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S O L U C I O N A R I O MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

1 MADRID - BARCELONA - BUENOS AIRES - CARACAS GUATEMALA - LISBOA - MÉXICO - NUEVA YORK PANAMÁ - SAN JUAN - BOGOTÁ - SÃO PAULO AUCKLAND - HAMBURGO - LONDRES - MILÁN - MONTREAL NUEVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPUR SAINT LOUIS - TOKIO - TORONTO

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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Solucionario de 1.º de Bachillerato

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© 2008, respecto a la primera edición en español, por:

McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Edificio Valrealty, 1.a planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid)

ISBN: 978-84-481-6646-5 Depósito legal: Autores del libro del alumno: José María Martínez, Rafael Cuadra y Adolfo Heras Equipo editorial: M.ª Isabel Bermejo y Sergio Nombela Equipo preimpresión: Daniel Montanyà, Claudia Fernández y María Ángeles Ramírez Revisor técnico universitario: Enrique Zuazua Revisores técnicos: Rafael Ángel Martínez y Alejandro Montesinos Revisor de ejercicios: Juan Pablo Carrasco Ilustraciones técnicas: Ana Colera y Pablo Vázquez Colaborador editoial: Eduardo López Diseño de cubierta: McGraw-Hill Diseño interior: McGraw-Hill Maquetación: Ediciones Gráficas Arial Impresión: IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN


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MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO. SOLUCIONARIO DEL LIBRO

ÍNDICE j Unidad 1. Resolución de problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 j Unidad 2. Conceptos algebraicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 j Unidad 3. Introducción a los números reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 j Unidad 4. Ecuaciones e inecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 j Unidad 5. Sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 j Unidad 6. Funciones y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 j Unidad 7. Funciones polinómicas y racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 j Unidad 8. Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 j Unidad 9. Sucesiones de números reales y aplicaciones económicas. . . . . . . . . . . . . . . . . 64 j Unidad 10. Funciones periódicas y trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 j Unidad 11. Estadística básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 j Unidad 12. Distribuciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 j Unidad 13. La distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 j Unidad 14. Distribuciones continuas. La distribución normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para el primer triángulo necesitamos 3 cerillas. Para cada uno de los siguientes, 2 cerillas más. Por tanto, se necesitan: 3 1 29 ? 2 5 61 cerillas.

j ACTIVIDADES 1. Le resto nueve unidades a un número y me da lo mismo que si lo divido por 3. ¿De qué número se trata? x x 29 5 ⇒ x 513, 25 3

2. Divide cada una de las siguientes figuras en cuatro figuritas semejantes a la inicial. Te damos la solución de una de ellas.

2. Disponemos de una cuba llena de vino y de dos recipientes con capacidad de 8 y 5 litros. ¿Qué tienes que hacer para medir dos litros de vino? (Puedes traspasar vino de un recipiente a otro y emplear la cuba para vaciar o coger vino.)

Fig. 1.2.

Recipientes Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

Cuba, x litros x 2 5 x 2 5 x 2 10 x 2 10

De 8 litros

De 5 litros

0 5 5 8

5 0 5 2

3. Con cuatro cuatros, unidos y ligados por las cuatro operaciones elementales, pueden obtenerse los números naturales del 0 al 9. Por ejemplo: = (4 1 4)/(4 1 4) 0 5 4 2 4 1 4 2 4; 1 5 Obtén los demás. 2 5 4/4 1 4/4 4 5 (4 2 4)/4 1 4 6 5 4 1 (4 1 4)/4 4 1 4 8 5 4/4

3 5 (4 1 4 1 4)/4 5 5 (4 ? 4 1 4)/4 7 5 4 1 4 2 4/4 9 5 4 1 4 1 (4/4)

4. Se reparte cierta cantidad de dinero entre varias personas del siguiente modo: a la primera se le da 1/4 del dinero inicial; a la segunda, 1/4 de lo que resta más 1 000 €; a la tercera, 1/4 de lo que queda más 2 000 €; y así sucesivamente. Al final, todos han recibido la misma cantidad. ¿Cuánto dinero recibe cada persona y cuántas son? 1 1 1 x 51 000 1 x 2 x 4 4 4

x 5 16 000

Cada persona recibe 4 000 €. Hay cuatro personas.

j Problemas propuestos Tipo I: Problemas de prueba-ensayo y de recurrencia 1. ¿Cuántas cerillas se necesitan para formar una cadena de 30 triángulos como se indica en la siguiente figura?

Fig. 1.3.

3. Observa las siguientes igualdades: 1 5 1 1 1 3 5 4 1 1 3 1 5 5 9 1 1 3 1 5 1 7 5 16 a) ¿Sabrías decir el resultado de la suma de los diez primeros números impares? b) ¿Y el resultado de 1 1 3 1 5 1 7 1 … 1 75 1 79? a) 1 1 3 1 5 1 7 1 … 1 19 5 102 5 100. Puede observarse que la suma de los n primeros números impares vale n2. N ota: Esta cuestión podría proponerse para demostrarla por el método de inducción. b) 1 1 3 1 5 1 7 1 … 1 75 1 79 5 402 5 1 600. 4. ¿Qué cifra corresponde a cada raya para que sea correcto el producto? _ _ _ 4 _ _ 3 7 5 6 743 _ 56 La última cifra del primer factor tiene que ser 8, pues es la única que multiplicada por 7 acaba en 6. Se tiene: _ _ _ 4 _ 8 3 7 5 6 743 _ 56 Los sucesivos pasos son: _ _ _ 408 3 7 5 6 743 _ 56 _ _ _ 408 3 7 5 6 743 856 Ahora, basta con dividir 6 743 856 entre 7. Se obtiene 963 408. 5. Vuelve a leer el Ejemplo 2º de la sección 1.3. Contesta a la pregunta que se hizo: ¿Cómo es C? Si A es bueno, como dice la verdad C es bueno. Si A es malo, como dice la mentira C es bueno. En cualquier caso, C es bueno.

B es bueno

A 5 C

B es malo

A

C

6. ¿En qué número termina 228? A partir del resultado hallado, indica en qué número terminan 2183 y 2185.

Fig. 1.1.


Las terminaciones posibles son 2, 4, 8 y 6.

12/5/08 16:29:09


21 22 23 24

2 4 8 16

25 26 27 28

32 64 128 256

24n 1 1 24n 1 2 24n 1 3 24n

2 4 8 6

Luego: 228 termina en 6. 2183 5 24 ? 45 1 3 termina en 8. 2185 5 24 ? 46 1 1 termina en 2. 7. En un viejo papel hemos encontrado la siguiente nota de una venta realizada. Dice así: 72 pollos, a _ _ pesetas el pollo 5 _19_ pesetas. Las rayas indican números que se han borrado. ¿A cómo estaría el pollo en aquellos tiempos? Como 72 es múltiplo de 9 y de 2, el resultado del producto debe ser múltiplo de 9 y par. En consecuencia, sus cifras deben sumar 9, 18 o 27. Terminando el número en cifra par, tenemos las siguientes posibilidades: _190, _192, _194, _196, _198 Y para que sea múltiplo de 9: 8 190, 6 192, 4 194, 2 196, 9 198 De estos números, el único divisible por 72 es 6 192 6 192 5 72 ? 86. El precio del pollo era de 86 pts. 8. Supón que tienes 9 bolas de igual aspecto y tamaño. Sólo hay un inconveniente: una de ellas tiene un peso ligeramente distinto de las demás; en compensación dispones de una balanza de platillos. ¿Qué número mínimo de pesadas necesitas hacer para averiguar cuál es la bola distinta? Éste es un viejo y conocidísimo problema. Lo más importante de él es el método, la estrategia; y que pone de manifiesto la fuerza de la lógica. En estos problemas no se trata de acertar por suerte; si así fuese, en 1 de cada 9 casos acertaríamos por puro azar. Se trata de que el método funcione siempre, sea cual sea nuestra suerte. Dicho esto, analiza: ¿qué datos tengo?; ¿qué sé con certeza? Tienes 9 bolas: 8 iguales y 1 distinta; pero sólo 1 distinta. Tienes, además, una balanza que puede servir para comparar el peso de las bolas. A partir de aquí necesitas una estrategia. Tienes varias opciones: Primera: Comparar las bolas una a una. Si la balanza queda en equilibrio las bolas son iguales; si se inclina, alguna de esas dos bolas es distinta, pero no sabes cuál de ellas es la «mala». Con esta estrategia, en el peor de los casos, puedes necesitar hasta 4 pesadas, que serían: I

II

III

IV

01

izquierda, la más pesada, con alguna de las bolas buenas. En esta quinta pesada puede suceder: (a) Que la balanza quede en equilibrio, con lo cual, la bola distinta es la otra, la que estaba en el platillo derecho; además pesa menos que las otras. (b) Que la balanza vuelva a inclinarse en el mismo sentido, de donde la bola mala es la que hemos tomado; además es más pesada. 2Si las cuatro pesadas primeras quedaran en equilibrio, la bola mala es la última. Comparada con cualquiera de las otras podemos deducir si pesa más o menos. 2Si la pesada desequilibrada es la I, II o III se puede deducir antes cuál y cómo es la bola mala. Segunda: Comparar las bolas dos a dos. Con este procedimiento puedes necesitar hasta tres pesadas. (Te dejamos que lo compruebes por tu cuenta.) Tercera: Comparar las bolas de tres en tres. Puede suceder: (I) Pesada en equilibrio: La bola mala está entre las otras tres. Comparando estas tres bolas una a una se determina la mala.

Fig. 1.5.

(II) Pesada inclinada a la izquierda: Las otras tres bolas son buenas. Quitamos tres bolas de la derecha y en su lugar ponemos las tres bolas buenas. Puede suceder:

Fig. 1.6.

2La balanza se queda en equilibrio la bola mala está entre las tres quitadas, y pesa menos. Ponemos dos de esas bolas, una en cada platillo: si queda en equilibrio, la bola mala es la otra; si se desequilibra, la bola mala es la de la más ligera.

Tipo II: Problemas de tipo algebraico: ecuaciones y sistemas 9. Le sumo 20 unidades a un número y me da lo mismo que si lo multiplico por 3. ¿De qué número se trata? Si x es el número buscado, se cumple: x 1 20 5 3x

Fig. 1.4.

En las pesadas I, II y III sabes que todas las bolas son buenas. En la IV, alguna de las dos es la distinta. Si la balanza se inclina como indicamos haremos otra pesada comparando la bola de la


x 5 10.

10. José María dobla los años a Cristina; Carmen es tres años mayor que Cristina; y José María, cuatro más que Catalina. Si la suma de todas las edades es 29, ¿cuál es la edad de cada uno? Edades: Cristina 5 x; José María 5 2x; Carmen 5 x 1 3; Catalina 5 2x 2 4 x 1 2x 1 x 1 3 1 2x 2 4 5 29 x 5 5

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17. La superficie de un cuadrado es S, ¿cuál será la superficie de un cuadrado cuyo lado es el doble del anterior?

La edad de José María es 10 años. La edad de Carmen es 8 años. La edad de Catalina es 6 años. La edad de Cristina es 6 años. 11. A una cuba de vino, inicialmente llena, se le extrae un sexto de su capacidad más 15 litros. Si añadiendo un cuarto de su capacidad ésta vuelve a llenarse, ¿cuántos litros caben en la cuba? Capacidad de la cuba 5 x x Se extrae: 115. 6 x Se añade: . 4 x x Como 115 5 x 5 180 litros. 6 4

Si el lado del cuadrado pequeño es l se tiene: S 5 l 2. Si se dobla el lado L 52l, la superficie será L2 5(2l)2 5 4l 2 5 4 S queda multiplicada por 22 5 4. Nota: Podría plantearse con otros aumentos proporcionales del lado (L 5 kl) y comprobar que la razón entre las superficies es k2. 18. En un cubo de arista a caben 111 litros de agua. ¿Cuántos litros puede contener un cubo cuya arista es el doble del anterior? ¿Es necesario conocer el valor de a? El volumen del cubo inicial es a3. El volumen del de doble arista será: V 5(2a)3 5 8a 3, que valdrá 8 ? 111 5 888 litros. No es preciso conocer a. 19. Dibuja una circunferencia con un lápiz y una regla.

12. El triple de un número es la mitad de otro. ¿Qué números son? Si los números son a y b, entonces: 3a 5 Hay infinidad de posibilidades.

b 2

Se dibuja un punto, que será el centro, y se coloca la regla como se indica, trazando una línea.

b 56a

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Fig. 1.7.

13. El triple de un número es la mitad de otro. Si entre los dos suman 56, ¿qué números son? Se tiene: b 56a y, además, a 1 b 556

1

Girando la regla, manteniendo el punto en contacto con ella, se trazan otras rectas, obteniéndose un dibujo como el siguiente. La circunferencia es la “envolvente” de todas esas rectas, que son tangentes a la circunferencia.

a 5 8; b 5 48.

14. El triple de un número es la mitad de otro. Si entre los dos suman 56 y su diferencia es 40, ¿qué números son? (¿Observas algo extraño en el enunciado?) La solución es la misma que la del problema anterior. (Puede observarse que la diferencia entre los dos números es 40.) Nota: Con este problema se trata de ver que sobra un dato. Afortunadamente, este dato sobrante no es contradictorio con los otros dos, lo cual permitiría resolver el problema conociendo dos datos cualesquiera de los tres dados.

Tipo III: Problemas de tipo geométrico

Fig. 1.8.

Tipo IV: Problemas resolubles mediante fórmulas

15. Un ángulo mide dos grados menos que el triple de su complementario. ¿Cuánto vale? Si x es el ángulo buscado, su complementario mide 90 2 x. Entonces: x 5 3 ? (90 2 x) 2 2 x 5 67.

20. La superficie de un triángulo isósceles de altura 4 cm es 12 cm2. Halla su base y los otros dos lados. Por el Problema 16, b 5 6. Como es un triángulo isósceles la altura cae en el punto medio de la base. Podemos aplicar el teorema de Pitágoras: l 2 5 42 132 l 5 5 cm.

16. La superficie de un triángulo isósceles de altura 4 cm es 12 cm2. Halla su base. ¿Cuánto miden los otros dos lados si la suma de sus longitudes es 4 cm más que la base? b?h b? 4 b 5 6. 12 5 2 2 Lado 5 l 2l 56 1 4 l 55. Observa: En este problema sobra un dato. ¿Se darán cuenta los alumnos? Si no es así, que lo descubran haciendo el problema número 20. Área: A 5


l

4 3

Fig. 1.9.

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01


21. Un ciclista parte de Badajoz con destino a Cáceres, que está a 90 km de distancia. Una hora después otro ciclista inicia el mismo itinerario, recorriendo cada hora 10 km más que el primero. Si llegan a Cáceres en el mismo instante, ¿cuánto tiempo tardó cada uno?

A escala 1: 200 000, 1 cm2 del mapa 5 4 km2 en la realidad. A escala 1: 50 000, 1 cm2 del mapa 5 5 (50 000 ? 50 000 5 2 500 000 000 cm2) 5 0,25 km2 en la realidad. Por tanto, habrá que hacer 4/(0,25) 5 16 mapas de escala 1: 50 000.

Primer ciclista: Velocidad 5 v; tiempo 5 t v 5 Segundo ciclista:

90 t

Tipo VI: Estrategia hacia atrás

Velocidad 5 v´; tiempo 5 t´, con t´5 t 2 1 y v ´5 90 90 5 110 t 21 t

Como v´ 5 v 1 10 h 3 h, 32 min.

90 t 21

t 2 2 t 29 5 0 t 5 3,54

22. Con un trozo rectangular de cartón, que es 4 cm más largo que ancho, se construye una caja sin tapa de volumen 840 cm3, cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. ¿Qué dimensiones tenía el cartón? x14 6

x 6

x28

x2

Fig. 1.10.

(x 2 8) ? (x 2 12) ? 6 5 840 x 2 220 x 2 44 5 0

28. Dos jugadores pueden sumar desde uno hasta diez al número que diga el otro. Comienzan en cero y gana el primero que llegue a 100. ¿Cómo hay que hacer para ganar?

x 5 22

Tipo V: Reducción a la unidad 23. Tres amigos ganan por un trabajo 1 105 €. ¿Cuánto les corresponde a cada uno de ellos si uno trabajó 8 días, otro 5 y el otro 4? En total trabajaron 17 días. A cada día le corresponden 1 105 ù 65 €. 17 Uno cobrará 8 ? 65 5 520 €; otro, 5 ? 65 5 325; y el tercero, 4 ? 65 5 260 €. 24. Si 6 gatos pueden comer 6 sardinas en 6 minutos, ¿cuántos gatos serán necesarios para comer 100 sardinas en 50 minutos? Cada gato se come una sardina en 6 minutos. Para comerse 100 sardinas, un gato necesitaría 600 minutos. Para comerse las 100 sardinas en 50 minutos se necesitarán 12 gatos. 25. ¿Cuántos litros de aceite de 2,90 €/L hay que mezclar con 200 litros de 3,60 €/L para que la mezcla resulte a 3,40 €/L? Litros de 2,90 5 x. 2,90x 1 3,60 ? 200 5 3,40 ? (x 1 200) x 5 80 L. 26. ¿Cuántos mapas del mismo tamaño que el de escala 1:200 000 habrá que hacer para reproducir la misma superficie a escala 1:50 000?


La secuencia del ganador debe ser: 37, 33, 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1 Ganará el que comience el juego y siga esta secuencia, de derecha a izquierda.

Gana el que comienza y sigue esta secuencia: 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100 Nota: Podría plantearse un juego con las mismas reglas, pero el que pierde es el que se vea obligado a decir 100. ¿Cuál debe ser la secuencia del ganador?

12

6

27. Dos jugadores pueden sumar uno, dos o tres al número que diga el otro. Comienzan en cero y gana el primero que llegue a 37. ¿Qué hay que hacer para ganar?

29. Aquí tienes tres trozos de cartulina. Haz un corte en cada cartulina, de forma que queden seis piezas que puedan juntarse para formar un cuadrado. 10 cm

10 cm 20 cm

10 cm 20 cm

20 cm

Fig. 1.11.

El cuadrado final debe tener una superficie que será la suma de las superficies de los tres trozos dados: serás un cuadrado de lado 20 ? 10 1 20 ? 5 1 20 ? 10 5 500 500, que es la medida de la diagonal (y de la hipotenusa) de los rectángulos.

j Cuestiones básicas 1. ¿Qué error se comete en las siguientes igualdades? a) (3 1 4)2 5 32 1 42; 4 x2 1 2 b) 5 4 12; x2 c) 2x2 5(2 x)2 5 x2. a) El cuadrado de una suma no es la suma de los cuadrados. 4 x 2 12 2 b) Se simplifican factores, no sumandos: 541 2 . x2 x c) 2x 2 52x ? x 52( x 2 ), siempre es negativo. (2x )2 5 x 2, siempre es positivo.

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2. Expresa mediante una igualdad las siguientes sentencias: a) El doble de x más 3 es igual a y. b) El doble de x, más 3, es igual a y. c) El cuadrado del doble de x es igual a la mitad de y. a) 2 ? (x 1 3) 5 y b) 2x 1 3 5 y y c) (2 x )2 5 2 3. ¿Qué dice el teorema de Pitágoras? ¿Por qué el triángulo de lados 3, 4 y 5 cm es rectángulo, mientras que el de lados 10, 12 y 15 cm no lo es? En el triángulo de lados 3, 4 y 5 se cumple que 52 5 32 1 42; esto es, el teorema de Pitágoras. En el triángulo de lados 10, 12 y 15 no se cumple que 152 5 102 1 122; por tanto no puede ser rectángulo. 4. En un mapa a escala 1:100 000, ¿cuál es la distancia real entre dos ciudades que están separadas 3 cm en el mapa? 3 ? 100 000 5 300 000 cm 5 3 km. 5. ¿Cómo medirías un litro de agua si tienes dos recipientes de 3 y 5 litros?

6. Una camisa valía 72 euros. ¿Cómo calcularías con una simple multiplicación su valor si se ha rebajado un 16 %? 72 ? (1 2 0,16) 5 72 ? 0,84 5 60,48 € 7. ¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo? ¿Y los ángulos de un pentágono? Triángulo: 180º. Un pentágono puede descomponerse en tres triángulos marán 3 ? 180 5 540.

su-

8. ¿Qué mismo número hay que añadir a los dos términos de 3 7 la fracción para que resulte equivalente a ? 8 8 31x 7 5 ⇒ x 5 32 81 x 8 9. La suma de dos números consecutivos es 147. Hállalos. x 1 (x 1 1) 5 147

73 y 74

10. Sabiendo que 1 232 5 15 129, halla sin calculadora 121 ? 125. (Recuerda que (x 2 a)(x 1 a) 5 x2 2 a2.) 121 ?125 5(123 22)(123 12) 51232 2 42 515129 2 4 515125

lo viertes en el de 5. (1) Llenas el recipiente de 3 litros lo viertes en el (2) Vuelves a llenar el recipiente de 3 litros de 5 hasta que se llena. En el recipiente de 3 litros queda 1 litro.


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02

CONCEPTOS ALGEGRAICOS BÁSICOS

2

j ACTIVIDADES

1. Clasifica los números siguientes: a) 20,325; b) 0,9333...; c) 1,122333444455555....; d) 11; e) 121. Cuando sea posible, escribe una fracción equivalente a ellos. a) b) c) e)

Racional, 2325/1 000 Racional, 84/9 y d) Irracionales Entero, 11

b) c) d)

2 3 1 1 ? 32 ; 3 4 3 2 3 1 13 : . d) 2 3 4 3 b)

2 3 1 17 1 47 1 ?32 5 ?32 5 3 4 3 12 3 12 2 3 1 31 1 ?32 5 3 4 3 12 2 3 1 2 15 1 7 : 13 2 5 : 2 52 3 4 3 3 4 3 45 2 3 1 2 15 1 2 45 127 2 13 : 5 2 : 5 2 52 3 4 3 3 4 3 3 4 12

3. Resuelve las siguientes operaciones, simplificando el resultado: b) [(23)2]3 25); a) (4 ? 32)(5 ? 33); 3

⎛ 3 2⎞ 3 d) ⎜ 2 ⎟ 2 2 ; 5 ⎝ 2 5⎠ 100(xy)2 f) . (5x)2 ? (2 y )3

51 52 c) ; 51 32 55 ? 3 4 ? 206 ; e) 4 5 15 ? 2 ? 107 a) 36 ? 45 5 1 620; b) 724; d)

1211 ; 1 000

e) 1;

30 15 5 ; 14 7 1 f) 2y c)

4. Descompón en factores: a) P(x) 5 x2 2 2x; b) Q(x) 5 x2 2 2x 1 1; c) R(x) 5 2x3 2 10x2 1 8x. a) P(x) 5 x2 2 2x 5 x(x 2 2) b) Q(x) 5 x2 2 2x 1 1 5 (x 2 1)2 c) R(x) 5 2x3 2 10x2 1 8x 5 2(x 2 4)(x 2 1) 5. Opera y simplifica las siguientes expresiones: 2 ⎛ x ⎞ a) ⎜ 22 ⎟ x 11 ⎠ ⎝ 2x 1 1 b) 1(x 21) x 11


2

2

2 x 12 2 x ( x 12)2 x 5 5 a) 2 2 x 11 x 11 ( x 11)2 2 2 x 11 2 x 11 1 x 21 2 x 1 x 2 b) 1( x 21)5 5 x 11 x 11 x 11 2 2 x 12 x x 12 2 x 11 x c) 2 2 : 1 x 21 5 : 5 2 x 11 x 11 x 11 x 11 2 x 1 2 x 11 x 12 5 5 2 x x 11 x x 11 x 1 2 2x x d) 5 2 2 2 1 1 x2 12 x 1 11 x

(

2 3 1 1 ? 32 ; 3 4 3 2 3 1 13 2 ; c) : 3 4 3 a)

⎛ ⎞ x ⎞ ⎛ 2x 1 1 1(x 21)⎟ c) ⎜ 22 ⎟ :⎜ x 11 ⎠ ⎝ x 11 ⎝ ⎠ 2x x d) 2 ( 12 x)2 1(11 x)2 11 x 2

(

2. Calcula: a)

(

)( )(

) (

)

)

(

)

(

)

( (

) ( ) (

)

)

)

2x x 5 2 1 2 2 x 1 x 2 11 1 2 x 1 x 2 1 1 x 2 2x x 5 50 2 2 1 1 x2 2 11x 5

(

)

j Problemas propuestos Tipo I: Operaciones elementales. Potenciación 1. Halla el resultado decimal de: a) 4,0031 2 0,3 ? 2,01; b) 2 3,2 : 2,1 2 0,1 ? 0,03; c) (0,07 2 4,2) ? 2,1; d) (2 0,03)3; 1 1, 2 f) 1,17 ? 6,2 2 3,001. e) 1 ; 0 , 03 1, 6 b) 21, 526809523; e) 34, 083;

a) 3,4001; d) 2 0,000027;

c) 2 8,673 f) 4,253

2. Expresa en forma de fracción los siguientes números: a) 30, 63; b) 0,24; c) 3,3111...; d) 5, 021. a)

337 ; 11

b)

6 ; 25

3. Calcula y simplifica: ⎛ 2 1⎞ ⎛ 4⎞ a) ⎜ 2 ⎟ ? ⎜ 21 ⎟ 5⎠ ⎝ 5 6⎠ ⎝ ⎛ 2 1⎞ 4 c) ⎜ 2 ⎟ ? 21 5 ⎝ 5 6⎠ 49 ; 75 19 c) ; 15

a)

c)

149 ; 45

d)

1657 330

2 1 ⎛ 4⎞ b) 2 ? ⎜ 21 ⎟ 5⎠ 5 6 ⎝ 2 7 d) : 5 4 b) 2 d)

1 ; 15

8 . 35

12/5/08 16:30:27

02

10

CONCEPTOS ALGEBRAICOS BÁSICOS

4. Calcula y simplifica: 2 6 5 a) 2 : 21; 5 5 2 2

1 2 2 24 ; c) 2 3 33 ; 25 43 c) ; 12

2 3 2 3 d) 2 : 1 . 3 5 5 4 33 ; 8 1 d) 2 . 12

a) 2

b) 2

5. Calcula y simplifica: ⎛ 2 2⎞ 4 a) 25? ⎜ 2 ⎟; 3 ⎝ 3 5⎠ ⎛ 2 3⎞ 4 c) ⎜ : ⎟ ? ; ⎝ 5 7⎠ 9 a) 0;

1 1 b) 23 ? 2 12 ; 4 2

1 b) ; 4

22 92 3 ? 2 21; 33 8 12 2 ⎛ 3 4⎞ d) : ⎜ ? ⎟. 5 ⎝ 4 9⎠

c) P 5 x 1

6 x. 100

C(2) 52 000 ?(1 1 0, 05)2 52205 €; C(4) 52 000 ?(1 1 0, 05)4 52 431, 01 €. 11. El coste total, en euros, de la producción de x unidades de un determinado producto viene dado por la expresión f (x)5100 x 11 000. Halla el coste de producir 16, 100, y 400 unidades. ¿A cuánto sale la unidad en cada caso? f (16) 5100 16 11 000 51 400 € Cada unidad sale a 1 400/16 5 87,5 € f (100) 5100 100 11 000 52 000 € Cada unidad sale a 2 000/100 5 20 € f (400) 5100 400 11 000 53 000 € Cada unidad sale a 3 000/400 5 7,5 €

7. Simplifica al máximo las siguientes expresiones: 62 ? 35 ? 2 6? 335 64a3 b2 a) ; b) ; 18 3 ? 1212? 12 4 32a4 b 2 26x2 y7 z2 13x 4 yz3 : . c) 2 3 8xy z 32x2 y2 z 64a3 b2 2b 5 32a 4 b a 62 ? 35 ? 26 ? 335 22 ? 32 ? 35 ? 26 ? 35 ?115 28 ? 312 ?115 b) 3 5 5 11 10 5 18 ?1212 ?124 23 ? 36 ?114 ? 28 ? 34 2 ? 3 ?114 32 ?11 99 5 3 5 8 2 2 26 x 2 y 7 z 2 13 x 4 yz 3 : c) 5 2 3 8 xy z 32 x 2 y 2 z

Tipo III: Operaciones con polinomios

a)

2. Calcula: 1 a) 3x6?4x5;

22 ?132 ? x 4 ? y 14 ? z 4 13 ? x 4 ? y ? z 3 5 : 5 2 2 26 ? x 2 ? y 4 ? z 6 2 ?x ? y ?z 27 ?132 ? x 6 ? y 16 ? z 5 2 ?13 ? y 11 26 y 11 5 5 4 5 6 z 2 ?13 ? x 6 ? y 5 ? z 9 z4

Tipo II: Expresiones algebraicas 8. Expresa algebraicamente: a) Cuatro veces x menos su décima parte. b) La tercera parte del número p por el cuadrado de r y por h (volumen de un cono). c) El precio de una entrada de cine es x más el 6 por 100 de IVA aplicado sobre x.

(

)( d) x (24 x );

( )(

)

c) 2x ? 23x ; 5

e)

)

b) 22x5 ? 214x3 ; 4

6

4x ; 10x2 3

f)

d) 24x;

2

4 x3 2 4 x . 10x2

b) 28x8; 2x e) ; 5

a) 12x;

5


1 2 pr h; 3

9. Escribe la expresión general de los números naturales que son: a) Múltiplos de 4. b) Múltiplos de 6. c) Múltiplos de 4 y de 6 a la vez.

6 d) . 5

a) 3740 5 3 ? 103 1 7 ? 102 1 4 ? 101 1 0 ? 100 b) 0,05 5 5 ? 1022 c) 2 ? 103 1 3 ? 102 1 8 ? 100 1 5 ? 10 21 1 4 ? 10 22 1 7·10 23

b)

10. La expresión C(t) 5 2 000 ? (1 1 0,05) da el capital acumulado al cabo de t años para un capital inicial de 2 000 € puesto a un 5 % de interés en un determinado banco. ¿Cuál será ese capital al cabo de 2 años? ¿Y al cabo de 4 años?

6. Expresa en función de las potencias de 10 los siguientes números: a) 3 740 b) 0,05 c) 2 308,547

x ; 10

a) 4n b) 6n c) 12n. Si se da como solución 24n se pierde la mitad de ellos.

b)

56 c) ; 135

a) 4 x 2

c) 2 6x9; 2 x 2 22 f) . 5x

13. Calcula: a) 7x 2 2 6x 3 1 2x 52 4 x 31 2x22 1

( ) ( ) b) ( 2x 2 4 x 1 1)1 (2 3x 1 x 2 7) c) (8x 29x 11)2(2x13x 25 ) 3

4

2

3

2

3

3

⎛ ⎞ ⎛3 1 1⎞ d) ⎜ 2x3 2 x2 13⎟ 2 ⎜ x2 1 5 x2 ⎟ 2 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝4 a) 2x5 2 10x3 1 9x2 2 1 c) 13x4 2 12x3 2 2x 1 1

b) 3x3 2 7x2 2 6 10 5 d) 2 x 3 2 x 2 25 x 1 3 4

12/5/08 16:31:09


14. Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios: a) 3x3 25x2 17x 25 23x2 15x 24

(

)(

)(

a) b) c)

)

c) 5x 2 1 3x 2 5 7x 32 6x1 3 ⎞ ⎛ 1 3⎞⎛ d) ⎜x22 x2 ⎟ ⎜x225x214⎟ ⎠ ⎝ 4 8⎠⎝

a) 29x5 1 30x4 2 58x3 1 70x2 2 53x 1 20 2251 2 13 2 1 b) 2 x 4 13 x 3 2 x 1 x1 15 150 10 5 c) 35x5 1 21x4 2 65x3 2 3x2 1 39x 2 15 21 105 2 43 21 d) x42 x32 x 1 x1 4 8 8 4

3

4

2

)(

)(

228x : 4x 25 2

)

)

3

a) Cociente: 4x2 1 6x 2 3 b) Cociente: 3x2 1 5x 2 6 1 5 c) Cociente: x21 x2 2 4 16. Halla:

(

)

P(x) 5 2x2 1 x 2 15 5 2(x 1 3)(x 2 5/2) P(x) 5 8x4 1 80x3 1 200x2 5 8x2(x2 1 10x 1 25) 5 8x2(x 1 5)2 P(x) 5 6x5 1 14x4 1 4x3 52x3(3x2 1 7x 1 2)5 5 2x3(x 1 2)(x 1 1/3)

20. Halla un polinomio de segundo grado sabiendo que una de sus raíces es x 5 25 y que P(2) 5 27

15. Haz las siguientes divisiones de polinomios: a) 8x5 112x4 210x3 122x2 146x 225 : 2x3 2x 17

( b) (20x 112x 129 239x c) (2x 23x12 ): (2x21)

11

19. Factoriza los siguientes polinomios: a) P(x) 5 2x2 1 x 2 15 b) P(x) 5 8x4 1 80x3 1 200x2 c) P(x) 5 6x5 1 14x4 1 4x3

)

⎛ 1 2⎞ ⎛ 2 1⎞ b) ⎜ 2 x 2 15x 1 ⎟ ⎜ x2 23 x1 ⎟ 5⎠ ⎝ 5 2⎠ ⎝ 3

(

02

Resto: x 2 4 Resto: 2 3x 21 3 Resto: 4

( ) d) ( 4 x 2 1)(4x 1 1).

El polinomio buscado es de la forma P(x) 5 (x 2 x1)(x 2 x2) siendo x1 y x2 sus raíces. Si x1 5 25 P(x) 5 (x 1 5)(x 2 x2) Si P(2) 5 27 (2 1 5)(2 2 x2) 5 27 x2 5 3 Por tanto, P(x) 5 (x 1 5)(x 2 3) 5 x2 1 2x 2 15 21. Halla el polinomio de segundo grado sabiendo que tiene por raíces x 5 1 y x 5 26 y que P(0) 5 212. Sea P(x) 5 k(x 2 x1)(x 2 x2) siendo x1 y x2 sus raíces. Si x1 5 1 y x2 5 26 P(x) 5 k(x 2 1)(x 1 6) Por P(0) 5 212 P(0) 5 k(21) ? (6) 5 212 k 5 2 Luego, P(x) 5 2(x 2 1) (x 1 6) 5 2x2 1 10x 2 12 22. Descompón en factores el polinomio P(x )52 x 3 2 10 x21 14x2 6 sabiendo que x 5 1 es una de sus raíces.

2

2

a) x26 ;

b) 4 1 x2 ;

Si x 5 1 es una raíz (x 2 1) es un factor P(x) es divisible por (x 2 1). Se divide por Ruffini y se obtiene: 1 1 c) x 15 x 25 ; P( x ) 52 x 3 210 x 2 114 x 26 5( x 21)(2 x 2 2 8 x 16) 5 2 2 5 2( x 21)( x 2 2 4 x 13) 2 2 4 Los otros dos factores se obtienen resolviendo la ecuación b) 16 1 8x 1 x ; a) x 2 12x 1 36; x 2 2 4 x 13 5 0. Sus soluciones son x 5 1 y x 5 3 1 2 d) 16x2 2 1. c) x 225; (x 21) y (x 2 3) son los factores. 4 En consecuencia: P( x ) 52 x 3 210 x 2 114 x 2 6 52( x 21)( x 21)( x 23) 5 2( x 21)2 ( x 23) 17. Utiliza la regla de Ruffini para hacer 3 2 las siguientes divisioP( x ) 52 x 210 x 114 x 2 6 52( x 21)( x 21)( x 23) 52( x 21)2 ( x 23) nes: En este caso, la solución x 5 1 es doble, pues el factor (x 2 1) a) x 5 1 x 22 x 3 : x2 1 se repite dos veces.

( b) ( 2x c) ( 3x

3 4

) ( ) 2 x 2 3 x) : ( x2 3 ) 2 6) : (x 1 1 ) 5

a) Cociente: x 1 x 2 x 2 x Resto: 0 b) Cociente: 2 x4 2 3x3 2 7x2 2 21x 2 66 Resto: 2198 Resto: 23 c) Cociente: 3x3 2 3x2 1 3x 2 3 4

3

Tipo IV: Factorización de polinomios 18. Factoriza los siguientes polinomios: b) P(x) 5 10x3 2 250x a) P(x) 5 4x4 1 10x2 c) P(x) 5 3x3 2 9x2 1 6x a) P(x) 5 4x4 1 10x2 5 2x2 (2x2 1 5) b) P(x) 5 10x3 2 250x 5 10x(x2 2 25) 5 10x(x 1 5)(x 2 5) c) P(x) 5 3x3 2 9x2 1 6x 5 3x(x2 2 3x 1 2) 5 3x(x 2 1)(x 2 2)


Tipo V: Fracciones algebraicas

2

23. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 42 x 21x2 a) ; b) ; 2 3x 2 12 7x 2 14x 2 2 3x 2 12 (x 21) ; d) 2 . c) x 12 x 21 3?7? x 2 21 x 2 3x 5 5 7 x 214 x 2 7 x(1 22 x ) 1 22 x 42 x 42 x 2( x 2 4) 1 b) 5 5 52 3 x 212 3( x 2 4) 3( x 2 4) 3 2 2 3 x 4 2 3 x 212 3( x 12)( x 22) c) 5 5 53( x 22) x 12 x 12 x 12 ( x 21)2 ( x 21)2 x 21 d) 2 5 5 x 21 ( x 11)( x 21) x 11 a)

(

)

12/5/08 16:31:48

02

12

CONCEPTOS ALGEBRAICOS BÁSICOS

24. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: x2 1 6 x 2 7 ; a) 2x 2 2 4 x2 2 40x 1 100 ; b) 4 x2 2 100 3x3 2 6x2 . c) 4 3x 1 24x3 2 60x2 x 16 x 27 ( x 21)( x 1 7) x 17 5 5 2 x 22 2( x 21) 2 4 x 2 2 40 x 1100 b) 5 4 x 2 2100 4 x 2 210 x 125 4( x 25)2 x 25 5 5 5 2 4( x 15)( x 25) x 15 4 x 250 3 x 3 26 x 2 c) 4 5 3 x 124 x 3 260 x 2 3 x 2 ( x 2 2) 3 x 2 ( x 2 2) 1 5 2 5 5 2 2 3 x x 1 8 x 2 20 3 x ( x 2 2)( x 110) x 110

a)

(

)

(

)

)

25. Halla, simplificando el resultado: 2 1 2 4 8 ; b) 2 2 1 3 2 4; a) x 211 x 11 x x x x 2 ⎛ x21 ⎞ 5 3x 3 ; d) ⎜ c) 2 1 2 ⎟ 11; 2 ⎝ x11 ⎠ x x 1 x x11 x 22 x 11 x 2x2 8x ; f) ; e) 1 2 2 1 2 3x 1 9 3x 2 9 3x 2 27 x 15 x 225 x 2 11 ; x 11 5 c) 2 ; x x 21 ; e) x 25

x 3 22 x 2 1 4 x 2 8 ; x4 2 x212 d) 2; ( x 11) 22 f) . 3( x 23)

b)

a)

26. Halla, simplificando el resultado: x 2 21 x 1 1 ; a) : x x 12 x 1 3 x2 2 4 x 1 4 ; b) ? x 22 x2 2 9 2 5x 2 4 x 22 5x2 1 20x 1 15 . c) 2 1 ? x 2 4 5x 1 15 x 12 x 2 1 x 22 x

b)

x 12 x 23


El número ab pasa a ser ba: 10b 1 a 5 10a 1 b 1 18 b 2 a 5 2 Hay varias soluciones, b 5 5 y a 5 3 es una de ellas; el número inicial sería 35. 29. Desde Sevilla a Toulouse se puede ir en un número exacto de horas, viajando a 100 km/h o a 130 km/h de velocidad media. ¿Qué distancia hay entre las dos ciudades, si a 80 km/h se tarda menos de 25 horas? La distancia tiene que ser un múltiplo de 100 y de 130. El m.c.m. (100, 130) 5 1 300. Otros múltiplos son: 2 600, 3 900, 5 200,... Dado que yendo a 80 km/h se tarda menos de 25 horas, entonces la distancia es menor que 80 ? 25 5 2 000 km. Por tanto, la solución es 1 300 km. 30. De una cuba llena de vino se saca 1/6 de su capacidad; después, 1/4 de lo que queda. Si aún quedan 100 litros, ¿cuál es la capacidad de la cuba? Sea x su capacidad. ⎛1 1 5 ⎞ 9 15 x 2 ⎜ x 1 ? x ⎟ 5100 x 2 x 5100 x 5100 4 6 ⎠ ⎝6 24 24 x 5 160 litros.

1 1 de depósito en una hora; el otro, . Entre los 10 8 1 1 9 dos: 1 5 . 10 8 40 40 horas (4,44… horas). b) Tardarán 9 a) Uno llena

c)

x2 x 22

D( x) en su d(x) r( x) equivalente de la forma C(x)1 , en los casos: d(x) 2x2 2 3x 1 5 a) ; x x2 1 3 x 2 5 ; b) x2 x2 2 3 x 1 5 . c) x 23 2 x 2 23 x 15 5 52 x 23 1 ; x x

28. Si cambiamos de posición los dígitos de un número de dos cifras, se obtiene otro número que es 18 unidades mayor. ¿De qué número se trata?

31. Un grifo llena un depósito en 10 horas, y otro en 8 horas. a) ¿Cuánto llenan entre los dos en una hora? b) ¿Cuánto tardarían en llenarlo entre los dos?

27. Transforma, sin hacer la división, la expresión

a)

Tipo VI: Aplicaciones diversas

2

(

a)

x 2 13 x 25 3 x 25 51 1 2 ; x2 x 5 . c) x1 x 23

b)

32. Toma una hoja de papel de tamaño 20 3 29 cm, y enróllala hasta tener un tubo sin que se solape el papel. ¿El volumen de ese tubo será independiente del sentido de enrollado? 29 20

Fig. 2.1.

12/5/08 16:32:30

02


V 5 pr2h. Para el tubo gordo, 2pr 5 29 r 5 29/2p; h 5 20 V 5 4 205/p cm3. Para el tubo largo, 2pr 5 20 r 5 10/p; h 5 29 V 5 2 900/p cm3.

5. Expresa algebraicamente: a) La mitad de x más el cuadrado de y. b) El doble de x más la tercera parte de y. c) La velocidad es el espacio partido por el tiempo. d) La mitad de la suma de B y b, por h. (Área de un trapecio.) x 1 y 2; 2 e c) v 5 ; t

a)

j Cuestiones básicas 1. Calcula mentalmente: a) 0,2 1 0,05; c) 0 , 09; a) 0,25; c) 0,3;

b) 40 ? 0,07; d) 4,3 : 0,01. b) 2,8; d) 430.

a)

8 1 x1 ; 3 2

⎛2 ⎞ ⎛ 1⎞ b) ⎜ x 11⎟ ? ⎜ 22x 1 ⎟. 2⎠ ⎝3 ⎠ ⎝ 4 5 1 b) 2 x 2 2 x 1 . 3 3 2

C(x) 5 3x 26; r 5 10 b) 214 8. Dado P(x )52 x 3 2 3 x1 10, calcula P(2), P(22) y P(0). ¿Puedes dar un factor de P(x) de la forma x 2 a?

3. Halla: 2

⎛4 ⎞ a) ⎜ 22⎟ ; ⎝3 ⎠ a) 4/9 4. Simplifica: 2x2 y1 8 xy ; a) 4 xy a)

6. Halla: ⎛2 ⎞ ⎛ 1⎞ a) ⎜ x 11⎟ 2 ⎜ 22x 1 ⎟; 2⎠ ⎝3 ⎠ ⎝

y b) 2 x 1 ; 3 (B 1 b)h d) . 2

7. Divide por Ruffini 3x2 2 2 entre x 1 2. Indica el cociente y el resto.

2. Calcula: a) 3 2 2 ? (24 2 5) 1 (22)4; b) 232 2 2 ? (5 2 1)2 2 (23)3. a) 37

13

x 14 ; 2

b)

2 1 3 : 2 . 5 4 5

b) 1

35 ? 54 . b) 453 5 b) . 3

P(2) 5 20: P(22) 5 0; P(0) 5 10. Un factor es x 1 2. 9. Sin resolver la ecuación de segundo grado asociada al polinomio Q(x) 5 x2 1 7x, halla sus raíces. Q(x) 5 x2 1 7x 5 x(x 1 7) x 5 0; x 5 27 10. Halla y simplifica: 1 x 21 a) 2 2 ; x x a)


1 ; x2

b)

2 4x 2 4 . ? x 21 x

8 b) . x

12/5/08 16:32:51

03

14

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES

j ACTIVIDADES 1. Escribe dos números de cada clase: a) Enteros. b) Racionales pero no enteros. c) Enteros pero no naturales. d) Irracionales. e) Decimales periódicos pero no racionales. b)

a) 23 y 16

1 20 y 3 67

16 d) p y 5 4 e) Imposible porque todo número decimal periódico es racional. c) 2321 y 2

2. Calcula y simplifica: a) 2[x(2y) 2 2(2z)3]; b)

( ) ( ) ( )

3. Representa los números reales: 16 b) 20,47; a) ; 9

c) 13.

16 7 a) Como 5 1 1 , dividimos el intervalo [1, 2] en nueve partes 9 9 iguales, coincidiendo la séptima con el número dado. 16/9

Fig. 3.1.

1

�1

Fig. 3.2.

a) 1,425 ? 1016 b) 6,9432 ? 10211 7. Calcula y simplifica: b) 5 8x2 ? 5 4 x3 y;

a) 3 27 ? 64 5 3 27 ? 3 64 5 3 ? 4 5 12 b) 5 8 x 2 ? 5 4 x 3 y 5 5 8 x 2 ? 4 x 3 y 5 5 32 x 5 y52x 5 y

0

�0,5 �0,47

6. Escribe en notación científica los siguientes números: a) 150 000 000 ? 95 000 000 b) 0,000000000789 ? 0,088

c) ab ? 6 ab.

�0,4

Los redondeos a centenas serán: 1 897,67  1 900; 987 514  987 500; 123  100 Ídem a milésimas: 34,2345  34,235; 0,8765  0,877; 0,12345  0,123 Los errores absolutos (e) y relativos (E) cometidos en las aproximaciones del apartado (a) serán: e(1 900) 5 1 900 2 1 897,67 5 2,33 2, 33 233 5 0,0012 E(1 900) 5 5 1 897, 63 189763 e(987 500) 5 987 514 2 987 500 5 14 14 0,00001 E(987 500) 5 987514 23 e(100) 5 123 2 100 5 23; E(100) 5 5 0,187 123

a) 3 27? 64; 2

b) Hallamos el punto 20,47 mediante subdivisiones del intervalo [21, 0] y posteriormente del [20,5, 20,4]:

�0,5

a) b) c)

a) 2[x(2y) 2 2(2z)3 5 xy +(26z) 5 xy 2 6z ab 1 22 b 2 3b ab 22b2 23b b) 5 2a 2 23 1 22 b 2a 13 22b

5. a) Redondea a centenas los datos: 1 897,67, 987 514 y 123. b) Redondea a milésimas: 34,2345, 0,8765, 0,12345. c) Calcula los errores absolutos y relativos cometidos en a).

( ) . 2a 2( 23) 1 (22)b

( )

ab1 22b b2 3 b

0

Se tiene que los puntos x cuya distancia a 21 es menor que 2 verifican: d(x, 21) < 2 x 2 21 5 x 11 , 2 ? 22 , x 1 1 , 2 23, x , 1 x (23, 1)

c)

3

( )

ab ? 6 ab 5 6 ab ? 6 ab 5 6 a 4 b4 5 3 a 2 b2

8. Extrae factores: �0,4

c) Procedemos a realizar la construcción gráfica de la figura:

5 a) 8a ;

a)

b) 3 81? 104?x6 ; 2

( )

8a5 5 222 a2

c)

16a . 27

a 52a2 2a 3

( )

b) 3 81 ?104 x 6 5 3 333 ?103 ?10 x 2 5 1

0

1

2

3 10

4

Fig. 3.3.

4. Encuentra y señala en la recta real los puntos cuya distancia a 21 es menor que 2.


3 5 3 ?10 ? x 2 3 3 ?10 530 x 2 30

c)

4 a 3 3

Introduce factores: a) 2a 2

a ; 2

2 3 2 b) x 3 x ;

c) (x 11)

x21 . x11

12/5/08 16:33:25

03


a 5 2

a) 2a2 b)

2 x3

3

2

x2 5 3

(

c) x 11

3

2 x3

3

x 21 5 x 11

)

a a 5 22 a 4 5 2a5 2 2

2

(2a )

x2 5 3

23 2 3 23 x 5 7 x9 x

( x 11)

2

( x 11)( x 21) 5

5

c)

x 21 5 x 11

( x 11 )

2

( 2) 5

b)

a 4

c)

5

5

4

4

5

c) 4 a 3 a .

25 52

5

54

a 4

5

a 5 4

4

a 4

a 3 a 5 4 3 a3 a 5 12 a 4 5 3 a

b) 2 20 1

1 45 2 4 125; 2

8 72 23 28822 388 . 7 2

10 10 3 27 22 108 52 3 1 3 2 2 3322 5 3 3 10 5 2 3 1 3 3 22 ?3 ?2 35(2 1 10 2 12) 3 5 0 ? 350 3 1 1 b) 2 20 1 45 2 4 125 5 2 225 1 325 2 4 53 5 2 2 3 29 1 5 2 ? 2 5 1 3 5 2 4 ? 5 5 5 4 1 220 5 52 2 2 2 8 72 23 288 22 388 8 622 23 1222 22 1322 5 c) 5 7 2 7 2 8 ? 6 2 23 ?12 2 22 ?13 2 5 7 2 48 2 36 2 26 2 14 5 52 5 22 7 7 2 a) 2 3 1

(

)

j Problemas propuestos

a) 323, (23)3, (23)23, 2323;


b)

1 3

1 1 52 ; 2 3 3

5 33 5 27; 2 23

1 3

3

5

21 21 5 ; 33 27

2 2

2. Simplifica y no dejes exponentes negativos: 21 2 3 (2a)23 (2b)21. b) (a ) (2b) ; c) a) (8a 2 1b2)2 2; 4ab23 (2ab)22 2 a a) (8a21b2)22 5 822a2b24 5 2 4 8 b a −2 b3 2b5 (a21 )2 (2b)3 52 b) 5 52b5 22 1 1 (2ab) a2 b2 1 1 (2a)23 (2b)21 2 a3 2b b3 b2 c) 5 5 2 52 4a 4ab23 4a 4 2b 8a 4 b3 3. Simplifica y da el resultado en forma radical: 1

a) 5a 2a 3

1

1

1

2

22

b) (16a 1 11 3 2

3

2

1

b ) 5

3

2

⎛ 2x21 y 12 ⎞ c) ⎜⎜ 21 2 ⎟⎟ ⎝x 2y 3⎠

6

510 6 a5 3 22 2 1 1 1 b b 21 b) (16a 3 b 3 ) 2 5 16 2 a 3 b 3 5 4 54 3 3 a 6 a 1 2 x 21 y 2 26 x 26 y 3 64 c) 21 2 5 23 4 5 3 x y x y x 2y 3 a) 5a 3 2a

2

5 5 · 2 a

510a

6

4. Escribe tres números entre: 18 36 3 ; c) y 11, 4. 11 7 X a) 3,37 < 3,374 < 3,375 < 3,376 < 3,37602 18 b) F 51, 61803 , 1, 60804 , 1, 61 , 1, 62 , 51, 37 11 36 c) 52, 2677 . 2, 26 . 2, 255 . 2, 2507 . 3 11, 4 52, 2506 7

X y 3,37602; b) F y a) 3,37

verdad, 2 1 p.

b) El producto de número racional y un número irracional es irracional:

1. Calcula las potencias: 23

23

1 3

5. Decide la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones mediante ejemplos: a) La suma de número racional e irracional es irracional:

Tipo I. Relación de orden y recta real. Operaciones 23

1 1 1 1 5 ; (23)35227 ; (23)23 5 52 ; 33 27 27 (23)3

1 52(23)3 5 27 3 521 250 521 250 c) 2 5 521; 2521 150 5221 1 250 1 121 2(21)21 21 11 0 5 d) 5 50 0 21 21 11 1 11 2

x 21

10. Extrae factores y suma: 10 a) 2 31 272 2 108; 3 c)

b)

2

9. Halla el valor más simplificado de: 5 ⎛ a⎞ 5 5 a) ( 2) ; b) ⎜ 4 ⎟ ; ⎝ 4⎠ a)

x 21 5 x 11

21

⎛ 121 2(21)21 ⎞ d) ⎜ ⎟ . ⎝ 2121 1 10 ⎠

521 2 50 ; 2521 1 50

a) 323 5

15

23

.

verdad,

3 5. 5

12/5/08 16:34:11

03

16


c) El producto de dos números irracionales es irracional:

falso, 2 ?

3 2

5 3.

6. Los lados de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1 ¿tienen medida racional o irracional? x 2

x

Fig. 3.4.

Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo señalado: 22 5 x2 1 x2 x 5 2, por lo que los lados son irracionales. 7. Halla qué números representan las abscisas A, B, C y D de la figura: 1 1 22

C

21

0

1

OA A B

2

3

11. Escribe la desigualdad que cumplen los números que pertenecen a los intervalos: a) (2`, 2]; b) [2, 5]; d) [0, 3) (21, 1). c) (21, 3) [0, 1`); a) b) c) d)

{x, x # 2}; {x, 2 # x # 5}; {x, 21 , x}; {x, 0 # x # 1}.

a) x

El intervalo [22, 0] se divide en tres partes, luego el punto C 4 corresponde a 2 . A 5 1 1 1 5 2. 3 Por otro lado, de la construcción geométrica, B es 2

( 2 ) 112 5 3 y D se obtiene sumando a B la distancia OA 5 2, por tanto la abscisa que corresponde a D es 3 1 2 . 8. Ordena de menor a mayor y representa en la recta real los siguientes números: a) 20,75;

9 ; 4

b)

c) 3 ;

d)

23 ; 20

e) 2

0,0256 . 2

23 0,0256 51,15 y 2 520,08 20 2 0,0256 23 9 , , , 3 se tiene la ordenación: 20,75 , 2 2 20 4 Su representación aproximada en la recta real es: 3 Como resulta que 3 51,732..,

21

(2`, 21); [21/2, 1/2); [; [25/2, 6/5).

12. Escribe en forma de desigualdad y de intervalo los números que verifican:

D

Fig. 3.5.

20,75

10. Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real: a) A 5 {x, x 21} b) B 5 {x, x 1/2 y x 20,5} c) C 5 {x, x 1 y x 3} d) D 5 {x, 22,5 x 1,2} a) b) c) d)

a) (29, 0) b) p 1 2,45 5 5,59… Entonces un intervalo puede ser (5, 6) c) F2 101 5 28,43… Entonces (28,5, 28).

23 ––– 20

0,0256 2––––––––– 2 0

1

3 9 –– 4

9. Asigna un intervalo abierto que contenga cada uno de los números siguientes:


b) p 1 2,45;

b) x

3;

c)

5 x

0;

{x, 23 # x # 3} [23, 3]; {x, x # 23 o x $ 3} (2`, 23] R2{0}; {1}.

d) x21

0.

[3, 1+`);

13. Encuentra los intervalos unión e intersección de estos pares de intervalos: a) I 5 {x, |x 1 1| 1} y J 5 [21 ,2) b) K 5 {x, |x 2 1| 2} y L 5 {x, |x 1 2| 2 c) M 5 (2`, 2] y N 5 {x, |x 2 3| 5 2} a) I J 5 (22, 0) [21, 2) 5 (22, 2); I J 5 [21, 0) b) K L 5 (2`, 0] [3, `) ; K L 5 [24, 21] c) M N 5 (2`, 2] {5} {1} 5 (2`, 2] {5}; M N 5 {1} 14. Halla y representa en la recta real los números que distan de 21 menos de 2 unidades. d(x, 21) 5 x 2(21) 5 x 11 , 2 ⇒ 22  x 1 1  2 23  x  1 (23, 1)

Tipo II. Notación científica. Números aproximados

2

Fig. 3.6.

a) 27;

a) b) c) d)

3;

c) F2 101.

15. a) Redondea a unidades: Al redondear a unidades, despreciamos la primera cifra decimal, por tanto:

12/5/08 16:34:32

03


0,854  1 115,06  115 21546,7  21 547 b) Redondea a milésimas: En el redondeo a milésimas, ésta es la última cifra conservada, luego: 20,0996  20,1 56,4444  56,444 1,897645  1,898 16. Escribe estos números con un error menor que una milésima: 13 a) ; b) p; c ) 2 ; d) (2 2 0,56)3 . 7 a) b) c) d)

13/7 5 1,8571...  1,857; p  3,142; 2  1,414; (220,56)3 5 2,98598  2,986.

17. Indica a qué intervalo pertenecen los números cuyo redondeo a centésimas es 1,23. El intervalo sería: (1,225, 1,235) pues en él la distancia d(x, 1,23) , 0,01. Además, como 1,225 también se redondea a 1,23, la solución completa es [1,225, 1,235). 18. Si 1,23 es la medida de una magnitud en la que hemos cometido un error relativo máximo del 10 % ¿entre qué valores está comprendido el valor exacto de la magnitud? El error relativo es: x 21, 23 x 21, 23 , 0, 1 ⇔ 20, 1 , , 0, 1 y de la primera E 5 x x desigualdad: x 11 x 12, 3 123 2 , x 21, 23 ⇔ 1, 23 , ⇔ x. 5 10 10 11 110 de la segunda desigualdad: x 21, 23 x E 5 , 0, 1 ⇔ 21, 23 , 2 x ⇔ x 10 9x 12, 3 123 ⇔ 1 ,23 . ⇔ x , 5 10 9 90 La magnitud está en el intervalo: (123/110, 123/90). 19. Expresa en notación científica los siguientes números indicando su orden de magnitud: a) 1 234 ? 105; b) 0,0000000067012; c) 0,00763 ? 106; d) 2527,05 ? 1023. a) b) c) d)

1,234·108 orden de magnitud 8. 6,7012·1029 orden de magnitud 29. 7,63·103 orden de magnitud 3. 25,2705·1021 orden de magnitud 21.

20. Calcula empleando la notación científica: 37? 10 4 b) a) 1,27653?(0,00006584)3 4 125 000


c)

17

2,75 ? 10 5? (0, 000008)2 (12000)3 ?6,1 ?10 4 3

a) 1,27653? (0,00006584) 5 que en la pantalla de la calculadora da: 3,643347 2 13 5 3,643347 · 10213 -4 b) 37?10 5 8,969697 2 10 5 8,969697 ? 10210 4 125 000 2 5 2,75 ? 10 ?(0,000008) c) 5 1,6697 2 14 5 1,6697 · 10214 3 -4 (12 000 ) ? 6,1? 10 21. La capacidad de memoria del disco duro de un ordenador se mide en gigabytes (Gb). Cada Gb tiene 109 bytes o unidades básicas de almacenamiento, de forma que cada byte contiene un símbolo (dígito, letra, etc.). Si por término medio una “palabra” está compuesta de 6 símbolos, estima cuántas palabras puede archivar un ordenador de 20 Gigabytes (Giga 5 109). 9

20 ? 10 5 3,3 ? 10 9 6

Tipo III. Simplificación y operaciones con radicales 22. Reduce a una sola potencia fraccionaria: 2

1

a) a ? a 3 ; a) a b) a

1 +2 2 3

1 1 2 2 1

b) ( a )2 ; c ) a a ; d) 2 ? 8 ?

1 . 32

7

5a 6 ; 1

5 a 4; 1

c) (a ? a 2 ) 2 5 a

1 11 2 4

3

5a 4;

d) 2 · 23/2 · 225/2 5 20 5 1. 23. Calcula el valor de los radicales: a)

3

56

a) 5 5 25; c) 0,54928…; 2

4

b) 5

c)

3 5

0,05

d)

28

2,16

b) 1,4953…; d) 2,06613…

24. Halla, sin utilizar calculadora, el valor de: 10 169 ; b) 144 0,09; c) 81 ?144? 400 ; d) 3 28? 27? 64 . a) 0,1 100 a)

10 169 5 10 2 ? 169 5 10 2 169 510 ? 13 5130 0,1 0,09 0,09 0,3 5 144 512 5 0,36 100 10 100 81? 144 ? 400 5 81 144 400 5 9 ? 12 ? 20 5 2 160

b) 144 c)

3 d) 3 28 ? 27 ? 64 5 28 3 27 3 64 522 ? 3 ? 4 5224

25. Reduce a índice común, divide y simplifica: 4 6 2 ? 20 3 6 . a) ; c) 2 ; b) 3 4 323 2 8

12/5/08 16:34:53

03

18

3

a)

3

2

5

6

33

6

2

b)

4

6

c)

8 4

2

6

4

22 4 202

5

4 12

323

5

Tipo IV. Suma de radicales semejantes

27 4

56

2

2 ? 20


22 ? 63

12

5 4 200

8

3218

30. Reduce las sumas: a) 3 5 2 80 1 2 45 2 125 1 b) 2 3 2 12 1 4 27 2 c) 3 45 2 25 1 100 2 2 180

5 12 25 ? 321

26. Haz las operaciones que se indican: 4 x

a)

3

2x

b) 2 ? 3 4 ? 4 8;

;

3

c)

ab

.

1 ? a21 2 a En todos los casos hemos de reducir a índice común para operar: 4 x 4 6 x3 x3 a) 5 5 4 6 2 5 6 45 x 3 4x 2x 6 (2 x )2 6

b) 2 ? 3 4 ? 4 8 5 12 26 4 4 83 5 12 262829 5 12 223 5212 211 3

c)

1

6

a

2

6

ab

5

? a21

6

(ab)2

5 6 a7 b2

a22 6 a23

4

a)

4

5 3

3

3

1 2

a6 a2 5 24 a 8 5 3 a

4

1 3

5

12

6 12 12

2ab 6

2 a

2 12

3

c) (21)3 ?

5 3

8

21

5 12

12

4 b 5 2 a b 52 2 a b 23

21 11 5

3 15

16

8 9

4

8 9

(21)46 115 45 111511152

28. Reduce todo lo posible las sumas: a) (1 2 2 2)2 2 (1 1 2 2)2; b) ( 522)?( 5 1 2) 1 (2 2)2.

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad y resulta: 2

52

82 2 4 5 4

e)

2

8 2454

b)

3 2 3

;

c)

8 4 2

2 2 5 2; 2 16 1 5 5 ; c) 4 2 4 ?2 2

a)

5

2 8

x

2

2 3

5

x1 y x2 y

;

d)

12 3 2 3

;

 x2  e)  .  x3 

3 3 3 3 5 5 ; 2 2 3 2?3 12 3 (1 2 3 ) 3 3 23 d) 5 5 ; 2 ? 3 6 2 3

b)

x4 5x x3

33. Racionaliza las fracciones: 3 a) 11 3 c)


2 ; 2

x

82 2 (4 1 2 3 )(4 22 3 ) 54 ⇒ 2

Tipo V. Racionalización

2

⇒ 41 2 3 1 42 2 3 2 2 41 2 3 4 2 2 3 5 4 ⇒

2

c) 2 3 2 2 3 16 1 5 3 128 5 2 3 2 22 3 2 15 ? 22 3 2 520 3 2

a)

29. Demuestra que: 4 12 3 2 422 3 5 2.

8 22 4 2 2 ? 3 5 4

20 125 6 45 5 1 2 23 5 27 3 5 12 3 2 5 5 6 3 5 5 4 5 17 5 5 22 15 2 ? 2 3 5(27 2 ) 52 3 3 3 5 2 3 3 3 3 15 3

32. Racionaliza:

a) (1 2 2 2)2 2 (1 1 2 2)2 5 1 1 824 2 2 1 2 8 2 4 2 5 28 2 b) ( 5 2 2) · ( 5 1 2) 1 (2 2)2 5 5 2 4 1 8 5 9

4 12 3 2 4 22 3

b) 22

b) 2ab ? 2 a ? 4 b 2

4

1 3

21 1 1 8 3

75 7 48 5 2·5 3 1 2 3 2 7 3 1 12 3 2 27 1 4 3 9 1 (4/3) 3 5 5 3 1 (4/3) 3 5 (19/3) 3

a) 4 1 2

b) 2ab2 ? 22a ? 4 b 21

a2 ? 3 a2 5 2

20 125 6 45 5 1 2 23 27 3 5 12 3

c) 2 3 2 2 3 16 1 53 128

a2 ? 3 a2

c) 3 (21)3 ?

31. Reduce las sumas: 75 7 48 a) 4 12 32 271 4 3 9 b) 22

27. Calcula y simplifica: a)

a) 3 5 2 80 1 2 45 2 125 5 3 5 2 4 5 1 2 · 3 5 2 5 5 5 0 1 b) 2 3 2 12 1 4 27 52 3 2 3 112 3 513 3 2 c) 3 452 25110022 18059 525 522?6 5528 5

b) d)

5 2 52 2 31 2 3 2 32 6

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03


3

a)

11 3 5

b)

2 5 22 x1 y

c)

x2 y

d)

5

?

3 12 3 2 32 6

5( 5 11) 2( 5 21)( 5 11)

x1 y

5

x1 y 5

5

a) x 11 5 x + 1 pues al ser x > 21, x + 1 > 0. b) x( x 1 x 3 ) 5 x 2 1 x 4 5 x 2 1 x 4 pues ambas potencias son positivas siempre.

( 3 12 3 )( 2 3 1 6 ) ( 2 3 2 6 )( 2 3 1 6 ) 5

5

3. Simplifica la expresión:

6 3 13 6 112 12 18 5 6

20 1 80 2 2 125 40

; b)

24 2 1501 4 54 6

.

20 1 80 2 2 125

5

40 5

24 5

5

22

2 5 14 5 22 ?5 5 2 10

5

6 (2 25 112) 6 6

35. Suma y simplifica: 3

2

5

1

5

2

2 ?6 2 5 ?6 1 4 3 ?6 6

3 2 32 2

2

5 31 3

1

2 3

.

2 45 . 3

2 2 45 5 425 1 325 5 4 5 12 5 56 5 3 3

8. Reduce a un solo radical:

5

x3

2 3

5 3 3 3 215 2 3 1 5 3 26

4

x2

4

5

4

x6 x2

54

x3 4

x2

.

x6 4 4 5 x 5x x2

3 9. Escribe con una sola raíz y simplifica: a a .

a3a 5

18 16 3 1 20 3 260 1 16 3 242 142 3 7 3 27 5 5 24 24 4

3

10. Racionaliza:

j Cuestiones básicas

b) 62 1 82 5 100 510

28 522 5 4;

80 1

2 3 22 3 13 3 3(2 3 12) 5( 3 23) 1 2 5 (2 3 22)(2 3 12) ( 3 1 3)( 3 23) 2 ? 3 1 2 3 5 3 215 2 3 6 1 2 3 5 2 1 2 5 2 2 2 2 2 2 8 3 23 3 2 3 22 5

4

7. Suma: 80 1

59

2

a)

5

–4

b) 62 1 82 .

6. Calcula el valor: a) 4 28 ; 2

c) 0,9999  1

b) 0,05·1024 5 0,000005

a) 23,21·10 5 2 32 100 000

2

24 2 150 1 4 54

b) 0,05

7

52 2

c) 0,9999.

b) 0,1672  0,167

5. Escribe en notación decimal: a) 23,21 7

5

.

4. Redondea a milésimas: a) 23,9525; b) 0,1672; a) 23,9525  23,953

2 2 5 2 b) Operamos como en (a):

2a(2 x)

5 2a(2x ) (2a 1 c 2 a) x 2 cx (c 2 2a 2 c ) x 22ax 5 5 522 ax ax ax

a) Sumamos en el numerador y simplificamos:

2[a 2(c 2a)] x 2 cx

2 ⎡⎣a 2(c 2 a)⎤⎦ x 2 cx

6 3 13 6 112 16 2 6 52 1 2 1 3 1 6 2

34. Calcula: a)

b) x( x 1 x3).

Aclaración: Se trata de escribir sin barras la expresión equivalente.

51 5 51 5 5 2? 4 8

x2y

22 32 2 62 5

a) x11 si x > 21;

x1y12 xy

6 3 13 6 1 4 32 12 3 6

2. Escribe sin las barras de valor absoluto estas expresiones:

3(1 2 3 ) 3 23 5 1 23 22

5

19

22

22 5

5

a3 a 5 6 a 4 5 3 a2 22

. 22 5

22(2 1 5 ) (2 2 5 )(2 1 5 )

5

22(2 1 5 ) 52(2 1 5 ) 4 25

1. ¿En qué se diferencian los números racionales de los irracionales? Pon un ejemplo. Los irracionales no pueden ponerse en forma de fracción.


12/5/08 16:35:21

20

04

ECUACIONES E INECUACIONES

j ACTIVIDADES

x(1 2 x ) 1 x 11 53( x 11)(1 2 x ) x(1 2 x ) 1 x 11 53( x 11)(1 2 x ) ⇒ 2 x 2 x 2 11 523 x 2 13 ⇒ 2 x 2 12 x 22 5 0,

1. Se mezclan dos tipos de vino: uno de 2,70 €/L y el otro de 4,68 €/L. ¿Cuántos litros de cada clase debemos coger para obtener 150 L de mezcla a 3,60 €/L?

2 x 2 x 2 11 523 x 2 13

2 x 2 12 x 22 5 0

21 6 5 . ecuación que nos aporta las soluciones x 5 2 x 1 1 3 1 1 3 c) 1 2 5 5 4x 1 4 5 3x2 x2 x x 4 4 4  64 4  8 2 5 3x2 2 4x 2 4 5 0 x 5 5 6 6 2 2/3 x2 1 2 x2 1 2 5 0 No tiene solución. d) 5 0 2x

Los 150 L de mezcla tienen un valor de 150 ? 3,60 5 540 €, que será idéntico al valor de los vinos mezclados: x ? 2,70 1 1 (150 2 x)4,68, siendo x los litros empleados del vino más barato. Por consiguiente: 540 5 x ? 2,7 1 (150 2 x)4,68, que re162 5 81,82 litros. Del otro vino tomaresuelta nos da el valor x 5 5. Un vendedor de libros tiene un contrato con una editorial, 1,98 remos 68,18 litros. por el cual percibe 300 € de sueldo fijo más 90 € por en-

ciclopedia que venda. Recibe una oferta de trabajo de otra editorial, por la que le ofrecen 140 € por cada venta, pero sin remuneración fija. ¿Cuántas enciclopedias debe vender para que le convenga, económicamente, cambiar de editorial?

2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2x 2 1 1 3 5 x 1 1 b) 2 x2 2 3x 5 x c) 2x2 1 1 2 x2 2 3 5 2 a)

2x 2 1 1 3 5 x 1 1 2x 2 1 5 x 2 2 2x 2 1 5 x2 2 4x 1 4 x2 2 6x 1 5 5 0. Las soluciones de la última ecuación son x 5 5 y x 5 1. La única válida es x 5 5. b) 2 x2 2 3x 5 x 4(x2 2 3x) 5 x2 3x2 2 12x 5 0 Las soluciones de la última ecuación son x 5 0 y x 5 4. Ambas son válidas. c) 2 x 2 11 2 x 2 2 3 5 2

2 x 2 11 5 x 2 2 3 1 2

2 x 2 11 5 x 2 2 3 1 4 1 4 x 2 2 3

x 2 5 4 x 2 23 x 4 516( x 2 23) x 4 216 x 2 1 48 5 0 , ecuación bicuadrada que se resuelve haciendo x2 5 t,

t2 216t 1 48 5 0 que son válidas.

t 5 4 y t 5 12

Si x es el número de enciclopedias vendidas, para la primera editorial cobra: 300 1 90 ? x y para la segunda, 140 ? x. Si queremos que 300 1 90x , 140x esta condición se cumple 300 si x . 56. Más de seis. 140 290 6. Halla la solución de las inecuaciones: a) x222x23 , 0 b) 2x2 1 2x22 > 0 2 c) x 1 4. 0 a) Las soluciones de la ecuación x2 2 2x 2 3 5 0 son x 5 21 y x 5 3, por lo que x2 2 2x 2 3 5 (x 1 1)(x 2 3). A la vista de los signos de cada binomio, se forma la tabla: 2 `

x 5 62 y x 56 12

3. Halla las soluciones de las ecuaciones: b) x3 2 6x2 1 12x 2 8 5 0 a) 2x3 2 4x2 1 2x 5 0 a) b)

Sacando factor común: 2x(x2 2 2x 1 1) 5 0 2x(x 2 1)2 5 0 2x3 2 4x2 1 2x 5 0 Las soluciones son: x 5 0 y x 5 1, doble. Posibles soluciones enteras son: x 5 1, 2, 4 y 8. La primera que encontramos es x 5 2. Dividiendo por Ruffini: (x 2 2) (x2 2 4x 1 4) 5 0. x3 2 6x2 1 12x 2 8 5 0 Como la única raíz de x2 2 4x 1 4 5 0 es x 5 2, se tiene que (x 2 2)3 5 0. x3 2 6x2 1 12x 2 8 5 0 Luego, la única raíz es x 5 2, con multiplicidad 3.

4. Resuelve las ecuaciones: x2 2 3 x 2 4 x 1 b) a) 1 53x 5 0 x 11 1 2x x 2 11 x2 1 2 1 1 3 d) c) 1 5 5 0 2x x x2 4 x 2 23 x 2 4 a) 2 5 0 se verifica si el numerador es cero: x 11 x2 23x 2 4 5 0 que resuelta da por soluciones x 5 21 y x 5 4, ambas aceptables. b) Quitamos denominadores en la ecuación, quedando

Sol_1CCSS_04.indd 20

3

21

1 `

x 1 1

2

1

1

x 2 3

2

2

1

(x 1 1)(x 2 3)

1

2

1

donde se deduce que en el intervalo (21, 3) el trinomio x2 2 2x 2 3 es negativo. b) La ecuación x2 2 2x 1 2 5 0 no tiene solución real, resultando que para todo valor de x, x2 2 2x 1 2 es mayor que 0 por lo que la inecuación propuesta no tiene solución. c) x2 1 4 5 0, como en el caso anterior, no tiene solución real y x2 1 4 es siempre positivo, siendo todo número real solución.

7. Encuentra las soluciones de las inecuaciones: x2 2 4 x 2 11 a) 0 # ; b) 2, x 11 x a) Como x224 5 (x 2 2)(x 1 2) podemos formar la tabla: 2 `

22

2

21

1 `

x 1 2

2

1

1

1

x 1 1

2

2

1

1

x 2 2

2

2

2

1

(x 2 2)(x 1 2) 5 1 1

2

1

2

1

Donde vemos la solución [22, 21)ø[2, `)

9/5/08 23:10:16


x 2 11 x 2 11 x 2 11 2 2 x ( x 21)2 0, 22 ⇔ 0 , ⇔ 0, x x x x ya que (x21)2 siempre es positivo, el signo del cociente depende de x, así que la solución es el intervalo (0, `). b) (0, `) a) [22, 21)ø[2, `); b) 2 ,

j Problemas propuestos Tipo I. Ecuación de primer grado y problemas relacionados 1. Expresa mediante una ecuación estas relaciones: a) La suma de un número par, su anterior y su posterior vale 60. b) La suma de tres números impares consecutivos vale 213. c) El cuadrado de la suma de dos números es igual al doble de su suma. d) La semisuma de tres múltiplos consecutivos de tres vale 108. a) 2n 1 2n 22 1 2n 1 2 5 60 6n 5 60 b) 2n 21 1 2n 1 1 1 2n 1 3 5 213 6n 1 3 5 213 c) (a 1 b)2 5 2(a 1 b) 3n 1 3n 1 3 1 3n 1 6 9n 1 9 5 108 d) 2 2 2. Escribe una ecuación lineal que no tenga solución. Y otra que posea infinitas. Sin solución: x 1 3x 21 5 4x 1 2 Indeterminada: 22x 1 5 1 x 5 6 2x 21 (es una identidad) 3. Resuelve las ecuaciones: 2 1 3 1 a) x 1 5 2 3 6 2 4 1 2 c) 5 2 x 1 4 x 1 1

b) 22(x 1 2) 1 3 5 4(1 2x)

04

21

x 1 1 x 1 2 3 2 3 b) 1 2x 5 2 2 x 2 1 3 2 2x 1 (22) 5 x 2 1 1 c) 2 3 4 2 a) Multiplicamos la ecuación por 60 (m.c.m. de los denominadores): 22 18x 212 2 4x 24 5 23x 1 6 22x 19x 5 22 x 5 19 b) Operamos los numeradores y dividimos: 2x 2 3 3x 1 1 6 3 2x 2 3 3x 2 1 1 5 1 2x 5 ; 2 4 12 12 quitamos denominadores y resulta: 4 2x 23 1 24x 5 3x 1 1 23x 5 4 x 5 23 c) Multiplicamos dentro del corchete: 2x 2 2 3 2 2x x (22) 5 2 1 1 3 4 2 y ahora se multiplica el paréntesis por 22: 24x 1 4 26 1 4x x 2 2 1 5 3 4 2 Si quitamos denominadores y reducimos, 216x 1 16 2 18 112x 5 6x 2 12 24x 2 2 5 6x 2 12 10x 5 10 x 5 1 5. Juan gasta un tercio del dinero que tiene en la compra de un libro. Más tarde, paga la entrada al cine, costándole la mitad del dinero que le queda más 0,72 €. Si aún le sobran 2,25 €, ¿cuánto dinero tenía en un principio? Llamemos x el dinero que tenía Juan al principio que le ha financiado la compra del libro, la entrada del cine y le han sobrado 2,25 euros, así que: x x2 x x x x 5 1 3 10,7212,25 ⇒ x5 1 12,97 ⇒ 3 3 3 2 ⇒ x53?2,9758,91 euros.

x 2 1 2(x 1 2) 3x 1 1 6. Un jeque deja en herencia a sus tres hijos una cuadra de 2 5 6 3 4 caballos, atendiendo al siguiente reparto: al primero, la mitad de los caballos de la cuadra más medio caballo; al a) Se quitan denominadores multiplicando la ecuación por su segundo, la mitad de los que quedan más medio caballo m.c.m. (2,3,4,6) 5 12 : 8x 1 2 5 18 2 3x 11x 5 16 y al tercero, la mitad de los que le quedan más medio ca x 5 16/11 ballo. ¿Cuántos caballos hay en la cuadra? (¡Ojo! No hay b) Multiplicamos los paréntesis y reducimos: que matar ningún caballo.) 22x 24 1 3 5 4 24x 4x 22x 5 4 1 4 23 2x 5 5 x 5 5/2 Si suponemos la cuadra formada por x caballos, a cada hijo le 2 1 corresponde: c) 5 2 2(x 1 4) 5 2x 21 x 5 23 x 1 1 x 1 4 x 1 x 1 1 Hijo 1º: 1 5 x 2 1 2(x 1 2) 3x 2 1 2 2 2 d) 2 5 quitamos denominadores como 4 3 6 x 1 1 en a) quedando: x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 2 3x 23 28x 216 5 6x 1 12 x 5 2 21/11 Hijo 2º: 1 5 1 5 2 2 4 2 4 x 1 1 x 1 1 4x 2 2x 2 2 2 x 2 1 4. Resuelve: x 2 1 3x 2 2 x 1 1 x 3 2 x 1 1 2 4 4 a) 2 5 2 1 Hijo 3º: 1 5 1 5 10 15 20 30 2 2 2 2 x 2 3 1 x 1 1 5 1 5 8 2 8


d)

14/5/08 09:05:16

22

04


por tanto, la suma de esas partes es el total de caballos, x 1 1 x 1 1 x 1 1 4x 1 4 1 2x 1 2 1 x 1 1 1 1 5 x 5 x 2 4 8 8 7x 1 7 x 5 7 caballos. 5 x 8 7. Un primer examen se valora 2,5 veces más que otro. Si en el primero, un alumno tuvo una nota de 5,3, ¿qué deberá sacar en el segundo para obtener de media un 7? El primer examen vale como si tuviera 2,5 notas de la misma importancia que el segundo, por lo que si llamamos x la nota de este último, la media de las 2,5 1 1 calificaciones será: 2,5 ? 5,3 1 x 13,25 1 x 13,25 1 x 5 24,5 5 7 5 7 2,5 1 1 3,5 x 5 11,25 luego con esa ponderación de notas, ya no podría sacar una media de 7 (puntuando sobre 10). 8. Tres operarios trabajan en total 96 horas semanales en una cadena de producción. Si el tiempo dedicado por uno de ellos a este fin son los 3/5 del tiempo empleado por otro y éste los 5/8 del dedicado por el tercero, ¿cuántas horas semanales permanece en la cadena cada trabajador? Llamemos x las horas semanales de trabajo del tercer operario, 3 5 3 entonces el segundo dedica y el primero ? x 5 x así que, 5 8 8 3 5 x 1 x 1 x 596 2 x 596 x 5 48 horas. El segundo opera8 8 rio trabaja 30 h y el primero 18 h.

9. Un padre tiene actualmente 47 años y la suma de las edades de sus dos hijos es de 31. ¿Dentro de cuántos años la suma de las edades de los hijos será la edad del padre? Si la suma actual de las edades de los hijos es 31 años, dentro de x años esa suma será: 31 1 2x (fíjate que pasan x años para cada hermano). Además el padre tendrá 47 1 x años, por lo que x 5 47 231 5 16 años. 31 1 2x 5 47 1 x

Entonces: Si 60 trabajadores tardan 30 días en hacer un chalé, 80 trabajadores tardarán x. Y resolviendo la regla de tres tenemos x 5 22,5 días. Por tanto si 80 trabajadores tardan 22,5 en hacer 1, en hacer 6 tardarán: 6 ? 22,5 5 135 días. 12. Semezclan 50 l de aceite de girasol de 0,99 €/l con aceite de 0,78 €/l, obteniéndose una mezcla de 0,9 €/l. ¿Cuántos litros se han empleado del aceite más barato? LLamemos x los litros empleados del aceite de 0,78 euros. El valor monetario de los 50 1 x litros de mezcla es: (50 1 x) ? 0,9 €, que coincidirá con el valor, en euros, de los líquidos que la componen: x ? 0,78 1 50 ? 0,99 es decir, (50 1 x) ? 0,9 5 x ? 0,78 1 50 ? 0,99 750 5 20x x 5 37,5 litros.

Tipo II: La ecuación de segundo grado y problemas afines 13. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: b) 3(x 1 1)2 5 27; a) 3x2 1 x 5 0; d) 22(x 25)2 2 8 5 0. c) x2 24x 2 35 5 0; x 5 0 o 3x 1 1 5 0, 1 que nos da los valores solución x 5 0 y x 5 2 . 3 27 2 x 1 1 5 6 9 5 63 y nos b) Pongamos (x 1 1) 5 5 9 3 x 5 2 y para resultan las soluciones, para 1 3: x 1 1 5 3 x 5 24 23: x 1 1 5 23 c) Aplicamos la fórmula general: a) Si sacamos factor común: x(3x 1 1) 5 0

2(2 4) 6 (24)2 2 4 ? 4 ? (235) 4 6 24 x 5 5 , 8 2 ? 4 es decir, x 5 7/2 y x 5 25/2. d) Como en el caso (b), si despejamos (x 25)2 nos queda: 8 (x 25)2 5 524 lo que es imposible pues el primer 22 miembro siempre es positivo. Esta ecuación carece de solución real.

1 0. Una bomba extrae 4 500 l de agua de un pozo, trabajando 4 h. Si necesitamos vaciar un pozo de 15 000 l en 3 h, 14. ¿Cuánto tiene que valer c en la ecuación 3x2 1 5x 1 c 5 0 ¿cuántas bombas iguales necesitaremos? para que posea dos, una o ninguna solución? 4 500 Una bomba extrae litros por hora, es decir, que en 3 horas El discriminante de la ecuación es: 5 25 2 12c 4 25 4 500 c, tiene 2 soluciones saca 3 ? litros. 12 4 25 Para vaciar un pozo de 15 000 litros en 3 horas necesitaremos, c5 solución doble 15 000 60 000 12 en consecuencia, 5 4,4 motores. Han de em 5 4 500 13 500 25 3 solución imaginaria c. 4 12 plearse 5 motores, aunque sólo empleemos el 40 % de la capacidad de uno. 15. En x2 1 bx 2 2 5 0, ¿cuántas soluciones te vas a encontrar para cualquier valor de b? 11. Para construir 4 chalés en 120 días se necesitan 60 tra2 soluciones reales. El discriminante 5 b2 1 8 . 0 bajadores. ¿Cuántos días se necesitarán para construir 6 chales con 80 trabajadores? Tardan 120 días en hacer 4 chalés, luego en hacer 1 tardarán 16. Una obra la realizan dos operarios, trabajando conjuntamente, en 12 días. Uno de ellos emplea 10 días más que 120/4 5 30 días.


9/5/08 23:11:37

04


23

el otro si trabaja solo. ¿Cuántos días necesita cada obrero para completar la obra en solitario?

0 52 (3 x 22)(1 2 x ) 0 5 4(3 x 22)(1 2 x ) que nos proporciona x 5 1 y x 5 2/3 (ésta no es válida) como solucioTrabajando solo un operario tarda x días y el más lento x 1 10. En nes. 1 1 c) Quitamos denominador: un día, el primero hará de su trabajo y el segundo ; si x x 1 10 x 11 x 1 2 1 2 5 x 1 2 (x 1 1)(x 1 2) 5 x 1 2 x que multiplicando los paréntesis y re( x 1 1 )( x 1 2 ) 5 x trabajan conjuntamente hacen de obra por día, luego: (x 1 1)(x 1 2) 5 12 duciendo términos, nos queda 3x 1 2 5 0 o sea x 5 22/3 que 1 1 1 x 1 10 1 x 1 no verifica las raíces positivas. Luego, no tiene solución. 12(2x 1 10) 5 x(x 1 10) 1 5 5 x x 1 10 12 x(x 1 10) 12 2 2 24x 1 120 5 x 1 10x x 2 14x 2 120 5 0 ecuación que las soluciones de: resuelta da por soluciones 20 y 26 días, siendo válida única- 20. Calcula 4 2 29x 5 0; b) x4 28xb 1 16 5 0; a) x mente la positiva. Así, cada trabajador emplea, respectiva8 mente, 20 y 30 días en hacer la obra. ; d) x4 2 3x2 1 2 5 0. c) 3x2 1 15 2 x 11 17. La suma de los cuadrados de la edad actual y de la que tendrá dentro de 2 años un muchacho es de 580. ¿Cuántos años tiene el chico? Si tiene actualmente x años, dentro de dos tendrá x 1 2 años. Las condiciones del problema imponen que x2 1 (x 1 2)2 5 580, que desarrollando, reduciendo términos semejantes y dividiendo por 2 nos da la ecuación: x2 1 2x 2 288 5 0 con soluciones x 5 218 y x 5 16. La negativa no es válida.

Tipo III: Ecuaciones reducibles a cuadráticas, racionales y polinómicas 18. Resuelve las ecuaciones: a) x2 2 4 5 12; x c) 2x 2 x 5 x

b) x 2 x 5 6;

a) x 2 2 4 5 12 x2 24 5 12 x2 5 16 x 5 64 2 2 b) x 2 x 56 x 26 5 x (x 26) 5 ( x ) x2 213x 1 36 5 0 que la solución positiva, única válida es x 5 9 x c) 2x 2 x 5 , vamos a quitar denominadores y pasamos x al primer miembro todos los términos: 2x x 2 x 5 x 2x( x 2 1) 5 0 x 5 0 o x 5 1 x 5 1 es la solución válida. 19. Halla la solución y comprueba los resultados: a) 2x 2 3 x 2 3 5 x 1 3 b) 2x 2 15 3x 2 21 12 x 2 5 x 12 c) x 11 1 x 12

a) x4 29x2 5 0 x2(x2 2 9) 5 0 x2(x 1 3)(x 2 3) 5 0 que da las soluciones x 5 0, x 5 3 y x 5 23 b) x4 28x2 1 16 5 0 es una ecuación bicuadrada que haciendo x2 5 t, nos queda: t2 28t 1 16 5 (t 2 4)2 5 0 dando por raíz t 5 4 y por tanto, x 5 6 4 5 62 c) Quitamos el denominador: (3 x 2 11)( x 2 11) 5 8 3x4 1 4x2 27 5 0; esta ecuación bicua 3x4 1 4x2 1 1 5 8 drada que con el cambio habitual x2 5 t nos da como soluciones válidas en x 5 61. 3 6 1 ⎧2 5⎨ d) x 2 5 x 56 2 y x 5 61 2 ⎪⎩1 21. Halla las raíces de las ecuaciones: a) (x2 2 1)(x2 1 3x) 5 0; b) x4 1 2x3 2x2 1 4x 26 5 0; c) 2x4 2 3x3 1 x 5 0. a) Si descomponemos en factores los términos de la ecuación (x 1 1)(x 2 1)x(x 1 3) 5 0 x 5 1, (x2 2 1)(x2 1 3x) 5 0 x 5 21, x 5 0 y x 5 23 son las soluciones b) Tanteamos las raíces de x4 1 2x3 2 x2 1 4x 2 6 5 0 dividiendo por Ruffini, que nos da:

1 1 1 23 1 c)

bro x 23 53 x 23 ( x 23)2 59( x 23) x 2 215 x 136 5 0 cuyas soluciones 3 y 12 son ambas válidas.

b) Elevamos los dos miembros al cuadrado:

2 x 21 53 x 22 11 2 x 12 (3 x 22)(1 2 x )


21

4

26

1

3

2

6

3

2

6

0

23

0

26

0

2

0

soluciones reales son x 5 1 y x 5 23, quedando el polinomio x2 1 2 5 0 que tiene raíces imaginarias. En 2x4 23x3 1 x 5 0 sacamos factor común x: x(2x3 23x2 1 1) 5 0; el polinomio del paréntesis nos da las raíces x 5 1 y x 5 21/2, que junto a x 5 0 del factor común tenemos las raíces de la ecuación propuesta. 2 1

a) En 2 x 23 x 23 5 x 13 aislamos la raíz en el segundo miem

2

2 1 2

21/2

23

0

1

2

21

22

21 21

2

1

1

0

0

21 2

0

14/5/08 09:07:50

24

04


22. Resuelve: 12 4x a) 2 5 0; 2x 2 1 2 x 23 x1 2 c) 5 0; x 11 x 22 x 1 4 ; e) 5 x 11 x 1 2

25. Resuelve gráfica y analíticamente la inecuación 2x2 1 2x 1 3 . 0. x2 2 2x 2 3 , 0 y el primer Analíticamente: 2x2 1 2x 1 3 . 0 miembro se descompone: x2 2 2x 23 5 (x 2 3)(x 1 1) , 0 por lo que la tabla

5 b) 2 5 0; 2x 2 1 22 4 d) ; 5 3x 2 1 12 x 3x 1 1 x . f) 125 x 11 x

2`

12 4 x a) 2 1 24x 5 0 5 0, el numerador debe anularse 2 x 21 x 5 1/4 5 b) 2 5 0, como 5 Þ 0 esta ecuación nunca puede 2 x 21 anularse x 2 23 x 12 c) 5 0 equivale a que el numerado se anule: x 11 x 5 2 y x 5 1 x2 23x 1 2 5 0 d) Para quitar denominadores, multiplicamos en cruz: 22 4 22 1 2x 5 12x 24 10x 5 2 x 5 1/5 5 3 x 21 1 2 x x 22 x 1 4 e) Multiplicamos en cruz: x2 24 5 x2 1 5x 1 4 5 x 11 x 1 2 5x 5 28 x 5 28/5 f) Quitando denominadores: x2 1 2x2 1 2x 5 3x2 1 3x 1 x 1 1 1 2x 521 x52 2

Tipo IV: Inecuaciones

x 2 3

2

2

1

(x 1 1) ? (x 2 3)

1

2

1

4 3 2 1

y

1 2 3 4 x

-4 -3 -2 -1

Fig. 4.1.

26. Halla la solución de: 2 a) # 0; 3x2 2 2x c) 0 # 2 x 11

x 12 b) # 1; 2x 2 1

3x2 x

1

1

2

x 2 1/2

2

1

1

32 x 2(x 2 1 ) 2

2

1

2

Y la solución es (2`, ½) ø [3, `) 2x el denominador es siempre positivo, así que c) En 0 # 2 x 11 x # 0 2x $ 0

0

1 `

x 1 1

2

1

1

1

x

2

2

1

1

(x 1 1) ? x

1

2

1

1

Y la solución será el intervalo: (21, 0) 2x2 , 216 ¡que es imposible! b) 22x2 1 10 . 26 c) 4x2 1 4x . 0 4x(x 1 1) . 0 y recordando el caso a) la solución es el intervalo unión de (2`, 21) ø (0, `)


1

a) x(x 1 1) , 0 las raíces son 21 y 0, por lo que: 21

1

Nos da la solución (21, 3) La representación gráfica de la parábola y 5 2x2 1 2x 1 3 es

26/25 # x;

24. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) x(x 1 1) , 0; b) 22x2 1 10 . 26; c) 4x2 1 4x . 0 .

2 `

1`

2

2 a) Como el numerador es positivo en 3x 22 , 0 #0 3 x 22 para que el cociente sea negativo, así x, 2/3 x 12 32 x 32 x x 12 b) 21 # 0 ⇒ #0 ⇒ #0 #1 2 x 21 2 x 21 2 x 21 2( x 2 1 ) 2 que da lugar a la tabla: 2` 1/2 3 1`

23. Halla el intervalo solución de las inecuaciones: a) 2x 1 2 1 4x . x 1 2; x x b) 25x # 12 ; 3 2 3 1 c) 21 $2 . x 5 a) 2x . 0 x . 0; x x 2x 2 30 # 6 2 3x 26 # 25x b) 25 x # 1 2 3 2 3 1 x 5 15 c) 2 1 $2 #2 ⇒ x #2 x 5 3 11 11

3

21

x 1 1

j Cuestiones básicas 1 1. Resuelve la ecuación 3x 2 2 5 2 6x 2 4 5 1

6x 5 5

x 5 5/6

9/5/08 23:11:48

04


x 2 1 2. Resuelve x 2 5 5 2 2x 2 (x 2 1) 5 10

7. Halla las soluciones válidas de

x 5 9

3. Antonio tiene dos años más que Pilar. Si hace tres años el chico le doblaba la edad a la chica, ¿cuántos años tiene cada uno? Antonio: x; Pilar: x 2 2. Hace 3 años: x 2 3 5 2(x 2 5)

x 5 7

10x 1 13y 5 12(x 1 y) 10x 1 13y 5 12x 1 12y Hay que mezclar A con el doble de B.

y 5 2x.

5. Resuelve la ecuación x2 1 5x 2 14 5 0. 25  25 1 56 25  9 2 5 5 2 2 2 7

(x 1 2)(3x 2 1) 5 0


3x 1 5x 2 2 5 0

x 5 21 (x 5 0 o pue-

x 5 x. 2

x x 5 2x x 5 4x2 x(4x 21) 5 0 5x 2 x 5 ¼ son las soluciones, ambas válidas.

x 5 0 y

9. Resuelve la ecuación x3 1 x2 2 2 5 0 La solución x 5 1 es inmediata. Descomponiendo en factores: x3 1 x2 2 2 5 0 1 2x 1 2) 5 0. La segunda ecuación no tiene soluciones.

(x 2 1)(x2 1

10. Resuelve la ecuación x4 2 10x2 1 9 5 0

6. Resuelve la ecuación (x 1 2)(3x 2 1) 5 0. 2

x3 1 x2 5 0. x2

x3 1 x2 5 x2(x 1 1) 5 0

8. Resuelve la ecuación

4. Se mezclan dos clases (A y B) de café, cuyos precios son de 10 €/kg y 13 €/kg, respectivamente. ¿En qué proporción hay que mezclarlos para que resulte un café que cueste 12 €/kg?

x 5

x3 1 x2 50 x2 de admitirse)

25

x 5 22, x 5 1/3

10  100 2 36 10  8 9 5 x2 5 5 2 2 1

x 5 3; x 5  1

9/5/08 23:11:50

26

05

SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

j ACTIVIDADES 1. Discute, sin llegar a resolver, la compatibilidad de los sistemas: 4x 2 2y 5 21 2x 1 y 5 2 x 2 2y 5 3 a) b) c) 22x 1 y 5 5 x 2 y 5 1 24x 1 8y 5 212 Transformamos cada uno de los sistemas por el método de reducción: 4x 2 2y 5 21 4x 2 2y 5 21 a) 2E2 1 E1 22x 1 y 5 5 0 5 3 El sistema es incompatible. b) En este caso 2x 1 y 5 2 2x 1 y 5 2 E2 1 E1 3x 5 3 x 2 y 5 1 El sistema es compatible determinado. x 2 2y 5 3 x 2 2y 5 3 c) E2 1 4E1 0 5 0 24x 1 8y 5 212 El sistema es compatible indeterminado. 4x 1 by 5 5 , calcula los valores que debe 22x 1 y 5 4 tomar b para que el sistema sea: a) Compatible. b) Incompatible.

2. Sea el sistema

a) Para que el sistema sea compatible determinado los coeficientes de las incógnitas no han de ser proporcionales, luego: 4 b b  22.  22 1 4 b 5 b) El sistema será compatible indeterminado si 5 5 , 22 1 4 lo que nunca podrá cumplirse. 3. Resuelve por sustitución los siguientes sistemas: x 1 2y 5 1 2x 1 y 2 z 5 5 a) x 1 2y 1 z 5 4 b) 2x 2 z 5 1 5y 1 z 5 0 x 2 y 5 1 2x 1 y 2 z 5 5 a) x 1 2y 1 z 5 4 x 2 y 5 1

3y 2 z 5 3 3y 1 z 5 3 x 5 1 1 y

x 1 2y 5 1 b) 2x 2 z 5 1 5y 1 z 5 0

x 5 1 2 2y y 1 2 5 1 z 5 2 5y

2x 1 y 2 z 5 5 x 1 2y 1 z 5 4 x 5 1 1 y

2(1 1 y) 1 y 2 z 5 5 (1 1 y) 1 2y 1 z 5 4 x 5 1 1 y

x 5 2, y 5 1, z 5 0 x 5 1 2 2y 2x 2 z 5 1 z 5 25y

x 5 1 2 2y 2(1 2 2y) 2 (25y) 5 1 z 5 25y

x 5 3, y 5 21, z 5 5

4. Aplicando el método de Gauss, resolver: x 1 y 1 z 5 45 2x 1 y 1 z 5 55 a) x 1 2y 1 z 5 45 b) 13x 1 12y 1 8z 5 430 2x 1 2y 2 z 5 0 x 1 y 1 2z 5 40


2x 1 y 1 z 5 55 2x 1 y 1 z 5 55 E2 2 E1 2x 1 y 5 210 a) x 1 2y 1 z 5 45 E3 2 2E1 23x 2 y 5 270 x 1 y 1 2z 5 40 2x 1 y 1 z 5 55 2x 1 y 5 210 E3 1 E2 24x 5 280 Luego: x 5 20; y 5 10; z 5 5 x 1 y 1 z 5 45 x 1 y 1 z 5 45 E2 2 8E1 5x 1 4y 5 70 b) 13x 1 12y 1 8z 5 430 E3 1 E1 3x 1 3y 5 45 2x 1 2y 2 z 5 0 x 1 y 1 z 5 45 5x 1 4y 5 70 4E3 2 3E2 23x 5 230 La solución es: x 5 10, y 5 5, z 5 30

5. Discute y resuelve los sistemas: x 1 2y 1 3z 5 0 x 1 y 2 z 5 21 a) 22x 1 y 1 z 5 0 b) 2x 2 y 2 z 5 2 3x 1 y 1 2z 5 2 3x 1 2y 2 2z 5 1 2x 1 2y 1 z 5 1 c) x 1 y 2 2z 5 21 3y 2 z 5 3 x 1 y 2 z 5 21 x 1 y 2 z 5 21 E2 1 2E1 3y 2 z 5 22 a) 22x 1 y 1 z 5 0 E3 2 3E1 2y 1 z 5 4 3x 1 2y 2 2z 5 1 x 1 y 2 z 5 21 3y 2 z 5 22 E3 1 E21 2y 5 2 z 5 5; x 5 3 Luego: y 5 1 x 1 2y 1 3z 5 0 x 1 2y 1 3z 5 0 E2 2 2E1 25y 2 7z 5 2 b) 2x 2 y 2 z 5 2 E3 2 3E1 25y 2 7z 5 2 3x 1 y 1 2z 5 2

x 5 22y 2 3z y 5 2 (7z 1 2)/5

x 5

4 2 k 7k 1 2 , y 5 2 , z 5 k 5 5

2 x 1 2y 1 z 5 1 2x 1 2y 1 z 5 1 E2 1 E1 c) x 1 y 2 2z 5 21 3y 2 z 5 0 . 3y 2 z 5 3 3y 2 z 5 3 Como la segunda y tercera ecuación son incoherentes, el sistema será incompatible. 6. Discute según los valores de m, y resuélvelos cuando sea posible, los sistemas: x 1 y 1 z 5 2 x 1 y 1 z 5 2 a) 2x 1 y 2 z 5 3 b) 2x 1 y 2 z 5 3 3x 1 2y 5 m 3x 1 2y 1 mz 5 5 x 1 y 5 0 c) 2x 1 y 2 z 5 0 3x 1 2y 1 mz 5 1

12/5/08 08:32:57

05


x 1 y 1 z 5 2 x 1 y 1 z 5 2 E2 2 2E1 2y 2 3z 5 21 2x 1 y 2 z 5 3 E3 2 3E1 2y 1 (m 2 3)z 5 21 3x 1 2y 1 mz 5 5 x 1 y 1 z 5 2 2y 2 3z 5 21 E3 2 E2 mz 5 0 Por tanto: Si m  0, el sistema es compatible determinado, con solución: x 5 1, y 5 1, z 5 0. Si m 5 0, el sistema es compatible indeterminado, equivax 5 1 1 2k x 1 y 5 2 2 z lente a , cuya solución es y 5 1 2 3k . y 5 1 2 3z z 5 k x 1 y 1 z 5 2 x 1 y 1 z 5 2 E2 2 2E1 2y 2 3z 5 2 1 b) 2x 1 y 2 z 5 3 E3 2 3E1 2y 2 3z 5 m 2 6 3x 1 2y 5 m x 1 y 1 z 5 2 2y 2 3z 5 21 E3 2 E2 0 5 m 2 5 Por tanto: Si m  5, el sistema es incompatible. Si m 5 5, el sistema es compatible indeterminado, equivax 5 1 1 2k x 1 y 5 2 2 z lente a , cuya solución es y 5 1 2 3k . y 5 1 2 3z z 5 k x 1 y 5 0 x 1 y 5 0 E2 2 2E1 2y 2 z 5 0 c) 2x 1 y 2 z 5 0 E3 2 3E1 2y 1 mz 5 1 3x 1 2y 1 mz 5 1

b)

x 1 y 5 0 2y 2 z 5 0 E3 2 E2 (m 1 1)z 5 1 Por tanto: Si m 5 21, el sistema es incompatible. Si m  21, el sistema es compatible determinado. Su solux 5 1/(m 1 1) ción es y 5 21/(m 1 1).

y2 1 x2 5160 . x 2 y5 8 Despejando x en la segunda ecuación y sustituyendo en la pri2y2 1 16y 2 96 5 0 mera: y2 1 (y 1 8)2 5 160 y 5 212 e y 5 4 que dan para x los valores x 5 24 y x 5 12, res pectivamente.

9. Halla el conjunto de soluciones del sistema


x,

⎧ 2x 2 y .1 ⎨ ⎩5 x 110 y # 30

4 3 2 1

2x 1 y 2 2z 5 0 E2 2 E1 2x 2 z 5 0 6x 1 5z 5 0

5 23 51 2 5 27 522 , x

2 x 13 , 5 52 x , 7

2x 1 3, 5 52 x , 7

22 , x , 1. (22, 1)

⎧ 2x 2 y . 1 1 0. Halla la solución gráfica del sistema ⎨ ⎩ 5x 1 10y # 30

7. Halla la solución de los sistemas homogéneos: 2x 1 2z 5 0 2x 1 y 2 2z 5 0 a) 4x 1 y 2 3z 5 0 b) x 2 3y 2 z 5 0 3x 1 3y 1 5z 5 0 6x 1 5z 5 0

2x 1 y 2 2z 5 0 a) 4x 1 y 2 3z 5 0 6x 1 5z 5 0

E1 2 2E2 6y 1 4z 5 0 2x 1 2z 5 0 x 2 3y 2 z 5 0 x 2 3y 2 z 5 0 E3 2 3E2 12y 1 8z 5 0 3x 1 3y 1 5z 5 0 6y 1 4z 5 0 x 5 2k x 2 3y 2 z 5 0 y 5 22k/3 E3 2 2E1 0 5 0 z 5 k

8. Halla la solución de:

z 5 1/(m 1 1)

x 2 y 1 z 5 0 c) x 2 3y 2 z 5 0 3x 1 my 1 z 5 0

x 5 y 5 z 5 0.

x 2 y 1 z 5 0 x 2 y 1 z 5 0 E2 2 E1 c) x 2 3y 2 z 5 0 2 2y 2 2z 5 0 E3 2 3E1 (m 1 3)y 2 2z 5 0 3x 1 my 1 z 5 0 x 2 y 1 z 5 0 22y 2 2z 5 0 E3 2 E2 (m 1 5)y 5 0 / 25, la única solución es x 5 y 5 z 5 0. Si m 5 Si m 5 25, el sistema es indeterminado y su solución es x 5 22k, y 5 2k, z 5 k.

2x 1 y 2 2z 5 0 2x 2 z 5 0 E3 2 3E2 8z 5 0

a)

27

2221

2x 2 y .1 x 12 y # 6

y (8/5, 11/5) x 1 2 3 4 5 6

Fig. 5.1.

12/5/08 08:33:07

05

28


j Problemas propuestos Tipo I: Sistemas lineales con dos incógnitas 1. Halla tres pares de soluciones de cada una de las ecuaciones: 1 x 12 y x y a) x 21 1 2 y52 3 b) 1 521 c) 12 1 52 2 2 4 2 3 4

(

)

Despejamos una variable en cada ecuación y damos tres valores a la otra, obteniéndose las soluciones pedidas fácilmente. 1 a) x 21 12 y 523 2 x 21 5 26 24y x 5 25 24y y 5 0, x 5 25; y 5 1, x 5 29; y 5 21, x 5 21 x 12 y b) 1 521 2x 1 4 2y 5 4 y 5 2x 22 4 x 5 0, y 5 0; x 5 1 y 5 2; x 5 21 y 5 22 x y 121 4 x x 5 3, c) 12 1 52 12 24x 1 3y 5 24 y 5 3 3 4 y 5 8; x 5 23, y 5 0; x 5 6, y 5 12

(

)

2. Resuelve por igualación: ⎧ x 12 y522 a) ⎨ ⎩⎪3x 2 55 1

⎧ x 1 y11 2 y 5 y11 ⎪⎪ 2 b) ⎨ ⎪ x 2 y 51 ⎪⎩ 2

⎧ x 12 y 522 a) ⎨ ⎪⎩3 x 2 y 55 ⎧ y 53 x 25 ⎧ y 53 x 25 ⎪ ⎪ ⎨ x 12 ⎨ x 12 y 5 2 ⎪ ⎪3 x 2552 2 2 ⎩ ⎩ ⎧ 11 8 ⎪⎪ y 53 7 25 52 7 ⎧ y 53 x 25 ⎨ ⎨ 7 x 58 ⎪x 58 ⎪⎩ ⎪⎩ 7 ⎧ x 1 y 11 2 y 5 y 11 ⎧ x 1 y 1122 y 52 y 12 ⎪⎪ 2 b) ⎨ ⎨ x 22 y 52 ⎩⎪ ⎪ x 2 y 51 ⎪⎩ 2

⎧ x 53 y 11 ⎧ x 53 y 11 ⎧ x 53 y 115321115 4 ⎨ ⎨3 y 1152 y 12 ⎨ y 51 ⎪⎩ x 52 y 12 ⎪⎩ ⎪⎩

3. Resuelve por sustitución: ⎧2x 2 3 y5 2 a) ⎨ ⎩⎪6x 2 y5 1

⎧ x1 y ⎪⎪ 2 52 y 11 b) ⎨ x 2 y ⎪ 512 x ⎪⎩ 2

⎧ x 1 y 5222 y ⎨ ⎩⎪ x 2 y 5222 x

⎧ x 5223 y ⎨ ⎩⎪3(223 y)2 y 52

⎧ x 5223 y ⎨ ⎩⎪3 x 2 y 52

x 5223 y 4 210 y 50

4. Resuelve por reducción: ⎧x y ⎪⎪ 2 1 3 53 a) ⎨ ⎪ x 2 y 521 ⎪⎩ 3

⎧ 2 4 ⎪⎪ x 5223 5 5 5 ⎨ ⎪ y52 ⎪⎩ 5

⎧ x 11 y 21 1 50 ⎪⎪ 2 3 b) ⎨ ⎪ x 1 y 2 2 51 ⎪⎩ 3

⎧x y ⎧x y ⎧x y ⎪⎪ 2 1 3 53 ⎪⎪ 2 1 3 53 ⎪⎪ 2 1 3 53 a) ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ x 2 y 521 ⎪x 5 4 ⎪ x + x 52 ⎪⎩ ⎪⎩ ⎪⎩ 2 3 3 ⎧4 / 3 y ⎧ 4 23 ⎪⎪ 2 1 3 53 ⎪⎪ y 59 2 3 5 4 ⎨ ⎨ ⎪x 5 4 ⎪x 5 4 ⎪⎩ ⎪⎩ 3 3 ⎧ x 11 y 21 1 50 ⎪⎪ 2 3 b) Si en el sistema ⎨ quitamos denominadores ⎪ x 1 y 2 2 51 ⎪⎩ 3 queda: ⎧3 x 12 y 521 ⎧ x 5 21 210 y: ⎨ ⎨ ⎩⎪ x 1 y 55 ⎩⎪ x 1 y 55 ⎧ x 5 211 ⎧ x 5 211 ⎨ ⎨ x 1 y 5 5 ⎪⎩ y 516 ⎩⎪ 5. Resuelve gráficamente: ⎧ x 1 y5 3 a) ⎨ ⎩⎪2x 2 2 y5 1

b)

x 2 y522 0 , 2 x 1 0 , 5 y5 0, 1

a) Representemos gráficamente cada ecuación del sistema: ⎧ x 1 y 53 ⎨ ⎩⎪2 x 22 y 51 3

⎧ x1 y ⎪⎪ 2 52 y 11 b)⎨ x 2 y ⎪ 512 x ⎪⎩ 2

⎧2 x 23 y 52 ⎧2 x 23 y 52 ⎧2 x 23(6 x 21)52 a) ⎨6 x 2 y 51 ⎨ y 56 x 21 ⎨ y 56 x 21 ⎪⎩ ⎪⎩ ⎪⎩


⎧ 1 ⎪⎪ x 5 16 ⎨ ⎪ y 56 1 2152 5 ⎪⎩ 8 16

⎧216 x 5223 ⎨ ⎪⎩ y 56 x 21

2

y

x1 y = 3 2x22y = 1

1

1

2

Fig. 5.2.

x 5 1,75, y 5 1,25

3

x

12/5/08 08:47:43


2x15y = 1 x2y = 2

23

22

y

2

x 21

Fig.5.3.

⎧5 ⎪⎪ x 2 ay523 6. Halla el valor de los parámetros a y b en ⎨ 2 , ⎪2 1 x 1 ay5 b ⎪⎩ 3 para que x 5 2, y 5 3 sea solución del sistema. Sustituyendo en el sistema las soluciones se obtiene: a 58/3 y b 522/3 7. Añade a la ecuación 6x 2 2y 5 23 otra ecuación, de forma que resulte un sistema: a) Determinado; b) Indeterminado; c) Incompatible. a) Para que el sistema sea determinado añadimos una ecua ción que tenga coeficientes no proporcionales a los de la dada, por ejemplo, x 1 y 5 0 b) En este caso la segunda ecuación es proporcional a la pri mera: 2x 2(2/3) y 5 21 c) La segunda ecuación debe decir algo contradictorio con la primera: 6x 2 2y 5 1 8. Discute y resuelve (si son compatibles) los dos sistemas siguientes: x 1 y 5 1 2x 1 y 5 3 a) 22x 1 y 5 26 b) 2x 2 y 5 20 3x 1 4y 5 23 26x 1 3y 5 23 Aplicamos el método de reducción: 2x 1 y 5 3 2x 1 y 5 3 a) 22x 1 y 5 26 E2 1 E1 2y 5 2 3 E3 1 3E1 6y 5 6 26x 1 3y 5 23 En E3 se obtiene que y 5 1, mientras que en E2, y 5 23/2. Por tanto, el sistema es incompatible. x 1 y 5 1 x 1 y 5 1 b) 2x 2 y 5 20 E2 2 2E1 23y 5 18 E3 2 3E1 y 5 26 3x 1 4y 5 2 3

⎧ 1 ⎪2x 12 y5 2 ⎪ y ⎪ b) ⎨2x 1 3 521 ⎪ 1 ⎪ ⎪ x 22 y52 4 ⎩ ⎧ x 1 y 51 ⎪ a) Resolviendo las dos primeras ecuaciones ⎨ x nos ⎪ 2 22 y 53 ⎩ dan los valores x 5 2, y 5 21 que satisfacen la tercera ecua ción, luego es la solución buscada. ⎧ 1 ⎪⎪2x 12 y 5 2 b) Tomando la primera y tercera ecuación ⎨ ⎪ x 2 2y52 1 ⎪⎩ 4 ⎧ 1 ⎪⎪2x 1275 2 vemos la incompatibilidad de las mis E21E1⎨ 1 ⎪ 05 ⎪⎩ 4 mas, por lo que el sistema es incompatible. ⎧ x 1 y51 ⎪ ⎪x ⎪ 22 y 5 3 a) ⎨⎪ 2 ⎪ 3 x 2 y5 4 ⎪ ⎩2

1

9 9 2----, 2----, 7 7

29

9. Resuelve los sistemas.

⎧ x 2 y 522 b) ⎨ ⎪⎩0, 2 x 1 0, 5 y 5 0, 1 3

05

Tanto en E3 como en E2 se obtiene que y 5 26. Sustituyen do en E1, x 5 7. El sistema es compatible determinado.

10. Halla el valor del parámetro m para que los siguientes sistemas sean compatibles. x 1 y 5 1 x 1 y 5 3 a) x 2 y 5 0 b) 2x 2 y 5 4 x 1 my 5 2 mx 1 3y 5 3 Aplicamos Gauss: x 1 y 5 3 x 1 y 5 3 2x 5 3 a) x 2 y 5 0 E2 1 E1 E3 2 3E1 (m 2 3)x 5 26 mx 1 3y 5 3 Será compatible cuando el valor de x despejado en las ecua ciones segunda y tercera sea el mismo, luego: 26 3 m 2 3 5 24 m 5 21 5 2 m 2 3 x 1 y 5 1 x 1 y 5 1 b) 2x 2 y 5 4 E2 2 2E1 23y 5 2 E3 2 E1 (m 2 1)y 5 1 x 1 my 5 2

Será compatible cuando el valor de y despejado en las ecua ciones segunda y tercera sea el mismo, luego: 1 2 1 2m 2 2 5 23 m 5 2 2 5 3 m 2 1 2

Tipo II. Sistemas lineales con tres incógnitas 11. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: Lo resolvemos por el método de Gauss. x 1 y 1 z 51 x 1 y 1 z 51 2 x 13 y 2 4 z 59 E 2 22E 1 y 26 z 57 x 2 y 1 z 521 E 3 2 E 1 22 y 522


12/5/08 08:55:06

05

30


x 11 21 51 → x 51 1 26 z 57 → z 521 y 51 12. Resuelve los sistemas: ⎧2x 2 y1 z5 3 ⎪ a) ⎨ x 12 y1 z5 1 ⎪4 x 1 2 y2 3z5 11 ⎩

c)

z ⎧ ⎪2x 2 4 y1 51 2 ⎪ ⎪ x ⎨ 2 z 53 ⎪ 2 ⎪ ⎪ 2 y 2 z 5 11 ⎩

⎧ x12 z521 ⎪ 2 x 1 3 y1 z5 0 b) ⎨ ⎪ y 23z5 5 ⎩ ⎧ x 11 z 1 51 ⎪ 2 ⎪ 3 z 11 ⎪ 50 d) ⎨2x 1 y2 2 ⎪ ⎪ x 12 y ⎪ 4 2 z 53 ⎩

⎧2 x 2 y 1 z 5 3 ⎪ a) En el sistema ⎨ x 12 y 1 z 51 ponemos en primer lugar ⎪4 x 12 y 23 z 511 ⎩ ⎧ x 1 2 y 1 z 51 ⎪ la segunda ecuación y ⎨ 5 y 1 z 521 E222E1 ⎪26 y 27 z 57 E424E1 ⎩ ⇔

⎧ x 1 2y 1 z 51 ⎪ ⎨ 5y 1 z 521 6E 2 15E 3 ⎪⎩ 229z 529

x 1 2z 5 21 E2 1 E1 3y 1 3z 5 21 y 2 3z 5 5

x 1 2z 5 21 b) El sistema: 2x 1 3y 1 z 5 0 y 2 3z 5 5

5 3 y 51 4 z 52 3 x5

⎧2 x 2 y 1 z 5 3 ⎪ multiplicamos la segunda c) En el sistema ⎨ x 1 2 y 1 z 51 ⎪4 x 12 y 23 z 511 ⎩

ecuación por 2 y la cambiamos por la primera quedando: ⎧ x 22z 56 ⎧2 x 2 y 1 z 5 3 ⎪ 9 ⎪ ⎪ E 222E 1 ⎨24 y 1 z 5211 ⇔ ⎨ x 1 2 y 1 z 51 2 ⎪4 x 12 y 23 z 511 ⎪ ⎩ 2 y 2 z 511 ⎪⎩

⎧

74

⎧ x 22z 56 ⎪ x5 ⎪ 5 ⎪ 9 ⎪ ⎪ 77 ⎪24 y 1 z 5211 ⇔ ⎨ y5 ⎨ 2 70 ⎪ 2E 3 1 E 2 ⎪ 5 22 ⎪ ⎪ z 511 ⎪ ⎪⎩ z5 5 2 ⎩


13. Discute y resuelve (si son compatibles) los dos sistemas siguientes: x 1 y 2 2z 5 1 x 1 y 2 2z 5 0 a) 2x 2 y 1 z 5 3 b) 2x 2 y 1 4z 5 7 4x 1 y 5 9 4x 1 y 2 3z 5 4 Aplicamos el método de Gauss: x 1 y 2 2z 5 0 x 1 y 2 2z 5 0 E2 2 2E1 23y 1 5z 5 3 a) 2x 2 y 1 z 5 3 E3 2 4E1 23y 1 5z 5 4 4x 1 y 2 3z 5 4 Incompatible, por serlo E2 y E3. x 1 y 2 2z 5 1 x 1 y 2 2z 5 1 E2 1 2E1 4x 1 y 5 9 b) 2x 2 y 1 4z 5 7 4x 1 y 5 9 4x 1 y 5 9

⎧ x 52 ⎪ y el sistema escalonado nos da las soluciones: ⎨ z 521 ⎪ y 50 ⎩

x 1 2z 5 21 3y 1 3z 5 0 4y 5 4 E3 1 E2

⎧2 x 2 y 1 z 5 3 ⎪ d) En ⎨ x 12 y 1 z 51 quitamos denominadores y ordenamos ⎪4 x 12 y 23 z 511 ⎩ x 529 ⎧2 x 2 y 1 z 5 3 ⎪ 119 y5 los términos quedando: ⎨ x 12 y 1 z 51 6 ⎪4 x 12 y 23 z 511 ⎩ 14 z5 3

Sistema compatible indeterminado. x 1 y 2 2z 5 1 y 5 9 2 4x Equivalente a 4x 1 y 5 9

z 5 4 2 3x/2.

x 5 k Esto es: y 5 9 2 4k 3 z 5 4 2 k 2

14. Discute, de acuerdo con los valores de a, los sistemas: ax 1 y 2 z 5 5 x 2 y 1 z 5 0 a) 2x 1 2y 1 z 5 2 b) 2x 1 y 1 az 5 21 2y 1 2z 5 a x 1 y 2 2z 5 a Resuélvelos, si es posible, cuando a valga 0. Aplicamos Gauss: x 2 y 1 z 5 0 a) 2 x 1 2y 1 z 5 2 x 1 y 2 2z 5 a

x 2 y 1 z 5 0 E2 1 E1 y 1 2z 5 2 E3 2 E1 2y 2 3z 5 a

x 2 y 1 z 5 0 y 1 2z 5 2 E3 2 2E2 27z 5 a 2 4 El sistema es compatible para cualquier valor de a. Su solución es: 4 2 a 6 1 2a 2 1 3a ; y 5 ; x 5 . z 5 7 7 7 En el caso de a 5 0: x 5 2/7; y 5 6/7; z 5 4/7.

12/5/08 08:34:18

05


ax 1 z 5 5 1 a E1 1 E3 ax 1 y 2 z 5 5 E2 1 E3 2x 1 (a 1 2)z 5 21 1 a b) 2x 1 y 1 az 5 2 1 2y 1 2z 5 a 2y 1 2z 5 a E1 1 aE2 (a2 1 2a 1 1)z 5 a2 1 5 2x 1 (a 1 2)z 5 21 1 a 2y 1 2z 5 a Discutimos la E1:

Aplicando el método de Gauss: x 2 3y 1 5z 5 2 x 2 3y 1 5z 5 2 E2 2 2E1 2y 2 8z 5 23 2x 2 4y 1 2z 5 1 E3 2 5E1 4y 2 16z 5 2 10 5x 2 11y 1 9z 5 x 2 3y 1 5z 5 2 2y 2 8z 5 23 E3 2 2E2 0z 5 2 4

a 5 21, el sistema será incompatible. Si a2 1 2a 1 1 5 0 En cualquier otro caso será compatible determinado. z 5 5 Si a 5 0 queda: 2 x 1 2z 5 21, cuya solución es x 5 211; 2 y 1 2z 5 0 y 5 10; z 5 5.

1 5. Discute y resuelve, de acuerdo con los valores de a, los sistemas: 2x 2 3y 1 z 5 0 2x 2 3y 1 z 5 0 a) x 2 ay 2 3z 5 0 b) x 2 ay 2 3z 5 0 5x 1 2y 2 z 5 a 5x 1 2y 2 z 5 0

a) Se trata de un sistema homogéneo, luego siempre tendrá solución. 2x 2 3y 1 z 5 0 2x 2 3y 1 z 5 0 E2 1 3E1 7x 2 (a 1 9)y 5 0 x 2 ay 2 3z 5 0 7x 2 y 5 0 E3 1 E1 5x 1 2y 2 z 5 0 2x 2 3y 1 z 5 0 7x 2 (a 1 9)y 5 0 E3 2 E2 (a 1 8)y 5 0 A partir de E3 deducimos: / 28, el sistema es compatible determinado. Su única Si a 5 solución será la trivial. Si a 5 28, el sistema es indeterminado, equivalente a 2x 2 3y 1 z 5 0 7x 2 y 5 0 Su solución es x 5 k; y 5 7k; z 5 19k. 2x 2 3y 1 z 5 0 2x 2 3y 1 z 5 0 E2 1 3E1 7x 2 (a 1 9)y 5 0 b) x 2 ay 2 3z 5 0 7x 2 y 5 a E3 1 E1 5x 1 2y 2 z 5 a 2x 2 3y 1 z 5 0 7x 2 (a 1 9)y 5 0 E3 2 E2 (a 1 8)y 5 a

A partir de E3 deducimos: / 28, el sistema es compatible determinado. La soluSi a 5 ción depende del valor de a. Si a 5 28, el sistema es incompatible.

1 6. Determina para qué valor del parámetro x 2 3y 1 5z 5 2 2x 2 4y 1 2z 5 1 5x 2 11y 1 9z 5 es compatible y, en ese caso, resuélvelo.


el sistema:

31

Por tanto, la tercera ecuación queda: 0z 5 2 4 si 5 4 el sistema es compatible indeterminado; en caso contrario es incompatible. Para 5 4, el sistema es: x 2 3y 1 5z 5 2 x 2 3y 5 2 2 5z 2x 2 4y 1 2z 5 1 2x 2 4y 5 1 2 2z x 5 25/2 1 7k Su solución es: y 5 23/2 1 4k z 5 k

Tipo III: Sistemas no lineales 17. Resuelve los sistemas: y1 x 5 5 6 6 a) xy56 y 2 x 5 x21 x2 1 y2 52

c)

b)

2x2 1 3 y2 5 11 xy52

d)

x 2 y5 4 x 2 y2 524 2

⎧ x 1 y 55 y1x 5 6 5 ⎪ x 1 55 x 2 25 x 16 5 0, con 6 6 ⎨ 6 x y5 ⎪ xy 56 x ⎩ soluciones x 5 3 y x 5 2, lo que induce y 5 2 e y 5 3, respectivamente. 2 x 2 13 y 2 511 , despejamos y 5 2/x en la 2ª ecuación y b) xy 52 12 2x4 211x2 1 12 5 0, sustituimos en la 1ª: 2x2 1 2 511 x ecuación bicuadrada que nos proporciona las 4 soluciones, x 5 62 y x 5 6 3 / 2 y sus correspondientes de y 5 61 e 2 y 5 62 3 ⎧ y 2 x 5 x 21 c) ⎨ 2 ⎪⎩ x 1 y 2 52 a)

⎧ y 5 2 x 21 ⇒⎨ 2 ⇒ x 2 1 4 x 2 11 2 4 x 5 2 ⇒ 1 (2 x 21)2 52 x ⎩⎪

⇒ 5 x 2 2 4 x 21 5 0 nos da x 5 1 y x 5 21/5 como soluciones, induciendo los valores de y 5 1 e y 5 27/5 ⎧ x 2 y 54 ⎧ x 54 1 y d) ⎨ 2 ⇒⎨ ⇒ desarrollando la se2 ⎪⎩(4 1 y)2 2 y 2 524 ⎩⎪ x 2 y 524 y 5 1 x 5 5. gunda ecuación obtenemos, 16 1 8y 5 24 1 8. Las longitudes de la altura y la base de un rectángulo cuya área mide 20 cm2 son dos números enteros consecutivos. ¿Cuánto mide la altura?

12/5/08 08:34:34

32

05


Llamemos x y x 1 1 las longitudes de los lados del rectángulo, por ello: x(x 1 1) 5 20 x2 1 x 220 5 0 x 5 4 como única solución aceptable.

19. Encuentra las dimensiones de un rectángulo de 110 m de perímetro y de 700 m2 de área.

Designemos por x e y las longitudes de los lados, entonces puede 2 x 12 y 5110 x 1 y 555 plantearse el sistema: despejaxy 5700 xy 5700

se pagan 20,5 €. ¿Cuánto nos costarían 5 kg de café y 12 kg de arroz? Sea x el precio del café e y el de arroz, planteamos el sistema x1y542 6 x 13 y 531, 8 ⇔ 123 6 x 23 y 531, 8 6E 2 2 E 1 51,6 x 110 y 520, 5 ⇔ y5 57 57 y 5123 x54,5 t Las cantidades señaladas costarían: 5 ? 4,5 1 12 ? 1,6 5 41,7 euros.

mos y en la 1ª ecuación y sustituimos en la 2ª: x(55 2 x) 5 700 24. En dos tinajas de igual capacidad hay repartidos 100 l de x2 255x 1 700 5 0 x 5 35, x 5 20 que inducen los valores 2 del aceite. La primera se llenaría si vertiéramos los de y 5 20 e y 5 35. 3 contenido de la segunda y ésta lo hará, si trasvasamos los 3 de la primera. ¿Cuántos litros contiene cada tinaja? Tipo IV. Aplicaciones y problemas 4 de sistemas Designemos por x e y los litros de cada tinaja. Evidentemente, x 1 y 5 100 y además, como sus capacidades 2 3 20. Lasuma de edades de una madre y su hija es 42 años. Cuanson idénticas: x 1 y 5 y 1 x, sistema que nos conduce a que 3 4 do la hija tenga la edad de la madre esa suma será de 90. 400 300 ¿Cuántos años tiene cada una en la actualidad? x 5 L e y 5 L. 7 7 Sean x e y las edades de la madre e hija en la actualidad; se tiene que x 1 y 5 42. Cuando pasen x 2 y años, la hija tendrá la 25. Un individuo posee 20 monedas, unas son de 0,50 € y otras edad de la madre pues y 1 x 2 y 5 x y la edad de la madre será: de 1 €. ¿Puede tener un total de 16 €? x 1 y 5 42 x 1 x 2y 5 2x 2 y. Así que tenemos el sistema: Sean x e y el número de monedas de 0,5 y 1 €, respectivamente. 2 x 2 y 1 x 590 x 1 y 520 Planteamos: ⇔ x 1 y 5 42 que resolviendo por igualación nos da x 5 33 e y 5 9 0, 5 x 1 y 516 3 x 2 y 590 x 1 y 520 y 520 2 x años. ⇔ 20 2 x 516 2 0, 5 x x 58 0, 5 x 1 y 516 y 516 2 0, 5 x 21. Se mezclan 5 dl de esencia con 12 dl de agua de lavanda, pagándose por el perfume resultante 15,30 €. Si se mezclase 1 dl de cada colonia se pagarían 2,28 €. Calcula el precio del decilitro de la esencia. Llamemos x el precio del dl de la esencia e y el precio de la misma cantidad de lavanda. Así, obtenemos el sistema ⎧5 x 112 y 515, 30. Que nos da un precio del dl de la esencia ⎨ ⎩⎪ x 1 y 52, 28 12, 06 de x 5 51, 72 euros. 7 22. Se alea un lingote de oro puro con otro lingote de 75 % de pureza, obteniéndose 1 kg de aleación, con una pureza del 90 %. ¿Cuántos gramos de cada tipo de lingote se han empleado? Designemos por x los gramos de oro puro aleados e y los gramos del segundo lingote de un 75 % de pureza. En ese caso: x 1 y 5 1 000 gr y además, el oro existente en el kilo de mezcla, 900 gr (el 90 % de 1000), ha de coincidir con x 1 0,75y. Estas relaciones forman ⎧ x 1 y 51 000 el sistema ⎨ , que resuelto nos proporciona los va⎪⎩ x 1 0, 75 y 5900 lores x 5 600 g e y 5 400 g. 23. Compramos en un colmado 6 kg de café y 3 kg de arroz por lo que pagamos 31,8 €. Otro día, por 1 kg de café y 10 de arroz


e y 5 12 monedas. 26. La suma de las tres cifras de un número es 8. Si se cambia la cifra de las decenas por la de centenas, el número resultante es 90 unidades mayor. Además, la diferencia entre la cifra de unidades y el doble de la de decenas nos da la cifra de las centenas. Halla el número. Sea el número xyz, cuyo valor será: 100x 1 10y 1 z. En estas condiciones, pondremos las relaciones entre sus cifras: x 1 y 1 z 5 8, z 2 2y 5 x. Respecto al valor del número, las condiciones del enunciado nos dan: 100y 1 10x 1 z 5 100x 1 10y 1 z 1 90. Estas ecuaciones ⎧ x 1 y 1 z 58 ⎪ z22 y 5 x forman el sistema: ⎨ ⎪100 y 110 x 1 z 5100 x 110 y 1 z 190 ⎩ ⎧ x 1 y 1 z 58 ⎧ x 1 y 1 z 58 ⎪ ⎪ x 1 2 y 2 z 5 0 ⎨ x 12 y 2 z 50 ⎨ ⎪90 x 290 y 5290 ⎪ x 2 y 521 ⎩ ⎩ que podemos resolver escalonadamente, resultando: ⎧ x 1 y 1 z 58 ⎪ ⎨ x 2 y 521 , esdecir x 5 1, y 5 2, z 5 5. El número es 125. ⎪5 x 55 ⎩ 27. Una empresa ha invertido 73 000 € en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A, B y C, cuyos costes por

12/5/08 09:06:57


05

33

unidad son de 2 400 €, 1 200 € y 1 000 €, respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B, averigua cuántos aparatos de cada clase ha comprado la empresa.

Despejando x en la segunda ecuación y sustituyendo en la tercera y en la primera ecuación, se obtiene: x 5 6 000; y 5 2 000; z 5 1 000 Se utilizan 6 000 kg de leche, 2 000 kg de cacao y 1 000 kg de almendras.

Supongamos que el número de ordenadores que se compran de las clases A, B y C son x, y, z respectivamente. Cantidad invertida: 2 400x 1 1 200y 1 1 000z 5 73 000 12x 1 6y 1 5z 5 365 Nº de ordenadores: x 1 y 1 z 5 55 2x 5 y. Así teRelación entre cantidades: 2 400x 5 1 200y nemos el sistema: ⎧12 x 16 y 15 z 5365 ⎪ (sustituyendo y 5 2x) ⎨ x 1 y 1 z 555 ⎪ y 5 2 x ⎩

30. La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es de 60 años. Dentro de 10 años, la suma de las edades de los hijos será la actual del padre. Por último, cuando nació el pequeño, la edad del padre era 8 veces la del hijo mayor. ¿Cuántos años tiene cada uno de los hijos?

⎧48 x 110 z 5730 E 1 210E 2 ⎧ 18 x 5180 ⎨ ⎨ ⎩⎪ 3 x 1 z 5 55 ⎩⎪3 x 1 z 5 55 x 5 10, y 5 20, z 5 25. 28. En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350 alumnos. El número de matriculados en primer curso coincide con los de segundo más el doble de los de tercero. Los alumnos matriculados en segundo más el doble de los de primero superan en 250 al quíntuplo de los de tercero. Calcula el número de alumnos que hay matriculados en cada curso. Si el número de alumnos de 1º, 2º y 3º son x, y, z, respectivamente, se tiene: x 1 y 1 z 5350 x 1 y 1 z 5350 x 5 y 12z ⇔ x 2 y 22z 5 0 2 x 1 y 55 z 1250 2 x 1 y 25 z 5250 x 1 y 1 z 5350 ⇔ E 2 2 E 1 22 y 23 z 52350 ⇔ E 3 22E 1 2 y 27 z 52450 ⎧ x 1 y 1 z 5350 ⎪ ⎨ 2 y 13 z 5350 2E 3 1 E 2 ⎪⎩ 11 z 5550

z 550, y 5100, x 5200.

29. En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplea leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios de cada kilogramo de los ingredientes son: leche, 0,8 €; cacao, 4 €; y almendras, 13 €. En un día se fabrican 9 000 kg de ese chocolate, con un coste total de 25 800 €. ¿Cuántos kilos se utilizan de cada ingrediente? Sean x, y, z los kilos de leche, cacao y almendras, respectivamente, que se emplean cada día. Debe cumplirse: x 1 y 1 z 5 9 000 x 5 2(y 1 z) 0,8x 1 4y 1 13z 5 25 800 Queda el sistema: x 1 y 1 z 59 000 x 1 y 1 z 59 000 E 2 12E 1 3 x 518 000 x 22 y 22z 5 0 E 3 2 4 E 1 23, 2 x 19 z 5210 200 0, 8 x 1 4 y 113 z 525 800


⎧ ⎧ x 1 y 1 z 560 x 1 y 1 z 560 y1z520 ⎪ ⎪ (y110)1(z110)5x ⎨ ⎨ 2x1y1z5220 27y18z520 ⎪ (x2z)58(y2z) ⎪ x28y27z50 ⎩ ⎩ z 5 8 e y 5 12 Luego el hijo mayor tiene 12 años y el pequeño 8. 31. Por 24 litros de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de oliva hemos pagado 156 euros. Halla el precio unitario de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche. Sean x, y, z los precios de un litro de leche, un kilo de jamón y de un litro de aceite, respectivamente. Por tanto: 24x 1 6y 1 12z 5 156 z 5 3x y 5 4z 1 4x Sustituyendo z 5 3x en la segunda ecuación, y llevando el valor a la primera se obtiene: 24x 1 6y 1 12z 5 156 z 5 3x 24x 1 96x 1 36x 5 156 y 5 16x 156x 5 156 x 5 1, y 5 16, z 5 3. Los precios serán: leche 1 €/l; jamón 16 €/kg; aceite

3 €/l

32. Un capitán tiene tres compañías: una de suizos, otra de zua vos y una tercera de sajones. Al asaltar una fortaleza promete una recompensa de 901 escudos que se repartirán de la siguiente forma: el soldado que primero suba y todos los de su compañía recibirán un escudo; el resto de la recompensa se repartirá a partes iguales entre el resto de los soldados. Sabiendo que si el primero que sube es un suizo, los de las demás compañías reciben medio escudo; si el primero es zuavo, los restantes reciben un tercio de escudo, y si el primero es sajón, un cuarto de escudo, ¿cuántos hombres hay en cada compañía? Sean x, y, z el número de suizos, zuavos y sajones, respectivamente. Entonces: 1 1 x 1 y 1 z 5 901 2 2 2x 1 y 1 z 5 1 802 1 1 x 1 3y 1 z 5 2 703 x 1 y 1 z 5 901 3 3 x 1 y 1 4z 5 3 604 1 1 x 1 y 1 z 5 901 4 4

12/5/08 08:35:05

05

34


Aplicando el método de Gauss se obtiene: 2y 2 7z 5 25 406 E1 2 2E3 2y 2 7z 5 25 406 E2 2 E3 2y 2 3z 5 2901 E2 1 2E1 217z 5 211 713 x 1 y 1 4z 5 3 604 x 1 y 1 4z 5 3 604 Luego: z 5 689; y 5 583; x 5 265.

a) Representamos en el mismo sistema de ejes coordenados las rectas x 2 y 5 2 y x 5 3: y 3 2 1 1 2

21

Tipo V. Sistemas de inecuaciones

3

4

5 x

Fig. 5.6.

33. Halla en el plano la solución de:

x b) 1 y $ 2 2

a) x 2 2y < 21;

y las semirrectas, junto con el ángulo determinado es la solución. b) En este caso las rectas a representar son 2x 2 y 5 4 e y 5 0:

a) La gráfica de la recta x 2 2y 5 21 es la mostrada en la gráfica y el área coloreada es la solución:

3 2 1

y

1

23 22 21 1

21

y

1 2 3 4 5 x

22 23

x

21

Fig. 5.7.

Fig. 5.4.

x 1 y 5 2 y el área por encima de ella es 2 la solución de la inecuación planteada:

y la solución del sistema aparece marcada.

b) Dibujamos la recta

3 2 1

y

23 22 21

1. Encuentra tres soluciones de la ecuación 2x 1 5y 5 10 y haz una representación gráfica de la misma. tres pares de valores solución pueden ser: y 5 2, x 5 5y 2 10 x 5 0; y 5 1, x 5 25; y 5 3, x 5 5.

1 2 3 4 5 x

22 23 Fig. 5.5.

34. Resuelve dando el resultado en forma de intervalo: ⎧ x $2 ⎧ x #2 ; b) ⎨ a) ⎨ 2 x 2 1 $ 6 ⎩2x 2 3. 5 ⎩ ⎧⎪ x # 2 ⎨ 7 que no puede verificarse, ⎪⎩ x $ 2 luego conjunto solución . ⎧⎪ x $ 2 ⎧ x $2 b) ⎨ (4 ,1 ) x .4 ⎨ 8 ⎩2 x 23 . 5 ⎪⎩ x . 2 5 4 ⎧ x #2 a) ⎨ ⇔ ⎩2 x 21 $ 6

35. Resuelve los sistemas: ⎧ x 2 y# 2 ; a) ⎨ ⎩ 2x $ 6



⎧2(x 2 1)2 y # 2 b) ⎨ y$0 ⎩

⎧ x 53 ⎧ y 215 3 ⎪ 2. ¿Son equivalentes los sistemas ⎨ y 2 x 1 y ⎨ ? ⎪ 2 5 2 ⎩⎪2x 5 y2 2 ⎩ No, ya que x 5 3, y 5 4 es solución del primer sistema y no lo es del segundo. ⎧ x 1 y5 0 de modo que resul 3. Añade una ecuación al sistema ⎨ ⎩⎪y 521 te incompatible. Por ejemplo, una ecuación contradictoria con la primera: x 1 y 5 5. ⎧ x 22 y521 . 4. Resuelve el sistema ⎨ ⎪⎩y 1152 x ⎧ x 5 2 y 21 ⎨ ⎪⎩2 y 21 5 x

2 y 21 52 y 21

y 5 0, x 521

12/5/08 09:13:29


5. Encuentra gráficamente la solución del sistema

x 5211 y . x 1 y 51

La solución puede verse es x 5 0 e y 5 1 3

x1y = 1

2

y

21

1

2

3

⎧ x 21 512 y ⎧ x 21 512 y ⎪⎪ 2 ⎪ 6. Razona si los sistemas ⎨ 2 y⎨ son ⎪ 2x 2 y5 1 ⎪ 2x 2 y5 1 ⎩ ⎪⎩ y 53 x 2 1 equivalentes sabiendo que x 5 y 5 1 es solución del primero. Fig. 5.8.

No, ya que la tercera ecuación del segundo sistema no es satisfecha por x 5 y 5 1. 7. Resuelve, aplicando el método de Gauss, el sistema x 1 y 1 z 5 2 x 1 2y 1 3z 5 2 . x 1 z 5 0 x 1 y 1 z 5 2 x 1 2y 1 3z 5 2 x 1 z 5 0


8. ¿Cuánto tiene que valer m para que el sistema x 2 y 1 z 5 1 x 1 2y 2 z 5 2 (m 2 3)z 5 3 sea incompatible?

9. Halla en función de z 5 k la solución del sistema x 2 2z 5 1 2y 1 z 5 2

x 22

35

m 5 3, pues en tal caso la E3 queda: 0z 5 3.

x = 211 y

1

23

05

y 5 2 E1 2 E3 E2 2 E3 2y 1 2z 5 2 x 1 z 5 0

Basta con despejar: x 5 1 1 2k; y 5 22 1 k; z 5 k. 1 0. Un tercio de los CDs que tengo en casa son prestados. Si son 10 la cuarta parte de los de mi propiedad, ¿cuántos CDs tengo en casa? Llamemos x los CDs que son de su propiedad, entonces x/4 5 10 x 5 40. Si y son los prestados, se tiene, 1 40 2 y (40 1 y) 5 y 5 y 5 20. 3 3 3 Así, tengo 60 CDs en casa.

x 5 1, y 5 2, z 5 21

12/5/08 09:13:31

36

06

FUNCIONES Y GRÁFICAS

j ACTIVIDADES 1. Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: a) f(x) 5 2x2; b) g(x) 5 3 1 x ; 3 24 c) h(x) 5 2 ; d) j(x) 5 2 . x 2 2x x 1 2 a) f(x) f(x) 5 2x2 tiene sentido para todo x. Por tanto, Dom(f) 5 R. Los valores que toma f(x) son siempre menores o iguales 0: Im(f) 5 [0, 2`). b) g(x) 5 3 1 x está definida para x $ 23: intervalo [23, 1`) Su recorrido serán siempre valores positivos: Im(g) 5 [0, 1`) 3 c) h(x) 5 2 no está definida cuando x2 2 2x 5 0 : x 5 0, x 1 2x x 5 2. Dom(h) 5 R 2 {0, 2} Esta función puede tomar valores infinitamente grandes, tanto positivos como negativos menos el valor 0. Luego, Im(h) 5 (2`, +`) 2 {0}. 24 d) j(x) 5 2 está definida para todo x, pues x2 1 2 2 2: x 2 2 Dom(j) 5 R: Su imagen nunca puede ser positiva ni menor que 22: Im(j) 5 [22, 0). 2. Para la función dada en la figura anterior (Fig. 6.3 del libro): a) ¿Cuánto vale f(21), f(0) y f(4)? b) ¿A cuántos números le asigna f el valor 1? a) f(21) 5 3; f(0) 5 1; f(4) 5 0 b) A x 5 0 y x 5 10/3 3. Sea f(x) 5 x . a) Calcula f(4) y f(25). Representa los pares de valores correspondientes. b) ¿Es f una función? c) ¿Es fácil obtener una función a partir de f? ¿Cómo? d) Justifica gráficamente los apartados anteriores. a) f(4) 5 62; f(25) 5 65 b) No, por el doble signo de la raíz. c) Si, f(x) 5 1 x y g(x) 5 2 x son funciones. y d) 3 2 1

-1 -2 -3

f(x ) = x

1 2 3 4 5 6 7 8 x g (x ) =- x

Fig. 6.1.

4. Calcula algunos pares de la función f(x) 5

x 1 1 si x , 1 , 2 3 2 x si x $ 1

represéntalos en un diagrama cartesiano y traza, uniendo los puntos, la gráfica de f(x).

y 5 2: par (1, 2). y 5 21: par (2, 21). y 5 26: par (3, 26).

Si x 5 1 Si x 5 2 Si x 5 3 Gráfica: 3 2 1 -3 -2 -1

y

1 2 3 4 x

-2 -3 Fig. 6.2.

5. Supongamos que en los últimos cuatro años los ingresos de una persona han pasado de 26 000 €/año a 32 000 €/año, mientras que su gasto en cultura creció de 450 a 720 €/año. a) Calcula la tasa de variación media de cada concepto. b) ¿Qué ha aumentado más proporcionalmente, sus ingresos o sus gastos en cultura? a) Las tasas de variación media respectivas serán: 32 000 2 26 000 5 1 500; TVM(Ingresos) 5 4 720 2 450 5 67,5 TVM(Gastos) 5 4 Los ingresos aumentan a un ritmo de 1500 €/año; los gastos a razón de 67,5 €/año. b) Los aumentos porcentuales son: 1 500 ? 100 5 23,08, con un crecimiento medio Ingresos: 26 000 anual del 5,77 % 67,5 Gastos: ? 100 5 60, lo que supone un crecimiento 450 medio anual del 15 %. 6. Calcula la tasa de variación media de la función f(x) 5 2x2 1 6x en los intervalos [1, 3] y [2, 6]. Interpreta geométricamente el resultado. Las tasas de variación media en los respectivos intervalos valen: f(3) 2 f(1) 9 2 5 TVM[1, 3] 5 5 5 2 3 2 1 3 f(6) 2 f(2) 0 2 8 5 5 22 TVM[2, 6] 5 6 2 2 4 En el intervalo [1, 3], la función crece 4 unidades: a razón de 2 unidades por unidad. En el intervalo [2, 6] la función decrece 8 unidades: a una media de 2 por unidad. Tanto el crecimiento como el decrecimiento no son uniformes. Podría hacerse ver al alumno que la TVM indica la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos correspondientes a los extremos de la función en el intervalo considerado. Véase la Figura 6.3.

Si x 5 21 y 5 0: par (21, 0). Si x 5 0 y 5 0: par (0, 1).


12/5/08 10:25:14

06


Pendiente m 5 2

y 9

9. Dadas las funciones f (x) 5 2x 2 1 y g(x)

8

a) g(f (x)), g(f (1)) y g(f (21)); b) f (g(x)), f (g(1)) y f (g(21)).

7 6 te m ien

4

?

3

2

2 1

x -1

1

2

3

4

5

6

7

Fig. 6.3.

7. Para la función f (x) representada en la Figura 6.4. a) ¿A qué tiende f (x) cuando x tiende a 21 o a 2? b) ¿Y cuando x tiende a 2` o a `? c) ¿Qué tipo de asíntotas tiene f (x)?

a) Sea f21(x) 5 y. Entonces f(y) 5 x f(y) 5 2y 2 1 5 x x 1 1 y 5 . 2 3 Efectivamente: f(f21(2) 5 f(3/2) 5 2 ? – 1 5 2. 2 4 21 21 Igualmente, f (f(2)) 5 f (3) 5 5 2. 2 b) Las imagen inversa de y0 5 0 se obtiene resolviendo la ecuación x2 2 4x 5 0 x 5 0 y x 5 4. Luego f21(0) 5 {0, 4}.

2 -1

Fig. 6.4.

a) b) c)

Si x 21, por la izquierda, f (x) +` Si x 21, por la derecha, f (x) 2` Si x 2, por la izquierda, f (x) +` Si x 2, por la derecha, f (x) 2` Si x 2`, f (x) 21. Si x 1`, f (x) 2. La función tiene dos asíntotas verticales, las rectas x 5 21 y x 5 2. También tiene dos asíntotas horizontales, las rectas y 5 21 e y 5 2.

8. A partir de la gráfica de la función anterior (Fig. 6.10 del libro), determina: a) Las dimensiones del rectángulo de máxima superficie. b) Su dominio y recorrido.

600 500 400 300 200 100

11. Para la función dada por la gráfica adjunta, representa las gráficas de las funciones: 2 1

y f(x)

-2 -1

1 2 3 4 x

Fig. 6.6.

a) f(2x);

b) |f(2x)|; 2 1

y f(-x ) 1 2 3 4 x

-4 -3 -2 -1 3 2 1 -4 -3 -2 -1

c) 2f(x); 2 1

y

d) f(2x)

|f(x )| 1 2 3 4 x

-2 -1

y 2f(x ) 1 2 3 4 x

2 1 -2 -1

y f(2x ) 1 2 3 4 x

-1 Máximo

Superficie

La gráfica (de la función anterior) que da la superficie, es la de una parábola. a) El máximo lo alcanza en el vértice, punto (25, 625). (Si el alumno no sabe calcular el vértice, al menos deberá saber que el máximo se alcanza cuando x está entre 20 y 30.) b) La superficie sólo existe cuando 0 , x , 50. Recorrido: (0, 625]

halla:

10. a) Halla la función inversa de f (x) 5 2x 2 1. Comprueba que f (f21(2)) 5 f21(f(2)) 5 2. b) Dada la función f (x) 5 x2 2 4x, halla la imagen inversa de y0 5 0.

2

-1

x 1 1

2 1 a) g(f (x)) 5 g(2x 2 1) 5 5 . (2x 2 1) 1 1 x Por tanto: g(f(1)) 5 1; g(f(21)) 5 21. 2 3 2 x b) f (g(x)) 5 f(2/(x 1 1)) 5 2 ? 21 5 . x 1 1 x 2 1 3 Por tanto: f(g(1)) 5 (no está definida); f(g(21)) tampoco 0 está definida al no estarlo g(21). Un despiste-error es 4 escribir: f(g(21)) 5 5 22. 22

d Pen

5

2

37

Fig. 6.7.

10 20 30 40 50 Base

Fig. 6.5.


12/5/08 10:25:19

06

38



4. Halla el dominio de las siguientes funciones: 5x 2 1 a) f(x) 5 3x10 1 5x6 2 18; b) g(x) 5 2 ; x 2 25

Tipo I. Funciones. Dominio y recorrido

1. Determina, en cada uno de los casos, si se trata de una función o no. a) x 0 1 2 21 21 y

0

25

b) f(x) 5 5x c)

3 2 1

5

10

15

1 2 3 4 x

Fig. 6.8.

y

1

2

3

4

5

3

6

11

16

27

e) f(x) 5 x 1 2 2

a) No. El número 21 tiene dos imágenes. b) Sí. El quíntuplo de un número siempre es único. c) No. Las rectas verticales entre x 5 0 y x 5 3 cortan a la curva en más de un punto. d) Sí, la correspondencia es única. e) Sí, el valor de x2 1 2 es único para cada x. 2. Indica cuáles de las siguientes relaciones definen una función: a) A cada número le asignamos el doble. b) A cada alumna le asignamos su estatura. c) A cada número natural le asignamos sus múltiplos. d) A cada ciudad le asignamos la provincia a la que pertenece. a) Sí. El doble de un número es único. b) En cada momento sí. (Evidentemente una persona puede crecer, pero en el momento en que es medida, su estatura es única.) c) No. Un número tiene infinitos múltiplos. d) Sí. Cada ciudad pertenece a una sola provincia. 3. Halla el dominio y recorrido de las funciones cuya gráfica se da a continuación: 2 1 -2 -1

3 2 1

y

1 2 3 4x

-1

y 2 1 1 2 3 4 5x

-3 -2 -1 -2

Fig. 6.9.

a) Dominio: [21, 3] b) Dominio: [0, 5] c) Dominio: R


d) k(x) 5 x 2 2 1 ;

a) Dom (f) 5 R; b) Dom (g) 5 R 2 {25, 5}; 3 c) Dom (h) 5 , 2` ; d) Dom (k) 5 (2`, 21] < [1, `); 4 1 e) Dom (l) 5 R 2 , 21 . 2

Tipo II. Representación y características gráficas

-1

x

y

-4 -3 -2 -1

d)

c) h(x) 5 3x 2 4 ; 8x 2 9 e) l(x) 5 2 . 2x 2 3x 1 1

Recorrido: [0, 2] Recorrido: [21, 3] Recorrido: {22, 1}

y

1 2 3x

5. Dibuja el perfil de una etapa ciclista que comienza en Málaga y tiene las siguientes características: 1. Llana en sus primeros 60 km. 2. Tiene 10 km de subida hasta la cota de 1.000m. 3. Baja durante 15 km. 4. Transcurre durante 45 km por un valle situado a 200 m de altitud. 5. Termina, tras 20 km de ascensión, en un puerto de 1.400 metros de altura. Empezamos a una altitud aproximada de cero metros, ya que Málaga está al nivel del mar (en realidad son 8 m sobre el nivel del mar). 1500

Altitud (m)

1000 500 20 40 60 80 100 120 140 160 Distancia (km) Fig. 6.10.

6. El gráfico adjunto muestra el número de consultas relacionadas con la gripe en un centro médico de atención primaria. a) ¿Define este gráfico una función? ¿Cuál es su dominio? ¿Pertenece 10,5 al recorrido de esa función? b) ¿Piensas que la gripe tendrá algún tipo de comportamiento predecible? 80 70 70 60 60 55 50 50 50 40 40 30 30 20 15 10 20 5 5 10 1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12 Meses del año

Fig. 6.11.

12/5/08 10:25:21

06


a) Sí. Para ese año, cada mes el número consultas es único. Esto es, para cada mes se sabe exactamente el número de consultas. Su dominio es todo el año. 10,5 no pertenece al recorrido pues el número de consultas es un entero positivo. b) Sí, será aproximadamente periódico. 7. La cotización, en euros, de las acciones de dos compañías, C1 y C2, durante los seis primeros meses de un año, viene indicada en la gráfica adjunta. 50

42

40,5

40 35 30

40

32 18

17

20 15 10

22

45 C1

43 26,5

F

M

A

M

b) En el segundo periodo bimensual, se da la máxima variación positiva para ambas compañías. 8 9 C1 sube un ? 100 5 25 %; C2 sube un ? 100 5 69,2 %; 32 13 Ambas compañías bajan en el primer periodo (en enero y febrero). 2 2 C1 baja un ? 100 5 5,7 %; C2 baja un ? 100 5 13,3 %. 35 15 9. Estudia la simetría de las siguientes funciones: b) g(x) 5 x3 2 x 1 1; a) f(x) 5 x4 2 x2; x c) h(x) 5 2 2 . x 2 4 a) f(2x) 5 (2x)4 2 (2x)2 5 x4 2 x2 5 f(x) f(x) es una función par. b) g(2x) 5 (2x)3 2 (2x) 1 1 5 2x3 1 x 1 1 Þ g(x) y de 2g(x) no es par ni impar. x x c) h(2x) 5 2 5 2 5 2h(x) h(x) es una fun2 (2x ) 1 4 x 1 4 ción impar.

24 C2

13 E

39

J

Fig. 6.12.

a) Halla la tasa de variación media mensual de cada compañía. b) Calcula el crecimiento o decrecimiento porcentual medio mensual de cada una de ellas. a) La cotización de C1 pasa de 35 a 45 €; la C2, de 15 a 24 €. Por tanto, su variación media mensual es: 10 9 TVM(C1) 5 5 1,66 €/mes; TVM(C2) 5 5 1,5 €/mes; 6 6 b) El crecimiento medio mensual es: TVM(C1) 1,66 5 ? 100 5 4,75 %. Para C1: 35 35 TVM(C2) 1,5 5 ? 100 5 10 %. Para C2: 15 15 8. Para las compañías del problema anterior: a) Indica la evolución bimensual de cada una de ellas. b) ¿En cuál de esos periodos bimensuales se produce una variación porcentual mayor, tanto positiva como negativa?

10. Las siguientes gráficas corresponden a las funciones del problema anterior. Atendiendo al estudio realizado sobre su simetría, emparéjalas con su expresión algebraica. 1

3 2 1

y

2

1 2 3 4 x

-3 -2 -1 -2 -3

3 2 1 -3 -2 -1

1 2 3 4 x

-2 -3

Fig. 6.13.

y

Fig. 6.14. y

3 0,25

-3 -2 -1

1 2 3 4 x

-0,25

a) Los valores que se observan son: Periodo

E-F

M-J

32 2 35 5 22 40 2 32 5 18 45 2 40 5 12

Variación: C2

13 2 15 5 22 22 2 13 5 12 24 2 22 5 12

Por tanto:

22 TVM(C1, E-F) 5 5 21 €/mes; 2 22 TVM(C2, E-F) 5 5 21 €/mes; 2 8 TVM(C1, M-A) 5 5 14 €/mes; 2 9 TVM(C2, M-A) 5 5 4,5 €/mes; 2 5 TVM(C1, M-J) 5 5 2,5 €/mes; 2 2 TVM(C2, M-J) 5 5 1 €/mes; 2


M-A

Variación: C1

Fig. 6.15.

1) con g(x);

2) con f(x);

3) con h(x).

11. Representa, dando valores, las funciones: a) f(x) 5 2x2 2 1 b) g(x) 5 x3 2 3x c) Halla la TVM de cada una de ellas en intervalos [21, 3] y [0, 5]. a)

x

0

21

1

22

2

f(x)

21

1

1

7

7

12/5/08 10:25:24

06

40


y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1

1 2 3

Nota: El apartado c) se podría haber resuelto también con ayuda de la gráfica de f(x). Las funciones definidas a trozos se estudiarán con más detenimiento en el curso próximo.

x

Fig. 6.16.

b)

x

f(x)

0

0

1

22

2

2

1/2

211/8

3/2

29/8

5/2

65/8

21

2

22

22

21/2

11/8

23/2

9/8

En el segundo trozo, f(x) 5 0 en todos los puntos de su dominio, es decir, en 23 # x , 0. x2 2 1 5 0 x 5 61. Como x 5 21 no pertenece al dominio de este trozo, sólo se cumple para x 5 1. En resumen, los valores de x que se transforman en cero son: [23,0)< {1} De manera análoga: f 21 (21) 5 {24, 0}

13. Representa gráficamente la siguiente función e indica su

y 3

dominio y recorrido: 2x2 2 6x 2 6, si x , 22 f(x) 5 2x 1 2, si 21 # x , 1 2x 1 4, si x . 1

2 1 -2 -1

1 2

x

4 3 2 1

-2 -3 Fig. 6.17.

f(3) 2 f(21) 17 2 1 c) TVMf[21, 3] 5 5 5 4; 3 2 (21) 4 f(5) 2 f(0) 49 2 (21) 5 5 10; TVMf[0, 5] 5 5 2 0 5 g(3) 2 g(21) 18 2 2 5 5 4; TVMg[21, 3] 5 3 2 (21) 4 g(5) 2 g(0) 110 2 0 5 5 22 TVMg[0, 5] 5 5 2 0 5 12. Dada la función, definida a trozos, x 1 3 si x , 23 f(x) 5 0 si 23 2 x , 0 x2 2 1 si x # 0 a) Halla f(–4), f(–2), f(–1), f(0) y f(2). b) Representa f(x). c) Da los valores de x que se transforman en 0. Ídem en –1.

3 2 1

-2 -3 Fig. 6.19.

Dom (f) 5 (2`, 22)<[21, 1)<(1, `) Im (f) 5 (2`, 4) 22x, si x 2 0 14. Representa la función f(x) 5 2x 1 1, si 0 , x # 0,5 x2 1 1, si x . 0,5 A partir de su gráfica indica: ¿En qué puntos es discontinua? ¿Cuándo es creciente y cuándo decreciente? Su gráfica es la siguiente: y 4 3 2 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1

-2

y

-1

1 2

x

-2 -3 1 2 x

-2 -3 Fig. 6.18.

c) Hay que resolver la ecuación f(x) 5 0 en cada uno de sus tres trozos. x 1 3 5 0 x 5 23, pero este valor no pertenece al dominio de ese trozo (x , 23).


1 2 3 4 x

-6 -5 -4 -3 -2 -1

a) f(24) 5 21; f(22) 5 0; f(21) 5 0, f(0) 5 21; f(2) 5 3. b)

y

Fig. 6.20.

Es discontinua en x 5 0 y en x 5 0,5. a) Crece en el intervalo (0, 0,5). b) Decrece en los intervalos (2`, 0) y (0,5, 1`). 1 5. Calcula algunos pares de la función x2 si x , 0 , f(x) 5 3x si x $ 1

12/5/08 10:25:27


represéntalos en un diagrama cartesiano y traza, uniendo los puntos, la gráfica de f(x). ¿Para que valores de x la función toma el valor 9? Pares: (23, 9); (22, 4); (21, 1); (20,5, 0,25); (0, 0); (0,5, 1,5); (1, 3); (2, 6); (3, 9) Representando todos los pares y uniendo los puntos se obtiene la gráfica adjunta. 10 (-3, 9) 9 8 7 6 f1(x ) =x2 5 4 (-2, 4) 3 2 (-1, 1) 1 -4 -3 -2 -1

y

(2, 6) f2(x ) = 3x

(0, 0) x

Para x 5 23 y x 5 3 la función toma el valor 9.

Tipo III. Composición y transformación de funciones. Función inversa x 16. Dadas f(x) 5 2x 2 3 y g(x) 5 , halla: 5 a) f(g(0)); b) f(g(22)); c) g(f(5));

d) g(f(21)).

g(0) 5 0 f(0) 5 23 f(g(0)) 5 23 g(22) 5 22/5 f(22/5) 5 219/5 f(g(22)) 5 219/5 f(5) 5 7 g(7) 5 7/5 g(f(5)) 5 7/5 f(21) 5 25 g(25) 5 21 g(f(21)) 5 21

17. Para las mismas funciones determina f(g(x)) y g(f(x)). 2x 2x 2 15 f(g(x)) 5 2g(x) 2 3 5 2 3 5 2 2 f(x) 2x 2 3 g(f(x)) 5 5 5 5 8. Dadas f(x) 5 x 2 3 y g(x) 5 1

5 x 1 1

, halla:

a) f(g(x)) y g(f(x)). b) f(g(4)) y f(g(1)). Determina el domino de f(g(x)). c) g(f(3)) y g(f(2)). Determina el dominio de g(f(x)). 5

2x 2 3x a) f(g(x)) 5 g(x) 2 3 5 2 3 5 x 1 1 x 1 1 5 5 5 g(f(x)) 5 5 5 f(x) 1 1 x 2 3 1 1 x 2 2 2 2 12 2 2 3 21 b) f(g(4)) 5 5 22; f(g(1)) 5 5 . 4 1 1 1 1 1 2


Dominio 5 R 2 {21} 5 2 2 3 c) g(f(3)) 5 5 5; g(f(2)) 5 5 `: no está definida. 3 2 2 2 1 2 Dominio 5 R 2 {2}

19. Calcula la función inversa de f(x) 5 x 2 1 1. Comprueba que f(f 21(4)) 5 f 21(f(4)) 5 4. Si g(x) es la inversa de f(x), debe cumplirse que f(g(x)) 5 x g(x) 2 1 1 5 x. Elevando al cuadrado y despejando, f 21(x) 5 g(x) 5 x 2 2 1 Efectivamente: f(f 21(4)) 5 «011SolCS06.eps» 5 15 1 1 5 4; y al revés, f(f 21(4)) 5 «012SolCS06.eps» 5 17 2 1 5 4

a) f(f 21(x)) 5 f 21(x) 2 3 5 x f 21(x) 5 x 1 3 5 5 2 x b) g(g21(x)) 5 21 5 5 xg21(x) 1 x g21(x) 5 g (x) 1 1 x c) h(h21(x)) 5 (h21(x))2 1 3 5 x h21(x) 5 x 1 3

Fig. 6.21.

a) b) c) d)

41

20. Halla la inversa de las funciones: a) f(x) 5 x 2 3; 5 ; b) g(x) 5 x 1 1 c) h(x) 5 x2 2 3.

(1, 3)

1 2 3 4

06

21. Para las funciones anteriores, halla: b) g 21(2); a) f 21(5);

c) h 21(1).

a) f 21(5) 5 8; 5 2 2 3 5 b) g21(2) 5 2 2 21 c) h (1) 5 1 1 3 5 2 3 22. Dadas las funcionesf(x) 5 3x 1 2 y g(x) 5 . Halla: 2x 2 1 b) (g 8 f)(x); c) f(f(x)); a) f(g(x)); e) (f 8 f 8 f)(x). d) g(g(x)); 3 3 4x 1 7 5 3 1 2 5 a) f(g(x)) 5 f 2x 2 1 2x 2 1 2x 2 1 3 1 b) (g 8 f)(x) 5 g(f(x)) 5 g(3x 1 2) 5 2(3x 1 2) 21 5 2x 2 1 c) f(f(x)) 5 f(3x 1 2) 5 3(3x 1 2) 1 2 5 9x 1 8 3 6x 2 3 3 5 5 d) g(g(x)) 5 g 3 2x 2 1 7 2 2x 21 2 2x 2 1 e) (f 8 f 8 f)(x) 5 f(f(f(x))) 5 f(f(3x 1 2) 5 f(3(2x 1 2) 1 2) 5 5 f(9x 1 8) 5 3(9x 1 8) 1 2 5 27x 1 26 23. Dadas las funciones: f(x) 5 2x 1 4 y k(x) 5

x 2 2

x a) Halla sus respectivas funciones inversas. b) Calcula las imágenes inversas de 6 y de 0 para cada una de las funciones del enunciado.

a) La función inversa f 21(x) tiene que cumplir la ecuación f(f 21(x)) 5 x.

12/5/08 10:25:32

06

42


f(f 21(x)) 5 2f 22 1 (x) 2 4 5 x f 21(x) 5

x2 1 4

2 La función inversa k21(x) tiene que cumplir la ecuación k(k21(x)) 5 x. k21(x) 2 2 k(k21(x)) 5 21 5 x k21(x) 2 2 5 x k21(x) k (x) k21(x) 2 x k21(x) 5 2 21

x

g(x)

x

g21(x)

1 0 21 2

0 22 2 211/8

1 0 21 2

1 2/5 21/5 8/5

22

29/8

22

24/5

y

1 2 3 4 x

-2 -3

-3 -2 -1

Fig. 6.26.

a) 2 f(x), 3 1 f(x), f(x 2 2), |f(x)| 1 2

3

g(x), g(0,5x), g(x) 2 3

y

3

2

1 2 3 4 x -f(x )

-2 -1 -2

-2

3

1 2 3 4 x

-2 -1

Fig. 6.22.

f(x) 5 x 2 2 23 22 21 0 1 2

2f(x) 3 2 1 0 21 22

f(2x) f(x) 21 3 22 2 23 1 24 0 25 1 26 2

f(x 2 4) 27 26 25 24 23 22

2 x2

x1 2

5

5

f(

2 x) f(

2

23 22 21

5

x2 2

22 23


1 2 3 x

2 Fig. 6.23.

3 2 1

b) |g (x )|

22 21 22 23

-3

f(x + 2)

y 5 4 3 2 1

23 2221

g(0,5x )

y

1 2 3 4 x

-2 -1

Fig. 6.27.

|f (x )|

x)

x)

2

f(

y

f(x )

-2

-3

Sus gráficas se indican a continuación. 3 2 1

|f(x )|

1

-2

y

2

f(x )

1

-3

1 2 3 4 x

-3

2

-2

f(x )

-2 -1

y 3

1 2 3 x

3 + f(x )

1

-3 g -1(x )

y

2

f(x )

1

Damos valores en la siguiente tabla:

x

Representa las gráficas de las funciones:

a)

25. A partir de la gráfica de la función f(x) 5 x 2 2, representa: b) f(2x); c) f(x); d) f(x 2 4). a) 2f(x);

1

Fig. 6.25.

g (x )

-3 -2 -1

x 21 0 1 2 3 4

g (x ) f(x )

b) |g(x)|,

Damos valores

y 5 4 3 2 1

y

-2 -1

2 4. Representa en unos mismos ejes las funciones 5x 2 2 3x 1 2 g(x) 5 y g21(x) 5 . 2 5 Comprueba que sus gráficas son simétricas respecto de la recta y 5 x.

3 2 1

3 2 1

2

k (x) (1 2 x) 5 2 k (x) 5 1 2 x 2 b) f 21(6) 5 20; k 21(6) 5 2 ; f 21(0) 5 2; k21(0) 5 2 5 21

26. A partir de las funciones f(x) y g(x) dadas por las siguientes gráficas

g (x ) x

1

y 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 x 25 24 23 2221

f(x 2 4) 5 x 2 6

y 5 4 3 2 0,5g(x )1 23 2221

g (x ) 1

x

y 3 g(x ) 2 1 g (x ) 1 2 3

23 2221 x

1

x

22 23 g (x ) 2 3

Fig. 6.28. Fig. 6.24.

12/5/08 10:25:36

06


27. Dada la función: x, si 23 # x # 0 0, si 0 , x # 1 f(x) 5 21, si 1 , x # 2 22, si 2 , x # 3 si x , 23 o x . 2 0,

a) Represéntala gráficamente. b) ¿En qué puntos no es continua? c) Haz la gráfica de |f(x)|.

a) La representación gráfica se da en la figura siguiente. 4

y

3 2 1 1 2 3 4 5 x

-5 -4 -3 -2 -1 -2 -3

Fig. 6.29.

b) Como puede verse por la figura, la función no es continua en x 5 23, x 5 1, x 5 2 y x 5 3; en los demás puntos es continua. c) La gráfica de |f(x)| 4

y

3 2

0,995 Por z euros nos dan: g(z) 5 z dólares 5 1,175289z 0,8466 dólares.

29. La factura bimensual de una compañía telefónica consta de una cantidad fija (las cuotas de abono) por un importe de 29,84 euros, más el importe de los pasos gastados, con un precio por paso de 0,06 euros. A esa suma hay que cargarle el 16% de IVA. Se pide: a) ¿Cuánto debe pagar una familia que consumió en dos meses 990 pasos? b) Escribe la expresión que dé el importe total, IVA incluido, de la factura en función de los pasos gastados. a) b)

29,84 1 990 · 0,06 5 89,24 16 % de 89,24 5 14,2784 Total a pagar: 89,24 1 14,2784 5 103,52 euros. P 5 pasos gastados, I(p) 5 importe total (IVA incluido) 29,84 1 16 % de 29,84 5 34,6144 0,06 1 16 % de 0,06 5 0,0696 I(p) 5 34,6144 1 0,0696p.

30. En una clase de psicología se realizó el siguiente experimento de memorización: a cada estudiante se le dio una lista con 40 palabras, y un día para memorizarlas. Durante 20 días seguidos cada estudiante escribía todas las palabras de la lista que era capaz de recordar. Se halló la media de aciertos y se determinó que una buena aproximación de esta 5d 1 30 , d en días. media venía dada por la función R(d) 5 d Dibuja esta función. ¿Qué puede deducirse de su gráfica? Algunos valores son:

1 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 x

d

R(d)

1

35

3

15

5

11

10

8

15

7

20

6,5

-2 -3

Fig. 6.30.

Tipo IV. Funciones dadas por enunciado

30 50

28. El 3 de enero de 2006 el dólar cotizaba a 0,8466 €. a) Halla las funciones que permitan pasar de una moneda a otra. b) Si los bancos cobran una comisión del 0,5 % por el cambio (por la compra o la venta), halla las funciones de compra de las dos monedas. a) Por x dólares nos dan f(x) 5 0,8466x euros. z dólares. Por z euros nos dan g(z) 5 0,8466 b) Con comisión. Al comprar dólares o euros al banco, éste nos cobra el 0,5 %. Por un dólar nos da 0,995 dólares (se queda con 0,005 dólares); por un euro nos da 0,995 euros. Luego: Por x dólares nos dan: f(x) 5 0,8466 ? 0,995x 5 0,842367x euros.


43

6

y 30 25 20 15 10 5

R(d ) =

5d + 30 d

5 10 15 20 25 30 35 40 x Fig. 6.31.

5,6

En los primeros días los estudiantes olvidan rápidamente las palabras memorizadas; el vigésimo día, la media de retención de palabras es de 6,5. Si este comportamiento se mantuviese para más de 20 días, la media de memorización de palabras disminuirá muy lentamente, acercándose cada vez más a 5, es decir, a la asíntota. 31. Se desea cercar con cuerda dos parcelas rectangulares adyacentes (consecutivas) e iguales que encierren entre las dos un área de 1 000 m 2. y x Fig. 6.32.

12/5/08 10:25:39

06


a) Si x indica el ancho de las parcelas, encuentra la función que da la longitud L(x) de cuerda necesaria para cercarlas. b) Representa L(x), y a partir de esa gráfica determina, aproximadamente, el mínimo necesario de cuerda para cercar las dos parcelas. (Puede convenirte hacer una ampliación de la gráfica desde x 5 15 hasta x 5 25.) a) Área total 5 1 000 5 2xy Longitud de la cuerda necesaria: L(x) 5 4x 1 3y 500 1 000 5 2xy y 5 x 500 1 500 Por tanto, L(x) 5 4x 1 3 5 4x 1 x x

x

L(x)

1

1 504

5

320

15

160

20

155

25

160

50

230

33. Se quiere construir una caja partiendo de un trozo de cartulina rectangular de 24 por 32 cm, recortando un cuadradito en cada esquina y doblando. a) Determina la función que da el volumen de la caja dependiendo del lado del cuadrado cortado. b) ¿Qué volumen tendrá la caja cuando cortamos 0, 5 y 10 cm? c) Representa dicha función. A partir de su gráfica, determina su dominio, recorrido y máximo. Cortamos un cuadrado de x cm de lado. a) V(x) 5 (32 2 2x) · (24 2 2x) · x b) V(0) 5 0; V(5) 5 1 540; V(10) 5 480 c)

y 600 500 400 300 200 100 20

40

60

80

100

x

Nota: Resulta evidente que la solución de este problema requiere el auxilio del cálculo diferencial, herramienta que todavía no conocen los alumnos. La solución mínima exacta se da en x 5 375 2 19,4. Nuestro objetivo 2que sepan leer una gráfica2 se cumple sobradamente; de cualquier manera, no estaría de más sugerir la necesidad de una herramienta más potente (el cálculo diferencial) para resolver este tipo de problemas. 32. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 80 cm. a) Halla y representa la función que da la superficie de ese rectángulo dependiendo de la longitud de su base. b) ¿En qué puntos de su dominio toma esa función sus valores máximo y mínimo?

0

0

10

350

30

750

40

800

50

750

70

350

80

0

Superficie (cm 2)

a) x 5 longitud de la base. 80 2 x 5 longitud de la altura. x(80 2 x) 80x 2 x2 5 S(x) 5 superficie. S(x) 5 2 2 Vamos a dar algunos valores para dibujarla: f(x)

800 700 600 500 400 300 200 100 10 20 30 40 50 60 70 80 Base (cm)

Fig. 6.34. b) El máximo se alcanza en x 5 40. El mínimo se da en x 5 0 y x 5 80. (En los puntos extremos del dominio.)


0

V(x)

0

2

4

5

6

8

10

12

1 120 1 536 1 540 1 440 1 024 480

0

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200

Fig. 6.33.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Lado del cuadrado cortado (cm)

Se puede observar en la gráfica que el mínimo de L(x) se da cuando está próximo a 19, siendo necesarios unos 150 m de cuerda. No hay máximo.

x

x

Volumen (cm 3)

44

Fig. 6.35.

Dominio: [0, 12]; Imagen: . [0, 1.550]; Máximo: . 1 550

33. Halla,en función de su lado x, la expresión que da la superficie de un triángulo equilátero. x

h x –– 2 x

Fig. 6.36.

xh Sea el triángulo de la figura. Su superficie vale: S 5 . 2 x2 x 3 2 Por Pitágoras: h 5 x 2 5 4 2 x 3 x x2 3 Por tanto: S(x) 5 2 5 2 4 34. Al alquilar un coche podemos escoger entre dos modelos: A y B: El modelo A cuesta 31 € fijos y 0,25 € por km recorrido, y el B cuesta 5 € fijas y 0,30 € por km recorrido. El consumo por cada 100 km es de 5 litros de gasóleo para el modelo A y 10 litros de gasolina sin plomo para el B. El litro gasóleo vale 1,20 € y el de la gasolina sin plomo 1,40 €. Determina el mínimo de kilómetros que hay que recorrer para que compense alquilar el modelo A. (El combustible lo paga la persona que alquila el coche.) Modelo A: alquiler 5 31 €; coste km 5 0,25; consumo 100 km 5 5 · 1,20 5 6 consumo por cada km 5 0,06 € Coste total por x km: A(x) 5 31 1 0,25x 1 0,06x 5 31 1 0,31x

12/5/08 10:25:41

06


Modelo B: alquiler 5 5 €; coste km 5 0,30; consumo 100 km 5 10 · 1,40 5 14 consumo por cada km 5 0,14 € Coste total por x km: B(x) 5 5 1 0,30x 1 0,14x 5 5 1 0,44x Compensa alquilar el modelo A cuando A(x) , B(x), por tanto: 31 1 0,31x , 5 1 0,44x 26 , 0,13x x . 200 Al menos hay que recorrer 200 km. Gráficamente. 120

45

5. Dibuja una función periódica de periodo 5 a partir de la anterior. ¿Cuánto valdrían f(5) y f(7)? y

3 2 1 -2 -1

e

1 2

3

4

5

6

7 x

Fig. 6.39.

f(5) 5 3; f(7) 5 0

100

Modelo

80

A

6. Para la misma función halla f 21(0) y f 21(2).

60 40

Modelo

20

f 21(0)5 {2}; f 21(2) 5 {21,5, 1}.

B

7. ¿Cuál es el dominio de las funciones 1 f(x) 5 x 2 1, g(x) 5 y h(x) 5 x 2 1 ? x 2 1 Dom(f) 5 R; Dom(g) 5 R 2 {1}; Dom(h) 5 {x $ 1}.

50 100 150 200 250 300 350 km

Fig. 6.37.


x , 0 x2 2 1 , halla f(22), f(21), 0,5x 2 2 x $ 0 f(0) y f(2). Represéntala gráficamente. ¿Es continua en x 5 0?

8. Dada la función f(x) 5

1. ¿Define f(x) 5 17 2 5x una función? ¿Qué valor le asocia a x 5 6?

4 3 2 1

Si, pues la operación que se indica tiene resultados únicos para cada valor de x. f(6) 5 213. 2. Indica, justificándolo, si la siguiente tabla determina una función. x

1

3

5

6

21

3

y

2

4

4

1

0

2

3

-2 -3 Fig. 6.40.

No es continua en x 5 0. , halla f(g(2)) y g(f(21)). x 1 1 f(g(2)) 5 f(1/3) 5 1/9; g(f(21)) 5 g(1) 5 1/2

1 2

y

x

x

Fig. 6.38.

Fig. 6.41.

Dominio 5 [22, 3) Recorrido 5 [0, 3]

4. Para la función anterior, di cuánto vale f(22), f(0), f(1), f(2) y f(3). f(22) 5 0, f(1) 5 2, f(3) no está definido.


1

1 0. Una parcela rectangular tiene 100 m de perímetro.

1 -2 -1

9. Dadas f(x) 5 x2 y g(x) 5

y

2

1 2 3 4 5 x

-2 -1

Sí, pues a cada valor de x le asocia un único valor de y. 3. Da el dominio y el recorrido de la función

y

f(0) 5 3, f(2) 5 0,

¿Cuánto vale su área si x 5 10?; ¿y si x 5 15? ¿Qué expresión da su área dependiendo del valor de x? Si x 5 10, y 5 40 S 5 10 · 40 5 400 Si x 5 15, y 5 35 S 5 15 · 35 5 525 x 1 y 5 50 y 5 50 2 x S 5 xy 5 x(50 2 x)

12/5/08 10:25:44

07

46

FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

326,9

j ACTIVIDADES

300

1. Representa rectas: a) Con pendiente a 5 21 y que corten al eje OY en los puntos (0, 21), (0, 1) y (0, 2). b) Que corten al eje OY en (0, 1), con pendientes respectivas a 5 20,4, a 5 1,5 y a 5 22. a) Son tres rect paralelas: y 5 2x 2 1; y 5 2x 1 2. Dando valores se obtienen las gráficas. y x

1

1

2

3 x

1 2 y 5 2

x 1

23

1

Fig. 7.1.

b) En los tres casos la ordenada en el origen es b 5 1. Las rectas son: y 5 20,4x 1 1; y 5 1,5x 1 1; y 5 22x 1 1. Dando valores se obtienen las gráficas. 3 2 y = 20,4x + 11 23 22 21

y

5. Calcula la función cuadrática de interpolación correspondiente a los valores:

y = 1, 5x + 1

Variable independiente: x

1

3

4

5

Variable dependiente: y

4

9

¿?

18

(0, 1) 1 2 3 x y = 22x + 1

22 23 Fig. 7.2.

2. En una ciudad andaluza la bajada de bandera de un taxi cuesta 1,30 €. Si un recorrido de 12 km costó 10,30 €: a) ¿A cuánto sale el km? b) Determinala función del coste del taxi dependiendo de los kilómetros recorridos. Función de coste: C(x) 5 1,30 1 px Siendo p el coste por km y x los km recorridos. a) Si x 5 12, C(12) 5 1,30 1 12p 5 10,30 p 5 0,75 €/km b) C(x) 5 1,30 1 0,75x 3. Contesta a las mismas preguntas en el caso de un cohete que sale hacia arriba con una velocidad de 80 m/s. La función será h(t )580t 2 4, 9t 2 a) h(2)5160 2 4, 9 ? 4 5140, 4 b) 8 0t 2 4, 9t 2 5140, 4 4, 9t 2 2 80t 1140, 4 5 0 t 5 2, t 5 14,33 s c) La altura máxima la alcanza en el vértice, cuya abscisa es x 5 8,16, intermedia entre 2 y 14,33. Para ese valor, h(8,16) 5 326,9 m. d) h(t) 5 0 t 5 0, t 5 80/4,9 5 16,32 s.


15 16,32

y 5 x 2 25 x 1 4 corta al eje OY cuando x 5 0 y 5 4. Punto (0, 4) Corta al eje OX cuando y 5 0 x 2 25 x 1 4 5 0 x 5 1 y x 5 2. Puntos (1, 0) y (2, 0) y 5 x 4 25 x 2 1 4. Para x 5 0, y 5 4 . Punto (0, 4). Para y 5 0 x 4 25 x 2 1 4 5 0. Una solución es x 5 1 x 4 25 x 2 1 4 5( x 21)( x 3 1 x 2 2 4 x 2 4)5 0. Otra solución es x 5 21 x 4 25 x 2 1 4 5( x 21)( x 11)( x 2 2 4)5 0 Las otras dos soluciones son x 5 22 y x 5 2. Puntos (22, 0), (21, 0), (1, 0) y (2, 0).

x

2

1 (0, 1)

23 22 21 (0, 2 1) 22

10

Fig. 7.3.

2

2

(0, 2)

5

4. Determina los puntos de corte de las funciones y 5 x2 2 5x 1 4 e y 5 x4 2 5x2 1 4 con los ejes de coordenadas.

y 5

5

2

100

y 5 2x 1 1;

y

3

200

Determina su valor cuando x 5 4. La función de interpolación es f ( x )5ax 2 1 bx 1 c. Por pasar por (1, 4) 45a 1 b 1 c Por pasar por (3, 9) 9 59a 13b 1 c Por pasar por (5, 18) 18 525a 15b 1 c 1 1 Resolviendo el sistema se obtiene: a5 ; b5 ; c 5 3. 2 2 1 2 1 La función de interpolación es: f ( x )5 x 1 x 13 2 2 Para x 5 4, f (4)513

6. Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son: qs 5 2150 1 10p; qd 5 450 2 p2, (p en €). Halla: a) Las cantidades de oferta y demanda a un precio de 15 €. b) El precio y la cantidad de equilibrio. a) qs(15) 5 2150 1 10 ? 15 5 0; qd (15)5 450 2152 5225 b) 2150 110 p 5 450 2 p2 p2 110 p 2600 5 0 p 5 20 € q 5 50. 7. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f ( x )5 3 x 212 ; b) g( x )5 x 2 29; c) h( x )5 3 a) b)

2x . x 23

Está definida cuando 3x 2 12 $ 0 x $ 4. Por tanto, Dom(f) 5 {x $ 4} Debe ser x 2 29 $ 0 x # 23 o x $ 3. Dom(g) 5 (2, 23] [3, 1)

12/5/08 10:34:26


a) 30,60 1 0,12 ? 215 5 56,4 euros. b) x 5 minutos consumidos; f(x) 5 importe de la factura f(x) 5 30,60 1 0,12x c) I(x) 5 importe total de la factura (IVA incluido) I(x) 5 30,60 1 0,12x 1 0,16(30,60 1 0,12x) 5 35,496 1 0,1392x


1. Representa gráficamente las siguientes rectas: a) y 5 x 2 4; b) y 5 2x 2 1; c) y 5 22x; d) y 5 23x 2 10; e) y 5 0,8x; f) y 5 20,4x 2 4; 3 1 2 3x . h) y 5 g) y 5 x 2 4; 2 2 3 2 1 24 23 22 21 y = 23 x 2 10

22 23 24 25

y

5. La relación entre la temperatura del aire T (en º F) y la altitud h (en metros sobre el nivel del mar) es lineal para 0 h 20 000. Si la temperatura a nivel del mar es de 60º F y por cada 5 000 m de altitud que se sube, la temperatura del aire baja 18º F, se pide: a) Expresa T en función de h. b) Calcula de forma razonada la temperatura del aire a una altitud de 15 000 m. c) Calcula de forma razonada la altitud a la que la temperatura es 0º F.

y = 2x + 1

a) La función será de la forma: T(h) 5 ah 1 b Al nivel del mar, h 5 0 y T 5 60 T(0) 5 0 1 b 5 60 b 5 60 A 5 000 m, T 5 60 2 18 5 42 5 000a 1 b 5 42 9 5 000a 1 60 5 42 a52 2500 9 Por tanto, la función buscada es: T(h)52 h 160 2500 9 b) Para h 5 15 000 T(15 000 )52 ?15 000 160 5 6º F 2500 18 c) Si T(h) 5 0º F 0 52 h 160 h 5 16 666,7 m 5 000

1 2 3 4 5 x y=x24

y = 22x

Fig. 7.4.

2. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A 5 (21, 3) y B(5, 22). La ecuación de la recta es de la forma y 5 ax 1 b. Sustituyendo los puntos A y B en la ecuación se obtiene el sistema: 35− a 1b 22 55a 1 b 5 13 La solución del sistema es: a 5 2 y b 5 . Por tanto, la recta 6 6 5 13 que pasa por A y B es y 52 x 1 . 6 6

6. La factura mensual de la compañía eléctrica consta de una cantidad fija y de otra proporcional al número de kilowatios hora (kWh) consumidos. La cantidad fija, bimensual es de 33,4 €, y el precio por kWh, de 0,1602. Ambas cantidades llevan un recargo del 16 % de IVA. Se pide: a) ¿Cuánto debe pagar una familia que ha consumido 552 kWh en dos meses? b) ¿Cuál es la expresión que da el total a pagar en función de los kWh consumidos? Cálculos de facturación

3. Un coche cuesta 25 000 € y se deprecia al mes 150 €. ¿Cuál es su valor dependiendo del número de meses desde su compra?

Facturación por potencia 5,50 kW 3 2,00 MESES 3 2,82 € Alquiler equipo de medida 1,19 € 3 2,00 MESES

x 5 número de meses desde la compra; f(x) 5 valor del coche; f(x) 5 25 000 2 150x 4. La factura bimensual de una compañía telefónica consta de una cantidad fija (las cuotas de abono) por un importe de 30,60 €, más el consumo, con un precio por minuto de 0,12 €. a) ¿Cuánto debe pagar una familia que consumió en dos meses 215 minutos? b) Hallala expresión que dé el importe total de la factura en función de los minutos consumidos.


47

c) Sia esa suma hay que cargarle el 16% de IVA, ¿cuál es la función que da el importe total (IVA incluido) de la factura dependiendo de los minutos consumidos?

c) La raíz cúbica está definida para cualquier número real, pero 2x no está definido si x 5 3. Por tanto, Dom(h) 5 R 2 {3} x 23

Tipo I. Funciones lineales

07

Importe en euros 31,02 2,38

Facturación por consumo 552 kWh 3 0,1602 €

88,43

IVA potencia y consumo 1 IVA alquiler 16,0 % (119,45) 1 16,0 % (2,38)

19,49

Importe total

141,32

a) 33,40 1 0,1602 ? 552 5 121,83 euros 16 % de 121,83 5 19,49 euros Total a pagar: 141,32 euros

12/5/08 10:34:32

07

48

b)


k 5 número de kWh consumidos p(k) 5 cantidad a pagar p(k) 5 33,40 1 0,1602k 1 0,16(33,40 1 0,1602k) 5 5 38,744 1 0,185832k

7. La fuerza de la gravedad en la Tierra vale 9,81 y en Venus 8,85. a) ¿Cuánto pesaría Antonio en la Tierra si su peso en Venus es de 80? b) Escribelas funciones de conversión de pesos de un planeta a otro. a) 8,85 80 kg ⇒ 8,85x 5 9,81 ? 80 9,81 x kg x 5 88,678 kg b) x 5 peso en Venus; f(x 5 peso en la Tierra. 8,85

9, 81 x ⇒ f(x) 5 f(x) kg 8, 85

9,81

8, 85 z ⇒ g(z) 5 9, 81 g(z) kg

Nota: La aceleración de la gravedad en los distintos planetas del sistema solar la damos en la siguiente tabla. (Puede servir para proponer problemas similares.) Planeta Tierra

9,81

Luna

1,62

Mercurio

3,70

Venus

8,85

Marte

3,72

Júpiter

26,39

Saturno

11,67

Urano

11,43

Neptuno

11,07 1,96

a) 4

y

3 y = |x + 1|

2 1 24 23 22 21


y = |2x 2 2|

1 1 2

21

3

4 x

Fig. 7.6.

9. Representa gráficamente: a) y 5 ENT [0,4x];

1 24 23 22 21 22 23

b) y 5 ENT [2x]. 2 1

y 1 2 3 4 5 x

22 21

y

1 2 x

23

1 2

3

Fig. 7.7. 10. Halla la expresión analítica que da el coste de aparcamien-

to, en función del tiempo, si el precio por hora o fracción es de 1,80 €.

11. Dos compañías de telefonía móvil C1 y C2 ofrecen las siguientes tarifas: C1 cobra 24 € fijos al mes y 0,6 € por minuto desde el primer minuto. C2 cobra 57 € fijos al mes, que dan derecho a 40 minutos gratis al mes y, a partir de los primeros 40 minutos, cada minuto más lo cobra un 5 % más barato que la otra compañía. a) Escribe las expresiones de las funciones T1(t) y T2(t) que dan el precio a pagar en cada una de las compañías cuando se usa el teléfono t minutos al mes. b) Determina cuál es la compañía más ventajosa para el usuario, en función de los minutos que se use el teléfono al mes.

8. Representa las siguientes funciones: a) y 5 |x 1 1|; b) y 5 |2x 2 2|.

Fig. 7.5.

2

x 5 tiempo en horas; f(x) 5 coste de aparcamiento. f(x) 5 1,80 ? ENT[x 1 1], para x . 0

Gravedad

Plutón

3

z kg

8,,85 g(z) 5 0,9z

y 4

x kg

9,,81 f(x) 5 1,108x z 5 peso en la Tierra; g(z) 5 peso en Venus.

b)

4 x

a) E l precio de cada compañía, en función de los minutos llamados, será: Para C1: T1(t) 5 24 1 0,6t Para C2: 57, si 0 , t # 40 T2(t) 5 5 57 1 0, 6 ? 0, 95(t 2 40), si t . 40 57, si 0 , t # 40 5 34, 2 1 0, 57t,, si t . 40 b) Hay que considerar los casos t # 40 y t . 40. Si t # 40, es más barata la primera compañía pues: 24 1 0,6 ? 40 5 48 , 57. Si t . 40, hay que resolver la inecuación: 24 1 0,6t # 34,2 1 0,57t 0,03t # 10,2 t # 340

12/5/08 10:34:40


Por tanto, C1 es más barata si el teléfono se usa menos de 340 minutos; a partir de ese tiempo conviene contratar con C2. Un esquema gráfico (no se guardan proporciones) de la situación anterior es el de la figura adjunta. En ella, la gráfica que va por debajo indica, en cada caso, la tarifa más barata.

Coste (e)

T2 (t ) 57 T1 (t )

24

40 340 Tiempo (min) Fig. 7.8.

07

49

13. Representa gráficamente la recta y 5 x 1 1 y la parábola y 5 x2 2 5x 1 4. a) Determina analíticamente sus puntos de corte. b) Da una recta que no corte a la parábola. Justifícalo. 7 6 5 4 3 2 1 21

y

y = x2 2 5x + 4 y =x +1

1 2 3 4 5 6 x

22 23 Fig. 7.11.

Tipo II. Funciones cuadráticas 12. Representa gráficamente las siguientes parábolas, calculando previamente su vértice: b) y 5 2x2 1 6x 2 6 a) y 5 x2 2 4x 1 5 1 d) y 5 2 x2 1 x c) y 5 2x2 1 6x 1 1 2 1 e) y 5 x2 1 6x 1 1 f) y 5 3x2 1 18x 1 21 10 a) V(2, 1) b) V(3, 3) 1 7 1 d) V 1, c) V 2 , 2 2 2 2 e) V(22, 2) f) V(23, 26)

24232221 22 23 24 25 26 27

y = x 22 4x + 5

+1 2 y = 2x + 6x

6 5 4 3 2 1

y

1 2 3 4 5 6x

y = 2x 2 + 6x2 6

Fig. 7.9. 6 y = 3x 2 + 18x + 21 5 4 3 2 1 2524232221

y

1 2 12 y = ––x 2 + ––x + –– 10 5 5 1 2 3 4 5x

22 23 24 25 1 2 +x 26 y = 2 ––x 2 27

a) Los puntos de corte son las soluciones del sistema: ⎧y5x + 1 2 ⎨ y 5 x 2 25 x 1 4 Es decir, x 1 1 5 x 2 5x 1 4 ⎩ x2 2 6x 1 3 5 0 x 5 5,45 y x 5 0,55 Por tanto, los puntos de corte son: (5,45, 6,45) y (0,55, 1,55) b) El vértice de la parábola es el mínimo de la función y 5 x2 2 5x 1 4. Dicho mínimo se alcanza para x 5 5/2 y su ordenada es y 5 29/4 5 22,25. Dado que la parábola se encuentra por encima de y 5 22,25, cualquier recta horizontal que corte al eje Y por debajo de y 5 22,25 no cortará a la parábola. Por ejemplo, y 5 23. 14. Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las parábolas: b) y 5 22x2 1 8x a) y 5 x2 2 5x d) y 5 2x2 1 4 c) y 5 x2 1 x 1 4 a) y 5 x2 2 5x corta al eje OY cuando x 5 0 y 5 0. Punto: (0, 0) Corta al eje OX cuando y 5 0 x2 2 5x 5 0 x 5 0 y x 5 5. Puntos: (0, 0) y (5, 0). b) y 5 22x2 1 8x corta al eje OY cuando x 5 0 y 5 0. Punto: (0, 0) Corta al eje OX cuando y 5 0 22x2 1 8x 5 0 x 5 0 y x 5 4. Puntos: (0, 0) y (4, 0). c) y 5 x2 1 x 1 4 corta al eje OY cuando x 5 0 y 5 4. Punto: (0, 4) Corta al eje OX cuando y 5 0 x2 1 x 1 4 5 0. Dado que esta ecuación no tiene solución, la parábola no corta al eje OX. d) y 5 2x2 1 4 corta al eje OY cuando x 5 0 y 5 4. Punto: (0, 4) Corta al eje OX cuando y 5 0 2x2 1 4 5 0 x 5 22 y x 5 2. Puntos: (22, 0) y (2, 0). 15. Determinael vértice de cada una de las parábolas dadas en el ejercicio anterior. En los apartados a), b) y d), la abscisa del vértice se puede obtener calculando el punto medio de los cortes de la parábola con el eje OX. En cualquier caso, siempre se puede utilizar la b fórmula x 5 2 . 2a

Fig. 7.10.


12/5/08 10:34:49

07

50

a) V


5 25 1 7 d) V(0, 4) ,2 b) V(2, 8) c) V 2 , 2 4 2 4

16. Halla gráficamente los puntos de corte de las gráficas de las funciones y 5 x2 1 2x e y 5 –x2 1 4. Comprueba que las coordenadas de los puntos hallados verifican ambas ecuaciones. Se observa que los puntos de corte son (22, 0) y (1, 3). (22, 0) verifica la ecuación y 5 x2 1 2x ya que si x 5 22 (22)2 1 2 ? (22) 5 4 2 4 5 0 5 y. (1, 3) verifica la ecuación y 5 2x2 1 4 ya que si x 5 1 212 1 4 5 21 1 4 5 3 5 y.

y5 2 1

2x

y 5 x 2 1 2x y 4 3 2 1

4

23 22 21

I(20) 5 10 400 A 120B 1C 510 I(0) 5 6 C 56 Como el vértice, que está en t 5 20, es el punto medio de dos puntos con la misma ordenada, para t 5 40, la ordenada volverá a valer 6, luego I(40) 5 6: Por I(40) 5 6 1600 A 1 40B 1C 56 Así pues: 400 A 120B 5 4 ⎫ 400 A 120B 5 4 ⎫ 1 ⎬ ⎬ 1600 A 1 40B 5 0 ⎭ → 1600 A 1 40B 5 0 ⎭ A52 100 ,

2 B5 , C 5 6. Por tanto: I (t )520,01t 2 1 0, 4t 16. 5 b) La función es una parábola de eje vertical, con máximo en el punto (20, 10). Su representación gráfica es el trozo continuo de la parábola de la siguiente figura. Su dominio es el intervalo [0, 30], en minutos. Su recorrido, el intervalo [6, 10].

1 2 3 x

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

22 Fig. 7.12.

17. Un puente está adornado por arcos parabólicos, cuya ecua

ción es: f (x )52

1 2 x 1 x. 40

a) ¿Qué altura tienen esos arcos a 5 m del comienzo del puente? b) ¿Y en la mitad del puente?

I(t)

10 20 30 40 50 t Fig. 7.14.

10

5

20

40

Fig. 7.13.

f(5) 5 4,375 m Es el máximo, el vértice. La abscisa del vértice es: 21 x 5 5 20. 22 / 40 Su altura es f(20) 5 10 m. 18. El índice de audiencia (evaluado en una escala de 0 a 10) de cierto programa de televisión de 30 minutos de duración se comporta de acuerdo con la función: I(t) 5 At2 1 Bt 1 C, 0 t 30, (A Þ 0) donde A, B y C son constantes a determinar. Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar el programa se alcanza el índice de audiencia 10 y que el programa se inicia con un índice de audiencia 6, se pide: a) Determina las constantes A, B y C. Justifica la respuesta. b) Representa y comenta la función obtenida. a) Se trata de una función cuadrática (parabólica). Se sabe que: I(20) 5 10; I(0) 5 6; y que a los 20 minutos se da la máxima audiencia (luego en t 5 20 tiene el vértice la parábola).


La audiencia crece desde el inicio del programa hasta los 20 minutos y luego decrece ligeramente en los 10 últimos minutos, hasta quedarse al final con un índice de audiencia 9.

19. La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es 80 cm. a) Halla la función que da la superficie de ese triángulo dependiendo de la longitud de su base. ¿Cuál es su dominio? b) Representa gráficamente la función anterior ¿En qué punto de su dominio toma esa función su valor máximo? ¿Cuál es su recorrido? a) Sea el triángulo de la figura.

xy 2 Se cumple que: x 1 y 5 80, por tanto, y 5 80 2 x. Sustituyendo en la fórmula anterior se tiene: x(80 2 x ) x2 S5 5 40 x 2 2 2 Su superficie viene dada por la expresión: S 5

y x Fig. 7.15.

El dominio está formado por los números reales mayores que 0, y que no hagan negativa a S. x2 Esto es, 40 x 2 . 0 80x 2 x2 . 0 x(80 2 x) . 0 2 0 , x , 80. Por tanto, Dom(S) 5 (0, 80).

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07


b) Se trata de una función cuadrática. Su gráfica es una parábola y, dado que el coeficiente de x2 es negativo, su máximo lo alcanza en el vértice. Para representarla formamos una tabla de valores: Base: x

0

20

30

40

50

60

80

Superficie: S

0

600

750

800

750

600

0

800 700 600 500 400 300 200 100

S(x )

La función de interpolación lineal es de la forma: f(x) 5 ax 1 b Pasa por (2, 1,1): 1,1 5 2a 1 b Pasa por (5, 3,2): 3,2 5 5a 1 b Resolviendo el sistema obtenido: a 5 0,7 y b 5 20,3. Luego, f(x) 5 0,7x 2 0,3. x 5 4 m 5 f(4) 5 0,7 ? 4 2 0,3 5 2,5. 22. Calcula por interpolación lineal a trozos, los valores correspondientes a n1, n2, n3, n4 y n5 en la siguiente tabla:

20

40

60

80 x

Fig. 7.16.

Sabemos que para la parábola y 5 ax2 1 bx 1 c, la abscisa del b vértice es x 52 . Por tanto, para la función S, la abscisa 2a 40 del vértice es x 52 5 40 y en este punto del do2(21 / 2) minio alcanza el valor máximo. A la vista de la gráfica, se observa que el recorrido de la función es Im(S) 5 (0, 80]. 20. Considera la curva y 5 12 2 x2. Si P es un punto de esa curva, situado en el primer cuadrante, determina la expresión de la función que da el área del rectángulo determinado por los dos ejes y las rectas paralelas a los ejes que pasan por P. Un punto P, genérico, de la curva y 5 12 2 x2, es P 5 (x, y) 5 (x, 12 2 x2) El rectángulo que se determina con los ejes es el sombreado en la figura adjunta. Su superficie es: S 5 xy 5 x(12 2 x2) 5 12x 2 x3 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 25 24 23 22 21

y

z

0,00

0,01

0,02

0,03

1,0

0,8413

0,8438

n1

0,8485

1,1

0,8643

n2

0,8686

n3

1,2

0,8849

n4

n5

0,8907

Interpolación de n1 Tomamos los puntos (0,01; 0,8438) y (0,03; 0,8485). Mediante una regla de tres se tendrá: Si en 0,03 2 0,01 5 0,02 aumenta 0,8485 2 0,8438 5 0,0047 En 0,02 2 0,01 5 0,01 aumentará x x 5 0,00235. Por tanto: n1 5 0,8438 1 0,00235 5 0,84615. Interpolación de n2 y n3 Tomamos los puntos (0,00; 0,8643) y (0,02; 0,8686). Mediante una regla de tres se tendrá: Si en 0,02 2 0,00 5 0,02 aumenta 0,8686 2 0,8643 5 0,0043 En 0,01 2 0,00 5 0,01 aumentará x x 5 0,00215. Por tanto: n2 5 0,8643 1 0,00215 = 0,86645. Si en 0,02 2 0,00 5 0,02 aumenta 0,8686 2 0,8643 5 0,0043 En 0,03 2 0,02 5 0,01 aumentará x x 5 0,00215. Por tanto: n3 5 0,8686 1 0,00215 5 0,87075. Interpolación de n4 y n5 Tomamos los puntos (0,00; 0,8849) y (0,03; 0,8907). Mediante una regla de tres se tendrá: Si en 0,03 2 0,00 5 0,03 aumenta 0,8907 2 0,8849 5 0,0058 En 0,01 2 0,00 5 0,01 aumentará x x 5 0,00193. Por tanto: n4 5 0,8849 1 0,00193 5 0,88683. Si en 0,03 2 0,00 5 0,03 aumenta 0,8907 2 0,8849 5 0,0058 En 0,02 2 0,00 5 0,02 aumentará x x 5 0,00387. Por tanto: n5 5 0,8849 1 0,00387 5 0,88877. Nota: Los valores de esta tabla pertenecen a la tabla de distribución normal tipificada.

P(x, y )

23. De una función f(x) se tiene la siguiente información: f(21) 5 10, f(1) 5 b, f(2) 5 13 y f(3) 5 26, siendo b un parámetro real. Se pide: a) Calculael polinomio de interpolación de segundo grado de f(x). b) Calcula un valor aproximado de b.

1 2 3 4 5 x

Fig. 7.17.

Tipo III. Interpolación 21. Halla, por interpolación lineal, el valor dem.


51

x

2

4

5

y

1,1

m

3,2

a)

La función de interpolación es de la forma P( x )5 px 2 1 qx 1 r Por pasar por (21, 10), P(21) 5 10 10 5 p 2 q 1 r Por pasar por (2, 13), P(2) 5 13 13 5 4 p 12q 1 r Por pasar por (3, 26), P(3) 5 26 26 59 p 13q 1 r Resolviendo el sistema se tiene: p 5 3, q 5 22, r 5 5. El polinomio interpolador es P( x )53 x 2 22 x 15 Para x 5 1 se tiene que P(1) 5 6. Por tanto, f (1) 5 b 6.

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52

07


24. Cierta empresa contaba al año de haber sido creada con 1 100 clientes. A los tres años ya tenía 1 600 y a los cinco años 2 900. a) Estima, mediante un polinomio interpolador de segundo grado, el número de clientes con los que contaba la empresa a los cuatro años. b) Ídem con los que contará a los 10 años. c) Justifica cuál de las dos estimaciones crees que es más fiable. a) b) c)

Precio de equilibrio: 20,82 euros. q(20,82) 5 25 1 2 ? 20,82 5 36,64 Cantidad de equilibrio: 36 640 unidades.

27. Halla el precio de equilibrio (en euros) y el número de unidades ofertadas y demandadas a ese precio, para las siguientes funciones de oferta y demanda. a) qs 5 270 1 2p y qd 5 200 2 p b) qs 5 240 1 p y qd 5 500 2 2p c) qs 5 25 1 2p2 y qd 5 11 2 2p2

El polinomio interpolador puede escribirse así: P(x) 5 a 1 b(x 2 1) 1 c(x 2 1)(x 2 3) a) qs 5 qd 270 1 2p 5 200 2 p 3p 5 270 p 5 90 euros. Por pasar por el punto A ese precio de 90 euros, la cantidad de equilibrio es: (1, 1 100) P(1) 5 1 100 a 5 1 100 q 5 200 2 90 5 110 unidades. Por pasar por el punto (3, 1 600) P(3) 5 1 600 b) qs 5 qd 240 1 p 5 500 2 2p 3p 5 540 p 5 180 1 100 1 2b 5 1 600 b 5 250 euros q 5 500 2 2 ? 180 5 140 unidades. Por pasar por el punto (5, 2 900) P(5) 5 2 900 1 100 1 c) qs 5 qd 25 1 2p2 5 11 2 2p2 4p2 5 16 p 5 2 euros 250 ? 4 1 8c 5 2 900 c 5 100 q 5 11 2 2 ? 22 5 3 unidades. Por tanto, P(x) 5 1 100 1 250(x 2 1) 1 100(x 2 1)(x 2 3) P( x )5100 x 2 2150 x 11 150 28. Lafunciones de ingresos por venta y costes de producción, A los 4 años, x 5 4, se tendrá: para un determinado producto, son I(x) 5 100x 2 10x2 y P(4) 5 1 100 1 750 1 300 5 2 150 clientes C(x) 5 100 1 5x, donde x viene dada en miles de unidades e A los 10 años, x 5 10, se tendrá: I(x) y C(x) en miles de euros. Se pide: P(10) 5 1 100 1 2 250 1 6 300 5 9 650 clientes a) ¿Cuánto gasta, ingresa y gana la empresa si produce y Habitualmente es más fiable la interpolación: en este caso, vende 1 000, 3 000, 10 000 unidades? para x 5 4. La extrapolación siempre es más problemática b) ¿Cuál es la función de beneficios? Represéntala. (por ejemplo, la empresa podría haber cerrado). Además, 10 c) ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que años está muy alejado de los datos considerados. el beneficio sea positivo?

25. La gráfica de una función pasa por los puntos (0, 1), (1, 0) y (2, 3). a) Halla la función cuadrática que pasa por esos tres puntos. b) Aproxima el valor de la función en x 5 0,5 mediante el polinomio hallado. a) Sea P( x )5ax 2 1 bx 1 c la función que pasa por esos tres puntos. Por pasar por (0, 1): P(0) 5 1 1 5 c. Por pasar por (1, 0): P(1) 5 0 0 5 a 1 b 1 c Por pasar por (2, 3): P(2) 5 3 3 5 4a 12b 1 c c 51 ⎧ ⎪ Resolviendo el sistema ⎨ a 1 b 1 c 5 0 se obtiene: ⎪4a 12b 1 c 53 ⎩ a 5 2; b 5 23; c 5 1. La función es: P( x )52 x 2 23 x 11 b) El valor aproximado para x 5 0, 5 será: 2 P( x )52 ?(0, 5) 23 ?(0, 5) 11 5 0

Tipo IV. Aplicaciones económicas 26. Las funciones de oferta y demanda de un producto son: qs 5 25 1 2p; qd 5 210 2 0,4p2, donde p viene dado en euros y q en miles de unidades. Halla: a) Las cantidades de oferta y demanda a un precio de 8 €. b) El precio y la cantidad de equilibrio para ese producto. a) p 5 8 qs 5 11 Oferta: 11 000 unidades. p 5 8 qd 5 184,4 Demanda: 184 400 unidades. b) qs 5 qd 25 1 2p 5 210 2 0,4p2 0,4 p2 1 2p 2 215 5 0 p 5 20,818 y p 5 225,818


a) b)

Para 1 000 unidades: I(1) 5 90 (miles de euros); C(1) 5 105 (miles de euros) Pierde: 15 000 euros Para 3 000 unidades: I(3) 5 210; C(3) 5 115. Gana: 95 000 euros Para 1 000 unidades: I(10) 5 0; C(10) 5 150. Pierde: 150 000 euros Función de beneficios: B(x) 5 I(x) 2 C(x) 5 210x2 1 95x 2 100 120 100 80 60 40 20

B(y) = -10x 2 + 95x + 100 y

x 1,2 2 4 6 8 10 8,29 Fig. 7.18.

c) El beneficio es cero cuando B(x) 5 210x2 1 95x 2 100 5 0 x 5 1,2 y x 5 8,29 B(x) . 0 si 1,2 , x , 8,29. Por tanto, habría que producir y vender 1 200 y 8 290 unidades. Comentario sobre la función de ingresos: Puede pensarse que la función de ingresos debe ser creciente: a más ventas, más ingresos. Sería así en un régimen de monopolio donde los precios se fijan artificialmente. En una economía de mercado, los ingresos son I 5 pq, precios (p) por unidades producidas y vendidas (q); pero los precios tienden a bajar a medida que q aumenta, así, desde el punto de vista de

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la empresa, p 5 f(q), que en el caso más simple, el lineal, adopta la forma p 5 a 2 bq con b> 0. Luego I 5 (a 2 bq)q 5 aq 2 bq2 29. Para la demanda qd 5 100 000 2 1 000p halla: a) La función de ingresos, I(p). b) El dominio de I(p). c) El número de unidades que hay que vender para que los ingresos sean de 1 600 000 €.

d)

Precio por alumno (e)


P(x) 12 10 8 6 4 2

07

53

2 x + 200 P(x) = –––––––– x

20 25 30 35 40 45 50 x

a) La función de ingresos es igual al número de unidades venNúmero de alumnos didas, qd, por el precio de cada unidad, p. Fig. 7.19. I(p) 5 qd ? p 5 100 000p 2 1 000p2 b) Dom I(p) 5 [0, ) c) I(p) 5 1 600 000 100 000p 2 1 000p2 5 1 600 000 32. Un pequeño supermercado utiliza una furgoneta para llevar a domicilio las compras de sus clientes. El precio de la p2 2 100p 1 1 600 5 0 p 5 80 y p 5 20. furgoneta fue de 25 000 euros. Se estima, además, que el Como qd(80) 5 20 000 y qd(20) 5 80 000, las unidades que coste de uso y mantenimiento es de 0,2 euros por kilómehay que vender serán 20 000 u 80 000. tro. Determina: a) La función del coste total dependiendo de los kilóme 30. Una empresa puede vender cierto producto a 10 € la unitros recorridos. dad. Los costes de funcionamiento de la empresa son de b) ¿A cuánto habrá salido el kilómetro si la furgoneta re25 000 €, siendo el coste de producción unitario de 4 €. sulta inservible cuando ha recorrido 350 000 km? Si admitimos que la demanda es tan grande que todo lo producido se vende a ese precio, calcula: a) Si x 5 kilómetros recorridos, la función de coste será a) Las funciones de ingreso y costes. f(x) 5 25 000 1 0,2x. b) ¿Cuántaspiezas hay que producir para que los costes se b) Tras recorrer 350 000 km la furgoneta ha salido por igualen a los ingresos? f(350 000) 5 95 000 euros. 95 000 c) ¿Cuánto pierde si fabrica y vende 1 500 unidades? 5 0,27 € Siendo el precio por kilómetro de d) ¿Cuánto gana si vende las 6 000 unidades fabricadas? 350 000 a) b) c) d)

x 5 número de productos vendidos; I(x) 5 ingresos; C(x) 5 costes. I(x) 5 10x; C(x) 5 25 000 1 4x. I(x) 5 C(x) 10x 5 25 000 1 4x x 5 4 166,67 I(1 500) 5 15 000 euros; C(1 500) 5 31 000 euros. Pierde: 16 000 euros. I (6 000) 5 60 000 euros; C(6 000) 5 49 000 euros. Gana: 11 000 euros.

Tipo V. Otras funciones: racionales e irracionales 31. Enun instituto de enseñanza secundaria se organiza la visita a un museo. Cada alumno tiene que pagar 2 euros por la entrada al museo más el viaje en autobús. El alquiler de un autobús de 50 plazas cuesta 200 euros y se paga a partes iguales entre todos los alumnos. La excursión se suspende si se apuntan menos de 20 alumnos. a) Si van 40 alumnos a la excursión, ¿cuánto le costará a cada uno? b) Si x es el número de alumnos que va a la excursión, ¿cuál es la función, P(x), que da el precio que debe pagar cada alumno? c) Calcula el dominio y el recorrido de P(x). d) Representa gráficamente la función P(x). 200 5 7 euros. 40 2x 1 200 200 b) P(x) 5 2 1 5 x x c) Dom P(x) 5 [20, 50]; Im P(x) 5 [6, 12] a) 2 1


33. Para el problema anterior: a) Escribe la expresión analítica de la función de coste por kilómetro. b) Si la furgoneta funcionase indefinidamente, ¿a cuánto tendería ese coste? Da una explicación gráfica de ese resultado. a) Para hallar la función de coste por kilómetro dividiremos la función de coste total entre el número de kilómetros recorridos, que son x. Por tanto: 25 000 1 0,2x g(x) 5 x b) Veamos qué ocurre cuando se recorren muchos kilómetros, es decir, cuando x es muy grande: x 5 1 000 000 f(1 000 000) 5 0,225 x 5 5 000 000 f(5 000 000) 5 0,205 x 5 10 000 000 f(10 000 000) 5 0,2025 x 5 100 000 000 f(100 000 000) 5 0,20025 El coste por kilómetro va decreciendo de una forma cada vez más atenuada, acercándose, sin llegar, a 0,20 euros por kilómetro. Puedes observarlo gráficamente en la siguiente figura: e/km 0,28 0,26 0,24 0,22 0,20 0,18

25000 + 0,2x g(x) = –––––––––––– x

1 2 3 4 5 6 km (millones) Fig. 7.20.

12/5/08 10:35:34

07

54


34. La superficie de un rectángulo de base x es 100 cm2. Expresa el valor de la altura en función de la base. Representa gráficamente la función hallada. Si designamos por y la altura, debe cumplirse que 100 x ? y 5 100 y 5 x Algunos valores: x

2

5

10

20

40

50

y

50

20

10

5

2,5

2

a) Hay asíntotas verticales. Respectivamente: x 5 25; x 5 3; x 5 0 y x 5 2. b) f se acerca a 1: f(100) 5 0,95; f(2100) 5 1,05 g se acerca a 0,5: g(100) 5 0,51; g(2100) 5 0,49; h se acerca a 0: h(100) 5 0,0006; h(2100) 5 0,00059 c) Gráficas.

Su gráfica es: y 60 50 40 30 20 10

10 8 6 4 2

10 20 30 40 50 60 x

35. Representa gráficamente, para valores de x 4 4 4 nes f(x) 5 , g(x) 5 3 1 y h(x) 5 . x x x 2 3 ¿Qué relación hay entre ellas? Algunos valores:

2 4 6 8 10 x

Fig. 7.23.

1

2

3

4

5

8

f(x)

8

4

2

4/3

1

0,8

0,5

g(x)

11

7

5

13/3

4

3,8

3,5

h(x)

21,6

22

24

¿?

4

2

0,8

y 5 4 3 2 x 21 –––––– 1 g(x) = 2x 26 21

1 2 3 4 5 x

22 23 24

Sus gráficas son:

24

x f (x) = ––––– x+ 5

24 26 28

0, las funcio-

0,5

y 12 10 8 6 4 2 4 f (x) = –– x

y

21028262422

Fig. 7.21.

x

37. Para las funciones anteriores: a) ¿Qué sucede en los puntos que anulan los respectivos denominadores? b) ¿Qué sucede con los respectivos valores de la función cuando la x toma valores muy grandes, pongamos x 100; o muy negativos: x 2100? c) Da algunos valores y haz un esbozo gráfico de cada una da las funciones.

Fig. 7.24. 4 g(x) = 3 + –– x

38. Halla el dominio de definición de las funciones: a) f(x) 5 x 1 3; b) g(x) 5 2x 1 3; 2 c) h(x) 5 x 13x .

2 4 6 8 10 x 4 h (x) = ––––– x 23

a) Dom(f) 5 [23, 1`) b) Dom(g) 5 [23/2, 1`) c) Dom(h) 5 (2`, 23] [0, 1`)

Fig. 7.22.

Las líneas de ambas gráficas son idénticas: cada una es la trasladada de otra. 36. Halla el dominio de definición de las funciones: x x 2 1 a) f(x) 5 b) g(x) 5 x 1 5 2x 2 6 6 c) h(x) 5 2 x 2 2x a) Dom(f) 5 R 2 {5} c) Dom(h) 5 R 2 {0, 2}


b) Dom(g) 5 R 2 {3}

39. Representa gráficamente las funciones: a) f(x) 5 x 1 3 ; b) g(x) 5 3 1 x ; c) h(x) 5 2 2 3x . Algunos valores: x f(x)

23

22

0

1

0

1

3

4

2

g(x)

3

4

h(x)

2

2 2 3

6 3

21

5

13/3

2 2 2 3

2 2 3 2

12/5/08 10:35:43

07


5 4 3 f (x) = x + 32 1

y

24232221

2 1

5 4 3 2 1 1 2 3 x

21

y 5 2x; oblicua y 5 1; horizontal x 5 22; vertical

y g (x) = 3 + x

4. Representa gráficamente la parábola y 5 x2 2 2. ¿En qué punto está su vértice? 1 2 3 4 5 6 x

4 3 2 1

y h(x) = 2- 3x

23 22 21

1 2 3 4 5 6 x

21

55

y

1 2 3 x

22

22 23 24

Fig. 7.28.

Vértice: V 5 (0, 22)

Fig. 7.25.

5. ¿En qué puntos corta la parábola anterior al eje de abscisas? y 5 x2 2 2 5 0 x 5 6 2


6. Calcula m por interpolación lineal. x y

1. Representa gráficamente la recta de ecuación y 5 22x 1 1. ¿Cuánto vale su pendiente? Pendiente 5 22

m 5

y

5 4 3 2 1

1 2 x

22 21

f(x) 5 0,80x f(10) 5 8; f(20,40) 5 0,80 ? 20,40 5 16,32; f(34,80) 5 0,80 ? 34,80 5 27,84. 3. ¿Cuál es la expresión de las rectas que se representan en la siguiente figura? 4 3 2 1 23 22 21

y

3

5

0,8

m

2,9

0,8 1 2,9 5 1,85 2

7. Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son, respectivamente, qs 5 2200 1 700p y qd 5 2 800 2 50p, p en euros. a) ¿Cuántos artículos se ofertarán si el precio está en 6 €? b) ¿Cuántos artículos se demandarán a un precio de 5 €? a) qs (6) 5 2200 1 700 · 6 5 4 000 b) qd(5) 5 2 800 2 50 · 5 5 2 550

Fig. 7.26.

2. Los precios de unos grandes almacenes se han rebajado en un 20 %. ¿Cuál es la función lineal que da el precio rebajado de un artículo que antes de las rebajas valía x euros? Aplícala para determinar el precio de artículos que valían antes de las rebajas 10, 20,40 y 34,80 €, respectivamente.

1

8. Para las funciones de oferta y demanda anteriores, ¿cuál será el precio de equilibrio?

2200 1 700p 5 2 800 2 50p 750p 5 3 000 p 5 4 9. Dos números positivos, x e y, suman 50. Halla la expresión que da el producto de ambos en función de x. P(x) 5 x(50 2 x) 5 2x2 1 50x x 1 1 y x 2 3 g(x) 5 6 x 2 4 ¿Cuánto valen f(7) y g(20)?

10. Indica el dominio de las funciones f(x) 5

Dom(f) 5 R 2 {3}; f(7) 5 8/4 5 2 Dom(g) 5 [4, 1); g (20) 5 16 5 4

1 2 x

Fig. 7.27.


12/5/08 10:35:50

08

56

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

j ACTIVIDADES

x 5 10 1 024 52 x10 5 1 024 b) log x 1 024 510 3 3 c) ln3 x 53 3x 5 e x 5 e /3

1. Representa, con ayuda de la calculadora, las funciones f(x) 5 1,8x y h(x) 5 0,3x. Tabla de valores: x f(x) 5 1,8x h(x) 5 0,4x

0 1 1

1 1,8 0,3

2 3,24 0,09

3 5,83 0,027

21 0,56 3,33

22 0,31 11,11

23 0,17 37,04

5. Resuelve las siguientes ecuaciones de tipo exponencial: a) 4 x 12 x 13 22050; b) 2 x 12 x 11 12 x 13 588; c) x 2 e x 22xe x 50. a) 4 x 12 x 13 220 5 0

–4 –3 –2 –1

y

x 2

a) 3log x 25log 25log

f(x) � 1,8x

a) 3 log x 25 log 2 5 log 1 2 3 4 x

2. Basándote en la definición de logaritmo, halla el valor de: b) log25 5 c) log1/2 2 a) log4 64 d) log 0,01 e) log 0,0001 f) log 1026 Comprueba el resultado de los tres últimos con la calculadora. log4 64 5 3, pues 43 5 64; log25 5 5 2, pues 52 5 25; log1/2 2 5 21, pues (1/2)21 5 2; log 0,01 5 log 1022 5 22; log 0,0001 5 log 1024 5 24; log 1026 5 26.

a) 125 5 x2 125/2 5 x. Con la calculadora: 12 xy 2,5 5 498,8306. 6 log x 5 1,806179974 b) log x 6 5log 64 log x 5 0,3010299957 x 5 antilog 0,3010299957 x 5 2 En este caso, es conveniente observar que 64 5 26 x6 5 26 x 5 2 c) Aplicando logaritmos: log(32 x ) 5log 531 441 log 531 441 ⇒ 2x log 3 5 log 531441 x5 56. 2 log 3 Nota: Podríamos observar que 531 441 5312. 4. Resuelve las siguientes ecuaciones: b) log x 1 024 5 10; c) ln3x 5 3. a) log5 200 5 x;


log x 3 2log 25 5 log

x 2

log

7. Admitamos que el número de partículas contaminantes por

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: b) x6 5 64; c) 32x 5 531 441. a) 125 5 x2;

5x 5 200 log 5 x 5log 200 log 200 x5 53, 2920. log 5

x 2

b) log(x 11)2log(x 23)55

x3 x x3 x x 3 216 x 5 0 5 log 5 5 2 2 25 2 x 5 0, x 5 24, x 5 4. x( x 2 216) 5 0 La única que vale es x 5 4. x 11 b) log( x 11) 2log( x 23) 55 log 55 x 23 x 11 300 001 . x5 5100 000 x 23 99999

Fig. 8.1.

a)

2x 5

6. Calcula el valor de x en las siguientes ecuaciones:

a) b) c) d) e) f)

28 6 64 1 80

28 612 x 5 1 5 52 2 2 (La solución 210 no vale.) b) 2 x 12 x 11 12 x 13 5 88 2 x 12 ? 2 x 1 8 ? 2 x 5 88 x x x 5 3; 2 58 11 ? 2 5 88 x 5 0, x 5 2 c) x 2 e x 22xe x 5 0 xe x (x 22) 5 0

Gráficas: 8 7 6 5 4 x h(x) � 0,3 3 2 1

22 x 1 8 ? 2 x 220 5 0

x log 5 5log 200

5 000 , 11249?e 20 ,1t

metro cúbico de aire viene dado por N(t )5

donde el tiempo t viene expresado en semanas. En el supuesto de que no se aplique ninguna medida correctora: a) ¿Cuántas partículas contaminantes hay por metro cúbico en el momento inicial? ¿Y a las dos, cinco, diez semanas? b) Si el máximo admisible para personas con problemas respiratorios es de 2 000 partículas por metro cúbico, ¿al cabo de cuántas semanas se plantearían problemas de salud para esas personas? a) N(0) 5 20; N(2) 5 24; N(5) 5 33; N(10) 5 54. 5 000 5 b) 52 52 000 20 ,1 t 1 1249 ? e20,1t 1 1249 ? e 1 5 52 1 498e20,1t 3 5 498e20,1t 5e20,1t 166 t 5 51,12. ln(1 / 166) 520, 1t A partir de la semana 51ª se plantearán problemas respiratorios.

8. Para un hueso se calculó que se había desintegrado el 20 % del carbono-14. Si el porcentaje de carbono-14 en restos óseos viene dado por la fórmula P(t) 5 100e20,00012t, halla: a) La edad aproximada de ese hueso. b) Cuántos años deben pasar para que en ese hueso quede sólo el 5 % del carbono-14.

12/5/08 16:04:16

08


a) Como P(t) 5 80 % 80 5100e20,00012t 0, 80 5e20,00012t ln 0,80 5 20,00012 t ln(0, 80) 5ln e20,00012t t 5 1 859,5 años. b) Si P(t) 5 5 % 5 5100e20,00012t 0, 05 5e20,00012t 20 ,00012 t ln 0,05 5 20,00012 t ln(0, 05) 5ln e t 5 24 964,4 años.

b) log2 128 5 x

1. Representa gráficamente, utilizando la calculadora, estas funciones: a) y 5 1,1x b) y 5 (0,8)x y

1 2 3 x

2. Con ayuda de la calculadora, representa gráficamente la función exponencial f(x) 5 e2x 2 1. Tabla de valores:

e25 5 0,0067

21

e23 5 0,0498

0

e21 5 0,3679

1

e 5 2,7183

2

e3 5 20,0855

½

e0 5 1

¾

e1/2 5 1,6487

�4 �3 �2 �1

a) b) c) d)

1 4x 5 16

7 x 5 2

2x 5 27/2 4x 5 42 2

5x 5 4 125

x 5 22

5x 5 53/4

3 x 5 4

log 20 5 log (2 ? 10) 5 log 2 1 log 10 5 0,3010 1 1 5 1,3010 log 200 5 log (2 ? 102) 5 log 2 1 log 102 5 0,3010 1 2 5 5 2,3010 log 0,0002 5 log (2 ? 102 4) 5 log 2 1 log 102 4 5 5 0,3010 2 4 5 23,699 log 3 200 5 log (25 ? 102) 5 log 25 1 log 102 5 5 5 ? 0,3010 1 2 5 3,505

log 0,3 5 log (3 ? 10 2 1) 5 log 3 1 log 10 2 1 5 5 0,4771 2 1 5 20,5229; log 30 000 5 log (3 ? 104) 5 log 3 1 log 104 5 5 0,4771 1 4 5 4,4771; log (1/9) 5 log 322 5 22 log 3 5 22 ? 0,4771 5 20,9542; (log 9)2 5 (log 32)2 5 (2log 3)2 5 (2 ? 0,4771)2 5 5 (0,9542)2 5 0,9105

a) log 6 c) log (0,36)

y

1 x

3. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f(x) 5 10x 2 2

2 5 128

7. A partir de los valores de log 2 y de log 3, halla:

Fig. 8.3.


d) log5 4 125 5 x

a) b) c) d)

Gráfica: 4 3 f(x) � e 2x �1 2 1

1 5x 16

x 5 2

x

6. Sabiendo que log 3 5 0,4771, halla (sin calculadora) el valor de: a) log 0,3 b) log 30 000 c) log (1/9) d) (log 9)2

f(x) 5 e2x 2 1

22

c) log4

9x 5 81

5. Sabiendo que log 2 5 0,3010, halla (sin calculadora) el valor de: a) log 20 b) log 200 c) log 0,0002 d) log 3 200

y � 1,1x

Fig. 8.2.

x

Tipo II. Logaritmos

a) log9 81 5 x

Tipo I. La función exponencial

�3 �2 �1

a) Dom f(x) 5 R b) Dom g(x) 5 R 2 {2} c) Dom h(x) 5 [2, 1)

4. Calcula, aplicando la definición de logaritmo, el valor de: a) log9 81 b) log2 128 1 c) log4 d) log5 4 128 16


y � 0,8x 3 2 1

57

1

b) g(x )510 x 22

c) h(x )510

a) b) c) d)

b) log 75 d) log 4 500

log 6 5 log (2 ? 3) 5 log 2 1 log 3 5 0,3010 1 0,4771 5 5 0,7781; log 75 5 log (3 ? 52) 5 log 3 1 2log 5 5 5 0,4771 1 2log(10/2) 5 0,4771 1 2(log 10 2 log 2) 5 5 0,4771 1 2(1 2 0,3010) 5 1,8751; log 0,36 5 log (36/100) 5 log 62 2 log 102 5 2log 6 2 2 5 5 2·0,7781 2 2 5 20,4438; log 4 500 5 log (32·500) 5 2log 3 1 log (1 000/2) 5 5 2·0,4771 1 (log103 2 log 2) 5 0,9542 1 3 2 0,3010 5 5 3,6532

x 22

12/5/08 16:04:39

08

58


Tipo III: La función logarítmica

2 1

8. Representa gráficamente, utilizando la calculadora, estas funciones: b) y 5 log1/2 x a) y 5 log4 x d) y 5 log0,7 x c) y 5 log1,6 x Construimos las tablas de valores usando la fórmula del cambio de base. a)

1/16

1/4

1

2

4

6

y 5 log 4 x

22

21

0

0,5

1

1,29

x

1/16

1/4

1

2

4

6

y 5 log 1/2 x

4

2

0

21

22

258

3 2 1

y y � log 4 x

�2 �3

y 5 log 1/2 x

Fig. 8.4.

c)

x

0,2

0,5

1

2

3

4

y 5 log 1,6 x

23,42

21,47

0

1,47

2,34

2,95

d)

x

0,2

0,5

1

2

3

4

y 5 log 0,7 x

4,51

1,94

0

21,94

23,08

23,88

3 2 1

y � log 1,6 x

1 2 3 4 5 6 7 x

�2 �3

y � log 0,7 x

Fig. 8.5.

9. Con ayuda de la calculadora, representa gráficamente la función logarítmica f(x) 5 log (x2 1 1). Tabla de valores: f(x) 5 log(x2 1 1)

23 log 10 5 1 22 log 5 5 0,6989 21 log 2 5 0,3010 0

log 1 5 0

1

log 2 5 0,3010

2

log 5 5 0,6989

3

log 10 5 1


10. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f(x) 5 log (x 1 3) b) g(x) 5 log (x2 1 3) 1 log(x 13)

a) Dom f(x) 5 (23, 1) b) Dom g(x) 5 R c) h(x) está definida siempre que x 1 3 . 0, es decir, para x . 23. Además se tiene que cumplir que log (x 1 3) Þ 0 x 1 3 Þ 1 x Þ 22. Por tanto, Dom h(x) 5 (23, 1`) 2 {22}

La función está definida cuando 21 , x , 2. 2x2 1 x 1 2 . 0 Por tanto, Dom f(x) 5 intervalo (21, 2). f(0) 5 log 2 5 0,3010. Punto Corte con el eje OY. Si x 5 0 (0; 0,3010). log(2x2 1 x 1 2) 5 0 Corte con el eje OX. Si f (x) 5 0 16 5 2x2 1 x 1 2 5 1 . Puntos: x5 2 12 5 11 5 ,0 , ,0 . 2 2

y

�1

x

1 2 3 4 5 x

11. Sea la función f(x) 5 log (2x2 1 x 1 2). Indica su dominio de definición y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

1 2 3 4 5 6 7 x

�1

y � log(x 2 � 1)

Fig. 8.6.

c) h(x )5

x

b)

�5 �4 �3 �2 �1

y

Tipo IV. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 12. Resuelve las siguientes ecuaciones: b) 0,5 5 52x a) x 5 15,21,1 3,5 d) 52x 5 625 c) x 5 3,5 3 f) 53x12 5 15 625 e) 3x 5 375 a) x 5 15,21,1 5 19,954 log 0,5 5 2x ? log 5 x 5 20,215 b) 0,5 5 52x log (x3,5) 5 log 3,5 3,5log x 5 log 3,5 c) x3,5 5 3,5 log 3, 5 log x 5 5 0,1554 3, 5 x 5 antilog 0,1554 5 1,4302. También se podría haber hecho como en el apartado anterior. 52x 5 54 x 5 2 d) 52x 5 625 3 x3 5 125 x 5 5 e) 3x 5 375 log 53x12 5 log 15 625 f) 53x12 5 15 625 (3x 1 2) log 5 5 log 15 625 log 15625 3x 1 2 5 x 5 4/3. log 5 También podría observarse que 15625 5 56, luego 53 x 12 556 3x 1 2 5 6 x 5 4/3.

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08


13. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: 2 b) 31 2 2x 5 2 187 a) 2x 11 5 32 x ⎛ 1⎞ c) 41 2 3x 5 2x 2 2 d) ⎜ ⎟ 523 x 11 ⎝ 4⎠ 2

a) 2 x 11 532 5 25 x2 1 1 5 5 x 5 6 6 b) 31 2 2x 5 2 187 5 37 1 2 2x 5 7 x 5 23 22 2 6x 5 2x 2 2 c) 41 2 3x 5 2x 2 2 (22 )123 x 52 x 22 2 2 6x 5 x 2 2 x 5 4/7 x 1 523 x 11 222x 5 23x 1 1 22x 5 3x 1 1 d) 4 1 x 5 2 5 14. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3x 2 3x 2 1 1 3x 2 2 5 21 b) 25x 2 100 ? 5x 5 3 125 80 c) 3x 2 32x 5 9 d) 9x 2 8 ? 3x 1 1 2 81 5 0 e) 4x 2 50 ? 2x 5 9 984 x x 1 1 7 f) 2 1 50 4 2 64 a) 3x 2 3x 2 1 1 3x 2 2 5 21

3x 2

3x 3x 1 521 3 32 7·3x 5 189

x

1 5 t, se tiene que: t2 2 t 17/64 5 0 2 64t2 2 64t 1 7 5 0, cuyas soluciones son t 5 7/8 y t 5 1/8.

Haciendo

1 t 5 8


1 2 1 2

x

log(7/8) 7 x 5 log(1/2) 8 x 3 1 1 x 5 3. 5 5 8 2 5

b) e210x 5 4; d) xex 2 x 5 0; f) 1 1 2ex 5 2.

2x 2 2 5 0 x 5 1 a) e2x 2 2 5 1 ln (e210x) 5 ln 4 210xln e 5 ln 4 b) e210x 5 4 1, 38629 5 20,138629 x5 210 x 5 0. (El factor e x 2 3 nunca vale 0.) c) xe x 2 3 5 0 x(e x 2 1) 5 0 x 5 0: d) xe x 2 x 5 0 2 x x2 2 2x 1 1 5 0 x 5 1 e) (x 2 2x 1 1)e 5 0 e x 5 1/2 ln e x 5 ln 0,5 f) 1 1 2e x 5 2 xln e 5 ln 0,5 x 5 20,6931. 16. Halla el valor dex en las siguientes ecuaciones: b) log5 x52, 5; a) log6 x 5 3; d) ln x 5 3,2; c) log7 3x520, 2; ⎛ 1⎞ e) log2 ⎜ ⎟ 5 x; f) log7 8 5 x. ⎝ 32⎠

9 ? 3x 2 3 ? 3x 1 3x 5 189 3x 5 27 x 5 3. 52x 2 100 ? 5x 2 3 125 5 0. b) 25x 2 100 ? 5x 5 3 125 Haciendo t 5 5x se tiene que t2 2 100t 2 3 125 5 0, cuyas soluciones son: t 5 125 y t 5 225. 5x 5 125 5 53 x 5 3 t 5 125 5x 5 225, que no puede ser. t 5 225 80 ? 3 x 1 80 80 c) 3x 2 32x 5 3x 2 x 5 32 x 21 5 3 9 9 9 9 ? 32 x 2 80 ? 3 x 29 5 0. Haciendo t 5 3x se tiene que 9t2 2 80t 2 9 5 0, cuyas soluciones son: t 5 21/9 y t 5 9 1 1 t 5 2 3 x 52 (No vale) 9 9 t 5 9 3x 5 9 x 5 2 (3x)2 2 24 ? 3x 2 81 5 0 d) 9x 2 8 ? 3x 1 1 2 81 5 0 x 2 (3 5 t), t 2 24t 2 81 5 0 t 5 27 y t 5 23 3x 5 27 x 5 3 t 5 27 3x 5 23, que no puede ser. t 5 23 e) 4x 2 50 ? 2x 5 9 984 22x 2 50 ? 2x 2 9 984 5 0 Haciendo 2x 5 t, se tiene: t2 2 50t 2 9 984 5 0, cuyas soluciones son t 5 128 y t 5 278. 2x 5 128 2x 5 27 x 5 7 t 5 128 2x 5 278, que no puede ser. t 5 278 x x 2x x 1 1 7 1 1 7 2 1 50 2 1 50 f) 4 2 64 2 2 64

7 t 5 8

15. Resuelve: a) e2x 2 2 5 1; c) xex 2 3 5 0; e) (x2 2 2x 1 1)ex 5 0;

59

x 5 0,192645

a) b) c) d) e)

x 5 63 5 216 x 5 52,5 5 55,9; x 5 0,226 3x 5 720,2 x 5 e3,2 5 24,53; x 5 25; 2x 5 1/32 5 225

f) 7x 5 8

xlog 7 5 log 8

17. Resuelve a) log6 140 5 x c) log2 8x 5 7

x 5

log 8 5 1,0686. log 7

b) log x 100 5 22 d) 4 log 2 (2x 11)516

a) log6 1405 x 140 5 6x log 140 5 xlog 6 log 140 5 2,7580 x5 log 6 1 b) log x 100 522 100 5 x22 100 5 2 x 1 1 x2 5 x5 10 100 c) log2 8 x 57 8x 5 27 x 5 16 log2 (2 x 11) 5 4 d) 4 log2 (2 x 11) 516 2x 1 1 5 24 x 5 15/2. 18. Utilizando la fórmula del cambio de base, halla: b) log 5 500; a) log 2 100; d) log 3 0,3. c) log 8 320 000; log 100 a) log 2 100 5 ≅ 6,6439; log 2 log 500 b) log 5 500 5 ≅ 3,8614; log 5 log 320 000 6,0959; c) log 8 320 000 5 log 8 log 0, 3 d) log 3 0,3 5 ≅ 21,0959. log 3 19. Resuelve las ecuaciones: a) 3 1 log (x 1 1 000) 5 7; b) log (x 1 6) 2 2 ? log (x 23) 5 1; c) log (2x 1 2) 2 log (x 2 3) 5 1; d) log (32x 2 2 1 7) 5 2log (3x 2 1 1 1).

14/5/08 09:31:34

60

08


a) Anual b) Semestral a) 3 1 log (x 1 1 000) 5 7 log(x 1 1 000) 5 4 x 1 1 000 c) Trimestral d) Continuo x 5 9 000 5 10 000 b) log (x 1 6) 2 2 ? log (x 2 3) 5 1 a) C 5 1 000(1 1 0,058)6 5 1 402,54 euros. log (x 1 6) 2 log (x 2 3)2 5 log 10 2?6 0, 058 x 16 1 000 1 1 b) C 5 51 409,24 euros log 5 log 10 2 ( x 23)2 4 ?6 x 16 0, 058 10x2 2 61x 1 84 5 0. c) C 5 1 000 1 1 5 1 412,70 euros 510 2 ( ) x 2 3 4 Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene x 5 4 y d) C 5 1 000 ? e0,058 ? 6 5 1 416,23 euros x 5 2,1. Sólo vale x 5 4, pues si sustituimos x 5 2,1 en la ecuación, observamos que en el segundo logaritmo del enunciado 23. Entre las siguientes opciones, ¿cuál es más ventajosa? quedaría log (2,1 2 3) 5 log (20,9), que no tiene sentido. a) 8 % de interés anual 2 x 12 b) 7,8 % de interés compuesto trimestral c) log (2x 1 2) 2 log (x 2 3) 5 1 log 51 x 23 c) 7,7 % de interés compuesto mensual 2 x 12 2x 1 2 5 10x 2 30 8x 5 32 x 5 4. 510 d) 7,65 % de interés compuesto diario x 23 log (32x 2 2 1 7) 5 d) log (32x 2 2 1 7) 5 2log (3x 2 1 1 1) Para 1 €, se tendría: 32x 2 2 1 7 5 (3x 2 1 1 1)2 5 log (3x 2 1 1 1)2 a) C 5 (1 1 0,08) 5 1,08 €; 4 32x 2 2 1 7 5 32x 2 2 1 2 ? 3x 2 1 1 1 6 5 2 ? 3x 2 1 0, 078 1 1 51,0803 €; b) C 5 x 2 1 5 1 x 5 2. 4 20. Resuelve el sistema: log x 3 2 log y 25 log 24 log x 2 log y5 log 5

c) C 5 1 1

log x 2 2log y 53

b)

log 125 x 2log 25 y 52log 5 log 4 x 2log 64 y 5 log 8

⎧log x 1log y 3 55 a) ⎨ 2 ⎩⎪log x 2log y 53

⎧log x 13 log y 55 ⎨ ⎪⎩2 log x 2log y 53 Operando (2E1 2 E2): 7log y 5 7 y 5 10; x 5 100; ⎧ 125 x 2 ⎪⎪log 25 y 5log 5 ⎧log 125 x 2log 25 y 52 log 5 b) ⎨ ⎨ x y x ⎩⎪log 4 2log 64 5 log 8 ⎪log 4 5log 8 ⎪⎩ 64 y 3x ⎧ 5 2 ⎪⎪log 52 y 5log 5 ⎧log 53 x 22 y 5log 52 ⎧3 x 22 y 52 ⎨ ⎨ ⎨ 2 x 26 y 3 2x log 2 5 log 2 ⎪ ⎪⎩2 x 26 y 53 ⎩ ⎪log 2 5log 23 6 y ⎪⎩ 2 x 5 3/7; y 5 25/14

Tipo V. Aplicaciones de exponenciales y logaritmos 22. Calcula el capital acumulado por 1 000 € durante 6 años a una tasa anual del 5,8 % a interés compuesto:


5 1,0798 €; 365

21. Resuelve: log x 1log y 3 55

12

0, 0765 5 1,0795 € 365 La opción más ventajosa es la b) d) C 5 1 1

⎧log x 3 2log y 2 5 log 24 ⎧3 log x 22 log y 5 log 24 ⎨ ⎨ ⎪⎩log x 2log y 5 log 5 ⎩⎪log x 2log y 5 log 5 Operando (E1 2 3E2): log y 5 log 24 2 3 log 5 24 24 . log y 5log 3 y5 5 125 Sustituyendo en E2: log x 5 log 5 1 log y 24 24 log x 5log 5 ? x5 . 125 25

a)

0, 077 12

24. Para los casos del problema anterior, ¿cuál es la tasa anual equivalente, TAE, en cada caso? a) 8 %; c) 7,98 %;

b) 8,03 %; d) 7,95 %.

25. Halla el tiempo que tarda en triplicarse un capital en las siguientes condiciones: a) Al 12 % de interés compuesto anual. b) Al 11 % de interés continuo. C0 5 capital inicial, t 5 tiempo en años. 3 5 (1,12)t a) 3C0 5 C0(1 1 0,12)t log 3 t 5 5 9,694 años. log 1, 12 b) 3C0 5 C0 ? e0,11t

3 5 e0,11t

ln 3 t 5 5 9,987 años. 0, 11

26. Supongamosque un automóvil deprecia su valor en un 15 % anual. a) Si nuevo costó 24 000 €, ¿cuánto valdrá a los 6 años? b) ¿Cuántos años deben pasar para que su valor sea inferior a 6 000 €? a) P 5 24 000(1 2 0,15)6 5 9 051,59 €. b) t 5 número de años, P 5 6 000 € 0,25 5 0,85t 6 000 5 24 000(1 2 0,15)t log 0, 25 t 5 5 8,53 años. log 0, 85 27. Admitamos que el sueldo de los funcionarios experimenta una subida anual del 3,5 %, desde el año 2000. Si un funcionario ganaba 1 600 euros mensuales a comienzos del año 2000, ¿cuánto tardará en ganar el doble?

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28. Hace cuatro años que se repobló una zona con 100 ejemplares de una nueva especie de pinos. Actualmente hay 25 000 ejemplares. Se estima que el número N de pinos viene dado en función del tiempo, t, por la función N 5 AeBt, donde A y B son dos constantes. El tiempo t se considera expresado en años desde el momento de la repoblación. ¿Cuánto tiempo se ha de esperar para que haya 200 000 ejemplares? Los puntos (0, 100) y (4, 25 000) verifican la función N 5 AeBt • N(0) 5 Ae0 5 100 A 5 100 ln250 • N(4) 5 100e4B 5 25 000 5 1,3804 B5 4 Por tanto, la función es N(t) 5 100e1,3804t Para que N(t) 5 100e1,3804t 5 200 000 ln 2 000 5 5,5 años. t5 1,3804 29. En determinadas condiciones, una población de mosquitos crece ajustándose a la función f(x) 5 2 1 0,5e0,4x, donde f(x) es el número de mosquitos en miles y x el tiempo en días desde el momento presente. Se pide: a) ¿Cuánto tiempo, en días, tardará en duplicarse la población inicial? b) Dibuja la gráfica que da la evolución del número de mosquitos, y comprueba sobre ella el resultado obtenido anteriormente.

Población de mosquitos (miles)

a) La población inicial es f(0) 5 2,5, luego: ln 6 6 5 e0,4x x 5 5 4,48 días. 5 5 2 1 0,5e0,4x 0, 4 b) y 10 8 6 4 2

4,48

a) La población inicial de conejos fue 10 000 10 000 P(0) 5 5 50. 5 1 1199 ? e20,5·0 200 10 000 Al cabo de 8 años, había P(8) 5 5 1 1199e20,5?8 10 000 5 ≅ 2 153 conejos. 4, 6448 b) Por las características de este tipo de funciones sabemos que la recta y 5 10 000 es una asíntota horizontal. Es decir, la población de conejos nunca puede sobrepasar los 10 000 individuos. 32. Elnúmero de personas afectadas por una enfermedad contagiosa viene dado por la fórmula 1 000 C(t) 5 11 999e22,1? t donde t indica el tiempo en días. a) Cuántas personas estarán contagiadas pasados 1, 2 y 7 días? b) Representa gráficamente la evolución de la enfermedad. 1 000 1 000 a) Si t 5 1, C(1) 5 5 ≅ 8 personas. 1 1999e22,1 123, 3 1 000 1 000 5 Si t 5 2, C(2) 5 ≅ 63 personas. 1 1999e22,1?2 15, 98 1 000 1 000 5 Si t 5 7, C(7) 5 ≅ 1 000 personas. 22 ,1?7 1 1999e 1, 0004 b) Otros valores de C(t) son: C(0) 5 1, C(3) 5 353, C(4) 5 817, C(5) 5 973. Representando todos los puntos se obtiene la gráfica: 1000 800 600 400 200

y

1 2 3 4 5 6 7 x Tiempo (en días) Fig. 8.7. 30. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50 %.

Si en el momento inicial hay 100 conejos: a) ¿Cuántos habrá dentro de 8 años? b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30 000? a) b)

f(x) 5 número de conejos, x 5 tiempo en años f(x) 5 100(1 1 0,5)x f(8) 5 100 ? 1,58 5 2 562,89 conejos 300 5 1,5x 30 000 5 100 ? 1,5x x ln 300 5 ln (1,5) x 5 14,07 años.

31. Debido a la presión ambiental, la población de conejos considerada en el problema anterior se ajusta más bien a la 10 000 , t 5 0 en el momento inicial. función P(t )5 1 1199 ? e2 0,5


61

a) ¿Cuántos había en el momento inicial?; ¿y al cabo de 8 años? b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30 000?

Personas

f(x) 5 sueldo de los funcionarios, x 5 tiempo en años f(x) 5 1 600(1 1 0,035)x, x 5 0 en 2000. 2 5 1,035x 3 200 5 1 600(1 1 0,035)x x x 5 20,15 años. ln 2 5 ln (1,035)

08

1 2 3 4 5 6 7 8 x Tiempo Fig. 8.8.

33. En 1987, la población mundial era de unos 5 000 millones de habitantes. Si su crecimiento era de unos 80 millones por año, y suponiendo que la tasa de crecimiento permaneciese constante, ¿cuánto tiempo tardaría en duplicarse? 80 5 0,016. 5 000 f(x) 5 población mundial, x 5 tiempo de años f(x) 5 5 000(1 1 0,016)x 2 5 1,016x x 5 43,7 años. 10 000 5 5 000(1 1 0,016)x

La tasa de crecimiento es

34. Unisótopo radiactivo decae un 9,5 % anualmente. ¿Cuál es su vida media? f(x) 5 cantidad de isótopo radiactivo, x 5 tiempo en años

12/5/08 16:06:25

62

08


f(x) 5 (1 2 0,095)x 5 (0,905)x 0,5 5 0,905x log 0,5 5 xlog 0,905

x 5 6,94 años.

35. Sabiendoque el período de semidescomposición (vida media) del radio 226 es de 1 620 años, calcula la cantidad de radio que quedará de una muestra de 12 gramos al cabo de 2 000 años. La expresión de la función que determina la cantidad existente al cabo de t años es de la forma C(t) 5 C0 e2kt, siendo C0 la cantidad inicial. Como su vida media es 1 620 años, transcurrido ese tiempo, de los 12 g quedarán 6; esto es C(1 620) 5 6. 0,5 5 e 21 620k Por tanto, 6 5 12 e2k ? 1 620 ln 0,5 5 21 620k k 5 0,000428. Por tanto, C(2 000) 5 12 e20,000428 ? 2 000 5 5,1 gramos. 36. Como sabemos, la expresión C(t) 5 C0e2kt da la cantidad de materia radiactiva de un determinado elemento al cabo de t años. a) Comprueba que si V es la vida media de ese elemento, entonces: t/V ⎛ 1⎞ C(t )5 C0 ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ b) Halla esa expresión para el caso del radio. c) ¿Qué cantidad de radio queda de una muestra de 10g al cabo de 1 500 años? a) Como su vida media es V años, C 1 C(V) 5 0 5 C0 e2kV 5 e2kV ln 0,5 5 ln e2kV 2 2 ln 0, 5 ln 0,5 5 2kV k 5 2 . V t /V ⎛ ln 0 ,5 ⎞ t 2⎜ 2 ⎛ 1⎞ ⎟t ln 0 ,5? V 5 C ⎜ ⎟ Por tanto, C(t) 5 C 0 ? e ⎝ V ⎠ 5 C 0 ? e 0 ⎝ 2⎠ b) La vida media del radio es de 1 620 años, por tanto:

potente que el del norte de Chile y 109 : 107,6 5 25,1 más que el de Pakistán. 38. El terremoto más potente registrado en la Península Ibérica se produjo en Lisboa en 1755 y alcanzó una magnitud de 8,75 en la escala de Richter. En diciembre de 1993, hubo un terremoto en Almería con una potencia 5 623,4 menor que la del de Lisboa. ¿De qué magnitud en la escala de Richter fue el terremoto de Almería? Potencia del terremoto de Lisboa: 108,75 5 562 341 325,2 Potencia del terremoto de Almería: P P 5 100 000,2357 Sabemos que 562 341 325,2 5 5 623,4 ? P Magnitud del terremoto de Almería: M 5 log 100 000,2357 5 5.

j Cuestiones básicas 1. Sabiendo que loga x 5 b a b 5 x, halla: b) loga a3; c) lne6. a) log3 81; a) log3 81 5 4;

b) loga a3 5 3;

2. Halla con la calculadora: a) log327 a) log327 5 2,5145 3. Resuelve las ecuaciones: a) 3x 5 81 a) 3 5 81

x 5 4

x

c) ln e6 5 6

b) ant log 4, 28 b) ant log 4, 28 5 1 9054,6

2 21

5 27

x 2 21

527

b) 3x b) 3

x 5 62

4. Resuelve la ecuación 3x 5 10 . 3 x 510

x 5 2,0959

t / 1620

⎛ 1⎞ C(t) 5 C 0 ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ c) C(1 500) 5 10(0,5)1 500/1 620 5 5,263 g

Observa: La diferencia con la cantidad obtenida en el Ejemplo resuelto 8 es debida a los redondeos. 37. Al famoso terremoto de San Francisco de 1906 se le ha calculado una intensidad de 8,25 en la escala de Richter. El 26 de diciembre de 2004, el maremoto que produjo el devastador tsunami del Sudeste Asiático tuvo una intensidad de 9,0, en la misma escala de Richter. El 13 de junio de 2005 se produjo un terremoto en el norte de Chile con intensidad 7,9 y el 8 de octubre de 2005 se produjo otro en Pakistán con intensidad 7,6, ambos en la misma escala. ¿Cuántas veces más intenso fue el maremoto del sudeste asiático que los otros terremotos citados? Potencia de cada terremoto: San Francisco: 108,25 5 177 827 941 Sudeste asiático: 109 5 1 000 000 000 Norte de Chile: 107,9 5 79 432 823,47 Pakistán: 107,6 5 39 810 717,06 El maremoto del sudeste asiático fue 109 : 108,25 5 5,6 veces más potente que el de San Francisco; 109 : 107,9 5 12,6 veces más


5. Resuelve: a) logx 36 5 2 a) log x 36 52

x 5 6

x b) log 52 5 x b) log 52 5

x 5 500

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?: a) f (x)52x es creciente siempre. b) g(x)50 ,5 x es decreciente siempre. c) h(x )53x puede tomar valores negativos. a) f ( x )52 x es creciente siempre. b) g( x ) 50, 5 x es decreciente siempre. c) h( x )53 x puede tomar valores negativos. (Falsa) 7. Dada f (x)52 ,5 x , calcula su valor para x 5 21, 0, 1 y 2. Con esos valores traza su gráfica. Valores: Respectivamente: 0,4; 1; 2,5; 6,25 8. Indica las igualdades que son verdaderas: log A A 5 log a) log(A 2 B) 5 log A 2 log B b) log B B A d) n log A 5 log An c) log A 2 log B 5 log B

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e) (log A)n 5 n log An

f) 3 1 log A 5 log(3 000A)

a) log(A 2 B) 5 log A 2 log B (Falso) log A A b) 5log (Falso) log B B A c) log A 2 log B 5 log (Verdad) B d) n ? log A 5 log An (Verdad) e) (log A)n 5 n ? log An (Falso) f) 3 1 log A 5 log(3000A) (Falso)


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9. Una colonia de 2 500 murciélagos aumenta su número anualmente un 12 %. ¿Cuántos murciélagos habrá al cabo de 6 años? 2 500 ? 1,126 5 4 934 10. La vida media de un isótopo radiactivo es 4 días. ¿Qué porcentaje de ese isótopo quedará en una muestra al cabo de 16 días? (Utiliza el resultado del Problema Propuesto 36.) 100 ? (1/2)16/4 5 6,25 %

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SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y APLICACIONES ECONÓMICAS

j ACTIVIDADES 1. Determina la expresión del término general de las siguientes sucesiones: a) 1, 4, 9, 16, 25,… b) 5, 10, 15, 20, 25,… 1 3 5 7 c) , , , ,... 1 4 9 16 Halla el valor de los términos a12, b100 y c30. a) Es la sucesión de cuadrados: an 5 n2 a12 5122 5144. b) Es la sucesión de los múltiplos de 5: bn 55n b100 5500. c) En el numerador tenemos los números impares, en el denominador los cuadrados: 2n 21 59 . c n 5 2 c30 5 900 n n 13 es decreciente. Comn 11 prueba que está acotada inferiormente por k 5 1.

2. Demuestra que la sucesión an 5

Hay que ver que an $ an11. (n 1 1 ) 1 3 n 1 4 n 1 3 Esto es: an11 5 5 , 5 an. (n 1 1 ) 1 1 n 1 2 n 1 1 En efecto, multiplicando en cruz: (n 1 4) ? (n 1 1) , (n 1 2) ? (n 1 3) n2 1 5n 1 4 , n2 1 5n 1 6, que es cierto, pues 4 , 6. n 13 Veamos que an $1. En efecto, $ 1 pues el numerador es n 11 siempre mayor que el denominador. n 23 : 4n 1 1 a) Demuestra que es creciente y acotada superiormente por k 5 1/4. b) ¿A partir de qué término se cumple que an 0, 249? c) Di cuál es su límite.

3. Dada la sucesión an 5

3n2 11 5`. El grado del numerador es mayor que el del 5n 110 denominador. n14 c) lím 2 5 0. El grado del numerador es menor que el n 2 n 13 del denominador. b) lím

5. Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas: a) 28, 25, 22, 1,... b) 3, 9, 15, 21,… c) 1/2, 1, 3/2, 2,… Para cada caso halla el término vigésimo séptimo. a) d 5 3 b) d 5 6 c) d 5 3

an 528 13(n 21) 53n 211 a27 570 bn 53 16(n 21) 56n 23 b27 5159 1 1 c n 5 1 (n 21) 5 0, 5n c27 513, 5 2 2

6. Comprueba si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas, halla el término general y el valor del término noveno. a) 2, 1, 1/2, 1/4,… b) 1,02, 1,022, 1,023,... c) 3, 3,3, 3,33, 3,333,… 1 1/2 1/4 1 1 1/2 1/4 1 5 5 5 . La razón es r 5 .5 5 5 1/2 2 1/2 2 2 1 2 1 n21 1 2 1 El término general será an 52 ? 5 n2 15 n2 2 2 2 2 1 a9 5 7 2 b) r 5 1,02 an 51, 02n a9 51, 029 c) No es una progresión geométrica. No obstante, a9 5 3,33333333.

a) Efectivamente:

7. Halla las siguientes sumas: a) 3 1 3,5 1 4 1 4,5 1 … (175 términos) b) 70 1 67 1 64 1 … (100 términos)

n 22 n 23 5 2 a) Es una progresión aritmética de diferencia 0,5. 4 n 1 5 4 n 11 Como a1 5 3 y a175 5 3 1 174 ? 0,5 5 90, se tendrá: (n 22)(4 n 11) 2(n 23)(4 n 15) 13 , 5 5 (3 190) ?175 5 5 8137, 5. (4 n 15)(4 n 11) (4 n 15)(4 n 11) 2 expresión que siempre toma valores positivos. Por tanto la b) Es una progresión aritmética de diferencia 23. sucesión es creciente. Como a1 5 70 y a100 5 70 1 99 ? (23) 5 2227, se tendrá: n 23 1 (70 2227) ?100 Acotada: an 5 # para todo n, pues 4n 2 12 # 4n1 5 527 850 . 4 n 11 4 2 11, como resulta evidente. n 23 b) an .0, 249 . 0, 249 n 2 3 . 0,996n 1 0,249 8. Halla las siguientes sumas: 4 n 11 a) 1 1 2 1 4 1 8 1 … (20 términos) 0,004n . 3,249 n . 812,25. b) 10 2 5 1 2,5 2 1,25 1 … (infinitos términos) A partir del término a813 todos los siguientes son mayores que 0,249. 1 ?(220 21) a) r 5 2 S 5 51 048 576 c) Su límite es 0,25. 2 21 10 10 20 4. Indica el límite de las siguientes sucesiones: b) r 5 21/2 S 5 5 5 3 12(21/2) 3/2 2n 1 1 3n2 1 1 n1 4 a) an 5 ; b) an 5 ; c) an 5 2 . n 17 5n 1 10 n 2 n13 9. Cuando cumplas 18 años, siguiendo el ejemplo de tu tío, 2n 11 vas a depositar en una cartilla de ahorros 20 € todos los a) lím 52. Numerador y denominador tienen el mismo n 17 meses. Si el tipo de interés es del 6 %, ¿cuánto dinero ten grado. drás 40 años después? a) an11 2 an 5


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El capital acumulado es C 5

M(1 1 r ) (1 1 r )12t 21

, con M 5 20;

r r 5 0,06/12 5 0,005; t 5 40. 20(1 1 0, 005) (1 1 0, 005)480 21 5 40 028,96 Luego, C 5 0, 005

Un número pertenece a una sucesión cuando se obtiene de su expresión general para algún valor de n. Esto es, un número k pertenece a la sucesión an cuando la ecuación an 5 k tiene por solución un número natural. a) La sucesión an 56n 25. Como 6n25 5546 n 5 91,83 no es natural, 546 no es de la sucesión an. Como 6n25 527 n 5 5,33 no es natural, 27 no es de la sucesión an. Como 6n25 51201 n 5 201, el número 1 201 es el término a201 de la sucesión an. b) 4 n23 5546 n 5 137,25; por tanto 546 no es de la sucesión bn. 4 n23 527 n 5 7,5; por tanto 27 no es de la sucesión bn. 4 n23 51201 n 5 301; por tanto 1 201 es el término b301 de la sucesión bn. c) La ecuación 2n2 23n 17 5546 2n2 23n 2539 5 0, que no tiene solución natural; por tanto, 546 no es de la sucesión c n. La ecuación 2n2 23n 17 527 2n2 23n 220 5 0, que tiene por solución n 5 4; por tanto, 27 es el término c 4 de la sucesión c n. La ecuación 2n2 23n 17 51201 2n2 23n 21194 5 0, que no tiene solución natural; por tanto, 1201 no es de la sucesión c n.

Un interés anual del 4,68 % equivale a una tasa mensual de r 5 0,0468/1250,0039. El número de meses es n 5 20 ? 12 5 240. Por tanto: 150 000(1 1 0, 0039)240 ? 0, 0039 a5 5963, 61 € (1 1 0, 0039)240 21

j Problemas propuestos Tipo I. Sucesiones 1. Halla el término siguiente de cada una de las sucesiones: a) 0, 9, 18, 27, 36,… b) 0, 9, 17, 24, 30,… c) 1, 9, 18, 28, 37,… d) 1, 9, 10, 19, 20,… 45 30 1 5 5 35 (cada vez se suma uno menos.) 39 1 12 5 51 (cada vez se suma uno más) La secuencia es 1, 1 1 8, 1 1 8 1 1, 1 1 8 1 1 1 9, 1 1 8 1 1 1 9 1 1,...

2. Para las sucesiones a) y b) del problema anterior: 1. Da el término general de la a); 2. ¿Es creciente la b)? 1. an 5 9n21 2. Como cada vez se suma uno menos, llegará un momento en que se restará. Puede verse que: a7 539 y sigue: 42, 44, 45, 45, 44, 42,… 3. Dadas las sucesiones: a) 1, 1/2, 1/3, 1/4,… b) 1, 10, 100, 1 000,… Para cada una de ellas: 1) halla su término general; 2) sus cotas superior e inferior, si las tienen. 1 a) an 5 . n Sus cotas son: inferior, 0; superior, 1. 1 Es evidente, pues 0 , # 1, ya que n $ 1. n b) an 510n21. Está acotada inferiormente por 1. No tiene cota superior, pues 10k . k para cualquier valor de k grande.


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4. ¿A cuál de las siguientes sucesiones pertenecen los números: 546, 27, 1 201? b) bn 54n2 3 a) {an} 5 {1, 7, 13, 19,…} c) cn 52n2 2 3n1 7

10. Otrobanco ofrece los 150 000 euros a un interés anual del 4,68 %, con la posibilidad de pagarlos en 20 años. ¿A cuánto ascenderán las cuotas mensuales en esas condiciones?

a) b) c) d)

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n 13 : creciente o decreciente? n 11 Con la información obtenida halla sus cotas inferior y superior.

5. Cómo es la sucesión an 5

Comparamos an y an11. (n 11) 13 n 13 n 1 4 n 13 5 2 5 2 (n 11) 11 n 11 n 12 n 11 (n 1 4)(n 11) 2(n 13)(n 12) 22 5 , 5 (n 12)(n 11) (n 12)(n 11) que toma valores negativos para todo n. Por tanto, la sucesión es decreciente. 1 13 Si es decreciente, el mayor término es a1 5 52. Luego 1 11 k 5 2 es una cota superior. n 13 es siempre mayor que Como el numerador de la fracción n 11 el denominador, n 1 3 . n 11, una cota inferior será 1; esto es n 13 $ 1. n 11 an11 2 an 5

6. La división entera de cualquier número natural entre 4 da de resto 0, 1, 2 o 3. Escribe las cuatro sucesiones que se obtienen atendiendo a cada uno de esos restos. Halla el término general de cada una de ellas. Indica a cuál de ellas pertenecen los números 12 401, 2 453 y 571. Sucesión de números con resto 0: 0, 4, 8, 12,… Sucesión de números con resto 1: 1, 5, 9, 13,…

4n 2 4 4n 2 3

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Sucesión de números con resto 0: 2, 6, 10, 4, … 4n 2 2 Sucesión de números con resto 0: 3, 7, 11, 15, … 4n 2 1 En las sucesiones anteriores, n $ 1. Nota: Si suponemos que n $ 0, los términos generales serán, respectivamente: 4n; 4n 1 1; 4n 1 2; 4n 1 3. Con esto: 12 401 5 4 ? 3 100 1 1; 2 453 5 4 ? 613 1 1; 571 5 4 ? 142 1 3 7. Halla el término general de las siguientes sucesiones: a) 1, 4, 9, 16,… b) 1/2, 4/3, 9/4, 16/5,… c) 2/4, 5/6, 10/8, 17/10,… d) 1, 24, 9, 216,… a) an 5 n2 n2 b) an 5 n 11 n2 1 1 c) an 5 2(n 11) d) an 5(21)n21 n2

8. Dada la sucesión {2, 3/4, 4/9, 5/16, 6/25,…}, halla: a) Su término general y los términos décimo y vigésimo. b) A partir de qué término an 0,001. c) ¿Cuál es su límite? a) Si escribimos 2 5 2/1, se observa los numeradores de las sucesivas fracciones son números consecutivos, empezando por 2; y los denominadores las potencias de 1, 2, 3,… Luen 11 go, an 5 2 . n 11 21 Por tanto: a10 5 y a20 5 . 100 400 n 11 b) an ,0, 001 2 , 0, 001 n 1 1 , 0,001n2 n n2 21 000n 21 000 . 0 n $ 1 001. n 11 c) lím 2 5 0. n

a n ,

1 . n2

1 1 1 , 2 , n. 2 n n

Para 5 0,001, n0 5 1 000 531, 6. Esto significa que todos los términos siguientes a a31 están a menos de 0,001 de 0. 10. Considera las sucesiones: {an} 5 {1, 7, 13, 19,…} y {bn} 5 {5, 8, 11, 14,…} a) Halla el término general de cada una de ellas. ¿Cuánto valen a300 y b35? a b) Halla la expresión de la sucesión cn 5 n . ¿A partir de bn


{ }

a) Para {an} 5 {1, 7, 13, 19,…}, cada uno de los términos dados se obtiene sumando 6 al anterior. Por tanto, an 56n 25. Para {bn} 5 {5, 8, 11, 14,…}, cada uno de esos números se obtiene sumando 3 al anterior. Por tanto bn 53n 12. an 6n 25 . b) c n 5 5 bn 3n 12 6n 25 c n .1, 9 . 1, 9 6n 2 5 . 5,7n 1 3,8 3n 12 0,3n . 8,8 n . 29,33… Luego c n .1, 9 a partir de n 5 30. Vamos a calcular el límite transformando la sucesión dada: 5 6n 5 62 2 6n 25 n 5 6 52 n n lím 5 lím 5 lím 2 3n 2 3 3n 12 31 1 n n n 11. Indica el valor de los siguientes límites: 6n b) lím 2 ; a) lím 2 n2 5 ; n 11 6n2 1 3n n 2 c) lím 2 ; d) lím ⎡⎣(21) n 2 5n⎤⎦; 2n 2 7n 1 1 n 25 2n2 11 e) lím ; f) lím . 2n 1 7 3 22n

Tipo II. Límites de sucesiones

9. Lo mismo que en el problema anterior para an 5

qué término de cn los siguientes valen más de 1,9? Calcula su límite.

(

)

(

)

a) lím 2n 25 51 (Sucesión de tipo polinómico) 6n 5 0 (El grado del numerador es menor que el del b) lím 2 n 11 denominador) 6n2 13n 6 c) lím 2 5 5 3 (Numerador y denominador tienen 2n 27n 11 2 el mismo grado) d) lím ⎡⎣(21)n n2 25n ⎤⎦ no existe, tiende alternativamente a 1  y a 2  n 25 1 5 2 (Numerador y denominador tienen el mise) lím 2 3 22n mo grado) 2n2 11 f) lím 5 2 (El grado del numerador es mayor que el 2n 17 del denominador)

Tipo III: Progresiones aritméticas 12. Halla el término cuadragésimo octavo de la progresión aritmética de diferencia 3 y primer término 11. El término general es an 511 13(n 21) 53n 1 8. Por tanto a48 53 ? 48 1 8 5152. 13. Halla el término el término general de la progresión aritmética de diferencia 5 y a8 5 19. ¿Cuánto vale el término cuadragésimo octavo? Como a8 5 a1 17d 19 5a1 17 ? 5 a1 5216, su término general será: an 5216 15(n 21) 55n 221. Por tanto: a48 55 ? 48 2 21 5219.

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14. Intercala 4 términos en progresión aritmética entre 110 y 150. Si se intercalan 4 términos, en total habrá seis, con a1 5 110 y a6 5 150. Como a6 5 a1 1 5d 150 5 110 1 5d 5d 5 40 d 5 8, la progresión será: 110, 118, 126, 134, 142, 150. Nota: En este problema y en el siguiente se puede hacer mención a la interpolación lineal. 15. Intercala6 términos en progresión aritmética entre 80 y 124. Si se intercalan 6 términos, en total habrá ocho, con a1 5 80 y a8 5 124. Como a8 5 a1 1 7d 124 5 80 1 7d d 5 44/7. La progresión será: 44 604 44 648 692 736 780 824 , 80 12 ? 5 , , , , , 80, 80 1 5 7 7 7 7 7 7 7 7 868 5124. 7

21. La suma de tres números que están en progresión aritmética es 48. Hállalos si además se sabe que el mayor menos el mediano, menos el doble del pequeño es igual a 1. Sea x, y, z los números. ⎧ x 1 y 1 z 5 48 Se cumple que: ⎨ z 2 y 2 2 x 51 ⎩⎪ Como y 5 x 1 d y z 5 x 1 2d, sustituyendo queda: ⎧3 x 13d 5 48 an ⎨ x 5 5; d 5 11. ⎩⎪ 22 x 1 d 51 Los números son: 5, 16 y 27. 22. ¿Cuántospalillos se necesitan para formar una tira de 200 pentágonos como los de la figura siguiente?

16. Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética, hállalos si el mayor vale 100º. 100 1 100 2 d 1 100 2 2d 5 180 300 2 180 5 3d d 5 120/3 5 40. Los ángulos valdrán 100º, 60º y 20º.

17. De una progresión aritmética se sabe que a4 5 2 y d 5 0,6. Halla: a) a1 y a15. b) La suma de los quince primeros términos. a) a4 5 a1 13d 2 5a1 13 ? 0, 6 a1 5 0, 2 Por tanto, a15 5 0, 2 114 ? 0, 6 5 8, 6. (0, 2 1 8, 6) ?15 b) S 5 566 2 18. Halla los lados de un triángulo rectángulo si se sabe que están en progresión aritmética de diferencia 3 cm. La medida de los lados será: a, a 1 3 y a 1 6, siendo este último la hipotenusa. Por Pitágoras: (a 16)2 5(a 13)2 1 a2 a2 26a 227 5 0 a 5 9 (la solución a 5 23 no tiene sentido). Los lados miden 9, 12 y 15 cm. 19. Suma 200 1 201 1 202 1 … 1 299. Es la suma de 100 números consecutivos: (200 1299) ?100 S5 5 24 950. 2 20. Halla los seis primeros números naturales que al dividirlos por 7 dan de resto 3. Comprueba que están en progresión aritmética. ¿Cuál es la expresión general de todos los números naturales que al dividirlos por 7 dan de resto 3? Serán: 3, 10, 17, 24, 31 y 38. Efectivamente están en progresión aritmética de diferencia 7. Su término general es: an 53 1(n 21) ? 7 57n 2 4.


67

Fig. 9.1.

Para formar un pentágono se necesitan 5 palillos. Para formar 2 pentágonos, 4 palillos más; para 3 pentágonos, otros 4 más; … Es una sucesión aritmética de términos 5, 9, 13,…, con d 5 4. El término 200 será: a200 55 1199 ? 4 5 801.

Tipo IV: Progresiones geométricas 23. Halla el término octavo de la progresión geométrica de razón 0,5 y primer término 32. El término general es an 5 a1 r n21. 25 1 Por tanto, a8 532 ? 0, 57 5 7 5 . 2 4 24. Hallael primer término de la progresión geométrica de razón 1/3 y a4 5 9. Halla también a8. a1

a1 5243. 27 243 1 Por tanto: a8 5243 ?(1 / 3)7 5 7 5 . 3 9 Como a4 5 a1 r 3 9 5 a1 (1 / 3)3 5

25. ¿Pueden los números 4, 6 y 9 ser términos consecutivos de una progresión? Si es así, da los dos siguientes términos. No son de una progresión aritmética, pues 6 2 4  9 2 6. 6 9 3 Son de una progresión geométrica, pues r 5 5 5 . 4 6 2 3 27 27 3 81 Los dos términos siguientes serán 9 ? 5 y ? 5 2 2 4 2 2 26. Halla la suma 4 1 0,4 1 0,04 1 0,004 1 … (infinitos términos). ¿Coincide con la fracción generatriz del número periódico 4, 4? Es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón 0,1 y primer término igual a 4: a1 5 4, r 5 0,1. Por tanto: 4 4 40 4 1 0,4 1 0,04 1 0,004 1 … 5 5 5 . 1 2 0, 1 0, 9 9

12/5/08 11:46:56

68

09


b) ¿Cuántas veces debe rebotar para que la siguiente altura no supere 1 metro?

Es evidente que coincide con la fracción generatriz de 4, 4, pues 4 1 0,4 1 0,04 1 0,004 1 … 5 4,444… 5 4, 4. 27. Considera la siguiente sucesión indefinida de circunferencias, cuyos radios están en progresión geométrica de razón 1 3 , siendo el radio del mayor 16 cm. 2 4

3 a) Primer bote: a1 564 ? 5 48. 4 Después de botar cinco veces, la altura que alcanza es: 3 5 243 5 515, 1875. a5 564 ? 4 16 b) Hay que determinar n para que an ,1. Esto es: n

16 cm

Fig. 9.2.

a) Halla la suma de las longitudes de todas ellas. b) Halla la suma de las superficies de todos los círculos.

16

8

4

2

...r 5 1/2

Sucesión de longitudes (2pr)

2p ? 16 5 32p

16p 8p

4p

...r 5 1/2

Sucesión de áreas (pr2)

p ? 162 5 256p 64p 16p 4p

...r 5 1/2

Se tiene: ⎧⎪a2 1 a4 1 a6 53255 ⎧⎪a1 r 1 a3 r 1 a5 r 53255 ⎨ ⎨ ⎪⎩ a1 1 a3 1 a5 5651 ⎩⎪ a1 1 a3 1 a5 5651 (a1 1 a3 1 a5 )r 53255 651r 53255 r 5 5 Como a1 1 a1 ? 52 1 a1 ? 54 5651 a1 51. Los seis números son: 1, 5, 25, 125, 625 y 3125.

32p 564 p 1 21 / 2 1 024 p 256p b) S Áreas 5 5 1 21 / 4 3 a) SLongitudes 5

Tipo V. Aplicaciones de las progresiones: planes de pensiones e hipotecas

28. Intercala un término positivo en progresión geométrica entre 10 y 250.

33. Un empleado de banca ha estado aportando 80 € mensuales, durante 20 años, para formar un plan de pensiones. Si recibe un interés del 5 %, ¿cuánto dinero tendrá acumulado al cabo de esos 20 años?

La progresión será: 10, 10r, 10r 2 5 250 r 2 5 25 r 5 5 La progresión es: 10, 50, 250 29. Intercala dos términos en progresión geométrica entre 4 y 2108. La progresión será: 4, 4r, 4r 2, 4r 3 5 2108 r 5 3 227 523 La solución es: 4, 212, 36, 2108.

n

32. En una progresión geométrica de seis términos la suma de los términos pares es 3 255, mientras que la de los términos impares es 651. Halla cada uno de esos números.

Hay tres sucesiones: Sucesión de radios

n

3 3 1 3 1 , 1 , log , log 4 4 64 4 64 3 1 n log , log (como log(3/4) es negativo) 4 64 log(1 / 64) n. 514, 46. log(3 / 4) Después del rebote décimo quinto la pelota no superará la altura de 1 m. an 564 ?

r 3 5 227

30.Intercala tres términos en progresión geométrica entre 2 y 1 250.

La fórmula que da la cantidad total de dinero que tendrá en su cuenta es: M(1 1 r ) (1 1 r )n 21 , siendo M la cantidad mensual, n el C5 r número de meses y r la tasa mensual. En este caso: M 5 80 €, n 5 12 ? 20 5 240 y r 5 0,05/12 5 0,004166. Luego: 80 ?(1, 004166) (1, 004166)240 − 1 C5 533 019,70 € 0, 004166

La progresión será: 2, 2r, 2r 2, 2r 3, 2r 4 5 1 250 r 4 5 625 r 5 4 625 565 Hay dos soluciones: Progresión: 2, 10, 50, 250, 1 250; o bien: 34. Si se aportan 120 € mensuales a un plan de pensiones, a 2, 210, 50, 2250, 1 250. un 6 % de interés nominal, ¿cuánto dinero se acumulará al cabo de 32 años? 31. Una pelota cae desde 64 m de altura. Si las alturas alcanzar 5 0,06/12 5 0,005, n 5 12 ? 32 5 384 das en los sucesivos rebotes están en progresión geométri1 3 120 ?(1 1 0, 005) (1 1 0, 005)384 21 ca de razón : C5 5139616, 32 € 2 4 0, 005 a) ¿Qué altura alcanzará tras el quinto rebote?


12/5/08 11:47:03

09


35. Una mujer subscribe un plan de pensiones con un cuota mensual de 150 € y a un interés anual del 8 %. ¿Cuántos años deberá estar pagando esa cantidad si quiere acumular 300 000 €? M(1 1 r ) (1 1 r )n 21 , Habrá que despejar n en la fórmula C 5 r que da la cantidad acumulada. M(1 1 r ) (1 1 r )n 21 Cr 11 5(1 1 r )n C5 M ( 1 1r) r ⎞ ⎛ Cr log ⎜ 11⎟ ⎛ Cr ⎞ ⎝ M(1 1 r ) ⎠ 11⎟ 5 n log(1 1 r ) n 5 log ⎜ . ⎝ M(1 1 r ) ⎠ log(1 1 r ) Como C 5 300 000, M 5 150 y r 5 0,08/12 5 0,00666 ⎛ 300 000 ? 0, 00666 ⎞ log ⎜ 11⎟ ⎝ 150(1, 00666) ⎠ log 14, 2319 n5 5 5 400, 04 melog(1 1 0, 00666) log 1, 00666

69

Al 12 % anual con cuotas mensuales, r 5 0,12/12 5 0,01. La amortización mensual (n 5 12 meses) será: 900(1 1 0, 01)12 ? 0, 01 a5 579, 96 €al mes. (1 1 0, 01)12 21 (Ver tabla en la parte inferior de la página). 39. Un ordenador cuesta 900 € al contado. Si lo pagas a plazos mensuales durante 2 años, ¿cuál será la cuota de pago si el tipo de interés anual es: a) del 15 %; b) del 21 %; c) del 27 %? a) Al 15 % anual, r 5 0,15/12 5 0,0125. La amortización será: 900(1 1 0, 0125)24 ? 0, 0125 a5 5 43, 63 € al mes. (1 1 0, 0125)24 21 b) Al 21 % anual, r 5 0,21/12 5 0,0175. La amortización será: 900(1 1 0, 0175)24 ? 0, 0175 a5 5 46, 25 € al mes. (1 1 0, 0175)24 21 c) Al 27 % anual, r 5 0,27/12 5 0,0225. La amortización será: 900(1 1 0, 0225)24 ? 0, 0225 a5 5 48, 94 € al mes (1 1 0, 0225)24 21

ses 33 años y 4 meses. 36. Un coche cuesta 24 000 €. Si se paga a plazos mensuales, a un interés del 9 % anual, ¿cuánto deberá pagarse mensualmente durante 5 años?

40. Calcula la cuota de amortización mensual que hay que pagar por un crédito de 20 000 € al 8 % anual durante 5 años.

Al 9 % anual pagadero mensualmente, r 5 0,09/12 5 0,0075. La amortización mensual (n 5 60 meses) será: 24 000(1 1 0, 0075)60 ? 0, 0075 a5 5 498, 2 € al mes (1 1 0, 0075)60 21

Al 8 % anual pagadero mensualmente, r 5 0,08/12. La amortización mensual (n 5 60 meses) será: 20 000(1 1 0, 08 / 12 )60? 0, 08 / 12 a5 5 405, 53 € al mes. (1 1 0, 08 / 12 )60 21

37. Para el mismo préstamo de 24 000 € al 9 % anual, ¿cuánto será la cuota de amortización si la frecuencia de pago es trimestral? (La primera cuota se paga tres meses después de concedido el préstamo.)

41. Para el mismo crédito de 20 000 € al 8 % anual, durante 5 años: a) ¿A cuánto ascenderá la cuota de amortización semestral? b) ¿Y la cuota de amortización anual?

Al 9 % anual con cuotas trimestrales, r 5 0,09/4 5 0,0225. La amortización trimestral (n 5 20 trimestres) será: 24 000(1 1 0, 0225)20 ? 0, 0225 a5 51503, 41 € al mes. (1 1 0, 0225)20 21 38. Indica, paso a paso, siguiendo el esquema de la página 198 del libro del alumno el proceso de pago de un préstamo de 900 €, al 12 % anual, mediante 12 cuotas mensuales.

Primer mes Mes 2º Mes 3º Mes 4º Mes 5º Mes 6º Mes 7º Mes 8º Mes 9º Mes 10º Mes 11º Mes 12º


a) Al 8 % anual pagadero semestralmente, r 5 0,08/2 5 0,04. La amortización semestral (n 5 10 cuotas) será: 20 000(1 1 0, 04)10 ? 0, 04 a5 52 465, 82 €. (1 1 0, 04)10 21 b) Para cuotas anuales (r 5 0,08 y n 5 5), se tendrá: 20 000(1 1 0, 08)5 ? 0, 08 a5 55 009, 13 €. (1 1 0, 08)5 21

Deuda inicial en cada periodo

Deuda al cabo de un mes (Inicial 3 1,01)

Amortización (Pago de 79,96 €)

Pendiente tras amortización

Capital amortizado

Intereses pagados

900,00 829,04 757,37 684,98 611,87 538,03 463,45 388,13 312,05 235,21 157,60 79,22

909,00 837,33 764,94 691,83 617,99 543,41 468,09 392,01 315,17 237,56 159,18 80,01

79,96 79,96 79,96 79,96 79,96 79,96 79,96 79,96 79,96 79,96 79,96 79,96

829,04 757,37 684,98 611,87 538,03 463,45 388,13 312,05 235,21 157,60 79,22 10,05 0

70,96 71,67 72,39 73,11 73,84 74,58 75,33 76,08 76,84 77,61 78,38 79,17

9,00 8,29 7,57 6,85 6,12 5,38 4,63 3,88 3,12 2,35 1,58 0,79

12/5/08 11:47:10

70

09



a) No b) Sí; d 5 0,6 c) Sí; d 5 21

1. Halla el siguiente término de las sucesiones: a) 1, 10, 18, 25,… b) 10, 9, 7, 4,… a) Cada vez se suma uno menos: 19, 18, 17, 16 b) Cada vez resta uno más: 21, 22, 23, 24 0

31

2. Halla el término general de las sucesiones: a) 2, 20, 200, 2 000,… b) 100, 97, 94, 91,… a) 2, 20, 200, 2 000,… (p.g. de razón 10: an 52 ?10 b) 100, 97, 94, 91,… (p.a. de diferencia 23: an 5100 1(n 21) ?(23) 5103 23n 3. Demuestra que la sucesión an 5

n21

)

2n 2 5 es creciente. n

2n 23 2n 25 5 an11 2 an 5 2 n 11 n (2n 23) ? n 2(2n 25) ?(n 11) 6 5 5 .0 (n 11)n (n 11)n 4. Dando valores grandes a n indica el número al que se acerca 5n 1 3 . la sucesión an 5 2n 1 7 2503 503 52, 42995; a500 5 52, 48560; 207 1 007 5 003 a1000 5 52, 49278 an 2,5. 2 007 a100 5

5. De las siguientes sucesiones indica las que son progresiones aritméticas y halla su diferencia: a) 3, 3,1, 3,01, 3,001,… b) 3, 3,6, 4,2, 4,8,… c) 10, 9, 8, 7,…


6. De las siguientes sucesiones indica las que son progresiones geométricas y halla su razón: a) 3, 3,1, 3,01, 3,001,… b) 1, 1/2, 1/4, 1/8,… c) 1, 1/2, 1/3, 1/4,… a) No 1 1 b) Sí;cr 5 5 1 (n 21) 5 0, 5n n 2 2 c) No 7. Calcula la suma de los 18 primeros términos de la progresión: 4, 9, 14,… a18 5 4 117 ? 5 589 S 5

(4 189) ?18 5837 2

8. Calcula la suma de los 8 primeros términos de la progresión: 1, 2, 4, 8,… a8 527 5128 S 5

1 ?(28 21) 5255 2 21

9. Calcula la siguiente suma indefinida: 5 1 0,5 1 0,05 1 1 0,005 1 … r 5 0,1; S 5

5 50 5 1 2 0, 1 9

10. ¿Cuál será la cuota de amortización mensual para un préstamo de 1 000 €, al 12 % anual, durante 2 años? a5

1 000(1 1 0, 01)24 ? 0, 01 5 47, 07 € (1 1 0, 01)24 21

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10

FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

j ACTIVIDADES 1. La incidencia de los rayos de sol y la temperatura del agua en el mar Cantábrico se ajustan al siguiente ciclo: 1) La incidencia del sol alcanza su máximo en junio y julio (con una 200 horas de insolación mensuales); el mínimo en diciembre y enero (con unas 85 horas mensuales). 2) La temperatura alcanza el máximo en agosto y septiembre (con unos 15 ºC); el mínimo en febrero y marzo (alrededor de 8 ºC). Dibuja dos ciclos anuales, en la misma figura, que ilustren los fenómenos descritos. 2. a) Expresa en radianes los siguientes ángulos: 230º, 2120º, 210º, 300º, 450º y 720º. Represéntalos gráfica- mente en la circunferencia. b) Expresa en grados 4, 5, 3p/5, 2p/2 y 23p/2 radianes. p a) 230º52 ; 6 5p 300º5 ; 3

2120º52

2p ; 3

5p 450º5 ; 2

210º5

7p ; 6

5p 2108 5 2 ––– 6 2p 21208 52 ––– 3

1 2 3 4 5 6 7

22

x

f(x)5 cos x 21

Fig. 10.2.

y 12 1

p/2

f(x) 5 cos x 3p/2 2p

1 2 3 4 5 6 7 f(x) 5 cos (x 1 2)

21 22

x

Fig. 10.3.

c) Su periodo es p 5 4p. y 1

p/2

f(x) 5 cos x 3p/2 2p

1 2 3 4 5 6 7 8 9

21

22

x

f(x) 5 cos (x/2)

Fig. 10.4.

5. Utilizando la calculadora, halla: a) arcsen(21) b) arccos (21) c) arctag 3 Da el resultado en grados y en radianes.

08 2p p 2308 5 2–– 6 5p 3008 5 ––– 3

5 rad 5 286,48; 2p/2 5 290º;

f(x)5 cos x 3p/2 2p

b) Se traslada 2 unidades hacia la derecha.

720º 5 4p

Fig. 10.1.

b) 4 rad 5 229,184º; 3p/5 rad 5 108º; 23p/2 rad 5 2270º

p/2

21

5p 4508 5 ––– 2

1808 p

y

1

71

a) arcsen(21) 5 290º 5 270º 5 2p/2 5 3p/2 b) arccos (21) 5 180º 5 3,14... 5 p p c) arctag 3 5 60º 5 1,047… 5 3

6. Resuelve las ecuaciones trigonométricas: a) 1 2 2sen x 5 3; 3. a) Sabiendo que sen a 5 0,5 y 0 a 90, halla el valor de b) cos 2x 5 1/2 cos a y el de tag a. Representa gráficamente las funciones f (x)52 senx y b) Sabiendo que cos a 5 0,8 y que 270 a 360, halla el g(x)5 cos 2x y da una interpretación gráfica de las soluvalor de sen a y de tag a. ciones halladas. a) 0,52 1 cos2 a 5 1 ⇒ cos a51 0, 75 (para ángulos del a) 1 2 2sen x 5 3 ⇒ sen x 5 21 ⇒ x 5 arcsen (21) ⇒ primer cuadrante el coseno es positvo.) ⇒ tag a 5 3p ⇒ x 5 12kp; 0, 5 5 2 5 0, 577; 5p p 0, 75 b) cos 2x 5 1/2 ⇒ 2 x 5 12kp o 2 x 5 12kp ⇒ b) sen2 a 1 (0,8)2 5 1 ⇒ sen2 a 5 0,36 ⇒ 3 3 5p p ⇒ x 5 + kp o x 5 1 kp sen a 5 2 0, 36 520, 6 (para ángulos del cuarto cuadrante 6 6 20, 6 el seno es negativo) ⇒ tag a 5 521, 2. Gráficamente: 0, 5 4. Dibuja a partir de la función f (x)5 cos x, las gráficas de las funciones: a) f (x) 5 cos x 21; b) f ( x)5cos( x22); x c) f (x)5 cos . 2

a) /2

y 1

2 1

3p/2

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 Fig. 10.5.

a) Se traslada una unidad hacia abajo.


12/5/08 15:57:26

10

72

b) 2p/2

y 1

3p/2

Los números que aparecen en el eje OX indican meses: 1 5 enero del primer año, 2 5 febrero; 13 5 enero del segundo año, etc.

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

22 21

2. La hora del amanecer y del ocaso en Barcelona para el año 2008 viene dada en la siguiente tabla:

22


Fig. 10.6.

Día

7. Resuelve la ecuación trigonométrica tag 2x 5 3. Comprueba que el resultado es correcto. arctag 3 2x 2 arctag 3 tag 2x 5 3 x5 2 Las soluciones son x 5 p/6, x 5 2p/3. 8. La inclinación de la torre de Pisa es de 4,6º respecto de la vertical. Sabiendo que una piedra dejada caer desde lo más alto de la torre impacta a 4,4 m de la base, ¿cuál era la altura inicial de la Torre? La altura inicial era la medida del lado de la torre, que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo del que se conoce un lado, que vale 4,4 m y el ángulo del lado de la torre con el suelo, que vale 90 2 4,6º 5 85,4º. Aplicando el coseno: cos 85, 4º 5

4, 4 h

h5

4, 4 554, 86 m cos 85, 4

4,6°

1º

Fig. 10.7.

j Problemas propuestos Tipo I. Fenómenos periódicos

41º

Amanecer 7:21 7:15 6:56 (hora)

61º

81º 101º 121º 141º 161º 181º

6:25 5:52 5:18 4:48 4:26

4:16 4:20

Ocaso (hora)

16:31 16:52 17:18 17:44 10:07 18:29 18:51 19:12 19:29 19:32

Día

201º 221º 241º 261º 281º 301º 321º 341º 361º

Amanecer 4:34 (hora) Ocaso (hora)

4:54 5:15

5:36 5:57 6:20 6:45

7:07 7:20

19:23 19:01 18:30 17:56 17:21 16:51 16:29 16:20 16:27

Fuente: http://www.tutiempo.net/silvia_larocca/Programas/ astronomia.htm (Los datos se han tomado a intervalos de 20 días. Esto es, los días: 1º 5 12I; 21º 5 212I; 41º 5 102II;… Las horas (UTM) están indicadas en horas y minutos.) Representa gráficamente cada serie de datos y comprueba que se ajusta a una sinusoide. (Sugerencia: expresa las horas en el sistema decimal. Así 7:21 5 7,34 h.) 20 18 16 14 12 10 8 6 4

4,4

21º

Ocaso Amanecer

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Fig. 10.9.

1. Si admitimos que la precipitación media es un fenómeno casi periódico, dibuja dos ciclos completos de precipi- 3. Con los mismos datos del problema anterior, representa la evolución de la duración de la luz solar para ese año. tación para las estaciones meteorológicas que se indican: Meses Santa Cruz Las Palmas Pamplona

E

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

36

39

28

13

6

0

0

0

3

31

45

51

19

19

13

6

2

2

1

1

5

16

31

26

12

110 80

79

79

91

87

48 45

78

122

111

148

10

Precipitación media por mes Santa Cruz 160 Las Palmas 140 Pamplona 120 100 80 60 40 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Meses

Fig. 10.8.


16 14

8 6 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Fig. 10.10.

4. En el puerto de Valencia hay dos mareas altas y dos bajas cada 24 horas, aproximadamente. Si entre la marea baja y la alta hay una diferencia de alturas de 130 cm representa gráficamente la altura del agua en función del tiempo. Empieza a las 0 h con marea alta.

12/5/08 15:57:37

10


1 y sen 30º 5 5 ⇒ x 5 2y 2 x

120 100 80 60 40 20

9. Calcula las siguientes razones trigonométricas utilizando la calculadora científica y expresando el resultado redondeado con tres decimales: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Fig. 10.11.

Tipo II. Trigonometría elemental 5. Expresa en radianes los siguientes ángulos: a) 102,34º; b) 80º 25’; d) 22,5º; c) 245º; e) 204º 32’ 49,82’’; f) 1º; h) 80º. g) 224º 43’’; a) c) e) g)

73

1,786; 2p/4; 3,57; 20,419;

b) 1,4; d) p/8; f) 0,017; h) 4p/9.

6. Expresa en grados: a) 7p/3 rad c) 24,5 rad e) 20,05 rad

b) 3,35 rad d) 8 rad f) p/9 rad

a) 420º; c) 2257,83º; e) 22,865º;

b) 191,94º; d) 458,366º; f) 20º.

7. Calcula todas las razones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulo: B 2 cm A

7,4 cm

La hipotenusa es 7,6655 cm.

C

Fig. 10.12.

2 sen A 5 5 0,261; 7, 6655 2 tag A 5 5 0,270; 7, 4 7, 4 5 0,965; sen B 5 7, 6655 7, 4 tag B 5 5 3,7. 2

7, 4 cos A 5 5 0,965; 7, 6655 7, 4 cotag A 5 5 3,7; 2 2 cos B 5 5 0,261; 7, 6655

8. El cartabón que se utiliza en dibujo lineal es un triángulo cuyos ángulos miden 30º, 60º y 90º. Utilizando la trigonometría demuestra que el lado más largo mide el doble que el pequeño. x 30° Fig. 10.13.


60° y

a) sen 32,85º; c) sec 80º 45’; e) cotag 0,95 rad; g) cosec 39º 39’ 21’’; i) tag (23); k) cos (239º 2’); m) tag 269º 34’ 12’’; ñ) cos 170,9º; p) cotag 11p/7;

b) cos 23º 12’ 50’’; d) tag 2,3 rad; f) sen (2394,4º); h) cos 5,65; j) sen 10º 50’’; l) cosec 670º 32’ 32’’; n) sen p/5; o) sec 1,8756; q) tag 15,567º.

a) 0,542; c) 6,221; e) 0,715; g) 1,567; i) 0,143; k) 0,777; m) 133,243; ñ) 20,987; p) 20,228;

b) 0,919; d) 21,119; f) 20,565; h) 0,806; j) 0,174; l) 21,316; n) 0,588; o) 23,332; q) 0,279.

10. Indica razonadamente si son verdaderas o falsas para algún ángulo a las siguientes afirmaciones: a) c) e) g)

sen a 5 1,5; tag a 5 3,03; cotag a 5 20,779; tag a 5 257;

b) cos a 5 0,0012; d) cos a 5 21,8; f) sec a 5 1; h) cosec a 5 4,002.

Verdaderas: b), c), e), f), g), h), Falsas: a), d) Esto es así porque para cualquier valor de a se cumple que: 21 # cos a # 1, 21 # sen a # 1, 2` , cotag a , 1`, 2` , tag a , 1`, 21 $ cosec a $ 1. 21 $ sec a $ 1, 11. Sabiendo que cos a 5 0,9 y que 0º a 90º, halla el valor de sen a y el de tag a. sen2 a 1 0,92 5 1 sen2 a 5 0,19 sen a 5 1 0, 19 5 0,436 ya que el ángulo está en el primer cuadrante. 0, 436 5 0,484 tag a 5 0, 9 12. Sabiendo que tag a 5 21,2 y que 90º a 180º, halla el valor de las restantes razones trigonométricas. 1 cotag a 5 5 20,833 21, 2 1 1 1 (21,2)2 5 2 cos2 a 5 0,410 cos a 5 2 0, 410 5 cos a 5 2 0,640, ya que el ángulo está en el segundo cuadrante. 1 5 21,563 sec a 5 20, 640 sen a 21,2 5 sen a 5 0,768 20, 640

12/5/08 15:57:44

10

74


1 cosec a 5 5 1,302 0, 768

Tipo III. Funciones trigonométricas 13. Partiendo de la gráfica de y 5 sen x, representa las siguientes funciones: b) f(x) 5 sen x 2 1,5 a) f(x) 5 1 1 sen x a) 2p/2

2 1

y p/2

1

y

2 1

x

x

1 2 3 4 5 6 7

Fig. 10.15.

2p/2

1

y 5 sen x p/2 p 3p/2 2p

Fig. 10.16.

b) 2p/2

1

y

y 5 sen x p/2 p 3p/2 2p

1 2 3 4 5 6 7 x f(x) 5 sen (x 1p)

22 21

Fig. 10.17.

15. Partiendo de la gráfica de y 5 sen x, representa las siguientes funciones: b) f(x) 523 sen x a) f(x) 5 2 sen x a) 2p/2

2 1

y

y 5 sen x p/2 p 3p/2 2p 1 2 3 4 5 6 7 x f(x) 5 sen x

Fig. 10.21.

f(x)5 sen 2x 2p/2 f(x)5 sen x 22 21

f(x) 5 2sen x

3 2 1

22 21 22 23

a)

2p/2

3 2 1

y 5 sen x p/2 p 3p/2 2p 1 2 3 4 5 6 7 x f(x)5 sen (2x1p)

y f(x) 5 2 1cos x

p/2

22

x

Fig. 10.23. 1

y

22 21

y 5 sen x p/2 p 3p/2 2p

p 3p/2 2p

1 2 3 4 5 6 7 y 5 cos x

22 21

2p/2

f(x)523sen x

f(x)523sen (2x 1p)

18. Partiendo de la gráfica de y 5 cos x, representa las siguientes funciones: a) f(x) 5 2 1 cos x b) f(x) 5 22,5 1 cos x

b)

1 2 3 4 5 6 7 x

y

Fig. 10.22.

y

3 2 1

22

p 3p/2 2p

Fig. 10.18.

2p/2

f(x) 5 2 2sen x

17. Partiendo de la gráfica de y 5 sen x, representa la función f(x) 5 23sen (2x 1 p). 2p La función y 5 sen 2x es periódica de período 5p. 2 Una vez dibujada esta última, se traslada p unidades a la izquierda y se obtiene la función y 5 sen (2x 1 p). Finalmente, cada ordenada de la curva anterior se multiplica por 23 para obtener la gráfica de la función f(x) 5 23sen (2x 1 p).

1 2 3 4 5 6 7 x

22

b)

y

y 5 sen x p/2

22 21

3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 x f(x) 5 sen (x 2 1)

22 21

y

1 2 3 4 5 6 7 x f(x) 5 sen (x 21)

Fig. 10.20.

b)

f(x) 5 2 1sen (x 21) y 5 sen x p/2 p 3p/2 2p

22 21

2 f(x) 5 sen x 21,5

a)

y

22 21

2p/2 y 5 sen x p/2 p 3p/2 2p

3 2 1

14. Partiendode la gráfica de y 5 sen x, representa las siguientes funciones: b) f(x) 5 sen (x 1 p) a) f(x) 5 sen (x 2 1)

2p/2

Fig. 10.14.

/2

p 3p/2 2p

a)

1 2 3 4 5 6 7

22 21 y 5 sen x

b)

f(x) 5 1 � sen x

16. Partiendo de la gráfica de y 5 sen x, representa las siguientes funciones: b) f(x) 5 2 2 sen x a) f(x) 5 2 1 sen (x 2 1)

22 23 24

p/2

y 5 cos x p 3p/2 2p

x

1 2 3 4 5 6 7

f(x)522,5 1cos x

Fig. 10.24.

Fig. 10.19.


12/5/08 15:58:02

10


19. Partiendo de la gráfica de y 5 cos x, representa las siguientes funciones: a) f(x) 5 cos (x 1 1) b) f(x) 5 cos (x 2 p) a) 2p/2

1

y p/2

x

2p/2

2p/2

1

y 5 cos x p/2

p 3p/2 2p

x

2p/2

3 2 1

22 23

2p/2

2 1

y

2p/2

1

22 21

p 3p/2 2p

p 3p/2 2p

2p/2

y p/2

y 5cos x p 3p/2 2p

y 5 cos x p 3p/2 2p

x

1 2 3 4 5 6 7 f(x) 5 cos 2px

a) La función f(x) 5 cosec x es la inversa de y 5 sen x, es decir, 1 . Esta función no está definida cuando f(x) 5 cosec x 5 sen x el denominador se hace cero, es decir, cuando sen x 5 0. A la vista de la función y 5 sen x, sabemos que esto ocurre cuando x 5 0, p, 2p, ... Podemos obtener sus valores con la calculadora en el modo radianes. Algunos de sus valores se dan en la tabla de la parte inferior de la página. Teniendo en cuenta que, al igual que su inversa, el período es 2p, su representación gráfica es la siguiente:

Fig. 10.28.

c)

p/2

Fig. 10.31.

1 2 3 4 5 6 7 x y 5 cos x

22

y

2p 51 2p

22. Representa las gráficas de las siguientes funciones: a) f(x) 5 cosec x b) f(x) 5 cotag x

f(x) 522cos x p/2

22 21

Fig. 10.27.

b)

1

1 2 3 4 5 6 7 x y 5 cos x

22 21

f(x) 5 3cos x

p/2

x

1 2 3 4 5 6 7 f(x) 5 cos 2x

22 21

20. Partiendo de la gráfica de y 5 cos x, representa las siguientes funciones: a) f(x) 5 3 cos x; b) f(x) 5 22 cos x; c) f(x) 5 20,5 cos x. y

y 5 cos x p 3p/2 2p

Fig. 10.30.

2p/2

Fig. 10.26.

a)

p/2

b) El periodo de f(x) 5 cos 2px es

1 2 3 4 5 6 7 f(x) 5 cos (x1p)

y

y

22 21

1

22 21

Fig. 10.25.

b)

p 3p/2 2p

21. Partiendo de la gráfica de y 5 cos x, representa las siguientes funciones: a) f(x) 5 cos 2x b) f(x) 5 cos 2px 2p a) El periodo de f(x) 5 cos 2x es 5p. 2

1 2 3 4 5 6 7 f(x) 5 cos (x 11)

22 21

y 5 cos x

75

y 4 3 2 1

22 21 x

1 2 3 4 5 6 7 f(x)520,5cos x

Fig. 10.29.

p/2

p 3p/2 2p

1 2 3 4 5 6 7 8 x

22 23 24 Fig. 10.32.

x

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3

3,3

sen x

0,296

0,565

0,783

0,932

0,997

0,974

0,863

0,675

0,427

0,141

20,158

cosec x

3,378

1,770

1,277

1,073

1,003

1,027

1,159

1,481

2,342

7,092

26,329

x

3,6

3,9

4,2

4,5

4,8

5,1

5,4

5,7

6

6,3

6,6

sen x

20,443

20,688

20,872

20,978

20,996

20,926

20,773

20,551

20,280

0,017

0,312

cosec x

22,257

21,453

21,147

21,022

21,004

21,080

21,294

21,815

23,571

58,82

3,205


12/5/08 15:58:11

76

10


b) La función f(x) 5 cotg x es la inversa de y 5 tg x, es decir, 1 f(x) 5 cotg x 5 . Esta función no está definida cuando tg x el denominador se hace cero, es decir, cuando tg x = 0. A la vista de la función y 5 tg x, sabemos que esto ocurre cuando x 5 0, p, 2p,... Podemos obtener sus valores con la calculadora en el modo radianes. Algunos de sus valores se dan en la tabla de la parte inferior de la página. Teniendo en cuenta que, al igual que su inversa, el período es p, su representación gráfica es la siguiente:

2p/2

y 4 3 2 1

22 21

p/2

31,13°

Fig. 10.35.

c) U tilizando la función tan21 de la calculadora se obtiene que arctag 2,35 5 66,95º. La calculadora da un ángulo del primer cuadrante, pero, como se observa en la figura, hay otro ángulo en el tercer cuadrante cuya tangente tiene el mismo valor. El ángulo del tercer cuadrante es: 180º 1 66,95º 5 246,95º. En definitiva: arctag 2,35 5 66,95º y 246,95º. 66,95°

22 23 24 Fig. 10.33.

a) U tilizando la función sin21 de la calculadora se obtiene que arcsen (20,8) 5 253,13º 5 306,87º. La calculadora da un ángulo del cuarto cuadrante, pero, como se observa en la figura, hay otro ángulo en el tercer cuadrante cuyo seno tiene el mismo valor. El ángulo del tercer cuadrante es: 180º 1 53,13º 5 233,13º. En definitiva: arcsen (20,8) 5 306,87º y 233,13º

233,13°

Fig. 10.36.

arccos (20,89) 5 152,87º arccos (20,89) 5 180º 1 (180º 2 152,87º) 5 207,13º arctag (23,1) 5 272,12º 5 287,88º arctag (23,1) 5 180º 2 72,12º 5 107,88º arctag 0,5 5 26,57º arctag 0,5 5 180º 1 26,57º 5 206,57º

2 5 45º 2 2 arcsen 5 180º 2 45º 5 135º 2 e) arccos 0,64 5 50,21º arccos 0,64 5 360º 2 50,21º 5 309,79º f) arcsen (20,356) 5 220,85º 5 339,15º arcsen (20,356) 5 180º 1 20,85º 5 200,85º

306,87°

0,6

246,95°

a) b) c)

d) arcsen

Fig. 10.34.

0,3

24. Utilizando la calculadora, halla: a) arccos (20,89); b) arctag (23,1); c) arctag 0,5; 2 d) arcsen ; 2 e) arccos 0,64; f) arcsen (20,356). Da las soluciones en grados comprendidas en el intervalo [0º, 360º].

b) U tilizando la función cos21 de la calculadora se obtiene que arccos 0,856 5 31,13º. La calculadora da un ángulo del primer cuadrante, pero, como se observa en la figura, hay otro ángulo en el cuarto cuadrante cuyo coseno tiene el mismo valor. El ángulo del cuarto cuadrante es: 360º 2 31,13º 5 328,87º. x

328,87°

p 3p/2 2p

Para todos los apartados, la calculadora debe estar en modo DEG.

En definitiva: arccos 0,856 5 31,13º y 328,87º.

1 2 3 4 5 6 7 8 x

23. Utilizando la calculadora y dando las soluciones en grados comprendidas en el intervalo [0º, 360º], calcula: a) arcsen (20,8); b) arccos 0,856; c) arctag 2,35.

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3

3,3

tg x

0,309

0,684

1,260

2,572

14,10

24,287

21,710

20,916

20,473

20,143

0,160

cotg x

3,237

1,462

0,794

0,389

0,071

20,233

20,585

21,092

22,114

26,993

6,25

x

3,6

3,9

4,2

4,5

4,8

5,1

5,4

5,7

6

6,3

6,6

tg x

0,493

0,947

1,778

4,637

211,38

22,450

21,218

20,660

20,291

0,017

0,328

cotg x

2,028

1,056

0,562

0,216

20,088

20,408

20,821

21,515

23,436

58,82

3,049


12/5/08 15:58:20

10


25. Utilizando la calculadora, halla: a) arcsen (20,1); b) arcsen 0,79; c) arccos 0,96; 2 ; 2 e) arctag 5,8; f) arctag (20,95). Da las soluciones en radianes comprendidas en el intervalo [0, 2p]. d) arccos 2

a) b) c)

arcsen (20,1) 5 20,1 arcsen (20,1) 5 p 1 0,1 5 3,24 arcsen 0,79 5 0,91 arcsen 0,79 5 p 2 0,91 5 2,23 arccos 0,96 5 0,28, arccos 0,96 5 2p 2 0,28 5 6

d) arccos 2

2 5 2,36 2

2 5 p 1 (p 2 2,36) 5 3,92 2 e) arctag 5,8 5 1,4, arctag 5,8 5 p 1 1,4 5 4,54 f) arctag (20,95) 5 20,76 arctag (20,95) 5 p 2 0,76 5 2,38

arccos 2

a) b) c)

a) E(1) 5 1 050 kWh E(7) 5 150 kWh E(9) 5 600 kWh 2p b) Período: 512 2p 12

a) Las soluciones son los puntos de corte de la gráfica de y 5 sen x con la recta horizontal y 5 0,54. 1

Consumo (kWh)

1200 1000 800 600 400 200

y 5 0,54

Fig. 10.38.

b) L as soluciones son los puntos de corte de la gráfica de y 5 cos x con la recta horizontal y 5 20,912. 1

y

2,72 3,56 y 5 cos x 1 2 3 4 5 6 7 x y 520,912

22 21

Fig. 10.39.

c) Las soluciones son los puntos de corte de la gráfica de y 5 tag x con la recta horizontal y 5 2.

2p/2

y 4 3 2 1

22 21

22 23 24

y 5 tg x y 52 p/2

p 3p/2 2p

x

1 2 3 4 5 6 7 8 1,11

4,25

Fig. 10.40.

29. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) 2cos x 5 0,6 b) 2 tag x 5 4,75

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Meses

y y 5 sen x

1 2 3 4 5 6 7 x 0,57 2,57

22 21

(c)

x 5 arcsen 0,54 ⇒ x 5 0,57 y x 5 p 2 0,57 5 2,57 x 5 arccos (20,912) ⇒ x 5 2,72 y x 5 p 1 (p 2 2,72) 5 3,56 x 5 arctag 2 ⇒ x 5 1,11 y x 5 p 1 1,11 5 4,25

28. Representa gráficamente las funciones y 5 sen x, y 5 cos x e y 5 tag x y da una interpretación geométrica de las soluciones halladas en el ejercicio anterior.

26. El consumo de energía eléctrica de una familia, en kilovatios hora (kWh), viene dado por la función 2p (x21) E(x) 5 600 1 450 cos 12 donde x indica los meses del año (enero 5 1). a) ¿Cuál es el consumo en enero, en julio y en octubre? b) ¿Qué período tiene E(x)? c) Representa dos ciclos de E(x).

77

a) 2cos x 5 0,6 ⇒ cos x 5 0,3 ⇒ x 5 arccos 0,3 ⇒ ⎧ x 572, 54º 1 k ? 360º ⇒⎨ ⎪⎩ x 5(360º 272, 54º) 1 k ? 360º 5287, 46º 1 k ? 360º b) 2 tag x 5 4,75 ⇒ tag x 5 24,75 ⇒ x 5 arctag (2 4,75) ⇒ x 5 101,89º 1 k ? 180º

Fig. 10.37.

Tipo IV. Ecuaciones trigonométricas 27. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para ángulos del primer giro expresados en radianes: a) sen x 5 0,54; b) cos x 520,912; c) tag x 5 2.


30. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: x a) sen 3x 5 20,5 b) cos 5 0,6 3 a) sen 3x 5 20,5 ⇒ 3x 5 arcsen (20,5) ⇒ 3 x 5230º 5300º 1 k ? 360º x 5100º 1 k ?120º 3x 5 (180º130º) 1 k?360º5210º1 k ?360º x 5 70º1k ?120º x x b) cos 5 0,6 ⇒ 5 arcos 0,6 ⇒ 3 3

12/5/08 15:58:28

10

78

x 553, 13º 1 k ? 360º 3


c 5 52 172 5 74 5 8,60 m 5 tag A 5 5 0,714 A 5 arctag 0,714 5 35,53º 7 B 5 90º 2 35,53º 5 54,47º

x 5159, 39º 1 k ?1 080º

x 5(360º 253, 13º) 1 k ? 360º 5306, 87º 1 k ? 360º 3 x 5 920,61º 1 k ·120

31. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) 4 sec 2x 5 5; b) 4 2 3 sen 2x 5 6; ⎛ p⎞ 2 d) 6 cos ⎜ x1 ⎟ 5 5. c) 2 sen x 5 0,5; 2⎠ ⎝ 1 5 1,25 ⇒ a) 4 sec 2x 5 5 ⇒ sec 2x 5 1,25 ⇒ cos 2 x ⇒ cos 2x 5 0,8 ⇒ 2x 5 arccos 0,8 ⇒ 2 x 536, 87º 1 k ? 360º x 518, 435º 1 k ?180º 2 x 5(360º 236, 87º) 1 k·360º 5323, 13º 1 k ? 360º x 5 161,565º 1 k ?180º b) 4 2 3 sen 2x 5 6 ⇒ sen 2x 5 20,667 ⇒ 2x 5 arcsen(20,667) ⇒ 2 x 5241, 84º 5318, 16º 1 k ? 360º x5159,08º1k ?180º

Fig. 10.42.

b 5 352 2122 5 1 081 5 32,88 m 12 sen A 5 5 0,343 ⇒ A 5 arcsen 0,343 5 20,06º 35 B 5 90º 2 20,06º 5 69,94º

3,2

x5

4p 12kp 3

Suponiendo que la fachada del edificio es perpendicular al suelo, se obtiene un triángulo rectángulo como el de la figura. En ese caso: x sen 60º 5 ⇒ x 5 2,77 m 3, 2 La escalera llega hasta una altura de 2,77 m. Por tanto, con esa inclinación, no se puede llegar hasta la ventana. 35. Queremos medir la altura de una torre de comunicaciones situada sobre nuestro mismo plano. Para ello situamos un teodolito a 50 metros de su base para medir el ángulo de elevación de su extremo superior. Sabiendo que dicho ángulo es de 58º y que el teodolito está sobre un trípode de 1,5 m de alto, ¿cuál es la altura de la torre?

h

x 588 50

A

B c

7 Fig. 10.41.


C

b

Fig. 10.43.

Tipo V. Aplicaciones de la trigonometría a la resolución de problemas 32. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 m y 7 m. Halla la hipotenusa y los ángulos.

12

608

d) D aremos las soluciones en radianes, dado que el ángulo viene dado en esa unidad. p p 6 cos x 1 5 5 ⇒ cos x 1 5 0,833 ⇒ 2 2 p x 1 5 arcos 0,833 ⇒ 2

A

x

sen x 5 20,5 ⇒ x 5 arcsen (20,5) ⇒ x 5230º 5330º 1 k ? 360º x 5(180º 130º) 1 k ? 360º 5210º 1 k ? 360º

p p p x 1 5 1 2kp x5 1 2kp 2 6 3 ⇒ 11p p p 12kp x 1 5 2p 2 1 2kp 5 6 2 6

B 35

34. Si una escalera de mano de 3,2 m de larga la apoyamos sobre la fachada de un edificio de manera que forme un ángulo de 60º con el suelo, ¿podremos llegar hasta una ventana situada a 2,9 m de altura?

2x 5(180º 1 41, 84º) 1 k ? 360º 5221, 84º 1 k ? 360º x 5 110,92º 1 k ? 180º c) 2 sen2 x 5 0,5 ⇒ sen2 x 5 0,25 ⇒ sen x 5 60, 5 sen x 5 0,5 ⇒ x 5 arcsen 0,5 ⇒ x 530º 1 k ·360º x 5(180º 230º) 1 k ? 360º 5150 1 k ? 360º

33. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 12 m y la hipotenusa 35 m. Halla el otro cateto y los ángulos.

5 C

1,5

Fig. 10.44.

En la figura de al lado, donde se expone la situación del problema, h es la altura de la torre. x tag 58º 5 x 5 50 ? tag 58º 5 80,02 m 50 La altura de la torre es h 5 80,02 1 1,5 5 81,52m.

12/5/08 15:58:45

10


36. La torre de un castillo está situada al borde de un foso con agua. El ángulo de elevación de su extremo superior desde el otro borde del foso es de 62º. Si nos alejamos del foso 52 m, el ángulo de elevación es de 28º. Calcula la anchura del foso y la altura de la torre. Sea h la altura de la torre y x la anchura del foso.

79

15 12 9 6 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Fig. 10.48.

Periodo 5 depende de la velocidad; amplitud 5 15 m

h

3. Dibuja una función periódica de periodo 5, con un máximo en x 5 2 que vale 6, y un mínimo en x 5 4 cuyo valor es 1.

628

288 52

x

Fig. 10.45.

tag 28º 5

h 521 x

⎧h 527, 649 1 0, 532 x ⇒ ⎨h 51, 881 x ⇒ ⎩⎪

h x ⇒ 27,649 1 0,532x 5 1,881x ⇒ x 5 20,50 h 5 1,881 ? 20,50 5 38,56. La anchura del foso es 20,5 m y la altura de la torre 38,56 m. tag 62º 5

6 5 4 3 2 1

37. Cuando los rayos del sol inciden con un ángulo de 78º la torre Eiffel proyecta una sombra de 69,5 m. Calcula su altura aproximada. Hay que calcular el cateto vertical del triángulo adjunto: h 5 69,5 ? tag 78º 5 327 m

y

1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 x

22 21

Fig. 10.49.

4. ¿Cuántos radianes son 60º, 90º, 180º y 240º? p/3; p/2; p, 4p/3 5. ¿Cuántos grados son p/4 y 5p/3? 45º, 300º 6. Halla con la calculadora: sen 60º, cos 80º, tag p/3.

h

h 78º

0,866; 0,1734; 1,732 7. Halla con la calculadora arcsen (21/2) y arccos 0,6428.

78º

69,5 m 69,5 m Fig. 10.46. Fig. 10.47.

j cuestiones básicas 1. Di qué tipo de procesos te parecen periódicos. Si es el caso, indica el periodo. a) La temperatura mensual media de tu ciudad. b) La altura de la válvula de una rueda de bicicleta en movimiento. c) La frecuencia con que sonríe tu profesor o profesora de matemáticas. d) Las fases lunares a lo largo del tiempo. Periodos: a) 1 año; c) no;

b) depende de la velocidad; d) 29,5 días.

2. Una noria de feria de 15 metros de diámetro comienza a girar. Haz un gráfico que indique la altura de una de sus barcas durante dos vueltas. ¿Qué periodo tiene?


210º y 330º; 50º y 310º 8. Calcula la longitud del paralelo correspondiente al Círculo Polar Ártico, si su latitud es 66º 30´ N. (Puedes tomar el radio de la Tierra R 5 6 370 km.) L 5 2p ? 6 370 ? cos 66º 30´5 15 959 km 9. A partir de la función y 5 cos x dibuja la gráfica de f (x)512 cos x.

2p/2

3 2 1

y

22 21

y 5 12cos x p/2

y 5 cos x p 3p/2 2p

1 2 3 4 5 6 7 x

Fig. 10.50.

10. Resuelve las ecuaciones: a) sen x 5 20,5

b) cos x 5 0,866

a) x 5 arcsen(20,5) 5 210º y 330º (más vueltas) b) x 5 arccos 0,866 5 30º y 330º (más vueltas)

12/5/08 15:58:56

11

80

ESTADÍSTICA BÁSICA

4. Para los mismos alumnos, halla los deciles primero y noveno y la diferencia D9 2 D1.

j ACTIVIDADES

8 ≈ 92 32 8 D9(posición 189ª): 122 112 ? ≈ 128 17 D9 2 D1 5 36

1. La edad de las 130 personas que realizaron el experimento anterior se da a continuación:

15 17 19 21 22 18 19 22 15 19 23 24 18 17 16 16 19 24 19 18 17 22 23 21 17 23 24 16 17 18 19 20 20 21 22 18 17 19 19 21 15 17 19 18 22 18 19 23 21 17 17 22 23 21 17 23 23 24 16 17 24 16 17 18 19 21 20 21 22 18 17 19 18 21 15 17 19 21 22 18 19 23 21 17 23 24 23 21 17 18 20 19 21 15 17 16 17 16 17 19 20 20 21 22 18 17 18 19 17 20 23 24 16 17 16 17 18 19 20 19 21 22 18 17 19 19 21 15 17 19 a) Agrupa las edades por años. b) Da una tabla de frecuencias y porcentajes, simple (para cada año) y acumulada. Edad

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

fi

6 9 25 16 22 8 16 10 11 7

%

4,62 6,92 19,23 12,31 16,92 6,15 12,31 7,69 8,46 5,38

D1 (posición 21ª): 90 19 ?

5. Con los datos de la tabla Comparativa de precios en 2006, determina el precio en euros de una cajetilla de tabaco en cada uno de los países considerados, suponiendo que su precio en España es de 3 €. Para Alemania: Si a 64 a 119

Fi

6 15 40 56 78 86 102 112 123 130

3 € PALE

PALE 5

3·119 5 5,58 € 64

De manera análoga, los precios en los demás países serán: 3·100 3·115 5 4,69; PDIN 5 5 5,39; PALE 5 3 64 64 3·41 3·133 PEST 5 5 1,92; PFRA 5 5 6,23; 64 64 3·186 3·99 5 8,72; PITA 5 5 4,64; PIRL 5 64 64 3·44 3·32 5 2,06; PRUM 5 5 1,5 € PPOL 5 64 64

PBEL 5

2. El precio (en euros) de las diferentes corbatas que se venden en unos grandes almacenes es: 8 10 17 34 25 16 12 Por orden: 12 18 15 18 12. Construye el diagrama de tallo y hojas. 5,58; 4,69; 5,39; 3; 1,92; 6,23; 8,72; 4,64; 2,06; 1,5 euros. 0 8 1 0 2 2 2 5 6 7 8 8 6. El peso de las alumnas anteriores era, respectivamente, 51, 2 5 53, 55, 57, 49 y 56. 3 4 a) Halla su media y desviación típica. b) Después de leer el apartado siguiente, indica cuál de las tres distribuciones 2altura, peso o zapato2 es más 0 8 representa 8 € dispersa. 3. Según la Encuesta de Presupuestos Familiares (de España), a) x 5 53,5; s 5 2,81 el gasto medio por hogar en el año 2004 se distribuyó como b) CV(altura) 5 0,027; CV(zapato) 5 0,043; CV(peso) 5 0,053 se indica en la tabla adjunta. La distribución de pesos es la más dispersa. Alimentación Vestido y calzado Vivienda Gastos de casa Gastos diversos Total

4 215 1 451 5 963 1 679 9 381 22 689


Representa estos datos mediante un diagrama de sectores.

Tipo I. Tablas y gráficos estadísticos

Alimentación 4215 19%

Diversos 9381 42%

Vestido 1451 6%

Casa 1679 7%

Vivienda 5963 23%

1. Los médicos de guardia de un centro de salud atendieron en 30 noches las siguientes urgencias:

2 2 0 6 1 3 2 5 1 0 2 3 1 6 3 1 4 0 1 1 0 1 0 4 0 2 3 1 4 0

Haz una tabla de frecuencias y porcentajes, simple y acumulada. Dibuja el correspondiente diagrama de barras.

Fig. 11.1.

Sol_1CCSS_11a14.indd 80

12/5/08 15:35:12

11


fi

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

7 8 5 4 3 1 2 30

Fi

fr i

7 15 20 24 27 28 30

0,233 0,267 0,167 0,133 0,100 0,033 0,067 1

%

%a

23,3 26,7

23,3 50 66,7 80 90 93,3 100

16,7 13,3 10 3,3 6,7 100

c) La asignación de sectores para cada nota es:

IN: 120º; SF: 78º;

NT 17%

1

2

3 4 5 Urgencias

6

Fig. 11.4.

7

60 50 40 30 20 10

Fig. 11.2.

1

2. En la siguiente tabla se dan los datos correspondientes a las notas de Matemáticas de 60 alumnos de 1º Bachillerato. NOTAS Nº de alumnos

SF [5, 6) 13

IN [1, 5) 20

BI [6, 7) 12

NT [7, 9) 10

SB [9, 10] 5

a) Haz una tabla de frecuencias y porcentajes, simple y acumulada. b) Dibuja el correspondiente histograma. c) Representa los datos mediante un diagrama de sectores y mediante una poligonal acumulativa. a)

Notas [1, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 9) [9, 10] TOTALES

M.c. 3 5,5 6,5 8 9,5

fi 20 13 12 10 5 60

Fi 20 33 45 55 60

fr i 0,333 0,217 0,200 0,167 0,083 1

% 33,3 21,7 20 16,7 8,3 100

20 : 4 5 5; 13 : 1 5 13; 12 : 1 5 12; 10 : 2 5 5; 5 : 1 5 5. 14 12 10 8 6 4 2


4

5 6 7 Notas

8

9

10

a) Intervalo 45,5 2 50,5 50,5 2 55,5 55,5 2 60,5 60,5 2 65,5 65,5 2 70,5 70,5 2 75,5

M.c. 48 53 58 63 68 73

fi 7 4 6 8 4 6

b) La altura de cada rectángulo se halla dividiendo la frecuencia que representa entre la longitud del intervalo:

0

3

3. Los perímetros de 35 pinos de un parque, medidos a un metro del suelo, fueron los siguientes (en cm): 46 54 65 47 75 48 54 65 49 73 50 57 70 49 58 63 71 61 73 72 59 62 66 60 67 63 71 60 57 61 67 49 52 55 62 a) Agrupa estos datos en intervalos de amplitud 5, indicando marcas de clase y frecuencias. b) Representa el histograma asociado.

7 : 5 5 1,4; 4 : 5 5 0,8; 6 : 5 5 1,2; 8 : 5 5 1,6; 4 : 5 5 0,8; 6 : 5 5 1,2. 1,6 1,2 0,8 0,4 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Notas Fig. 11.3.

2

Fig. 11.5.

%a 33,3 55 75 91,7 100

b) La altura de cada rectángulo se halla dividiendo la frecuencia que representa entre la longitud del intervalo:

SF 22%

BI 20%

0

BI:72º; NT: 60º; SB: 30º.

IN 33%

SB 8%

Número de alumnos

Frecuencia

Urgencias 0 1 2 3 4 5 6 TOTALES

81

1,6

1,4

1,2

45,5

50,5

1,2 0,8

0,8

55,5

60,5 65,5 70,5 Diámetro (cm)

75,5

Fig. 11.6.

12/5/08 15:35:21

11

82


4. Organiza los datos anteriores mediante un diagrama de tallo y hojas, y representa el gráfico de cajas y bigotes correspondiente.

6. La superficie (en miles de km2) de los 7 países más grandes del mundo es:

Rusia

7 0 1 1 2 3 3 5 4 6

indica 46 cm

Como hay 35 datos, la mediana es el valor del dato que ocupa la posición 18ª, que es 61: los cuartiles C1 y C3 valen, respectivamente, 54 y 67 (posiciones 9ª y 27ª). Se obtiene así: 54

61 67 75

46 40

50

60

70

80

Fig. 11.7.

5. El número de turismos matriculados en España, para el período 199622005, se da en la siguiente tabla: Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Miles de 911 1 016 1 193 1 406 1 381 1 426 1 332 1 382 1 517 1 529 turismos

a) Tomando como base 100 el número de turismos matriculados en el año 1996, expresa en números índices la variación de la serie. b) Representa los datos mediante una poligonal simple. a) Si asignamos a 1996 la base 100, multiplicando el número 100 de vehículos matriculados en cada año por , se obtiene: 911

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Año Miles 911 1 016 1 193 1 406 1 381 1 426 1 332 1 382 1 517 1 529 de turismos 100 111,5 131 154,3 151,6 156,5 146,2 151,7 166,5 167,8 Índice

Superficie (miles de km2)

País

Ordenamos los datos de menor a mayor: 46 47 48 49 49 49 50 52 54 54 55 57 57 58 59 60 60 61 61 62 62 63 63 65 65 66 67 67 70 71 71 72 73 73 75 Ahora confeccionamos el siguiente diagrama. 4 6 7 8 9 9 9 5 0 2 4 4 5 7 7 8 9 6 0 0 1 1 2 2 3 3 5 5 6 7 7

17 075

Canadá

9 976

China

9 561

Estados Unidos

9 373

Brasil

8 512

Australia

7 687

India

3 288

a) Da las extensiones en miles de km2 en números índice, tomando como base la extensión de Australia. b) Sabiendo que la superficie habitable (tierra firme) del mundo es 133 342 000 km2, representa en un diagrama de sectores las superficies de los 7 países anteriores junto con la del resto del mundo.

a) Si asignamos a Australia la base 100, multiplicando la 100 superficie de cada país por se obtiene: 7687 Rusia: 222,1 Canadá: 129,8 China: 124,4 Estados Unidos: 121,9 Brasil: 110,7; India: 42,8 La superficie del resto del mundo es: 67 870 000 km2. La asignación de sectores para cada superficie es: Rusia: 46,1º; Canadá: 26,9º; China: 25,8º Estados Unidos: 25,3º; Brasil: 23º; Australia: 20,8 India: 8,9º; Resto del mundo: 183,2º b)

Estados Unidos China Canadá Brasil Australia India

Rusia

Resto del mundo

Fig. 11.9.

7. La esperanza de vida en diversas partes del mundo en el año 2001 era:

b) 1600 Miles de turismos

1400 1200 1000 800 600 400 200

Fig. 11.8.


1996 199719981999200020012001200320042005 Año

Total mundial África Asia Europa (sin Rusia) España América del Sur América del Norte Oceanía Federación rusa

Hombres 63,9 50,5 65,8 69,6 75,4 66,7 74,7 72 60

Mujeres 68,1 52,1 69,2 77,9 82,3 73,6 80,5 76,9 72,5

12/5/08 15:35:29

11


Representa gráficamente estos datos mediante un diagrama de barras.

Esperanza de vida (años)

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Hombres Mujeres

Fig. 11.10.

8. La precipitación (P) y la temperatura media mensual (T) registradas en Soria a lo largo del año son: Mes E F M A M J J A S O N D 55 32 31 47 46 49 55 P (mm) 44 45 48 47 62 T (ºC) 1,3 3,1 5,6 7,5 10,6 15,6 18,1 18,1 15 9,4 5,6 3,1

Representa gráficamente estos datos mediante un climograma. T (ºC) 40

Soria

30 20 10 0

E F

M A M J

J

P (mm) 80 70 60 50 40 30 20 10 0 A S O N D

Fig. 11.11.

Tipo II. Parámetros estadísticos 9. Siete estudiantes han leído este curso el siguiente número de libros: 3 4 5 6 5 7 5 Para estos datos, determina: a) La media; b) La mediana; c) La moda; d) El rango. a) b) c) d)

5 5 5 4


10. En una empresa hay 3 directivos, 50 operarios y 8 vendedores. Los sueldos mensuales, en euros, de cada categoría son los siguientes: directivos, 4 000; operarios, 1 400; vendedores, 2 000. a) Halla la moda, la mediana y la media de los sueldos. b) ¿Qué medida es más representativa del promedio?

al ca ia a) a r te ía a di fri As usi pañ l Su Nor ean rus R Es de el Oc ón un Á m a d in ci al (s ra ric ica t e é a o r d T p Fe Am mé ro A Eu

83

a) Mo 5 1 400 €; Me 5 1 400 €; x p 5 1 606,56 €. b) Las tres.

11. En primero de bachillerato de un centro escolar hay tres grupos, A, B y C, con 30, 35 y 25 alumnos, respectivamente. La nota media en Matemáticas fue, también respectivamente, de 5,3, 6,5 y 5,6. Halla la nota media de Matemáticas de todos los alumnos de primero. xp 5

30 ? 5, 3 135 ? 6, 5 125 ? 5, 6 5 5,85 90

12. Las alturas en centímetros de 20 personas son: 162, 176, 189, 178, 167, 185, 160, 171, 167, 173, 183, 182, 172, 165, 176, 177, 169, 186, 171, 179. Calcula la media aritmética. Agrupa los datos en seis intervalos de amplitud 5 y calcula la media de alturas utilizando la distribución obtenida. Si ambos valores no coinciden, explica por qué. a) x 5 174,4 cm b)

Intervalo 159,5 2 164,5 164,5 2 169,5 169,5 2 174,5 174,5 2 179,5 179,5 2 184,5 184,5 2 189,5

M.c.

fi

162 167 172 177 182 187

2 4 4 5 2 3

x 5 174,5 cm

c) Debido a la agrupación de los datos. 13. Para los datos anteriores, agrupados en los intervalos hallados, dibuja el histograma y la poligonal acumulada correspondiente. 5

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

25 20 15 10 5 0

4

4 3 2

2

167

162

172

177

182

15

0

2

6

187

17

20

10

159,5 164,5 169,5 174,5 179,5 184,5 189,5

Fig. 11.12.

12/5/08 15:35:45

11

84


14. El gráfico siguiente representa los pesos (en kg) de un grupo similar de hombres y mujeres. 50 56

64

40

82 63 70

79 103

47 30

40

50

60

70

80

90

100

110

115

c) Hay que calcular el percentil 85, cuya posición es 179. 8 Por tanto, P85 5 122 1 2 ? 5 122,9. 17 16. Halla la media y la desviación típica de los datos correspondientes al diagrama de tallo y hojas dado en el Ejem- plo 2, cuyos datos eran:

120 Kg

Fig. 13.13.

a) Indica los valores de las medianas respectivas. b) ¿Cuánto vale en cada caso el rango intercuartílico? c) ¿Hay algún elemento extraño? ¿Cuál es su peso? d) ¿Qué porcentaje de mujeres pesa entre 40 y 50 kg? e) ¿Dónde se da más homogeneidad de pesos, entre los más flacos o entre los más pesados? Hombres: Me 5 70 a) Mujeres: Me 5 56, b) Mujeres: C3 2 C1 5 64 2 50 5 14; Hombres: C3 2 C1 5 79 2 63 5 16 c) En el caso de los hombres hay dos elementos extraños, que pesan 110 y 115 kg d) El 25%. e) En los dos caso, entre los más flacos, pues la longitud del bigote de la izquierda es más pequeña. 15. El cociente intelectual de los 210 alumnos de un centro de bachillerato se da en la tabla adjunta: a) Calcula los cuartiles y el rango intercuartílico. b) Halla la diferencia entre los deciles 3 y 6. c) Calculala puntuación necesaria para pertenecer al 15 % de alumnos con mayor cociente intelectual. Intervalo [82,90) [90,98) [98,106) [106,114) [114,122) [122,130) [130,138) [138,146) Frecuencia 12 32 49 54 30 17 11 5

3 4 5 6 7

7 3 5 5 6 6 7 7 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 7

3

7 representa 37 kilos

x 5 52,04 kg; s 5 8,08 kg 17. En 2001, la mortalidad infantil (total por 1 000 nacidos vivos) para los países africanos que se indican era: País Burundi Eritrea Etiopía Kenya Madagascar Malawi Mortalidad 111 82 106 59 91 130

Calcula la media y la desviación típica de la tasa de mortalidad infantil para esos seis países. x 5 96,5; s 5 22,6

18. En 2001, la mortalidad infantil para los países europeos que indican era: País Albania Bosnia Croacia Eslovenia España Grecia Mortalidad 25 14 8 6 5 6

Calcula la media y la desviación típica de la tasa de mortalidad infantil para esos seis países. x 5 10,67; s 5 7,1

Para contestar a estas preguntas es necesario hallar la tabla de frecuencias acumuladas.

19. En el Problema resuelto 1 se dan los datos de temperatura y precipitación de Castellón. Compáralos con los de Soria Intervalo [82,90) [90,98) [98,106) [106,114) [114,122) [122,130) [130,138) [138,146) (Problema propuesto 8), hallando: Frecuencia 12 32 49 54 30 17 11 5 a) Medias. b) Desviaciones típicas. Frecuencia 12 44 93 147 177 194 205 210 c) Coeficientes de variación. acumulada 8 C representa a Castellón y S a Soria. a) La posición de C1 es 53. Por tanto, C1 5 98 1 9 ? 5 99,5. 49 a) Temperatura: x(C) 5 17,125; x(S) 5 9,42 La posición de C2 es 105. Precipitación: x(C) 5 37,25; x(S) 5 46,75 8 b) Temperatura: s(C) 5 5,007; s(S) 5 5,77 Por tanto, C2 5 106 1 12 ? 122 112 ? ≈ 128 5 107,8. 17 Precipitación: s(C) 5 14,77; s(S) 5 8,43 La posición de C3 es 158. c) Temperatura: CV(C) 5 29,2%; CV(S) 5 61,3% 8 Precipitación: CV(C) 5 39,7%; CV(S) 5 18% Por tanto, C3 5 114 1 11 ? 5 116,9 Las temperaturas de Castellón son menos dispersas que las de 30 Soria, sin embargo son más dispersas las precipitaciones. Recorrido intercuartílico: C3 2 C1 5 17,4. b) La posición de D3 es 63.

8 Por tanto, D3 5 98 1 19 ? 5 101,1. 49 La posición de D6 es 126. 8 Por tanto, D6 5 106 1 33 ? 5 110,9. 54 D6 2 D3 5 9,8


20. Los rendimientos medios (en kilogramos por hectárea) en España, para los cereales que se indican, fueron: Año Trigo Maíz

1999 2 150 9 450

2000 3 100 9 220

2001 2 300 9 720

2002 2 830 9 510

2003 2 840 9 110

Halla los rendimientos medios para el quinquenio de cada cereal. ¿Qué cereal es más fiable?

12/5/08 15:36:00

11


T representa al trigo y M al maíz. x(T) 5 2 644 kg/ha x(M) 5 9 402 kg/ha CV(T) 5 13,57% Es más fiable el maíz.

s(T) 5 358,7 kg/ha s(M) 5 216 kg/ha CV(M) 5 2,3%

j cuestiones básicas 1. Representa estos datos mediante un diagrama de sectores. Otros 500 Europeos 1 500

Tipo III. Problemas varios

Suramericanos 1 000

21. A un congreso asisten seis mujeres cuyas edades son: 27 34 38 42 33 36 a) Calcula la media y varianza de sus edades. b) Cinco años después coinciden las mismas mujeres. A partir de los cálculos anteriores, halla la nueva media y varianza de sus edades. a) x 5 35 años. s2 5 21,33 b) Pasados 5 años las edades son: 32, 39, 43, 47, 38, 41. Como vimos en el problema resuelto 10, la nueva media x[15] 5 x 1 5 5 35 1 5 5 40 y la nueva varianza s2[15] 5 s2 5 21,33. 22. Una persona viaja de Pontevedra a Valladolid a una velocidad media de 90 km/h y regresa a una media de 110 km/h. Halla la velocidad media del viaje completo. e e Tiempo de vuelta: t2 5 Tiempo de ida: t1 5 90 110 2e Velocidad media 5 5 99 km/h. t1 1 t2

Asiáticos 250

A 24º 108º

66º

Categoría A B C D E

B

90º

72º

C

D

fi 40 110 120 150 180

Fig. 11.14.

24. Halla la tabla de frecuencias asociada a este histograma: 6 5 4 3 2 1 0

Africanos 750

Fig. 11.16.

2. ¿Sería adecuado representarlos con un histograma? Justifica tu respuesta. No: son datos de carácter discreto. 3. ¿Y mediante una línea poligonal simple? ¿Y acumulativa? Tampoco. Por lo mismo y porque son heterogéneos. 4. A partir de esos datos, indica, explicando el porqué, qué medida de centralización podría calcularse: a) ¿La media?; b) ¿La mediana?; c) ¿La moda? La moda. 5. Representa la poligonal acumulada correspondiente. 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 0

23. El siguiente gráfico representa un total de 600 elementos. ¿Cuál es la frecuencia de cada categoría? E

85

24 700 18 900 12 700 2 500

Ene Fig. 11.17.

4 300 Feb

7 300

Mar

Abr

May

Jun

6. Halla la media de visitantes mensuales. 24 700 5 4 116,7 x5 6 7. Halla el rango de edades, la moda y la mediana.

Rango: 52 2 18 5 34; moda: 24; mediana: (elemento 11º) 28.

8. Calcula, con ayuda de la calculadora en el modo estadístico, la media y la desviación típica de las edades. x 5 29,43, s 5 8,9 9. Halla el coeficiente de variación de la edad. 8, 9 CV 5 5 0,302 29, 43

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Fig. 11.15.

Intervalos fi


[1, 4) 6

[4, 6) 12

[6, 7) 3

[7, 11) 4

10. Si la estatura de esos ciclistas se distribuye con media 172 cm y desviación típica 18 cm, qué variable es más dispersa, ¿la edad o la estatura? 18 5 0,105. CV(Estaturas) 5 172 Es más dispersa la variable edad.

12/5/08 15:36:17

12

86

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

j ACTIVIDADES 1. Ocho alumnos, tomados al azar, teclean 40 líneas de texto en un ordenador. El tiempo empleado, en minutos, y el número de errores cometidos, fueron: Tiempo (X)

9

10

12

13

15

15

22

25

Errores (Y)

18

20

30

15

21

10

32

20

a) ¿Existe correlación entre los datos? b) Da una explicación de las diferencias respecto al ejercicio anterior. a) La nube de puntos asociada sugiere una correlación lineal muy débil.

Errores

30 25 20 15 10 5

a) y 2170 51, 6( x 265); x 265 5 0, 4( y 2170). b) 69 kg; 186 cm.

j Problemas propuestos Tipo I. Correlación a partir de nubes de puntos 1. El número de españoles ocupados (en millones) en la agricultura, para los años que se indican, era: Año

1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994

Ocupados

2,1

Fig. 12.1.

b) En el ejemplo 1, las 8 personas tenían una destreza similar; por tanto, a más tiempo, menos errores. Aquí, los 8 alumnos han sido elegidos al azar.

1,96

1,74

1,69

1,49

1,25

1,16

a) Sí, pues la nube de puntos se ajusta bien a una recta. 3 2 1

2. Halla el coeficiente de correlación de la distribución dada por la siguiente tabla: X

4

7

3

9

Y

3

6

7

5

3. a) Halla la recta que mejor se ajuste a los datos:

y

y 5 20,0714x 1 7,8879 r2 5 0,973

80 82 84 86 88 90 92 94 x

x 5 5,75; sx 5 2,385 y 5 5,25; sy 5 1,479 sxy 5 20,188; r 5 20,053

Fig. 12.2.

b) Esta recta de regresión no sería válida para hacer estimaciones alejadas de los años considerados. Por ejemplo, para el año 2011 obtendríamos 20,0341 millones de ocupados en la agricultura; cifra que carece de sentido. (La recta de regresión es Y 5 20,071369 (X 2 1980) 1 2,17833. El coeficiente de correlación lineal vale r 5 20,986392.)

2. El departamento de control de calidad de una empresa de instalación de componentes electrónicos desea determinar la relación entre las semanas de experiencia de sus trabaY 3 4 6 6 8 jadores (X) y el número de componentes rechazados a esos trabajadores (Y) la semana anterior. b) Mediante esa recta, estima el valor de Y para x 5 2 y x 5 7. X

2,04

a) ¿Podría explicarse su evolución mediante una recta de regresión? b) ¿Qué limitaciones tendrían las estimaciones hechas por esa recta?

5 10 15 20 25 30 Tiempo

a) Halla las dos rectas de regresión. b) ¿Cuánto se estima que pesará un individuo que mide 180 cm? ¿Qué altura corresponde a un peso de 75 kg?

1

3

4

a) y 51, 7027 1 0, 972973 x; b) 3,648 y 8,5135

5

6

r 5 0,96

4. En una población, la media del peso de sus habitantes es de 65 kg y la de la estatura es 170 cm, siendo sus desviaciones típicas de 5 kg y 10 cm, respectivamente. Se sabe además que el coeficiente de correlación lineal entre ambas variables es de 0,8.


Trabajador examinado Semanas de experiencia (X) Número de rechazos (Y)

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

7

8

10 1

4

5

15 18 4

8

22 35 15 42 26 30 16 20 31 23

a) Representa el diagrama de dispersión asociado a esos datos. ¿Sugiere la gráfica alguna asociación lineal? b) ¿Cómo calificarías la correlación?

12/5/08 15:36:27

12


6. En el año 1995, la renta per cápita por habitante y la esperanza de vida para la mujer, en seis países, se da en la siguiente tabla:

40 35 30 25 20 15 10 5

Renta (miles de $) Esperanza de vida

8

12 16 Experiencia

20

Fig. 12.3.

Podrá ajustarse la recta trazada. b) La correlación parece fuerte e inversa. 3. Dos conjuntos de datos bidimensionales tienen como coeficientes de correlación r 5 20,83, r 5 0,51. a) Representa gráficamente dos conjuntos de puntos cuyas correlaciones reflejen aproximadamente las dadas. b) Razona cuál de los dos conjuntos estará más concentrado respecto a sus correspondientes rectas de regresión.

y

r = 20,83

y

r = 0,51

Fig. 12.4.

b) La concentración será mayor cuando la correlación sea más fuerte, y esto sucede cuando r 5 20,83. 4. Asocia las rectas de regresión y 5 2x 1 16, y 5 2x 2 12, y 5 0,5x 1 5 a las nubes de puntos siguientes: (a)

y 16 12 8 4

4 8 12 16 x

y 16 12 8 4

(b)

4 8 12 16 x

y 16 12 8 4

(c)

3,1 70

10 72

80 70 60 50

Fig. 12.6.

2 4 6 8 10 Renta

80 70 60 50

Fig. 12.7.

7. Se han tomado ocho medidas de la temperatura (X) de una batería y de su voltaje (Y), y se obtuvieron los siguientes datos: 4 8 12 16 x

X: temperatura Y: voltaje

y 5 2x 116 (c); y 5 2x 2 12 →(b); y 5 0,5x 1 5 →(a) 5. Asigna los coeficientes de correlación lineal r 5 0,4, r 5 20,85 y r 5 0,7, a las nubes de puntos del problema anterior.


1,7 55

2 4 6 8 10 Renta

Fig. 12.5.

a) 0,4; b) 0,7; c) 20,85.

2,4 70

La relación renta2esperanza de vida se ajustaría a una curva como la siguiente.

x

x

0,6 54

b) Con los puntos dados inicialmente podría suponerse que la correlación es lineal; de hecho, r 5 0,7547. No obstante, la correlación adecuada es exponencial (o logarítmica) aunque con los nuevos datos no termine de verse claro. Piénsese que para países con esperanza de vida muy baja, un mínimo incremento en la renta produce notables aumentos en la esperanza de vida, mientras que para países con vida media muy alta es muy difícil aumentarla.

a) Por ejemplo:

a)

Esperanza de vida

4

11,7 75

a) Representa la nube de puntos asociada. b) ¿Qué tipo de correlación observas? ¿Piensas que es lineal? (Te damos otros puntos para que contrastes tu opinión: (1,5, 72), (15,7, 79), (0,9, 61), (8,5, 75).)

Esperanza de vida

Nº de rechazos

a)

87

10,0 10,0 23,1 23,5 34,0 34,5 45,0 45,6 430 425 450 460 470 480 495 510

a) S in efectuar cálculos, razona cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X para los datos anteriores: y 5 350 2 2,1x y 5 460 2 2,1x y 5 406 1 2,1x b) Para 25 grados, ¿qué voltaje sería razonable suponer? a) Puede observarse que al aumentar la temperatura también lo hace el voltaje; por tanto, la correlación es positiva. Como el signo de la correlación es el mismo que el de la pendiente de la recta de regresión, la única recta posible es y 5 406 1 2,1x. b) Para esa ecuación, si x 5 25 se tiene y 5 406 1 2,1 ? 25 5 5 458,5.

12/5/08 15:36:35

12


Tipo II. Cálculo de la correlación y regresión

11. El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número de horas, viene expresado en la siguiente tabla: X: Nº de horas Y: Nº de bacterias

8. ¿Qué se entiende por correlación entre variables? ¿Qué es el coeficiente de correlación lineal? ¿Qué valores puede tomar ese coeficiente? Si el coeficiente de correlación es cero, ¿cómo son las variables? Ver parte teórica. 9. Para los datos del problema 2, halla con ayuda de la calculadora: a) Las medias y desviaciones típicas marginales. b) La covarianza. c) El coeficiente de correlación lineal. d) La recta de regresión de Y sobre X. e) El número de rechazos que hay que esperar para una persona con 20 semanas de experiencia.

Sumas: ∑ xi 5 15;

∑x y i

i i

i

5 260;

∑x

2 i

∑y

5 884;

2 i

5 7 420;

a) x 5 8; sx 5 4,93963; y 5 26; sy 5 8,12403 b) sxy 5 178,8 2 8 ? 26 5 229,2 c) r 5 229,2 /(4,93963 ? 8,12403) 5 20,72763 d) y 5 21,19672x 1 35,5737 e) 11,6, que aproximamos a 12.

10 7 5 3 0 2 4 6 8 10

Formamos la tabla: Y

X2

Y2

X?Y

10

2

100

4

20

7

4

49

16

28

5

6

25

36

30

3

8

9

64

24

0

10

0

100

0

SXi 5 25

SYi 5 30

SXi2 5 183

SYi2 5 220

SXiYi 5 102

Se obtiene. 102 183 2 a) x 55; s x 5 25 ? 6 529, 6 25 511, 6; y 56; s xy 5 5 5 La ecuación de la recta de regresión es s xy y 2 y 5 2 ( x 2 x ) ⇒ y 5 20,8276x 110,138 sx b) Si X 5 7 ⇒ Y 5 4,3448. 2


3 34

4 56

5 62

i

5 206;

∑x

2 i

5 55;

∑y

2 i

5 9 170;

5 701

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 12,5 18 25 32 41 52

a) Representa el diagrama de dispersión asociado a esos datos. ¿Sugiere la gráfica alguna asociación lineal? b) ¿Cómo calificarías la correlación?

b) ¿Cuál es el valor que correspondería según dicha recta a X 5 7?

X

i

∑y

Diámetro en mm (X) Peso a la rotura en kg (Y)

10. a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X en la distribu- ción siguiente realizando todos los cálculos intermedios.

2 23

12. Se está experimentado la resistencia a la rotura de una determinad fibra textil. Para ello, se ha medido el diámetro de la fibra y el peso que soporta hasta la rotura, obteniéndose los siguientes datos:

i

X Y

1 19

a) x 5 2,5; sx 5 1,70782; y 5 34,3333; sy 5 18,6964 b) sxy 5 31 c) r 5 0,97086 d) y 5 10,6285x 1 7,7619

Sumas:

∑ x 5 80; ∑ y ∑ x y 5 1 788

0 12

Calcula: a) Las medias y desviaciones típicas de las variables, número de horas y número de bacterias. b) La covarianza de la variable bidimensional. c) El coeficiente de correlación e interpretación. d) La recta de regresión de Y sobre X.

a) Resistencia (kg)

88

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0,5 1 1,5 Diámetro (mm)

2

Fig. 12.8.

Claramente se adivina una correlación lineal b) Positiva y muy fuerte. 13. Con los datos del problema anterior, halla: a) La recta de regresión de Y sobre X y determina la resistencia a la rotura de una fibra de 2,5 mm de diámetro. b) La recta de regresión de X sobre Y y determina el diámetro mínimo de una fibra para que soporte más de 60 kg. Utilizando la calculadora: a) Y 5 39,0714 ? X 2 28,5238. Para X 5 2,5 mm, Y 5 69,1547 kg b) X 5 0,02522 ? Y 1 0,74112 Para Y 5 60 kg, X 5 2,25 mm

12/5/08 15:36:57

12


14. Se ha medido la temperatura (en ºC) y la presión atmosférica (en mm) en una ciudad, a la misma hora de siete días seguidos. Los datos fueron: Temperatura

15

16

17

20

18

16

12

Presión

800

810

800

820

810

780

750

89

Es inversa y muy fuerte. b) r 5 20,98792 G 5 430,655 2 19,2896T b) G(8) 5 276,34 €; G(17) 5 102,71 €; G(26) 5 270,89 €. Los dos primeros resultados son lógicos. El tercer valor es un disparate: por encima de una determinada temperatura el gasto en calefacción suele ser nulo, pero nunca negativo.

a) Representa estos valores en forma de nube de puntos. b) ¿De la representación anterior se puede deducir el tipo de dependencia que hay entre la temperatura y la 16. La tabla siguiente muestra las notas obtenidas por 8 alum presión? nos en un examen, las horas de estudio dedicadas a su c) Calcula el coeficiente de correlación. preparación y las horas que vieron la televisión los días d) Halla la recta de regresión de presión sobre tempe- previos al examen. ratura.

Nota Horas de estudio Horas de TV

P 825 800

a) b)

775 750

12

14

16

18 20

T

b) Directa. c) r 5 0,868655 d) Presión 5 661,45 1 8,244 ? Temperatura. Observa: En vez de denominar a las variables correlacionadas por las letras X e Y (o sus minúsculas), para evitar confusiones escribimos el nombre completo o una abreviatura lógica: esto es muy frecuente en los manuales de Estadística para Ciencias Sociales. También es usual escribir la recta en la forma Y 5 A 1BX , pues así aparece, en las calculadoras y en los programas por ordenador. 15. La temperatura media anual, en ºC, de varias ciudades, y el gasto medio anual en calefacción por habitante (en euros) fue: Temperatura

10

12

15

16

18

22

Presión

250

200

140

100

80

20

6 7 10 9 6 2

3 5 4 8 11 9

8 4 10 5 3 9

9 14 5

Representa gráficamente los diagramas correspondientes a nota-estudio y nota-TV. ¿Se observa correlación entre las variables estudia- das? ¿De qué tipo? ¿En qué caso estimas que es más fuerte?

a)

Fig. 12.9.

5 7 7

12

12 Horas de TV

a)

Horas de estudio

9 6 3 3

6

9 6 3

9 12

3

Nota

6

9 12 Nota

Fig. 12.11.

b) Sí. Directa; inversa. Parece más fuerte en la directa. 17. Con los datos del problema anterior, halla el coeficiente de correlación de nota-estudio y nota-TV. ¿Qué puede deducirse con más precisión conociendo la nota que obtuvo una persona en el examen: el tiempo que dedicó al estudio o el que dedicó a ver la televisión?

r(nota2estudio) 5 0,943382. a) Representa la nube de puntos asociada. ¿Qué correla- r(nota2TV) 5 20,846283. ción observas? ¿Es fuerte? El tiempo que dedicó al estudio. b) Halla el coeficiente de correlación y la recta de regre- sión del gasto sobre la temperatura. c) ¿Qué gasto cabe esperar en ciudades con temperatura 18. Con los datos del problema 16, halla las rectas de regresión correspondientes y estima para un alumno que sacó un 2 en media de 8, 17 y 26 ºC? ¿Te parece lógico el resultado? el examen: a) G a) Las horas que estudió. 250 b) Las horas que vio la TV. 200

Estudio 5 20,246753 1 1,46753 ? Nota. TV 5 14,1299 2 1,2987 ? Nota. 2,7 horas; 11,5 horas.

150

100 50

Fig. 12.10.


4

8 12 1 6 20 22 T

19. La altura (en cm), el peso y el número de zapato que usan ocho alumnas de primero de bachillerato se dan en la siguiente tabla:

12/5/08 15:37:04

12

90

Altura Peso Zapato

164 52 37


158 55 37

162 53 36

166 50 38

168 51 39

172 56 40

174 52 41

170 53 40

b) ¿Qué altura cabría esperar para un hijo si su padre mide 174? ¿Y para un padre, si su hijo mide 190 cm? a) Hijo 5 68,1853 1 0,621859 ? Padre. Padre 5 77,4406 1 0,545082 ? Hijo. b) 176,4 para el hijo; 181 para el padre.

a) Representa las nubes de puntos asociadas a los pares de variables altura/peso y altura/zapato. ¿Qué correla- ción observas? b) Halla el coeficiente de correlación en cada uno de los 22. Los años de 7 árboles y el diámetro de su tronco, en cm, se dan en la siguiente tabla: casos. Años Diámetro

a) Peso

56

42

54

40

Zapato

52 50

36

En el primer caso no se observa correlación. En el segundo, la correlación es directa y fuerte. b) Altura2peso: r 5 20,0877557. Altura2zapato: r 5 0,920761. Nota: Para chicas jóvenes, en contra de lo que muchos suponen, no existe correlación clara entre la altura y el peso. En diversos muestreos, con alumnas entre 16 y 20 años, hemos obtenido valores de r muy próximos a cero, tanto positivos como negativos.

3

3,5

8

11

2,5

8

6,5

5

15

7,5

3

4

10

8

6

9

7

5

12

7

Halla la recta de regresión del incremento de beneficios sobre la inversión. Sean Y 5 incremento de beneficio; X 5 inversión. Se obtiene: Y 5 2,74444 1 0,00062222 ? X

21. La altura, en cm, de 8 padres y del mayor de sus hijos varones, son: 173 177

178 175

167 170

171 178

169 169

184 180

175 187

a) Calcula la recta de regresión que permita estimar la altura de los hijos dependiendo de la del padre; y la del padre conociendo la del hijo.


10 23

14 25

20 27

x y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3,2 3,7 4,2 5,3 5,7 6,5 6,8 7,2 7,9 7,7 8 8,5

En esta tabla, x representa la edad en meses e y el peso en kilogramos. a) Calcula la media y la desviación típica de los pesos. b) Determina la ecuación de la recta de regresión de y sobre x, explicando detalladamente los cálculos que haces y las fórmulas que utilizas. Utilizando calculadora se obtiene. a) y 56, 225, s y 51, 7181 b) y 5 0,48706x 1 3,05909 Otros resultados: r 5 0,97861; x 56, 5; s x 53, 45205

24. Los mejores saltos anuales (en metros), de Jonathan Edwards, plusmarquista mundial de triple salto en 1995, fueron: Año 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Salto 16,05 16,35 16,74 17,28 16,51 16,43 17,34 17,44 17,44 18,29

Tipo III. Estimación a partir de la recta de regresión. Aplicaciones

170 172

8 20

23. Durante su primer año de vida han pesado a Marta cada mes. En la tabla siguiente se dan sus pesos:

20. Los gastos de inversión (X), en miles de euros, en la modernización de equipos informáticos y el porcentaje de incremento de beneficios (Y) de diez empresas de similares características, fueron:

Padre Hijo

5 17

a) X 5 años; Y 5 diámetro. x 59; sx 5 5,83; y 519, 57; sy 5 5,55; r 5 0,93563 y 5 11,55 1 0,89 ? x. b) Y(10) 5 20,45; Y(20) 5 29,35. Las diferencias son debidas a que la recta de regresión da una media del valor esperado.

155 160 165 170 175 Altura

Fig. 12.12.

Inversión (€) Incremento de beneficios (%)

4 15

a) C alcula, utilizando la recta de regresión, el diámetro que se puede predecir para árboles de 10 y 20 años. b) Compara el resultado anterior con los valores observa- dos en la tabla. Razona el porqué de las diferencias.

38

155 160 165 170 175 Altura

2 10

a) Calcula la correlación años-longitud de saltos. b) ¿Puede emplearse la recta de regresión para estimar lo que Edwards saltó en 1980?; ¿y en el año 2002? Aconsejamos hacer el cambio X´ 5 2 1 986. Así, los datos anuales son 0, 1, 2, …, 9. a) r 5 0,843038. b) No. En 1980 podría ser muy joven para saltar lo esperado. En el año 2002 puede ser viejo para seguir saltando. La recta de regresión es Salto 5 16,13 1 0,19 ? Año (Y 5 16,13 1 0,19 ? X´), que para los dos años indicados da ría 14,99 y 19,17 m, respectivamente. Observa: En junio de 2006 el récord de Edwards no había sido batido.

12/5/08 15:37:14

12


25. Utilizando la recta de regresión de x sobre y correspondiente a la distribución siguiente: x 5 altura sobre el nivel del mar y 5 temperatura media en ºC

0 184 231 481 911 20 18 17 12 10

Calcula la altitud de una ciudad en la que la temperatura media es de 15º. Hay que calcular la recta de regresión de x sobre y: s xy x 2 x 5 2 ( y 2 y ). sy Con la calculadora se obtiene: x 5 1 595,7 2 80,2y Para y 5 15º, x 5 392,7 metros. (Otros parámetros: x 5 361,4; y 5 15,4; sx 5 314,8;sy 5 3,77)

26. Para once ciudades inglesas se ha medido su altitud (A, en metros) y la precipitación total (P, en mm) para un año. Los datos son los siguientes:

91

a) Las coordenadas del centro medio son x 5 4,5, y 5 4,17. El pueblo más cercano a ese punto es C. b) Las coordenadas del centro medio ponderado son: x p 5 3,23, y p 5 3,62. El pueblo más cercano a ese punto es A. (Quizá sea esta la mejor solución.) Véase el gráfico. 8 E

6

B

P

A

4 2

D

Pp

2

4

C

F

8

6

Fig. 12.14.

Altitud 12 99 10 48 2 39 23 162 45 20 40 Precipitación 658 1259 809 839 786 853 1150 1307 786 894 774

a) Representa los pares de datos. ¿se observa correlación lineal entre ellos? b) Halla el coeficiente de correlación lineal y coméntalo. c) Hallay representa la recta de regresión de la precipitación 1. ¿Qué tipo de correlación existe entre las siguientes pares sobre la altitud. ¿Hay garantías de que esa recta pueda de variables? utilizarse para estimar una variable a partir de la otra? a) Precipitación mensual/venta de paraguas. b) Número de habitantes por médico/mortalidad infantil a) 1300 en un país. 1200 c) Número de habitantes por médico/consumo de gasolina. 1100 d) Edad/reflejos.

Precipitación (mm)

j cuestiones básicas

1000 900 800 700 600

20 40 60 80 100110120140160 Altitud (m) Fig. 12.13.

Hay correlación lineal directa. b) r 5 0,77362. Su valor es alto, por tanto podemos estimar que, en general, a mayor altitud corresponderá mayor precipitación. c) y 5 3,57x 1 757,24. El coeficiente de determinación vale r 2 5 0,598. Por tanto, la altitud explica casi el 60 % de la variación de las precipitaciones.

a) Directa; b) Inversa; c) Inversa (es espuria, pues, aunque a mayor número de personas en un país por cada médico el consumo de gasolina es menor, lo primero no es causa de lo segundo; la causa está en que el país es más pobre y, por tanto, hay menos médicos, menos coches, menos escuelas, etc.); d) Inversa. 2. Considera los siguientes diagramas de puntos. (a) 8 6 4 2

27. Se quiere construir una escuela a la que acudan los niños y niñas de 6 pequeños núcleos de población de una comarca. La posición sobre el plano y el número de niños de cada pueblo se dan en la tabla: Pueblo Niños Posición

A B C D 30 15 10 35 (3, 4) (2, 5) (5, 4) (2, 2)

E F 8 5 (6, 6) (9, 4)

a) D etermina el pueblo más adecuado para construir la escuela, sin tener en cuenta el número de niños. b) Haz lo mismo teniendo en cuenta su número.


(b) 8 6 4 2

2 4 6 8

2 4 6 8

(c)

(d)

8 6 4 2

8 6 4 2 2 4 6 8

2 4 6 8

Fig. 12.15.

12/5/08 15:37:26

12

92


¿En cuál de ellos la correlación lineal es más fuerte? En a), aunque podría dudarse entre a) y c)

3. Indica alguna situación real que se ajuste, aproximadamente, a cada una de las nubes dadas. Por ejemplo: a) Velocidad de un coche y distancia de frenada. b) La descrita en la cuestión anterior, apartado a). c) La descrita en la cuestión anterior, apartado b). d) Edad y simpatía. 4. ¿Qué coeficiente de correlación asignarías a cada una de las nubes de puntos de la cuestión 2? (a) r 5 20,8 (b) r 5 20,2 (c) r 5 0,7 (d) r 5 0,93 a) → c); b) → d); c) → b); d) → a) 5. Asocia las siguientes rectas de regresión a las nubes de puntos de la cuestión 2: a) y 5 20,5x 1 4 b) y 5 x 2 2 c) y 5 2x 1 1 d) y 5 2x 1 5 a) → d); b) → b); c) → a); d) → c).

4 3 2 1

1 2 3 4 5 x Fig. 12.16. 7. Con los datos anteriores, y sin efectuar cálculos, razona

cuál de los siguientes valores es su coeficiente de correlación: 0,3, 20,9, 20,1, 0,98. La correlación es directa y fuerte: la única posibilidad es 0,98.

8. Para los mismos datos, sin efectuar cálculos, ¿cuál de las siguientes rectas es la de regresión de Y sobre X?: y 5 1,33 2 0,37x; y 5 2,1 1 4,5x; y 5 4 1 0,65x. y 5 1,33 1 0,65x; La recta de regresión tiene pendiente positiva y corta al eje OY entre 1 y 2; la única posibilidad es y 5 1,33 1 0,65x. 9. La recta de regresión asociada a un conjunto de datos es y 5 1,33 1 0,65x. Para el valor x 5 3,5, ¿qué predicción de la variable Y es razonable efectuar? y(3,5) 5 1,33 1 0,65 ? 3,5 5 3,605.

6. Representa la nube de puntos asociada al siguiente conjunto de datos bidimensionales: X Y

y

1 2,1


2 2,5

3 3,1

4 4,2

5 4,5

10. Las estimaciones hechas a partir de una recta de regresión son más fiables cuando su ecuación se ha obtenido a partir de: a) 2 pares de datos. b) 20 pares de datos. c) 200 pares de datos. d) Es independiente de los datos considerados. Toda estimación es más fiable cuando aumenta el tamaño de la muestra, siempre y cuando los elementos se obtengan por algún procedimiento aleatorio.

12/5/08 15:37:29

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1. En el lanzamiento de tres monedas, calcula la probabilidad de los sucesos: a) Obtener tres caras. b) Sacar dos caras, al menos. c) Sacar dos caras o dos cruces. d) Sacar dos caras si se ha obtenido una cruz. El espacio muestral es de 8 sucesos elementales: E 5 {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}, entonces aplicando Laplace: a) P(CCC) 5 1/8 b) P(CCC, CCX, CXC, XCC) 5 4/8 c) P(CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC) 5 6/8 d) P((CCX, CXC, XCC)/”tener una X”) 5 3/7 pues los casos posibles son 7. 2. El 24 % de los alumnos de un centro de enseñanzas medias son extranjeros. De ellos, el 40 % están becados, así como un 27 % de los nacionales. Si se elige un alumno al azar ¿qué probabilidad hay de que el alumno esté becado? Sea B 5 «estar becado», E 5 «ser extranjero» y N 5 «ser nacional», aplicamos la probabilidad total: P(B) 5 0,24·0,4010,76·0,27 5 0,3012. 3. Encuentra la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que mide la diferencia entre las puntuaciones obtenidas al lanzar dos dados. La diferencia de puntuaciones queda medida por la variable X: 0, 1, 2, 3, 4, 5 que asignando probabilidades a cada valor se tiene: 0 6/36

1 10/36

2 8/36

3 6/36

4 4/36

5 2/36

4. En un juego de apuesta, se lanzan dos dados, obteniéndose el doble de lo apostado si la suma de puntos es 7 y perdiéndose la mitad de aquélla si la suma es distinta de 7. ¿Apostarías en este juego? Sea X la cantidad apostada. Como P(«suma 5 7») 5 6/36, la esperanza del juego es: E(X) 5 2X· 6/36 1 (2X/2)·30/36 5 2X/12, que al ser negativa indica que es desfavorable al apostante. 5. Para una variable X 5 B(10, 0,2) calcula las probabilidades siguientes: a) P(X 5 8); b) P(X 9); c) P(3 X 6). Mirando en la tabla obtenemos: a) P(X 5 8) 5 0,0001 b) P(X , 9) 5 1 2 P(X 5 9) 2 P(X 510) 5 5 1 2 0,0000 2 0,0000 5 1 c) P(3 , X # 6) 5 P(X 5 4) 1 P(X 5 5) 1 P(X 5 6) 5 5 0,0881 1 0,0264 1 0,0055 5 0,12


93


j ACTIVIDADES

X P(X)

13

Tipo I. Espacio muestral. Probabilidad 1. Encuentra los espacios muestrales de los siguientes experimentos: a) Lanzar tres monedas. b) Mayor puntuación al lanzar dos dados. a) El espacio muestral es de 8 sucesos elementales: E 5 {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}. b) En este caso, los sucesos elementales son seis: E 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Describe y enumera los sucesos elementales correspondientes a la experiencia: a) Diferencia entre las puntuaciones de una ficha de dominó. b) Extraer dos bolas, sin reemplazamiento, de una bolsa que contiene 3 rojas, 2 negras y una blanca. a) Sea X la variable que cuenta la diferencia de puntuacio nes, X puede valer: X50 para los sucesos elementales {020. 121, 222, 323, 424, 525, 626} X51 para {120, 221, 322, 423, 524, 625} X52 para {220, 321, 422, 523, 624} X53 para {320, 421, 522, 623} X54 para {420, 521, 622} X55 para {520, 621} X56 para {620} b) El espacio muestral es: E5{RR, RN, RB, NR, NN, NB, BR, BN}, designando por B, N y R, sacar bola blanca, negra y roja, respectivamente, 3. Al extraer una carta de una baraja de 40 cartas calcula la probabilidad de que sea: a) Un rey. b) El rey de copas. c) No sea una figura. a) P(Rey)54/40 b) P(Rey de copas)5 1/40 c) P(No figura) 5 28/40 (hay 12 figuras: 4 sotas, 4 caballos y 4 reyes) 4. Un dado dodecaédrico (de 12 caras) tiene caras blancas, negras y rojas. Si la probabilidad de sacar cara blanca es de 2/3 y de negra 1/6, ¿cuántas caras hay de cada color? 2 8 1 2 P(blanca) 5 5 , P(negra) 5 5 , 3 12 6 12 1 2 P(roja) 5 1 2 [P(blanca) 1 P(negra)] 5 5 . Luego, hay 8 ca6 12 ras blancas, 2 negras y 2 rojas. 5. Si se consideran familias con tres hijos, ¿cuál es la probabilidad de que una elegida al azar tenga, al menos, una niña?

12/5/08 15:37:35

94

13


P(al menos una niña) 5 12 P(todos varones) 5 1 2 1/8 5 7/8, ya que el espacio muestral tiene 8 sucesos elementales: {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}, siendo H 5 hombre y M 5 mujer. 6. Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado dos veces: a) saques al menos un as. b) saques dos ases. El espacio muestral consta de 36 sucesos elementales (6 3 6) a) P(al menos un as) 5 12 P(ningún as)5 1 2 25/36 5 11/36 b) P(2 ases) 5 1/36 Nota: Conviene confeccionar el espacio muestral 7. Calcula la probabilidad P(A < B), sabiendo que P(A) 5 0,3, P(B) 5 0,5 y P(A/B) 5 0,2. P (A > B ) Como P(A/B) 5 5 0, 2 ⇒ P(A > B ) 5 0, 2 ? 0, 5 5 0, 1, P(B) entonces P(A < B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A > B) 5 0,310,520,1 5 0,7 8. La probabilidades de los sucesos A 5 {llueve hoy} y B5 {lloverá mañana} son, P(A) 5 0,3 y P(B) 5 0,5, además la P(A > B) 5 0,2. ¿Cuál será la probabilidad? a) De que llueva al menos uno de los dos días. b) De que no llueva ninguno. c) De que llueva mañana si lo ha hecho hoy. a) P(A < B) 5 0,310,5 2 0,2 5 0,6 b) P[(A < B)]5 12 p(A < B) 5 1 2 0,6 5 0,4 p( A > B) 0, 2 2 c) P(B/A) 5 5 5 p( A) 0, 3 3 9. En un IES, los alumnos se clasifican según su sexo y práctica de la natación, según muestra la siguiente tabla: Varón Mujer TOTAL

Nadador 189 165 354

No nadador 301 335 636

TOTAL 490 500 990

A la vista de estos datos, calcula la probabilidad de que elegido un alumno al azar: a) Sea no nadador. b) Sea mujer y no nadadora. c) Sea nadadora sabiendo que es mujer. d) Sea varón si el alumno elegido no practica natación. Aplicamos, en todos los casos, la regla de Laplace: a) P(«no nadador») 5 636/990 b) P(«mujer y no nadadora») 5 335/990 ser mujer nadadora c) P(«nadadora»/«ser mujer») 5 5 165/500 ser mujer varón no nadador 5 301/636 d) P(«varón”/«no nadador») 5 no nadador

10. Dos jóvenes aficionados a los juegos de azar se encuentran realizando un solitario con una baraja española de 40 cartas. Extraen una carta de dicha baraja y desean saber cuál es la probabilidad de obtener rey condicionado al suceso obtener figura. Caracteriza ambos sucesos.


En una baraja de 40 cartas hay 12 figuras de las que 4 son reyes, así que P(Rey/figura) 5 4/12 5 1/3 11. Se lanzan dos dados. Halla: a) La probabilidad de que una de las puntuaciones sea par y la otra impar. b) La probabilidad (condicional) de que una de las puntuaciones sea par, sabiendo que la suma de las dos es 7. a) P(par e impar) 5 P(1º dado par y 2º impar) 1 P(1º dado 8 1 impar y 2º par) 5 9/36 1 9/36 5 18/36 5 5 16 2 b) P(par/suma 7) 5 1, ya que para sumar 7 un dado debe ser de puntuación par 12. De una urna que contiene 10 bolas blancas y 8 negras se hacen dos extracciones sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de sacar: a) Dos bolas blancas. b) Sólo una negra. c) De distinto color. Halla las mismas probabilidades si las extracciones se hicieran con reemplazamiento. Sin reemplazamiento: 10 9 a) P(B > B) 5 18 17 b) P(sólo 1 negra) 5 P(N > B) 1 P(B > N)5 10 8 8 10 10 8 5 1 52 18 17 18 17 18 17 c) P(distinto color) 5 P(una negra y otra blanca)5 P(sólo 1 negra) Con reemplazamiento: 10 10 a) P(B > B) 5 18 18 b) P(sólo 1 negra) 5 P(N > B) 1 P(B > N)5 10 8 8 10 10 8 5 1 52 18 18 18 18 18 18 c) P(distinto color) 5 P(una negra y otra blanca) 5 P(sólo 1 negra) 13. Un individuo lleva dos llaveros en el bolsillo: el primero con tres llaves, una de las cuales abre su casa; el segundo con cuatro llaves, de las que también una abre la puerta de casa. Si elige un llavero y una llave del mismo, al azar, ¿qué probabilidad tiene de que abra la puerta de su casa? Aplicamos la probabilidad total: P(«abrir la puerta») 5 11 11 7 5 1 5 2 3 2 4 24 14. En un centro escolar, entre los alumnos, un 80 % posee móvil, un 45 % un mp3 y un 30 % ambos. Seleccionado un alumno al azar, calcula la probabilidad de que tenga: a) Alguno de esos aparatos. b) Mp3 sabiendo que tiene móvil. c) Móvil si no tiene mp3. a) P(Móvil < Mp3) 5 0,8 1 0,45 2 0,3 5 0,95 P (Mp3 > Móvil) 0, 3 3 b) P(Mp3/Móvil) 5 5 5 P(Móvil) 0, 8 8 c) P(Móvil/No Mp3) 5

12/5/08 15:37:49

13


5 4 3 10 P(X53) 5 5 8 7 6 56 Su media es: E(X) 5S xi pi 5 1 15 30 10 105 5 0 ? 11 ? 12 ? 1 3 ? 5 56 56 56 56 56

P (Móvil > NoMp3) P(Móvil) 2 P (Móvil > NoMp3 ) 5 5 P(NoMp3) 1 2 0, 45 0, 8 2 0, 3 0, 5 10 5 5 5 0, 55 0, 55 11

5

15. Una urna contiene 2 bolas negras y 2 bolas blancas. Se realizan cuatro extracciones con reemplazamiento. Se pide: a) Obtener el espacio muestral correspondiente a este experimento aleatorio. b) Determinar qué elementos del espacio muestral constituyen el suceso A: «Sólo sale una bola negra» y cuáles el suceso B: «La segunda bola extraída es negra». c) Hallar las probabilidades correspondientes a los sucesos A y B y las correspondientes a su unión y a su intersección. Si n designa bola negra y b bola blanca. a) El espacio muestral es: E 5 {nnnn, nnnb, nnbn, nbnn, bnnn, nnbb, nbnb, nbbn, bnbn, bbnn, bnnb, bbbn, bbnb, bnbb, nbbb, bbbb} b) A 5{bbbn, bbnb, bnbb, nbbb}; B 5 {nnnn, nnnb, nnbn, bnnn, nnbb, bnbn, bnnb, bnbb} 4 1 8 1 c) P(A) 5 5 ; P(B) 5 5 16 4 16 2 1 Como A > B 5 {bnbb} ⇒ P(A > B) 5 16 Por tanto: P(A < B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A < B) 5 4 8 1 11 5 1 2 5 16 16 16 16

Tipo II. Distribuciones de probabilidad 16. Una variable aleatoria X toma los valores i 5 1, 2,...,5 con probabilidad P(X 5 i) 5 m ? i. Calcula el valor de m y la probabilidad P(X 3). La suma de las probabilidades ha de ser la unidad, entonces: m 1 2m 1 3m 1 4m 1 5m 5 1 ⇒ m 5 1/15 Por otro lado, P(X , 3) 5 P(X 5 1) 1 P(X 5 2) 5 5 1/15 1 2/15 5 3/15 5 1/5 17. De una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 negras se hacen tres extracciones sin reposición. Halla la distribución de probabilidad de la variable X 5 «número de bolas blancas sacadas», y calcula su media. La variable X 5 0, 1, 2, 3, mide el número de bolas blancas extraídas. Sus probabilidades son: 321 1 P(X50) 5 5 (las tres bolas son negras) 8 7 6 56 5 3 2 15 P(X51)5 3 ? 5 (una blanca y dos negras) 8 7 6 56 5 4 3 30 P(X52) 5 3 ? 5 8 7 6 56


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18. Construye la distribución de probabilidad de la mayor puntuación obtenida al lanzar dos dados. La variable puede tomar los valores X 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, con probabilidades: 1 P(X51) 5 , suceso elemental (1, 1) 36 3 P(X52) 5 , sucesos elementales: (1, 2), (2, 1), (2, 2) 36 5 P(X53) 5 , sucesos elementales: (1, 3), (2, 3), (3, 3), 36 (3, 1), (3, 2) 7 P(X54) 5 , sucesos elementales: (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), 36 (4, 1), (4, 2), (4, 3) 9 P(X55) 5 , sucesos elementales: (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), 36 (5, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4) 11 P(X56) 5 , sucesos elementales: (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), 36 (5, 6), (6, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) 19. El número de llamadas que se reciben en una centralita telefónica, en media hora, se distribuyen según la tabla: X P(X)

0 0,01

1 0,05

2 0,1

3 0,1

4 0,2

5 0,3

6 0,24

Calcula el número medio de llamadas y su desviación típica. La media de la distribución resulta ser: m50 ? 0, 001 11 ? 0, 05 12 ? 0, 1 13 ? 0, 1 1 4 ? 0, 2 1 1 5 ?0 , 3 16 ? 0, 24 5 4, 29 La varianza se calcula por: s2 5 ∑ x 2 ? p 2m2 5 2,28 y la desi i viación típica s 5 1,51

20. Sea X el número de casos nuevos de sida, diagnosticados en un importante hospital, durante un día. La función de probabilidad para X es: Casos de sida, x Probabilidad, p

0 0,1

1 0,1

2 0,1

3 0,3

4 0,2

5 0,1

6 0,1

a) Halla la probabilidad de que un día cualquiera, por lo menos 3 casos nuevos sean diagnosticados. b) Halla la media de casos diagnosticados al día y la desviación típica. a) P(al menos 3 casos nuevos) 5 P(x 5 3) 1 P(x 5 4) 1 1 P(x 5 5) 1 P(x 5 6) 5 0,3 1 0,2 1 0,1 1 0,1 5 0,7 b) m50 ? 0, 1 11 ? 0, 1 12 ? 0, 1 13 ? 0, 3 1 4 ? 0, 2 15 ? 0, 1 16 ? 0, 1 5 53, 10 s2 5 ∑ xi 2 ? pi 2m2 50 ? 0, 1 11 ? 0, 1 1 4 ? 0, 1 19 ? 0, 3 1 2 116 ? 0 ,2 125 ? 0 ,1 136 ? 0 ,1 23, 1 52, 89 y s 5 1,7

12/5/08 15:38:15

96

13


21. Si la variable de una distribución de probabilidad, con media m 5 0 y varianza s2 5 3/2, alcanza sólo los valores 21, 0 y 2, halla la probabilidad con que los toma. Si la distribución toma los valores 21, 0 y 2 con probabilidades x, y, z, respectivamente, se tiene. • Media 5 (21) ? x 1 0 ? y 1 2 ? z 5 0 • Varianza 5 (21)2·x1 0·y 1 22·z 2 0 5 3/2 1 1 1 11 1 1 1 ? x 5 1 1 ? 21 2? 5? 5 , y 5 z 5 Igualdades que nos proporcionan 2 2 2 22 42 4 22. En un examen de 10 preguntas tipo test, un alumno tiene una probabilidad de 1/2 de acertar cada una de las preguntas. Si por cada pregunta el alumno obtiene un punto, pero, por cada pregunta fallada el alumno resta medio punto, ¿cuál es la nota final esperada si contesta a las 10 preguntas? ¿Cuál tendría que ser la probabilidad de acertar para que la nota esperada fuese un 3? 1 1 1 1 Puntuación esperada en cada pregunta: 1 ? 1 2 ? 5 , 2 2 2 4 luego en 10 preguntas esperará sacar 10·1/4 5 2,5 Llamemos

x la probabilidad de acertar, entonces: 1 10[1 ? x 1 2 ?(1 2 x )]53 que nos da el valor de x5 8/15 2 23. Contabilizamos la diferencia de puntuaciones obtenidas al comparar dos fichas de dominó. Halla la media y la desviación típica de la variable asociada. La variable X 5 “diferencia de puntuaciones en una ficha de dominó”, se distribuye: X Probab.

0 7/28 5 1/4

X Probab.

3 4/28 5 1/7

1 6/28 5 3/14 4 3/28

2 5/28

5 2/28 5 1/14

6 1/28

(Para obtener esta tabla conviene confeccionar el espacio muestral.) 1 3 5 1 3 1 1 56 m 5 0 ? 11 ? 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 ? 1 6 ? 5 5 2 4 14 28 7 28 14 28 28 1 3 5 1 3 1 1 2 s 5 0 ? 11 ? 1 4 ? 1 9 ? 116 ? 1 25 ? 1 36 ? 222 5 4 14 28 7 28 14 28 5 7 2 4 5 3 ⇒ s 5 3 24. ¿Qué precio equilibrado habría que pagar por participar en una lotería en la que puedes ganar 15 000 € con una probabilidad del 0,2 o 50 000 con probabilidad 0,05? La esperanza matemática de ganancia es: m 5 15 000 ? 0,2 1 50 000 ? 0,05 5 5 500 €, por lo que ese debe ser el precio de la apuesta. 25. Un hincha de fútbol puede ganar 100 € si su equipo vence y pierde 10 € si fuera derrotado. ¿Cuál es la ganancia esperada por el hincha, si la probabilidad de que su equipo venza es del 55 %? La ganancia esperada es: m 5 100·0,551(210)·0,45 5 55 2 4,5 5 50,5 €


Tipo III. Distribución binomial 26. Un examen consta de 10 preguntas del tipo verdadero- falso. Se aprueba con 8 o más preguntas acertadas. Si se responden al azar las cuestiones, ¿qué probabilidad hay de aprobar? Las X preguntas acertadas se distribuye B(10, 0,5), entonces: P ( X $ 8 ) 5 P ( X 5 8 ) 1 P ( X 5 9 ) 1 P ( X 5 1 0 ) 5 0 , 0 4 3 9 1 1 0,0098 1 0,0010 5 0,0547 27. Se han reunido 1 000 familias con 3 hijos. ¿En cuántas se podrán contabilizar 2 chicas? ¿Y en cuántas al menos una chica? (Toma la probabilidad de nacimiento de niña 0,5.) El número de niñas en familias de 3 hijos se distribuye B(3, 0,5), por tanto: P(X 5 2) 5 0,375 ⇒ 1 000 ? 0,375 5 375 familias tendrán 2 niñas P(“al menos una chica”) 5 1 2 P(X 5 0) 5 1 2 0,125 5 0,875 ⇒ 1 000 ? 0,875 5 875 familias tendrán al menos, una niña. 28. Un laboratorio farmacéutico ha comprobado que un 40 % de los que toman un analgésico sufren efectos secundarios. De 5 usuarios, halla la probabilidad de que sufran efectos secundarios: a) Más de 3. b) Al menos 2. El número de usuarios con efectos secundarios, X, se distribuye B(5, 0,4), así que: a) P(X . 3) 5 P(X 5 4) 1 P(X 5 5) 5 0,0768 1 0,0102 5 0,087 b) P(X $ 2) 5 12 P(X50) 2 P(X51) 5 1 2 0,0778 2 0,2592 5 5 0,663 29. En un proceso de fabricación se produce un 5 % de piezas defectuosas. Si se examinan 6 de ellas al azar, qué probabilidad existe de que: a) Haya a lo sumo 4 defectuosas. b) Haya una o dos defectuosas. El número de defectuosas, X, se distribuye B(6, 0,05) a) P(X # 4) 5 1 2 P(X 5 5) 2 P(X 5 6) 5 1 2 0,0000 2 0,0000 5 5 1 (la probabilidad exacta es 0,9999982031) b) P(X 5 1) 1 P(X 5 2) 5 0,2321 1 0,0305 5 0,2626 30. El 30 % de los clientes de un banco piden adelanto de nómina una vez al año. Seleccionados 7 clientes al azar, ¿qué probabilidad existe de que entre 4 y 6 hayan solicitado adelanto de haberes? Sea X el nº de clientes que piden adelanto de nómina, se distribuye B(7, 0,3). Así que P(X54) 1 P(X55)1 P(X56) 5 0,09721 0,025 1 0,0036 5 5 0,1258 31. Un test de respuesta múltiple se compone de 10 preguntas y cada una de ellas presenta una única respuesta correcta de las cuatro posibles. a) Si el test se supera con 3 o más respuestas correctas, ¿cuál es la probabilidad de superarlo respondiendo al azar? b) ¿Cuál es la probabilidad de acertar las 10 preguntas respondiendo al azar?

12/5/08 15:38:23


La probabilidad de respuesta correcta es 1/4, luego el problema puede estudiarse como una binomial B(10, 1/4) 5 B(10, 0,25). Si X es la variable que mide el número de aciertos se tendrá: a) P(X $ 3) 5 1 2 P(X , 3) 5 1 2 P(X 5 0) 2 P(X 5 1) 2 10 10 ? 0, 250 ? 0, 7510 2 ? 0, 251 ? 0, 759 2 P(X 5 2) 5 1 2 0 1

2

10 ? 0, 252 ? 0, 7585 2

5 1 2 0,0563 2 0,1877 2 0,2816 5 0,4744 10 ? 0, 2510 ? 0, 750 5 0, 2510 5 9,5 · 1027 b) P(X 5 10) 5 10

32. Una familia se compone de los padres y 6 hijos. Suponiendo igual la probabilidad de nacimiento de niño o niña, calcula: a) Probabilidad de tener más de una niña. b) Al menos un niño. c) Como máximo dos niños. d) El número medio de hijas. El número de hijas se distribuye B(6, 0,5): a) P(X $ 1) 5 12 P(X50) 2 P(X51) 5 1 2 0,0156 2 0,0938 5 5 0,8906 b) P(X , 6) 5 12 P(X56) 5 1 2 0,0156 5 0,9844 c) P(X $ 4) 5 P(X 5 4) 1 P(X55) 1 P(X56) 5 0,2344 1 1 0,0938 1 0,0156 5 0,3438 d) La media de hijas es 6·0,5 5 3 33. La probabilidad de que un alumno de Medicina finalice la carrera es de 0,45. Halla la probabilidad de que entre 9 alumnos elegidos al azar, al menos 6 finalicen la carrera. ¿Con qué probabilidad terminarán los 9? Se trata de una binomial B(9, 0,45) y P(X $ 6) 5 0,1160 1 0,0407 1 0,0083 1 0,0008 5 0,1658 P(X5 9) 5 0,0008

13

97

36. Un tirador tiene estimado en 60 el número de intentos para conseguir 20 dianas. ¿Qué número de pruebas ha de realizar para tener una certeza del 90 % de conseguir al menos una diana? 20 1 5 ) 60 3 n 10 2 n Queremos que P(X $ 1) 5 12 P(X50) 5 1 2 5 0, 9 0 3 3 n 2 ⇒ 5 0, 1 3 n log 0, 1 2 Aplicando logaritmos: log 55, 68 5 log 0, 1 ⇒ n5 log(2 / 3) 3

El número de dianas logradas, X, es B(n,

→ Tendrá que realizar 6 pruebas. Nota: también se podría hacer por tanteo: 26 5 0, 09 . Por tanto, ha y que tomar n 5 6. 3

25 5 0, 13 y 3

37. En la consulta de un odontólogo, acude el 90 % de los pacientes citados. Si sólo puede atender a seis pacientes por día y ha citado a 8 personas ¿qué probabilidad existe de atender a todos los que acuden? La variable que contabiliza el número de pacientes que acude a consulta es una B(8, 0,9); y atender a todos los pacientes supone que X tome, como máximo, el valor 6: esto es, X # 6. Su probabilidad es: P(X#6) 5 1 2 P(X . 6) 51 2 P(X57) 2 P(X58). Consultando la tabla de la binomial correspondiente a n 5 8, p 5 0,9, r 5 7 y r 5 8, tenemos: P(X#6)5120,382620,4305 50,1869 38. Según estudios recientes, un 40 % de las mujeres padecen algún grado de alopecia (calvicie). Si se toma una muestra de 14 mujeres, ¿qué probabilidad existe de que como máximo 12 presenten calvicie?

Dejemos que X represente el número de mujeres con alopecia. 34. Cuatro personas de edades y estado de salud semejantes Esta variable se distribuye B(14, 0,4), así que: han contratado una póliza de vida. Las tablas de mortaliP(X#2)512P(X513)2P(X514) 5 dad prevén un 0,7 de probabilidad de que esos asegurados vivan dentro de 25 años. Encuentra la probabilidad de que 14 14 13 14 26 (0,4) 512(56 1 2,7) · 10 50,9999 512 (0,4) ?0,62 dentro de 25 años: 14 13 14 14 13 14 26 a) Vivan los 4. (0,4) 512(56 1 27) · 10 50,9999 512 (0,4) ?0,62 b) No viva ninguno. 14 13 c) El número medio de supervivientes. 39. Según una encuesta reciente realizada por el Centro de InX 5 nº de supervivientes es B(4, 0,7) vestigaciones Sociológicas, el 90 % de los españoles declara a) P(X54) 5 0,74 5 0,2401 ser fiel a su pareja. Si se escogen aleatoriamente 12 persob) P(X50) 5 0,34 5 0,0081 nas casadas, averigua la probabilidad de que al menos nueve c) La media es 4 · 0,7 5 2,8 sean fieles a su pareja. En un conjunto de 800 casados, ¿qué número medio de personas se mantendrían fieles? 35. En un juego se lanzan 4 monedas. Se ganan 6 €, si salen las El número, X, de personas fieles se distribuye B(12, 0,9). Por 4 caras iguales, 3 € si salieran 3 iguales y 0,6 € si salen 2 tanto, P(X$29)5P(X59)1P(X510)1P(X511)1P(X512)5 idénticas. ¿Cuál debe ser el precio de la apuesta para que ⎛12 ⎞ ⎛12 ⎞ 9 3 ⎛12 ⎞ 10 2 ⎛12 ⎞ 11 12 sea un juego equitativo? 5 ⎜ ⎟ (0,9) (0,1) 1⎜ ⎟ (0,9) (0,1) 1⎜ ⎟(0,9) 0,11 ⎜ ⎟(0,9) 5 ⎝10 ⎠ ⎝11 ⎠ ⎝12 ⎠ ⎝9⎠ La esperanza de ganancia es: 12?11?10 12?11 1 1 4 4 6 5 0,000391 0,0035112?0,03110,28245 1 13 ? 1 1 0, 6 ? 5 2,48 € 6· 6 2 16 16 16 16 16 50,085810,23110,37210,282450,9712


12/5/08 15:38:44

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Para 800 casados se mantendrán fieles, en media: 800·0,95720 personas.

43. En un taller de confección, las prendas montadas diariamente han de pasar cuatro controles de calidad, observándose el siguiente número de fallos en 1 000 prendas examinadas:

40. En un centro hospitalario, los fines de semana hay una plantilla de cinco médicos para atender las urgencias. Si sólo un 10 % de éstas exigen atención con una UVI móvil, calcula el número de UVI que deben estar disponibles si queremos que la probabilidad de que se necesite un número mayor sea sólo de 0,05.

Ajusta una distribución binomial a estos datos y calcula las frecuencias teóricas.

Si llamamos X 5 nº de UVI móviles que se necesitan, X es B(5, 0,1) pues cada UVI ha de ser dirigida por un médico y queremos que P(X # n) 5 0,95 ⇔ P(X50)1 P(X51)1 P(X52) 1…1P(X5n) 5 5 0,95 ⇔ 0,5905 1 0,3280 1 0,0729 5 0,9914 . 0,95. Así que con 2 UVIs se tiene cubierto el servicio en el 99,14 % (más de 95%) de los casos.

La media de la distribución es: 0 ? 811 11 ?172 12 ?15 13 ? 2 1 4 ? 0 x5 5 0, 2 y la binomial más 1 000 0, 2 ajustada sería B(4, 5 0, 05). 4 Las frecuencias teóricas se calculan:

Fallos Nº de prendas

X 0 1 2 3 4

Tipo IV. Ajuste por una distribución binomial 41. Completa la siguiente tabla de distribución de frecuencias y encuentra los parámetros de la distribución binomial que mejor se ajuste a la misma: Xi Fr i

0 0,25

1 0,43

2 222

3 0,05

La frecuencia relativa que falta es 0,27 (para la suma igual a 1). La media de la distribución es x 50 ? 0, 25 11 ? 0, 43 12 ? 0, 27 13 ? 0, 05 51, 12 y la binomial de mejor ajuste es 3·p 5 1,12 ⇒ p5 1,12/3 5 0,37, o sea una B(3, 0,37) 42. En una playa se han computado el número de servicios diarios prestados por el puesto de salvamento y socorrismo, obteniéndose la siguiente distribución, tras 30 días de recuento: Número de servicios Número de días

0 16

1 11

2 2

3 1

Se pide: a) Evaluar la media diaria de actuaciones del puesto y, a partir de ella, ajustar una binomial suponiendo que n53. b) Evalúa la diferencia entre la frecuencia teórica calculada y la experimental correspondiente. ¿Te parece bueno el ajuste realizado? a) La media de actuaciones diarias es: 0 ?16 11 ?11 12 ? 2 13 ?1 x5 5 0, 6 , entonces 3·p 5 0,6 ⇒ 30 p 5 0,2 y la distribución que ajustamos es B(3, 0,2). b) Elaboramos la siguiente tabla: X 0 1 2 3

Probabilidad 0,512 0,384 0,096 0,008

Fr. Teórica 15,36≈ 15 11,52≈12 2,88≈3 0,24≈ 0 30

El ajuste es apreciablemente correcto.


Fr. observada 16 11 2 1 30

0 811

Probabilidad 0,8145 0,1715 0,0135 0,0005 0,000

1 172

2 15

Fr. Teórica 814,5 ≈ 815 171,15 ≈ 171 13,5 ≈ 14 0,5 ≈ 1 0 1001

3 2

4 0

Fr. observada 811 172 15 2 0 1000

j cuestiones básicas 1. En el experimento lanzar dos monedas ¿qué sucesos elementales componen el suceso contrario a sacar dos caras? («Sacar 2 caras»)c 5 {CX, XC, XX} 2. Si A y B son sucesos incompatibles, ¿a qué es igual la probabilidad P(A ø B)? P(A ø B) 5 P(A) 1 P(B), pues P(Ø) 5 0 3. ¿Cómo puedes calcular la probabilidad del suceso unión P(A ø B), conociendo P(Ac) 5 0,6, P(B) 5 0,3 y P(A ù B) 5 0,2? (Sugerencia: haz un diagrama de Venn.) P(A ø B) 5 12 0,6 10,3 2 0,2 5 0,5 4. En una urna compuesta de 3 bolas blancas y 5 negras, se hacen dos extracciones sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas del mismo color? P(BB) 1 P(NN) 5

3 2 5 4 26 1 5 8 7 8 7 56

5. La variable discreta X es tal que P(X 5 0) 5 0,6 y P(X 5 a) 5 5 0,4. Si la media de la distribución es μ 5 2, ¿cuál es el valor el valor de a? 2 5 0·0,6 1 a·0,4 ⇒ a55

6. Al lanzar cinco monedas, la variable que mide el número de caras obtenidas, ¿de qué tipo es? La variable es binomial de parámetros B(5, 0,5)

14/5/08 09:35:24


7. De una distribución binomial B(n, p) se conoce que su varianza es 3/2 y su media 3. Halla el valor de p. Se tiene que: • n·p 5 3 • n·p·q 5 3/2, ⇒ p 5 q 5 1/2 8. Una variable X se distribuye como una B(6, 0,1), calcula la probabilidad P(X 5 2). P(X52) 5 0,0984, obtenido de la tabla de la binomial


13

99

9. Una variable X con distribución binomial B(n, p), tiene que P(X 1) 5 0,93 ¿cuánto vale P(X 5 0)? P(X50) 5 1 2 P(X $ 1) 5 0,07 10. En un examen de 8 preguntas con respuestas del tipo verdadero-falso, si se responde al azar, ¿qué es más fácil, acertar todas o fallar todas? Las probabilidades son iguales: P(X50) 5 P(X58).

12/5/08 15:38:54

14

100

DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

j ACTIVIDADES 1. La función de densidad de una variable aleatoria X es, ⎧k( x 1 4) si 0 si 0, xx, 44 f (x)5 ⎨ en otro otro caso caso ⎩⎪ 0 a) Calcula el valor de k. b) Representa gráficamente f(x). c) Halla la probabilidad de que X ∈ [2, 4]. a) Área5 4k 1 8k ?(4 20) 524 ⇒ k 5 1 2 24 b)

2. El tiempo de espera a la llegada del tren Metro sigue una 1 si 0 x 5 distribución definida por f (x)5 5 0 resto 0 resto

Calcula la probabilidad de que el tiempo de espera sea: a) Superior a 3 minutos. b) Entre 2 y 4 minutos. a) P(X.3) 5 2? 1/5 5 2/5 b) P(2,X,4) 5 (422)?1/5 5 2/5

0,4

3. La función de densidad de cierta variable continua está representada en la gráfica adjunta.

y 5x/24 11/6 0,2

Ha de cumplir que el área del rectángulo sea 1, entonces 4?k 5 1 ⇒ k 5 1/4

1

2

3

1/2

4

1/4

Fig. 14.1.

1 1 1 4 3 ?25 7 c) P(2 # X # 4)5 2 12

1

21

2

3

4

Fig. 14.2.

2. Para la misma distribución de pilas del ejemplo anterior, calcula la probabilidad de que una pila dure: a) Entre 42 y 71 h. b) Menos de 28 h. c) Más de 66 h. a) P(42,X,71)50,986120,000250,9859 b) P(X,28)50 c) P(X.66)50,1151

Calcula la probabilidad P(1

X

5/2).

P(1,X,5/2) 5 1/4?(221)11/2(5/222) 5 2/451/2 4. Calcula el valor de k para que la función representada en la figura sea de densidad; una vez hallado el valor de k encuentra la probabilidad P(1/2 , X , 2). K

3. En el ejemplo anterior, ¿cuál sería la altura máxima del 15 % de los muchachos de menor altura? X 2168 El valor de Z0 tal que P # z0 5 0,15, resulta ser, aproxi8 madamente, z0521,035 (la media entre los valores 1,03 y 1,04). Así, X516828?1,0355159,72 ø 160 cm.

k si 1. Halla el valor de k para que la función f (x)5 0 sea una función de densidad.


4

5. Una variable aleatoria X mide las diferencias, en valor absoluto, de la capacidad de memoria en la fabricación de lápices ópticos (pen drives) de 1 Gb. Su función de densidad viene dada por:

0

3

1 ?2 12 5 1 2 1 1(2 21) ? 2 5 3 1 2 5 11 5 2 5 2 2 5 20 5 20

B(60, 0,46)øN(27,6, 3,86) y P(X535)5P(34,5,X’,35,5)50,979820,963350,0165.

Tipo I. Función de densidad

2

Área del trapecio: 2 13 k 51 ⇒ k 5 2 2 5 P(1/2,X,2)5 P(1/2,X,1) 1P(1,X,2)5

4. El 46 % de los residentes en cierta localidad son hinchas del equipo local de fútbol. Elegidos 60 habitantes al azar, ¿qué probabilidad hay de que 35 de ellos sean hinchas del club local?


21 1 Fig. 14.3.

x 4 resto

⎧ 1 / 100 si 0 f (x)5 ⎨200(1 2100x) si 0# x# 1 / 100 en otro caso 0 en otro caso ⎩⎪ Calcula P 2 500

X

1 y explica su significado. 200

12/5/08 15:39:11


200 1 2

2 1 5 #X# 500 200 120 1100 1 5 ? 5 0, 11 2 1 000

P

2 1 1200 1 2 5 2 1 2 ? 2 5 2 200 500

6. Dados los siguientes pares de valores: a) m52 y s50, 5; b) m52 y s52, 2; c) m52,5 y s510. Asígnalos a cada una de las funciones de densidad representadas: a)

b)

0 1 2 3 Fig. 14.4.

4

0

1

c)

2

3

4

0

1

2

3

4

Observando la abscisa de cada máximo de la función de densidad, simétrica, y su amplitud, tenemos: A la figura a) le corresponde el par µ 5 2, σ 5 2,2 A b) asignamos µ 5 2,5, σ 5 10 A c) será, por tanto, µ 5 2, σ 5 0,5 1 si 2 x e 1 1, es de densidad de la x21 variable X. Represéntala y calcula P(2,4 X 2,8) aproximando el área del trapecio curvilíneo que resulta por la de uno rectángulo.

7. La función f(x)5

0,6

y 5 x/6 11/3

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1

2

Fig. 14.5.

1 1 1 1, 4 1, 8 P(2,4 , X , 2,8)5 ( 2, 8 22,4) 50, 254 2

14

101

5,5 2 4 51; 1, 5 1, 5 2 4 5 c) Z5 52 . 1, 5 3

b) Z5

9. Sea Z una variable normal estándar; halla las probabilidades: b) P(Z 22,22); a) P(Z 2,22); c) P(21,5 Z 3). a) P(Z # 2,22) 5 0,9868 b) P(Z # 22,22)5 120,9868 5 0,0132 c) P(21,5 , Z , 3) 5 0,998710,9332215 0,9319 10. El retraso en la llegada de aviones de cierto aeropuerto viene medido por una variable de media 14 minutos. Si a un vuelo con retraso de 9 minutos le corresponde un valor tipificado de 20,625, ¿cuál es el valor de su desviación típica? 9 214 z5 520, 625 ⇒ s5 8 s 11. Si X es una variable continua N(28, 5), halla: 31); a) P(X b) P(28 X 35,5); c) P(20 X 38). 31 228 a) P(X.31)5P(Z . 5 0, 6) 51 2 P( Z , 0, 6) 5120,72575 5 5 0,2743 35, 5 228 1 b) P(28 , X ,35,5)5P(0,Z, 51, 5) 5 P( Z , 1, 5) 2 5 5 2 5 0,4332 c) P(20,X,38)5P(20 228 , Z , 38 228 ) 5 P(21, 6 , Z , 2) 5 5 5 5 0,9224 12. En un país tropical la temperatura media diaria (medida en ºC) viene descrita por una variable T que se distribuye N(28º, 5º). ¿Cuántos días al año su temperatura estará entre 20º y 30º? P(20,X,30)5P( 20 228 , Z , 30 228 ) 5 P(21, 6 , Z , 0, 4) 5 5 5 5 0,6006 0,6006 ? 365 días 5 219 días 13. Si X es una variable N(m, s) y se tiene que P(X 2) 5 0,5987 y P(X 6) 5 0,6915, halla los valores de m y s. 42m 4 2m )5 0,2546 520, 66 s s 72m 7 2m P(Z, )5 0,9082 51, 33 s s El sistema nos proporciona la solución: µ 5 5 y σ 5 3/2

P(Z,

Tipo II. Distribución normal. Tipificación 8. Siendo X una variable que se distribuye N(4, 1,5), halla el valor tipificado de: a) 7; b) 5,5; c) 1,5. a) Z5

72 4 52; 1, 5


14. En una distribución normal, halla el porcentaje de valores que distan de la media: a) Menos de 1,2 desviaciones típicas. b) Entre 0,5 y 1 desviación típica. a) |X2m|,1,2? s ⇒21,2,Z,1,2, luego P(1,2,Z,1,2)50,7698 ⇒ 76,98% de valores b) 0,5 s ,| X 2m | , s 0,5 ,Z ,1 y P(0,5,Z,1)50,1498

14/5/08 09:38:11

102

14


15. Las ventas diarias de cintas de vídeo en un centro comercial se distribuyen según una normal N(50, 10). ¿Qué es más probable que se venda en un día, más de 65 cintas o menos de 30? P(X.65)50,0668 y P(X,30)50,0228. Más de 65 16. Los archivos de sonido MP3 tienen un tamaño, en Mb, que puede considerarse que se distribuye N(4, 1). De 160 archivos ¿cuántos tendrán un volumen entre 2,5 y 5,5 Mb? 2, 5 2 4 5, 5 2 4 ,Z , 5 P(21, 5 , Z , 1, 5) 5 1 1 5 2? P (Z , 1, 5)2 15 0,8664

P(2,5,X,5,5)5P

De 160, habrá entre esas capacidades 160 ? 0,8664 5 139 archivos 17. Una envasadora de aceite de girasol llena botellas vertiendo líquido según una variable X, medida en cL, N(100, s). Si P(X 109) 5 0,9641, halla s y calcula de 1 000 botellas cuántas contienen más de 90 cL. P Z,

109 2100 5 0, 9641 s

9 51, 8 s

s55

Ahora, P(X.90)5P(Z.22) 5 P(Z,2) 5 0,9772 ⇒ 978 botellas. 18. Una fábrica de cemento suministra su producto en sacos de 50 kg. Las deficiencias del empaquetado mecánico provocan, sin embargo, fluctuaciones en el contenido de los sacos, de manera que esta cantidad sigue en realidad una distribución normal de media 51 kg. ¿Cuál debe ser la desviación típica para que los sacos con menos de 50 kg sean sólo el 5 % del total? N(m, s), se tipifica mediante el cambio Z 5

X 2m . s

Aquí, m 5 51 y s es desconocida. Se desea que P(X , 50) 5 0,05 ⇒ P(X , 50) 5 P Z ,

50 251 s

1 21 5 0,05 ⇒ 1 − P Z , 5 0,95 ⇒ (Por la tas s 1 bla normal) ⇒ 51, 645 ⇒ s 5 0,608. s

19. En una prueba, el 35 % de la población examinada obtuvo una nota superior a 6, el 25 %, entre 4 y 6, y el 40 % inferior a 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, calcula la nota media y la desviación típica. ¿Qué porcentaje de población tiene una nota que se diferencia de la media en menos de 2 unidades? Se tiene: P(X . 6) 5 0,35, P(4 ≤ X ≤ 6) 5 0,25, P(X , 4) 5 0,40 Sea m la media y s la desviación típica; normal que se tipifica X 2m haciendo el cambio Z 5 , luego: s 6 2m P(X . 6) 5 P Z . 5 0,35 ⇒ (Por la tabla normal) s 6 2m 5 0, 385 s


4 2m s

5 0,40 ⇒ (por la tabla normal)

4 2m 520, 255 s Se tiene el sistema: 6 − m 5 0,385s 4 − m 5 −0,255s ⇒ m 5 4,797; s 5 3,125 Con esto: P(m − 2 , X , m 1 2) 5 P(2,797 , X , 6,797) 5 5P

22 2 ,Z , 3, 125 3, 125

5 P(−0,64 , Z , 0,64) 5

5 P(Z , 0,64) − P(Z , −0,64) 5 0,7389 − (1 − 0,7389) 5 5 0,4778 5 47,78 %

Tipo III. Búsqueda de abscisas de la normal 20. Si Z es normal de parámetros 0 y 1, halla k en los casos: b) P(k Z 2) 5 0,7506 a) P(Z k) 5 0,0643 Leyendo directamente en la tabla de la normal estándar: a) P(Z $ k)5 0,0643 ⇒ L(k) 5 0,0643 ⇒ k51,52 b) P(k # Z , 2)5 0,7506 ⇒ L(2)2L(k) 5 0,7506; como L(2) 5 5 0,9772 ⇒ L(k) 5 0,2266 ⇒ k 5 20,75 21. Sea X variable N(50, 6), encuentra el valor de k en: b) P(X  k) 5 0,9756 a) P(X 2k) 5 0,15; k 250 ) 5 0, 15⇒ 6 k 250 k 250 L(2 ) 5 0, 85⇒2 51, 035 ⇒ k543,79 6 6 b) P(X # k) ⇔ P(2k,X,k) 5 0,9756 ⇒ 2L(k) – 1 5 0,9756 1 1 0, 9756 ⇒ L(k) 5 5 0, 9878 ⇒ k52,25 2

a) P(X # k) 5 0,15 ⇒ P(Z,

5 P Z,

P(X , 4) 5 P Z ,

22. Se ha aplicado un test de fluidez verbal a 500 alumnos de primero de ESO de un centro de secundaria. Se supone que las puntuaciones obtenidas se distribuyen según una normal de media 80 y desviación típica 12. Se pide: a) ¿Qué puntuación separa el 25 % de los alumnos con menos fluidez verbal? b) ¿A partir de qué puntuación se encuentra el 25 % de los alumnos con mayor fluidez verbal? a) Hay que calcular el valor de Z0 tal que P(Z , Z0) 5 0,25 Z0 ≈ 0,675. X 280 Luego, 20,675 5 X 5 71,9. 12 b) En este caso, hay que calcular el valor de Z0 tal que Z0 ≈ 0,675. P(Z , Z0) 5 0,75 X 280 X 5 88,1. Luego, 0,675 5 12

12/5/08 15:40:05

14


23. Las notas medias finales de los alumnos de primero de Bachillerato de un centro se distribuyen normalmente con media 5,6 y desviación típica 1,4. El 15 % de los alumnos con mejor nota final podrán acceder a una beca. ¿Cuál ha de ser la nota mínima para poder ser becario? El valor de X0 que verifica: x 2 5,6 P 0 x 0 5 5,6 1,4 1,035 57,05 ≈ 7 z 0 5 0,15 1,4 de nota. 24. Las puntuaciones de un examen, calificado entre 0 y 100 puntos, siguen una distribución normal de media m 5 50. El 7 % de los alumnos tiene una puntuación por encima de 75. ¿Qué tanto por ciento de los alumnos es de esperar que tengan una puntuación por debajo de 40 puntos? Es una N(50, s) y como P Z .

75 2 50 5 0,07 s

25 51,4757 ⇒ s516,94 ≈ 17. s Ahora, P(X,40)50,2776 ⇒ 27,76 %.

25. En una piscifactoría hay 8 500 truchas cuyo peso sigue una distribución normal de media 150 g y desviación típica 35 g. Si la normativa prohíbe la venta de truchas de peso inferior a 200 g, ¿cuántas truchas puede poner a la venta la piscifactoría? ¿Cuál tendría que ser el peso mínimo requerido por la normativa para que la piscifactoría pudiera vender 2 500 truchas?

103

27. Para medir la precisión de una envasadora de harina en paquetes de 1 kg, se han pesado 250 paquetes obteniéndose la siguiente distribución de pesos: Pesos (g) [950,970) [970,990) [990,1010) [1010,1030) [1030,1050) Paquetes 3

22

113

106

6

Ajusta una distribución normal a los datos y observa si las desviaciones registradas pueden considerarse debidas al azar. La media y la desviación típica de la distribución de pesos es: x 51000,8 ≅ 1001 y s 5 16,18 ≈ 16,2 kg. Marcas (4) Clases de (2) (3) tipificadas Clase fi Clases a 21 ,7 (X) [ai21, ai) ti 5 i 0, 58

(4) Probabilidades teóricas pi5L(ti)2L(ti21)

(5) 92?pi

0,5

4

[0,3, 0,7) [22,41, 21,72) .0347 5 .0427 2 .008

3

0,9

12

[0,7, 1,1) [21,72, 21,03) .1088 5 .1515 2 .0427

10

1,3

16

[1,1, 1,5) [21,03,20,34) .2154 5 .3669 2 .1379

20

1,7

28

[1,5, 1,9) [20,34, 0,34) .2662 5 .6331 2 .3669

25

2,1

18

[1,9, 2,3)

[0,34, 1,03) .2154 5 .8485 2 .6331

20

2,5

10

[2,3, 2,7)

[1,03, 1,72) .1088 5 .9573 2 .8485

10

2,9

4

[2,7, 3,1)

[1,72, 2,41) .0347 5 .9920 2 .9573

3

TOTAL

92

0.9668

91

El ajuste se muestra en la tabla:

Para N(150, 35), 200 2150 5 P(Z . 1,43) 5 35 5 1 2 0,9236 5 0,0764. A la venta puede poner 0,0764 ? 8 500 5 649 truchas. 2500 ⇒ Hay que encontrar X0 tal que: P(X . X0) 5 8 500 ⇒ P(X . X0) 5 0,2941 P(X . 200) 5 P Z .

P Z.

X 0 2150 35

5 0,2941 ⇒

X 0 2150 35

fi

a 1 001 ti 5 i 16, 2

Pr. Teóricas Pi

250?Pi

3 [23,15,21,91) [950, 970) 62 [21,91,20,68) [970, 990) [990,1010) 113 [20,68, 0,56) [1010,1030) 66 [0,56, 1,79) [1030,1050) 6 [1,79, 3,02)

0,028120,000850,0273 0,248220,028150,2201 0,712320,248250,4641 0,963320,712350,2510 0,998720,963350,0354

7 55 116 63 9

TOTAL

0,9979

250

250

5 0, 54 ⇒ X0 5 168,9

gramos.

Tipo V. Aproximación de la binomial

Tipo IV. Ajuste de la normal a una distribución empírica 26. Ajusta, a la distribución de los siguientes datos, una variable normal. X

0,5

0,9

1,3

1,7

2,1

2,5

2,9

fi

4

12

16

28

18

10

4

La media y desviación típica de la distribución dada son: x 51, 69 ≈ 1, 7 y s 5 0 , 58. Vamos a ajustar una N(1,7, 0,58)


Clases

28. Se lanza un dado 720 veces. Calcula la probabilidad aproximada de que salgan, al menos, 110 seises. Se trata de un experimento binomial: B 720, 1 . 6

1 Puede aproximarse mediante la normal de media m5720 ? 5120 6 1 5 y s5 720 ? ? 5 10: N(120, 10). 6 6 Con esto, P(X $ 110) 5 P(X´ . 109,5), haciendo la corrección de continuidad. 109, 5 2120 Luego, P(X´ . 109,5) 5 P Z . 5 10 P(Z . 21,05) 5 0,8531.

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29. Se lanza una moneda 300 veces y la variable X contabiliza el número de caras sacadas. Halla la probabilidad de: a) sacar más de 180 caras; b) que el número de caras obtenido esté entre 120 y 160. Se trata de una binomial B(300, 1/2) que aproximamos por la normal de media m5300 ? 1/2 y desviación típica,

300 ? 1 ? 1 , 2 2

es decir, N(150, √ 75) a) P(X.180)5P(X’.180,5)5 180, 5 2180 5P Z . 5 P(Z . 3, 52)5 0 75 b) P(160,X,180)5P(160,5,X’,179,5)5 5 P(21,1,Z,3,40)50,999720,886950,1101

30. Supongamos que la tasa de desempleo en una Comunidad autónoma es del 18 %. Si en ella se selecciona una muestra aleatoria de 100 trabajadores, calcula la probabilidad de que en la muestra haya: a) Al menos 10 desempleados. b) No más de 5 desempleados. c) Exactamente 8 desempleados. La B(100, 0,18)≈N(18, 3,84), entonces a) P(X.5 10)5P(X’.5 9,5)5P(Z.5 22,21) 5 0,9864 b) P(X,5)5P(X’,4,5)5P(Z,23,52)50 c) P(X518)5P(17,5,X’,18,5)5P(20,13,Z,0,13) 5 0,1034.

P(X 5 4) 5

5 1 4 2 1 10 5 243 4 3 3

5 15 20 1 5 243 5 3 3 1 5 Media: m55 ? 5 . 3 3 P(X55) 5

1 2 10 Desviación típica: s5 5 ? ? 5 3 3 3

P(X $ 2) 5 P(X 5 2) 1 P(X 5 3) 1 P(X 5 4) 1 P(X 5 5) 5

5

80 1 40 110 11 131 5 243 243

1 se puede aproximar mediante la norLa binomial B 288, 3 1 2 1 mal de media m5288? 596 y s5 288 ? ? 58: N(96, 8). 3 3 3 Con esto, P(X . 90) 5 P(X´ . 90,5), haciendo la corrección de continuidad. 90, 5 296 5 P(Z . 20,6875) 5 Así, P(X´ . 90,5) 5 P Z . 8 5 0,7549.

32. En una prueba de tipo test, cada pregunta contiene 4 op31. De una urna que contiene una bola blanca y dos negras se ciones de las que sólo una es verdadera. Si se contestan 20 hacen extracciones sucesivas de una bola con reemplazapreguntas al azar, ¿qué probabilidad hay de acertar al menos miento. Llamamos X al número de bolas extraídas. 12 correctamente? a) Si se hacen cinco extracciones, ¿cuál es la distribución La Binomial B(20, 1/4) la aproximamos por una normal N(5, 1,94) de probabilidad de x? ¿Cuánto valen su media y su des- P(X $ 12) 5 P(X’ $ 11,5) 5 P(Z $ 3,35) 5 1 2 0,9996 5 0,0004 viación típica? ¿Cuál es el valor de P(X 2)? b) Si se hacen 288 extracciones, ¿cuál es la probabilidad de que salgan más de 90 bolas blancas? 33. En una facultad universitaria el 60 % de los alumnos finalizan sus estudios en cinco cursos. En cierta promoción co1 menzaron 1 200 alumnos. ¿Qué probabilidad hay de que El experimento es de tipo binomial, con P(blanca) 5p5 . Para 3 exactamente 700 alumnos hayan finalizado en cinco años? 1 n 5 5, será B 5, . La binomial B(1 200, 0,6) ø N(720, 17) 3 1 P(X 5 700) 5 P(699,5,X ’,700,5) 5 P(21,21,Z,1,15) 5 0,012 Para n 5 288, será B 288, . 3 Como sabemos, para una B(n, p) se cumple: 34. Un tirador de competición tiene una probabilidad de hacer blanco de 0,8. Efectúa dos series de tiradas de 20 lanzan r n2r p q ; q 5 1 –p mientos cada una. Halla la probabilidad de que en alguna de P(X 5 r)5 r las tiradas haya conseguido al menos 17 blancos. Su media es m5np; su desviación típica vale s5 npq El número de blancos sigue B(20, 0,8) que se aproxima por r 52r N(16, 1,79) n 1 2 1 P(X $ 17) 5 P(X ’$ 16,5) 5 P(Z $ 0,28) 5 0,3897, así que la a) Para la B 5, , se tiene: P(X 5 r) 5 r 3 3 3 probabilidad pedida es: P(“De la unión”) 5 P(X $ 17 en la 1ª tirada ) 1 P(X $ 17 en la 2ª 5 1 0 2 5 32 P(X 5 0) 5 5 tirada) 2 P(X $ 17 en la 1ª tirada ) ? P(X $ 17 en la 2ª tirada) 243 0 3 3 5 0,3897 1 0,3897 2 (0,3897)2 5 0,6275 5 1 1 2 4 80 5 P(X51) 5 243 1 3 3 35. En cierta comunidad el porcentaje de individuos con estudios medios es del 35 %. Elegidos 8 individuos al azar, cal2 3 5 1 2 80 5 P(X 5 2) 5 cula la probabilidad de que entre 3 y 5 (ambos incluidos) 243 2 3 3 tengan estudios medios, aplicando: 3 2 a) La distribución binomial. 40 5 1 2 5 P(X5 3) 5 b) La aproximación normal a la binomial. 243 3 3 3


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a) Estamos ante una binomial B(8, 0,35), por ello: P(X5 3) 1 P(X5 4) 1 P(X5 5) 5 0,278610,187510,0808 5 5 0,5469 b) La normal que mejor aproxima la binomial dada es N(8 ? 0,35, √8 ? 0,35 ? 0,65)5 N(2,8, 1,35). Entonces P(3 , X , 5) 5 P(2,5 , X’, 5,5)5 P(20,22 , Z , 2) 5 5 P(Z ,2) 2 P(Z , 20,22) 5 0,9772 2 0,4129 5 0,5643 36. Un club de ocio, del que forman parte 65 socios, ha organizado una partida múltiple de ajedrez, contando con la presencia de un Gran Maestro. La probabilidad de que un socio se apunte a la partida es del 40 %. Averigua cuántos tableros han de disponerse si se desea que la probabilidad de que todo el que quiera participar disponga de tablero sea mayor del 90 %. La distribución de socios que se apunten a la partida múltiple sigue una B(65, 0,4) que aproximaremos por N(26, 3,95); llamemos n el número de tableros disponibles que deseamos satisfagan que: n1 0, 5 226 $00,9. P(X # n) $ 0,9 ⇒ P(X ’ # n10,5) 5 P Z , )$ ,9 3, 95 n1 0, 5 226 Como P(Z # 1,28) # 0,9 , para $ 1, 28 se cumpli3, 95 rá que la probabilidad supera 0,9, así que n$ 25, 5 15, 1 530, 6 por lo que será suficiente disponer de 31 tableros.

j cuestiones básicas 1. Calcula el valor de k para que la función

⎧kk si si0 0, x , x 1010 f(x) 5 ⎨ ⎪⎩0 0 en en otro otrocaso caso sea de densidad de cierta variable. (Recuerda: el área por debajo de la curva debe valer 1.)

Como k?(1020) 5 1⇒ k5 1/10 2. Cita 3 procesos cuyo comportamiento puede ajustarse a las condiciones llamadas normales. a) La altura de un colectivo de personas; b) Los diámetros de los cojinetes fabricados por un torno; c) El índice de aceptación de un político. 3. ¿Qué significado tiene el parámetro s en una distribución N(7, s)?

4. Si Z es N(0, 1) calcula: b) P(Z a) P(Z 1,52; a) 0,9357;

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20,5)

b) 0,6915

5. Calcula el valor de la probabilidad P(12 X 22) siendo X una variable que se distribuye según una normal N(17, 5).

P(12,X,22)5 P(21,Z,1) 5 2 ? 0,3413 5 0,6826

6. A la vista de la figura, señala las relación correcta: N(�2, σ2)

a) m1 , m2 y s1 , s2 b) m1 . m2 y s1 , s2 c) m1 . m2 y s1 . s2 d) m1 , m2 y s1 . s2

N(�1, σ1)

Fig. 14.6.

c) m 2 , m 1 y s2 , s1 7. Para la N(0, 1) calcula el valor de k tal que: a) P(Z k) 5 0,8599 b) P(Z k) 5 0,0287 a) 1,08 b) −1,90 8. Las calificaciones, X, de un examen eliminatorio han resultado distribuirse como una normal N(65, 18). Si la probabi, vale k? lidad P(X k ) 5 0,9192 ¿cuánto X0 2 65 P Z# 5 0, 9192 ⇒ x 0 5 65 118 ? 1, 4 590, 2 18 24 puntos. 9. La distribución N(50, 5) puede considerarse una buena aproximación de la distribución binomial B(n, p). ¿Cuánto valen n y p? ⎧ np 550 1 1 Formamos el sistema: ⎨npq 552 ⇒ q 5 2 ⇒ p 5 2 . ⎩⎪ Como np550 ⇒ n5100 ⇒ p50,5 10. La probabilidad de fallar diana en un tirador profesional es de 0,2. Si realiza 100 disparos, ¿cuál es la probabilidad de que falle 25 o más? La binomial B(100, 0,2) se aproxima por una N(20, 4) y P(X.25)5P(X . 24,5)5P(7 . 1,125) 5 0,1314

Es la desviación típica de la distribución.


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SOLUCIONARIO MCGRAWHILL CCSS.pdf

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