Solutions Plus Respuesta Propuesta 2010-06-04

Caso: Solutions Plus.

CASO: Solutions Plus Capítulo 10 – 10 – Modelos de Distribución y Red

El presente caso se refiere a la empresa Solutions Plus, la cual se dedica a la producción de fluidos y solventes de limpieza especializados. Recientemente ha recibido una oferta de parte de la compañía que administra el ferrocarril Great North American, por lo cual se debe de analizar si está en capacidad de abastecer el pedido con los menores costos y ganancias más convenientes. En este caso se realizará el análisis en base a los costos totales de producción en diferentes plantas y los costos de transporte sobre un modelo de programación lineal. A continuación se presenta el planteamiento del caso:

Se identifican dos grupos principales de nodos (los de producción y los puntos de entrega) entre los cuales se pueden identificar varios arcos en los cuales se reparten las posibilidades de cantidades y costos de producto por producción y entrega, de acuerdo a la representación de la red del problema que se presenta en la Figura 01. Seguidamente, toda vez que cada nodo se sitúa en una ciudad de producción o de destino, se designa con un número a cada uno de estos nodos para la posterior identificación de variables:

Cincinnati Oakland

1 2

Santa Ana El paso Pendleton Houston Kansas City Los Angeles Glendale Jacksonville Littlerock Bridgetport Sacramento

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

A continuación se definen las variables en función a la numeración indicada y a la factibilidad de transporte entre nodos (Las celdas que no muestran datos corresponden a rutas para las cuales no hay servicio de transporte disponible).

2


FIGURA 01: REPRESENTACIÓN DE RED DEL PROBLEMA DE SOLUTIONS PLUS

500,000

50,000

Santa

22,418

El Paso

6,800

Pendleton

80,290

Houston

100,447

Kansas City

241,570

Los Angeles

64,761

Glendale

33,689

Jacksonvill

68,486

Cincinati

Okland

e

Little Rock

148,586

Bridgeport

111,475

Sacrament

112,000

o

3


Cincinatti Costo producción + transporte


Oakland

Variable

Costo producción + transporte

Variable

1.87

X23

2.04

X14

2.39

X24

2.03

X15

2.14

X25

1.65

X16

1.56

X17 1.87

X28

1.87

X29

1.8

X213

1.54

X110

1.54

X111

1.54

X112

A efectos de identificar si la posibilidad de producción cubre o no la demanda total, se totalizan ambos conjuntos de datos: Máxima Nodos de oferta Producción posible:

Cincinatti Oakland

Máxima oferta posible:

500,000 500,000

1,000,000

Nodos de Destino


Total demanda

Galones Requeridos (demanda) 22,418 6,800 80,290 100,447 24,570 64,761 33,689 68,486 148,586 111,475 112,000

773,522

Como se puede observar, la oferta posible total es capaz de cubrir a la demanda actual; por lo cual es necesario anotar que no será necesario agregar una restricción por diferencia de oferta y demanda (si el caso fuera de mayor demanda que oferta esto si se haría necesario).

4


Con los datos presentados, es posible proceder a la formulación de la función objetivo, la misma que definimos como la minimización de la sumatoria de todas las variables por cada uno de sus costos totales (considerando que este último es la suma del costo de producción con el costo de transporte). La función objetivo encontrada es la siguiente:

MIN 2.04X14 + 2.03X15 + 1.65X16 + 1.56X17 + 1.54X110 + 1.54 X111 + 1.54X112 + 1.87X23 + 2.39X24 + 2.14X25 + 1.87X28 + 1.87X29 + 1.8X213

Seguidamente, se requiere definir las restricciones, las primeras de las cuales definiremos en función a la producción; por lo cual están estarán limitadas por la máxima producción posible en cada uno de los 2 nodos de producción y ya que cada variable Xij representa una cantidad de productos, las restricciones vendrán dadas por la sumatoria de todos los Xij salientes de cada nodo de producción; con lo cual tenemos 02 restricciones iniciales: X14 + X15 + X16 + X17 + X110 + X111 + X112

<

500000

X23 + X24 + X25 + X28 + X29 + X213

<

500000

Las siguientes restricciones estarán dadas en los nodos de demanda (ciudades de destino); para esto hay que anotar que se tiene que apuntar a cubrir el total de la demanda de cada ciudad, por lo cual las restricciones quedarán definidas como igualdades de la demanda requerida contra la sumatoria de todos los Xij que pueden atender a una ciudad; con lo cual tenemos 11 restricciones adicionales:

X23 X14 + X24 X15 + X25 X16 X17 X28 X29 X110 X111 X112 X213

= = = = = = = = = = =

22418 6800 80290 100447 24570 64761 33689 68486 148586 111475 112000

Por último, es necesario definir las restricciones de no negatividad; para lo cual todo Xij debe ser mayor o igual a 0; con lo cual tenemos 01 restricciones adicional y 14 restricciones en total: Xij >= 0 Teniendo el modelo de programación lineal definido, se ingresan los datos en el programa LINDO (con la consideración de que no es necesario ingresar la restricción de no negatividad, ya que esta es considerada por defecto por el programa), para obtener los resultados a analizar.

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El programa lineal ingresa de la siguiente forma: min 2.04X14 + 2.03X15 + 1.65X16 + 1.56X17 + 1.54X110 + 1.54 X111 + 1.54X112 + 1.87X23 + 2.39X24 + 2.14X25 + 1.87X28 + 1.87X29 + 1.8X213 st

X14 + X15 + X16 + X17 + X110 + X111 + X112 < 500000 X23 + X24 + X25 + X28 + X29 + X213 < 500000

X23

=

22418

X14 + X24

=

6800

X15 + X25

=

80290

X16

=

100447

X17

=

24570

X28

=

64761

X29

=

33689

X110

=

68486

X111

=

148586

X112

=

111475

X213

=

112000

end

Los resultados obtenidos del LINDO son los siguientes:

6


7


Reemplazando los datos obtenemos los cuadros con los costos por cada arco (nodo de producción nodo de destino): ‐

Cincinatti

Oakland

Costo Costo Asignación COSTO FINAL Asignación COSTO FINAL prod + Variable prod + Variable Óptima CINCINNATI Óptima OAKLAND tran tran


Costos Totales: COSTO TOTAL GENERAL:

2.04 2.03 1.65 1.56

1.54 1.54 1.54

13872 6800 39636 80461.08 100447 165737.55 38329.2 24570

X14 X15 X16 X17

1.87 2.39 2.14

22418 0 40654

86999.56

X23 X24 X25

1.87 1.87

64761 121103.07 33689 62998.43

X28 X29

41921.66 0

68486 105468.44 X110 148586 228822.44 X111 111475 171671.5 X112 1.8 804,362

112000

201600

X213

514,623

1,318,985

Al comparar este cuadro con el cuadro de demandas se puede observar que la asignación óptima a cada ciudad de destino cumple estrictamente con la demanda solicitada para las mismas, tal como se estableció con las restricciones de igualdad. 1. Si Solutions Plus gana la licitación, ¿Cuál instalación de producción (Cincinnatti u Oakland) debe suministrar el limpiador en los sitios donde se limpian las locomotoras? ¿Cuánto debe enviarse desde cada instalación a cada sitio? ‐

8


Ambas instalaciones de producción deberán de utilizarse para optimizar los costos, repartiendo diferentes ciudades de destino entre ambas. Resumiendo el último cuadro elaborado, las cantidades óptimas a entre nodos son las siguientes:

Cincinatti Oakland Asignación Óptima


Asignaciones totales

Asignación Óptima

22418 0 40654

6800 39636 100447 24570

64761 33689 68486 148586 111475 112000 500,000

ASINGACIÓN TOTAL:

273,522

773,522

Se observa que la asignación total es igual a la demanda total. 2. ¿Cuál es el punto de equilibrio de Solutions Plus? Es decir, ¿Qué tan baja debe hacer su oferta la empresa sin perder dinero? ‐

El punto de equilibrio equipara el costo totalizado con el precio totalizado; por lo cual la oferta más baja que puede hacer la empresa para no perder ni ganar (punto de equilibrio) es de $1’318,984.93, equivalente al costo óptimo bajo las condiciones dadas. Obteniendo un precio unitario costo por galón de: ∙

∙

∙

Asignación total: 773,522.00 Costo total de producción: $ 1,318,984.93 Precio unitario: (1’318,984.93/773,522.00) = $ 1.71

9


3. ¿Si Solutions Plus quiere utilizar su margen estándar de 15%, de cuánto debe ser su oferta? ‐

Si quiere utilizar el total del margen de ganancia de 15% su oferta total debe de ser de $1’516,832.6695 Su oferta en el precio por galón debería ser de: 1.71 * (1.15) = $ 1.97 4. Los costos de flete se ven afectados de forma significativa por el precio del petróleo. El control bajo el cual Solutions Plus hace una oferta tiene una duración de dos años. Comente como la fluctuación en los costos de flete podría afectar la oferta que presenta Solutions Plus. ‐

Tal como se puede observar en los resultados de rangos de variabilidad en los coeficientes de la función objetivo para mantener la solución óptima (en términos de cantidades asignadas); el modelo permite un aumento en los costos de transporte de todos los casos excepto en tres, el X14, el X15 y el x25; es decir, entre los nodos Cincinnati – El Paso, Cincinnati Pendleton y Oakland – Pendleton, para los cuales sólo permite un aumento de $0.24, $0.11 y de $0.24. ‐

No obstante lo indicado, es necesario notar lo siguiente: ‐

‐

Los rangos mostrados son válidos sólo si la modificación correspondiente se da en una fila a la vez, es decir, con todos los demás datos constantes. Si se producen más cambios en los precios de transporte de las demás restricciones (lo cual es lo más probable ya que el precio del petróleo varía igual para todos) no es posible afirmar que los resultados óptimos obtenidos permanezcan iguales. Para realizar dicha afirmación tendría que correrse la prueba con nuevos datos o utilizar la regla del 100 por ciento. A pesar de que para la mayoría coeficientes, el reporte anterior nos indica que no hay límite en la solución óptima en lo referente a cantidades, definitivamente un incremento en los precios de transporte alteraría el costo óptimo obtenido, aumentando el mismo en cualquier caso de aumento del precio del transporte.

Bajo las condiciones mencionadas, se puede concluir lo siguiente:

10


‐

Si aumenta el costo del flete para cualquier de las rutas, excepto las de Cincinnati – El Paso, Cincinnati Pendleton y Oakland – Pendleton, pero variando sólo el costo de una a la vez, las cantidades óptimas asignadas se mantendrán iguales a las obtenidas. ‐

‐

‐

Si disminuye el costo del flete para cualquier de las rutas, excepto las de Cincinnati – Pendleton, Oakland – El Paso y Oakland – Pendleton pero variando sólo el costo de una a la vez, las cantidades óptimas asignadas se mantendrán iguales a las obtenidas. No obstante lo indicado, en lo referente a los costos, el costo total variará en cualquiera de las situaciones de cambio mencionadas; por lo cual la empresa sólo estaría en capacidad de mantener su oferta en tanto se proyecte que el aumento del costo por fletes no aumentará en más del 15% equivalente a su ganancia (asumiendo que esta es ganancia neta, sino deberán de descontarse los impuestos).

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Solutions Plus Respuesta Propuesta 2010-06-04

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