STATISTIKA INFERENSIAL 1

Bahan ajar Statistika Inferensial

BAHAN AJAR

STATISTIKA INFERENSIAL KODE MATA KULIAH MAT 201 ROMBEL 410140-03 410140-04 410140-05 410140-06 410140-07

Semester Gasal 2011/2012

Disusun Oleh Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc.

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang 2011 Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

0


DAFTAR ISI BAB I

PENAKSIRAN PARAMETER 1. Pengertian Penaksiran 2. Menaksir Rata-rata µ 3. Menaksir Proporsi π 4. Menaksir Simpangan Baku σ 5. Menaksir Selisih Rata-Rata 6. Menaksir Selisih Proporsi

BAB II

PENGUJIAN HIPOTESIS 1. Pendahuluan 2. Dua Macam Kekeliruan 3. Langkah Pengujian Hipotesis 4. Uji Hipotesis Rata-Rata 5. Uji Hipotesis Proporsi 6. Uji Hipotesis Varians 7. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata 8. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi 9. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians 10. Uji Homogenitas Varians Populasi

BAB III

ANALISIS VARIANS

BAB IV

ANALISIS REGRESI

BAB V

ANALISIS KORELASI

Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

1


BAB I PENAKSIRAN PARAMETER

1. Pengertian Penaksiran Statistika digunakan untuk menyimpulkan populasi. Kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara sampling

maupun

sensus.

Namun,

karena

berbagai

faktor

untuk

menyimpulkan populasi diambil sebuah sampel yang representatif kemudian berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan mengenai populasi dibuat. Kelakuan populasi yang akan diamati adalah mengenai parameter populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis, nilainilai yang perlu yaitu statistik dihitung dan berdasarkan nilai-nilai statistik dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku. Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter sehubungan dengan caracara menaksir harga parameter. Harga parameter yang sebenarnya tetapi tidak diketahui nilainya tersebut akan ditaksir berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Parameter populasi yang akan ditaksir pada bab ini adalah rata-rata, simpangan baku dan proporsi. Secara umum parameter populasi akan diberi simbol θ (baca: theta). Jadi θ bisa merupakan rata-rata µ , simpangan baku σ , proporsi π dan sebagainya. Jika θ tidak diketahui harganya, ditaksir oleh harga θˆ (baca: theta topi), maka

θˆ dinamakan penaksir. Sangat diharapkan θˆ = θ , yaitu penaksir dapat mengatakan harga parameter θ yang sebenarnya. Namun, keinginan ini dapat dikatakan terlalu ideal. Kenyataan yang sering terjadi adalah: a. menaksir θ oleh θˆ terlalu tinggi, atau Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

2


b. menaksir θ oleh θˆ terlalu rendah.

Kriteria untuk memperoleh penaksir yang baik yaitu: takbias, memiliki varians minimum dan konsisten. a. penaksir θˆ dikatakan penaksir takbias jika rata-rata semua harga θˆ yang

()

mungkin akan sama dengan θ , ditulis E θˆ = θ . Penaksir yang tidak takbias disebut penaksir bias. b. penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil diantara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika θˆ1 dan θˆ2 dua penaksir untuk θ , jika varians θˆ1 < varians θˆ2 , maka θˆ1 merupakan

penaksir bervarians minimum. c. Misalkan θˆ penaksir untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan θˆ mendekati θ , maka θˆ disebut penaksir konsisten. d. Penaksir yang takbias dan bervariansi minimum dinamakan penaksir terbaik. Jika harga parameter θ ditaksir oleh θˆ tertentu, maka θˆ dinamakan penaksir atau tepatnya titik taksiran (estimasi titik).

Misalkan akan ditaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes. Maka diambil sebuah sampel acak, kemudian data sampel dikumpulkan lalu dihitung rata-ratanya. Misalkan diperoleh x = 160 cm. Jika 160 cm ini digunakan untuk menaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes, maka 160 adalah titik taksiran untuk rata-rata tinggi mahasiswa matematika Unnes. Secara umum x adalah penaksir atau titik taksiran untuk µ .


3


Titik taksiran untuk suatu parameter µ , harganya akan berlainan tergantung pada harga x yang diperoleh dari sampel yang diambil, sehingga hasilnya kurang meyakinkan atau kurang dapat dipercaya. Untuk itu digunakan interval taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batas dua harga. Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir, disebut koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang. Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan γ (baca: gamma), maka

0 < γ < 1 . Harga γ yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi dan seberapa besar peneliti ingin yakin dalam membuat kesimpulan. Yang biasa digunakan adalah γ = 0,95 atau γ = 0,99 .

Untuk menentukan interval taksiran parameter

θ

dengan koefisien

kepercayaan γ , diambil sebuah sampel acak lalu hitung nilai statistik yang diperlukan. Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter θ antara A dan B adalah: (I.1)

P( A < θ < B ) = γ

Dengan A dan B fungsi daripada statistik, merupakan variabel acak, tetapi tidak tergantung pada θ . Bentuk (I.1) dapat diartikan: peluangnya sama dengan γ bahwa θ terletak antara A dan B. Jika A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel, maka A dan B akan merupakan bilangan tetap, sehingga pernyataan di atas menjadi: kita merasa 100 γ % percaya bahwa parameter θ akan ada di dalam interval (A, B).


4


2. Menaksir Rata-rata µ

Misalkan dipunyai populasi berukuran N dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ . Dari populasi ini akan ditaksir parameter rata-rata µ . Untuk itu ambil sebuah sampel acak berukuran n, hitung satatistik yang diperlukan yaitu

x dan s . Titik taksiran untuk rata-rata µ adalah x .

Dengan

kata

lain,

nilai µ ditaksir oleh harga x yang diperoleh dari sampel. Untuk memperoleh taksiran yang tinggi derajat kepercayaannya, digunakan interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang dikehendaki. a. Simpangan baku σ diketahui dan populasi berdistribusi normal

Rumus (I.1) menjadi: (I.2)

σ σ ⎞ ⎛ P⎜⎜ x − z 1 γ . < µ < x + z1 γ . ⎟⎟ = γ 2 2 n n⎠ ⎝

Dengan γ = koefisien kepercayaan dan z 1 γ = bilangan z dari tabel normal 2

baku untuk peluang 1 γ . 2 Untuk memperoleh 100 γ % interval kepercayaan parameter µ dapat digunakan rumus: (I.3)

x − z1 γ . 2

σ n

< µ < x + z1 γ . 2

σ n

b. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal

Kenyataannya parameter σ jarang sekali diketahui. Maka rumus (I.2) diganti (I.4)

s s ⎞ ⎛ P⎜⎜ x − t p . < µ < x + tp . ⎟⎟ = γ n n⎠ ⎝

Dengan γ = koefisien kepercayaan dan t p = nilai t dari daftar distribusi Student dengan p = 1 (1 + γ ) dan dk = (n-1). 2


5


Untuk interval kepercayaannya: x − tp .

(I.5)

s s < µ < x + tp . n n

s s dan x + t p . masing-masing merupakan batas bawah n n

Bilangan x − t p .

dan batas atas kepercayaan.

Jika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi N yakni

n > 5 % , maka rumus (I..3) dan rumus (I.5) menjadi: N

(I.6)

x − z1 γ .

σ

2

(I.7)

x −tp .

s n

n

N −n σ < µ < x + z1 γ . 2 N −1 n N −n s < µ < x + tp . N −1 n

N −n N −1

N −n N −1

c. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi normal

Jika ukuran sampel n tidak terlalu kecil, maka dapat digunakan dalil limit pusat. Selanjutnya aturan-aturan yang diuraikan dalam bagian (b) di atas dapat digunakan dengan kekeliruan yang sangat kecil. Jika distribusi populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel kecil sekali, maka teorinya harus dipecahkan menggunakan bentuk distribusi asli dari populasi yang bersangkutan. Hal ini tidak dibicarakan di sini.

Contoh

Sebuah populasi berdistribusi normal berukuran 1000 dengan simpangan baku 5,75. dari populasi diambil sampel acak dan diperoleh rata-rata 68,6. Taksirlah: a. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 30 b. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 80 dengan menggunakan kepercayaan 95% . Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

6


Penyelesaian

Diketahui x = 68,6

σ = 5,75

γ = 95% = 0,95 1 γ = 0,475 Æ z 0, 475 = 1,96 2 a. Sampel n = 30 Æ x − z1 γ .

σ

68,6 − (1,96 ).

< µ < x + z1 γ .

n

2

30 n = ≤ 5% N 1000

σ

2

n

5,75 5,75 < µ < 68,6 + (1,96 ). 30 30

66,54 < µ < 70,66 Jadi,

95%

interval

kepercayaan

untuk

rata-rata

populasi

ialah

66,54 < µ < 70,66 . Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi tersebut akan ada dalam interval dengan batas 66,54 dan 70,66. b. Sampel n = 80 Æ x − z1 γ . 2

68,6 − (1,96 ).

n 80 = ≥ 5% N 1000

σ n

N −n σ < µ < x + z1 γ . 2 N −1 n

N −n N −1

5,75 1000 − 80 5,75 1000 − 80 < µ < 68,6 + (1,96 ). . 30 1000 − 1 30 1000 − 1 68,6 − a < µ < 68,6 + a

Jadi,

95%

interval

kepercayaan

untuk

rata-rata

populasi

ialah

68,6 − a < µ < 68,6 + a . Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi tersebut akan ada dalam interval dengan batas 68,6 − a dan 68,6 + a .


7


3. Menaksir Proporsi

Misalkan sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi binomial berukuran N dimana terdapat proporsi π untuk peristiwa A yang ada dalam populasi tersebut. Jika terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk peristiwa A = x . Jadi titik taksiran untuk π adalah x . n n Digunakan pendekatan oleh distribusi normal kepada binomial untuk ukuran sampel n cukup besar. Rumus 100 γ % keyakinan untuk interval kepercayaan π adalah p − z1 γ .

(I.8)

2

dengan p = x

n

pq < π < p + z1 γ . 2 n

pq n

dan q = 1 − p sedangkan z 1

2

γ

adalah bilangan z yang

diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang 1 γ . 2

Contoh

Diadakan survei terhadap sebuah populasi masyarakat di kota Semarang dengan mengambil sampel 100 orang dan diperoleh yang suka berolahraga sejumlah 60 orang. Dengan koefisien kepercayaan 95%, taksirlah interval kesukaan berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut. Penyelesaian

Diketahui γ = 95% = 0,95 1 γ = 0,475 Æ z 0, 475 = 1,96 2

p=

60 = 0,6 Æ q = 0,4 100

Interval kepercayaan π adalah p − z1 γ . 2

pq < π < p + z1 γ . 2 n


pq n

8


(0,6)(0,4) < π < 0,6 + (1,96). (0,6)(0,4)

0,6 − (1,96 ).

100

100

0,504 < π < 0,696

50,4 % < π < 69,6 % Jadi, kita merasa 95%

yakin (percaya) bahwa persentase kesukaan

berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut akan ada dalam interval dengan batas 50,4 % dan 69,6 %. 4. Menaksir Simpangan Baku σ

Untuk menaksir varians σ 2 dari sebuah populasi, maka perlu dihitung sampel varians s 2 berdasarkan sampel acak berukuran n. (I.9)

s2 =

∑ (x

− x)

2

i

n −1

Varians s 2 adalah penaksir takbias untuk varians σ 2 , tetapi simpangan baku s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku σ . Jadi titik taksiran s

untuk σ adalah bias. Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians σ 2 , maka 100 γ % interval kepercayaan untuk σ 2 ditentukan dengan menggunakan distribusi chi-kuadrat. (I.10)

(n − 1)s 2 χ 12

2

(1+γ )

<σ2 <

(n − 1)s 2 χ 12

2

(1−γ )

dengan n ukuran sampel sedangkan χ 12

(1+γ ) 2

dan χ 12

2

(1−γ )

diperoleh dari daftar

chi-kuadrat berturut-turut untuk p = 1 (1 + γ ) dan p = 1 (1 − γ ) dengan 2 2 dk = (n − 1) .

Interval taksiran simpangan baku σ diperoleh dengan melakukan penarikan akar ketidaksamaan dalam rumus (I.10).


9


Contoh

Dari sebuah populasi yang berdistribusi normal, diambil sampel yang representatif dan diperoleh simpangan baku sebesar 6 dengan ukuran sampel 31. Dengan koefisien kepercayaan 99%, taksirlah interval dari simpangan baku populasi. Penyelesaian

Diketahui n = 31 s=6

γ = 99 % = 0,99 χ 12 χ 12

(1+γ ),dk 2

2

(1−γ ),dk

= χ 12 = χ 12

= χ (20,995 ),(30 ) = 53,7

(1+ 0, 99 ),(31−1) 2

2

(1−0, 99 ),(31−1)

= χ (20,005 ),(30 ) = 13,8

Interval kepercayaan simpangan baku populasi adalah

(n − 1)s 2 < σ 2 < (n − 1)s 2 2 2 χ1

2

χ1

(1+γ )

(31 − 1)(6)2 53,7

(31 − 1)(6)2 53,7

<σ2 <

<σ <

2

(1−γ )

(31 − 1)(6)2 13,8

(31 − 1)(6)2 13,8

4,4846 < σ < 8,8465 Jadi, kita merasa 99% yakin (percaya) bahwa simpangan baku populasi tersebut akan ada dalam interval dengan batas 4,4846 dan 8,8465.

5. Menaksir Selisih Rata-Rata

Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku masing-masing µ1 dan σ 1 untuk populasi pertama, µ 2 dan σ 2 untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah sampel acak dengan ukuran n1 dan n2 dari masing-masing populasi. Rata-rata dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut x1 , s1 dan x 2 , s 2 .


10


Akan ditaksir selisih rata-rata ( µ1 − µ 2 ) . Titik taksiran untuk adalah ( µ1 − µ 2 ) adalah ( x1 − x2 ) . Untuk menaksir selisih rata-rata dibedakan hal-hal berikut: a. Dalam hal σ 1 = σ 2

Jika kedua populasi normal dan memiliki σ 1 = σ 2 = σ

yang besarnya

diketahui, maka 100 γ % interval kepercayaan untuk ( µ1 − µ 2 ) adalah ( x1 − x2 ) − z 1 γ σ

(I.11)

2

dengan z 1

2

γ

1 1 1 1 + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + z 1 γ σ + 2 n1 n2 n1 n2


Jika kedua populasi normal dan memiliki σ 1 = σ 2 = σ tetapi besarnya tidak diketahui, maka perlu tentukan varians gabungan dari sampel yang dinyatakan dengan s 2 . (I.12)

s2 =

(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s2 2 n1 + n2 − 2

Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi Student. Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan ( µ1 − µ 2 ) adalah (I.13)

( x1 − x2 ) − t p .s

1 1 1 1 + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + t p .s + n1 n2 n1 n2

dengan s diperoleh dari rumus (I.12) dan t p diperoleh dari daftar distribusi Student dengan p = 1 (1 + γ ) dan dk = n1 + n2 − 2 . 2

b. Dalam hal σ 1 ≠ σ 2 Untuk populasi normal dengan σ 1 ≠ σ 2 teori di atas tidak berlaku dan teori yang ada hanya bersifat pendekatan.


11


s1 = σ 1 dan s 2 = σ 2 untuk sampel-sampel acak

Dengan memisalkan

berukuran cukup besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal. Rumus interval kepercayaan ditentukan oleh: ( x1 − x 2 ) − z 1

(I.14) dengan z 1

2

γ

2

s12 s 22 + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x 2 ) + z 1 γ 2 n1 n2

γ

s12 s 22 + n1 n2


c. Observasi berpasangan Misalkan populasi pertama memiliki variabel acak X dan populasi kedua dengan variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing µ x dan µ y . Diambil sampel acak dari tiap populasi yang berukuran sama, n1 = n2 = n . Diperoleh data sampel

(x1 , x2 ,K, xn )

dan

( y1 , y 2 ,K, y n ) ,

dan bila data

observasi ini berpasangan maka x1 berpasangan dengan y1 x2 berpasangan dengan y 2

M xn berpasangan dengan y n

Dalam hal berpasangan, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata

µ B = µ x − µ y , dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data yaitu B1 = x1 − y1 , B2 = x 2 − y 2 ,…, Bn = xn − y n .

Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari B1 , B2 ,…, Bn , dihitung rata-rata B dan simpangan baku s B dengan menggunakan

∑B B=

i

n

n∑ B12 − (∑ Bi )

2

dan s B =

n(n − 1)

Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan µ B adalah (I.15)

B − tp.

sB n

< µB < B + t p .

sB n


12


dengan t p diperoleh dari daftar distribusi Student dengan p = 1 (1 + γ ) dan 2 dk = (n − 1) .

Contoh (Sudjana) Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I dilakukan 50 kali yang menghasilkan x 1 = 60,2 dan s12 = 24,7. Cara II dilakukan 60 kali dengan x 2 = 70,4 dan s22 = 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95% mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut.

Penyelesaian Diketahui x 1 = 60,2 ; s12 = 24,7 x 2 = 70,4 ; s22 = 37,2

Dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal. p = 1 (1 + γ ) = 1 (1 + 0,95) = 0,975 ; dk = 50 + 60 − 2 = 108 2 2

Karena kedua populasi normal dan memiliki σ 1 = σ 2 = σ tetapi besarnya tidak diketahui, maka varians gabungan dari sampel adalah

s2 =

(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s2 2 = (50 − 1)(24,7 ) + (60 − 1)(37,2) = 31,53 50 + 60 − 2

n1 + n2 − 2

Maka interval kepercayaan ( x1 − x2 ) − t p .s

1 1 1 1 + < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + t p .s + n1 n2 n1 n2

31,53 31,53 31,53 31,53 + < µ1 − µ 2 < (70,4 − 60,2) + t 0,975;108 . + 50 60 50 60 (70,4 − 60,2) − (1,984 ). (1,08) < µ1 − µ 2 < (70,4 − 60,2) + (1,984 ). (1,08)

(70,4 − 60,2) − t 0,975;108 .

8,06 < µ1 − µ 2 < 12,34

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa selisih rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.

6. Menaksir Selisih Proporsi Misalkan dipunyai dua populasi binomial dengan parameter untuk peristiwa yang sama masing-masing π 1 dan π 2 . secara independen dari tiap populasi Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

13


diambil sebuah sampel acak berukuran n1 dan n2 . Proporsi untuk peristiwa yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah p1 =

x1 x dan p 2 = 2 dengan n1 n2

x1 dan x2 menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan.

Akan ditentukan interval taksiran untuk

(π 1 − π 2 )

dengan menggunakan

pendekatan oleh distribusi normal asalkan n1 dan n2 cukup besar. Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan selisih (π 1 − π 2 ) adalah (I.16)

( p1 − p2 ) − z 1 γ 2

p1 q1 n1

+

p2 q2 n2

< π 1 − π 2 < ( p1 − p 2 ) + z 1

dengan q1 = 1 − p1 dan q 2 = 1 − p 2 sedangkan z 1

2

γ

p1 q1 γ 2

n1

+

p2 q2 n2

diperoleh dari daftar

normal baku untuk peluang 1 γ . 2

Contoh (Sudjana) Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas 500 pemudi dan 700 pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Ternyata diperoleh bahwa 325 pemudi dan 400 menyukai pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95% mengenai perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya.

Penyelesaian Diketahui persentase pemudi yang menyukai pameran p1 =

x1 325 = ×100% = 65% n1 500

persentase pemuda yang menyukai pameran p2 =

x2 400 = × 100% = 57% n2 700

Jadi, q1 = 1 − p1 = 1 − 65% = 35% dan q 2 = 1 − p 2 = 1 − 57% = 43% Maka interval kepercayaan


14


( p1 − p2 ) − z 1 γ 2

(0,65 − 0,57 ) − z 1 .0,95 2

p1 q1 n1

+

p2 q2 n2

< π 1 − π 2 < ( p1 − p 2 ) + z 1

(0,65)(0,35) + (0,57 )(0,43) < π 500

700

1

p1 q1 γ 2

n1

− π 2 < (0,65 − 0,57 ) + z 1

2

.0 , 95

+

p2 q2 n2

(0,65)(0,35) + (0,57)(0,43) 500

(0,65 − 0,57) − (1,96) (0,0284) < π 1 − π 2 < (0,65 − 0,57) + (1,96) (0,0284) 0,024 < π 1 − π 2 < 0,136

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 2,4% dan 13,6%.

LATIHAN 1. Diketahui populasi siswa dengan ukuran 100 Taksirlah rata-rata penguasaan kemampuan bahasa dari populasi tersebut jika: a. diambil sampel secara acak sebanyak 4 siswa dengan penguasaan kemampuan bahasa berikut 60,2 ; 65,4 ; 70,1 dan 72,8 dengan koefisien kepercayaan 95%. b. diambil sampel secara acak sebanyak 10 siswa dengan penguasaan kemampuan bahasa berikut 60,4 ; 55,7 ; 70,2 ; 70,3 ; 60,5 ; 66,6 ; 62,8 ; 63,9 ; 70,1 ; 64,8 dengan koefisien kepercayaan 99%. 2. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138, 175, 152, 149, 148, 200, 182, 164. Jika berat tomat berdistribusi normal, tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata berat tomat. 3. Diketahui dua buah sampel yang diambil dari dua buah populasi. Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45 Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63 Tentukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaan 95 %, jika: a. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar yaitu 9,5. b. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar namun tidak diketahui nilainya. Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

15

700


c. simpangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama.

4. Dari populasi tanaman padi jenis A dan jenis B, diambil sampel tinggi tanaman padi sbb: Sampel I dari padi jenis A : 39,3 ; 45,5 ; 41,2 ; 53 ; 44,2 ; 42,5 ; 63,9. Sampel II dari padi jenis B : 37 ; 42,4 ; 40,1 ; 52,2 ; 41,5 ; 40,8 ; 60,2. Dengan observasi berpasangan tersebut dan interval kepercayaan 95 %,, taksirlah selisih rata-ratanya. 5. Sebuah sampel berukuran 200 lampu yang dihasilkan oleh sebuah mesin produksi menunjukkan 15 buah lampu rusak. Sebuah sampel lain berukuran 100 buah lampu yang dihasilkan oleh mesin kedua mengandung 12 buah lampu yang rusak. Tentukan interval kepercayaan 99% untuk selisih kedua perbandingan.


16


BAB II PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Pendahuluan Sebelumnya telah dipelajari cara-cara menaksir parameter untuk mengambil kesimpulan tentang berapa besar harga parameter. Cara pengambilan kesimpulan yang kedua akan dipelajari adalah melalui pengujian hipotesis. Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan

hal

tersebut

yang

sering

dituntut

untuk

melakukan

pengecekannya. Jika asumsi atau dugaan tersebut dikhususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis disebut hipotesis statistik. Contoh hipotesis a. peluang lahirnya bayi berjenis kelamin laki-laki = 0,5. b. 25 % masyarakat termasuk golongan A. c. Rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp 300.000,00 tiap bulan.

Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar, maka perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis.

2. Dua Macam Kekeliruan Meskipun dalam penelitian hipotesis telah diterima atau ditolak, tidak berarti bahwa telah dibuktikan kebenaran hipotesis. Yang diperlihatkan adalah hanya menerima atau menolak hipotesis saja. Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, yaitu: Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

17


a. Kekeliruan tipe I ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima, b. Kekeliruan tipe II ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Tipe Kekeliruan Ketika Membuat Kesimpulan tentang Hipotesis Kesimpulan Terima Hipotesis Tolak Hipotesis

Keadaan Sebenarnya Hipotesis Benar Hipotesis Salah BENAR SALAH (Kekeliruan tipe II) SALAH BENAR (Kekeliruan tipe II)

Kedua tipe kekeliruan dinyatakan dalam bentuk peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan α (alpha) maka disebut pula kekeliruan α dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan β (beta) dikenal dengan kekeliruan β .

α disebut taraf signifikan (level of significan) atau taraf arti atau sering disebut taraf nyata. Jika α diperkecil, maka β menjadi besar dan demikian sebaliknya. Harga α yang biasa digunakan adalah α = 0,01 atau α = 0,05 . Misalnya, dengan α = 0,05 atau sering disebut taraf nyata (taraf signifikansi) 5%, artinya kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa akan menolak hipotesis yang harusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa telah dibuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti mungkin salah dengan peluang 0,05.

3. Langkah Pengujian Hipotesis Pengujian hipotesis akan membawa pada kesimpulan untuk menerima atau menolak hipotesis. Sehingga terdapat dua pilihan, dimana digunakan perumusan seperlunya agar lebih terperinci dan lebih mudah dalam penentuan di antara dua pilihan tersebut.


18


Hipotesis yang biasa dinyatakan dengan H, perlu dirumuskan dengan singkat dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Agar tampak adanya dua pilihan, maka hipotesis H ini didampingi pernyataan lain yang isinya berlawanan yang disebut dengan hipotesis tandingan (alternatif) yang dinyatakan dengan A. Pasangan hipotesis H dan A, tepatnya H melawan A, akan menentukan kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah penolakan hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering disebut dengan daerah kritis. Bila menguji parameter θ ( θ dapat berupa rata-rata µ , proporsi π , simpangan baku σ , dll), maka: a. Hipotesis mengandung pengertian sama Pengujian sederhana lawan sederhana 1) H : θ = θ 0 A : θ = θ1 dengan θ 0 ,θ1 dua nilai berbeda yang diketahui. Pengujian sederhana lawan komposit 2) H : θ = θ 0 A : θ ≠ θ0 3) H : θ = θ 0 A : θ > θ0 4) H : θ = θ 0 A : θ < θ0

b. Hipotesis mengandung pengertian maksimum (pengujian komposit lawan komposit) H : θ ≤ θ0 A : θ > θ0


19


c. Hipotesis mengandung pengertian minimum pengujian komposit lawan komposit) H : θ ≥ θ0 A : θ < θ0

Berikut

hanya

akan

dipelajari

pengujian

terhadap

hipotesis

yang

perumusannya mengandung pengertian sama atau tidak memiliki perbedaan, disebut hipotesis nol H 0 melawan hipotesis tandingannya H 1 , yang mengandung pengertian tidak sama, lebih besar atau lebih kecil. H 1 harus dipilih dan ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Pasangan H 0 dan H 1 yang telah dirumuskan dituliskan dalam bentuk berikut. ⎧H 0 : θ = θ 0 atau ⎨ ⎩H 1 : θ ≠ θ 0 ⎧H 0 : θ = θ 0 atau ⎨ ⎩H 1 : θ > θ 0

⎧H 0 : θ = θ 0 ⎨ ⎩H 1 : θ < θ 0 Selanjutnya, pilih bentuk statistik yang akan digunakan, apakah z, t, χ 2 , F atau lainnya. Harga statistik yang dipilih dihitung besarnya berdasarkan data sampel yang dianalisis. kriteria pengujian ditentukan berdasarkan pilihan taraf nyata α atau disebut ukuran daerah kritis.

Peran hipotesis tandingan H 1 dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai berikut: 1) Jika H 1 mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik yang digunakan didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah


20


1 α . Karena adanya dua daerah penolakan maka pengujian hipotesis 2 dinamakan uji dua pihak.

Kedua daerah dibatasi oleh d1 dan d2 (pada contoh gambar d1 dinyatakan dengan nilai z = -1,96 dan d2 dinyatakan dengan z = 1,96) yang harganya diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan oleh α . Kriteria yang digunakan: terima H 0 jika harga statistik yang dihitung berdasarkan data penelitian terletak diantara d1 dan d2, selain itu tolak H 0 . 2) Jika H 1 mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi statistik yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .


21


Harga d (pada contoh gambar d dinyatakan dengan nilai z = 1,96) diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan oleh α , menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan H 0 . Kriteria yang digunakan: tolak H 0 jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d, selain itu terima H 0 . Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.

3) Jika H 1 mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kiri. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α . Gambar daerah penerimaan dan penolakan akan sama dengan pada option 2) di atas, namun daerah penolakan terletak disebelah kiri. Kriteria yang digunakan: terima H 0 jika statistik yang dihitung berdasarkan penelitian lebih besar dari d, selain itu tolak H 0 . Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri.

Secara ringkas langkah pengujian hipotesis adalah: 1. Rumuskan hipotesis pengujian yang akan digunakan. 2. Tentukan besarnya taraf nyata α . 3. Tentukan kriteria pengujian. 4. Tentukan nilai statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. 5. Menarik kesimpulan menerima atau menolah H 0 berdasarkan hasil 3 dan 4.

4. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Dua Pihak Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ . Untuk menguji parameter rata-rata µ , diambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik x dan s .


22


a. Dalam hal σ diketahui Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = µ 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 ⎩H 1 : µ ≠ µ 0

dengan µ 0 sebuah harga yang

diketahui. 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika − z 1 Dengan z 1

2

(1−α )

2

(1−α )

< z < z1

2

(1−α )

, selainnya tolak H 0 .

diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang 1 (1 − α ) . 2 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.1)

z=

x − µ0

σ

n

dengan x adalah rata-rata sampel, µ 0 nilai yang diketahui, σ adalah simpangan baku populasi. 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Namun timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut telah berubah. Maka dilakukan pengujian terhadap 50 lampu untuk menentukan hal ini. Ternyata diperoleh rata-ratanya 792 jam. Berdasarkan pengalaman diketahui simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan menggunakan kepercayaan 95% apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.

Penyelesaian Diketahui x = 792 ; n = 50 ; σ = 60


23


Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = 800 ⎧H 0 : µ = µ 0 yaitu ⎨ 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎩H1 : µ ≠ 800 ⎩H 1 : µ ≠ µ 0

2. Taraf signifikansi α = 5%. 3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika − z 1 − z1

Dengan z 1

2

(1−α )

2

2

(1−α )

< z < z1

(1−0, 05 )

2

(1−α )

< z < z1

2

(1−0, 05 )

Æ − 1,96 < z < 1,96

diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

1 (1 − α ) . 2 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil z=

x − µ0

σ

n

=

792 − 800 = −0,94 60 50

5. Kesimpulan : karena z hitung = −0,94 terletak dalam daerah penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ = 800 . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%

hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu masih 800 jam.

b. Dalam hal σ tidak diketahui Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s . Langkah pengujian hipotesis:

⎧H : µ = µ 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 ⎩H 1 : µ ≠ µ 0 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. − t1− 1 α < t < t1− 1 α 2 , selainnya tolak H 0 . 2 Terima H 0 jika


24


Dengan t1− 1

diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

α

2

dengan peluang 1 − 1 α dan dk = n − 1 . 2 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

x − µ0 s n

(II.2)

t=

(II.3)

s2 =

∑ (x

i

− x)

n −1

dengan x adalah rata-rata sampel, µ 0 nilai yang diketahui, s adalah simpangan baku sampel. 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh Untuk contoh sebelumnya (kasus masa hidup lampu pijar), dimisalkan simpangan baku populasi tidak diketahui, dan dari sampel diperoleh s = 55 jam. Selidikilah dengan menggunakan kepercayaan 95% apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.

Penyelesaian Diketahui x = 792 ; n = 50 ; s = 55 Langkah pengujian hipotesis: ⎧H 0 : µ = µ 0 ⎧H : µ = 800 1. Hipotesis pengujian ⎨ yaitu ⎨ 0 ⎩H1 : µ ≠ 800 ⎩H 1 : µ ≠ µ 0

2. Taraf signifikansi α = 5%. 3. Kriteria pengujian. − t1− 1 α < t < t1− 1 α 2 dengan dk = 50 - 1 = 49 2 Terima H 0 jika − t1

2

(1−0, 05 )

< t < t1

2

(1−0, 05 )

Æ − 2,01 < t < 2,01

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil


25


t=

x − µ 0 792 − 800 = = −1,029 55 s 50 n

5. Kesimpulan : karena t hitung = −1,029 terletak dalam daerah penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ = 800 . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%

hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu masih 800 jam.

5. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Satu Pihak Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dan diambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu dihitung statistik x dan s .

Uji Pihak Kanan a. Dalam hal σ diketahui Langkah pengujian hipotesis:

⎧H : µ = µ 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 ⎩H 1 : µ > µ 0 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α , selainnya H 0 diterima. Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang (0,5 − α ) . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.1). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ tidak diketahui Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s .


26


Langkah pengujian hipotesis:

⎧H : µ = µ 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 ⎩H 1 : µ > µ 0 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika t ≥ t1−α , selainnya H 0 diterima. Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student) dengan peluang 1 − α dan dk = n − 1 . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi memiliki varians 2,3. metode baru diusulkan untuk mengganti metode lama jika rata-ratanya per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode akan diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil risiko 5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan labih dari 16 buah. Apakah keputusan yang akan diambil pengusaha?

Penyelesaian Diketahui x = 16,9 ; n = 20 ; σ = 2,3 , µ 0 =16 Langkah pengujian hipotesis: ⎧H 0 : µ = µ 0 ⎧H : µ = 16 1. Hipotesis pengujian ⎨ yaitu ⎨ 0 ⎩H1 : µ > 16 ⎩H 1 : µ ≠ µ 0

2. Taraf signifikansi α = 5%. 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α Æ z 0,5−α = z0,5−0,05 = 1,64


27


4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil

z=

x − µ0

σ

n

=

16,9 − 16 = 2,65 2,3 20

5. Kesimpulan : karena z hitung = 2,65 > z 0,5−α = 1,64 terletak pada daerah kritis maka H 0 ditolak. Jadi, µ > 16 . Sehingga dapat disimpulkan bahwa dengan risiko 5% metode baru dapat menggantikan metode lama.

Uji Pihak Kiri a. Dalam hal σ diketahui Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = µ 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 ⎩H 1 : µ < µ 0 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α , selainnya H 0 diterima. Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang (0,5 − α ) . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.1). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ tidak diketahui Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = µ 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 ⎩H 1 : µ < µ 0

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika t ≤ −t1−α . Terima H 0 jika t > −t1−α . Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

28


Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi Student t dengan peluang 1 − α dan dk = n − 1 .

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh Masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan kaleng tidak sesuai dengan yang tertera pada kemasannya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini, 23 kaleng makanan diteliti secara acak. Dari sampel tersebut diperoleh berat ratarata 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 5%, bagaimanakah pendapat anda mengenai keluhan masyarakat tersebut.

Penyelesaian Diketahui x = 4,9 ; n = 23 ; s = 0,2 ; µ 0 = 5 Langkah pengujian hipotesis dengan varians populasi tidak diketahui: ⎧H : µ = µ 0 ⎧H : µ = 5 yaitu ⎨ 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 ⎩H 1 : µ < 5 ⎩H 1 : µ ≠ µ 0 Jika rata-rata berat makanan kaleng tidak kurang dari 5 ons tentu masyarakat tidak akan mengeluh. 2. Taraf signifikansi α = 5%. 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika t ≤ −t1−α Æ − t1−α = −t1−0,05 = −1,72 dengan dk = 23 - 1 = 22 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil t=

x − µ 0 4,9 − 5 = = −2, ,398 s 0,2 n 23

5. Kesimpulan : karena t hitung = −2,398 < −t1−α = −1,72 terletak pada daerah kritis maka H 0 ditolak. Jadi, µ < 5 . Sehingga dapat disimpulkan penelitian tersebut menguatkan keluhan masyarakat mengenai berat makanan kaleng yang kurang dari berat yang tertera pada kemasan yaitu 5 ons. Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

29


6. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Dua Pihak Misalkan dipunyai populasi binomial dengan proporsi peristiwa A adalah π . Untuk menguji parameter proporsi π , diambil sebuah sampel acak berukuran n dari populasi dan menghitung proporsi sampel peristiwa A sebesar

x . n

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : π = π 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 dengan π 0 sebuah harga yang diketahui. ⎩H 1 : π ≠ π 0

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika − z 1 Dengan z 1

2

(1−α )

2

(1−α )

< z < z1

2

(1−α )



peluang 1 (1 − α ) . 2 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

x −π 0 n (II.4) z = π 0 (1 − π 0 ) dengan x

n

n

adalah proporsi peristiwa A dari sampel dan π 0 adalah

proporsi yang diuji. 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh Akan diuji distribusi jenis kelamin laki-laki dan jenis kelamin perempuan adalah sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang terdiri atas 2.458 laki-laki. Dalam taraf nyata 5%, apakah benar distribusi kedua jenis kelamin tersebut adalah sama.

Penyelesaian Diketahui x = 2.458; n = 4800 ; µ 0 = 0,5


30


Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : π = 0,5 ⎧H 0 : π = π 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ yaitu ⎨ 0 ⎩H1 : π ≠ 0,5 ⎩H 1 : π ≠ π 0


2

(1−α )

< z < z1

(1−0, 05 )

< z < z1

2

2

(1−α )

2

(1−0, 05 )

Æ − 1,96 < z < 1,96

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. z=

x −π 0 n π 0 (1 − π 0 )

= n

− 0,5 4800 = 1,68 0,5(1 − 0,5) 4800

2458

5. Kesimpulan : karena z hitung = 1,68 terletak dalam daerah penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ = 0,5 . Artinya, benar distribusi kedua jenis kelamin

tersebut adalah sama.

7. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Satu Pihak Uji Pihak Kanan Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : π = π 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 ⎩H 1 : π > π 0 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α . Terima H 0 jika z < z 0,5−α . Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(0,5 − α ) . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.4). Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

31


5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Uji Pihak Kiri Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : π = π 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 ⎩H 1 : π < π 0 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α , selainnya terima H 0 . Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(0,5 − α ) . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.4). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh Berbagai media memberitakan bahwa dari seluruh wanita 60% nya suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya. Untuk menyelidiki kebenaran berita tersebut, maka diambil sampel acak 100 orang wanita dan setelah diwawancarai ternyata yang suka menonton sinetron hanya 40 orang. Dengan α = 5%, ujilah kebenaran pernyataan berita tersebut dengan alternatif bahwa wanita suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya kurang dari 60%.

Penyelesaian Diketahui x = 40

n = 100

π 0 = 60% = 0,6 Langkah pengujian hipotesis uji pihak kiri: ⎧H : π = 0,6 ⎧H 0 : π = π 0 yaitu ⎨ 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎩H1 : π < 0,6 ⎩H1 : π < π 0

2. Taraf signifikansi α = 5%. 3. Kriteria pengujian. Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

32


Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α Æ z ≤ − z 0,5−0,005 Æ z ≤ − z 0, 45 Æ z ≤ −1,64 Terima H 0 jika z > − z 0,5−α Æ z > −1,64 z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang (0,5 − α ) . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) x −π 0 n z= π 0 (1 − π 0 )

= n

− 0,6 100 = −4,08 0,6(1 − 0,6 ) 100 40

5. Kesimpulan: karena z hitung = −4,08 < − 1,64 = − z 0,5−α maka H 0 ditolak. Jadi, π < π 0 . Artinya, pemberitaan di media mengenai kesukaan wanita menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya tidak benar.

8. Uji Hipotesis Varians σ 2 : Uji Dua Pihak Pada pengujian rata-rata µ untuk populasi normal diperoleh hal dimana simpangan baku σ diketahui yang umumnya diperoleh dari pengalaman dan untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk itu dimisalkan populasi berdistribusi normal dengan varians σ 2 dan daripadanya diambil sebuah sampel acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya s 2 dihitung dengan rumus: s

2

∑ (x =

i

− x)

n −1

n∑ xi − (∑ xi ) 2

2

atau s = 2

2

n(n − 1)

Langkah pengujian hipotesis:

⎧⎪H 0 : σ 2 = σ 0 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎪⎩H1 : σ 2 ≠ σ 0 2 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika χ 12 α < χ 2 < χ12− 1 α , selainnya tolak H 0 . 2

2


33


Dengan χ 12 α dan χ12− 1 2

α

diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat

2

(

)

dengan dk = n − 1 dan masing-masing peluang 1 α dan 1 − 1 α . 2 2 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.5) χ 2 =

(n − 1)s 2 σ 02

(II.6) s 2 =

∑ (x

− x)

(II.7) s 2 =

n∑ xi − (∑ xi )

2

i

n −1

atau 2

2

n(n − 1)


Contoh

Pada kasus sebelumnya tentang masa hidup lampu, diambil σ = 60 jam dengan ukuran sampel n = 50 diperoleh s = 55 jam. Jika masa hidup lampu berdistribusi normal, benarkah σ = 60 jam dalam taraf nyata 5%. Penyelesaian

Diketahui σ = 60 jam ; n = 50 ; s = 55 jam Langkah pengujian hipotesis: 2 ⎧⎪H 0 : σ 2 = σ 0 2 ⎪⎧H 0 : σ = 3600 yaitu 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎨ ⎪⎩H1 : σ 2 ≠ 3600 ⎪⎩H1 : σ 2 ≠ σ 0 2

2. Taraf signifikansi α = 5%. 3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika χ 12 α < χ 2 < χ12− 1 2

α

dengan dk = n − 1 = 50 − 1 = 49

2

χ 12 .0, 05 < χ 2 < χ12− 1 .0,05 Æ χ 02, 025 < χ 2 < χ 02,975 2

2

32,4 < χ 2 < 71,4

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

χ2 =

(n − 1)s 2 σ

2 0

=

(50 − 1)(3,025) = 41,174 3600


34


5. Kesimpulan : karena χ 2 = 41,174 terletak dalam daerah penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, σ 2 = 3600 . Artinya, benar σ = 60 jam dalam taraf nyata

5%.

9. Uji Hipotesis Varians σ 2 : Uji Satu Pihak Uji Pihak Kanan Langkah pengujian hipotesis: ⎧⎪H 0 : σ 2 = σ 0 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎪⎩H1 : σ 2 > σ 0 2 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika χ 2 ≥ χ12−α , selainnya terima H 0 . Dengan χ12−α diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan dk = n − 1 dan peluang (1 − α ) .

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Uji Pihak Kiri Langkah pengujian hipotesis: ⎧⎪H 0 : σ 2 = σ 0 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎪⎩H1 : σ 2 < σ 0 2

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika χ 2 ≤ χ α2 , selainnya terima H 0 . Dengan χ α2 diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan dk = n − 1 dan peluang α .


35


4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh (Walpole) Seorang pengusaha pembuat baterai menyatakan umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku sama dengan 0,9 tahun. Diambil sampel acak sebesar 10 baterai mempunyai simpangan baku 1,2 tahun. Gunakan taraf nyata 5% untuk menguji apakah σ > 0,81 tahun!

Penyelesaian Diketahui σ 0 = 0,81 tahun ; n = 10 ; s = 1,2 tahun Langkah pengujian hipotesis: ⎧⎪H 0 : σ 2 = σ 0 2 ⎧⎪H 0 : σ 2 = 0,81 yaitu 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎨ ⎪⎩H1 : σ 2 > 0,81 ⎪⎩H1 : σ 2 > σ 0 2

2. Taraf signifikansi α = 5%. 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika χ 2 ≥ χ12−α , selainnya terima H 0 .

χ 12 .0,05 = 16,919 dengan dk = n − 1 = 10 − 1 = 9 2


χ2 =

(n − 1)s 2 σ

2 0

=

(10 − 1)(31,44) = 16,0 0,81

5. Kesimpulan : karena χ 2 = 16 < χ 12

2

.0 , 05

= 16,919 terletak dalam daerah

penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, σ 2 = 0,81 . Artinya, tidak ada alasan meragukan bahwa simpangan baku umur baterai adalah 0,9 tahun.

10. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Dua Pihak Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua populasi. Misalnya membandingkan hasil belajar, daya kerja suatu obat, dsb. Maka


36


akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya selisih rata-rata dan selisih proporsi. Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku masing-masing µ1 dan σ 1 untuk populasi pertama, µ 2 dan σ 2 untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah sampel acak dengan ukuran n1 dan n2 dari masing-masing populasi. Rata-rata dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut x1 , s1 dan x 2 , s 2 . Akan diuji tentang rata-rata µ1 dan µ 2 .

a. Dalam hal σ 1 = σ 2 = σ dan σ diketahui Langkah pengujian hipotesis: ⎧H 0 : µ1 = µ 2 a. Hipotesis pengujian ⎨ ⎩ H 1 : µ1 ≠ µ 2 b. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . c. Kriteria pengujian. − z 1 (1−α ) < z < z 1 (1−α ) 2 2 , selainnya tolak H 0 . Terima H 0 jika

Dengan z 1

2

(1−α )


peluang 1 (1 − α ) . 2 d. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.8)

x1 − x 2

z=

σ

1 1 + n1 n2

e. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σ 1 = σ 2 = σ tetapi σ tidak diketahui Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = µ 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 ⎩ H 1 : µ1 ≠ µ 2

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

37


3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika − t1− 1 Dengan t1− 1

α

2

< t < t1− 1 α , selainnya tolak H 0 . 2

diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

α

2

dengan peluang 1− 1 α dan dk = n1 + n2 − 2 . 2 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.9)

x1 − x2

t= s

(II.10)

s2 =

1 1 + n1 n2

(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 2


Contoh (Sudjana) Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui makanan mana yang lebih baik bagi ayam. Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi makanan B. Hasil percobaan pertambahan berat badan ayam (ons) sebagai berikut Makanan A

3,1

3,0

3,3

2,9

2,6

3,0

3,6

2,7

3,8

4,0

Makanan B

2,7

2,9

3,4

3,2

3,3

2,9

3,0

3,0

2,6

3,7

3,4

Bila populasinya dianggap normal, ujilah pada taraf nyata 5%, apakah kedua makanan tersebut sama baiknya atau tidak!

Penyelesaian Diketahui dari data di atas x A = 3,22 ; x B = 3,07 ; s A2 = 0,1996 ; s B2 = 0,1112. Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun sama besar. Langkah pengujian hipotesis dalam hal σ 1 = σ 2 = σ tetapi σ tidak diketahui ⎧H : µ = µ 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 ⎩H1 : µ1 ≠ µ 2

2. Taraf signifikansi α = 5%. Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

38


3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika − t1− 1 − t1− 1

α

2

< t < t1− 1

α

2

α

2

< t < t1− 1

Æ − t1− 1

α

2

.0 , 05 2

dengan dk = n1 + n2 − 2 = 11 + 10 − 2 = 19 < t < t1− 1

2

.0 , 05

Æ − 2,09 < t < 2,09

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. Simpangan baku gabungan s 2 = t=

(n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 2

diperoleh s = 0,397.

x1 − x2 3,22 − 3,07 = = 0,862 1 1 1 1 (0,397 ) + s + n1 n2 11 10

5. Kesimpulan : karena − 2,09 < t hitung = 0,862 < 2,09 terletak dalam daerah penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ1 = µ 2 . Artinya, kedua macam makanan tersebut memberikan pertambahan berat badan ayam yang sama, sehingga kedua makanan tersebut sama baiknya.

c. Dalam hal σ 1 ≠ σ 2 dan keduanya tidak diketahui Untuk kasus ini belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan. Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik t′ .

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = µ 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 ⎩ H 1 : µ1 ≠ µ 2

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika −

w1t1 + w2 t 2 w t + w2 t 2 < t′ < 1 1 , untuk harga t yang w1 + w2 w1 + w2

lain H 0 ditolak. Dengan w1 =

s12 s2 ; w2 = 2 n1 n2

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) dan t 2 = t (1− 1 α ),(n −1) 1 2 2 2 Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

39


t β ,m diperoleh dari daftar distribusi Student dengan peluang β dan dk = m .

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.11)

t′ =

x1 − x2 s12 s 22 + n1 n2


Contoh (Sudjana) Suatu barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah kedua proses itu menghasilkan barang yang sama kualitasnya ditinjau dari ratarata daya tekannya. Maka diadakan percobaan sebanyak 20 kali masing-masing dari hasil proses pertama maupun kedua. Diperoleh informasi x1 = 9,25 kg ; x2 = 10,4 kg ; s1 = 2,24 kg ; s2 = 3,12 kg. Bila populasinya dianggap normal dengan varians kedua populasi tidak sama, dengan taraf nyata 5%, ujilah bagaimana hasilnya!

Penyelesaian Diketahui x1 = 9,25 kg ; x2 = 10,4 kg ; s1 = 2,24 kg ; s2 = 3,12 kg. Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun sama besar. Langkah pengujian hipotesis dalam hal σ 1 ≠ σ 2 dan keduanya tidak diketahui 1. Hipotesis pengujian

⎧H 0 : µ1 = µ 2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan ⎪ kualitas rata - rata daya tekan yang sama ⎪ ⎨ ⎪H1 : µ1 ≠ µ 2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan ⎪⎩ kualitas rata - rata daya tekan yang berbeda 2. Taraf signifikansi α = 5%. 3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika −

w1t1 + w2 t 2 w t + w2 t 2 < t′ < 1 1 w1 + w2 w1 + w2


40


w1 =

s12 5,0176 s 2 9,7344 = = 0,2509 ; w2 = 2 = = 0,4867 n1 n2 20 20

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) == t (1− 1 .0,05 ),(20−1) = t 0,975;19 = 2,09 1 2 2 t 2 = t (1− 1 α ),(n −1) = t (1− 1 .0,05 ),(20−1) = t 0,975;19 = 2,09 2 2 2

Sehingga − −

w1t1 + w2 t 2 w t + w2 t 2 < t′ < 1 1 w1 + w2 w1 + w2

(0,2509)(2,09) + (0,4867 )(2,09) < t ′ < (0,2509)(2,09) + (0,4867 )(2,09) (0,2509) + (0,4867 ) (0,2509) + (0,4867 ) − 2,09 < t ′ < 2,09


t′ =

x1 − x2 s12 s22 + n1 n2

=

9,25 − 10,4 = 1,339 5,0176 9,7344 + 20 20

5. Kesimpulan : karena

− 2,09 < t ′ = 1,339 < 2,09

terletak dalam daerah

penerimaan H 0 maka H 0 diterima. Jadi, µ1 = µ 2 . Artinya, kedua proses menghasilkan barang dengan kualitas yang sama baiknya. d. Observasi berpasangan

Untuk observasi berpasangan, maka diambil µ B = µ x − µ y . Jika B1 = x1 − y1 , B2 = x2 − y 2 ,…, Bn = xn − y n , maka data B1 , B2 ,…, Bn menghasilkan rata-rata B dan simpangan baku s B .

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 B ⎩H 1 : µ B ≠ 0

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika − t1− 1

α

2

< t < t1− 1 α , selainnya tolak H 0 . 2


41


Dengan t1− 1

diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang

α

2

1 − 1 α dan dk = n − 1 . 2

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil. (II.12)

t=

B sB n


11. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Satu Pihak

Serupa dengan uji dua pihak, pada uji satu pihak juga dimisalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing

µ1 dan µ 2 dan simpangan baku σ 1 dan σ 2 . Uji Pihak Kanan a. Dalam hal σ 1 = σ 2

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = µ 2 1) Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 ⎩ H 1 : µ1 > µ 2

2) Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3) Kriteria pengujian. Terima H 0 jika t < t1−α , dan tolak H 0 untuk harga t yang lain. Dengan dk = n1 + n2 − 2 dan peluang (1 − α ) dari daftar distribusi t. 4) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10). 5) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4. b. Dalam hal σ 1 ≠ σ 2

Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik t′ .


42


Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = µ 2 a) Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 ⎩ H 1 : µ1 > µ 2

b) Tentukan besarnya taraf signifikansi α . c) Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika t ′ ≥ Dengan w1 =

w1t1 + w2 t 2 , dan terima H 0 jika terjadi sebaliknya. w1 + w2

s12 s2 ; w2 = 2 n1 n2

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) dan t 2 = t (1− 1 α ),(n −1) 1 2 2 2

Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah (1 − α ) sedangkan derajat kebebasannya masing-masing (n1 − 1) dan (n2 − 1) . d) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t ′ yang sama dengan rumus (II.11). e) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4. c. Observasi berpasangan

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 B ⎩H 1 : µ B > 0 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika t ≥ t1−α , selainnya terima H 0 . Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang 1 − α dan dk = n − 1 . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.12). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.


43


Uji Pihak Kiri a. Dalam hal σ 1 = σ 2 dan keduanya tidak diketahui

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = µ 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 ⎩ H 1 : µ1 < µ 2

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika t ≤ −t1−α , dan terima H 0 untuk harga t yang lain. Dengan t1−α diperoleh dari daftar distribusi t dengan dk = n1 + n2 − 2 dan peluang (1 − α ) . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4. b. Dalam hal σ 1 ≠ σ 2

Pendekatan yang diggunakan adalah statistik t ′ . Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = µ 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 ⎩ H 1 : µ1 < µ 2 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika t ′ ≤ −

w1t1 + w2 t 2 , dan terima H 0 jika terjadi w1 + w2

sebaliknya. Dengan w1 =

s12 s2 ; w2 = 2 n1 n2

t1 = t (1− 1 α ),(n −1) dan t 2 = t (1− 1 α ),(n −1) 1 2 2 2

Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah (1 − α ) sedangkan derajat kebebasannya masing-masing (n1 − 1) dan (n2 − 1) . Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

44


4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t ′ yang sama dengan rumus (II.11). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4. c. Observasi berpasangan

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : µ = 0 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 B ⎩H 1 : µ B < 0 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika t ≤ −t (1−α ),(n −1) , dan terima H 0 untuk t > −t (1−α ),(n−1) . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.12). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

12. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Dua Pihak

Misalkan dipunyai dua populasi binomial yang di dalamnya didapat proporsi peristiwa A sebesar π 1 dan π 2 . Secara independen dari tiap populasi diambil sebuah sampel acak berukuran n1 dan n2 . Proporsi untuk peristiwa yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah

x1 x dan 2 . n1 n2

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : π = π 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 ⎩H 1 : π 1 ≠ π 2

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika − z 1 Dengan z 1

2

(1−α )

2

(1−α )

< z < z1

2

(1−α )



peluang 1 (1 − α ) . 2 Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

45


4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan pendekatan distribusi normal. x1 z=

(II.13)

dengan p =

n1

− x2

n2

⎧1 1 ⎫ pq ⎨ + ⎬ ⎩ n1 n2 ⎭

x1 + x2 dan q = 1 − p n1 + n2


Contoh

Di kecamatan Semarang Barat dari 250 siswa SD, 150 orang suka matematika. Di kecamatan Gunungpati dari 300 siswa SD, 162 orang suka matematika. Dengan α = 5%, ujilah adakah perbedaan yang signifikan tentang kesukaan matematika di kedua kecamatan tersebut. Penyelesaian

Diketahui x1 = 150

n1 = 250

X2 = 162

n2 = 300

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : π = π 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 ⎩H 1 : π 1 ≠ π 2


2

(1−α )

< z < z1

(1−0, 05 )

< z < z1

2

2

(1−α )

2

(1−0, 05 )

− 1,96 < z < 1,96 z1

2

(1−α )

dari daftar distribusi normal baku dengan peluang 1 (1 − α ) . 2

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)

p=

x1 + x2 150 + 162 = = 0,5673 n1 + n2 250 + 300


46


q = 1 − p = 1 − 0,5673 = 0,4327 x1 z=

n1

− x2

n2

⎧1 1⎫ pq ⎨ + ⎬ ⎩ n1 n2 ⎭

=

150

250

− 162

300 = 1,43 1 ⎫ ⎧ 1 (0,5673)(0,4327 )⎨ + ⎬ ⎩ 250 300 ⎭

5. Kesimpulan: karena −1,96 < z hitung = 1,43 <1,96 maka H 0 diterima. Jadi,

π 1 = π 2 . Artinya tidak ada perbedaan yang signifikan kesukaan

matematika di kecamatan Semarang Barat maupun di kecamatan Gunungpati.

13. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Satu Pihak Uji Pihak Kanan

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : π = π 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 ⎩H 1 : π 1 > π 2

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α dan Terima H 0 jika z < z 0,5−α . Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(0,5 − α ) . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.13). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4. Uji Pihak Kiri

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H 0 : π 1 = π 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎩H 1 : π 1 < π 2 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian.


47


Tolak H 0 jika z ≤ − z 0,5−α , dan terima H 0 jika z > − z 0,5−α . Dengan z0,5−α diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

(0,5 − α ) . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.13). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh (Sudjana)

Terdapat dua kelompok A dan B, masing-masing terdiri atas 100 pasien yang menderita suatu penyakit. Kepada kelompok A diberika obat tertentu sedangkan pada kelompok B tidak. Dalam waktu 1 bulan, terdapat 80 orang yang sembuh dari kelompok A dan 68 orang yang sembuh dari kelompok B. Dengan α = 1%, ujilah adakah penelitian dengan pemberian obat ini membantu menyembuhkan penyakit! Penyelesaian

Diketahui xA = 80

nA = 100

xB = 68

nB = 100

Langkah pengujian hipotesis: ⎧H : π = π B 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 A ⎩H1 : π A > π B

2. Taraf signifikansi α = 5%. 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika z ≥ z 0,5−α dan Terima H 0 jika z < z 0,5−α . z 0,5−α = z 0,5−0,05 = 1,64 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)

p=

x A + xB 80 + 68 = 0,74 = n A + nB 100 + 100

q = 1 − p = 1 − 0,74 = 0,26


48


xA z=

nA

− xB

nB

⎧1 1⎫ pq ⎨ + ⎬ ⎩ n A nB ⎭

=

− 68 100 = 1,94 1 ⎫ ⎧ 1 (0,74)(0,26)⎨ + ⎬ ⎩100 100 ⎭ 80

100

5. Kesimpulan: karena z hitung = 1,94 > 1,64 maka H 0 ditolak. Jadi, π A > π B . Artinya, pada taraf 5%, pemberian obat dapat membantu penyembuhan penyakit. Bagaimanakah bila penelitian ini diuji dengan taraf nyata 1%, apakah masih memberikan hasil yang sama dengan kesimpulan di atas!

14. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians: Uji Dua Pihak

Ketika menaksir selisih rata-rata dan menguji kesamaan atau perbedaan dua rata-rata ditekankan asumsi bahwa kedua populasi memiliki varians yang sama agar menaksir dan menguji bisa dilakukan. Dalam hal varians yang berbeda, hingga saat ini hanya digunakan cara pendekatan. Oleh karena itu, maka perlu dilakukan pengujian mengenai kesamaan dua varians atau lebih. Populasi-populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi dengan varians yang homogen. Bila populasi tersebut memiliki varians yang berbeda disebut populasi dengan varians yang heterogen.

Berikut akan dilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua populasi. Misalkan dipunyai dua populasi normal dengan varians σ 1 dan σ 2 . 2

2

Langkah pengujian hipotesis: ⎧⎪H : σ 2 = σ 2 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ 0 1 2 ⎪⎩H1 :: σ 1 ≠ σ 2 2 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika F(1− 1 α ),(n −1,n −1) < F < F1 (n −1,n −1) , selainnya tolak H 0 . 1 2 2 2 2α 1 Dengan Fβ (m,n ) diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang β dan dk pembilang m dan dk penyebut n. Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

49


4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil jika sampel dari populasi pertama berukuran n1 dengan variansi s12 dan sampel dari populasi kedua berukuran n2 dengan variansi s 22 . 2

F=

(II.14)

s1 s22

Statistik lain yang digunakan

F=

(II.15)

Varians terbesar Varians terkecil

Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika F ≥ F1 Dengan F1

α (v1 ,v2 )

2

α (v1 ,v2 )

.

2

diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang 1 α 2

dan derajat kebebasan v1 dan v2. 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh

Dari dua populasi siswa diukur hasil prestasi belajar siswa. Dari populasi pertama 2

diukur 10 orang siswa ternyata s1 = 24,7. Dari populasi kedua diukur 13 siswa ternyata s2 = 37,2. Dengan α = 10%, ujilah apakah kedua populasi tersebut 2

homogen. Penyelesaian 2

Diketahui s1 = 24,7 n1 = 10 2

s2 = 37,2 n2 = 13 Langkah pengujian hipotesis: ⎧⎪H 0 : σ 1 = σ 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎪⎩H1 :: σ 12 ≠ σ 2 2 2

2

2. Taraf signifikansi α = 10%. 3. Kriteria pengujian. Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

50


Terima H 0 jika F(1− 1 α ),(n −1,n −1) < F < F1 (n −1,n −1) 1 2 2 2 2α 1 F(1− 1

2

(0,1)),(10−1,13−1)

< F < F1

2

(0,1),(10−1,13−1)

F0,95,(9,12 ) < F < F0,05,(9,12 ) 1

F0, 05,(9,12 )

< F < F0,05,(9,12 )

1 < F < 2,80 3,07 0,3257 < F < 2,80 Dengan Fβ (m,n ) diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang β dan dk pembilang m dan dk penyebut n.

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) 2

s1 24,7 = = 0,664 2 s2 37,2

F=

5. Kesimpulan: karena 0,3257 < Fhitung = 0,664 < 2,80 maka H 0 diterima. Jadi, σ 1 = σ 2 . Artinya kedua varians populasi sama atau kedua populasi 2

tersebut homogen.

Bila digunakan statistik lain

Varians terbesar 37,2 = = 1,506 Varians terkecil 24,7

F=

Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika F ≥ F1 Dengan F1

α (v1 ,v2 )

2

α (v1 ,v2 )

2

Æ F ≥ F1

2

(0,1)(12, 9 )

= 3,07 .

diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang 1 α dan 2

derajat kebebasan v1 dan v2. Kesimpulan: karena Fhitung = 1,506 < 3,07 maka H 0 diterima. Jadi, σ 1 = σ 2 . Artinya kedua varians populasi sama atau kedua populasi tersebut 2

homogen. Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

51


15. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians: Uji Satu Pihak Uji Pihak Kanan

Langkah pengujian hipotesis: ⎧⎪H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎪⎩H1 :: σ 1 2 > σ 2 2 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika F ≥ Fα (n1 −1,n2 −1) , selainnya terima H 0 . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik yang sama dengan rumus (II.14) 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4. Uji Pihak Kiri

Langkah pengujian hipotesis: ⎧⎪H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 1. Hipotesis pengujian ⎨ ⎪⎩H1 :: σ 1 2 < σ 2 2 2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 3. Kriteria pengujian. Tolak H 0 jika F < F(1−α )(n1 −1,n2 −1) , selainnya terima H 0 . 4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil menggunakan statistik yang sama dengan rumus (II.14). 5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

16. Uji Homogenitas Varians Populasi

Berikut merupakan perluasan untuk menguji kesamaan k buah (k ≥ 2) varians populasi yang berdistribusi normal. Misalkan dipunyai k

(k ≥ 2)

buah populasi berdistribusi independen dan

normal massing-masing dengan varians σ 12 , σ 22 ,K, σ k2 .


52


Akan diuji hipotesis ⎧H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 = K = σ k 2 ⎨ ⎩H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku berdasarkan sampel acak yang diambil dari setiap populasi. Terdapat beberapa metode untuk melakukan pengujian homogenitas varians populasi, antara lain uji Bartlett.

LATIHAN

1. Pengusaha ban mobil X mengatakan bahwa produksi bannya tahan pakai dalam pemakaian mobil sejauh 80.000 km. Timbul dugaan bahwa masa pakai ban telah berubah, untuk menentukan hal ini dilakukan penelitian dengan cara menguji 50 ban dan diperoleh rata-rata pemakaian 79.200 km. Dari pengalaman diketahui simpangan baku mas apakai ban 6000 km dengan taraf nyata 5%. Selidiki apakah kualitas ban tersebut telah berubah atau belum! 2. Diambil sampel sebanyak 20 mahasiswa FMIPA dengan nilai matematika sbb: 65, 66, 67, 60, 62, 64, 70, 72, 60, 62, 63, 64, 65, 65, 66, 65, 64, 64, 63, 65. Dengan menggunakan taraf signifikansi α = 5% dan α = 1%, ujilah hipotesis yang mengatakan bahwa rata-rata penguasaan matematika mahasiswa FMIPA adalah 65. 3. Ujilah apakah ada perbedaan yang signifikan (berarti) dari prestasi hasil belajar siswa dengan penerapan dua metode pembelajaran yang berbeda yaitu Metode A dan Metode B. Diketahui informasi dari sampel yang diberi Metode A yaitu n = 30 dan x = 60. Sedangkan dari sampel yang diberi Metode B dengan n = 32 dan x = 62. Dan diketahui dari pengalaman bahwa σ 1 = σ 2 =6 dan α = 5%. 4. Dua jenis makanan ternak A dan B diberikan pada sapi secara terpisah dalam jangka waktu tertentu. Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik untuk ternak tersebut, untuk itu diambil sampel 11 ekor sapi diberi makanan A


53


dan 10 ekor sapi lain diberi makanan B. Setelah pemberian makanan ternak tersebut dalam waktu 1 minggu, dicatat pertambahan berat sapi (dalam kg) sbb: Makanan A : 3,4 4,0 3,8 2,7 3,6 3,0 2,6 2,9 3,3 3,0 3,1 Makanan B : 3,7 2,6 3,0 3,0 2,9 3,3 3,2 3,4 2,9 2,7 Dengan α = 5%, tentukan apakah kedua jenis makanan ternak tersebut sama baiknya jika diasumsikan: a. Simpangan baku pertambahan berat badan dari dua populasi sama tapi tidak diketahui. b. Simpangan baku pertambahan berat badan dari dua populasi tidak sama tidak diketahui. 5. Dilakukan penelitian untuk menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan kemampuan pegawai pria dan wanita dalam bidang elektronika. Berdasarkan sampel yang diambil secara acak, dan setelah ditest diperoleh kemampuan pegawai pria (X1) dan kemampuan pegawai wanita (X2) sebagai berikut: X1

: 70 80 76 40 80 70 90 99 60 50 76 41 72 90 50

X2

: 70 70 90 40 90 80 70 40 50 90 70 40 72 80 42

Buktikan hipotesis tersebut dengan α = 5%! 6. Diadakan eksperimen pembelajaran matematika dengan Model I dan Model II. Digunakan sampel berpasangan sejumlah 12 pasang. Setelah dilakukan eksperimen diperoleh hasil tes matematika sbb: Model I

60 64

52 70 53 100

20 40

30 45 66 65

Model II

58 62

54 70 50 96

22 38

35 42 65 66

Dengan α = 5%, ujilah apakah rata-rata hasil belajar dari kedua populasi tersebut sama atau berbeda secara signifikan!


54


BAB III ANALISIS VARIANS

Analisis varians (ANAVA) atau analysis of variance (ANOVA) adalah suatu teknik statistik yang memungkinkan untuk mengetahui apakah dua atau lebih mean populasi bernilai sama dengan menggunakan sampel dari masing-masing populasi yang diuji. Analisis varians merupakan teknik analisis yang fungsinya hampir sama dengan teknik t-tes, yaitu untuk menguji perbedaan mean (rata-rata) dari sampel. Kelebihan analisis varians dibandingkan dengan uji-t dalam rancangan penelitian eksperimen adalah dalam menguji beda mean analisis varians tidak hanya terbatas pada mean dua sampel namun dapat digunakan untuk menguji kesamaan atau perbedaan antar rata-rata dari k buah (k > 2) populasi yang berdistribusi normal.

Dasar pemikiran penggunaan analisis varians adalah bahwa varians total semua subjek dalam suatu eksperimen dapat dianalisis dari dua sumber, yaitu variansi antar kelompok dan variansi di dalam kelompok.

Asumsi dasar dari analisis varians adalah sebagai berikut: Populasi yang diamati memiliki distribusi normal. Pengambilan sampel dilakukan secara acak dan setiap sampel independen/tidak terikat sampel yang lain. Populasi-populasi dimana nilai sampel diperoleh memiliki varians populasi yang sama atau dapat ditulis σ 12 , = σ 22 = K = σ k2 dengan k jumlah populasi.

Dikenal beberapa jenis varians sampel s 2 , salah satunya dihitung dengan rumus s

2

∑ (x =

i

− x)

n −1

2

dan varians populasi adalah σ 2 .

Varians untuk sekumpulan data ini melukiskan derajat perbedaan atau variansi nilai data individu yang ada dalam kelompok atau kumpulan data tersebut.


55


Variansi ini dihitung dari nilai rata-rata kumpulan data. Selain itu dikenal pula varians sampling berbagai statistik, untuk rata-rata diberi lambang σ x2 , untuk proporsi dengan lambang σ x2 , dan sebagainya. n

Langkah-langkah Analisis varians adalah sebagai berikut: 1. Rumuskan hipotesis nol ( H 0 ) dan hipotesis tandingannya ( H 1 ).

H 0 : mean k populasi (k > 2 ) yang berdistribusi normal adalah sama. H 1 : diantara k populasi (k > 2 ) terdapat mean populasi yang berbeda.

(minimum ada satu tanda sama dengan tidak berlaku) Atau secara matematis

H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 =K = µ k H 1 : µ1 ≠ µ 2 = µ 3 =K = µ k

µ1 = µ 2 ≠ µ 3 =K ≠ µ k µ1 ≠ µ 2 ≠ µ 3 ≠ K ≠ µ k

2. Ambil sampel acak dari k buah (k > 2 ) populasi sbb: Sampel I x11

Sampel II x12

Sampel III x13

... ...

Sampel k x1k

x 21

x 22

x 23

...

x 2k

x 31

x 32

x 33

...

x 3k

M x n1

M x n2

M x n3

... ...

M x nk

x1

x2

x3

...

xk

3. Tentukan besarnya taraf signifikansi α . 4. Gunakan statistik F (Fisher)

Fhitung =

VAM var ians antar means = VDK var ians dalam kelompok n∑ (x j − x ) k

VAM = σ 2 = nS x2 =

2

j =1

k −1

, dk = k − 1


56


∑∑ (x n

VDK =

− xj )

k

i =1 j =1

2

ij

k (n − 1)

Dengan x mean dari semua mean sampel

x j mean sampel ke-j, j = 1, 2, ..., k xij nilai data observasi ke-i dari sampel ke-j

5. Kriteria pengujian. Terima H 0 jika Fhitung ≤ Fα ;(k −1,k (n−1)) . Tolak H 0 jika Fhitung > Fα ;(k −1,k (n−1)) . 6. Mengambil kesimpulan berdasarkan hasil 4 dan 5. 7. Jika H 0 diterima maka pengujian berakhir. Jika H 0 ditolak, analisis dilanjutkan dengan Uji Lanjut salah satunya dengan menggunakan Uji LSD 1 (Least Significant Different). 2

LSD

1 1− α 2

Sd =

= t1− 1

α ,k ( n −1)

2

α

. Sd

s2 s2 + , s 2 = VDK ni n j

Kriteria pengujian Uji lanjut LSD

1 1− α 2

Bandingkan antara xi dan x j : xi ≠ x j jika d ij = xi − x j > LSD

1 1− α 2

.

Contoh

Diterapkan model pembelajaran dengan 3 metode, kemudian dilakukan tes dan diperoleh skor hasil tes sbb: Sampel ke1 2 3 4

Metode I

Metode II

Metode III

25 29 28 30

22 25 24 25

22 21 26 23


57


a. Dengan anava selidikilah apakah ada perbedaan diantara tiga mean skor hasil belajar dengan ketiga metode tersebut. b. Bila terdapat perbedaan, dengan uji lanjut selidikilah model pembelajaran yang manakah yang terbaik. Gunakan α = 5%. Penyelesaian

Diketahui x1 = 28 x2 = 24 x3 = 23

x = 25 Langkah-langkah Analisis varians: Merumuskan hipotesis uji H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 H 1 : paling sedikit ada satu tanda sama dengan tidak berlaku.

Sampel acak dari 3 buah populasi seperti tertera pada soal di atas. Taraf signifikansi α = 5%.. Gunakan statistik F (Fisher) n∑ (x j − x ) k

j =1

VAM =

k −1

∑∑ (x n

=

k

i =1 j =1

VDK =

=

2

ij

=

{

}

4 (28 − 25) + (24 − 25) + (23 − 25) = 28 3 −1 2

2

2

− xj )

2

k (n − 1)

⎧⎪⎡(25 − 28)2 + (29 − 28)2 ⎨⎢ 2 2 ⎪⎩⎢⎣(28 − 28) + (30 − 28)

2 2 + ⎤ ⎡(22 − 28) + (25 − 28) ⎥+⎢ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣(24 − 28) + (25 − 28) 3(4 − 1)

2 2 + ⎤ ⎡(22 − 28) + (21 − 28) + ⎤ ⎫⎪ ⎥+⎢ ⎥⎬ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣(26 − 28) + (23 − 28) ⎥⎦ ⎪⎭

1 = 3,78 9

Fhitung =

28 VAM = = 7,41 VDK 3,78

Kriteria pengujian. Terima H 0 jika Fhitung ≤ Fα ;(k −1,k (n−1)) Tolak H 0 jika Fhitung > Fα ;(k −1,k (n−1)) Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

58


Fα ;(k −1,k (n−1)) = F0,05;(3−1,3(4−1)) = F0,05;(2,9 ) = 4,26 Kesimpulan : karena Fhitung = 7,41 > Fα ;(k −1,k (n−1)) = 4,26 maka H 0 ditolak. Artinya, ada perbedaan diantara ketiga mean skor hasil belajar dengan ketiga metode tersebut. Karena H 0 ditolak, maka analisis dilanjutkan dengan Uji Lanjut menggunakan Uji LSD

1 1− α 2

Sd = LSD

3,78 3,78 s2 s2 + = + = 1,3748 , s 2 = VDK = 3,78 4 4 ni n j

1 1− α 2

= t1− 1

α , k ( n −1)

2

. S d = t1− 1

2

(0 , 05 ),3( 4−1)

. (1,3748)

= t (0,975 ),9 . (1,3748)

= (2,26 ). (1,3748) = 3,11

Kriteria pengujian Uji lanjut LSD

1 1− α 2

Bandingkan antara xi dan x j : xi ≠ x j jika d ij = xi − x j > LSD

1 1− α 2

d12 = x1 − x2 = 28 − 24 = 4 > LSD

1 1− α 2

= 3,11 . Berarti x1 > x2 .

d13 = x1 − x3 = 28 − 23 = 5 > LSD

= 3,11 . Berarti x1 > x3 .

d 23 = x2 − x3 = 24 − 23 = 1 < LSD

= 3,11 . Berarti x2 = x3 .

1 1− α 2

1 1− α 2

.

Kesimpulan : Metode pembelajaran yang paling efektif adalah model pembelajaran I, yang paling berbeda diantara ketiga metode tersebut.

LATIHAN

1. Dilakukan penelitian tentang produksi susu sapi dari 3 lokasi. Diambil 10 sapi sebagai sampel dari masing-masing lokasi. Penelitian selama 3 bulan tercatat hasil seperti pada data berikut.


59

Produksi susu (liter)


Jawa 341 323 356 289 343 335 361 298 300 309

Madura 360 300 296 223 250 296 284 200 208 231

Dengan taraf signifikansi

Bali 302 304 286 245 235 216 287 296 264 259

α = 5%, selidiki apakah ada perbedaan

perbandingan produksi susu sapi di 3 lokasi tersebut? Jika ada perbedaan manakah yang paling berbeda! 2. Dilakukan pengamatan terhadap hasil tes UAN siswa SMA. Para siswa itu dikelompokkan dalam 3 kategori (1) SMA Favorit, (2) SMA Negeri, dan (3) SMA Swasta. Diperoleh data pengamatan sebagai berikut: No SMA Nilai No SMA Nilai No SMA Nilai 1 favorit 4,25 8 negeri 4,00 15 swasta 4,00 2 favorit 5,00 9 negeri 3,00 16 swasta 3,50 3 favorit 4,75 10 negeri 3,50 17 swasta 3,75 4 favorit 3,75 11 negeri 3,75 18 swasta 3,00 5 favorit 4,50 12 negeri 3,50 19 swasta 3,25 6 favorit 4,25 13 negeri 3,25 20 swasta 3,50 7 favorit 4,00 14 negeri 4,25 21 swasta 2,75 Selidiki apakah ketiga kelompok tersebut memiliki nilai rata-rata UAN yang sama dengan taraf signifikansi α = 5%. 3. Dilakukan penelitian mengenai berat badan mahasiswa berdasarkan sarapan yang dimakan dari 4 kelompok sampel dan diperoleh data berat badan (dalam kg) sbb: Sampel ke1 2 3 4 5 6 7

Mie instan 45 55 40 65 60 58 57

Nasi

Roti

Singkong

46 54 45 64 62 59 54

47 58 44 65 63 62 59

43 52 40 48 58 60 55


60


Dengan taraf signifikansi α = 5%, selidiki sarapan manakah yang membuat berat badan mahasiswa lebih tinggi dari yang lain!


61


BAB IV ANALISIS REGRESI

1. Pendahuluan

Metode analisis yang telah dibahas sebelumnya adalah analisis terhadap data mengenai sebuah karakteristik atau atribut (data kualitatif) dan mengenai sebuah variabel, diskrit maupun kontinu (data kuantitatif). Namun, kenyataan yang terjadi, banyak persoalan yang meliputi lebih dari sebuah variabel. Misalkan, hasil belajar siswa tergantung pada waktu belajar, hasil produksi padi tergantung pada cuaca serta penggunaan pupuk, dan lain sebagainya. Oleh karena itu perlu untuk mempelajari analisis data yang terdiri atas banyak variabel.

Jika dipunyai data yang terdiri atas dua atau lebih variabel, maka dapat dipelajari bagaimana variabel-variabel tersebut berhubungan. Hubungan yang diperoleh umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel. Studi yang mmempelajari hubungan antar variabel ini dikenal dengan analisis regresi.

Tujuan dari bab ini adalah bagaimana menghitung suatu perkiraan atau persamaan regresi yang akan menjelaskan hubungan antara dua variabel. Yang akan dibahas adalah regresi garis sederhana, dimana akan dibahas mengenai hubungan antara dua variabel yang biasanya cukup tepat dinyatakan dalam suatu garis lurus. Selanjutnya tujuan dari penggunaan persamaan regresi adalah memperkirakan nilai dari suatu variabel pada nilai tertentu dari variabel lain dengan kata lain persamaan regresi digunakan untuk peramalan.

2. Hubungan Fungsional Antara Variabel

Dalam analisis regresi, variabel akan dibedakan menjadi dua, yaitu variabel bebas (variabel prediktor) dan variabel takbebas (variabel respon). Variabel yang mudah diperoleh atau tersedia dapat digolongkan ke dalam variabel Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

62


bebas sedangkan variabel yang terjadi karena variabel bebas, merupakan variabel takbebas. Dalam analisis regresi, variabel bebas akan dinyatakan dengan X 1 , X 2 , K , X k

(k ≥ 1)

sedangkan variabel takbebas dinyatakan

dengan Y.

Telah diketahui bahwa statistika bertujuan untuk menyimpulkan populasi dengan menggunakan hasil analisis data sampel. Untuk analisis regresi juga akan ditentukan hubungan fungsional yang diharapkan berlaku untuk populasi berdasarkan data sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Hubungan fungsional ini akan dituliskan dalam bentuk persamaan matematik yang disebut dengan persamaan regresi yang akan bergantung pada parameter-parameter.

Secara umum model atau persamaan regresi untuk populasi dapat ditulis dalam bentuk (IV.1)

µ y. x , x ,K, x = ( X 1 , X 2 , K , X k θ1 , θ 2 , K , θ m ) 1

2

k

Dengan θ1 , θ 2 , K ,θ m parameter-parameter yang ada dalam regresi.

Model regresi sederhana untuk populasi dengan sebuah variabel bebas yang biasa dikenal dengan regresi linier sederhana adalah (IV.2)

µ y. x = θ 1 + θ 2 X

Dalam hal ini parameternya adalah θ 1 dan θ 2 . Berdasarkan sebuah sampel, akan ditentukan atau ditaksir persamaan regresi populasi pada rumus (IV.1). Hal ini dapat dilakukan dengan jalan menaksir parameter-parameter θ 1 , θ 2 , K , θ m . Untuk kasus regresi linier sederhana, perlu ditaksir parameter θ 1 dan θ 2 . Jika

θ 1 dan θ 2 ditaksir oleh a dan b , maka persamaan regresi berdasarkan sampel adalah (IV.3)

Yˆ = a + bX


63


Regresi dengan X merupakan variabel bebas dan Y variabel takbebasnya dinamakan regresi Y atas X.

Model regresi populasi pangkat dua atau parabola untuk sebuah variabel bebas dengan parameter θ 1 , θ 2 dan θ 3 adalah (IV.4)

µ y . xx = θ 1 + θ 2 X + θ 3 X 2 2

Dan berdasarkan sampel acak, parameter-parameter θ1 , θ 2 dan θ 3 perlu ditaksir dengan persamaan berikut (IV.5)

Yˆ = a + bX + cX 2

Dengan a , b dan c masing-masing diperoleh dari perhitungan berdasarkan data penelitian yang berturut-turut merupakan taksiran untuk θ1 , θ 2 dan θ 3 .

Berikut cara

menentukan persamaan regresi, apabila dimiliki data

pengamatan.

3. Metode Tangan Bebas

Metode ini merupakan metode kira-kira dengan menggunakan diagram pencar (scatter diagram) dengan data yang diperoleh berdasarkan hasil pengamatan. Jika variabel yang diamati meliputi variabel bebas X dan variabel takbebas Y, maka data pengamatan yang diperoleh digambarkan pada sebuah diagram dengan X dinyatakan pada sumbu mendatar dan Y pada sumbu tegak sehingga terbentuk diagram pencar yang menunjukkan titik-titik tertentu.

Ada dua manfaat dari penggunaan diagram pencar ini yaitu: (1) Membantu menunjukkan apakah terdapat hubungan yang bermanfaat antara dua variabel, (2) Membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan antara kedua variabel tersebut. Seperti yang tertulis dalam manfaat yang kedua, dari letak titik-titik pada diagram pencar, dapat diperkirakan bentuk regresinya. Jika letak titik-titik yang terbentuk di sekitar garis lurus, maka dapat diduga terjadi regresi linier. Namun, hubungan yang terbentuk tidak Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

64


selalu harus berupa garis lurus. Jika letak titik-titik yang terbentuk di sekitar garis lengkung, maka dapat diduga terjadi regresi nonlinier.

Hubungan yang tergambar pada diagram pencar dapat berupa hubungan positif (atau langsung) antar dua variabel yaitu jika variabel bebas meningkat maka variabel takbebas juga meningkat. Namun, adapula kemungkinan pada variabel tertentu terdapat hubungan yang negatif (atau berlawanan) yaitu jika variabel bebas meningkat maka variabel takbebas akan menurun. Atau bahkan tidak ada hubungan sama sekali antara variabel (titik-titik yang terbentuk pada diagram pencar tidak menunjukkan pola tertentu).

4. Metode Kuadrat Terkecil Untuk Regresi Linier

Metode ini berdasarkan pada kenyataan bahwa jumlah pangkat dua (kuadrat) dari jarak antara titik-titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus sekecil mungkin. Untuk pengamatan yang terdiri dari sebuah variabel bebas X dan variabel takbebas Y di mana model regresi linier untuk populasi seperti rumus (IV.2) telah dapat diduga, maka perlu ditaksir parameter-parameter regresi sehingga diperoleh persamaan seperti rumus (IV.3). Jadi untuk populasi, model regresi linier adalah

µ y. x = θ 1 + θ 2 X Harga parameter θ 1 dan θ 2 ditaksir oleh a dan b , sehingga persamaan regresi menggunakan data sampel adalah Yˆ = a + bX

Koefisien-koefisien regresi a dan b untuk regresi linier dapat dihitung dengan rumus


65


(∑ Y )(∑ X ) − (∑ X )(∑ X Y ) a= n∑ X − (∑ X ) n∑ X Y − (∑ X )(∑ Y ) b= n∑ X − (∑ X ) 2 i

i

i

(IV.6)

i i

i i

2

2 i

i

i

i

2

2 i

i

Jika terlebih dahulu dihitung koefisien b , maka koefisien a dapat pula ditentukan dengan rumus

a = Y − bX

(IV.7)

dengan X dan Y masing-masing adalah rata-rata untuk variabel X dan Y.

Dalam regresi linier, koefisien b berarti perubahan rata-rata Y untuk setiap perubahan satu unit variabel X. Perubahan nilai Y bertambah apabila nilai b bertanda positif dan berkurang untuk tanda b negatif.

Contoh (Supranto)

Berikut data penjualan dari perusahaan makanan ringan X : persentase kenaikan biaya iklan Y : persentase kenaikan hasil penjualan X

1

2

4

5

7

9

10

12

Y

2

4

5

7

8

10

12

14

Berapakah besarnya ramalan presentase kenaikan penjualan apabila biaya iklan dinaikkan menjadi 15 %.

Penyelesaian X

Y

X2

XY

1

2

1

2

2

4

4

8

4

5

16

20

5

7

25

35

7

8

49

56

9

10

81

90


66


∑X

i

10

12

100

120

12

14

144

168

∑Y

= 50

i

X = 6,25

∑X

= 62

2 i

∑X Y

= 420

i i

= 499

Y = 7,75

Untuk menghitung ramalan presentase kenaikan penjualan, terlebih dahulu dicari persamaan regresi dari data tersebut. b=

n∑ X i Yi − (∑ X i )(∑ Yi ) n∑ X − (∑ X i ) 2 i

2

=

8(499 ) − (50 )(62 ) 8(420 ) − (50 )

2

=

892 = 1,04 860

a = Y − bX = 7,75 − 1,04(6,25) = 1,25

Sehingga diperoleh persamaan Yˆ = a + bX = 1,25 + 1,04 X Nilai koefisien b =1,04 artinya setiap ada kenaikan 1% biaya iklan, maka hasil penjualan akan naik sebesar 1,04 %. Persamaan Yˆ = a + bX = 1,25 + 1,04 X selanjutnya dapat digunakan untuk meramalkan presentase kenaikan penjualan apabila terjadi perubahan (kenaikan atau pengurangan) biaya iklan. Jika biaya iklan dinaikkan menjadi 15 %, maka ramalan presentase kenaikan penjualan adalah Yˆ = 1,25 + 1,04 X dengan X = 15 % diperoleh Yˆ = 1,25 + 1,04 (15) = 16,85 .

Jadi besarnya ramalan presentase kenaikan penjualan apabila biaya iklan dinaikkan menjadi 15 % adalah 16,85.

5. Berbagai Varians Sehubungan dengan Regresi Linier Sederhana

Untuk analisis selanjutnya tentang regresi linier sederhana, terdapat beberapa asumsi yang harus diambil. Asumsi pertama, mengenai kekeliruan prediksi atau galat prediksi atau perbedaan e = Y − Yˆ yang terjadi, mengingat hasil pengamatan variabel takbebas Y belum tentu sama nilainya dengan harga yang diharapkan yaitu Yˆ yang diperoleh dari regresi hasil pengamatan (sampel). Dalam populasi, galat Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

67


prediksi dimisalkan berbentuk variabel acak yang mengikuti distribusi normal dengan rata-rata nol dan varians σ 2 . Asumsi kedua, untuk setiap harga X yang diberikan, variabel takbebas Y independen dan berdistribusi normal dengan rata-rata (θ1 + θ 2 X ) dan varians

σ Y2. X . Varians σ Y2. X dimisalkan sama untuk setiap X maka dapat dinyatakn

( )

oleh varians kekeliruan taksiran σ ε2 dan kekeliruan baku taksiran σ y. x .

5.1. Kesalahan Baku Regresi dan Koefisien Regresi Sederhana

Kesalahan baku atau selisih taksir standar merupakan indeks yang digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan regresi dan koefisien regresi atau mengukur variasi titik-titik observasi di sekitar garis regresi. Dengan kesalahan baku, batasan seberapa jauh melesetnya perkiraan dalam meramalkan data dapat diketahui (Hasan, 2010). Apabila semua titik observasi berada tepat pada garis regresi maka kesalahan baku akan bernilai sama dengan nol. Hal ini menunjukkan bahwa perkiraan yang dilakukan pada data pengamatan sesuai dengan data yang sebenarnya. Berikut rumus yang digunakan untuk menghitung kesalahan baku regresi dan koefisien regresi. a. Kesalahan baku untuk regresi Se =

∑Y

2

− a ∑ Y − b∑ XY . n−2

b. Kesalahan baku untuk koefisien regresi a (parameter a )

∑X −S n∑ X − (∑ X ) 2

Sa =

e

2

2

c. Kesalahan baku untuk koefisien regresi b (parameter b ) Se

Sb =

(∑ X ) −

2

∑X

2

n


68


Coba Anda hitung kesalahan baku regresi, koefisien regresi a dan koefisien regresi b dengan data dari contoh soal sebelumnya!

5.2. Pendugaan Interval Koefisien Regresi

6. Regresi Non Linier

Seringkali regresi linier tidak dapat digunakan pada beberapa data karena hipotesis kelinieran telah ditolak. Hal ini juga dapat dilihat dari bentuk diagram pencar yang tidak menunjukkan bentuk garis lurus, sehingga model regresi linier akan menyimpang dari letak titik-titik dalam diagram pencar. Hal ini perlu diperbaiki dengan menggunakan regresi nonlinier.

Beberapa model regresi nonlinier yang mudah dan sering digunakan, antara lain: 6.1. Model Parabola kuadratik

Persamaan umum model ini ditaksir oleh (IV.8)

Yˆ = a + bX + cX 2

Dengan koefisien-koefisien a , b, c harus ditentukan berdasarkan data hasil pengamatan. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka a , b, c dapat dihitung dengan sistem persamaan:

∑ Y = na + b∑ X + c∑ X ∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c∑ X ∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c∑ X i

2 i

i

i i

2 i i

2 i

i

2 i

3 i

3 i

4 i

6.2. Model Parabola Kubik


Yˆ = a + bX + cX 2 + dX 3


69


Dengan koefisien-koefisien a , b, c, d dihitung dari data pengamatan. Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk menentukan a , b, c, d adalah:

∑ Y = na + b∑ X + c∑ X + d ∑ X ∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c∑ X + d ∑ X ∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c∑ X + d ∑ X ∑ X Y = a ∑ X + b∑ X + c∑ X + d ∑ X i

2 i

i

i i

3 i

2 i

i

3 i

4 i

2 i i

2 i

3 i

4 i

5 i

3 i i

3 i

4 i

5 i

6 i

Semakin tinggi pangkat X dalam persamaan regresi, maka semakin banyak pula sistem persamaan yang harus diselesaikan.

6.3. Model Eksponen


Yˆ = a b X

Bentuk ini dapat dikembalikan kepada model linier apabila diambil logaritmanya. Dalam logaritma persamaannya akan menjadi (IV.11)

log Yˆ = log a + (log b ) X

Apabila diambil Yˆ ′ = log Yˆ , a ′ = log a , dan b′ = log b , maka diperoleh model Yˆ ′ = a ′ + b ′ X yang adalah model linier seperti pada rumus (IV.3). dengan rumus (IV.6), maka a ′ dan b ′ dapat dihitung, selanjutnya karena a ′ = log a dan b′ = log b , maka a dan b juga dapat dihitung.

Dalam logaritma, maka a dan b dapat dicari dari rumus (IV.12)

log a =

log b =

∑ log Y − (log b )⎛⎜ ∑ X ⎜ i

n

⎝

n

i

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

n(∑ X i log Yi ) − (∑ X i )(∑ log Yi ) n∑ X i2 − (∑ X i )


2

70


Model eksponensial dalam rumus Yˆ = a b X sering pula disebut model pertumbuhan karena sering digunakan dalam menganalisis data hasil pengamatan yang berhubungan dengan fenomena yang sifatnya tumbuh. Dalam hal ini, model persamaannya menjadi (IV.13)

Yˆ = a e bX

dengan e adalah bilangan pokok logaritma asli.

6.4. Model Geometrik


Yˆ = a X b

Bentuk ini dapat dikembalikan kepada model linier dan apabila diambil logaritmanya, maka (IV.15)

log Yˆ = log a + b log X

Bentuk ini merupakan model linier dalam log X dan log Y . Koefisien a dan b dapat dihitung dari: (IV.16)

log a =

b=

∑ log Y

i

n

⎛ ∑ log X i − b⎜ ⎜ n ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

n(∑ log X i log Yi ) − (∑ log X i )(∑ log Yi ) n(∑ log 2 X i ) − (∑ log X i )

2

6.5. Model Logistik

Model paling sederhana model logistik dapat ditaksir oleh (IV.17)

1 Yˆ = X ab

Untuk Yˆ yang tidak sama dengan nol, maka bentuk di atas dapat pula ditulis sebagai

1 = ab X . ˆ Y

Jika diambil logaritmanya, diperoleh


71


(IV.18)

⎛1⎞ log⎜ ⎟ = log a + (log b ) X ⎝ Yˆ ⎠

⎛1⎞ Yang merupakan model linier dalam variabel-variabel X dan log⎜ ⎟ . ⎝Y ⎠ Koefisien-koefisien a dan b dapat dicari dengan menggunakan rumus (IV.19)

log a =

log b =

∑ log Y − (log b )⎛⎜ ∑ X ⎜ i

n

n

⎝

i

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

n(∑ X i log Yi ) − (∑ X i )(∑ log Yi ) n∑ X i2 − (∑ X i )

2

⎛1⎞ Dengan log Y diganti oleh log⎜ ⎟ . ⎝Y ⎠

6.6. Model Hiperbola

Persamaan umum yang sederhana untuk model hiperbola dapat dituliskan dalam bentuk (IV.20)

Yˆ =

1 a + bX

Atau jika tidak ada Yˆ berharga nol dapat ditulis menjadi (IV.21)

1 = a + bX Yˆ

Yang merupakan bentuk linier dalam variabel-variabel X dan

1 . Y

Koefisien-koefisien a dan b dapat dihitung dengan rumus (IV.22)

(∑ Y )(∑ X ) − (∑ X )(∑ X Y ) n(∑ X ) − (∑ X ) n(∑ X Y ) − (∑ X )(∑ Y ) b= n(∑ X ) − (∑ X ) a=

2 i

i

i

i

i

i

i

i

i

2

2 i

Apabila variabel Y diganti oleh

i

2

2 i

i

1 . Y


72


7. Regresi Linier Ganda

Sebelumnya telah dibahas hubungan linear dari dua variabel X dan Y dengan menggunakan persamaan regresi linier Yˆ = a + bX . Dalam kenyataan, banyak data pengamatan yang terjadi dengan melibatkan lebih dari dua variabel. Misalnya hasil panen padi (Y) dipengaruhi oleh penggunaan pupuk ( X 1 ), luas sawah ( X 2 ) dan curah hujan ( X 3 ). Secara umum, data hasil pengamatan Y dapat terjadi atau dipengaruhi oleh variabelvariabel bebas X 1 , X 2 , K , X k . Akan ditentukan hubungan antara Y dan X 1 , X 2 , K , X k sehingga diperoleh regresi antara Y dan X 1 , X 2 , K , X k . Yang akan ditinjau hanyalah garis regresi sederhana yang dikenal dengan nama regresi linier berganda. Model regresi linier ganda atas X 1 , X 2 , K , X k akan ditaksir oleh (IV.23)

Yˆ = a + b1 X 1 + b2 X 2 + K + bk X k

dengan a, b1 , b2 , K , bk merupakan koefisien-koefisien yang harus ditentukan berdasarkan data pengamatan. Perhatikan bahwa regresi linier Yˆ = a + bX merupakan hal istimewa dari rumus (IV.23) untuk a = b1 = b2 = K = bk = 0 .

Koefisien-koefisien a, b1 , b2 , K , bk ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (Least Square Method) yang menghasilkan persamaan normal sebagai berikut (IV.24)

an + b1 ∑ X 1 + b2 ∑ X 2 + K + bk ∑ X k = ∑ Y a ∑ X 1 + b1 ∑ X 1 + b2 ∑ X 1 X 2 + K + bk ∑ X 1 X k = ∑ X 1Y 2

a ∑ X 2 + b1 ∑ X 2 X 1 + b2 ∑ X 2 + K + bk ∑ X 2 X k = ∑ X 2Y 2

M a ∑ X k + b1 ∑ X k X 1 + b2 ∑ X k X 2 + K + bk ∑ X k = ∑ X k Y 2

Bila

persamaan

tersebut

diselesaikan,

maka

akan

diperoleh

nilai

a, b1 , b2 , K , bk . Kemudian dapat dibentuk persamaan regresi berganda. Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

73


Apabila persamaan regresi telah diperoleh, maka dapat diramalkan nilai Y dengan syarat bila nilai X 1 , X 2 , K , X k

sebagai variabel bebas sudah

diketahui.

Sama halnya dengan regresi linier, dalam regresi linier ganda perubahan ratarata Y memperhatikan nilai dan tanda koefisien dari masing-masing variabel

X. Pada rumus (IV.23) maka koefisien b1 menyatakan perubahan rata-rata Y untuk setiap perubahan satu unit variabel X 1 apabila X 2 , X 3 , K , X k semuanya dianggap tetap. Koefisien b2 menyatakan perubahan rata-rata Y untuk setiap perubahan satu unit variabel X 2 apabila X 1 , X 3 , K , X k semuanya dianggap tetap, demikian seterusnya. Jelas bahwa setiap koefisien hanya memberikan gambaran parsial apa yang terjadi pada Y untuk perubahan

X yang berhubungan dengan koefisien yang bersesuaian. Oleh karena itu koefisien-koefisien a, b1 , b2 , K , bk disebut pula koefisien regresi parsial.

Contoh (Supranto) Perhatikan file PDF

LATIHAN

1. Dengan menggunakan persamaan garis regresi Yˆ = a + bX , hitunglah ramalan nilai Y jika X = 16 dari kedua data berikut a. 2 4 3 8 9 10 15 13 X

Y

1

2

5

7

8

11

13

14

X

1

3

4

7

9

11

13

Y

12 11

9

8

6

5

4

b.

2. Berikut data nilai hasil ujian mahasiswa matematika Unnes

X : nilai hasil ujian Kalkulus mahasiswa matematika Unnes Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

74


Y : nilai hasil ujian Statistika mahasiswa matematika Unnes X

7

6

8

9

10

5

4

9

7

3

Y

6

8

9

7

9

6

5

8

8

4

a. Dengan menggunakan persamaan regresi, berapakah nilai ujian Statistika jika nilai ujian Kalkulus yang diperoleh sebesar 8,5. b. Tuliskan persamaan regresi linier sederhana, berapakah besarnya nilai koefisien regresi? Jelaskan arti dari nilai-nilai tersebut! c. Tentukan kesalahan baku regesi, koefisien regresi a dan koefisien regresi b.

d. Dalam soal ini bolehkan variabel Y memiliki nilai negatif? Berikan alasan Anda!

3. Dipunyai kumpulan data berikut

X

X1,

X 2 , K, X i ,K, X n

Y

Y1 ,

Y2 , K , Yi , K ,

∑ (X − X )(Y − Y ) ∑ (X − X )

Jika b =

i

i

2

Yn

dan a = Y − bX

i

dengan X =

1 1 X i dan Y = ∑ Yi ∑ n n

Tunjukkan bahwa: a. b =

n∑ X iYi − (∑ X i )(∑ Yi ) n∑ X i2 − (∑ X i )

2

∑ (Y n

b.

i =1

i

− a − bX ) = 0

4. Sebuah perusahaan mencatat hasil penjualan dari tahun ketahun sebagai berikut. Tahun 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Hasil Penjualan (jutaan Rp)

83

60

54

21


22

13

13

75


Terlihat adanya kemunduran dalam hasil penjualan tersebut. Dengan menggunakan trend parabola Yˆ = a + bX + cX 2 , hitung berapa ramalan hasil penjualan untuk tahun 1987 dan 1988? Gambarkan grafik Y dan Yˆ dalam satu gambar! 5. Perhatikan data berikut

X : harga barang perunit dalam ribuan rupiah Y : hasil penjualan barang X dalam jutaan rupiah X

20

35

60

100

150

300

500

800

Y

150 125

105

100

92

77

62

58

Dengan menggunakan trend eksponensial Yˆ = a b X , berapakah ramalan hasil penjualan jika X = 900!

6. Perkembangan jumlah pabrik pada suatu daerah selama 6 tahun adalah sebagai berikut. Tahun 1981 1982 1983 1984 1985 1986 Banyaknya pabrik

4

8

12

18

18

20

1 Dengan menggunakan trend logistik Yˆ = X , hitung ramalan banyaknya ab pabrik yang dibangun pada tahun 1987? 7. PT ANGIN MOBAT MABIT menerapkan stategi promosi untuk meningkatkan pendapatan penjualan mesin jahit. Akan dilihat pengaruh iklan melalui televisi dan koran terhadap pendapatan. Berikut data mingguan yang tercatat: Iklan TV Iklan Koran Pendapatan (juta rupiah) (juta rupiah) (juta rupiah) 1 2 1 2 4 3 4 5 6 6 7 8 7 8 9 9 10 11 Dengan menggunakan persamaan regresi linier berganda, berapakah ramalanpendapatan penjualan mesin jahit jika promosi dengan Iklan TV sebesar 10 juta rupiah dan promosi dengan Iklan koran sebesar 12 juta rupiah!


76


BAB V ANALISIS KORELASI

1. Pendahuluan

Jika data hasil pengamatan terdiri dari banyak variabel, maka hal yang perlu diketahui berikutnya adalah seberapa kuat hubungan antara variabel-variabel tersebut terjadi. Dengan kata lain, perlu ditentukan derajat hubungan antara variabel-variabel. Studi yang membahas tentang derajat hubungan antara variabel dikenal dengan nama analisis korelasi. Sedangkan ukuran yang digunakan untuk mengetahui derajat hubungan, terutama untuk data kuantitatif, dinamakan koefisien korelasi.

Adanya hubungan (korelasi) antara variabel yang satu dengan variabel lainnya dapat dinyatakan dengan perubahan nilai variabel. Dalam bab ini hanya akan dibahas mengenai hubungan linier antara dua variabel X dan Y . Apabila dua variabel X dan Y mempunyai hubungan, maka nilai variabel X yang sudah diketahui dapat digunakan untuk memperkirakan/menaksir atau meramalkan Y. Ramalan pada dasarnya merupakan perkiraan/taksiran mengenai terjadinya suatu kejadian (nilai suatu variabel) untuk waktu mendatang, misalnya ramalan harga beras bulan depan, ramalan jumlah penduduk 10 tahun mendatang, dan lain sebagainya. Serupa dengan analisis regresi, variabel Y yang nilainya akan diramalkan disebut variabel takbebas, sedangkan variabel X yang nilainya digunakan untuk meramalkan nilai Y disebut variabel bebas atau variabel peramal (predictor) atau sering disebut variabel yang menerangkan (explanatory).

2. Koefisien Korelasi


77


Hubungan dua variabel dapat merupakan hubungan positif maupun negatif. Hubungan X dan Y dikatakan positif apabila kenaikan (penurunan) X pada umumnya diikuti oleh kenaikan (penurunan) Y. Sebaliknya dikatakan negatif jika kenaikan (penurunan) X pada umumnya diikuti oleh penurunan (kenaikan) Y.

Jika antara variabel X dan Y ada hubungan, bentuk diagram pencarnya akan mulus/teratur. Apabila terdapat hubungan positif, maka diagram pencar akan bergerak dari kiri bawah ke kanan atas, sedangkan apabila terdapat hubungan negatif, maka diagram pencar akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah. Bila bentuk diagram pencar tidak teratur, artinya kenaikan/penurunan X pada umumnya tidak diikuti oleh naik turunnya Y, dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. Atau dengan kata lain, X dan Y dikatakan saling bebas (independent) jika naik dan turunnya varianel X tidak mempengaruhi Y atau antara X dan Y tidak ada hubungan atau hubungnnya sangat lemah sehingga dapat diabaikan.

Apabila hubungan X dan Y dapat dinyatakan dengan fungsi linier, maka kuat hubungan antara X dan Y diukur dengan suatu nilai yang disebut Koefisien Korelasi. Nilai koefisien korelasi.ini paling sedikit -1 dan paling besar 1. Jika

r adalah koefisien korelasi,maka nilai r dapat dinyatakan sebagai


78


−1 ≤ r ≤ 1

Jika

r = 1 , hubungan X dan Y sempurna dan positif (mendekati 1, hubungan sangat kuat dan positif)

r = −1 , hubungan X dan Y sempurna dan negatif (mendekati -1, hubungan sangat kuat dan negatif) r = 0 , hubungan X dan Y lemah sekali atau tidak ada hubungan.

X dikatakan mempengaruhi Y, jika perubahan nilai X menyebabkan adanya perubahan nilai Y, artinya naik turunnya nilai X akan mengakibatkan naik turunnya nilai Y, sehingga nilai Y akan bervariasi. Namun, naik turunnya nilai

Y tidak hanya disebabkan oleh variabel X, karena masih ada faktor lain yang menyebabkannya. Misalnya naik turunnya hasil panen padi (Y) dipengaruhi oleh penggunaan pupuk ( X 1 ), namun juga dapat dipengaruhi faktor-faktor lain misalnya luas sawah, curah hujan dan lain-lain. Selanjutnya dapat dihitung besar kontribusi dari X terhadap naik turunnya nilai Y dengan suatu koefisien yang disebut koefisien penentuan/koefisien determinasi (coefficient

of determination). Jika koefisien determinasi ditulis KD, maka untuk menghitung KD sebagai berikut KD = r 2

Besar koefisien determinasi menunjukkan besarnya sumbangan variabel bebas terhadap variabel takbebas. Total nilai koefisien determinasi sebesar 100 %, jika koefisien determinasi bernilai kurang dari 100 % maka sisanya dipengaruhi oleh faktor lain.

Cara menghitung r adalah sebagai berikut n

Rumus 1

r=

∑x y i =1

n

∑ xi i =1

2

i

i

n

∑y i =1

2

i


79


1 n ∑ Xi n i =1 1 n Y = ∑ Yi n i =1 X =

xi = X i − X y i = Yi − Y atau

n

r=

Rumus 2

n

n

i =1

i =1

n∑ X i Yi − ∑ X i ∑ Yi i =1

n ⎛ n ⎞ 2 n∑ X i − ⎜ ∑ X i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠

2

n ⎛ n ⎞ 2 n∑ Yi − ⎜ ∑ Yi ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠

2

Contoh (Supranto)

Berikut data penjualan dari perusahaan makanan ringan

X : persentase kenaikan biaya iklan Y : persentase kenaikan hasil penjualan X

1

2

4

5

7

9

10

12

Y

2

4

5

7

8

10

12

14

Hitunglah r!

Penyelesaian

Untuk menghitung r, dibuat tabel berikut Dengan rumus 1 X

Y

X −X

Y −Y

x2

y2

xy

(x )

(y)

1

2

- 5,25

- 5,75

27,5625

33,0625

30,1875

2

4

- 4,25

- 3,75

18,0625

14,0625

15,9375

4

5

- 2,25

- 2,75

5,0625

7,5625

6,1875

5

7

- 1,25

- 0,75

1,5625

0,5625

0,9375

7

8

0,75

0,25

0,5625

0,0625

0,1875

9

10

2,75

2,25

7,5625

5,0625

6,1875

10

12

3,75

4,25

14,0625

18,0625

15,9375


80


12

∑X

i

14

∑Y

= 50

∑x

= 62

i

X = 6,25

5,75 i

=0

6,25

∑y

33,0625 =0

i

∑x

2 i

39,0625

= 107,5

∑y

2 i

35,9375

= 117,5

∑x y i

Y = 7,75 n

∑x y

r=

i =1

n

i

i

=

n

∑x ∑y i =1

2

i

i =1

2

111,5 107,5 117,5

111,5 = 0,99 112,389

=

i

Hubungan antara X dan Y sebesar 0,99 yang menunjukkan hubungan yang sangat kuat dan positif, artinya kenaikan biaya iklan pada umumnya menaikkan hasil penjualan. Koefisien determinasi KD = r 2 = 0,9801 = 98% artinya sumbangan iklan terhadap variasi Y (naik turunnya hasil penjualan) adalah 98 %, dan 2 % sisanya disebabkan oleh faktor-faktor lainnya.

Dengan rumus 2

∑X

i

X

Y

X2

Y2

XY

1

2

1

4

2

2

4

4

16

8

4

5

16

25

20

5

7

25

49

35

7

8

49

64

56

9

10

81

100

90

10

12

100

144

120

12

14

144

196

168

= 50

∑Y

i

= 62

∑X

2 i

= 420


∑Y

i

2

= 598

∑X Y

i i

= 499

81

i

= 111,5


8

r=

i =1

8

i =1

2

i =1

⎛ ⎞ ⎛ 8 ⎞ 2 8∑ X i − ⎜ ∑ X i ⎟ 8∑ Yi − ⎜ ∑ Yi ⎟ i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ 8(499 ) − (50 )(62 ) 8

r=

8

8∑ X i Yi − ∑ X i ∑ Yi 2

8

8

8(420 ) − (50 ) 8(598) − (62 ) 892 892 = = = 0,99 860 940 899,075 2

2

2

3. Korelasi Rank (Peringkat)

Misalkan ada dua orang Adi dan Bayu yang sama-sama minuman ringan dalam kemasan. Kedua orang tersebut diminta untuk memberikan penilaian terhadap 10 merk minuman ringan dalam kemasan. Minuman ringan yang paling digemari diberi nilai 1 dan seterusnya sampai minuman ringan yang tidak disenangi diberi nilai 10. Sehingga dalam hal ini Adi dan Bayu memberikan rank (peringkat) terhadap merk minuman ringan tersebut. Pemberian peringkat ini dapat juga dibalik, minuman ringan yang paling digemari diberi nilai 10 dan seterusnya sampai yang tidak disenangi diberi nilai 1. Diperoleh hasil pemberian rank sebagai berikut No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Merk Minuman Ringan Coca Cola Fanta Sprite Frestea Mizone Pulpy Orange Teh Sosro Pepsi Blue Fruittea Tebs

Rank dari Adi 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

Rank dari Bayu 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5

Untuk menghitung koefisien korelasi antara rank dari Adi dan Bayu terhadap 10 merk minuman ringan dalam kemasan tersebut digunakan Koefisien Korelasi Rank (Rank Spearman).


82


rrank = 1 −

6∑ d i2

(

)

n n2 −1

dimana d i = selisih dari pasangan rank ke-i

n = banyaknya pasangan rank (dalam hal ini n = 10)

Contoh

Carilah koefisien korelasi rank antara rank Adi dan Bayu dalam menilai 10 merk minuman ringan. Penyelesaian

Rank Adi

8

3

9

2

7

Rank Bayu

9

5

10 1

8

7

Selisih Rank (d) -1 -2 -1

1 -1

d2

1

1 4

1

1

10 4

6

1

5

3

4

2

6

3

1

2 -1

-1

9

1

4

1

1

Sehingga rrank = 1 −

6∑ d i2

(

)

n n −1 2

= 1−

6(1 + 4 + 1 + K + 1) = 1 − 0,1455 = 0,8545 = 0,85 10(100 − 1)

Jadi, koefisien korelasi rank antara rank Adi dan Bayu dalam menilai 10 merk minuman ringan sebesar 0,85.

Contoh (Supranto, 1992: 159)

Ada 10 calon sales yang diuji mengenai teknik penjualan. Setelah mereka selesai diuji kemudian ditugaskan untuk melakukan penjualan. Diperoleh data hasil ujian (X) dan hasil penjualan tahun pertama (Y). Nilai X dan Y dari 10 sales termasuk rank-nya adalah sebagai berikut. Sales

A B C D

Nilai Ujian ( X) 48 32 40 34

Rank

3 6 5 7

Hasil Penjualan (Y) 312 164 280 196


Rank

2 8 4 7

Selisih Rank ( d) 1 -2 1 0

d2 1 4 1 0 83


E F G H I J

30 50 26 50 22 43

8 1,5 9 1,5 10 4

200 288 146 361 149 252

6 3 10 1 9 5

2 -1,5 -1 0,5 1 -1

4 2,25 1 0,25 1 1

Karena F dan H memiliki nilai yang sama maka rank mereka harus sama yaitu

1+ 2 = 1,5 . Mula-mula F diberi nilai 1 dan H diberi nilai 2 (atau sebaliknya, 2 kemudian dirata-rata). Apabila terdapat 3 objek yang memiliki nilai yang sama, maka diurutkan dan dicari rata-ratanya. Sehingga rrank = 1 −

6∑ d i2

(

)

n n −1 2

= 1−

6(1 + 4 + 1 + K + 1) = 1 − 0,0939 = 0,9061 10(100 − 1)

Jadi, koefisien korelasi rank antara rank nilai ujian dan hasil penjualan sebesar 0,9061.

LATIHAN

1. Berikan contoh pasangan variabel yang memiliki hubungan positif dan negatif.

2. Tentukan apakah hubungan variabel X dan Y berikut positif atau negatif. Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi kemudian interpretasikan hasilnya. a.

X

2

4

3

8

9

10

15

13

Y

1

2

5

7

8

11

13

14

X

1

3

4

7

9

11

13

Y

12 11

9

8

6

5

4

b.


84


3. Berikut data nilai hasil ujian mahasiswa matematika Unnes

X : nilai hasil ujian Kalkulus mahasiswa matematika Unnes Y : nilai hasil ujian Statistika mahasiswa matematika Unnes X

7

6

8

9

10

5

4

9

7

3

Y

6

8

9

7

9

6

5

8

8

4

Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi kemudian interpretasikan hasilnya.

4. Amat dan Budi diminta untuk memberikan rank berdasarkan suka dan tidaknya terhadap merk rokok tertentu. Rokok yang paling disenangi diberi nilai 10 dan yang paling tidak disenangi diberi nilai 1. Diperoleh hasil rank sebagai berikut. No 1 2 3 4 5 6 7 8

Merk Rokok AAA BBB CCC DDD EEE FFF GGG HHH

Rank dari Amat 2 10 8 3 4 1 5 2

Rank dari Budi 9 4 3 6 5 7 8 6

Hitung koefisien korelasi rank berdasarkan data tersebut!

5. Tabel berikut menunjukkan nilai 10 mahasiswa yang telah berbentuk rank, yang diperoleh dari hasil ujian kuliah Statistika dan Praktikum. Carilah korelasi ranknya. Praktikum

8 3 9

2 7 10 4

Statistika

9 5 10 1 8

7

3


6 1 5 4 2 6

85


DAFTAR PUSTAKA

Hasan, I. 2001. Pokok-Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif). Edisi Kedua. Bumi Aksara. Jakarta. Sudjana. 1996. Metoda Statistika Edisi ke 6. Penerbit Tarsito. Bandung. Sugiyono. 2005. Statistik Untuk Penelitian. Penerbit Alfabeta. Bandung. Supranto, J. 1992. Statistik Teori dan Aplikasi. Jilid 1. Erlangga. Jakarta. Walpole, R & Myers, R. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan

Ilmuan. Terjemahan. Penerbit ITB. Bandung.


86

STATISTIKA INFERENSIAL 1

Recommend Documents