Problemas resueltos l' propuestos ile Electrotecnia Básica Ing. Esteban Amador Martínez
-
Editorial Pueblo y Educación 1
'
Este libro, en tus manos de estudiante, es instrumeñto de trabajo para coñ_shuir.t.~,J educación. CuídaJó> . :. . ·. :•. · para que-sirva también ·a Jos compañeros que te sigan.
Edición: Prof. Caridad Arce Crespo Diseño: Vivían Lechuga Rodríguez Ilustración: Roberto Suárez Yeras
Primera reimpresión, 1988
. . . ©.Est~:J,;¡n Amador Martínez, 1985
©Editorial Pueblo y Educación, 1985
EDITORIAL PUEBLO Y EDUCACIÓN Calle 3ra. A No. 4605, entre 46 y 60, Playa, Ciudad de La Habana
SNLC:RB 01.27380.9
1
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Prólogo
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1
El presente libro ha sido concebido como complemento de/texto de Electrotecnia básica utilizado actualmente para la impartición de la propia asiRnatura. en las dVerentes especialidarles no eléctricas de inf.(eniería. en la Educación Superior. Su objetivo fundamental es el de brindar al estudiante una herramienta útil para la ejercitadón de los diferentes temas abordado.s en esta asignatura. Está dividido en capítulos que abarcan los temas de mayor importancia. en la misma secuencia J' con el mismo enfoque que en e/ libro de texto. presentando dos series. adecuadamente graduadas. de problemas resueltos .v problemas propuestos antecedidos por las definiciones necesarias y principios fundamentales . relacionados con cada tema tratado. · El contenido abordado inclu.ve las aplicaciones de las ·leyes fundamentales de la electricidad. sistema de números complejos. circ:uiios en serie. en paralelo y en serie-paralelo. circuitos trifásicos balanceados. diferentes tipos '• de máquinas eléctricas y selección de los diSpositivos necesarios para su ade~ cuada instalación y protecdón. Deseamos expresar n~estro reconcx:imiento a todos los que. de una forma u otra. han colaborado en la realización de este libro. espedal'merue á/ Candidato a · Doétor en Ciencias Té(,.·nicas Mariano · Zerquera Izquierdo. Prqfesor Aiix.iliar dei Depa-rtamento de Electroenergéiica de la Facultad de. lngenieria Eléctrica de la Universidad Central de Las Villas. por sus valio· sas sugerencias y !.(ti/ colaboración: El autor Santa Clara. /9X3 ·
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índice.
J 1
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CAPÍTULO 1 CIRCUITOS DE CORRIEN1E D/Rr-"C1A Y SUS ELEMENTOS/ 6 Introducción/6 Problemas resueltos/14 Problemas propuestos/51
/\
CAPÍTULO 2 CORRIENTES Y TENSIONES AL11:.'RNAS/ 5BJ..... Introducción/58 Problemas resueltos/62 Problemas propuestos/72 CAPÍTULO 3 FASORES Y ALGEBRA COMPLE"JA/ 78 Introducción/78 Problemas resueltos/84 Problemas propuestos/94
}
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CAPÍTULO 4 CIRCUITOS MONOFASICOS DE CORRIENTf.: v· ALJERNA/96 ""\ Introducción/96 Problemas resueltos/! 02 Problemas propuestos/139 CAPÍTULO 5 POTENCIA Y ENERGÍA EN CIRCUITOS , DE CORRIENTE: ALTE'RNA/ 147 . · Introducción/14 7 Problemas resueltos/154 Problemas propuestos/171
J.<
CAPÍTULO 6 CIRCUITOS TRIFASICOS BALANCEADOS/ 174 Introducción/174 Probl~mas resueltos / 180 Problemas propuestos/195 CAPÍTULO 7 TRANSFORMADORES/ 199 { Introducción / 199
/
Problemas resueltos/205 Problemas propuestos/235 CAPÍTULO 8 MÁQUINAS TRIFÁSICAS ASINCRÓNICAS·)(_ O DE INDUCCIÓN/ 240 lntroducción/240 ; Problemas resueltos/214 7 Problemas propuestos/265 CAPÍTULO 9 MÁQUINAS DE CORRIEN11:.. D/Rl::CTA/ 268 - --- lntroducción/268 . Problemas resueltos/27 5 Problemas propuestos/296
J A··
CAPÍTULO 10 INSTALACIÓN Y PR07ECCIÓN DE MOTORES ELÉCTRJ('OS/ 302 Introducción/302 Problemas resueltos/323 Problemas propuestos/344 B/BL/OGRAFÍA/350
Capítulo 1
~·
CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA Y SUS ELEMENTOS
INTRODUCCIÓN El análisis y la solución de los circuitos de corriente directa son de gran importancia. toda vez que en estos se aplican las leyes fundamentales de la electricidad y diferentes métodos de solución de circuitos eléctricos que son también aplicables. con sus características particulares. en circuitos de corriente alterna. A continuación se establecen las definiciones más importantes. así como los ejercicios destinados a crear habilidades en los estudiantes en el análisis de estos circuitos. Se aclara que se utilizarán. como convenio. las letras minúsculas para representar las magnitudes variables con el tiempo. mientras que las mayúsculas servirán para representar las que no varían con el tiempo.
LEY DE OHM La diferencia de potencial u entre los terminales de un elemento de resistencia pura es directamente proporcional a la intensidad de la corriente i que circula a través de él. La constante de proporcionalidad R·se denomina resistencia eléctrica del elemento y su unidad de medida es el ohm (U). La expresión matemática de esta ley es la siguiente:
u =iR. 6
(1.1)
La potencia disipada (p) en un resistor R en el cual una corriente i produce una cafda de tensión* u. viene dada por la expresión: p
= ui = i 2R.
(1.2)
Cuando se trate de una fuente o bateria cuya fuerza electromotriz (fem) sea .:ae valor e. y la corriente que drcula a través de ella sea i. la potencia relacióna~a con esta puede calcularse mediante la ecuación: p =ei.
(1.3)
Ahora bien. una' batería puede entregar o tomar energia del circuito en que se encuentre conectada. Cuando la corriente que circula a través de la batería posea un sentido coincidente con el sentido de polaridades (de menos (-) a más ( +)). esta entrega energía al circuito en que se encuentra conectada. En caso contrario. la bateria recibe carga.
LEYES DE KIRCHHOFF Ley de las corrientes La suma de las intensidades de corriente que entran a un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen de· él. Al considerar positivas las corrientes que entran y negativas las que salen, esta ley establece que la suma algebraica de las intensidades de corriente que concurren en un nodo es igual a cero: De acuerdo con el gráfico mostrado en la figura 1.1, puede afirmarse que:
o también: (1.4)
Fig. 1.1
• En el libro de texto Electrotecnia básica se utilizó voltaje por tensión eléctrica. En este libro se utiliza simplemente tensión. (N. del E.)
7
Ley de las tensiones En un circuito cerrado o malla, la suma de todas las subidas de pot~ncial es iguál a la suma de todas las caídas de potencial existentes, o sea, la suma algebraica de las diferencias de potencial en todo circuito cerrado o malla es nula.
' L
Subidas de tensión
'
=
L
. Caídas de tens.ióp
En el circuito de la figura 1.2 se tiene que:
o bien: (1.5) R
--------~c::J~--------~
l
i
1+''
Fig. 1.2
Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff, es necesario tener en cuenta lo siguiente : a) Considerar como sentido de circulación de la corriente a través de cada circuito, el sentido de las agujas del reloj. Aunque este convenio es arbitrario y no es imprescindible su estricta aplicación. sirve para sistematizar la solución de los problemas. b) Al plantear las ecuaciones de tensión de Kirchhoff, debe recorrerse el circuito cerrado o malla en el mismo sentido de circulación de las corrientes antes supuesto (el mismo sentido de las agujas del reloj). Como en el caso anterior, este convenio se sugiere igualmente a fin de sistematizar el procedimiento de solución de los problemas. e) Las fuerzas electromagnéticas de las baterías o fuentes que contenga la malla han de sumarse algebraicamente, considerando como positivas las baterías cuyo sentido de polaridades (de menos (-) a más ( +) coincida con el sentido en que se recorre el circuito, y como negativas las contrarias. 8
Es de suma importanci¡¡ recordar que: La polaridad de la diferencia de potencial a través de un resistor depen- · de de1 sentido de circulación de la corriente a través de este. Considérese, como convenio, que siempre es positivo el borne del resistJr por donde entra la corriente, y negativo el otro borne (fig. 1.3a y b). La polaridad de la diferencia de potencial a través de una batería es independiente del sentido de circulación de la corriente a través de ella. Considérese positivo el extremo correspondiente a la barra mayor del símbolo utilizado para su representación gráfica, y negativo el contrario (fig. 1.3c y d).
____
Recorrido del observador (de+ a--.:.¡
a)
+
Recorrido del observador (de- a+)
..,..
----~
R
-----lc::::JI----------•~ 1
R
b)
El observador detecta una subída de potencial
____ ....,
Recorrido del observador (de- a+)
Recorrido del observador
(~-a+)
----~ e)
E 1 + ---. -~~----_
- -.. -~ 1
-
_EI~----1 + -
d)
Sef1!ido de .la corriP-nte
El observador detecta una subida de potencial
Sentido de la corriente
...... .__ _ _ 1
Senti(jo de la corriente
El observador detecta una caída de potencial
+
----lc::::JI----
..
Sentido de ¿orriente
la
El observador detecta una subida de potencru
Fig. 1.3 Supong~se
que en todos los casos mostrados, se recorre el circuito de izquierda a derecha.
RESISTORES CONECTADOS EN SERIE En todo circuito en serie, la magnitud común a todos los componentes de este es la corriente (fig. 1.4). · La resistencia equivalente 1\,q de varios resistores conectados en serie p~ see un valor numéricamente igual a la suma de todos los valores de las resistencias individuales, o sea: (1.6) 9
R,
R¡
R.l
R,
•.. ~~
Fig. 1.4
RESISTORES CONECTADOS EN PARALELO En todo circuito en paralelo. la magnitud común a todas las componentes de este es la tensión (fig. l. S) .
_.¡
Fig. 1.5
La resistencia equivalente ~q de varios resistores conectados en paralelo posee un valor numéricamente igual al inverso de la suma de los inversos de todos los valores de las resistencias individuales. es decir: 1
~=-------
(l. 7)
1 1 1 1 +-+-+ ... +Rl · R2 R) R,
Cuando se trate solamente de dos resistores conectados en paralelo. la ecuación (1. 7) se convierte en la siguiente: (1.8)
10
SOLUCIÓN DE REDES MEDIANTE EL MÉTODO DE CORRIENTES DE RAMA Este método de solución de redes se aplica en los casos en que se desee conocer el comportamiento de varios de lo~ ·elem:etitos que componen una ¿· red dada. Definase. en primer lugar. que nodo o unión es el punto de un circuito. común a dos o más elementos de este:··); en segundo. que rama de una red es la trayectoria que siguen las cargas eléctricas entre dos nodos o uniones. Para utilizar este método de solución. es necesario: l. Asignar a las corrientes un sentido de circulación arbitrario. Como norma. utilícese siempre el sentido dado por el giro de las agujas del reloj. 2. Aplicar la ley de las corrientes de Kirchhoff. n -l veces. siendo n el número de nodos o uniones de la red. 3. Aplicar la ley de las tensiones de Kirchhoff (r-(n - 1)) veces. siendo r el número de ramas de que consta una red. 4. Resolver las ecuaciones así obtenidas para calcular los valores de las corrientes de rama.
SOLUCIÓN DE REDES MEDIANTE EL MÉTODO DE CORRIENTES DE MALLA Este método de solución de redes. al igual que el analizado anteriormente (de corrientes de rama). puede ser utilizado en los casos en que se requiere determinar el comportamiento de cantidades eléctricas en varios de los elementos componentes de la red. Este método presenta una gran ventaja sobre el de corrientes de rama. el cual consiste en que. luego de practicarlo brevemente. puede escribirse la forma de solución para cualquier corriente de malla mediante determinantes por simple inspección de la configuración del circuito. Deben escribirse tantas ecuaciones de tensión como mallas posea el circuito. no requiriéndose para la solución las ecuaciones de corriente. Como convenio a seguir. también se sugiere que se les asignen a las distintas corrientes el sentido de circulación coincidente con el de giro de las agujas del reloj y. al plantear las ecuacio.nes de tensión de Kirchhoff. recorrer las mallas en el mismo sentido asignado a las corrientes. En la figura 1.6 se ilustra un circuito en el que se representan las corrientes de malla y rama. de donde se comprende que:
11
__.
.....
1,
l
+l ~N · ~-------/ ..
+' ·
- - -·
Fig. 1.6
Además. se observa que 11 puede ser sustituido por la diferencia entre / 1 e / 11 por circular ambas corrientes en scnttdos opuestos a través de la rama central. o sea:
REDUCCIÓ1\' DE REDES Este método resulta de mucha utilidad cuando no se requiere calcufar las magnitudes eléctricas en los diferentes puntos del circuito. sino solamente en los extremos de la fuente de alimentación. lo que requiere de un proceso de simplificación de la red. Esto es posible hacerlo siempre que no se encuentre incluida en la sección de la red sometida a simplificación ninguna rama que posca un elemento activo (fuente de energía eléctrica). Al aplicar este método. los resistores que componen el circuito que se desea simplifil.:ar. deben ser combinados comenzando desde el punto de la red más alejado de la fuente de alimentación - no incluida en el proceso de reducción- avanzando hacia dicha fuente. Es de suma importancia tener en cuenta que no es posible perder de vista los puntos entre los cuales se desea simplificar la red. Gno de los medios del que es posible valerse para simplificar redes pasivas con efectividad. además de las conocidas operaciones con circuitos en serie. paralelo o serie-paralelo. es la conversión delta a estrella o estrella a delta.
CONVERSIÓN DELTA A ESTRELLA Y ESTRELLA A DELTA El circuito pasivo de tres terminales formado por los tres resistorcs R 1• R 2 y R 1 dispuestos en la forma mostrada en la figura l . 7a y b. constituye una conexión llamada delta.
12
Por otro lado. el circuito pasivo formado por tres resistores Ra. Rb y R,;. dispuestos en la forma representada en la figura l. 7c y d integran una conexión en estrella. · (/
(/
h a)
a
<1
a
u, e
h
b)
1 d)
Fig. l. 7
Es posible realizar las conversiones de una configuración en delta a su estrella equivalente y viceversa. Las expresiones a utilizar son las siguientes: 1) Conversión delta a estrella
R2Rl R = a Rt+R2+Rl RIRl Rb·= Rt +R2 +Rl R 1R 2 Re= Rt +R2 +Rl
(1.9)
(1.10) (1.11)
2) Conversión estrella a delta
Rt=
RuRb + RhR, + R,Ra
(l. 12)
Ru 13
R = R.,R, + Rb Re + RcRa
(1.13)
2
R, RJ = R.,R, + R,Rc + Rfla .
(1.14)
Re
TEOREMA DE THÉVENIN Este teorema constituye una de las ¡:n4~ útiles herramientas en la solución de redes, especialmente cuando se desee estudiar el comportamiento de uno de los elementos de una red por separado. El teorema de Thévenin aplicado a circuitos de corriente directa establece que : l. Cualquier circuito activo. energizado con una o más fuentes de tensión. puede ser sustituido por una fuente de tensión. de fem Ern en serie con un resistor Rm. como se muestra en la figura l.8. / _,
/
Rm
~A
A
+ EíH
RED
L
ACTIVA ORIGINAL
B
1
Fig. 1.8 '
'
(
.
.
.
.
2. La tensión equival~te de Thévenin
es el que aparece entre los tertriiri.ales A y B, inedido en· circuito ~bierto. 3. Üt resistencia de Th'évenin
4~ La polaridad de la tensión de Thévenin (Urn> se considera. de modo que · la corriente circule. en un resistor que se conecte, en el mismo sentido que. circularía si este fuera conectado en el circuito original.
PROBLEMAS RESUELTOS 1. 1 En el circuito mostrado en la figura l. 9 la magnitud de la fem aplicada es de 100 V. Calcule la intensidad de la corriente circulante. 14
R1-20 U
+ +
t:
100 V
Fig. 1.9
Solución:
De acuerdo con lo analizado previamente. se asigna a la corriente el sentido de circulación dado por el giro de las agujas del reloj. la cual produce en los resistores R1 y R 2 del circuito. caídas de tensión con la polaridad mostrada en la figura l. 9. Sobre la base de lo establecido en la ecuación (1.6) . la R.q es:
El valor de la corriente circulante puede calcularse mediante la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff (ec. l. 5). al circuito. De acuerdo con lo que se sugiere. el circuito se recorre en el sentido dado por el giro de las agujas del reloj y se obtiene:
Al sustituir valores: 100 - 20 1-:)0· 1=0.
de .donde:
1 = lOO V . = 2 A.
so u
Tambíén pudo haberse realizado el cálculo utilizando el valor del resistor equivalente previamente determinado. o sea :
15
Al sustituir valores se tiene que: 100-50 1 =0
I =2 A.
,¡;
l . 2 En el circuito en serie de la figura 1.10, las fuerzas electromotrices de las baterías 1 y 2 son de 10 y 2 V. y los resistores R 1 y R 2• de lOO y 50 U, respectivamente. Calcular: a) Magnitud y sentido de la corriente. b) Polaridad y magnitud de la caída de tensión en el resistor R 1• e) Potencia disipada en resistor R 1• a
R 1 = 100 U
R,~SO!i
--
b
T
~---------------~c::J~------------~· Fig. 1.10
Solución:
a) Al seguir las recomendaciones dadas previamente, puede plantearse la segunda ley de Kirchhoff (ec. 1.5), en el circuito cerrado en cuestión. y se obtiene:
Por tanto: l
=
E 1 + E2
_
E, + E 2
R 1 +R 2
Req
Al sustituir los valores numéricos correspondientes se obtiene que: l 16
=
10 V +2 V toO U +50 U
lO V +2 V 150!!
------- = 0.08 A.
El signo positivo obtenido en el valo,r de la corriente indica que realmente su sentido de circulación coincide con el supuesto prevJamente. b) Una vez determinado el sentido de circulación de la c'o rriente la través del circuito. es posible afirmar que existe una caída de tensión desde el punto a hacia el b (fig. 1.10). Por el contrario. existe una subida de tensión desde el punto b hacia el a. El valor de dicha diferencia de potencial es: Uab
= lR 1 =0.08 A · 100 U =8 V.
e) La potencia en el resistor R 1 es. de acuerdo con la ecuación 1.2. la siguiente: P = l 2R = (0.08 A)
2 •
100 U = 0.64 W.
J. 3 En el circuito mostrado en la figura 1.11 existe una caída de tensión desde el punto a hacia el b de 20 V. y desde b hacia d. una caída de tensión de 40 V. Determinar:
a) Magnitudes de las fuerzas electromotrices E 1 y Er b) Potencia entregada al circuito y consumida por este. h
a
" Fig. 1.11
Solución:
a) Partiendo de la base de que existe una caída de tensión desde el punto a hacia el b. y también desde el punto b hacia el d. puede concluirse que la corriente circula a través del circuito en el sentido dado por el giro de las agujas del reloj. De acuerdo con los datos de que se dispone. puede plantearse. de acuerdo con las ecuaciones (1.1) y (1.5). lo siguiente: (1)
17
Al sustituir valores en la ecuación (1) puede calcularse el valor de la corriente, es decir:
Con este resultado pueden sust'kuirse valores en la ecuación (2) obteniéndose:
40
= 5 · 2 + 5 · 4 + E 2•
de donde:
Para determinar el valor de la fem E 1 puede aplicarse nuevamente la segunda ley de K irchhoff. en él circuito cerrado. resultando como consecuencia:
o sea:
b) De acuerdo con lo planteado anteriormente. la potencia entregada al circuito proviene solamente de la batería de fem E 1• mientras que la batería de fem E 2 consume potencia del circuito. por tanto: Potencia entregada
(P,) =E 1 ·1=90 V· 5 A =450 W.
La potencia consumida por los resistores y la batería E 2 del circuito tiene el valor siguiente : Potencia consumida Al sustituir valores : P"=lOV-5 A+5 2 A 2 (4+2+4+6) 12=450W. ·.;
Debe notarse cómo se cumple el principio de conservación de la energía. puesto que ha quedado demostrado que la energía entregada al circuito es numéricamente igual a la consumida por él. 18
l. 4 Si a los terminales de una batería cuya fem es de 24 V se conectan dos resistores en paralelo de 12 y 6 U. como se ilustra en la figura 1.12.cal- . cular:
a) Corriente a través de cada resistor. b) Corriente t.otal del circuito.
. Potencia disipada en cada resistor. , .~~ !"!:' d) Potencia total absorbida por el circuiio. e)
..
--
+
E = 24 V
-
'-\,
··
a/
. . /2
+
t,
J~ 1 = I2n -
Fig. 1.12
Solución: a) Por constituir este un circuito conectado en paralelo, la tensión resulta la magnitud común en él, es decir. el valor de 24 V se aplica simultánettmente a los resistores R 1 y R2• De acuerdo con la ecuación (1.1). se tiene que: E 24 V E 24 V 11 = - = - - =2 A; 12 = -. = - - =4 A. R1 12 U R2 6U
b) Al aplicar la primera ley de Kirchhoff (ec. 1.4) en el nodo a del circuito. s.e obtiene el valor de la corriente total l. o sea:
e) La potencia disipada en cada uno de los resistores se calcula mediante la ecuación (1.2):
19
d) La potencia total absorbida por el circuito es:
Pr=PR 1 +RR2 =(48 +96) W = 144 W. Obsérvese que siempre se cumple el principio de conservación de la energía, ya que la potencia entregada por la única batería del circuito es igual a la potencia consumida por este, o sea:
Pent
=E
·/
= 24
• 6 = 144 W.
J. 5 En el circuito que se muestra en la figura 1.13, calcular:
a) Valor de la corriente /. b) Potencia disipada en el resistor de 5 U .
.... , +
F:~ 12V
15
n
20 u
Fig. 1.13
Solución: a) Para calcular el valor de la corriente 1 entregada por la fuente de 12 V. es necesario calcular la resistencia equivalente del circuito en primer término. Este resistor equivalente queda integrado por los resistores de 15 y 20 U conectados en paralelo entre sf. y esta combinación en serie con el resistor de 5 U. Al aplicar primeramente la ecuación (1.8). se tiene que; ·
R,q
1
20 15 . · =8,57 U. 20 +15
El circuito resultante de esta transformación se muestra en la figura 1.14. El resistor equivalente total (R.q ) del circuito puede obtenerse mediante la ecuación (1. 6) por constituir uh circuito en serie. Por tanto:
R.q,=5+R,q =5H+8.57!2=13,57 U. • 1 . 20
5H
..,., +
E ~ 12V
R
·~ .
~ 8.57U
{¡
e ; z tz. , + lz.. ·,Zt. C-],Ll_f.. -··---
·-
-
fll..
Fig. 1.14
El circuito equivalente resultante se muestra en la figura 1.15 .
..... , 11
'"·
~
13.57
~¿
Fig. 1.15
En estas condiciones es posible calcular la corriente total del circuito entregada por la batería. la cual circula a través del resistor equivalente R, ,1, · total del circuito. la que resulta ser la misma corrienie que pasa a tra vés del resistor de 5 U en el cii:,cuito original mostrado en la figura l . 13. Luego:
1=..5_= 12 V R,q2
13.57
u
==0.884A.
b) Con el resultado obtenido es posible calcular la potencia eléctrica transformada en calor en el resistor de 5 n mediante la ecuación (1 . 2) :
PR 5 =1 2 · RI=(0.884 A) 2 · 5!2=3.9 w. . l. 6 Determinar en el circuito most rado en la figura l. 16 :
a) Magnitudes de las corrientes / 1• 12 e 11. b) Potencia tomada por el circuito. e) Potencia entregada al circuito.
21
-
'2..
Debe utilizarse el método de corrientes de rama en la solución del problema olanteado. .!!
+E~,..sov
.... 1
---
Fig. 1.16
Solución: a) En primer lugar se asigna a las corrientes el sentido convenido. En segundo lugar se determina que el circuito posee solamente dos nodos, a y b, por tanto n =2. En tercer lugar, el número de ramas- es 3, (r =3). De acuerdo con lo establecido anteriormente, el número de ecuaciones a utilizar es: Ecuaciones de corriente: (n-1) =(2-1) = 1 Ecuaciones de tensión': (r-(n-1)) =(3-(2-1)) =2. Las ecuaciones a plantear son, de acuerdo con las dos leyes de Kirchhoff, las siguientes: Ecuación de corriente: 1
(1)
Ecuaciones de tensión:
(2) (3)
Al sustituir la ecuación (1) en la (2) y reducir términos semejantes se tiene que: (4) (5)
22
Al multiplicar la ecuación (5) por 3 para calcular el valor de / 1 se obtiene: 50 V ·. . t\ • ~ / ~ 12 = - - - = -0,909 A. 1\~ / . / 55 u ~' /,/~ ~
....<{..\?
El sentido negativo de / 1 indica que esta circuia realmente en sentido contrario al supuesto. Al sustituir el valor de / 2 en (5) se obtiene:, v u/ '-/ . .· ,..\) ,,"··~/ ,..,,·.·. //\V -5(0,909) +20 /l =50. 't _.. "S·LJL (..\'>'-0:, / o sea:
.,o
,;>u _:./
,.
'
\
V
'
'
".;\
\
=50 V -5 U (0,909 A) = 2. 27 A. 11 , 20U
\)
._, ,
.\
v\: / (, ,
/ QA'\ /
Con los valores obtenidos de 11 e / 1 puede determinarse la magnitud de / 1 mediante la ecuación (1) , de donde se obtiene: 11 = -0.909 A +2.27 A= 1.36 A.
b) La potencia es absorbida-en el circuito exclusivamente por los resistores de este, ya que en este caso, ambas baterías entre¡an potencia. Como consecuencia, guede afirmarse que la potencia consumida (Pcons> es:
Pcons =(1,36 A) 1 • 10 U+( -0,909 A) 1
+(1,36 A} =18,496 e)
1 .
30
S U +(2,27 A) 1 • 20 U+
w +4,13 w +103,1 w +55,5 w =181,226 w.
La potencia entregada
= 181,45
u=
•
al circuito es:
w.
Nótese la igualdad numérica entre la potencia consumida y la potencia entregada. La diferencia existente entre 181.226 y 181.45 W se debe a los errores introducidos por aproximaciones.
23
J. 7 Mediante el método de las corrientes de rama. calcule en el circuito de la figura l. 17:
a) Magnitud de la corriente a través de cada resistor. b) Potencia disipada en cada reo;io;tor del circuito. 10 !l
¡,
+
F, = 40V
~-
L...---~ ~-··-'
_ _ _ _.;;__j
Fig. 1.17
Solución: a) Número de las ecuaciones de corriente: n-1=3-1=2.
Número de ecuaciones de tensión : (r-(n-1)) =(5-(3-l)) =3.
Nótese que entre los nodos a y a' no existe componente eléctrico alguno. Por tanto, ambos se pueden considerar el mismo punto, o sea. el mismo nodo a. Como consecuencia. el circuito consta de 3 nodos. denominados en la figura l. 17 por a. b y c. Estas ecuaciones son :
(!)
(3)
(4)
24
(5)
80 + 100 ls =0. De la ecuación (3) se deduce que: 12 = -40 V -20 u
=2 A.
(6)
.
Asimismo, de la ecuación (5) se obtiene que: . ls
=
-80 V 100!2
= -0,8
A.
(7)
Al sustituir (6) y (7) en (4), resulta lo siguiente: 20(2) -10 /J-60-100(-0,8) =0 40-10 ll - 60 +80 = 0 1.1-
-60 V -10 u
/
=6 A.
(8)
Al sustituir los valores de (6) y (8) en (1) :
11 =2 A+ 6 A = 8 A. Al sustituir (7) y (8) en (2), se obtiene:
El signo negativo obtenido en el resultado de la corriente 15 indica que esta circula realmente en sentido contrario al supuesto. Las demás corrientes poseen realmente el sentido inicialmente considerado. b) Potencia disipada en el resistor de 20 U:
Potencia disipada en el resistor de 10 U: P 10 = 10
/i
= 10 U · (6 A) 2 = 360 W.
Potencia disipada en el resistor de 100 U: P 100 =100 l;=lOOU · (-0,8 A)l=64 W.
25
'
1.8 En eJ circuito de la figura 1.18. calcular la tensión en los nodos 1 y 2 con respecto al ~odo 3. que es la referencia elegida. Utilice el método de corrient;,,• de rama. ~)
rJa
. .. .. 6U
1-· · '3 .
H2
1
s . . ...
2
6U
1,
'3
Fig. 1.18
3 ' •,
'
Solución:
Ecuaciones de corriente Las ecuaciones de corriente. en número de n -1 'guientes:
= 3 -1 = 2.
son las si(1) (2)
Ecuaciones de tensión Las ecuaciones de tensión. en número de (r- (n -1)) son:
=(5- (3 -1)) = 3. (3)
(4) (5) Al sustituir las ecuaciones (1) y (2) en las ecuaciones (3); (4) y (5). se tiene: (6)
(7) (8)
26
Al combinar términos se llega a las ecuaciones siguientes: 12-81¡ +2 1, = 0
z "/: '"{}, 1 ~, ..¡_ ')],_ .
!!> (10) (11)
La solución simultánea de las ecuaciones (9). (10) y (11) da los resultados siguientes: 1, = 1.22 A: 1, = - 1.096 A: / 5 = - 2.68 A:
11 = 11 - 11 = 1.22 A-( - 1.096) A = 1.22 A + 1.096 A= 2.316 A
La tensión existente en el punto (1) con respecto al punto (3) de referencia (tf¡_ 3 ) es precisamente la diferencia de potencial producida por la corrien-
te / 1 en el resistor de 2 U. por tanto: U1 _ 3 =2 · 12 =2U (2.316 A) =4.632 V.
!El- signo positivo obtenido en el resultado implica que el potencial del pun1
to 1 está a 4.632 V por encima del potencial del punto (3). De forma similar. el potencial del punto (2) con respecto al punto (3) tomado como referencia es: U2 - 3
=5 ·14 =5 U· 1.584 A =7.92 V.
También en este caso, el potencial del punto (2) está por encima del potencial de referencia. de acuerdo con el signo positivo obtenido en la tensión calculada. l . 9 En el circuito de la figura l. 19 calcular la potencia disipada en cada uno de los resistores que lo componen. Utilice el método de corrientes de malla para solucionarloo
. '+
.r:.-=24Vr
-- -
1, _
....
'
.,.g /11
1
Fig. 1.19
27
Solución:
De acuerdo con lo planteado ánteriormente. deben trazarse en el circuito original las trayectorias de las dos posibles corrientes de malla. I1 e In. Obsérvese que a través del resistor de 3 !2 de la rama central circulan simultáneamente las corrientes I1 e In. ambas en sentido contrario. de acuerdo con los convenios establecidos. Nótese además. que el resistor de 3 !2 se recorre en el sentido de la corriente I1 y en sentido opuesto a la corriente I 11 • Por tanto. en el resistor de 3 n. I1 producirá una caída de tensión e 111 una subida de tensión. Sobre esta base. la ecuación de Kirchhoff correspondiente a la malla de la izquierda es: (1)
Al plantear la ecuación correspondiente a la malla de la derecha. se observa que el propio resistor de 3 H se recorre en el mismo sentido de I11 y en sentido contrario a I1• por lo que In produce una caída de tensión. mientras que I1 produce una subida de tensión al recorrer la malla en el sentido establecido. Sobre esta base. la ecuación correspondiente a dicha malla es:
-3(/n-I1) -6 I11 =O .
(2)
Al reducir términos semejantes en las ecuaciones (1) y (2) se obtiene : ·-8 I 1 +3 I 11
= -24
(3)
3 I1 -9 I 11 =0. Al aplicar determinantes:
-8 1 3
D= 1
3
-9
Il =-1- 1-24
D :
O
1 ¡-83
In=D
28
1=72-9 =63
3 1= 216 =3 ,43 -9 63
-
24
o
1
A
= _I!:_ = 1.143 63
A.
De acuerdo con los resultados obtenidos puede calcularse la potencia disipada en cada uno de los resistores del circuito:
= 15.69
w.
1. JO Calcular la diferencia de potencial existente entre los extremos de los resistores del circuito de la figura 1.20.
Fig. 1.20
Solución :
El circuito mostrado consta de 3 mallas. por lo cual deben plantearse 3 ecuaciones de tensión de Kirchhoff. Dichas ecuaciones son las siguientes: (1)
(2) (3)
Al sustituir valores en las ecuaciones(!). (2) y (3)
St!
obticn-::
48 - 3 /¡ -5(/¡ -/11) =Ü
(4)
-5{/n -71) -4 / 11 -6(/11 -/m) =0
(5)
(6) Al reducir términos semejantes resulta:
(7)
-8/1 +5 / 11 = -48 · 5 / 1 -15 / 11
+ 6 / 111 =O
(8) (9)
6 / 11 -14 /111 =0. Al aplicar determinantes. se obtienen los resultados siguientes: / 1 =8.015
A: / 11 =3.224 A e / 111
= 1.382
A.
De los resultados obtenidos puede calcularse la diferencia de potencial a través de: R1• R 2• . R.~. R4 y R 5• es decir: .
UR 2 =(/1 - /11 )R 2 =(8.015 -3.224)A · 5 U. =23.95 V
Los signos positivos obtenidos en los resultados de las tres corrientes de malla implican que estas poseen realmente los sentidos de circulación supuestos. Luego. en los resistores R1, R, y R 5• existe una caida de tensión en el sentido de las corrientes que circulan a través de cada uno. Sin embargo, el terminal superior del resistor R 2 posee un potencial mayor que el inferior. puesto que. a través de este. predomina la polaridad de la caida de tensión producida por / 1. Mediante un razonamiento similar. se deduce que el terminal superior de R4 posee un potencial más alto que el inferior. · J. 11 En el circuito mostrado en la figura 1.21. calcular la potencia disipada en cada uno de los resistores que lo componen. 30
R 1 =8 H
+
+
E3 = 12V
Fig. 1.21
Solución:
Con el objetivo de calcular la potencia disipada en cada uno de los resistores del circuito. es necesario determinar el valor de las corrientes a través de cada uno de ellos. Al utilizar el método de corrientes de malla. las ecuaciones de Kirc}lhoff necesarias son las siguientes: (1)
-4(/11
- /1)
-12 / 11 -24 -6(/11 -/m) =O
(2) (3)
Al reducir términos semejantes, se obtiene:
-15 11 + 4 / 11 + 3 / 111
= -6
(4)
(5)
3/1 +6/11 -9/m=-12.
(6)
Al aplicar determinantes para la solución de las ecuaciones (4). (5) y (6), resulta: /1
=0.389 A; / 11 = -0.759 A e Im =0.957 A. 31
Por consiguiente. los valores de potencia disipada en cada resistor son:
PR =n·R 1 =(0.389 A) 2 ·8 12=1.21 1
w
PR =(/m-/1 ) 2 ·R 4 =(0.957 A-0.389 A) 2 ·312=0.968 W 4
l. 12 Calcular la resistencia equivalente existente entre los puntos a y h del circuito mostrado en la figura 1.22. 12!!
20U
{/
4!!
h
Fig. 1.22
Solución: De acuerdo con lo señalado anteriormente, debe comenzarse a reducir la red desde el extremo más alejado de los puntos entre los cuales debe calcularse R,q. teniendo sumo cuidado de no perderlos de vista. Aunque puede pensarse en la posibilidad de convertir una de las dos deltas de que consta el circuito en su estrella equivalente, una rápida ojeada a dicho circuito revela que esta conversión complicaría innecesariamente el proceso. en lugar de simplificarlo. Luego. la primera conversión consistiría en hallar R,.q . resultante de la combinación en paralelo de los resistores de 4 y 6 U, id que da como resultado. de acuerdo con la ecuación (1.8):
4 u . 6 !! (4 +6)
32
u
= 24
!!2 =2.4 lO U
u.
El circuito resultante de dicha conversión se muestra en la figura 1.23. en la cual se observa fácilmente que es posible reducir a un solo resistor equivalente (R.q 2 ) la combinación en serie de los resistores de 12 y 2,4 U.
R •'11¡
=
2,4 U
Fig. 1.23
Acorde con la ecuación (1.6) se tiene que:
R.q 2 = 12 U+ 2,4 U= 14,4 U. En la figura 1.24 se ilustra el circuito que resulta de realizar esta reducción. En él se observa claramente que los resistores de 11 U y de 14,4 U quedan conectados en paralelo. Al aplicar la ecuación (1.8) nuevamente :
R,q · 11 R.q = R,q +11 3
=
14,4 U · 11 U (14,4+11)U
=
2
=6,236
u.
Fig. 1.24
El circuito se reduce al que se muestra en la figura 1.25. En este se observa que R,q queda en serie con S U, por lo que: 3
R.q4 =6,236 U +5 U =11,236 U. 33
20
(/
u
R
1\'J
; 6,236 U
b
Fig. 1.25
La transformación realizada conduce al circuito mostrado en la figura 1.26. El próximo paso consiste en reducir a un solo resistor equivalente la combinación en paralelo de los resistores de 11,236 y 3 U, lo cual se realiza mediante la ecuación (1.8), o sea: 3 n ·11,236 n = 2 368 (3 + 11,236) n ' a
20
n.
u
h
Fig. 1.26
Una vez más es posible dibujar el circuito resultante, el cual se ilustra en la figura l. 27. Finalmente, debe utilizarse la ecuación (l. 6) para halliu la resistencia equivalente entre los puntos a y b:
Rab =20 n +7.368 n =22,368 n. a
b
Fig. 1.27
34
20
u
Por tanto, puede afirmarse que la resistencia equivalente que ofrece el circuito mostrado en la figura l. 22 vista desde los puntos a y b es de 22,368 n. Dicho con otras palabras, el circuito de la figura l . 22 puede ser reemplazado por el circuito equivalente simplificado mostrado en la figura 1.28. a
R,. ~ 22.368 !!
h
Fig. 1.28
l . 13 Hallar la resistencia equivalente existente entre los puntos a y b en el circuito de la figura 1.29 mediante el método de reducción de redes.
Fig. 1.29
Solución:
-d--
En el circuito considerado puede observarse cómo la red pasiva de la figura no posee sus elementos intercalados en serie, ni en paralelo ni en serie-paralelo. En este caso es posible pensar en reducir la red mediante alguna de las configuraciones conocidas, por ejemplo, logrando convertir una de las dos deltas que integran el circuito en cuestión en su estrella equivalente. (Nótese la diferencia que existe entre la posibilidad de acometer esta transformación en este problema y en el problema 1.10. Véase que en este caso se logra una notable simplificación. mientras que en el caso · anterior el circuito se complicaba apreciablemente.) 35
Al proceder a col'lvertir. por ejemplo la delta compuesta por los resistores de 25, 10 y S U en su estrella equivalente, se obtiene. de acuerdo con las ecuaciones (1.9), (1.10) y (1.11). y la figura 1.30: 10 n. 2s n 6 25 R.,.= (10 +25 + S)U = ' U 10 n. s n ~ = (10 +25 +5)U =l, 2S U . 25 U· S U Re =3,125 U. (10 +25 +S)U
{/
h
Fig. 1.30
El circuito resultante de esta transformación es el que se muestra en la figura 1.31. en el cual se le nombra e al punto intermedio entre los resistores en serie-paralelo y el de 3,125 n.
{/
Fig. 1.31
36
La resistencia equivalente del Circuito serie-paralelo incluido entre los puntos a y e de la figura 1.31 puede calcularse mediante las ecuaciones (1.6) y (1.8) de la forma siguiente: · RU<
=
(15 .... 6.25)U · (5 + 1.25)U (15 +6.25)U +(5 + 1.25)U
= 21.25 U
· 6,25 U = 4. U. 83 27,25 U
El circuito resultante de esta transformación se muestra en la figura 1.32a. Este, a su vez, puede reducirse a un circuito más sencillo mediante la utilización de la ecuación (1.6). El resultado final será el valor de la resistencia equivalente buscada entre los puntos a y b (fig. 1.32b), o sea:
Rab =4,83 u +3.125 u =7,955 n. -tK~
"'
!l
3.1~~
1!
,
,,
,t Fig. 1.31
1. 14 Obtener la resistencia eqUivalente que presenta el circuito de la figura l. 33 entre los puntos a y b.
L
r Fig. I.D
37
Solución:
Corno puede observarse, con respecto a los puntos a y b. la red analizada no constituye un circuito serie, paralelo ni serie-paralelo. Es necesario buscar un método de solución. Se observa que los resistores de 5, 6 y 4 U constituyen una delta. Si esta se convierte en su estrella equivalente. resulta el circuito mostrado en la figura 1.34. de acuerdo con las ecu.aciones (l. 9), (1.10) y (1.11).
4 n · 5 u = 1,33 u a (4 +5 +6)U = 4U ·6U =1.6 n Rb (4 +5 +6)U 'D= 5U · 6U '"< ----=2U. (4 +5 +6)U
R
=
2!!
h
xu
Fig. 1.34
El circuito obtenido queda muy simplificado, puesto que se ha convertido en el circuito serie-paralelo de la figura 1.35a, el que, al reducir a un solo resistor los dos resistores en serie que componen cada una de las ramas en paralelo, se transforma a su vez en el de la figura l. 3 5 b.
R,
¡,
38
2 !!
2 !2
3.33
h)
~2
r
-----------~
Fig. 1.35
El cálculo de la resistencia equivalente Rab es ahora muy sencillo. partiendo de las ecuaciones (1.6) y (1.8), es decir: Rab
=2 U+ 3,33 U • 9,6 U =4.47 U. (3,33 +9,6)U
Por tanto, el circuito equivalente simplificado, correspondiente al original mostrado en la figura 1.33, es el que aparece en la figura 1.36. a
h
Fig. 1.36
l. 15 Calcular la magnitud de la corriente entregada al circuito de la figura 1.37 por la batería de 12 V conectada entre los puntos a y b. +.'; 12V
4!2
Fig. 1.37
39
Solución:
Al utilizar el método de reducción de redes para resolver este circuito, basta determinar la resistencia que él ofrece a la fuente de 12 V entre los puntos a y b para calcular la corriente entregada por la misma, haciendo uso de la ley de Ohm. Al comenzar a trabajar desde el extremo más alejado de la red aplicando la ecuación (1. 8) a los resistores de 5 y 2 n conectados en' paralelo, se obtiene el circuito mostrado en la figura l. 38: ·
R.ql ~·
5 n. 2 n (5 + 2) n
= 1,428 u. (/
4!l
Fig. 1.38
Los resistores de 1,428 y 3 n quedan conectados en serie, por lo que al aplicar la ecuación (1.6) se obtiene el circuito mostrado en la figura 1.39, puesto que:
R.q2 =3 n + 1.428 u =4,428 n. h
/1
5H
4H
Fig. 1.39
Puede observarse claramente cómo los resistores de 4,428 y 6 n resultan · '•conectados entonces en paralelo. Al utilizar la ecuación (1.8), se obtiene el circuito mostrado en la figura 1.40. 40
R,q3 =
4,428 n. 6 n (4,428 +6)U
=2,547
n. h
11
5!2
-1!2
Fig. 1.40
La conexión en serie de los resistores de 2, 54 7 y 9 U lleva al circuito equivalente de la figura 1.41, ya que :
R,q4 =2,547
u +9 n = 11.547 u. a
h
Fig. 1.41
El paso siguiente consiste en hallar la resistencia equivalente de la conexión en paralelo de los re_· 1 .. -.Jres de 11.54 7 y 8 U, de cuyo cálculo resulta el circuito de la figura 1.42, teniendo en cuenta que: 8 u. 11,547 n (8 + ll,547)U
=4 ,726
n.
({
Fig. 1.42
41
Se procede a calcular la resistencia equivalente de los resistores de 4, 726 y 4 U, conectados en serie. Como resultado se· obtiene el circuito de la fi- . gura 1.43, pues:
R.q6 =4 u +4.726 u =8,726 u. a
b
R
•'fl,,
su
=
8.726 U
Fig. 1.43
Resta calcular la resistencia equivalente R.q =Rab• constituida por la conexión en paralelo de 8, 726 y 5 U. El circtiito resultante final se ilustra en la figura 1.44. 1)
-
''-ab-
5 u . 8, 726 (5 + 8, 726)
u u
= 3,18
u.
R , ~ = R,h = 3.18 U
b
~-----~t:::J~----------~0 Fig. 1.44
De acuerdo con la ley de Ohm, la corriente entregada por la batería de 12 V al circuito que le ofrece una resistencia equivalente entre los puntos a y b de 3,18 U, es: E 12 V 1=-- = =3,77 A. R 3,18 U l. 16 Determinar la intensidad de la corriente circulante a través del resistor de 20 U en el circuito mostrado en la figura 1.45, mediante la aplicación del teorema de Thévenin. 12
+
u
42
.':' ., 24\'
8U
Fig. 1.45
42
u
20
u
Solución:
De acuerdo con lo establecido anteriormente. el primer paso a seguir en la solución del problema, es calcular el valor de la resistencia de Thévenin (RTH). la cual debe determinarse mediante el circuito confeccionado con este propósito, eliminando el resistor de 20 U a través del cual se desea calcular la corriente circulante, dejando abiertos los terminales a y b, y cortocircuitando la fuente de tensión de 24 V. El circuito resultante se muestra en la figura 1.46. Al analizar este circuito a través de los terminales abiertos a y b, se observa que la resistencia total que presenta el circuito viene dada por la combinación del resistor de 42 U en serie con la combinación de los resistores de 8 y 12 U en paralelo entre s{.
811
h
Fig. 1.46
Por consiguiente, puede afirmarse, de acuerdo con las ecuaciones (1.6) y (1.8), que:
R~'H =42 n + 8 u· 12 11 =46,8 n. •.
(8 + 12)11
El segundo paso a seguir consiste en calcular la tensión de Thévenin, la cual puede determinarse mediante la figura l. 47. 12 11
4211
a
8U
b
Fig. 1.47
Como la tensión de Thévenin, de acuerdo con su definición, es la tensión en circuito abierto entre los puntos a y b, la cual puede ser determinada al calcular la caída de tensión a través del resistor de 8 U (en el resistor 43
de 42 i2 no existe calda de potencial alguna por encontrarse abierto el circuito en el punto a). se comprende que debe ser determinado el valor de la corriente como cosa inmediata. De acuerdo con la propia figura 1.47. se tiene que: 1=
24 V =L2A. (12 +8)U
Como consecuencia, la calda de tensión en el resistor de 8 U es la siguiente:
uTH =8 n ·1.2
A =9.6
v.
El circuito equivalente de Thévenin correspondiente se presenta en la figura 1.48. del cual puede encontrarse fácilmente el valor de la corriente de Thévenin (/TH). que coincide con la intensidad de la corriente buscada a través del resistor de 8 U. 11 111 ·. -li>.R U
a
20
u
Fig. 1.48
Luego: Um 96 V 1m =1 = -.....:..:.:.- = ' =0,144 A, R 7H +20 (46,8 +20)U
es decir. la corriente circulante a través del resistor de 20 n del circuito original (fig. 1.45). de igual valor que la corriente de Thévenin, tiene un valor de 0,144 A. 1.17 En el circuito de la figura 1.49. hallar la potencia disipada en el resistor de 3 U, al sustituir el circuito entre los puntos a y b por su equivalente de Thévenin.
44
4U
+
6U
--
a
E1-12V
-·-
+
-
JU
b
Fig. 1.49
Solución: Para calcular la resistencia equivalente de Thévenin debe dibujarse el circuito equivalente que aparece en la figura 1.50, de acuerdo con lo establecido anteriormente. 4U L
a
h
Fig. 1.50
En dicho circuito equivalente puede observarse que la resistencia de Thévenin vista desde los puntos a y b tiene, sobre la base de lo establecido por la ecuación (1.8). el valor siguiente:
6 U ·4 U (6 +4)U
= 24 U 2 =2.4
U.
10 U
Mediante el circuito mostrado en la figura l . 51. es posible calcular la corriente de Thévenin (/TH) aplicando la segunda ley de Kirchhoff:
12-4/-6/-6 =0. o sea: 6V 1 = - =0.6 A.
lO U
45
+ f.>
llV
b
Fig. 1.51
De igual forma puede plantearse en la sección derecha del circuito que:
o sea: Um =Una =6 U· 0,6 A +6 V =9,6 V.
Debe observarse que al utilizar la notación Una se ha querido expresar la diferencia de tensión existente entre los puntos b y a -en el sentido de b hacia a-. Como se ha comprobado que el sentido de la corriente 1 es el mismo sentido dado por el giro de las agujas del reloj (/ con signo positivo), se comprende que el punto a posee un potencial más elevado que el punto b; luego, de b hacia a existe una subida de tensión. Por esta razón, debe ser considerada como tal en la ecuación ·anterior destinada a determinar la magnitud de esta tensión. El circuito equivalente de Thévenin es el mostrado en la figura l. 52.
3!2
b
Fig. 1.52
46
En este circuito. la corriente de Thévenin es: lrH =-E..:.::TH.:.-..
=
Rm t3
9.6 V·. =l. 77 A. (2.4 +3)U
Por tanto. la potencia disipada en el resistor de 3 U es la siguiente:
· 1.18 En el circuito que se muestra en la figura 1.53. calcular la caida de tensión producida en el resistor de 6 U mediante la aplicación del teorema de Thévenin. 4U
15
22
u
6!2
u 7U
Fig. 1.53
Solución: 1) (.~álculo de la resistencia de Thévenin (Rm) : De acuerdo con el procedimiento a seguir se retira del circuito el resistor de 6 U y se cortocircuitan las fuentes existentes en el circuito. La red re-· sultante aparece en la figura l. 54. Al hallar la resistencia equivalente (R,q) de la combinación en paralelo de los resisto res de 22 y 7 U resulta lo siguiente: R •q¡
= 7U·22U (7+22)U
=5.31 U.
El circuito resultante se muestra en la figura l. 55. Al detetminar el valor de la resistencia equivalente de la combinación en serie de R,q y el resistor de 11 U. se obtiene: 1
R,q 2 =R,q 1 + 11
= 16.31
U. \
47
JIU .-.....-,_
4U
1"
a
ll b
22U
7U
Fig. 1.54 1 11
u
i
4U
15
a
u
b
Fig. 1.55
El circuito que se obtiene corno resultado aparece en la figura l . 56. 4U
15
a
u
b
Fig. 1.56
En este mismo circuito debe calcularse la resistencia Req • resultante de la combinación en paralelo de R,4 con el resistor de 15 U~ Por tanto: 2
_ R,42 • 15 16.31 U . 15 U ~43 - ~ +15 - (16.31 + 15)U 2
48
=7' 813 U.
1
)
Como se observa en la figura 1.57. la resistencia equivalente que existe entre los puntos a y h. posee el valor siguiente:
4U
R
•''1 .
~
a
7.813 U
h
Fig. 1.57 2) Determinación de la tensión de Thévenin:
Para determinar la tensión en circuito abierto entre los puntos a y h (Um). es necesario calcular el valor de la corriente circulante a través del resistor de 15 U. para lo cual se utilizará el método de las corrientes de malla Ü'ig. l. 58) :
12-11I1 -15 I 1 -22 (I1 -I11 ) = O 9 - 22(111 -I1 )
-
7 In = O
-48 I1 +22 In= -12 22I1 -29In=- 9.
15
22
u
u
+ Fig. 1.58
49
Al resolver este sistema de ecuaciones. se obtiene: 11 =0.6013 A: In =0.766 A.
Por tanto. la tensión en circuito abierto entre los puntos a y b puede calcularse al aplicar la segunda ley de Kirchhoff en la rama abierta:
Al sustituir el valor de / 1 en la ecuación anterior. se obtiene: Uab = UTH =4.52 V.
El resultado indica que. al recorrer el circuito desde a hacia b. existe una caída de tensión de 4.52 V. El circuito equivalente de Thévenin se presenta en la figura 1.59. Mediante este puede determinarse que: 4.52 V = -----(11.813 +6)U
=0.254 A.
b
Fig. 1.59
Por consiguiente. la diferencia de potencial producida a través del resistor de 6 U es:
UR =6 u. 0.254 A= 1.524 V. 6
Obsérvese que el punto con más alto potencial. de acuerdo con el sentido de ITH. es el borne superior de dicho resistor.
50
PROBLEMAS PROPUESTOS l. 19 Determine si existe caída o subida de potencial en cada uno de los casos mostrados en la figura 1.60 si siempre se supone el sentido de recorrido del observador de izquierda a derecha. Las flechas indican el sentido de circulación de la corriente. R
a) e>c---;CJ~o----o
_.,
0
R o)
e>o----ICJI----oo
,.,.,_
-----tll-lt~. -
-~
d),_
14-
~1
Fig. 1.60
Respuestas: a) Caida de tensión: b) subida de tensión: e) subida de ten· sión: d) subida de tensión. l. 20 Un circuito eléctrico consta de un resistor de lO U conectados en serie con otro de 5 U. Calcule la resistencia equivalente del circuito. Respuesta: Req = 15 U. l. 21 Si en un circuito eléctrico se dispone de dos resistores conectados en paralelo y los valores de las resistencias de estos son 3 y S U, calcular la resistencia equivalente de la combinación. Respuesta: Req = 1.87 U.
l . 22 Determine el valor de la fem {E) del circuito mostrado en la figura 1.61 para que. entre los puntos a y b. exista una caida de tensión de lO V. Respuesta: E =88 V. 2U
ra--~--~~------.b
IHl
E
51
1.23 Si entre los puntos a y b de la ftgura 1.62 se produce una caída de tensión de 30 V y entre los puntos b y e existe una caída de tensión de 9 V. Calcular los valores de las fuerzas electromotrices E 1 y E 2• 2U
Fig. 1.62
Respuestas: E 1 = 51 V; E 1 = 9 V. 1.24 Una batería cuya fem es de 6 V alimenta a tres resistores conectados en serie. de 3 U cada uno. Calcular la corriente entregada por la batería a la combinación en serie de dichos resistores. Respuesta: 1 = 0.667 A.
1.25 Una bateria que posee una fem de 12 V alimenta dos cargas conectadas en paralelo de 4 U cada una. Determinar: a) Corriente entregada por la batería a la combinación en paralelo. b) potencia suministrada a cada carga y e) potencia disipada en la batería. 'Y~~ Respuestas: a) 1 = 6 A; b) P = 36 W a cada una; e) P = 72 W ~f :)... 1.26 En el circu~to que se muesf~~n la figura 1.63. calcular el la corriente 1 y la potencia disipada en el resistor de 6 U. Respuestas: 1 = 3.21 A; P = 64.15 W.
v'a\~r de
R.-4 !l ·'
Fig. 1.63
1.27 En el circuito presentado en la figura 1.64. detemtinar. mediante el método de corrientes de ramas: a) valores de las corrientes / 1• 12 e l, a tra-
52
vés de los resistores R1• Rr y RJ. y b) si ambas baterías entregan o no <¡nergía al circuito eléctrico.
Fig. 1:6;
Respuestas: a) Ir = 0.464 A; I 2 = 0.124 A.I1 =0.34 A: b) la batería de 24 V entrega 11.14 W al circuito. mientras que la batería de 9 V recibe 3.06 W del circuito. l . 28 Mediante el método de corrientes de rama. calcular la potencia que se disipa en cada uno de los resistores del_ circuito de la figura 1.65.
+
Fig. 1.65
Respuestas: P1 = 5.76 W: P 2 =1.62 W: P, = l64.02 W.
' 1
1 1 1
l
l. 29 En el circuito de la figura 1.66, determinar. mediante el método de las corrientes de mallas: a) valores de las corrientes de malla I 1 e I 11 ; b) diferencia de potencial originada a través de cada uno de los resistores del circuito. Respuestas: a) I1 =2,33 A: I11 =0.167 A; b) UR =6,99 V; UR =4.33 V; U.R~ = lV • ' 2 .
l ..W En el circuito que se muestra en la figura 1.67. calcular la potencia disipada en los resistores que lo componen. Utilizar en la solución del circuito el método de corrientes de mallas.
53
__
........+ E2=6V
._____rFig. 1.66
+ Fig. 1.67
Respuestas: PR 1 = 80 W: PR 2 = 360 W: PR3
=64
W.
l. 31 Calcular las diferencias de potencial existentes entre los puntos a y
o (tierra) y b y o. en el gráfico de la figura 1.68. Utilice en la solución el método de las corrientes de malla. Respuestas: Uao = 10 V: Ubo =0.
X
20V
-
Fig. 1.68
54
IOV
~
lO V
--
l. 32 Calcular la resistencia equivalente entre los puntos a y b que presenta el circuito de la figura 1.69. 4U
5U
a
6U b
. Fig. 1.69
Respuesta:
R,b =3.33 U.
l. 33 Determinar el valor de la resistencia equivalente existente entre los puntos a y b en el circuito de la figura l. 70. Respuesta: Rab =11.34 U.
4n /1
5U 7U
'
h
Fig. 1.70
l. 34 Calcular la resistencia equivalente entre los puntos a y b del circuito mostrado en la figura l. 71 . Respuesta: R..~ =4, 69 U.
l. 35 Calcular la resistencia equivalente entre los puntos a y b del circuito mostrado en la figura l. 72. Respuesta: R.~= 5.27 H. J.•M Obtener el circuito equivalente de Thévenin del circuito puente dado en la figura 1.73. Respuestas: Rm = 4.09 U y Cm= 1.16 V.
55 /
4!2
2!2
Fig. 1.71
Fig. l. 72
Fig. 1.73
56
1. 3 7 Hallar el circuito equivalente de Thévenin en los terminales a y h del circuito activo mostrado en la figura l. 74.
Respuesta: Rm =3.09!!; (.' m= 1 V. 3!!
5 !!
a ~-E¡~20V
+
b
Fig. 1.74
l . 38 Obtener el circuito equivalente de Thévenin en los terminales a y h del circuito activo .dado en la figura l. 75. Respuestas: RTH =6. 92 !!; UTH =8 V. 5 !2
}----,---{:.:j:!:!J----11 + -1.~ ,.
o(/
+ 7
!!
L----------------4-----------------------~h
Fig. 1.75
'
~/ ~
\
1
57
Capítulo 2
CORRIENTES Y TENSIONES ALTERNAS
INTRODUCCIÓN Con frecuencia se hace necesario obtener las expres1ones mstantáneas de las ondas de tensión o corriente. sinusoi_dales o no sinusoidales. así como calcular sus valores eficaz y medio. con el propósito de realizar operaciones matemáticas con estas. En el presente capítulo se ejercitan estos aspectos que resultan básicos para la compresión del contenido de los capítulos subsiguientes. Cido Evolución completa de valores de una onda alterna variable con el tiempo. Periodo
~.
(2.1)
Velocidad angular (ro) de una onda Es el número de radianes (o grados) recorridos por la onda en la unidad de tiempo. lo cual puede expresarse como:
2n
{tJ=2~f=-r·
58
(2.2)
Diferencia de fase Se define la diferencia de fase entre dos ondas variables con el tientpo, de igual frecuencia. a la fracción del periodo (no mayor que la mitad de este) que separa sus puntos correspondientes. Circuitos de resistencia pura Estos circuitos constan solamente del parámetro resistencia. En ellos existe coincidencia de fase entre la corriente y la tensión (fig. 2.1).
.
Wl
Fig. 2.1
Circuitos de inductancia pura Estos circuitos constan solamente del parámetro inductancia. cuya unidad de medida es el henry. simbolizada por H. En ellos existe un retraso de fase de 90° de la corriente con respecto a la tensión (fig. 2. 2). Circuito de capacitancia pura Estos circuitos constan solamente del parámetro capacitancia. cuya unidad de medida es el farad. simbolizada por F. En ellos existe un adelanto de fase de 90° de la corriente con respecto a la tensión (fig. 2. 3) .
Fig. 2.2
Fig. 2.3
60
Valor eficaz o efectivo Dada una .corriente alterna con cua1qu1er forma de onda y los efectos calorificós que produce en un resistor R. la corriente eficaz es la intensidad que debería-poseer una corriente directa para producir en dicho resistor ·· R idéntica cantidad de calor. durante el mismo tiempo. que la corriente periódica considerada. Es decir. ·el valor eficaz de una función periódica i(t). la cual posee un período T. es. por definición:
1=
j
V~
(2.4)
iT(i(t)) ldt.
U na expresión similar pudiera ser obteruda para el caso de la tensión eficaz. De acuerdo con la ecuación (2_. "el valor eficaz de una onda sinusoidal cuya expresión instantánea es 1'!,_.- i sen rot es: .
4{,
'
~
(2.5)
1= -'~2.
donde
i es la
amplitud de la onda sinusoidal, en ampere.
Impedancia reactiva inductiva (XL) Término utilizado técnicamente para denominar al producto roL. La diferencia de potencial efectiva producida a través de un inductor viene dada por la expresión: UL
= coL/ = 2 '!ffLI.
(2.6)
De acuerdo con la definición anterior. la impedancia reactiva inductiva es igual a : (2.7) Impedancia reactiva capacitiva Término utilizado técnicamente para denominar a la relación 1/(ci>C). La diferencia de potencial efectiva producida a .través de un capacitor viene dada por la expresión: 1
1
Ve = - - ·1 = -1. 2!J!O (t)c
(2.8)
De acuerdo con la definición anterior. la impedancia reactiva capacitiva es igual a: 1
Xc = - - - =- 2'/ffC <•JC
(2.9)
6l
PROBLEMAS RESUELTOS 1.1 Un capacitor de 10 p.F se conecta a una fuente de · 24 V, 60Hz. Calcular la corriente que circula a través de este. Solución: De acuerdo con lo establecido' en 1m ecuación· (2.8). puede afirmarse que el valor de la corriente que Circula a través del capacitor es:
l=-u = .'u Xc
= 2n·60 1=90
=21(CU=
1 2n/C Hz·lO · 10-6 F ·24V=0.09 A
mA.
2. 2 Calcular la inductancia de una bobina a través de la cual síe produce una caida de tensión de 66 V al circular una corriente de 6 A. siendo la frecuencia de la tensión de la red de 60 Hz. Solución: En concordancia con lo establecido en la ecuación (2. 6). se tiene que: L = UL 2 rifl
=
66 V 2 n · 60 Hz · 6 A
=0.029
H.
2. 3 Una corriente eléctrica está dada por la función i=2.5 sen(21 S13 +30") A. Determinar: a) frecuencia en hertz: b) valor de i en t =0: e) valor eficaz de la corriente.
Solución: a) De acuerdo con la ecuación (2.2) se tiene que:
( = .!:._ = 21
·
2n
513 6.28
=3 425.6
Hz.
b) Al hacer t = O en la expresión de la corriente i, se tiene que, para esta condición: i=2.5 sen(21 5l3t+30") =2.5 · sen 30°=
= 2.5 62
· 0.5 = 1.25 A.
e) El valor eficaz de la corriente, por tratarse de una onda sinusoidal es. en concordancia con la ecuación (2.5)
1=
_!_
~2
25 = · A = 1 77 A ~2
.
.
2. 4 Si a través de un circuito dado circula una corriente cuya expresión instantánea es i = 5,6 sen (377t +40") A, la cual produce a través de los propios terminales una tensión de valor u =200 sen (377t +60") V. calcular:
a) b) e) se
Valor instantáneo de la corriente para t =0. Valor instantáneo de la tensión para t =0,001 s. Dibujar las ondas de tensión y corriente. mostrando la diferencia de faentre ellas.
Solución: a) El valor instantáneo de la corriente para t =0 es:
i = 5.6 sen (377 ·O+ 40") = 5.6 sen 40° =3.6 A. b) El valor instantáneo de la tensión para t = 0.001 s resulta: u=200 sen (377 ·0.001 +60°) =200 sen (0.377 +60") V. Al convertir los radianes a grados para poder realizar la suma dentro del paréntesis. se obtiene:
u =200 sen (21.6° +60") =200 sen 81.6°= 197.85 V. Nota: Debe recordarse que para convertir radianes a grados se multiplican los radianes por 57,3, puesto que 360°=27t radianes.
e) Ambas ondas pueden ser trazadas al tener en cuenta que entre ellas existe una diferencia de fase de 20°, puesto que:
En la figura 2.4 se muestra el gráfico en función del tiempo de las ondas de tensión y corriente. 2. 5 Una fuente de tensión sinusoidal de 220 V, valor eficaz y 400 Hz, se aplica a un resistor de 250 n. Considérese que la onda de tensión pasa por cero cuando t =0. a) Escribir la ecuación instantánea de la tensión. b) Escribir la ecuación instantánea de la corriente. e) Trazar un <:\iagrama en función del tiempo en el que se muestren las ondas de- tensión y de corriente. 63
u, i u
/
1
1
~ Fig. 2.4
Solución:
a) La ecuación instantánea de la onda de tensión es: u = Ú sen cot = Ú sen 2n · ft. Con esta expresión se cumple la condición requerida de que u =O cuando t =0. Al sustituir valores de acuerdo con la ecuación (2.5), se obtiene: u=220 ~2 sen (2n·40Q)t=311,12 sen (2 513 t) V.
.-
b) Como se sabe, en un circuito de resistencia pura no existe diferencia de fase alguna entre las ondas de tensión y corriente, razón por la cual la expresión instantánea de la corriente que circula a través del circuito es: A
A
z = z sen cot =u- sen cot =u- sen 2·¡; 7f¡t. •
¡;.
R
R
Al sustituir valores en la ecuación anterior, se tiene que: .
z=
220 ~2 250
sen (2n · 400 t) = 1,24 sen 2 513 t A.
e) El diagrama de la variación en función del tiempo, correspondiente, es el que se muestra en la figura 2.5. En este han sido seleccionadas arbitrariamente las escalas correspondientes a la tensión y a la corriente. 2. 6 Determinar la ecuación instantánea de la caída de tensión producida a través de un inductor con una inductancia pura de 20 mH, cuando circula por él una corriente de i = 20 sen (10 000 t + 30") A.
64
ú=311.12 V
/=O.R8A
wt
Fig. 2.5
Solución: Para determinar el valor eficaz de la caída de tensión producida a través del inductor puede aplicarse la ecuación (2.6), teniendo en cuenta que el 2
~ = 14,14 A, o sea: ~2 UL =WL/=10 000.20 · 10 -J 'H ·14,14 A =2 828 V.
valor eficaz de la corriente es 1 =
El valor máximo de la tensión es:
u~. =.Ji. 2 828 =4
ooo v.
Al saber que en un circuito de inductancia para la tensión está 90° en adelanto de fase en relación con la corriente, la expresión instantánea de la tensión es:
ut.
= 4 000
sen (10 000 t + 30° + 90")
= 4 000
sen (10 000 + 120") V.
4. 7 Calcular la expresión instantánea de la corriente que circula a través de un capacitor de 5¡.JF, si a través de este se produce una tensión uc =2,2 sen (5 654,8 t +90°) V.
Solución: De acuerdo con la relación existente entre el valor máximo y el valor eficaz de una onda sinusoidal, se tiene que el valor eficaz de la tensión producida a través del capacitor es:
Uc =
2
·~-V
= 1,55 V.
~2
65
La corriente circulante tiene como valor eficaz (ver ecuación 2.8):
Ue
1 = - - = 1,55 V· 5 654,8 · 5 · 10- 6 F =0,044 A =44 mA. 1 wC
A partir del resultado obtenido anteriormente, y tener en cuenta que la corrien~e en un circuito de capacitancia pura está en adelanto de fase de 90° en relación con 1a tensión a trayés del capacitor, se tiene que:
i =0,044 · ~2 sen (5 654,8t + 90° + 90) =0,06 sen (5 654,8t + 180; A.
2. 8 Encontrar los valores medib y eficaz de una, corriente que presenta la forma de onda mostrada e.n la figura 2.6. i
·~
20
5
10
5
~
o
5
10
20
15
25
35
30
40
Fig. 2.6
Solución: Valor medio
De acuerdo con la ecuación (2.3), se tiene que: 1( 1 (2s to lmed = T .t i(t) dt O dt + }5 5 dt + h5 20 dt
=30 (.1l
1 = - (0 + (25 -5) 5 +20(30-25)) =6,67 A. 30 Valor eficaz
De acuerdo con la ecuación (2.4) resulta: 1=
66
y
_1
30
«5 0 o
2 dt+
i25 5 dt+I30 20 dt ) 2
5
2
25
=
)=
-
t(~ )
1
. (O +25(25-5) +400 (30-25))
= \¡...:_ V30
=9,13 A.
2. 9 Un equipo eléctrico consume_una corriente, de 10 A durante 20 s. Se desconecta la alimentación por 30 s y después consume 100 A durante 20 s . para luego repetirse el ciclo periódicamente. ¿Cuál es el valor eficaz de l.a corriente consumida por el equipo?
Solución: El valor eficaz de la corriente, según la ecuación (2.4), es el sW.uiente:
= .. ·]J_ ( ( 't10 k
¡
20
lOldt +('o 0 2 dt +
J2o
r*\oo dt) . 1
Jso
=53,72 A.
2. 10 Determinar el valor eficaz de la tensión con forma de onda trian&ular
mostrada en la figura 2..7.
-:-20
!.
- 10
1
o
Fig. 2. 7
T
Solución:
f
El periodo T de esta onda es de 40 s. La curva puede considerarse integrada por las funciones siguientes:
-20
o
u(t)
= (1) t + 10
u(t)
= (-1) t + 10. 67
De acuerdo con la ecuación (2.4) se tiene que el valor eficaz de la onda es: U="/
" =
...!... Ir' (t+10)2dt+(<-t+10) 2dt= 40 \1-20 9
...!...lf t2dt +
40
\1_20
e
20t dt + f102dt + r2D t2dt-
)_20
L20
J¡
0 r 20t dt + (2D 102 dt ) Jo J,
1
=5,77 V.
1
2.11 Calcular el valor eficaz de la onda mostrada en la figura 2.8.
l
1 ~
12 A
,O
3
6
"'!'·
9
t(mín)
....
-1 2A
Fig. 2.8
Solución: Como puede observarse, el periodo de la onda es T =6 min. Por tanto, de acuerdo con la ecuación (2.4) se obtiene el valor eficaz de la onda, es decir:
·3 +(144 ·6-144 ·3)) =~ -(144 6 1
=12 A.
2.12 Determinar los valores medio y eficaz de la onda de tensión mostrada en la figura 2.9.
68
u
5V
o
3
2
6
Fig. 2.9
Solución: De acuerdo con los intervalos a considerar dentro del período de la onda T =; 2 s, se tiene que:
o
u(t)
1
u(t) =0.
= -St +5
Por tanto, de acuerdo con la ecuación (2. 3), el valor medio de la onda es: umed=
[T
1 T·O udt
=2 (Jot (-St +5) dt + }¡( o dt )= 2
1
]1
]' )= -1 ( - -S +5) =1,25 V.
tz = 1- ( -S+St 2 2 o o
2
2
Por otro lado, el valor eficaz es el siguiente:
U=
y~
lr
u 2dt
=
Vf f (
-St +5) 2dt =2,04 V.
2.13 Calcular los valores medio y eficaz de la onda de corriente mostrada en la figura 2.10. Solución: El per~odo de la onda considerada es T =6 s, obteniéndose:
-3
Í=
8 -t+8 3
i=-..!.t. 3
69
Fig. 2. 10
Por tanto, de acuerdo con ecuación (2.3), el valor medio es: 1 6
/med=-(
[ -- 3
8 (-t+8) dt+ 3
i)
8 3
(--t)dt)=4A ,
Además. el valor eficaz. según la ecuación (2.4), es: 1=
~ j_ ([ ( _!_t + 8) 6
-3
3
3
dt + (
2
Jo
(-
_!_t) 2dt )=4,62 A.
3
2.14 Determinar el valor eficaz de la onda de corriente mostrada en la fia gura 2.11.
J o Fig. 2.11
70
2
3
4
5
6
7
t (s)
Solución: Periodo de la onda: 5 s i(t) = i(t)
2..r = 5t 1
= _.!Q_ t + 10 = -5t + 10 2
i(t) =0.
Al aplicar la ecuáción (2.4), se tiene que:
1=
=
~
+(f
~ -51
= 1.82
2
(51) dt
+
f
<-:-5t + 10) 2dt +
J
fo.
dt)
( 25tl ] 1 tl 1 t2 ] ' + 25- 100+ 100t] ' 3o 32 21 . 1
)
=
A.
2. 15 Hallar los valores medio y eficaz de la onda de tensión que se mueS: tra en la figura 2.12, en cuyo primer intervalo i = 20 . e- 120' A. u
20 V
o
0.1
(/.2
(IJ
r (s)
Fig. 2.12
71
Solución: Valor medio De acuerdo con la ecuación (2.3) se tiene que:
1
med
= 1T
=
r·l
LT idt =0,11- • O
20 e · 120'dt =
(0,1)~~120) ~-1201
= -1,67 (e-
12
J:·l
)=
-e 0) =1,67 A.
Valor eficaz
e
De acuerdo con la ecuación (2.4), se tiene que:
1 = .. /_1 i2dt = .. T.o
V
=
400 ( -0, 1)( -240)
1
V
(e .
_1_ t 0,1 Jo 2401
1
400 e
2401
dt =
-eoloo.J )=4,08 A.
J
PROBLEMAS PROPUESTOS 2.16 Calcular la capacitancia de un capacitor que, al ser coneetado a una fuente de 120 V, 60 Hz, consume una corriente de 1 A. Respuesta: C =22, 1 ¡.t.F. 2.17 Si a través de un inductor de 0,003 H se produce una caída de tensión de 120 V cuando circula por ella una corriente de 3 A, determinarla frecuencia de la tensión aplicada. Respuesta: f = 2 123 Hz. 2.18 La expresión instantánea de una tensión viene dada por u =6 ·sen (10 000 t +60") V. Calcular: a) frecuencia de la onda en hertz, b) valor de la tensión instantánea en t =O, e) ·valor eficaz de la tensión. Respuestas: a) f = 1 591 Hz; b) u= 5,2 V; e) U = 4,24 V. 2.19 Cuando una carga determinada se le aplica una fem cuya expresión instantánea es e= 120 sen (1 000 t-30") y a través de esta circula una corriente de valor i = 30 sen (1 000 t) A, calcular: a) valor instantáneo de la corriente para t =0, b) valor instantáneo de la fem para t =0,002 s, · e) diferencia de fase entre la tensión y la corriente.
Respuestas: 72
a)
i =0; b) .---119,46 V;
e)
(¡?=30°.
' una tensión cuya expresión instan2. 20 A un resistor de 50 U se le aplica tánea es u= 130 sen (2 000 t + 30°) V. a) Escribir la ecuación instantánea de la corriente circulante a través de este. b) Calcular la frecuencia de la tensión aplicada. Respuestas: a) i = 2,6 sen (2 000 t + 30, A; b) f = 318,3 Hz. 2. 21 Cuando a un inductor se le aplica una tensión, cuya expresión instantánea es u =622,25 cos 377t V, circula una corriente de 3 A de valor eficaz. Determinar: a) valor de la inductancia, b) expresión instantánea de la corriente. Respuesta: a) 0,389 H; b). i =4,24 cos (377 t-90°) A.
2. 22 Calcular la capacidad de un capacitar al cual se le aplica una tensión u= 380 sen 377t V y circula a través de él una corriente de valor eficaz de 4 A . .Escriba la ecuación instantánea de dicha corriente. Respuestas: C =39.5,uF; i = 5.66 sen (377 t +90°) A.
2. 23 Calcular el valor eficaz de una corriente cuyo gráfico en función del tiempo se muestra en la figura 2.13. ¡~
25
20
-
15
1
10
5
~
1 1~
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20.1 (s)
Fig. 2.13
Respuesta: 1 = 11,67 A.
2. 24 Determinar los valores medio y eficaz de la onda que se muestra en la figura 2.14. Respuestas: lmed
= 1,67
A; 1 = 2,89 A. 73
¡
j
\
n.l
11.2
IU
0.4
0.5
0.6
-
(!.7-; (s
. Fig. 2.14
2. 25 Calcular el valor eficaz de la onda periódica de corriente que se muestra en la figura 2. 15. /~
..-
.\
'
() ~¡
2
(l
.¡
(1
;\
6 ()
-
·t (s)
Fig . 2.15
Respuesta: 1 = 3,6 A.
2. 26 Determinar el valor medio y el valor eficaz de la onda de tensión que se muestra en la figura 2.16. Respuesta: Umed =0; U=3,46 V. 2. 27 Calcular el valor medio y el valor eficaz de la sinusoide de la figu-
ra 2. 17. Respuestas: Umed =O; U= 10,6 V.
74
l
u
6V
o
-6V
Fig. 2.16
u
u"=15V
o
Fig. 2.17
2. 28 Determinar los valores medio y eficaz de la semisinusoide obtenida f1 la salida de un rectificador de media onda y que se muestra en la figura 2.18. f/?:--:·=··--r¡ Respuestas:.~!.:_~A; 1 = ?.!_~~
75
ISA
Fig. 2.18 u
r
~-
.
o Fig. 2.19 u
8V
O
Fig. 2.20
76
T
~------------~--~--------~
1.19 Calcular los "valores medio y eficaz de la onda que se obtiene a la salida de un rectificador de onda completa, la cual se muestra en la figura2.19. Respuestas: U,ed=1,644 V; U=8,48 V. l . .JO Hallar los valores medio y eficaz de la onda representada en la figura 2.20. Respuestas: Umed=4 V; U=S,46 V.
77
Capitulo 3
FASO.RES Y ÁL.G EBRA COMPLEJA
INTRODUCCIÓN Frecuentemente se requiere realizar operaciones matemáticas con ondas sinusoidales de la misma frecuencia, ya sea en fase de tiempo o con cierto ángulo de fase entre ellas. Dichas ondas sinusoidales pueden representarse mediante notación fasorial. En el presente capitulo se ejercitan diversas operaciones con números complejos, expresados en diferentes formas, con el propósito de que los estudiantes adquieran habilidades en la utilización de estos números, atendiendo a la importancia básica de estos ·en la ejercitación de esta asignatura. Se llama número a la expresión de la cantidad computada con relación a una unidad. El conjunto de números reales, puede ser representado mediante puntos de una recta, llamada _eje real (fig-. 3.1), correspondiendo cada punto sobre dicho eje a uno y solamente uno de estos números. Las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división), realizadas con números reales, originan a su vez números reales. La raíz cuadrada de un número real positivo es tambíen un número real, mientras que la raíz' cuadrada de un número real negativo no es un número real, por lo cual no corresponde a ningún punto sobre el eje real. , 1 2
-5 Fig. 3.1
78
-4
-3
-2
-
J3 -1
o
2
3
8 2 4
5
6
La rafz cuadrada de un número negativo constituye un número imaginario. El conjunto de números imaginarios puede representarse mediante puntos de una recta llamada eje imaginario (fig. 3.2). La unidad sobre dicho eje es la la que se designa con la letra j, es decir:
R ,
1 =..J -1, siendo las potencias sucesivas .de la unidad imaginaria: P=(-1);
P=PJ=(-1)J=-J;J4 = Ul) 2 =1; P=J4j=J;...
(3.1)
)4
)3
)2
)1
o -)1
-)2
-)3
-)4
Fig. 3.2
NÚMEROS COMPLEJOS Un número complejo está compuesto por una componente real y una componente imaginaria. Por ejeml'-lo: a+ jb es un número complejo, donde a Y b son números reales y j =V -1 (a es la parte real y b es la parte imaginaria del número).
79
tanto., mediante un nú~ero complej~. Los fasores pueden expresarse en diferentes formas, las más utilizadas de las cuales son: la forma rectangular y la forma polar. Forma rectanf.(ular
Considérese un fasor ~que forma un ángulo (/)con la referencia. Este puede descomponerse en dos componentes: a, a lo largo del eje horizontal derecho de referencia y b a lo largo del eje a 90° con el de referencia. lo que puede expresarse al escribir el fasor de la forma siguiente: ~=a
+}h.
(3.2)
De acuerdo con lo establecido en la expresión (3. 1), el fa sor podrá encontrarse en cualesquiera de los cuatro cuadrantes del plano complejo, en dependencia de los signos respectivos de las partes real e imaginaria. Obsérvese que el .simbolo j denota rotación de 90° de la cantidad a la cual se encuentra unido, en sentido contrario al giro de las agujas del reloj. De forma similar, -j implica una rotación de 90° en el sentido de giro de las agujas del reloj .
Forma polar Es posible especificar la longitud del fasor y su posición angular con respecto al eje ' horizontal derecho, en lugar de hacerlo en fución de sus componentes a lo largo de ambos ejes como en la forma rectangular, o sea, un fasor en forma polar queda especifi~ado como:
donde (/) representa la rotación experimentada por la cantidad Z a través del ángulo + (/). El signo positivo en el ángulo representa un giro en sentido contrario al de las agujas del reloj; el signo negativo representa un giro en sentido opuesto.
CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO El conjugado de un número complejo ~ =a + jb es el número complejo que resulta de invertir el signo a la parte imaginaria del número complejo original, o sea, en este caso ~' =a- jb. En el caso de que el número se encuentre expresado en forma polar: '-r
Z=Z/(fJ
el número conjugado se obtiene al invertir el signo del ángulo, o sea (fig. 3.3): ~'=Z~
80
~¡
Fig. 3.3
CONVERSIÓN DE FORMA RECTANGULAR A POLAR Cuando se dispone de un fasor expresado en forma rectangular, las cantidades conocidas son las dimensiones de sus componentes sobre los ejes real e imaginario. Por tanto, para convertir de la forma rectangular a polar, es necesario utilizar las relaciones siguientes: Cálculo de la magnitud o módulo del fasor (fig. 3.4):
z =val +bl.
(3.3)
Ángulo con respecto a la referencia: qJ=tan - 1b/a=sen- 1 a/Z=cos- 1 b/Z.
(3.4)
CONVERSIÓN DE FORMA POLAR A RECTANGULAR Cuando se dispone de un fasor expresado en forma polar, las cantidades conocidas son. la magnitud o módulo del fasor y el ángulo que forma con el eje de referencia. Por tanto, para convertir de la forma polar a la forma rectangular, deben utilizarse las relaciones siguientes: Cálculo de la componente sobre el eje real (fig. 3. 4) .
Re ( ~) = a = Z cos
(3.5)
Cálculo de la componente sobre el eje 'imaginario: /m(~)
=b =Z
sen
qJ.
(3.6)
81
j
Fig. 3.4
SUMA DE DOS N ÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos pueden sumarse exclusivamente cuando se encuentran expresados en forma rectangular. Sean los números l.= a + jb y X= e+ jd. La suma es:
l+[=(a+jh) +(c+Jd) =(a+c) +J(h+d) .
(3. 7)
DIFERENCIA DE DOS NÚMEROS C.OMPLEJOS Como en el caso de la suma, los números co{nplejos pueden restarse exclusivamente cuando se encuentr~n expresados en forma rectangular. Sean los números l. =a + jb y X= e +}d. La diferencia es: r
l.- X=(a +Jh) -(e +Jd) =(a-e) +J(h-d).
(3.8)
,
¡ j
PRODUCTOS DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS La operación de multiplicación de los números complejos puede realizarse cuando están expresados tanto en forma rectangular como en forma polar.
Producto de dos números comrlejos expresados en forma rettangular Sean los números complejos l.= a + jb y X= e + jd. Su producto será:
l.· 82
X=ac+jad+}bc~ +P
bd=(ac-bd) +J(ad+hc).
(3.9)
l
Producto de dos números complejos expresados en forma polar Seán los números complejos ~ =Zffi y I = Y[!¡ . Su producto se obtendrá al multiplicar sus módulos y sumar algebraicamente sus ángulos, o sea: (3.10)
Como se observa, la multiplicación de números complejos expresados en forma polar resulta más sencilla que en forma rectangular.
DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS i a operación de división de los números complejos pue~e realizarse tanto en forma rectangular como en forma polar. División de números complejos expresados en forma rectangular Esta división se realiza al eliminar la j del denominador, lo que se logra al multiplicar y dividir la fracción por el conjugado del denominador. Sean los números complejos ~=a + jb y I =e+ jd. Su cociente será:
z
a +Jb
I
e +id
-=-- = =
ac +bd c2 +dl
c-jd (ac_ +bd) .- = ..;,_ _ +j(bc-ad) _ _...,:_ = ~....:;..;.
. bc-ad
+;--el +dl
(3.11)
División de números complejos expresados en forma polar Sean los números complejos ~ = ZL!A. y I = YL_p¡ . Su cociente se hallará al dividir sus módulos y restar sus ángulos:
z
z
..r
y
~ = - ¡rpl-rpl .
(3 . 12)
Como puede observarse, la operación de dividir resulta más sencilla en forma polar que en forma rectangular. ·
REPRESENTACIÓN DE UN FASOR EN FORMA INSTANTÁNEA Para expresar un fasor en forma instantánea se hace necesario atender a la ecuación general de una onda sinusoidal: A
ª-=a sen wt
donde
(3 .13)
aes la amplitud de dicha onda [ver ecuación (2. 5) ]. 83
CONVERSIÓN DE LA FORMA POLAR A LA FORMA INSTANTÁNEA Si se tiene un fasor 4. =AL!!... expresado en forma polar, podrá representarse en forma instantánea si se procede de la forma siguiente: -Multiplicar el valor efectivo de la onda (módulo del fasor en forma polar) por rafz de dos, a fin de calcular su amplitud:
"
_,-
[ver ecuación (2.5)]
a =.A.v2.
-Sumar a wt, algebraicamente, el valor de la diferencia de fase del fasor con relación al origen de tiempo, tomando en cuenta su propio signo, o sea:
4. =.AL!!... =a sen
(wt + rp)
Además, para un fasor
= .A~2 sen (Cd + rp).
(3.14)
4. =Al -rp se tiene que:
4. = AL..=!!_ = asen (wr- rp) = =.A~2 sen (wt-rp).
(3 . 15)
Una vez que el fasor se exprese en forma instantánea, se deberá representar mediante una letra minúscula, puesto que ya constituye una cantidad variable con el tiempo.
PROBLEMAS RESUELTOS 3. 1 Sumar los números
~~
=2 +j3
y
~l
=3 -jl .
Solución: De acuerdo con la ecuación (3 .7), se tiene que: ~~ +~ 2
=(2 + j3) + (3-jl) =(2 + 3) + j(3 -l )
=
=5 +J2. 3. 2 Sumar los números complejos
~~
= -2-}4
Solución: De acuerdo con la ecuación (3. 7). se obtiene: ~~+~ 2 =(-2+3)
84
+j(-4-2) =l-j6.
y ~1
=3 - j2.
J.J Restar el número complejo ~1 =3 +j6. Soluci6n:
~2
=4-j2 del número complejo
De acuerdo con la ecuación (3.8), puede escribirse: ~1-~2
= (3 +j6) -(4-j2) =3 +j6-4 +j2 = =(3-4) +j(6 +2) = -1 +j8.
J.4 Restar el número ~ 1 =3 +J2 del número ~ 2 = -2-}4.
Soluci6n: . De acuerdo con la ecuación (3.8), se tiene que: ~2-~ 1
=(-2-}4) -(3 +J2) = -S-j6.
J.5 Multiplicar los números complejos:
~~
=2 +j3 y
~2 =3-)2.
Soluci6n: En concordancia con lo establecido en la expresión (3.9), resulta: ~ 1 ~ 2 =(2
+j3) (3-J2) =12 +jS.
J. 6 Multiplicar los números complejos ~~=SI 36,8° y ~2 = 3/-12° . Solución: Al atender lo establecido en la expresión (3.10), se obtiene:
J. 7 Hallar el cociente que resulta de dividir el número 6 +j3 por el número 4-)2.
Solución: De acuerdo CQn la expresión (3.11), este cociente puede ser calculado al multiplicar ambos miembros de la relación por el conjugado del denominador, o sea:
6 +j3 4-)2
4 +)2 = 18 +}24 =0,9 +jl.2. 20 4 +J2
J. 8 Hallar el cociente resultante de dividir el número 4/ 30° por el número 3J20o . 85
Solución: Al tener en cuenta lo expresado en la ecuación (3.12), resulta: 4130° = 1,33/ 30°-20° = l,33L..!Q:. 3/20° 3. 9 Convertir el fasor expresado en forma rectangular por 4 +j3, a la forma polar.
Solución: 1. Trazar el gráfico que representa el número complejo, destacando en él que el ángulo es menor de ~so (fig. 3.5). j
o Fig. 3.5
2. Calcular el módulo del fasor mediante la ecuación (3.3):
Z=~4 2 +3 2 =5. 3. Calcular el ángulo que forma el fasor con el eje de referencia (ver flgura 3.4):
4. La expresión del fasor en forma polar es, por tanto:
3.10 Expresar el fasor 2-j3 en forma polar.
86
Solución: l. Trazar el gráfico correspondiente al número de cuestión aproximadamente a escala (fig. 3.6).
o
2
-:iJ
Fíg. 3.6
2. Calcular el módulo del fasor:
z =~2 1 +3
2
=3,6.
3. Calcular el ángulo que forma el fasor con el eje de referencia: ' . 3 - . -1 q;=tan- - - = -56,3°. 7 2 ~~ 4. La expresión del fasor en forma polar es, por tanto: ~=3,6/-56,3°.
3. 11 Expresar el fasor ~ = 10/ 30o en forma rectangular.
Solución: l. Trazar el gráfico del fascr aproximadamente a escala (fig. 3. 7). 2. Calcular la parte real del número complejo mediante la ecuación (3.5): R,(Q =a=lO(cos 30°) =8,66.
87
o Fig. 3.7
3... Calcular la parte imagjnaria del número complejo mediante la ecua-·· ción (3.6):
4. Por consiguiente, la expresión en forma rectangular del gráfico es:
?.: =8,66 +}S. · 3.12 Expresar el fasor {! =SOJ-40" en forma rectangular.
Solución: l. Trazar el gráfico del fasor aproximadamente a escala (fig. 3. 8) .
-:ib
-j
Fig. 3.8
88
2. Calcular la parte real del número complejo:
R, UD =a =SO(cos-40, =50 cos 40°=38.3. 3. Calcular la parte imaginaria
de~
número complejo:
4. La expresión del fasor en forma rectangular resulta:
fl =3S.3 -j32,14. '
3.13 Expresar el fasor ~ = 15/100o en forma rectangular.
Solución:
l. Trazar el gráfico del fasor aproximadamente a escala (fig. 3. 9) . .i
Fig. 3.9
2. Calcular la parte real del número complejo:
R,
(~)
=a=15 cos 100°=15 (-0,174) =-2,6.
3. Calcular la parte imaginaria del número complejo:
Im
(~)
=b=15 sen 100°=15(0,984) =14.77.
89
4. La expresión del fasor en forma rectangular es: ~=
-26 +}14,77.
3.14 Expresar el fasor ~ = 12/190: en forma rectangular.
Solución: l. Trazar el gráfico del fasor aproximadamente a escala (fig. 3.10).
-)
Fig. 3.10
2. Calcular la parte real del número complejo: Re(~)
=a=12 cos 190°=12 cos (180+10) =12(-cos 10") = 12 ( -98,5) = -0,302.
3. Calcular la parte imaginaria del número complejo:
= 12 sen (180 + 10)
= 12
(-sen 10")
= -2.08. 4. La expresión del fasor en forma rectangular es, por tanto: ~=
90
-11,8-}2,08.
=
3.15 Resolver las operaciones que se plantean a continuación.: a) (3 + j4)(7 + j6)
(5 +j6) b) (3-j5)(6+j19) (5 +j7)(9-j3) e)
(6-j4)(5 +j9) -(7 +j6) (5-j10)(4 +j9) +(5-Ji) -(7 +j10)
d) (-6-j8)(-S +j3)(4 +jS) (6 -Ji)( -S -jl4)(1S + j10) e)
2f30° +4/50° -3/-30° 5/-15°
Solución: a) Como las operaCiones a realizar son las de multiplicación y división exclusivamente, es más cómodo trabajar si se convierten los números complejos a forma polar. Al seguir el procedimiento establecido se obtendrá el resultado siguiente: · (3 +j4)(7 +j6) S +j6
=
Sj53,13o . 9,22~
5,9/43,S4° .
7,81/S,19o
b) En este caso están incluidas las operaciones de suma, multiplicación y división con números ~omplejos. Para realizar la suma, es recomendable trabajar en forma rectangular, mientras que en la multiplicación y división se aconseja trabajar en forma polar. Puede procederse, sobre esta base, de la forma siguiente: (3-jS) +(6 +j9) =(9 +j4) (S +Ji) =8,6/54,4° .
(9-j3) =9,49/-·18,43°.
Por tanto. la expresión original puede escribirse como sigue: (3-jS) +(6 +j19) (S +Ji)(9-j3)
9 +j4
=--------------------8,6/ 54,4° . 9,49/-18,43° 91
Las operaciones que quedan por realizar son exclusivamente de división Y multiplicación, razón por la cual el numerador de la fracción debe ser convertido a forma polar, es decir:
9 +}4 =9,84/ 23,96°. Al sustituir este valor en la expresión anterior, se obtiene:
9,84/23,960 =0,121/-12,o¡o . 8,6/ 54,4° . 9,49/-18,43° e) Al seguir el procedimiento recomendado, es decir, realizar las operaciones de suma y resta con los números complejos expresados en forma rectangular y las operaciones de multiplicación y división con los números complejos expresados en forma polar, deben seguirse los pasos siguientes:
(6-}4)(5 +/)) -(7 +j6) (5 -j10)(4 + /)) + (5 -Ji) -(7 +}10) -------------------------
=
= 7,21/-33,6° ·10,29/60,94° -(7 +}6) 11,18/-63,43° ·9,85/66,04° +(5-}7)-(7+}10)
=
74,19/27,34° -(7 +}6)
=--~~==~~~~----=
110,12/2.61 o + (5 -)7) -(7 +}10) (65,9 +}34,07) -(7 -}6) 58,9 +)28,07 = --------------------= --------110 +}5,014 +5-)7-7-}10 108-}11,986 = 1
=
65,25/25,480 108,66/-6.33°
=0,6/31,810 .
·\
d) Al seguir el procedimiento establecido y tener en cuenta que las operaciones a realizar son exclusivamente de multiplicación y división, se procede de la forma siguiente:
..;.(_-_6-..:J....;i8)~(-_5_+....;J;...i3)~(4_+....;1;...'5);.... = (6-)7)(-5-}14)(15 +}10) 10/233,13° . 5,83/149,04° . 6,4/51,34°
r
=~==~~==~~~~-9,21!-49,40 . 14,86/250,3° . 18/33,7° 92
0 = _:3.:..:73:.:.:,1:.:2::/4=3=3·=51=2 463.5/234,65°
1 850 = 0 •15 1 • .
e) De acuerdo con lo recomendado, y debido a que las operaciones a realizar son las de suma, resta y división de números complejos. debe procederse de la forma siguiente: ·
_ 1,73 +j1 +2,57 +3,06-(2,6-jl,5) = 5/-15° 0 = 1, 7 + 5,56 =-5_,8..;;;/=73=--- = 1.16/880 . 5/-15° 5/-15°
K= 3/20°
3.16 Expresar el fasor
en forma instantánea.
Solución: Al atender a lo expresado en Introducción se tiene que: t.=3Vlsen (c.ot +20e) =4,24 sen (wt +20"). 3.17 Expresar el fasor
4 = 5J-30o en forma instantánea.
Solución: De acuerdo con lo planteado en Introducción se procede de la forma siguiente: ª-.=5v2sen (cot-30°) =7,07 sen (wt-30°). 3.1,8 Expresar el fasor !_= 141,42 sen (wt-60°) en forma polar.
Solución: Al considerar que en este caso se desea realizar el ¡:>roceso inverso de lo planteado en los ejemplos anteriores, se procede de la forma siguiente:
i"
¡-
[ = -=- = 141.42/\'2 = 100 v2
Luego:
L=1001 -60° . 93
PROBLEMAS PROPUESTOS 3.19 Sumar los números complejos (3 +}2); (4 -}5); ( -2 -}3). Respuesta: (5 -}6). 3.20 Sumar los números complejos (-3-}2); (4 +}5);(-10 +}5). Respuesta:- 9 +}8. 3.21 Restar el número complejo (-4 +j3) del número (8 +}2). Respuesta: 12 -}1. 3.22 Restar el número (8-}2) del número (7 +}3). Respuesta: - 1 +}S.
-
3. 23 Multiplicar los números complejos Respuesta: 32 +}1.
~~ =
3.24 Multiplicar los números complejos Respuesta: 14-}44.
~~
3. 2 5 Dividir el número complejo ~2 =6 +}5. Respuesta: 0,295 -jl,24S.
3. 26 Dividir el número complejo ~2 =5 +}5. Respuesta: -0.9-/.),l .
~~
~~
3 +}4 y
= -4-}6
~2
= 4-}S.
y ~ 2 =4
+}S.
= 8 - }6 por el número complejo
= -4 - }5
por el número complejo
3.27 Convertir el fasor expresado en forma rectangular como 10 +}lS, a
la forma polar. Respuesta: 18,02/ 56,3o . 3. 28 Expresar el fasor - 4 -}2 a la Respuesta: 4,47 / 206,56° .
form~
polar.
3. 29 Expresar el fasor dado en forma polar como 20j -30o , en for-
ma rectangular. Respuesta: 17,32 - }10. 3. 30 Convertir el fasor ~~ = 35/lOOo a forma rectangular. Respuesta: - 6,08 +}34,4 7. 3. 31 Realizar la siguiente operación con números complejos: (10
+}4)(5 -}3)
(4-}2) Respuesta: 14,04/ 17,4° =13,4 +}4,2. 3. 32 Resolver las siguientes operaciones planteadas con números comple-
jos: (3 +}6) +(4-}5) (7 - }4) ( -4 - }2)
94
Respuesta: O, 196/-140,47° . 3. 33 Calcular el nümero complejo que resulta de la expresión siguiente:
(7-jlO) -(4 +j3)(2 +j2) (6 + j5)( -5 --j4)(3 -jl)
Respuesta: 0,155/-318,25° =0,155/41, 75 3. 34 Resolver la
expres~ón
siguiente: 6~ +3J-45° +4~ / 5J40o
Respuesta: 1,994 1 -!J,4 o
•
95
Capítulo 4
CIRCUITOS MONOFÁSICOS DE CORRIENTE ALTERNA
INTRODUCCIÓN En este capítulo se plantean diversas problemáticas relacionadas con circuitos de corriente alterna de diferentes configuraciones (serie, paralelo o serie paralelo) y se hace énfasis en las relaciones corriente-tensión, así como en las expresiones utilizadas en el cálculo de la impedancia de dichos c.ircuitos.
IMPEDANCIA Se llama impedancia a la relación existente entre la diferencia de potencial alterna entre dos puntos y la corriente circulante a través de estos. Su unidad de medida es el ohm (.U). Z=
-
y =...H:... 1 L
(4.1)
La impedancia es un operador fasorial y no un fasor. Posee una parte real y una imaginaria. La parte real se denomina impedancia resistiva (R) y la parte imaginaria impedancia reactiva (X). La impedancia reactiva puede ser inductiva o capacitiva. Como los efectos de las impedancias reactivas inductivas y capacitivas sobre un mismo circuito son opuestos, se considera, como convenio, la impedancia reactiva inductiva de signo positivo y la capaCitiva de signo negativo. Por consiguiente, la expresión general de la impedancia es:
Z=R± jX. 96
(4.2)
IMPEDANCIAS CONECTADAS EN SERIE En forma similar a lo expuesto anteriormente, referente a resistores conectados en serie para circuitos de corriente directa, en circuitos de corriente alterna la impedancia equivalente de varias conectadas en serie es la siguiente:
~q
=
z~ + z2 + ~~l + ... + z, =
j.
(4.3)
En forma rectangular se tiene que: (4.4)
de donde se deduce que: (4.5)
(4 .6) En el caso de impedancias reactivas capacitivas se mantiene la ecuación (4.6), pero la suma se compone de cantidades negativas. Circuitos de corriente alterna de impedancia resistiva pura (R) Los circuitos de corriente alterna a los que se considera solamente compuestos por resistores se denominan de resistencia pura o circuitos R. La expresión de la tensión UR a través del resistor o resistores, es:
flR = IJ1,
(4. 7)
Circuitos de impedancia inductiva pura (L) Los circuitos de corriente alterna a los que se considera exclusivamente compuestos por elementos puramente inductivos se denominan de impedancia inductiva pura o circuitos L. La expresión de la tensión eficaz a través del elemento o elementos. es: (4. 8)
Circuitos de impedancia capacitiva pura (C) Los circuitos de corriente alterna a los que se considera solamente compuestos por elementos puramente capacitivos se denominan de impedancia capacitiva pura o circuitos C. La expresión de la tensión eficaz a través del elemento o elementos es:
Yc = lí-Kc>.
(4.9)
97
Circuitos en serie de impedancia resistivo-reactiva inductiva rRL) Son aquellos circuitos de corriente alterna compuestos por uno o más elementos resistivos y uno o más elementos inductivos conectados en serie. El triángulo de la impedancia correspondiente es el que se muestra en la figura 4.1, dei cual pueden extraerse las expresiones que rigen el comportamiento del circuito.
Fig. 4.1
El valor modular y el ángulo de la impedancia pueden ser calculados mediante las ecuaciones siguientes:
z
{R-; + x;_
=
(4.10)
siendo: XL
= wL = 2 7ifL
(4.11)
y lP = tan - 1 XL
R
= 2 7ifL
R
X
R
z
z
=sen- 1 - L - = cos -1 - .
(4.12)
La tensión de la fuente oe alimentación posee como valor modular: (4.13) El ángulo de la impedancia puede determinarse partiendo de la ecuación (4.13), o sea: (4 .. 14)
98
Circuitos serie de impedancia resistivo-reactiva capacitiva (RC) Son los circuitos que se encuentran compuestos por uno o más elementos resistivos y uno o más elementos capacitivos conectados en serie. El triángulo de impedancia correspondiente a estos circuitos se muestra en la figura 4.2. El valor modular y el ángulo de la impedanc.¡a pueden calcularse de la forma siguiente:
Z=~R 2 +(-Xc) 2 siendo 1 Xc=--
roe
(4.15)
1 =---.
(4.16)
2nfC
Fig. 4.2
Con la capacitancia expresada en microfarad, la ecuación (4 .16) queda modificada en la forma siguiente: 106 Xc=--
roe
6
-10 =--.
(4.17)
21t/C ·
El signo negativo de Xc con respecto a XL indica matemáticamente los efectos opuestos de ambas impedancias reactivas sobre el mismo circuito eléctrico. Además: Q'=tan=cos- 1
1
-1 -Xe =tan- 1 R 2n/CR
--
R
z
-X sen- 1 _ _e_=
z
(4.18)
99
La expresión de la tensión de la fuente de alimentación (Ur) posee el valor modular siguiente: (4.19)
Circuitos serie de impedancia resistivo-reactiva inductiva capacitiva (RLC) Son aquellos circuitos que se encuentran compuestos por uno o más ele-mentos resistivos, uno o más elementos inductivos y uno o más elementos capacitivos, todos conectados en serie. El triángulo de impedancia que corresponde a estos circuitos se muestra en la figura 4.3.
Fig. 4.3
Los valores de XL y Xc se restan debido a sus efectos opuestos, prevaleciendo la impedancia reactiva mayor sobre la menor. De dicho triángulo pueden extraerse las expresiones correspondientes a estos circuitos. El valor modular de la impedancia y el argumento total de esta pueden determinarse a través de las expresiones que siguen: Z
=~R 2 +[XL +Xe) ]2
(4.20)
X. +(-Xc) (- Xe) rp =tan- 1 .-:..L___;~-== sen- 1 X+ L
R
=COS
100
1
-
R Z
Z
= (4.21)
IMP.t:DA.NCIAS CONECTADA.\ EN PARALELO De modo análogo a lo referente a resistores en paralelo. la impedancia equivalente de varias conectadas en paralelo es:
1 ~1
+-
1
~2
1 1
1
~3
~n
(4.22)
+ - + .. . + -
En el caso de que se consideren solamente dos impedancias en paralelo, la expresión (4 .22) se reduce a :
z = zZ, · ~2 -1 +~l
(4.23)
=.eq
AD!I.f/TANCIA Se denomina admitancia al reciproco de la impedancia, la cual se representa mediante la letra Y y tiene como unidad de medida el mho. Por ser la impedancia un número complejo. la admitancia también lo es. denominándose conductancia (G). a la parte real y susceptancia (B) a la parte imaginaria. o sea:
-Y=G±JB= .!._z.
(4.24)
donde: (4.25) y
(4.26) El signo positivo en la susceptancia indicará que esta es capacitiva, mientras que el signo negativo significará que es inductiva. La admitancia equivalente de un circuito en serie es: 1
1
+- + .. . +-. Z3 Zn
(4.27)
La admitancia equivalente de un circuito en paralelo es: (4.28) 101
---
-
-
-~ - -
El concepto admitancia se utiliza raras veces, fundamentalmente cuando se trata de resolver circuitos eléctricos con gran número de ramas en paralelo. Tanto la ley de Ohm, como las de Kirchhoff, así como los métodos de solución de circuitos por corrientes de rama, corrientes de malla. reducción de redes, conversión estrella a delta y delta a estrella y el teorema de Thévenin se utilizan para circuitos de corriente alterna en la misma forma en que fueron planteados para los circuitos de corriente directa; sin embargo, es imprescindible tener en cuenta que cada una de las magnitudes con que es necesario trabajar en la solución de redes de corriente alterna son magnitudes complejas.
PROBLEMAS RESUELTOS ~· 1 Expresar cada uná de las siguientes tensiones en notación polar y construir el diagrama fasorial correspondiente: .!{ 1
= 115 sen (wt +30°) V; g 2 = 127 sen (wt-90") V;
Solución:
En primer lugar, deben expresarse todas las tensiones mediante la misma función trigonométrica. seno o coseno, para facilitar hacer la representación fasorial en un mismo diagrama. Al transformar lb en una función sinusoidal (seno):
= 130 sen (wt + 130°) V.
Al utilizar la ecuación (2 . 5) para expresar el módulo en función de los valores eficaces de las ondas se obtiene:
rf1 = ~~~ L12..:_ = 8I.3;3oo v \2
rf2 = 12~ j - 90~ = 89.8j - 90o V \2
~¿ = 13~ \2 102
j130o = 91.9j130c V
-----
{¿=
~~ j-45o
=79,19j-45o V.
El diagrama fasorial correspondiente se muestra en la figura 4.4.
Fig. 4.4
4. 2 Hallar la suma de las tensiones ~~
=15 sen (cvt+30") V y
~ 2 =25
sen (cvt+45") V:
a) analíticamente y b) gráficamente.
Solución: a) Puede comenzarse expresando ambas tensiones éri forma polar. Los valores eficaces de U1 y U2 según la ecuación (2. 5) , son :
U=~= ~ ,,-
=10 ' 6 V
u2 U 2=--=~2
=17,68 V.
-1
-y2
\'2
y
25 =--=~2
Por tanto: {!1 = 10,6Ll2.:_ V y {!2 = 17 ,68~ V.
103
Ahora bien, para proceder a sumar ambas tensiones es necesario expresarlas en forma rectangular, es decir: Q'1 = 10.6(cos 30° + j sen 30")
= 10,6(0,866 + ;0.5) =
=9,18 +}5.3 V. ~2
=17 ,68(cos 45° + j =12,5
sen 45") = 17 ,68(0. 707 +jO, 707) =
+}12,5 V . ·
Al proceder a sumar ambas tensiones, se obtiene: ~= ~1 + ~2=9,18 +}5,3 +12,5 +i12,5 = 21,68 +}17, 8 =
== 28,05L 39,4 o V.
b) La solución gráfica de este problema se obtiene al representar a escala las dos componentes U1 y U2 y sumar geométricamente para obtener el fasor ~ (fig. 4. 5). Comprobar, a escala,- que el fasor resultante ~ tiene el valor 28,05 ~~~ V.
Fig. 4.5
4. 3 Un circuito en serie posee dos elementos: un resistor R y un inductor XL de 32 U, cuando la frecuencia de la tensión de la fuente es de 110 Hz. El circuito posee una impedancia total de 35L!E, U. Determinar: a) ángulo rp de la impedancia y b) valor del resistor. 104
Solución:
a) De acuerdo con los datos de que se dispone, es posible trazar el triángulo de la impedancia de este circuito, el cual se muestra en la figura 4.6 (compárese con la figura 4.1). De dicho triángulo se tiene, atendiendo a la ecuación (4.12) que: X 32 rp= sen·- l _ L = sen- 1 - - =66,1 °. 35
z
b) Además, de acuerdo con el mencionado gráfico y la propia ecua-
ción (4.12):
R =35 cos 66,1 o =35 . 0,405 = 14,18 n.
~. 4 Un circuito en serie RL es conectado a una fuente de alimentación de ~ 75 V, 60 Hz.
La caída de tensión UR a través del resistor es igual a 90 V. a) Calcular la c!Íida de tensión (UL) a través de la impedancia reactivainductiva. b) Calcular las diferencias de fase de UR y UL con relación a la tensión de la fuente (V). e) Trazar el diagrama fasorial correspondiente, aproximadamente a escala. d) Dibujar las ondas de las tensiones en función del tiempo en un solo gráfico. Solución: a) Se tomará la corriente 1 como referencia por tratarse de un circuito en serie en el cual la corriente es la magnitud común. El triángulo de impedancia toma la forma que se ilustra en la figura 4. 7.
Fig. 4.6
Fig. 4.7
De dicha figura, y atendiendo a la ecuación (4.13). se tiene que:
u,= v{/2- Uk = Vl75 2 - 90 2 = 150 v. b) El ángulo de la impedancia puede determinarse al aplicar la ecuación (4.14), o sea: - 1 UL . 150 rp=tan --=tan 1 - - = 59°. UR 90
El ángulo a entre la tensión UL a través del inductor y la tensión de la fuente U, de acuerdo con la figura 4. 7 será:
e) El diagrama fasorial resultante se muestra en la figura 4.8.
l. , - 150 , .
Fig. 4.8
d) Las ondas de tensión correspondientes en función del tiempo pueden ser observadas en la figura 4. 9. U,
i
'"'
Fig. 4.9
106
4. 5 Un resistor de 90 U es conectado en serie con un inductor de 0.35 H a los terminales de una fuente de alimentación de 120 V. 60 Hz. a) Determinar la corriente circulante a través del circuito. b) Determinar la tensión a través de R y X1_. e) Dibujar el diagrama en que aparezcan las ondas de tensión a través del resistor, del inductor así como la tensión de la fuente y la corriente en función del tiempo. haciendo coincidir el inicio de la onda de tensión de la fuente con el instante t =O. d) Dibujar el diagrama fasorial que corresponde. aproximadamente a escala; mostrando las diferentes tensiones y la corriente del circuito, así c
a) De acuerdo con la ecuación (4. 1), es necesario calcular la impedancia total del circuito para proceder a la determinación de la corriente. Para ello se trabaja de la forma siguiente, utilizando las ecuaciones (4.10). (4.11) y (4.12) : X1.=2nfL=2n·60 Hz ·0,35 H=132
n.
Por tanto:
El ángulo de la impedancia es: QJ
=tan
1
(X~_/R) =tan
1
(132/90) =55, 7°.
Por consiguiente:
z = 160LJ5 .7° n. La corriente circulante, de acuerdo con la ecuación (4 . 1) y tomando la tensión de la fuente como referencia, es:
L= WZ = 120
l.Q.: /160/55, 7o =0, 75/-55, 7o A.
b) Tensión UR a través del resistor. Para determinar UR debe aplicarse la ecuación (4. 7): ~=IR =0,75!-55,7°
·90l.Q.: =67,5/-55,7° V. 107
Nótese que la tensión a través de un resistor está en fase con la corriente a través de este. Tensión UL a través de la impedancia reactiva inductiva. De acuerdo con la ecuación (4.8) :
Nótese que la caida de tensión a través de la impedancia reactiva inductiva está adelantada 90° a la corriente que la produce. Tensión de la fuente de alimentación (tornado como referencia): fj = 120l.Q.: V.
e) En la figura 4.10 se muestra el diagrama de tiempo correspondiente. d) En la figura 4.11 se ilustra el diagrama fasoriai.
Fig. 4.10
Fig. 4. 11
108
e) Ecuación instantánea de la corriente:
L= 1,06
sen (377 t-55, 7, A.
Ecuación instantánea de la tensión a través del resistor (uR): !!R =95,46 sen (377 t-55, 1") V.
Ecuación instantánea de la tensión a través de la impedancia reactiva inductiva: !ü = 140 sen (377 t +34,3") V.
Ecuación instantánea de la tensión de la fuente de alimentación:
-=-
~
= 169,7
sen 377 t V.
~a corriente a través de un circuito en serie RC es de 2 A a 60Hz. El valor de la resistencia es de 50 U y el de la capacidad es de 17 ,S ¡5. Si se toma la corriente como referencia, determinar: a) magnitud de la tensión de la fuente Ulr) e impedancia del circuito; b) ecuación instantánea de la corriente; e) ecuación instantánea de la tensión ( ~) a través del resistor; d) ecuación instantánea de la tensión (&) a través del capacitor; e) ecuación instantánea de la tensión (Hr) de la fuente de alimentación.
Solución: a) Partiendo del triángulo de impedancia de un circuito en serie RC puede trazarse el triángulo correspondiente de tensión, conociendo que la corriente es la misma en todo el circuito por ser un circuito en serie (fig. 4.12).
\., \ ' Fig. 4:17"~ (~
, J09
Al calcular las magnitudes de las tensiones del circuito se obtiene: )(e=
10 6 . 17, 5
1
= 2 n 60 2n ¡ e
=
= 151,58 U [ver ecuación (4.17)] !:te=
1· (- j'c)
=2i..Q: · 151,58/-90° =
= -303,16 V [ver ecuación (4 .9)] ~ = IR = 2L.Q.:. · 50i..Q: = 100L'..Q: V
[ver ecuación (4 . 7) ].
Qr=319,23~ V
[ver ecuación (4.19)]
y
Z=VR 2 +(-)(c) 2 =V50 2 +(-151,58) 2 y ~
= 159,61 ¡71, 74o V
[ver ecuación (4.15) ].
b) La ecuación instantánea de la corriente, por haberse tomado como referencia, es:
i_=2~2 sen 377 t=2,83 sen 377 t A. e)· La ecuación instantánea de la tensión
~
~ = 100 ~2 sen (3'7J t) = 141,42 sen 377
es : t
V. í
d) ' ta ec;uación instantánea d~ la tensión & es :
&- =303,16 ~2 sen (377 t-90°) =
= 428,7 11 o
(3 77t -90°) V.
e) La ecuación instantánea de la tensión !b- es:
v2 sen (3 77 t + 71 '7 4 ") =
Y.J· = 319.23
=451,46 sen (377 t +71,74") V.
n, una impedancia reactiva capacitiva de 42 n y se alimenta desde una fuente de 115 V, 60Hz. a) Calcular la capacitancia en microfarad. b) Hallar el valor de la impedancia. e) Calcular la diferencia de fase entre la tensión y la corriente del circuito. d) Hallar la corriente del circuito. e) Hallar expresiones instantáneas de la corriente y las tensiones en el resistor ( M.R), en el capacitor ( H.d y en la fuente (y_7 ) . f) Dibujar un gráfico en que aparezcan las ondas de _b M.R• M. e y H. 7 , haciendo coincidir el punto cero de la onda de tensión aplicada H. 7 con el instante t =O . g) Trazar el diagrama fasorial correspondiente, aproximadamente a escala. 4. 7 Un circuito en serie RC posee una resistencia de 25
Solución: a) El valor de la capacitancia puede obtenerse mediante la ecuación (4.17) :
-i0 e=--
-10 6
6
2nfXc
=
2n60 · 42
= -63.16
.uF.
b) De acuerdo con la ecuación (4.15):
Z=VR 2 +(-Xc) 2
=V25 2 +(-42)
2
= 48,88
n.
e) La diferencia de fase entre la tensión y la corriente del circuito coincide con el ángulo de la impedancia el cual puede calcularse mediante la ecuación (4.18):
t;O=tan
-Xc· R
1 --
=tan
1
42 25
---
== -59.2°.
d) La co.r riente ·circulante a través del cj.scuitoj
¡:
1 = QT
-
z
115L.Q.: 48,88/-59,2°
=2,3'5/59,20 A.
)
~. 1),
'
tomando la
'\
/
/j
1
111
e) Para hallar las expresiones instantáneas es preciso determinar primeramente las magnitudes de las tensiones ~ y flc· es decir: flR =IR = 2.35/59.2° . 25LQ: =
=58. 75j59,2o V
[ver ecuación (4. 7) ).
Además: flc =
1 ( -Kd = 2.35/59.2° . 42j-90o =
=98.7f-30,8o V. Las expresiones instantáneas correspondientes son:
1.=2,35~2 sen (377 t +59.2°) = =3,32 sen (337 t +59,2°) A
H.R=58.75~2 sen (377 t+59,r) = = 83.1 sen (3 77 t + 59,2°) V
~.c=98.7 ~2 sen (377 t-30,8) = = 139,6 sen (377 t-30,8) V
~ 7 = 115 ~2 sen 377 t = 162,6 sen 377 t V. f) En la figura 4.13 se muestra el diagrama de tiempo correspondiente.
Fig. 4.13
112
1 1 1
~
g) En la figura 4.1 4 se muestra el diagrama fa sorial que corresponde a este circuito. _5'1.2 _ A
---3o_xo
uc ~98,7 1 -30.8° "!
/
1 Fig_ 4.1 4
.,.
4. 8 Un circuito en serie RLC está compuesto por un resistor de 28 n. un inductor de 0,25 H y un capacitor de 11 ,uF. La fuente de alimentación es de 120 V, 60 Hz. a) Calcuiar la impedancia reactiva inductiva y reactiva capacitiva. b) Hallar la impedancia del circuito y su ángulo. e) Determinar la intensidad de corriente. d) Hallar la catda de tensión en cada componente del circuito. e) Escribir las expresiones instantáneas de la corriente y las tensiones. f) Dibujar las ondas de corriente y tensión, aproximadamente a escala y sobre un mismo gráfico. Hacer coincidir el punto cero de la onda de tensión, de la fuente con el instante t =0. g) Trazar un diagrama fasorial, aproximadamente a escala, mostrando las cuatro tensiones y la corriente, e indicar en él las diferencias de fase entre ondas. Solución:
a) Las impedancias reactivas inductiva y capacitiva son, de acuerdo con las ecuaciones (4.11) y (4.17) : X~.=2nfL = 2n60
10 6
Xc = - 2n/C
=
·0,25=94,25 U
2 n60 · 11
=
241,14
u.
b) La impedancia total del circuito [ecuación (4.20) ] es la siguiente:
z = VR 2 +[XL + ( --Xc> J2 = v2s= + (94,25 -241.14) 2 =
149.53
n 1 13
(¡?=tan- 1 XL +(-Xc)
=tan 1 94 ,25-241.14 = 28
R
[ver ecuación (4.21) ].
= -79.2°
e) La expresión polar de la corriente puede determinarse de la forma siguiente :
y 120LQ: ......;;=---1 = -z = __ 149.53/-79.2°
0.802 / 79.2°
A [ver ecuación (4.1) ].
d) Las caidas de tensión en cada componente del circuito son: 1) Ca ida de tensión a través del resistor [(ver ecuación (4. 7)] ~=IR =0.802/79.2° · 28LQ: =22.4622:2 ° V.
2) Caida de tensión a través de 4._ [ver ecuación (4 .8)]
YI. = IXr
=0.802/79,2° . 94.25/90° =75.59/169,2 ° V.
3) Ca ida de tensión a través de Xc [ver ecuación (4 . 9)]
Yc =
1(- Kc·) = 0,802/79,2 ° · 241.14j-90 o = 193.4/ -10.8 ° V.
4) Tensión de la fuente (tomada como referencia):
Y= 120LQ:
V.
e) Las expresiones instantáneas de la corriente y las tensiones son las siguientes : L=0.802 ~2 sen (377
t
+ 79.2 °) =
= 1.13 sen (377 t + 79 ..'
0 )
A.
~ =22.46~2 sen (377 t + 79 .2°) = =31.76 sen (377t+79,2") V. & = 75,59~2 sen (377 t + 169,2°) =
= 107 sen (377 t + 169.2°) V. 114
Y.! · = 193.4~2 sen (377 t-10.8°) = =273.5 sen (377 t-10.8°) V. -
1{=120\12 sen 377 t=170 sen 377t V. f) El diagrama de las ondas en función del tiempo se muestra en la figu-
ra 4.15.
''
1
.¡
Fig. 4.15
g) El diagrama fasorial correspondiente se muestra en la figura 4.16.
Fig. 4.\6
4. 9 En el circuito de la figura 4.17. la corriente se encuenh a 53 o en atraso de fase con relación a la tensión, siendo la frecuencia de 400 Hz. 115
a) Calcular la impedancia reactiva inductiva. b} Calcular la impedancia reactiva capacitiva.
e) Hallar la impedancia resistiva. d) Calcular la impedancia total y su argumento. e) Calcular la tensión a través de cada elemento del circuito. f) Trazar el diagrama fasorial correspondiente aproximadamente a escala. R
Fig. 4.17
Solución:
a) La impedancia reactiva inductiva puede calcularse al utilizar la ecuación (4.11): X~.=2nfL=2n·400
·0.02=50.3 U.
b) La impedancia reactiva capacitiva es. de acuerdo con la ecuación (4.17): -10~
-lOb
Xc=--2nfC 2n · 400 · 40
= -9,95
U.
e) La impedancia resistiva puede calcularse mediante el triángulo de la impedancia para un circuito RLC (fig. 4.3). o sea: ·
tan f/J=
x~. +~-Xc>
1
[ver ecuación (4.21)]
R =X,_+(-Xc) = 50,3-9,95 = 40,35 = 30 , 4 U. tan f/J tan 53° 1,33 d) La impedancia total del circuito puede calcularse mediante la ecuación (4.8), o sea:
Z=fV +[X1 +(-Xc)) 2 =fc30.4) 2 +(50,3-9,95) 2 116
=
Z
=50,52
U [ver ecuación (4.20)]
Ql=tan: ·• Xr_ +(-Xc) R
=tan- •
50 3 9 95 • - • = 50,53° [ver ecua30.4 ción (4.21) ].
e) La tensión a través óe cada elemento del circuito puede conocerse previo el cálculo de la corriente: La corriente del circuito debe ser calculada mediante la ecuación (4.1) :
- y - 220L.Q:. 1 - - ---==--- =4,35j-53o A ~ 50,52~ o sea, la corriente está 53 o en atraso de fase en relación con la tensión de acuerdo con el dato, por prevalecer la X1• sobre la Xc. 1) Tensión a través de la impedancia resistiva R:
YR =IR =4,35f-53o . 30,4L.Q:. =
= 132,24
j-53o V [ver ecuación (4. 7) ].
2) Tensión a través de la X1_:
rlJ. =IX~_ =4,35j-53o . 50,3f90o = =218.8/37° V [ver ecuación (4.8)]. 3) Tensión a través de la Xe:
= 43.28/ -143° V [verecuación(4.9)]. f) El diagrama fasorial es el que se muestra en la figura 4.18 trazado a
partir de los resultados obtenidos. ~ 1 = (§ +J2)U y ~ 2 = (3 -}4) U son conectadas en serie a través de los terminales de una fuente de alimentación cuya tensión tiene por expresión instantánea u = 170 sen 2 513 e V. Determinar las expresiones instantáneas de: a) corriente. b) tensión a través de la impedancia ~ 1 y e) tensión a través de la impedancia ?.r
4. JO Dos impedancias de valores
117
L 1 •· 2\X.X \
\
\ \ \ U ~· 220 V
\
Fig. 4.18
Solución:
a) La corriente puede ser calculada a partir de la ecuación (4.1). pero antes es necesario calcular el valor de la impendancia total del circuito:
=9.22/-12.5° U [ver ecuación (4.3) ]. La tensión de la fuente, expresado en forma polar. es: ~=120~ V.
Por tanto: [=
-
~ ~
=
120 2
• ~
=13 .04~
9.22~~
A
[ver ecuación (4.1)].
Por tanto. la expresión instantánea de la corriente es:
i.= 18.44 sen (2 513 t + 12.5°) A. b) Para calcular la tensión de la forma siguiente:
~1 =6 +12 =6.32/18.4 °
118
1 a través de la impedancia ~ 1 • se procede
(~z )
u
Yz
1
=/_· ~ 1 =130,04~ ·6,32/18,4° = =82,41130,9° V [ver ecuación (4.1)].
Uz· ¡ =116,54 sen (2 513 t+30,9) V [ver ecuación (3.14)].
-
'q) ~ 2•
Para ~2 = 3-14 = 5/-53° es:
Yz
'2
n. la tensión Yz,
a través de la impedancia
-
=92,2 sen (2 513 t-40,5,V.
4. 11 En el circuito mostrado en la figura 4.19, la expresión instantánea de la corriente es: L=8,0 sen 377 t A. Calcular la expresión instantánea de la tensión de la fuente ( H). x, ,= óU
R, = l5l!
r--i=:J
~~~----~~--~
11---------------__r xc, = 50 u Fig. 4.19
Solución:
1) Impedancia resistiva total del circuito:
R 7 =R 1 +R 2 =15 +5 =20
n [ver ecuación (4.5)].
2) Impedancia reactiva inductiva total del circuito:
X1·r =X1., +X,.. ! =6 +15 =21 n [ver ecuación (4.6)]. 3) Impedancia reactiva capacitiva total del circuito:
-Xc =-Xc +( - Xc) =-10-50=-60 [ver ecuación (4.6)]. T
1
2
119
4) Impedancia total del circuito [ecuación (4.20) ]: ZT
fPr
=~(RT) 2 + [X,r =43.8
n.
= tan- 1
~ 20
+ ( -Xc) ]2 =
~20 2 + [21
+ ( --,-60) J2 =
= -62,8° [ver ecuación (4.21) ].
5) De acuerdo con la ecuación (4.1):
~=L ~= ~ LQ: ·43,8/-62,8° =248L-62,8° V .
..;2
La expresión instantánea de la tensión calculada es, por tanto:
!{=351 sen (377 t-62,8°) V [ver ecuación (3.15)]. 4. 12 En el circuito en paralelo de la figura 4 . 20. calcular las corrientes en cada rama. así como la intensidad totaL Construir el diagrama fasorial correspondiente. ~
1
-:13 n
Fig. 4.20
Solución:
Por tratarse de un circuito en paralelo, la tensión es la magnitud común a ambas ramas (ver similitud con el proceso de solución del problema 1.5). Como H..= 100 sen co t V o sea, ~ = 70,7 /O o V, se tiene que:
lt =
u
il
=
70,7lQ: 4-}3
=-7_0.--'7/=o=o- = 14,14L36.80 5j-36,8o
=
= (11.32 +}8,47) A [ver ecuación (4.1) ].
1
120
. 1
L= y = 70,7~ ~2
0
6 +}3
= (9.44 -}4, 72)
= 70,7 f!J:_ 6. 7/26.56°
= 10,55/-26.56° =
A ([ver ecuación (4.1)].
Al aplicar la ley de Kirchhoff de las corrientes en el nudo a, se tiene:
lr = 1 1 + 1 2 =11,32 +}8,47 + 9,44 -}4, 72 =20,76 +}3, 75 = =21.1 j10.24o A. El diagrama fasorial correspondiente se muestra en la figura 4.21.
Fig. 4.21
4. 13 Para el circuito mostrado en la figura 4.22, calcular: a) impedancia equivalente del circuito, b) corriente total entregada por la fuente, cJ caída de tensión a través del resistor R 3 • d) corriente a través de cada rama en paralelo, y e) trazar el diagrama fasorial.
r-----------, ,_..,, .,....,l 1 1
1 NI = lO U
1
:x 1 ~-su•
1
x1 ~ s
1
. {o
u
11 1 1
1 1
L------- ----Fig. 4.22
121
Solución: a) La impedancia equivalente de las dos ramas en paralelo [ecuación
(4.23)] es: _ Z1 · Z2 2 =un+
z2
zl
=
(10 +J8) .
=12,8~ ·5/-:-90o
=6,15j-68.1o U.
10,4/16,7° La impedancia total del circuito desde los terminales de la fuente es: Z/~20+Zan=(20+}0) +6,15 j-68,P
=
1
'" =23/-14.3°
1\
...,
u) /
'·
t'
b) La corriente totai tomada por el circuito, según la ecuación (4.1). es:
U Ir=-=-=
-
Zr
100LQ: 23j-14,3o
=4 ,35~ A.
e) La cafda de tensión a través de la ímpedancia resistiva de 20 U puede ser calculada aplicando la ecuación (4. 7) :
YR,
=4,35~ . 20LQ: =87~ V= (84,3 +}21.5) V.
Para calcular la tensión entre los puntos a y b. puede plantearse la siguiente ecuación basada en la ley de Kirchhoff de las tensiones:
de donde:
Ynh = Q-1r/J. 3 =(lOO +JO) -(4,35/14.3° )20L2.:_ = = (100 +JO) -(84,3 -}21.5) = 15,7 -}21.5 = 26,6/ -53,9o V. d) La corriente a través de cada una de las ramas en paralelo. según la ecuación (4.1), es:
1 =
z~
=26 ,6j -53,9o 12.s!38. 70
12=
~h
=
-~
122
g,b
-1
z
-2
26,61..=2~ 5j-90o
=2.1!-92,6 0 A
=5,32/36.10 A.
·1
e) El diagrama fasorial correspondiente se muestra en la figura 4.23.
Fig. 4.23
4. 14 En el circuito de la figura 4.24. la tensión que aparece entre los puntos a y bes de llOiQ: V. a) Calcular los valores de las corrientes 1 2 e L· y su expresión compleja. b) Determinar la expresión compleja de la corriente L· e) Hallar la caída de tensión en ~ 1 • d) Determinar la expresión compleja de la tensión de la fuente U. e) Determinar las expresiones instantáneas de 1.1• 1.2 e 1.3• O Trazar el diagrama en función del tiempo de las ondas de 1_1, 1.2 e 1_3• g) Trazar el diagrama fasorial correspondiente.
Fig. 4.24
123
Solución:
a) Por ser la tensión de 110L.Q.:W común a ías dos ramas en paralelo, entonces: 1 = -
2
!lab = llOL.Q.: ~2
3 -}2
= (25.38
= llOL.Q.: 3,6/..:...33, 7°
=30.~j33;7o
=
+}16,92) A.
1 = !lah = 110L.Q.: z- l 6 ·+;'4
=
110L.Q.: 7,21L33 · 7°·
-l
=15,26/-33, 7o
=
= (12, 7 -j8,47) A. b) La corriente total 1 1 es igual a: _ 11 = 12 + 13 = 25,38 + }16,92 + 12,7 -}8,47 = 38,08 + j8,45 = =39,0/12,51° A.
e) Yz, = 1 1 ~ 1 =(39.0 ¡12,51 o) (0,1 +}0,5) = =(39.0/12.51°) (0,51J78,7o) =19,9/91,2¡o V. d) De acuerdo con la primera ley de Kirchhoff: Q=L~1+Qab=19,9/91,21o +'110/0o =
=(-0,420 +}19,9) +(110 +;0) =109,6 +}19,9 =111.39/lO,r V. e) Los valores instantáneos de las diferentes corrientes son, como se muestraen la figura 4.25 y en concordancia con la ecuación (3.15):
.l;=39,0~2sen (cvt+l2.51°) = =55.1 sen (wt+12,5P)
1. 2-=30. 5~2 sen
A.
(cvt + 33, 7°) =
=43.13 sen (wt +33,7'} A. l_ 3 =15.26~2sen (wt-33,7;·= =,
124
21.58 sen (wt-33 . 7°) A.
12.51'
Fig. 4.25
t) El diagrama fasorial de las ondas de corriente en función del tiempo se muestra en la figura 4.26. ·
Fig. 4.26
4.15 Hallar la impedancia equivalente en el circuito de la figura 4. 27 .
7.·¡
Fig. 4.27
125
Solución:
Este problema puede resolverse al trabajar con impedancias o con admitancias. Se trabajará con admitancias con el fin de ilustrar el procedimiento a seguir. Calcúlese primeramente la admitancia equivalente de las tres ramas conectadas en paralelo. y después la impedancia correspondiente. Al aplicar la ecuación (4 .28) se tiene que:
x;.q = I1 + I2 + I1 =
1
1 1 1 1 _:!::_+- = - + - - + -- = ~ 2 -2 ~J j2 2 + j4 - }3 '7
1 1 - -2-/=9o'"""o- + 4.47/63,4°
1 + -3~/--~9~0::-o- =
=0.5/-90° +0.22/-63.4° +0.33/90° = = -}0.5 +0.1-}0.2 + + j0.33 =0, 1-j0.37 = =0.38j-74.9o mhos. 1 bq =1- =----=-:-::-::-90 =2.63/74,9° =0,68
+]1,54 U [ver ecua-
ción (4.2~)].
0.38/- 74 •
Ieq
Por tanto:
Z.eq =(3
+}6) +(0,68 +j2.54) =3,68 +j8,54 =
=9,3/66,7°
y =-1-
:...eq
bq
=
n
[ver ecuación (4.3)].
1 9,3/66.7°
=0.108/-66,70 = -
=0.043 -]Í).l mhos [ver la ecuación (4.24)]. 4. 16 Obtener dos circuitos equivalentes al circuito serie-paralelo del problema 4.15. con bq y Ieq· Calcular his corrientes que circulan a través de ambos cuando son conectados a una fuente de 50L2.:_ V cada uno. Solución:
En la figura 4.28 se muestran los cir~itos equivalentes al circuito serieparalelo del problema 4.15; el de la figura 4.28a. con l_,.4 y el de la figura 4. 28b, con Ieq· 126
;
/
u-so~v
R
=
3,68
n
a)
G- 0,043 mho
-}8--}0.1 mho
h)
Fig. 4.28
Para el circuito de la figura 4. 28a, se tiene: ~
=3,68
1 ::·. -
--
y
~
-+- }8, 54
=
=9,3
soLQ:
~6.1:_
u
=5 .4L-66~.Z..:.
A [ver la ecuación 4.1]..-
9.3/66. 7°_
Para el circuito de la figura 4, 281.:;, se tiene
I =0.043 -}0.1 =0, 108/ -66, 7o mho < [·.··:·r ecuación (4.24)]. 1 Por ser Z = - , entonces:
I L= .llX. = soL.Q.:. . o.1o8J-66, 7o =5.4c66, 7o A.
De los resultados obtenidos puede constatarse que resulta igual trabajar con impedancias o admitancias; no obstante, es bueno destacar que el método de admitancias es ventajoso solamente cuando se dispone de un gran número de ramas en paralelo en el circuito a resolver. Sin embargo, aún en el caso de múltiples ramas en paralelo, puede trabajarse con relativa sencillez con el método de impedancias.
127
4. 17 Mediante el método de las corrientes de rama, calcular las magnitudes de las corrientes a través de cada rama en el circuito de la figura 4.29.
40
/_Q"__ V
Fig. 4. 29
s·alución: El método de las corrientes de rama en circuitos de corriente directa es t~plicable también a circuitos de corriente alterna, teniendo en cuenta que, (~n este último caso, los valores de las magnitudes del circuito son números complejos. Puede observarse que existe similitud en los procedimientos de solución utilizados en este problema y en el 1.8. Número de ecuaciones de corriente:
n -1
= 3 -1 = 2
(ver capitulo 1)
Número de ecuaciones de tensión: r-(n -1) = 5 -(3 -1)
= 3 (ver
capitulo
1)
Estas ecuaciones son:
40LQ:. -(20 +}30)
(20 +;30) 8[45 °
128
12 = 0
1 2 -(10-}20) 1 1 - 60L30o -- (100 +}50) ls =0
+ (100 +}50) ls = 0.
(3)
(4) '(5)
De la ecuación (3) se sabe que:
1 = 40lQ: . 20+}30
4o¿oo 36.05/56.3°
-l
= 1.11/-56,030 A.
Por otro lado, de la ecuación (5) :
-80/45° ls=-.......::==-100 +¡5o
80/45° + 180°
=0,715jl98.4 c A.
11 1. 8¡26,6°
Al sustituir los valores de
12 e L
en (4), obtenemos:
(20 +J30> C1.11L_?6.3° > -oo...:..¡2o) L-6o/3oo -(100 +}50) (0,715/198.4°) =Ü y despejando
. L
L: ·
= 2,32/94° A.
Sustituyendo los valores de
L
l.=L-ls=2.32/94o
e
ls
en (2), obtenemos
L:
-0,715/198,40 =
= -0,162 + }2,31-(0,68 -j0,23) = 2.6/78.4° A. Al sustituir los valorC!S de
L
e
L·
hallamos
L:
1t=.L+L=1.11/-56,3° +2,32[94° =1.45/7L6° A. 4. 18 Hallar las caídas de tensión en los resistores del circuito de la figura 4.30 mediante el método de las mallas. R, = 1.2 U
~'
x,.=i5
o
fjg. 4.30
Solución: El método de corrientes de malla para solución de circuitos es aplicable tanto en corriente directa como en corriente alterna. Al seguir el mismo
129
""
procedimiento recomendado en corriente directa pueden plantearse las siguientes ecuaciones basadas en la primera ley de Kirchhoff:
IOOLQ.~ -1.2
L -( -16) ( L -lu)
=0
(1)
-16 lu-(4 +15) lu =0.
(2)
Al hacer las transformaciones necesarias en las ecuaciones (1) y (2). se obtiene:
Para plantear el determinante, hacemos las transformaciones siguientes:
100 +(-1.2 +16) L-16 ln =0
16 L -16 lu-4 lu-15 lu =0 (-1.2+16) L..:..16 lu=-100
16 L + ( -4 --:-111) lu =0 D = ¡-1.2 1
+16
16
-16
6/-900 11.7 ¡2500
1=16.12/101.30 -(4+111) 6/900
1
=
=71.6~i:_ -36LQ: =36.4f-17.r
.,
-1000 1
-16 -(4 +111)
l¡ = - - - - - - - - - = 36.4/-17.2°
-(4 +111)(-100) 36,4/-17.2°
=
400 +11100 36.4/-17.r
=32. 16j-87,2o =1.57 +132,12A
¡ -1.~6+
16
00
~
1 1600 /11 = - - - - - - - - - - = _ _...::.__ _ _ = 36,4/-17,2° 36.4/:...t7.r = 16,5/107,2° = -4,87 +115, 76 A. 130
Caida de tensión en el resistor R1: ~1 =
11. Rt =32.16/87.2° . 1.2L.Q:. =38.6/87.2° V.
Caida de tensión en el resistor R 2: ~
2 = 111
•
E_ 2 = 16.5/107,2° . 4L.Q:. =66/107,r
v.
4.19 Para el circuito de la figura 4.31. calcular las caídas de tension en
cada uno de los componentes. Utilizar el método de corrientes de malla.
Fig. 4.31
Solución:
Al plantear las tres corrientes circulantes en las mallas independientes, se obtienen las siguientes ecuaciones de Kirchhoff: (1)
(2)
-15(_b11 -1u) -(12 + j9) 1111 =0.
(3)
Haciendo las transformaciones correspondientes en (1), (2) y (3) para plantear ell determinante del sistema:
-61u + 61t +Ji 1n +151m =0 ·-151m+ 151u-121m-j91m =0. 131
Al agrupar (-16-j5) 1 1 +6111 = -100/60°
611 +(-21
+]i)111 + 15 Im =0
15111 -(27 + j9) 1m =O. Al plantear el determinante: -16-j5
ll=
6
-21 +j7
6
o
=
o 15
15
-27-j9
16,76/197,3°
6
o
6
22,14/161,6°
o
=
15
=
28,5/198,4°
15
:Q = 10 575/557,3° -(3 771/197,3° + 1 026/198,4° ) = = -5 522,5 -j1 700 = 5 778L.!_97,1 ¡o . Resolviendo el sistema para las corrientes de mallas, obtenemos los valores de 11• 1n e 1m· -100/60°
6
o
22, 14/161 '6 o
o
15
o 15 28,5/198,4°
1,=----------------------------5 778/197,11 o 11 =7,03/42,9o A 132
=5.15 +j4,78
=
o
16,76/197,3° -100/60°
o o
6
15
28,5/198,4° o lu = - - - - - - - - - - - - - -
= 1,42 +j2,6
5 778/197.11" =2,96/61.3° A
/ 11
6,
-100/60°
22,14,6161.6°
o
16,76/197,3° 6
o
o
15
lm = - - - - - - - - - - - - - - = -1.14 + jl.06 = 5 778/197,11° /
= 1.56/137,11 o A.
111
Tensión a través de la impedancia
l
1:
!lz1 = 1, · l 1 = 7,03/42,9° (10 + j5) = 78,6/69,5°
V.
Tensión a través de R 2: !lR
2
= <1.-ln) R 2 = (5.15 + j4, 78 -1,42 -j2,6) · 6 = 26,3/31.6° V.
Tensión a través de X2 : !lx =(-]7)(1 11 ) 2
=(7/-90°) (2,96/61.3°) =20,72/-28,7° V.
Tensión a través de R 3: !;¿ = 15
='=44,8Ll.!.:_ V. 133
Tensión a través de Z 4 : flz =(12 +j9Hlm) =(15/36,8° )(1,56/137,11°) =23,4/173,9° V. 4
4. 20 Obtener la impedancia equivalente entre los puntos a y b del circuito mostrado en la figura 4.32.
b
Fig. 4.32
Solución:
Como se observa, la red analizada no constituye un circuito serie, paralelo ni serie-paralelo con respecto a los puntos a y b. Al seguir el mismo procedimiento establecido en el capítulo 1, es posible reducir la red al convertir en estrella la delta compuesta por las impedancias (4 +j3), {j10) y (6-j3) U. En la figura 4.33 se muestra el circuito resultante de dicha -transformación.
Fig. 4.33
134
Al tomar las ecuaciones (1. 9), (1.10) y (1.11), y sustituir en ellas los valores de resistencias por impedancias, se obtiene:
z
z1z2
=
~ 1 + ~ 2 + ~J
_a
z, = --=z::.!1=z~J~1
--
~· =
+
~2
+
~J
=
(il0)(4 +i3 ) =3,54/81.8o =0,5 +}3,5 U }10 +4 +}3 +6-}3
= (il0)(6 -}3) =4, 74/18,4° =4,5 +}1.5 U 10 + }10
Z 2Z 3 = <4 +J3)(6 -i3 ) =2,37/-34,8° = 1.95-}1,35 u. 10 +}10 ~1 + ~2 + ~J
El circuito serie-paralelo de la figura 4.33 puede ser reducida fácilmente al de la figura 4. 34.
1.9S-:i1.35 U
b
Fig. 4.34
Una vez esta situación, puede hallarse la paralelo:
z
=<2.5+}3, 5> <9•5 +11•5>
=eql
2,5 +}3,5 +9,5 +j1,5
bq de las dos impedancias en
=3,17/40,9° =2,39+}2,07
n.
La bq total será la suma de las impedancias que componen el circuito de la figura 4.35 por estar ambls en serie, o sea:
b,q =(1,95-}1,35) +(2,39 +12,07) =4,34 +j0,72
n.
1,9S-:il.35 U 2.39+j2,07
Fig. 4.35
u
~-------------4b
135
En la figura 4.36 se muestra el circuito con la bq total calculada. -1.34+i0. 72 !!
~
Fig. 4.36
4. 21 Obtener el circuito equivalente de Thévenin del circuito activo trado en la figura 4.37. 2!1
j) !!
i6!!
mo~
1/
¡(\
~""~'
1
1 . /¡
Fig. 4.37
Solución:
Como en casos anteriores, el teorema de Thévenin es aplicable, tanto a circuitos de corriente directa como de corriente alterna. El procedimiento a seguir es el estudiado en el capitulo l. La impedancia equivalente del circuito (~TH) se calcula al cortocircuitar la fuente de alimentación, como se muestra en la figura 4.38, o sea:
z
-]'6 + 4(2 +}3)
-TH -
-]'6 + _8--'+};....12_ =2,15 /29,730 = 6 + }3
4 + 2 + }3 -
= 1,87 +Jl.06 n. 2 !1 (/
¡,
Fig. 4.38
136
La corriente que circula en el circuito de la figura 4.37 es: J -
= _1_0.....;0/=Ü=o-
lOOLQ:
4 ... 2 -r j3
6 +j3
La tensión de Thévenin. o sea. la tensión en circuito abierto, será la caída de tensión en el resistor de 4 n, o sea: flm =4(1) =4LQ.:. . (15/ -26,6° ) =60/ -26,6° V.
La polaridad de flm en el instante analizado es tal que la fuente alimenta hacia el terminal a en circuito equivalente, como se observa en la figura 4.39. ¡ \.01> !.l
{/
h
Fig. 4.39
4. 22 Determinar el valor y el ángulo con respecto al eje de referencia de la corriente que circula a través de la impedancia de valor (6 +}5) n en el circuito de la figura 4.40 mediante el teorema de Thévenin.
Fig. 4.40
Solución: Para calcular la impedancia de Thévenin se utiliza el circuito de la figura 4.41, abriendo en el circuito original la rama correspondiente a la im137
pedancia de (6 +}5) n. La impedancia equivalente de Thévenin del circuito se halla al cortocircuitar las fuentes de tensión. Ast. de acuerdo con la figura 4.41:
z -TH -
4(7 +}8) = 28 +}32 =3,1~.77c =3.02 -l-jÜ,68 4 + 7 + }8 11 + j8
n.
Fig. 4.41
Para calcular la corriente 1 en circuito abierto, se utilizan el circuito de la figura 4.42, o sea: 15/30° -(4 +(7 +}8)) . 1 +30j60° =0 15/30° -(11 + }8) . 1 + 30/60° =0. De donde:
1 = -2 --:}18,5 = 1.3 7/227,83 o A. 11+}8 1 !.!
íX !!
.1 () ' __(.!!l._ \
Fig. 4.42
138
La tensión de Thévenin o tensión en circuito abierto será el valor de o sea:
~a•
~TH=~ba=15f30o -4/=13 +j7,5-4(L37L227,83o) =
= 16,68 +}11,5 =20,26f34,6o V. La polaridad de la tensión de Thévenin en el instante analizado es tal que tiende a enviar energía desde el terminal a hasta el terminal b. El circuito equivalente de Thévenin es el mostrado en la figura 4.43. 3,02 !!
j0.(1X
u
{/
20.26 / 34.ó ·. V
, Fig. 4.43
PROBLEMAS PROPUESTOS 4. 23 Calcular analíticamente la suma de las tensiones .Ya= 120 sen (wt +60°) y lth = 135 sen (wt + 75°) V.
Respuesta: 67,14 +}165,69 =178,7/67,9° V. 4. 24 Un circuito en serie RL consta de un resistor de 2.2 U y un inductor de 0,005 H. Al conectarse a la fuente de alimentación se produce una caida de tensión de 62,8 V a través del inductor. a) Determinar el valor de la impedancia reactiva inductiva para una frecuencia de 400 Hz. ~ ... b) Hallar la intensidad de corriente. e) Determinar la caida de tensión a través del resistor. d) Hallar la fuerza electromotriz de la fuente. e) Trazar el diagrama fasorial. O Trazar el diagrama de tiempo. Respuestas: a) XL= 12. st, U; b) 1 = Sj-90o A; e) J!R = ll.2L -90o , V: d) ~ = 63, 7j -10o V: e) el diagrama fasorial correspondiente se muestra en la figura 4.44: O el diagrama de tiempo se muestra en la figura 4.45. · 139
u, ~
62.8
v
Fig. 4.44
ll.i
11
Fig. 4.45
4.25 Una impedancia resistiva de 20 U es conectada en serie con una impedancia reactiva inductiva de 30 U. La tensión de la: fuente es de 120 V a una frecuencia de 60 Hz. a) Determinar la intensidad de corriente. b) Hallar la tensión a través de la impedancia resistiva. e) Calcular la tensión a través de la impedancia reactiva inductiva. d) Trazar el diagrama fasorial correspondiente. e) Dibujar el diagrama de ondas en función del tiempo, considerando que la onda de tensión de la fuente pasa por cero en el instante t =O. Respuestas: a) 1 =3,33/-56,3° A; b) YR =66,6j-56,3o V;
m:1..:
e) Jh =99,9 V; d) el diagrama f asorial correspondiente se muestra en la figura 4.46; e) el diagrama de tiempo se muestra en la figura 4.47. 140
\
\ \ \
U= 120 V
\
Fig. 4.46 u
Fig. 4.47
4.26 Un circuito en serie RC consta de una impedancia resistiva de 5 U y una impedancia reactiva capacitiva de 7 n.. Si dicho circuito se alimenta con una fuente de 220 V, 60 Hz, determinar: a) valor y ángulo con respecto al eje de referencia de la corriente; b) caída de tensión a través de la impedancia resistiva; e) caída de tensión a través de la impedancia reactiva capacitiva. · Respuesta: a) 1 = 25,6/ -54,46° A; b) YR = 128/ -54,46c V; e) {le= 179,2/-144,46° V.
4. 27 Un circuito en serie posee un resistor de 30 U y un capacitor de 20 ¡5. A través de este circula una corriente de 3 A con 60 Hz. Si se toma la corriente como referencia, determinar: a) tensión eficaz de la fuente de alimentación, b) expresión instantánea de la tensión de la fuente, e) impedancia del circuito, d) ecuación instantánea de la corriente, e) ecuación instantánea de la tensión YR a través del resistor y f) ecuación instantánea de la tensión ~e a través del capadtor. 141
Respuesta. a) Yr =408/77,25~ V; b) !!r = ~77 sen (377 t-77,25") V; e) ~ = 136/77.25° U; d) i =4,24 sen 377 t A; e) !!R = 127,3 sen 377 t V; f) ~ = 562,7 sen (377 t-90") V.
4. 28 En un circuito en serie RC se sabe que la corriente está en adelanto
de fase con respecto a la tensión un ángulo de 30° y tiene un valor de 8, 7 A. Si el resistor es de 10 U y la tensión de la fuente de alimentación es de 100 V, 60 Hz, calcular: a) valor de la impedancia reactiva capacitiva; b) expresión instantánea de la corriente. Respuesta: a) Xc = -5,68 U; b) L.= 12,3 sen (377 t +30") A. 4.29 Un resistor de S n es conectado'en serie con una impedancia reactiva inductiva de 6 n y una impedancia reactiva capacitiva de 2 n. Determinar: a) impedancia total del circuito y b) corriente a través del circuito si la fuente de alimentación es de 115lQ.: V. Respuesta: a) ~ =6,4/38,66° U, b) 1 = 18/-38,66° A. 4. 30 En un circuito en serie RL, la tensión y la corriente poseen las expre-
siones instantáneas siguientes: !! = 208 sen (2 000 t- 30") V, e i = 1O sen (2 000 t -60") A. La bobina de inducción posee una inductancia pura con un valor de 3 rnH. Determinar: a) impedancia total del circuito; b) impedancia reactiva inductiva. Respuestas: a) ~ = 20,8/30° U; b) XL= 6 U. 4. 31 Dos impedancias de v~lores ~ 1 = 5/36,9° U y ~ 2 = 10/-36,9° U
son conectadas en serie a una fuente de 100 V, 400 Hz. Determinar: a) corriente a través del circuito, b) caida de tensió,n· a través de cada impedancia y e) las expresiones instantáneas de la corriente y las tensiones a través de cada impedancia. Considérese la tensión de la fuente corno fasor de referencia. Respuesta: a) L= 8,08/14,04° A ; b) Yz =40,4/50,9° V; 1
Yz
=80,8/-22,9o V; e) i=l1,43 sen(2513t+14,04") A; 2
!!; 1 =57.13 sen (2 513 t +50,9) V y !!z = 114,26 sen (2 513 t-22,9") V. 2
4. 32 En el circuito en paralelo de la figura 4.48, ~ = 100LQ: V, ~ 1 =2 +i3 u. ~ 2 =6 +iS u y ~ 3 =8-j4 u.
a) Calcular las magnitudes de las corrientes 1 1• 1 2• L e lb) Escribir las expresiones instantáneas de ..b i 1• i 2 e ir Respuestas: a) L =27.7/-56,3° A; 1 2 =12,8/-39,8° A;
1 3 = 11.18/26,56°
A;
b) 1=141.4 sen wtA;
1 =43,9/-36.6°
A;
i 1 =39.2 sen (wt-56,3i A;
i 2 = 18,1 sen (wt-39,8") A; i 3 = 15.81 sen (wt +26,56") A; i=62,03 sen (wt-36,6") A. 142
.... •
e
~E
~
/1
l,
/2
+
Z¡
21
Fig. 4.48 1'-/'"
......__
4. 33 En el circuito de la figura 4.49,' ~~ = 1 +j2 n ;J ~ 2 =4 +jS U y ~ 3 =6-j8 U. La tens1~~.
j
a
ó
Fig. 4.49
Respuestas: a) ~.q =7,78/27,5° =6,9 +f3,6 U; b) 1 1 =6,43/-27° =5,1._j2,92 A; e) !lz = 14,4f36,4o = 11,59 +j8,54 V; "1 d) Uab=39,35/-12,53o =38,41-j8,54V; e) 1 2 =6,14/-63,7° =2,72-j 5,5 A; f) 1 3 =3,93/40,7° =2,98 +j2,56 A. 4. 34 Calcular la impedancia equivalente vista entre los puntos a y b en el circuito de la figura 4. 50. 143
21!
Fig. 4.50
Respuesta:~q = 8,27 j21,26o = 7, 71
+}3 U.
4. 35 a) Calcular la impedancia equivalente vista entre los puntos a y b de la figura 4. 51. b) Si entre los puntos a y b se situara una fuente de tensión alterna, cuya expresión instantánea fuera ~ = 70,71 sen (w t + 30°) V, i.qué expresión instantánea tendrá la corriente circulante a través de todo el circuito?
(/ ~------~
h o------~
Fig. 4.51
Respuestas: a) ~q = 16,74/ -65,24° U; b) l.a, = 4.i2 sen (m t + 95,24°) A. 4. 36 Hallar la impedancia equivalente y la admitancia equivalente en el circuito de la figura 4. 52. · Respuesta: _E,q = 0.052/ -30o = 0,045 - }0.026 mhos; b) ~eq
= 19,1L1Q:. = 16,5 +}9,6 U.
4. 3 7 Mediante el método de corrientes de ramas, calcular en ercircuito de la figura 4. 53 las caídas de tensión en las impedancias.
144
Fig . 4.52
7, = 3+i4 ~2
Fig. 4.53
Respuestas: JjR = 113,8/ ~23,48° V; J!R =45,5!95,4°. V; 1 2 !:& =44,2j2.74o V; Uz =66,5/140° V '.1
y
-
'4
Jlz; =66,5/40° V.
4. 38 Calcular los valores de las corrientes en el circuito de la figura 4. 54 mediante el método de corrientes de mallas. F; = 100 /_jL_ V
Fig. 4.54
145
Respuestas: 1 1 = 16,48/41, 7o A; 111 = 10.24L=_295o A; 1111 = 16,5/-138° A . 4. 39 Determinar las caídas de tensión en las impedancias del circuito de la figura 4.55 en el cual ~ = lOOLQ: V, R 1 = R 2 = 10 n, ~~ = 2 + j4 n. ~ 2 = -j3 n, y ~ 3 =j5 n. Utilice el método de corrientes de mallas. R,
1 A
1
1 ,\
Fig. 4.55
Respuestas: YR~"'=B0/348,5 V;
JJR,
Yz,
=24,37/59.72 . V:
=27,1/27:'3° V; Jlz, =20.26/-62,7° V y -Vz._, = 20.26/297.3° V. -
146
Capítulo 5
POTENCIA Y ENERGÍA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
INTRODUCCIÓN En el análisis de los circuitos eléctricos no solamente resultan importantes las relaciones tensión y corriente, sino también las relaciones de potencia. Este tema tiene especial interés desde el punto de vista económico por lo útil que resulta en un circuito dado. En este capítulo se ofrecen algunos ejercicios cuyo objetivo fundamental es determinar el valor de la potencia relacionada con circuitos eléctricos que presentan diferentes configuraciones. así como lograr el mejoramiento del factor de potencia de estos mediante el uso de capacitares. En el capitulo 1 fue definida la potencia disipada en forma de calor en un resistor como: (5.1)
Sin embargo. cuando en el circuito se incluyen. además de resistencia. las magnitudes inductancia y capacitancia. no toda la energía se disipa en forma de calor. sino que parte de ella se almacena en los campos magnético y eléctrico de la inductancia y la capacitancia. respectivamente. durante cierta fracción del periodo de la onda de tensión alterna de la fuente de alimentación. y se devuelve desde la inductancia y la capacitancia en-otra fracción del propio período. Sin embargo. por ser los efectos de XL y Xc totalmente opuestos. la recepción y entrega de energía se realiza en ambos dispositivos. en antifase. 147
Cuando entre la tensión y la corriente existe diferencia de fase y son ambas funciones del tiempo. de acuerdo con la ecuación (5.1). su producto en cada instante de tiempo constituye la potencia instantánea. la cual adopta valores positivos o negativos en dependencia del instante que se analice. Considérese positivo el flujo de potencia de la fuente a la carga y negativo el flujo de potencia en sentido contrario.
POTENCIA Y ENERGÍA EN UN CIRCUITO DE RESISTENCIA PURA Si se supone un circuito de resistencia pura al cual se aplica una tensión cuya expresión instantánea es u = sen wt V (fig. 5. 1a). necesariamente la corriente circulante está en coincidencia de fase con él. razón por la cual la potencia en dicho circuito posee la expresión instantánea siguiente:
u
1 /\ 1 ·' /\ PR =u · i =u · i sen 2w t = - u · i - - u · i cos 2w t. 2 2 La potencia promedio (activa) tiene por ecuación: 1\
1\
1\
1 " i" =U ·1 =1 2 • R PR =-u· 2
(5.2)
(5.3)
donde:
U. 1 valores eficaces de la tensión y la corriente respectivamente. en volt y ampere. Como u e i se encuentran en fase de tiempo en este tipo de circuitos. ambos son simultáneamente positivos o negativos (fig. 5. 1b). lo que pone de manifiesto que en todo momento la potencia instantánea es positiva. es decir. se dirige desde la fuente hacia la carga a través del circuito. La frecuencia de la onda de potencia es el doble de la que posee la corriente o la tensión.
+ h)
a)
Fig. 5.1
148
La expresión (5.3) coincide plenamente con la ecuación (1.2) en circuitos · de corriente directa. Por otro lado. la expresión correspondiente a la energía es:
W=
i
T
o
12R dt=
i
. T
~
-......__
p ·dt=I2RT. o - 7'-
(5.4)
1 1
POTENCIA Y ENERGÍA EN CIRCUITOS DE INDUCTANCIA PURA Si se supone que en un circuito de inductancia pura (fig. 5.2a) la corriente circulante tiene por expresión instantánea i = i sen wt. entonces la tensión podrá ser expresado como: H.= sen (wt ¡ 90°) V. Como consecuencia, la expresión instantánea de la potencia es la siguiente: \
u
.Jh
= 'i.L = ·u sen (wt ~901 ' 1 sen
ui =T
-../ sen 2wt =U/ sen 2wt.
wt
Como se observa. el valor promedio de
= · (5.5) p~_
es nulo (fig. S. 2b).
.... i
+ ,.
a)
Fíg. 5.2
De acuerdo con el gráfico mostrado en la figura 5.2b y con la ecuación (5.1), cuando u e i son positivos, la potencia instantánea es positiva, por lo que existirá una transferencia de energía desde la fuente hacia el campo magnético de la inductancia. Cuando u e i poseen signos contrarios, la potencia es negativa. y la inductancia devuelve a la fuente la energía previamente almacenada en su campo magnético. La frecuencia de la onda de potencia es el doble de la frecuencia de las ondas de corriente o tensión. 149
La energía que el campo magnético de la inductancia es capaz de intercambiar coil la red es: T
, . .,--~
w; =LPi . dt = -1
L i 2. , l__ ~.-- -· _.i
(5.6)
POTENCIA Y ENERGÍA EN CIRCUITOS DE CAPACITANCIA PURA Al considerar que la corriente que circula a través de un circuito de capacitancia pura (fig. 5.3a) posee como expresión instantánea i = i sen wt, la tensión a través del capacitor tendrá por ecuación: .Me=
usen (wt-90">/
Como consecuencia, la potencia instantánea que se intercambia entre la red y el campo eléctrico de la capacitancia es: "" sen 2wt = - ui - = -U/ sen 2 wt. IL =ui 2
(5. 7)
El valor promedio de la potencia instantánea en este circuito es cero (fig. 5.3b).
wt
a)
Fig. 5.3
En forma similar al caso de un circuito de inductancia pura cuando u e i son de igual signo, la potencia es positiva y la energía va desde la fuente al campo eléctrico de la capacitancia. Cuando u e i son de signos opuestos. el flujo de energía es en sentido contrario [ver ecuación (5 .1) ]. La frecuencia de la onda de potencia es el doble de la frecuencia de las ondas de tensión o de corriente. Además, la energía que el campo eléctrico de la capacitancia es capaz de intercambiar con la fuente es: T 1 Wc= p ·dt= -Cu 2• (5.8) o 2
i
150
POTENCIA EN. UN CIRCUITO RESISTIVO INDUCTIVO CAPACITIVO (RLC) Considérese un circuito RLC como el de la figura 5.4a, a través del ·cual circula una corriente cuyo valor instantáneo es i = i sen rot en ampere y supóngase arbitrariamente que esta posee una diferencia de fase en atraso, dada con respecto a la tensión (fig. 5.4b) . La ecuación de potencia instantánea será:
= úi · set:t
fL= ui
rot ·sen (rot
(5 .9)
+ qJ).
Al resolver la ecuación anterior, se obtiene: A A A u. 1 u. 1 u. 1 IL =- - cosqJ- - - cos 2rot sen qJ + - - sen 2rot sen ~
~
2
= U/ cos
~
2
qJ- U/
.
cos 2 wt cos
qJ
2
+ U/ sen 2 cvt sen
qJ
qJ
= (5.10)
donde: (5.11)
+
+
+
e
•
UR
u.e
p,e,i
a)
wt
b)
Fig. 5.4
151
De acuerdo con la expresión (5.2). los dos primeros términos de la ecuación (5.10) corresponden a la potencia activa o real instantánea. representada en el gráfico de tiempo de la figura 5.4b. la cual posee un valor promedio J> dado por:
p
=u 1 cos
(5.12)
rp.
El térn:tino cos ~ se de·nomina factor de potencia (f. p.). El ángulo rp es el ángulo del factor de potencia y está comprendidó en el intervalo -90°~ rp ~ + 90°, de donde se deduce que cos rp. y por tanto P. siempre poseen signos positivos. Se diCe que un circuito posee un factor de potencia en atraso cuando la corriente posee cierta diferencia de fase y está retí'asada con respecto a la tensión (circuito inductivo). y que posee un f~etor de potencia en adelanto cuando la corriente posee cierta diferencia de fase y está adelantada con respecto a la tensión (circuito capacitivo). El tercer miembro de la ecuación (5.10) representa la potencia reactiva instantánea: Px = V 1 sen 2 wt sen rp.
(5. 13)
El hecho de que la ecuación (5 .13) no posea valor promedio. indica que esta potencia no se convierte en otra forma de energía. sino que se intercambia entre los elementos reactivos del circuito y la fuente. siendo la potencia entregada igual a la recibida en un período completo de la onda de tensión aplicada. Al valor máximo del tercer rúiembro de la ecuación (5.10) se le llama potencia reactiva (Q) y su unidad de medida es el var. o sea:
u" . i" Q = U · 1 sen rp = - - sen rp. 2
(5.14)
El producto de la tensión por la corriente. con sus valores modulares respectivOs. se denomina potencia aparente (S) y su unidad de medida es el volt ampere. De acuerdo con las relaciones obtenidas para P. Q y S. estas pueden representarse geométricamente mediante los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo denominado triángulo de potencias. Como: P = U/ cos rp = f2R = lJ7/R. ·
(5. 15)
Q = U/ sen rp = f2X = U 2/X.
(5.16)
152
,
(5.17) se obtiene el triángulo de potencias para el circuito RL considerando. por convenio. positiva la potencia reactiva inductiva (fig. 5.5). De igual modo. el triángulo de potencias para un circuito RC. considerando negativa la potencia reactiva capacitiva, es el mostrado en la figura 5.6.
P= Uf cos rp = I'R
Fig. 5.5 P= Ulcosrp= I'R
Q= U/sen rp=I'Xc
Fig. 5.6
Como consecuencia. también la potencia· aparente en un circuito de corriente alterna debe ser representada mediante un número complejo. siendo su parte real la potencia activa (o reai). :. su parte imaginaria la potencia reactiva (bien sea inductiva o ._ apu itiva) . El módulo de dicho número complejo representa la. potencia ap~rente. ~=P±JQ
=U/
L!!...
(5. 18)
El signe;> positivo en la ecuación (5.18) corresponde a la potencia reactiva inductiva y-el negativcr'a la potencia reactiva capacitiva.
MEJORAMIENTO DEL FACTOR DE POTENCIA La inmensa mayoría de las cargas industriales son de carácter inducfivo. razón por la cual la corriente posee una diferencia de fase con respecto a 153
la tensión aplicada y se encuentra atrasada con respecto a esta. Por resultar opuestos los efectos de la inductanciQ y la-capacitancia sobre un mismo circuito eléctrico de corriente alterna. es posible compensar el efecto inductivo de las cargas industriales mediante la conexión de capacitores apropiados, en paralelo con estas. Esto hace que el intercambio de energía, que necesariamente debe producirse. no se realice entre la inductancia equivalente de las cargas y la fuente de alimentación. generalmente muy distantes, sino entre la inductancia equivalente de las cargas y las capacitancias contiguas a estas. El resultado neto que se obtiene es: 1) Menores pérdidas de energía en la linea de alimentación a la carga. con el consiguiente mejoramiento de la eficiencia del sistema. 2) PosibiHdad de utilizar con mayor efectividad la capacidad de la fuente de alimentación. En la figura 5. 7a y b se muestra cómo la introducción de un capaciior en paralelo con una carga inductiva dada produce una disminución del ángulo del factor de potencia del sistema y de la magnitud de la potencia aparente S. para una misma potencia activa o real P.
a)
b)
Fig. 5.7
PROBLEMAS RESUELTOS 5. 1 Trazar el triángulo de potencias de un circuito cuya tensión es igual
a
= 70,7
sen (wt + 30°) V y cuya corriente tiene por expresión: i_= 14,1 sen (wt + 10°) A.
~
Solución:
Las expresiones de la tensión y la corriente en forma polar son las siguientes:
E= 1 ~:! ¡30° = 50!30o v ~2
154
1
1
1 = ~~ L!Q:_ =lOL!Q:_ A. .
\j2
Por consiguiente, de acuerdo con la ecuación (5.17). la potencia aparente es:
Por tanto ~ = 500j20o
=469 + }171
VA.
Luego atendiendo a la ecuación (5.18): P=469 W; Q=171
var (inductivos); S=500 V· A.
El triángulo de potencias resultante se muestra en la figura 5.8 en el que: COS (/)=COS 30° =0,866.
o~.~
321 .•4 var
1' ~ 3X3 W
Fig. 5.8
~ . 2 La potencia activa consumida en un circuito en serie de dos elementos
~es de 28 W, con un factor de potencia de 0,85 en retraso; la tensión aplicada a dicho circuito tiene por expresión instantánea: !{=45 sen (377 t +38, V. Hallar los valores de los componentes del circuito. Solución: La expresión polar de la tensión aplicada al circuito es:
~= ~~ ~ = il.S~ './2
/
V.
De acuerdo con la ecuación (5.12), se tiene que: p 28 1 = _:...__ = cos (/J 31.8 . 0,85
u
= 1,03 '
A.
/ 155
Como se sabe, el factor de potencia es 0,85 en retraso, el fasor corriente se encontrará retrasado con respecto a la tensión un ángulo qJ:
De acuerdo con esto, el fasor corriente podrá como:
La impedancia del circuito es, por
fl = 3 I.Sil!:.
z= -
1
expresars~
en forma polar
~anto:
=30,9/31,8° =26,3 +J'l6,3
1,03/6.2° A
u
A partir de la expresión compleja de la impedancia obtenida anteriormente, se tiene que: R =26,3 U Xí = 16,3 U. Del valor de XL resulta que: L=
xL 2rtf
= 16,3 n 277 Hz
=0,043 H.
5. 3 Si en un circuito RLC los valores de R, L y C son 15 U, 0,2 H y 11 lff, respectivamente, y la tensión aplicada al mismo tiene por expresión instantánea u= 142 sen 377 t V, determinar: a) impedancia total del circuito, b) corriente circulante y e) potencia instantánea del circuito. · Solución:
a)La impedancia del circuito es, de acuerdo con la ecuación (4.23), la siguiente:
Además: XL =2rtf L =371 · 0,2 =75.4 U [ver ecuación (4.11)]
1<1 106 Xc = - - - = = 241 U [ver ecuación (4.17) ]. 2rt fC 377 ·11 156
Luego:
u.
Z=V15 1 +(75,4-241) 1 =166,3
Además, al aplicar la expresión (4.10) se tiene: {p=tan- 1 XL -Xc =tan- 1
-
R
b> 1 = !l = 042/v'2 u:!!:·v - z_ 166,4/-84,8° u
165 •7 = -84,8° [ver ecuación (4.24)] 15 =
=0,603/84,8° A [ver ecuación (4.1) ]. e)
De acuerdo con la ecuación (5.10): !!_=Uf cos (p-Ul cos 2wt cos (p+Ul sen 2wt sen{p=
= 100 · 0,603
· 0,09-100 · 0,603(cos 754 t)0,09 +
+ 100 · 0,603( -0, 99) sen 754 t = =5,4-5 ;4 cos 754 t-59,7 sen 754 t. 5.4 Una carga cuya impedancia es ~ =6,2 + }5,4 U se conecta a una fuente de 120/0o V y frecuencia de 60Hz. Determinar los valores de: a) potencia instantánea como función del tiempo, b) potencia promedio, e) potencia reactiva y d) potencia aparente. Solución: a) El valor de la corriente del circuito es: l = !;[
-
~
=
1201Q.: V 6,2 +J5,4U
= 1201Q.: V 8,22L±!.:_ n
= 14 , 6¡-41 o A.
De acuerdo con la ecuación (5 .1) : Jl...= ui =(120 v'2sen 377 t)(14,6v'2 sen (377 t-41°)) . .
Al hacer las transformaciones trigonométricas correspondientes se tiene que: Jl.. = 3 504 sen cot (sen wt cos 41 °-cosc.vt sen 41 °)
= 157
E= 3 .504 (sen 2 cvt cos 41 °-sen rol cosrol sen 41 °) =
= 2 644 sen 2 rol-2 299 sen wt cos rol= 1 = 2 644 ( - 1 (l-eos 754 t) -2 299 ( sen 754 t)) = 2 . ~ 2.=1 322-1.322 cos 754 t-1149,5 sen
71i.4
b) La potencia promedio es. de acuerdo con la ecuación (5.12): P=UI cos rp=120 V · 14,6 A· cos 4P=1 322 W.
Este último es el valor que aparece en el primer miembro de la ecuación de potencia instantánea del inciso a. e) La potencia reactiva, de acuerdo con la ecuación (5.14) viene dada por:
Q =U/ sen rp = 120 V · 14,6 A sen _41 o= 1 149 var (inductivos) . Este valor coincide con el valor máximo del tercer término de la ecuación determinada en el inciso a. d) La magnitud de la potencia aparente viene dada por la ecuación (5.17), o sea: S=
~p2 + Q2 = ~(1 322)2 + (1 149) 2 =l 752
V. A.
{. 5. 5 A una carga cuya impedancia es de 2 + j4 U se le aplica una tensión de 110/40o V. a) Calcular la potencia activa o real. b) Calcular la potencia reactiva y su signo. e) peterrninar la potencia aparente. d) "fí'azar un diagrama fasorial donde se muestre la tensión y la corriente. Solución: Corno primer paso a seguir para resolver este problema. debe ser calculada la niagnitud de ·la corriente a través del circuito para lo _cual será utilizada, la ecuación (4.1). o sea: l= 158
~ = 110~ ~
2+j4U
V
=
110~ V
4,47 ¡63.4° .u
·1':
a) Para hallar la potencia activa o real, debernos aplicar la ecuación (5 .15) , entonces se tiene que: · P =U 1 cos cp= 110 V · 24,6 A · cos 63,4° = 110 V · 24,6 A · 0,448 = =1212W. También, corno en el caso de un circuito RL. lores
~
~
=R +j
Xv al sustituir va-
= 2 +j4 U, entonces R = 2 U y XL = 4 U. Por tanto, de la ecuación
(5.15) se tiene: P =12R =(24,6 AP. 2 n = 1 212 w. b) Para hallar la potencia reactiva apliquemos la ecuación (5 .16), se tiene que:
Q =U 1 sen rp=I 2XL = 110 V· 24,6 A· 0,894 =(24,6 A) 2 • 4 U= = 2 420 var (inductivos). e)
Mediante la ecuación (5.17) puede calcularse la potencia aparente:
S=~(l 211) 2 +(2 420) 2 =2 706 V·A=/2Z= =(24.6 A) 2 · 4,47U=2 706 V·A. · d) El diagrama fasorial correspondiente es el que se muestra en la figura 5.9. o
L ~ l!OV ¿E_
Fig. 5.9
159
~ 5. 6 En un circuito RL se aplica una tensión cuya expresión instantánea es ~ = 120 sen wt, y a través de · este circula una corriente de valor instantáneo L=S sen (cvt-30°)A. a) Determinar la impedancia del circuito. b) Hallar el ángulo del factor de potencia. e) Calcular la potencia activa o real. d) Hallar la potencia reactiva y su signo. e) Calcular la potencia aparente. f) Trazar el triángulo de potencias.
Solución: A partir de las expresiones instantáneas de que se dispone, es posible determinar los valores eficaces de la tensión y la corriente. De acuerdo con la ecuación (2.15), se tiene que: i' SA . 1=--=- = - - - =3,53 A.
v2
v2 ·
De forma similar:
Ur =
i._
v2
=
120
..;2
V
84 8 V
=.
·
a) La impedancia puede calcularse mediante la expresión (4.1) y de las ecuaciones instantáneas correspondientes: ~=
WL =(84,8LQ:.
) V
1 (3,53/ -30°
)A =24LlQ:.
U.
b) Ya que el factor de potencia se define come; el coseno del ángulo existente entre la tensión y la corriente. en un circuito dado, es posible valerse de las expresiones instantáneas de u e i para determinarlo. Evidentemente, en este caso es:
e) La potencia activa o real puede calcularse mediante la ecuación (5.12):
P =U/ cos fP=84,8 V· 3,53 A· 0,866 =259,2 W. d) La poten<;:ia reactiva se calcula mediante la ecuación (5.14), o sea:
Q=-Ul sen fP=84,8 V ·3,53 A ·0,5=149,7 var. Por convenio, su signo es positivo, puesto que se trata de reactiva inductiva. 160
e) La potencia aparente, sobre la base de la ecuación (S.17) es: S=84,8 V ·3,S3
A=~(2S9 •.2 W) 2 +(149,7var) 2
S =299 V·A. f) Sobre la base de la figura S. S, el triángulo de potencias correspondien-
te es el mostrado en la figura S. lO.
Q ~ 149. 7 var
Fig. 5.10
5. 7 En el circt1ito mostrado en la figura S.ll se sabe que _!! = 415 sen (wt +30") V. Calcular: a) potencia activa, reactiva y aparente en la rama de impedancia ~ 2 = R 2 + }X2, b) potencia activa, reactiva y aparente en la impedancia Z, 3 = R3 -}X3, e) potencia activa disipada en el resistor R1 y d) potencia activa, reactiva y aparente total entregada por la fuente al circuito.
.... 1
¡,; Fig. 5.11
Solución: Calcúlese la corriente circulante a través de cada rama, así como la total. Para ello puede hacerse uso de la ecuación (4.1), o sea: 1 = -
2
Yt ;,
~2
(41S/·J2) ~ V 9 +16 u
293,4~ V = 27,17/-3.70 10,8/33,7° n
=27,11 -}1,7S A 161
donde:
= 33, 7°.
(/)2
l _ ~1
_
-
-
3
-
~
3
(415/~2) flQ: V._ 293,4fl2.:_ V 5 -j4 u
-
6,4/ ....,.38,6°
n
= 45 , 8¡68,6o =
= 16,7 +j42,6 A donde:
Al aplicar la ley de Kirchhoff de las corrientes, se tiene:
1 = 12 + 13 =27, 11-j1, 75 + 16,7 +j42,6 = 43,81 +j40,85 = =60/43° A. a) La potencia activa calculada mediante la ecuación (5.15) es: P2 =u¡l2 cos QJ2 =293,4 ·27,17 ·cos (33,7) =
=6 632 W. La potencia reactiva se calcula mediante la ecuación (5.16): Q 2 =U¡I2 sen QJ2 =293,4 ·27,17 sen (33,7) =4 423 var
S 2 =U¡I2 =293,4 ·27,17=7 971,7 V·A.
Q3 = U¡1 3 sen vos)
162
QJ3 =293,4
· 45,8 sen ( -38,6°) = -8 383,5 var (capaciti-
d) La potencia activa total entregada por la fuente es la suma total de las potencias activas demandadas por las cargas alimentadas, o sea: Pr=P 1 +P2 +P3 =25 200+6 632+10 502=42 334 W Qr = Q 1 + Q 2 + Q 3 =0 +4 423-8 383,5 = -3 960,5 var (capacitivos)
Sr=V(42 334) 2 +(3 960,5)l =42 519 v.A.
5. 8 U na linea de transmisión corta puede representarse mediante un resistor de O, 1 n y un inductor de O, 7 mH. La frecuencia del sistema es de 60 Hz. En el extremo de recibo de dicha linea es conectada una carga que demanda SO kW a 0,9 factor de potencia en atraso, aplicándose 440 V en el extremo de recibo, tal y como se muestra en la figura 5.12. ÓtlCular: a) resistencia y reactancia serie equivalentes del sistema, b) tensión en el extremo de envio, e) factor de potencia en el extremo de envio, d) potencia activa y reactiva en el extremo de envio y e) potencia activa y reactiva en la linea de alimentación. R
~
0.1 U
1
L=0,7mH
...
.
/ de
U extremo dr recibo
50 kW cos rp ~ 0,9
envio
440V
atraso
extremo
Fig. 5.12
Solución: a) Para calcular el valor de la resistencia serie equivalente del sistema es necesario determinar primeramente la corriente circulante a través del circuito. De acuerdo con el segundo miembro de ·la ecuación (5.15), se tiene que: p
50 000
1= - - - = u cos rp 440 . 0,9 =126,3 A.
Si se considera la tensión en el extremo de recibo (carga) igual a 440i.Q: V (se toma como referencia), y al saber,· por dato, que la dife163
rencia de fase de la corriente con respecto a la tensión es un ángulo (O= cos- 1 O, 9, en atraso, entonces:
1 = 126,3
j-25,8° A.
El valor de la resistencia de la carga puede calcularse mediante la ecuación (5.15): p
R =- =(50 000) /126.3 2 =3,13 U. [2
La resistencia equivalente del sistema, por constituir un circuito serie, tiene como valor: ~q
=J\arga +Runea =3,13 +0,1 =3,23 U.
La potencia reactiva tomada por la carga, de acuerdo con el segundo miembro de la ecuación (5 .16), puede calcularse del modo siguiente: Q=Ul sen (0=(440)(126,3) sen (cos- 1 0,9) =
=(440)(126,3)(0,43) =24 187 var. La reactancia propia de la carga, en correspondencia con el tercer miembro de la propia ecuación (5 .16), tiene el valor de:
(Xdcar~a= ~·
=24 187 var/123,6 2 A 2 =1,58U.
Al calcular el valor de la impedancia inductiva de la linea mediante la ecuación (2. 7), se tiene que: (Xdunea =27t/ L =6,28 ·60Hz· 0,7 ·10- 3 H =0,26 U.
Como se sabe que la impedancia reactiva de la carga es inductiva (factor de potencia en atraso), el valor de la impedancia reactiva serie equivalente del sistema es: X.q =(Xdcarga +(X¿}u,.a = 1,58 U +0,26 U= 1,84 U.
b) La tensión en el extremo de envio puede calcularse al aplicar la ley de Kirchhoff (ver figura 5.12): !len vio
164
= ~(nta + Y.·arga = (_' ~(nea + Y",·arga =
Yenvlo
=(126,3/ -25,8")
(0,1 +J},26) +440~ =
= 126,3/-25,8° . 0,28/69° +440~ = =35,4J43,r +44o/0° = 465,8 +124,2 = =466/2,97° V. e) El factor de potencia en el extremo de envio es igual al coseno del ángulo existente entre la tensión y la corriente en el envio, o sea: COS Q>=COS (2,97°-(-25,8")) =COS 28,77°=0,876. d) La potencia activa en el extremo de envio se calcula aplicando la ecuación (5.15): Penvto
= Uenvto
cos
• 1
fP~nvto
=466 V · 126,3 A · cos 28, 77o =
=51 590 W =51,6 kW. La potencia reactiva en el extremo de envio se calcula aplicando la ecuación (5.16): Qenvto
= Uenvto
·1
·sen
fPenvto
=28 327 W =28,33 kW.
e) La potencia activa en la linea (ecuación 5.15): Punea
=1 2 • RuMa =(126,3 A) 2 • 0,1
n = 1 595 w = 1,59
kW.
La potencia reactiva en la linea se calcula aplicando la ecuación (5.16): Qunea =1 2 • X¡1...,a
=(126,3 A) 2 • 0,26 U =4 147 var =4,15 kvar.
5. 9 Se dispone de una carga con impedancia inductiva de valor 2 +}3 n instalada en el extremo de una linea de transmisión cuya impedancia es de 0,2 +J>,S U (fig. 5.13a). La tensión aplicada a la carga tiene por ecuación & =28 sen 377 t V. a) Determinar la potencia activa entregada por la fuente de alimentacióh · en el extremo de envio. b) Hallar la potencia reactiva entregada por la fuente de alimentación en el extremo de envio. 165
e) Calcular la potencia aparente entregada por la fuente de alimentación en el extremo de envio. d) Calcular el factor de potencia en el extremo de envio. e) Si se conecta un capacitor en paralelo con la impedancia de la carga (fig. 5.13b), repita los cálculos de los incisos a), b) y e) para las nuevas condiciones. Considérese que la tensión & en los terminales de la carga permanece invariable. f) Trazar los diagramas fasoriales para-a~s circuitos. g) Sacar conclusiones de Jos res].lltados obtenidos. ! _..?.:.:.... ;::._ A~..
(
¡0.2
·-- ~
si
- //,/ é _,__~ t
\."-.....
e~~
d re:::-'¡f enviO , )}/
a)
')
_/
__
<
//
~~tremo de j3 1! : -~
- - - - - - - J
extremo
\
de envío
b)
Fig. 5.13
·Solución: a) La corriente circulante a través de la carga, tomando la tensión Uc como referencia, es:
· le=
zcu -C
(2s/v2>~ 2 +}3
=.....:.....;....:......;.;;;=.--
=
19,8~
3,6/56,3°
u
5,5L=_56SP A.
La corriente circulante a través de la carga es la misma corriente de lfnea, por tratarse de un circuito en serie. La suma de las potencias activas en 166
la carga y en la línea es la potencia activa (Pe) entregada por la fuente, es dedr: . .
P, =.?carga +Punea ·;:-m~arga +Runea) ·=66,5 W. ·
-
~ 5,5
'
2
A 2 (2 +0,2) U= _.. _______. --- ·_ ; ----
-
b) De~· similar, la potencia reactiva en el'extremo de envio (Qe) es igual a la suma algébrica de las potencias reactivas en la carga y en la linea, o sea: Qe =Qcarga +Qunea =J2 (Xcarga +-Xíinea) ::.:5,5 2 (3 +0,5) =
= 105,87 VAr. e) La potencia aparente en el extremo de envio (S~) es igual a:
S,=~P.+(f.
=V66,5 2 +105,87 1 =125 VA.
d) El factor de potencia en el extremode envio (cos
(¡?e)
se calcula del mo-
~~~:
/
Jk.. __ P,
tan
(¡?,
cos
q,, =o. 53.
.
=
=
105 87 • 66,5
= 1,59,
siendo
'
(¡?e=
57,8° y
.
~
.
s~~~-/ _,..
{,~~ '; --~{,:\¿'~ ~ · _'/-1(.rv/ /} '?) . . /11, 0)
e) Al conectar el capacttor en paralelo con la carga, la corrtente a....través de la línea no resulta evidentemente igual a la que circulaba anteriormente por ella. Como la tensión en los terminales de la carga, por dato, se mantiene constante e igual a uc = 28 sen 3 77 t V, entonces, de acuerdo con el circuito mostrado en la figura 5. 13 b, se tiene que:
11 =
--
19,8L2.:_ V '3,6/56,3° n
= 5,5/-56,3 o A= 3,05- }4,57 A.
Para calcular la corriente 1 2 a través del capacitor, es necesario determinar el valor de Xc. . · De la ecuación instantánea de la tensión y de la ecuación (2.2) se sabe que: w=2~/=377 rad/s, de donde:
Xc=l/wC={10 6)/(377 ·lOO) =26,52 La corriente
_= Qc -12 X . -C
n
[ver ecuación (4.18)].
á través
=
de la rama del capacitor es: . OP' 19,8~
.r
26,52/:-90~
[ ver ecuación (4.1) para R=O]. 167
La corriente total del circuito de las corrientes:
<.D
es, de acuerdo con la ley de Kirchhoff
1 = 11 + 12 = 3,05 -}4,57 +JO, 75 = 3,05 -}3,82 = =4,9/-51.4° A. La potencia activa (P,) entregada por la fuente es:
La potencia reactiva (Q,) entregada por la fuente es: Q,=0, ~ (4,9)
=87;8 vur
.
2
+3(5,5) 2 -26,52(0,75) 2 =
·
S,=~~+Q; =~65,3 2 +87,8 2 =109,4 V. A y tan
~
= Q, = 87 ·~ = 1,34. P, 65,3
Por tanto: rp, = 53,27° y cos rp, =0,6. f) En la figura 5.14 se muestran los diagramas fasoriales correspondientes
a los extremos de envío de la figura 5.13.
Q
'·
. H7.X var
Fig. 5.14
g) Se observa cómo el ángulo del factor de potencia disminuye al incluir un capacitor en paralelo con la impedancia de la carga de 2 +}3 U. Esta reducción del ángulo del factor de potencia se denomina mejoramiento del factor de potencia del circuito. Obsérvese cómo la pérdida de potencia activa en la línea de transmisión del circuito original era Punca =5,5 2 ·0,2 =6,05 W, mientras que la pérdida de potencia activa en la ' propia línea se reduce el introducir el capa168 .i
citor en paralelo con la carga a la cifra de Pu""" =4,9l · 0.2 =4,8 W, ' lo cual hace más eficiente el circuito. Obsérvese, además, que en el circuito original la fuente debió suministrar a este una potencia aparente S,. = 125 V · A, mientras que al añadir el 1.apacitor, la fuente solo debe 1 suministrar al circuito una potencia aparente S,.,= 109,4 V · A quedando por consiguiente. una reserva en dicha fuente, la que pudiera ser utilizada en alimentar cargas adicionales. De lo anterior se observan las ventajas económicas que implican el mejoramiento del factor de potencia de un circuito dado. 5. JO Un sistema que opera con 440 V y una frecuencia de 60 Hz, demanda 50 kW con un factor de potencia de O. 75 en retraso. Se desea mejorar la operación de dicho sistema a un factor de potencia de O. 9 en retraso mediante la utilización de un capacitor en paralelo con la carga. Determine el valor del capacitor (en microfarad) que se debe conectar para lograr este objetivo si se sabe que hi potencia activa tomada por la carga y la tensión de operación no experimentarán variación alguna. Solución:
El triángulo de potencia en las condiciones iniciales puede ser construido como indica la figura 5. 7a por tratarse de un circuito RL (factor de potencia en retraso): P=50 kW Q=50 ·tan (cos- 1 0,75) =50 ·tan 41.4°=44.1 kvar.
Los valores de que se dispone pueden llevarse al triángulo de potencia que representa las condiciones iniciales del sistema, como se muestra en la figura 5.15a. Para llevar el ángulo desde cos - 1 0,75 a cos 1 0.9, es necesario disminuir la magnitud de la potencia reactiva inductiva mediante la introducción de un capacitor. El triángulo de potencia para esta nueva condición quedará conformado de acuerdo con la figura 5. 7b, como se muestra en la figura 5.15b, es decir, el cateto opuesto del triángulo de potencia, luego de introducido el capacitor en paralelo con la carga, tendrá una magnitud igual a la diferencia QL -Qp mientras que el cateto adyacente no varia, puesto que P permanece inalterable (recordar que puede considerarse que el capacitor no consume potencia activa alguna). es d~r: tan (cos-
1
0,9) = QL -Qc . p
De ·aquí, la potencia reactiva capacitiva que debe entregar el capacitor para lograr esta condición es: Qc =QL -P · tan (cos-
1
0,9) =44,1-50 · tan 25,8°= 19,9 kvar. 169
Q1.;44.1 kvar ·
a)
Q l. ; 44.1 kvar .
b)
Fig. 5.15
De acuerdo con la ecuación (5 .16). la impedancia reactiva capacitiva Xe del capacitor a introducir es: Xe= Qe
12 Ahora bien, para calcular el valor de la corriente le a través del capacitor, sabiendo que a este se le aplica la propia tensión de la carga (por encontrarse ambos conectados en paralelo). se parte del hecho de. que se requiera la contribución del capacitor con 19,9 kvar. Mediante la ecuación (5.16) puede determinarse el valor de la corriente le a través del capacitor, sabiendo que en dicha rama rp =90° (por ser de capacitancia pura). Por tanto: Qc=U ·le
170
o sea: . __ Qc le
__
u
1 )
(19,9 · 10 4 5,2A. ----= 440
Luego,
Xc =Jk_ .
(/e) l
=
(19,9 ·101) (45,2) 2
=9,74 U.
La capacidad correspondiente es:
e -___1_0_6- = 106 =27"_,3 2rcfXc 377 · 9, 74
/iF .
PROBLEMAS PROPUESTOS 5. JI Calcular los valores de potencia activa, reactiva y aparente, así como el factor de potencia de un circuito cuya tensión es de 100120o V y cuya corriente es de 20LQ:. A. Respuestas: S=2 000 V·A; P=l 879 W; Q=684 var; cos r,o=0,94. 5. 12 Determinar el triángulo de potencia dé un circuito en serie RL. donde R =3 U, XL =6 U, siendo la tensión aplicada al circuito de 50j-90o V.
Respuestas: P=166,5 W;
Q=333
var;
S=372,3 V ·A; r,o=63,4o
(fig. 5.16).
1 333 var
Q ~
Fig. 5.16
5.1 J En el circuito de 1a figura 5.17 se sabe que el valor eficaz de la corriente circulante en la rama del resistor de 5 n es de 10 A. Calcular: a) potencia activa, b) potencia reactiva, e) potencia aparente y d) factor de potencia.
17 1
-:i2
u
.... 1
.....
t, ~
10/\
Fig. 5.17 .........
-·~
Respuestas: a) P = 8:7.5.4 W; b) Q = 125 var; e) S= 884 V ·A; d) cos (/)=0,95.
* 5.14 La potencia activa consumida en un circuito serie RL es de 280 W con un factor de potencia de O, 9 en retraso y una frecuencia de 60 Hz cuando la tensión aplicada tiene la expresión instantánea !:f..= 50 sen (o..t + 25 ") V. Cal-. cular los valores de impedancia: a) resistiva, b) inductiva, e) total y d) 1 inductancia del circuito. ._ Respuestas: a) R = 4,46 U; b) X¡_= 9,22 U; e) Z = 10.2/64° U; d) L =0,024 H. -
5. 15 Se tiene un circuito serie RL con una impedancia de 3 + j4 n a la que
se aplica una tensión Y= 120LQ:. V con una frecuencia de 60Hz. Determinar la expresión de la i)Otencia instantánea en dicho circuito. Respuesta: 2.=1 733-1 733 cos 754 t-2 300 sen 754 t.
5.16 Una fuente cuya tensión tiene la expresión !:f..= 100 sen 314 t V se aplica a una carga con una impedancia compuesta por R = 200 U y C = 17 pF. Determinar: a) potencia instantánea como función del tiempo, b) potencia promedio, e) potencia reactiva y d) potencia aparente.
Respuestas: a) p_ = 13,3 -13,3 cos 628 t + 12,46 sen 628 t; b) P = 13,3 W; .e) Q = 12,46 var (capacitivos); d) ~ = 18,22/43, 13o V . A. 5. 17 En el circuito de la figura· 5.18, u= 141 sen o..t V. Calcular: a) Las potencias activa, reactiva y aparente entregadas por la fuente a la rama de ~ 1 = 2 -j3 U; b) las potencias activa, reactiva y aparente entregadas por la fuente la rama de ~ 2 =4 + j 6; e) las potencias activa, reactiva y aparente entregadas por la fuente a la impedancia ~ = 10 +jO U; d) las potencias activa, reactiva y aparente entregadas por la fuente a todo el circuito; e) el factor de potencia del circuito. Respuestas: a) P=124,5 W; Q=-186,76 var, ~=2l4,45J-56,3°V·A; b) P=62,09 W; Q=93,14 vür; ~=111,94/56,3o V·A; e) P=540,22 W; Q =0 var, S=540,22 V· A;
a
172
1
1
1012
Fig. 5.18
d) PT=726,81 W; Qr= -93,62 var; ~r=732,8 j-7,34° V ·A; e) cos f/1=0,99 . 5.18 Una linea· de transmisión posee una impedancia de 0,2 + ,;0, 1 n. En el extremo de recibo de esla, se conecta una carga que demanda 10 kW y 5 kvar (inductivos), con una tensión en sus terminales de 100 V. Determinar: a) tensión en el extremo de envio, b) factor de potencia en el extremo de envío. Respuesta: a) Y.= 124,6 /J.~ V; b) cos ~=0,894. 5.19 Una ·carga inductiva de valor 3 + }4 U se conecta en el extremo de recibo · de una linea de transmisión, la cual posee una importancia ~~ =0,1 +;0,2 n. a) Si la tensión en el r:xtremo de recibo, o sea, en la carga se supone invariable y con un valor instantáneo .Yc = 20 sen 314 t V, calcular el factor de potencia en el extremo de envio (fuente) y la disipación de potencia activa en la linea de transmisión. b) Si en paralelo con la carga, en el extremo de recibo, se conecta un capacitor de 200 #F, determinar el factor de potencia en el extremo de envío y la disipación de potencia activa en la linea de transmisión. e) Analice los resultados obtenidos. Respuestas: a) cos rp, 1 = 0;594, Punea =0,8 W; b) cos q{ 2 =0,77,Punea=0,47W; e) puede observarse la reducción apreciable de la disipación de potencia activa en la linea de transmisión (de 0,8 a 0,47 W) al conectar el ca~ pacitor, así como el aumento del factor de potencia, es decir, una dismi-· nución apreciable en el ángulo de la impedancia del circuito, lo cual de- . muestra que se ha producido un incremento apreciable en la eficiencia de dicho circuito, con las consiguientes ventajas económicas. 5. 20 Una carga dada torria 10 kW a un factor de potencia de O, 7 en atraso cuando se le aplica una tensión de 220 V, 60Hz. i.Qué capacitancia 4ebe poseer el capacitor a conectar en paralelo con dicha carga para lograr un factor de potencia de la combinación carga-capacitor de O, 94? Respuesta: C = 361,9 ¡if.
173
Capitulo 6
CIRCUITOS TRIFÁSICOS BALANCEADOS
INTRODUCCIÓN El análisis realizado1 en los capítulos 4 y S se limitó a circuitos de una sola fase, o sea, monofásicos. La generación, transmisión y utilización de altos niveles de energía se relaCionan, casi invariablemente, con sistemas polifásicos, de los cuales constituyen una inmensa mayoría los trifásicos. Los sistemas trifásicos balanceados están constituidos por tres fases, a, b y e, con idénticas características, en cada una de las cuales ocurren fenómenos que se repiten en forma similar en las dos restantes, pero con diferencias de fase de 120° en tiempo, corno se muestra en el diagrama de corrientes eri función del tiempo y el diagrama fasorial correspondiente mostrados en la figura 6.1a y b, respectivamente. ie
'
/
. ..
' ,_/ /~·',_,.·/
/X.. _/ a)
174
/
&)f
'·-·
/
b)
1.
Fig. 6.1
Los sistemas trifásicos pueden tener sus fases interconectadas fundamentalmente en dos formas : estrella y delta, como se ilustra en la f¡gura 6.2a ~ b, respectivamente. Es importante destacar que los métodos desarrollados o las conclusiones a que arribe no serán aplicables a sistemas desbalanceados, o sea, a sistemas que no posean sus tres fases con idénticas características.
h
a)
a
b)
Fig. 6.2
175
CIRCUITOS CONECTADOS EN ESTRELLA Los circuitos conectados en estrella (Y) poseen un punto común (punto n en la figura 6.3), al que se denomina neutro. b
Fig. 6.3
A la tensión medida entre los extremos libres de dos fases (Uab• Ubc o U,a) se denomina tensión de linea a linea o simplemente tensión de linea. Por otro lado, a la tensión medida de una línea al punto neutro n se denomina tensión de linea a neutro, lo que corresponde a la tensión aplicada a una de las fases, también denominado tensión de fase. Del diagrama fasorial que puede ser trazado para el caso particular de una conexión en estrella pue_Qe comprobarse que cualquier tensión de linea posee una magnitud igual ~3 veces el valor de la tensión de fase, correspondiente, y posee una diferencia de fase de 30° con respecto a este, o sea: (6.1)
Por otro lado, la corriente de linea es la misma corriente de fase, pues línea y fase se encuentran en serie (fig. 6.3), es decir: (6.2)
En la figura 6.4a y b pueden observarse los diagramas fasoriales de tensiones y de corrientes correspondientes a una conexión estrella.
CIRCUITOS CONECTADOS EN DELTA Los circuitos conectados en delta (ó) (fig. 6. 5) poseen a diferencia de la configuración en estrella, la tensión de línea aplicada a cada fase, mientras que la corriente de linea sufre una bifurcación al pasar de la línea a dos de las fase:t 176
b)
a)
Fig. 6.4
a
Fig. 6.5
De acuerdo con la figura 6. S y con los diagramas fasoriales de tensiones y corrientes mostrados en la figura 6.6a y b, se puede probar que las tensiones de fase (~) y de linea ([!¡) coin,ciden, mientras que las corrientes de linea (/1) tienen un valor igual a ..J 3 veces el valor de la corriente de cada fase (/1) y poseen una diferencia de fase de 30° con respecto a la corriente de fasé correspondiente, o sea:
tl1 = tlr 1~/ =..J3 1¡ ¡30° .
(6.3) (6.4)
L-
Por ser las tres fases similares en su estructura y comportamiento, puede comprenderse que la potencia activa, reactiva y aparente total (P1) del cir177
cuito deben ser la correspondiente a cada fase multiplicada por tres, o sea:
P, = 3 · P1 = 3 · U¡ · 11 · cos rp = =(11) 2 • R1.
(6 .5)
Q, = 3 Q1 = 3 U1 11 sen rp = (!¡) 2 • X¡
(6.6) (6 . 7)
Además:
rp=tan~ 1 ~ =tan- 1 _&_ 3 P1
P1
=Q¡
(6.8)
En la práctica, los subíndices ! y f servirán para sintetizar las palabras linea y fase, respectivamente, es decir, Qr representa potencia reactiva por fase, U¡ representa la tensión de linea; etcétera.
¡¡)
u,,,
b)
Fig. 6.6
CONVERSIÓN DELTA A ESTRELLA Al rememorar el método de simplificación de redes, estuaiado en el capítulo 1, sobre conversión delta a estrella y estrella a delta, puede aplicarse aquella expresión a problemas de circuitos trifásicos. Al aplicar las ecuaciones (1. 9), (1.10) y (1.11) a un circuito con tres impedancias idénticas, se cumple que:
1 Zv=3 178
.zl!..
(6.9)
CIRCUITOS EQUIVALENTES MONOFÁSICOS DE SISTEMAS TRIFÁSICOS Debido a que un sistema trifásico balanceado está constituido por tres fases id6nticas, es perfectamente aceptable realizar el análisis de una sola de sus fases (ya se encuentre en configuración delta o estrella) y considerar finalmente las dos restantes con la mencionada diferencia de fase de 120° entre ellas. a)
Circuito equivalente para una fase de una conexión en estrella
En un circuito equivalente de una fase de una conexión en estrella deben representarse los parámetros de una sola de las fases de dicha conf'J&uración en estrella, tal y como se indica en la figura 6. 7a. b)
Circuito equivalente para una fase de una conexión en delta
En un circuito equivalente para una de las fases de una conexión en delta deben representarse los parámetros de una sola de las fases de dicha configuración en delta, tal y como se muestra en la fisura 6. 7b.
U (U) U (U)- 111w e
towr
.¡r
a)
T
b)
Fig. 6.7
Los circuitos trifásicos balanceados, ya sean en estrella o en delta, pueden ser analizados sobre la base de sus respectivos circuitos equivalentes por fase, realizándose finalmente las adecuaciones necesarias a las dos fases restantes d~l circuito, . a fin de considerarlo como un todo. 179
Tanto para los circuitos en estrella como en delta, la potencia instantánea por fase puede ser calculada en la misma forma que en el caso de un circuito monofásico (ver capítulo 5). En la figura 6.8 se muestran las ondas que representan la potencia instantánea de las fases a, b y e con la diferencia de fase de 120° entre cada una de ellas. La .;urna punto a punto, en cada instante, de las tres curvas de potencia instantánea da origen a la línea BB' que representa la potencia trifásica instantánea. La línea AA' representa la potencia promedio por cada fase. La potencia instantánea total para un circuito trifásico balanceado es constante e igual a 3 veces la potencia promedio por fase.
\
,, 8
potencia trifásica instantánea - 3 promedio por fase
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8'
Pa
o
Fíg. 6.8
PROBLEMAS RESUELTOS 6.1 Calcular las intensidades de corriente por fase si una carga trifásica
balanceada demanda 40 kV. A totales con 460 V aplicados de línea ·a línea cuando se encuentra conectada: a) en estrella; b) en delta. Solución: · a) Por tratarse de una carga trifásica balanceada, puede realizarse el análisis del circuito equivalente por fase. Al valorar dicho circuito para una conexión estrella y considerar que una sola fase requerirá la tercera parte de la potencia total del circuito, podrá aplicarse-la ecuación (5.17) (compare la figura 6.9 con la 6.7a): 3 11 =l1 =..§¡_ = (40/3 H · 10 V
U¡
1
'··
180
460/~3 V -
·
A1·__ 13,33 · 10
3
V. A =50,2 A.
265,6 V .Y
\\
~
u,
·'
Fig. 6.9
b) De forma similar puede analizarse el circuito para el caso en que la carga trifásica balanceada se encuentre conectada en delta. (Compare la figura 6.10 con la 6. 7b): /, ==
..§L_ __ U,
= 13,33
(40/ 3) · 1<) 1 V ·A 460 V
,,
1 =-.1
f3
· 10 1 V ·A 460 V
....
40
S = -kVA 1 3
Fig. 6. 10
6. 2 Se dispone de tres cargas trifásicas idénticas conectadas en estrella, cada una de 2 +-}4 U. Si la tensión de línea a neutro es de 127 V, determinar: a) corriente de fase, b) corriente de línea, e) factor de potencia de una fase y d) factor de potencia del circuito trifásico analizado. Solución:
a) Como primer paso a dar en la solución del problema debe dibujarse el circuito equivalente de una fase de una conexión estrella (ver figura 6. 7a) y de acuerdo con este se tiene que la corriente de fase puede ser calculada si se toma la tensión de fase como referencia, del modo siguiente: .
_ rJ1 _ 127/ 0 ' V 1,----==--~~ 2 -+-j4H
=
127 LQ' V 4.47 ¡ 63 .43°
n
= 28.4/ -63.43 '
A. 181
b) Como se sabe, la corriente de fase y la corriente de linea en una conexión estrella [ver ecuación (6.2)] poseen los mismos valores, por constituir un circuito en serie, por lo que:
1, = 28,4
1-63,43 o A.
e) El factor de potencia de una fase puede determinarse a través del ángulo de la impedancia de una fase del circuito, o sea: COS tp=COS 63,43°=0,447. d) El factor de potencia del circuito trifásico coincide con el factor de potencia de cada una de las fases, de acuerdo con la ecuación (6.8), por lo que: COS tp=COS 63,43° =0,447.
6. 3 Se tiene un circuito conectado en delta con tres impedancias id~nticas en cada fase de valor 6 +j8 n. La tensión de linea a linea es de 440 V. Determinar: a) corriente de fase, b) corriente de linea y e) factor de potencia del circuito.
Solución: Primeramente, debe procederse a trazar el circuito equivalente de una fase de la delta, a fin de auxiliarnos en los cálculos a realizar (ver figura 6. 7 b). Sobre esta base puede determinarse: a) La corriente de cada fase, la cual se obtiene al considerar la tensión de linea a linea como fasor referencia, o sea:
l _
y, _
Á/-
'l_¡ -
440i.Q: V
6 +j8U
= 440lQ.: V 10/53,13° U
=44¡-53,130
A.
b) De acuerdo con la ecuación (6.4) puede calcularse la corriente de linea en el circuito, es decir:
L = v3I.t;3oo
=
v'3. 44/30°-53,13°
=
=76,21/-23,13° A. e) El factor de potencia puede ser determinado mediante el ángulo de la impedancia de cada fase, o sea: cos tp= cos 53,13°=0,6.
6. 4 Un sistema trifásico con una tensión de linea a linea de 220 V, alimenta una carga con conexión estrella e impedancias de 3 +j4 U. a) Calcular las intensidades de corrientes en las lineas y expresarlas con .sus ecuaciones instantáneas. b) Dibujar el diagrama fasorial de tensiones y corrientes. Considérese secuencia a-c-b. 182
\ ' ( \
Solución: a) El sistema trifásico a que se hace referencia ~~ muestra en la figura 6.1la. En la figura 6.llb se muestra, a partir de dicho sistema, el circuito equivalente de una fase. Compárelo con la figura 6. 7a. Sobre la base de tal comparación y al tomar arbitrariamente la tensión Ugn como referencia, se tiene: (220//3) L.5r_ _V_ 127 L.5r_ V = ...;...._...;._.;;..;;;;=. =--==--
3 +}4
5~U
=25,4/-53° A. Las expresiones instantáneas de las corrientes son las que siguen: j_A =
ian = 25,4~2
ic = Ln =25.4~2
sen (ox-53") =36 sen (ca-53") A
sen (wt-53° +240") =36 sen (ca+ 187") A.
b) El diagrama fasorial correspondiente se muestra en la figura 6.11c. A
8
........ ' ·111 -= 1( 11/ 1llh ; 1hn
•
.....
1
b
1
/
220 V
....
1 ; 1 (,
a)
"'
3!! 220
u -r f3 }4 u b)
e)
Fig. 6.11
183
6. 5 Un sistema trifásico que posee una secuencia a·b·c y tensiones de línea a línea de 140 V, alimenta una carga trifásica balanceada de 6-}2 n por fase conectada en delta (fig. 6.12). a) Calcular la ·magnitud y ángulo de la corriente en cada fase. b) Escribir las ecuaciones instantáneas de las corrientes calculadas en el inciso anterior. e) Trazar el diagrama fasorial con tensiones y corrientes.
Solución: a) La corriente por fase puede ser calculada fácilmente a partir del circuito equivalente de una fase, por tratarse de un circuito balanceado, de una conexión en delta. El circuito equivalente de una fase del circuito original en delta balanceada se muestra en la figura · 6.13. Por consiguiente:
u
-1¡ = .:::=¡_. z- f Al tornar arbitrariamente la tensión Q'.K corno referencia (pudo haber sido tornada otra cualquiera corno referencia), se tiene: ·
1 = 1 = -f
-DC
Q'ac
z-ac
= 140lQ..: V 6·- J'2 n
=
140lQ..: V 6,32/-18,4" n
=
=22/18,4" A. Por tanto:
lcb =22!18,4 + 120" =22/138,4"
A
lba =22 / 18,4 +240° = 22/258,4° A. El diagrama fasorial correspondiente se muestra en la figura 6.14. 6. 6 Se sabe que la magnitud de la corriente en cada fase de un circuito conectado en delta balanceada es de 10 A. Calcular la corriente ·en cada línea.
Solución: Tómese por ejemplo la corriente de fase nifica que¡.
lab = 10LQ..: A. 184
lab corno referencia, lo cual sig-
A
a
B
Fig. 6.12
t U/= U1= 440 V
Z¡=6-J2
n
Fig. 6.13
Fig. 6.14
Las dos corrientes de fase restantes, al suponer una secuencia a-b-e,· serán:
lea= 10/240° A. 185
De acuerdo con la f~gura 6.15 se tiene que en el nudo
a:
o sea:
La= Lb- .lea =10 +/J-(-5-}8,66) = 15 +}8,66 = =17,32/30° A.
_
~¡, = lbc-lab
= 10fl20o
-10L.Q:.
=-S +}8,66-10
=
= -15 +}8,66 = 17,32/lSOo A
lec= lca-Lc=10/240° -10/120°
= -5-}8,66-(-5 +}8,66) =
=-}17,32=17,32/270° A. A
!Aa
a
0----~~~---------------~~
e Fig. 6.15
Obsérvese que en u_pa conexión en delta las corrientes de linea tienen una magnitud igual a ~3 veces la magnitud de las corrientes de fase, y poseen una diferencia de fase de 30° con respecto a la corriente de fase correspondiente. 6. 7 Una carga conectada en estrella balanceada consiste de 3 impedancias, cada una de 20/30o n, y se alimenta desde una fuente conectada
186
también en estrella, cuyas fuerzas electromotrices de linea a neutro son:
&an =440i.Q: V, Ebn =440/120° V y &en =440/240° V. Calcular: a) expresión polar de la corriente en cada linea, b) expresión polar de las tensiones de linea a linea, e) potencia activa total y d) potencia reactiva total. Solución: a) Al conocer la tensión aplicada, asi como la impedancia de cada fase, es posible calcular la expresión polar de la corriente en cada línea, mediante el sencillo circuito equivalente de una fase para una conexión en es-trella (ver figura 6. 7a). Dicho circuito equivalente se muestra en la figura 6.16a, de donde: lan
= Jlan
~an
lb =
- "
= 440i.Q: V 20/30° U
Jlbn = 440/120• ~bn
22/-30• A V
=22/90o A
20/30° U
len= Yen = 440~ V Zen 20/30° n
22/210o A •
b) De acuerdo con el circuito de la figura 6.16b, puede plantearse que:
De acuerdo con la notació.n de doble subíndice Ynb =- !lbn• o sea:
=440 +JO -(-220 +}381) =440 +220-Jj81 = =660 -}381 = 762/-30e V
.
= -220 +}381-(-220-)j81) = =Ji62 == 762/90• V 187
tb = ~n + tlza =440!240o V -440LQ: V= = -220-}381-440 =762/210o V. e) Para calcular la potencia activa total se utilizará el circuito equivalente de una fase mostrado en la figura 6.16c. 1 = -an
~an = 440LQ:
~an
20/30°
V
n
= 22/ -30o A.
Se sabe que el ángulo de la impedancia de cada fase es el mismo ángulo entre tensión y corriente de fase. De acuerdo con la ecuación (5.15):
P1 =U¡ · 1¡· cos tp=440V ·22A ·cos 30°=8 383 W. De acuerdo con la ecuación (6.5): '
P, =3 ·U¡ ·1¡ · cos tp=3 P1 =3 · 8 383 =2 515 W =2,515 kW.
d) La potencia reactiva total del circuito, de acuerdo con lo establecido en las ecuaciones (5.16) y (6.6), e.s:
Q, = 3 Q1 = 3 Q1 = 3 U¡ 11 sen ¡p = 3 · 440 · 22 sen 30° = = 14 520 var = -14,52 kvar.
6. 8 Tres impedancias de valor Z1 = 2J40o n son conectadas en estreila. Si se les aplica tensiones de línea a línea balanceadas con un valor eficaz de 230 V, calcular: a) corriente de fase (valor modular), b) corrie11te de línea (valor modular), e) factor de potencia, d) potencia activa trifásica, e) potencia reactiva trifásica y f) potencia aparente trifásica.
Solución: Trácese el circuito equivalente de una fase de la estrella (ver figura 6. 7a). La tensión de línea a neutro en cualesquiera de las fases en valor modular es: 230 U1 = .J'J =132,8 V. a) El valor de la corriente en cualesquiera de las fases en forma modular puede calcularse, de acuerdo con el Circuito equivalente de una fase mo~ trado en la figura 6.17. mediante la expresión:
1¡=.!:!L = 132,8 =66,4 A.
Z1
188
2
1
\ . 1
1
A
1,- 1, ....
UAB
8
a
440 V
UBC
e
a)
r
1 11-+
e)
Fig. 6.16
230
Uf'
-/3
V
Fig. 6.17
b) Por tratarse de una conexión en estrella, según la ecuación (6.2), se tie· ne que: 11 =11 =66,4 A.
e) Para determinar el factor de potencia de una de las fases debe anali· zarse que la diferencia de fase entre cualquier tensión de fase y la corrien· te correspondiente es, por dato:
(/.1=40" 189
o sea;
,COS Q'=COS 40° =0, 766. d) La potencia activa trifásica según la ecuación (6.5) es:
P, =3 · ~ ·11 • cos Q'=3 · 132,8 V· 66,4 A ·O, 766 · 10- 3 =
=20,26 kW. e) La
~tencia
reactiva trifásica según la ecuación (6.6) es:
Q, = 3 · U¡ · 11 · sen f/J = 3 · 132,8 · 66,4 · 0,64 · 10- 3 = 16,93 kvar. f) La potencia aparente trifásica según la ecuación (6. 7) es:
S, =3 · ~ ·1¡=3 ·132,8 · 66,4 · 10- 3 =26,45 kV· A.
n se encuentran conectadas en delta. Si se les aplica tensiones de linea a linea balanceadas con un valor eficaz de 230 V, determinar: a) corriente de fase, b) corriente de línea, , e) factor de potencia, d) potencia activa trifásica, e) potencia reactiva trifásica y f) potencia aparente trifásica. 6. 9 Tres impedancias de valor Z1 = 2J40o
Solución: Trácese el circuito equivalente de una fase de la delta original (ver figu~ ra 6. 7b). Dicho circuito equivalente se muestra en la figura 6.18. Al tomar arbitrariamente una de las tres tensiones como referencia, se tiene que: =
--
230LQ: 2 ¡40°
= 11 S j-40o A.
Z1c: 2 LJJ)__ U
Fig. 6.18
190
b) De acuerdo. con la ecuación (6.4): 1 1 =~3 ·11 !0.+30• =~3 ·115/-40+30 =199L-to• A.
e) Se sabe que el factor de potencia de un circuito trifásico balanceado es numéricamente igual al coseno del ángulo de la impedancia de una de las fases, o sea: Como ?:.1 = 2~0· U, entonces cos
f1J =
cos 40" =O, 77.
d) La potencia activa trifásica, según la ecuación (6.5), es: P = 3 · U¡ · /1 cos f/J = 3 · 230 V · 115 A · cos 40• = 60 786 W.
e) La potencia reactiva trifásica, según la ecuación (6.6), es:
Q =3 ·U¡ ·l¡ ·sen f/J=3 · 230 V · 115 A · sen 40•=51 005 var. f) La potencia aparente trifásica, según la ecuación (6. 7), es:
S= 3 S¡= 3 · U¡ ·11 = 3 · 230 V · 115 A= 79 350 V ·A.
6. JO Se dispone de tres impedancias de valor S + j4 U cada una conectadas en delta. Las tensiones de línea pueden ser consideradas con los valores y secuencia siguientes: ·
Jlah=2 360LQ.:. V; Jlbe=2 360/240° V y ~ca=2 360/120~ V. Determinar: a) las corrientes de fase l ah• Le• La como cantidades complejas y b) cada corriente de linea y su ángulo .de fase asociado.
Solución: Trácese el circuito equivalente de una de las fases de la delta (ver figura 6. 7b) y trabájese, para mayor facilidad, con la tensión Uah• cuya expresión indica que ha sido tomado como referencia. El circuito equivalente para una fase de la delta se muestra en la figura 6.19a. De aquí: a)
lab =
2 360LQ: 4i
~
=
'4 +J
=288-j230
2360lQ:V 6,4/38,6• u
=
368,7/-38,6•
=
A. 191
Por la notación de doble subíndice se sabe que la secuencia de las tensiones es a-b-e. Las corrientes de fase deben, necesariamente, poseer la misma secuencia. por tanto:
lbc=368,7/-38,6°+240° =368,7/201,4° A La=368,7/-38,6o+120o =368,7/81,4° A. b) Las corrientes de línea. de acuerdo con la ecuación (6.4). tendrán las expresiones siguientes:
La = ~3
labl -30° = ~3- · 368,7 / -38,6•-30° =
=638,6/ -68,6° A. Este resultado puede comprobarse fácilmente al aplicar la Ley de Kirchhoff de las corrientes en el nudo a de la figura 6.19 b:
La= lab- La =288-}230-(55,13-}364,5)
=232,87-}594,5 =
= 638,6/ -68,6o A.
1 r 1
a) A .. ...1Au
b)
Fig. 6.19
a
De forma similar. puede procederse para lBb e lec: lBb = lbc -lab = -343,3 +}134,5 -288 +}230 = =631,3 +}35,5 =638,6/171,4° A
lC<' = L.a -lhc = 55,13 + 364,5 + 343,3 -}134,5 = =398.4 +}499 =638,6/51,4° A.
n por fase conectadas en estrella se encuentran unidas en paralelo con tres impedancias de 3 -16 n cada una, conectadas en delta. Para una tensión de 440 V de linea a linea, calcular: a) corriente de línea que toma la combinación en paralelo que compone la carga y b) factor de potencia de la combinación.
6. 11 Tres impedancias de 2 + j3
Solución: Como en los casos anteriores, en que se dispone de una sola impedancia de carga, es necesario auxiliarse del circuito equivalente de una fase. Para ello. debe llevarse la delta del circuito a su estrella equivalente, a fin de poder considerar, posteriormente, dos estrellas en paralelo. (Pudo también haberse transforf\lado la estrella en su delta equivalente y, posteriormente, haber considerado la carga compuesta por dos grupos de impedancias conectadas en delta y en paralelo entre si.) De acuerdo con la ecuación (6. 9). se obtiene: 1 zy =-. z6 3 o sea: 1 zv - = -3
(3 -16> .
= L-12 n.
Obtenida la estrella equivalente de la delta en cuestión, es posible trazar el circuito equivalente de la combinación, esta vez compuesto por dos estrellas en paralelo. De acuerdo con la figura 6. 7a, es fácilmente comprensible que el circuito equivalente de una fase de la combinación es el que se muestra en la figura 6.20. De acuerdo con esto, la impedancia equivalente de ambas en paralelo podrá determinarse de dicha figura:
z
= (2 +}3)(1-}2)
_,,,,
= (2 +}3)(1-·}2)
2 +)3 +1-}2
=
=
3 +11
3.6~ . 2.24/-63.4°
=2,55J-25,P U.
3.16/18,4° 193
i
440
~ ~ 254V
VJ
j3
u
Fig. 6.20
a) Al tomar la tensión de una de las fases como referencia, de una manera arbitraria, se tiene que:
. u
254~
}_¡=.2/L =--=;.._-=9,6~ A.
2,55/-25,1°
Z eq(
b) El factor de potencia de la impedancia de la carga en paralelo con el capacitor es: COS
tp=COS (25,1 ") =0,9.
6.12 Una carga conectada en estrella balanceada y una carga conectada
en delta balanceada se unen en paralelo en el extremo de recibo de una linea de transmisión, cuya impedancia es de 1,5 +}1.0 U por conductor. Las impedancias de la estrella y de la delta conectadas en paralelo son de 3 +}4 y 4-}2 U, respectivamente. Si la tensión de línea en el extremo de envio (fuente) es de 240 V, ¿qué tensión habrá en el extremo de recibo (carga)?
Solución: Como primer paso, debe ser dibujado el circuito equivalente de una de las fases de la carga.
.i4 H
U, . = 240 ¡,- = 138 V v3
Fig. 6.21
194
1.',.
u
En la figura 6.21 se muestra una de las tres impedancias de;: fase de la estrella (3 +j4 U) y una de las tres impedancias de fase de la estrella equi4 2 valente de la delta original de valor ~ = ~j = 1.33 -j0,67 U. Ambas impedancias están conectadas en paralelo a su vez y en serie con la impedancia de la línea de valor 1,5 + j1,0 U. La corriente total 1 del circuitó puede ser calculada al dividir la tensión por fase en el extremo de env{o, el que será tornado corno referencia por conveniencia, por .la impedancia total equivalente de una fase, o sea:
1=-------1_38~,6~/;0°~------ = (3 +j4)(1,33 -j0,67) + 1,5 +jl,O ......_........._......__......_...._.;.... 3 + j4 + 1,33 -j0,67 138,6/0o
V
=-----------------~~----------S~
. 1.49/-26, 7o
+ 1,5 +j1,o
5,46/37,6°
=
n
=47,5f-l4,6o A. Puede aplicarse la ley de Kirchhoff de las tensiones para calcular el valor de la tensión U, en el extremo de recibo (carga):
donde U, significa tensión en el extremo de envio (fuente) , o sea: Y,=U,-L·~1 =138,6lQ: -(47,5/-14,6") (1,5+j1,0) = ~57,8-j27,8
=64,1/-25,7° V.
También el valor de fl pudo calcularse mediante la ecuación (4.1) aplicada entre los puntos a y b, o sea:
fl =L- Z.qah =47,5/-14,6°
V· (1,33-j0,266)U =64,1/-25,7° V .
. PROBLEMAS PROPUESTOS 6.13 Una carga trifásica se encuentra conectada en estrella balanceada y torna por línea 40/-30° A cuando se le aplica una tensión de Hnea a Hnea de 240 V. Determinar la impedancia de la carga por fase. Respuesta: ~ = 3 + jl, 73 U. 195
6.14 Una carga trifásica se encuentra conectada en ~elta balanceada y consume 30 kV · A. La corriente posee una diferencia de fase con respecto a la tensión un ángulo cuyo coseno inverso es 0,8. Si la tensión de linea a linea es 440 V, determinar: a) el valor de la corriente de fase, b) el valor de la corriente de linea. · Respuestas: a) /1 =22,72 A ; b) / 1 =39,35 A. 6.1 S Se dispone de tres impedancias idénticas de valor S -jS U conectadas en estrella balanceada. Si la tensión de Hnea a linea del sistema es de 230 V, dete~minar: a) corriente de fase, b) corriente de línea, e) factor de potencia de una fase y d) factor de potencia del circuito trifásico ana· lizado. Respuestas: a) 1f=18,78J4S• A; b) 1 1 =18.78/45• A: e) cos q>=Ó.707: d) cos q>=0,707. 6.16 Tres in1pedancias idénticas con valores de 2 +)1 U por fase son conectadas en delta con una tensión de linea en el sistema de 225 V. Calcu,lar: a) corriente de fase, b) corriente de linea y e) factor de potencia del circuito trifásico en cuestión. Respuestas: a) 1.r=L006J-26,S6• A: b) 1 1 =1.74/3.44• A: cos tp=0,894. 6.17 Tres impedancias interconectadas en estrella balanceada poseen valores de 2 +j3 U por fase. Si se aplican tensiones trifásicas balanceadas de 127 V de línea a neutro, escribir: a) ecuaciones instantáneas de las tensiones de fase, b) ecuaciones instantáneas de las tensiones de linea y e) ecuaciones instantáneas de las corrientes de fase. Considérese secuencia a-c-b y ·la tensión de fase U11,. co:no referencia. Respt~estas: a) !!u .. =180 sen wt; _!!¡, 11 = 180 sen (wt + 120•): !!..,. = 180 sen (wt +240°) V; b) ,!!11¡, =311 sen (wt-30°) V: _!!¡,.. =311 sen (wt+90°) V: !!w=311 sen ((1Jt+210°)V: e) l.11 .. =49,9 sen ((l)t-56,3•) A; 1.,,.=49,9 sen (wt+63.7) A; !! .... =49,9 sen (M+183.7°) A. 6.18 En un circuito trifásico balanceado conectado en delta. se tienen tres impedancias que demandan 8 kW por fase a 0.8 factor de potencia en retraso. La tensión de linea a linea es de 480 V. Determinar las ecuaciones instantáneas de: a) las corrientes de fase, b) las corrientes de linea, e) las tensiones de linea a linea. Tómese como referencia la corriente L.n y supóngase secuencia a-b-e. · Respuestas: l.un = 29,46 sen wt A : l_,, = 29.46 sen (M+ 240°) A:
Lu =29,46 sen (M+ 120•) iHn =51 sen (M +210") A
A : L 1" =51 sen (wr-30°) A: :
ic, =51
sen (M +90 °) A;
!! ..b =678,8 sen (rol +36,8°) V; M.br =678,8 sen (rol +276,8°) V; !!ea =678,8 sen (rol+ 156,8°) V. 196
6.19 Una fuente trifásica conectada en estrella alimenta una carga trifá· sica balanceada compuesta por tres impedancias de fase, cada una de 6 +j3 U también en estrella. Si las expresiones de las fuerzas electromo. trices por , fase de la fuente de alimentación son:
&a" =380LQ: V; Enn = 380/120° V y &e"= 380/240° V, escribir las ecuaciones de sus corrientes de linea en forma polar. Respuestas: L 48 =56.6J-26.5• A: lac=56,6/Jl:.,.S• A y lc1 =56.6/.213.5° A. 6. 20 Una carga conectada en estrella balanceada con impedancias de 3 -j1 U por fase, se alimenta desde una fuente, también en estrella, cuyas tensiones de Hnea a neutro poseen las siguientes expresiones en función del tiempo: l!ab
=325
sen
CIJl
V; !!br =325 sen (CIJl + 240") V y
!!ca= 325 sen (CIJl + 120") V. a) Calcular las corrientes de fase y expresarlas en forma polar. b) Determinar la potencia activa, reactiva y aparente tomadas por el re. ferido circuito. Respuestas: lab = 72,8/18,4° A; lhr = 72,8/258,4° A; La=72,8L138,4o A; b) P=47,7 kW; Q=l5,9 kvar (capacitivos) y S=50,28 kV· A. 6. 21 Una carga trifásica conectada en estrella balanceada posee, aplicados a sus terminales, tensiones de Hnea a neutro cuyos valores instantá· neos vienen dados por las ecuaciones siguientes: l!an =300 sen (377 t +30") V; !!~>r =300 sen (377 t + 150") V y
Mm = 300 sen (3 77 t + 270°) V.
Los valores de las corrientes de linea que toma la carga son medidas y se obtienen las expresiones instantáneas siguientes:
lan =30 sen 377
La ,;,.30
A ;
ihr =30
sen (377 t + 120°) A y
sen (377 t +240°) A.
Determinar: a) impedancia del circuito, b) factor de potencia y e) potencia activa tomada por la carga trifásica. Respuestas: a) ~ah= ~br =~a= Z = 10130• U; b) cos =0,866; P=l1,7 kW. 6. 22 Una carga trifásica conectada en estrella posee impedancias idénticas
por fase de valor 4 +j2 U. En paralelo con estas se conecta otra
car~a
tri· 197
fásica en delta con impedancias por fase de valor 1-jl U. Si se aplica una tensión-de linea a linea a la combinación de 380 V, determinar: a) corriente de linea tomada por la combinación y b) factor de potencia de la carga combinada. Respuestas: a) 11 =487,55/39,49° ; b) cos qJ=O, 77.
6. 23 Se tienen tres impedancias de 3 +}4 U conectadas en estrella, en paralelo con tres impedancias de 9 +}12 U conectadas en delta. Estas impedancias se alimentan a través de líneas que poseen impedancias de 1 +)0,8 U cada una. Si la tensión de linea a neutro del sistema es de 127 V en el extremo de recibo (carga), calcular: a) potencia activa trifásica tomada por el circuito de la fuente, b) potencia reáctiva trifásica tomada por el circuito de la fuente y e) factor de potencia en el extremo de la fuente de alimentación. Respuestas: a) P=19,39 kW; b) Q=21.7 kvar (inductivos) e) cos qJ=0,67.
6. 24 Tres calentadores de 2 +jO U por fase diseñan para operar en estrella con una tensión de línea a linea de 220 V. <··qué sucederá si dichos calentadores se utilizan interconectados en delta con la misma tensión de línea a linea? Respuesta: Los tres calentadores conectados en delta disiparán 3 veces más energía calorífica que los mismos calentadores conectados en estrella. Si fueron diseñados para operar en estrella no tendrán posibilidad de operar en delta con la misma tensión de linea a Hnea, sin sufrir daños por incrementos de temperatura por encima de los valores normales. 6. 25 Se desea variar el factor de potencia de una carga trifásica balanceada de 100 kW desde 0,8 a O, 9 factor de potencia en retraso. La tensión de linea a linea es de 2 300 V. 60 Hz. Calcular la capacidad de los capacitares que deben ser conectados en banco trifásico, necesarios para lograr ese objetivo si la carga en cuestión se encuentra conectada en estrella. Respuesta: Tres capacitores de 40 tJ.F conectados en estrella; en paralelo con la carga también en estrella. · 6. 26 i. Cuál ser{a la capacidad necesaria del banco de capacitores si una
carga trifásica se encontrase conectada en delta al mismo sistema anterior, demandara 100 kW totales a 0,8 factor de potencia en retraso y se quisiera mejorar el factor de potencia a O, 9 en retraso. Respuesta: Tres capacitores de 13,32 !J. F conectados en delta, en paralelo con la carga.
198
Capítulo 7
TRANSFORMADORES
INTRODUCCIÓN El transformador es una máquina eléctrica estática que consume y entrega energía eléctrica, generalmente con diferentes niveles de tensión. Consta comúnmente de dos devanados situados en el mismo núcleo magnético a los que se denomina primario y secundario. A través del devanado primario. se alimenta energía eléctrica al transformador desde una fuente de corriente alterna. y a través del devanado secundario el transformador entrega energía eléctrica a la carga conectada a sus terminales. Se dice que el transformador es de bajada sí el primario corresponde con el devanado de más alto nivel de tensión y el secundario con el devanado de más bajo nivel de tensión; sin embargo, sí el transformador es de subida. sucede exactamente lo contrario. Tómese como convenio utilizar los subíndices 1 y 2 para designar los parámetros correspondientes al primario y al secundario. respectivamente. Las expresiones que sirven para determinar las magnitudes de las fuerzas electromotrices en ambos devanados. son las siguientes: (7 1) o
y
(7.2) 199
donde: f- frecuencia de la tensión aplicada ai primario en Hz. E 1 y E 2 - fuerzas electromotrices inducidas en los devanados primario y se-
cundario. respectivamente, en volt. N 1 y N 2 - número de vueltas de los devanados primario y secundario. respectivamente. , -valor máximo del flujo magnético en el núcleo del transformador. en weber.
Los fenómenos que tienen lugar en el circuito magnético del transformador excitado con una corriente alterna. se rigen mediante las relaciones siguientes: (7 .3)
'" =B, ·A donde:
B, - máxima densidad del flujo magnético en el núcleo, en weber por me-
tro cuadrado. A - sección transversal del núcleo magnético del transformador. en metro
cuadrado.
o
De acuerdo con las ecuaciones (7. 3) y (7 .1) o (7. 2) :
B = "'
E
4.44 /NA
(7 .4)
La fuerza magnetomotriz (Frn) · producida en el circuito magnético viene dada por: F,=NJ;H·l
(7. 5)
donde: N - número de vueltas del devanado excitador. 1 - corriente circulante a través del devanado excitador en ampere. H - fuerza magnetizante. ampere vueltas por metro,
1 - longitud media del núcleo magnético. en metro. Mediante una selección adecuada de los números de vueltas de ambos de• vanados podrá lograrse cualquier razón de tensiones o relación de transformación (designada por la letra a), donde:
a =Ji..
u2
=.!!.J.... .
(7. 6)
N2
Para valorar en una forma más efectiva y sencilla el comportamiento de los transformadores, se recurre al circuito equivalente. el cual es posible
200
En el circuito equivalente de la figura 7.4 puede aplicarse la ley de Kirchhoff de las tensiones: tfj'= l2Zeq + flarga =(36,67L..Q.:) (0,295 +}0,805) +220 L..Q.:
=
=230,81 +}29,519 =232,69 j51,1P V y U1 = Uj' ·a =232,69 · 10 =2 326,9 V.
De los resultados obtenidos puede observarse que cuando la carga posee un factor de potencia unitario, la tensión que es necesario aplicar en el primario es de menor magnitud que el aplicado en el caso del problema 7.l. en que la carga posee un factor de potencia en retraso.- Lo anterior se plantea sobre la base tie mantener una tensión de ÍÍO V constante en los bornes de la carga. -d) El porcentaje de regulación de tensión está dado por: ot. 1 'ó ru regu ac1 n
= U.c-Upc- · 100n/. = (232,6-220)V . · toon/. =5.730Lrn. 70
Upc
70
220 V
Si se comparan los resultados obtenidos con los del problema 7.l. puede comprobarse que existe un mejor porcentaje de regulación de tensión con la carga de factor de potencia unitario, lo cual es ventajoso, pues significa que hay menores caídas de tensión en la impedancia de dispersión del transformador. 7. 3 El transformador del problema 7.1 es utilizado para alimentar un horno eléctrico cuyos datos son los siguientes: potencia activa 6 kW y tensión 230 V. Determinar: a) la tensión que aparece en los terminales del horno · cuando se aplican 2 300 V en el primario del transformador; b) la potencia que disipa el calentador en las condiciones del inciso anterior.
Solución: a) Puesto que la carga está construida por un horno eléctrico, esta es puramente resistiva y posee un factor de potencia unitario. · De los datos nominales puede determinarse el valor de la resistencia del horno mediante la ecuación: 230 ) 2 V 2 =8,817 U. 6000W
R . =.!:!:...= (
'
P
En la figura 7, 5 se muestra el circuito equivalente. El valor ' dé la corriente circulante a través de la carga, / 2, tomando U;' como referencia, está dado por: U'.' LQ: 1 -(R;;+Rc) +J(x;~)
12
-
=
230LQ: (0.295 +8.817) +}0,805
= 211
=
230LQ: 12,157/41.46°
.
R"
Li ; ~
= 18.919/-41.46°
A.
..
~ 0.2lJ5U
.\" ·• 0.805 U
230\ '
+ Fig. 7.5
El valor de la tensión aplicada a la carga puede ser calculada mediante la expresión siguiente: U2 =l 2 ·R,.=18,919 ·8,817=166,79 V.
b) La potencia disipada en el calentador puede ser determinada por medio de la relación:
P=.!:!!_ R"
2 2 = (1 66 •79 ) V =3 155,14 W. 8,817 U
7. 4 Un transformador de 100 kV · A y 13 200/2 400 es sometido a las pruebas de cortocircuito y circuito abierto. Los resultados obtenidos se re'~ lacionan a continuación: ~
r/'~ Prueba de cortocircuito Ucc =380 V lec =7,57 A Pcc = 1 530 W
rv
. Prueba de circuito abierto Uca =2 400 V ( .a =2 A Pea = 1 000 W
La prueba de cortocircuito fue realizada por el lado de alta tensión, mientras que la de circuito abierto, por el lado de baja tensión. Confeccionar el circuito equiválente aproximado del transformador referido al lado de alta tensión teniendo en cuenta la impedancia de magnetización, y considerando dicho devanado como primario. Sobre esta base se tiene que a =J:í.. = 13 200
u2
2 4oo
Solución:
Para confeccionar el circuito equivalente aproximado del transformador, es necesario calcular los valores de las impedancias de dispersión y mag-
212
j
netización mediante los resultados obtenidos de las pruebas de cortocircuito y circuito abierto, utilizando las ecuaciones de la (7.16) a la (7.18): Cálculo de la impedancia de dispersión:
z
= Uce
eq
/ce
= 380 V =SO 2 7,57 A '
n
R = Pcc = 1 530 W = 26 7 eq (/ce} 2 (7,57) 2 A2 '
n
2 --(-26-.-7)-2 =42,5'1Xeq = ~(Zeq) 2 -(Req) 2 = Vr-(5-0-,2-)-
Jh.
'f
Los valores de Req y Xeq calculados se encuentran ya referidos al devanado de alta tensión, por donde fue realizada dicha prueba. Para calcular los valores de la impedancia de magnetización pueden ser aplicadas las ecuaciones de la (7.13) a la (7.15), o sea: 1
't
Cálculo de la impedancia de magnetización:
t:: u~.
= (2 400)2 =5 760 u 1 000 Qca = ~(Uca · lea) 2 -(Pca) 2 = ~(2 400 · 2) 2-(1 000) 2 = 4 798,68 var
R
__:!-. "pca
x,~: = u~.
·-..... .
Qca
2 400 2 = < > 4 798,68
= 1 200,33 n.
Los valores de R" y X,ag se encuentran referidos al lado de baja tensión por haberse realizado esta prueba por dicho devanado. Con el fin de confeccionar el circuito equivalente aproximado referido al lado de alta tensión, es necesario referir todos los parámetros expresados en función del devanado de baja tensión, al de alta tensión, lo cual se realiza mediante las ecuaciones (7.12a, by e). Debe observarse que en este caso el devanado de alta tensión corresponde al primario. Luego. 13 200 R' =R ·a 2 =5 760 ( J=174 240 n "·· " · 2400 13 200 2 X'mag =Xmag · a 2= 1 200,33 ( ) =36 310 ~ 2 400
n.
Como los restantes valores de impedancias se encuentran referidos al lado de alta tensión, no se alteran al situarlos en el circuito equivalente que se desea, el cual se muestra en la figura 7. 6. 7. 5 Si al transformador del problema 7.4 se le aplican 13 100 V en los terminales del lado de alta tensión, este toma 78 kW a 0,8 factor de potencia en atraso al conectársele cierta carga en sus terminales de baja tensión. 213
..
X = 42.51!2
X'
mt~J,:
= 3631012
1 \
Fig. 7.6
Calcular: a) corriente circulante a través de la carga; b) potencia activa entregada por el transformador a la carga; e) tensión en los terminales de la carga. Considere la corriente de excitación.
Solución: a) En la figura 7. 7 se muestra el circuito equivalente del transformador de la figura 7.6 con carga conectada.
..
R = 26,7 a
n
..
X = 42,51
~¿
J.¡· f mn¡.:
R ;,= 174 240 U
Fig. 7.7
Al tener en cuenta que al conectar carga en los terminales de baja tensión del transformador, este toma de la fuente 78 kW a 0,8 factor de potencia en atraso cuando se aplican 13 100 V en los terminales del devanado de alta tensión, y de acuerdo con la ecuación (5 .15) y la figura 7. 7, se tiene que: 78 000 = 7 44 A. 11 = _P...A.-_ _ U1 cos fP 13 100 . o,8 ' La tensión U1 puede tomarse como referencia, razón por la cual, la diferencia de fase de la corriente / 1 con respecto a la tensión, de acuerdo con el factor de potencia, es fP = cos- 1 0,8, o sea:
11 = 7,44 ;-36,9° A. 214
Por otro lado, la corriente de excitación (/exc) puede calcularse de la forma siguiente:
1
- exc
Y1 Yt = Yt (B_~ +J)i ;,ax) = = -Z-' - = --:-:(R~'~)'""':(X~'--:-)(R~) UX:nax> =nax n max R~
=
+JX:nax
(13 100 +;0)(174 240 +}36 310) (174 240)036 310)
= ...;.2:.:.,3:.:3~1.:...6_.1:..:0~9 /:;;:;;;1~1'¡¡;: 7; ; ; 7°=-6.3267 . 10 9/90°
=
0,368/-78,23° A.
Al aplicar la ley de Kirchhoff de las corrientes en el punto a de la figura 7. 7, se obtiene:
= lj = l1- lexc
l:arga
l:ar~a=l}=7,44j-36,9° -0,368/-78,23° =
= 7,17j-34,97o
A.
Ha sido calculado el valor de la corriente de carga referido al devanado de alta tensión. El valor verdadero de dicha corriente puede determinarse al aplicar la ecuación (7 .11). El devanado primario coincide, en este caso: con el de alta tensión por tratarse de un transformador de bajada, razón u 13 200 por la cual a = - 1- = . Luego: U2 2 4oo
12 =a ·1'= (13 200 )·7,17/ - 34,970 = 2 2 400
=39,43j-34,97o A. b) La potencia activa entregada por el transformador a la carga puede ser calculada de acuerdo con la ecuación (7. 20). Ver el circuito equivalente de la figura 7.7:
La potencia de entrada para estas condiciones de carga, por dato, es:
P,.", = 78 000 W. Las pérdidas de cobre totales son: Pcu
= (Pcu) 1 + (Pcu) 2 = 1? · Req = (7 .17) 2 A 2 • 26.7
U =
= 1 372,62 W. Las pérdidas de núcleo se calculan de la forma siguiente: P = n
u¡ R'n
= (13 100) 2 v2 174 240 U
= 985
W.
215
Luego. la potencia entregada por el transformador a la carga es: P .a!
=
Pwr¡¡a
= 78 000-1 372,62 -985 = 75 642,38 W =
=75,64 kW. e) La tensión en los terminales de la carga puede determinarse al aplicar la ley de Kirchhoff de las tensiones al circuito equivalente de la figura 7. 7. Luego:
~!-
1;
(Req
+ JXeq)
- ~;arKa =O •
Por lo que: ~;.arga=13100~ V-(7,17/-34,97) A·(26,7+}42,51)U=
= 13
100LQ:. V -360L22. 9o V= 12 769,14/-0,63° V
El valor obtenido es la tensión en la carga, pero referido al lado de alta tensión; por consiguiente, el valor verdadero de la tensión en los terminales de la carga. de acuerdo con la ecuación (7. 7), es ~·arRa=
U:.arga ' -
1
a
=(12
769,14/-0,63 ) (2400) =2 321,7 V. , 13 200
~7:stgmentes: 6 :Un tran_sformador de 5 kV ·A, 2 200/110 V y 60 Hz posee los datos =19.41 U x,q =25.08 n.
Rrq
Los valores de la impedancia de dispersión se encuentran referidos a los lados de alta tensión. Al conectársele una carga al devanado de baja tensión y aplicarle 2 300 V en los terminales de alta tensión, el transfo.r mador toma una potencia de entrada de ~ O, 9 factor de potencia en atra.so. ~i se desprecia la corriente· de excitac'iOñ: · , , · .a) Dibujar el circuito equivalente aproximado referido al lado de alta tensión. b) Calcular el valor de la corriente circulante a través de la carga. e) Calcular caída de tensión a través de la impedancia de dispersión del tramformador. d) Determinar la tensión aplicada en los terminales de la carga. e) Calcular la potencia activa de salida. f) Determinar la eficiencia del transformador. 216
Solución:
Como en casos anteriores, también en este caso el devanado primario (subíndice 1) corresponde al devanado de alta tensión y el devanado secundario (subíndice 2), al devánado de baja tensión. a) El circuito equivalente referido al lado de alta tensión es el que se muestra en la figura 7.8. En este circuito no se representa la impedancia de magnetización, puesto que en el enunciado se plantea despreciar la corriente de excitación (/m =0), razón por la cual / 1 =lí. 19.41
n
2s.os u
c q1 - 0.'1 (atraso)
-.-
Fig. 7.8
b) La corriente circulante a través del devanado de alta tensión puede ol>tenerse directamente del circuito equivalente de la figura 7. 8 al aplicar la ecuación: p U1 cos
/1 =---({J1
5 000
=---2 300 · 0,9
=2.41 A.
' 1
Además, al tomar como referencia el fasor ~[¡. y tener en cuenta los datos de que se dispone, el ángulo que posee la corriente calculada con respecto a la referencia es:
Por lo que la expresión polar de la corriente es la siguiente:
1 1 = lí = 2,41 j-25,84° A. El signo negativo resulta del factor de potencia en atraso. De acuerdo con el valor calculado y el circuito equivalente, puede obtenerse el valor de la corriente circulante a través de la carga al aplicar la ecuación (7 .11) : lcarsa=l2=/í ·a=2.41
·\~~O
=48,2 A. 217
e) La caída de tensión a través de la impedancia de dispersión del transformador puede ser calculada al aplicar la ley de Ohm al circuito equivalente de la figura 7.8:
.Y'zd=l 1 • Z.i=(2,41!-25,84"
> (19,41 +j25,08) =
v.
=(2,41!-25,84") (31,71/52,26") =76,42L26,42"
Esta caída de tensión se encuentra referida al lado de alta tensión. d) La tensión aplicada en los terminales de la carga (y carga) puede ser determinada al utilizar la ley de Kirchhoff de las tensiones al circuito de la figura 7.8, o sea:
~arga = Y't-11 ~ = Y't- Y'Zd =2 300LQ:. -76,42il6,42" = =2 231,82 L -0,87" v. Al referir este valor, al lado de baja tensión, en el que realmente se encuentra la carga, se tiene: lfcarga=U;arga' -
1 - =2 231,82
a
,__!_!Q_ =111,59 V. 2 200
e) La potencia activa de salida (en la carga) de acuerdo con la ecuación (7 .20), es:
Al despreciarse la corriente de excitación se tiene que:
Por tanto,
Pcarga
=5 000-(2,41) 2 (19,41) =4 887,3 W.
f) La eficiencia del transformador puede ahora ser fácilmente calculada: E 'l' = Psa/
(/
P,nr
= _4_8_87...;...,3_ 5 000
=O,977 , o
sea, 97 , 701.ro.
7. 7 Un transformador de 75 kV ·A, 13 600/4 160 V, y 60Hz toma 0,9 kW y 3, 75 kvar con la tensión nominal aplicada al lado de baja tensión . en . la ~
218
prueba de circuito abierto. Las constantes de sus devanados son las siguientes:
Al transformador se le conecta una carga en el lado de baja tensión que toma 58 kW a 0,8 factor de potencia en adelanto con 4 160 V aplicados e·n sus terminales. Determinar: a) potencia activa total tomada por el transformador con carga y b) potencia reactiva total tomada por el transformador con carga.
Solución: Como primPr paso en la solución del problema debe construirse el circuito equivalente aproximado del transformador refe:-ido a uno de los dos devanados. Dibújese referido al lado de baja tensión, sobre el cual se posee mayor cantidad de datos, para lo cual es necesario realizar los siguientes cálculos utilizando las ecuaciones (7.9 a, by e) y de la (7.13) a la (7.18):
R1,.
u ) =5,0 =R 1 ( ...:::l.. U1
X¡'
= X1
J Ut
(~
(
4 100 13 600
)2 =5,0 .
(0,3) 2=0,468 U
= 15 (0,3) 2 = 1,35 U.
Además:
R ;.~=R í' +R 2 =0,468 +0.4 =0,868 U X
;.~=X(' +X2 =
1.35
+ 1.45 = 2.8 U.
De acuerdo con los datos obtenidos de la prueba de circuito abierto. se tiene que:
R =U~" n
Xmag
Pea
=
U~om = (4 160)2 =19 228 n pea
= U~" =U~""' Qca
Qca
900 = (4 160) 2 =4 614,8 3 750
n.
Los valores de la impedancia de magnetización calculados se encuentran referidos al lado por donde fue realizada la prueba, o sea, por el lado de baja tensión. El circuito equivalente aproximado referido al lado de baja tensión que resulta se muestra en la figura 7. 9a. a) El cálculo de la potencia activa total tomada por el transformador con carga puede realizarse más cómodamente mediante el propio circuito equi-
219
valente de la figura 7. 9a, adicionándole la carga, como se ilustra en la fi. gura 7.9b. R ;, ~ 0.868 U
X ;, ~ 2.8 U
a)
R " 1 = 0.868 U
------1 1
1
UCtlf)!.Q ~4000 V
•
12
Z t 'O I)(tl
1
1
1
1
1
1 1 1 _ _ _ _ _ _1
h)
Fig. 7.9
Por ser el factor de potencia de la carga en adelanto, se sabe que esta es resistivo-capacitiva (RC) . Mediante el circuito mostrado en la figura 7. 9 b puede ser calculado el valor de la potencia reactiva capacitiva a través del triángulo de impedancia (ver figura 5.6), luego: Qcarga=Pcarga
·tan rp =58 000 ·0,8 =46 400 var (capacitivos).
Ahora bien, para calcular los valores de la potencia activa y reactiva, cuando el transformador tiene carga, es necesario calcular la corriente a través de la carga (/e), lo que se logra mediante la ecuación (5.15), o sea: /
2
-
Pcarga
(~) (cos
'P)carga
=
58 000 W = 18 125 A. 4 000 · 0,8 V '
Al expresar dicha corriente en forma polar se tiene:
1 2 = 18,125 ;cos- 1 0,8 = 18,125 ¡36, 9o A. 220
Al tomar la tensión en la carga (Uc) como referencia, la corriente / 2 tendrá un ángulo de 36,9° positivo con respecto a este, puesto que se trata de una carga RC (factor de potencia en adelanto). Para determinar la diferencia de potencial entre los extremos de la impedancia de magnetización (ver figura 7. 9b) puede aplicarse la ley de Kirchhoff de las tensiones, o sea:
u;·= 1 2 ~;~+ Yc =(18.• 125
¡36,9° > (0,868 +j2,8) +4
ooo LQ:
tz;· = 3 982,4 ;o, 7r v. La potencia activa tomada por la impedancia de magnetización, de acuerdo con la ecuación (5.15), arroja la magnitud de las pérdidas de núcleo. Por tanto: (U;') 2
P" = - - = R"
(3 982,4) 2
· 19 228
=824,81 W.
Obsérvese que si la tensión aplicada al devanado de baja tensión hubiese sido la nominal (4 160 V) en lugar de los3 982,4 V utilizados, las pérdidas de núcleo (P") obtenidas hubieran coincidido necesariamente con los 900 W registrados durante la prueba de circuito abierto. La potencia reactiva en la propia impedancia, en concordancia con la ecuación (5.16) es: (Uí') 2 3 982 •4) 2 = 3 43 7 var (inductivos). Qmag=--- = ( 4 614,8 Xmag
La potencia activa total tomada por el transformador con carga (ver ecuación 7. 20) es igual a la suma de las potencias activas en todo el circuito, es decir:
Pwtal
= P" + J,~ · Req + Pcar~a = 824,81 + (18,125) 2 0,868 +58 000 = =59 109,96
w.
Por tanto: Ptotal =59, 11 kW. 221
b) La potencia reactiva total tomada por el transformador con carga, de modo similar, es calculable en la forma siguiente:
donde: Qdisp -
potencia reactiva inductiva en Xeq• (var inductivos)
Qmas - potencia reactiva inductiva e~ Xmas• (var inductivos)
\
Por tanto:
=3 437 +(18,125) 3 • 2,8-46 400 = = -42 043 var. O sea: Q101a1 = -42,043 kvar.
El signo negativo indica que los kV · A tomados por el transformador con carga son de carácter capacitivo. como consecuencia de que predomina la influencia de la carga capacitiva conectada. 7. 8 El transformador del problema 7. 7 entrega 50 kW a 4 160 V, a una carga que posee un factor de potencia de 0,85 en atraso. Calcular: a) tensión de entrada U1, b) corriente de primario, e) potencia activa de entrada, d) factor de potencia de entrada. e) eficiencia, f) tensión en los ter- · minales de baja tensión sin carga, para la tensión de entrada calculada en el inciso a y g) porcentaje de regulación.
Solución: Al circuito equivalente del transformador referido al lado de baja tensión (fig. 7. 9a) del problema anterior, puede añadfrsele la carga a que se hace referencia en este problema, a fin de proceder a realizar los cálculos correspondientes. En la figura 7.10 se muestra el circuito equivalente. De igual forma que se procedió en el ejemplo anterior, puede plantearse: . =
222
50 OOO = 14,14 A. 4 160 . 0,85
j J
.... /"1
i Xmllf<-4614,8U l/c= 4160V
u·1
zcmxa Pc=50kW
0.85 factor
de potencia en atraso
Fig. 7.10
Al tomar la tensión en la carga como referencia (Ye = 4 160lQ:. V), se tiene: 1 2 = 14,14 ;cos-t 0,85 = 14,14/-31,8° A. Obsérvese que en este caso el ángulo de la corriente es negativa con respecto a la tensión tomada como referencia, puesto que el factor de potencia de la carga es en atraso. Además: a)
t!í'= lz. ~;~+
t!'c =(14,14/-31,8c) (0,868 +j2,8) +4 160LQ:. =
t!í'=4 191,36/0,37
v.
b) El valor de la corriente de excitación(/,",) es, al aplicar la ley de Ohm al circuito de la figura 7.1 O, el siguiente: U" U" 4 191,36/0,37° 1 -1 = -~-~~~-- = - - - - - - - - - - - = -•xc --~-m-a¡¡( Rn ·jX mag ) 19 228LQ.: . 4 614,8~ f1n +P{mag
= 4 191,36~ 4 487,37 ¡76,5°
19 228 +j4614,8
=0,934/ -76, 13o A.
La corriente de entrada al transformador, de acuerdo con el circuito equi. valente de la figura 7.10, es la siguiente:
li'= lexc + 1 2 =0,934/-76,13° +14,4/-31,8° = =17,05-jl1,341 =20,48/-33,63° A. e) La potencia activa de entrada al tr:..1sformador, de acuerdo con la tcuación (7. 20) ; es:
223
p ent
4 191 36 2 = ( • ) +(14 14) 2 • o 868 +50 000 = 19 228 ' ' =913,64+173,55 +50 000 =51 087,2 W =51,087 kW.
d) El factor de potencia de entrada, al aplicar la ecuación (5.15) es: ~ Penr 51 087,2 __ , (COS f/J¡ enr = 0 595 =4 191,36 . 20,48
Ui' ·li'
e) La
~ficiencia
E/=
Psal
P,nr
•
puede ser determinada mediante la ecuación (7 .19) : 100 = 50 OOO · 100 =97,87
f) La tensión en los terminales del devanado de baja tensión sin carga, pa-
ra la tensión de entrada calculada en el inciso a, será la misma u;· , es decir. 4 191.36 j0,37o V, como se observa en el circuito equivalente si se le elimina la carga conectada (en cuya condición / 2 = 0), puesto que no hay caída alguna de tensión en la impedancia de dispersión. g) De acuerdo con la ecuación (7. 21), puede ser calculado el porcentaje ·de regulación, partiendo de la tensión que aparece en los terminales de baja tensión del transformador sin carga (inciso f) y con carga (dato), es decir:
()/. 1 'ó (4 191.36-4 160) tnregu ac1 n = ..;.._-------'- . 100 =0, 75% 4 160 7. 9 El transformador del problema 7. 7 alimenta una carga de 65 kW, a 0,87 factor de potencia en retraso. El lado de alta tensión se alimenta desde un alternador, el cual se une al transformador mediante una linea de transmisión con una impedancia de 0,3 + ]Ü, 9 U. Determinar la tensión necesaria en los terminales del alternador para que a la carga se aplique una tensión de 4 160 V. Despréciese la corriente de excitación.
Solución:
Como es posible despreciar la corriente de excitación de acuerdo con el enunciado, el circuito equivalente del transformador de la figura 7. 9a se reduce a un circuito en serie, el cual consta solamente de la impedancia de dispersión. Como la impedancia de la linea de transmisión se encuentra unida al lado de alta tensión del transformador, podría ser conveniente, aunque no imprescindible, referir el circuito equivalente de este al lado de alta tensión, procediéndose del modo siguiente:
R;q =R 1 +
(J!..¡_ "'( R~ =5 + ( U J 2
224
13 600 2 ) • 0,4 =9.277 U 4 160
1
u x;9 =X1 + ( -=.1-., ~
R2 =X1 +X]=15+1,45
(
13 600 41ro
y
=29,93n.
Los valores de R;9 y x;9 se obtuvieron al aplicar las ecuaciones (7.12). El circuito· equivalente, incluyendo la linea de transmisión y la carga, se muestra en la figura 7.11. · . En la figura 7.10 se observa que 111~ =lí =l;arga al !tacerse lexc =0. Como se conoce, la tensión aplicada en los extre~os de la carga, por el lado de baja tensión (UC/Jrga =4 160 V por dato), debe referirse al lado de alta tensión a fin de adecuarlo·al circuito equivalente de la figura 7.11. Al aplicar la ecua-ción (7 .1 O) se tiene: · ll;arga = l!,arga
·a =4 160 ·
13 600 = 13 600 V. 4 160
r---------
t
1 1
1 1
ua
1 1 1 1
IU
I""W' 1
carga 65kW
cos"' : 0,87 atraso
1
1
Linea . L ~-------'
Fig. 7.11
Conocido esto, puede aplicarse la ecuación (5.15) para calcular hi corriente circulante lí, única por constituir el circuto de la figura 7.11 urt circuito e~ serie, es decir: ' 1carga
=1linea = U carga , ' Pcarga (COS rp) carga
-- -
65 000 -=5,29A. 13 600.0,87
Al tomar 1!:arga como referencia, lunea tendrá la expresión polar siguiente: lhnea
=5,29/-29,5°
A.
Es posible ahora determinar la magnitud y ángulo de la tensión en los terminales del alternador (Ua) mediante la aplicación de la ley de Kirchhoff de las tensiones, o sea: \ ~
= lÍtnea
(~linea
+
~eq transformador)
+ JJ;arga 225
como Z ;q del transformador calculada previamente es:
z;q =9.277 +129.93 u. luego la impedancia de la linea más el ~Ir= ~linea . + ~q
transformador
trans~ormador.
Z 1,, es la que sigue:
=0.3 +}0,9 +9,277 +j29,93
= 9.577 +}30,83 ·= 32.28/72. 74o
=
n.
La tensión necesaria en los terminales del alternador •. Ua. es la siguiente:
Ila = lunea ' Z 11 + JJ;arga = = [5,29/-29,5° ][32,28/72. 74° ] + 13 600LQ: =
Ila = 170,76/43,24° + 13 600LQ: =
= 13
724,gj0,488o V.
7. 10 Un transformador de 100 kV ·A, 13 200/2 400 V y 60Hz es sometido a las pruebas de cortocircuito y circuito abierto, obteniéndose los resultados siguientes: ~398 V
Uca =2 400 V
Ucc
lea =4 A
/ce= 7,5 A
Pea= 1 070 W
Pcc = 1 520 W
Calcular la eficiencia de transformador cuando este entrega 50 kV · A a 2 200 V y factor de potencia de 0,8 en retraso, si se sabe que las pruebas de circuito abierto y cortocircuito fueron realizadas por los lados de baja y alta tensiones, respectivamente. Solución:
Como primer paso en la solución del problema. debe dibujarse el circuito equivalente correspondiente al transformador con carga. Cálculo de la impedancia de dispersión: Al aplicar las ecuaciones (7 .16), (7.17) y (7.18) se tiene:
Req = pcc
n,
Zeq=_!;1_ /,.('
= 1 520 = 27,02 U
<7. s) 2
=~ 7,5
=53,07 U
X,.q =~Z~q-R;; = V53,07 2 -27.02 2 =45,67 226
u.
Cálculo de la impedancia de magnetización: Al aplicar las ecuaciones (7.13), (7.14) y (7.15) se tiene: R = n
u;. Pca
= 2 4002 V2 =S 383 2 U 1 070 W '
~. = 2 4002 V2 Xmag=-9,540 var Qca
=603,77 U.
El circuito equivalente puede ser dibujado referido a alta o baja tensión. Se trabajará con el circuito equivalente referido al lado de baja tensión, razón por la cual los valores de la impedancia de dispersión deben ser referidos a dicho lado, teniendo en cuenta que esta prueba fue realizada poi el lado de alta tensión. Al aplicar las ecuaciones (7. 9b) y (7. 9c) se obti~ ne: 2 400 2 1 R;; =R,q . (-- )=27,02 ( ) =0,89 n a2 13 200
x;;
=Xeq ( - 1 )=45,67 (2400)2 = 1,51 a2
· 13 200
n.
En la figura 7.12 se muestra el circuito equivalente del transformador con carga referido al lado de baja tensión.
u·1
.
U1 = 2200 V
C~rjla
S-50 kV A
cos I{J = 0.8 en atmso
Fig. 7.12
Cálculo de la eficiencia: Para calcular la eficiencia del transformador es necesario conocer la IX>' tencia de entrada Pe"' a este, puesto que la potencia de salida puede ser calculada de los datos, o sea: P.a, = Ssal · cos <0 =SO 000 · 0,8 = 40 000 W. 227
De la ecuación (7. 20), se tiene que la potencia de salida puede ser expresada en función de las pérdidas de cobre (Pc.,) y las de núcleo (P,.) del tr11nsforrnador, o sea:
Psal =Peru-Pc.,-P,.. Tanto las pérdidas de cobre corno las de núcleo pueden ser determinadas al aplicar la ecuación (5.15), es decir:
P,= (Uí' . R,
2
•
El valor de / 1 puede ser calculado mediante la aplicación de la ecuación (5.17): . /1 = Ssal = Scarga = 50 000 V . A = 22,73 A. Ucarga Ucarga. 2 200 V Al tornar corno referencia la tensión en la carga, de acuerdo con los datos, se puede obtener la expresión polar de la corriente 1 1:
1 2 =22,73/ -
36,8° A.
El valor de ~¡· puede ser calculado al aplicar la ley de Kirchhoff de las · tensiones al circuito equivalente de la figura 7.12, o sea: ~j' =
11 · ~; +
~e = [22, 73j - 36,8° ] [0,89 + j1,81] +
+2 200LQ: = 2 240,1/0.53° V. Al sustituir en la ecuación (7.20) los valores calculados previamente, y teniendo en cuenta la ecuación (5.15) se tiene: 2
,
(Ui')
2
Pent = Psal + Pcu + P,. = Psal + /2 R;q + ....;..._;...;~ .
p e nt
2 240 1 = 40 000 +(22 73) 1 . o 89 + ( • )2 = ' ' 5 383,2 = 40 000
+459,4~
Peru = 41 391,59 W. 228
R,.
+932,-17
=
Sobre esta base. puede ser calculada la eficiencia del transformador al utilizar la ecuación (7 .19). o sea:
E/= P,a1 ·100 = 40 OOO Perrl
·100 =96,6%.
41 391,59
7.11 Determinar la eficiencia del transformador del problema 7.1 O si se supone que la carga conectada en los terminales de baja tensión toma -50 kV ·A con factor de potencia unitario al conocer que la tensión aplicada a esta es de 2 200 V.
Soluci6n: Como se observa, el valor de la potencia aparente de la carga no ha variado para el mísmo transformador, razón por la cual el valor de la corriente 12 se mantiene constante (igual a 22,73 A) aunque su diferencia . de fase con respecto a la tensión en los terminales de la carga ha variado, siendo en este caso de oo, por tanto:
1 2 = 22, 73/0o El valor de
A.
y;· puede ser calculado como:
~i'=22,73/0o (0,89 +j1,81) +2 200/0o =2 220,61 V.
Al sustituir los valores obtenidos en la ecuación (7.20) y tener en cuenta la ecuación' (5.15): Pem=Psa~+Pcu+Pn=50000+(22,13)
=51 375,82
2
·0,89+
(2 220,61) 2 , = 5383 2
w.
Si se hace uso de la ecuación (7 .19), se tiene:
E/=
psal
Perr1
•
100 =
50 OOO · 100 = 97,32%. 51 375,82
Cuando se comparan los resultados se comprueba que, a medida que se mejora el factor de potencia, la eficiencia del transformador aumenta. 7.12 Demostrar, partiendo de las pruebas realizadas al transformador dadas en el problema 7.10, que pueden despreciarse las pérdidas de núcleo al realizarse la prueba de cortocircuito.
229
Solución: Durante la realización de la prueba de cortocircuito se aplica en el devanado primario una tensión igual a Ucc =398 V. Al referir este valor al secundario:
u::= -
398 =73,57 -13 200
v.
2 400
Las pérdidas de núcleo, de acuerdo con la ecuación (7 .13) , están dadas por:
u::
=
p
2
= (73,57) = 1 w. 5 383,2
R,.
n
Como puede observarse, este valor de pérdidas de núcleo _en la prueba de cortocircuito rerresenta un O, 1% de las pérdidas de núcleo nominales, las cuales poseen un valor de 1 070 W. 7.13 Se dispone de una fuente de alimentación de 4 160 V y se quiere suministrar energía eléctrica a dos cargas conectadas en paralelo, ambas a 220 V con los datos siguientes: 1) Calentador trifásico de 15 kW y factor de potencia unitario; 2) motor asincrónico trifásico de 20 kW, 0,8 factor de potencia en retraso y 60Hz.
Determinar la capacidad de: a) transformadores monofásicos componentes de un banco trifásico apropiados para alimentar dichas cargas y b) transformador trifásico necesario. Ambas alternativas deberán ser analizadas para conexiones estrella-delta y delta-delta, despreciando las caídas de tensión internas en cada transformador.
Solución: La potencia aparente demandada por la carga total podrá ser calculada por la suma fasorial de las potencias activas y reactivas totales. Por tanto: PIOla/
=Pe1 +Pe2
=15 +20 =35
Qtotal = Qc 1 + Qc2 = P, 1 · tan
=15
+Pe·2 · tan r.p,•
=
·tan (cos- 1 1) +20 ·tan 36,8° =0 + 14,96 :d:
=14,96 230
(V1
kW
kvar,
donde:
P, • P,,· Q. y Q. representan las potencias activa y reactiva demandadas 1 1 2 por el calentador y el motor. respectivamente; P,"'" 1 y Q,,M 1 representan las potencias activa y reactiva. respectivamente. tomadas por la combinación de ambas cargas. Para calcular la potencia aparente de la combinación. cada la ecuación (5.17):
s,,,,,¡
=~?~:-;o;"'"'
S,owl•
puede ser apli-
= V35 2 + 14.96 2 = 38.1 kv . A.
a) Los transformadores monofásicos componentes del banco trifásico deberán poseer cada uno una capacidad igual a S10 ~a/3 = 38.1/3 = = 12.7 kV · A como minimo. Debe consultarse la tabla 7.1 a fin de seleccionar la capacidad convencional con que se fabrican estos transformadores para un valor inmediatamente superior al calculado. En este caso, los transformadores monofásicos deberán poseer cada uno una capacidad de 15 kV A. Conexión estrella-delta: Los niveles de tensión de la fuente de suministro de que se dispone (4 160 V) y de la carga (220 V) obliga a tomar transformadores monofásicos de 2 400/240 V, toda vez que la conexión estrella corresponde generalmente al lado de alta tensión. Para una tensión de fase en el lado de alta tensión de 2 400 V, se tendrá una tensión de línea a línea de 4 160 V, que es la tensión de suministro. Por otra parte, al corresponder la conexión delta al lado de baja tensión se tendrá que la tensión de fase y la tensión de linea corresponderán al nivei de la tensión de la carga. Por consiguiente, deberán ser seleccionados tres transformadores monofásicos de 15 kV ·A, 2 400/240 V. Conexión delta-delta: Para los niveles de tensión de la fuente de suministro (4 160 V) y de la carga (220 V). pueden ser tomados transformadores monofásicos de 4 160/240 V. toda vez que la conexión delta en los lados de alta y baja tensiones obliga a tomar a cada transformador con una tensión nominal igual a la tensión de línea a línea. Por consiguiente, deberán ser seleccionados tres transformadores monofásicos de 15 kV · A y 4 160/240 V. b) El transformador trifásico a seleccionar deberá poseer una capacidad minima igual a la de la carga trifásica total, es decir, 38,1 kV · A. Debe consultarse la tabla 7. 2 a fin de seleccionar la capacidad convencional con que se fabrican estos transformadores. El valor inmediato superior en la referida tabla a 38,1 kV ·A es 45 kV ·A. 231
Conexión estrella-delta: Se procede en forma similar al caso de los transformadores monofásicos, seleccionando para esta conexión en que se considera en estrella el lado de alta tensión transformadores con relación de transformación a= 2 400/240. En resumen. deberá seleccionarse un transformador de 45 kV · A. 2 400/240 V para alimentar las referidas cargas en conexión estrella-delta. Conexión delta-delta: En forma análoga al caso de los transformadores monofásicos. el transformador trifásico seleccionado deberá tener una relación de transformación de 4 160/240 V. Por consiguiente, deberá seleccionarse un transformador trifásico de 45 kV ·A, con la mencionada relación de transformación. 7. 14 Un transformador de 25 kV ·A. 2 300/230 V y 60 Hz. posee un núcleo magnético de una sección transversal de 100 cmi con un factor de laminadón de O, 92. La característica de magnetización del núcleo magnético se muestra en la figura 7 . 13 . Si el devanado de alta tensión posee 2 400 vueltas y la longitud del circuito magnético es l. 7 m. calcular: a) número de vueltas del devanado de baja tensión; b) máxima densidad de flujo magnético, e) el número de ampere vueltas por metro máximo necesario para establecer el flujo magnético en el núcleo, d) -corriente de excitación máxima que toma el transformador, e) porcentaje que representa la corriente de excitación de la corriente nominal del transformador.
1.5
0.9
O.ó
0.3
o
Fig. 7.13
232
V.
o
o
o
o o
V.
8
o o o
~
8
H(
A vueltas )
m
Solución: a) Para calcular el número ,de vueltas del devanado de alta tensión puede utilizarse la ecuación (7. 6) :
!!J._ N2
-_.EJ: ' u2
o ·sea, 2 400
2 300
~=no· Por tanto:
N 2=
2 400 230 = 240 vueltas. · 2 300 -
b) La densidad máxima de flujo magnético puede ser hallada al sustituir la ecuación (7. 3) en la (7 .1) , o sea:
Bm=
E 2IDO = 4,44/ N1 A F. L. 4,44 · 60 · 2 400 · 100 · 0,92 ·10- 4
=
Wb
=0,391 - - , m2 donde F. L. es el factor de laminación. Debe tenerse en cuenta que la sección transversal neta del circuito magnético se determina al multiplicar la sección transversal total por el factor de laminación, o sea: A =100 · 0,92 cm2=92 ·10- 4 m2.
e) ue acuerdo con la característica B en función de H, de este material (f1g. 7.14), para la Bm calculada:
Hm =393
A-vueltas m
donde
Hm - fuerza magnetizante máxima en el núcleo magnético. d) Al aplicar la -ecuación (7.5) con valores máximos, se tiene que: (NI) max = Hmax
' /,
233
donde:
1 • longitud media del magnético (en metros). , Por tanto: =668,1 = 028 A. (/ exc) max =(NI)miJX N¡ . 2 400 •
e) .La corriente nominal del devando primario del transformador es: 1 nom
= Snom = (UI)nom = 25 U1
U1
nom
. lOl
2 300
= 10 87 1
A.
nom
El porcentaje que representa la corriente máxima de excitación del devanado primario d~ la corriente nominal del propio devanado es el siguiente: (lexc)max
~ 0,28 . lOO = 2, 58
%.
10,8i
fnom
7.15 Un núcleo magnético posee los datos siguientes:
• -
material de acero fundido; sección transversal: 25,8 cm 2; máxima densidad de flujo magnético: 1,395 Wb/m 2; factor de laminación (F.L) =0,9.
Calcular: a} Número de vueltas de los devanados de alta y baja tensión para 220/110 V y una frecuencia de 60 Hz. b) Si la sección transversal del núcleo del transformador se duplica, ¿ cómo se afecta el número de vueltas de los devanados del transformador?
Solución: a) El número de vueltas de los devanados de alta y baja tensión del transformador puede ser calculado al aplicar la ecuación (7 .1), después dP haber sustituido la ecuación (7. 3) en dicha ecuación:
u
N¡=------.....ol.--4,44 f Bm A· F. L.
Al sustituir valores numéricos: N1 =
220 4,44 . 60 . 1.395 . 2s.s . w- 4 • o.9
= 306
vueltas
N 2 ...,
110 4,44 . 60 . 1,395 . 2s.s . w-4 • o.9
= 153
vueltas.
·
-
y -
234
b) Para determinar cómo se afecta el número de vueltas de los devanados del transformador con la variación de la sección transversal del núcleo, aplíquese la expresión anterior y llámese condición 1 a la correspondiente a los datos y condición 2 a la relacionada con la duplicación de la sección transversal del núcleo, es decir: (N¡) 1
= ___u...___ 4,44/ Bm F.L. A1
u
(N¡) z = ----'----
4,44 f Bm F. L. A 2
. / Como se sabe que la condición es que A 2 =2 A 1, puede dividirse la primera expresión por la segunda, sustituir la igualdad mencionada que condiciona la relación entre las áreas y obtener:
J!!.lh_ =~ =~ =2 (N1) 2
A1
A1
de donde:
Como puede observarse, de las expresiones anteriores, existe una relación inversa entre el número de vueltas de los devanados del transformador y la sección transversal de su núcleo, razón por la cual es evidente que una duplicación de la sección transversal del núcleo deberá traer aparejada una disminución a la mitad del número de vueltas de los devanados.
PROBLEMAS PROPUESTOS
2.-ScJ tJ
2 300 7.16 Un transformador de 10 kV · A, a = - - y 60 Hz, posee los tos siguientes: ~ro R 1 =4,0 U
230
da~
<-'>0 c.11 o • ¡O c.)
R 2 =0,04 U
X 2 =0,051
Lf
0
/(./
()
n.
Los valores de la impedancia de magnetización referidos al lado de baja tensión son:
Rn =705,33 U
Xmag
= 243,29
U 235
Dibujar: a) el circuito equivalente exacto referido aliado de baja tensión y b) el circuito equivalente exacto referido aliado de alta tensión. Respuestas: a) Figura 7.14a; b) figura 7.14b. R ¡ ~ o.o4
u
~;
=o.~s1 n
R2 =o.o4 n x1 =o.os1 n
,....,..,..~--c::J
a)
R;-4 n
x; ~ s.1
u
rv-.~--.--1
b)
Fig. 7.14
7. 1 7 Al transformador del problema anterior se le conecta una carga en sus terminales de baja tensión con una impedancia de 60f30o U, con 220 V aplicados en sus terminales. Calcular: a) la corriente circulante a través de la carga, b) tensión aplicada en los terminales de alta tensión y e) regulación de tensión (desprecie la corriente de excitación). Respuestas: a) 1=3,67/-30° A; b) U1 =2 20:4,4 V; e) % regulación =0,2%.
7.18 Un transformador de 5 kV ·A, 2 200/110 V y 60 Hz, es sometido a las pruebas de cortocircuito y circuito abierto, y se obtienen los resultados ' siguientes:
Uca
= 110 V
Ucc= 72 V
236
fea
=2 A
/ce =2,21 A
Pea =
92 W
Pcc = 100 W
La prueba de circuito abierto fue realizada por el lado de baja tensión mientras que la de cortocircuito fue hecha por el lado de alta tensión. a) Dibujar el circuito equivalente exacto del transformador referido al lado de baja tensión. · b) Calcular la corriente circulante a través de la carga si son aplicados 2 200 V al devanado de alta tensión y en estas condiciones el transformador toma 3 000 W a un factor de potencia de O, 9 en retraso. e) Halle la tensión en los terminales de la carga. Respuesias: a) Figura 7.15; b) 1 =30,30/-25,84° A; e) ~=107,8/-0,573° V.
o
Fig. 7.15
. 7.19 Un transformador de S kV ·A, 440/120 V y 60 Hz es sometido a las pruebas de ~ortocircuito y circuito abierto. ·Los resultados de dichas pruebas son los siguientes: Ucc= SO V
Pcc = 260 W
l.!ar =120 V
Pea =52,5 W
/ea =0,75 A
Determinar bajo condiciones·nominales: a) pérdidas de ~obre y b) pérdidas de núcleo. Respuestas: a) Pe.. =260 w ·; b) P,. =52,5 -W. 7. 20 Se dispone de una fuente de suministro de energia eléctrica de 7 200 V de linea a linea y se pretende alimentar desde esta, dos cargas conectadas en paralel9, ambas a 440 V. Los datos de dichas cargas son los siguientes: 1) Motor asincrónico trifásico de 15 kW; 0,82 factor de potencia en retraso y 60 Hz; 2) Motor asincrónico trifásico de 25 kW; 0,85 factor de potencia en retraso y 60 Hz. 237
a) Transformadores monofásicos necesarios para alimentar las cargas con una conexión estrella-delta. b) Transformadores monofásicos necesarios para alimentar las cargas con una conexión de estos en delta-delta. e) Transformador trifásico necesario con conexión estrella-delta; d) Transformador trifásico necesario con conexión delta-delta. Despréciense las caídas de tensión en la impedancia de dispersión. Respuestas: a) 3 transformadores monofásicos, cada uno de 25 kV · A, 4 160/480 V. b) 3 transformadores monofásicos, cada uno de 25 kV ·A, 7 200/480 V. e) 1 transformador trifásico de 50 kV ·A; 4 160/480 V. d) 1 transformador trifásico de 50 kV ·A, 7 200/480 V. 7.21 Un transformador de 10 kV· A, 4 160/440 V y 60Hz, recibe una tensión de alimentación de 4 100 V por el devanado de alta tensión. El número de vueltas de este devanado es igual a 8 200 vueltas. El área del núcleo magnético es de 50 cm2 con un factor de laminaci1)n de 0,9. La longitud del núcleo magnético es de 175 cm. El valor máximo de la fuerza magnetizante Hmax es de 400 ampere vueltas por metro. Determinar: a) número de vueltas del secundario, b) fem inducida en el devanado secundario cuando se aplican 4 100 V en el devanado primario, e) máxima densidad del flujo magnético, d) área efectiva del núcleo magnético, e) máximos ampere vueltas para el valor calculado de Hmax; O corriente máxima excitación, utilizando como primario el devanado de baja tensión, g) porcentaie que representa la corriente de excitación máxima de la corriente nominal del lado de baja tensión. Respuestas: a) N2 =867 vueltas; b) E2 =433,41 V; e) Bmax =0,417 Wb/m 2; d) A =45 cm 2; e) (Nl)max =682 ampere vueltas; f) Vexe)max =0,832 A; g) (lexc)maxf[nom 2 =0,36%. 7. 22 Los datos correspondientes a un transformador monofásico son los siguientes: N 1 = 300 vueltas; N 2 = 30 vueltas; U/U2 = 2 300/230; material del núcleo acero fundido; sección transversal del núcleo 24 cm 2 y factor de laminación O, 92. Calcular la máxima densidad de flujo magnético para una tensión aplicada al devanado de alta tensión de 2 300 V y frecuencias de: a) 50 Hz, b) 60 Hz. Considérese despreciable la caida de tensión en la impedancia de dispersión del transformador. Respuestas: a) Bm = 15,64 Wb/m 2; b) Bm = 13 Wb/m 2• 7.23 A un transformador monofásico de lO kV ·A y 2 300/230 V se le realiza la prueba de circuito abierto, colocando los instrumentos de medición en el lado de baja tensión. Los resultados obtenidos de la misma son los siguientes: Pea =76,5 W;
238
llca =230 V;
/ea= 1.1 A.
Se conoce, además, que el devanado de alta tensión posee una impedancia de dispersión de 4, 5 +}5, 5 U y el de baja tensión de 0.045 +)Ü,055 U, cada una de estas impedancias referidas a su propio lado. Determinar los valores de Req• Xeq• R. y Xmag del transformador en cuestión referidas al lado de a) alta tensión; b) baja tensión. Respuestas: a) Req =9,0 U; Xeq = 11,0 U; R~ =69 150 U; X~ag = 21 936 U; b) R;~=0,09 U; X;~=O,llU; R. =691,5 U; Xma¡¡ =219,36 U. 7. 24 Una carga con una impedancia de 8 -}6 U se conecta a los terminales de baja tensión del transformador del problema 7.19 con 219 V aplicados en los terminales de la propia carga. Calcular: a) corriente circulante a través de la carga, b) caída de tensión a través de la impedancia de dispersión del transformador, e) tensión aplicada en los terminales del lado de alta tensión del transformador. d) pérdidas de núcleo. e) potencia reactiva de magnetización, f) potencia activa total. g) potencia reactiva total y h) factor de potencia en los terminales de entrada del transformador. Respuestas: a) 1 =21,9/ -36,87° A; b) ~zd=0.142J50, 71 o V; e) U1 =2 220,21 V; d) 71,28 W; e) 224,71 var; f) P=3 951.32 W; g) 3155,13 var; h) cos QJ=0,78. 7. 25 Determinar el valor de la impedancia de la carga que ha de conectarse en los terminales de baja tensión del transformador del problema 7.19 para que, con tensión nominal aplicada en el lado de alta tensión. tome de la fuente de alimentación, la corriente nominal a O, 9 factor de potencia en retraso. (Sugerencia: Puede trabajarse con el circuito equivalente aproximado y considerar la impedancia de magnetización del transformador.) . . Zcarga = 5,239 ;-2877° Respuesta. • U.
239
MÁQUINAS TRIFÁSICAS ASINCRÓNICAS O DE INDUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
f
Las máquinas trifásicas asincrónicas se utilizan casi exclusivamente como motores, y solamente en muy contados casos corno generadores de inducción. Los rnotore~ asincrónic~s trifásicos se clasifican .fundarnentalrnen~e en: motores de Jaula de ardtlla y motores de, rotor bcibtnado. En ambos casos, el estator está compuesto por tres devanados desplazados en el espacio 120° entre sf, a los cuales se alimentan corrientes alterna~;'tarnbién trifásicas, con una diferencia de fase de 120° entre si. Corno resultado, el flujo magnético asociado con las corrientes alternas trifásicas del estator posee una magnitud constante y hace girar al rotor a una ·velocidad constante denominada velocidad sincrónica (ns), cuya ecuación viene dada por:¡ n5 =l20
Lp
(8.1)
donde: f- frecuencia de la tensión aplicada a los devanados estatóricos en heriz; p - número de polos del motor.
A la relación de velocid-ades se denomina deslizamiento (s) :
ns-n, ns
S=--,
240
(8.2)
donde:
ns - velocidad del campo sincrónico del estator (en revoluciones por minutos); n, - velocidad del rotor (en revoluciones por minuto). El deslizamiento (s) puede ser expresado en tanto por ciento en cuyo caso se multiplica la ecuación (8.2) pot 100. De la ecuación (8.2) se desprende que: .)
~;=ns Ü-s).
(8.2a)
Al girar el rotor de la máquina con un deslizamiento s con .resp~cto a · ns, la frecuencia de la fem inducida en los conductores del rotor ({,.) e-s:
h =S ·f.
(8.3)
La impedancia inductiva del rotor depende directamente de la frecu~ncia de la fem inducida en este, por lo que su valor (X,) también se verá Ílfectado por el deslizamiento, o sea: (8.4)
donde: X 2 - impedancia inductiva de los devanados del rotor cuando éste se encuentra en reposo (s = 1) (en ohm). El motor asincrónico trifásico posee la característica de que es capaz de desarrollar un momento proporcional al cuadrado de la tensión aplicada en los terminales de los devanados del estator, por lo que:
M=k ·lJl,
(8.5)
donde: k - constante de proporcionalidad (en NV·2m ) U - valor efectivo de la tensión aplicada de linea a linea del devanado es-tatórico (en volt) . .
El circuito equivalente de estos motores posee gran similitud con el de los transformadores. Es posible comparar el motor asincrónico trüásico con un transformador trüásico conyencional, cuyos secundarios están en la posibilidad de girar libremente. 241
En la figura 8.1 se muestra·el circuito eqUivalente exacto de tina de las fases de un motor asincrónico trifásico, donde aparecen representados los parámetros siguie,ntes: R1, X1 - impedancia resistiva de dispersión del estator por fase (en ohm). Rí. Xí - impedancia resistiva e inductiva de dispersión del rotor por fase, referidos al estator (en ohm), Ri-{ 1 ~s ) - resistor variable ficticio, en el cual, ~a corriente Ií produce una potencia activa igual á la potencia activa por fase entregada por el motor a la carga mecánica (en ohm), Rn - resistor ficticio, en el cual la corriente /" produce uná potencia activa igual a la· potencia activa disipada por fricción, batimiento y núcleo -por fase (en ohm), · Xm 118 - impedancia inductiva de magnetización por fase (en ohm), ul - tensión por fase aplicada a los devanados del estator (en volt)' Iexc corriente de excitación por fase, que en el caso de un motor asincrónico trifásico es de 30 a 40% del valor de la corriente de plena carga por fase. En la figura 8.2 se muestra el circuito equiyalente aproximado de una fase de un motor asincrónico trifásico. Pór ser pequeña la caída de tensión en la impedancia de dispersión del estator, puede trasladarse la rama de magnetización hacia la izquierda, entre los bornes de entrada del circuito equivalente, lo cual incrementa ligeramente el valor de la ten!lión aplicada a dicha rama. Esta modificación implica un flujo magnético de mayor valor asi como mayores pérdidas de núcleo que las realmente existentes en la m~quina; sin embargo, a la vez las pérdidas de cobre en la resistencia R1 del devanado de cada fase del estator, se reducen al no circular por él la corriente de excitación, compensándose de esta forma los errores introducidos. N
Utilícese para mayor simplicidad el circuito equivalente de la figura 8.2, del cual se deduce que: U1 =
Ií[(R 1 +jX1)
+
~Í +jXíJ.
(8.6)
lo que equivale a: s · U1 =lí
~(sR 1 +Rí) 2 +s2(X1 +Xí) 2 •
(8. 7)
Si se atiende solamente el circuito del rotor, se tiene que:
Eí 242
=lív(~í
J+(X2)
2
=lí~)
2
+(sXí) z
(8.8)
¡ .
1
~·
¡
'R'(l-s) ¡ S j - .........
Fig. 8.1
Rl
íf;~
¡ '~-Y'; Fjg. 8.2
donde: Eí- fem inducida por fase del rotor, en condiciones de rotor parado, referido al estator (en volt). Como en todos los equipos, en el motor asincrónico puede plantearse que: (8.8a) donde:
P'"' - potencia de entrada al motor (en watt); -potencia de salida de motor (en watt); Pphd" potencia disipada en forma de calor eh el motor (en watt). Psal
La potencia de entrada al estator (P,"), que coincide con la potencia de entrada al motor (P,nt), es igual a : · (8.9) 243
Pcu - pérdidas de cobre en los devanados del estator (en watt); Pfb~ - pérdidas de fricción, batimiento y núcleo en el motor (en watt) ;
P,,.,2 - potencia de entrada al rotor del motor (en watt). Por otro lado, al saber que:
7Rí
=
R' 2
+
,--S- '
R' (1-s ) 2
(8.10)
la •potencia de entrada al rotor (P,",2 ) puede ser expresada del modo sigutente: , penr -3/'Z. Rí -P 2 enr -PCu -Pfbn 2
S
(8.11)
1
y
(8.11a) donde Pe. - las pérdidas de cobre en los devanados del rotor (en watt). 2 De acuerdo con las ecuaciones (8.9) y (8.11a), se tiene que: (8.12) Además, debe recordarse que: (8.13)
y
(8.14) De acuerdo con la ecuación (8 .11) y la ecuación (8 .14), puede afirmarse que : Pe.2 =s(P.,.,2 ).
(8.15)
Como consecuencia, al tener en cuenta las ecuaciones (8 .11 a) y (8 .14), se obtiene: . psal=P.nr2 -Pcu2 =3fíZRí ( 1-ss )--Pc..-l . (l-ss ).
244
(8.1~)
El momento de salida desarrollado por el motor viene dado por la expresión siguiente:
Msa~=9 SS Psa~ = P:liJt ·-3/~zRí =~ P:liJt= ' n 4nf • s 2n n = _JJ_ . 3Uis R2 4 nf (sR1 + Rí) 2 + s2(X1 + Xí) 2
(8.17)
El valor de deslizamiento bajo condición de momento máximo (sm.... ) es: S max
=
R'2
(8.18)
R; + (Xl + ..f;)
y el momento máximo (Mmux.) correspondiente a la condición de smax es:
p
M = -· max 4nf p =-
(8.19)
87C.f
finalmente, la potencia de salida (Pso~> del motor puede determinarse mediante la expresión: Psa~
__ Msa~ · n 9,SS '
(8.20)
donde: M so~- momento de salida (en ne'Y1on
m~tro),
n-velocidad del motor (en revoluciones por minuto). De acuerdo con la definición de eficiencia (Ef) , se sabe que:
E! =Psa~IP~nt·
(8 .21)
Los motores asincrónicos pueden ser sometidos a las pruebas de rotor libre y rotor bloqueado o (rotor parado), las cuales son similares a las de cir-
cuito abierto y cotocircuito, respectivamente, en los transformadores. Mediante estas pruebas se pueden determinar los parámetros de las ramas de magnetización y de dispersión del motor. A continuación se señalan las relaciones fundamentales a utilizar con estos propósitos:
Prueba a rotor libre Rn--
3U: W,¡
(8.22) (8.23)
245
(8.24) (8.25) donde:
R. - resistor ficticio en el cual se disipa la potencia activa qe la rama de magnetización (en ohm). U" - tensión nominal del motor (en volt), W,1 - potencia activa tomada por el motor en esta prueba (en watt), S,1 - potencia aparente tomada por el motor en esta prueba de rotor libre (en volt ampere); Xmag - impedancia inductiva de la rama de magnetización (en ohm).
Q,1 • potencia reactiva tomada por el motor en esta prueba (en volt ampere reactivos).
Prueba a rotor bloqueado (8.26)
_ U,b Z rb-
T
(8.27)
1
(8.28) donde: R 1, R;. resistencias de los devanados de estator y de rotor, respectivamente, por fase referidas a estator (en ohm), . X 1, impedancias inductivas de dispersión de estator y de rotor, respectivamente, referidas a estator por fase (en ohm), W,b • potencia activa tomada por el motor en la prueba de rotor bloqueado . (en watt), Z,b • impedancia por fase del motor a rotor bloqueado (en ohm).
x;-
Con los parámetros calculados puede trazarse el circuito equivalente de una fase del motor en cuestión. Finalmente, un motor asincrónico trifásico puede entregar una potencia de salida fácilmente obtenible de la ecuación (8.17): (8.29) 246
PROBLEMAS RESUELTOS 8.1 Un motor asincrónico de 4 polos y 60 Hz se mueve a 1 785 r/min. cuando se encuentra a plena carga. Calcular: a) velocidad sincrónica del · motor y b) tanto por ciento de deslizamiento. Solución:
a) La velocidad sincrónica puede ser calculada al utilizar la ecuación (8. 1) , es decir:
n S
= 120p / = 1204' 60
=1 800 r/min.
b) El tanto por ciento de deslizamiento es posible determinarlo mediante
la ecuación (8. 2) : S=
n5 -n, . 100% = 1 800-1 785 . 100% =O,S 3%. ns 1 800
8. 2 El campo magnético del estator de un motor asincrónico gira a una velocidad de 3 600 r/min, mientras que el rotor del propio motor se mueve a una velocidad de 3 550 r/min a plena carga. La fuente de alimentación mantiene una tensión en los terminales del estator del motor de 440 V a 60· Hz. Determinar : a) número de polos del motor, b) porcentaje de deslizamiento a plena carga, e) frecuencia de la fem inducida en los conductores del rotor cuando este está detenido, d) frecuencia de la fem inducida en los conductores del rotor a velocidad de plena carga, e) velocidad del rotor cuando el deslizamiento es de un 7%, y f) frecuencia de la fem inducida en los conductores del rotor a este valor de deslizamiento. Solución: a) El número de polos (p) del motor puede ser determinado al utilizar la expresión (8.1), o sea:
P = 120 f
n,
= 120
· 60 3 600
=2
polos.
b) El porcentaje de deslizamiento a plena carga, de acuerdo con la ecua-
ción (8.2), es : S=
n5 -n, . lOOO¡'cJ n,
= 3 600 -3 3 600
550 . 100% = 1, 39%.
e) La frecuencia de la fe m inducida en los conductores del rotor cuando este se encuentra detenido, de acuerdo con la ecuación (8.3) , en cuya condición .s = 1.0. es:
[ , =s ·f == L O · 60 =60 Hz.
247
d) La frecuencia de la fem inducida en los conductores del rotor cuando el motor opera bajo condiciones de plena carga puede encontrarse al aplicar la propia ecuación (8.3), es decir:
fr =S f=0.0139 · 60 =0,834 Hz. Debe tenerse en cuenta que el deslizamiento a plena carga es 1.39% (ver inciso b), el cual, expresado en por unidad, es 0,0139. e) Cuando s =0,01, la velocidad del motor, de acuerdo con la ecuación (8.2a) es:
n, = n, (1,-s) = 3 600 (1-0.07) = 3 348 r/min. f) La frecuencia de la fem inducida en los conductores del rotor a este otro valor de deslizamiento, teniendo en cuenta la ecuación (8. 3), resulta:
Ir =s ·!=0,01 · 60 =4,2 Hz. Obsérvese que la frecuencia de la fem inducida en los conductores del rotor de un motor asincrónico aumenta cuando la velocidad desciende y viceversa.
8. 3 En los devanados de cada una de las fases del rotor de un motor asincrónico trifásico de rotor bobinado en condiciones de reposo, el valor de la fem inducida por fase en los devanados del rotor, referido a los del estator es de 240 V. Las impedancias resistiva y reactiva inductiva del rotor en reposo por fase poseen los valores siguientes: R2 = 6 n y Xí = 14 n. a) Determinar el valor de la corriente que circula a través de cada fase del rotor en reposo. b) Hallar el valor de la corriente que circula a través de cada fase del rotor cuando el deslizamiento es del 5%. e) Establecer las diferencias entre los resultados obtenidos en los incisos anteriores. El valor de la fem E 2 está referido al estator. Solución: a) La magnitud de la corriente por fase del rotor en reposo puede determinarse mediante la ecuación (8.8) para s = 1,0, o sea: S Eí (1,0)(240) V lí = ----=--= _ __,;.....;_..;.....;.._..;....;.._ _ = 15,76 A. VR? + (sXí) 2 V6 2 + (1.0 · 14) 2 n
Como indica el apóstrofo, el valor obtenido de corriente en cada fase del rotor está referido al estator, toda vez que los valores de Ri y Xí también lo están. 248
b) En forma similar, la magnitud de dicha corriente cuando s =0,05 es: S • Eí 0,05 . 240 V lí = = = 1,99 A.
~R? +(sXí) 2 e) De los resultados obtenidos en los incisos a y b puede concluirse que el valor máximo cte la corriente que circula a través de los conductores de cada fase del rotor se produce en el arranque, y decrece cuando la velocidad va en aumento. 8.4 Un motor asincrónico trifásico de 2,2 kW, 380 V y 1 100 r/min, trabaja en dos condiciones de operación a las que llamaremos a y b; estas condiciones se denotarán con sus respectivos subíndices. Este motor posee unas relaciones: Marr _ _a_
=2,6
Mnom
con la tensión nominal aplicada, donde Ma, es el momento de arranque en la condición a expresado en newton metro; M,.om• el momento nominal, en newton metro; la, , la corriente de arranque en la condición a, expresada en ampere e /,. 0: , la corriente nominal en ampere. Calcular: a) la tensión que es necesario aplicar por fase al devanado del estator para lograr una relación
b) la tensión que es necesario aplicar para que se cumpla la relación 1 arrb =2,92, /nom
donde Ma, e la., son el momento y la corriente de arranque del motor en b
b
la condición b, respectivamente, expresados en sus correspondientes unidades.
Solución: a) Teniendo en cuenta que el momento en un motor asincrónico varia en función del cuadrado de la tensión aplicado al estator, puede plantearse que:
Mnom
Marrb
= ( Unom) 2 (Ub) 2
Mnom
249
Luego:
Por tanto: . =380
V~- =333,3 V.
Marr
__ a
En la condición b, al aplicar una tensión de 333,3 V, el momento se reduce en la forma deseada. b) Si bien la relación entre momento y tensión es cuadrática, la relación entre corriente y tensión es lineal, razón por la cual puede plantearse:
Por tanto:
2 92 =380 · • =292 V. 3,8
Si se desea conseguir una reducción de la corriente de arranque en la proporción planteada para la condición b, es necesario reducir la tensión aplicada a los devanados del estator a 292 V.
8. 5 Un motor asincrónico trifásico de rotor bobinado de 440 V. 1 185 r/min y 60 Hz posee una corriente nominal de rotor (/ 2) de 38 A por fase. La fem inducida en cada devanado de fase del rotor en reposo (E 2) es de 105 V y la impedancia de cada fase en condición de reposo Z 2 =0,2 +jO, 9 U (los valores de los parámetros de rotor mencionados se encuentran referidos al .propio rotor). Calcular: a) valor del resistor que es necesario añadir en el circuito del rotor para limitar la corriente de 250
Respuesta: E8 = 106 V. 9.41 Un generador de corriente directa con excitación en paralelo, entrega 100 A a 115 V cuando se le conecta cierta carga en sus terminales de salida. Las resistencias de los circuitos de armadura y excitación son 0,06 y 60 n, respectivamente. Calcular: a) corriente de armadura; b) pérdidas de cobre en el circuito de la armadura; e) pérdidas de cobre en el circuito excitador y d) eficiencia. Respuestas: larm = 101,92 A; b) arm =623,0 W; e) sh =220,5 W; d) E/=93,16%.
9. 42 Un generador de corriente directa con excitación independiente, de 5 kW, 230 V y 1 100 r/min posee 1 400 vueltas en el devanado de excitación independiente. Al realizar las mediciones correspondientes para mantener 230 V en los terminales de la carga, se determina que la corriente de excitación debe ser de 0,387 A en condiciones de operación sin carga y de 0,43 A en COIJ.diciones de plena carga. En lugar de variar el valor de la resistencia del devanado excitador en paralelo se sugiere añadir un devando en serie y convertirlo, por tanto, en una máquina de excitación en serie y en pa_rarelo, con la cual se obtengan las mismas condiciones anteriores.· Determinar el número de vueltas del devanado excitador en serie. Despréciese el valor de la resistencia del devanado en serie (R5 ) . Respuesta: Ns = 3, 3 5 vueltas. 9. 43 Un motor de corriente directa con excitación en serie, opera bajo condiciones nominales con los parámetros siguientes: tensión de 115 V, corriente tomada de la linea (Ir de 100 A y velocidad de 1 000 r/min. La resistencia del circuito de la armadura tiene un valor de 0,16 U y la del circuito de excitación 0,08 U. Calcular la velocidad que desarrollará el motor si toma de la fuente una corriente 11 de 25 A a 115 V, el flujo magnético de excitación en esta última condición es igual a 0,4
301
Capítulo 10
INSTALACIÓN Y PROTECCIÓN DE MOTORES ELÉCTRICOS
INTRODUCCIÓN La instalación y protección de los motores eléctricos deben realizarse de una manera adecuada para lograr mayor confiabilidad en la operación, así como más larga vida útil de estos. La instalación de los motores eléctricos se lleva a cabo mediante diferentes dispositivos, los cuales realizan diversas funciones, tales como conectar y desconectar el motor de la línea, propiciar mejores condiciones de arrancada, proporcionar una adecuada protección contra posibles averías sufridas en el motor o en el sistema alimentador, etcétera. La protección de los motores eléctricos contra averías producidas en el propio motor en el sistema de alimentación debe realizarse: a) Al determinar correctamente el máximo valor de corriente de ajuste de la protección contra sobrecargas, constituida generalmente por relés térmicos. b) Al seleccionar correctamente la protección contra cortocircuitos, constituida comúnmente por fusibles o por disyuntores (breakers), los primeros más utilizados que ios segundos, debido a su más bajo costo.
ACCESORIOS NECESARIOS PARA LA INSTALACIÓN DE MOTORES ELÉCTRICOS Interruptores de cuchillas (o chucho-cuchillas) Son dispositivos diseñados para cerrar, abrir o cambiar conexiones en cir-
302
·\
cuitas eléctricos. Son utilizados para energizar o aislar de la fuente de alimentación los circuitos ramales a que se encuentran conectados los motores eléctricos, instalándose a la entrada de estos a fin de facilitar , con su desconexión intencional. el servicio de mantenimiento a cualquier parte del circuito. incluyende el propio motor. Pueden poseer uno, dos, o más polos (terminales). ' Es común la ubicación de los soportes par? fusibles a continuación de las cuéhillas, por lo que generalmente se sitl)an dentro de una misma caja. Para la selección de estos dispositivos debe especificarse: a) número de polos. b) tensión nominal y e) corriente nominal. La corriente nominal de los interruptores de cuchillas debe ser, como mínimo. de un 1. 15% de la corriente nominal del motor a cuyo circuito ramal se conecta. Contactares magnéticos Son dispositivos accionados por medios electromagnéticos. Realizan comúnmente la función de dispositivo desconectar en los circuitos ramales de motores eléctricos, ya que poseen la posibilidad de abrir y cerrar sus contactos principales un elevadísimo número de veces bajo carga normal. Están provistos de contactos auxiliares con el propósito de accionar sobre circuitos de cqntrol. Los contactares magnéticos pueden ser descubiertos o encerrados. en dependencia de que posean sus contactos expuestos o no, Los segundos son los más ampliamente utilizados. En la mayoría de los casos, los relés térmicos son situados para la protección del motor contra sobrecargas anexos al contactar magnético, aunque puede darse el caso de que estén situados independientemente. Al seleccionar un contactar magnético, los datos más importantes a especificar son: a) tensión nominal, b) corriente nominal (o potencia nominal), e) número de polos (terminales}, d) frecuencia de la tensión, e) tipo de contactar, f) capacidad de interrupción, g) corriente de operación del elemento térmico '(si se incluye) y h) nümero de contactos auxiliares y posición de estos cuando el contactar se encuentre des.e nergizado. La capacidad de corriente de los contactares encerrados (lcJ puede ser calculada del modo siguiente:
Para motores trifásicos de 110 y 220 V (10.1)
Para motores asincrónicos trifásicos de 440 V y motores monofásicos de 115, 220o440 V (10. 2)
donde: corriente nominal del motor alimentado a través del contactar magnético que se selecciona (en ampere).
lnam -
303
Una vez calculado el valor de corriente para un contactar encerrado mediante cualesquiera de las ecuaciones anteriores. debe trabajarse con la columna central de la tabla 10.1 y seleccionar el valor inmediatamente superior al hallado previamente. De esta forma quedará determinado el valor de corriente de trabajo del contactar del tipo encerrado convencionalmente fabricado.
TABLA 10. 1 Corrientes nominales para régimen continuo de operación de contactares magnéticos encerrados fabricados convencionalmente
Núm ero del contactar
Tipo encerrado Régimen continuo de operación rampere nominales !
00
9 18
1 2
27 45 90 135 270 540
o 3 4 S 6 7 8 9
810
1 215 2 250
Tipo descubierto Régimen continuo de operación (ampere nominales )
10
20 30 50 100 150
300 600 900 1 350 2 500
Cuando se trate de seleccionar un contactar descubierto, deberá seguirse exactamente el mismo procedimiento, pero esta vez se trabajará con la co. ·lumna de la derecha de la referida tabla. La corriente mínima de interrupción del dispositivo (/;m) se calcula de la manera siguiente: (10.3)
Compensadores de arranque (autotransformadores) Los compensadores de arranque (autotransformadores) son equipos utilizados para reducir la tensión aplicada a los terminales del motor y, de esta forma, disminuir a valores permisibles la magnitud de la corriente en el instante de arranque mediante la reducción de la tensión aplicada a los devanados del estator. A través de diferentes tomas o taps, puede seleccionarse la fracción de tensión que se desea aplicar a los terminales del motor durante este proceso transitorio. 304
Los datos más importantes al seleccionar un compensador de arranque son los siguientes: a) potencia nominal, b) tensión nominal, e) frecuencia de la tensión de operación, d) corriente del elenwnto térmico (si este se incluyera en el propio equipo) y e) valore~ de tensión de las t<;>mas o taps. Estaciones de pulsadores Las estaciones de pulsadores son dispositivos comúnmente utilizados para arrancar y parar los motores eléctricos. Constan generalmente de dos botones que accionan un juego de contactos cada uno de ellos y que operan independientemente. El botón de arranque, casi siempre de color negro, al ser presionado, cierra su juego de contactos normalmente abiertos que permite la alimentación de la bobina del contactar magnético encargado del arranque del motor. El botón de parada, casi siempre de color rojo, al ser presionado abre su juego de contactos normalmente cerrados, y' ocasiona la desenergización de la bobina del contactar magnético, el que a su vez se encarga de cortar el suministro de energía al motor. Existen otros dispositivos que es posible utilizar en el accionamiento de los motores eléctricos además de los señalados, pero que son de menor importancia práctica de acuerdo con los objetivos del presente texto.
MÉTODOS DE ARRANQUE MÁS UTILIZADOS PARA MOTORES ELÉCTRICOS A continuación se señalan las características fundamentales de los métodos más utilizados en el arranque de motores eléctricos. Arranque de motores de inducción y sincrónicos a) Directamente de la linea (a plena tensión) : Este arranque se produce al aplicar la tensión nominal pleno al motor en el mismo instante de arranque. El contactor magnético se utiliza generalmente como elemento arrancador. b) Mediante autotransformador (compensador de arranque): El autotransformador provee la posibilidad de aplicar, en el instante de arranque, una fracción preseleccionada de la tensión nominal del motor (80%, 65% o 50%) y, posteriormente, una vez que la máquina ha ganado velocidad, aplicar el 100% de la tensión nominal. e) Mediante resistores conectados en serie con los devanados estatóricos: Un efecto similar al anterior puede lograrse al intercalar resistores en serie con cada una de las lineas de alimentación del motor en el instante de arranque y, una vez que el motor ha ganado velocidad, eliminarlos manual o automáticamente. d) Mediante cambio de conexiones estrella a delta: La reducción de la tensión aplicada al motor en el momento de arranque puede lograrse también interconectando sus devanados en estrella y, cuando el motor ha acelerado, produciendo el cambio de conexión de sus devanados a delta, lo cual se realiza mediante contactores magnéticos. e) Mediante inclusión resistores en serie con los devanados de fase del rotor: Este método de arranque se aplica a motores de rotor bobinado. El 305
efecto resultante consiste en un incremento del par desarrollado en el arranque por el motor y brinda la posibilidad de regulación de su velocidad. Arranque de motores de corriente directa Los arrancadores son los dispositivos destinados a poner en marcha los motores de corriente directa. Consisten de varios resistores interconectados en serie con la armadura de lu máquina. El valor de la resistencia serie equivalente del arrancador ~'S reducido manual o automáticamente a medida que el motor aumenta su velocidad.
OTROS PARÁMETROS A TENER EN CUENTA EN LA PROTECCIÓN DE MOTORES ELÉCTRICOS Letra de código (code letter) Este parámetro es un indicativo de la corriente que torna el motor a rotor bloqueado. Solamente poseen este dato ciertos motores. Incluye las letras del alfabeto inglés de la A a la V. excepto las letras /, O y Q. Se utiliza para determinar la protección contra cortocircuitos (ver tabla 10.2). Los motores que no poseen este dato de chapa se consideran, a los efectos de la tabla, corno motores sin letra de código. TABLA 10.2 Valores aproximados, en ampere, correspondientes a las protecciones contra cortocircuitos para motores eléctricos
Tipos de motores
Método de arranque
Fusible Valor máximo
Disyuntor Valor máximo
(1) Motores de corriente directa Arrancador Rotor bobinado Resistores en rotor 1.5 /nom (2) Motores con letra de Arranque directo código A (3) Motores monofásicos y Arranque directo trifásicos de jaula de ardí- o por resistores lla y sincrónicos 3.0 (4) Motores monofásicos y trifásicos de jaula de ardí- Arranque directo lla y sincrónicos. Letras o por resistores de código de la F a la V. inclusive
306
/nom
2.5
/nom
Tipos de motores
Método de arranque
Fusible Valor máximo
Disyuntor Valor máximo
2.5
Jnom
2,0
Jnom
2.0
lnom
2,0
Jnom
(5) Motores de jaula de ar- A utotransformador dilla y sincrónicos. cuya Jnom :>; 30 A (6) Motores de jaula de ar- Arranque directo dilla y sincrónicos. Letras o por resistores de código de B a E. inclusi ve. (7) Motores de jaula de ar- A u totransformador
dilla y sincrónicos. Letras de código de F a V. incluS!VC
(8) Motores de jaula de ar- Autotransformador di !la y sincrónicos. cuya Jnom ~ 30 A. sin letra de código (9) Motores de jaula de ar- Autotransformador dilla y sincrónicos. Letras códigos de B a E inclusive
Factor de servicio (S.F.) Dato que poseen en chapa solamente algunos motores. Indica la sobrecarga mantenida que puede soportar un motor sin que se exceda la temperatura máxima del enrollado recomendada por el fabricante. Este dato tiene utilidad en la determinación del máximo valor de ajuste de la protección térmica contra sobrecargas. Demanda máxima Potencia eléctrica máxima mantenida tomada por un sistema eléctrico dado -o grupo de motores- con una duración máxima de 15 min (30 min en algunos paises) detectada mediante la toma de lecturas durante un tiempo razonablemente prolongado. Factor de demanda (F.D.) Término que se aplica a un sistema industrial o grupo de motores y se define como la relación: F. D. =
demanda máxima carga total instalada (del sistema o grupo de motores) (10.4) 307
CÁLCULO Y SELECCIÓN DE DISTINTOS DISPOSITIVOS Y ACCESORIOS PARA LA PROTECCIÓN E INSTALACIÓN DE MOTORES Determinación de la corriente (lno,J de motores eléctricos Este dato puede obtenerse directamente de la chapa de la máquina o puede determinarse si se parte de la potencia de salida y la tensión nominales, mediante las curvas mostradas en la figura -10.1.
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Figura 10.1 Curvas de potencial nominal en función de la corriente nominal de diferentes motores eléctricos. Nota: Para motores sincrónicos el dato de corriente nominal dado por este gráfico corresponde a la condición de factor de potencial unitario (cos IP= 1). Para cos IP=0,9 y cos rp=0,8 las cifras encontradas mediante este gráfico deben ser multip1icadadas por 1,1 y 1,25, respectivamente.
308
Para motores sincrónicos, el dato de corriente nominal dado por el gráfico de la figura 10.1 corresponde a la condición de factor de potencia unitario (cos rp= 1). Para cos rp=0,9 y cos rp =0,8, las cifras dadas por este gráfico deben ser multiplicadas por 1,1 y 1,25, respectivamente. Si el motor en cuestión poseyera en su chapa, además del valor de corriente nominal (lnom>, el dato de factor de servicio, y este fuera mayor que 1,0 (S. F. > 1,0), entonces se pudiera calcular la corriente de trabajo permanente (/~om) como: ' _ ]~om
=[nom
'
(10. 5)
S. F.
es decir, siempre que se consideren motores eléctricos con el dato de S. F. > 1,0, se entenderá por su corriente de trabajo normal el valor de /~om• aunque este difiera y sea superior al valor de corriente de chapa (ver definición de factor de servicio). Cuando el S. F. = 1,0 o la chapa no indica este dato, entonces se considerá: (10.6)
Cálculo de la protección contra sobrecargas La protección contra sobrecargas para un motor eléctrico dado, generalmente incluida dentro del dispositivo de arranque, debe ser ajustada para que desconecte el motor de la linea cuando la corriente que circula a través de sus devanados es igual o ligeramente superior a la corriente nominal (/chapa) para motores con el dato de S. F. o con S. F. = 1,O e l~om para motores. con S. F. > 1, O. En el caso de que dicha protección no pueda graduarse exactamente al valor inmediatamente superior al de la corriente nominal del motor por alguna razó'n, es posible ajustarla en cualquier valor de corriente existente entre la corriente nominal y el valor máximo permisible para dicha protección. Este valor máximo permisible puede ser calculado mediante la tabla 10.3. TABLA 10.3 Máximo ajuste, en ampere. de las protecciones térmicas ajustables contra sobrecargas para diferentes motores eléctricos. atendiendo al factor de servicio Motores en los cuales no se especifica el dato de factor de servicio, o se establece que poseen S. F. = 1,0 Motores con S. F. = 1, 1S
1.15 Jnom 1,25 Jnom
Nota: Inom es la corriente nominal del motor a proteger, en ampere. Estos valores máximos han sido tomados sobre la base de una temperatura ambiental de 40 'C. aunque en algunos países se considera dicha temperatura base de 35 't. ·
309
Cálculo de la protección contra cortocircuitos para el motor Esta protección puede estar integrada por fusibles o por disyuntores (breakers). Se calcula al atender los factores siguientes: a) tipo de motor, b) corriente nominal, e) tipo de arranque y d) letra de código (si existiera). El motor debe protegerse y para ella se escoge el fusible o disyuntor adecuado, pero no ambas protecciones simultáneamente. La tabla 10.2 está destinada a realizar la selección adecuada de la protec· ción contra cortocircuitos. Una vez calculado su valor debe consultarse la tabla 10.4, a fin de escoger el valor de corriente con que se fabrican convencionalmente y que sea inmediatamente superior al máximo calculado
TABLA 10.4 Valores de corriente de operación con que se fabrican las protecciones convencionales contra cortocircuitos de circuitos eléctricos, en ampere Fusibles
15 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90
100 110
125 150 175 200 225 250 300
350 400
450 500
600 800 1 000 1 200 1 600
310
Disyuntores o breakers
15 20 30 40 50 70
100 125 150 175 200 225 250 300 350 400 500 600 700 800
Selección del área de la sección transversal minima de un conductor (al atender solamente la condición de· calentamiento) Tanto el área de la sección transversal de los cables como de los alambres conductores se selecciona sobre la base de la corriente máxima que son capaces de soportar para una temperatura ambiente determinada. En las tablas 10.5 y 10.6 se muestran las capacidades máximas de corriente para conductores de cobre y aluminio, respectivamente, sobre la base del área de sus correspondientes secciones transversales. así como del tipo de sus aislamientos para una temperatura ambiente máxima de 30 oc. La corriente que debe ser capaz de llevar un conductor alimentador de un motor eléctrico dado, puede ser cale u lacia mediante la expresión siguiente:
J = 1.25 . Jnom e
F.T. ·F.C.
(10. 7)
donde: F. T.- factor de temperatura que puede encontrarse en la tabla 10.7 tanto
aplicable a conductores de cobre como de aluminio. F. C.- factor que tiene en cuenta el calentamiento adicional en cada con-
ductor que es producido por más de tres conductores. los cuales se encuentran dentro de una misma tubería (ver tabla 10.8). El factor 1.25 en la expresión (10. 7) indica que se brinda un 25 llfo de margen de seguridad a favor~ del conductor. Selección del aislamiento de un conductor El aislamiento de un conductor se selecciona de acuerdo con las condiciones ambientales especificas del lugar donde ha de ser instalado. La tabla 10.9 brinda información en este sentido. El tipo de aislamiento difundido más ampliamente en nuestro país es el termoplástico TW. por lo que será utilizado en los problemas planteados, siempre que sus características lo permitan.
311
TABLA 10. 5 Capacidades de corriente permisibles a través de conductores de cobre recubiertos con los tipos de aislamientos más utilizados, en ampere
Sección transversal de conductor mm 2
no. en norma AWG*
10 8 6 4 3 2
55
1)
~l A.
o
53,1 67.7 85 ,2
107.5 126.7 152.0 177.3 202.7 253,4 304.0 354.7 380.0 405.4 456.0 506.7 633.4 760.1 886.7 013.4
ampere 15 20 30 40
14 12
2.1 3,3 5.2 8.4 13,3 21.2 26 ,6 33.6
1 1
l 1 2
00 000 0000 250 000 mil 300 000 mil 3 SO 000 mil 400 000 mil 500 000 mil 600 OQO mil 700 000 mil 7 SO 000 mil 800 000 mil 900 000 mil 000 000 mil 250 000 mil 500 000 mil 750 000 mil 000 000 mil
Tipos _de aislamientos: Goma tipo R; tipo RW; tipo RU: tipo RUW: tipo RH-RW: termoplástico tipo T: tipo TW
circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares
70 80 95 110 125 145 165 195 215 240 260 280 320 355 385 400 410 435 455 495 520
545 560
* En lo adelante se aclarará al expresar la sección transversal del conductor en milímetros cuadrados. su equivalente en la norma A WG. también utilizada en nuestro país.
312
TABLA 10.6 Capacidades de corriente permisibles a través de conductores de aluminio recubiertos con los tipos de aislamientos más utilizados, en ampere Sección transversal del conductor mm 2
3,3 5,2 8,4 13,3 21,2 26,6 33,6 42 ,4 53 ,1 67 ,7 85,2 107,5 126,7 152,0 177,3 202,7 253,4 304,0 354,7 380,0 405,4 456,0 506,7 633,4 760,1 886,7 1 013 ,4
Tipos de aislamientos: Goma tipo R; tipo RW; tipo RU; tipo RUW; tipo RH-RW;· no. en norma A WG termoplástico tipo T; tipo TW amper e 15 25 30 40 55 65 75 85 100 115 130 155 170 190 210 225 260 285 310 320 330 355 375 405 435 455 470
12 10 8 6 4
3 2 1
o 00 000 0000 250 000 mil 300 000 mil 3 50 000 mil 400 000 mil 500 000 mil 600 000 mil 700 000 mil 7 50 000 mil 800 000 mil 900 000 mil 000 000 mil 250 000 mil 500 000 mil 7 50 000 mil 2 000 000 mil
circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares circulares
TABLA 10. 7 Factores de corrección de temperatura aplicables a conductores de cobre o de aluminio Temperatura ( "C)
Factor
de
corrección
de
temperatura
(F. T.)
0-30 31-40 41-45 46-50 51-55
1,0 0,82 0 ,71 0 , 58 0,41
313
TABLA 10.8 Valores correspondientes al/actor número de conductores (F. C.) que incluye el efecto producido por un número dado de conductores a través de una misma tube.rla Número de conductores a través de una misma tuberia
1 4 7 25
F.C.
® 0,8
a a a a
3 6 24 42 43 y más
0,7 0,6 0,5
TABLA 10.9 Tipos de conductores eléctricos a utilizar según las condiciones ambientales del local (solo se relacionan los más utilizados)
Nombre de fabricación
Letra del tipo
Temp. máxi- Condiciones de/local y limima · taciones en la instalación de operación
Goma Goma resistente al -calor Goma resistente a la humedad
R RH RW
60 'C 7.5 'C 60 'C
' Goma resistente a la humedad y al calor
RH-RW
60 'C
RU RUW
60 'C 60 'C
seco seco seco y húmedo; para tensi<>nes superiores a 2 000 V, el aislamiento debe poseer características especiales· seco y húmedo; para tensi<>nes superiores a 2 000 V, el aislamiento debe poseer características especiales seco; para tensiones superiores a 2 000 V, el aislamiento debe poseer características especiales seco seco y húmedo
T TW
60 'C 60 'C
seco seco y húmedo
75 'C
Goma latex Goma latex resistente a la humedad Termoplástico Termoplástico resistente a la humedad
Selección del alimentador para varios circuitos ramales Para realizar la selección del área de la sección transversal rntnima del alimentador para varios circuitos r_arnales, . debe calcularse el valor de la 314
c
(10.8)
donde: /mm - corriente nominal del motor que mayor corriente torna de todos los
que se encuentran conectados al alimentador (en arnpere); "E.lnom - surnatoria de las corrientes nominales de cada uno de los motores energizados a través del alimentador, excluyendo /mm• F. D. - factor de demanda del circuito alimentado.
Una vez determinado el valor de la corriente la mediante la ecuación (10.8), debe procederse a calcular el área de la sección transversal mínima del conductor mediante las tablas 10.5 o 10.6. Cálculo del disyuntor del alimentador principal El cálculo de la capacidad de la corriente máxima de operación (/da) del disyuntor destinado a proteger el alimentador común de varios motores · eléctricos debe ser realizada mediante la aplicación de la ecuación (10.9) donde: ldm - corriente del disyuntor correspondiente al motor que mayor corriente
torne en el arranque del grupo serviqo por el alimentador (ver tablas 10.2 y 10.4); l:/ nom - surnatoria de la corriente nominal de los demás motores del propio grupo, excluyendo ldm• F. D. - factor de demanda del grupo de motores servido por el alimentador. Finalmente, con el valor calculado mediante la ecuación (10. 9) debe trabajarse con la tabla 10.4 a fin de compararlo con los correspondientes ·a los disyuntores convencionalmente fabricados. Debe seleccionarse el disyuntor cuyo valor de corriente de trabajo sea igual o inmediatamente inferior al calculado. Selección de la tuberia (conduict) La selección de la tubería por la cual han de introducirse los conductores seleccionados debe ser calculada de acuerdo con el área de la sección trans•:ersal J la cantidad de estos. Debe utilizarse con este propósito la tabla 10.10. El cálculo del diámetro interior mínimo de la tubería, cuando se trate de varios conductores con distintas áreas de sus secciones transversales, deberá ser realizado mediante las tablas 10.11 y 10.12. Finalmente, en la tabla 10.13 se muestran los datos correspondientes a alambres de cobre desnudos (sin aislamiento). 315
TABLA 10.10 Máximo número de conductores en tuberias de diámetro convencional
Calibre del conductor
12.7
19
25.4
31,8
38
50,8
63,3
76,2
88,8
102
127
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
mm
1
1-
1
1 12
2
2_!_ 2
3
32
4
5
in
in
in
121 103 86 52 32 24 21 19 14 12 11 9 8 6 5 5 4 4
155 132 110 67 41 31 28 24 18 16 14 12 10 8 7 6 6 5
208 173 105 64 49 44 38 29 25 22 19 16 13 11 10 9 8
-
mm
2
0,82 1,31 2.1 3.3 5,2 8,4 13,3 21 ,2 26.6 33 ,6 42.4 53 ,5 67.7 85.2 107,5 126.7 152.0 177.3 202 .7 253 ,4
no. en norma A WG
18 16 14 12 10 8 6
4 3 2 1
o 00 000 0000 250 000 300 000 350 000 400 000 500 000
MC* MC MC MC MC
1
2
-
3 4
4
in
in
in
in
7 6 4 3 1 1 1 1
12 10 6 5 4 3 1 1 1 1 1
20 17 10 8 7 4 3 1 1 1 1 1 1 1
35 30 18 15 13 7 4 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1
in
in
49 41 25 21 17 10 6 5 4 3 3 2 1 1
80 68 41 34 29 17 10 8 7 6 4 4 3 3 2 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
in
in
115 98 58 50 41 25 15 12 10 9 7 6 5 4 3 3 3 1 1 1
176 150 90 76 64 38 23 18 16 14 10 9 8 7 6 5 4 3 3 3
1
----
304,0 354,7 380,0 405.4 456,0 506,7 633 ,4 760 , 1 886,7 1013.4
1 1 1 1 2
600 700 750 800 900 000 250 500 750 000
*MC: mil circulares
000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
MC MC MC MC MC MC MC MC MC MC
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 1 1 1 1 1 1 1
4 3 3 2 3 1 1 1 1 1
6 6 S 3 4 3 3 3 1
TABLA 10.11
Dimensiones y porcentajes del área de las tuberias para combinaciones permisibles de conductores aislados a través de una tuberia común
Diámetro interior de la tuhería
100°1<> del área total
1 conductor (53%)
2 conductores (31 %) 3 conductores ( 43 1Yo) 4 conductores y más (40%) zn·'
mm·'
o. 13
77.42
0.12
148.39
0.23
135.49
0.21
0.27 0,47
238.72 419.38
0.37 0.65
219.37 387.11
0.34 0.60
406,47
0,63
567.77
0 .88
529.06
0.82
671.00
1.04
929.08
1.44
864.56
1.34
in
mm
mm2
' ' ¡n·
.,
12,7
193.56
0.30
103.23
o. 16
58,07
0,09
341.95
0 .53
180.65
0.28 .
123.23
0.16
554.87 96 7. 79
0.86 1.50
296,79 516.16
0.46 0.80
174.20 303.24
1 316.20
2.04
696.81
1.08
2 167.85
3.36
1 148.45
1.78
3
19.0 4 25.4 11 131.8 4 1 138.0 2 - - - -- 2 50.8 1 263.3 2 76.2 3 1 3 ~ 88.8 ,.: 2 4 5 6
102 127
mm·'
in 2
mm2
in 2
mm2
83.87_
'
' ' ¡n·
J
3 090.48
4,79
1 638.79
2.54
954,89
1.48
1 329( 10
2.06
1 238.77
1.92
4 761.54
7.38
2 522.71
3, 91
1 477.49
2.29
2 045 .27
3.17
1 903.33
2.95
6 387.43
9.9
3 371.14
5.25
1 980.75
3.07
2 748.53
4.26
2' 554.97
3.96
8 206.88 12 903.90 18 639.69
12.72 20 .00 28 .89
4 348.61 6 839.07 9 877.94
6. 74 10.60 15.31
2 542.07 4 000.20 5 780.95
3.94 • 6.20 8.96
3 529.22 5 548.58 8 013.32
5.47 8.60 12.42
3 284.04 5 161.56 7 458.45
5.09 8.00 11.56
TABLA 10.12 Área de la sección transversal de los conductores más utilizados. con su aislamiento
Aislamiento tipo T. TW. RU y RUW
Aislamiento tipo R. RH-RW y RW
Sección transversal conductores desnudos
- ··- ·
Área aproximada de conductores con aislamientos
Área aproximada de conductores con aislamiento.> ·~--- -- ··
mm1
mm·'
no. en norma A WG
. '
mm-'
¡Y(
in 2
··- - - - ·
0.82 1.31
18 16 · · - - - ~~
-
w ~
2,10 14 t:: 3,30 iO 5.20 8 8.40 ----------- ------. --- --- --------····· 13.30 6 21.2 4 26.6 3 33.6 2 42.4 1 - - ---- - - ----- ---- ----53,5 o 67.7 00 85,2 000 107.5 0000
10.775 12.646
0.0167 0,0196
5.6778 7.0327
0,0088 ·' 0.0109
14.839 17,936 29,679 49.033
0.0230 0,0278 0,0460 0.076
8.7102 11.0974 14.4520 26.3240
0.0135 0.0172 0.0224 0.0408
79,873 103,544 117.224 133,354 175.162
0,1238 0.1605 0.1817 0.2067 0,2715
52.8420 70.133.2 81.4888 95,0379 130.7820
0,0819 0,1087 0.1263 0.1473 0,2027
200.451 230,839 267,808 312.277
0,3107 0,3578 0.4151 0.4840
152.7188 179.4301 212.1117 251.8860
0,2367 0.2781 0.3288 0,3904
- ···-·-·----·-·
'•
TABLA 10.10
Sección transversal conductores desnudos
mm1
Aislamiento tipo R, RH-RW y RW
Aislamiento tipo T, TW, RU y RUW
Área aproximada de conductores con aislamientos
Área aproximada de conductores con aislamientos
mm1
no. en norma A WG
in1
mm1
.. 1
In
126,7 152,0 177.3 202.7 253.4
250 300 350 400 500
000 000 000 000 000
MC MC MC MC MC
381.765 441.123 491,642 539,710 634,489
0.5917 0,6837 0,7620 0,8365 0,9834
314,6640 360,0860 405,8950 449.6399 536,5480
0.4877 0,5581 0,6291 0,6969 0.8316
304,0 354,7 380,0 405.4 456,0
600 700 750 800 900
000 000 000 000 000
MC MC MC MC MC
770,369 860,374 908,571 953,863 1 043,482
1.1940 1.3355 1,4082 1.4784 1,6173
662.0390 746,8190 790,4990 832.8240 916,7000
1,0261 1.1575 1,2252 1.2908 1.4208
000 250 500 750 000
000 000 000 000 000
MC MC MC MC MC
1 1 1 1 2
1.7531 2,2062 2,54 75 2,8895 3,2079
998.8990 260,2050 467,7010 673,0040 831,9200
1.5482 l. 9532 2,2748 2,5930 2, 9013
506,7 633.4 760.1 886,7 1013.4
1 1 1 1 2
131.100 423,440 643,647 864,305 069,737
1 1 1 1
TABLA 10.13
Datos correspondientes a alambres macizos de cobre
No. en norma AWG
Diámetro
0000 000 00
o
~
N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
~
1
Sección transversal
mil circulares
mm
in 2
mm 2
460,0 410,0 365,0 325,0 289,0 258,0 229,0 204,0 182,0 162,0 144,0 128,0 114,0 102,0 91,0 81,0 72,0 64,0 57,0 51;0 45,0 40,0 36,0
11,7 10,4 9,3 8,2 7,3 6,5 5,8 5,2 4,6 4,1 3,6 3,2 2,9 2,6 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 1,3 1,1 1,0 0,9
0,166 0,132 0,105 0,0829
107,5 85,2 67,7 53,5 42,4 33,6 26,6 21,2 16,8 13,3 10,6 8,4 6,6 5,2 4,2 3,3 2,6 2,1 1,65 1,31 1,04 0,82 0,65
~0,0657
0,0521 0,0413 0,0328 0,0260 0,0206 0,0164 0,0130 0,0103 0,00815 0,00647 0,00513 0,00407 0,00323 0,00256 0,00203 0,00161 0,0~128
0,00101
Resistencia en !2 Peso en kilogramo por cada mil pies cada kilómetro (25 oc)
0,0500 0,0630 0,0795 0,100 0,126 0,159 0,201 0,253 0,319 0,403 0,508 0,641 0,808 1,02 1,28 1,62 2,04 2,58 3,25 4,09 5,16 6,51 8,21
953,8 755,9 599,6 474,6 376,5 299,0 236,6 187,5 148,8 118,3 93,7 74,4 58,9 46,7 ' 37,0 29,4 23,3 . 18,4 ~ 14,67 11,63 9,22 7,32 5,80
Diámetro
No. en norma
Sección transversal
AWG
mil circulares
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
32.0 28.5 25.3 22.6 20.1 17.¡9 15.9 14.2 12.6 11.3
\
1
no.o 8.9 8.0 7.1 6.3 5.6 5.0 4.5 4.0 3.5 3.1
mm
in 2
0.8 0.7 0.64 0.57 0.51 0.45 0.40 0.36 0.32 0.29 0.25 0.23 0.20 0.18 0.16 0.14 0.13 0.11 0.10 . 0.09 0.08
0.00802 0.000636 0.000505 0.000400 0.000317 0.000252 0.000200 0.000158 0.000126 0.0000995 0.0000789 0.0000626 0.0000496 0.0000394 0.0000312 0.0000248 0.0000196 0.0000156 0.0000123 0.0000098 0.0000078
mm 2
0.517 0.410 0.326 0.258 0.204 0.162 0.129 0.102 0.081 0.064 0.051 0.040 0.032 0.025 O.ü20 0.016 0.013 0.010 0.008 0.006 0.004
Resistencia en O Peso en kilogramo por cada mil pies cada kilómetro (25 OCJ
10.4 ' 13.( 16: 5 20.8 26.2 33.0 41.6 52.5 66.2 83.4 105.0 133.0 167.0 211.0 266.0 335.0 423.0 533.0 673.0 848.0 1 070.0
4.60 3.64 2.88 2.29 1.81 1.44 1.144 0.907 0.720 0.571 0.452 0.358 0.284 0.226 0.178 0.1419 0.1126 0.0893 0.0708 0,0561 0.0445
~-
PROBLEMAS RESUELTOS 10. 1 Un motor de corriente alterna, trifásico de jaula de ardilla tiene una potencia de 5 HP y una tensión de 220 V. a) Determinar la corriente nominal sin factor de servicio. b) Determinar la corriente nominal con factor de servicio. e) Hallar la corriente máxima con que es capaz de funcionar indefinidamente el citado motor sin sufrir daño alguno en el aislamiento de sus conductores, si este poseyera como dato de chapa un factor de servicio igual a 1.15. Solución:
La unidad de potencia del motor en este caso especifico es el caballo de fuerza (HP) que equivale a O. 746 kW. El gráfico mostrado en la figura 10.1 posee en el eje de las ordenadas la potencia expresada en kilowatt y caballos de fuerza. Al analizar dicho gráfico con el valor de 5 HP se obtendrá en el eje de las abscisas, para la curva de motores asincrónicos de jaula de ardilla de 220 V una corriente nominal de 15 A. a) Cuando el dato factor de servicio no aparece en la chapa del motor, este se considera igual a la unidad, luego, de acuerdo con la ecuación (10.6): /~om
= ]nom
· S. F.
= /nom = 15 A
donde l~om es la corriente de trabajo permanente del motor. b) Cuando S. F. = 1,0, sucede como en el caso del inciso a: J~om =]nom .
S.F.
=Jnom
= 15 A.
e) Cuando el factor de servicio es 1.15 se tiene que la corriente.máxima con que es capaz de funcionar indefinidamente el citado motor sin sufrir daño, en correspondencia con la ecuación (10. 5), es: /~om=l.15
·/nom=1,15 ·15=17,25 A.
A los efectos de extraer al motor su máxima capacidad, en motores con S.F> 1,0, se considerará en todos los problemas el valor de l~om calculado como el de su corriente nominal aunque no sea precisamente este el valor que aparece en la chapa de la máquina.
10. 2 Determinar la corriente nominal de un motor asincrónico trifásico de rotor bobinado de 28 kW y 220 V.
323
Solución: De acuerdo con el gráfico de la figura 1.10 y al tomar el valor del dato en el eje de las ordenadas con la unidad de kilowatt. se tiene para la curva de motores asincrónicos trifásicos de 220 V que el mismo toma una corriente nominal de 95 A .
10. 3 Determinar la corriente nominal de un motor monofásico de corriente alterna de 3/4 HP y 115 V. Solución: De acuerdo con la curva correspondiente de la figura 10.1. se tiene que un motor monofásico de 3/4 HP toma una corriente nominal de 13,8 A a 115 V. JO. 4 Determinar la corriente nominal de un motor sincrónico trifásico de 50 kW, 220 V y 0,8 factor de potencia en adelanto.
Solución: La figura 10.1 muestra. de acuerdo con el procedimiento seguido en ejemplos anteriores, que un motor sincrónico trifásico de 50 kW y 220 V toma una corriente nominal de 143 A. No obstante. en el caso de motores sincrónicos, los valores obtenidos mediante el gráfico en cuestión deberán ser multiplicados por 1.25 para un factor de potencia de operación de la máquina de O, 8. Por consiguiente : /nom
= 1,25
' 143
= 178,75
A.
JO. 5 Resolver el problema del ejercicio anterior para un factor de potencia de operación de O, 9.
Solución: Cuando un motor sincrónico opera a un factor de potencia unitario, la corriente que toma a plena carga es la obtenida mediante la curva correspondiente del gráfico de la figura 10.1. No obstante, cuando el factor de potencia de operación es O, 9, el valor de la éorriente obtenida debe ser multiplicada por el factor 1, 1, o sea: /nom
= 1,1
· 143
= 157,3
A.
JO. 6 Seleccionar el tipo de aislamiento para conductores que han de ser utilizados en la alimentación de un motor eléctrico, si se tiene en cuenta· que las condiciones ambientales del local en que ha de realizarse la instalación son: 1) aire seco; 2) temperatura 25 "C.
324
Solución: El tipo de aislamiento del conductor se selecciona de acuerdo con las condiciones ambientales del local (tabla 10. 9). En el caso en que el aire del local en que ha de realizarse la instalación del motor es seco y la temperatura de 25 "C cualesquiera de los diferentes tipos de aislamientos para conductores relacionados en la citada tabla soporta tales condiciones sin dificultades. No obstante, siempre que sea posible. es conveniente seleccionar el aislamiento tipo TW (termoplástico resistente a la humedad) por ser el más ampliamente cl\fundido. JO. 7 Seleccionar el tipo de aislamiento para conductores que han de ser usados en la instalación de un motor eléctrico, si se sabe que las condiciones ambientales del local son: 1) aire seco; 2) temperatura ambiental 75 'C.
Solución: De acuerdo con las condiciones en el local en que ha de ser instalado el motor eléctrico, y al atender las recomendaciones dadas por la tabla 10.9. debe seleccionarse el aislamiento RH (goma resistente al calor para localizaciones secas) . También cumple con los requisitos necesarios el aislamiento RH-RW (goma resistente a la humedad y el calor para localizaciones secas). pero las características del primero resultan suficientes para los requerimientos exigidos.
10.8 Calcular el área de la sección transversal de cada una de las líneas de alimentación de un motor asincrónico trifásico que toma 50 A por línea si la temperatura ambiental del local en que ha de instalarse es de 25 'C.
Solución: Para determinar el área de la sección transversal de cada uno de los conductores debe partirse de la corriente nominal tomada por el motor en cuestión. La ecuación (10. 7) toma en consideración, además de la magnitud de la corriente nominal del motor, las posibilidades de que: a) la temperatura ambiental sea superior a los 30 'C, b) se introduzcan a través de una misma tubería más de tres conductores y e) se reserve un factor de 25% de seguridad a favor del conductor. Cada uno de estos factores influ- ye de modo que el área de la sección transversal del conductor a seleccionar sea calculado para condiciones peores de operación del conductor. Por tanto: fe=
1,25 . Jnom F. T. . F. c.
1.25 . 50 1.0·1.0
=62,5 A.
Obsérvese que los valores asignados a F. T. y F. C. fueron 1.0 en ambos casos. Está establecido que hasta 30 'C, el factor de temperatura F. T. sea 1,0 (tabla 10.7).
325
Por otro lado, en la tabla 10.8 se observa que para 1 a 3 conductores introducidos en una tubería común, el factor de número de conductores es igual a 1,0. Obsérvese asimismo que el valor calculado de /, no es numéricamente igual a la corriente que realmente circula a través del conductor, sino que es un valor alterado por las consideraciones hechas sobre los tres factores mencionados anteriormente. Seguidamente debe trabajarse con la tabla 10.5 para conductores de cobre, comenzar por la columna de la derecha. buscar el valor de corriente igual o inmediatamente superior a /,, en este caso, 70 A, y leer el área de la sección transversal del conductor requerido en cualesquiera de las dos columnas de la izquierda en la misma fila. Para este caso particular, debe escogerse un área de sección transversal del conductor de 21,2 mm 2 que equivale a uno no. 4 en la norma AWG . 10. 9 Calcular el área de la sección transversal de cada uno de los conductores que alimentan el motor del problema anterior cuando la temperatura ambiental donde se pretende instalar puede alcanzar un valor máximo de 40 'C. Solución:
Al igual que en el problema anterior, debe aplicarse la ecuación (10. 7) para calcular el área de la sección transversal, pero esta vez debe considerarse que a la temperatura ambiental de 40 'C corresponde un F ..T. de 0,82, de acuerdo con los factores que aparecen en la tabla 10.7. Por tanto: J = 1,25 . Jnom = 1,25 . 50 = 76,22 A. e F. T. ·F. C. 0,82 . 1,0 Si se tiene en cuenta que en la tabla 10.5 no aparece expresamente el valor de 76,22 A, se hace necesario tomar el valor inmediato superior a este, es decir, 80 A, al cual corresponde un área de la sección transversal del con- · ductor de 26,6 mm 2 (no. 3). Esta selección por exceso permite que el conductor pueda trabajar más desahogadamente aún. 10. JO Determinar el valor máximo de ajuste de protección térmica contra sobrecargas para un motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla con una corriente nominal de 78 A. Solución:
La protección térmica contra sobrecargas para motores eléctricos se determina mediante los datos de la corriente nominal y factor de servicio en chapa del motor. La tabla 10.3 se utiliza con estos fines, por lo que el valor máximo de corriente de ajuste (lp,) de la protección térmica contra sobrecargas para el motor en cuestión, es: /ps = 1,15 · / nom = 1,15 ·78=89,7 A. 326
1
f
1 \
Debe tenerse; en cuenta que: Como no se especifica un valor determinado de factor de servicio, este· debe ser considerado igual a la unidad. · La protección térmica podrá ajustarse entre un valor mfnirno ligeramente superior a la corriente nominal del motor a proteger y, únicamente en el caso de no tener otra .alternativa,. superar este valor y tener sumo cuidado en no sobrep~sar el valor máximo de 89,7 A antes calculado. 10.-11 Determinar·el valor má}(imo de ajuste de la protección térmica contra sobrecargas par~ un motor monofásico de corriente alterna que toma una corriente nominal de 40 A y su factor de servicio es 1,15.
Solución: De mariera similar al problema anterior, y al atender lo establecido en la tabla 10.3, se tiene que el valor máximo de corriente de ajuste (lps) de la protección térmica contra sobrecargas es: /ps = 1,25 ·lnom = 1,25 • 40 = 50 A.
Por tanto, la protección térmica deberá ajustarse preferentemente a un valor inmediatamente superior a la corriente nominal, y únicamente en caso de no encontrar el relé térmico adecuado, superar dicho valor, sin exceder en ningún momento el valor lps calculado de 50 A. 10.12 Calcular el valor máximo de corriente de la protección contra cortocircuitos de un motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla que posee una corriente nominal de 21 A y no posee letra de código, si se utiliza el método de arranque directo y se desea utilizar fusibles con tales fines.
Solución: Como se indica en el enunciado, en este caso se desea utilizar fusibles. En la tabla 10.2 pueden encontrarse los factores por los que es necesario multiplicar la corriente nominal del motor a fin de determinar el valor buscado; Puede observarse en la tercera fila de la-citada tabla que para este tipo de motor y su arranque correspondiente, el valor de corriente máximo para el fusible es igual a: l¡us = 3,0 ·lnom = 3,0 · 21 = 63 A.
No obstante el cálculo realizado, no puede considerarse tenmnada la selección apropiada. Corresponde, a continuación, utilizar la tabla 10.4. Según esta, el valor de corriente del fusible, para la protección del motor de que puede disponerse en el mercado, es de 70 A. Recuérdese que debe ser seleccionado, mediante la tabla 10.4, el fusible cuyo valor de corriente es inmediatamente superior al calculado mediante la tabla 10.2. 327
10. 13 Calcular el valor máximo de corriente de la protección contra cortocircuitos del problema 10.12 si el método de arranque utilizado es el autotransformador y se desea usar un disyuntor con tales fines.
Solución:
Por no hacerse referencia en la chapa del motor a la letra de código, deberá considerarse el motor sin letra de código. La quinta fila de. la tabla 1O. 2 resume las condiciones del motor que nos ocupa, ya que comprende los motores de jaula ar.dilla sin letra de código con corriente nominal menor .de 30 A y arranque por autotransformador. El valor máximo de corriente permisible para el disyuntor necesario para una adecuada protección del motor de acuerdo con lo establecido por la tabla 10.1 es: /disy
= 2,0
·/nom
= 2,0 • 21 = 42 A.
De acuerdo con la tabla 10.4, es evidente que el disyuntor que se adecua para la protección del motor debe ser el que comercialmente se fabrica con un valor de corriente inmediatamente superior al calculado, o sea, un disyuntor de 50 A. 10. 14 Determinar el valor máximo de corriente de la protección contra cortocircuitos de un motor asincrónico de jaula de ardilla trifásico de 41 A de corriente nominal, letra de código D y arranque por autotransformador. Utilizar fusibles.
Solución:
De acuerdo con los datos de que se dispone, la fila novena de la tabla 1O. 2 resume las condiciones necesarias para proteger el motor en cuestión, es decir, incluye los motores de jaula de ardilla con letras de código B, C. D y E y arranque por autotransformador. El valor aproximado de la corriente para los fusibles a seleccionar, de acuerdo con la referida tabla, es: · l¡us
=2,0
·fnom
=2,0 • 41 =82 A.
De acuerdo con lo establecido por la tabla 10.4, los fusibles deberán ser de 90 A. 10.15 Calcular el diámetro de la tubería necesaria para introducir tres conductores de 8,4 mm 2 de área de la sección transversal (no. 8).
Solución:
En la tabla 10.10 se muestra la cantidad de conductores que pueden ser introducidos por tuberías de diferentes diámetros. Al observar la fila seis 328
de dicha tabla y avanzar por esta hasta encontrar la cantidad de conductores a introducir por la tubería (3 en este caso), se encuentra, en la parte superior de la columna correspondiente, que es necesario seleccionar una tubería de 19 mm (3/4 in) de diámetro interior para este propósito. 10. 16 Calcular el diámetro inte.rior de tubería necesaria para introducir tres conductores de 53,5 mm 2 de área de sección transversal (no. 0).
Solución:
En-la columna de 'la izquierda de la tabla 10.10 se Busca el área de la sección transversal dada de 53;5 mm 2• Al avanzar hacia la derecha por la fila correspondiente, se observa que no aparece el número 3, sino que de 2 salta a 4. Evidentemente, debe ser seleccionado el diámetro de la tubería correspondiente a 4 conductores, o sea, 50,8 mm (2 in), puesto que si se 1 escogiese la tuberia de 38 mm (1 - - in) de diámetro, solamente podrían 2 introducirse por ella dos conductores. 10. 17 Seleccionar el contactar magnético para arrancar directamente de la linea, un motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla de 220 V que posee una corriente nominal de 52 A. Ús~se un contactar encerrado.
Solución:
El motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla de 220 V puede ser arrancado directamente de la linea mediante un contactar magnético cuya corriente de trabajo (le,) puede ser calculada mediante la ecuación (10.1), es decir: lec =
1,08
/nom
= 1,08 • 52 = 56,16 A.
De acuerdo con lo establecido por la tabla 10.1 para contactares encerra· dos, debe seleccionarse un contactar magnético de 90 A. Como puede observarse, siempre se hace necesario escoger un contactar magnético con un valor de corriente de trabajo inmediatamente superior al calculado. La corriente de interrupción (1;",) de dicho contactar puede ser calculada mediante la ecuación (1 O. 3) , o sea: /inc
= 10 • /nom = 10 • 52 = 520 A.
Además, debe señalarse: tensión nominal, frecuencia de la tensión de operación, corriente de operación del elemento térmico (si este se incluyera dentro del contactar magnétic-:-), número de contactos auxiliares necesarios y su posición cuando el contactar se encuentre desenergizado. 10.18 Seleccionar un contactar magnético de tipo descubierto para arrancar directarii.ente de la linea un motor de 32 A nominales a 440 V. 329
Solución:
De acuerdo con la ecuación (10.2). por tratarse de un motor asincrónico_ trifásico de 440 V, la capacidad de corriente aproximada del contactar es: 1, 1 = 1,37 · 32 = 43,84 A.
De acuerdo con la tabla 10.1 (ver columna correspondiente a contactares del tipo descubierto()), deberá seleccionarse un contactar trifásico de 50 A (no. 2), La corriente de interrupción mfnima del contactar en cuestión, en correspo_ndencia con lo establecido por la ecuación (10.3), debe ser: li nr
= 10 · 32
= 320
A.
10.19 Se desea instalar y proteger adecuadamente un motor de corriente directa de 16 kW y 220 V que operará en un local en que el ambiente es seco y la temperatura no sobrepasa los 25 l"C. Calcular: a) corriente nominal, b) tipo de aislamiento del condÜctor, e) área de la sección transversal del conductor, d) valor máximo de ajuste de corriente de la protección térmica contra sobrecargas . .e) valor máximo de la protección contra cortocircuitos y f) diámetro de la tuberfa. Solución:
a) La corriente nominal del motor puede ser determinada del gráfico de la figura 10.1, por lo que lnom == 80 A. b) La tabla 10.9 indica que cualesquiera de los aislamientos enumerados cumple con los requisitos planteados. No obstante, se sugiere la selección del aislamiento TW que es uno de los más ampliamente utilizados en la práctica. e) La ecuación (10. 7) se utiliza para calcular la magnitud equivalente de la corriente (le) circulante a través del conductor; o sea: l _ 1.25 lnn'm
c- F.T.·F.C
1,25 . 80 - - - - = 100 A. 1,0 . 1.0'
De acuerdo con la tabla 10. 5, el área de la sección transversal del conductor a seleccionar debe ser 42,4 mm 2 (no. 1). Nótese que aunque lo más usual es utilizar conductores de cobre, también es _posible que se disponga exclusivamente de conductores de aluminio. En este caso se procede de forma similar, pero se debe trabajar con la tabla 10.6, donde se obtiene para las condiciones de este ejemplo un conductor de aluminio TW con un área de su sección transversal de 53,1 mt)1 2 (no. O). Los conductores de aluminio en instalaciones de motores eléctricos prácticamente no se utilizan, razón por la cual en los ejercicios de este texto se trabaja en todos los casos con conductores de cobre. 330
1
\ )
d) El valor máximo de ajuste de corriente de la protección contra sobrecargas, al considerar S. F. = 1 ya que no se da como dato, y al atender a la tabla 10.3, es el que sigue: /p , =l.l5 ·fnom=1.15 ·80=92 A. Por consiguiente, esta protección podrá calibrarse preferentemente a un valor lo más próximo posible al de la corriente nominal. y en caso de que esto no fuera posible, a cualquier valor inmediatamente superror, éuidando de no sobrepasar en ning.ún caso .los 92 A calculados. e) El valor máximo de corriente de la protección térmica contra sobrecarga puede ser determinado mediante la tabla 10. 2. Para un motor de corriente directa, generalmente puesto en marcha mediante arrancador, debe ser utilizada la primera fila de dicha tabla, con lo que se obtiene como resultado que el valor aproximado de corriente de los fusibles es: f¡us
= 1.5 · Jnom = 1.5 · 80 = 120 A.
De acuerdo con la tabla 10.4 los fusibles deberán seleccionarse de un valor inmediatamente superior al calculado, en este caso de 125 A cada uno. Además, en la propia tabla puede determinarse el valor aproximado de corriente del disyuntor: fdisy
= 1.5 · Jnom = 1.5 · 80 = 120 A.
De acuerdo con la tabla 10.4 el disyuntor a seleccionar deberá ser de 125 A. Como no se especifica en el enunciado un tipo determinado de protección contra cortocircuitos, se ha realizado el cálculo de fusibles y disyuntor; sin embargo, es conveniente tener en cuenta que es necesario decidirse por una sola protección, de acuerdo con las condiciones específicas que requiera la instalación, a fin de evitar duplicidades innecesarias. f) El diámetro de la tubería necesaria para introducir los dos conductores de 42.4 mm 2 (no. 1) utilizados para alimentar el motor de corriente directa en cuestión debe ser, de acuerdo con la tabla 10.10 de 38 mm 1 . (1 -
2
m).
10. 20 Se pretende instalar y proteger correctamente un motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla de 37 kW, 230 V, 1 785 r/min y 60Hz. El motor debe ser arrancado mediante autotransformador. La temperatura ambiental del local donde se ha de instalar el motor es de 40 "C. Determinar: a) corriente nominal del motor, b) área de la sección transversal del conductor a utilizar, e) valor máximo de corriente de ajuste de la protección contra sobrecargas, d) valor nominal de corriente de los fusibles destinados a la protección contra cortocircuitos y e) diámetro de la tubería necesaria.
331
~l
Solución: a) La corriente nominal del motor puede ser determinada mediante el gráfico de la figura 1O. 1 : Jnom = 130 A.
b) El área de la sección transversal del conductor debe calcularse mediante la ecuación (10. 7), es decir: J = 1.25 . Jnom ( F. T. ·F.C.
1.25 . 130 0.82 . 10
= 198,17 A.
En la tabla 10.5 se observa que el conductor de cobre necesario para la instalación debe ser de 126.7 mm 2 de área de su sección transversal (250 000 mil circulares en norma A WG). El factor F. T. =O. 82 se obtuvo ele los datos en la parte inferior de la tablal0.7. e) El valor máximo de ajuste de la protección contra sobrecargas puede ser determinado mediante la tabla 10.3. Debe tenerse en cuenta que. al no hacerse referencia al factor de servicio en sus datos de chapa, este debe considerarse igual a la unidad. Por tanto:
Ir, = 1.15 · lnom para S. F. = 1.0 =1.15 ·130=149.5 A. La protección térmica contra sobrecarga deberá calibrarse a un valor inmediatamente superior al de la corriente nominal del motor, y en caso de ser necesario, a valores superiores con 149,5 como límite máximo. d) El valor nominal de los fusibles puede determinarse: . Valor aproximado de corriente de los fusibles (octava fila de la tabla 10.2):
/¡¡, = 2,0 · Jnom = 2,0 · 130 = 260 A . . Valor nominal de corriente de los fusibles de la tabla 10.4: fusibles de 300 A. e) El diámetro de la tubería necesaria para introducir tres conductores de 126,7 mm 2 (250 000 mil circulares), de acuerdo con la tabla 10.10. debe ser: tubería de 63.3 mm (2 332
1 in) de diámetro. 2
JO. 21 Seleccionar los dispositivos necesarios para instalar y proteger correctamente un motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla de 20 HP. 440 V. 1 195 r/min. S. F. = 1.15. letra de código F y 60 Hz en un local en que los conductores pueden estar sometidos a la humedad y con una temperatura n1áxima de 30 'C. El arranque deberá ser directamente de la línea.
Solución: a)
Cálculo de la corriente nominal
De acuerdo con el gráfico de la figura 10.1 se tiene que la corriente tomada por el motor en condiciones de plena carga es: fnom = 26 A. Sin embargo, por poseer un factor de servicio S. F. = 1, 15, el motor podrá soportar continuamente sin que sus devanados sufran daño. f~om
= 26 '1,25 =29,9 A.
b) Cálculo del área de la sección transversal del conductor [ver ecuación (10.7) ] le= 1,25 . /~om F. T. ·F. C.
= 1,25 · 29,9 = 37 •37 A. 1,0 . 1,0
De acuerdo con la tabla 10.5 puede seleccionarse un conductor de 8,4 mm 2 de área de la sección transversal (no. 8) y aislamiento tipo TW, o sea, un conductor TW de 8,4 mm 2 (no. 8). e) Valor máximo de corriente de ajuste de la protección contra sobrecargas
/ps=1,25 ·/nom
para un S.F. = 1.15 (ver tabla 10.3): lps = 1,25 · 26,0 =32,5 A. d) Valor de corriente de los fusibles (fila tercera de la tabla JO. 2)
l¡u., =3 · /nom =3 · 26,0 = 78 A.
De acuerdo con la tabla 10.4 los fusibles deberán ser de 80 A cada uno. e)
Diámetro de la tuberia para tres conductores de 8, 4 mm 2 (no . 8)
En concordancia con la tabla 10.10 se tiene que es necesario seleccionar una tubería de 19 mm (3/ 4 in) de diámetro interior. 333
f) Corriente minima del interruptor de cuchillas
l;e=1,15 ·/~om=l.15 ·29,9 = 34,38 A. g) Capacidad de corriente del contactar magnético del tipo encerrado [ver ecuación (10.2)] Jet= 1,37 ·/~om = 1,37 · 29,9 =40,96 A.
De acuerdo con la tabla 10.1 debe seleccionarse un contactar magnético de 45 A (no. 2). h) Dispositivos necesarios para la instalación
• Un interruptor de cuchillas, trifásico (de 3 polos), de 440 V, con corriente minima de trabajo de 34.38 A y con 3 fusibles de 80 A cada uno . . Un contactar magnético trifásico de 45 A (no. 2), de régimen continuo de operación, encerrado, de 60 Hz, con el correspondiente relé térmico (protección contra sobrecargas) y ajustable en un rango comprendido entre 30 y 32,5 A . • Conductor de aislamiento tipo TW de 8,4 mm 2 (no. 8) . . Tubería (plástica o metálica) de 19 mm (3/4 in de diámetro interior) . • Estación de pulsadores de arranque y parada. El conductor de conexión para dicha estación generalmente debe ser TW de 2, 1 mm 2 (no. 14).
10.22 Seleccionar los componentes necesarios para instalar y proteger correctamente un motor con ·excitación en paralelo de corriente directa de 9 kW, 220 V y 900 r/min. El local en que ha de realizarse la instalación posee un ambiente seco y temperatura máxima de 30 "C. Solución: a) Cálculo de la corriente nominal De acuerdo con el gráfico de la figura 10.1 se tiene que la corriente nominal tomada por este motor, al tener en cuenta que S. F. = 1,0, por no aparecer este dato en la chapa es:
/nom = 48 A. b) Cálculo del área de la sección transversal del conductor
/ = e
1,25 .Jnom F. T. -F. C.
=
1,25 . 48 1,0 . 1,0
= 60 A.
De acuerdo con las tablas 10.5 y 10.9 el conductor a seleccionar es: termoplástico resistente a la humedad (fW) de 21,2 mm 2 de área de sección transversal (no. 4) . 334
1 1
e) Máximo valor de la corriente de ajuste de la protección cotltra sobrecargas
lps=1,15 ·lnom para S.F. =1,0 /ps=1,15 · 48 = 55,2 A. d) Valor aproximado de corriente de los fusibles De la fila primera de la tabla 10.2:
l¡us = 1.5 ·/nom = 1,5 · 48 = 72 A. De acuerdo con la tabla 10.4 los fusibles deberán ser 80 A. e) Diámetro de la tuberia para 2 conductores de 21,2 mm 2 (no. 4): De la tabla 10.10 . 1 Tubería de 31,8 mm (1- in). 4 f) Corriente minima del interruptor de cuchillas / = 1,15 ·/nom = 1,15 ·48=55,2 A. g) Dispositivos necesarios para la instalación
. Un interruptor de cuchillas de 2 polos, 220 V, con corriente mínima de trabajo de 55,2 A y con 2 fusibles de 80 A cada uno . . Un arrancador para un motor de corriente directa de 9 kW, 220 V y 48 A (puede ser solicitado expresamente el número de pasos del arrancador, así como el número de puntos del arrancador, datos que no se entran a analizar en este libro). El arrancador puede ser de operación manual o automática . . Protección térmica contra sobrecargas para un motor de corriente dlrecta con un motor de corriente directa con un valor máximo de operación de 55,2 A. Generalmente, la protección térmica no se incluye en el arrancador. · 2 . Conductor TW de 21,2 mm (no. 4). _. .Fstación de pulsadores de arranque y parada. 10.23 Se desea proceder a la instalación y protección de dos motores eléctricos dentro de un mismo local. Los datos de dichos motores son los siguientes: Motor 1: Motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla de 10 kW, 220 V, 60 Hz, 3 590 r/min y arranque directo de la linea. Motor 2: Motor asincrónico trifásico de rotor bobinado de 14 kW, 220 V, 60 Hz y 1 185 r/min provisto de un arrancador compuesto por un grupo de resistores variables interconectados con los devanados del rotor.
335
La alimentación para ambos motores debe provenir de un alimentador común, el cual se ramifica dentro del local para energizar cada motor por separado. 1) Para cada motor: a) Calcular la corriente nominal. b) Hallar el área de la sección transversal del conductor y el tipo de aislamiento. e) Calcular la corriente máxima de operación de las protecciones térmicas contra sobrecargas. d) Determinar los fusibles. e) Determinar el diámetro de las tuberías. f) Selección de los contactares magnéticos. g) Selección de los interruptores de cuchillas. h) Hacer un listado de los dispositivos principales para llevar a cabo la instalación. 2) Para el ~limentador común: a) Calcular el área de la sección transversal del conductor y tipo de aislamiento. b} Hallar el diámetro de la tubería. e} Determinar la capacidad del disyuntor para protección del alimentador principal. La temperatura ambiental máxima del total es de 28 'C. Solución: 1)
Para el motor 1
a} Determinación de la corriente nominal (fig. 10.1):
fnom =36 A. b) Área de la se.cción transversal del conductor y tipo de aislamiento (ecuación (10.7), tablas 10.5 y 10.9}:
J e
=
1,25 . Jnom F. T. -F. C.
= 1,25
· 36 1,0 1,0
= 45
A.
o
Se selecciona, por consiguiente, el conductor TW de 13,3 mm 2 (no. 6}. e) El valor máximo de corriente de operación (IPJ de la protección térmica contra sobrecargas (ver tabla 10.3), es:
Jps=1,15 ·lnom=1,15 ·36=41,4 A. Se considera S. F. 336
= 1,O
d) Determinación de los fusibles (ver tabla 10.4 y fila tercera de la tabla 10.2) l¡us = 3,0 · /nom =3,0 · 36 = 108 A.
Por consiguiente, se seleccionan fusibles de 110 A. e} Determinación del diámetro de la tubería (ver tabla 10.10}. El diámetro de la tubería seleccionada es de 25,4 mm (1 in}. f) Selección del contactar magnético: Si se pretende seleccionar un contactar magnético encerrado, se tiene, de acuerdo con la ecuación (10.1): [el=
'
1,08 ·lnom = 1,08 · 36 = 38,88 A.
Es necesario seleccionar un contador magnético encerrado trifásico de 45 A (r..o. 2). g) Selección del interruptor de cuchillas. La corriente mínima del interruptor de cuchilla (l¡J puede calcularse mediante la ecuación siguiente: /¡c=1,15 ·/nom=1,15 ·36 = 41,4 A. h) Dispositivos principales . Un interruptor trifásico de cuchillas de 220 V, con mínima corriente de trabajo de 41,4 A que incluya 3 fusibles de 110 A cada uno . • Un contactar magnético encerrado de 220 V, 45 A (no. 2) de régimen ·continuo de operación, trifásico, 60 Hz, con un mínimo de 360 A de interrupciÓn, con el correspondiente relé térmico ajustable en un rango mínimo comprendido entre 36 y 41,4 A . • Conductor TW de 13,3 mm 2 (no. 6) . . Tubería de 25,4 mm (1 in) de diámetro . • Estación de pulsadores.
Para el motór 2 a) Deferminación de la corriente nominal (fig. 10.1): [,0 m
= 48 A.
b) Área de la sección transversal del conductor y tipo de aislamiento (ecuación (10.7)-y tablas 10.5 y 10.9): (
1,25 · lnom F. T. ·F. C.
= 1,25 • 48 = 60 A. 1,0 · 1,0 337
Por tanto, se requiere: _Conductor TW de 21,2 mrn 2 (no. 4). ·e) El valor máximo de la corriente de operación (/p,) de la protección térmica contra sobrecargas (ver tabla 10.3): /ps=1,15 · /nom=1,15 ·48=55,2 A. Para un S.F.
= 1,0.
d) Determinación de los fusibles (ver tabla 10.4 y fila primera de la tabla 10.2). /fus = 1,5 · /nom = 1,5 · 48 = 72 A.
Se seleccionan fusibles de 80 A cada uno. e) Determinación del diámetro interior de la tubería (tabla 10.10): Se selecciona una tubería de 31,8 mm
~-
+
in) de diámetro interior.
f) Selección del contactor (tabla 10.1):
/ct=1,08 ·/nom =1.08 ·48 =51,84 A. Se selecciona un contactor magnético, tipo encerrado, trifásico de 90 A (no. 3). g) Selección del interruptor de cuchillas: /¡c=1,15 ·/nom=l.15 ·48=55,2 A. h) Dispositivos principales • Un interruptor de cuchillas de 3 polos (trifásico), de 220 V, con mínima corriente de trabajo de 41,4 A, que incluya 3 fusibles de 100 A cada uno . • Un contactor magnético de 220 V, 90 A (no. 3) de régimen continuo de·. operación, trifásico 60 Hz, tipo encerrado, con un mínimo de 480 A de interrupción, con el correspondiente relé térmico ajustable en un rango comprendido entre 48 y 55,2 A. • Conductor TW de 13,3 mrn 2 (no. 6) . . Tubería de 31,8 mm (1 _!_ in) de diámetro . 4 . Estación de pulsadores. 2) Para el alimentador común, si se considera solamente el efecto de calentamiento, se tiene: a) Para realizar el cálculo de alimentador común a ambos motores debe aplicarse la ecuación (10.8). Por carecer de algún dato al respecto, será 338
1
considerado el factor de demanda de la combinación igual a la unidad, lo que equivale a decir que ambos motores operarán a la vez y a plena capacidad, por consiguiente: I = 1,25 ·Imm + I.Inom • F. D. = a F. T. ·F. C. ,
= 1,25 ·48 +36 ·1,0 = 96 A. 1,0 . 1,0 De acuerdo con la tabla (10. 5) para una corriente de 96 A por el alimentador se. escoge un conductbr de 42,4 mm 2 (no. 1). Puede usarse aislamiento TW. b) La tubería para tres conductores de 42,4 mm 2 (no. 1), de acuerdo con la tabla (10.10) debe ser de 38 mm (1
T
in) de diámetro interior.
e) La protección del alimentador puede realizarse con un disyuntor; la corriente de trabajo (Ida) es posible calcularla mediante la ecuación (10. 9), o sea:
De la fila primera de la tabla 10.2 se tiene que el valor de la corriente del disyuntor del motor que mayor corriente toma en el arranque, es: Idisy = 1,5 ·Inom = 1,5 • 48 = 72 A.
Obsérvese que el disyuntor del motor que mayor corriente toma en el arranque tiene un valor, de acuerdo con la fila tercera de la tabla 10.2 de: Idm =2,5 ·I~om =2,5 • 36 =90 A.
En concordancia con la tabla 10.4 se ve que el disyuntor que es posible obtener comercialmente es de 100 A, valor este que debe ser utilizado en la ecuación (10 . 9). Al tener en cuenta que el valor del factor de demanda es unitario, se tiene que: Ida= 100 +48 · 1,0 = 148 A.
Al recurrir nuevamente a la tabla 10.4 puede observarse que debe seleccionarse un disyuntor para protección del alimentador principal de 150 A a 220 V. JO. 24 Se desea realizar la instalación de un grupo de 6 motores asincrónicos trifásicos de jaula de ardilla de 5 kW, 440 V, 60 Hz, 1 785 r/min y
339
2 motores asincrónicos trifásicos de jaula de aráilla de 7 kW, 440 V, 60 Hz y 1 175 r/min. Todos los motores serán puestos en marcha por arranque directo. El factor de demanda del conjunto de motores es 0,8. Se prefiere instalar los interruptores de cuchillas y los contactores magnéticos en el exterior del local, debido a que las condiciones ambientales interiores no permiten lo contrario y hay buena visibi!idad de todos los motores desde alli; además es conveniente introducir todos los cables de los motores a través de una tuberia común hasta un punto, en el interior del local, en que se realiza la separación de los conductores. Todos los interruptores de cuchillas deben recibir energía eléctrica a través de un solo alimentador trifásico. Determinar los principales parámetros, dispositivos y accesorios necesarios para la adecuada instalación y protección de dichos motores, sabiendo que la temperatura en el interior del local ha de ser como máximo 30 "C. · Solución: Para los 6 motores de 5 kW cada uno La corriente nominal de cada motor, de acuerdo con el gráfico de la figura 10. 1 es: /nom = 9,8 A.
La protección contra sobrecargas puede ser determinada de acuerdo con la tabla 10.3, o sea:
IP 5 =1,15 ·9 ,8=11 ,27 A (para un S.F. =1.0). La protección contra cortocircuitos, constituida por fusibles, de acuerdo con la tabla 10.2, fila tercera, debe poseer una corriente aproximada de: lrus = 3,0 · /nom = 3,0 · 9,8 = 29,4 A.
Por tanto, al tener en cuenta lo que establece la tabla 10.4 se seleccionan fusibles de 30 A. Para realizar la selección del área de la sección transversal del conductor debe trabajarse ·con la ecuación (1 O. 7) . De acuerdo con el procedimiento acostumbrado, el área de la sección transversal del conductor a utilizar para la instalación de cada uno de los 6 motores de 5 kW, de 9,8 A de corriente nominal, deberá ser calculada hallando previamente el valor de la corriente le: / _ e-
1,25 /nom F. T. ·F. C.
= 1,25
. 9,8 1,0 . 1,0
= 12,25
A.
En re~ación con lo establecido en la tabla 10. 5, el conductor a utilizar debe ser de 2,1 mm 2 de área de su sección transversal (no. 14). 340
No obstante, en este caso especifico en que se hace necesario introducir 24 conductores a través de una sola tubería, es importante tener en cuenta este tramo como crítico a los efectos de calcular el valor de la corriente le, considerando que el factor F. C. para 24 conductores, . de acuerdo con la tabla 10.8, es O, 7. Por consiguiente, sobre la. base de estas nuevas condiciones:
/= e
1,25 /nom• F. T. ·F. C.
=1,25·9,8 = 17 , 5 A. 1,0 '0,7
De acuerdo con la tabla 10.5 debe seleccionarse el conductor TW de 3,3 mm 2 (no. 12). Como consecuencia, se recomienda seleccionar el conductor sobre la base de las condiciones críticas, a fin de que este sea capaz de soportarlas sin dificultades, aunque esto implique que dicho conductor se encuentre sobrante de capacidad en algunos tramos. La selección de la tubería que debe utilizarse dentro del local a fin de alimentar individualmente a cada motor es posible realizarla a partir del valor calculado de le y al operar con la tabla 10.10. La tubería seleccionada debe tener un diámetro interior de 12,7 mm (1/2 in). Selección de los contactores magnéticos: Si se desea utilizar contactores magnéticos del tipo encerrado, se tiene, de acuerdo con la ecuación (1 O. 1) , que:
/et = 1,08 • /nom
= 1,08
• 9,8 = 10,58 A.
Es necesario seleccionar contactores magnéticos con una corriente nominal de 18 A (no. 0). Selección de los interruptores de cuchillas: La corriente mínima de los interruptores de cuchillas (/;e) puede determinarse de la forma siguiente: líe= 1,15 • /nom
= 1,15
• 9,8
= 11,27
A.
Luego, debe seleccionarse interruptores de cuchillas de 11,27 A como corriente mínima de trabajo. Para los 2 motores de 7 k W cada uno La corriente nominal de cada motor, de acuerdo con el gráfico de la figura 10.1 eo.s: /nom
= 13,2
A.
La protección contra sobrecargas puede determinarse de acuerdo con la tabla 10.3, es decir: lps=l,15 ·13,2=15,18 A (para un S.F. =1,0).
341
La protección contra cortocircuitos, constituida por fusibles, de acuerdo con la tabla 10.2, fila ter'cera, debe poseer una corriente aproximada de: /fus
=3,0 • 13,2 = 39,6 A.
De acuerdo con lo establecido 'por' la tabla 10.4 pueden seleccionarse fusibles de 40 A. La selección del •área de la sección transversal del conductor puede'):ealizarse de acuerdo con la ecuación (10. 7) y la tabla 10.8 y bajo las mismas consideraciones críticas ánalizadas para los motores de 5 kW, o sea:
J e-
1,25 , Jnom F. T. ·F.C.
= 1,25 . 13,2 = 23,27 A. 1,0 '0,7
De acuerdo con la tabla 10.5 se concluye que el conductor a utilizar debe ser TW de 5,2 mm 2 (no. 10). La selección de la tubería que debe utilizarse dentro del local, a fin de alimentar individualmente cada motor, debe realizarse al utilizar la tabla 10.10 de donde se obtiene una tubería de 19 mm 2 (3/4 in) de diámetro interior. El cálculo del diámetro interior de la tubería, por la cual han de llevarse todos los conductores al interior del local, debe realizarse teniendo en cuenta el grosor del aislamiento de dichos conductores, por ser estos de diferente área de su sección transversal, debe hacerse uso de la tabla 10. 12. Por tanto, un conductor aislado de 3,3 mm 2 (no. 12) posee un área de su sección transversal de 17,936 mm 2• Luego, el área total (A 1) que ocuparán 18 conductores de este tipo será:
A 1 = 17,936 · 18 =322,86 mm 2• Por otra parte, un conductor aislado de 5,2 mm 2 (no. 10) posee un área de su sección transversal de 29,679 mm 2 de acuerdo con la propia tabla 10.12. Luego, el área total (A 2) que ocuparán 6 conductores de este tipo será:
A 2 = 29,679 · 6 = 178,075 mm 2• Por consiguiente, el área total (A 101a1) para los 24 conductores será: A 101 at =322,86
+ 178,075 =500,935 mm 2•
Este valor calculado debe llevarse a la tabla 10.11. en este caso por la columna extrema derecha (4 conductores o más) y tratar de encontrar en dicha columna un área tal que sea igual o superior a la encontrada. En dicha columna se observa que el número inmediato superior al encontrado es 529,06 mm 2 (0,82 in 2) lo que implica que debe seleccionarse una tubería 342
de 38 mm
(1
+
in) de diámetro interior con estos propósitos, como se
observa en la columna de la izquierda. Selección de los contactores magnéticos: Si se decide utilizar contactores magnéticos del tipo encerrado, se tiene, de acuerdo con la ecuación (10.1) que: f
= 1,08
'fnom
= 1,08 · 13,2 = 14,26 A.
Es necesario seleccionar contactores magnéticos de 18 A. Selección de los interruptores de cuchillas: La corriente mfnima de los interruptores de cuchillas (/;e) pueden determinarse como sigue: /"=1.15 ·/nom=l,15 ·13,2=15,18 'A. Debe seleccionarse un interruptor de cuchillas de 15,18 A como corriente mfnima de trabajo. El cálculo del alimentador común, de acuerdo con la ecuación (10.8) es:
= 1,25
¡ "
·/mm + ¡ /nom · F.D. F. T. ·F. C.
=
1.25 . 13,2 +(13,2 +9,8 +9,8 +9,8 +9,8 +9,8 +9,8) 0,8 1,0 . 1,0
=
=74,1 A. De acuerdo con la tabla 10.5 puede escogerse para realizar las funciones de alimentador común un conductor de 26,6 mm 2 (no. 3). Sobre la base de lo establecido en la tabla 10.10 debe seleccionarse una tubería de 31.8 mm
~
+
in) de diámetro interior para el alimentador calculado.
El cálculo de la capacidad de corriente máxima del disyuntor para proteger el alimentador común puede realizarse de acuerdo con la ecuación (10. 9):
De la fila tercera de la tabla 10.2 obtenemos el valor de la corriente nominal del disyuntor correspondiente al motor que mayor corriente toma, esto es: JJis¡
=2,5 · /nom =2,5 ·13,2 =33 A. .343
En la tabla 10.4 se observa que: /dm
=40 A.
Al sustituir valores en la ecuación (10. 9): /da
=40 +(13,2 +9,8 +9,8 +9,8 +9,8 +9,8 +9,8) (0,8)
=
=97,6 A. Se selecciona un disyuntor de 100 A. Listado de dispositivos y accesorios 1) Para motores de 5 kW . Seis interruptores de cuchillas de 3 polos, 11,27 A como mínimo y 440 V con sus correspondientes fusibles de 30 A . • Seis contactares magnéticos encerrados, de 3 polos, de 18 A (no. 0) 440 V, 60 H 2, con protección térmica ajustable dentro del rango de 9,8 a 11,27 A . • Una estación de pulsadores para cada motor . • Conductor TW de 3,3 mm 2 (no. 12) . . Tubería de 12,7 mm (1/2 in) de diámetro interior. 2) Para motores de 7 kW • Dos interruptores de cuchillas, de 3 polos, 15,18 A como mínimo y 440 V, con sus correspondientes fusibles de 40 A . . Dos contactares magnéticos encerrados de 3 polos, 18 A (no. 0), 440 V, 60Hz, con protección térmica ajustable dentro del rango de 13,2 y 15,18 A. . Una estación de pulsadores para cada motor . • Conductor TW de 5,2 mm 2 (no. 10) . • Tubería de 19 mm 2 (3/4 in) de diámetro. 3) Para el alimentador • Un disyuntor de 100 A, a 440 V . • Conductor TW de 26,6 mm 2 (no. 3) . • Tubería de 31,8 mm (1
+in)
de diámetro interior.
PROBLEMAS PROPUESTOS 10.25 Determinar la corriente nominal de un motor asincrónico trifásico de rotor bobinado de 10 kW y 220 V. Respuesta: lnom = 36 A.
344
10. 26 Determinar la corriente nominal de un motor de excitación en paralelo de corriente directa de 5 kW y 240 V. Respuesta: lnom = 26 A. 10. 2 7 Hallar la corriente nominal de un motor monofásico de 2, 2 kW y 115 V.
Respuesta: lnom = 16 A. 10. 28 Determinar la corriente nominal de un motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla de 20 HP, 440 V con S. F. = 1, 15. Respuesta: lnom = 26 A; sin embargo, el motor puede soportar constantemente sin perjuicio alguno para sus devanados
l~om
= 29,9
A.
JO. 29 Determinar la corriente nominal de un motor sincrónico trifásico de 40 HP y 220 V, a) con factor de potencia unitario, b) con factor de potencia O, 9 y e) con factor de potencia 0,8. Respuestas: a) lnom =86 A; b) lnom =94,6 A y e) lnorn = 107,5 A. JO. 30 Seleccionar el área de la sección transversal de cada una de las líneas de alimentación de un motor que toma 50 A por línea, si la temperatura ambiental es d~ 40 'C. Respuesta: Conductor de 26,6 mm 2 (no. 3) de cobre. JO. 31 Seleccionar el área de la sección transversal de cada una de las líneas de alimentación de un motor trifásico que toma 39 A por linea, si sabe que la temperatura máxima del local es 35 'C, y por la misma tubería por donde han de ser introducidas los 3 conductores del motor en cuestión, se introducirán 6 conductores más correspondientes a dos motores instalados en sus cercanías. Respuesta: Conductores de 33,6 mm 2 (no. 2) de cobre.
JO. 32 Determinar el valor máximo de corriente a que debe ajustarse la protección térmica contra sobrecargas para. un motor asincrónico trifásico que toma una corríente nominal de 63 A. Respuesta: IP, = 72,45 A. mdx
10.33 Calcular el valor máximo de corrietlt ';; a que debe ajustarse la protección térmica contra sobrecargas para un motor asincrónico que toma 22 A de corriente nominal, con un factor de servicio de 1,15. Respuesta: IP, = 27,5 A. mdx
JO. 34 Determinar el valor mínimo de corriente de la protección contra cortocircuitos para un motor de corriente directa con excitación en paralelo que posee una corriente nominal de 6,5 A. si se arranca mediante su arrancador correspondiente. Seleccionar: a) fusibles; b) disyuntor. Respuestas: a) fusibles de 15 A; b) disyuntor de 15 A. JO. 35 Calcular el valor máximo de la protección contra cortocircuitos para un motor trifásico de jaula de ardilla que posee una corriente nominal
345
de 40 A y es arrancado mediante autotransformador. Seleccionar: a) fusibles; b) disyuntor. · Respuestas: a) fusibles de 80 A; b) disyuntor de 100 A.
10. 36 Determinar el valor máximo de corriente de los fusibles para proteger contra cortocircuitos un motor asincrónico trifásico con una corriente nominal de 27 A y con letra de código D, arranque directo. Respuesta: Fusibles de 70 A. 10. 3 7 Determinar el diámetro interior de la tubería necesaria para introducir 3 conductores de 5,2 mm 2 de área de su sección transversal de cobre (no. 10). Respuesta: Tubería de 19 mm (3/4 in) de diámetro interior. 10.38 Calcular el diámetro interior de la tubería aproximada para introducir 6 conductores de 21,2 mm 2 (no. 4). Respuesta: Tubería de 50,8 mm (2 in) de diámetro interior. 10. 39 Seleccionar la corriente nominal del contactar magnético necesario para arrancar directamente de la linea un motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla con una corriente nominal ,de 38 A a 220 V. Úsese un contactar encerrado. Respuesta: Contactar encerrado de 3 polos (trifásico) de 45 A (no. 2) y 220 V. 10. 40 Seleccionar la corriente nominal del contactar magnético necesario para arrancar directamente de la linea un motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla con una corriente nominal de 15 A a 440 V. Úsese un contactar de tipo encerrado. Respuesta: Contactar encerrado de 3 polos (trifásico) de 27 A (no. 1) y 440 V. 10. 41 Se pretende instalar y proteger correctamente un motor asincrónico de jaula de ardilla de 28 kW, 220 V, 1 785 r/min y 60 Hz. El motor debe ser arrancado mediante autotransformador. La temperatura ambiental del local donde se realiza la instalación es de 30 "C como máximo. Determinar: a) corriente nominal del motor, b) área de la sección transversal del conductor a utilizar, e) valor máximo de ajuste de la protección térmica contra sobrecargas, d) valor máximo de corriente de los fusibles destinados a la protección contra cortocircuitos y e) diámetro interior de la tubería necesaria. Respuestas: a) lnorn = 97 A; b) conductor de 53,1 mm 2 (no. 0) de cobre: e) IP, . = 111,55 A; d) 1¡115 = 200 A y e) tubería de 50.8 mm (2 in) de diámax metro interior. JO. 42 Se desea instalar y proteger correctamente un inotor de corriente directa con excitación en paralelo de 10 HP, 230 V y 1 000 r/min. El motor se suministra con su arrancador de la capacidad correspondiente. La temperatura ambiental del local es de 38 "C. Determinar: a) corriente nomi-
346
. nal de motor, b) área de la sección transversal del conductor a utilizar en ·¡a instalación, e) valor máximo.de la corriente de ajuste de la protección contra sobrecargas, d) valor nominal de corriente de los fusibles destinados a. la protección contra cortocircuitos y e) diámetro de la tubería ne-
cesarta. Respuestas: a)
Inom
= 38 A; b) conductor de 21.2 mm 2 (no. 4) aislamien-
to TW: e) Ir, . = 43.7 A; d) I1u, = 60 A y e) tubería de 31.8 mm l
max
(1-¡- in) de diámetro interior.
10.43 Seleccionar los dispositivos necesarios para instalar y proteger ade-
cuadamente un motor asincrónico trifásico de 30 HP, 220 V, 3 590· r/min, factor de servicio 1, 15, letra de código D y 60 Hz en un local cuyo ambiente es seco y con 30 'C de temperatura máxima. El arranque que deberá ser por autotransformador. Respuestas: a) Inom = 78 A; b) /~ 0,.. = 89,7 A.; e) conductor TW de 53,1 mm 2 (no. O); d) tubería de 50,8 mm (2 in) de diámetro interior; e) interruptor de cuchillas de 3 polos, de 103 A, como mínimo, de corriente de trabajo, con 3 fusibles de 175 A cada uno y 220 V; f) contactar magnético trifásico de 220 V, 60 Hz, encerrado, de 135 A (no. 4) y con 900 A de interrupción, con relés térmicos ajustables entre 78 y 112 A. 1O. 44 Seleccionar los componentes necesarios para instalar correctamente un mo~or sincrónico trifásico de 440 V, 25 HP, 1 200 r/min, operando a 0,8 factor de potencia en retraso. El local en que se ha de realizar la instalación posee ambiente seco y 25 'C de temperatura como máximo. El arranque se realiza directamente de la línea. Respuestas: a) Interruptor de cuchillas de 3 polos, de 39 A de trabajo como mínimo, con 3 fusibles de 110 A cada uno y 440 V; b) contactar magnético trifásico de 440 V, 60 Hz, encerrado, de 90 A nominales (no. 2) y como mínimo 340 A de interrupción; e) cable TW de 13,3 mm 2 (no. 6) y tubería de 25.4 mm (1 in) de diámetro interio:. JO. 45 Se desea proceder a la instalación y protección de dos motores eléctricos en un local común con una temperatura ambiental de 26 'C. Los datos correspondientes a dichos motores son:
Motor 1: motor asincrónico de rotor bobinado, trifásico, de 11 kW, 220 V, 1 785 r/min con su banco de resistores conectado en serie' con los devanados del rotor. Motor 2: motor asincrónico trifásico de jaula de ardilla de 16 kW, 220 V, 3 590 r/min y arranque mediante autotransformador. La alimentación para ambos motores debe provenir de un alimentador principal común, el cual debe ser ramificado dentro del local para ener- . gizar cada motor por separado. Calcular para cada motor: a) corriente nominal, b) área de la sección transversal del conductor y tipo de aisla347
miento, e) interruptor de .:uchillas con los fusibles correspondientes, d) contactor magnético con la protección contra sobrecargas y e) tubería necesaria para realizar la instalación. Calcular, para el alimentador principal: f) área de la sección transversal del conductor y selección del aislamiento, g) diámetro interior de la tubería y h) capacidad del disyuntor para protección del alimentador principal. Respuestas:
Motor 1 a) Inom = 40 A; b) conductor TW 13,3 mm 2 (no. 6); e) interruptor de cuchillas encerrado de 46 A como mínimo, trifásico, de 220 V, con 3 fusibles de 60 A cada uno; d) contactor magnético trifásico de 220 V, 60 Hz, 45 A (no. 2), con 400 A de interrupción y con protección térmica ajustable entre 40 y 46 A; e) tubería de 25,4 mm (1 in) de diámetro interior. Motor 2 a) Inom =58 A; b) conductor TW de 26,6 mm 2 (no. 3); e) interruptor de cuchillas encerrado de 67 A como mínimo, trifásico de 220 V, con 3 fusibles de 125 A cada uno; d) contactor magnético trifásico de 220 V, 60 Hz de 90 A (no. 3), con 580 A de interrupción con protección térmica ajustable entre 58 y 67 A; e) tubería de 31,8 mm mm 2
{1
+
in) de diáme-
tro interior, f) conductor TW de 53,1 (no. O); g) tubería de 50,8 mm (2 in) de diámetro interior y h) disyuntor trifásico de 175 A a 220 V. 10. 46 Se precisa de la instalación de 5 motores trifásicos asincrónicos de jaula de ardilla de 7.5 kW, 220 V, 60Hz, 1 185 r/min y 2 motores del mismo tipo de 11 kW, 220 V, 60 Hz y 3 590 r/min. El método a utilizar en el arranque de los motores de 7, 5 kW es el directo de la linea, y en el de los motores de 11 kW, el de autotransformador. El -factor de demanda de todo el grupo es 0,85. Debido al ambiente existente en el interior del local, así como a la buena visibilidad y proximidad de los motores, se escoge un sitio en el exterior de este para instalar los interruptores de cuchillas y los contactares magnéticos con sus correspondientes protecciones. Como consecuencia, se decide introducir todos los conductores de los motores a través de una sola tubería hasta un punto en el interior del local, en que los conductores correspondientes a cada motor se separan y cada uno toma una tubería independiente. Además. la energía debe llegar a la entrada de los diferentes interruptores de cuchillas proveniente de un disyuntor y un alimentador principal. La temperatura no sobrepasa los 25 "C ni en el interior ni exterior del local. Determinar los dispositivos y accesorios fundamentales para la instalación.
Respuestas: Para los 5 motores de 7, 5 kW /"""' =28 A. Protección contra sobrecargas entre 28 Y 32,2 A. Protección contra cortocircuitos: fusibles de 90 A. 348
Conductor TW de 8,4 mm 2 (no. 8). Tubería que debe utilizarse dentro del local para alimentar cada motor individualmente: 19, O mm (3/4 in) de diámetro interior. Para los motores de 11 k W fnom = 38 A. Protección contra sobrecargas entre 38 y 43,7 A. Protección contra cortocircuitos: fusibles de 80 A. Conductor TW de 13,3 mm 2 (no. 6). Tubería que de utilizarse dentro del loc::~.l para alimentar cada motor individualmente: 42,4 mm (1 in) de diámetro interior. La tubería por donde deben llenarse todos los conductores al interior del local debe ser de 50,8 mm (2 in) de diámetro interior. El alimentador común deberá ser un conductor TW de 126.7 mm 2 (250 000 mil circulares) . El disyuntor principal debe ser de 300 A a 220 V. Listado de accesorios Para motores de 7, 5 k W 5 interruptores de cuchillas trifásicos de 32 A como mínimo y 220 V con sus correspondientes fusibles de 90 A. 5 cOI.tactores magnéticos trifásicos. encerrados. de 45 A (no. 2), 220 V, 60 Hz. con protección térmica ajustable entre 28 y 32.2 A. 1 estación de pulsadores para cada motor. Conductor de 8.4 mm 2 de área de sección transversal (no. 8) con aislamiento TW. Tubería de 19 mm (3/4 in) de diámetro interior. Para motores de 11 kW 2 interruptores de cuchillas trifásicos de 43,7 A con mínimo, 220 V con sus correspondientes fusibles de 80 A cada uno. 2 contactares magnéticos trifásicos, de tipo encerrado, de 45 A (no. 2), 220 V, 60 Hz, con protección térmica ajustable entre 38 y 43,7 A. Estación de pulsadores para cada motor. Conductor de 13,3 mm 2 (no. 6) de área de su sección transversal. Tuberia de 42,4 mm (1 in) de diámetro interior. Tubería de 50,8 mm (2 in) de diámetro interior para llevar todos los conductores al interior del local. Conductor TW de 126,7 mm 2 (250 000 circulares) para el alimentador común a toda la carga. Disyuntor principal de 300 A a 220 V.
349
Áeandro !Ja-h~i-q iec~cvldY'é ;J ah.s/-a
J. eandt-o !2ah:sM Bibliografía
AMADOR, E.: Electrotecnia básica. Universidad Central de Las Villas. Santa Clara, 1974. - : Problemas resueltos y propuestos de Electrotecnia. Universidad Central de Las Villas, Santa Clara, 1980. - : Electrotecnia básica. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1979. BEssoNov, L. A.: Electrotecnia básica teórica. Bishaya Shkola, Moscú, 1978. CARR, C.: Electric Machinery. John Wiley and Sons, New York, 1958 . CoRCORAN, G.F. y H.R. REEo: lntroductory Electrical Engineering. John Wiley and Sons, New York, 1957. DA WES, CH. L. : Electricidad industrial. Editora Pedagógica, La Habana, 1965. EDMINISTER, J. A.: Teoria y problemas de circuitos eléctricos. McGraw-Hill Book Co., New York, 1970. FITZGERALD, A.E. y D.E. HIGGINGBOTHAM: Basic Electrical Engineering. Edición Revolucionaria, La Habana, 1966. FITZGERALD, A. E. y C. KINGSLEY Jr.: Electric Machinery. McGraw-Hill Book Co., New York, 1961. GRA Y, A. y G. A. W ALLACE: Electrotecnia. Edición Revolucionaria, La Habana, 1968. HALLIDA Y, D. y R. RESNICK: Fisica. Edición Revolucionaria, La Habana, 1965. HEUMANN, G.W.: Magnetic Control of Industrial Motors. Edición Revolucionaria, La Habana, 1966. KALASHNIKOV, S.G.: Electricidad. Editorial Ciencia y Técnica, La Habana, 1969. KERCHNER, R. y G.F. CoRCORAN: Circuitos de corriente alterna, Edición Revolucionaria, La Habana, 1968.
350
KLOEFFLER, R.G., R. KERCHNER y J.L. BRENNEMANR: Direct-Current Machinery. LANGSDORF, A. S.: Principies of Direct-Current Machines. McGraw-Hill Book Co., New York, 1940. - : Theory of alternating-current Machinery. Asociación de Estudiantes de Tecnología, La Habana, 1962. LrPATOB, D. H. : Baproci i zadachi po electrotejnike dlia programmirobánnoyo obuchenia. Energuia, Moscú, 1973 . / · MoELLER, F., E. KuBLER, y TH. WERR: Máquinas de corriente continua, máquinas de corriente alterna. Editorial Labor, Barcelona, 1961. PucHSTEIN, A. F., T.C. LLOYD y. A.G.CoNRAD: Alternating-Current Machines. Edición Revolucionaria, La Habana, Í966. REED, M. B. : Alternating-Current Fircuits Theory. Harper and Bros, New York, 1956. RoMANOWITZ, H. A.: Electrical Fundamentals and Circuit A nalysis. John Wiley and Sons, New York, 1966. ·SEARS. W.F. : Electricidad y magnetismo. Edición Revolucionaria. La Habana, 1966. SISKI:"D. CH. S. : Direct-Current Machinery. Edición Revolucionaria. La Habana. 1966. STEPHEN, K. : Electric Circuit Analysis. Cleaver-Hume Press Ltd., London, 1960. STETKA, F, NFPA . : Handbook of the Nacional Electric Code. Edición Revolucionaria, La Habana, 1969. THOMPSON, H. A. : Alternating-Current and J'ransient Circuit Analysis. McGraw-Hill Buok Co., New York, 1965.
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