Solucionario Ms II

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA. UNIDAD ZACATENCO. ACADEMIA DE GEOTECNIA. TURNO MATUTINO.

1.- Calcular la capacidad de carga última de la cimentación con las siguientes condiciones. B = 3.0 m

L = 20.00 m Df = 3.0 m

3

1.4t 4t/m /m γ = 1. 2 c = 3. 3.0 0 t/m t/m Ø = 20 20°°



3.0 m 

3

γ = 1. 1.8t 8t/m /m 2 c = 8. 8.0 0 t/m t/m Ø = 35 35°°

8.0 m Roc a sa sa na, b a sa lto

SOLUCIÓN: La falla que se genera en el suelo es una falla local. Formula para calcular la capacidad de carga de una zapata corrida. qu 

2

1 cN ć  qN ´q   BN  3 2

Hablamos de una cimentación corrida si esta cumple con: 0

B L

1

Donde

B L



3.0 20

 0.15

N ć, N ´q, N ´ Son factores de capacidad de carga adimensionales que están en

función del ángulo de fricción interna del suelo. Para determinar cada uno de estos factores se establecieron expresiones matemáticas y para facilitar los cálculos, dichos datos están tabulados en tablas. Tenemos así que: con   35 N ć  25.18 N ´  8.35 N ´q  12.75

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Trabajamos con θ = 35° porque es e s un parámetro que pertenece al estrato donde se genera la falla en el suelo por capacidad de carga. q   D f

Sustituyendo: qu 

2 3

(8)(25.18)  (1.40  3.0)(12.75) 

qu = 210.39t/m 2

1 2

(1.80)(3.0)(8.35)

Los factores de capacidad de carga se obtuvieron de l libro Principios d e – – 15 9 . Ing en iería d e Cim ent aci on es. B raja M. Das . Pág. 156

2.-De una prueba de consolidación se obtuvieron los siguientes resultados para el incremento de presiones de 4.0 a 8.0 kg/cm 2 INC INCREMEN EMENTO TO DE PR PRES ESIO ION N TOT TOTA AL 2

kg/cm 4.00 8.00

LECTU ECTUR RA FIN FINAL AL EN EL MIC MICROMET OMETR RO mm 19.635 18.057

Si para el incremento de presiones indicado la consolidación primaria representa el 75% de la deformación total, calcular el exceso de presión de poro de la muestra de suelo para la lectura en el micrómetro de 19.00 mm. El grado de saturación del suelo durante la prueba es del 100%

SOLUCIÓN: Calculo de la de la deformación total de la muestra de suelo: Deformación Total = 19.635 – 19.635 – 18.057 = 1.578 mm Tomando en cuenta que la consolidación primaria representa en 75% de la deformación total, tenemos: 100% C.P. = 1.578 x 0.75 = 1.184 mm La lectura para el 100% C. P. o para el 75% de la consolidación total es: 19.635 – 19.635 – 1.184 = 18.451 mm Deformación para la lectura de 19.00 mm 19.635 - 19.000 = 0.635 mm GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Trabajamos con θ = 35° porque es e s un parámetro que pertenece al estrato donde se genera la falla en el suelo por capacidad de carga. q   D f

Sustituyendo: qu 

2 3

(8)(25.18)  (1.40  3.0)(12.75) 

qu = 210.39t/m 2

1 2

(1.80)(3.0)(8.35)

Los factores de capacidad de carga se obtuvieron de l libro Principios d e – – 15 9 . Ing en iería d e Cim ent aci on es. B raja M. Das . Pág. 156

2.-De una prueba de consolidación se obtuvieron los siguientes resultados para el incremento de presiones de 4.0 a 8.0 kg/cm 2 INC INCREMEN EMENTO TO DE PR PRES ESIO ION N TOT TOTA AL 2

kg/cm 4.00 8.00

LECTU ECTUR RA FIN FINAL AL EN EL MIC MICROMET OMETR RO mm 19.635 18.057


SOLUCIÓN: Calculo de la de la deformación total de la muestra de suelo: Deformación Total = 19.635 – 19.635 – 18.057 = 1.578 mm Tomando en cuenta que la consolidación primaria representa en 75% de la deformación total, tenemos: 100% C.P. = 1.578 x 0.75 = 1.184 mm La lectura para el 100% C. P. o para el 75% de la consolidación total es: 19.635 – 19.635 – 1.184 = 18.451 mm Deformación para la lectura de 19.00 mm 19.635 - 19.000 = 0.635 mm GEOTECNIA IV.

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Porcentaje de consolidación primaria para la lectura de 19.00 mm, correspondiente a una deformación de 0.635 mm si: 100%C.P -1.184 µ - 0.635

µ = 53.63%

La presión de poro para un 53.63% de deformación es igual a: Δµ = (1 - µ) Δp Δµ = (1-0.5363) (1-0.5363) 4.00 Δµ = 1.855kg/cm 2 3.-Una cimentación de 8.0 x 10.0 m soportará una carga uniforme de 100 KPa. Calcular y dibujar la variación del asentamiento con respecto al tiempo debajo del centro del del área cargada. Debe considerarse el alivio de esfuerzos por la excavación a fin de trabajar con la presión neta. Df = 3. 3.0 0m SM

qo

NAF NA F

3 γm = 16 KN/m e = 3.21 -4

K = 2 x 10 cm/s

Cc = 1.74

Arc Ar c ililla la

γm = 13 KN/m3 Cc = 2.54 e = 4.92 -6 K = 3.4 x 10 cm/s

7.5

Arena Resi Arena esis stenc ia m ed ia a la p en enetrac etrac ión estanda es tanda r de 15 go lpes γm = 18 KN/m3

Arc Ar c ililla la

ω = 455% LL = 470% Ss = 2.6

2.5

-7

K = 2.6 x 10 cm/s Cc = 4.14 3 γm = 11.10 KN/m

Basalto sin discontinuidades prác pr ác ti tica ca mente imp er ermea mea ble.

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3.0

6.8

3.6

GEOTECNIA IV.


SOLUCIÓN: Peso del suelo excavado = 3.0 m x 16KN/m 3 = 48KN/m 2 Carga neta transmitida = 100KPa – 100KPa – 48 KPa = 52 KPa Calculo del incremento de esfuerzos al centro de la estructura. Δζz = 208 ωo

10.0.

8.0

z

m

n

ωo

Δσz

m 0

0

0

0

KN/m2 0

3.75

1.070

1.330

0.1938

40.31

13.40

0.300

0.370

0.0435

9.05

m = x/z

n = y/z

Los valores de influencia ωo, los obtenemos en función de m y n, con el uso de la tabla incluida en el anexo II-d. Área Rectangular Uniforme Cargada (caso de Boussinesq) del libro Mecánica de Suelos, tomo 2 de Juárez Badillo y rico Rodríguez.

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Calculo del esfuerzo efectivo medio en los estratos compresibles. σ o

3.0

qo

48

-0.00

40.31

7.5

NAF

59.96

-3.75

2.5 9.05

6.8

96.79

-13.40

3.6

Δζ = Δp Calculo de los asentamientos al centro de la estructura :  H 

Cc

1  eo

 H A   H B 

Ho log

2.54 1  4.92

 o    o

(7.5) log

4.14 1  11.50

( Suelonormalmentecons olidado )

59.96  40.31

(6.8) log

59.96 96.79  9.05 96.79

 0.72m

 0.09m

Calculo del coeficiente de consolidación Cv 

K mv m

mv 

av

1  eo

av 

e  P

e  Cc log

 o    o

El Cv se calcula para así poder determinar el tiempo que tarda en consolidarse el estrato compresible.

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA. UNIDAD ZACATENCO. ACADEMIA DE GEOTECNIA. TURNO MATUTINO. 59.96  40.31

e A  2.54 log

59.96 96.79  9.05

eB  4.14 log

96.79

 0.57

 0.16

av 

av 

0.57 0.4031 0.16 0.0905

 1.414cm 2 / kg  1.768cm 2 / kg

ΔP = incremento de presión en el suelo mv A 

Cv A  Cv B 

1.414 1  4.92

 0.239cm 2 / kg

mv B 

3.4 x10 6 cm / s 2

3

 0.0142cm 2 / s

3

 0.0019cm 2 / s

0.00024cm / gr (1 gr / cm ) 2.6 x10 7 cm / s 2

0.00014cm / gr (1 gr / cm )

1.768 1  11.50

 0.141cm 2 / kg

γm = peso volumétrico del agua Calculo del tiempo El tiempo que tarda en consolidarse el estrato compresible se calcula con la formula para determinar el factor de tiempo considerando un grado de consolidación del 99% T 

t A 

Cvt h

2

t 

1.781(375) 2 0.0142

Th

2

Cv

con T = 1.781

 204.14días

t B 

1.781(680) 2 0.0019

 5016.67días

h = representa el espesor del estrato, tomando en cuenta si éste se encuentra entre estratos permeables o impermeables. av = coeficiente de compresibilidad mv = coeficiente de deformación volumétrica

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Resumen Estrato

Cv ( cm /s) 0.0142 0.0019

A B

h ( cm) 375 680

t100(días) 204.14 5016.67

ΔH ( cm)

72 9

Calculo del porcentaje de consolidación para los estratos compresibles y el tiempo que tarda en presentarse. Determinamos el factor de tiempo para el tiempo establecido ( delimitándolo por la cantidad de días que tarda en consolidarse al 100%). Se obtiene el porcentaje de consolidación con respecto al número de días que se contemplen Calculamos el asentamiento que se presenta respecto al tiempo indicado. Se establece el asentamiento total Para calcular el factor de tiempo empleamos la ecuación. Cv T  2 t h

donde T ( factor de tiempo), lo pondremos en función del tiempo en días que nosotros propongamos, tomando en cuenta que este estará delimitado por el número de días que tardo el estrato en alcanzar el 100% de consolidación t A 

0.0142 375

2

 8.724 3 t

t B 

0.0019 680

2

 3.550 4 t

NOTA: el valor obtenido lo multiplicamos por 86400 para que de en días. El porcentaje de consolidación lo calculamos en función al factor de tiempo establecido. U 

4T 

(T  0.238)

GEOTECNIA IV.

 1.781  T

U % 100  10





0.933



(T  0.238)

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El asentamiento quedará en función del porcentaje de consolidación: Para el estrato A Con un 100% de consolidación tenemos un asentamiento de 72 cm, por lo tanto para un porcentaje de consolidación x, tendremos: U100 - ΔH100 U

-

X

X 

U (72) 1

 cm

Para el estrato B X 

U (9) 1

t días 0 50 100 204.14 500 1000 2000 3000 4000 5016.67

 cm

TA 0 0.436 0.872 1.781 <1.781 <1.781 <1.781 <1.781 <1.781 <1.781

GEOTECNIA IV.

TB 0 0.018 0.036 0.072 0.178 0.355 0.710 1.065 1.420 1.781

UA 0 0.76 0.91 1 1 1 1 1 1 1

UB

ΔHA

ΔHB

ΔH

0 0.15 0.21 0.30 0.48 0.66 0.86 0.94 0.98 1

cm 0 54.72 65.52 72 72 72 72 72 72 72

cm 0 1.35 1.89 2.70 4.32 5.94 7.74 8.46 8.82 9

Cm 0 56.07 67.41 74.70 76.32 77.94 79.74 80.46 80.82 81.00

GEOTECNIA IV.


4.-El estado de esfuerzos de un cuerpo está representado en la siguiente figura, determinar gráfica y analíticamente los esfuerzos principales.

SOLUCIÓN:

Convención Esfuerzo normal (ζn)

+

+

Esfuerzo cortante (η)

Por lo tanto las coordenadas son (-20,7)

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(90,-7)

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA. UNIDAD ZACATENCO. ACADEMIA DE GEOTECNIA. TURNO MATUTINO. τ

50

(-20,7)

50

σ 1 σ 3

50

σ n

100 (90,-7)

Gráficamente: ζ1 = 90 kg/cm2 ζ2 = -20 kg/cm 2

5.-De una prueba de consolidación se obtuvieron los siguientes resultados para el incremento de presiones de 20 a 40 kPa. INCREMENTO DE PRESION TOTAL kPa 40 80

LECTURA FINAL EN EL MICROMETRO mm 20.635 19.057


GEOTECNIA IV.

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SOLUCIÓN: Calculo de la deformación total de la muestra de suelo: Deformación Total = 20.635 – 19.057 = 1.578 mm Tomando en cuenta que la consolidación primaria representa el 70% de la deformación total, tenemos: 100% C.P = 1.578 x 0.70 = 1.105 mm La lectura para el 100% C.P. o para el 75% de la consolidación total es: 20.635 – 1.05 = 19.530 mm Deformación para la lectura de 19.800mm: 20.635 – 19.800 = 0.835 Porcentaje de consolidación primaria para la lectura de 19.800 mm, correspondiente a una deformación de 0.835 mm Si: 100% C.P - 1.105mm µ – 0.835mm

µ% = 75.57

La presión de poro para un 75.57 % de deformación es igual a: Δµ = (1 - µ)ΔP Δµ =(1 – 0.7557)40 Δµ = 9.772 KPa

GEOTECNIA IV.

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6.- Calcular el empuje activo y su localización para el muro de contención. 2

q = 2t/m

3

γ = 1.7 t/m C = 3 t/m φ = 25°

2

4.0 m

γ = 1.9 t/m C = 0 t/m φ = 33°

3

2

3.0 m

SOLUCIÓN: Calculo de Ka     2   25   ka1  tan 2  45    0.406 2   ka  tan 2  45 

 

ka2  tan 2  45 

33 

  0.295

2 

Calculo de los esfuerzos horizontales Para Z = 0 m ζ v  q   1h1  2  1.7(4.0)  8.800t / m 2 ζ h   vka  2c ka  2(0.406)  2(3) 0.406  3.011t / m 2 Para Z = 4 m ζ v  q   1h1  2  1.7(4.0)  8.800t / m 2 ζ h   vka  2c ka  8.8(0.406)  2(3) 0.406  0.250t / m 2

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Para Z = 4 + d (2) ζ v  q   1h1  2  1.7(4.0)  8.800t / m 2 ζ h   vka  2c ka  8.8(0.295)  2(0) 0.295  2.596t / m 2 Para Z = 7 m ζ v  q   1h1   2 h2  2  1.7(4.0)  1.9(3.0)  14.500t / m 2 ζ h   vka  2c ka  14.500(0.295)  2(0) 0.295  4.278t / m 2 -3.011

P1 4.0 m

P2

-0.250

2.596

3.0 m

P3 P4 4.278

P 1 

2.761 4.0

 5.522t / m 2 P 2  0.250  4.0  1.000t / m P 3  2.596  3.0  7.788t / m P 4 

1.682  3.0 2

 2.523t / m

ỹ = 3 + 2.667 = 5.667 m ỹ = 3 + 2 = 5.00 m ỹ = 1.500 m ỹ = 1.500 m

El empuje lo obtenemos de la suma de todas las áreas que componen al diagrama de esfuerzos horizontales Ea = -5.522-1.000+7.788+2.523 = 3.789 t/m

GEOTECNIA IV.

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Para determinar el punto donde se localiza el empuje multiplicaremos cada una de las áreas calculadas por su centroide en “y” y luego realizamos la sumatoria; ta l resultado se dividirá entre el empuje total (suma de áreas). ỹEa = P1ỹ1+P2ỹ2+P3ỹ3+ P4ỹ4 ỹ= ỹ=

 5.522(5.667)  1.0(5)  7.788(1.5)  2.523(1)  5.522  1.0  7.788  2.523  22.088 3.789

 5.830m

SOLUCIÓN ALTERNA 2

q = 2t/m

3

γ = 1.7 t/m C = 3 t/m φ = 25°

2

4.0 m

Ka = 0.406

3.0 m

Ka = 0.295

3

γ = 1.9 t/m C = 0 t/m φ = 33°

2

CALCULO DE LOS ESFUERZOS HORIZONTALES. SOBRECARGA Para Z = 0 m ζ v  2.0t / m 2 ζ h   vka  (2.0)(0.406)  0.812t / m 2

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Para Z = 4m ζ v  2.0t / m 2 ζ h   vka  (2.0)(0.406)  0.812t / m 2 Para Z = 4m+ d (2) ζ v  2.0t / m 2 ζ h   vka  (2.0)(0.295)  0.590t / m 2 Para Z = 7m ζ v  2.0t / m 2 ζ h   vka  (2.0)(0.295)  0.590t / m 2 CALCULO DEL EMPUJE Y SU LOCALIZACIÓN (POR SOBRECARGA) 0.812

P1

4.0 m

0.812 0.590

P2

3.0 m

0.590

El empuje será la suma de todas las áreas que componen al diagrama de esfuerzos horizontales P 1  (0.812  4.0)  3.248t / m P 2  0.590  3.0  1.770t / m P T  3.248  1.770  5.018t / m

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Localización del centroide en “Y” para cada una de las áreas que componen al diagrama de esfuerzos horizontales ỹ1= 5.0 m;

ỹ2= 1.500 m ( medidas respecto al fondo del m.)

La distancia a la que se sitúa el empuje se determina tomando momentos respecto al fondo del muro: Mo = 3.248(5.0) + 1.77(1.5) = 18.895 t ỹ

Mo P T



18.895t 5.018t / m

 3.765m

PESO PROPIO Para Z = 0 m ζ v  q   1h1  0 ζ h   vka  2c ka  2(3) 0.406  3.823t / m 2 Para Z = 4 m ζ v   1h1  1.7(4.0)  6.800t / m 2 ζ h   vka  2c ka  6.8(0.406)  2(3) 0.406  1.062t / m 2 Para Z = 4 + d (2) ζ v   1h1  1.7(4.0)  6.800t / m 2 ζ h   vka  2c ka  6.8(0.295)  2(0) 0.295  2.006t / m 2 Para Z = 7 m ζ v   1h1   2 h2  6.8  1.9(3.0)  12.50t / m 2 ζ h   vka  2c ka  12.50(0.295)  2(0) 0.295  3.688t / m 2

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


CACULO DEL EMPUJE Y SU LOCALIZACIÓN -3.823 P1 4.0 m

P2

-1.062

2.006 P3

3.0 m P4

3.688

2.761 4.0

P 1 

 5.522t / m 2 P 2  1.062  4.0  4.248t / m P 3  2.006  3.0  6.018t / m P 4 

1.682  3.0 2

 2.523t / m

ỹ = 5.667 m ỹ = 5.00 m ỹ = 1.5 m ỹ = 1.0 m

UBICACIÓN DEL EMPUJE ỹEa = P1ỹ1+P2ỹ2+P3ỹ3+ P4ỹ4 ỹ=

 5.522(5.667)  4.248(5)  6.018(1.5)  2.523(1)  1.229

ỹ=

 40.983  33.347m  1.229

Empuje activo: suma del empuje generado por la sobrecarga y el peso propio del suelo Ea = 5.018 – 1.229 = 3.789 tn/m

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Localización del empuje ỹEa =E(sobrecarga)y + E(peso propio)y ỹ=

 5.018(3.765)  1.229(33.347) 3.789

 5.83m

7.- Determinar la profundidad de desplante, ancho y largo de una cimentación capaz de soportar, con un factor de seguridad de 3, una carga de 900 ton. La carga se aplica a nivel de la superficie del terreno. Para definir las características del subsuelo se desarrolla una campaña de exploración hasta 12 m de profundidad. La estratigrafía se resume a continuación. 900 t

0m

SM γ = 1.7 g/cm

3

N = 10 golpes

NAF

3.0 m

CS γ = 1.4 t/m

3

 = 50% LL = 90%

15.0 m

SOLUCIÓN: Se propone que el nivel de desplante (Df) sea a 3.0 m de profundidad, a fin de evitar problemas constructivos por la presencia del nivel de aguas freáticas. Calculo de los parámetros de resistencia del segundo estrato. Con los datos de laboratorio que se reportaron de una prueba de compresión triaxial no consolidada – no drenada, obtendremos la cohesión y el ángulo de fricción interna del suelo. GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Tenemos: Probeta 1 Probeta 2 Probeta 3

ζ3 = 1.00 kg/cm2 ζ3 = 2.00 kg/cm2 ζ3 = 3.00 kg/cm2

y ζ1 =ζ3 + Δζ = 1.00 + 2.70 = 3.70 kg/cm 2 y ζ1 =ζ3 + Δζ = 2.00 + 3.64 = 5.64 kg/cm 2 y ζ1 =ζ3 + Δζ = 3.00 + 4.10 = 7.10 kg/cm 2

Conocidos los valores de los esfuerzos principales, entonces podemos graficar los círculos de Mohr, a fin de obtener los parámetros de resistencia al corte.

= 15°

2.0 1.0

σ 3

σ 3

1.0

σ 3

2.0

σ 1

3.0

c = 0.80kg/cm

σ 1

4.0

5.0

6.0

σ 1 7.0

8.0

σ n

2

Determinación de las dimensiones de una zapata cuadrada. Por lo tanto: La cohesión es: c = 0.80 kg/cm 2 = 8.0 t/m 2 Angulo de fricción interna es: θ = 24° Sabemos que: qa 

qu Fs

Qu = FsQ

y que:

qu 

Qu A

de donde:

así: Qu = (3.0)(900) = 2700 t.

Por lo tanto: qu 

2700t B 2

(suponiendo una zapata cuadrada).

La capacidad de carga última del suelo se determinará respecto a una falla local. GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


qu 0.867cN ć   DfN ´q  0.4 BN ´

Nć,N´q y N´γ son factores de capacidad de carga que están en función del ángulo de fricción interna del suelo (θ). Obtención de los factores de capacidad de carga Para θ = 15° Nć =9.67 N´q = 2.73 N´γ = 0.57 Ver tabla 3.2 Factores de c apacidad de carg a m od ificado s d e Terzagh i Nć, N´q y N´γ. Libro Principio de Ingeniería de Cimentaciones Braja M. Das. qu 

Sabemos que

2700t B 2

Sustituyendo en la ecuación de capacidad de carga. 2700 B 2

2700 B 2

 0.867(8)(9.67)  1.7(3.0)(2.73)  0.4(1.80  1.00) B(0.57)  80.99  0.18 B

0.18B3 + 80.99B2 – 2700 = 0 Resolviendo la ecuación de tercer grado tenemos: B = 5.74 m Revisando: 2700 Qu qu  2   81.95t / m2 2 B (5.74) qa 

qu Fs



81.95 3.0

 27.32t / m2

se obtuvo una zapata cuadrada de 5.74 x 5.74 m, con un Df = 3.0 m y una, capacidad de carga del suelo qu = 91.85 t/m 2. GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


8.- Calcular el incremento de esfuerzos en el punto A de la figura.

P = 50 t

X

3.0 m P = 10 t/m

5.0 m ω = 20 t/m

P = 20 t Y

2

m 0 3.

3.0 m

2.0 m 1.5 m

A 7.0 m

Z

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Calculo de los esfuerzos inducidos por la carga uniformemente distribuida. Y 3.0 m

m 0 3.

X

5.0 m

A Y

3.0 m

X

A 3.0 m

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Los esfuerzos los calculamos con: Δζz = ωωo Donde el valor de fluencia (ωo) esta en función de n y m, siendo n = y/z y m = x/z ωo lo obtenemos del gráfico para Área rectangular uniformemente cargada (Caso de Boussinesq). Tenemos: Δζz = 20ωo n

y z



3.0 5.0

 0.60

m

ωo = f(n,m) = 0.1055

x z



3.0 5.0

 0.60

Así: Δζz = 20(0.1055) = 2.11 t/m2 Calculo de los esfuerzos inducidos por carga concentrada Y

X

A 3.0 m 5.0 m

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


El incremento de esfuerzos en el suelo, se calcula con:  z 

P z 2

Po

donde Po (valor de influencia para el caso de carga concentrada) lo obtenemos con: Po 

3

1

5 2  2 2  r   1       z  

O con la tabla incluida en el Anexo II – b del libro Mecánica de Suelos. Tomo 2 Juárez Badillo y Rico Rodríguez . Para hacer uso de la tabla se debe calcular la relación: r/z. Tenemos: Para P = 20t P x tn 20  z 

P 2

z

Po 

y 5.50 20 3.0

para P = 50t P x tn 50 5.00  z 

2

r m 5.50

z m 3.0

r/z 1.83

Po 0.0121

r/z 1.72

Po 0.0153

Δσ

tn/m 0.0269

(0.0121)  0.0269tn / m 2

y 7.00

r m 8.60

z m 5.0

Δσ

tn/m 0.0306

50 Po  (0.0153)  0.0306tn / m 2 2 2 5.0 z P

r = es el radio que se forma entre el punto en estudio y el lugar donde se sitúa la carga y es igual a: r  x 2  y 2

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Calculo de los esfuerzos inducidos por carga lineal. Y

0 0 4.

m

P = 10t/m 0 0 3.

m

Pv X

5.0 m

5.0 m

A

Z

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Y

4.0 m

P= 10t/ 10t/m m

3.0 m

Pv

X

5.0 m En Planta

Los esfuerzos se calculan con:  

P z

Po

Donde Po (valor de influencia para carga lineal), se calcula con la formula:

Po 

1 2      2 (m 2  1) m 2  n 2  1  m 2  n 2  1 m 2  1  1

siendo m = x/z

n

n = y/z

De igual forma se puede obtener el valor de influencia con el gráfico de Fadum par influencia de carga lineal, ubicada en el Anexo II-c del Libro Mecánica de Suelos Tomo 2 Juárez Badillo y Rico Rodríguez. Para este caso, tenemos que por no situarse la la carga sobre el plano de acción del punto en estudio, se trabajara con una carga virtual, que posteriormente se restará para obtener así los esfuerzos reales.

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Para P = 10 tn/m P P Po( R  V )  Po(V ) z z P  z   Po( R  V )  Po(V ) z

 z 

Calculo de n y m y 7.0  1.40 n( R  V )   z 5.0

m( R  V ) 

y 3.0  0.60 n(V )   z 5.0

m(V ) 

z m 5.00

n(R+V) 1.40

m(R+V) n(V) 1.00 0.60

y z



x z



5.0 5.0

m(V) 1.00

5.0 5.0

 1.0

1.0 Po(R+V) Po(V) 0.0675 0.0440

Δσ

t/m 0.0470

Tenemos así que el incremento de esfuerzos totales en el punto A es la suma de cada uno de los esfuerzos inducidos por las diversas cargas que soporta.  



Para la carga uniformemente distribuida dis tribuida ω = 20 t/m 2, el Δζ = 2.11 t/m 2. Para la carga concentrada P = 20t, el Δζ = 0.0269 t/m 2 y para P = 50t, el Δζ = 0.0306 t/m 2 Para la carga lineal P = 10t/m, el Δζ = 0.0470t/m 2

Por lo tanto, el incremento de esfuerzos en el punto A es: ΔζT = 2.11 + 0.0269 + 0.0306 + 0.0470 Δζ = 2.2145 t/m 2

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


9.- Calcular el empuje activo y su localización localización para un muro de contención de 6 m de altura con los siguientes datos: Angulo de respaldo 75°; ángulo de la superficie del relleno 7°; ángulo de fricción entre relleno y respaldo del muro 8°; sobrecarga en la superficie del relleno 35kPa; cohesión nula; ángulo de fricción interna 20°; peso volumétrico del relleno 17KN/m3

ω=35kPa 7°

5 4 3 2 1

W5 W4 W3 W2 75°

Ea = 260 KN/m

W1

θ = α - δ = 7 5 - 8 = 67 °

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Datos α = 75° δ = 8° β = 7° θ = 20° γ = 17KN/m3 ω = 35kPa H=6m

CUÑA 1 2 3 4 5

AREA m 6.77 6.52 6.62 6.62 8.40

PESO KN/m 115.13 110.86 112.47 112.47 142.80

ω

KN/m 35 35 35 35 35

TOTAL KN/m 150.13 145.86 147.47 147.47 177.80

∑W

KN/m 150.13 295.99 443.46 590.93 768.73

10.-Para el punto A calcular y dibujar los esfuerzos inducidos para las profundidades de 0.2 m a 25.0 m a) 12

10

3.6 3.5

5 4.

4.9 5.0

7.0

0 6.

4.0

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


El incremento de esfuerzos se calcula con:  z 

1 1 2  P n  Poy , Po     z 2 (m 2  1) m 2  n 2  1  m 2  n 2  1 m 2  1 

donde Po ( valor de influencia para carga lineal) esta en función de m y n, siendo m = x/z y n = y/z. El valor de influencia lo obtenemos del anexo II – c. Gráfico de Fadum para influencia de carga lineal. Mecánica de Suelos. Tomo 2. Juárez Badillo y Rico Rodríguez. Los ejes de las cargas varían según el sentido que estas lleven. Se debe considerar que el eje de las “Y” debe ser paralelo a la carga. Ejemplo: X Po

Y

A A

X

Y

X´

Y´

Cuando la carga no esta distribuido hasta el punto donde se estan calculado los esfuerzos, esta debe considerarse con carga virtual. Posteriormente se restara a la carga real la carga virtual a fin de obtener los esfuerzos reales. M y n quedarán en función de “Z” ya que se calcularán los esfuerzos a diferentes profundidades. Para P1 = 100 KN/m  z 

P P P Po R  V   Po(v)   Po( R  V  Po(v) z z z

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


z m 0.20 1.00 5.00 10.0 20.0 25.0

n(R+V) 67.50 13.50 2.70 1.35 0.68 0.54

n(v) 17.50 3.50 0.70 0.35 0.18 0.14

Po(R+V) 0.3200 0.3200 0.3175 0.3010 0.2455 0.2148

Po(V) 0.3200 0.3180 0.2480 0.1540 0.0840 0.0675

Δσz

KN/m 0 0.200 1.390 1.470 0.808 0.589

N(R+V) =13.5/Z M(R+V) = 0/Z N(V) = 3.5/Z M(V) = 0/Z Para P2 = 200KN/m  z 

P P P Po(1)  Po(2)   Po(1)  Po(2) z z z

z m 0.20 1.00 5.00 10.0 20.0 25.0

n1 25 5 1 0.50 0.25 0.20

n1 = 5/z

n2 35 7 1.40 0.70 0.35 0.28

m1 = 8.5/z

m1 = m2 42.50 8.50 1.70 0.85 0.43 0.34

n2 = 7/z

Po (1) 0 0 0.0135 0.0550 0.0728 0.0675

Po ( 2) 0 0 0.0205 0.0700 0.0965 0.0955

Δσz

KN/m 0 0 1.360 2.500 1.693 1.304

m2 = 8.5/z

Para P3 = 300  z 

z m 0.2 1.0 5.0 10.0 20.0 25.0

P Po z

n 55 11 2.20 1.10 0.55 0.44

GEOTECNIA IV.

m 18 3.6 0.72 0.36 0.18 0.14

Po 0 0 0.1445 0.2178 0.1975 0.1725

Δσz

KN/m 0 0 8.670 6.534 2.963 2.070

GEOTECNIA IV.


N = 11/z

m = 3.6/z

Para P4 = 400  x 

z m 0.20 1.0 5.0 10.0 20.0 25.0

P P P Po( R  V )  Po(V )   Po( R  V )  Po(V ) z z z

n(R+V) 52.50 10.50 2.10 1.05 0.53 0.42

n(V) 22.50 4.50 0.90 0.45 0.23 0.18

N(R++V) = 10.5/z n(V) = 4.5/z

Po(R+V) 0.3200 0.3200 0.3150 0.2860 0.1900 0.1740 m(R+V) = 0/z

Po(V) 0.3200 0.3185 0.2760 0.1880 0.1080 0.0865

Δσz

KN/m 0 0.600 3.120 3.920 1.640 1.400 m(V) = 0/z

El incremento de esfuerzos total inducidos en el punto A lo determinamos sumando cada uno de los esfuerzos generados por las diversas cargas concentradas. Así tenemos que para:

z m 0.20 1.00 5.00 10.00 20.00 25.00

GEOTECNIA IV.

Δσz

KN/m 0 0.800 14.540 14.424 7.104 5.363

GEOTECNIA IV.


b) Localización del punto A -Una esquina. - Al centro del claro largo. - Al centro del claro corto - Al centro del área cargada

A1

20 m 10 kPa

10 m

El incremento de esfuerzos se calcula con:  z  o 1  2mn m 2  n 2  1  m 2  n 2  2 

 2mn m 2  n 2  1    2   arctan 2  o   2 2 2 2 2 2 2 2   4  m  n  m n  1  m  n  1   m  n  m n  1  

donde ωo ( valor de influencia para carga uniforme) esta en función de m y n, siendo m = x/z y n = y / z.

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


El valor de influencia lo podemos obtener con el anexo II – d Área Rectangular uniformemente Cargada ( caso de Boussinesq). Mecánica de Suelos Tomo 2. Juárez Badillo y Rico Rodríguez . Los ejes se sitúan dependiendo la localización del punto donde se desea conocer los esfuerzos. Teniendo así que el origen será el punto en estudio. Ejemplo:

A

A

M y n estarán en función de “z” ya que los esfuerzos se calcularán a diferentes profundidades. Para el punto A en una esquina.  z  150 o

z m 0.2 0.5 1.0 5.0 10.0 15.0 20.0 250. n = 20/z

n 100 40 20 4 2 1.33 1 0.80

m 50 20 10 2 1 0.67 0.50 0.40

ωo

Δσz

0.2500 0.2500 0.2500 0.2400 0.2000 0.1550 0.1210 0.0935

KPa 37.500 37.500 37.500 36.000 30.000 23.250 18.150 14.025

m = 10/z

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Para el punto A al centro del claro largo  z  150(2) o  300 o Y

X

20 m

n = 10/z m = 10/z 10 m

En este caso multiplicamos por dos la carga, ya que solo estamos abarcando la mitad de la superficie.

z m 0.20 0.50 1.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 n = 10/z

n=m 50 20 10 2 1 0.67 0.50 0.40

ωo

Δσz

0.2500 0.2500 0.2500 0.2325 0.1760 0.1220 0.0840 0.0602

KPa 75.00 75.00 75.00 69.75 52.80 36.60 25.20 18.06

m = 10/z

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Para el punto A al centro del claro corto  z  150(2) o  300 o Y

X n = 20/z m = 5/z

multiplicamos la carga por dos debido a que solo estamos considerando la mitad de la misma.

z m 0.2 0.5 1.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 n = 20/z

n 100 40 20 4 2 1.33 1 0.80

m 25 10 5 1 0.50 0.33 0.25 0.20

ωo

Δσz

0.2500 0.2500 0.2500 0.2049 0.1355 0.0925 0.0675 0.0500

KPa 75.00 75.00 75.00 61.47 40.65 27.75 20.25 15.00

m = 5/z

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Para el caso A al centro del área cargada  z  150(4) o  600 o Y

X´

X

20 m

Y´ 10 m

Multiplicamos la carga por cuatro, debido a que solo se contempla ¼ de la misma

z m 0.2 0.5 1.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 n = 10/z

n 50 20 10 2 1 0.65 0.50 0.40

m 25 10 5 1 0.50 0.33 0.25 0.20

ωo

Δσz

0.2500 0.2500 0.2500 0.2000 0.1210 0.0710 0.0455 0.0355

KPa 150.00 150.00 150.00 120.00 72.60 42.60 27.30 20.10

m = 5/z

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


c)

= 170 Kpa

w

V2

V1

V3

10 m

2.8 m

20 m

A

3.5 m

El incremento de esfuerzos se calcula con:  z   o

donde ωo esta en función de n y m, siendo n = y/z y m = x/z. el valor de ωo lo obtenemos del gráfico para Área rectangular uniformemente cargada (Caso Boussinesq). Debido que el punto donde se desean conocer los esfuerzos inducidos en el suelo se encuentran fuera de la superficie cargada, se trabajará con cargas virtuales, a fin de obtener los resultados que se requieren. El Δζz = ωωo(R+V) – ω{[ωo(V1) + ωo(V2)]- ωo(V3)} Calculo de n y m n(R+V) n (V1) n(V2) n(V3)

= 23.50/z = 3.50/z = 23.50/z = 3.50/z

GEOTECNIA IV.

m(R+V) m(V1) m(V2) m(V3)

= 12.80/z = 12.80/z = 2.80/z = 2.80/z

GEOTECNIA IV.


GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


z m 0.2 0.50 1.00 5.00 10.0 15.0 20.0 25.0

n(R+V) 117.50 47.00 23.50 4.70 2.35 1.57 1.18 0.94

m(R+V) 64.00 25.60 12.80 2.56 1.28 0.85 0.64 0.51

n(V1) 17.50 7.00 3.50 0.70 0.35 0.23 0.18 0.14

m(V1) 64.00 25.60 12.80 8.56 1.28 0.85 0.64 0.51

n(V2) 117.50 47.00 23.50 4.70 2.35 1.57 1.18 0.94

m(V2) 14.00 5.60 2.80 0.56 0.28 0.19 0.14 0.11

n(V3) 17.50 7.00 3.50 0.70 0.35 0.23 0.18 0.14

m(V3) 14.00 5.60 2.80 0.56 0.28 0.19 0.14 0.11

ωo(R+V) ωo(V1) ωo(V2) ωo(V3) Δσz

0.2500 0.2500 0.2500 0.2460 0.2170 0.1824 0.1482 0.1197

0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 0.1704 0.1489 0.0964 0.0839 0.0598 0.0560 0.0397 0.0405 0.0279 0.0306

GEOTECNIA IV.

0.2500 0.2500 0.2450 0.1117 0.0400 0.0193 0.0112 0.0072

0 0 0 6.528 13.039 14.603 13.464 11.628

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d) El área cargada es cuadrada de 15 x 15 m, con un espacio circular libre, de 7 m de diámetro. El punto A se localiza al centro de la figura. Y


d) El área cargada es cuadrada de 15 x 15 m, con un espacio circular libre, de 7 m de diámetro. El punto A se localiza al centro de la figura. Y

m 5 . 3

A

X

ω = 11 KPa

SOLUCIÓN: Se calculan los esfuerzos inducidos en el suelo en toda la superficie ( aún la no cargada). Posteriormente se determinarán los esfuerzos de área circular, a fin de restárselos al área total. Calculo de los esfuerzos de la superficie cuadrada. Δζz =ωωo Δζz =100(4) ωo = 400 ωo La carga se multiplica por cuatro, ya que no estamos contemplando toda la sección en el análisis, sino una cuarta parte.

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA. UNIDAD ZACATENCO. ACADEMIA DE GEOTECNIA. TURNO MATUTINO. Y

15 m

A 15 m

X

15 m

El valor de influencia esta en función de n y m, donde n = y/z y m = x/z. El valor de ωo lo obtenemos del gráfico para Área Rectangular Uniformemente cargada (Caso de Boussinesq) del libro Mecánica de Suelos Tomo 2.

z m 0.20 0.50 1.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

GEOTECNIA IV.

n=m 37.50 15.00 7.50 1.50 0.75 0.50 0.38 0.30

ωo

Δσz

0.2500 0.2500 0.2500 0.2156 0.1372 0.0840 0.0543 0.0373

KPa 100.00 100.00 100.00 86.27 54.89 33.61 21.74 14.94

GEOTECNIA IV.


Calculo de los esfuerzos de la superficie circular.  z   c 3    2        1   donde:  c  1    2  r    1      z     

Δζ =100ωc

z m 0.20 0.50 1.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

r/z 17.50 7.00 3.50 0.70 0.35 0.23 0.18 0.14

ωc

Δσz

0.99981 0.99717 0.97927 0.45018 0.15915 0.07441 0.04670 0.02870

KPa 99.981 99.717 97.927 45.018 15.915 7.441 4.670 2.870

Resumen.

z

Δσz

m 0.20 0.50 1.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

Cuadrada) KPa 100.00 100.00 100.00 86.27 54.89 33.61 21.74 14.94

GEOTECNIA IV.

(Sup. Δσz

Circular) KPa 99.981 99.717 97.927 45.018 15.915 7.441 4.670 2.870

(Sup. Δσz

KPa 0.019 0.283 2.073 41.252 38.975 26.169 17.070 12.070

GEOTECNIA IV.


NOTA: el valor de ωc ( valor de influencia para área circular uniformemente cargada) la podemos obtener con la Tabla localizada en el Anexo II – c del libro Mecánica de suelos Tomo 2. de Juárez Badillo y Rico Rodríguez. Para hacer uso de la tabla se debe conocer la realización r/z. 11.-El suelo en que está apoyado un edificio consiste de un importante estrato de arena, que contiene en su parte media un estrato de arcilla de consistencia muy blanda a blanda de 5.7 m de espesor. En el laboratorio, una muestra de arcilla de 20 mm de espesor, drenada por ambas caras, alcanzó el 70% de consolidación en 48 minutos. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que el estrato de arcilla alcance también el 70% de consolidación?

SOLUCIÓN: El coeficiente de consolidación (Cv) de campo como de laboratorio lo consideramos igual, por lo tanto: Cv campo = Cv laboratorio de donde tenemos: T 

Cv h

2

Con CvC = CvL

t

por lo tanto: T 

t h

2

t = Tiempo que tarda en alcanzar el 70% de consolidación. h = espesor del estrato, por tratarse de una muestra drenada por ambas caras h = h/2 t 70%

(285cm) 2



2880 seg (1.00cm) 2

t = 233928000 seg. = 2707.5 días

GEOTECNIA IV.

1 hr = 3600 seg. 1 día = 86400 seg.

GEOTECNIA IV.


12.-Una zapata de 1.50 X 2.50 m soporta una carga de 45 t. Las características del suelo son, modulo de elasticidad de 98.54 kg/cm 2 y la relación de Poisson de 0.28. Suponiendo que la cimentación es rígida calcular el asentamiento inmediato al centro de la cimentación para las siguientes condiciones, si la profundidad de desplante es de 1.80 m. i) ii)

Espesor del estrato indeterminado. Espesor del estrato a 15 m.

SOLUCIÓN: Para el centro de la cimentación con un Nivel de desplante de 1.8 m y un estrato indeterminado.

DATOS. L = 2.50 m B = 1.50 m Es = 98.54kg/cm2 = 985.4 t/m 2 μ = 0.28 qo =45t / (1.5m x 2.5m) = 12 t/m 2 L/B = 2.5/1.5 = 1.67 Para calcular el asentamiento de la cimentación rígida emplearemos la siguiente expresión. Se 

Bq0 Es

1    r 2

Ec 4.32a, Cap 4. Princ ipio s d e Ingen iería de Cim entac ion es. Braja M. Das..

Donde αr esta en función de la relación L/B; con la cual entramos a la figura 4.18 Valores de α, αprom. Y αr (Cap. 4 Prin cip ios d e Ing eniería de Cimen tacio nes . Braja M. Das.

Por lo que para L/B = 1.67, αr = 1.10 Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos:

S 

1.50(12) 985.40

1  (0.28) 1.10  0.0185m  1.85cm

GEOTECNIA IV.

2

GEOTECNIA IV.


Para el centro de la cimentación con un nivel de desplante de 1.8 m y un estrato de 15 m de espesor.

DATOS. L = 2.50 m B = 1.50 m Es = 985.4 t/m 2 μ = 0.28 q = 12 t/m 2 H = 13.20 El espesor que se considera para efecto de calculos es el que resulta de restarle al espesor real el nivel de desplante. El asentamiento, producto de la presencia de una cimentación rígida, la determinamos con: Sv 

CdqB 1   2  Es

Ec (5.18)

Tabla 5.4 Shape and rig idity factors Cd for calculatings settlements o f points on lo aded areas at the surface o fan elastic half space (after winterkorn and fang . 1975).

Donde Cd lo establecemos en función a la forma de la cimentación ( ya sea que se trate de una cimentación circular, cuadrada o rectangular) con ayuda de la Tabla 5.4 Shape and rigidity factors Cd for calculatings settlements of points on loaded areas at the surface o fan elastic half space (after winterkorn and fang. 1975). Tenemos así, que para una cimentación rectangular con una relación L/B = 1.67, Cd = 1.4144 NOTA: El valor de Cd se obtuvo mediante interpolación Sustituyendo. 1.4144(12.0)(1.50) 1  0.28

2

Sv 

985.4

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Sv = 0.0238 m Sv = 2.38 cm 13.-Calcular el esfuerzo desviador en la falla para un suelo que se sometió a una prueba triaxial, si el esfuerzo confinante fue de 0.20 kg/cm 2, la cohesión de 0.50 kg/cm2 y el ángulo de fricción interna de 35°.

SOLUCIÓN:

τ Ø = 35°

1.0

1.0

σ 3

1.0

ζ3 = 0.20 kg/cm2

ζ1 = 2.68 kg/cm2

2.0

σ 1

3.0

(Gráfica)

Δζ = ζ1-ζ3 = 2.68 – 0.20 = 2.48kg/cm 2 (Gráfica) Analíticamente lo determinamos con la formula:  1   3 tan 2 45 



1.84 Ca p . I Pág . 57

   2c tan 45   2  2   

De la cual conocemos el valor de ζ 3, Ø y c. Teniendo ζ1 y ζ3, entonces establecemos el valor del esfuerzo desviador, que como es de nuestro conocimiento, es igual al esfuerzo principal mayor menos el esfuerzo confinante. GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


 1  0.20 tan 2 45  17.5  2(0.5) tan45  17.5  2.659kg / cm2

Δζ =2.659 – 0.200 = 2.459 kg/cm 2

14.-Con los esfuerzos principales indicados en la figura, determinar, gráfica y analíticamente los esfuerzos normales y tangenciales en el plano horizontal A – A.

55°

A

A´

SOLUCIÓN: Sabiendo que el ángulo de falla se mide a partir del plano de acción del esfuerzo principal mayor, tenemos que  = 55°

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA. UNIDAD ZACATENCO. ACADEMIA DE GEOTECNIA. TURNO MATUTINO. τ

τ = 0.80

σ n 1.0

2.0

σ n =2.38

3.0

4.0

Conociendo los esfuerzos principales determinamos el valor de θ 3.5  1.8

 1 3

Donde: sen 

2  1 3

= sen 

2

3.5  1.8



0.85 2.65

 0.321

2

2

Y θ = 18.71° Gráficamente tenemos que

ζn = 2.38kg/cm 2 η = 0.80kg/cm2

Analíticamente tenemos que:  n 

 n 

 

 

 1 3

2



3.5  1.8 2

 1   3

2

2



sen

3.5  1.8 2

sen18.71  2.377kg / m 2

cos

3.5  1.8 2

 1 3

cos18.71  0.805kg / cm 2

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


15.-El suelo en que está apoyado un edificio consiste de un importante estrato de arena, que contiene en su parte media una capa de arcilla blanda de 5.0 m de espesor. En el laboratorio, una muestra de arcilla de 25 mm de espesor, drenada por ambas caras, alcanzó el 80% de consolidación en una hora. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que el estrato de arcilla alcance también el 80% de consolidación?

SOLUCIÓN: Con la formula para determinar el factor del tiempo en función al grado de consolidación, calcularemos el tiempo necesario para que el estrato alcance el 80 % de consolidación que presento la muestra en el laboratorio. Tenemos que: T 

Cv h

2

t

Pág . 177, C ap . 6 Fu n d . Ing . Geo té c n ic a

Donde el coeficiente de consolidación (Cv) se considera igual en el laboratorio y en el campo. Con lo anterior:

tc

Igualando: t 80%

(250cm) 2



T 

hc

2

t h2



t L h L

2

3600 seg (1.25cm) 2

t80% = 144000000 seg. = 1666.67 días

16.-Una zapata cuadrada de 2.0 m de lado soporta una carga de 200 t. Las propiedades elásticas del suelo son: modulo de elasticidad de 80 t/m 2 y la relación de Poisson de 0.30. Suponiendo que la Cimentación es rígida calcular el asentamiento inmediato al centro de la cimentación para las siguientes condiciones, si la profundidad de desplante es de 1.80 m. i) ii)

Profundidad de desplante 0 m; espesor del estrato infinito. Profundidad de desplante 0 m; espesor del estrato a 5 m.

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


SOLUCIÓN: Para el centro de la cimentación, con una profundidad de desplante nula y un estrato indeterminado.

DATOS. B = L = 2.0 m Es = 80 t/m 2 μ = 0.30 L/B = 1.0 q = 200t/(2.0 m X 2.0 m) = 50 t/m 2 Para calcular el asentamiento, producto de la cimentación rigida, se empleará la siguiente expresión. S 

Bqo Es

1   

Ec. (4.32ª) Cap. 4

2

Donde αr esta en función de la relación L/B; con la cual entramos a la figura 4.18. Valores de α, αprom y αr. Así que para L/B = 1.0, αr = 1.34 Principios de Ingeniería de Cimentaciones Braja M. Das. Sustituyendo en la ec. anterior tenemos: S 

2.0(50) 80

1  (0.30) (1.34) 2

S = 1.52 m.

Para el centro de la cimentación con un nivel de desplante nulo y un estrato de 5 m de espesor.

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


DATOS. B = L = 2.0 m Es = 80 t/m2 μ = 0.30

q = 50 t/m 2 H = 5.0 m El asentamiento lo calculamos con la siguiente ecuación: Sv 

CdqB 1   2 

Ec. 5.182

Es

Donde Cd lo establecemos en función a la forma de la cimentación, con ayuda de la tabla 5.4 Shape and rigidity factors Cd for calculatings settlements of points on loaded areas at the surface o fan elastic half space ( alter Winterkorn and fang. 1975) Donde Cd, para una cimentación cuadrada, es de 0.99 Sustituyendo: Sv 



0.99(5.0)(2.0) 1  (0.3)2

Sv = 1.13 m



80

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


17.-La resistencia a la compresión simple de un suelo arenoso muy fino, húmedo y compacto fue de 20 kPa y su ángulo de fricción interna de 35° ¿Cuál será la presión de confinamiento necesaria para producir sobre la resistencia del suelo seco el mismo efecto que la cohesión aparente por capilaridad, en las mismas condiciones de compacidad relativa?

SOLUCIÓN: 40°

10

U= 6.0

10

40°

20

qu = 20

qu = resistencia a la compresión simple u = presión de poro residual que confina la muestra sin someterla a confinamiento

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


= 40°

1   3 2

σ 3

10

1   3

1   3

2

2

 1   3 sen 

2

Despejando tenemos:

 1   3

σ 1

20

 1   3

2

 1   3



2 sen

2  1   3

Sustituyendo: Si  3 

 1   3

2

2





10 sen40

 15.56

 1   3

2

ζ3 = 15.56 – 10.00 = 5.56 KPa. 18.-Una muestra de arcilla extraída a 10 m de profundidad se sometió a compresión triaxial rápida y falló con un esfuerzo desviador de 8 t/m 2. En prueba lenta se determino para esa arcilla un ángulo de fricción interna de 28°, el peso volumétrico de la arcilla es de 1.7 t/m 3. Calcular la presión de poro en la muestra en el instante de la falla en la prueba triaxial rápida.

SOLUCIÓN: Δζ = 8 t/m 2 (triaxial rápida) UU θ = 28° (triaxial lenta) CD 3 γ = 1.7 t/m d = 10 m de profundidad

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Tenemos que el esfuerzo confinante

ζ3 = γd = 1.7 x 10 = 17 t/m 2

CD 28°

UU

5

10

15

Δσ U = 12.30t/m

20

25

σ

Δσ 2

La presión de poro que se presenta al instante de ocurrir la falla en la prueba triaxial rápida es U = 12.30 t/m 2.

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


19.- Con los datos siguientes dimensionar la cimentación superficial para soportar una carga vertical ultima de 1700 KN 1700 KN = 170 t

Muestra 1

SM γ = 1.7 t/m

3

3.0 m NAF

Muestra 2

γ = 1.8 t/m

3

2

c = 6t/m

5.0 m

= 25°

SOLUCIÓN: Calculo de los parámetros de resistencia del suelo de la M-1. Con los datos de laboratorio que se reportaron de una prueba triaxial obtenemos la cohesión y el ángulo de fricción interna del suelo. Tenemos: Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3

ζ3 = 50 kPa y ζ1 =ζ3 + Δζ = 50 + 150 = 200 kPa. ζ3 = 160 kPa y ζ1 =ζ3 + Δζ = 160 + 180 = 340 kPa. ζ3 = 270 kPa y ζ1 =ζ3 + Δζ = 270 + 200 = 470 kPa.

Conocidos los valores de los esfuerzos principales, entonces podemos graficar los círculos de Mohr, a fin de obtener los parámetros de resistencia del suelo.

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


200

= 6.5°

100

100

200

300

400

500

600

σ n

c = 60kPa Por lo que: La cohesión es: c = 60 kPa Angulo de fricción interna es: θ = 6.5° Calculo de los parámetros de resistencia del suelo de la M-2. Determinaremos el esfuerzo desviador de tres pruebas triaxiales, a fin de obtener los esfuerzos principales y con ello, establecer la cohesión y el ángulo de fricción interna del suelo.

Para la Prueba 1 Diam. Sup. Diam. Cen. Diam. Inf. Altura Peso

= 39.50 mm = 42.00 mm = 40.30 mm = 94.00 mm = 201.51 gr

Obtención del área promedio

Ac 

Así:

As 

 (3.95)

4

GEOTECNIA IV.

As  2 Ac  Ai

4

2

 12.25cm2

GEOTECNIA IV.


Ac  Ai 

 (4.20)2

4  (4.03) 2

Ap 

 13.85cm2  12.76cm2

4 12.25  2(13.85)  12.76 4

 13.18cm2

Calculo del peso volumétrico H = 9.40 cm Ap = 13.18 cm2 Vol = ApH = 13.18(9.40) = 123.89 cm 3  

W



Vol

201.51 123.89

 1.63 gr / cm3

Determinación del esfuerzo desviador (Δζ) Lo primero que hay que determinar es la deformación total, y lo haremos restando a la lectura del micrometro inicial, cada una de las lecturas subsecuentes. Posteriormente establecemos los valores de la deformación unitaria (ε) con:  

deformació ntotal alturadela probeta

(100)

conociendo el valor de la deformación unitaria, realizamos la operación: 1



100

se calcula el área corregida con la siguiente expresión: Ac 

Ap 

1

100

Donde Ap = Área promedio y es igual para cada una de las lecturas.

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


La carga aplicada la obtenemos multiplicando las lecturas del deformímetro por la constante del anillo. P = Lect. del deformimetro x 0.152 kg/10 -4 pulg. El esfuerzo será igual a: E  Resolviendo:

GEOTECNIA IV.

P Ac

GEOTECNIA IV.


Lectura del Lectura del Deformación Deformación deformimetro m i c r o m e t r o Total Unitaria ε

(0.0001”) 0 9 15 21 30 40 50 ►56 55 53

(0.01mm) 0 15 21 27 38 48 60 71 77 84

(mm) 0 0.15 0.21 0.27 0.38 0.48 0.60 0.71 0.77 0.84

% 0 0.1596 0.2234 0.2872 0.4043 0.5106 0.6383 0.7553 0.8191 0.8936

1 - ε

1.000 0.9984 0.9978 0.9971 0.9960 0.9949 0.9936 0.9924 0.9918 0.9911

Area corregida

cm 13.1800 13.2011 13.2095 13.2180 13.2335 13.2476 13.2647 13.2803 13.2889 13.2988

Carga (P)

kg 0 1.37 2.28 3.19 4.56 6.08 7.60 8.51 8.36 8.06

Esfuerzo (E)

Kg/cm 0 0.1038 0.1726 0.2413 0.3446 0.4590 0.5729 0.6408 0.6291 0.6061

Tenemos que Δζ = 0.6408 kg/cm2

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Calculo del esfuerzo principal mayor. Si ζ1 = ζ3 +Δζ ζ1 = 0.5 + 0.64 ζ1 = 1.14 kg/cm2

y

ζ3 = 0.5 kg/cm2

Para la Prueba 2 Diam. Sup. = 37.70 mm Diam. Cen. = 39.20 mm Diam. Inf. = 37.60 mm


Calculo del esfuerzo principal mayor. Si ζ1 = ζ3 +Δζ ζ1 = 0.5 + 0.64 ζ1 = 1.14 kg/cm2

ζ3 = 0.5 kg/cm2

y

Para la Prueba 2 Diam. Sup. Diam. Cen. Diam. Inf. Altura Peso

= 37.70 mm = 39.20 mm = 37.60 mm = 99.10 mm = 192.01 gr

Obtención del área promedio Ac 

Así:

As  2 Ac  Ai

4 As  Ac  Ai 

Ap 

 (3.77) 2

4  (3.92) 2 4  (3.76) 2 4

 11.16cm2  12.07cm2  11.10cm2

11.16  2(12.07)  11.10 4

 11.60cm2

Calculo del peso volumetrico H = 9.91 cm Ap = 11.60 cm2 Vol = ApH = 11.60(9.91) = 114.96  

W Vol



192.01 114.96

GEOTECNIA IV.

 1.67 gr / cm3

GEOTECNIA IV.


Determinación del esfuerzo desviador (Δζ) Lo primero que hay que determinar es la deformación total, y lo haremos restando a la lectura del micrometro inicial, cada una de las lecturas subsecuentes. Posteriormente establecemos los valores de la deformación unitaria (ε) con:  

deformació ntotal alturadela probeta

(100)

conociendo el valor de la deformación unitaria, realizamos la operación: 1



100

se calcula el área corregida con la siguiente expresión: Ac 

Ap 

1

100

Donde Ap = Área promedio y es igual para cada una de las lecturas. LA carga aplicada la obtenemos multiplicando las lecturas del deformímetro por la constante del anillo. P = Lect. del deformimetro x 0.152 kg/10 -4 pulg. El esfuerzo será igual a: E 

P Ac

Resolviendo:

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.



(0.0001”) 0 10 20 30 40 50 ►60 56

(0.01mm) 0 21 34 45 62 73 89 101

(mm) 0 0.21 0.34 0.45 0.62 0.73 0.89 1.01

% 0.0000 0.2119 0.3431 0.4541 0.6256 0.7366 0.8981 1.0192

1 - ε

1.0000 0.9979 0.9966 0.9955 0.9937 0.9926 0.9910 0.9898

Area Carga Esfuerzo corregida (P) (E )

cm 11.6000 11.6246 11.6399 11.6529 11.6730 11.6861 11.7051 11.7194

kg 0 1.52 3.04 4.56 6.08 7.60 9.12 8.51

Kg/cm 0 0.1308 0.2612 0.3913 0.5209 0.6503 0.7791 0.7261

Tenemos que Δζ = 0.7791 kg/cm2 Con ζ3 = 1.0 + 0.78 ζ1 = 1.78 kg/cm2

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Calculo del esfuerzo principal mayor

Para la prueba 3 Diam. Sup. Diam. Cen. Diam. Inf. Altura Peso

= 38.00 mm = 39.30 mm = 37.70 mm = 99.70 mm = 182.01 gr

Obtención del área promedio


Calculo del esfuerzo principal mayor

Para la prueba 3 Diam. Sup. Diam. Cen. Diam. Inf. Altura Peso

= 38.00 mm = 39.30 mm = 37.70 mm = 99.70 mm = 182.01 gr

Obtención del área promedio Ac 

Así:

As  2 Ac  Ai

4

As = 11.34 cm2 Ac = 12.13 cm2 Ai = 11.16 cm2 Ap 

11.34  2(12.13)  11.16 4

 11.69cm2

Calculo del peso volumetrico H = 9.77 cm Ap = 11.69 cm2 Vol = ApH = 11.69(9.77) = 114.21 cm 3  

W Vol



182.01 114.21

 1.59 gr / cm3

Determinación del esfuerzo desviador (Δζ) Calculo del esfuerzo principal mayor Con ζ3 = 1.5 kg/cm2 ζ1 = 1.50 + 1.66 ζ1 = 3.16 kg/cm2



(0.0001”) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 ►129 125

(0.01mm) 0 11 21 31 40 48 58 73 78 84 90 97 106 120 123

(mm) 0 0.11 0.21 0.31 0.40 0.48 0.58 0.73 0.78 0.84 0.90 0.97 1.06 1.20 1.23

% 0 0.1126 0.2149 0.3173 0.4094 0.4913 0.5937 0.7472 0.7984 0.8598 0.9212 0.9928 1.0850 1.2282 1.2590

1 - ε

1.0000 0.9989 0.9979 0.9968 0.9959 0.9951 0.9941 0.9925 0.9920 0.9914 0.9908 0.9901 0.9898 0.9877 0.9874

Area corregida

cm 11.6900 11.7032 11.7152 11.7272 11.7381 11.7477 11.7598 11.7780 11.7841 11.7914 11.7987 11.8072 11.8182 11.8354 11.8390

Carga (P)

kg 0 1.52 3.04 4.56 6.08 7.60 9.12 10.64 12.16 13.68 15.20 16.72 18.24 19.61 19.00

Esfuerzo (E)

Kg/cm 0 0.1299 0.2595 0.3888 0.5180 0.6469 0.7755 0.9034 1.0319 1.1602 1.2883 1.4161 1.5434 1.6569 1.6049

Tenemos que Δζ = 1.6569 kg/cm2

GEOTECNIA IV.

GEOTECNIA IV.


Con los datos obtenidos, de los resultados arrojados de la prueba triaxial, determinaremos la cohesión y el angulo de fricción interna del suelo. Tenemos: Prueba 1. ζ3 = 0.50 kg/cm 2 Prueba 2. ζ3 = 1.00 kg/cm 2 Prueba 3. ζ3 = 1.50 kg/cm 2

y y y

ζ1 = 1.14 kg/cm 2 ζ1 = 1.78 kg/cm 2 ζ1 = 3.16 kg/cm 2

Con los valores de los esfuerzos principales, graficamos los circulos de Mohr, a fin de establecer los parámetros de resistencia del suelo.


Con los datos obtenidos, de los resultados arrojados de la prueba triaxial, determinaremos la cohesión y el angulo de fricción interna del suelo. Tenemos: Prueba 1. ζ3 = 0.50 kg/cm 2 Prueba 2. ζ3 = 1.00 kg/cm 2 Prueba 3. ζ3 = 1.50 kg/cm 2

ζ1 = 1.14 kg/cm 2 ζ1 = 1.78 kg/cm 2 ζ1 = 3.16 kg/cm 2

y y y

Con los valores de los esfuerzos principales, graficamos los circulos de Mohr, a fin de establecer los parámetros de resistencia del suelo.

200

= 8°

100

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

σ n

2

c = 0.22kg/cm

Por lo que: La cohesión es c = 0.22 kg/cm2 = 2.2 t/m 2 Angulo de fricción interna = θ = 8°. Determinación de las dimensiones de la cimentación superficial. Sabemos que: qu qa  Fs

qu 

y que:

Qu A

donde Qu = FsQ = 1700 KN por lo tanto: qu  GEOTECNIA IV

1700 KN Area



1700 KN B

2



170tn B 2

GEOTECNIA IV.


B2, suponiendo que se trata de una cimentación cuadrada. Tenemos que la capacidad de carga última para una zapata cuadrada con respecto a una falla local es: qu  0.867cN ć   DfN ´q  0.4 BN ´

Nć, N´q y N´γ son factores de capacidad de carga que están en función del ángulo de fricción interna del suelo (θ). Para θ = 8° Nć = 7.47 N´q = 1.70 N´γ = 0.16 Ver tabla 3.2 Factores de c apacidad de carg a m od ificado s d e Terzagh i Nć, N´q y N´γ. Libro Principio de Ingeniería de Cimentaciones Braja M. Das.

El nivel de desplante se propone que sea a 3.0 m de profundidad, a fin de evitar problemas constructivos por la presencia del nivel de aguas freáticas. El peso volumétrico para el segundo estrato, que intervendrá en el tercer termino de la ecuación para calcular la capacidad de carga; se obtendrá mediante un promedio. De la prueba triaxial realizada, tenemos que: Para la muestra 1. con ζ 3 = 0.5Kg/cm2; γ = 1.63 gr/cm 3 Para la muestra 2. con ζ 3 = 1.0Kg/cm2; γ = 1.67 gr/cm 3 Para la muestra 3. con ζ 3 = 1.5Kg/cm2; γ = 1.59 gr/cm 3 1.63  1.67  1.59  1.63 gr / cm3  1.63t / m3  p  3

Sustituyendo en: qu 0.867cN ć   DfN ´q  0.4 BN ´ 170 B 2

 0.867(2.2)(7.47)  1.7(3.0)(1.70)  0.4(1.63  1.0) B(0.16)

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


170 B 2

 22.92  0.040 B

0.040B3 + 22.92B2 -170 = 0 Resolviendo la ecuación de tercer grado, tenemos que: B = 2.72 m Así:

Df = 3.0 m B = L = 2.72 m

20.-Una muestra de arcilla extraída a 8 m de profundidad se sometió a una prueba triaxial rápida y falló con un esfuerzo desviador de 1 kg/cm 2. En prueba lenta se determino para esa arcilla un valor de θ=26.5°, el peso volumétrico es de γ=1.55 t/m3. Calcular la presión de poro en una muestra en el instante de la falla en la prueba rápida.

SOLUCIÓN: Δζ = 1 kg/ cm 2 (triaxial rápida) UU θ = 26.5° γ = 1.55 t/m 3 d=8m Tenemos que el esfuerzo confinante ζ3 = γd = 1.55 x 8 = 12.40 t/m 2

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


CD = 26.5°

UU

0

5

10

15

20

25

30

σ n

Δσ = 10 Δσ = 10

U = 6.10

La presión de poro que se presenta al instante en que ocurre la falla en la muestra en la prueba triaxial rápida, es de u = 6.10 t/m 2.

21.-En una arcilla normalmente consolidada se calculó el ángulo de fricción interna en una prueba lenta; para una prueba rápida-consolidada el ángulo de fricción resultó de θ=30°. En la misma arcilla se produjo la falla con un esfuerzo confinante de 4.5 kg/cm 2 y un esfuerzo principal mayor de 6.5 kg/cm 2 Calcular la presión de poro en la falla para una prueba rápida-consolidada y el valor del ángulo de fricción aparente en ella obtenido.

SOLUCIÓN: Φ = 30°. (triaxial lenta) CD ζ3 = 4.5 kg/cm 2 (rápida - consolidada) CU ζ1 = 6.5 kg/cm 2 (rápida - consolidada) CU GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


CD

θ = 45 + φ/2

= 30°

= 10.48

CU

2θ

2θ 1.0

0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

σ n

Δσ = 2.0 Δσ =2.0

U = 3.50

Calculo del ángulo de fricción aparente obtenido en prueba rápida – consolidada 6.5  4.5

 1 3 sen 

2  1 3

sen 

2

6.5  4.5

 0.18

2

2

θ = 10.48° Calculo de la presión de poro en la falla en prueba rápida – consolidada Tenemos:  1 3 2

GEOTECNIA IV

 1.0

 1 3 2

 1.0

GEOTECNIA IV.


10.38

 1 3 2

30

 1 3

 5.50

2



 1 3 sen 

2  1 3 2

 1   3 2

 1   3



1.0 2   2.0kg / cm 2 sen sen30

Calculamos ζ1 Si  1 

 1   3

2



 1   3

2

 3.0kg / cm 2

por lo tanto:

ζ3 = ζ1-Δζ = 3.0 – 2.0 = 1.0 kg/cm 2 La presión de poro será: U = ζ1(CU) - ζ1(CD) = 6.5 -3.0 = 3.5 kg/cm 2

22.-De una prueba de consolidación ( primaria) se obtuvieron los siguientes resultados para el incremento de presión de 4.0 a 8.0

INCREMENTO DE PRESIÓN TOTAL kg/cm 4.00 8.00

LECTURA FINAL EN EL MICRÓMETRO mm 19.635 18.057

Si para el incremento de presión indicada la consolidación primaria representa el 85 % de la deformación total, calcular la lectura del micrómetro para un incremento en los esfuerzos efectivos de 1.75 kg/cm 2.

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


SOLUCIÓN: 





Calculo de la deformación total de la muestra de suelo: Deformación total = 19.635 – 18.057 = 1.578 mm El incremento de presión ( ΔP) = 8.00 – 4.00 = 4.00 kg/cm 2 Tomando en cuenta que la consolidación primaria representa el 85% de la deformación total, tenemos: 100% C.C = 1.578 x 0.85 = 1.341mm

Tenemos que para la deformación de 1.341mm, el exceso de presión de poro es cera, por lo tanto el porcentaje de carga o presión que soportan los sólidos es del 100% 

Para un incremento de presión ΔP = 4.0 kg/cm 2 y un incremento de esfuerzo efectivos Δζ = 1.75 kg/cm 2; el porcentaje de carga o presión que soportan los sólidos es de : U = Δζ/ΔP = 1.75/4.0 = 43.80%





La deformación para U = 43.80% es:

δ = 1.341(0.4380) = 0.587mm

La lectura del micrómetro para Δζ = 1.75 kg/cm 2 es, 19.635 – 0.587 = 19.048 mm.

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


23.-Para una zapata cuadrada con una profundidad de desplante de 1.5 m y 2.0 m de ancho, apoyada en una arena arcillosa de consistencia blanda con los siguientes parámetros, calcular la capacidad de carga última, considerar el tipo de falla correspondiente. 2.0 m

1.5 m

Arena arcillosa d e c onsistenc ia b landa 2 3 C = 2.5 t/m φ = 7° γ = 1.4 t/m

Falla loc al

SOLUCIÓN: Por tratarse de un suelo compuesto básicamente por arena arcillosa de consistencia blanda, tenemos que la falla que se genera es una falla local por corte. Así entonces, la formula a emplear para calcular la capacidad de carga es: qu  0.867cN ć  qN ´q  0.4 BN ´

Ec . 3.10, C ap . 3 Pág . 159

Nć, N´q y N´γ son factores de capacidad de carga que están en función del ángulo de fricción interna del suelo. N ć

Así:



N ´q



N ´



Tenemos:

7.220 1.590

Tab la 3.2. Cap 3, Pág . 160

0.128

qu  0.867(2.5)(7.22)  (1.5)(1.4)  0.4(1.4)(2.0)(0.128)

qu = 19.132 t/m 2 q = esfuerzo efectivo al nivel del fondo de la cimentación.

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


24.-Calcular la variación de los esfuerzos horizontales, el empuje activo y su localización. 2

q = 3t/m γ = 1.6 t/m

3

C = 0.5 t/m φ = 27°

2

γ = 2.1 t/m

3

C = 0 t/m φ = 33°

NAF

6.0 m

2

γ = 1.7 t/m C = 1 t/m φ = 30°

5.0 m

3

7.0 m

2

SOLUCIÓN: Calculo de Ka  

ka  tan 2  45 

 



2 

27     0.376 2   33   ka2  tan 2  45    0.295 2   ka1  tan 2  45 

 

ka3  tan 2  45 

30 

  0.333

2 

Calculo de los esfuerzos horizontales Para Z = 0 m ζ v  q  3.0t / m 2 ζ h   vka  2c ka  3(0.376)  2(0.5) 0.376  0.515t / m 2 Para Z = 5 m ζ v  q   1h1  11.0t / m 2 GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


ζ h   vka  2c ka  11(0.376)  2(0.5) 0.376  3.523t / m 2 Para Z = 5 m + d (2) ζ v  q   1h1  11.0t / m 2 ζ h   vka  2c ka  11(0.295)  2(0) 0.295  3.245t / m 2 Para Z = 11 m ζ v  q   1h1   2 h2  3  1.6(5)  1.1(6)  17.6t / m 2  6t / m 2 ζ h   vka  2c ka  17.6(0.295)  2(0) 0.295  6  5.192  6t / m 2  11.192t / m 2 Para Z = 11 + d (3) ζ v  q   1h1   2 h2  3  1.6(5)  1.1(6)  17.6t / m 2  6t / m 2 ζ h   vka  2c ka  17.6(0.333)  2(1) 0.333  6  4.707  6t / m 2  10.707t / m 2 Para Z = 18 m ζ v  q   1h1   2 h2   3 h3  3  1.6(5)  1.1(6)  0.7(7)  22.5t / m 2  13t / m 2 ζ h   vka  2c ka  22.5(0.333)  2(1) 0.333  13  6.34  13  19.34t / m 2 CALCULO DEL EMPUJE Y SU LOCALIZACIÓN. El empuje será la suma de todas las áreas que componen al diagrama de esfuerzos horizontales. 0.515 5.0 m

6.0 m

3.245

P1 3.523 P2 11.192 10.707

7.0 m

P3 19.34

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


P1 = 10.095 t/m P2 = 43.311 t/m P3 = 105.165 t/m

ỹ = 14.879 m ỹ = 9.450 m ỹ = 3.165 m

Ea = 10.095 + 43.311 + 105.165 Ea = 158.571 t/m La distancia a la que se sitúa el empuje se determina tomando momentos respecto al fondo del muro. ỹEa = P1ỹ1+P2ỹ2+P3ỹ3 ỹ=

10.095(14.879)  43.311(9.45)  105.165(3.165) 158.571

ỹ = 5.625 m q = 3t/m

2

18 m Ea = 158.57 tn/m y = 5.63 m

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


25.- Calcular el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante en el plano A-A´. SOLUCIÓN:

Las coordenadas son: (200,80) (370,80)

= 24.27°

τ = 108 100

100

100

200 σ n =234

300

400

100

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


Gráficamente obtenemos los esfuerzos principales ζ1 = 402 KPa ζ3 = 168 KPa  1 3

2  1 3

Tenemos que: sen 

2

402  168 sen 

2



402  168

θ = 24.27°

117 285

 0.411

2

Sabemos que el ángulo de falla lo obtenemos con:   45 



  45 

2

24.27 2

 57.14

Gráficamente obtenemos el esfuerzo cortante y el esfuerzo normal ζn = 234KPa η = 108 KPa Verificando analíticamente

 n 

 n 

 

 

 1   3

2



402  168 2

 1   3

2

 1   3

2



cos 2

402  168 2

cos 2(57.14)  236.89 KPa

sen2

402  168 sen2(57.14)  106.65 KPa 2

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


26.-A partir del estado de esfuerzo indicado en la figura, determinar gráfica y analíticamente los esfuerzos principales en el plano E – E´

SOLUCIÓN:

30° E´

E

Unidades en KPa Coordenadas

( 400,-30) (200,30)  1

 1 3 sen 

2  1 3

=

 1 3  1 3



2  1  3



q P



 3  1  3

1

1

 1

1

 3  1  3  1

1  sen

 2  tan 2   45  2   tan  cr   1  sen

  1   3    1   3    2 2    

 1  

GEOTECNIA IV

  1   3    1   3    2 2    

 3  

GEOTECNIA IV.


27.-Una zapata cuadrada de 2.4 m de lado se desplanta sobre de una arena de granulometría media, cuya resistencia a la penetración estándar media es de 20 golpes. El espesor de la arena es de 9.5m. subyaciendo se localiza una andesita. Calcular los asentamientos elásticos para las siguientes condiciones.

i) ii)

Al centro y en una esquina con Df = 0 Al centro y en una esquina con Df = 1.5 m

SOLUCIÓN: Para el centro y una esquina con Df = 0 H = 9.5 m B = L = 2.4 (zapata cuadrada) Es = 22.43 MN/m 2 = 22430KN/m2 = 2243t/m2 (modulo de elasticidad del suelo) µ = 0.33 (Relación de poisson del suelo) el asentamiento en el centro se calcula con: S 

Bqo Es



(1   2 ) 1   2  F 1  1    2 2 F 2



(1)

mientras que el asentamiento en una esquina S 

Bqo Es

1    F  1    2 F (1   ) 2

2

2

1

2

2

(2)

Debido a que no conocemos la carga que soportará la zapata, propondremos algunas cargas a fin de determinar con cual se produce un mayor asentamiento. Sustituyendo en la formula (1) ( para el centro). Pondremos al asentamiento en función de la carga F1 y F 2 están en función de L/B y H/B. Obteniendo dichas relaciones consultamos la figura 4.19 y 4.20 del Cap. 4 de Principios de Ingeniería de Cimentaciones Braja M. Das. Tenemos así que: L/B = 2.4/2.4 = 1.0 H/B = 9.5/2.4 = 3.96 por lo tanto: F1 = 0.41 y F 2 = 0.035

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


S  S 

2.4qo 2243 2.4qo





(1  0.332 ) 1  0.332 0.41  1  0.33  2(0.33) 2 0.035

 0.3397 por lo tanto S = 0.00036qo

2243

Sustituyendo en la forma (2) ( en una esquina) F1 y F2 tienen el mismo valor S = F(qo) S  S 

2.4qo 2243 2.4qo 2243

(1  0.33

1  0.33 0.41  1  0.33  2(0.33) 0.035 ) 2

2

2

2

0.1698 por lo tanto S = 0.00018qo

Por lo tanto:

qo t/m2 20 40 60 80 100 120

S ( centro) cm 0.73 1.45 2.18 2.91 3.63 4.36

S(esquina) cm 0.36 0.73 1.09 1.45 1.82 2.18

Como podemos observar y de manera lógica, los asentamientos se incrementan al aumentar la carga que soporta la cimentación, notando que estos son mayores al centro de la misma. Para el centro y en una esquina con Df = 1.5 Para este caso, el espesor del centro del estrato (H) será de 8.0 m, ya que se considera a partir del nivel de desplante. F1 y F2 varían quedando: L/B = 2.4/2.4 =1.0 y H/B = 8.0/2.4 = 3.33 Por lo tanto: F 1 = 0.377 y F2 = 0.043 Se emplearán las mismas formulas Sustituyendo en la formula (2) ( en una esquina) S 

2.4qo 2243

1  0.33 0.377  1  0.33  20.33 0.043 (1  0.33 )

GEOTECNIA IV

2

2

2

2

GEOTECNIA IV.


S 

2.4qo 2243

0.1583

S = 0.00017qo

Por tanto:

qo t/m 20 40 60 80 100 120

S (centro) cm 0.68 1.36 2.03 2.71 3.39 4.07

S ( esquina) cm 0.34 0.68 1.02 1.36 1.69 2.03

28.-Una zapata de 1.0 x 2.0 m soporta una carga de 300 KN . Las propiedades elásticas del suelo son: modulo de elasticidad de 10000 KN/m 2, relación de Poisson de 0.30. Suponiendo que la cimentación es flexible, calcular el asentamiento inmediato al centro de la cimentación para las siguientes condiciones.

SOLUCIÓN: i) Df = 0 m, H=α ii) Df = 0 m, H = 5 m Para Df = 0 y H = α El asentamiento lo calculamos con la siguiente expresión: S 

Bqo Es

donde:

1    2

 1  m 2  1  1   1  m 2  m      ln  m ln 2 2        1  m  m   1  m  1  

y m = L/B α la obtendremos en función de L/B con la figura 4.18 del Cap. 4 de Principios de Ingeniería de Cimentaciones Braja M. Das.

GEOTECNIA IV

GEOTECNIA IV.


Tenemos asi que: m= 2.0/1.0 = 2.0 por lo tanto α = 1.55 qo = carga que soporta la cimentación ( KN/m 2) qo = 300/(1x2) = 150 KN/m 2 sustituyendo: S 

1(150) 10000

1  0.30

2

)81.55)

S = 2.12 cm Para Df = 0 y H = 5 m El asentamiento lo calcularemos con la siguiente expresión S 

Bqo Es



(1   2 ) 1   2  F 1  1    2 2 F 2



donde F1 y F2 son función de L/B y H/B y las determinaremos con la fig. 4.19 y 4.20 del Cap. 4 de Principios de Ing. De Cimentaciones Braja M. Das. Tenemos así que: L/B = 2/1 = 2.0 F1 = 0.528 y Sustituyendo: S 

1(150) 10000

y H/B = 5/1 = 5.0 F2 = 0.063





(1  0.3 2 ) 1  0.3 2 0.528  1  0.3  2(0.3) 2 0.063

S = 0.70 cm

GEOTECNIA IV

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29.-Una estructura está apoyada sobre de una losa de cimentación de 21.50 x 55.0 m. La carga sobre de la losa es uniformemente distribuida, cuya magnitud es de 55 KPa. La losa se desplanta sobre una formación arcillosa saturada con un módulo de elasticidad de 440 KPa; calcular los asentamientos diferenciales inmediatos entre el centro y una esquina del área cargada, si su relación de poisson es de 0.5, Considerar que la cimentación es elástica.

SOLUCIÓN: B = 21.50 m L = 55.00 m qo = 55 KPa Es =440 KPa µ = 0.5 Como no mencionan si existe nivel de desplante, entonces lo consideraremos como cero. El espesor del estrato será H = α. Para el centro de la cimentación S 

Bqo Es

1    2

Donde α se obtendrá en función de m = L/B, Conocido el valor de m, entonces establecemos α con ayuda de la fig. 4.18 del Cap. 4 de Principios de ing. De Cimentaciones. Braja M. Das. Tenemos así que: M = L/B = 55/ 21.5 = 2.56 por lo tanto α = 1.75.

Sustituyendo: S 

21.5(55) 440

(1  0.5 2 )1.75

S = 3.53 m Para una esquina de la cimentación S 

Bqo Es

1    2

2

α = f(m = L/B) = 1.75 GEOTECNIA IV

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sustituyendo: S 

21.5(55) 440

(1  0.5 2 )

1.75 2

S = 1.76 m

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Solucionario Ms II

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