Université des Sciences et de la Technologie d’Oran LMD Sciences et Techniques de l’ingénieur (ST) PHYS3 Mr Abdelhafid Kaddour
Corrigé de l’examen final
2005/2006
Partie 1 : vibrations mécaniques Exercice 1 (1point): Par analogie avec l’équation générale réduite régissant un oscillateur à 1 ddl en régime libre amorti, la pulsation propre ω0 , le coefficient d’amortissement η et la pseudo période ω d’un oscillateur ayant pour équation réduite x + 4 x + 16x = 0 seront déterminés :
ω02 = 16 ⇒ ω0 = 4 rad .s −1
et
2ηω0 = 4 ⇒ η = 0.5 ,
nous remarquons que le facteur d’amortissement est inférieur à 1et par conséquent l’ amortissement est sous-critique (amortissement faible), ainsi les oscillation sont amorties de pseudo-période ω exprimée par la relation suivante :
⇒ ω = 3, 46 rad .s −1
ω = ω0 1 − η2
Problème 1 (7 points) : l’équation du mouvement de la masse M m du système mécanique représenté par la figure 1 est déterminée en appliquant soit le principe fondamental de la dynamique soit les équations de Lagrange :
d ⎛ ∂Ec ⎞ ∂Ec ∂E p ∂D + + = Qi ( t ) ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂qi ⎠ ∂qi ∂q i ∂qi .
( i = 1,… , n )
S
Cm
Rm
Mm
Principe fondamental de la dynamique : •
xS
x
∑ F (t ) = M x (t ) m
la masse est soumise à une force de rappel élastique −K ( x − x S ) et à une force de frottement Rm ( x − x S ) , l’équation de son mouvement est :
M m x + K ( x − x S ) + Rm ( x − x S ) = 0 Equations de Lagrange : ∂E p x − x s ∂D ∂Ec d ⎛ ∂Ec ⎞ , = = R m ( x − x s ) et Qi ( t ) = 0 =0, ⎜ ⎟ = Mmx , Cm ∂x dt ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂x M m x + K ( x − x S ) + Rm ( x − x S ) = 0
1
(1.1)
1. Nous supposons que la surface S effectue des vibrations harmoniques d’élongation x S = X S e j ωt et que la masse M m oscille avec la même pulsation ω mais avec une élongation x = Xe (régime permanent) :
j (ωt −ϕ )
1.1 En notation complexe l’équation du mouvement de la masse trouvée précédemment devient :
jRmω ( x − x S ) + K ( x − x S ) = M mω 2 x
(1.2)
1.2 La relation ( x − x S ) / x S entre l’amplitude ( x − x S ) du mouvement relatif de la masse par rapport à S et l’amplitude x S du mouvement de la surface S est :
⎡( K − M m ω 2 ) + j ωR m ⎤ ( x − x S ) = M m ω 2 x S , ⎣ ⎦
(x − xS ) = xS
M mω 2
⎡( K − M m ω 2 ) + j ωR m ⎤ ⎣ ⎦
2. En utilisant les variables réduites ω02 = K / M m , η = Rm / Rmc
(1.3)
,
(1.4)
( Rmc = 2 M mω0 )
et ϖ = ω / ω0 , le
rapport ( x − x S ) / x S est exprimé comme suit :
(x − xS ) =
ϖ2
⎡(1 − ϖ 2 ) + j 2ηϖ ⎤ ⎣ ⎦
xS
(x − xS )
=
xS
,
(1.5)
ϖ2 ⎡ ⎢⎣
(1 − ϖ ) + ( 2ηϖ ) 2 2
2
⎤ ⎥⎦
,
(1.6)
3. Cet oscillateur pourrait être utilisé comme accéléromètre, (c'est-à-dire pour mesurer l’accélération de la vibration de la surface S de la machine) à condition que la pulsation propre du système de
mesure ω0 est grande devant la pseudo-période ω :
pour ϖ
1 , 1 − ϖ2
1 ⇒ 1 + ( 2ηϖ )
2
1,
ainsi le rapport ( x − x S ) / x S s’écrit :
(x − xS )/ xS ϖ 2 ,
(1.7)
ω 2xS , ω02
(1.8)
(x − xS ) cette dernière relation montre que
(x − xS )
est proportionnel à l’amplitude de l’accélération,
de ce fait l’oscillateur peut être utilisé comme¨accéléromètre.
2
Exercice 2 (5 points): Le système à deux degrés de liberté illustré par la figure 2 représente le principe d’un amortisseur de Frahm :
F M m1
x1 Cm2
C m1
Mm2
Rm 2
x2
Fig. 2: système mécanique à 2 dll, amortisseur de Frahm 1. Le système d’équations de mouvement du système est : • En appliquant soit le principe fondamental de la dynamique
1 1 (2.1) x1 + ( x1 − x2 ) + Rm 2 ( x1 − x2 ) = F ( t ) , Cm1 Cm 2 1 (2.2) M m 2 x2 + ( x2 − x1 ) + Rm 2 ( x2 − x1 ) = 0 , Cm 2 • Equations de Lagrange : ∂E p d ⎛ ∂Ec ⎞ x x − x 2 ∂D ∂Ec = 1 + 1 , =0, = R m 2 ( x 1 − x 2 ) et Q1 ( t ) = F ( t ) , (2.3) ⎜ ⎟ = M m 1x 1 , Cm2 ∂x 1 C m 1 dt ⎝ ∂x 1 ⎠ ∂x 1 ∂x 1 M m1 x1 +
∂E p x 2 − x 1 ∂D d ⎛ ∂Ec ⎞ ∂Ec = , = R m 2 ( x 2 − x 1 ) et Q 2 ( t ) = 0 , =0, ⎜ ⎟ = Mm 2x 2 , Cm2 ∂x 2 dt ⎝ ∂x 2 ⎠ ∂x 2 ∂x 2
(2.4)
d’où le système d’équation régissant le système à 2 ddl représenté par la figure 2 :
1 1 ⎧ ⎪ M m1 x1 + C x1 + C ( x1 − x2 ) + Rm 2 ( x1 − x2 ) = F ( t ) ⎪ m1 m2 ⎨ ⎪M x + 1 ( x − x ) + R ( x − x ) = 0 m2 2 1 ⎪⎩ m 2 2 Cm 2 2 1 2. Le schéma électrique en analogie Force-Courant (analogie mobilité) est :
3
(2.5)
Partie 2 : Ondes Questions (3points) 1. Une onde est une perturbation (énergie) qui se propage dans un milieu élastique. 2. Equation générale d’onde :
∆∇
2
(
2 1 ∂ ( ) )− 2 2 = 0, c ∂t
(3.1)
avec c la célérité de l’onde dans le milieu considéré. 3. La solution générale de l’équation d’onde est constitué de la combinaison linéaire de deux fonctions f et g . Par exemple, en terme d’élongation y ( x, t ) la solution générale s’écrit sous l’une des deux formes suivantes :
y ( x, t ) = f ( t − x / c ) + g ( t + x / c ) ,
(3.2)
y ( x, t ) = f ( ct − x ) + g ( ct + x ) .
(3.3)
où la fonction f représente l’onde divergente tandis que la fonction g est l’onde convergente. Exercice 1 (4points): Des ondes stationnaires peuvent prendre naissance sur une corde vibrante de longueur l fixée rigidement à ses deux extrémités. Le déplacement transversal y ( x, t ) d’un point d’abscisse x est exprimé par la relation suivante : y ( x, t ) = f (ct − x) + g (ct + x) , (3.4)
1. Les conditions aux limites sont :
x=0 ⇒ x=l ⇒
y ( o, t ) = 0 ⇒ y (l, t ) = 0 ⇒
f ( ct ) = − g ( ct ) ,
(3.4)
f ( ct − l ) = − g ( ct + l ) ,
(3.5)
2. Nous déduisons du résultat précédent que :
g =−f
f ( t − l / c ) = f ( ct + l ) ,
⇒
(3.6)
cette dernière relation exprime une fonction périodique du temps de fréquence fondamentale c / 2l , du fait que : (3.7) f ( t − l / c ) = f ⎡⎣( t − l / c ) + 2l / c ⎤⎦ ,
T=
2l c
Tn = n
⇒
2l c
⇒
f =
c , 2l
fn = n
(3.8)
c . 2l
(3.9)
3. Sachant que les fréquences propres f n des modes de vibration stationnaires sont multiples entiers de la fréquence fondamentale f , la relation entre la longueur l de la corde et la longueur d’onde λ d’un mouvement stable est :
4
Tn = n
2l c
l=n
⇒
c , 2f
fn = n l=n
c , 2l
λ . 2
(3.10)
(3.11)
4. Représentation des modes de vibration d’ordre 3 et 4 :
λ , 2
(3.12)
Ordre 4 : l = 2λ ,
(3.14)
Ordre 3 : l = 3
5