PROBLEMA 4.1 Datos: Las Longitudes de las curvas simétricas para los cuatro PIV de la Figura 4.40 son en su orden 60m, 80m, 50m y 20m respectivamente.
Figura 4.40 Problema 4.1
Calcular: a) Las cotas de rasante en las abscisas K0+190, K0+440, K0+620, K0 + 800, K0+910 b) Las abscisas y cotas del punto más bajo y más alto de la rasante. Solución Curva vertical No. 1 Punto PCV – 1
Abscisa Cota Negra K0 + 170 489,8 K0 + 190 488,6
7 20 200 60
Corrección 489,80 488,83
Cota Roja
0 0,233
Corrección 494,20 492,425
Cota Roja
0 0,225
2
Corrección = Y =
= 0,233
Curva vertical No. 1 Punto PTV – 2
Abscisa Cota Negra K0 + 460 494,2 K0 + 440 492,2
9 20 200 80 2
Corrección = Y =
= 0,225
Cota para K0 + 620 2 100
=
X 60
X = 1,2
Cota a = 504,2 – 1,2 = 503 Cota para K0 + 800 2 100
=
X 240
X = 4,8
Cota b = 504,2 – 4,8 – 0,075 = 499,325 Cota en B 5 100
=
X 110
X = 5,5
Cota B = 499,4 – 5,5 = 493,9 Punto PTV – 1
PTV – 3
K0 K0 K0 K0
+ + + +
K0 + K0 + K0 + K0 + K0 + PROBLEMA 4.2
Abscisa Cota Negra 230 488,30 220 488,20 221 488,21 222 488,22
0 0,0583 0,0472 0,0373
Corrección 488,3 488,2580 488,2572 488,2573
585 575 576 577 576,5
0 0,1200 0,0972 0,0768 0,0867
503,7 503,7800 503,7830 503,7830 403,7833
503,70 503,90 503,88 503,86 503,87
Cota Roja
Datos: Las Longitudes de las curvas simétricas para los tres PIV de la figura 4,41 son de 40m, 80m y 60m respectivamente.
Figura 4.41 Problema 4.2
Calcular: a) Las cotas en la rasante sobre la vertical de la externa para las tres curvas. b) Las abscisas y cotas del punto máximo y mínimo Solución
m1 =
m2 =
m3 =
13,50 10,50 40 15,0 13,50 100 15,0 10,0 100
= 7,5%
= 1,5%
= 5,0%
11,50 10,00 60
m4 = = 2,5% Abscisa del PCV y PTV Abscisa PCV No. 1 = Abscisa PIV No. 1 – Lv1 / 2
Abscisa PCV No. 1 = K0 + 040 –
Abscisa PCV No. 2 = K0 + 140 –
40 2 80 2
= K0 + 020
= K0 + 100
Abscisa PCV No. 3 = K0 + 240 –
Abscisa PTV No. 1 = K0 + 040 +
Abscisa PTV No. 2 = K0 + 140 +
Abscisa PTV No. 3 = K0 + 240 +
60 2 40 2 80 2 60 2
= K0 + 210
= K0 + 060
= K0 + 180
= K0 + 270
i1 = 7,5 – 1,5 = 6,0% i2 = 1,5 + 5,0 = 6,5% i3 = 5,0 + 2,5 = 7,5%
40 0,06 EV1 =
8
= 0,30 m
80 0,065 EV1 =
8
= 0,65 m
60 0,075 EV1 =
8
= 0,563 m
Cota No. 1 (Curva Vertical No. 1) = 13,50 – 0,30 = 13,20 Cota No. 2 (Curva Vertical No. 2) = 15,00 – 0,65 = 14,35 Cota No. 3 (Curva Vertical No. 3) = 10,00 – 0,563 = 10,563
X=
m Ly i
1,5 6,5
=
x 80 = 18,462
Abscisa del punto máximo Abs PCV No. 2 + X
K0 + 100 + 18,462 = K0 + 118,462
Cota PCV No. 2 = 15,00 – 0,015 x
80 2
= 14,40
Cota del punto máximo
14,40 + 0,015 x 18,462 -
0,065 2 80
x (18,462)2 = 14,538
Abscisa y cota del punto mínimo K0 + 210 + 40 = K0 + 250
Cota PCV No. 3 = 10,00 – 0,05 x
60 2
= 11,5
Cota del punto mínimo
11,50 + 0,05 x 40,00 +
0,075 2 60
x (40)2 = 10,5
PROBLEMA 4.3 Datos: Los puntos A y B pertenecen a la tangente vertical de entrada y los puntos C y D a la tangente vertical de salida. Se desea insertar una curva vertical simétrica entre los puntos B y D. Las abscisas y cotas en la tangente de los cuatro puntos son: Punto
Abscisa
Cota en la tangente (m)
A
K2 + 994
502,320
B
K3 + 010
505,560
C
K3 + 112
503,320
D
K3 + 170
502,160
Calcular: a) La longitud de dicha curva. b) La abscisa de su PIV. c) Las cotas de la rasante en las abscisas K3+052, K3+100 y K3+180.
d) Tendrá esta curva problemas de drenaje?
Solución a) La longitud de dicha curva. L = Abs PTV – Abs PCV L = K3 + 170 – K3 + 010 L = 3170 – 3010 L = 160 m b) La abscisa de su PIV. Abs PIV = Abs B + L/2 Abs PIV = K3 + 010 + 80 Abs PIV = K3 + 090 c) Las cotas de la rasante en las abscisas K3+052, K3+100 y K3+180. Cota PIV = 502 + 0,015 (3090 - 2994) Cota PIV = 503,76 m Para K3 + 052 Cota Rasante = 503,76 – 0,015 (3090 - 2994) Cota Rasante = 503,19 m
Para K3 + 052 Cota Rasante = 503,76 – 0,02 (310 - 3090) Cota Rasante = 503,56 m
Para K3 + 052
Cota Rasante = 503,76 – 0,02 (3180 - 3090) Cota Rasante = 501,96 m Nota En la figura se muestran los diferentes puntos mencionados en el problema
PROBLEMA 4.4 Datos: Para una curva vertical simétrica se conoce: Pendiente de la tangente vertical de entrada Pendiente de la tangente vertical de salida
= -1% = -8%
Cota del PCV
= 522,80 m
Calcular: a) La longitud de la curva, de tal manera que en un punto localizado a 15 metros después del PIV, la cota de la rasante esté a tres metros por debajo de la cota del PCV. b) La cota del PTV Solución
i 2 Lv
Cota de P = Cota PCV – mx –
519,84 = 522,84 – 0,09
Lv 15 2
-
X2 0,009 Lv 15 2 Lv 2
- 3,0 Lv = 0,045 Lv – 1,35 – 0,045 Lv
2
Lv 2 15Lv 225 4
- 3,0 Lv = 0,045 Lv – 1,35 – 0,045 Lv2 + 0,6 Lv + 9 0,0145 Lv2 – 2,36 – 7,65 = 0 Lv = 165,93 m
Cota del PIV = (522,84 – 0,01 Cota del PIV = 515,37 m
165,93 2
) = 522,01 m
PROBLEMA 4.5 Datos: Para la figura 4.42, se trata de dos curvas verticales simétricas, donde: LV1 LV2 Cota del PCV – 1
= 100 m = 120 m = 500 m
Figura 4.42 Problema 4.5
Calcular: a) La distancia horizontal entre el punto máximo y el punto mínimo de ambas curvas. b) La cota de la rasante 20 metros adelante del PIV – 2 Solución Cota P1 = Cota PIV1 – Y1
Cota PIV1 = Cota PCV1 + m Cota PIV1 = 500 + 0,02 (50) Cota PIV1 = 501 m
Lv 2
i 2 X 2 Lv
Y1 =
Entonces
i 2 X 2 Lv
Cota P1 = Cota PIV1 + mx
i 2 X 2 Lv
Cota P1 = 501 + 0,02X z1 x1 = 0 = 0 + 0,02 CotaP1 X 1
= 0 + 0,02 -
i X1 Lv1
=0
i = m – n = 2% - (- 5%) i = 7% 0,02100 0,07
X1 =
= 28,571 m
La longitud entre el punto P y PTV1 es,
P PTV1
= 100 – 28,571 = 71,429 m
Para la curva vertical No. 2
Cota PIV2 = Cota PIV1 – m x 140 Cota PIV2 = 501 – 0,05 x 140 = 494 m Cota PCV2 = 501 –
140 60
x0,05 = 497 m
i 2 X 2 Lv
Y2 =
Entonces
i 2 X 2 Lv
Cota P2 = Cota PIV2 + mx
i 2 X 2 Lv
Cota P1 = 497 – 0,05X z CotaP2 i X2 x2 X 2 Lv2 = = 0 - 0,05 =0 i = m – n = -5% - 8% i = - 13%
X2 =
0,05120 0,13
= 46,154 m
Para calcular la distancia entre el P1 y P2 se hace así,
P PTV1
= 100 – 28,571 = 71,429 m
ET = 30 m
PCV2 P2 P1 P2 P1 P2
= 46,154 m
= 71,429 + 30 + 46,154 = 147,583 m
b) i = m – n = -5% - 8% i = - 13%
i 2 X 2 Lv
Y=
0,13 2 120
Y(80) = (80)2 = 3,467 m Cota PIV2 = 494 m Cota h’ = Cota PIV2 – m x 20 = 494 – 0,05 (20) = 493 m Cota h = Cota h’ – y = 493 + 3,467 = 496,467 m
PROBLEMA 4.6 Datos: En una curva cóncava simétrica de 120 metros de longitud, con pendiente de entrada del -4% , la diferencia de cotas entre las respectivas rasantes del PCV y un punto de abscisa K3 + 890 es de 0,825 metros. Se sabe además que la abscisa del PCV es el K3 + 860 y su cota 500 m. Calcular: La cota en la rasante de la abscisa K3 + 930 PROBLEMA 4.7 Datos: En la figura 4,43 el punto máximo de la curva vertical de la vía 1 debe caer en la abscisa K0 + 180, y con respecto a la vía 2 debe estar 1,95 metros por debajo.
Figura 4.43 Problema 4.7
Calcular: a) La longitud de la curva vertical. b) La cota de la rasante en la abscisa K0 + 250. Solución a) h p
d= Donde h1 = 180 x 0,07 h1 = 12,6
h2 = 180 x 0,08 = 14,29 h2 – h1 = 1,69
E=
L=
A L 200 L 2 1,69 x800 17
2
= 1,69
= 79,5294
b) Cota de la rasante Cota PIV = 512, 6 P = -10% Pxd=h Donde h = 12,803 Cota rasante = Cota PIV – h Cota rasante = 512,6 – 12,803 Cota rasante = 499,797
PROBLEMA 4.8 Datos: Para una curva vertical simétrica se conoce: Pendiente de la tangente vertical de entrada Pendiente de la tangente vertical de salida Abscisa del PIV Cota del PIV
= -6% = -2% = K5 + 995 = 572,800 m
Calcular: La longitud de la curva vertical, de tal manera que en la abscisa K6 + 010, la cota sobre la rasante sea 573,400 m. Solución
El problema da los siguientes datos mediante este gráfico,
i = m – n = -6% - (-2%) i = - 4% y + a + b = 0,6 y = 0,6 – a – b a = m(15) = - 0,9 b = Cota PIV – Cota Clave b = 572,80 – 573,40 = - 0,6 y = 0,9 + 0,6 + 0,6 y = 2,1
2,1 =
i 2 2 Lv X
donde 2,1 =
b + y = 0,60 b = 15 (0,02) y = 0,60 + 0,30 y = 0,90
0,90 =
0,04 Lv 15 2 Lv 2
2
0,02 2 Lv
0,90 =
0,04 2 Lv
Lv 2 15Lv 225 4
0,005Lv 0,3Lv
0,90 =
4,5 Lv
0,90Lv = 0,005Lv2 – 0,3Lv + 4,5
Lv =
1,2 1,22 4 0,005 4,5 2 0,005
1,2 1,16 0,01
Lv = Lv = 236,19 PROBLEMA 4.9 Datos: De una curva vertical simétrica, se conoce: Pendiente de la tangente vertical de entrada Pendiente de la tangente vertical de salida Abscisa del PIV Cota del PIV
= +4% = -8% = K4 + 990 = 301,240 m
Calcular: a) La longitud de la curva vertical, tal que 40 metros después del PIV, la cota en la curva sea de 300,240 metros. b) La abscisa y la cota del punto más alto. Solución
Cota de p = cota PCV + mx -
320,24 = 301,24 + 0,04
i 2 2 Lv X
Lv 0,08 Lv 40 40 2 2 Lv 2
-1,0Lv = 0,06Lv + 1,6 – 0,04Lv
2
Lv 2 40 Lv 1600 4
-Lv = 0,06Lv + 1,6 – 0,01Lv2 + 1,6Lv + 64 0,01Lv2 – 0,66Lv – 65,6 = 0 Lv = 120,22
X=
4 120 12
120 m
= 40 m
Abscisa del punto máximo = Abscisa PCV + 40 Abscisa del punto máximo = K4 + 990 + 40 Abscisa del punto máximo = K5 + 030
Cota punto máximo = 301,24 + 0,04 x 40 PROBLEMA 4.10
0,12 2 x 40 2 x120
= 302,04 m
Datos: De una curva vertical asimétrica, se conoce: Pendiente de entrada Pendiente de salida L1 L2 Abscisa del PIV Cota del PIV
= = = = =
+4% -7% 40 m 30 m K2 + 000 = 500 m
Calcular: La abscisa y la cota del punto más alto de la curva. Solución
∆ = m + n = 0,04 + 0,07 ∆ = 0,11
y=
y=
X2 200 L 0,11 2 x 40 200 70
= 0,0125
Cota rasante = Cota PIV – y = 500 – 0,125 = 499,075 Cota más alta de la curva Abscisa = K1 + 993,94 Abscisa del punto más alto PROBLEMA 4.11 Datos:
En la parte de arriba de la figura 4,44, se presenta la vista en planta de un cruce a desnivel a 90°, y en la parte de abajo se ha dibujado un perfil longitudinal a lo largo del paso superior y que muestra transversalmente el paso inferior.
Figura 4.43 Problema 4.7
Calcular: a) La cota de la rasante en la abscisa K0 + 140 para el paso superior b) La cota de la rasante en la abscisa K1 + 220 para el paso inferior. PROBLEMA 4.12 Datos: La figura 4.45, muestra la vista en planta de un bifurcación, donde e 1 y e2 son los peraltes por la vía 1 y la vía 2. El punto A es el principio de dos curvas verticales simétricas, una para cada vía, con iguales pendientes de entrada del +6% y de salida del +3%. La longitud de la curva en la vía 1 es de 60 metros.
Figura 4.45 Problema 4.12
Calcular: La cota de la rasante en la abscisa K3 + 033 sobre la vía 2. PROBLEMA 4.13 Datos: De una curva vertical asimétrica, se conoce: Pendiente de entrada Pendiente de salida L1 L2 Abscisa del PIV Cota del PIV
= = = = =
+4% -3% Primera rama Segunda rama = 2L1 K2 + 980 = 500 m
Calcular: La longitud de la curva vertical, tal que en la abscisa K3 + 000 la rasante tenga una diferencia de altura de 2,50 metros con respecto al PTV. Solución Curva asimétrica convexa caso 1 i =m - (-n) = m + n > 0
Cota en p desde PIV = Cota p’ – y2 Cota en p desde PTV = Cota PTV + 250 Cota p’ = Cota PIV - (2,0 x 3%) Cota p’ = 500- (0,6) = 499,4
y2 =
X2 xE L2
X2 = 2L1 – 20 L2 = 2L1
i L1 L2 E=
E=
2 Lv
7 L1 2 L1 2 3L1
Pero i = m – n = (4 - (- 3)) = 7% 2
= 2
y2 =
0,14 L1 6 L1
2 L1 2,0 7 x L1 2 L1 300
=
7 L1 300
1 y2 =
y2 =
20 100 7 2 x L1 L1 L1 300
3 7 7 L1 300 3L1 15
Cota PTV = Cota PIV - (2L1 x 3%) Cota PTV = 500 - (0,06L1) Igualo cotas en p Cota p desde PIV = Cota p desde PTV
499,4 +
499,4 +
3 7 7 L1 300 3L1 15
7 15
= 500 – 0,06L1 + 2,5
- 500 – 2,5 = 500 – 0,06L1 +
79 11 7 L1 x L1 30 300 3L1
11 79 7 2 L1 L1 300 30 3
=0
Aplico Cuadratica
L1 = 72,694 m
Sirve
L1 = -0,875 m
No Sirve
L2 = 2L1 = 145,387 m
7 3L1
