Mate 2000 Consolidare Clasa a VII-a, semestrul I TESTE DE AUTOEVALUARE – SOLUŢII –
���� �� ������������ � �� �� I. 1. 2. 3.
0,6. 2 . 3 n ∈ {1, 2, 3, 6}.
4. [–2,302] 5. 6.
II. 1.
= –3. {2,310} = 0,31. |–1,72| = 1,72. C.
2. A.
3. B.
4. C.
III. 1. x =
2. 2. 430. 3. 10. 4. x
{
∈ −
7 7 , . 5 5
}
���� �� ������������ � �� �� 10 . 41 26 2. − . 5 1 3. − . 216 1 4. . 5 5. –2. 6. 2008.
I. 1.
II. 1.
C.
2. B.
3. A.
4. D.
Matematică. Clasa a VII-a
1
1 . 2 2. 24,5. 3. 1007. 2014 3 4. . 4
III. 1. x =
���� �� ������������ � �� �� 2 x + 1 = 0. 2. soluţie. 1 3. . 8 5 7 4. , . 2 2 3 5. . 2 6. x = –40.
I. 1.
{ }
II. 1.
B.
2. D.
3. B.
4. B;
C.
III. 1. –5. 2. –1. 3. 28. 4. x
∈ {–11, 17}.
���� �� ������������ � �� �� 16, 25, 36, 49, 64, 81. 2. x ∈ {–12, 12 }. 3. fals. 4. adevărat. 5. 9. 6. a = 8, b = 1.
I. 1.
II. 1.
C.
2. D.
3. A.
4. B.
III. 1. N =
195. 2. u( N ) = 2, deci N nu este p ătrat perfect. 3. 11 dm. 2 4. N = 1007 , de unde N = 1007. Matematică. Clasa a VII-a
2
���� �� ������������ � �� �� 38 . 9 2. 4,8. 3. –0,2. 4. 1. 5. a = 1, b = 6. 35 6. . 36
I. 1.
II. 1.
A.
2. B.
3. C.
4. D.
2. 2. x = 1, y = 3, respectiv x = 3, y = 1. 3. 44. 4. N = 24.
III. 1.
���� �� ������������ � �� ��
I. 1. x 2.
∈
{0, 2 2} .
a = –3, b = –2.
0. 4. 2. 5. 0. 6. 5 5 . 3.
II. 1.
A.
2. B.
3. C.
4. D.
125 cm2. 2. x = 144. 3. 0. 4. Notând cu x, y, z lungimile laturilor triunghiului isoscel ABC , avem situaţiile: x = y = 3 2 , z = 2 sau x = y = 2 2 , z = 3 2 .
III. 1. 10
Matematică. Clasa a VII-a
3
���� �� ������������ � �� ��� 2. 2. 0. 3. 0. 4. 3. 5. 1. 6. x = 1, y = 7 sau x = 7, y = 1.
I. 1.
II. 1.
A.
2. B.
3. C.
4. D.
1,90 m. 2. x = 2, y = 4. 3. 2. 4. 240.
III. 1.
���� �� ������������ � �� ��� 360°. 2. paralelogram. 3. 24. 4. 110°. 5. congruente. 6. 8 cm.
I. 1.
II. 1.
III. 1.
2.
3.
4.
C.
2. A.
3. A.
4. B.
În ∆ AOB, MN linie mijlocie, MN || AB. Analog, QP || CD. Cum AB || CD, ABCD paralelogram, avem MN || QP. Analog, QM || PN . În ∆ ABC , MP linie mijlocie, MQ || AC (1). Analog în ∆ ADC , PN linie mijlocie, PN || AC (2). Din (1) şi (2) rezultă PN || MQ. Analog, PM || NQ, de unde MQNP paralelogram. a) ABCB' paralelogram, de unde AB' || BC (1). Analog, AC'BC paralelogram, adică AC' || BC (2). Din (1) şi (2) rezultă că punctele C' , A, B' sunt coliniare. b) Din a) rezultă AC' = BC = AB' , de unde B'C' = 2 BC . ∆ NAO ≡ ∆ MOC (L.U.L.). Avem ' MCO ≡ ' NAO (alterne interne) de unde rezult ă că AN || MC .
Matematică. Clasa a VII-a
4
���� �� ������������ � �� ��� I. 1. dreptunghi. 2. congruente. 3. dreptunghi. 4. congruente. 5. 24
II.
cm. 6. 84 cm. 1. A. 2. B.
3. C.
4. D.
III. 1. Fie
O ∈ BC astfel încât BO ≡ OC . Cum AO este median ă relativă în ∆ ABC , avem AD = BC ( D simetricul lui A), de unde ABCD dreptunghi. 2. NMPA dreptunghi. Cum ∆ BNM este dreptunghic isoscel, avem BN ≡ MN , iar MP ≡ ≡ AN . Imediat MP + MN = AN + NB = AB = constant.
= 60°. Cum DP ⊥ OA, DP este şi mediană, de unde AP = OP. Imediat AC = 4 AP. 4. ∆ ADE ≡ ∆ BCE (L.U.L.): AD ≡ BC , m( ' ADE ) = m(' BCE ) = 150°, DE = EC . De aici rezultă AE ≡ BE . 3.
∆ AOD echilateral, ' AOD
���� �� ������������ � �� ��� I. 1. romb. 2. romb. 3. bisectoare. 4. diagonalelor. 5. 6 6.
II. 1.
cm. 70°. A.
III. 1. MD
2. B.
3. C.
şi DN linii
4. D.
mijlocii în ∆ ABD, respectiv ∆ ADC . Cum MD || AC şi MD =
iar DN || AB şi DN =
AC
2
,
AB
, avem AMDN paralelogram. Din AB ≡ AC (ipoteză), 2 avem MD ≡ DN , de unde AMDN romb. 2. ∆ AMQ ≡ ∆CNP (L.U.L.). De aici 'PNC ≡ ' AQM şi cum CN || AQ, urmează că QM || PN (1). Analog, ∆QDP ≡ ∆ MBN , de unde MN || QP (2). Din (1) şi (2) rezultă că MNPQ este paralelogram. 3. Fie M , N , P, Q mijloacele laturilor AB, BC , CD, DA. Cum MN este linie mijlocie în ∆ ABC , MN || AC , iar PQ este linie mijlocie în ∆ ADC , PQ || AC , avem MN || PQ.
Matematică. Clasa a VII-a
5
În plus, MN =
AC
. Analog, MQ || PN şi MQ =
BD
. Avem MNPQ paralelogram 2 2 şi cum AC = BD, rezultă că MNPQ este romb. 4. Fie {O} = AC ∩ BD. Cum OD este mediatoare, ∆ ADC este isoscel. Analog, pentru OB mediatoare, ∆ ABC este isoscel. În plus, ∆ ADC ≡ ∆ ABC conduce la ABCD romb.
���� �� ������������ � �� ��� pătrat. 2. pătrat. 3. C . 4. 5 cm. 5. pătrat. 6. 10 cm.
I. 1.
II. 1.
A.
2. B.
III. 1. Cum
3. C.
4. D.
∆ ABE ≡ ∆CBE (L.U.L.), avem AE ≡ EC , deci ∆ AEC este isoscel.
Avem m('CAE ) = m(' ECA) = 67°30', iar m(' AEC ) = 45°. 2. Se foloseşte faptul că un dreptunghi cu o diagonal ă bisectoare a unghiului din care pleacă este pătrat. 3. În ∆QAB, m( 'QBA) = 115°, iar în ∆CMB, m( 'CMB) = 75°. Imediat m(' MEB) = = 90°. Analog, m('CFN ) = m(' DGP) = m('QHA) = 90°. Urmează că EFGH este dreptunghi. Imediat EF ≡ EQ, de unde EFGH pătrat. 4. Fie M mijlocul lui AB, N mijlocul lui BC , P mijlocul lui CD, Q mijlocul lui AD; MN , QP, MQ, NP linii mijlocii. Imediat MN || AC || QP şi QM || BD || PN , de unde MNPQ este paralelogram. Cum BD ⊥ AC , MNPQ devine dreptunghi şi cum MN ≡ QP ≡ NP ≡ QM , rezultă că MNPQ este pătrat.
���� �� ������������ � �� ��� I. 1. baze. 2. dreptunghic. 3. isoscel. 4. isoscel. 5. linie 6.
II. 1.
mijlocie. axă de simetrie. A.
2. B.
3. C.
4. D.
Matematică. Clasa a VII-a
6
III. 1. MN linie
mijlocie, de unde MN || BC , adică MNCB trapez. 2. MN , NP, PQ, QM linii mijlocii. Cum MQ || PN || BD, iar QP || MN || AC , de unde MNPQ paralelogram. Cum MQ =
BD
AC
= MN , rezultă că MNPQ este romb. 2 2 3. Din ∆ DNC ≡ ∆ ANM (U.L.U.) găsim DN ≡ NM , ceea ce arat ă că N este mijlocul segmentului MD. 4. Din interior, PA = PB = PC = PD . Imediat, patrulaterele ADTM şi BCSM sunt paralelograme. Cum P se află pe mediatoarele segmentelor AB şi CD, avem AM ≡ MB şi DN ≡ NC , adică AD ≡ BC . =
���� �� ������������ � �� ��� cm2. 2 2. 240 cm . 2 3. 625 cm . 2 4. 100 cm . 2 5. 75 cm . 2 6. 150 cm .
I. 1. 225
II. 1.
D.
2. D.
3. D.
4. D.
BN ⋅ AG 2 AM implică AG = 18, de unde A AGB = 3 2 125 ⋅ 84 A = 125 ⋅ 42 = 5250 cm 2. ABCD = 2
III. 1. AG =
2.
3. Din
x
y
=
18 ⋅ 18 = 162. 2
x+ y
= 10, unde x, y reprezintă cele două dimensiuni ale dreptun2 2 2 + y ghiului, găsim că A ABCD = 1400 cm 2.
4. Notând
=
=
în ∆ MBC isoscel m( BMC ) = m( BCM ) = x, rezultă m( MBC ) = 180° –
– 2 x, de unde m( DAM ) = 2 x. Cum ∆ ADM isoscel cu AD = AM , obţinem m( ADM ) = m( AMD) = 90° – x şi de aici m( DMC ) = 90°. Notând apoi cu h înălţimea paralelogramului corespunz ătoare
laturii CD avem A ABCD = h ⋅ CD =
= 2 ⋅ A DMC = MC ⋅ MD.
Matematică. Clasa a VII-a
7
���� �� ������������ � �� ��� I. 1. 2
(puncte). 2. 4 cm. 3. 18 cm. 2 4. . 3 8 5. cm. 3 6. centrul de greutate.
II. 1.
III. 1.
A.
2. A.
3. A.
4. A.
∆ DOC ~ ∆ AOB ( DC || AB).
CO
Atunci
OA
=
DO
=
OB
CD AB
. Imediat
CO OA
=
2 , de unde 5
2 , adică CO = 12 cm. Imediat OA = 30 cm. AC 7 CO
2. Fie
=
{O} = AC ∩ BD; ∆ AOD ~ ∆OBE ( BE || AD).
∆ AOF ~ ∆ BOC ( AF || BC ), de unde
Din (1) şi (2) rezultă 3.
OC OE
=
OD
OC OA
=
OB
Obţinem
AO OE
=
DO OB
(1).
(2).
OF
, de unde EF || CD.
OF
1 (1). AB BC 2 DP BD 1 ∆ DBP ~ ∆ BAC (PD || AC ), de unde = = (2). AC BC 2 ∆CDQ ~ ∆CAB ( DQ || AB). Obţinem
Din (1) şi (2) rezultă 4. Cum AB
unde
BE EF
|| ED, +
DQ AB
=
DP AC
DQ
, adică
=
AB AC
CD
=
=
DQ DP
.
aplicând teorema lui Thales ob ţinem
CE DE
BE EF
=
AD DF
şi
CE DE
=
AF DF
, de
= 1.
Matematică. Clasa a VII-a
8
���� �� ������������ � �� ��� I. 1. 6
cm şi 8 cm. 2. 12 cm. 3. pătrat. 4. 15 cm. 5. 99 cm. 6. 90°.
II. 1.
B.
III. 1. Din
2. B.
4. B.
∆ MDC ~ ∆ MAB găsim
P ∆ MDC = 2. Fie
3. B.
{ D}
MD MA
=
AD BC 1 , de unde MD = , MC = ; 3 2 2
21 cm. = AG
∩ BC .
Avem ∆ DEG ~ ∆ DBA ( EG || AB), de unde
Obţinem DE = 3 cm. Din ∆ DGF ~ ∆ DAC ( AF || AC ) ob ţinem
DG DA
=
DE BD
=
DG
DA DF
.
1 = , de 3 DC
unde DF = 3 cm, iar EF = 6 cm. 3. Din
∆ MBQ
~ ∆ MCD şi ∆ MAB ~ ∆ MPC găsim că AB =
MC ⋅ b MB
şi AB =
a ⋅ MB MC
.
Imediat AB = ab . AG GM 1 AG 2 4. Din şi = = găsim = 2. Imediat GM = 2, de unde AG = 6. AM 3 AM 3 GM Urmează că P ∆ AMC = 6 + 6 + 5 = 17 cm.
���� �� ������������ � �� ��� I. 1. 30
cm. 2. 15 cm. 3. 8 3 cm. 4. 5 6 cm. 5. 34 cm. 5 6. cm. 3
II. 1.
C.
2. C.
3. C.
4. C.
III. 1. 180 2. 3. 4.
cm. 18 cm, 32 cm, 50 cm. 2 A = 24 cm , P = 24 cm. 24 3 cm. Matematică. Clasa a VII-a
9
