UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO INGENIERIA DE ALIMENTOS I
DEL PERÚ
FACULT CULTAD AD DE INGEN INGENIERÍ IERÍA A EN EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
C&TEDRA: INGENIERIA DE ALIMENTOS I
So"uc!o#ar!o $e e%erc!c!os
ALUMNO:
Marcañaupa De La Cruz ,Jos Lu!s
CATEDR&TICO: ING' JO(N GOME) (ERRERA 12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 3.1
Determinación de propiedades reológicas mediante un viscosímetro de cilindros concéntricos. Efecto de la temperatura. Las propiedades reológicas de una partida de leche homogenizada se han estudiado mediante un viscosímetro rotatorio de cilindros concéntricos en el que gira el cilindro interno, mientras que el externo permanece estacionario. El cilindro y su radio de 4 cm .La distancia de separación entre amos cilindros es de
1 mm
!Los ensayos se han llevado a cao fi"ando la velocidad de giro del cilindro interno,
midiéndose el par de torsión aplicado. #e han realizado dos series de experimentos a diferentes temperaturas, oteniéndose los resultados que se recogen en la siguiente tala$ N ( rpm )
3
6
12
30
60
90
T
%&'
()'
).'''
%.*''
&.+''
.*''
+'
)'
-*'
+''
).''
%.''
−2
7
10 ( N m
)
20°C T −2
7
10 ( N m
)
70°C Determine la ecuación de reológica correspondiente temperatura.
a este alimento, incluyendo la influencia de la
DATOS: R1= 4 cm=0,04 m L=10 cm=0,1 m δ =1 mm=0,001 m
SOLUCIÓN: Se determ!" e# t$% de &'(%')metr% " *t#+"r (%! #" re#"(,! δ 0,001 = =0,025 R 1 0,04
τ =
T 2
2 π R 1 L
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
τ =
T 2
2 π ( 0,04 m ) 0,1 m −3
τ =994,7184 m T
γ =
γ =
ω R1 δ
ω 0,04 m 0,001 m
γ = 40 ω
( )(
N
rev min
2 π rad 1 rev
)( ) 1 min 60 s
2 = π rad N = ω 1 rev
N
T *+C
T -+C
/
240
90
0
510
170
1*
1000
360
/+
2600
900
0+
4900
1700
2+
7600
2700
0.314159 265 0.628318 531 1.256637 061 3.141592 654 6.283185 307 9.424777 961
. *+C
. -+C
γ
0.023873 242 0.050730 638 0.099471 840 0.258626 784 0.487412 016 0.755985 984
0.008952 47 0.016910 21 0.035809 86 0.089524 66 0.169102 13 0.268573 97
12.56 8 25.13 2 50.26 4 125.6 64 251.3 28 376.9 92
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
0.8 f(x) = 0x + 0 R² = 1
0.7 0.6 0.5
.
τ 70°C
0.4
Linear (τ 70°C)
0.3
τ 20°C f(x) = 0x - 0 R² = 1
0.2
Linear (τ 20°C)
0.1 0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
3
Del grafico se deduce$ μ20 ° C =0,002
kg ms
μ70 ° C =0,0007
kg ms
Ea 8,314 ( 273,15 + 20 )
0,002= μ0 e
0,0007 = μ 0 e
… …(1)
Ea 8,314 (273,15 + 70 )
… … ( 2)
Dividimos )/ y %/$
( 2,85714 =e
Ea Ea − 8,314 ( 293,15 ) 8,314 ( 363,15 )
)
Ea=17542 −6
μ0=1,49 x 10
Ea RT
τ = μγ = μ 0 e
γ
−6
τ =1 49 x 10 e
17542 RT
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
EJEMPLO 3.2
Determinación de propiedades reologicas mediante un viscosímetro de plato y cono. Efecto de la velocidad de deformación sore la viscosidad de deformación sore la viscosidad aparente. #e han llevado a cao una serie de ensayos reologicos con una compota de manzana en un viscosímetro de 0
palto y cono R=2.4 cm : θ 0=3 ¿ . Los resultados otenidos se recogen en la siguiente tala$
N4rp56 T 1+/4N56
7
1+
*+
8+
0+
9+
2.17
2.37
2.60
2.98
3.24
3.47
Determinar el modelo y ecuación reologica que se a"usta me"or a estos datos experimentales , representado gr0ficamente como varia la viscosidad aparente del alimento con la velocidad de deformación
#olución$ 1plicando las ecuaciones correspondientes a un viscosímetro de plato y cono. τ =
γ =
3T 2πR
3
=
3T 3
2 π ( 0.024 )
(
)
ω 1 Nx 2 π = = θ0 θ0 60
=34.539 T
1
(
)
3 x 2 π 360
(
)
Nx 2 π =2 N 60
Lo que conduce a los resultados que se muestran en la siguiente tala$ −1
γ ( s
) −2
τ ( N m
)
10
20
-0
0
120
160
&.+(
2).2*
2+.2'
)'%.+-
))).+'
))+.2(
/EP/ESENTADO /ICAMENTE
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
120 100 80
<4 N 5;*6
60 40 20 0 0
20
40
60
80
100
120
140
4s;16
3or tanto, el modelo matem0tico aplicale a este fluido es el modelo de 4ershel!5ul6ley Extrapolando la curva reologica a
γ =0
−2
τ c = 65 N m
n
τ −τ c = k γ
τ −τ log (¿¿ c )= log k + nlogγ
¿
4aciendo regresión lineal 7rd. 7rigen 8',&)& 8 log 6 3endiente 8'.*'8 n 9oef. 9orrelación 8',++2 −2 −n
k =2.59 N m s
La ecuación reologica ser0$
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
0.607
τ =65 + 2.59 γ
4allando la viscosidad aparente$
0.697
τ 65 + 2.59 γ μ = = γ γ
=
65 +2.59 γ −0.303 γ
SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS PROPUESTOS ).! Las propiedades reológicas de un aceite de semillas se han estudiado mediante un viscosímetro en el intervalo de temperaturas de )' y *' :9. 3ara todas las temperaturas se ha oservado que el aceite es un fluido ne;toniano oteniéndose los valores de la viscosidad que se recogen en tala. < :9/ u 6g=ms/
)' %.&%
%' ).'(
-' '.&2
&' '.%-
(' '.)%
*' '.'*
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
Determinar la energía de activación y el factor preexponencial correspondientes a la variación de la viscosidad con la temperatura. Estímese la viscosidad del aceite a ' y )( :9 respectivamente. #7L>9?7@$
T 4C6
u 4=>?5s6 T 4@6
1?T 4=6
"# u
0.0035335 7 0.0034129 7 0.0033003 3
0.8837675 4 0.0487901 6 0.7339691 8 1.4696759 7 2.1202635 4 2.8134107 2
1+
2.42 283
*+
1.05 293
/+
0.48 303
8+
0.23 313
0.0031948 9
7+
0.12 323
0.0030959 8
0+
0.06 333
0.003003
/EP/ESENTADO /AICAMENTE 1.5 1 f(x) = 6935.28x - 23.62 R² = 1
0.5 0 -0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
-1 -1.5 -2 -2.5 -3
#egAn la ecuación de arrhenius Ea RT
!= ! 0 e
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
()
E a 1 ln != ln !0 + R T
Linealizando los datos$ ln !=−23,621 + 6935,3
() 1 T
3or lo tanto$ ∗
el factor pre exponencial 8 (.()&2 x
−11
10
Ea =57660.0842
∗
la energía de activación 8
∗
la viscosidad del aceite a < 8 ':9 8 %-:B
" mol°#
!= 60,6777 $a % s ∗
la energía de activación para la < 8 )(:9 8 %22:B
!=2.8834 $a % s
%.!en el cuadro -.) se recogen las propiedades reologicas de un concentrado de zumo de tomate a -%:9 y diferentes contenidos en sólidos. Estalecer una expresión de tipo potencial que permita relacionar la viscosidad aparente de este producto con la proporción de sólidos presentes en el mismo. 3ara el c0lculo de la viscosidad aparente, tomase un valor de referencia de la velocidad de deformación de )' s!) .
'%#d%'
−2 −n
k ( N m s
45 1650 3050
',%% -,)* )2,
n
)
',(+' ',&(' ',&''
SOLUCIÓN: Ley de la potencia
( )
dv τ =k d&
n
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
( )
dv k d& τ = dv dv d& d&
n
n −1
( )
dv μ =k d&
Ceemplazando los datos de la tala se tiene$
C
μ
ln μ
lnC
45 1650 3050
','2(* ',2+'* &,*+%
!%,&(2) !',))(+ ),(&'
),(+ %,%* -,&')%
(
μ =' C
ln μ =ln' + (lnC
C de solidos
2 1.5
f(x) = 2.42x - 6.75 R² = 1
1 0.5
0 1.6 -0.5
A
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
-1 -1.5 -2 -2.5 -3
"# C
ln' =−6,7537 −6,7537
' =e
−3
' =1,1666 x 10
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
( =2,4
−3
2,425
μ =1,1666 x 10 C
-.! #e utiliza un viscosímetro de cilindros concéntricos par el estudio reológico de un puré de pera a -':9. La elevada concentración de sólidos existente en el mismo hace necesario el uso de un viscosímetro de espacio ancho con o"eto de no falsear las medidas. Lo experimentos se llevan a cao variando la velocidad de giro del cilindro interno y leyendo en un indicador el par de torsión que se aplica en cada medida. Las lecturas se toman una vez transcurridos ( min. Desde la variación de la velocidad de giro a fin de asegurar que se alcanza el régimen estacionario. Los resultados otenidos son las siguientes$
@rpm/
T 107Nm
%.-)
* &.*)
)' .'
)( )).('
%' )(.&'
%( )+.%'
Determinar el tipo de comportamiento y la ecuación reológica que me"or descrien a este fluido Datos$ Dimensiones del viscosímetro$ L 8)% cm, C) 8-cm , C%8( cm #olución$ identificar si el fluido es ne;toniano o no ne;toniano 18 16 14 12 10
T 1+- 4N 56
8 Va!re" #
6 4 2 0 2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
N4 rp56
9omo es un línea recta es un fluido ne;toniano
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
Entonces$ ω=
ω=
1 rev 2 π rad 1 min x x 1 rev 60 s min
3 rev 2 π rad 1 min x x 1 rev 60 s min
ω =0.3142
rad s
τ =
τ =
T 2
2 π R i xL
T 2
2 π 0.03 x 0.12
τ =1473.6569 xT
T 10-4(Nm-2)
Log
Log T
0.31-2 0.623 1.0-72 1.470 2.09-2.610
-.&'&) *.+-* )).-&% )*.+&) %%.*+&%2.%+&%
!'.('%2 !'.%')2 '.'%'' '.)+*) '.-%)) '.&)2'
!-.&*2' !-.)*+ !%.+&() !%.'+ !%.*&&' !%.(&2-
(rad/s)
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
0 -0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-0.5 -1 -1.5
"o> <
-2 -2.5 f(x) = 1x - 2.97 R² = 1
-3 -3.5 -4
"o>
ω=
[
1 1 T − 4 πμL R12 R22
log ω =log
[
1
R 1
− 2
]
1
R2
2
]
x
1 1 + xlogT 4 πL μ
Entonces$ 1 = 0.9995 μ
μ=1.0005
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
&/ El estudio de las propiedades reologicas de un crema con un %' en grasa se realiza en un viscosímetro de plato y cono, lo que permite minimizar la cantidad de producto a realizar en cada ensayo. Las medidas se llevan a cao a tres temperaturas diferentes, oteniendo los resultados$ @C3/
T 107 -08C
( )' )& )2 %( -'
)*.% -%.&( (2.) 2' +*
N
m T 107 N m T 107 608C 08C )).* %-.) -%.* &).2 (2 '
N
m
2. ).& %&.& -).&-'( (%
7tener la ecuación reologica de este fluido incluyendo el efecto de la temperatura. Determinar el factor por el que varia la viscosidad de la crema al pasar la temperatura de %' a 'F 9 D1<7#$ Dimensiones del viscosímetro
θ0
8%.(F, C8 -cm
#olución$ 3
0.03 ¿
¿
2 π ¿ 3 T τ =
¿
( )
1 ) N 2 π = = 2.4 N 60 θ0 2.5 2 π 360
γ =
(
−1
γ ( s
)
−2
τ ( N m
) )% %& --.* &-.% *'
) -0°C '.'%+ '.'( '.'2' '.)''.)&)
−2
τ ( N m
) 60°C '.'%' '.'&) '.'(2 '.'& '.)'-
−2
τ ( N m
) 0°C '.')( '.'-) '.'&'.'(( '.'
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
%
'.)'
'.)%&
'.'+%
Cepresentando gr0ficamente $ 0.16 0.14
f(x) = 0x + 0 R² = 1
0.12 0.1
40°C Linear (40°C)
f(x) = 0x - 0 R² = 1 f(x) = 0x - 0 R² = 1
0.08 0.06 0.04
60° C Linear (60° C) 80° C Linear (80° C)
0.02 0 0
10
20
30
40
50
60
70
3or la tanto se trata de un fluido no ne;toniano pl0stico ingham/ La viscosidad a cada temperatura se corresponde con el valor de la pendiente$ μ40 ° C =
0.0023 kg ms
μ60 ° C =
0.0017 kg ms
μ80 ° C =
0.0013 kg ms
Ceempla$an%! e"&!" 'a!re" en a eai*n %e arreni", 273 + 40 8.314 x (¿¿) E a
¿ 0.0023 = μ 0 exp ¿
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
273 + 60 8.314 x (¿ ¿) Ea
¿ 0.0017 = μ 0 exp ¿ 273 + 80 8.314 x (¿¿) E a
¿ 0.0013 = μ 0 exp ¿ !r ! &an&! , Ea =13084.922 −5
μ0=1.507 x 10
La eai*n re!!ia "er/, −5
μ=1.507 x 10 exp
(
13084.922 RT
)
(.!las propiedades reologicas de una determinada mayonesa se investigan a %(:9 mediante un viscosímetro de tuo con u radio de &mm , para ello , la mayonesa se impulsa con una oma de laoratorio. Cegulando el caudal deseado a través de una v0lvula de agu"a. ediante sendos transductores de presión se determina para cada caudal la pérdida de presión que experimenta la mayonesa al atravesar un tramo de tuo de %' cm de longitud. 7s resultados otenidos se recogen en la siguiente tala$ 3 m +'8 * v 10 ( s 6
∇ $ (
N m
) 2
1.756
+'-
1'/
1'9
*'/
*'9
2.440
3.525
4.260
4.930
5.539
7tener el comportamiento y al ecuación reologica de la mayonesa en estudio. #olución$ Cealizando el grafico$
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INGENIERIA DE ALIMENTOS I
2.5 2 1.5
B4M/?s 1+06
1 0.5 0 1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
P P"
De la tendencia se oserva que el comportamiento es no ne;toniano. 1plicando al ecuación de Caino;itsch!ooney ⊽
=
[ ] +$ 2 #L
1 n
[ R ]
n +1 n
[ ] n 3 n +1
El caudal volumétrico vendr0 dado por $ *= ⊽ ( π R
2
3 n+ 1 n
[ ][ ] [ ]
)=
1 2 #L
1 n
R
1
n π ( + $ )n 3 n +1
1l linealizar esta ecuación encontramos$
[ ]
1 log* =log 2 #L
LO! " LO!(P)
1 n
-#$%&' 0.245
[ R ]
3 n+ 1 n
[ ]
n 1 π + log ( + $ ) n 3 n+ 1
-#$1
-$''#
-$4
-$#%'
-$%
0.387
0.547
0.629
0.693
0.743
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
-5.2 0.2 -5.4
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-5.6 -5.8
f(x) = 1.7x - 6.81 R² = 1
LOG B -6 -6.2 -6.4 -6.6
LOG4P6
9omo la pendiente de la recta es ).*+& entonces$ n8'.(+',por lo tanto el fluido es pseudoplastico . 4allando B$
[ ]
1 log 2 #L
[
1 2 # ( 0.20 )
]
1 0.59
[ 0.004 ]
1 n
[ R ]
3 n+ 1 n
3 (0.59 )+1 0.59
[
[ ]
n π =−6.8128 3 n+1
]
0.59 −7 3.1416 = 1.539 x 10 3 ( 0.59)+ 1
K=0.0122 POR LA TANTO: K=0.0122Pa.s
-0.59
*.! 1 fin de otener el valor del modulo de elasticidad correspondiente a cierta partida de zanahoria. >na proeta de este alimento de sección )cm% y )( cm de longitud se somete a un ensayo de tracción. 3ara ello, se aplica sore la proeta una carga progresivamente creciente, determin0ndose en cada instante la variación de longitud que experimente la misma mediante un extensómetro de resistencia eléctrica. #uponiendo que la proeta de zanahoria tiene en todo el ensayo un comportamiento el0stico, calcular su modulo de elasticidad a partir de los siguientes resultados experimentales$
*(N) 10%(m)
10$1
1#$0
1&$'
2'$1
%$0
40$
0.50
0.81
1.02
1.40
1.75
2.11
12
INGENIERIA DE ALIMENTOS I
12
