2β < E >
< E>
s/c 9t
1 4 .6 .
13.33.
14.2.
1 4 .5 . a ) x c) 0.8705se
13.30. a)
13.32. a)
s/c
(n 1) k
k2
h
m Ep,0
2 3 b 3
a)
b)
72 Ep,0
ν
14.10.
no influye en el period o; amortigua la amplitud; T=2.01 s; β=3.59!10-5 s-1; τ A=7h 44.5min
14.11.
3.60; 0.87
14.15.
b)
366.5; 0.196 mJ
49.1; 2411
0.205 g/s; 5.13 !10-3; 612.5 1.03%
s/c 1.32 s -1; 3.14 !10-3; 0.758 s
38
14.16. a)
2393 b) 0.5 s
c)
las graves
14.17.
333 ms, 7.36 cm
14.18.
si; tc=83 ms, vc=-37.4 cm/s; tm=417 ms, xm=-12.46 cm
2
mr0
19.6 mJ
a)
14.9.
2
2π b mb
0.018 kg/s
-1
1 4 .8 .
14.13.
a
b)
1.995 cm
0.0277 s ; 0.1109 kg/s; 18.03 s 1.59 Hz; 0.628 s c) 1.59 Hz; 0.628 s d) 12.5 s e) 83.05 s; 3 cm
14.12. a) b)
m Ep,0
sen 12bt)
0.28 s; 0.45 J
a) b)
14.14. a)
1.10 Hz
b g
2π
b) T
b)
318
723
Resultados de los problemas 14.19.
275 ms, 5.07 cm
14.20. a) c)
-7
14.38.
2
9.608!10 A J b) 4.23!10 7.78 ns; 4.67 !106 osc.
7
a)
A
24 298 N/m; 5400 kg/s b) si; 32.2 cm c) 0.95 s d) 6 cm
14.21. a) 14.22. a)
17 775 kg/s
83 ms
b)
5.35 cm; 105.52° 6.03 cm
14.23. a)
b)
4.29 Hz;
14.24. a) c) s b) 0.25 d) 4.6 32.3cm; cm;2.1 0.39 s; 25 J; 0J W 14.25.
B
b) k2
« mω2/4
14.27. a)
2.03 Hz
14.28. a)
1.33 mm
14.29. a) c)
infra b) 132.2 g/s, 72.4° 3.0 cm/s d) 0.2 cm, 162.4°
b)
20 mm
b)
(k1 k2 Mω 2) (k2 mω 2) k22 k2 F 0
(k1 k2 Mω 2) (k2 mω 2) k22 k1
mω 2 ;
≈
M
k2 m
14.39. m=5.06 kg; k2=0.203k1
0W
0.1 cm; φ =-90°
14.26. k
(k2 mω 2) F0
14.40.
6.37 Hz; 15.7
14.41.
12.5
42 mW
c)
0.74 mW
15.- Superposición de movimientos armónicos simples.
e) 1 5 .1 .
3c1
a)
x
2mω 20
Prob. 13.29, 14.29.....e) 14.30. k=k1+k2;
ω02=k/m
17 c3 sen (3ω 0t 2.897) 34mω 2O
γ =γ1+γ2; β =γ/2m;
b) c3/c1=12.37
14.31. a)
7.52 cm
b)
0.17 cm
14.32. a)
7.52 cm
b)
0.17 cm
15.2. a)
x
1 3
ω ≈ ω0
14.33. a)
k m
γω
tgϕ
k b)
b) Ares c)
F
B
9 1 mk 2
con
γ
9mk
γ
2
0.25 c) 16
d)
1; 0.25
15.3.
0.25
a)
(k mω ) B sen ω t γ ω B cos ω t 0 Ares [ k cos(ω 0t ϕ ) 0 γ ω 0 sen( ω 0t ϕ0 ) ]
4h
F(t)
senω t
π
γω B ( k mω )
tgδ
γω
2 2
2
14.35. a)
2.46!104 N/m
14.36. a)
9.1 Hz
b)
∞
k
2
b)
c)
γω mω 2
d)
a)
F(t)
1 cos2 ω t 3
1.6%
4 mm; 50.3 mm/s; 632 mm/s 2
13 sen3ω t
15.4.
274 N
6.7%
...
15 sen5ω t ... i) 1.000; 0.704; 0.326; 0.064; ... ii) 0.521; 0.259; 1.000; 0.074; ...
b)
14.34.
14.37.
10 [ 4a sen ( 1 ω t 0.322) 1 2 0 10mω 20 a2 sen(2ω 0t 2.820) ]
2 0
A
cosω 0t
b)
1
1 sen ω t 2 ... 2 π 1 cos4 ω t 1 cos6 ω t ... 15 35
π
1.000; 0.525; 0.398; 0.0265; 0.0063
724
Resultados de los problemas
15.5. a)
F (t )
2
π
4 3π
cos2 ω t
...
12 cos4 ω t 12 cos6 ω t 12 cos8 ω t ... 15 35 63 i) 1.000; 0.040; 0.0074; 0.0023;... ii) 1.000; 0.318; 0.762; 0.054;...
b)
6.94; 38.58° 7.00; 60.00°
x˙
2 41 c os( 2 2 t 1.083)
y˙
5 5 cos( 5 t 1.107)
b) Ax=9.06; Ay=2.24 c)
no
d) vide
Fig.
5.00; 98.13°
1 5 .6 .
a) c)
15.7.
7.47; 57.94° a) π rad/s; 2 s b) π rad/s; 2 s c) inconmensurables d) 2 π rad/s; 1 s.
1 5 .8 .
b)
Prob. 15.11, 15.11.....d) 15.12.
0.5 s; 2 Hz
a)
b)
3.5
c) vide
Fig.
15.13.
s/c
2B x 2 B 2
1 5 .1 4 . y
Prob. 15.9.....c)
1 5 .9 .
s/c
1 5 .1 5 .
A
s/c
15.16. a) nx:ny:nz, naturales b) T=nxTx=nyTy=nzTz
15.10. a)
x y
2sen3 t 4cos3 t sen5 t 2cos5 t
x˙ y˙
6cos3 t 12sen3 t 5cos5 t 10sen5 t
16.- Geometría de masas. 16.1.
(1.0 1.7 1.7)
1 6 .4 .
a) c)
16.5.
xcm=(πR2)/(πR+L); ycm=(2R2-L2/2)/(πR+L)
16.6.
s/c
1 6 .7 .
a) x
b) x
0
y
4 2 R 3π
c) x
0
y
4 R 3π
d) x
0
y
4R sen3α 3 2α sen 2 α
16.2.
(senα/α)R (2/ π)R
0
b)
y
Prob. 15.10, 15.10.....c) b) Ax=2√5; Ay=√5 si; 2 π c) vide 15.11. a)
x y
82 sen ( 2 2 t 1.083) 2 5 sen( 5 t 1.107)
Fig.
s/c
16.3.
(2 √2/π)R
2 senα R 3 α
s/c
725
Resultados de los problemas
0 2R sen3α sen3β 3 (α β ) sen( α β )cos( α β )
e) x
y
16.8.
x
0
16.9.
x
πa
16.10.
x
(
b) z
4 R2
b)
16.29.
315 π 1 Hdesde la base 4 4 3 R1 ) 4 (R2 R1) R1
3R sen4α 4 [2 (2 sen 2α) cos α]
c) z
3 R sen2 8 1 cosαdα)
16.14.
53.13°
16.16. a) z
b) z
c) x 16.17. a) z¯
e)8 R
(2/3)ma 3 mH 2 5
b)
3 mR 2 20
1 mH 2 10
b)
14 8 1 8 22/3 2 1 2 20
c)
(1/6)ma2
kg m 2
3.56 kg m 2
16.33. a)
4 4 3 R2 R1 8 R23 R13
R cos 2α cos 2 β
4
= R/2
b)
cos α cos β
π sen α 4 α
π
A 0 0 0 B 0 0 0 C
R
b) x¯ =y¯ =z¯= R/2
17.- Sistemas de partículas. a 3(4b
3a) 4 3b 3 2π a 3
1 ( 2 2 )) m R1 R2 b 4
1 6 .2 0 .
Leyes de conservación.
s/c
1 ( 2 5 2) m R1 R2 4
16.22. a) c)
(1/2)mL2; (1/6) mL2 b) (1/18)mL2 (1/12)mL2
16.23. a) d)
(2/3)mR2 b) (2/9)mR2 c) (11/9)mR2 (4/9)mR2 e) (13/9)mR2
s/c
b)
2
3 mR 2 20
16.32. a)
3 8R
z
(1/6)ma
2
16.31. a)
4 1 cos α
z
16.24.
b2 0 0 1m 2 0 a 0 4 0 0 a 2 b 2
R 1 cos 2 α
= -R/14
1 6 .2 1 . a )
3 z
16.15. z
16.18. z¯ 1 6 .1 9 .
H
3R sen4α sen4β 2 4 [(2 sen α)cos α (2 sen 2β )cos β ]
z
(27/100)mR2
1 687.50 g cm 2
16.30. a)
a 3H/4 de cada vértice, siendo H la altura del tetraedro.
16.13. a) z
b)
(1/3)mL2sen2θ
(1/6)ma2; (1/12) ma2 b) (1/12)ma2; (1/12)(2+√2/2)ma2 c) (1/3)ma2 d) (2/3)ma2 e) (1/9)ma2
4 (R2 R1)(R23 R13)
16.12.
(27/50)mR2
256 a
y
16.11. a) z
16.26. a)
b)
16.28. a)
5a 6
y
(1/12)mL2sen2θ
16.27.
3H 5
y
16.25. a)
17.1.
s/c
1 7 .3 .
a) (7.78 b) (2.22
1 7 .4 .
a) 1.67 b) (0 0
17.2.
s/c
5.77 0) cm/s -5.77 0) cm/s; (-1.78 4.64 0) cm/s c) 24.7 g cm/s d) 560 erg; 137.8 erg 2.00 0) cm 15.88) g cm 2/s; (0 0 69.4) g cm 2/s
726
Resultados de los problemas
1 7 .5 .
a) Ep="k(x-l0)2 b) Ek,1/Ek,2=m2/m1
1 7 .6 .
a) ( t2+t+1 t3+t-2 t3-5) b) (12 t+6 6t 6t) c) (12
18.- Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos.
36 t 36 t); (0 36 t 0); (-4 0 36 t); (16 0 0); no
1 7 .7 .
a)
(-24t +216t2-24 12 t4-72t3+48t 36t2 24)
18.1.
3.27 km/h
(-72t2+432t 48t3-216t2+48 72 t)
1 8 .2 .
a)
18.3.
300 disparos/min
(-24t3+144t2-36 12 t4-108t3+108t2+192t+72 36t-48t3-28t2-48t-16); (-72 t4-72t2+144t 48t3-216t2+144t-48 -8 t3-8t+16) b) no
1 8 .4 .
a)
1 8 .5 .
17.9.
(72 114 -60); (96 -126 72)
17.10.
264; no
3
1 7 .8 .
a)
17.12. a)
36; 300
17.11.
∆ Ek="mv02cos2θ0 b) 32 107 m
0.753+1.667t g
3.44 m/s
b)
a)
α v b) αv
2
1 8 .6 .
a)
s/c
18.7.
0; 0.09 CV
1 8 .8 .
a)
328.4 m/s; 57.43° b) 90 178 !m kg (3m=masa granada) c) 0.00 m; 9 470 m; 2 370 m
17.14.
3.33 cm
17.15. a) s
b) V
b)
2m M m M
m
2Mgl M m
; v
1 t2 2 2
17.17. acm
17.18. V
v abs
m2
g
s/c
b)
18.11. a) v
2m 2gh cos2θ (M m) (M m sen2θ) 2 (M m)gh m sen2θ
b) vf
v0
m
1
m0
α
2
m0
t
α
αw 1 k αw 1 k
18.13. a)
188 km/h; 1.908 km
18.14. a) c)
1269 km/h 1494 km/h
b)
b) Pdis
α t m0
b)
245 kg/s
Mv (gx L M
2L
v3
b)
25.192 km
2287 km/h
18.9 kN; 2835 kW
18.16. a) Papl
ln 1
m αt k/α 0 m 0 m k/α coh m 0
61.25 kg/s
18.15.
2
s/c
18.12. a)
M
1 m/s b) 1.57!105 m/s2; 3.13!102 m/s2 c) 3.19 ms d) 1.57!103 N
17.19. a)
18.10. a)
2
m2
m0
v
k
g
x
17.16. vb=1.5 m/s; t=0.1 s; Vbast=1.0 m/s;
m 1 m 1
α
kx 1 2 0 0 2 m v m0 kx < 0
2Mgl M m
dor=18 cm (dcha); CM estacionario
m0g
2km0v0t
18.9.
t=0.28 s; Vbast=0; despl. basti-
2
m0 m0
1 m v 2 m0 0 2 0 m
∆E k
l
24 N s/c
0.598v0 0.296
m
x
500.753 g
c)
b) v f
m
17.13. a)
b)
v 2)
727
Resultados de los problemas
[ v 2 (x L) g ] dx gL/3
18.17. a) x v dv b) v L c)
W
18.30. a) vide
∆E k
MgL MgL
∆E p
18.29. a) 1829 N/m b) Ed=11.13 eV; W=14.3
0
∆E
2
MgL
b)
6 2MgL ; no 3
eV
Fig.
energía disociación
d) a=3.367!10
20
= 4.47 eV
c) k=2aD
-2
m ; D=7.163!10-19 J
18.18. a) 14 !106 m/s; 0.24 !106 m/s b) 0.7 MeV c) energía de enlace
nuclear m
18.19. 18.20.
M
258.3 d 1.059 Å
18.23. a) b)
v1,máx
210.9 d
2kR g
Prob. 18.30, 18.30.....a) 2 E ; E2 3
m1 m2
m1 m1 m2
c)
vcmt
vcmt
1 8 .2 5 .
m1 m2
18.26. a) v1
b) vcm
18.22.
3k 2m
ω
1 8 .2 4 . m
x2
5cm
2 1 D ; A2 D 3 3 2 ω D ; v2,máx 3
A1
x1
18.21.
1 2 kD ; E1 2
E
c)
(a b)
m
v0 ;
v0 ;
l 0 m1 m2 m1 l0 m1 m2
18.31.
19.- Colisiones.
1 ωD 3
s/c 2 m1
v2
m1 m2
v0
(m1 m2)k
1 9 .1 .
a)
10.8 N s
1 9 .2 .
a)
s/c
1 9 .3 .
a)
1 9 .4 .
a)
m1m2
3 ; A A2 4
18.28. a) 558 N/m b) Ed=4.52 eV; W=4.35
eV
10.8!103 N; 7347
s/c
0.9 b) 19% 95.26 m
c)
22
d)
27.14 s;
tramos parabólicos de altura decreciente b) A2=eA1 c) Atot
1 9 .5 .
19.6.
El c.m. adquiere velocidad a expensas del impulso proporcionado por la pared. b) x1=l0; v12(0)=kD2/m c) vcm2=kD2/16m d) ω 2=4k/3m 3 ; D A1 2
b)
b)
2
sen ω t ω v0 sen ω t ω v0
18.27. a)
A
s/c
;
ω
m2
1 E 3
1 A 4
1 9 .7 .
a)
v0 sen 2θ0
(1 e) g
0.71 b) 50.2 m/s
m 2 1 h ′ m1 m2 a) h1′=h/9; h2′=4h/9 b) h1″=h; h2″=0 h
(en reposo).
3 choques; -6 v0/27; 7 v0/27; 10 v0/27 si.
1 9 .8 .
a) b)
19.9.
γ=0.4142, m1/m2=0.1716; γ=-2.4142, m1/m2=5.8284
19.10. a)
7.106 m
b)
-7.106
728
Resultados de los problemas
s/c b) s/c c) 0.277m0; 1.883 v0; 0.984Ek,0 d) 1.566v0; 0.680 Ek,0
19.11. a) 19.12.
s/c M
19.13. a) v
∆Ek
b)
m m
3.864
19.31.
s/c
7.24 g; 28.68°; 26.7 m/s θ 1,máx=46.37°
19.32. a) b)
2gh
266.5 m/s
19.33. a) m1/m2=4 b) 100 m/s; 61.2 m/s c) 80 m/s d) 20 m/s; 80 m/s; 45°
M
99,7%
19.34. a)
Ek
M
m
19.14. a)
147.89 m/s
b)
98.8%
19.15. a)
s/c
b)
19.30.
14.48°; 104.48° b) 37.76° c) S.L.: 77.46 m/s, 126.51 m/s; S.C.M.: 20 m/s, 80 m/s d) vide Fig.
∆ Ek,2/Ek,1=e
19.16. a) 5.77 m/s, 90°; 5.77 m/s, 30° b) 5.29 m/s, 79.11°; 5.19 m/s, 30° c) 5.29 m/s, 79.11°; 5.19 m/s, 30° 19.17.
v′1ξ v′ 1ν v′2ξ v′ 2ν tgθ1 tgθ2
(m1 em2)v1 (1 e)m2v2
cos β
m1 m2
v1 sen β (1 e)m1v1 (m2 em1)v2 v2 sen β
cos β
m1 m2
(m1 m2) v1 tg β (m em )v (1 e)m v 1 2 1 2 2 (m1 m2) v2 tg β (1 e)m1v1 (m2 em1)v2
θ1=θ*1-β; θ 2=β-∂*2 19.18.
3.27 m/s, 12.83°; 5.86 m/s, 7.12° 6.506 cm/s, 117.5°; 3.512 cm/s, 55.3° b) 5.568 cm/s, 111°; 3.000 cm/s, 60° c) 27% d) s/c
19.19. a)
19.20.
s/c
19.22.
141°
19.23.
1 m/s; 180°; 3.46 m/s; 30°
19.24.
s/c
19.25. a)
28.4%
19.21. a)
b)
b)
19.26. a) 19.27. a)
7.49 b) no; 4%; e=0.838
19.28. a) v p
b) mn 19.29.
mn
mp
mNv N vp
14.076 u; 4.45%
no
vn
mpv p vN
19.35. a)
s/c
b)
3, 4, 5 y 6
19.36. a)
s/c
b)
s/c
19.38.
s/c
19.40.
6.15 eV
19.41. a) c)
19.39.
19.37.
el cuádruple
6.72 MeV; 13.44 MeV
2.354 MeV 3.038 MeV
b) 4.362 MeV d) 0 (exoenergética)
19.42. a) -4.082 MeV (exoenergética) b) 4.011 MeV; 70 keV c) 173 MeV/ c; 173 MeV/ c;
1.39!107m/s; 2.4 !105m/s
21
1.03 m/s, 46.94° 14.5° b) 0.03°
2 mn
Prob. 19.34.....d)
1.15 u
20.- Estática del sólido rígido. 20.1.
s/c
2 0 .3 .
a)
20.4.
deslizamiento
20.5.
acelerando: a0=g/2 (vuelco); frenando: a0′=g/4 (vuelco), a0″=µg (desliz.)
2 0 .6 .
a)
20.7.
α=90°-2θ; mg cos θ; mg sen θ
20.8.
14.6 kg; 10.4 kg
20.2.
882 N
s/c
b)
1.33 m
desliza; 26.6°; 31.0° b) ?; 31.0°; 31.0° c) vuelca; 35.0°; 31.0°
729
Resultados de los problemas 20.9.
(-150 0) N; (+180 +52) N; (-30 -52) N
120 kg 3 senθ 4 cos θ c) 36.87°; 24 kg b)
20.12. a) FA=(+16.2,
-19.2) N; FB=(-13.2, 0) N b) 94.5 r.p.m.
20.13. µ=0.34; para 20.14.
73.90°
52 g; 30 g
b)
11.3°; 18.4°; 45° F Mg
30° estable; 57.7° inestable
20.43.
21.03° inestable; 50.5° estable
6.46 m
RA=Ptg
b)
θ; RB=P/cosθ
76.18°
(1
s/c 1 2
s/c
a
20.44. k
20.46.
20. 21.
θ máx=8.13° b) µ>0.143
20.24. a)
23.1 kg
b)
1.242m
tg θ=2m/M
20.23. a)
2
20.49.
θ eq
20.50.
RA
20.27. M≥2m/3
20.29.
0.268
20.30.
θ=13.3°; β=24.2°; 9.92 kg a 42.7° 67.4 kg; 151.2 kg a 69.5° 2763 kg; 4382 kg a 60.3° 20.33.
20.34.
tgθ=P/2F
20.36.
senθ=mg/kR
6.3°
20.35.
l
F
2h
RB
42.88° b) N1=12.4 kg; N2=8.8 kg; N12=8.5 kg
θ1=67.79°; T1=2.65 kg; θ2=10.67°; T2=13.23 kg
2
kr 2mgl
eq
cosα+cosθ=1; tg α=2tgθ; α=68.1°; β =51.2°
20.26. a)
20.28.
l
30.6°; 49.8°; 116 kg; 59 kg
senθ 20.48.
34.6 kg; 11.6 kg
A (0, 2.707) λlg; B (2.707, 2.707) λlg; C (2.707, 2) λlg
20.32. m1=2m2
mg
2r sen2θ tg θ ; 63.74°
20.47. a)
20.22. a) NA=0; NC=mg b)
20.31. a) b)
b b2
20.19. h=R√3
7 mg tg θ 9π
tg θ0
b)
20.45. a) 3tg θ1=tgθ2; sen θ1+senθ2=D/l b) 36.17°; 65.49°
1 ...) ; diverge 3
15.82°
20. 20. F
20.25.
20.39. a) 20.40.
20.42.
20.17. a)
20.18.
20.38. a) θ 1=0; sen θ2=(h-l)/l b) 3 mg/2; mg/2; mg/2
cos3θ=2a/l;
vert. (30±12 h) kg, horz. (12±4.8h) kg; b) 2.50 m
l
m
3m
20.41. a)
20.16. a)
2
M
θ : (pie) vert. 8.38 kg, horz. 2.81 kg; (rodillo) 3.25 kg
20.15. a)
b)
√ 3mg; 2mg;
tgθ
;
cos θ
12 m kg
30 kg
M
mg tg60°
20.10. FA=(240, 297) kg; FB= 379 kg;
20.11. a)
1.072 m br )
h
2 0 .3 7 . a )
mg sen2θ cos θ
l
2h
mg senθ cosθ
l senθ cos2θ 1 mg 2h
2 m; 4 m; 8 m b) TAA′=30 000 kg; TAB=31 623 kg; TBC=36 056 kg; TC=42 426 kg
20.51. a)
21.- Dinámica del sólido rígido.
tgθ=P/2F 21.1.
I1=60ma2; I2=50.25ma2; I3=9.75ma2; e1=(1
e3=(0
0 0); e2=(0 0.283 0.959); -0.959 0.283)
Resultados de los problemas
b)
11 mlω 0 18
ΠA
24.29. a) v0
ω
24.31. a) vcm b)
ω
5 v0 7 R 2 M 7 7 m v0
ΠB
Πeje
r I
ω0
ωR
b) v 24.30.
Π m
10 mlω 0 9
ΠB
Π
Π
R
r mR 2
I
Π
5v3 7 0
vcm
Πesf ω
2M m 2M Π 2M m
27 Mv0 6Π ml
735
736
Resultados de los problemas
v2
25.- La ley de la Gravitación
m1 2G/(m1 2
25.14. a) v12
2G(m1
m2)
1 r12
b) t
3
π
r0
2
2G(m1
m2)
25.16.
5 !10-11 m
35.12 d
25.1.
s/c
25.4.
12.37 lunas/año; 1 luna cada 29.53 d
25.15. s/c
2 5 .5 .
a) M = 4π2R3/GT2 b) 6.03!1024 kg
25.17. 0.85″ 25.18. a) 3 r.p.m. b) s/c
30
25.3. Hooke
1 r0
Universal. 25.2. si
m2)r12
25.19. a) s/c b) s/c c) 4.8085!10-7 rad/rev. =41.2″/siglo
25.6.
1.99!10
25.7.
ecuatorial; 42 178 km
25.8.
G=2π2ld2θ/MT2; 9.674!10-11 N m2/kg2
25.9.
ρ
25.10. s/c
3π
GT 2
kg
θ
tg ;3 1.28 g/cm 2
25.20. a) s/c b) ζ =2π(1-β-1) c) s/c d) s/c e) 1.000 000 08
3
26.- El campo gravitatorio.
25.11. 35 a; 0.966
25.12. a) Una misma trayectoria circular;
v 25.13. a) v12 b) v1
Gm/a ; E=-3Gm2/2a 2G(m1
m2 2G/(m1
m2)/r12
26.1.
g
m2)r12
Manuel R. Ortega Girón
GM 1 r GM 1 r2
8(1
1 R/2r) 1
8(1
R/2r)2
1057
1059
Resultados de los problemas 26.18. a) 0.90 R = 346 000 km b) 11 078 m/s; 2 274 m/s 26.19. a) -3GM /5R=-2.28!10 J b) 2.05!1042J 7
26.20. a) 1.8!10 años b) energía nuclear 26.21. a) m1/m2=r1/r2 b) m1 c) radial, hacia el punto más próximo d) iguales; cero
26.39. a) ρ =(b/πG)r b) M=bR4/G c) g(r>R)=-bR4/r2 d) =(r
26.22. s/c 26.23. 14.78 km; 7.36 !1017 kg/m 26.24.
GM ma
c) v0
41
2
a)
ρ(r>a)
ρ(r
0 ;
Ω=2π(1-cosα)
26.25. a)
b) si; M
Ω =±2π(1-cosα) b) s/c
26.26. g= -2Gλ/r;
= 2Gλ lnr
c)
g(r>a)
26.27. a) h′=R-R /(R+h) b) 20 km 2
3
g(r
26.28. ±3900 km
1 3
3GM
ρ0 (1
r ) a
πρ0a 3 GM r2 (4ar
er
a
3r 2) 4
er
3
26.29. a) F= -(GMm/R ) r = -kr
b) T
R g
2π
c) vmáx
gR
84.6 min
27.- Elementos de elasticidad.
7 920 m/s
gR (R 3h) R h
26.30. a) no; si b) v0
26.31. a) F= -(GMm/R3) x = -kx
b) T
g (R 2 a 2) R
c) vmáx
26.32.
T
R g
2π
26.35. 5.52 g/cm 3 26.36. 26.37. a) g=-GM/r2;
GM R5
a) 12.5!107 N/m2 b) 1.87 mm c) 0.18 µm d) 92 mJ
2 7 .2 .
a) 26!107 N/m2 b) 750 kg c) 5.55µm
2 7 .3 .
a) 28.9 kg b) 2.5 mm; 1.24 mm 3; 0.35 J c) 57.7 kg
2 7 .4 .
a) 3.1 cm; 39.2 !107 N/m2 b) 0.38 J
2 7 .5 .
a) 9.6° b) 125 J
27.6.
7 m/s
2 7 .7 .
a) 6.1 kg b) 1.4 mm; 0.6 mm c) 42 mJ; 18 mJ d) 14.95!1010 N/m2
2 7 .8 .
a) 2.50!107 N/m2; 0.25 mm
2 7 .9 .
b) 69.9 µm; 105 µm a) 66.7 cm b) 56.1 cm
2π R /g =1 h 24 min 24 s
26.33. 0.995 93 26.34. a) s/c b) g=g0(1-h/R) c) s/c
b) g
2 7 .1 .
∆g/g=4.5
=-GM/r
r3 ;
10-5
!
GM 5 4R
R 4 r4
26.38. a) m=Kr2/(r2+a2); m(r→∞)=K b) g=-GM/(r2+a2); =(GM)/a arctg(r/a)
2
27.10. a) acero: 2.91 kg; 0.91 !107 N/m2; cobre: 4.19 kg; 0.58 !107 N/m2 b) 4.53!10-5 27.11. a) -43.1!10-6; +21.6 !10-6; +18.5 !10-6; -360!10-6 cm3 b) 70.9 J/m 3 27.12. 9 628 r.p.m. 27.13. a) 1.93 mm b) no c)
≈ 6.5 km
1060
Resultados de los problemas
27.14. 9.91 mJ 27.15. a)
27.34. a la vez
1 2
σ(x)
ρω2 (L 2
x 2)
1 ρω2L 2 8.53!107 N2 2 m c) 80 µm d) 512 r.p.m. b)
27.16. s/c
σmáx
27.17. s/c
27.18. 125 µm
27.19. a) 14.994!9.996!4.998 cm 3 3
3
!
27.36.
τ
27.37.
τ
27.35. s/c
16.96 ! 1010 16 9π3
MgR
R4 l
(S.I.) 32
G
MgR
27.38. a) 1.6!107 N/m2; no b) 9.2!10-3 m N/rad c) 7.49!1010 N/m2
3
!
3 cm3 b) 22 10 J/m ; V=-0.82 ∆373 !10 J/m
l
9π4 r 4
-8
27.39. 15.46 a) 38.7 µmc)b) 1.834 min 23.28 cm10 m N/rad;
27.20. acero: 1510 atm; latón : 1283 atm; mercurio: 286 atm; agua: 21.7 atm; éter etílico: 5.9 atm
27.40. (∆φ)A=(∆φ)B
27.21. a) 2.17 atm; 11 J b) 28.6 atm; 145 J c) 0.56 atm; 3 J
28.- Elastostática.
27.22. a) 0.662!10-6 atm-1; 3.49 !10-6 atm-1 b) mercurio 28.1.
ρ=-4R
27.25. a) s/c b) s/c c) 1042 kg/m ; 380 atm
2 8 .2 .
a) 1/2a b) b2/a; a2/b c) b2/a
27.26. s/c
28.3.
en y=0: κ =0; R=∞ ... en y=±A: κ = A; R= 1/A
28.4.
s/c
28.5.
R r 1 a ;2 el radio de curvatura es proporcional al radio vector.
2 8 .6 .
a) R (θ)
27.23. s/c
27.24. 1042 kg/m 3 3
-6
-4
27.27. a) 3.7!10 rad = 2 !10 grados b) 181 µm 27.28. 2939 kg
27.29. 13.5!103 kg
27.30. a) 199 m N/rad b) 62.42° 27.31. a) 3.03° b) 2.32 J
(4 3 cos
27.33. a) 1.306 b) 0.324
F (kg)
M (m kg)
˘
a)
0
b) 0
c)
˘
900 0
1800-900
x
0 300
-300
x
2
-600
-1800+600 x
0
-900 900
900 x 2700-900
d) 0
900 1800-600 x
e)
0
900-600 x+100x2
f)
0
675-600 x -225
2θ)3/2
8 3 cos 2θ b) R(0)=a/5 c) R(45°)=a
27.32. 0.23° + 0.18° = 0.41 °
28.7.
2
x
2025-900 x 2700-1800x+300x2 900-900x+300x2-33.3x3 -675+300x2 -675+225 x
2
a
1061
Resultados de los problemas
F (kg)
M (m kg)
0
1020-40 x 120-40 x
1980-1020x+20x2 180-120x+20x2
b) 0
360-40 x -540-40 x
-360+20x2 -1800+540x+20x2
0
-900-40 x 1020-40 x
900x+20x2 2880-1020x+20x2
d) 0
1020-40 x
2205-1020x+20x2
1.5
1920-640 x 1020-640 x+100x2
2880-1920x+320x 1080-1020x+320x2-33.3x3
0
735-640 x -165-40 x
-735x+320x2 -675+165x+20x2
28.8.
˘
a)
c)
˘
2
e) f)
2 8 .9 .
a)
πR4/4 b) π(R24-R14)/4
28.12.
28.10. It/Ib = 2(R2/R)2-1 > 1 28.11. a) 24a4 b) 16a4 c) la viga en doble-T
πa3b/4
28.13. a) 54.25 N; 41.30 m N b) 17 cm c) no 28.14. E
1/EI = 11.76
28.15. a)
!
0
y
2
y
b) 0
y
2
y s
x 0< <1.5 1.5
y y s
s
2075.625 EI d) 0
a 3bT 2
1010 N/m2
!
10-6 kg-1m-2
s
c)
2 π2mL ; 21.3
1 5 4 x ) ( 990 x 2 170x 3 EI 3 1 5 4 x ) (1200 1800 x 90x 2 20x 3 EI 3 4605 0.0542 m 54.2 mm en EI 1 5 4 3 445x 60x 3 x EI 1 5 4 2 x x x 1200 2245 900 90x 3 EI 3 477.29 0.00561 m 5.61 mm EI 1 5 4 343.125x 150x 3 x EI 3 1 2 3 1080 2503.125 x 1440x 170x EI 198.7907 0.00234 m 2.34 mm EI
0.0244 m
y
24.4 mm 1 EI
1102.5x 2
en
x
170x 3
3 m 5 4 x 3
x
en
3 m
x
1.6218 m
5 4 x 3 en
x
0.8677 m
1062
Resultados de los problemas
1.5
y
1 EI
0
y s
f)
0
y
1.5
y s
722.8125
0.073 m
0
y
1.5
y
1 EI 1 EI
131.0625
d)
R
EI 84
W 2 y
c)
s
37 3 x 3
93x 2
200.25 x
0.0307 m
3 m
1 4 x 3
30.7 mm
23.81 m
W x L W 24 EI
1 4 x 3
25 3 x 3
60.75 x
61.3125
61.3125 EI
b)
x
50x+4x2 186-74x+4x2
s
0
en
3 m
˘
c)
28.17. a)
x
en
M (m kg)
-50-8 x 74-8 x
b) 0
73 mm
1 80 4 3 EI 424.6875x 122.5x 3 x 1 5 4 2 3 126.5625 762.1875x 337.5x 27.5x 3 x EI 360.8755 0.00424 m 4.24 mm en x 1.3927 m EI
˘
a)
80 4 x 3
320x 3
1 80 4 5 5 2 3 x x 540x 170x EI 3 3 2025 0.0238 m 23.8 mm EI
F (kg)
28.16.
1440x 2
337.5 x
6190.3125 EI
s
e)
W 12
Lx 2 ρg L 4
96 E (R 2
2x 3
W x 2
L
W 2 x 2L
1 4 x L
r 2)
28.18. 1.99 kg 29.5.
0.99 mm = 100 div. en 101 mm
29.6. 225.3 Torr
29.- Estática de los fluidos 2 9 .1 .
a)
∇
!
f
0b)
p
x 2 y 2 xyz 2 p0
29.2.
s/c
2 9 .3 .
a) 0.735 cm b) 0.833 cm 3
29.4.
14.16 cm
29.7.
370.7 Torr = 5041 mmH 2O
29.8.
1.52 Torr
2 9 .9 .
a) pA-pB=[ρ1h1+(ρ2-ρ1)h2]g b) h1=ah2/A c) h2
pA (ρ2
29.10. a) 13.2 Torr b) 336.9 Torr
pB
ρ1) g
1063
Resultados de los problemas 29.35. a) 31 cm; 9 cm b) 35.95 cm; 4.05 cm c) 11.08 cm d) 1.08 s
A
29.11. p
p0 1
B 8010 B z A
29.12. 125 t; horizontal, a una altura de 1.67 m sobre el fondo.
29.36. a) 1.63 m b) si c) 74 500 m kg 29.37. a) s/c b) s/c
29.13. a) 6188 kg b) 5062 m kg c) y = 0.82 m d) 3375 kg
c)
ρ m/ρ<0.2133 y ρm/ρ>0.7887
29.38. 5.17 m 29.14. 2.11 m 29.15. hcp=0.589R; 2ρgR3/3;
2 2
F
29.16.
ρ g a H 2;
πρ gR4/8 2 H 3
hcp
29.17. 281.2 kg
29.19. Fx=1134 kg; Fy=-857 kg; F=1421 kg; θ=37°; radial ( xcp,ycp)=(51.1,-38.6) 29.20. a) 2.54ρgR2L; 38.15° b)
πρ gR2L
29.21. Fx=36 0000 kg; Fy=-19 600 kg; F=41 000 kg; θ =28.6°; (xcp,ycp)=0.92, 2.0)
29.22.a)
h
≥
3
s/c
5 6a 1
29.39. H
1
m
ρ ; 2.25 cm
29.40. a) 30° b) 30°
29.41. a = gh/L
29.42. a) 21 g b) 32 g c) nula d) 23.5 g; 26.57° hacia adelante
29.18. 5πρgR4/2
16
ρ 23
R
0.9871 ρ ≥ ρ0
29.43. 300 Torr; 1588 Torr; 1288 Torr 29.44. a) 14.8 cm; 99 Torr; 136 Torr b) 75.7 r.p.m. c) 130.4 l 29.45. a) 104.8 cm; 77 Torr; 160 Torr b) 189 r.p.m.; 368 Torr 29.46. a) p
2 bR )
b)
c)
29.23. 70 kg 29.24. P=πρgR /3 = Plíq/2 3
29.47. a)
p0
1 2
ρω2r 2 ρg (H
z)
πR 2 1 ρω2R 2 ρgH 4 2 1 2 2 πR ρω R d) poner g=0 4 s/c b) s/c c) s/c d) H-h≈ 11 km
29.25. a) s/c b) 2629 kg c) si 29.26. 4.10 m 2 29.27. a) 14% b) no
29.28. senθ
h l
ρ0 ρ0 ρ
30.- Tensión superficial.
29.29. s/c 29.30. a) 15 cm 2 b) 30 g c) 10 cm
3 0 .1 .
a) 1.40 g
30.2. 63.4 dyn/cm
30.3.
s/c
30.6. 3 0 .8 .
29.5 dyn/cm; 0.72 g 30.7. 2 cm a) 53.86 mg b) 280 mg
30.9.
2.47 mm
30.4. 0.433 J
30.5. 4%
29.31. a) 2.73 g/cm 3 b) 95 g 29.32. s/c 29.33. a) 2 θ sen 2 θ
2π
ρ; ρ0
θ=48.26°; h/R=33.42% b) cos3θ 3 cos
θ
θ=54°; h/R=41.22%
4
ρ; ρ0
30.10. 24.3 atm; 3.3 atm; 944 T orr; 785 Torr; 769 Torr 30.11. 32 dyn/cm 30.12.
29.34. H
R 2
2 pi ; r 2 4
1064
Resultados de los problemas
30.13. 33.1 dyn/cm 30.15. a)
30.14. 29.7 cm
r ( ρ mh m
σ
b) 30.4 dyn/cm 30.16. 6.91 cm; 14.57 cm
30.17. s/c
30.18. 3.85 mm; 1.58 mm 30.19. x y
cos α
ρ g sen
a) 0.40 m/s; 0.107 m/s 2 b) 0.58 m/s; 0.265 m/s 2 c) 0.64 m/s; 0.809 m/s 2 d) 1.60 m/s; 3.408 m/s 2
3 1 .7 .
a) 0.142 m/s 2 b) 0.316 m/s 2 c) 0.888 m/s 2 d) 3.549 m/s 2
3 1 .8 .
a) 15.9 l/s b) 22.5 l/s c) 50.625 l/s
31.9.
s/c
ρ h) g
2
σ
3 1 .6 .
31.10. a) v = (2t-6x, 6y, 12t2) b)
cte.
θ
∇ v=0; si
!
30.20. r2/r1 = 0.183
31.11. a) ∇ v2+=0; ∇ v=(0, 0, A+B); no c) Bx Ay2si=Cb) ; elipses d) ω =(A+B)/2 k e) a=-ABr f) Γ =ΩS
30.21. sumar 1.8 mmHg a la lectura
31.12. a)
30.22. 7.1 mm
31.13. s/c
30.23. a) 735.0 mmHg b) 732.4 mmHg c) 21.5 mm
31.14. a)
2
ω
= (y/2)i;
∇ v =0; si ϒ
31.15. a)
∇
b)
ω
30.25. no trabajará 3 0 .2 6 . a )
h
2 σ cosα b) ρgd
30.27. 5.94 mm
σ senα
31.- Cinemática de los fluidos. a) xy=C b) v = Axi - Ayj c) a = A2xi + A2yj
31. 2.
a) a t
x
an
y
31.3.
v=(4, 6, 20) cm/s; a=(16, 36, 5) cm/s 2
3 1 .4 .
a) v=(6, 5, 125) cm/s
a = 0, 112, 475) cm/s 2
∇ v=0 b) ∇
!
v
32.- Dinámica de los fluidos ideales.
2A 2 xy
x2 y2
b) a=(0, 1, 30) + (201, 30, 1875) = (201, 31, 1905) cm/s 2 31.5.
2r k (5 r)2 10 r ; k0.4 rad/s (5 r)2 4πr 2 20
31.17. s/c
3 1 .1 .
2
v=0; si
!
8B r cos θ k 3 c) en los planos radiales θ =±π/2 d) Γ =0
31.16. a) si;
2
∇
c) s/c d) s/c e) Γ (5 r) f) ∇ v =0; no hay puntos singulares
30.30. 2.97 cm
x2 y2
v
!
30.28. 13.1 Torr
30.29. a) 163.4 Torr b) 71.2 cm
A2
b)
r2 a2 v∞ cosθ r
c)
30.24. a) 49.54 cm b) no
ω =3i b) y=0
3 2 .1 .
a) xy=C; hipérbola equilátera b) s/c 1 p0 ρgz c) p ρA 2(x 2 y 2) 2
3 2 .2 .
a) Bx2 + Ay2 = C; elipses b) s/c 1 p0 ρgz c) p ρAB(x 2 y 2) 2
3 2 .3 .
a) velocidad de corriente libre
1065
Resultados de los problemas
b) p
2 2a cos2θ r2
p∞
p0 (2 cos 2 θ
c) p
ρv2 ∞ 2
32.24. a) v
a 4 r
4
2
ρ v∞
1)
2gh ; h=nivel de la super-
ficie libre sobre D b) patm c) 10.16 m
ρ g (CD)
32.25. 33.5 l/s
2
d) cero 32.26. a) 2g (L H) b) 1.96Lmáx+0.96H≤10.16; si H=0.5 m; L≤4.94 m
32.4.
p p0
(g
ρ 32.5.
24t) z
2gh
r0 1
r
(12t
2
v0
32.7.
2.80 m/s
3 2 .9 .
2
32.30. a) 14.24 m/s b) 1019 N
ρm ρ gh ρ
32.10. a) 25.2 km/h b) 147 l/s
32.13. s/c
3 2 .1 8 . a ) x 2 h ( H h) b ) c) h=H/2; xmáx=H
si; h′=H-h
32.19. 8.27 m
S1
2
32.32.
8b2
32.36. 2.17 kW = 2.95 C.V.
33.- Dinámica de los fluidos reales. 33.1.
ρgh patm ρgh
2
si S1
3 ρ v0 R 2
32.34. 2.2 MW
2 ( S1
2
;
g S2
S2 ; t0
S1 S2
b) t0=26.07 min 32.23. z = Cr4 (parabolóide)
2H ; g
33.2. 2.31 cm/s
613.7 N
3 3 .4 .
a) A=1.994!10-4 P; B=819.6 K;
3 3 .5 .
b) η 20=0.327 cP a) A=1.24!10-6 P; B=3942 K; b) η 30=55 cP
33.6.
no cumple la relación de Andrade
3 3 .7 .
a) s/c b) s/c c) no se cumplen
3 3 .8 .
a) 12.77 P; 1274 b) 0.226
3 3 .9 .
a) 1968 N/m 2 b) 0.57 m N c) 215W
2
S2 ) H
F = η AV/h
33.3.
32.21. h2=3h1
32.22. a) t0
t =
32.16. 38 m/s
32.17. 159 km/h
≥
tgh
32.35. a) 177.3 W b) 2.16 atm
32.14. a) 221 Torr; 72.6 Torr b) 98.7 cm c) 244 l/s; se supone pA-patm = 221 Torr
32.20. S2
2gh
32.33. a) 158 l/s b) 20.37 kW
32.11. a) 2.80 m/s b) 3.5 m/s; 22.5 cm
32.15. 39.7 l/min
2gh 2L 9.90 tgh(0.0495t) m/s
32.31. v
a) 28 m/s = 100.8 km/h b) 13.6 atm (manométrica)
32.12. 57.3 cm
32.27. s/c
32.29. a) 25.25 m/s b) 63.74 N
2.12 atm (manométrica)
S
y 2)
32.28. a) 21.64 m/s = 77.9 km/h b) 2.31 atm
1 4
32.6.
32.8.
18(x 2
2) x
33.10. 146 µP
33.11. 0.535 cm dyn
1066
Resultados de los problemas
33.12. 3008; turbulento
2η
33.15. a) fvisc
b)
3 4 .7 .
15 (5
2
r 3
r)
eθ
A
10 η
σrθ
6η 8ρ x 3 18ρ x 2y ρg 32η x 144ρ x 2y 2 2ηAr b) 4ηA k c) s/c
ln ( r2/r1)
π ∂p ∂x 8η
34.9.
4 2
r1 ln r2
ln ( r2/r1)
8η
(r
2
r2 ln r1
B
π 3 4 .8 .
B
2
r1
L
A ln r
2
r2
∆p
c) σ xx=12ηx, σ yy=-12ηx, σ zz=0, σ xy=-6ηx, σ yz=32ηxy, σ zx=16ηy2 d) fvisc=η(6i+32xk)
33.18. a)
∂p r 2 ∂x
b)
(5 r )2
33.16. a) ∇ v =0; si b) ∇ !v=(32xy,-16y2,-6y); no
33.17. f
1 4η
av)
33.14. 180 cm 3/s
33.13. x=y=z=1
r
4
4
(r2
4
r1
A)
A)
1
a) laminar b) 4.8 Torr
πρ g D 4 128 η
34.10. 0.590 cP
34.11. 1.9 Pa
3
34.12. 65.4 cm /s; 4.7
34.13. 0.83 C.V.
34.14. a) turbulento b) 457 Torr
34.- Flujo viscoso.
34.15. a) 2.94 dyn/cm 2 b) 28.3 kg c) 19.8 l/s
34.16. a)
2η V ∞D L
3 4 .1 . 3 4 .3 .
a a)
b)
y h h 2 ∂p y 2 2η ∂x h
σ
l
a) v b)
l
V
U
V h
v
l 3 4 .6 .
c)
ρgδ y η δ ρgδ3 sen θ 3η 3
Uδ
l
ρ g δ3 3η
d) 1.73 mm; 43.2 cm 3/s 34.17. v
∂p ∂x 2 ρgδ 2 y 1 y η δ 2 δ ρg δ3 3η 2
34. 5. a)
2ηU ρ g sen θ
δ
1
y h h ∂p 2 ∂x
h (U V) 2
U
7.48 cm 3/min b)
U y h
v
c)
34. 4.
3 4 .2 .
ρgδ2 2y y 2 2η δ δ sen θ
h3 12η
1 y b) θ sen 2 δ 2
a) 0.047 cm /(s cm) b) 4.7 mm/s c) 3.1 mm/s
1 4η
∂ (p ρgz) r 2 ∂l
D 2 4
34.18. a) de 2 hacia 1 b) 4.4 l/s; 1360 34.19. a) de 1 hacia 2 b) 2.46 l/s; 759 34.20. 44 l/min
34.21. 53.9 l/min
34.22. 51.6 l/min 34.23. a) 21.9 l/s b) 7.65 C.V. 34.24. a) 0.39 J/kg; 13.34 J/kg; 13.73 J/kg b) 4 cm; 136 cm; 142 cm c) 0.004 kg/cm 2; 0.136 kg/cm 2; 0.142 kg/cm 2 34.25. a) 6.14 J/kg; 1361.76 J/kg; 1367.90 J/kg b) 62.6 cm; 138.9 cm; 172.1 cm c) 0.063 kg/cm 2; 13.89 kg/cm 2; 17.81 kg/cm 2
Resultados de los problemas 34.26. a) 2.54 m/s b) 3.2 l/s c) 567 Torr 34.27. 16 l/s; 29.30 m; 20.02 m; 14.80 m; 8.61 m; 0.00 m;
29.82 m 20.54 m 15.32 m 9.13 m 8.35 m
34.28. a) 57 cm b) 3.27 l/min c) 0.0444; 80 µm 34.29. 28.5 cm
34.30. 0.0035 °C/m
34.31. a) 39.9 J/kg b) 0.35 kg/cm 2 c) 2.8 C.V. 34.32. 6.82 kg/cm 2; 50.2 km 34.33. 59 m
34.34. 3.25 C.V.
∆p ∝
34.35. a) s/c b)
L
1
D 5/4
34.36. 0.0379 0.0382 0.0196 0.0197 0.0120 0.0120 excelente 34.37. 0.43 kg/cm 2 34.39. 26.4 mW
34.38. 2075 kg
34.40. 1.96 m N
34.41. a) 0.966 cm/s b) 0.016<1 (crítico) c) 7.88 mm 34.42. a) 0.363 cm/s b) 0.074<1 (crítico) c) 4.76 mm 34.43. a) 58.4 µm b) 19.7 d 34.44. a) 10 g b) 8.8 km/h c) 6.7 km/h 34.45. 6.83 m
34.46. 4.75 kg
34.47. 81.2 m/s 34.48. a) 4° b) 52 kg; 27 C.V. 34.49. 311 kg; 279 C.V.
1067
1068
Resultados de los problemas
35.- Ondas progresivas. Prob. 35.10
!"#$#
! = -"/# (dir. negativa eje $)
!"#%#
&' 17 kHz (' 1.7 kHz )' 170 kHz
!"#!#
&' 20 cm/s; 4 π rad/s; π /5 cm -1 (' 0.5 sen 2 π(2%-0.1$)
!"#*#
&' 0.2 cm; 3.59 cm; 100 Hz; 359 cm/s (' s/c )' 0.258 N
!"#"#
&' 5 Hz (' 40 cm; 200 cm/s )' 0.3 sen(31.416 %-0.1571$)
!"#+#
&' 0.032 cos(120 π%-3.75π$); 0.53 m (' 0.56 cm; -11.88 m/s; -795.4 m/s 2
(' !=*/(; positiva eje $.
!"#,#
&' 600 cm/s
)'
!"#$$# &'
Prob. 35.11
&($,%)
(' 0.5 sen[50 π%-(π/12)$] (c.g.s.) )' 0.5 sen[50 π%-5π/6] (c.g.s.)
2
['
*%) 2 2
(($
*%) ]
!"#$%# s/c
!"#-#
s/c
!"#.#
/' ninguna de ellas es periódica. //' ramas infinitas o asintóticas.
!"#$0#
2' 3*(($
&($,0)
2 '(! $ )
!"#$!# &' lineal en fase (' circular negativa )' elíptica positiva (cuadratura) 1' elíptica (+105°) 2' elíptica cambiante a lo largo del eje $.
($2
+#,-). /0 12%)3# 4526,
1267
1268
/)7-.%#897 8) .97 :29".);#7
!"#$*# &' Ψ <=sen(ω%-=$);Ψ >=1.73sen(ω%-=$) (' Ψ <=sen(ω%-=$); Ψ >=-sen(ω%-=$) )' Ψ <=cos(ω%-=$); Ψ >=sen(ω%-=$) 1' Ψ <=3sen(ω%-=$); Ψ >=cos(ω%-=$) !"#$"# &' ω / (' deberá propagarse en dirección contraria a la de rotación de la cuerda. !"#$+# &'
!($)
)' λ($)
3(?
$) ('
%
(1/ ν )
3 (?
$)
2 ?/ 3
36.- Fenómenos ondulatorios en medios ilimitados. !+#$#
64.4 km/h; 208.4 Hz
!+#%#
39.5 km/h
!+#!#
396 <
ν < 495 Hz
!+#*#
1283 +sol
!"#$,# s/c
!+#"#
&' 25.9 Hz (' 26.7 Hz )' 408 km/h
!"#$-# 0.837 s
!+#+#
&' 241.3 Hz; 1.41 m (' 252 Hz; 1.41 m )' 263.6 Hz; 1.29 m 1' 286.8 Hz; 1.29 m
!"#%0# 20!1010 N/m2; no
!+#,#
8100 km/h
!"#%$# s/c
!+#-#
!"#$.# 3148 m/s; 5041 m/s
!"#%%# s/c
15.19!106 m/s; 5.06 !1024 m
!"#%!# 70 m/s
!+#.#
!"#%*# 0.587 m/s K
!+#$0# &' 36° (' 7.13 s
!"#%"# 2.21!109 N/m2; 2.20 !109 N/m2
!+#$$# 2.605!108 m/s
!"#%+# s/c
!+#$%# &' s/c (' los desplazamientos se restan pero las velocidades se suman; la energía total es puramente cinética.
!"#%,# s/c
!"#%-# &' 46 m (' 30 km 2
!"#%.# &' s/c (' 2μ!&
2
τ )' 2μ!& τ
!"#!0# &' 31.3 m/s (' 28.46 cm )' 1.20 cos 2(691.15%) W; 0.6 W !"#!$# s/c
3
!"#!!# 5.3!10
J/m
!"#!*# &' s/c (' @'2/.2 )' 2@'2/.=cte 2
2
3
)' la distribución de velocidades en la cuerda. !+#$!# s/c !+#$*# &' 7 sen( ω%-=$) (' 5 sen( ω%-=$+0.9273) )' 6.08 sen( ω%-=$+0.2810)
!"#!%# s/c -17
649 °C
1' (' /. ) @ /μ2'
!+#$"# &'
2
2@' /.
!"#!"# &' 113 µW (' 113 mJ !"#!+# 262 km/h !"#!,# &' 8π
ν
2
2
2
μ@
(' 4π 2ν 2' 2
μ@
'
3 sen ϕ 2 '0 sen 1 ϕ 2
sen (ω %
cos 2π ν % 2
(' 120°
!"#*0# s/c !"#*$# &' 19.8 nW/m 2 (' 125 µW/m2 )' 158.3 µW 1' 25 nW/m 2; 1 nW/m 2; 125.7 µW
1' A0
3 2 sen ϕ 2 1
sen 2 ϕ
!"#!-# A∝1/2 ; '∝1/ 2 !"#!.# &' $"=0.693/β (' 3$" )' 3.32$" 1' 9.97$"
)' 240°
ϕ)
=$
!+#$+# &'
sen( 1 Bϕ ) 2 '0 sen[ω % =$ 1 (B 2 sen( 1 ϕ ) 2 (' ϕ =2π(,/B), con ,=1,2,...B-1
1)ϕ ]
1269
/)7-.%#897 8) .97 :29".);#7 )'
A0
('
2 sen( 1 Bϕ ) 2 sen( 1 ϕ ) 2
!+#$,# &' 33.3 Hz; 99.9 Hz; 166.6 Hz; ... (' 66.6 Hz; 133.3 Hz; 199.9 Hz; ...
Prob. 36.26 !+#%,# &'
!+#$-# &' 0.06 sen(9.5 %-4.5$)cos(0.5%-0.5$) (' 1 m/s )' 6.28 m
'0
'(ω )
π β2 ω2 !+#$.# &' (' elíptica rectilínea (+26.6°) (+90°) )' rectilínea (+135°)
'0
β π β2 ω2
#(ω )
!+#%0# s/c
'0
ω π β2 ω2
"(ω )
(' !+#%$# &'
∞
f($) , 1
,π $ .
", sen
2 ⌠. ,π $ d$ f($) sen . ⌡0 .
", ('
∞
#0
f($)
2
, 1
Prob. 36.27
,π $ ", cos .
'(=)
!+#%-#
#
2 ,π $ .⌡ ⌠0 f($) cos . d$ .
#,
!+#%.# &'
#(ω )
!+#%%# &'
sen =$ π2
8C
con
=
1 sen 3=$ 9
π /.
⇒
1 sen 5=$ 25
...
λ
2.
2π /=
"(ω )
'(ω )
!+#%!#
Ψ($,%)
1 π
4'
1 cos 4(ω % 15 !+#%*# A ,
=$) 1 (#, 2
'0
#(=)
1 cos 2(ω % =$) 3 1 cos 6(ω % =$) ... 35
π
4# 2
exp
=2
π ω 0 ∆% '0 2ω 0 ω) sen(ω %0) sen( π 2 π ω0 ω2 ω0 '0
2ω 0
π ω
2 0
ω2
cos(ω %0) sen(π
2ω 0 π ω 20 ω 2
'0
sen(π
ω) ω0
ω) ω0
('
i " ,)
!+#%"# s/c !+#%+# &'
Ψ(%)
∆ω % sen 2 ∆ω % 2
Prob. 36.29 cos
ω1 ω2 2
%
!+#!0# &' ω σ = 3 / ρ (' !g=1.5!f )' las crestas se forman en cabeza del grupo, lo recorren hacia atrás y desaparecen en la cola. 1' 40.5 cm
1270
/)7-.%#897 8) .97 :29".);#7
!+#!$# &' (' ! g
ω
!f
(σ / ρ ) = 3
3= 2πσ ρλ!f
2
!,#"#
s/c
!,#+#
&' 2% con salto de fase (' 2% sin salto de fase
!,#,#
('
)' 1.71 cm; 23.1 cm/s 1' 31.5 cm, 44.8 cm/s; 56.06 cm, 28.44 cm/s !+#!%# &' !g
3! f
2 D/ρ
!,#-# !,#.#
2
μ1
!+#!-# /' La intensidad resultante es igual a la suma de las intensidades individuales, sin fluctuaciones. //' La intensidad media resultante es la misma en todos los puntos, no observándose patrón de interferencia.
A
4A0 cos2(
π λ
)'
γ γ
,2
γ γ
μ@
⇒ ⇒
μ@
< r($,%) < r($,%)
(γ
i ;ω )
μ@
(γ
i ;ω )
γ γ
μ@
;→0
'r
⇒
;→∞ )'
≈ ≈
μ@
('
# cos θ )
γ
no hay reflexión si
!,#$0# &' 'r
0
0
μ@
μ@
)
γ ∂< ∂% $
∂$ $
< r($,%) ('
,1
@2
μ2
0
!+#!,# &' 0°, 0.0378°, 0.0756°, 0.1134°, 0.1513° (' 1.98 mm
!+#!.#
@1
&' @ ∂<
!+#!"# &' 27.6 µW/m ; 39.8 µW/m (' 67.4 µW/m2 )' 133.7 µW/m2 1' 1.1 µW/m2
cos θ i tg θ )
(# sen θ i) (1
2
!+#!+# &' 127 µW/m2 (' 255 µW/m2; 462 µW/m2; 46 µW/m 2
# (sen θ i
∆≈
!+#!!# s/c !+#!*# &' no (' si )' no
∆
μ@
⇒
'r
'i
'i 'i
inercia, desfase
!,#$$# s/c
37.- Fenómenos ondulatorios en medios limitados.
!,#$%# &'
∂ξ γ ∂ξ ∂% ∂$ $ $
FG !,#$#
!,#%#
!,#!#
!,#*#
0
&' 5.2 m (' 9.2 m
1 2 2 μ!ω ' 2
ξ r($,%) ...
&' 0.0327; 1.0327 (' 0.01 sen10 π(%-$/119.7); 0.000 327 sen10 π(%+$/119.7); 0.010 327 sen10 π(%-$/127.8); -0.0327; 0.9673; 0.01 sen10 π(%+$/127.8); -0.000 327 sen10 π(%-$/127.8); 0.009 673 sen10 π(%+$/119.7) )' 52 514 ≈ 56 + 52 461 W/m 2; 49 192 ≈ 53 + 49 135 W/m 2 &' 0.176; 1.176 (' -0.176; 0.823
('
∂2ξ ∂% 2 $
;
0
ρ !G ρ !G
(γ (γ
0
i ;ω ) i ;ω )
ξ i($,%)
terminación no-reflectora:
; !,#$!# *R
Ψi Ψr Ψt
0
γ
1 3
*T2
ρ !G *T3
'i sen (ω % =$) 1 'i sen (ω % =$) 3 2 'i sen (ω % =$′) 3
2 3
1271
/)7-.%#897 8) .97 :29".);#7
38.- Ondas estacionarias.
!-#$,# H($,%)
∞
2 ⌠? v($) sen ,π $ d$ ,π ! ⌡ ? 0 ,π $ ,π !% sen cos ? ?
, 1
&' 0.15 cm, 100/ π Hz; 200 π cm; 200 m/s (' 0.15 sen(200 %-0.01$+3π/4 0.15 sen(200 %+0.01$+π/4) )' π m 1' 3π m !-#$#
!-#%#
s/c
!-#!#
&' 1.4142ν1 (' 0.7071ν1 )' 0.5ν1 1' 0.5
!-#*#
&' 199.1 Hz, 200 cm; 398.2 Hz, 100 cm; 597.3 Hz, 66.67 cm )' '1 sen(π$) sen(398.2 π%); '2 sen(2π$) sen(796.4 π%); '3 sen(3π$) sen(1194.6π%)
!-#"#
&' 132.8 Hz (' 5.625 kg
!-#+#
&' 6.6 Hz (' 13.2 Hz
!-#$-#
∞
2 ⌠? f($) sen ,π $ d$ ? , 1? ⌡ 0 ,π $ ,π !% sen cos ? ? ∞ 2 ⌠? v($) sen ,π $ d$ ? , 1,π ! ⌡ 0 ,π $ ,π !% sen cos ? ?
H($,%)
ν1
!-#,#
?1
,1
μ2
?2
,2
μ1
!-#$.# &'
1 sen ,π # H($,%) 2 π !μ ∆? , 1 , 2 ? ,π ∆? sen ,π $ sen ,π !% sen 2? ? ? 8;m&m?
λ2/λ1=2 (' 70 Hz, 140 Hz, 210 Hz
!-#-#
&'
!-#.#
&' 523 Hz (Do 4), 20.5 cm (' 79.2 cm
('
)'
2'0 sen(ω %
ξ ( ? ,%) 2
1 =?) cos(=$ 2 1 =?) 2
2'0 sen(ω %
!-#$!# &' 353 m/s, 1.112 kg/m (' 5 333 m/s
1 =?) 2
#
1 2 3 ?, ?, ?, ... 7 5 7
!-#%0# ∞
? 2 ⌠ f($) ? ⌡ 0
3
H($,%)
2! 2
($ 2
!-#%$#
μ
2 @/μ
!g
@
3α = 2
μ
2 @/μ
(' son algo más agudos que los verdaderos armónicos o sobretonos. !-#$+#
H($,%)
∞
2 ⌠? f($) sen ,π $ d$ ? ⌡ ? 0 ,π $ ,π !% sen cos ? ? , 1
2! 2
($ 2
∞
H($,%)
!f
3
sen
!-#$"# &'
α= 2
, $ π ?$)sen d$ ?
, 1
3
,π $ cos ,π !% ? ?
!-#$*# &' 5 128 m/s (' 19 230 Hz, 32 050 Hz...
@
...
π !μ , 1 1 sen ,π # sen ,π $ sen ,π !% , ? ? ?
!-#$$# &' cerrado (' 19.32 m
ξ ($,%)
∞
4; m&m
H($,%)
!-#$0# los armónicos impares.
!-#$%#
∞
, 1,3,5,..
43? 2 sen ,π $ sen ,π !% , 3π 3! 2 ? ? 3 2! 2
($ 2
?$)
?$)
1272
/)7-.%#897 8) .97 :29".);#7
!-#%%# ('
('
π 2! 2 ...
μ
Dk
4? ∞ ,π !% ,π !% 2 2 , #, sen ", cos , 1 ? 2 ? @π Dp ... 4? ∞ ,π !% ,π !% 2 , 2 #, cos ", sen ? , 1 ?
π
D
2
∞
@
)'
!-#%+# ('
;→∞
ω,
2
", )
;→0 (; +)
ω,
;→∞(; +)
ω,
,π ! 2? ,π ! ?
(,
1,3,5,...)
(,
1,2,3,...)
+ ;
,π ! 2? ,π !
(, 1,3,5,...) (, 1,2,3,...)
?
, 1
!-#!!# s/c
μ
!-#!*# &' 31.6 Hz, 40 Hz, 50.99 Hz (' 14.14 m/s
!-#%*# &' 12.6 mJ (' 7.09 mJ
2@C 2 ?
!-#%"# D
ω,
!-#!%# (' (= ,?) tg ( =,?)
ω 2, '0,2 ,
<μ D>
!-#%!#
2
, 2(#,
4?
;→0
!-#!"# &'
('
, 2π 2! 2
ω,
?
)'
β
2
π # 2ν 2
4π # 3ν 3
2
3! 3
!2 (long.)
8π # 3ν 3 3! 3
(transv.)
∞
H($,%)
)
#, cosω ,% !-#%,# ('
sen
, 1
,π ! ?
ω,
(,
39.- Acústica física.
1,2,3, )
,π $ sen ,π !% ? ?
H($,%)
)'
,π $ ? ", senω ,%
β%
!.#$#
&' 354.90 ms (' 326.88 m/s )' 1307.5 m/s
'máx sen
H($,%)
!.#%#
40.7 m
1,3,5,..)
!.#!#
1500 m
,π $ sen ,π !% 2? 2?
!.#*#
128.35 m
!.#"#
reforzadas: 1214, 3643, 6071, 8500, 10929, 13357, 15789 y 18214 Hz. eliminadas: 2429, 4857, 7286, 9714, 12143, 14571, 17000 y 19429 Hz
!.#+#
12.58 m
!.#,# !.#-#
&' 3148 Hz (' 3000-4000 Hz &' 0.017 (' 60.43 )' 273!10-6
!.#.#
&' 6.02 dB (' 1.122; 12.2%
,π ! 2?
ω,
(,
' sen
!-#%-# &' 0.395 J (' 132 mW )' 47512 !-#%.# ('
ω,
,π ! 2?
(,
1,3,5,...)
sen ,π $ 2? # cos ,π !% " sen ,π !% , 2? , 2?
H($,%)
!-#!0#
sen π $ cos π !% ... 2? π 2 2? 1 3π $ 3π !% 1 5π $ 5π !% sen cos sen cos 9
H($,%)
2?
!.#$0# &' 83.0 dB (' 105 bebés
8C
2?
!-#!$# &' (= ,?) tg ( =,?)
2?
25
+ ;
2?
!.#$$# 14.5
... !.#$%# &' 1 km (' 100 km !.#$!# &' 69.4 dB (' 892 m !.#$*# s/c
1273
/)7-.%#897 8) .97 :29".);#7 !.#$"# &' 88 dB, 82 dB, 76 dB (' 95 km !.#$+# &' 136 dB (' 50 kW, 10053 J )' 9.06 Pa, 1.10 µJ, 51 mg !.#$,# &' 0.783 nm, 0.924 mPa (' 0.392 nm, 0.462 mPa !.#$-# &' 1:4, 6.02 dB (' 15 fon !.#$.# &' 249 nW/m 2, 54 dB (' 497 nW/m 2, 57 dB !.#%0# &' 109 km dB;dB; G=56.4 dB; (' si β)'=76.4 β=17.3 G=-2.66 dB; no
40.- Acústica musical y arquitectónica. *0#$#
&' 1 coma mayor = 1.0 1 32 1 coma =81÷80 = 1.0 125 (' 1 coma menor = 1.0 118 semitono cromático = 1.0 603 semitono diatónico = 1.0 479
*0#%#
3÷2 = 1.50 0; 5ª justa; 32÷27 = 1.19 ; ≈3ª menor
*0#!#
&' relativamente consonante (' menos consonante )' bastante disonante
*0#*#
3ª mayor; 3ª mayor; 4ª justa; 5ª justa; 5ª dism.; 4ª aum.; 3ª dism.; 2ª menor física (2ª mayor); 2ª menor (semitono menor); ídem; coma menor; 2ª menor.
*0#"#
do1, 8ª justa; do 2, 5ª justa; sol 2, 4ª justa; do 3, 3ª mayor; mi 3, 3ª menor; sol 3, (3ª menor); (si 7), (2ª mayor); ...
*0#+#
&' sol, la , si , do, re, mi, fa
, sol.
(' la, re si , mi,, do, fa re , sol )' si, la. fa, do sol, ,la, , mi, , fa. *0#,#
&' la-do -mi (' mi-sol -si )' la-do-mi 1' mi-sol-si
*0#-#
&' 0; 204 km/h; 408 km/h (' 0; 816 km/h; 408 km/h
*0#.#
&' 18.0 s; no; no (' 1.30 s; no; si
*0#$0# &' 0.49 s (' 0.62 s *0#$$# 781 ms, 174 ms, 142 ms
*0#$%#
τ
0.16 I 4Iβ α G
(α 1)
1274
/)7-.%#897 8) .97 :29".);#7