MINISTERIO DE EDUCACIÓN
SOLUCIONARIO DE ARITMÉTICA
PR OH
OCTUBRE, 2013.
IB
Comisión de matemática encargados de elaborar el Soluciónario de Álgebra y Aritmética
ID
Carlos Sánchez Hernández (Coordinador) - UNI Iván Cisneros Díaz - UNAN Managua Francisco Emilio Díaz Vega - MINED
A
Humberto Jarquín - MINED Comisión de revisión e incorporación de otras estrategias de solución
LA
Elías Martínez Rayo - UNI
Hank de Jesús Espinoza Serrano - UNI Carlos Walsh Mendoza - UNI Auxiliadora Cortedano - UNI Meyling del Socorro Martínez - UNAN
Aracelly del Carmen Blandón Alvarez - MINED
A
NT
Colaboración de la Comisión TIC
VE
José Manuel Siles Huerta -UNI
1. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a: Solución : Al sumar los tres números iguales se obtiene el siguiente producto. 3
311 = 312
2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es: Solución : Al sumar ambos números se obtiene:
1
2 a 3 + 3
2
6
5
b
9
como el número 5b9 es divisible entre 9; esto signi…ca que la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9, el unico que satisface es 18 entonces 5 + b + 9 = 18; de aqui b = 4; entonces a + 2 = b; lo cual
PR
signi…ca que a = 2 y por tanto a + b = 6 3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué
OH
porcentaje de la cantidad original me queda?
IB
Solución :
Sea x = Cantidad Inicial , entonces
ID
x + 0:1x = 1:1x
es la cantidad aumentada en un 10%, pero a ésta le restamo su 10% y obtenemos
A
1:1x
0:1 (1:1x) = 0:99x
4. Al simpli…car [(9
4) + ( 10 + 3)]
((6) ( 5))
[( 12 + 8) (6
LA
lo cual representa un 99% de la cantidad inicial.
9) (95
90)] el resultado es:
Al efectuar las operaciones indicadas se tiene [(9
4) + ( 10 + 3)]
((6) ( 5))
[( 12 + 8) (6
9) (95
90)]
= [5 + ( 7)] ( 2) ( 30)
=
60
=
1
60
( 30) 60
[( 4) ( 3) (5)]
A
=
NT
VE
Solución :
5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000? Solución : La descomposición del 2000 en factores primos es 2000 = 24 53 ; sumando 1 a cada exponente y multiplicando dichas expresiones, la cantidad de divisores será (4 + 1) (3 + 1) = 20 2
6. Al simpli…car 4 (3)
6
p 3 4 + 2 [5 (7)
15
3]
4
Solución : 2
12
9. El resultado es:
Al efectuar las operaciones indicadas y respetando el orden de prioridad de los operadores aritmeticos, se tiene 2
4 (3)
6
p 3 4 + 2 [5 (7)
15
3]
4
12
9
PR OH
=
36
6
=
6
=
60
=
240
=
20
=
11
6 + 2 [35
6 + 2 [35 4
12 12
5]
15 4
3] 12
4
12
9
9
9 9
9
7. ¿Cuántos números válidos de cinco cifras se pueden escribir usando solo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4?
IB
Solución :
los 5 dígitos restantes, es decir, 4
ID
El número 0 no puede ser el primer dígito, entonces, los otros lugares pueden ser ocupados por cualquieras de 5
5
5
54
5=4
A
8. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%. ¿Qué edad tiene Juan?
Una de la formas de resolver este problema es
69 ! 115%
LA
Solución :
, de aqui x =
x ! 100%
69
100% = 60 115%
VE
2 3 de los hombres están casados con los de las mujeres. Si nunca se casan con forasteros, 3 5 ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?
9. En una ciudad,
NT
Solución :
A
Sea x = Cantidad de Hombres y = Cantidad de M ujeres 2 3 10 x = y ; de aqui, y = x 3 5 9 x+
10 x 9
2
10 x+ x 9
2 x 3
=
7 19
en este tipo de ejercicio las condiciones se cumplen para cualquier cantidad de personas , trabajando una cantidad adecuada para evitar fracciones no enteras. 3 2 si hay 100 mujeres ,entonces los (100) = 60(casadas); el resto (100) = 40 son solteras 5 5 2 como la razon de hombres casados es x (x : cantidad de hombres ) 3 x= 90 hombres , 60 casados , 30 solteros, luego la proporcion buscada es 30 + 40 7 = 90 + 100 19 3
10. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿Cuál es la razón geométrica de los juegos ganados a los jugados? Solución :
PR
Total de juegos = 20, Total de juegos ganados =15, dicha proporción es
15 3 = 20 4
OH
11. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5. ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números?
IB
Solución :
12. El resultado de
2 3
4 5
6 7
A
ID
Como su m.c.d es 5, signi…ca que 5 es el único divisor común. Por tanto, se trata de dos números múltiplos de 105 5. Como su m.c.m. es 105, entonces = 21. Descomponemos el 21 en el producto de dos divisores, esto es 5 3 y 7. Por tanto, uno de los números es 15 = 3 5, el otro es 35 = 5 7 , por tanto, su suma es 15 + 35 = 50
es:
LA
Solución : Al realizar operaciones básicas aritmética se tiene 4 5
7 6
=
14 15
2 3
=
NT
4 15
VE
2 3
13. Juan gasta el 20% de sus ingresos en el pago de impuestos y 20% del resto en el pago de la mensualidad de su
Solución :sea x : Los ingresos de Juan El valor gastado en el pago de impuesto es 0:2x luego lo que le queda es x
0:2x = 0:8x
por tanto, el pago de la mensualidad de la casa es 0:2 (0:8x) = 0:16x lo cual corresponde a un 16% 4
A
casa. ¿Qué porcentaje de su ingreso gasta en el pago de su casa?
14. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los
3 7 de los del costo de un juguete que me ha costado C$40:00? 5 2
Solución : Aplicando operaciones básicas aritméticas
PR
3 5
luego se ha ganado 84
7 2
40 = 84:0
40 = 44:00 córdobas.
OH
15. Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 15%, 20%, 25% y 40%, respectivamente, del monto total. Si la menor de las aportaciones fue de C$9; 000, la mayor de las aportaciones fue
La menor de la aportaciones equivale
ID
Solución :
IB
de:
A
0:15x = 9000
luego el monto total es
LA
x = 60; 000 La mayor de las aportaciones equivale
0:4 (60000) = 24; 000
VE
solucion alternativa: usando repartos proporcionales sean las aportaciones
A
NT
A: 15 % , B: 20% C=25% D=40% A B C D A+B+C +D = = = = 15% 20% 25% 40% 100% SI A= 9000 9000 D = ,la Solucion nos da la mayor aportacion , D: 24000:0 0:15 0:4
16. De acuerdo al Reglamento de Admisión de una universidad, el puntaje total alcanzado por un estudiante está formado por el 70% de la nota obtenida en el Examen de Admisión y el 30% de su promedio de los dos últimos años de bachillerato. Si un estudiante alcanza un puntaje total de 81 y su promedio de los dos últimos años de bachillerato es 95, ¿qué puntaje obtuvo en el examen de admisión? Solución : Sea x la nota obtenida en el examen de admisión, entonces 70%x + 30%(95)
=
81
0:7x + 0:3 (95)
=
81
0:7x + 28:5
=
81
x =
75
5
17. Un grupo de amigas va de paseo y disponen de C$240:00 para la compra de sus pasajes. Si compran pasajes de C$30:00, les sobra dinero; pero si compran pasajes de C$40:00, les falta dinero. ¿Cuántas amigas van de paseo? Solución :
PR
Sea n la cantidad de amigas, entonces 30n < 240
OH
40n > 240
y la solución de dicho sistema de ecuación se encuentra en el intervalo (6; 8), de aqui que la solución entera es
solucion alternativa :
IB
n=7
ID
si n=8 30(8) = 240
A
si n=6 40(6) = 240
LA
luego "n" debe estar entre 6 y 8 por lo tanto n=7
18. En el parqueo de la UNI, entre carros y motos hay 20 vehículos. Sabiendo que el número total de ruedas es 70. ¿Cuántos carros hay?
VE
Solución :
x) la cantidad de motos respectivamente, entonces 4x + 2 (20
x) = 70
A
x = 15
NT
Sean x la cantidad de carros y (20
por tanto, hay 15 carros y 5 motos. Solucion alternativa. se puede emplear un sistema de ecuaciones de orden 2x2 sea .x: número de carros x + y = 20
y : número de motos
resolviendo el sistema por el metodo de reduccion , se obtiene
4x + 2y = 70 solucion: x = 15; carros
y = 5 M otos
19. Un estudiante de la UNI proveniente del interior del país gasta la cuarta parte de su “mesada” en el alquiler de una habitación, la mitad en comida, la quinta parte en materiales educativos y el resto, C$ 100.00, en recreación. ¿Cuánto es la “mesada” de este estudiante? Solución :
6
Sea x la cantidad de la mesada recibida, entonces x 4
x
x 2
x = 5 x =
100 2000
20. El hielo disminuye su volumen en un 9% cuando se derrite. Si se derriten 1000cc de hielo, ¿Cuál es el volumen
PR
del líquido que se forma? Solución :
OH
Hay que obtener el 9% de 1000, es decir 1000 = 90cc
IB
0:09
por tanto, el volumen que se forma es de
90cc = 910cc
ID
1000cc
21. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n?
A
b) n2 + 2003
a) 2003n
c) n3
d) 2n2 + 2003
LA
Solución :
La expresión 2n2 es un número par y 2003 es un número impar, por tanto, su suma siempre sera impar 13
2
1
1 C7 C7 C7 es A5
NT
B B 4B @
6 6 22. La solución de 65 4
1 2 1 2
VE
0
2
Solución :
5
23. Calcular el producto L naturales y que b
0
B B 4B @
1
2
1 2 1 2
1
1C C C = A
A
Al desarrollar la fracción se tiene
5
=
4
3 2
1
H sabiendo que L = a + b + c , H = d + c = f + g siendo a; b; c; d; f; g números
f = 91 ; a
d = 18 ; c
d = 16 ; b
g = 39
Solución : Como sabemos que b
f = 91 ; a
d = 18 ; c
d = 16 ; b
g = 39; podemos aplicar la teoria de máximo
común divisor y obtenemos : b = mcd (39; 91) = 13 , d = mcd (16; 18) = 2; de aqui f = 7; c = 8; a = 9; g = 3 y entonces L = a + b + c , H = d + c = f + g; y sustituyendo L = 9 + 13 + 8 = 30; H = 2 + 8 = 7 + 3 = 10; por tanto el producto es 300 7
5 2 de las reses de un ganadero y luego él vendió los de las que le quedaban. Si aún 8 3 tiene 216 reses, ¿Cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió?
24. Una epidemia mató los
Solución : 5 x 8
PR
5 x = 216, cuya solución es x = 1728; este valor son las 8 5 reses que tiene al inicio, las que mata la epidemia son (1728) = 1080; las que le quedan son 1728 1080 = 648 8 2 y las vende son (648) = 432 3 Formamos una ecuación lineal
OH 4:62
Solución :
10
2
2 3
x
2:2
IB
25. Al realizar la operación
x
4
10
ID
Al realizar la división indicada
4:62 2:2
102 = 210
A
26. La expresión
se obtiene el número
1 p es equivalente a: 2+ 32
LA
Solución: Al racionalizar el denominador, se tiene =
A
p 1+ 2 p resulta: 27. Al racionalizar el numerador de 3 2 Solución: Al multiplicar por el conjugado del numerador p 1+ 2 p = 3 2 = =
NT
=
p p 1 4 232+ 34 p p p 2+ 32 4 232+ 34 p p 4 432+ 34 10
VE
1 p 2+ 32
p ! 1+ 2 p 3 2 1 2 p 5 4 2 1 p 4 2 5
1 1
p ! 2 p 2
28. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando solo es: Solución:
8
Al plantear una regla de tres compuesta Hombres
Dias Proyectado
Dias Reales
2
24
20
1
x
30
inversa
PR
De aqui
OH
29. Al simpli…car la expresión
x=
directa
2
24 1
30 20
= 72
Solución:
IB
21 + 20 + 2 1 se obtiene: 2 2+2 3+2 4
ID
Al reescribir la expresión dada
1 2 1 1 1 + + 4 8 16 2+1+
A
y al efectuar operaciones básicas de suma y cociente, se tiene que el valor dado es 8
LA
30. Se va a tender una línea eléctrica de 35:75km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de 125m. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el último al …nal ¿cuántos postes serán necesarios en total?
Al hacer la conversión de 35:75km a metros se tiene 35:75
1000 = 35750
lo cual a dividir entre 125; se tendría la cantidad de poste utilizado, es decir 35750 = 286 125 pero como el primer poste se coloca al inicio de la línea, se tiene que el total de poste es de 287 31. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20? Solución: Calculemos los porcentajes dados
por tanto, la diferencia dada es 21
0:5 (50)
=
25
0:2 (20)
=
4
9
A
NT
VE
Solución:
32. En la sustracción a
b = c, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del
minuendo? Solución:
a + b + c = 32
b = c; entonces
OH
pero a
PR
Sabemos que
IB
33. El valor numérico de la expresión
a+b+a
42
b
=
32
a =
16
2
(3
2)
es:
2
ID
( 6 + 1)
Solución:
A
Al desarrollar la expresión dada
2
(3
2)
16 1 25 3 5
LA
42
=
2
( 6 + 1)
=
1 1 1 de un queque, B comió de lo que quedó después que A comió; C comió de lo que quedó 4 3 2 después que A y B comieron ¿Qué parte del queque quedó? Solución :
x
1 x 4
1 3
x
1 x 4
1 2
x
1 x 4
1 3
x
1 x 4
A
Sea x el total del queque, entonces al restar las partes que se comieron, se tiene
NT
VE
34. Si A comió
1 x 4 2 3 del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su cumpleaños. Con los del dinero que 7 5 le sobró compró hamburguesas. Al …nal Mara se quedó con C$100:00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas?
35. Con los
Solución : sea : x: dinero que tenia al iniciar la compra 2 Gaseosas = x 7 5 3 3 Hamburguesas: ( x) = x 7 5 7
10
Al aplicar los datos x
2 x 7
3 5
x
2 x 7
=
100
x =
350
PR
lo gastado en hamburguesa es 3 5
x
2 x 7
=
3 5
350
2 7
350
= 150
OH
36. En una fábrica 60% de los artículos son producidos por una máquina A y el resto por otra máquina B. Si 3% de los artículos producidos por la máquina A y 8% de los producidos por la máquina B resultaron defectuosos
IB
¿cuál es el porcentaje de artículos defectuosos producidos en toda la fábrica. Solución :
ID
Sea x el total de artículos producidos por la máquina A, entonces según los datos P RODU CE
DEF ECT U OSOS
A
60%
3%
B
40%
A
M AQU IN A
8%
LA
HACEMOS : el 3% de 60 es 0.03(60)= 1.8% el 8% de 40 es 0.04(40)= 3.2%
VE
sumando ambos 1.8%+3.2%=5%
37. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47; 286km. Ahora que acabo de cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro?
A
NT
llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el cuentakilómetros marcaba 47; 506 km recorridos. Si el litro de gasolina
Solución : recorrido inicial 47286Km recorrido …nal 47506Km , sacando la diferencia de las cantidades anteriores se obtiene 220 Km . o sea recorrio 220 Km con 22 litros ,el costo de los 22 litros es 22(20)= C$440 440 = 2 cordobas por kilometro. luego dividimos 220 38. De acuerdo a la Ley de Gravitación Universal, la fuerza de atracción entre dos partículas varía directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros, m1 m2 es decir F = k . Cuando dos partículas con masas de un gramo cada una están separadas 1 cm, la fuerza d2 de atracción es de k = 6:67 10 8 dinas. ¿Cuál es la fuerza de atracción resultante entre estas partículas si se colocan a 1 metro de distancia? Solución : La aplicación de la fórmula da
11
39. La frecuencia de una onda de radio es inversamente proporcional a la longitud de onda. Si una onda de 250 m de longitud tiene una frecuencia de 1200 kilociclos por segundo, ¿cuál es la longitud de una onda que tiene una frecuencia de 800 kilociclos por segundo? Solución :
puesto que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, entonces, a mayor
PR
longitud de onda menor frecuencia. para formar proporciones con cantidades inversamente proporcionales, igualamos la razon directa de las primeras
Aplicando los datos
OH
cantidades (longitudes de onda) a la razon inversa de las segundas cantidades (frecuencias)
IB
800 1200 375
ID
250 = x x =
40. Un frasco contiene 12 onzas de una solución cuya composición es una parte de ácido por cada 2 partes de agua.
A
Se agrega a otro frasco que contiene 8 onzas de una solución que contiene 1 parte de ácido por cada 3 partes de agua. ¿Cuál es la razón entre el ácido y el agua de la solución obtenida?
LA
Solución : La relación en el frasco de 12 onzas es
2 4 y en el frasco de 8 onzas es ; entonces la relación total entre el ácido 8 6 6 3 = 14 7
VE
y el agua es
A
NT
41. Por un préstamo de 20; 000 pesos se paga al cabo de un año 22; 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?
Solución : t
La fórmula dada es F = P (1 + i)
entonces 22400
=
i =
20000 (1 + i) 0:12
lo cual representa 12% 42. Procedimiento IDEM con el ejercicio 31 43. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? Solución : 12
Este es un problema de proporcionalidad compuesta,
PR
De aqui
Gallinas
Huevos
Dias
1
2
3
4
24
x
4 1
2 3 = ; x=9 24 x
OH
44. Si un número N se divide entre 4, se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. Si N se divide entre M , se obtiene 5 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor de M?
IB
Solución :
N
= cd + R = 36 + 1 = 37 =
A
N
ID
De acuerdo a los datos del problema
5M + 2
37
2 5 M
= M =
7
LA
al sustituir los datos
VE
45. PROCEDIMIENTO IDEM con el ejercicio 37 46. PROCEDIMIENTO IDEM con el ejercicio 32
NT
47. PROCEDIMIENTO IDEM con el ejercicio 35
A
48. Un contratista compró 4000 piedras y las vendió por 8,800 córdobas. ¿Cuánto pagó el por cada piedra si ganó, en relación a lo que pagó, un porcentaje igual a 5 veces el número de córdobas que a él le costó cada piedra? Solución : El costo real de cada piedra es 8800 4000 2:2
= x + 5x = x+
x =
49. El valor de la expresión
Solución :
1 2
2 2
+ ( 2) 3
( 2)
es:
13
2
x2 20
x 100
Al reescribir la expresión dada 2
1 2
2
+ ( 2)
=
3
( 2)
22 + 4 = 8
1
50. En el censo del año 1900 una ciudad registró una población de 20 000 personas. El año 1930 la población fue
PR
de 60 000 personas, 30 años después de 180 000 personas. Si el aumento de población en la ciudad se mantiene constante, para el año 2020 se puede estimar una población de:
OH
Solución :
La proporción es de tipo directa, es decir, en cada periodo de 30 años, se triplica la población, por tanto, en
IB
120 años, se tiene
=
0 ! P = 20; 000
t
=
30 ! P = 60; 000
t
=
60 ! P = 180; 000
t
=
90 ! P = 540; 000
t
=
120 ! P = 1; 620; 000
A
ID
t
LA
51. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 córdobas invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.
La fórmula a utilizar es I=C
i
52. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1:3
t = 25000
0:06
4 = 6; 000
NT
VE
Solución :
1017 segundos y la de la pirámide de Keops, 1:5
A
La diferencia de edad entre la tierra y la pirámide en notación cientí…ca es:
1011 segundos.
Solución : Sea d la diferencia de edad, entonces 1017
d
=
1:3
1:5
d
=
1011 1:3
d
=
1011 (1299998:5)
d
=
1:2999985
106
1011 1:5
1017 seg
53. Al invertir $50:000 al 6% anual de interés compuesto trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de Solución :
14
La fórmula corrrespondiente es t
4
4
F = P (1 + i) = 50000 (1 + 0:06) = 50; 000 (1:06) = 63; 123:848 54. ¿A qué equivale 15 kg?
PR
Solución :
1000g = 15000g 1kg
OH
La conversión es15kg
55. ¿Cuál es la conversión correcta de 20l?
ID
La conversión adecuada es 20
IB
Solución :
1000 cc = 20; 000 cc
56. ¿A que equivalen 1; 5h?
A
Solución :
60mi 60s = 5400s 1h 1mi
57. ¿A qué es igual 12m?
LA
La conversión correspondiente es 1:5h
La conversión correspondiente es 12m
58. Un ciclista viaja a una velocidad de 20km=h , esta velocidad convertida a m=s es:
A
Solución : Haciendo la conversión correspondiente, se tiene
20
1000 m = 5:56 m=s 3600 s
59. La temperatura en Fahrenheit que corresponde a 0 kelvin es: Solución : La fórmula de conversión es K =
NT
100Cm = 1200 cm 1m
VE
Solución :
32
F 1:8
+ 273:15 entonces
0
=
F
=
F
32 + 273:15 1:8 459:67
15
