EI D L2

169

Example 8: Draw B.M.D for the shown beam due to the shown loads and vertical downward settlement at support B (2000/EI) and at support C (1000/EI) where EI is constant for all members 240 kN

A

120 kN

B 5

5

C 5

5

From example 7 : K=

0.8

0.2

0.2

0.4

EI

For Loads

240 kN

120 kN

A

B 5

300 kNm

240 kN

5

C 5

300 kNm

150 kNm


5

120 kN

150 kNm

For settlement A

B 5

5 120

5

5

2000

1000

EI

EI

120 6 EIx2000 102 EI

C

6 EIx2000 102 EI

60

6 EIx1000 102 EI


60

6 EIx1000 102 EI


240 kN

A

B 5

For Loads For settlement

Total

120 kN

300 kNm

5 300 kNm

C 5 150 kNm

5 150 kNm

120

120

60

60

420

180

90

210

90 kNm

210 kNm

240 kN

120 kN

A

B 5

5


90 kNm


90 kNm

C 5

5

210 kNm

210 kNm

240 kN

120 kN

A

B 5


5

C 5

90 kNm

F1

F2

210 kNm

90 =

5

210

F= K D k11 k12 d1

F1

F2

=

k21

90

k22 d2

0.8 0.2

qB

0.2 0.4

qC

= EI

210

-1

qB qC

=

1

0.8 0.2

90

EI

0.2 0.4

210

-1

qB qC

=

qB qC

=

1

0.8 0.2

90

EI

0.2 0.4

210

1 EI

-21.43 535.71




240 kN

A

B 5

For Loads For settlement

Total

120 kN

300 kNm

5 300 kNm

C 5 150 kNm

5 150 kNm

120

120

60

60

420

180

90

210

90 kNm

210 kNm

A

B

qB qC

420 kNm

=

1 EI

-21.43 535.71

180 kNm

2 EI q q ( 2 A+ B ) MAB= M(FER) AB + L = 420 + 2/10 (-21.43) = 415.7

2 EI ( qA+ 2 qB ) MBA= M(FER) BA + L = -180 + 2/10 (2x-21.43) = - 188.6

B

C

qB qC

90 kNm

=

1 EI

-21.43 535.71

210 kNm

2 EI q q ( 2 B+ C ) MBC= M(FER) BC + L = 90 + 2/10 (2x-21.43+535.7) = 188.6

2 EI ( qB + 2 qC ) MCB= M(FER) CB + L = -210 + 2/10 (-21.43+2x535.71) = 0

MAB= 321.4 MBA= -257.1

MBC= 257.1 MCB= 0

415.7 188.6

B.M.D

240 kN

120 kN

A

B 5

5 415.7

C 5

5 93.8

302.15 600

188.6 94.3 300

297.85

205.7

B.M.D

Stiffness 9

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