Carrion Moises Lazaro Analisis Matematico I Calculo Diferencial

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Cálculo Diferencial ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

La Derivada Curvas Planas, Ecuaciones Paramétricas Derivadas Parciales Derivación Implícita Aplicaciones de la Derivada Diferenciales La Derivada de la Función Inversa Polinomio de Taylor

MOISÉS LÁZARO C.

Autor : Moisés Lázaro Carrión Estudios : Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.).

Experiencia Docente: Pontificia Universidad Católica del Perú Universidad Ricardo Palma Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad Nacional de Ancash - Santiago Antúnez de Mayolo Universidad Nacional del Callao Universidad Particular San Martín de Porres

La presentación y disposición en conjunto de:

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

CÁLCULO DIFERENCIAL Autor: Moisés Lázaro Carrión Son propiedad de: Dis. Imp. Edit. Lib. MOSHERA S.R.L.

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autoriza ción escrita de la editorial. Decreto Legislativo.................................................................................. : 822 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°... : 2014-02916 International Standard Book Number ISBN....................................

: 978-9972-813-81-8

Derechos reservados © Cuarta edición: Marzo 2014 Tiraje: 500 ejemplares

Obra editada, impresa y distribuida por: Distribuidora, Imprenta, Editorial, Librería

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D e d ic o este libro a lo d o s los tra b a jo d o re s d e la ¿SdiforiaI AAoshera S .R .jL . por su s a crificad a labor en h a c e r re a lidad la presen te obra.

IV

PRÓLOGO Con el título de CALCULO DIFERENCIAL, que es parte de todo curso de Aná lisis Matemático I, se presenta al lector que sigue las carreras de: Ciencias, Ingeniería, Economía, Administración y Contabilidad el presente Libro que contiene ocho capítulos bien definidos que son: C apítu lo 1: La derivada de una función y los teoremas relativos al tema. C apítulo 2: Representación paramétrica de las curvas, su gráfico y deri vadas. C apítu lo 3: Derivadas parciales y sus aplicaciones a la economía. C apítu lo 4: Derivación implícita y sus aplicaciones. C apítu lo 5: Aplicaciones de la derivada, los máximos y mínimos de una función, problemas de aplicación, los puntos de inflexión y gráfica de funciones. C apítu lo 6: La diferencial de una función, como aplicación lineal, apli caciones de la razón de cambio a diversos problemas. C apítu lo 7: La derivada de la función inversa, su existencia y teoremas. C apítu lo 8: El polinomio de Taylor, su aplicación para aproximaciones a funciones. Cada uno de los capítulos están sustentados con sus respectivas defini ciones y teoremas, para los cuales he tenido cuidado de respetar su riguro sidad y formalidad para que el lector no caiga en error alguno. El libro tiene la característica de ser: didáctico, práctico y riguroso. Se han hecho diversos y variados ejemplos que ayudarán al estudiante a salir de dudas y sobre todo reforzar su aprendizaje. Sugiero al lector respetar los enunciados y definiciones tal como se dan, una alteración de ello sólo llevará a situaciones incongruentes y ahondaría las dudas. Agradezco al economista Cesar Sandoval M. por su gentil colaboración en el capítulo relativo a las aplicaciones a la Economía.

EE A u ím .

VI

ÍN D IC E G E N E R A L

Capítulo 1: LA DERIVADA 0

1

Introducción 0.1

Función Real de una Variable Real ....................................................

1

0.2

Puntos de Acum ulación..........................................................................

2

0.3

Límite de una Función ............................................................................

3

0.4

Funciones Continuas ...............................................................................

7

La Derivada 1.1

Derivada de una Función en un Punto .............................................

9

1.2

Otra Forma de Definir la Derivada de f en a ..................................

12

1.3

La Función Derivada ...............................................................................

13

1.4

Derivadas Laterales .................................................................................

13

1.5

Interpretación Geométrica de la Derivada ......................................

14

1.6

Derivada de una Función en un Intervalo.......................................

15

2

Teoremas Sobre Derivadas .................................................................................

16

3

Velocidad y Aceleración ......................................................................................

26

4

Razón de Cambio y Análisis M a rgin al............................................................

31

5

4.1

Coste Marginal ......................................... ¿.................................................

31

4.2

Razón Porcentual de Cambio ................................................................

32

4.3

Ecuación de la demanda, Función Ingreso Total, Función Ingreso Marginal, Función de Ganancia..........................

33

4.4

La Función Ingreso T o t a l .......................................................................

34

4.5

La Función G anancia...............................................................................

36

Diferenciabilidad de una Función en un P u n to .......................................... 5.1

6

41

La Derivada de la Composición de dos Funciones.......................................

44

6.1 7

39

E jem plos........................................................................................................

Problemas ....................................................................................................

Derivación por Medio de F órm u las..................................................................

47 58

7.1

Ejercicios Diversos ....................................................................................

87

7.2

Ejercicios Propuestos ...............................................................................

97

7.3

Problemas ....................................................................................................

99

v ii

Capítulo 2: CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS 1

Introducción..............................................................................................................

103

2

Parametrización, Ecuaciones Paramé tricas.................................................

104

3

Función Vectorial..................................................................................... 3.1 Imagen de una Función Vectorial..........................................................

117 117

4

Definición de Curva Plana................................................................................... 4.1 Parametrización de una Curva..............................................................

118 118

5

Camino o Trayectoria.............................................................................................

119

6

Curva Cerrada (lazo).............................................................................................

120

7

Punto Múltiple.........................................................................................................

120

8

Curva Regular...........................................................................................................

122

9

Derivada Paramétrica...........................................................................................

127

10 Tangentes...................................................................................................................

128

11 Gráfica de una Curva en Coordenadas Paramétricas................................

129

12 Importancia de los Cam inos................................................................................

150

Capítulo 3: DERIVADAS PARCIALES 1

Definición de una Función que Depende dedos V ariables......................

152

2

Derivada Parcial de f respecto a “x ” y Respecto a “y ” .............................

152

3

Derivadas Parciales Aplicadas a la Microeconomía (Multiplicadores de Lagrange) Demanda de Bienes de Consumo, Demanda de factores de Producción........................................................................................

154

Capítulo 4: DERIVACIÓN IMPLÍCITA 0

Introducción

1

Definición ..................................................................................................................

165

2

Derivación Im plícita.............................................................................................. 2.1 Problemas ...................................................................................................... 2.2 Ejercicios P ropuestos................................................................................

165 166 185

3

Derivada Logarítmica Aplicando Propiedades y Derivación Im plícita............................................................................................

188

Derivadas de Orden Su perior............................................................................

194

4

viii

Capítulo 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1

Aplicaciones Geométricas de la Derivada.................................................... 1.1 Ecuaciones de las Rectas: Tangente y N orm al................................ 1.2 Problem as.....................................................................................................

203 203 204

2

Angulo Entre Dos Curvas.................................................................................

212

3

Máximos y Mínimos de una Función............................................................ 3.1 Definición 1 ................................................................................................... 3.2 Definición 2 ................................................................................................... 3.3 Aclaracionesen estasDefiniciones ....................................................... 3.4 Definición 3 ................................................................................................... 3.5 Definición 4 .................................................................. 3.6 Definición 5 ................................................................................................... 3.7 Ejemplos Aclaratorios...............................................................................

216 216 216 216 217 217 217 217

4

Puntos Críticos de una Función...................................................................... 4.1 Definición...................................................................................................... 4.2 Ejemplos........................................................................................................

219 219 219

5

Teoremas Relativos a la Derivada....................................................................

223

6

Funciones Derivables en un Intervalo...........................................................

227

7

Aplicaciones del Teorema del Valor M ed io .................................................

235

8

Función Lipschitziana.........................................................................................

237

9

Problemas Resueltos Sobre el T .V .M .............................................................. 9.1 Otros Problemas Respecto al T .V .M .....................................................

237 241

10

Regla de L "hopital para el Cálculo de Límites Indeterminados de la Forma Ij- y 22.............................................................

248

10.1 Problem as......................................................................................................

250

11

Funciones Crecientes y Decrecientes............................................................

257

12

Criterios para Extremos Relativos..................................................................

259

13

Problemas Relativos a Máximos y M ín im os............................................... 13.1 Funciones Polinómicas.............................................................................. 13.2 Funciones Racionales................................................................................. 13.3 Funciones Irracionales.............................................................................. 13.4 Funciones Exponenciales......................................................................... 13.5 Funciones Logarítmicas........................................................................ «...

262 262 273 279 288 292

14

Problemas de Máximos y M ínim os................................................................

298

15

Concavidad y Puntos de Inflexión................................................................... 15.1 Reglas para Posibles Puntos de Inflexión.......................................... 15.2 Aplicaciones al Trazado de la Gráfica de una Función..................

323 331 332

ix

Capítulo 6: DIFERENCIALES 1

Incremento de una Variable Independiente e Incremento de una Función............................................................................. 1.1 Definición....................................................................................................... 1.2 Error Relativo y Error Porcentual Aproximado...............................

337 337 341

2

Diferenciales............................................................................................................

344

3

Razón de Cam bio.................................................................................................... 3.1 Problemas de Aplicación...........................................................................

348 350

Capítulo 7: LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA 1

Teoremas Relativos a Funciones Inversas....................................................

363

2

Dos Teoremas Relativos a la Continuidad de la Inversa de la Función f, Cuando f es C ontinua.........................................

364

3

Derivada de la Función Inversa....................

366

4

Derivada de las Funciones Trigonométricas Inversas..............................

374

5

Derivada de Funciones Trigonométricas Inversas Com puestas...........................................................................................

380

Capitulo 8: POLINOMIO DE TAYLOR 1

Polinomios de Taylor y Aproximaciones........................................................

395

1.1

Definición del n-ésimo Polinomio de Taylor......................................

395

1.2

Resto de un Polinomio de Taylor...........................................................

401

Problemas Propuestos...................................................................................................

412

LA DERIVADA O. INTRODUCCION Antes de definir la derivada de una función real de una variable real, recordemos bre vemente cuatro definiciones previas: función real de una variable real, punto de acu mulación, límite de una función y continuidad de una función.

0.1. FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL Dado el subconjunto A c R , diremos que “/ es una función o aplicación definida en A y con valores en IR ” a toda correspondencia f que asocia a cada elemento x g A con un único elemento /(x) e R llamado el valor de la función que asume en el punto x.

NOTACIÓN: a) La notación / : A

>R se lee “/ es una aplicación de A en IR

A : es el dominio de la función. donde

IR : es el conjunto de llegada. El rango de la función / es un subcon junto del conjunto de llegada. f(A) = { /(x) / x

b)

La notación x

g

A} es la imagen de A p o r /o el rango de/.

> f{x) indica “a x corresponde el valor /(x) ’

“x” es la variable independiente.

0.1.1. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN /: A

>R

Gr{f) = { (x, f( x)/x e A }

L

- gráfica de f

Ejemplo 1. Sea la función / : [- 1 ,8 )-----> R definida por f(x) = -3 + v x +1 En este ejemplo tenemos: a) El dominio de/, es el intervalo [-1,8) .

Moisés Lázaro C. < !> b) El rango d e f e s un subconjunto de R . ¿Cómo se halla? Se

halla “ACOTANDO” la fu n c ió n a partir d e l d o m in io .

Así:

x e [-1,8)

^

-l< x < 8

Sumar 1

=> 0 < x +1 < 9

Extraer raíz

=> 0 < y/x + 1 < 3

Por 2

=> 0 < 2>/x + l < 6

Sumar -3

=> -3 < -3 + 2Vx + l < 3

El rango d e /e s el intervalo [-3,3} = /( [ —1,8)) c) El valor d e/ en 3 es /(3) = - 3 + 2 ^ 3 + 1 =1 d) La expresión algebraica “ - 3 + 2Vx + l ” es la regla de correspondencia de ¡a función f, el cual nos permite calcular el valor de la función / en cada x e [-1,8 ). e)

Graficar la función /.

G r(/) = {(jc,j>) e [ - 1 ,8 ) x [ - 3 , 3 > / y = - 3 + 2Vx + l }

Como vemos: Gr (/) cz [-1 ,8 ) x [-3 ,3 ) El dominio está contenido en el Eje X. El rango está contenido en el Eje Y.

0.2. PUNTO DE ACUMULACIÓN Sea A c f ? . Un número real a € R se llama pu n to de acumulación del conjunto cuando todo intervalo abierto ( a - e , a + e ) , de centro en “a” contiene algún punto

A

x € A diferente de A. dicho de otra manera: “ a € R es punto de acumulación de A, si y sólo si, para todo e > 0 existe algún x e A , tal que ( a - e , a + e ) n . Esto es, 0 < |x-a| < s .

LA DERIVADA

0 Ejemplo 2. En los intervalos: , [a,b], ( - 00 , b), (a,+00 ); son puntos de acumulación los extremos a, b y todos los puntos interiores a cada intervalo. NOTA:

Si “a” es punto de acumulación deA , puede ocurrir que q g A o que a <£A.

0.3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Definición. Sea / : A > R una función con valores reales definida en un subconjunto AczJR. Sea Xq un punto de acumulación de A . Diremos que el número real L es el límite de /(x ) cuando x tiende a x0 y escribimos.

si para cada número real s > 0, dado arbitrariamente, podemos encontrar otro núme ro real S > 0 tal que se cumple |/(x) - L\ < e siempre que x e A a 0 < |x-xq| < S. Abreviando, escribimos: lim f ( x) = L si, y sólo si (V s > 0) (3 8 > 0) tal que x -> x 0

XG A A 0 < |x-Xq! < 8 '___ / „__________________ V" x G A n ( x 0 —¿)',x0 + S )

|/(x)-L |<¿: ___________ j y f(x )e A n ( L - e , L + e)

Ejemplo 3. Dado la función f(x) = * +Q,2x x

- 0 .0 4 x

**0 x * + 0 .2

a) Calcular lim / ( x ) . x-^0 b) Aplicando la definición de límite, halle S en términos de s. Solución.

Moisés Lázaro C 0 b)

l

lim

_

5 si, y sólo si, dado s > 0, existe

> o x + 0.2

x

J > 0 t a lq u e

x e R -{0 ,0 .2 , -0 .2 }

0 < |x-0| < S =>

a

x + 0.2

<€

i ^ jT ¿

BUSCAR ¿EN TERMINOS DE ¿ Partir de

r -5 , sumar, simplificar y factorizar hasta encontrar el término |x|

x + 0.2

(necesitamos la hipótesis |x - x0 1< S ). Veamos: 1

\

±}

2)

1

5

- I r 5* - 1 -

x + 09

u

x + 09

1

“

_

|r i

5

x 4-09

|x + 0.2|

Por hipótesis, se tiene: |x| < 8 . Faltaría acotar la función

—

. . Para tal efecto, elegir un

S' tal que

|x| < 8 < Sf => |x| < S' de modo que su tamaño no sea mayor que la distancia de “0” a la asíntota x = -0 .2 (dicha distancia es 0.2). Por ejemplo, convendría elegir Sr= 0.1 o 0.03, etc. si elegimos Sf = 0.1 tendremos: |x| < 0.1

=>

-0.1 < x <0.1

Sumar 0.2

=>

0.1 < x + 0.2 <0.3

Invertir

=>

J^< 0.3

l

x + 0.2

<_L 0.1

13T < x- +209 0.2 < 10 |x + 0.2|

3)

Al

retomar

al

paso

1)

<10

tendremos:

5[x|

+

< (5£)(10) = 50£

hacer

50 S = s => S = -^ . Como hay 5 r - 0.1 y 5 - min| 0.1,

=

elegimos el más pequeño, es decir hacemos

j , ees cualquier número real positivo muy pequeño, casi cero.

LA DERIVADA

0.3.1. LIMITES LATERALES. Ejemplo 4. Sea la función: l

X < —1

x +l

/ ( *)

-1 < x < 2

X + l

3 - V x -2

,

x >2

En esta función tenemos que los extremos -1 y 2 son puntos de acumulación.

Así tenemos: a) -1

es

punto de acumulación

a la izquierda de(-o o ,-l)

b) -1

es


a la derecha de (-1 ,2 )

c) 2

““

“

“

a la izquierda de (-1,2 )

d)

““

“

“

a la derecha de

2

(2 ,+ o o )

Es en estos puntos, donde se estudian los limites laterales. Empecemos a analizar: a) En el /)


lim /(x )= lim - ^ X -» -1

x = - 1 , se tiene:

= -^ = - 0 0

X -> - I

X < —1

x +1 < 0

En este caso decimos que, el límite por la izquierda de -1 no existe. NOTA:

//)

Cuando en el resultado obtenemos - o o o + o o , diremos que no existe límite (este hecho es porque el - o o y el + o o no son números reales, so lo son símbolos)

lim f(x) = lim = -1 + 1 = 0 x->-l+ x->-l X > —1

En este caso, afirmamos que, el límite por la derecha de -1 existe y su valor es ce ro.

Moisés Lázaro C. < í> Conclusión: En el punto de acumulación x = -1 , no existe límite. En efecto, por la izquierda es -oo y por la derecha es cero, son resultados que no podemos com parar ya que -oo no es un número real. Se comparan entre dos números reales. b)

En el punto de acumulación x = 2 , se tiene: j

lim /(x )

i)

=

x -> 2 +

^

lim (3 - J x - 2) = 3 - 0 = 3 x -> 2

x>2

ii)

lim

> son iguales /(x)

= lim (x

x —>2

+ l)

=2

+1= 3

x —>2

x< 2

Conclusión:

Cuando los límites laterales existen y son iguales, diremos que lim /(x ) = 3 , el cual es único. x —>2

DEFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES A) LÍMITE A LA DERECHA Sea la función / : ( x 0,b)

> E , b = + o o o finito.

Diremos que lim f(x) = L s.s.s. ( V ^ > 0 ) ( 3 ^ > 0 ) X -»X q

i

x>x0

númeroreal

tal que x e ( x0,b) a 0 < x - x 0 < £ implica |/(x)-L| < s. B) LÍMITE A LA IZQUIERDA Sea la función /:(fa ,x 0) -----> R , b = - o o . Diremos que

lim f ( x) = L s.s.s. (V s > 0 ) ( 3 ¿ > 0)

tal que x e
0 < x 0 - x < S implica |/(x)-L| < s .

a

Ejemplo 5.

En la función /(x) =

Se tiene:

a)

»x*1

lim f(x) = lim—2—= -2- = +00 i+

1 + -X — 1

x -» l

x -> l

X>1

X>1

x-l>0

+u

LA DERIVADA

o b)

lim /(x ) = l i m z ó ^ r p z n ) ) x -> l X<1

x -» l

_ 2_ _ + 00 +0 “

X<1

x -l< 0

Conclusión: En el punto de acumulación x = 1, no existe límite.

0.4. FUNCIONES CONTINUAS En funciones reales con una variable real surgen dos interrogantes de gran importancia: 1) Cuándo una función es continua en un punto? 2) Cuándo una función es continua en un intervalo? Antes de responder estas interrogantes, observemos el gráfico de la siguiente función.

x +5

/(*) =

- 6 < x < -3

3

x = -3

2

- 3 < x < -1

1 X + 1

2 |x —2|

1

2 Ix - 2|

-1 < x < 0 0 2

Sí observamos en los puntos: -3 , -1, 0 y 2 que son los extremos de los intervalos (puntos de acumulación), la función f(x) sufre las siguientes manifestaciones: a) En el punto x = -3 e Dom(/), la función / tiene un “agujero” . Es decir, / no es continua en x = -3 , pero esta discontinuidad se puede evitar. b) En el punto

x

=-1

g

D om (/), la función / se ha roto “totalmente”, es imposible de

evitar dicha rotura. Es decir, / no es continua en x = -1 (hay discontinuidad infinita). c) En x = 0 , la función / no tiene agujero ni ha sufrido rotura. Es decir, /(x) es con tinua en x = 0 . d) En x = 2 , la función / tiene una rotura inevitable. Es decir, /(x) es discontinua en x = 2 (discontinuidad infinita). En cambio, si observamos el comportamiento de la función en cada intervalo, tene mos los siguientes resultados:

Moisés Lázaro C.______________________________ a) En el intervalo abierto (- 6 ,- 3 ) la función

/( x )

no tiene agujeros ni roturas, el

trazo de la línea es ininterrumpida; matemáticamente hablando, f(x) es continua en el intervalo ( - 6 ,- 3 ) . b) En el intervalo abierto ( - 3 ,-1 ), f(x) es continua. c) En el intervalo abierto ( - 1 ,-2 ), f(x) es continua. d) En el intervalo abierto (2,+qo) , f(x) es continua. La idea de continuidad, es el tema central de LA TOPOLOGIA porque ella trata de la deformación continua de las figuras geométricas. Por ejemplo unalínea cerrada sim ple se puede reducir “continuamente” en un punto.

0.4.1. DEFINICIÓN PUNTUAL DE CONTINUIDAD. Dado la función / : A

> R , diremos que / es continua en el punto a e A , si cumple

Io / está definida en “a”, es decir existe /( a ) . 2o Los límites laterales en “a” son iguales, es decir: lim f(x) = lim /(x )

NOTA:

La 3a condición define la continuidad de la función / en el punto a e A. Las condiciones I a y 2a se mencionan sólo por carácter didáctico.

DEFINICIÓN EQUIVALENTE Sea / : A

>R

Diremos que la función / es continua en el punto a e A , si y sólo sipara todo dado arbitrariamente, podemos hallar S > 0 tal que. x

g

A

a

|x-a|

<

8

implica

|/(x)-/(a)|

<

s

0.4.2. DEFINICIÓN INTERVALICA DE CONTINUIDAD. Diremos que / : A

> R es continua.

cuando / es continua en todos los puntos de A . (A es un intervalo).

s >0

LA DERIVADA

0 1.

LA DERIVADA

La interrogante que nos planteamos ahora, es: ¿cómo se halla la pendiente de una recta que es tangente a una curva? y N

Por ejemplo:

dado la curva /(x) = 4 - x2 , cómo se halla la pendiente de

X

una recta que es tangente a la curva en el punto x = j ?

0 es el ángulo de inclinación de la recta tangente y la tgOes la pendiente de la recta.

Respuesta: La pendiente de la recta ¿uT que es tangente a la curva en el punto x = j es la derivada de f(x) en el punto x = ■§■•Para llegar a esta afirmación pasa ron siglos. Los genios Isacc Newton (1642 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 1716) descubrieron el cálculo diferencial y el cálculo integral. Este descubrimiento revolucionó toda la matemática hasta entonces conocidas. A continuación daremos la definición de la derivada de una función en un punto de su dominio. 1.1.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

DEFINICIÓN: Sea la función / : A

> E , A c E y “a” un punto de acumulación

perteneciente al dominio de /(A = Dom (/)). Diremos que / es derivable en el punto “a” cuando existe el límite f'(a) = lim

En caso afirmativo, el límite f f(a) se llama la derivada d e /e n el punto a. Ejemplo 1. Dada la función /(x) = 4 - x 2 , hallar la derivada de / en ^ .

Moisés Lázaro C. Solución: / ( g)=

f(x) = 4 - x '

donde

1 ^

X~>2 = lim

X“ 2 2 15 4 - x z37 2

= lim 2

■= lim I

X-7T

= i™ - ( x + l ) = - ( l + l ) = - 1 2

Conclusión: / ( 1 ) = -1 í

es la pendiente de la recta tangente en X = |

CASO 1 /J Si existen los limites laterales lim _____________

v —n ■■ y lim

v" - n

no 7, pero 1

son iguales; diremos que / no es derivable en “a” . Es el caso de la fun ción /(x) = |x|, que no es derivable en x = 0 . CASO 2 ) Si

lim Í l í t - M = ± 00 , diremos que no existe la derivada de / por la x —>a+ x>a

derecha de x = a . CASO 3

Si

lim

= ±0 0 , diremos que no existe la derivada de / por la

x -> a x
izquierda de x = a . Es el caso de la función /(x) = V* , que no existe la derivada de / en x = 0 .

LA DERIVADA

0 Ejemplo 2.

En esta función, se tiene: /(x) es continua en los puntos x = 0 , x = 2 y x = 4 pero no es derivable en dichos puntos. Com probem os: a) En x = 0 . Comprobemos: i)

/+ (0) = lim x -> 0

=

lim

/ ( * ) - / ( 0) x -0

= lim = x -» 0 +

3rr = + qo

>/íx - 0 x -0

Este resultado implica que no existe

, /+ ( 0 )

.

x -» 0

ii)

/_ (0 )= lim ÍÍ£l_IÍ21= iim JjL = _<» ; implica que no existe f'_( 0). x -» 0 ~

X

x -> 0 “ x

Estos resultados nos indican que / no es derivable en x = 0 . b)

En x = 2 . i)

f(x)-flx) f+ (2) = lim /( xh>2+

,

f/(x ) = -( x - 4 ) donde \ ' 1 /( 2 ) = 3/4(2) = 2

x>2

= lim

x- 2

= Km 0 l 4 1 = - l x -» 2

x- 2

Moisés Lázaro C.

ii)

donde{

/:(2 ) = l i m ^ p

x —>2 x<2

[ /(2 )= 2

3V57-2 = lim x - 2 x->2 =

lim

x-»2

_

x 2

nm

+ ^ /(4x j(8j +

•= lim

)

x-»2

= lim x -± 2

(x-2)

( x - 2 ) ( ^ /( 4 x ) 2 +.....................4

Como podemos apreciar, los limites laterales son números reales diferentes, por tanto /(x) no es derivable en x = 2 . c)

En x = 4 . /)

/ ; (4 )= lim

x ->4

x -2 > DIFEREmES

//)

fl(4)= lim

x_>4

1~— = -1

x ¿

No existe /'( 4 ) . Es decir/no es derivable en x = 4 .

1.2.

OTRA FORMA DE DEFINIR LA DERIVADA DE / e n a.

Sí en la definición f\a) - lim X-KX hacembsel cambio de variable: x - a - h O btenem os: f'(a) = lim

0

L

f(a + h) - f ( a )

h

La derivada d e f e n a.

— ©

NOTA: x - a = Ax = h

LA DERIVADA

<5> 1.3. LA FUNCION DERIVADA Si / es una función, entonces. /'(x) - lim

f{x + h ) - f ( x )

h ->0

—®

se llama la FUNCIÓN DERIVADA DE f .

Ejemplos: n) Si /(x) = xn, entonces /'(x) = nxn_1 es la función derivada de /. l>) Si /(x) = e x , entonces f'(x) = e x es la función derivada de/. »■) Si /(x) = senx , entonces f'(x) = eos x es la función derivada de /.

NOTACION:

Si

y es función de y "(y = / ( x ) ) , la “derivada de y con respecto a x”

se denota por: y' = /'(*) = ^ = -^ = Dxy >/a notación de Leibniz (/)

1.4. DERIVADAS LATERALES Si en la definición

f(a) = lim

Pendremos:

f(a) = lim

— (^P) , hacemos: x - a = h x = a+h f(a + h) - f ( a )

h- > 0

Tanto ® como © definen “La derivada de / en a e A

DEFINICIONES: Supongamos que el dominio de la función / : A -----> R lo expresamos como A ==, definimos: f {a)m fcn í í * k M = iim M J ? ) xv -*< r x>a

XA ~~ uÜ

k 0+ h->

n

ft>0

Sí este límite existe; diremos que //(a ) es la derivada de / a la derecha de a.

Moisés Lázaro C. ii) f l ( a) = lim x -» c f

= lim Íl£±^LIÍ£l? s[ este límite existe; diremos que X a

h->O"

n

h< 0

x
/_' (a) es la derivada de / a la izquierda de a.

OBSERVACIÓN:

En 2 aparece una nueva función, que es q(h)= definida en el conjunto B = { h e J R - { 0 } /a + h e A } .

1.5. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Dado la función / : A -----> R ¿qué interpretación geométrica tiene /'(a ), a e A ?

O bservem os el gráfico: Tenemos la recta secante £ que corta a la función f(x) en los puntos Q(a,/(a)) y P (x ,/(x )), siendo Q un punto fijo y P un punto que se mueve acercándose a Q. Deseamos que la recta secante £ se convierta en la recta tangente £ T , esto ocurrirá cuando P se mueva hasta coincidir con Q. Pero a medida que P se acerca a Q la pen diente de £ irá variando hasta “coincidir” con la pendiente de £ T . La pendiente de la recta-secante £ es: tga = Cuando P se mueve por la curva acercándose a Q, la variable “x” se va acercando al punto “a” y por lo tanto la diferencia x - o se hace cada vez más pequeña acercándo se a cero.

i ¡

i

LA DERIVADA

I s decir, cuando x —»a entonces ( x - a ) —>0 y la pendiente tg a de «£, se convierte en tg # , que viene a ser la pendiente de

.

I n el límite, se expresa del siguiente modo: pendiente de <£T = tg0 Conclusión:

lim

= f'(ct)

f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto “a” .

I ecuación de la recta tangente J£T es: y - f(a) = f'(a)(x - a). Ejemplo 3. I lallar la ecuación de la recta que es tangente a la curva y = 4 - x2 en el punto x = j Solución. 1 ecuación de la recta tangente en Vz es:

= / r(

i

)

(

- d o n d e

15

4

ver ejemplo 1.

4x + 4 y -1 7 = 0

1.6.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO CERRADO

Sea la función f:[a,b] ---- > E Se dice que / es derivable en un punto x0 e [a, b] si cumplen las tres siguientes propo siciones: 1) Si x0 € (a,b) , entonees las derivadas laterales en x0 existen y son iguales. 2} Si xo - a , entonces existe la derivada lateral por la derecha de a .1 3)

1

Si x0 ~ b , entonces existe la derivada lateral por la izquierda de a.

Leibniz, es el matemático q u e formalizó la derivada f'(a) com o el límite d e la función f(x)-f(a)

.

— L1- L cuando x -> a.

Moisés Lázaro C. 1.7.

INTERPRETACION GEOMETRICA Cuando decimos que / : [a, b] -----> R es derivable en todo punto x0 e [a,b], geométricamente significa que por cada punto (x,f(x)) perteneciente al gráfico de / se puede trazar una sola recta tangente.

2. TEOREMAS SOBRE DERIVADAS TeofwncHj

(La derivada implica continuidad, el recíproco no es cierto) Sea la función / : I -----> R , I = dominio de / y a e l . Si / es derivable en a entonces / es continua en a.

Demostración: Recordar que: fe s continua en a, si lim f(x) = f ( a) , entonces bastará demostrar: x —>a

lim [/(x)-/(a)~| = 0 , x - a = h x->a

lim [ /(h + a ) - / ( a ) l = 0 h->0L J »

* = h+ °

lim f(h + a) = f(a) h— >0 lim f ( x ) = f(a) x -» 0

Veamos: 1) Si existe la derivada /'(a ), entonces existe lim x -» a

2) Partir de lim [ / ( x ) - / ( a ) l x -> a

lim [ / ( x ) - / ( a ) ] = lim ^

^ (x - a)

,

Se ha dividido y multiplicado (x - a) = lim Ü£W<£l

/ '(a) = 0

.

lim (X _ a)

LA DERIVADA

<5> 3)

Luego, f e s continua en el punto a. NOTA:

El recíproco de este teorema no siempre es verdadero, es decir, si una función/es continua en a, no implica que/sea derivable en a.

Ejemplo 4. La función /(x) = |x| es continua en cero, pero no es derivable en cero. Probemos: a) La derivada por la derecha de cero es: /+ (0) = lim f--x- Q 0) = lim x -» 0 x x->0

lim (1) = 1 ^

xÔ

x>0

b) La derivada por la izquierda de cero es: /-(O) = lim x-»CT

/ ( * ) - / ( 0) u

x -> 0

x -> 0

x <0

Como observamos, las derivadas laterales existen pero no son iguales, por lo tanto, la función f(x) » jx| no es derivable en cero. En general, todas las funciones con valor absoluto de la forma f(x) = |G(x)| no son derivables eti los puntos xeff? en los cuales G(x) « 0 . Por ejemplo: i)

f(x) = |x2 - 4|, no es derivable en x = ±2 .

//) /(x) = 2|x - 1| - 3x|2x + 1|, no es derivable en los puntos x = 1, x = ~ . Ejemplo 5. 3 i--------

La función /(x) = y j x - a es continua en x = a , pero no es derivable en x = a , pues las derivadas por la derecha y la izquierda de x = a no existen.

Moisés Lázaro C.

< 2> Demostremos: /)' - ' "/ r>x)/ =

Um « £ vt—«rt£ U l

v _ /°r

: lim

l-w = +ao

x -> a +
Como observamos, la derivada de / por la derecha de a, no existe. Similar cosa octirre con /_'(a).

CONCLUSIÓN: /(x ) = \ /x -a no es derivable en a. Teorema 2 | --------------- 1 Prueba:

Si/(x) = k , k xeR.

1. La derivada de / en x, es

es u n a

con sta n te real, e n to n c e s

/'{x) ~

■ *

*

,

p a ra t o d o

h&0

2. Por hipótesis, se tiene f ( x ) ~ k

h-*0 h

/'(x) = 0

...

h~+0*-h -* /t~»0

Ilustración Gráfica. y_ k El gráfico de la función constante es una recta paralela al EJE X, su á n g u lo d e in clin a ción es c e r o y p o r tanto su

pendiente es tg0° = 0 el cual coincidecon su derivada. Pues si y = fe => y' = 0 = tgO° .

^ orem a^ 3j

Si /(x) = x , entonces /'(x ) = 1 para todo x <=R .

Prueba: 1. La derivada de /e n x, es /'( x ) = lim f^x + h)~JM

h -~>0

11

^ h*0

LA DERIVADA

Ilustración Gráfica 2. Como /(x) = x , entonces /(x + h) = x + h . 3. Sustituir 2. en 3. f ( x ) = lim h— >0

|T e o ro m a T J

h+ x - x

= lim 1 = 1 h->0

(R e g la d e la P o te n c ia )

Si /(x) = x n, donde n es un número racional, entonces f f(x) = nxn_1 Prueba: (Probaremos para el caso cuando “n” es un número entero positivo) 1. La derivada d e /e n x es: /'(x ) = lim

/(x + h)-/(x)

h-> o

n

2. Como f(x) = x n entonces /(x + h) = (x + h)n. 3. Sustituir, 2 en 1. 1,'kvn (* +h)"-x" /'(x )= lim

h->0

[ ( x + h ) - x ] [ ( x + h ) n” 1 + ( x + h ) " ~ 2 x + ............ + x n^ 1 ]

= lim o = l*lim T(x + h)n 1 + (x + fi)n 2x + ........ + x n 1 ~ \ vn ■ — -J .n -1

+

x "-1

+.

hay n términos

= nx n-l

.+

Xn -1

Moisés Lázaro C. —

®

—

EJEMPLOS: FUNCION

1) / W = xü

2) f ( x ) = x 3

SU DERIVADA

f'(x) = 5x4

/'(x) = -3 x -4

3) /(x) = x~

4) /(x) = 4 -

/'(x )= -fx 3 3' _

SU DERIVADA

FUNCION

2

= x "5

3 \/x

f'(x) = -5 x “b = —

7eoreiTicr5j| (REGLA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN) Si g(x) = c/(x) => g'(x) = c •f ’(x) , c es un número real. Prueba. 1. La derivada de g en x, es 2.

g'(x) = lim 8(x+f slx) h~>0 h

Pero g(x + h) = c /(x + h) , entonces g'(x) = lim c / ( x

,

h* 0

+ h)-c/(x)

h-+0 _

lim h->0

c [ /( x + /i ) - /( x ) ]

h

= c lim

/( x + h ) - / ( x )

0 /'(* )

■cf\x).

EJEMPLOS: FUNCIÓN

SU DERIVADA

1) g ( x ) = 5 x ...... g ’(x) = 5(1) = 5 2) g(x) = | x3

FUNCION

4)

SU DERIVADA

y=-f Vx

g'(x) = |(3x2 ) = 2 x 2 2-Jx3

3)

£ - í ( K §)

5) S = 6 í K

í

=6 (l!-» )

1

_ _3_

1 2 ^ /?

~ St

LA DERIVADA

| Jmorama é ]j (REGLA DE LA SUMA) La derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas es decir: Si ¿u{x) = /(x) + g(x) => ¡u'{x) = f ’(x) + g'(x) 1‘i ud>;l. 1 1a derivada de u en x, es u ’(x) = lim M >'x +h'¡ /i->0

2

^ h^Q

"

Pero ju(x + h) = f(x + h) +g(x + h) => ju'(x)= lim

— + g^x + h,^ [fM + gM]

0

n

= lim [ f l x + /l> ~ f ( x )] + [ g l :,c + h) ~ 8 l x )] h-> 0

h

= lim ! Í 1 ± 1 } U M + lim 9 ( x + h ) - g ( X)

h->0

h f'M

h->0 h + s'(x)

HJEMPLOS: FUNCIÓN

1) ¿t(x) = 2x4 + 3x2 - 5x + 2

SU DERIVADA

ju'(x) = 2(4x3 ) + 3 (2 x )-5 (l) + 0 = 8 x3 + 6 x - 5

2 ) V = ^ - - ^ - + x - 5 .............................. J = l( 3 x 2 ) - i( 2 x ) + l - 0 = 3x2 " 2 x + 1

3)

S = 5^/t2 - 4 + 5 í - 8 r

= 5t2/3- 2 r 3 + 5 t - 8

A = 5 ( | r 1/3 ) - 2 ( - 3 t “4 ) + 5 ( l ) - 0 ^

3 vt

4)

+4 + 5 t

c = J + 3Q = 2Q“ 1 + 3 Q

^ = 2 (-Q -2 )+ 3 =- 4 +3 Q2

x

2 2

Moisés Lázaro C.

Teorema 7 | (DERIVADAS DEL SENO Y COSENO) a) Si /(x) = senx , entonces f'(x) = cosx b) Si g(x) = eosx, entonces g'(x) = -sen x Pmeba. a) 1. Lai derivada d n xx,, es: ff(f(x) x ) = lirn^ ^ x + h^ dee /e f en

,

hÔ

h-> o

2.

Como /(x) = senx => /(x + h) = sen(x + ñ)

3.

Sustituir 2 en 1. f'(x)= lim

4.

+ h) -

sen(x

senx

h —>0

t~\

P e ro :

/

n

X + /l + X

X + /i — X

s e n ( x + n ) - s e n x = 2 e o s — 2— s e n — 2— 2x + h = 2o eos—g— sen-fj-h

0

5.

Sustituir en 3.

/'(x ) = lim

2x+h

h

2 eos— - — sen--

/i->0 2cos ■— + ^ / sen-¿ \

: ¿imn—

^ \ 2—

^

i

= COSX

b) 1. 2.

La derivada de g en x, es

cj'(x) = lim g^x + —x^ h-> 0

n

h* 0

Pero g(x + h) - cos(x + h) , entonces g'(x) = lim CQS^X+^ c-— • h

h->0

/f »\ r> X + /l + X X + h- X 3 . cos(n + n)-cosx = -2sen— 2— sen— §—

= -2sen 2x2+" sen-| o

4.

,

Sustituir en 2 : g f(x) = lim

2x + h

- 2 sen— 2"—

h-> 0

= -sen x

s_

2

\|

;

h

j

sen7 1

-i

1

LA DERIVADA

< §> EJEMPLOS: FUNCIÓN

SU DERIVADA

1) y - 2x + senx + 2cosx

y' = 2 + cosx + 2(-senx) = 2 + c o s x -2 s e n x

/ ’ ) y = 3sen£ + 5cos£

—r = 3cos£ -5sen£

| Teorema 8 | (REGLA DEL PRODUCTO) Si /z(x) = f(x) g{ x) , entonces //(x ) = f(x) g'(x) + /'(x) g( x ) . Prueba. 1. La derivada de u en x, es u\x) - iim ¿rix + h)-//(*) *

h->o

h

2. Pero ju(x + h) = f(x + h) g{x + h) , entonces / / ( x ) = lim — h-> 0

3.

n

Restar y sumar /(x + h) g (x ): , / x x = [im f ( x + h)g(x + h ) - f ( x + h) g( x) +f(x + h) g ( x ) - f ( x ) g ( x )

h->0 •

= lim

h f ( x + h) [ g( x + h ) - g ( x ) ] + [ f ( x + h ) - f ( x ) ] g ( x )

o

= limí

f { x + h) [ g{ x + h ) - g { x ) ]

h-+0{

f(x)-g'(x)

[ f { x + h) - f { x) ~] g{ x) +

h

+

h

f\x) - g( x)

EJEMPLOS: FUNCIÓN

1) /(x) = X 2

•COSX

SU DERIVADA

/'(x) = x 2[eos x]' + (eos x) (x2)' = x [-sen x] + (eos x) (2x) n = —x senx + 2xcosx o

2) y = ( l - x 3)senx

= (1 - x3) [senx]' + senx[l - x3}' = (1 - x3) [eos x]+senx[0 - 3x2] = {1 - x3 )cosx - 3x2 senx

Moisés Lázaro C.

= 2(cosx)' + 3 [ (x)'senx + x(senx)' ] = 2 (-senx) + 3[l-senx + x cosx] = -2senx + 3senx + 3 xcosx = senx + 3xcosx

3) y = 2cosx + 3xsenx

Teorema 9 j (REGLA DEL COCIENTE) La derivada del cociente de dos funciones derivables /(x) y g(x) está dada por: Si: ju{x) = ~|~y entonces ju'(x) = Prueba: 1. La derivada de ¡uenxes: ju'(x) = lim ^x + h)

h-> 0

2. Como ju(x)' = -^ 4 g{x)

entonces

Sustituir en 1

f(x)

ur{ x ) = lim 3{x +h)—iíüL _

4.

? hÔ

//(x + h)' = £^,x +m (x + h) f ( x + h)

3.

n

i* /( x + h) g ( x ) - / ( x ) g ( x + h) h g( x + h) h) gg{x) h i lo hg( (x)

Restar y sumar el término /(x) g(x) en el numerador: ¿ /'( x ) =

lim

f ( x + h) 9 { h) - f { x) g{ x) + / ( x ) g ( x ) - f { x ) g { x + h)

hg(x + h)g(x) = Hm [ / ( x + h) ~ / ( x ) ] g ( x ) ~ / ( x ) l g( * + h ) - g ( x ) ] ~ h -± o

hg( x + h)g{x)

_ g { x ) f { x ) - f { x ) g ,{x)

[g{x)}2

LA DERIVADA

EJEMPLOS: FUNCIÓN

SU DERIVADA

(1 - cosx)2 1 - cosx - x (0 + senx) (1 - cosx)2 1 - cosx - xsenx (1 - cosx)2

dy _ (1 —x 2 ) (1 + x 2 )' - (1 + x 2 )(1 —x 2 )'

(1 —x2 ) ( 2 x ) - ( l + x 2 ) (|-2x)

Moisés Lázaro C.

< §>

3. VELOCIDAD Y ACELERACION Supongamos que un objeto (una pelota, una partícula o cualquier otro móvil) se mue ve por acción de una fuerza. Por ejemplo, si usted, deja caer un objeto de un edificio, dicho objeto cae por acción de la gravedad. Si se lanza una pelota desde un punto A, según la fuerza que le aplicamos, va recorrer cierta trayectoria en forma de parábola, hasta caer al suelo. En ambos casos, al moverse el objeto o la pelota, por acción de una fuerza, describe una trayectoria rectilínea o parabólica, respectivamente. Cada punto P de la trayecto ria pertenece a una función S(t) que da la posición (respecto del origen) del móvil como función del tiempo t, llamado función de posición. El conjunto {(í,s)/s = S(t) , t e [a,b]} es la gráfica de la función S(t) y cada pareja (t,s) es la posición de un punto P del móvil. Los conceptos de VELOCIDAD y ACELERACIÓN de un objeto cuya función de posición de un punto P está dado por el conjunto de puntos {(£,$)/$ = S(£),£€[0,b]}, son simples derivada de la función S(t) respecto al tiempo t Supongamos que la posición de un punto P esta dado por el conjunto de puntos { (tís)/s = S(t) , £ g [G,b]} donde £ es el tiempo y s = S(£) es la trayectoria que recorre el punto R Si el tiempo varía de £0 a t se tiene que:

a)

S(t)- S(t0 )

es la velocidad media de P durante el lapso de tiempo [£0,£].

t-to

f

Donde [

AS

S(t) - S{t0) = AS t - t 0 = At

ES LA VARIACIÓN DE LA TRAYECTORIA ES LA VARIACIÓN DEL TIEMPO

= Expresa la variación de la trayectoria respecto al tiempo (o velocidad del

^

móvil durante el lapso de tiempo [£0, í ] ,

t

= £0 + A i .

cuando At —> 0 se convierte en

lim A i—>0

= 4 r = ....... Át

dt

expresa la variación instantánea del recorrido respecto al tiempo y es la velocidad del objeto P en el tiempo £0 •

= S’(tQ) L _

derivada de S respecto a £ en t0 .

______________________________ LA DERIVADA_______________________ I>) S'(t) = es la velocidad instantánea del móvil P en el tiempo t0 . En general S'(t) = V{t) es la función velocidad instantánea en cualquier t e [0,¿>] Si derivamos la función VELOCIDAD obtenemos la aceleración del móvil. Así: q(tb) = V'(to)= lim ^ : r (t^ >^ -

t —>Íq

,

0

t-to=h =M

= lim V(t0 + h )-V (t0 )

h->0

h

es la aceleración del móvil en el tiempo

Donde-

t0 .

es la aceleración media del móvil P

^

en el lapso de tiempo [í0 ,t0 + h] .

En Consecuencia: a(í0) = V'(t0) = Sff(t0) A ------------- La aceleración del móvil P en el tiempo £q es la segunda derivada de la función S(t) en el tiempo t0 .

I lagamos dos ejemplos aclaratorios: Ejemplo 1. Supongamos que un objeto cae libremente de un edificio de 144 pies de altura y la función de la caída libre es: S(t) = -1 6 í2 +144 ; te [0,3] Se pide:

a) Graficar S(t). b) Hallar la función velocidad. c) Hallar la velocidad del objeto cuando ha transcurrido el primer se gundo. d) Hallar la función aceleración. e) ¿Qué tiempo transcurre cuando el objeto toca el suelo?

Moisés Lázaro C.

— (§} Solución:

a) El gráfico de S(t) es una parábola de vértice en (0,144). Cuanto t = 0 => S(0) = 144 que expresa la altu ra del edificio (altura inicial del objeto).

b) La función velocidad es: S'(t) = - 3 2 t

c)

La velocidad del objeto en el primer segundo transcurrido es: S'(l) = -32pies/seg

i

1------------EL SIGNO NEGATIVO INDICA QUE EL OBJETO ESTÁ BAJANDO.

d) La aceleración es la segunda derivada de la función S(t): A(t) = S"(t) = -32pies/seg2 f

1

Es la aceleración de la gravedad. Nos indica que en la caída libre de los objetos la aceleración es constante. Experimentalmente la aceleración de la gravedad es g = -3 2 ,1 7 4 pies/seg2 .

e) Si el objeto toca suelo, entonces S(t) = 0 , es decir: -1 6 t2 +144 = 0 En 3 segundos toca suelo dicho objeto.

NOTA:

t2 = 9 => t = 3

En general, la posición de un objeto en caída libre está dada por la función S(t) = ^gt 2 + u0t + s0 .

donde:

üq

= es la velocidad inicial con que se suelta el objeto.

Sq = altura inicial del objeto g = -32,174 pies/seg2 es la aceleración debida a la gravedad.

LA DERIVADA

< s>

Ejemplo 2. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 128 m/seg , su distancia “s” sobre el punto de partida después de t segundos está dada por s

128é - 4.912 . Se pide:

1) Hallar el tiempo que ha tardado la pelota en tocar el suelo. So lu c ió n :

Hasta hacer s = 0 => 128t -4 .9 t 2 => t = 0 , t = 26.2 , luego, la posición de la pelota está dada por el conjunto { (t,s)/s = 128í - 4.9t2 , t e [0,26.2]}. 2) Se Pide: a) Encuentre una expresión para la velocidad media en el intervalo de tiempo [ t i, ti + h ]. b) Encuentre la velocidad media del intervalo de 2 a 2.1 seg usando el resultado de (a) del intervalo de 2 a 2.01 seg. y del 2 a 2.001 seg. c) Halle la velocidad en el tiempo ^ . d) Halle la velocidad para t - 2, usando el resultado de c). e) Calcule a los cuántos segundos de haber sido lanzada la pelota, lleva una velo cidad de 50 m/seg., de 48 m/seg. f) ¿Cuándo su velocidad es cero? ¿a qué altura está en ese instante? ¿Es esa la máxima altura que alcanza la pelota? g) Calcule la aceleración en el tiempo ^ . h) Halle la función velocidad y la función aceleración, i ) Grafique la función s(t). Solución: a) 128 { t i + h ) - 4.9 { t i + h ) 2 - [ 128 ta - 4.9

]

h

128 íj +128 h - 4 .9 1\ - 9.8 tx h - 4.9 h2 -1 2 8

+ 4 .9 1\

h

128 h - 9.8 ti h - 4.9 h2 _ h d 2 8 - 9 .8 f r - 4 .9 h ) _ 1 9 ,

h

h

= 1 2 8 -9 .8 ^ - 4.9 h

Si t1= 2, ^ +h = 2.1=>h = 0 .1 . Luego: Vm = 128-9.8(2)-4.9(0.1) = 107.91 V ( ) = lim (128 - 9.8 tx - 4.9 h ) = 128 - 9.8 ^

Moisés Lázaro C. d)

V(2) = 128 - 9.8(2) = 108.4

e) Si

50 = 128 - 9.81

V = 50 m/seg =>

Si

t

78 _ 780 _ - 7 O ~ Q ^

8 - ' o 98 s ' - / -y ~ S s e S£ § ------- 09.8

48 = 128 - 9.8f

V = 48 m/seg =>

f)

* _ 1 2 8 -5 0 _

í =

1 2 8 -4 8 9.8

= 8.16 seg.

Tenemos V(t) = s'(t) = 1 2 8 -9 .8 1 Entonces V{t) = 0 si 128 - 9.8t = 0 En el instante í =

, La altura será

=> t = ^

= 13.06 seg.

y|- j = 128 ( y|- j - 4.9 (

j

= 835.7 es la máxima altura g) La aceleración es V ’(t) = s"(t) = -9 .8 ,para todo t e (0,26.2).

h) V = {{t,v)/v = 1 2 8 -9 .8 1, t e (0,26.2)} ; A = {(f,a)/a = -9 .8 , t e [0,26.2]}

PROBLEMAS. 1.

La altura S en el tiempo t de una naranja que se deja caer desde una altea de 1350 pies de altura viene dado por S(t) = -1 6 í2 +1350, con S medida en pies y í a) Hallar la velocidad media en el intervalo [1,2]. b) Hallar la velocidad instantánea para t = 0.5 y t = 1.5. c) ¿Qué tiempo demora en llegar al suelo?

.

d) Hallar la velocidad de la naranja al tocar el suelo.

„

LA DERIVADA

,

2. La velocidad de un camión que parte del reposo esta dada por la función v= a)

^ ^ con v medida en metros por segundo. Hallar la aceleración después de: 3 segundos

b) 5 segundos

c) 20 segundos.

En los Ejercicios del 3 al 5 aplicar la función de posición S(t) = -1 6 12 + v0t + S0

3. Se lanza un cohete hacia arriba desde una base terrestre con velocidad inicial de 384 pies/seg. Hallar su velocidad después de 5 y 10 segundos.

4. Se deja caer una moneda desde 600 pies de altura. ¿Cuál es su velocidad al llegar al suelo? 5. Para estimar las alturas de un edificio se deja caer desde lo alto una piedra. Hallar la altura del edificio si golpea al suelo 6,8 segundos después de soltarla.

6 . Un auto viaja a 66 pies/seg. en el momento en que el conductor pisa el freno. Su función de posición es S(t) = -8 ,2 5 12 + 6 6 1 con S medido en pies y t en segun dos. Hallar su posición, su velocidad y aceleración para £ = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 .

4. RAZÓN DE CAMBIO Y ANÁLISIS MARGINAL

(APLICACIONES A LA ECONOMÍA) Definiciones. 4.1. COSTE MARGINAL Supongamos que la función C(q) exprese el costo total en dólares de fabricar q uni-

= c'(q)

es el COSTE Marginal por unidad, y expresa la razón de cambio instantá nea de cambio del coste total con respecto a la producción.

Además:

C'(qg )

=

lim q~*q°

•

Q~Qo

es el coste marginal cuando se han producido q0 .

4.1.1. Coste Real. El co ste d e p r o d u c ir la q - é s im a u n id a d , es: C ( q ) - C ( q - 1 ) = 1

^

Vi/

VJ

'

q-(q-l)

=

carn b‘° e n c

cambio en q

Moisés Lázaro C. 4.1.2.

Coste Medio. <

4.2.

es el coste medio El coste medio por unidad, es el costo total divi dido por el número de unidades producidas.

RAZÓN PORCENTUAL DE CAMBIO

Si y es función de x (y = f ( x ) ) , la PECTO A

RAZÓN PORCENTUAL DE CAMBIO DE

y

CON RES

x está dada por la fórmula:

Razón Porcentual de Cambio = 100 | y j

donde: Y' = ^ = f'(x) . Problema

1j

Suponga que el coste total en dólares de la fabricación de q unidades es c(q) = 3q2 + q + 500 .

a) Use el análisis marginal para estimar el coste de fabricación de la 41 unidad. b) Calcule el coste real de fabricación de la 41 unidad. Solución: a) Se pide hallar C'(41). En primer lugar, hallar C'(q) En segundo lugar, hallar C'(41) :

: C'(q) = 6q +1 C'(41) = 6(4) +1 = 247

b) El coste real de la 41 unidades: C(42) - C(41) = [3(42)2 + 42 + 500] - [3(41)2 + 41 + 500] = 250

P roblem ^ ^ J Sea C(x) = mx + b , m > 0 , b > 0 la función lineal de costo total: a) b) c) d)

Graficar C(x) y diga qué representa la constante b. Hallar la función del costo promedio. Halle la función de costo marginal promedio. Grafique la función de costo promedio en el mismo plano.

LA DERIVADA

Solución: a) C(x) = mx + b

es una línea recta de pendiente m > 0 , lo cual

y

nos indica que el ángulo de inclinación de la recta es agudo y la función es creciente. Como b > 0 y “x” es el número de unidades produ cidas debe ser x > 0 , entonces la recta se ubi ca en el primer cuadrante en forma creciente.

b

X

b)

La constante b = c(0) es el COSTO FIJO.

La función de costo promedio es: mx + b que la llamaremos

Q(x) = m + & <

es un hipérbola.

cuando x - » + o o entonces Q (x )— o sea m es asíntota horizontal.

c) El costo marginal promedio es: Q'{x) = —\ V

4.3. ECUACIÓN DE LA DEMANDA, FUNCIÓN INGRESO TOTAL, FUNCIÓN INGRESO MARGINAL, FUNCIÓN DE GANANCIA (O LUCRO). Consideremos dos variables: “P” el precio y “x” la cantidad de mercancía que se de manda (que se solicita) la relación entre “p” y “xv expresada por la ecuación F(p,x) = 0 es la ECUACIÓN DE LA DEMANDA. Cuando el precio “P” de un bien baja entonces lá cantidad demandada “x” crece y al revés si el precio sube la cantidad de mandada baja, este comportamiento de demanda nos indica que la relación F(p, X ) = 0 es DECRECIENTE. p

En el gráfico:

Si p1 baja a p2 , entonces Xj sube a x2 .

X

Moisés Lázaro C. Si de la relación F(p,x) = 0 despejamos “P” en términos de “x” obtendremos la función P = P(x)

que la llamaremos “la función del precio” . Y es la cantidad que se solicita.

En la ecuación:

4.4.

p

= P(x)

se tiene: i P(x) es el precio que se paga por la cantidad “x”.

LA FUNCION INGRESO TOTAL

Definición 1 El ingreso total = (cantidad demandada) (precio de cada unidad) RM

rr =

PM

R(x) = xP(x)

x >0

£ R(x)

P(x) =

t

- se llama ingreso promedio

Esta igualdad nos indica que “el ingreso promedio y el precio por unidad son iguales” .

Definición 2 | Si R(x) es el INGRESO TOTAL, (en unidades monetarias) obtenido cuando se demandan “x” unidades de mercancía, entonces defini mos la función Ingreso Marginal como la derivada de R(x) con res pecto a x. Es decir:

De modo que, el ingreso marginal para x = x1 está definido por P'ÍXj), siempre que exista R'(xi) y expresa la razón de cambio del ingreso total por cambio unitario en la demanda cuando x1 unidades son demandadas. Puede ser: Rf(x1) > 0 , R'(x1) = 0 o R,(x1) < 0.

LA DERIVADA

P roblem ^^J

Supongamos que la ecuación de la demanda de cierta mercancía es p 2 + x - 1 6 = 0 . Hallar las funciones del precio, del ingreso total y del ingreso marginal. Trazar las curvas de la demanda, del ingreso to tal y del ingreso marginal en el mismo sistema de coordenadas.

Solución: a) La función del precio se halla despejando “P” de la ecuación de la demanda: p2 + x - 1 6 = 0 .

se

elige

el

signo

=>

p2 - 16 - x

=>

p = +Vl6 - x

positivo

p = V l6 - x con 1 6 - x > 0

b)

porque

El ingreso total {IT), es: R(x) = x •P(x)

con 0 < x < 16 El ingreso marginal (IM) , es: R'(x) = (x)V 16- x = V l6 -x IM:

+ +

x ( V l6 - x ) ' X

( 2^/16 - x:)

R '( x ) = - % ~ 3 x - , 0 < x < 16 '

’

2 ^ /1 6 -x

el

p = P(x) precio

es la función del precio.

<=> 0 < x < 1 6

R(x) = x V l 6 - x

c)

;

es

positivo,

entonces

Moisés Lázaro C.

4.5. LA FUNCIÓN GANANCIA Definición 3 | La ganancia que obtiene un comerciante es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Si denotamos por S(x) la función ganancia, se tiene: S(x) - R(x) Como: R(x) = xP(x)

=>

C(x)

—

®

S(x) = xP (x)-C (x)

Si en (T) hallamos la primera y segunda derivada obtenemos: S'(x) = R'(x) - C'(x) ................................. 0 S"(x) = R"(x) - C"{x) ..............................0

LA DERIVADA

<37>

Analicemos la ecuación ( ? ) : a) S'(x)> 0 <=> R '(x )-C '(x )> 0 <=> H'(x)>C'(x) Por lo tanto, la ganancia es creciente si y sólo si el ingreso marginal es mayor que el costo marginal. b) ¿Para qué valor de “x” (llamado nivel de producción), la utilidad es máxima? S(x) tiene máximo relativo en un número “x” si S'(x) = 0 y S"(x) < 0 . D e ® , si S'(x) = 0 => R '(x )-C '(x ) = 0 => J?'(x) = C'(x) D e ® , si S "(x)< 0 => R "(x )-C "(x )< 0 => R "(x)
I

Supongamos que la ecuación de la demanda de cierta mercancía es P = 6 -0 .0 0 0 3 x , donde x es el número de unidades producidas mensualmente y P dólares es el precio de cada unidad. El número de dólares del costo total de la producción de x unidades es 800 + 3x . Si la utilidad mensual es máxima, encontrar:

a) El número de unidades que se producirán cada mes b) El precio unitario. c) La ganancia mensual. Solución: DATOS:. 1

P = 6 - 0.0003x

x e [0,20,000]

[ C(x) = 800 + 3x Se pide hallar el valor de “x” y “p ” tal que maximice la ganancia. Según la teoría, la función ganancia se maximiza en un valor de x tal que: R’(x) = C'(x) y R” (x) < C "(x ).

Moisés Lázaro C. Veamos: 1.

La función R(x) es:

R(x) = x p = x(6 -0 .00 0 3x) R(x) - 6 x - 0.0003x2 ; x e [0,20,000]

Al derivar Derivar otra vez 2.

3.

La función costo total es:

R'(x) = 6 - 0.0006x R"(x) = -0.0006 C(x) = 800 + 3x

Derivar

C'(x) = 3

Derivar otra vez

C"(x) = 0

La función ganancia es:

S(x) = fí(x) - C(x) = 6x - 0.0003x2 - 800 - 3x S(x) = 3x - 0.0003x2 - 800

4. Igualar Rr{x) con C'(x):

x e [0,20000]

6 ~0.0006x = 3 x = 5,000

Como: -0.0006 < 0 , entonces la función S(x) tiene máximo en x = 5,000 y P = 6 - 0.0003 (5,000) = 4,5 5. Luego , la ganancia máxima es:

S(5,000) = 3(5,000) - 0.0003(5,000)2 - 800 = 1 5 ,0 0 0 -7 ,5 0 0 -8 0 0 = 6,700

Conclusión:

Para tener mayor utilidad mensual se deberán producir 5000 uni dades mensuales para venderlas a 4,5 dólares cada una para ob tener una ganancia de 6,700 dólares.

Problema 5 | Si en el problema 4, el gobierno le aplica 30 centavos de impuesto al monopolista, por cada unidad producida. Solución: 1.

Cuando se exige un impuesto de 30 centavos por unidad, entonces el costo au mentará en 0 ,3 0 x , así tendremos que el nuevo costo será: C(x) = (800 + 3x) + 0.30x = 800 + 3.30x

LA DERIVADA

2 . Para maximizar S (x ), hacer

<§>

C'(x) = R'(x) 3.30 = 6 - 0.0006x

O.OOOóx = 2.7 x = 4,500 3. Como se tiene: P(x) = 6 - 0.0003x S(x) = R(x)-C(x) = 6 x - 0.000x2 - 3.30x - 800 = 2.7x -0 .00 0 3x2 -8 0 0 se obtienen: p(4,500) = 6 - 0.0003(4,500) = 4,65 y S(4,500) = 2.7(4,500)-0.0003(4,500)2 -8 0 0 = 5,272 5.

DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Definición 1

Sea la función / : / -----> R definida en el intervalo abierto L Su pongamos que / es continua en I.

Definimos: 1. El incremento de x es: h = Ax = x - x0 donde: x = x0 + h 2. El incremento de la función / es A/(x)

=

/(x 0 + h) - /(x 0 )

3. La razón de cambio de / respecto a x es: 4. Si existe /'(x 0), entonces una buena aproximación de la función / en el punto x = x0 + h e I , es: /(x 0) + h /'(x0); esto es: /(x 0 + h) = /(x 0) + h/'(x0)

D efinición 2

Con la hipótesis de la definición 1, definimos: f e s diferenciable en x0 , si existe /'(x 0) y además Ji m

f(xo + h ) ~f (xo )~h f' (xo )

7 ' ' 1';3'"'''“ V

'r

v.

Moisés Lázaro C. Ejemplo Aclaratorio: Sea la función / : (0,2) -----> R definido por f(x) = 2x2 . ¿Es / diferenciable en

x = l? Solución: 1. Hallar /'(1): /'(!)= l¡m /(i+*¡>-/(D. = lim 2(l±iñ=2ílñ = 4

2. Hallar el límite:

lim =

M +V - f W - V ' M h

1¡m

=

2 ( 1 + 2/ i + /i2 ) - / ( 1 ) - > i ( 4 ) _

h -^ 0

h

lim

h->0

2 h i=

h

1¡m

2fl = 0

h —>0

3. Probar que lim 2h = 0: hÔ

Dado £ > 0 , 3 8 > 0 tal que \2h - 0| < £ siempre que \h\ < 8

a

he R .

Busquemos 8 en términos de s: Empezaren: \2h\ = 2\h\ Como |h| < S entonces 2\h\ < 2 8 . Hacer 28 = £ Ejemplo Gráfico:

=>

3= Sea la función / : [a,b] gráfico.

> R que aparece en el siguiente

LA DERIVADA

Fijémonos en los puntos A , B, C , D , E y F: - La función es continua en todos los x e [a,b]. - En X j, / es continua, es derivable y /'( x j) > 0. -

En x2 , la función es continua pero no es derivable, es decir ^ f'(x2) .

-

En x3 , / es continua, es derivable y /'(x 3) = 0

-

En x4 , / es continua, es derivable y f'(x4) = 0

-

En x5 , / es continua, es derivable y /'(x 5) < 0

-

En x6 , f e s continua pero no es derivable, es decir ^ f'(x6) .

NOTA:

5.1. 1.

En las “puntas aguja” la función no es derivable, porque las derivadas laterales existen pero son diferentes.

EJEMPLOS

Sea la función / : H

* TR defi-

nidapor /(x) = y x - 2 .

2. Una función está definida del modo siguiente:

¿Es / derivable en x = 2 ? Solución: Por definición de derivada de / en 2, es:

ax + b

si

x >c

(a, b, c constantes) hallar los valores de a y b (en función de c) tales que /'(c) existe. Solución: MÉTODO I i) Si /(x) es derivable en x = c , es decir, si existe f'(c) , entonces:

Este resultado nos indica que NO EXISTE la /'( 2 ) . Por lo tanto, afirmamos que / no es deri vable en x = 2 .

/+(c)

(1)....

/-'(c)

lim (E ±bH ££zb)= lim X - C

ii) Si existe f'(c) => f x =c .

es continua en

Moisés Lázaro C. Luego:

3.

lim /(x )= lim f(x) X —» c+

x —^ c

2

ac + b = c2 .................

( ) /(*) =

De (2) obtenemos: +

1*1

, S l| X | > C < -»X > C

V

X < —c

a + bx , si| x | < c< -»-c< x < c

lim ax + b~(ac + b) — ]jj-Q x -» c

Una función / está definida del modo siguiente:

x-c

x -^ c

-

x2 - c 2 x —c

Hallar los valores de a y b (en función de c), tales que existe f' (c).

lim ^L z£l= iim LLz LHl í í ) Solución: lim (a) = lim (x + c) X —>c

i) S i/'(c) existe

x->c

fí(c)= fl{c)

a =c +c a = 2c

- V = 2bc cz

(3)

— lj = b 2c3

Sustituir (3) en (2): (2c)c + b = c

Donde: Si 0 < c

b=c

/+{c) = /'(x ) ]

-£(±)]

X = C

_ _

1

METODO II

i) Si /'(c) existe -----> /+(c) = f!_(c)

/ » - / ' < * ) ] xx2) ] „ e = 2bx J1 X = c = 2 be

Donde: í W

- f M

] , , , - " ] , . , - "

/-( 0 = / ' ( x ) ] , < c = 2 x ] j[, c =2c //) Como / es derivable en x = c , enton ces f(x) es continua en x = c luego:

¿7) Como /(x) es derivable en x = c , entonces /(x ) es continua en x = c luego: lim /(x) = lim /(x ) ■J- = a + be2 .............. (a

lim /(x) = lim /(x) I

_

a+

-

- = a -4 c

2c

2 = 2ac - 1

b = -c¿

<-»

3 = 2ac

£

=a

LA DERIVADA

v) Reemplazar (3) y (2) en (1):

4. Existe un polinomio, o

o

P(x) = ax + bx + ex + d tal que

0 = a + 5 -l

P(0) = P(l) = - 2 , P'(0) = -1 y

0 = a+4

P ” (0) = 10 . Calcular a, b, c y d.

<=>

a = -4

5. Para cada uno de las siguientes fun ciones diga usted en qué puntos no son derivables. Justifique su repuesta.

Solución: q

o

/) Como P(x) = ax + bx + c x + d => P(0)= 0 + 0 + 0 +d

a) /(x) = |3x-l|

P(0) = -2 => d = - 2 b) g(x) = ■

//) A d e m á s , si

4x2 -1

si |x |> 1/2

l-4 x 2

si |x |< 1/2

l-4 x

si x < -1 /4

-l + 4x

si x > -1 /4

P(x) = ax3 + bx2 + ex + d =>

^P(l))=a + b + c + d^ c) b(x) = ■ —2 —a + b + c. —2 0 = a + b + c ................(1)

6 . Demuéstrese que la función definida i¡i) Como P(x) = ax3 + bx2 + ex + d =>

P'(x) = 3ax2 +2bx + c

P'(0)= -1

=

0 c

+ 0 +c

........................ (2 )

/v) Como P'(x) = 3ax2 + 2bx + c =>

P"(x) = 6ax + 2b 10 = 2b 5 = b ...................... (3)

x2 sen-^

,

para x * 0

0

,

para x = 0

/(* ) = es diferenciable para todo x e JR, pe ro /'(x) no es continua en 0 y que /"(O) existe para x * 0 , pero que /"(O) no existe.

Moisés Lázaro C.

< 5>

6.

LA DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN DE DOS FUNCIONES (REGLA DE LA CADENA)

S °/ A—

Si (g °f)(x) = g(f(x)) => (S0/)'(x) = / f(x)-g'(/(x)) = S'(/(x))-/'(x)

Aclaraciones para la Aplicación de la Regla de la Cadena: Io La notación “ g o / ” se lee “/compuesta con g” o “la composición d e / y g” A

A

I-------------- I o aplicación 2 o aplicación

2o La función “ g

o

/ ” existe, si Im(/) n Dom(g) ^ (¡>.

3o La derivada de una composición de dos funciones, es igual al producto de la deri vada de la primera aplicación por la derivada de la segunda aplicación. Ejemplos: a) Si (/° g )( x ) = /(g(x)) => (/ ° g)'(x) = g'(x) •/'(g(x)) b) Si ( go ho f)(x ) = g(h(/(x))) => (g o h o f)'(x) = f'(x) ■h’(f(x)) •g’(h{f(x))) 4° Regla práctica para derivar una com p osición de dos o más funciones.Para poder derivar con gran facilidad una composición de dos o más funciones, es mejor' construir un DIAGRAMA DE FLECHAS que representen a las funciones, de modo que queden bien definidas y diferenciadas las variables independientes de las variables dependientes

LA DERIVADA

45

Ejem plo

1.

Sea la función y = sen (4 - 3x2). Hallar —. En ésta función tenemos que y = g(f(x)) dg

g = sen /

df

Donde: Si

^

= eos /

ÉL = - 6 x

/ = 4 -3 x 2 E n ton ces:

=

dx

= [ e o s / ] [ - 6 x ] = [ c o s ( 4 - 3 x 2 )] [ - 6 x ] = - 6 x c o s ( 4 - 3 x 2 )

T eorem c^^J Si g(x) es derivable en x0 y / es derivable en g(x0), entonces j ° g es derivable en x0 y; (/ o g)'(x0) = [/'(g(x0))][g'(x0) ] . Demostración: P aso

1.

Se sabe que ( / o g)(x) = /(g(x)), por definición de composición.

P aso

2.

Por definición de DERIVADA de la fundón { / o g)(x) = f(g(x)) en el punto

(

/

°

9

)

(

x

................ *

En * podemos multiplicar en el numerador y el denominador el término Así tendremos: / ( g ( * 0 + h ) ) - / ( g ( x o ))

g ( x 0 + h) - g ( xq )

hH> o

h

g{x0 + h ) - g { x Q)

lim

f ( 3 ( xO+ h ) ) ~ f ( 8 ( x o ) )

lim

h^, 0 .

g ( * o + /l) - g ( * o )

lim

g ( Xq + h ) - g ( Xq )

h~> o

#(h)

lim k->0

/(g (* o ) + fc) - / ( g( *o) ) k

ñ f f ( x 0))

Se supone que el término g(x0 +h)-g(x0) es diferente de cero cuando h es diferente de cero.

Moisés Lázaro C. Paso 3. El problema fundamental radica, ahora, en demostrar que una función (que la llamaremos
Para ello, definimos la función (/>{h) del siguiente modo: [ /(8(x0+h))-/(g(xq))
Si g (x 0 + h ) - s ( x o ) ^ 0 ’ u ' u' , Si g (x 0 + h ) - g ( x 0 ) = 0

Intuitivamente tenemos: /) Si h = 0 , entonces g(x0 + h) - g(x0) = 0

n)

lim
lim

y

en consecuencia
mx o +V- f ( 9( x o )) = í { (

g(x0 + h ) -» g ( x 0 )

})

9 (x 0 + h ) - g ( x 0 )

Lo cual prueba, intuitivamente, que
Por hipótesis se tiene que la función / es DERIVABLE EN EL PUNTO g ( x 0 ) . Esto significa que: f'(s(x0 )) =

De modo que V s > 0 , 3 S r > 0 tal que, para todo k, Si 0 < |fc| < Sf =>

f { g { x 0 ) + k ) - f { g { x q))

< s

(/a)

tí) Por otro lado tenemos que g es derivable en x = x0 y por lo tanto g es Como g es continua en x = x0, se cumple: 3 8 > 0 , tal que para todo h, Si 0 < }fc¡ < 8 => |g(xo + /i)-g (x o )f < 8 ’

iii)

(Ha)

Basado en la proposición (//a ) consideremos un h cualquiera con |h| < ó de modo que, si k = g ( x 0 + h ) ~ g ( x 0 ) * 0 , entonces: g( x 0 +h) = g ( x 0 ) + k

(///a)

LA DERIVADA

<47>

Sustituyendo (iiia) en la función 0(h) del paso 3, tendremos: /L\

/( g ( x 0 + h ) - / ( g ( x 0 ))

/( g ( x 0 + J e )-/(g (x 0 ))

g(x0 + h ) - g ( x 0 )

k

(zi7P)

iv) Volviendo a (//a) tendremos: |Jc| < Sr v) Sustituyendo (///p) en (/a):

Si 0 < |fc| < 8*

|$h )-/'(s(x 0))| < s

vi) Por otra parte, según la definición de la función {h) , visto en el paso 3, tendremos: Si g(x0 +h)~ g(x0) = 0 => {h) = /'{g(x0)) vw) De éste modo, está garantizado que |^(h) - /'(g(x0))| < £ Lo cual indica que lim
Por el paso 4 hemos demostrado que la función
[6.1. PROBLEMAS

(T) Dada la función h(x) = f ( x - V x - x 2 ), hallar Solución:

= /'( 0) =

2

^ ) sabiendo que /'(O) = 2 .

Moisés Lázaro C. 2)

Sean las funciones: y =

- 3¿/ + 3

a

¡u

=

, hallar

.

Solución: i)

Observando las dos ecuaciones, podemos relacionar a través del siguiente diagra ma: y ►H >x se iee “y es función de / / ’ a “// es función de x”

ii) Luego, la fórmula de la derivada de ésta función compuesta, será:

si iii) Pero SI

y-fi

-3ju + 3

dx

x + 1

/v) Sustituir (///) en (ii):

£ = 3 /-3 dfi _

X —1 LL -----

r

(x + l ) ( l ) - ( x - l ) ( l )

_

(x+ir

2

(x+ir

-24x

= (x + 1)2

(3 )

=

( x + 1)2

Hallar ^ , si z = 3//2 -2// + 5 donde ¡u = 1 / 4 - y 2 , y = j .

Solución: 1) De Las 3 ecuaciones, al relacionarlos, obtenemos el siguiente diagrama de flechas:

Se lee “z es función de /i”

a

“// es función de y”

a

“y es función de x”

LA DERIVADA

1

i

l

1 ho

i

= 2 (3 f i - 1 )

x2 . 1

4) Sustituir 3 en 2: ^ = [ 6 / / - 2 ]

(S ) Si /(x) = eos (sen (eos (1 - x2))), hallar dx . S o lu c ió n :

Paso 1: Antes de derivar analicemos cuantas funciones hay en la composición.

/(x) = cos(sen(cos(l - x 2 )))

En /(x ) existen la composición de 4 funciones que al derivar se harán cua-

Paso 2: Para obtener ^

podemos empezar a derivar de 1 y terminar en 4 o vice

versa. Si derivo partiendo de 1 para terminar en 4, será: ^ = [—2x] [~ s e n ( l-x 2 )] [c o s (c o s (l-x 2 ))] [-sen(sen(cos(l - x2 )))] = - 2 x s e n ( l - x 2 )c o s (c o s (l-x 2 ))se n (se n (co s(l-x 2 ))) ( 5 ) Si f(x) = tg3 (sen2 (4ax -1- b)). Si a y b son constantes, hallar

.

So lu c ió n :

Paso 1. Analicemos cuántas funciones existen en la composición. Veamos: 4 5

2 3

* /(x) = tg3(sen2 (4ax + b)) En f(x) existen la composición de cinco funciones, que al derivarse apare cerán cinco factores.

Moisés Lázaro C. Paso 2. Al derivar partiendo de 5 para terminar en 1, obtenemos: — - [3tg2(sen2(4ax + b))] [sec2(sen2(4ax + b))] [2sen(4ax + b)] [cos(4ax + b)] [4a] dx = 24a eos (4ax + b) sen (4ax + b) sec2 (sen2 (4ax + b)) tg2 (sen2 (4ax + b)) También se puede empezar a derivar por 1 y terminar en 5.

(6 )

Si g(x) = sen(x2 + sen(x2 + senx2)), hallar - j .

Solución: Paso 1: Veamos cuántas funciones existen en la composición: p

p

p

g(x) = sen(x + sen(x + senx ))

Paso 2: Empezaré a derivar de 1 para terminar en 2. Veamos: cíx = [

+sen(x2 +senx2 )) [cos(x2 + sen(x2 + senx2 ))]

= ^2x + -^ (sen (x 2 +senx2 )) [cos(x2 +sen(x2 +senx2 ))] y

4 empezar a derivar por 3 para terminar en 4 = [2x + (2x + 2 x cosx 2 )c o s (x 2 + senx2 )] [cos(x2 + sen(x2 + senx2 ))] = 2[x + (x + x co sx 2 )co s(x 2 +senx2 )] [cos(x2 + sen(x2 +senx2 ))]

(7 )

Si f(x) = sen

, hallar

LA DERIVADA

< E> So lu c ió n :

Él dx

eos

dx sen x

J

eos

3 x 2 sen [

sen

1 - x 3 eos í x ) V sen x

3x

sen x-x

cosx

COS

3 sen

x^ - —

1

-X

3Í

3sen x-xco sx , ------------- ó----------- COS

É l - YZ dx

x3 sen x

COS

*

!f^ — sen x J1

sen x

j

S) Sea g(x) = / ^— -j |, si / es una función diferenciable en todo JR con /'(!) = 2 , determinar g'(0). Solución: I. Tenemos:

g(x) = f I

2. Hagamos:

//(x) =

.'L Entonces:

g(x) = f(ju(x)) ÉL dju

4. Derivar:

g'(x) = f'(ju(x)) ju'(x) donde JU(X) =

dx

(x

x 2 + 2x - 1 ( x +1 ) 2

r>.

Luego: S'(x) = / ' [ ^ y )

x2 + 2x —1 (x + 1)2

+ ir

\

,_ 2

6

Moisés Lázaro C.

. Por lo tanto:

g'(0) = /'|

o +i

+0 - 1 (0 + 1 ) 2

0

0+1

= /'(l)[-l]

,

Pero /'(l) = 2

= 2 [-l] g '(0 ) = - 2

( 9 ) Si /(x) = sen((x + l)2 (x + 2)), hallar Solución: f ( x ) = ((X +1 )2(x + 2))' cos((x + l)2(x + 2)) = [(x + 1)2 (x + 2)' + (x + 2) ((x + 1)2 )' ] cos((x + 1)2(x + 2)) = [(x + 1 )2 ( 1 ) + (x + 2)(2(x + 1 ))] cos((x + 1 ) 2 (x + 2)) = (x + l)(x +1 + 2x + 4)cos((x + l)2(x + 2)) = (x +1) (3x + 5 )cos ((x +1 )2(x + 2)) (10) Si /(x ) = sen (x sen x) + sen (sen x 2) , hallar f'(x) = Solución: f'(x) = (x sen x)' eos (x sen x) + (sen x 2)' sen (sen x 2) = (x eos x + sen x) eos (x sen x) + 2x eos x 2sen (sen x 2) (1

1

)

Si /(x) = (((x2 + x )3 + x )4 + x )5 , hallar:

^ 7

= /'(*)■

Solución: /'(x) = 5(((x2 + x)3 + x)4 + x)4(((x2 + x)3 + x)4 + x)'

(4(( x 2 + x )3 + x )3 (( x 2 + x )3 + x )' + 1)

/'(x) = 5(((x2 +x)3 + x)4 + x )4 (4(( x 2 + x )3 + x )3(3(x 2 + x )2(2x + 1) + 1) + 1)

LA DERIVADA

(l2)

Si

f(x ) =

se n ¿

x

- sen

x

Solución: Haciendo

// = -

x2 + 3

, tendremos:

’■(... ^ x-sen2x J

/ ' = 2 sen//{sen//)' = 2 sen//(eos//)//

(1 )

= //'sen 2 / / ............

-j(2 x )-(x 2 + 3 )j^ Pero:

x - sen~ x y

y ! ■

.

SI

K = ■

^2

x - sen x

x - sen x (x + sen2 v){2x) - (x2 + 3) (1 + 2seni/ eos

M'-

Además

(x + sen2 v) 2

1/

=

y y f)

(2 )

(x - sen2 x) (2x) - x 2 (l - 2senx cosx) ( x -s e n 2 x ) 2

r _ 2 x 2 - 2x sen2 x - x 2 + x 2 sen2x ( x -s e n 2 x)2 x 2 - 2x sen2 x + x 2 sen2x

f y

=

(x - sen2 x )2

Sustituir (3) en (2):

(3 )

Moisés Lázaro C. Sustituir (4) en (1):

2x

m =

@

1+

(x + sen2 v) - (x2 + 3)

f

- 2x sen^ x + 9

ív

(x -

sen

9

sen

2x

x)

\ 0 \sen2v )

(x + sen2 1/)2

sen 2 (i

Hallar / ' en términos de g ’ , si f{x) = g(x + g(a)).

Solución: Haciendo x + g(a) = ¿u(x), tenemos: f{x) = g(¿u(x)) entonces:

f'(x) = [g '(//U )] [ju'(x)]

= [fl'(//U))][ 1 + 0] = 3 '(x + g(a)) (l4 )

Si: f(x) = g(xg(a)), hallar / ' en términos de g ' .

Solución: Hagamos ju(x) = x g {a ), entonces tendremos: /(x) = g(//(x)) Al derivar /(x) con respecto a x obtenemos: Como /u(x) = xg{a) => ju'(x) = g(a)

/'(x) = g'{/u{x)) •ju'(x).

..................................................

Sustituir (2) en (1): f'(x) = g'(xg(a)) g(a)

@

Hallar / ' en términos de g ' , Si f(x) = g(x + g (x )).

Solución:

/ ' M = (s'(x + g(x))) (x + g(x))' = (g'(x + g(x)))

(1

+ g ’(x)) g ’(x + g(x))

( 1)

(2 )

LA DERIVADA

[55

(ló ) Si: /(x + 3) - g(x2) , hallar g'( 4 ) sabiendo además que /'(5) = 8 . Solución: Derivando en la ecuación /(x + 3) = g(x2) obtenemos: [f'(x + 3)] [x + 3]' = [g'{x2)] [x2 ]' [/'(x + 3)][l + 0] = [g'(x2)][2x] .......................... (1 )

f'{x + 3) = 2x g ’(x2) Como: /'(5) = 8

=>

x +3 =5 x = 2 .......................... (2 )

Sustituir (2) en (1 ): /'( 5 ) = 2(2) g'(4) 8 = 4g'(4)

(Í7) Sea:

/ C o J * 2* " * 0

=>

’ ,

g ’(4) = 2

x

, 0

Supongamos también que h y k son dos funciones, tales que: h'(x) = sen2 (sen(x + 1 ))

k'(x)=f(x + 1 )

h(0) = 3

k(0)=0

Hallar:

(/) (/ o h)(0) ; (//) (le o / ) ’ , (///) a ’(x2) , donde a(x) = h(x2)

Solución de til: 1. Por definición de la derivada de una “composición de dos funciones” tenemos(/o h )'( 0 ) = /'(h( 0 ))-h'( 0 ).

2. Por hipótesis, se tiene

Si

h'(x) = sen2{sen (x + 1))

=>

h'{0) = sen2(senl)

3. Reemplazar (2) en (1): (/ o h)'(0) = /'(3) •sen2(senl)

Moisés Lázaro C.

— <3> „ _ . .. 4. De la ecuación:

,, . x sen /(x) = < x [ 0

,

x/

,

x =0

0

[ x 2 í ( c o s - ) ( —L'j\ + 2 xsen— , / (x) = j \' x '\ x ) J x [ 0 ,

obtenemos

| -e o s —+ 2 xsen— , f'(x) = \ ( 0 ,

* 0

x =0

* 0

x =0

5

. Si: x = 3

6

. Sustituir (5) en (3): (/o h )’ (0) = ^-cos-| + 6 sen -ljsen 2 (senl)

@

=>

x

x

/'(3) = -c o s -j + 6 sen-|

Si: y = /(//) y ju = g ( x ) , demostrar: d3y _ dy_ md3ju d x 2 _ dM

dx3

o d2y # d2ju

djj,

d //2 * d x 2 * dx

d3y # / d/¿ d //3

\

j

Demostración: 1

. Si y = /(//) A M = S(x ) ? entonces el diagrama de flecha es: y — > fi ——>x Entonces: ^ =

2. En el anterior problema teníamos:

) dx2

3. Derivar con respecto a x:

J - ^ j =

d/r

dx2

dM2 \ d x !

j +

LA DERIVADA

D esarrollo de:

j

C o m o (y es f u n d ó n d e

a

ju )

{ ju

es fu n c ió n d e x) o sea : y ------ >

¡u

------- >

x

T a m b ién se tiene:

( ^

es fu n c ió n d e

D e la c a d e n a :

O bten em os* vjuienemus.

^

------ >

-4 - ( É L )

dx\dM)

ju )

=

L Í d//\

j

dpi

dx

J

¿ 7 ^ (■3 7 )

=

— "

' ~ d x { ^ )

OÉJL c^2/j Cl x

•

dx2

- f í -^ 4

dx y dM2

Como (~|- es función de //) De ia cadena;

y ------- > x

d/i

2

Por d e riv a d a d e p o te n c ia se tiene:

D esarrollo de:

>

É L ) . ÉJ L d M J dx

d2y

dx ^ y dx

es fu n c ió n d e x ) o sea :

»x

ju

_

D esarrollo de

{ju

a

■-— > ¡ i

a

(//es función de x) o sea: >x

>p

Moisés Lázaro C. 7.

DERIVACION POR MEDIO DE FORMULAS

Prescindiendo de la diferenciabilidad, derivar usando tablas: E

¿ w -o '--------------------- Derivada de una constante con

Ejemplos*

respecto a x es igual a cero.

1. Si y = 2Ln3 + e ~ 2

=>

^ - = 0 , s iy = /(x)

ES UN NUMERO REAL (CONSTANTE)

2.

£ ( -3 /2 ) = 0

3. £ (V 2 ) = 0

4.

£ (5 ) =0

5. Si: f(t) = 2 S - 5 => & = 0 , etc.

|2 | ■£ (X ) = 1

La derivada de la función identidad es igual a la unidad (La derivada de una variable con

' t______ Ejemplos:

■respecto a sí misma es igual a la unidad)

1. 4ayf = l

2. £dt = 1

3. £dz = 1

5.

6. £d xl1 = 1

7. â x 2 = 1

^ =1

de

-r ~ (x n ) = n x "

4.

dp

etc.

La derivada de la potencia de la función identidad es igual a: bajar la potencia y

" 1

|

I------------------------ disminuir la potencia una unidad.

Ejemplos: 1. £ ( x 5 ) = 5 - x 5 _ 1 = 5 x 4

2. £ ( x 2/ 3 ) = -|x2/ 3 - 1 = | x -1^3 -

3.

£ (x

4. £ ( x

K

di

“3

1

) = - 3 •x ~ 3 “ 1 = -3 x ~ 4 = —\ \_

d /i - 1 7 /3 \ _

dí( ‘ 5 3 V ? ) “ ^ (

)_ _ T

- _ 1 Z *“ 2 0/3 _ 3 1 -

17 * -1 7 /3 - 1

17 3 t 63J t 2

" 5 /3 )=

—| •x - 5/ 3 " 1 =_ 53

2

33,£ -8 /3 5

3x2^

LA DERIVADA

d *

A I------------constante

Ejemplos: 1. ^ ■ (3x2 ) = 3.2x 2 ~ 1 = 6 x

2- ¿ ( K ° ) = | - W x ‘ " - ‘ = 4 * ’

4-

= -¿ r

5- i ( * ) - í í ( y ' I )= í< -ij> - 1 - 1 ) = í ( - y ' 2) - ^ 6

7.

JL Í

L \ - _ l j L f r 3 / 2 i - - i . - 3 . - 3 / 2 - 1 _ 3 * - 5 /2 _

dtl

Si:

W? /

4dt

y = ! + 2 *

Solución:

x2

4

+ 3 x3

2

r

“

8

*

H a lla r^ ’

dx

Antes de derivar, expresar cada término como potencia: y = x_1 + 2 x“ 2 + 3x“ 3 =>

cHc = ~x ~2 + 2 (-2 x -3 ) + 3 (~3x - 4 ) L x2

8.

Si:

X3

X4 •

y = -|--|x + x2 -0 .6 x 4 =>

3

--^572

|£ = 0 - | { l ) + 2 x - 0 .6 ( 4 x 3 ) -§ + 2 x -2 .4 x 3

Moisés Lázaro C. 9. Si:

y = atm + b t m+ n - 3 f 2 / 3 +

a2 + b2

^ = amtm- 1 + b(m + n) tm+ n~1 - 2 r 1/3 +

6a tb

A continuación se dan cuatro fórmulas de derivación, que a veces, el principiante se equivoca y aplica una fórmula por otra y en consecuencia el resultado es adverso en el proceso de aprendizaje. Para ello describiré en conjunto estas cuatro fórmulas que son completamente diferentes ya que la regla de derivación es aplicada a cuatro funciones, también, completamente diferente. Dichas funciones son:

-

La función POTENCIACOMPUESTA

Ej.: y = (3x2 - 1)5

y * lM x )r

- La fundón EXPONENCIAL

y = a/,(x)

-

La fundón EXPONENCIAL SIMPLE

y = e Mx)

-

La fundón EXPONENCIAL COMPUESTA

y = IM*)]U{X) , Ej.: y ^ l - x 2 ) ^ 1

Ej.: y = e -x2 + 2

Cuando se desea derivar cada uno de las funciones mencionadas, tiene su propio Algoritmo (su propia regla o fórmula de derivación). Dichas fórmulas de derivación son la 4, 5, 6 , y 7, respectivamente. u = u(x) £ ( u " ) = n-u,n - 1 u' donde du u = dx ■La derivada con respecto a x , de la función POTENCIA, es igual a “bajar la potencia, restar la potencia una unidad y derivar la base” .

Ejemplos: 1. Si:

y = /(x ),

donde

y = (3 + 2x x3 [sD-r^r2 ^ = 3 -(3 + 2x 2

)3 " 1

2\> (3 + 2xz )

= 3 (3 + 2 x )2 (0 + 4x) = 12x(3 + 2 x ) 2 2. Si:

y = (2b + 3af )2 ^ = 2(2b + 3 a t f - 1 (2b + 3at)' - 2(2b + 3at) (0 + 3a(l)) = 6a(2b + 3at)

LA DERIVADA

3. Si:

y = (a2 / 3 - x =>

^

2 / 3 ) 2/ 3

= | (a 2 / 3 _ x 2 / 3 )2/ 3 - l (a2 / 3 _ x 2 / 3 r

( O - f x 2/3” 1)

-^ n /o ^ -x

^ 3

í ax + b \ ^

4. Si:

y = ( q^ -~ 1 , a, b, c son constantes.

« 3 ( = ± * ) 2 (l)') - 3 ( ^ ) 2 (l( a + ° ) ) _ 3a ^ ax + b j 2

5. Si:

y = ^/o + hx3 = (a + bx3

) 1/3

^ ^ j i a + bx3 )1/ 3 - 1 (ct + bx3 y

-=>

= { ( a + bx3 r 2 / 3 (0 + 3bx2 ) 6x2 3V ( 0 + bx3 ) 2

6

. Si: / ( x ) = ---------

5-

6 ( 1 - 3cosx) ^

Antes de derivar, expresar/(x) como potencia:

/ ( x ) = —^ ( l - 3 c o s x ) - 2 =c> ■^• = —l [ - 2 ( l - 3 c o s x )- 3 ( l - 3 c o s x ) '] = l ( l - 3 c o s x )- 3 ( 0 - 3 ( - s e n x ) ) =

senx (l-3 c o s x )3


Si: y = —Ln2x dy _ i [2L nx][L nx]' = i [ 2 L n x ] [ i ] = ¿ L n x 4

dx

8

i1 —, hallar

. Sea: y = — h;— 1

y = -^cos =>

>sx ’

O x -(co s x )

•Antes de derivar, convertir a potencia: 1

1

-j- = 3 - [-3 c o s ~ 4 x] [cosx]' + l[c o s x ] ~ 2 [cosxr = -c o s

4

x [-s e n x ]+ cos -2¿ x [-sen x ]

sen x

9.

dx

sen x

s e nn x r 1 2 2 eos x eos x

Sea: y = >/sen2 x + —

i

1

—

1 - eos

sen x 2 eos x

o

x

2 , eos x

. Antes de derivar, expresar como potencia:

eo s 3 X

y = sen2/ 3 x + eos

3

x

= -|sen2/ 3 - 1 x (s e n x )'-3 c o s - 4 x (cosx )' =|-sen

!/3

x (c o s x )-3 c o s

2 eos x

4

x í-s e n x ) = —^ =

3

3

10 . Sea: y =

sen x

"I

3 sen x

á

, hallar ^ . Antes de derivar, expresar como potencia.

V = 1 1 + [1 + X1 / 3 ] 1 / 3 ]1 / 3 => ■^ = ¿ [ l + [l + x 1 / 3 ] 1 / 3 ) 1 / 3 “

1 [1

+ tl + x 1/ 3 ]173]'

= j [ i + [ i + x 1/3 ] 1/3 r 2/3 [ o + ¿ t i + x 1/3 r 2/3 [ i x - 2/ 3 ] 1

con x &0 , x ^ - 1 , x *

1

-8

LA DERIVADA

Si:

y = ^ L n 3 (x + V x 2 + a2 ) dy dx

= -y [ 3 •Ln2(x + Vx 2 + a2 ) ]

Ln( x + Vx 2 + a2 ) ( x+y[ ^ 7 7 j

1

+ -

->/x (>/* ^/x2 + a2 ( x + y jx 2 + a 2 )

1

_dy

= = L n 2 {x + y[.x 2 + a2

dx

Si:

V-'

y =ârctg x - (are senx )3 = -^(arctgx) =

(a rctgx)'-3 (aresenx)2 (aresenx)'

ly/2

(arctg) - 1/2 1

- 3 (aresenx)

+x 1

14- X dy dx

3 (a r e s e n x 2 ( 1 + x 2 ) y]a r c t g x

yjl-x2


Si:

y=—

Como: =>

y =-^ (x -3 ¿

Si:

)~4

2(x - 3 ) 2

-^ (x -3

-| (x -3

)"3

)“2

=- f [ - 4 ( x - 3 ) - 5 ] - f [-3 (x -3 )-4 ] -l[-2 (x -2 )-3] -

14.

10 3 { x - 3 )3

15

4 ( x - 3 )4

15

_1ÍL

(x -3 )5

(x -3 )4

x + 4 x -6 (x -3 )3

(x -3 )5

y = log3 x 2 - ^ L n 5 ( 2 x - l ) + -|log2 ( l - x

2

)

^ = 31og2 x2[logx2] '- Í 5 L n 4(2 x -l)[ L n ( 2 x - l)]'+ | 2 1 o g (l-x 2 )[lo g (l-x 2 )]' = 31og2 x„2

(X2 )'

= 31og2 x 2 ^ flo g e

+ 3 1og(l-x'

1 -x 2

loge

-± L n 4 (2x-l)|^ 2 ^ rx ] + 3 1 o g (l-x 2 \ - 2 x loge 1 -x 2

_ ^6 loge •log2 x 2 - _ § _ L n Mensaje:

(2 x -l)' 2x - 1

loge -Í L n 4 ( 2 x - l )

4

(2x -

1

)

log(l - x2 )

Trate de hacer lo propio en cada derivada similar que se presenta.

£ ( a u) = au -u '-L n a

a>° J u=udix) a^l 1 u' - dx

-tiene 3 tiempos “LA derivada de una exponencial; es igual a la misma exponencial, por la derivada del exponente, por el logaritmo natural de la base”

Ejemplos: 1.

Si: y = 2X- 2"x + 32x - 2(1 - 5" x ) 5 dy dx

= 2X(x )'L n 2 -2 “ x (-x )'L n 2 + 3 2 x ( 2 x ) 'L n 3 - 2 [ 5 ( l - 5 “x ) 5 “ 1 ( l - 5 - JC)'] = 2XL n 2 -2 ~ x ( - 1 ) Ln2 + 3 2 x ( 2 ) L n 3 -2 [ 5 ( l - 5

_ x )4

( 0 -5 ~ x (|c)'Ln5)]

= 2X Ln2 + 2_xLn2 + (2Ln3) 32x - 1 0 L n 5 (l-5 _x ) 4 5_x

LA DERIVADA

,

2. Si: y = - Í 3 x + 2 x+3 - 2 ~ x - 5 3~2x => ^ = -

3

[3x(x)'Ln3] + 2x + 2 (x + 2 )'L n 2 -2 _x2 ( - x 2 )'L n 2 -5 3 ~2 x(3 -2 x )' Ln5

= - ¿ [ 3 xLn3] + 2x + 2 Ln2 - 2~ x 2 (- 2 x ) Ln2 - 53 _ 2 x(-2 ) Ln5 = - ^ 3 X + 2X + 2 Ln2 + (2Ln2) x2 “ x 2 + (2Ln5) 53_2x

3. Si:

y =( i ) 'X

, hallar - g

” 41

= 2 - l - 2-4l

Solución:

Antes de derivar definir el valor absoluto: 2~(x 2 -4 ¡

v=i

'

Si: x 2

-

4

>

0

2 2X

[ 24“

y=

~4

,

. . Ahora derivar:

dv

Si: x 2 - 4 < 0

S

^ ( eU) = eU‘ u'

Fjemplos: 1. Si: =?

[2

í 2 4 “ x2 ( 0 - 2 x )L n 2 =\ 2 [ 2 X ~ 4 ( 2 x - 0 ) Ln2

d y _ j ( - 2 Ln2 ) x 2 4_x dx I v2 A [ (2 L n2)x2

x2

, Si: x

>

2

v

x < -2

2 X “ 4

,x ,

, S i:- 2 < x < 2

- 2
< - 2

2

,

x

,

-2 < x < 2

> 2

x

v

> 2

v

x

< - 2

í u-u(x) > donde-j , du

tiene 2 tiem pos: “ la derivada d e una EXPONENCIAL SIMPLE; es igual a la m ism a exponen cial, p o r la derivada del ex pon en te.

y = ex + ± e 2x - $ e ~ x ^ = e- ( x ) ' + l e 2 x ( 2 x ) ' - f e - x2 (- x 2 )' = ex (l) + ¿ e 2 x ( 2 ) - | e - x2 ( - 2 x) 2

- e x + ^ e 2x + 3xe~x

gg x

Moisés Lázaro C. 2

2. Si: y = q + c2 e~x + ^ + x . q , c 2 son constantes.

7

'd = 0 + c 2 e x ( - l ) + -^--2 x + l

=>

= - c 2 e~x + x + 3. Si:

1

y = q + c 2 e~x + c 3 e 3x

=>

+

x (—1 ) "*"c3 e3* (3)

= —c 2 e_x + 3c 3 e3x

4. Si:

y = q + c 2 e 2x + c3xe 2x I

=>

£ = 0 + c2 . e

es producto

( - 2 ) + c3 [(xr e

+ x(e“ x )']

= - 2 c2 e_2x + c 3 [e_2x - x e “ x ]

5.

Si: f ( x ) = e 2 +x ; si denotamos ~ t = f'(x). =>

/'(x) = e _^ + x ( - ¿ + x )' .2

= e “^ + x ( - 1 . 2 x + l ) = ( l - x ) e “*

6

. Sea: y = x - e ^

+x

, hallar: ^

Solución: f x - e _x pero: H 7.

I x-e ,

,

si: , .si:

x

í l + e“ x

> 0

x <„ 0

~

H

De: x = a1 e t + 4a 2 e 2t +5a 3 e3t - 5 e _t +2 y = - c¡ie1 - 5 a 2 e 2t - 7 a 3 e_3t - 3 e _t

- 1

, -e „

1

,

si:

x >0

,

si:.

x <0

LA DERIVADA

•^Y = a1 et + 8 a2 e2t +15a3 e3t + 5 e t obtenemos:

¿y dt

~ci'[

—10a2

2

I03 e

+ 3e

-£{U°) = v U v ^1 ‘ U' + Uv -u'jLnU

a

com o fórmula E

com o fórmula

Kjemplos: I.

Si:

y = xx dx

= x •xx

(x)' + xx (x)' Lnx

,

x' = £ = l

_ x*-i+i + x x Lnx = xx + x x •Lnx = xx (1 + Lnx) 2.

Sea:

y = x Lnx dy •^• = L n x*xLnx

1

(x )’ + xLnx (L n x/L n x

= Lnx •x L n x _ 1 + x Lnx (-1 J Lnx = Lnx •xLn- x + x ü l x "

3.

Sea: ^

1

•Lnx = ¿ x ^

* -1

Lnx

y = (x + l ) x

^ = j ( x + l)7~1(x + l)' + (x + l f ^ ) Ln(x +1) 2

= -j(x + l ) x

2 1

+ (x + l ) x |

j Ln(x +1)

= f ( x + l ) x [ ( x + l ) - 1 -¿ L m (x + l ) ] = 2 x>/( x + l )2

Ln(x + 1) x (x + 1)

. => ^ s s e n x ' í x 2 + l)senx_1 {2x) + (x2 + l)senx {cosx)Ln(x2 +1) = {x 2 + i r nx

£ ^

+ cosxLn(x2 + l)

Moisés Lázaro C.

5.

Sea:

y = xx

=>

-^| = x x -x x

1

(x)' + xx (xx )'Lnx

:XX -XX ’ ! +XX

: ( 1 + Lnx) JLnx

= xx •xx ^Ln2 Ln x + Lnx + -^ J Observación: Todas las funciones exponenciales son fáciles de derivar, si se procede del siguiente modo. Primero, aplicar logaritmo natural en ambos miembros: De:

y = //ü =>

Lny = u-Ln ju

Segundo, derivar como producto: ~ = vf Ln// + u(Ln //)' Tercero:

y' = y [v'Ln ju + u(Ln //)']

Ejemplo: 1. Sea:

y = 3 x^x , hallar ^

Io)

Lny = Ln3 + Vx •Lnx

2o)

~. = 0 + (V x ), Lnx +Vx (Lnx) = _ ^ Lnx+V ^ ( i)

y' - y

-J )-L n x + ^ 2 Vx x

= 3x'/x

—7 = Lnx + -^2 >/x x

LA DERIVADA

Ejercicios

2.

Dado y = /(x) hallar: ^

y = xx

3.

R. y' = x*

(1 -L n x )

*• J'' = ( * ) ' ( 7 Í I + L" Í Í T )

■ (*)*

2

4.

y =(l-x

5. (*.

f

13.

y = ( 1 - V x )x

y = [ L n ( x - l ) ] x:

14.

y = (5 x )2*

y = (2 x - l ) 2 X

15.

2

16.

7.

y = [ e^

x]2

N.

y = (cosx)senx

1 7 .- y = x1" 2x

9.

y = [x •senx]x

18.

y = (sen2 x) cos2x

y = xarctgx

19.

y = d -x )x

II.

y = [e _

20.

y = x £9X

.

y = xx

10

1 2

.

x ]2

£ ( U - V ) = U’ -V + U - V ’ - “La derivada de un producto, es igual a la derivada del 1er. factor por el 2 do. factor, más; el 1er. factor por la derivada del 2 do. factor”

Ejemplos: I. Sea =}

/(x) = (x 3 - 3x + 2)(x 4 + x 2 -1 )

, hallar ^

f'(x) = (x 3 - 3x + 2)'(x 4 + x 2 -1 ) + (x 3 - 3x + 2)(x 4 + x 2 -1 )' = (3x 2 - 3)(x 4 + x 2 -1 ) + (x 3 - 3x + 2)(4x 3 + 2x) = 7x 6 - 10x 4 + 8 x 3 - 12x 2 + 4x + 3

Moisés Lázaro C.

0 2; Sea =>

y = (x 2 - 2 x + 3)ex , hallar ^ y' = (x2 - 2x + 3)'ex + (x 2 - 2x + 3)[ex]' = (2x -

3. Sea =>

2

)ex + (x 2 - 2x + 3)ex = ex (x 2 +1)

y = (x + l)Ln2(x + l) , hallar ^ ■g = (x + l)'L n 2 (x + l) + (x + l)[L n 2 (x + l)]' = 1 •Ln2 (x +1) + (x +1) [ 2Ln (x +1)] [ Ln (x +1)]' = Ln2 (x + l) + 2(x + l)[Ln(x + l ) ] [ 7 i _ ] = Ln(x + l)[l

4. Sea => ^

y = x e x (eos x + senx) = (xex )'(cosx + senx) + x e x (cosx + senx)' =

(1

*ex + x ex ) (eos x + sen x) + x ex (-sen x + eos x)

= ex (eos x + senx) + x e x (eos x + senx - senx + eos x) = ex (eos x + sen x) + 2 x ex eos x = ex (eos x + sen x + 2 5. Sea =>

6,

■

y-A e

,2

x sen (wx + a)

= A { ( e ~ k x )'sen (wx + a) + e~k x [sen(iux + a )]'}

LA DERIVADA

t' 8

= axxaLna-t-ax+1xa_1 ==ax xa -1 (xLna + a) .

y = e ax (a sen x - eos x) =>

^ = (eax )'(a s e n x -c o s x ) + eax (a sen x -cosx )' = a e ax (a sen x - eos x) + e ax (a eos x + sen x ) = aax (a2 sen x - a eos x + a eos x + sen x) = e ax (a2 senx + senx) = [eax senx](a 2 + 1 ) = (a2 + 1 ) e ax senx

9.

y = e x (sen 3x - 3 eos 3x) =>

-~- = [ex ]'(sen 3 x -3 cos3 x ) + ex (sen 3 x-3 cos3 x)' = ex (sen3x - 3cos3x) + ex (3cos3x + 9sen3x) = ex (sen3x - 3cos3x + 3cos3x + 9sen3x) = ex (10sen3x) = 10ex sen3x.

10

.

y |=3x3 -arcsenx + (x 2 + 2 ) y ] l - x 2 y' —9x 2 •esc senx

1 1

.

y'-e 1 2

.

9

y

y f= e sen x •eos x o

senx eos x (l + ctgx - 3tgx)

y==x e1_cosx y' = e1- cosx (i + xsenx)

io 13.

y = sen 2 x*senx 2 9 9 y ’ = 2 sen x(xsenxcosx + cosx*senx )

^ 2

14.

>

Moisés Lázaro C.

y = e2 x + 3 ( x 2 - x + ^ y' = 2 x 2 e 2 x + 3

|9 | '

y |= '

“Ia derivada de un cociente es igual: denominador al cuadrado; denominador por derivada del numerador, menos el numerador por derivada del denominador” .

v

Ejemplos: 1

1•

l - X +

X2

y = , ........ 2 , _ (l + x + x2 ) ( l - x + x2 )’ - ( l - x + x2 )(l + x + x2 ) y ”

(l + x + x2 )2 (l + x + x 2 ) ( 0 - l + 2 x ) - - ( l - x + x2 )(0 + l + 2x) (1 + x + x2 )2

(1 + x + x 2 )2 2 (x 2 - l )

y ~

y=

o

3.

y=

3x2 + 4x + 4

- x ( x + 2)

x2 + x + l

(x2 + x + l ) 2

4>/3

,

=4 > y =■

j=

9 x fi^ ~ x

x + 2x

A

4-

\2

{l + x + x * ) ¿

y

2^2 (3 x - 2 )

9 x 2 (1

-

v

x

;

)J \T

x

+ 7x - 3

n -------

y=

dy _ 2 x 2 (3x 2 + 4 x + 7 ) - ( x 3 + 2 x 2 + 7 x - 3 ) ( 4 x ) dv4

dx

4x4 2x4 - 1 4 x 2

+ 12x

4x4

y

5

_ x3 -7 x ~~

, _ (x - 1 ) (x - 2 )(x + 3)

, Lnx

y = x +—

2 x3

,

,

x2 -

y = -----

2x3

+6

LA DERIVADA

6.

16 _ x ( 4 - x 2 ')

y:

7-

1 6 (3x ’

<73>

-4 )

x2 ( 4 - x 2 )2

y

y=w f= ^/x2 - 4 ,

8.

^ /x 2 - 4 ( l ) - x i ( x 2 - 4 ) - 2 /3 (2x)

3 x 2 _- 4 ) - 2x2 _ 3 ((x2

x3 -1 2

V (x 2 - 2 ) 2

^ /(x 3 - 4 ) 2

3 37 (x 2 - 4 ) 2

1 + x - arctgx

y=

J l + x2 J 1 + x 2 I 0 + 1 -a rd gx + x —

I - (1 + x •arctg x) í — ,2 *

1

l 1 +* 2 J l 2^1+7 1 V = -------------------------------1:— 2 -----------------— ------- ¿ + x2 (1 + x ) í arctgx + — — - ) - x (l + x ■arctg x) l

1+x2

(1 + x2

1

+X

arctgx (1 + x2 )3/ 2

9.

y=

,

=>

// •arcsen ju t \

-i-Ln(l - / / ? + "2 ■Jl-M

)

,

// = e~

1 - fj2 (fi- arcsen / + - ( / / • arcsen //) ( \/l - 7

y

1

Vl-u 2

)

j

-2mm' 1 -7 -2 // *//

- /

// •arcsen// + // ■

- [ n •arcsen // ]

2 > /l-7

1 -7 ¡X■yjl - 7 •arc S® 11 /j +ft- ¿i' + 1 o

, _ // •are sen ¡i _ -2 x e y

10-

"

(1 - 7 ) 3/2

i-7 are. sen //

-// -X 2

l -//2

•arc sen e

( i _ e -2 x 2 )3/2

y =7-i i T - 71 -+i//T ,arctSA 1 + //

.

A = aX

,

como

/u = e

=> fi = - 2 X 6 ^

Moisés Lázaro C.

<74) t

’ l V " arctg ¡u - " i V o O _ 1 + ft _l + M _

(1 + fj2)î' - fj(l + fi2)' (1

(1

(1

+/72 )2

arctg ju -

kJ£ \+n2

4 axax Ln a (1

y=

como : n = ax => jj/ = a* Ln a

+a2 x )2

,

x

4 a2x Ln a

,

x

arctg a = - — ^ arctg a (1 + 0 )

sen2 x , cos2 x 1 + ctg x 1 + tg x (1 + ctg x) (sen2 x)' - sen2 x (1 + ctg x)'

(1 + tg x) (cos2 x ) '- cos2 x (1 + tgx)'

V

(1 + tg x) (1 + ctg x) 2 sen x eos x - sen2 x (-csc2 x) ^ (1 + tg x) (~2cosx senx) - eos2 x (sec2 x)

y'

(1 + ctgx)2 2senx cosx +

(1 + t g x )2

senx- . 2senx cosx + (senx . esex)2 , ( l + cos_x\ \ senx /

sen 2x + 2 eos x + 1

-2 co sx senx - senx . 2cosx senx - 1

eosx senx \á cosx /

- sen 2x - 2 sen x - 1

(senx+eosx)

(eosx+senx)

9

9

9

9

9

sen xsen 2x + 2sen xcos x + sen x - c o s

9

9

9

x s e n 2 x -2 s e n x eos x - eos x

(sen x + eos x )2

1 0

^

, _ (sen2 x - cos2 x) (sen2x + 1) _ l + sen2x

|

^ ( l o g a //) = ^ - l o g Qe

*

Ejemplos: l.

y = iog3 (x 2 - l ) =>

2.

1

(1

y'

.

+/ )

i Jí.:..E ^ arctg //, +/0 '

y'

(arctg//)'

( l + /72 ) ( - 2 / / ^ ' ) - ( l - ^ 2 ) ( 2 ^ / 7 ' )

y ' + M2 m ’ - m { 0 + 2 m m ')

y

11

+/42 ) 2

‘

(x2 - i y

y ' = ^ Llog 3 e = -|^Tlog 3 e = -| ^ Tí;Í 3

Sea

y = 2 Lnx

, h a lla r^

, pues Ln3 e = ¿ j

+/^

LA DERIVADA

<75>

Tomar:

Log 2 y = -¡j^ Log 2 2 , Log2 2 = 1 , Log 2 y =

Derivar:

—log2 e = -------^

u' i

Ln x •1 - x •—

“

¿ lo g 2 e = l£l£zi V

a2

Ln2 X

i

_ Ln x - 1

y'

y Ln 2

3.

4.

Ln2 x

=>

Lnx - 1 o Ln x

y' = y Ln2

Si

y = x 2 log3 x

=>

y' = 2 x •log3 x + x 2 •^ log2 e = 2 x •log3 x + - ^ 3

Si

y

X

= 2 Lnx Ln2

Lnx - 1 Ln2 x

x -l log2 x

,

log2 x ( l - Q } - ( x - l ) - L l o g 2 e

y' =

1°92 e = rk? Ln2

, donde

(i°g2x)

1

Lnx

1 oS2

Ln 2 (x Lnx - x + l)

* = IT2

Ln2 x

5.

y = x -L n (2 e x + ,

1

W e 2x + 4 e x +1)

^ ( 2 ex +l +yje2x +4ex + 1 ) 2 ex + 1

y' = i-

2ex

+yje2x + 4ex + 1 y¡e2x + 4 e x + 1

+ e2x

2ex + 0 +

2e Zx + 4 e x +0 2 -J e

2

+ 4e

+1

ex + l + y/e2x +4ex + 1

+2 e x

_ 2 e x4~ + \T+ e2x + 4 e x + 1 -

( 2ex +1 + yje2x + 4 e x + 1 ) -\¡e2x + 4e x + 1

1. *

y¡e2x + 4 e x + 1 ) yje2x + 4 e x + 1

y¡e2x + 4 e x +1

y =¡ Ln(x + >/a2 -kx 2 )

x +JcP+x2

TTpTJ

- e2x - 2ex

( 2ex +1 + y] e 2x + 4 ex + 1 ) yje2x + 4 e2x

2ex +1 + y]e2x + 4ex +1 ( 2ex + 1 +

2ex

(x + ^ja2 + x 2 )Ja2 + x2

+1

Moisés Lázaro C.

■Jh

= ln-

= Ln(x + -\ /l-x 2 )-L n x

M E Z I

,

-

c

X2

_

2x

ix

y

7

X-y/l-X2 (x + ^ / l - X 2 )

2

_ _

2 j x* l 1

i +
^ / x 2 +1

i [ l + ^ /l + X 2 ] ^ / x 2 + 1

X

| 1

^/ x2 + 1

*2 + *

x

_

V x2+1

x - / ?

= Ln (ex eos x + e x sen x) dy _ (ex •cosx + e~x •senx)' dx e cosx + e senx _ ex •co sx+ ex (-s e n x )+ ( - e _ x ) senx+ e-x - cosx _ ex (cosx - senx) + e~x (cosx - senx) ex •cosx + e-x senx

ex cosx + e~x senx

r _ (cosx - senx) (ex + e_ x ) ex cosx + e_x senx

= L n tg 4 -ctg x •Ln(l + s e n x )- x

í

9 2

tgf

.]— (ctg x )' Ln(l + s e x )-ctg x ^1 + senx? - 1 + senx

X sec2 4-

o

■■■*------ -(e sc x) Ln(l + s e n x )-ctg x tgf

2 C°S2 |

0 + cosx 1 + senx

4 r -L n (l + senx)--£ 2 Lx I" cosx :n2 x

7

1

senx [_ 1 + senx J

_i

LA DERIVADA

0 1

1

T

= ó2 sen x/2 ¡o eos x/2 /o + — sen = -senx L - + -senV t_ ^

12

1

\

COS

2

p¡

X

r-

senx (1 + senx)

1

Ln(1 + senx) - £-~senx senx) ( 1 + se" x> - 1 (1 + senx)

x

Ln(l + senx)

con v

/I

Ln(l + sen x )

x

i _ i _ Ln (1 + senx)

\

9

con v

9

(senu) = u' *cosu

E jem p lo s:

1.

Si

y = sen x

.

Si

y = sen3x

3.

Si

y = fs e n (4 x -3 )

2

=>

-|“ = cos x

=>

^ = (3x)' cos3x = 3 *cos3x

=>

^ = § ( 4 x - 3 ) 'c o s ( 4 x - 3 ) = -| •4 cos(4x - 3 ) = 10 •c o s (4 x -3 )

4.

Si

y = sen3x + sen—-3 (1 + sen2 x )4 dy dx

(3x)' cos3x + ( ^ ) c o s ^ -1 2 (1 + sen2 x )3 (1 + sen2 x ) ’ = 3cos3x --^ -cos—x2 X

Si

1 2

sen 2 x

(1

+ sen2 x )3

y = Ln4 senx + sen(2x ) + sen(ex2+3x_2)

=> J j = 4Ln3senx[Lnsenx]' + (2X )'cos(2x ) + (ex2 +3x~2)'cos(ex2+3x~2) = 4Ln3senxj^-îi. J + 2X Ln2-cos2x +(2x + 3)e^ -eos¡i . = 4cotgxLn3senx + 2x Ln2cos2x +(2x + 3)eA -eos//

f i - x + 3 x -2 . 6.

Si

y = 3senx + 1 0 1~sen4 3x

Moisés Lázaro C.

<78>

= 3senx (senx)' Ln3 + 101 - 561,4 3x (1 - sen4 3 x )' Ln 10 = 3senx eos x Ln 3 + 101“ sen 3x (- 4 sen3 3 x ) (3 eos 3 x ) Ln 10 = 3sen x eos x Ln 3 + 10 1 - 361,4 3x ( -12 eos 3x sen3 3x •Ln 10 ) _d_

13

:(cos//) = -//'-s e n //

dx '

Solución: 1.

11 — nr\c v Si y = cosx

2.

Si

3.

Si y = 3 L n c o sf-5 (3 -2 c o s2 3x)3

—\ => -j^= -sen x dx

y = cosf => |£ = [ f ] ( - s e n f ) = -± s e n f

ÍJL = 3 Í ^ | 1 - 1 5 ( 3 - 2 c o s 3 3x)2 ( 3 -2 c o s 2 3 x )'

S fjfc

-15(3-2co s23x)2 (0 - 2 • 2cos3x(-3sen3^B

» - t g f - 90sen2x(3 - 2cos2 3x)2 o-

4

2 se n 2 x

i

Si *y = ------------------------r cos2 x co s (x -c o s x ) =>

dy _ (c o s 2 x )(4 s e n x c o s x )-2 s e n 2 x (-2 s e n 2 x )

dx _ 2sen 2x

y—

Solución:

eo s 2 (x - c o s x )

sen 3 x 2 x .c o s x

2 sen

eos2 ( x - c o s x )

, (1 + s e n x ) s e n ( x - c o s x )

eos2 2 x

C

| [ eos (x - c o s x ) ] [0 ] - 1 . [ x - c o s x ] [ - s e n u ]

(co s 2 x )2

h a lla r d ± > ñauar , ax

Antes de derivar reemplazarsen3x = sen x(2eos 2x +1) 2 _ sen x (2 c o s 2 x + 1) _

2cos2x + l

s e n x .s e n 2 x

sen2x

—

senx •cosx = sen 2 x

LA DERIVADA

, ^ ,

dy _ (sen2x)(2cos2x + 1 )' - (2cos2x + 1 ) (sen2x)' _ (sen2x) (~ 4 se n 2 x )- (2cos2x +1) (2cos2x) sen2 2x

dx

f

y =

6

.

sen2 2x

- 4 sen2 2 x - 4 eos2 2x - 2cos2x

- 4 (sen2 2x + eos2 2x) - 2(2cos2 x - 1 )

sen2 2x

sen2 2x

- 4 - 4 eos2 x + 2

- 2 - 4 eos2 x

sen~ ¿ x

sen- ¿ x

y = cos 2 x + cosx-^ -cos 3 x =>

= 2 c o s x (-se n x )-s e n x --^ - •3cos 2 x (-s e n x ) p = -s e n 2 x -s e n x + senx -eos x O

7.

O

-t

-I

y = eos 4 x --^ c o s (5 x )-^ -cosx

o

dy =

^ = 3cos 2 4 x ( - 4 s e n 4 x ) - —j(-1 0 x s e n (5 x 2 ) ) - - - ( - 2xsenx 2 ¡ -12sen4x cosz 4x + |-sen(5xz ) + ^senx 2

/ ( * ) = ---------

6(1 - 3cosx)

T-+ ---- V ~ + Q 3cos x

/ '( x ) = -| [l-3 c o s x ] /'( x ) =

14

senx (l-3 c o s x )

o = x (l-3 cO S X ) 6 V

7

2 4-

t t CO S

3

3

x + -4-eos

[3senx]--|cos 4 x [ - s e n x ] e o s

+ j « ¡ ^ + J g i3 x _ eos x eos 3x

^L(tgu) = u'-sec 2 u

Ejemplos:

3

1

3 co s3 x

3

2

1

3x

3 x [-3 sen 3 x ]

Moisés Lázaro C. t g x ^ l + tg2

= sec3 ■#+ 5

1

2

n ~2

r~4

eos x y i + tg x + tg x

y = Ln tg ^ - eos x •Ln tg x dx

[ * i l -[co sx ]'[L n tg x ]-[c o s x ] [Lntgx]'

dy

tg f

= Í ffffjf ‘g f

[-se n x ] [Lntgx] - [ eosx] [

3 senx

+ | [L n (l + t g f ) - L n ( l - t g f ) ]

eos4 x . eos x-senx (4 eos3 x ) ( - sen x )

- 1

dx

.= senx •Ln tg x

4 eos x . cosx - senx (2cosx) (-sen x)

15

dx

1 sec2—

_I2 sec2^2

1 + tg f

l-tg f

2

+ 1

2

= sec5 x

(ctg//) = -ju'.csc ju

Ejemplos: = ctgx

1.

y

2.

Si:

y

=

dx

- -ese2 X

= -|ctg(3x-2)

f

= -§ -3 .c s c 2 (3 x -2 ) - csc2 (3 x -2 )

y = 3 -ctg (3x + 5) + ctg^/l + x2

^ = 3 [-(3 x + 5)']csc2(3x + 5 ) - (^ 1 + x2 )'csc2 (^/1 + x 2 ) = 3 [-3 ]cs c 2 (3x + 5 ) - -3' j ( l + x 2 )_2 / 3 (2x)csc 2 ^ /l + x 2 = -9csc (3x + 5)-

2x

23

rese 3V l + x 2

3 ^ /(1 + x2 )2

LA DERIVADA

y =-|-ctg4 2 x -L n ctg (2 x ) + 3 ctge 1 3x

4.

=>% = i . 4 c t g 3 2 x [-2 c s c 2 2 x ] - - ¿ ¿ {2 *)X) + 3 [eu] '[ -esc 2 n ]

,

/u = e l ~Zx

= - 2 ctg3 2x •esc2 2x + 2 sec 2x •esc 2x + 9el ~ 3x esc2 (e 1~3x) (sec ju) = ju'-sec ju-tg ju

16

Ejemplos: 1

.

y = sec x = > ^ = sec x . tg x

2

.

y = sec2x -3sec|- + -^sec3 5x ^ ck = (2 x )s e c2 x •tg2x - 3^ -• J sec-| •tg-| + -i-.3sec2 5x •[sec5x] ' = 2sec2x •t g 2 x -3 •-i-secj *tg-j + sec2 5 x [5 x f sec5x •tg5x = 2sec2x •tg2x-sec-| •tg-| + 5sec 3 5x •tg5x

3.

y = -|sec3<9--|sec2 (l-<95 ) r

^ = | [36] 'sec36.tq36 - §.2sec ( 1 - ^ 5 )|~( l - ^ 5 )~ =

3 sec 3 6 ^ 3 0 --|-sec ( l - 6 5 ) ^ ( l - 6 5 ) sec (1 - 65 )tg (1 - é?5 )

= b . s ec 36 .t q3 6- ^s e c (1 - 65 )|^- 5#4.sec (1 - <95 ).tg (1 - 65 ) J = 5. sec 36. tg 36 + 4 04 sec 2 (1 - 65 ). tg (1 - 65 ) y = 2secx2 ~2sec2x+2$ec2|* => ^ - 2 (x2 ) secx2.tgx2 - 2 (2x)'sec2x .tg2x + 2.2sec|- £ sec-| J = 4xsecx2.tgx2 -4sec2x.tg2x + 4secf

( f ) s e c f .t g f

= 4x.secx2.tgx2 -4sec2x.tg2x + 2sec2 |--tg-|

.g 4

Moisés Lázaro C.

2

17

£ (esc //) = -//'• ese n . ctg ju

Ejemplos: 1.

y = esex

2.

y = -J-csc3x-|-csc5-|

=>

=>

^ = -e s e x . ctgx

|[-{3 x )'csc3 x •ctg 3 x ]--|.5 csc4|-[csc-|J =-

[ - 3 ese 3x • ctg 3x 1- 3 ese41- £ - -^csc • ctg|- J

= 2csc3x. ctg3x + csc5-| • ctg|-3.

y = 1 e~2x csc2x =>

^ = j [( e ~2x )' . csc 2 x + e~2x (csc 2 x)'] = ^ -[ - 2 e_2x .csc 2 x + e~2x ( - 2 csc 2 x . ctg 2 x)] = - e _2x . csc 2 x [ l + ctg 2 x] 9

y = 2 x . ese4 - 5 ese ^ #dx = 2 =2

(x 2 )'-csc|- + x 2 (csc^ j 2

- 5 [ - ( 'f ) escctg-|-

x.csc-| + x 2 ( -4-csc|-ctg|-)J + 5[-g-csc-|ctg|

= 4x •csc-^ --g-x2 csc^- •ctg-|- + csc-|- •ctg-| 18

-4- (aresen//) =

Ejemplos: 1

.

2.

y = arcsenx

=>

^ = — L= *

y = x •arcsen(Lnx)

LA DERIVADA

< §> & = (x)' •arcsen (Lnx) + x •[ arcsen (L n x)] l = 1 •arcsen (L nx) + x • ^ 1 - Ln2x

= arcsen (Lnx) +

Vi 3.

y = a •arcsen(ax)

=>

(ax)'

!¿~ = a '

(ax)' = a

Vi -a'2 J¿ y = 2 •arcsen^2.

- ^2 + 4x-

x-2 [2 + 4 x - x 2 ] '

V*

ÉL- 9. dx

M

2

r*

2-¡2 + 4x-

1

i 4-2x

VeT(x- 2 )

2y¡2 + 4 x 2 -x

■¡2 + 4 x - x 2

19

V2 + 4 x -x 2

J2 + 4 X -X 2

^ (á rc e o s //);

V^ 1. 2

.

// = are cos x y = //2 =>

=>

-

Ln2 // - L n // + -|- J

,

// = árceos x

^ = (// 2 )'^Ln2 / / - L n // + -|- J + / / 2 =2//.//'|^Ln 2 //-L n //+ -i-J + / / 2 =

2 ju

. / i ' Ln

= 2 .//.//'

Ln/ /

fi-2 ju ju '

Ln2//

= —

,

-

Ln2 / / - L n / / +-i■ 2 L n //(L n //)

+ / / . / / ' + 2 / / . / / 'L

n //-//.>

- arecos x •Ln2arccos x

l - x ¿

.A //

,

// = are cos x

Moisés Lázaro C. x2n- l

y = are eos:

3.

(x2n

l)(2 n X 2n~1 ) (x2n +1)2 x 2n +1)2 - ( x 2n - l ) 2

+ l)(2 n X 2n- 1 ) - ( x 2n -

x*n+ 1

ÉL = . dx

1

.2n - 1

-

v2 n+1

,2 n-l -4 n x'

(x2n+l)V4x2" 2nxn_1 x2 n + l

20

(arctg//) = 7 1

^ 2

+^ dy _

y = arctg x

Si

y=

dx

1 l + x2

+ x arct3 1 —x

1

( 1 - x 2 ) >/ 3 - x >/ 3 ( - 2 x )

x^/ 3

dy dx

1-x2

1 ___

^3

/3

1

( 1 - x 2 )2

(í-x^r +3x¿

r*

1

+ <4%

a/

3 - a/ 3 x 2 + 2 / 3 x 2 _ 1 - 2 x 2 + x4 + 3 x 2

/ 3 ( l + x2 ) ^ 3 ( l + xz + x 4 )

y = -| are tg x + 4 are tg ~, X

W

2

+ .l.

MM

1-.X2 .

, 3 -j

(1 - x 2 ) ( l ) - x { ~ 2 x ) ( 1 - x 2)2 *.

3 i + x2

3

( l - x2 )2 -hx2 /' ■ (1 -x 2 }2

1

,

m

arctg ( e™ ^

)

l + x4* X + x6

_

1 + x: l + x2 + x 4

LA DERIVADA

< s> ÉL = — dx m ^[ab

1.

2

8

.

.

y = arcctg x

v? r ^ mjci

4.

b + ae

2mx

d£

(2x)'

dx

l + (2 x )2

l + 4x2

X

1+7 i n ^ i 2 r i-x ir 2 L 1 + xJ L1+XJ _ 1 —x 1 + 1+ x

dx

+

1

e mx

b + ae

=>

.

¿y

i yfab

l +( e ^ ) 2

y = arcctg ( 2 x)

y = arcctg

m 'fb

1r i-x ]“2 2L1+x J

(l + x ) ( - l ) - ( l - x ) ( l )

(1 + x )2

_

(l + x ) + ( l - x)

1 + x

y = x 3 •arcctgx 3 = (x 3 )' •arcctgx 3 + x 3 (arcctgx3)' = 3x 2 •are ctg x 3 + x 3

j

- - 2x26

j

= 3x2arc ctg x 3

_

3x l + xb

-¿ (a r c s e c /r )= -X — //>/// - 1 y = are sec x

=>

y = are sec ( l - 2 x)

dy _ *

1

dy dx

( l - 2 x)' ( 1 - 2 x ) V ( 1 - 2 x )2 - 1

-2 ( 1 - 2 x ) a/ ( 1 - 2 x )2 - 1

3 x -1

i

y = -|arc sec—2 — s ^2 . dx

1 2

.

_ l

___ 3 3x -1

j2 _ l

( 3 x _ 1 ) y¡ 9 x 2 - 6 x - 3

1

2

1- x

Moisés Lázaro C. 23

1

2

-^(árcese//) = ------ ÉL - .

y = are ese x

.

dx

y = are ese(3 - 5x)

.

dy dx

(3 -

5x)

1

-5 i/(3 -

xJxz -l

=>

=■

(3 - 5x)'

(3-5*)V(3-5x)2-1 5_____________

5x)2 - l

(3-5x)>/25x2-30x + í

/ 2 - 3x \

y = _ i arccS(H _ _ J dy = _

1

dx

6

(2-3x\

| 2~3x

i 2 -3x)

j j l ^ 2-3x j 2

~

( 3 x - 2 ) ^ 9 x 2 -1 2 x

EJERCICIOS (l)

/(x) = x(arcsenx )2 =>

i

2

x + 2 > / l - x 2 -aresenx

= 1 •(aresenx )2 + x •2 (aresenx) (arcsenx ) ' - 2 + 2 [ ( V l-x 2V *aresenx+ >/ 1 - x

= (aresen x )2 + 2 x (aresen x ’ r

_

1 ‘

2

•(aresenx)'] -2 x

i - 2 +2 . -

2

-

2

.aresenx +

2 d l-x ‘

x(aresenx) ,

1

-

+ 2

= (aresenx )2

V T -x 2

®

/(x) = Ln

^/l + X -y]l~X

y/l + X + ^ l - X

L -x

2arcts / rL+x

= Ln[-\/l + x - V l - x ] - L n [ V l + x + Vi - x ] + 2 a r c tg ^ y ^

LA DERIVADA

2^1 i—— i yjl + X - ^ l - X

2^1 + x

x

2< Jl + x i

y l + X

2 < J l- x i +y¡l-X

®

/w = K

X

+ X + 1

x

- x+1

2

( 0 r ^ a/ 1 - X 2

1+ x

= T = ^ = r i + ii= -7 = i V r ? Lx J VI ^

<87>

x > / 1 - X2

i ÍJIk x y 1 -x

X

V 3 ( arctgT T +arctg7 r

= 4-[Ln(x 2 + x + l ) - L n ( x 2 - x + l)] +

arctg 2 xfí . 1 + arctg 2x

2^3 2x + i y

f t =l dx

4

(x2 + x + l)’

x2 + X + 1

{ ^

+ — 2—

241

x2 - X + 1

1 +

V3

2 3 + ( 2 x + l )2 3

”

4

,

V3

(■

.]

1+ .

^

- 2 x 2 +2 ( x 2 + X + 1) ( x 2 - X + 1)

Para los siguientes ejercicios, hallar

y=|

|

2

.

2

+4

3 + ( 2 x - l )2 3

( x 2 + X + 1) ( x 2 - X + 1)

X4 + X2 + 1

[7. 1. EJERCICIOS DIVERSOS

®

J

" 2x - l "

2x - 1

2^3 - 1

2x - l V

J

" 2x +1 l2 .

2x + 1

^ 1 - x 2

= y' sabiendo que y = / ( x ) .

; a, fa, c son constantes.

Solución: V -3 (2 ± !> ) ( - ¿ i ) '

_ - 3 ( ^ ) ! { í ( « + 1» ' )

1

Moisés Lázaro C. y=

56 (2x - 1)7

24 (2x - 1)6

4 0 (2 x -l)5

Solución: Antes de derivar, podemos expresar la función en términos de una potencia negativa: y = ^ ( 2 x - l ) - 7 - ^ ( 2 x - l ) - 6 - i í (2 x - i r

5

Derivando: '- _ 3 _ 46'

y =

- 7 ) ( 2 x - i r 8 ( 2 ) - 24 ^ ( - 6 ) ( 2 x - i r 7 ( 2 ) - i ( - 5 ) ( 2 x - i r 6 (2)

y' = - l4

(2x - 1 ) 8

u' = l V

-+ ± — ^

2 (2x - 1 ) 7

+ 4-— L

4 (2x - 1 ) 6

l__

4 (2x -1)®

n' = l

1 __

(2 x -l)2

(2 x -l)

+1

- 3 + 2 (2x - 1 ) + (2x - 1 )

4 (2x - 1 ) 6

(2 x -l)2

L—ó-[-3 + 4 x - 2 + 4 x - 4 x + l] y'' =-±-— A 4 (2 x -l) 1 V'=i (2 x -l) ■(4x - 4 )

y

4(2x1 -l)^ ^ X

^

( 2x - 1 )

3

1

y = —

6 (1

L - Scosx)^

Expresando en términos de potencia negativa: y = -i(l-3 c o s x )

2

Derivando: V= - - ¿6 ( - 2 ) ( l - 3 c o s x ) ‘

3

(l-3 c o s x )'

V -=l -l| ( l - 3 c o s x r 3 ( 0 - 3 (-se n x )) y'

\¡f —

senx ( l-3 c o s x ) 3

LA DERIVADA

(J )

y = ln2 x-ln (ln x)

S o lu c ió n :

y' = 2 1 n x ( l n x ) ' - ^ f v- = ( 2 l n x ) ( i ) - ¿ y

y

^

x

In x — } —

xln x

, _ 21n2 x - 1 xln x

y = ln(ex + 5senx-4itrcsenx) S o lu c ió n : , _ (ex + 5senx - 4arcsenx)' ex + Ssenx - 4 aresenx ex + 5cosx - 4 ^

-

y . ---------------- £ 2

ex + 5senx - 4arcsenx (ex +5cosx) ^ 1 - x 2 - 4

(ex + Ssenx - 4arcsenx) y l - x2 ,

(ex + 5cosx) J l - x 2 - 4

y=

W T ? -------

(iT )

y =

j \ n x

+ 1 + ln ( V x + 1 )

So lu c ió n : ,

ílnx + lV

y =-2 y¡\nx + 1 i

y = y' =

®

X

+

UÍx+1Y +

0

i

V^+i ^ = 2

+

0

2y]\nx + l 1

- +

2 x yj lnx + 1

1 24x{y[x+l)

y = j g mcsen( x J%)

Moisés Lázaro C. _

1

|1

2

3 2 + x2 _

2

2—

6 x2 -1

+— L

3 (2 + x 2 )

3(x2 -1 )

2(x2 -1) + 2 + x2 _

2x2 - 2 + 2 + x2

3 (2 + x 2 ) ( x 2 - 1 ) "

3 ( 2 + x 2 ) (x2 + 1 )

3x 3 (2 + x 2 )(x 2 +1)

(2 + x 2 ) ( x 2 + 1 )

x4 + x2 - 2

1

Solución: Así:

2

- Vs

arctg V!senx

Aplicar la propiedad ln-^ = ln A -ln B

f(x) = Ln(l + yjsenx) —ln( 1 —yjsenx) + 2 arctg Vsenx f y(x) -

(l + ^ senx)'

( 1 - Vsenx) ^ 2 r

0

+

(s enx )'

0-

cosx

2 y js e n x

‘ '

^

2 y fs e ñ x

1 + Vsenx

cosx

cosx

- + 2 ■1 + senx

^ 2 Vsenx

2 y js e n x

1 - Vsenx

cosx 2 Vsenx (1 + Vsenx)

_

(s en x)'

( s e nx )'

1 - Vsenx

1 + Vsenx

(Vsenx )f 1 + (Vsenx )2

1 - V senx

1 + V senx

1 + senx cosx________ ( __________________ 2Vsenx ( 1 - Vsenx) Vsenx (1 + senx)

I (1 - yfsen x) (1 + senx) + (1 + V senx) (1 + senx) + 2(1 + Vsenx) (1 - Vsenx)

2 yfsenx [_

(1 + V senx) (1 - Vsenx) (1 + senx) 1 + senx - senx -yjsenx - yjsenx + 1 + senx + yjsenx + sen yj senx + 2 - 2senx

2

^/s

(1 - senx)(l + senx)

1 = 1 - sen2 x J

©

4 eos

2 yj senx eos x

/'(X ) =

/ W = l lní í r i ] + i l j l ( 7 T T ) + i arcts^

/ senx cosx

LA DERIVADA

Solución: rol*—1

/(x) = |[ ln ( x 2 + l) - ln ( x 2 - l) ] + ¿ [ ln ( x - l) - ln ( x + l ) ] + 2x

+ i r _ i _____

2x

4 [_ x - 1

2x (x2 - l ) - 2 x (x2 + l )

f( x ) = l

x + l j + 2 1 + x2

r

1

x + 1 - x +1 i ( x - l ) ( x + l)

(x2 + l ) ( x 2 - 1)

2

2 x 3 - 2 x - 2 x 3 - 2x

( x - l ) ( x + l)

/ '( X ) = |

(x2 + l ) ( x 2 - 1 ) -4 x

/'(x) = t

+ 12

(x2 + l ) ( x 2 - l )

2x

2 (x 2 + l)(x 2 -1 )

2 l + x2

1 ____

í, 2

-3 x (2) + x 2 + 1 + x2 - 1 / '( X ) =

+i - L

-6 x

2x (x - 3) _ x (x - 3)

2 (x2 + 1 ) (x2 -1 ) ~ 2 ( x 4 - 1 ) ~

/(x) = ^ln(l + x )- ^ ln (x 2 - x + l) + -j= arctg 2x - 1

Solución: 2x -1

/'(x) =

i (i + xy 2 l +x

V3

i (x2 - x + iy x

—X + 1

2

V3 2 l

+

x

6 x2

_ x + 1

J 3

( 2 x - 1)2

1

3

+ _1___ 2

3

^[3 3 + (2x - 1)2

3 + (2 x -ir 3 + 4 x 2 - 4 x +1

4 (x - x +1)

=

2x.,~1- + 21 + x

/'(x) = /'(x) =

6 x 2-x +l

1 ____

2 ( x 2 - x +1)

3 (x - x +1) - ( 2 x - 1 ) (x +1) + 3 (1 + x) 6 ( l + x )(x 2 - x + 1) 3 x 2 - 3x + 3 - 2 x 2- 2 x + x + 1 + 3 + 3x

x2 - x + 1

6 (x + l ) ( x 2 - x + l)

6 (x 3 - 1 )

x4 - l

Moisés Lázaro C. < s> [15]

/( X) = ü

^

+ l l n ( l - x 21

Solución: r->

/•/ \

xaresenx , i i

/1

Pero: f(x) = —,---- =- + £ l n ( l - x yl —x

2\

)

Derivando: /•//

v

y l - x 2 [xarcsenx]' -xarcsenx

J l-x 2

1 (1 -x 2

/ (x) = - -------------------------------- U!-------

i_

2

( ^ )

x2

r+ aresenx

VTP

1

l-x ¿ x + v 1- x

arcsen x + l-x ¿

l-x ¿

_ x yjl - x2 + (1 - x2 ) aresenx + x2arcsenx

(1-X2)y]l-X2

l-x ¿

_ X yjl - )

l~x¿

( l- x 2)V l-x 2

cJT-

x

+ aresenx

(1 —x 2 ) ^ 1 —x2

1 -x2

: *Jl - x2 + aresenx - x -Jl - x 2 / '( X ) = (1 -x 2) /

l-x z

( l - x 2) J l - x 2

/{x ) = -|-y/x2 - a2 - - ¿ l n ( x +V x 2 - a Solución:

2

;

-2 x

LA DERIVADA

1

¿2 v

2J777

2

+

I 2

y¡nx - a2

( ^ « 1

I *>

2'

x2 - a2 ( x + y j x 2

y¡

- a2 )

v-2

- —i + —J x 2 - a2 . 1 2y[J ^ 2V 2 Jx2^ f'(x) = *2+J? - a2- a* = J

2 y j x 2 - a2

@

f{x) = ln

Solución:

2 x ,2 ~ 2 q 2

2 yj x 2

= ^ 2- q2) = y¡x2 - a 2 2 yj x 2

- a2

- a2

y x2 + a2 - x

Antes de derivar, aplicar la propiedad ln-g- = ln A - lnB.

'ero:

/(x ) = ln(a/x2 + a2 + x )-ln (V x 2 +a 2 - x )

Derivando:

/'(x ) = í f Z l ü i 2x

r +

_

í¿ ^ -x )

1

2x ■ yfxZ+a*

2

i/x 2 +a2 + x

y] X 2 + a 2 - x

x+

x - yj x 2 + a2 yjx2 + a2

7 ¡ x 2 + a2 y jx 2

+ a2 + X (x+

x2 + a2 )

^ 7 7 ( y [ ^ 7 ^ + x)

(

/
-

a2 ) + * - i n ( ^

x2 + a2 - x )

y [^ 7 7 (y [7 7 ^ -x )

/'(* ) = - n ¿

@

1

2yj x2 + a2

)

Moisés Lázaro C. Solución: Pero: f(x) = Jj\ n{ x 2 - a 2 ) + j ¿ [ ln ( x - a ) - l n (x + a) ]

Derivando: r f / _ m (x2 - a 2 )dx 2 x2 _ a2

4 »r<*-?r 2a (_ x - a £ x-a r

V2 _„ 2 + 2 o [

<* + aH x+a J

x +a J

x+a~x+ a (x -a ){x + a) J

É L — mu ) £2_ j~ y7; " " ’- t 1 = ...jm ... + dx x2 _ a2 + 2 a [ ( * - « ) ( * + «) J

o

+n = 2EL±Í x2 - a % :

g(x) = x s e n (ln x -| -) Solución: ~f~ = x

sen( l n x - f )

+ s e n (ln x -f)] [ x ]

= x cos ^ ln x --j j J |^lnx-^J + se n (ln x --| j = x[^ cos(ln x--| -)J

J + s e n ^ ln x -^ )

= eos ( lnx - -|) + sen ( lnx = eos ln x eos

)

+ sen ln x sen ^ + sen ln x eos ^ - eos ln x sen ^

= (eos l n x ) ^ + (sen l n x ) ^ + (sen l n x j ^ - f c o s l n x ) ^ ^“ = 2 (sen ln x )^ - = V2 sen lnx

LA DERIVADA

7.2.

<97>

EJERCICIOS PROPUESTOS

Verificar que: j

(7 )

j ! |

Si /(x ) = (7x + 4)V49x2 + 56x + 7 -9 1 n (7 x + 4 + V49x2 +56x + 7) entonces ^ = 14 yj(7x + 4)2 - 9

|

© )

Si g(x) = (x + l ) [ ( x - l ) l n ( l - x ) 2 —(x + 1 )], entonces ^ = 4xln (1 - x)

|

©

Si /(x ) = (3 - 4x) V l6x2 - 24x - 7 -1 6 ln(3 - 4x + V l6x2 - 24x - 7) entonces ^ = -8 ^ ( 4 - 3 ) 2 -1 6

(4 )

Si /(x ) = ( l - 2 x ) V 4 x 2 - 4 x + 5 + 4 1 n (l- 2 x + >/4x2 - 4 x + 5) £• = - 4 ^ / ( 1 - 2

(5 )

x

)2 + 4

Si /(x)=^4-[(l-senx)'\/sen2x-2senx+5+41n(l-senx+-\/sen2x-2 sen x+ 5 )J entonces ^ = -2

(J )

Si /(x ) = ( 5 - 6 x )V 6 0 x -3 6 x 2 -2 1 + 4arcsen( 5~26x ) ! f

©

(1 -s e n x )2 + 4

= -1 2 ^ 4 -(5 -

6

x )2

Si /(x ) = V 2x . arcsec y¡2x - 2y¡3\n{y¡2x + \¡2xz - 1 2 ) ; f = V2 arcsec-p

Moisés Lázaro C._______________________________

Si /(x) = 2xyJ 1 - 4 x 2 + ( 8 x 2 -1 ) arcsen2x ;

= 16x •arcsen2x

®

Si

®

Si / M .

®

Si /(x ) = - V 6 x - x 2 + 3 a r c c o s ( l- | )

@

Si /(x) = e 3 x (3 s e n 2 x -2 co s 2 x ) ; -^ = 26e3xsen2x

(13)

Si /(x) = (l-5 x )a r c s e n (l-5 x ) + V l 0 x - 2 5 x 2 ;

(14) Si

) :

^

+i„ (í± ip ¿ )

i

37- 5 ^ 7 ,

= -5 a rcse n (l-5 x )

/(x) = (2 - V5x) arctg (2 - V5x) - ln >/5x2 -4>/5x + 5 , ^ = - V¡5 arctg ( 2 - V5x)

@

Si

/(x ) = ( 5 - 3x) arcsec(5 - 3 x ) -ln (5 - 3 x +

9x 2 - 3 0 x + 24)

entonces ^ = -3 are sec (5 - 3 x )

©

Si / ( x ) = (27x2 -6 )s e n 3 x + ( l x - 2 7 x 3 )cos3x

,

= 81x3 sen3x

(l7 )

Si f(x) = ln (co sec2 x -cotg 2 x )3 -c o s e c 2 x •cotg2x(3+ 2cosec 2 2x) entonces ^ - = 16 eos ec 5

2

x

LA DERIVADA

7.3.

PROBLEMAS

7.3.1. NIVEL 1 Sabiendo que y = / ( x ) , se pide: a) Hallar f ’{x) d) f ( x ) > 0

b) Factorizar f'(x) e) /'(x ) < 0

4. /(x) = x 2 Vi - x 2 , -1 < x < 1

c) Resolver /'(x) f) Grafique f(x) Sol.

=

0

/ ,( x ) _ x ( 2 - 3 ^ ) V l-x 2

5.

/(x ) =

X

Sol.

f(x)= *2+- 2 1(1 3(x2 + 4 ) 4/ 3

Sol.

/'(x)

7. / ( x ) = i ( x - l ) 2 ( 4 - x )

Sol.

/'( x ) = f ( x - l ) ( 3 - x

«•

Sol.

6

. /(x) = x 3 - 3 x 2

=

,

[-1,3]

x¿ + 4

9. /( x ) = -3 x Vx + 1

Sol.

10. /(x) = 4 - |x|

Sol.

=

3 x (x -2 )

r - i , x>o

/,(xH

i1

, x

< 0

7.3.2 NIVEL 2 En cada uno de los siguientes problemas, elegir la respuesta correcta. 11.

12

.

/_2 h+2 _2 lim - — r - ^ - = b-> o h

14.

;

A) 1

B) 0

C) 2

D) e 2

E) 2e 2

Si /(x) = |x + 3|, luego /'(x) es continua ¿para qué valores de x? A) x < 3

13.

0

:

B) x > 3

C) x * 3

Si /(x) = LnVcos2x

,

A) Ln Veosxsenx

B) -ta n 2 x

D) x ^ -3

E) Todo x

n ___ C) V = =

D) ^

/'(x) = : yjcos2x

¿Cuál es la tangente del ángulo en el cual la curva y = -1 A) i

B)

C) 1

D) - 4

2

E) N.A

corta al eje x? E) 4

______________________________ Moisés Lázaro C. 15.

16.

Si y -- e xx e

, entonces ^ = ?

A) e V ( x e - 1 + l)

B) exxe ( l + f )

D) xex

E) x ^ x 6 '

/(x) = cot(ísen(t))

,

C) e xx e~1

1

/'(£)= : n

o

A) (tcost + sení)csc (tsent)

B) -(tsent + cosí)csc (ísení)

o

C) 17.

o

-(sen í + £cosí)csc (ísení)

E) N.A.

D) -(s e n í-íc o s t )c s c (ísení)

y = 2sen2x + sen2x . Encontrar y '. A) 2(sen2x + cos2x)

B) 4 senx cosx + 2cosx

C) 2(sen2x + cosx)

D) 2(2sen2x + cos2x)

18.

E] N.A.

/(x) = arcsenVl - 9 x 2 . Encontrar /'(x) si x > 0 A)

B) -j= M =

~2

y j l - 9x2

°)

C) , ^ x

y¡l~9x2

7 = ^

■

4 l ~ 9x

e)

y 1 - 9x

19.

Si /(x) = e * . ¿Cuáles son iguales a /'(1) ? t

i*

I.

et - e

TT

lim ,

A) I 20.

21.

ex + h - e

i.

II. lim —— ¡—

Í -+ 1 Í _ 1

t -> 1

B) II

Si y = eos2 x + sen2x

TTT

C) Todas pero no I

x -> 0

, & =? B) cos 2 x - s e n 2x

D) sen2 x - c o s 2 x

E) 0

c2 + X2

x

D) Todas menos II

A) 2senx + 2cosx

Si: y = be

v e x +1 - e

III. lim -------

Í_1

dy_ _ qy

C) sen2x

9

dx

A) bec2 2x

B) 2 x b e x2

D) 2bxe°2+x2

E) be°2+x2

C) b(cz + x 2 )ec2+x¿

E) N A

__________________ LA DERIVADA

22.

Si: S = tf , encontrar A) s(2Lní + 1)

23.

B) 2íLnt + l

D)

E) N.A.

¿ (x V V ? A) 2 x e x 2

B)

D) 3 x e x + x 4 e x 24.

C) sí(2Lnt + l)

C) 4 x 2 e x 2

E) 2x 3 ex + 2 x e x

_ 1

Si: /(x ) = 5|2x-1| - 2|3x2 - 4 | , entonces /'(-1 ) = : A) 2

B) 0

C)22

D)-22

E) -2

25.

Si f(x) = x 2 , h(x) = f ( l + g(x)), g ’(D = 1 y h'd) = 1, luego g(l) = :

26.

Si f'(x) = xf( x) para todo x e IR y / ( —2) = 3 , luego /"(-2 ) = : A) -1 8

27.

B) -1

C)1

D)12

E) 15

Si / es una función finitamente diferenciable en (c ,/(c )), luego la intersección con el eje Y de la recta tangente al gráfico de / en (c,/(c)) es:

28.

A) /'(c)

B) f ( c ) -f '( c )

D)

E) no necesariamente algunos de A, B, C, D

c(/(c) - /'(c))

C) / ( c ) - c f ( c )

Una partícula se mueve a lo largo del eje X tal que para el tiempo í > 0 la j.3

o

posición de la partícula es dado por x(t) = -y + ¿ - 2 t - 2 . ¿En qué tiempo será la aceleración y la velocidad de la partícula el mismo? A) i = 0 0 29.

lim 2x + b + b2 = : b-> 0

30.

B) t = l A) 2

C) t = 2 B) x

b

D) 2^3 C) d(x2)

E) t = 6

D) - f ( x 2 )

E) 1

dx

Sea /(x) = g(h(x)) donde g y h tienen segunda derivada ¿cuál es /"(x )? A) g"[h(x)] D)

B) g"[h(x)]h’(x)

g"[h(x)W(x) + g'[h(x)]h”(x)

C) g"[h(x)][h'(x)f E) g"[h(x)][h'(x)]2 + g'[h(x)]h"(x)


Si la derivada de una función /(x) existe en x = a * 0 y es denotado por f'(a) , luego A) lim

es siempre igual a: / 2 ( x ) - / 2 (a)

2

x -a

x->a

(x-a)

E) lim / (x) X-*Q

,

si

x <0

p(x)

,

1

,

si si

< x <1 x >1

0

Si /(x) =

33.

0

donde P(x) es el polinomio de grado mínimo tal que f(x) es diferenciable por todo x e JR, entonces P(x)= :

C) 2x 2 - x 3

B) x 2

A) x

/ 2 ( x ) - / 2 (p)

x —>a

D,

32.

C) lim

B) lim

2

x-»a

D) 2x 2 - x 4

E) 3x 2 - 2x 3

Si la curva y = /(x) es tangente a la recta y = 3x + 5 en el punto (1,8) y si o

/" ( 1) = 4 entonces ¿cuál es la función cuadrática de f(x) = ax + bx + c ?

34.

A) 4 x 2 + 3 x + l

B) 4x - 5 x + 12

D) 2x 2 - x + 4

E) 2 x 2 - x + 7

Si

lim

+

h-y 0

A) B) C) D) E) 35.

2h

C) 4x - 5 x + 9

x>= £ ; entonces

L =0 /'(1) necesariamente existe pero no puede ser igual a L. Si / es continua en S = 1, /'(l) existe y es igual a L. /'(1) no existe, pero si existe es igual a L. NA

Si y = |x3 - x 2 |, y' = ?

B) (3*2 -2 ^ )lfU !

A) 3 x 2 - 2 x C) (3x 2 - 2 x ) |X3H

x 221

xá - x z

D) |3x2 - 2 x | t + i í l

E) N A

o

c .

s

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS 1.

INTRODUCCIÓN

En este capítulo estudiaremos las ecuaciones paramétricas de la recta, de la circunfe rencia, de la elipse, de la hipérbola, y otras curvas. Pero antes, hagamos un breve repaso de las ecuaciones cartesianas. p

En el plano Euclidiano R , representado geométricamente por dos ejes rectangulares: Eje X y Eje Y; se estudian la recta, la circunferencia, la elipse, la hipérbola y otras cur vas donde cada una de ellas se expresan por una sola ecuación F(x,y) = 0 con dos variables “x” e “y” llamadas ecuaciones cartesianas o ecuaciones rectangulares. Así tenemos: £: Ax + By + C = 0

,

es la ecuación cartesiana de la recta.

C\ x 2 + y 2 = a2

,

es la ecuación cartesiana de la circunferencia de centro en el origen y radio “a” .

,

es la ecuación cartesiana de la elipse de centro en el ori

£\

2

+

y2

=1

gen y semiejes “a” y “ib” .

es la ecuación cartesiana de la hipérbola de centro en el origen y semiejes “a” y “b”.

— 103 —

Moisés Lázaro C. Ahora nos interesa expresar las variables “x” e “y” que son las coordenadas de un punto P(x,y) pertenecientes a una curva C, en términos de una sola variable “? que la llamaremos parámetro. Al proceso de “convertir” las variables “x”, “y” (y /? x) en dos ecuaciones paramétricas se llama parametrizar.

2.

PARAMETRIZACION, ECUACIONES PARAMETRICAS

1) Parametrizar la recta £ : Ax + By + C = 0 La parametrización de la recta £, es: í

£ :\

x = X n + Cli t y = y0 +a2 t

t e IR

donde (x 0 ,yo) es un punto cualquiera de la recta y el vector (ai,a2) se obtiene restando dos puntos cualesquiera de £. (a1 ,a2) = (x1 >x 2 ) - ( x 0 ,y0) I

Vector dirección de la recta.

Ejemplo: Parametrizar la recta £ : 2x - 3y -

6

=0

Solución:

Algunos puntos de £ son:

Pl

X

Po -3

P2

0

6

y

-4

- 2

2

El vector dirección es a = P1 - P 0 =( 3,2)

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS

<§> a)

Una parametrización de £, es:

£: <

x = -3 + 31

te R

y=-4+2t

b)

otra parametrización de £ £ es:

£

f x = 0 + 6t i [ y = -2 + 4 1

teR

Como vemos, la recta tiene una única ecuación rectangular, pero varias ecuaciones paramétricas. 2) Parametrizar la circunferencia C\ x 2 + y2 = a2 Solución: Si 6 es el ángulo que se forma entre OX y OP , mo viéndose OP en sentido antihorario, se obtiene las coordenadas de P e G en términos de 0. „ . x = a •eos 6 C\ \ y = a •sen#

0 < 0 <2n

son las ecuaciones paramétricas de la circunferencia de radio “a” y centro en el origen. Nota Importante:

I.as ecuaciones paramétricas

. x = x(í) [y-y

t e [ a yj3]

(0

dan origen a dos conceptos matemáticos muy importantes que son: Función Vectorial y Camino. i) La función vectorial r : [ a , /?] — t —

R 2, definida por: r (t) = (x(í), y(t)) (x(t),y(t))

describe a una curva C y es la trayectoria de un proyectil o partícula.

Moisés Lázaro C. //) La función

r ( t ) = ( x ( t ) , y(t)), t

e [a , 0] es un CAMINO DIRIGIDO.

a cada número real "í" e [ar,/?] corresponde el punto (x(t), y(t)) perteneciente a la curva 0 c z R 2

Ejemplos:

11 | Parametrizar parte de la circunferencia: x2 + y2 = 16 que está definida sólo en el primer cuadrante. Solución: Datos:

Necesitamos el radio y la variación del ángulo 0. radio = 4 Variación del ángulo: 0 < 0 < 7t!2

Las ecuaciones paramétricas correspondientes son: f x = 4cosé? y = 4 sen#


s

Otros ejemplos relativos a la circunferencia: x 2 + y 2 = a2

i (0,3)

i

(0,3)

"» X

(-3,0)

(3,0)

...........

y

(0.-3)

í x = a • cosí

r

-i

[ y = a • sen í

L

J

NOTA:

f x = a • eos í

<*’<» x

r

í x = a • cosí te[7r,

[ y = a • sen í

f x = a •cosí Si escribimos < [ y = a •sení

2n]

í e [ 0 , 4 ; r ] , el camino es dos

vueltas de circunferencia.

[3~|

Parametrización de la parábola.

\| ^ ^ ^ 4 p x

a) Parametrizar la parábola P\ y 2 = 4 p x , p > 0 Solución:

0

Esta parábola se parametriza en función de “m” = pendiente de la recta tangente. Así:

Hallar

ax

= m de la ecuación

y 2 = 4px 2y*y' = 4p y •y' = 2 p

ív

’

Moisés Lázaro C. <§> y = ^2. =

? m - t g a , a = ángulo de inclinación de la recta tangente, y' ^ 0

Sustituir en: y2 =4px ■^- = 4p x m

=>

x =^ m o

Luego, las ecuaciones paramétricas de y = 4px son:

P

=\

x = -^ m y = 2p m

0

m *

i„ 2 a x = p cotg ó J | y = 2 p cotgnr

a

aeR

: parámetro

b) Parametrizar la parábola:

O

Solución: El gráfico de esta parábola es: Esta parábola expresa la trayectoria de un proyectil que es lanzado desde (0,0), llega a su máxima altura en

y cae en ( - ~ , 0 )

La parametrización de esta trayectoria pa rabólica se obtiene hallando el cosa, (a - ángul o de la recta tangente en (0,0)) y expresando la abscisa x de cada punto P(x,y) de la parábola como: x = (eos a)t t = parámetro.

1

y = ax + b x , a < 0 , b > 0 , 0 < x < - ~ .


Veamos: I)erivar:

y = ax + bx y' = 2 ax + b

En x = 0 :

y' = 0 + b , pero y' = tg a tg a

Hacer:

-

b

x = (cos a)t

y

reemplazar

en

o

y = ax +b para obtener las ecuaciones paramétricas:

P :

t x =—\jb2 +1 y=

b¿ +l

bJbz+1

0
■r +

Caso particular: Curva trayectoria:

V¿>2+i

y

=

x * tg 6

q —

—

3—

x

9

2 yo cos^<9

j1 í x ~ (o o cos 0 )t [ y = (u0 s e n < 9 ) t g t 2

/

Vq

/e l

=

velocidad del proyectil

t = tiempo Ejemplo:

Parametrizar la parábola

y = -x 2 + 4x .

Solución: Derivar:

o

y = -x

+ 4x

y' = -2 x + 4

En x = 0 :

y ' = 4,

como

y' = fg a

Moisés Lázaro C. Se tiene: cosa = -4= Vn Como: x = (cosa)¿ x =7 n í

’

y = ~ (ji7 t ) + 4 (v i7 í )

La parametrización de la parábola y = - x

P:

x~ M t

O

+ 4 x , es:

0 < t < 4 /Í 7

y = “ n 'í2 + Vi7t

ÍT]

Parametrizar la elipse: a

+ -^—= 1 b Trazar una circunferencia inscrita y otra circuns crita de centro en el origen. El parámetro es Deseamos hallar (x,y) en términos de # y de los semiejes a y o . En el triángulo rectángulo OCB se tiene: OC = OB - eos# x

En el triángulo ODA , se tiene: DA = OA •sen# y b Por tanto, la parametrización es: , x = a eos#

.

y = b sen#

a


Parametrizar la hipérbola:

X V H : — - ■£— = 1 a b

Trazar dos circunferencias concéntricas de radios: OA = a , OB = b . Debo expresar las coordenadas (x,y) en términos de a, b y el parámetro 0. En el triángulo rectángulo OCD, se tiene:

OD = OC •sec 6 x ~ Q ' sec 0

~ En el triángulo rectángulo OBE, se tiene:

-

BE = O B. tg y = b *tg&

Por tanto, las ecuaciones paramétricas de una hipérbola se centro en (0,0) y semi ejes a y b, son:

H:-

x = a •sec (9 y = b-tg<9

0 < 6 < 2n

Moisés Lázaro C. < 3>

6

Hay tres familias de curvas cuyas ecuaciones paramétricas se generan cuando una circunferencia rueda sobre el eje x o sobre otra circunferencia o en el interior de otra circunferencia.

Al rodar la circunferencia 6 de radio “a” , el punto P genera la cicloide cuyas ecuaciones paramétricas son: í x = a(8 -sen d ) 1 y = a(l-cos<9)

La circunferencia 62 de radio “b” rueda sobre la circunferencia 0 Í de radio “a”, generando la epici cloide:

La circunferencia C2 de radio “b” rueda en el interior de C2 de radio “a” generando la hipocicloide:

fx = (a + b) cos# - bcos^— 0

fx = { a -b ) c o s0 + b c o s ^ ^ - 0

1y * (a + b)senO

Iy = { a - b ) s e n 0 - b s e n ^ ^ - 0

Si b ~ a , obtenemos la cardioide:

Haciendo obtenemos:

x = 2a cos 6 - a cos 20

í

y = 2a sen 8 ~ a sen 28

1 y = -|a

I

b = ~a

x = -|a •eos# +

-|cos30

•cos0--|cos30

í x = a {2 c o s 0 -c o s 20)

\ y = a(2 sen 0 - sen 20)

Sustituir: J c o s30 = 4cos3 0 - 3 c o s 0

Nota; En la relación a ~ r b , si r es un número entero, la epicicloide tendrá r picos y r arcos.

| sen 30 = 3sen 0 - 4sen3 6

y obtenemos la ASTROIDE: x = a •eos3 0 I y = a •sen3 6


[ 7 ] Otras curvas expresadas por ecuaciones paramétricas: T\

U

CICLOIDE

rx = acos30

\ y = a (l - eos 0)

| y = a sen3 .0

HIPOCICIOIDEDE3 PICOS. e e [0, 2*]

áix

x = 2a eos T+ a eos 2í a> 0 y = 2a sen ¿ - a sen 2í

xfflS+ y2'3__^,3

y O1

LAASTR0I0E

f x = a(0 - sen 0)

2íia

CICLOIDE DE VERTICE EN (0,0)

f x = a(0 4- sen 0) I y = a (l - eos 0)

IT

LA CARDIOIDE f x = a(2 eos t - eos 2í) [y = a(2 sen t - sen 2t) t e [0 , 2 71]

ZJ LEMNISCATADEBERN0ULLI

La astroide es una hipocicioide de 4 picos.

Al

EPICICLOIDE DE 3 PICOS

EPICICLOIDE DE 4 PICOS

x = 4 eos 0 - eos 40

( x = 5 eos t - eos 5 t

y = 4 sen 0 - sen 40

1 y = 5 sen t - sen 5t

{

8J LEMNISCATAROSADEDOSHOJAS

F0LIUMDEDESCARTES x=3qTT7

(x 2 + y 2)2 = a 2 (x 2 - y2) ..........( 1) r2 = a 2 eos 20

y = t2 x parametriza (1)

(x^+y2)2*2a2xy r2 = a2 sen 20 y - i x parametriza (!)

f *-1

(1) x 3 + y 3= 3 a x y , a > 0 y = íx

(1)

parametriza ( 1)


LA T R A C TR IZ: x

PARÁBOLA SEM1CÚBICA

= a^Lntg ^* +

cosí j

C IC L O ID E P R O LA D A í x = 2í - ;rsent

I x = ai

y = 2 - 7t eos í

y = asení

ay =x2

N E F R O ID E

BRUJA DE AGNES1

o

0 < 0 < -n-

y = 2sen tqO

x = 2ctg0

o

y = 2&ti$

0 < 0 < n

r v =■i£ a (3 c o s0 -c o s3 0 ) y = T¡-a(3sen0 - sen30)

|x = a ctg# [ y =* asen^0

C IC L O ID E P R O LA D A í x = 0 --| s e n 0 y = 1-

eos 0

x = 2 0 - sen 0

y = a-b.»cos0

y = a - b eos0

E C U A C IO N E S G EN ER ALES

{

x = acos0 + asen0

y ~ 2 -c o s 0

x = a 0 “ b*sen0

x = a O - b s e nO

1NVOLUTA D E L C ÍR C U LO

CICLOIDE CURLATA

y = asen0 + acos0

a>^ OP = b

Moisés Lázaro C.


3.

FUNCIÓN VECTORIAL

Sea: \ - [a, ¡3\ un intervalo contenido en IR. Diremos que f es una función de 1 en í?2 , si a cada t e l corresponde un único vector (x(í),y(f)) tal que: J{t) = (x(t),y(f)). }/

.

. ,

Una función de la forma

A Y

..

/(f) = (x(f), y(í)) se conoce como función vectorial = x(t)i + y(í)y

Ejemplos: 1. Sea la función vectorial / : [0,1] - » IR2 definida por: / : (í) = {í,2t2 ) 2. p (í) = (5cosé?,Ssend)

,

3. h ( t ) - { l - t 2 - 4 í - í 3 ) ,

# e [ 0 ,;r ] íeJR

3.1. IMAGEN DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Sea / : \a,¡3\ -> ¡R2 una función vectorial tal que: f ( t ) - ( x [ t ) , y ( t ) )

Moisés Lázaro C. Definimos:

Im (/) = {(x (í),y (í))/í € [a,/?]} I

Imagen de

/ ,

es el conjunto de parejas ordenadas

(x(t),y(t)) pertenecientes al plano JR2 , tal que í e [ a , / ) } .

La Im (/) se llama GRAFICA de / .

4.

DEFINICIÓN DE CURVA PLANA

Sea: / : [a,p\ ----- > R

o

una función vectorial que toma valores en R

o

describien

do un conjunto de puntos f(t) llamado gráfica de / . Si /

es continua en [a,/3], la gráfica de /

Sea C : J X = X/( ° [ y = y(t)

se llama CURVA.

te [a ,j3 ] ó f ( t ) = (x(t), y(t))

Decir que f ( t ) es continua en [a,p] implica que cada una de las funciones reales x(t), y(¿) es continua en [a ,p ]. Por lo tanto, si cada una de las funciones reales x(t) , y(£) son continuas en [ a , P ] dirémos que 6 es la curva descrita por / .

4.1. PARAMETRIZACIÓN DE UNA CURVA C


< §> También se dice: C ha sido PARAMETRIZADO por: r (t) = (3cos£, 3sení)

,

[0 ,2 ;r]

Ejemplo 2. C : x 3 + y3 = 3axy es descrita por la parametrización: 3 at

Esta parametrización se logra haciendo y = t x .

5.

CAMINO O TRAYECTORIA

Definición:

A una curva C con una parametrización r (t) se le llama CAMINO o TRAYECTORIA.

Las curvas pueden ser cerradas o abiertas.

r : [a,b] — » í ? 2 t ----->> rr(t) = (x(t),y(t))

r : [a,b]

2

t ------> r(t) = ( x( t ) , y( t ) )

en.

tí

Curva Cerrada

Curva Abierta


CURVA CERRADA (lazo)

Definición:

La función r : [a ,( 3 ] -----> R 2 describe una CURVA CERRADA 6 si 7 {a ) = 7(/3)

Ejemplos: 1) 7 (t) = (a c o s í, asenf), t g [0 , 2n] describe una curva cerrada, porque F(0) = 7 [2n) . Pues: ?(0) = (a *cosO, asenO) y ?(2 ;r) = (a •cos2;r , asen2;r) = (a , 0)

2)

x = acos t 6: \ [ y = asen3t

=(a, 0)

t e [0 ,2 n]

es una curva cerrada. f x = a (2 c o s t -c o s 2 t ) 3) 6: { [ y = a(2sen£-sen2t)

t e [0,2*]

es una curva cerrada. 4) r(t) = (5cosf - c o s 5 í , 5senf -sen 5 f) (t) , 0 < £ < 2* es una curva cerrada porque r (0) = 7 (2 n ).

7.

PUNTO MULTIPLE

Definición:

Se dice que P{x(t) , y(f)) es un punto múltiple si existen por lo mehc

^

11 Í !, í2 e t a ,

^ ^ í2 tal qué (x(íi),

} ) » (x(í2j , y(í¿)) ^ V ; !


< s >

Ejemplo: Hallar los puntos dobles del arco parametrizado: x = 2í + í2 i y = 2 t- \ r

<

t^0

Solución: Sean: tx y t2 , ^ * t 2 tal que ( x ^ ) , ^ ) ) = (x(t2 ),y(t2)) Se obtienen las ecuaciones simultáneas: x ( t ^ ) — x ( í 2 ) —^ 2

4- t 2 — 2

¿2 +

2 ( t i — ^2) +

¿2

y(ti) = y(f2 )=> 2 íi - - y = 2 í 2 - - y => 2 (tx - 12 )-+-

tí

tí

2+ Como:

— ¿2 )

¿i * í2 » se ^duce a:

=>

Obtenemos: *1 + ¿2 “ ¿1 ¿2 = 1

í ti + í2 ~ ” 2 |

*i í2 = 1

v

^

¿i t2 ——1

í íi + t2 - -2 {

ti í2 = “ 1

^2) —^

(¿1 _ í2 )(íl + í2 ) _ +2 , *2

^2 —0

2 + -^- = 0 P

(^1

P2 = 1

n

Moisés Lázaro C. < §> íi + - = -2 tj + 2

+ 1 —0

(Í1 + 1)2 = 0

t{ + 2 f 1 - l = 0

íl= -l

U=

¿2 = —1

h=

-2 + S

2 -2±2y¡2

tí = - 1 ± J 2

fí Estas soluciones no se toman en cuenta, porque se necesita ^ ^ t2

Si:

8.

tj = -1 + y¡2

=>

CURVA REGULAR

Una curva

, x = /(t)

<|

x =l

Si:

t2 = -1 - >/2

y - _5

x —1 y = -5

(SUAVE 0 RECTIFICABLE)

í e / = [or,/?]

y = g(t)

Se denomina REGULAR {suave o rectificable) si cumple dos propiedades:

1. Las derivadas /'(í) y g'(t) son continuas en ]a,fi[ y; 2- /'(í) y g'(í) no se anulan simultáneamente en [ a , p ] excepto quizás en los punto; extremos del intervalo [a, p ) . Esto es lo mismo que decir:

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS

DEFINICION EQUIVALENTE Sea 6 : r : [a r,/?]----- > R

un camino, continuo en [a ,¡3]. El camino r (t) se

llama REGULAR, si existe el vector derivada r'(t) * 0 y esta derivada es CONTI NUA en el intervalo abierto ]a,(3[.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE CURVA REGULAR Sean las curvas: x = a •eos t :{ [ y = a •sent

En

este

caso

x = a •eos t

t e [0,2;r]

e 2 '-\

te[0 ,2 x ] y = a •sen í

es

regular

en

todo

t e [0, 2 tt] . Geométricamente significa que

En este caso, C2 no es regular en los puntos t = 0 , f , 7T, & t 2n .

no tiene puntas aguja en todo [0 ,2 n\ . Geométricamente,

significa que

puntas aguja en t - 0 , -g-, t 7t, ii imágenes son:

D(0,-a) .

¿Cómo se hallan las PUNTAS-AGUJA de una curva

A(0,a

Q

tiene

,j 2tt 2 tc cuyas

B(0,a), C(-a,0),

Moisés Lázaro C. Algebraicamente, las Puntas - si existen - se hallan del siguiente modo: dx

= /'(*)

Io Derivar las ecuaciones paramétricas: ¡ 1 v = sW

2° Resolver simultáneamente: s'(í) = o

3o Aquellos puntos t ^ [ a . p ] en los cuales r'(t) = (0,0) son los puntos NO-REGULARES.

Ejemplo 1.

Sea:

x = t¿ - 4

C :• I y=r -8

Hallar los ángulos (puntas-aguja), si existen, en los cuales C es no-regular. Solución: í x' = 2f

Io Derivar: y' = 3t"

2í - 0 2o Resolver: 3í

3o En t = 0 , se cumple r'(0) = ( 0 , 0 ) , entonces existe una PUNTA en t = 0 , que es: í x = - 4

y = -8

r(0) = ( - 4 ,- 8 )


Ejemplo 2.

Sea:

x = a •eos3 í

C

t e [0,2x]

y = a *sen3í Estudiar si existen “PUNTAS-AGUJA” . Solución:

Io Derivar

6

í x'(t) = -3 a eos3 í*sení [ y'(i) = -3 a sen2 t-c o si

2o Resolver

< [

-3 a eos2 t •sení = 0 3a sen2t •cosí = 0

í cosí •sení = 0 [ sen í •eos í = 0 cosí = 0

v

sení = 0

í = tt/2

t= 0

t = 3;r/2

t= n t-2 n

3o Se. cumplen: r'{0) = r'(*/2) = r'(ír) = r'(3;r/2) = r'(2n) = (0,0) Luego, en í = 0 , x/2,n, 3x12, 2tc la curvad es n o - regular LAS PUNTAS SON: : Ejemplo

r(0) = (a,0), r(;r/2) = (0,a), r(xj = (-a,0) r(3/r/2)==(0,-a), r(2^)-(a,0)

3.

Hallar los puntos no-regulares, si existen, de la curva: f x = a(2cosí + cos2í) I y = a(2sení+ sen2í)

í g [0 , 2n\

Moisés Lázaro C.

— Solución:

Io Derivar:

2o Resolver:

x'(í) = a [ -2sen t - 2sen 2 1] y'(í) = a[2cosí - 2cos2í] x'(í) = 0

=>

-2 s e n í-2 s e n 2 í = 0(1) .

.(1)

y'(í) = 0

=>

2 c o s í-2 c o s 2 í = 0(2).

•(2 )

De (1):

De (2):

sen í + 2sen í •eos í = 0

c o s í-[2 c o s 2 í - l ] = 0

sen í(l + 2cosí) = 0

2cos2 í - c o s í - 1 = 0

sen t = 0

v V

Las derivadas \

eos t = —g-

(2cosí + 1) (co sí- 1 ) = 0

, _ 2tt 4n l~ 3 ’ 3

cosí = - j

v

eos í = 1

f _ 2n 4;r 1~ 3 ’ 3

v

í = 0,2;r

se anulan simultáneamente en í = 0 , 4^ , 4^.

U'(í)

3° Los puntos no-regulares (Punta-aguja), son:

r(0) = (3a,0)

3

3


9.

DERIVADA PARAMÉTRICA

Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva. C:

t e [a, ¡$\, deseamos saber en qué momento existe la función y = /(x) )

tal que Dxy =

y

.

Este problema se resuelve, en la siguiente proposición: Proposición:

Sean: x = $ t) y y = y/{t) dos funciones derivables en el intervalo y supongamos que x -$ ( t ) tiene inversa í = ^* (x) derivable

Si en cada punto t e

j

y

I

se tiene

=fi 0 , entonces las ecuaciones paramétricas

j Aplican que existe una función f(x)

derivable tal que y = f(x)

Demostración:

/

1) Como y = (£)

£ = ^ * ( x ) es derivable y

a

> t

> x

Entonces por la regla de la cadena, tenemos: Dxy = Dty •Dxt 2)

(1*)

Como existe t = * (x) derivable en (a,J3) y

± 0 , entonces:

l _ l D, ‘ = D* r - i DhJ DxV 3)

(2 *)

Sustituir (2*) en (1*) dy Dxy = \

D*x

.

También se denota por

— = dx Él dt

Derivada de Y con respecto a X.

si x = #(t) , y = <¿/(t) , y = /(x )

y

Moisés Lázaro C._________________________________ NOTA:

Si t = *(t)

=>

Dx = D x* derivada de la inversa 0*

_________________________ =rtf’ ^

10.

= x____________________

TANGENTES

Dada una curva C, cuyas ecuaciones paramétricas son:

e:\

r x=cp{t) , x tz[a ,f3 ]

Deseamos hallar la ecuación de una recta tangente en un punto t0 e [a ,0 ] . Como en toda recta tangente el problema es hallar su respectiva pendiente y dicha pendiente es la derivada de “y respecto de x en t0 ” , es decir: DxV)t0 =

= pendiente de la recta tangente en t0 .

Desde el momento que “aparece” derivadas, el problema es garantizar la EXISTENCIA DE LA DERIVADA en t0 . Esto lo confirmaremos en la siguiente proposición.

Proposición:

La pendiente de una recta £ r , que es tangente a la curva e :|jc = x{t) t e ia p] en un punto te[a>j3] existe, si x'(t) e y'{í son continuas y [x'(i)]2 +{y'(f)]2 * 0 .

Según la proposición podemos deducir, algunas consecuencias que ilustramos en lo siguientes gráficos:


Una sola tangente

Dos tangentes en ^ y t2

En este caso existe y es

h * h

D xy ]

* Dxy ]Í2

En t0 no existe tangente. En este caso se cumple si multáneamente

única Dxy]t0 .

x ,(t0 ) = y'(t0 ) = 0

y i

Tangente horizontal En este caso se cumple.

Tangente vertical. En este caso se cumple:

Dty = 0 en t0

Dtx = 0 en t0

y 11.

GRÁFICA DE UNA CURVA EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS

Para graficar una curva 6 cuyos ecuaciones paramétricas son: í x = x(t)

C:\ v = v(t)i*\ l

ís D *^

se sugiere seguir los siguientes pasos: 1.

In t e r s e c c ió n

a)

c o n l o s ejes

Con el eie X : Se resuelve y(£) = 0 Si existen soluciones

, evaluar x(t¡)

________

Moisés Lázaro C.

b) Con el eje Y: Se resuelve x(f) = 0 Si existen soluciones t¡ , evaluar y {t¡) 2 . S im e tr ía s

a) Respecto al eje X : Si V ti e Dxny ; 3t2 e D xny tal que: (x(t2) , y(f2)) = (x(tx) , -yf^ )) Un caso particular es cuando ocurre: Si x(t) es PAR y y(f) IMPAR, la gráfica es simétrica respecto al eje X. b) Respecto al eje Y: Si V ^ e Dxnv ; 3 t2 e Dxriy tal que: (x(t2) , y(t2)) = ( - x ^ ) , y ^ )) Un caso particular es, si x(f) es respecto al eje Y.

IMPAR

y y(í) es

PAR,

la gráfica resulta simétrica

3 . Ta n g e n t e s

En la fórmula de la derivada PARAMÉTRICA: Dyv = x

Dtx

Se hace el siguiente análisis: a) Las tangentes horizontales se obtienen resolviendo Dty = 0 . b) Las tangentes verticales se obtienen resolviendo Dtx = 0. Si existen soluciones comunes para D¿y = Dtx = 0 , se presentará un punto sin gular. c)

PUNTOS CRÍTICOS Y MONOTONÍA.

Los puntos críticos son: /) Aquellos valores de t e Dxny e n los cuales Dxy = 0 //) Valores de t en los cuales / Dx y


Como:

Dxy = x

D tx

entonces no existe Dxy en aquellos valores de t en los cuales: Dtx = 0 El total de los puntos críticos se obtiene uniendo todos los valores de t obteni dos en /) y ii) iii) Los extremos de [a ,¡3) = Dxny son también puntos críticos ív) Monotonía (¿En qué intervalos, la función y = / ( x ) es creciente o decre ciente) 4. P u n t o s

m últiples

Un punto P(x(t) , y(£)) se dice que es un punto múltiple si existen por lo menos dos valores de t:

, t2 e Dxny, ^ ^ t2 tal que cumpla:

(x(t1) , y ( í 1)) = (x(í2) ,y ( t2 ))

5 . E xten sió n y zo n ificació n

En esta parte se debe hallar:

c)

Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

6. T a b u l a c ió n

Para algunos valores de t e Dxny se hallan las parejas (x(í), y(í)) Ejemplo 1. Discutir la gráfica de la siguiente curva cuyas ecuaciones paramétricas son:

,

.______________________________ Moisés Lázaro C.

Solución: 1 . In te rse cció n co n los ejes:

a)

Con el eje X. Se resuelve

y=0

a sen3í = 0 sen* = 0 t=0 , n Para t = 0, obtenemos el punto A = (a,0) Para t = n , obtenemos el punto B = (-a, 0) b)

Con EL EJE Y. Se resuelve

x =0

a eos3 1 = 0 eos t

=

0

f — 2L 1

~

2

’

2

Para

t=

se obtiene el punto C = (0,a)

Para

t = ^ r se obtiene el punto D = (0,-a)

2 . S im e tría s

a)

Respecto al eje X: O

Q

Se cumplen: x(-t) = a eos' (-t) = o •eos t = x(t) y(-í) = asen3(-í) = -asen3í = -y(£) implica que es simétrica respecto al eje X.

_____________

3.


Tangentes. Hallemos Dxy Sé tiene:

Dty = 3 a sen í *eos t Dtx = ~3acos2 1 *sent =>

~ 3asen2t-c o s í sent , . Dxy = -----------=---------- = --------r = -tgt ~3acos t-sent eost

Concluimos que existen tangentes únicas en V i, tal que Dtx * 0 , es decir: -3 a co s2 tsenf *0<*>cosí -sent * 0 <— > t *

0

,

2n .

No existen tangentes únicas en los puntos-aguja, es decir en aquellos valores de í tales que: Dtx = 0

a

Dty = 0 que viene a ser: t = 0, ^ , tc ,

> 2;r

Estos valores se obtienen así: De:

D¿y = 0

o

3asen t •cosí = 0 sen t = 0 <— > t = 0 , n , 2n

De

Dtx = 0

v

eos t = 0

v

t = -J, 4^

-3 a e o s 2 1 sent = 0 <— > cost = 0 <— > í = f ’ ¥

v

sent - 0 í = 0 ,« -,2 ff

No existen tangentes verticales ni horizontales. Puntos críticos: /)

De: Dxy = 0 obtenemos 3asen2f •eost = 0 =>

t= 0,

, 2^r

//) Valores de t en los cuales no existe Dxy , seobtiene de: Dtx = 0 o

-3 a -eos í-sen f = 0 t=0,

yn ,

, 2;r

///') MONOTONÍA: Intervalos sobre los cuales la curva es creciente o decreciente, te niendo en cuenta que y = f ( x ) .

Moisés Lázaro C. Hacer una tabla con los intervalos que definen los puntos críticos. 0

t

< t < n ¡2

7112 < t < 7 l

71 < t < 37T/2 -a
X

0exea

-a < x < 0

V

0
0< y< a y'

-a < =

y< 0

?>7z¡ 2 < t < 2 7 i

0< x

< a

-a < y < a

-tg í l v

y '> 0 Creciente

o

yr> 0 Decreciente

^

i/

V

Decreciente

y'

>

0

Creciente

1 3a eos4rt.sent

^

y"

tt”

y

>

0

Cóncava h a c i a arriba

Existe mínimo en

y”

>

0

Cóncava hacia arriba

y"

<

0

Cóncava hacia abajo

t = 0 El mínimo está en (a,0)

Existe máximo en t = n!2

El máximo está en (0,a)

Existe mínimo en

t-n

El mínimo esta en (-a,0)

Existe mínimo en

t = 3zr/2 El mínimo esta en (0,-a)

4. Puntos múltiples: / 5. Extensión y zonificación. a) Recorrido de x: Se sabe:

-1 < eos t < 1

Al cubo:

-1 < eos3 1 < 1

Por

-a < acos3 t < a , a > 0

:

-a < x < a b) Recorrido de Y: De:

-1 < sent < 1, se obtiene: -a < y < a

c)

Asíntotas:

y" < 0 Cóncava hacia abajo

________ CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS

6.

Tabulación: t

0

7t¡ 4

ti! 2

X

a

a j2

0

3 W 4

aV2

a

0

a>/2 4

4

7. El gráfico es: (0.a)

;a.O)

(0,-a)

Ejemplo 2. x= Graficar la curva

C:

t +1

y = t2

Discusión de la gráfica de C.

-a

4

4

y

71

t e [-1 ,1 ]

0


E xte n sió n y zo n iflcació n :

a)

Recorrido de y. Se parte de: t2 > 0

A

V

f e [ - 1 ,1 ]

y>0

a -1 < t < 1

[- 1 - t

V - 1 < £ < 1] ltl< l

y=1

v t2 < 1

y>0

a

[y = l

v y < 1]

0
b) Recorrido de x. Nota: x =1+

t +1 Se tiene: x = í - l

A

—1 <

í

<

Como:

1

-1 < t < 1 -2 < £- 1 < 0 por 2 2

-oo

Si: t —> 1

=>

lim t->r

=

a) c) Cuando t -* 1 ocurre

4.

r

b)

0 > 1 + j ^ y sumar 1

= - ° c-

lim x = -a t-»r

entonces

y=1

es

asíntota vertical

lim y = 1

T ab u la ció n :

-i

-1 /2

0

1/3

1/2

X

0

-i/3

-1

-2

-3

y

i

1/4

0

1/9

1/4

-1 < Í< 1

5.

t —1

x =0

Si: t = -1

P u n tos crítico s:

Hallar ^

y analizar:

T -»r X -> -00 y -> i


y es cree. c/y _ dt dx

ÉL dt

y' > 0

- t( t- l) 2 > 0

2t

-2

í <0

(t-ir

y es cree.

y' > 0

t >0

dx = ( t _ - l ) ( l ) - ( t + l ) ( l ) = _ ^ ^

(t-1 )2

( t -1 )

b) Análisis:

i) $ = 0

=> - í ( f - l ) 2 =0

=>

t=0

v

Í = U [-1,1 [

ii) Valores de t en los cuales $ se obtienen igualando a cero el denominador de

^ (t-lf

así obtenemos t = 1 es decir /

dx

en í = l . Pero t = 1 &[ - 1 , 1[

Solución común de Dtx = D¿y = 0 es t = 0 (pto. singular). Además í = -1 e [ - 1 , 1[ luego: son puntos críticos: t = - 1 ,0 iii)

Monotonía (intervalos sobre los cuales la curva es creciente o decreciente), ver el siguiente cuadro: t =-l ............. %}.... t X y y'

t =0

t=1

v MIN

............ — ...... 1<¿<0

—......... 0 < í <1

-1 < x < 0

-OO < X < - 1

0 < y <1

0
y' > 0

y'< 0

Creciente

Decreciente

i

Moisés Lázaro C. El mínimo esta en (-1 , 0) cuando t = 0

t

\

x (0) y (0)

El mínimo es y(0) = 0 .

Ejemplo 3. x= Discutir la gráfica de la curva C : <

t +2 (t- l) (t + l) t-5 (t

—3) (í —1)

Solución: Como x(t) y y(í) son funciones racionales, analizar en t = -1 ,1,3 valores donde no están definidas x(t) y y(t). 1) El dominio de /(£) = (x(t), y(t)) es Df n D g = ( « - { l , - l } ) n ( « - { 3 , - 1 } ) = « -{-1 ,1 ,3 } 2) Hallar el recorrido de “x” e M y”: analizar límites laterales en t = -1,1,3

a i^ í+ i> o

\ y=- f

esÁ^TOTÁHóirazca^rAL.


lim x = t->- r t<-1 a2 ' ] t +1
(-2 )(-0 )

= +oo

y=

es A.H.

lim y = t-» -r b)

En t = 1 Nota:

Si

x(t)

e

y(t)

tiende

a

+ oo cuando t - + 10 inves

,5 ? . X = W Í2 Í = -KO

tigar si y = ax + b es asínto

Í>1

ta oblicua, donde a y b se obtiene así:

í-l>0

t1™ + = F 2 f e ) = ^ °

a = lim —

b = lim (y - ax)

a

En el ejemplo tenemos:

bo :

--- = —x

lim x = t->r t< i

(t * ° _

5) (t + 1)

(f —3) (t —2)

lim y = ■ í-> r Luego: y = 4-x +

3

c)

6

es asíntota oblicua.

En t = 3 . ^ + = ( 2 ^ =1

Q

X

= t es ASÍNTOTA VERTICAL.

x

= 4 es ASÍNTOTA VERTICAL.

Í^ + = (T Ü H 2 ) = - 00

lim x = t->3~

(2)(4)

-2 lim y = - - 0)(2)

t -> 3_

= +oo

Moisés Lázaro C. ------------------------------------------------------------------

© 3)

Monotonía: Hallemos: ^ Wr di

»

dy dx

(t

y

+ 4 t + 1)

dy

w

( í 2 - 1)2

- (t

<*

Dtt. (f2D,x

para luego analizar:

lOi

- l Qt + 1 7 )

(t-3)2(f-l)2

+17)(t +1)2

( t - 3 ) 2 (t2 + 4 t + l

a:) De 4r = 0 obtenemos: t2 + 4 í + l = 0 (tangentes verticales) —4 ± n/16 —4(1)(1)

2 ( 1)

í = 3,7 ->(-0.13,-0.27)

t = -0,3 ->(-1.8,1,2) b2) De 4 f = 0 obtenemos: í2 -1 0 í + 17 = 0 (tangentes horizontales) _ 1 0 ± V 1 0 0 -4 ( 1 ) ( 1 7 ) 1 ~

2 ( 1)

4 _1014^2 1" 2

4)

Intervalos donde la curva es creciente o decreciente, a)

La curva es creciente si Dx y > 0, ( i 2 - 10¿ + 1 7 ) ( t + 1 )2 ^ Q ( f - 3 ) 2 (t2 + 4 f + 1)

t2- 10t. +1I > 0 t + 4 í+ l (t — 7 .8 ) (t — 2.2) „

n

(í + 3 .7 ) (í + 0.3)

u

í e <-oo,-3 ,7 ) u ( - 0.3,2.2) u <7.8 + oo)


b) La curva es decreciente si Dx y < 0 =>

t e (-3 .7 ,-0 .3 )u (2 .2 ,7 .8 )

5) Tabla de variación: En esta tabla de variación se hacen tres filas para t, x, y. Se llevan los valores i tables de x e y, y los límites de los extremos de los intervalos de í. Indicar con úna flecha hacia arriba si la curva es creciente y con una flecha hádi abajo si la curva es decreciente.

tm -oc < í < 3 . 7

t «-----------

2.2

-1 3- 7 < í < - 1

- 1 < t < 2. 2

0------------p-------

2 -2 < t < 3

3 < t < x

0-------------

X

y

6)

Tabulando algunos valores de t se obtiene el siguiente gráfico.

Moisés Lázaro C. Ejemplo 4. x =Construir la curva C : r

y = -h . Discusión de la gráfica de C. 1.

El dominio de f(t) = (x (í), y(£)) es la intersección de los dominios de x(£) y y(t). El dominio de x(f) es t e R - {-1 ,1 } El dominio de y(t) es t e f? - { 1 }

Luego, 2.

D.x n y

Recorrido de x{t) y de y(t). Como x(t) y y (t) son funciones racionales entonces el recorrido de x(t) y de y(í) se halla analizando los límites laterales en t = - 1 y í = l . Veamos: a) Límites laterales en t = -1 ax) Límites a la derecha de t = -1 en x(f) y en y (í): t lim x(£) = lim + (£-!)(£ + !) £->-r t->-1 £>-1

i = +Q0 (-2)(+0)

lim y(f) = lim -¿ y = =-A t-y-l* t > -lf 1 _1 1 ¿ De este resultado se deduce que

es asíntota horizontal.

a2) Límites a la izquierda de t = -1 en x(t) y en y(¿) : lim _ x (í)- lim_ (í_ 1)1{í + 1) - (-2)1-0) £->-! t-+-i £<-1

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS___________________.

lirn y(t) = lim ^

*->-r

£->- r t<-i

.

= —1— = - 1

1 1 1

z

De este resultado se deduce que y = —| es asíntota horizontal. b)

limites laterales en t = 1

b j Límite a la derecha de t = 1 en x(f) y en y (f): íüm+x(0 = ílim+(Ir i ^ = ( T ¿ ( 2 ) = +00 £>1

lim

,2 lim-4-y = -^ = +

y ( f ) =

t-s-r

go

+u

£>1

Si x(í) tiende a

y y{t) tiende a

+oo

+oo,

entonces analicemos que y = ax + b

es asíntota oblicua.

Hallemos a y b: a - lim ^77Y= lim t(t + l) = 2 í _ , i*(t) í _> i v b = lim [ y ( t ) - a x ( t ) ] = lim £->1

£2 - 2 t-1

Por lo tanto:

£

£2 - 1

y = 2x + f

= lim £— »1 es asíntota oblicua:

b2) Límites a la izquierda de t = 1 en x(f) y en y (f): lim x(t) = lim (£-!)(£ + !) —(-0)1(2) = —00 1 t-+ Y

£-»

t< 1

Moisés Lázaro C.

< s> lim y (£ ) =

t -» i

lim j ^

t->v í
= - L = -o o

De manera similar, si

lim x(f) = - o o f-»r

y

lim

y (t)

= - o o , afirmamos que

y = 2x + j es asíntota oblicua.

t— >+00

t— »+00

lim x (t ) = lim — r¡r— = 0 , entonces x = 0 es asíntota vertical. t

3.

+C0

t -> +G0 t

- 1

Tangentes: a)

Tangentes horizontales Las tangentes horizontales se obtiene resolviendo la ecuación Dt y = 0.

Resolver la ecuación: =>

í =0 I v (0,0)

11 - 2 (§ .* )

En (0,0) y en ( § .4 J existen tangentes horizontales.

NOTA:

b)

En las tangentes horizontales se encuentran los extremos de la curva (máximos y mínimos) considerando y = /M

Tangentes verticales Las tangentes verticales se obtienen resolviendo la ecuación Dt x = 0.

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMÉTRICAS 0 Veamos: Como:

x=

t2 - 1

, entonces

(t2~if

(t-ir

Resolver la ecuación: —^ K

c)

}

= 0 => £2 +1 = 0 En esta ecuación no existen soluciones reales. Lo cual nos indica que no existen tangentes verticales.

Valores de t en los cuales existen "puntas”. (Puntos en los cuales existen más de una recta tangente) En las soluciones comunes de las ecuaciones Dt x = 0

a

Dt y = 0 existen

“puntas” . En el problema, las ecuaciones:

No tienen soluciones comunes, por tanto la curva no tiene puntas. Es decir la curva 6 es derivable en todo x e JR , al considerarse y = / (x ). Geométricamente significa que en cada punto de la curva se puede trazar una y sólo una recta tangente. 4.

Puntos críticos y monotonía: a)

Son puntos críticos los t e D xny tales que: Dt y = 0, Dt x = 0 y los valores en t en los cuales no está definido x(t) , y (t) . En el problema los puntos críticos son: t = -1,0,1,2

b)

Monotonía:

Hallemos

Dx y =

Moisés Lázaro C.

Dx y = J fT í (r+D i»2~i)2 Ahora analicemos en

t(t-2)(t + l f

Dx y :

t2 + l

bj) Puntos singulares: Al resolver Dyy = 0 obtenemos

t=0

í = -2

(0 , 0)

Los valores y = 0 ,

y -

4

( Í 4)

son extremos de la curva (considerada y = / (x ))

b2) La curva C es creciente en los valores de i e D xr,y tales que: Dx y > 0 t ( t - 2 ) ( t + l)2

t2 +1

■>0

0
5.

Tabla. -c o c t e l _ 1 -1 < í < 0 t < --------------------- c Decrec. X

Decrec.

< X < 0

- o o < y < - l

^

0
-7
1

0<Í<1

l
2 < t <00

>---------------------------
\

\ -oo

y

^

[o]

-0 0 < y < 0

■|< x

< 00

4 < y < 00

\

\

/

/ - o o < x < 0

Decrec.

0 < x < -|

5 < y < 00

^

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS___________________

Dados algunos valores de í, se obtiene el siguiente gráfico.

Problemas propuestos Cap. 2 Graficar cada una de las siguientes curvas cuyas ecuaciones paramétricas se dan. Dis cutir la gráfica y analizar su monotonía.

x = 3t - t

®

t e í?

y = 312

e

3í - r X = ■

3

©

e:

©

e

o

n

y = 2a *cos t + a-senf t e [0 , 2;r] , a > 0

t € í?

®

e

y=r X

x = a •cos í

- eos £

y = eos2 1 •sent

©

e

x = tó - 3 t y = 3 í2 c+ l í-1

t e IR

Moisés Lázaro C.

e

x = t¿ - 1

e:

x = a cosí + Ln( tan|-) J

t eIR

y = í3 - 1

y = t3 - 3 1

y = a •sent te[0 ,n ]

.

x = t+r

,

a>0

x = r -t y = t3 - 3 t

t_

i +í4

x = r - 2 í

y = t3 -1 2 t

X =

(t +2)¿ í +1 (t- 2 )2

y = í-1

X =

(1 + 2 t f (3 - 2t) (1 - 2t)

_ (1 + 2t) 2 (3 -2 t )

y=

x=

t2 + t+i

y = -^ +2 t2 - í 4- 3

x =e y = te*

x = tz - 4 y =i

2

o x = cos £+ Lnsen£

X =

y = sení .cosí

y = |t-2|

x = tgí

x = sec <9

_

2í

l y = sen t

y = eos (9

x = eos 2 £

x = 3 . eos 9

y = sen 2£ - sen £

y = 3 .sen#

x = cos4f + 4cosí

x = 4 *sen2#

y = sen3£

y = 2 •eos 2 9

x = 3. eos 9 y = 4.sen#

x = 4.sec<9

0<9<2n

y = 3.tg#

x =í

x = e -í

y = 1 - 12

y = e',31

x = ^ft

x = e 2í

y = 1 - t

y=e

x = t3

x = eos 9 y = 2 *eos 0 + 1

x = ^/f y=l-t

©

x = l +i y = £ -1

3 t

x = 2 í-;r.se n t y = 2 - ; r .cost

x =i +t3 y=

3t2 1 + t3

Moisés Lázaro C. 12. IMPORTANCIA DE LOS CAMINOS

(ECUACIONES VECTORIALES DE LAS CURVAS)

1. Los caminos a(t) = (x(t), y ( í ) ) , t e [a, J3] sirven para calcular integrales de línea.

2. Sea a ( t ) , í e [ar,/?] una curva cerrada, regular con sentido antihorario. Si a(t) es la frontera de una región

D c í ? 2,

entonces

se puede hallar el área de la región D tan solo integran do el camino a(t) desde a hasta /? (esto es el famoso teorema de Green).

3. En el curso de Análisis Complejo, las integrales de las funciones de variable com pleja se hacen mediante caminos continuos y regulares.

4. En topología, hay un tema muy especial conocido con el nombre de h o m o t o p i a c a m i n o s y son muy útiles para ciertos conceptos de matemática abstracta.

de

DERIVADAS PARCIALES Hagamos una comparación entre la derivada de una función con una variable con la derivada de otra función de dos variables. Sea la función:

Sea la función: / : D

/ : (a,b> ---- > R

(x,y)

-> IR2 , Dcz IR2 -> z = /(x,y)

x ---- > y = /(x)

La derivada de la función /(x) en x0 es la pendiente de la recta tangente <£ en el punto P(x0 ,/(x 0)). Es decir:

Como z = /(x,y) es una función que depende de dos variables (x, y ), en el gráfico se tiene: a) es recta tangente a la curva C\ en el punto P(x0,y0,/(x 0,y0)), donde la derivada parcial de / respecto a x, en el punto (x0,y0) e D es la pendientede jt4. ( Xq, yp ) = Pendiente de «£}

/ ' (x0) = pendiente de iu I-----------d e r i v a d a d e / e n x 0 .

I-------- d e r iv a r a p a r c ia l d e / c o n resp ecto a x , en (x 0 , y0 ) -

b) L2 es recta tangente a la curva C2 en el punto P(x 0,y0,/(x 0,y0)) donde la derivada parcial de / respecto a y, en el punto (x0,yo) e D es la pendiente de (xo,yo) = Pendiente de £ 2 I

derivara parcial de / con respecto a y, en ( x 0 , y o )


DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN QUE DEPENDE DE DOS VARIABLES

Sea D una región (subconjunto de IR¿ ). Diremos que / es una función definido en D y con valores en JR si para cada ( x , y) e D corresponde un único número z e IR, tal que

z = f( x ,y ).

N otación:

/: D (x,y)

S e a la función:

>

IR

f:D<=R2

,D c

» z = /(x,y)

z

—

R

definida por:

/(x,y) = V4 - x 2 - y 2

IR 2

D = ¡ (x,y)/x2 + y2 < 4¡

£s /a superficie z - V4 - x2 - y2

El gráfico de la función f e s el conjunto: Gr(f) = {((x,y),z/z = /(x ,y ), (x,y) e D } Gráficamente, /(x,y) es una superficie en f?

o

.

2. DERIVADA PARCIAL D E/RESPECTO A “x ” y RESPECTO A “y” a) Definición: S ea/una función de dos variables x? y. La derivada parcial d e / con respecto a x es aquella función, denotada por

(x,y), tal que su valor en cual

quier punto (x, y) € D está dado por: f¿(x ,y ) = lim ^LÍ..L¿’IzlÍ£:M ? Siempre que existe este límite. En este caso: h = Ax = x - x 0 b) La derivada parcial de/ c o n respecto a E^-(x,y) = lim ■-■■■-— cy

y

es aquella función, denotada por:

— , Siempre que existe este límite. En este caso: /c = Ay = y - y 0

El proceso de hallar una derivada parcial se llama DIFERENCIACIÓN. Notación: a) La derivada parcial de /(x,y) respecto a “x” se denotan por:

, D^f , fx .

b) La derivada parcial de /(x,y) respecto a “y” se denotan por:

, D2/ , /v .

DERIVADAS PARCIALES

NOTA:

Cuando se aplican las reglas de derivación tener en cuenta la siguiente recomendación: a) En el proceso de hallar

, “y” es constante.

b) En el proceso de hallar

, “x” es constante.

Ejemplo 1. Dada /(x ,y ) = 5x 2 - 3xy + y2 , Obtenemos:

a)

b)

= lOx - 3y (1) + 0 = lOx - 3y

f ¿

= 0 - 3 x ( l ) + 2y = - 3 x + 2y

Ejemplo 2. Dado la función t/(x,y) = 20x + 40y - 2 x 2 - 3y 2 y la ecuación 28 = 4x + 5y , defini mos una nueva función con 3 variables del siguiente modo: U * (x,y,2) = 20x + 40y - 2 x 2 - 3y 2 + 2(28 - 4x - 5 y ) ......... Obtenemos: a) ^

= 20 + 0 - 4x - 0 +

Á0( - 4 - 0) = 20 - 4x - 42

b) ^ l = 0 + 4 0 - 0 - 6 y + 2 ( 0 - 0 - 5 ) = 4 0 - 6 y - 5 / l

c)

= 0 + 0 - 0 - 0 + (28 - 4x - 5y) = 28 - 4x - 5y

Moisés Lázaro C. — ©> 3.

DERIVADAS PARCIALES APLICADAS A LA MICROECONOMIA (MULTIPLICADORES DE LAGRANGE)

1) Demanda de los bienes de consumo: Supongamos que: a) U = fJ(x,y) sea la función utilidad (el gusto, la preferencia) de un consumidor donde x, y son , respectivamente, las cantidades de los bienes X, Y. b) M ^ xPx + yPy sea la recta PRESUPUESTO (o ingreso) del consumidor, donde Px , Py son respectivamente, los precios de mercado de los bienes, X, Y. El punto (x0 ,y0) que hace máximo a la función utilidad U(x,y) bajo la RES TRICCIÓN del presupuesto M = x *Px + yPy , se halla del siguiente modo:

Io Se forma la función de LAGRANGE: U * U(x, y) + A (M - x •Px - y •Py) 2° Se halla las 3 derivadas parciales: diP_d(¿_ <3x “

dx

dü* _ x

ay

“

dU ay

; p V

^d î = 1M1 - X ’ rPx - uy - P x 3o Se iguala a cero cada derivada parcial; obteniéndose un sistema de ecuacio nes con 3 incógnitas, que se reduce a 2 incógnitas: GU

- APX =0 x

=>

A = %Pv

™ - A P v =0

=>

cU A= $-

dx

sy M

y

- X

■

Px - y P y

=

pv

0

Que se reduce a resolver: M = x - P x + \)-Pv UMXp UMqy -

P,

du 6U Gx _ Gy = A Px py GU |1 Gx _ Px GU ~ pv Gy

DERIVADAS PARCIALES

A = Multiplicador de Lagrange (indica la utilidad margina! del ingreso gastado en el bien X )

— (J M g X

,

es ¡a utilidad marginal de x.

(cambio de la utilidad total debido a un cambio de x

Mg Y

,

es la utilidad marginaI de Y.

(cambio en la utilidad total debido a un cambio en yj

= U

— jjjv fg y “ T M q S y x

es la tasa margina! de sustitución y porx.

y

p

m = —t*- : pendiente de la recta presupuesto.

u(x,y) P

-m = y - = T MgSyX

(tasa marginal de susti tución en el mercado).

• py

Ejemplo 1. La función utilidad de un ama de casa A es U(x, y) = 20x + 40y - 2x 2 - 3y2 , donde x e y son respectivamente las cantidades que se compran los bienes X (papa) y Y (camo te). Supóngase que el ingreso monetario de A es $ 28 y que los precios de X e Y son respectivamente $4, $5. Determine las cantidades de X e Y que maximice la función utilidad, considerando la restricción presupuestal. Solución: La recta presupuesto es: 28 = 4x + 5y Io La función de Lagrange es: U =20x + 40y - 2x 2 - 3y 2 + 4(28 - 4x - 5y)

Moisés Lázaro C.

2° De:

U = 20x + 4 0 y - 2 x 2 - 3 y 2

-> fdx ¿ = 2 0 -4 x SU.

8\> = 40 - 6 y

M = x - P x + y-P „ 3° Resolver el sistema:

UMgx p UMgV “ P,

28 = 4x + 5y

5(20 - 4 x ) = 4(40 - 6 y)

20 - 4 x _ 4 40 - 6y ~ 5

5 x -6 y + 15 = 0

por 6 J 28 = 4x + 5y por 5 L 15 = 5x - 6 y J 168 = 24x + 30y 1 —75 = 2 5 x -3 0 y 93 = 49 x , x -=9■ 3^2 49 y - 2200 gQ. ~ 4

El nivel de utilidad máximo del ama de casa será: £7(2,4) = 20(2) + 40(4) - 2(2)z - 3(4)z = 144

49

2.

Demanda de los factores de producción CASO /

Maximización de la Producción

Supongamos que: a) X = /(K>L) sea la función de PRODUCCION, y b) C ~ r K + wL sea la función COSTO, en donde K, L son las cantidades de in sumo de los factores de producción K y L , y r, w son los costos respectivos de los factores (ya sean salarios o rentas). Luego la función de Lagrange, en el cual, encontramos el punto {K0,Lq) que haga MÁXIMO LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN X , sujeto a la función C, será:

___________________________ DERIVADAS PARCIALES < 5> I o

F { K , L , A ) = f ( K , L ) + A { c - r K - wL)

2° Las 3 derivadas parciales son:

dK

dK

dF _

df

A

•Á W

dL ~ dL

dF_ dÁ

=c-rK -w L

3o Resolver el sistema:

=°

~r ~ Aw dL

=0

*1 II

ÉL A= —

c-rK -w L = 0

w

^

df

£J_

dK y a — — r

dL

i

J

df dK df dL

w

_

r_

w

Donde: lL

= p Mg K , es el producto marginal de K.

j L = PMg L , es el producto marginal de L.

4o Se reduce a resolver el sistema:

™ ~gK _ PMgL

r w

c = r K + wL para hallar el par (K0,Lq) que haga máximo a la función producción X = /(K ,L) Ejemplo 2. La función de producción de la empresa A es X = 26 k + 151 + 2 k l - 2k2

2 A2 en

donde /c, l son las cantidades de insumos de los factores de producción K y JL Supón gase que los salarios para K y JLson respectivamente $2 y $3 , y que la empresa pue de gastar únicamente $ 50 en estos insumos. Encuentre la producción máxima (se uti liza la misma unidad de medida para X, que para el costo de producción).

Moisés Lázaro C < §> Solución: La función COSTO es: 50

2k + 3 i

=

Io La función de LAGRANGE es: F(k, i,A) =26Je+ 151+ 2 kf - 21c2 - 12 + 4(50 - 2k - 2l)

2o De:

X = f(k,l) = 26k + 15e + 2kl - 2

- 1¿

# = 26 + 2 7 - 4 k cK # = 15 + 2 k -2 7 C£

3o Resolver el sistema: PM gK

_

Q

r

PMgL~

c = rK + wL

w ^

26 + 2 P - 4 J c _ 2 Z

=>

15 + 2 í c - 2 f ~ 3

50 = 2 k + 3 7

48 = 16k-10r 50 = 2k + 3( p or3

J 24 = Sk - 5f

por 5

[ 50 = 2k + 3e [

72 = 24k -1 5 f

|250 = 10k + 15f’ 322 = 34k

=>

k - 161 TT I - 176 17

La producción máxima será: x = / ( M m ) = 26( m ) t i 5 ( m ) + . . . _ ( m ) 2 =3ii

DERIVADAS PARCIALES

CASO II M inimización del Cosío de Producción

Supongamos que deseamos MINIMIZAR EL COSTO DE PRODUCCION\ sujeto a

K

las posibilidades de producción, para ello debemos tener en cuenta dos fun ciones: a) La curva de ISOCOSTO

C ~ r k

+ wL

para una empresa (fabricante) que utili za dos factores de producción: K (capi tal o renta) y JL (trabajo o mano de obra), donde r es la tasa de capital, w es tasa de salario. b) La función de PRODUCCION (isocuanto) de un producto es Q = f ( L , K ) . Luego, la función de LAGRANGE en el cual encontramos el punto (Lq,K0) que haga MINIMO EL COSTO TOTAL para obtener cierta producción Q0 , será: I o F { L K , A ) = r K + w L + A{ Q0 - f { L K ) )

A = multiplicador de Lagrange (es el costo marginal de producción cuando el c o sto total del productor se minimiza, es decir: A =

dQ0

2o Las derivadas parciales son: dF dK

Á dK

dF

* df

o L = w ~ Áé r | 5 = Qo -/( C K )

r ~ Áí k =0 3o Al resolver el sistema: <

w -A {[ = 0 A o-f(L,K) = 0

£1 ; _

r

_

w

í l ~ LL 6k

cL

w df_

dk

r

Moisés Lázaro C.

4o Se reduce a resolver el sistema: PMg L = ÉL dL

Q0 = /(L ,K ) Donde PMgL L PMgK

ÉL

PMgK = dK

: Producto marginal de L

: Producto marginal de K

~~ pfiig'R = cíT = ^ T $ k l : Tasa técnica de sustitución K por L

PENDIENTEDELARECTAISOCOSTO

NOTA:

wL+ rK = C , es m - - 1f Si L es el eje horizontal entonces

K es el eje vertical

PENDIENTEDELARECTATANGENTEA LACURVAISOCUANTAf(K,L) , es: dK _ dL

Proposición:

df Jl

dj_ dK

La condición necesaria para que la recta c = wL + rK sea tangente a dK la curva/(K,L) es que: m = -jjÉL -ML = -É L -s r Él dK

w _ PMg L r PMg K

Ejemplo 3. La función de producción de un fabricante es Q(L,K) = 2L1/2K1/2 y los precios de L y K son 10 y 40 respectivamente. Hallar: a) La combinación de L y K para que el costo sea mínimo si se desea alcanzar el nivel de producción de 100 unidades. b) Su costo marginal de producción cuando se minimiza su función de costo total. Solución: La función de costo total es: Datos

<

C= 10 L + 40 K

_______________________________ DERIVADAS PARCIALES

1° La función de LAGRANGE será: F (L, K, X) - 10L + 40L + X (100 - 2L1/2K1/2) = 2K 1/2 k

2]

1/2 ir 1/2

2° De:

f(L,K) = 2L / K

= [ ? r

3° Resolver el sistema: Q0 = f ( L , K )

=>

¿1

j J _ 10 40

PMgLL_w PMgK r

(2) en (1):

( 1)

100 = 2 ¡},2Km

100 = 2 [4 K ]1/2K 1/2

^

K _1 L _ 4

=>

L = 4K

=>

K = 25

2

( )

L = 100

Luego: a) El nivel de costo mínimo será: C(100,25) = 10(100)+ 40(25) = 2,000 b) El costo marginal de producción cuando se minimiza el costo total es: 2 — J L. —

40

_ o a _ _w_ _

1 L~ í loo \^2 ” dK

\ 25 )

SL [

10 ioo

Otra forma de hallar A : A =

= -° / + ’ 40c/K = iO(c/L-4 ciK¡ = 2Q ¿Qo

Donde: de = ~dL ■dL + ^ dK ‘ dK = 10 •dL + 40 •dK

j

±dL + 2 d K

I(d L + 4-dK)

, ^ 2 »_________________________________ Moisés Lázaro C

df = d<30 = | i -d L + | i - d K

-[#r -m » ]* * j-d L + 2 -d K

PROBLEMAS Del (1) al (4), se dan: la función de utilidad del consumidor, los precios de los bienes y el ingreso del consumidor. Hallar las cantidades de los bienes que maximicen su utili dad: 1.

U fa i, q2) = Q1 Q2 > pi = 4 > P2 = 5 , M = 120

2.

U(x, y) = 20x 4- 40y - 2 x2 - 3y2 , Px = 4 , Py = 5 ,M = 28.

3.

U(x,y) = 2Lnx + Lny , Px = 2 , Py = 4 , I0 = 36

4.

U(x,y) = xy + j|^Lnx + Lny , Px = 3 , Py = 4 , I0 = 100 R: x = 20 , y = 10

R: q1 = 20 , q2 = 8

R: x = 12 , y = 3

5. La producción X = f(L ,K ) , como la producción de los insumos L y IK está dado por f(L,K) = í3 + 5LK - 4 K2 Supóngase que los precios para L y Kson, respecti vamente, 2 y 3; y que el costo total sea 74. Hallar las cantidades L, K que maximice la producción

6 . La función de producción de un fabricante es: Q = f(L,K)

R: L = 31 , k = 4 =

271/3K^3 y los pre

cios de L y K son 4 y 27 , respectivamente. Hallar:

a) La combinación de L y K para que el costo sea mínimo, si el nivel de producción es 324 unidades. b)

El costo marginal de producción cuando se minimice su función de costo total. R sL = 2 7 , K = 8 , A = l

DERIVADAS PARCIALES

En los siguientes problemas aplicar la CONDICIÓN DE SEGUNDO ORDEN para confia mar la existencia de la máxima utilidad en un punto crítico. Para ello definimos el HESSIANO ORLADO. Dada la función utilidad U = U (x,y), (Ux , Uy > 0) sujeto a xPx + yPy = B , el hessiano orlado se define por la siguiente determinante.

Proposición:

(condición de segundo orden) Si (x , y ) es punto crítico de la función Lagrangiana y |H| > 0 en (3c, y ) , entonces U (3c, y ) es máximo.

Problemas: (?) Dada: ü ••=(x + 2) (y +1) y Px = 6 , Pv = 4 , B = 112 : a) Escribir la función logarítmica. b) Hallar los niveles óptimos de compras de (3c, y) . c) ¿Se cumple la condición de segundo orden para máximo? @

Dada:

U = {x + l ) ( y - 2 ) y Px = 3 , Py = 4 , B = 13

a) Escribir la función lagrangiana. b) Hallar los niveles óptimos de compras 3c, y . c) ¿Se cumple la condición de segundo orden para máximos? ( 3 ) Dada la función utilidad U (x,y) = xy y Px = 2

, Py

=3

, B = 36 .

Hallar los niveles óptimos de compras del consumidor. (4) Supongamos que la función utilidad de un consumidor es U(x,y) = 2(Lnx + Lny) y la restricción presupuestaria es 3x + 2y = 18 . Hallar los niveles óptimos de com pra del consumidor tal que maximice su utilidad.

Moisés Lázaro C.

< §> Sea: U(x,y) = 2x

p

y la función utilidad de un consumidor y su restricción presu

puestaria es x + 2y = 6 . Hallar los niveles óptimos de compra del consumidor tal que maximice su utilidad.

en cada una de las siguientes funciones:

a)

/(x ,y ) = x2 + ( y - l ) 2

j)

/(x ,y ) = x2 - 3 x y - y 2 - 2 y - 6 x

t>) /(x ,y ) = y2 - 2 x 2y + 3x4

k) / (x, y) = 4 x 3 - 2x2y + y2

c) /(x ,y ) = x 2y2 - y 3 - x 3 +xy

0

d) / (x, y) = x2y3 (6 - x - y)

m) /(x ,y ) = 5 + 4 x - 2 x 2 + 3 y - y 2

e) / (x, y) = x3 - y3 - 3xy

n) /(x ,y ) = x4 + y 3 + 3 2 x -9 y

/(x,y) = x2 + 4 y 2 - x + 2y

f) / (x, y) = 3x4 + y2 - 4 x 2y g) /(x ,y ) = y4 - x 3 + x 2 x 2 + y2 + 1

h) /(x,y) = (3 -x )(3 -y )(x + y -3 ) i)

/ (x, y)x2 + 2x y + 3y2

q) / ( x , y ) = (x2 + 3 y 2 ) e _x2_y2

Criterio para máximos y mínimos: Si /(x,y) es una función de dos variables que tiene segundas derivadas parciales continuas en una región rectangular D c f ? 2 y sea: g(x,y) = / xx(x ,y )/yi,( x ,y ) - [ /xy(x,y)]2 para todo (x,y) en D. Si (a,b) está en D = dominio d e /y además. f x (a,b) = 0 entonces: f y (a,b) = 0

’

/)

/ (a, b) es un máximo local de / si g (a, b) > 0 y

/)

/ (a.b) es un mínimo local de / si g (a, b) > 0 y /xx (a, b) > 0

(a, b) < 0

w) /(a,b) no es un valor extremo de / si g(a,b) < 0 . Con este criterio, halle los máximos y mínimos de la función /(x ,y ), si existen; en cada una de las funciones del problema anterior.

C A P Í T U

L O

4

DERIVACIÓN IMPLÍCITA 0.

INTRODUCCIÓN

Hasta el momento, hemos derivado funciones “explícitas” donde la variable dependien te “y” está expresado en términos de la variable independiente “x” es decir y = f ( x ) , en el que /(x ) está dado por una fórmula (regla de correspondencia de la función). Por ejemplo:

y = ^ 4 -x 2 O y = x s e n (l-x ) y = e x (x - L n 2 ( l - x 2 ) ) , .......................................

Esta vez, hallaremos la ^

etc.

en las ecuaciones donde la variable dependiente “y” no

está “despejado, es decir “y” no está expresado en términos de “X” . Por ejemplo:

x 2 - 4y = 0 x 2 -x ^ /x y = 2y2 +6 __y

Lnx + e x - c 1. DEFINICIÓN

Si tenemos una ecuación de la forma F(x,y) = 0, con y = f(x), en el cual la variable dependiente “y” no está “despejado” en términos de “x” entonces “y se llama función implícita de x” .

En el ejemplo anterior tenemos:

F (x , y ) = x - 4y F(x,y) = x 2 -x^/xy - 2 y 2 - 6 _y_

F(x,y) = Lnx + e x - c 2. DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Dado la ecuación en dos variables F(x,y) = 0,

con y = f ( x ) , necesitamos algún procedimiento para hallar

, sin tener necesidad de

despejar “y“ en términos de “x” . Existen dos procedimientos para hallar la ^ ecuación F(x,y) = 0, con y = / ( x ) .

— 165 —

en una

2.1. PROBLEMAS 1.

En la ecuación x3 + y3 - 3axy = 0, donde y = / (x ), hallar -~

Solución: 1er M étodo

2do Método:

1) Aplicar el operador ^ en

1) Como F(x,y) = x3 +y3 -3 a x y

ambos miembros:

^ :(x3+j>3-3axy) = -^(0) £ ( x 3) + ^ ( y 3) - £ ( 3 a x y ) = 0 3x2^

obtenemos: = 3x2 + 0 - 3a y = 3x2 - 3a y — = 0 + 3y2 - 3a x = 3y2 - 3a x

2^ - 3 a ^ {x,) = Q

3x2 l + 3y2 ^ - 3 a ( x . | f + ^ ) = 0 3x2+3»z T ¿ - 3a( x - ^ + y-1) =0

2) Fórmula: d y _

dF dx ^

3x2 + 3y2 g 7 - 3 a x ~ -3 a y = 0 2) Despejar

£ [ 3 y 2-3ox] = 3ay-3x2 d y __ 3 a y - 3 x 2 3 y 2 - 3a x dy _ a y - x 2 “

y 2 -~a x

_

3 x 2 - 3 q y _ a y - x2 3y2 - 3 a x

y2 - a x

DERIVACION IMPLICITA ~ ® 2. En la ecuación x = ^/y + \[y , donde y = f ( x ) , hallar Solución: 1er Método:

2do Método:

i)

1) De: F(x,y) = obtenemos:

£ u > » * < v 6 ) +* ( 3 v&> 1 = l y-l/2 .d y + 1 - 2 / 3 dx

1 - dv 1 j,-V 2 + 1 v-?Í3 dx

. dy d x

!d^x = 0 + 0 - l = - l SF= l y-V 2 + l y-? /3 _ 0 dy

6 = £ [ 3 i f ’ ' 2 +2iT2'2 ]

+ ^ /y - x

2y

_

^ 3 y

u

1

3 3^ /7 + 2 -y/y

6 ^ Vv2

dy

3y-V2+2y 2/3

dx

6 _ Vv '^ +3 p r 3 ^ + 2 ^ y[y34i?

V y ( 3 6Vy + 2 ) = 3 6y £ + 2

6 ^ 7

” «V 7 £F

2) Fórmula: ^d x

V¡7(3 V v + 2 ) dy _

dy _ _ V 2 _ dx 3 ^ +2

dx

-1

5x

~ IE : ay 6 3J 7

3^/y+ 2

3. En la ecuación: x 2/3 + y2/3 = a2/3, y = / (x ), a es constante. Hallar ^ . 1er Método:

2do Método:

1) ^ - ( x 2/ 3 + y 2/3 ) = ^d x( a 2/ 3 )

1) De F(x,y) = x 2/3+ y 2/3- a 2/3

| x ->/3+ | y-V 3 .S = 0 x -V 3+ y - V 3 . | i . 0

o\ d y _ d x "

obtenemos: |^ = f3 x - 1/ 3 + 0 - 0 = f3x - ■2/3 ax aF a» = 0 + f v"V3- 0 - | s > " 2/3

x "T W

- t é

2) Fórmula: d<*y x

2 ^-1/3

“x

__3

¿ d-V3

_ _3/ y

--------

Moisés Lázaro C.

4.

En la ecuación x 2 + a yfxy + y2 = b2 , y = / ( x ) ; a,b, son constantes. Hallar 2do Método:

1er Método Usaré y' en lugar de

De F(x,y) = x 2 + a-s/x y + y 2 - b 2

.

De x2 + a yjxy + y2 = b2 , se obtiene: 2x + a

*y

+y

2^xy

4

^- = 2 x + a —7 = + 0

dx

+ 2yy' = 0

2 yxy

dF dy

= 0 + a —4—•+ 2y - 0 2 Jxy 2x +

y =-

2y +

5. Dado: y'3

_

x+y

, y = / ( x ) . Hallar

- 0

ay

4 x
2 y/xy _

4 y ^ /x y + a x

2-y/xy

= y' 2** M étod o :

1 " M éto d o :

M Ü M IH De: F{x,y) = y3x + y4 - x + y

« j»4- !

11^9f Al derivan 3y2y'x + y3 •1 + 4y3y' = 1 - y'

Fórmula: y' = -----£

Despejar y': S i/x y ' + 4y3y '+ yr= 1 - y3 y'(3y2x + 4y3 + í) = l - y 3 3jF x + 4 jr* +1

6.

Dado: acos2(x + y) = b , y = / ( x ) ; a, b son constantes. Halle

.

1er Método: De: a •cos2(x + y) = b , al derivar:

2a •cos(x + y) •-~^[cos(x + y)] = 0 2a-cos(x + y)-[-sen (x + y ) ] ^ ( x + y) j = 0 -2a •cos(x + y) •sen(x + y) [1 + y'] = 0 => 1 + y' = 0

=>

y' = - l

= y'

DERIVACION IMPLICITA

(169)

2do Método: De:

n

F (x, y) = a •eos (x + y) - b , obtenemos: | j = a-2 *cos (x + y) [-sen (x + y)] [1 + 0 ] - 0

Fórmula:

= -2acos (x + y)sen (x + y)

y’ -

-|^ = a -2 co s(x + y)[-sen(x + y)] [0 +1] —0

-2cos ( x + y ). sen ( x + ¿ ) = ■2cos ( x + y ). sen ( x + V)

= -2aeos (x + y)*sen(x + y) En los ejercicios 7-11 hallar las derivadas de las funciones y = /(x ) dadas en forma implícita. 7.

y - 3y + 2ax = 0

10.

x 3 + ax2y + b xy2 + y3 = 0

Solución:

Solución:

3y2y '-3 y' + 2a(l) = 0

3 x 2 + a(2x •y + x 2 •y') + b(l * y2 + x •2yy')

y'(3y2 -3 ) = -2a

+ 3y 2y' = 0

- 2a

=> y = 3 y

-3

2a

3 x 2 + 2axy + ax2y' + by2 + 2xyy'

3(1-/)

+ 3y 2y/ = 0

8.

—^

y2 - 2 x y + b2 = 0

t _

- (3x2 + 2a x y + b y2 ) ax2+ 2xy + 3y2

Solución: 2y y' —2(1 •y + xyf) + 0 = 0 y y '- y - x y ' = 0 = > y ':

11.

y3 + 3 x 2y + x2 - 2 x y - 3 = 0 ; P(

Solución: y - x

3y 2y' + 3(2x •y + x 2y') + 2x

9.

-2(1 * y + x •y') - 0 = 0

x 4 + y4 = x 2y2

3y2y' + 6x •y + 3 x 2y' + 2x - 2y - 2 x j / = 0

Solución: 4 x 3 + 4y3y' = 2x *y2 + x 2 •2yy' 2x3 + 2y3y' = xy2 + x2yy' y'(2y3 - x 2y) = xy2 - 2x3 f / _ x y2 - 2 x3 _ x 2 y3 - x2 y

V

y2 - 2 x2

,22 y2

x;

Como en P ( l ,l) , x = 1, y = 1. Entone^ 3y' + 6 + 3y' + 2 - 2 - 2y' = 0 4y' + 6 = 0 =>

y' = - f

y, = - !

Moisés Lázaro C. En los ejercicios 12 - 20 hallar las derivadas de las funciones y = f(x) dadas en forma implícita: 12.

sen(xy) + cos{x y) = tg{x + y)

Solución:

■ti

cos(x y)[l-y + x-y']-sen(x y )[l-y + x*y ’] = sec2(x + y)[l + y'J y •cos(x y) + x y'cos(x y) - y •sen(x y) - x y'sen(x y) = sec2(x + y) + y'sec2(x + y) =>

y'[x •cos(x y) - x •sen(x y)-sec2(x + y)] = sec2(x + y) - y •cos{x y) + ysen(x y)

=>

y

me (x*y)~y.€os{xy)*fygen (xy) x c o $ (x y )~ x sím íx y )- sen2 { x + y )

13. 2X + 2 y = 2 X+V

14. 2y •Lny = x

Solución:

Solución: 2[y'-Lny + y . ¿ ] = l

=>

2X + 2y . y' = 2 x+y (1 + y') 2y' •Lny + 2y' = 1

=>

2 y . y' - 2 x + y . y' = 2 x+y - 2 X

=*

y' = [2y ~ 2 x+v] = 2 x+v - 2 X

y' [2 •Lny + 2] = 1

_2^ - 2X _ 2X[2y -1] _ 2x-y . 2t>-1 1 - 2X 2J'- 2 X+V 2y [1—2X1 15. x - y = are sen x -a rc sen y Solución: l-y ':

i

v'

y

i-

V i - x 2 - i _ y'(-\/1 —p2 - i )

1—x

V l-y 2 (J l-x 2 -i)

Vl^x2

l - y - 1j

2 (1 + L n y )


16. x y = y x

17.

Aplicar Ln en ambos miembros:

Solución:

Lnxy = Lnyx

= 1 + x •ex

y

y' = 0 + 1 •e y + x e yy '

y *Lnx + x *Lny , derivar: => y ' = e y + x e y •y'

=^> y' •Lnx + y . -L = 1. Lny + x •L=> y' [ l - x e y ] = e y = 1 - xev

y' L n x - —y = L n^y - — * x 1—[y -1] y ,[ L n * - f ] = Lny ~ ? 18.

f T y •Ln x - x 1 _ x * Lny-y

y L

y

—^

J * f _ y r x •Lny - y y ~~ ~

y .L n x -x

=> y = 2 - y

x *sen y - eos y + eos 2y = 0

Solución: 1 *sen y + x •(c o sy )y '-[-y 'se n y ] -2 y ' * sen2y = 0

ü = /H Ek 2 \ 1+ /c

19. tg

^9 2 * > ^ ~ constante

=> seny+ x y'cosy + y 'sen y-2y 'sen 2y => sen y = y '(-x •c o sy -se n y + 2sen2y

Solución: l y ’ -sec2 | =

V— i+fc

=> y = 2 sen 2 y -

•¿sec2 f

y' •sec2 | = 1— •sec2 -| V i+fc

pues:

eos ^

II

20. y •s e n x - eos (x

1 + eos y 1 + cosx ’

o

li-k V 1+ fc

sec2 x/2 sec2 y/2

1

y' = V/ — 1+ fc

Solución: y' -senx + y * c o s x - [ - ( l - y ') s e n ( x - y ) ] = 0 y' •sen x + y eos x + sen(x - y) - y'sen(x - y) = 0 y'[sen x - sen (x - y)] = -y eos x + sen(x - y) y '[-s e n x + sen (x-y)] = ycosx + sen (x-y) =>

, _ ycosx + sen(x - y)

y = sen(x - y) - senx

sen y___________ sen y - x . eos y

Moisés Lázaro C. En los ejercicios del 21-31 halle determinar el valor numérico de ^

por derivación implícita y use ese resultado para en el punto que se indica.

21. tg y = x y

24. ey = x + y

Solución:

Solución:

y'sec2 y = 1 *y + xy' => y' = — ----

ey -y' = l + y'

sec y - x

y' (ey -1 ) = 1 =>

' - ± i

25. Lnx + e - ^* =c Solución: =

0

x . y' - y •l

:+ e

v2

=0

x - e x [ x y '- y ] = 0 _£ _1 x - e x xy' + ye x = 0 ^ _ x + ye

_y x .e x

:e~+^ 23. arctg(x + y) = x Solución:

i + yf 1+(x + y)

=1

1 + y' = l + (x + y )2 y' = (x + j/)‘

DERIVACIÓN IMPLÍCITA arctgX = Í L n ( x 2 + y2 )

26.

Solución:

27.

a/ x 2 + y2

= c*arctg^-

Solución:

A [íl

, ¿ i * 2 *»2'

r -,2

2

2 tl2

2

^

7

1 + [ ¿ ] 2

7

> + ] x.y '-y .l

x •y '- y ■1 x2

_ 1

x2 + j,2

2x +

2<

.

2y y'

2 x + 2 y y' _

x2 +J,2

x2

V

x2 x . y' -

x + yy'

y_

2 x 2 + yz

x2

x + y y'

^

7

7

_

, x.y'-y x 2 4- y 2

7

x 2 + y2

=>

x - y ' - y = x + y -y '

=>

^¡x2 + y 2 ( x + y . y ' ) = c - ( x - y ' - y )

=>

y '( x - y ) = x + y => v' = —

=>

x <^/x2 + y2 + y y' ^ x2 + V2 = c * x y' - c * y

=>

y '[ y>/x2 + y 2 - e x ] = - c •y - x -y/x2 + y ^

=>

y

28.

ye* = ex+1,en A (0,1)

Solución:

,

=

x J x 2 4- y 2 4 - c y

y = = = / 2

yyx

4-

y

2

-c.x

y' •ey + y •ey •y' = ex+1 (1 + 0) Reemplazar: x = 0 , y = 1 =>

y' •e 1 +1 •e1 •y' = e0+1 2y' ■e = e

29.

30.

_ i => y' = ^2e- = 2

y2 = x + Ln|-, en P(l, 1)

_e

y2 = 4 ax , en P(a,2a).

Solución: Antes de derivar, aplicar propiedad de lo garitmos: o

y = x + L n y -L n x

Solución: 2y •y' = 4a =>

2 [2a]y' = 4a

Derivar: =>

y '= 1

2yy y1 r= 1 + — - -x y y

Remplazando: x = 1, y = 1 2 (l)y ' = l + ¿ 4 2y' = l + y ' - l

o

y' = 0

Moisés Lázaro C.

174

31. 1 + — —— =— , en y X xy 7

V

7

Reemplazar: x = 2 , y = 1

(P2,1)

/

l + 2 y' + 2 - y ' = 0

Solución:

y' + 3 = 0

Antes de derivar, obtener M . C . M .

y' - ~3

xy + 2x - y = 5 , derivar: l* y + x «y ' + 2 - y ' = 0

PROBLEM AS

32. Dado:

33.

y = y 5 + x 2^5 + x 2 a/5 + x 2VTT

Si: /'(2 a x + l) = ^ 2 x 2 + 6 x -1 6 y = /(| x |3 + 3 ), hallar 4 r en x = a

Hallar «j- en el punto de abscisa 2.

Solución:

Solución:

Io Tener en cuenta que:

Elevar al cuadrado la función:

Si:

y = |x| =

x >0 -x

,

x <0

y2 = 5 + x 2 ^5 + x2^5 + x2yj:5 + x2V^ -..1 o

entonces:.

9

<*y _

1

,

x >0

dx

1

,

x <0

y = 5 + x y , Derivar:

2 yy' = 0 + 2 x

■y + x 2y'

£(|x|) = ^ , x * 0

2 yyf = 2 x y + x 2y' y '[ 2 y - x 2 ] = 2 xy => y'

2xy

2y-xz

...2

2° Derivar: y = /(|x| =>

Como la abscisa es x = 2 , Reemplazar en (1 ):

¿

+3)

= /'(|x|3 + 3 )£ (| x | 3 + 3) = [/'(| x |3 + 3 )][3 | x | 2 ^ "

y = 5 + 4y 3o En x = 2 .

y2 - 4 y - 5 = 0

-1 (y - 5 ) ( y + l ) = 0 < * yV -= 5

= [ / (|2|3 + 3)] [ 3 12|2 -jli 12

Reemplazar en (2) el único punto (2,5). ( 2 ’ 5)

2(2)(5)

1Q

2 ( 5 ) - ( 2 )2

3

^ 7 = 1 2 / '( 1 1 )


4o Como: f ( 2 x + 1) = ^ 2 x 2 + 6 x -1 6 Entonces:

3.

a) La pendiente de la normal en el punto A, es: —K = y

2x +1 = 11 => x = 5

y su ecuación será:

4 y

y -5 = - j ( x - 4 ) <=> N2 : x + 4 y- 24 = 0

Luego: / '( l l ) = ^2(5 )2 + 6 (5 )-1 6 = 4

b) La pendiente de la normal en el punto B, e s = = l y su

5 ° + = 12 (4) = 48

ecuación, será: y - 2 = y ( x - l ) <=> N2 : x —2y + 3 = 0

34. En los puntos de intersección de la recta x - y+1 = 0 y la parábola

4. El punto de intersección entre N1 y

o

y = x - 4 x + 5 están trazadas las nor males a la parábola. Hallar el área del triángulo engendrado por las normales y la cuerda que subtiende los referidos puntos de intersección:

N2 , se halla resolviendo el sistema: j x + 4 y -2 4 = 0 {

x - 2y + 3 = 0

obteniéndose el punto P(6,9/2).

Solución: 1. Hallemos los puntos de intersección, resolviendo el sistema:

5. El área del triángulo APB se halla por la determinante en valor absoluto: 4

P<3,9/2)

x - y + 1 = 0 => y = x + l

(I)

y = x 2 - 4 x + 5 ..............

(ID

Igualando (I) y (II):

35.

B ( 1 ,2)

1

6 9 /2

1

1

1

2

0 = x2 - 5 x + 4

+ , y=5 >x = 4 0 = ( x - 4 ) (x —1 ) < 1 ^ x =1 y =2 2. Hallar las normales a la parábola y = x 2 - 4x + 5 en los puntos A(4,5), B(l,2) Veamos: y = x 2 - 4x + 5

Hallar la ecuación de la tangente a la

Solución: 1.

La pendiente de la tangente es y' en el punto (0,0). Hallemos y' de la ecuación: x 2(x + y) = a2 (x~y) => 2 x(x + y) + x 2(l + yf) = a2 (l~ y')

En (0,0):

2 (0)(0 + 0 ) + 0(1 + y") = a2(l - y') => y ' = 2 x - 4

<

_ 15 4

curva: x 2{x + y) = a2 ( x - y ) en el origen de las cordenadas.

x + l = x2 -4 x + 5

De:

A(4,5)

5

En A :

y' = 2 ( 4 ) - 4 = 4

En B :

yf= 2 (l)-4 = -2

0 = a2(l~~y') :

y' - 1

Moisés Lázaro C.

17 6 }

2.

La ecuación de la tangente en (0,0) será: y - 0 = 1 •(x - 0 ) y=x

Solución: 2y = l + x y 3

De:

Obtenemos: 2y' = 0 + x(3y2y') + y3 (1) 36.

¿Qué ángulo forman las curvas: Q :

4y 3 + x 2y - x + 5y = 0

C2 :

x 4 - 4y 3 + 5x + y = 0

2y' = 3 x y 2y' + y 3 Reemplazando el punto M( 1,1), obte nemos: 2y' = 3(1) (l )2 y' + (l )3

cuando se intersectan en el origen de las cordenadas?

2y' = 3y' + l 2 y '- 3 y ' = l

Solución: 1. El ángulo entre dos curvas está defi nido por las tangentes.

b) Si // = F(x,f) definido por:

2. Hallar y' e Cx : De:

// = a e 9t •cos(3x + b ), probar que

4y 3 + x2y - x + 5y = 0 , obtenemos:

_ dfi

12y2 •y' + 2x *y + x 2 •y' -1 + 5y' = 0 En (0,0): 0 + 0 + 0 - 1 + 5y' = 0

dx*

dt

Solución: > y' = ±

1.

De: ju = ae~9t •cos(3x + b) Obtenemos:

3. Hallar y' de C2 : De:

d/j dx

x 4 - 4y 3 + 5x + y = 0 , obtenemos: 4 x 3 -1 2 y 2 *y' + 5 + y' = 0

= ae - 9 t

r

■3sen (3x + b)]

-3a e 9tsen (3x + b) ñ

= -3 a e _9t[3cos (3x + b)]

dx‘

En (0,0):

= - 9 ae 9i •eos (3x + b) «-

0 - 0 + 5 + y' = 0 => y' = -5

E j = a •eos (3x + b) [~9e~9í ‘ 4.

Comparando ambas pendientes el ángulo es 90° , pues: -15 ( - 5) = -1

3 7 . a ) Si 2y = l + xy3 , hallar

punto M (l,l).

en el

= -9a e -91 eos (3x + b) 38. Si: (x + y) = 27(x - y ), hallar: y' = 7 en el punto P(2 , 1 )

"rt 3

.£P

o


Solución:

a) Supuesto que existe la derivada y' y sin resolver la ecuación respecto a y, demostrar que y ' satisface a la ecua

o

De: (x + y) = 2 7 (x -y ) se obtiene:

ción x 2 -f y 2y' = 0

3(x + y)2 ^ ( x + y) = 2 7 £ ( x - y ) 3
...(1)

b) Supuesto que existe la segunda deri vada y” , demostrar que y” y" - - 2 x y ~5 siempre que y ^ 0

Sustituir el punto P(2.1) en (1): 3(2 + l)2 ( l + ^ ) = 2 7 (:

Solución de a)

dy

x 3 + y3 = 1

De: 2 7 (l+f i ) = 2 7 ( l - f £ dx

Obtenemos: 3 x 2 + 3y 2y' = 0 =>

dx

2 d^x = 0

=>

dy dx

x 2 + y 2y' = 0

(0 (ii)

=o

Donde y' es solución de la ecuación: 39.

x 2 + y 2y' = 0

Si: y4 = 4 x 4 + 6 x y Hallar ^

en (1,2).

Solución de b) De:

Solución:

x 2 + y 2y' = 0

Obtenemos:

De la ecuación: y 4 = 4 x 4 + 6 xy Obtenemos: 4y 3y' = 16x3 + 6 [x y ' + y] 1) 4y 3y' - 16x3 + 6 x y' + 6 y Sustituir el punto (1,2) en 1): 4(2)3 y' = 16(l)3 +6(l)y' + 6(2) 32y' = 16 + 6 y' + 12

2 x + [y 2y" + y'(2 yy')] = 0 2x + y2y" + 2yy '2 = 0 ... (III) Sustituir (II) en (III):

2 x + y2y" + 2 y ( - 4 ) 2 = 0 y

2 x + y y" + 2 y

0

26y' = 28

2x + y2y'' + - 2 4 = 0

26

2 xy3 + y5y" + 2 x^ = 0 - 2 x y 3 - 2 jc4

y" = -

40.

■

La ecuación x 3 + y 3 = 1 define una o más funciones y de x.

/

=■

2 x (y 3 + x 3 )

Moisés Lázaro C. Pero: y3 + x3 = 1 => y 41.

y" =

—N

<■

5_

y Sumar 1: =>

Si 0 < x < 5 La ecuación:

x?i/2 + y1/2 = 5 define “y como función de x ° ” . Sin resolverla respecto a y de mostrar que y' tiene signo negativo.

1— 5 - < l — ..........(5) yx y5

Comparando (4) con (5), obtenemos: ES NEGATIVO.

Demostración:

42. La ecuación x sen x y + 2x2 = 0 de

De:

fine implícitamente y como función de x. Suponiendo que y' existe, demostrar que satisface la ecuación.

x :/W

2 =5

(1)

Obtenemos: i x ^2 +■£■ y ^2 y' = 0

y'x2 eos x y + xy cosxy + sen xy+ 4x = 0 X - V 2 + y -V2 ^ = 0

Demostración:

1/2

■

y' = - ^

1/2

Q

De: xsen xy + 2x = 0 . Obtengo: (2 )

x [ (eos xy) ^ xy J + l.sen xy + 4x = 0

En (1) dividir por x1/2 1

j

v1'2 -

x [(c o s x y )(x y ' + y ) ] + senxy + 4x = 0

5

I + x l/2 " * 1 / 2

V x - xl/2

x [ £ s e n x y ] + [ ^ x ] s e n x y + 4x = 0

x2y'cos x y + xy cosxy+ sen xy+ 4 = 0 (3)

A-

43. La ecuación 3x2 + 4y2 = 12 define implícitamente dos funciones y de x si |x |< 2 Supuesto que la segunda deriva


da y” existe, demostrar que verifica la

v - t * - 1)

ecuación 4y3y" = -9 (4)

Como:

Demostración:

0

^ < ^ 5

De:

3x2 + 4 y2 = 12

-L > -L ^ L /5

Obtengo: 6x + 8y y' = 0 Dividir por 2: 3x + 4yy' = 0 . . .

Multiplicar por 5:

=»

>

3x

y = -

4y

(1)

(2 )


De (1):

3x + 4yy' = 0

12y + 16y y" + 9x = 0

3 + 4 (y y "+ y '-y ') = 0

3 (4y2 + 3x2 ) +16y3y ' = 0

3 + 4 y y " + 4y'2 = 0

(3)

12

3(12) + 16y3y ' = 0 Sustituir (2) en (3): Dividir por 4:

3 + 4yy" + 4 ( - J f ) 2 =0

3(3) + 4y3y" = 0 3 + 4 yy" + 4

=>

16 y

4y3y" = -9

12y2 + 16y3y" + 9x2 = 0 44.

¿Qué ángulo forman entre sí las parábolas y = x 2 y y = x3 al cortarse?

Solución: i)

Los puntos donde se cortan las curvas y = x2 y y = x3 se hallan resolviendo el sistema: y=x

.(I)

y=x

.(II)

Veamos: Igualando las ecuaciones (I) y (IT) obtenemos: x = x c= >

x2 - x3 = 0 xJ2( l - x ) = 0 x =0

Sustituir en (I)

v

x =1

Si

x = 0 => y = (O)2 = 0 <=> A(0,0) -

Si

x = 1 => y = (l)2 = 1 »

PUNTOS DE INTERSECCION

B(l,l) .

ii) Las pendientes de las rectas tangentes se obtienen derivando f(x ) = x De:

/ (x) = x 2 se obtiene: f'(x) = 2x

De:

y g (x) = x

g(x) = x , se obtiene: g'(x) = 3x2

En A(0,0), se tiene: /'(1) = 2(1) = 2

En A(0,0) se obtiene: g'(0) = 3(0)2 = 0

En B(l,l), se tiene: /'(1) = 2(1) = 2

En B (l,l), se obtiene: g'(l) = 3(1 )2 = 3

Moisés Lázaro C.

tgé?:

iii) La fórmula

es para hallar el ángulo que forman dos rectas y £2

m2 - mi 1+ mi rr\2

de pendientes m1 rrq y m2 m 2 respectivamente.

Pero la pendiente de una recta, que es tangente a una curva, es la derivada en el pun to de tangencia. Así tenemos: a) En el punto A (0,0): f í Ol - g' í O) _ 0-0 _ 0 n Iy í 7 ~ l + f ( 0 ) g ' ( 0 ) ” l + ( 0 ) ( 0 ) " l " U

=>

tg = 0

=>

0 = are tg 0

=^> <9= 0°

u 6 = 2n

b) En el punto B (1,1): /'( D -fl'd ) l* a

=>

~

1 + f'Íl)

S'(l)

_

2 -3

i

1 + ( 2) (3)

7

tg a = - j => a = arctg ( ~ y ) •

En las siguientes ecuaciones, hallar y' = ■—■sabiendo que y = /(x )

45.

a eos xy = b ; a, b son constantes.

2o M étodo: De:

Solución:

9 a eos xy obtenem os: F(x,y) = acos x y - b

1er Método: Si: a eos2 xy = b

Donde:

Entonces: a(2cosxy) j^^cosxy j = 0

/)

4^= a [2cosxy] [-sen xy] [y] - 0 dx -2 ay cosxysenxy

a (2 c o s x y )[-se n x y ][^ (x y )J = 0 //) (-2 a cosxysenxy)

= -2ax eos xy sen xy

Si: a eos xy sen xy ^ 0, entonces: X dx ^ + *y = 0

=>

y y = a [2cosxy] [-sen xy] [x]

dy

dy

^ = dx

x

///)

dy _ dx

-2 a y cosx y senxy _ -2 a x cosx y senxy

46.

ex+y - e x~v = 2

y x


Solución:

2 do Método:

1 er M étodo:

Tenemos: F(x,y) = sen y -n se n x

Aplicar ^

Entonces:

en ambos miembros:

£ ( e x+y- e x- y ) = ^ ( 2 )

1 + ÉL dx

1 - ÉL dx

x+y + dy gX+y _ g X - y dx

dy dx

x-y = 0

1)'

dx

= 0 -n c o s x = -n cosx

r%\

dF

Q\ '

É L — dx

n

2) — = c o s y - 0 = cosy ~ ncosx _ ncosx eos y cosy

g x - y _ g x+ y

d y _ e x ~ v - ex + y

SíSiución:.

'

.

2 do M étodo:

1 “ M étod o :

De:

Derivar directamente, usando la notación

ex+y - ex~y = 2, se tiene: F(x, y) = ex+y - ex_y - 2

Donde: 1)

De:

aJr~y = sen (x + y)

|£. = ex+y [l + 0 ] - e x~y [ l - 0 ] - 0 Obtengo: ax+J,[l + y']Lna =[cos(x+y)] [1 + y'J

2)

|^ = ex+y [0 + l ] - e x~y [0 —1] —0 Factorizar.

1 + y '. se obtiene:

= ex+y + ex_y 3)

x +y _ „ x - y ex + y + e x - y

Él dx

x - y ,,*+y e x+y + e x - y

4 7 . sen y - n senx = 0 , n es constante.

2 do M étodo

De:

ax~v = sen (x + y ), tenemos:

Solución: F (x, y) = a x+y - sen (x + y)

1 er M étodo:

^ (s e n y -n s e n x ) = -^r(0) dx

Donde:

(cosy)“j^ -n co s x = 0

1)

ÉL _ dx

ncosx eos y

% = ax+v [l + 0 ]L n a -[c o s (x + y )][l + 0] = ax+v Ln a - eos (x + y )

Moisés Lázaro C 2) g = ox+!;[0+l]Lm a-[cos(x+y)][0+l]

1+

dy

3)

dx

2 /xy

= ax+y Lna-cos(x+y) o\

49.

c/y

_

qx +v L n q - c o s ( x

2/ x y + 1

_

2/x y +y x + 2/ x y

+ y)

dx

ax+y L n a - c o s ( x + y)

dx

1

50.

x + yj x y + y = a , a es constante.

Si: (x + y) =27 (x - y ), hallar

Solución: 1er Método:

Solución: 3(x + y)2 (1 + y') = 27 (1 - y')

1er Método

3(x + y)2 + 3(x + y)2y' = 27 - 27y'

Derivando directamente, usando la nota

(x + y)2 +(x + y)2y' = 9 - 9 y '

ción y' De: x + yfxy + y = a

(x + y)2y' + 9y' = 9 - ( x + y)2

Obtenemos:

y'[(x + y)2 + 9] = 9 - ( x + y)2

l +la iL + y' = o

2^T¡¡

>

y =

l + 2 ^ + y' = 0

y

2y[xy + xy' + y + 2y'yfxy = 0

2

y'(x + 2 1/x y ) = -2 y f x y - y

De:

t_

2 ./x y + y -

Método F(x, y) = (x + y) - 27(x - y)

obtenemos:

2/xy 1)

2do Método: De:

9 - (x + y)2 (x + y) + 9

= 3 (x + y)2(l + 0 ) - 2 7 ( l - 0 ) = 3 (x + y)2 -2 7

x + -N /x y + y = a , tenemos: F ( x , y) = x + ^/xy + y - a

g

2)

g = 3 (x + y)2(l + 0 ) - 2 7 ( 0 - l ) = 3 (x + y)2 +27

Donde: ov t ft

dy _

3 ( x + y ) 2 - 27 _ 9 - ( x + y )2

(x y )

1)

£ £ = ^ + - ^ = - + 0 - 0 = 1 + —£ =

2)

i r = 0 + + l L + l - 0 = —í — -fl 2/x y

2/x y

~ ~ 3 ( x + y ) 2 + 2 7 _ (x + y)2 + 9

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

51. Hallar ]/

de la ecuación: 1+ xy = xy {exye xy)

Solución:

2do M étodo: Queda como ejercicio... 52. Hallar: y' =

de la ecuación: tg (x 2 + y2 ) + ex + ey = 0

Solución: 1er M étodo: ^ [ t g ( x 2 +i>2 ) + ex + e1' ] = £ [ 0 ] [sec2(x 2 + y2 )]|^2x + 2y—^J + 2 x ex2+2y-^-ei'2 = 0 [sec2(x 2 + y 2 )]

dy

,

+ x e x + V ^ eV

xsec2(x 2 + y 2 ) + y ^ -se c2 (x 2 + y2 ) + x e x [ysec2(x2 - y 2 ) + y ey2 ] = -x s e c 2 (x2 + y2 ) - x e x

=0

Dividirpor2:

Moisés Lázaro C. 2 d y _ - x sec2 ( x 2 + y2 ) - x ex dx

y sec x

sec2 ( x 2 + y2 ) + e x

dy dx

2do Método: Tenemos: Donde:

+ y + y ey

sec2 ( x2 + y2 ) + ey

De la ecuación: tg (x2 + y2 ) + e x + e v = 0 F(x,y) = tg(x2 + y 2 ) + ex2 + e J'2

1)

|^ = [sec2 (x 2 + y 2 )] [2x + 0] + 2 x e x2 + 0 | j = 2 x [sec2 (x 2 + y 2 ) + e x2]

2)

§ £ = [sec2 (x 2 + y2 )] [0 + 2y ] + 0 + 2ye1'2 = 2ysec2 (x 2 + y2 ) + 2 yeJ> = 2y [sec2 (x 2 + y2 ) +

]

2 3)

ciy _ ^X

53.

2x[sec2 (x2 + y2 ) + e x ] _ 2y [sec2 x 2 + y2 +

2 2

2

x

sec* x* + y* + e

^

sec2 x2 + y2 + ey

Hallar y '= ^ r de la ecuación 4 x 3 - 3 x y 2 + 6 x 2 - 5 x y - 8 y 2 + 9 x + 14 = 0

Solución: 1er. Método: ■^[4x3 -3 x y 2 + 6 x2 - 5 x y - 8 y 2 + 9 x + 14] = -^-[0] 12x2 - 3 £ [ x y 2 ] + 1 2 x - 5 £ [ x y ] - 1 6 y f + 9 + 0 = 0 12x2 - 3 [ x ( 2 y - | ) + y2 ] + 1 2 x - 5 [ x f + y ] - 1 6 y ^ + 9 = 0 12x2 - 6x y f - 3y2 + 12x - 5 x $ - 5y - 16y$ + 9 = 0 ^ [ - 6 x y - 5 x - 1 6 y ] = -1 2 x 2 + 3 y 2 -1 2 x + 5 y - 9 d y _ - 1 2 x 2 + 3y2 - 12x + 5y - 9 cfx -6 x y -5 x -1 6 y

12x2 - 3 y 2 + 1 2 x - 5y + 9 6 x y + 5 x + 16y


<§> 2do Método:Tenemos F(x,y) = 4x - 3 x y

+6x - 5 x y - 8 y

+ 9x + 14

Donde: 1)

§ | = 12x2 - 3 y 2 + 1 2 x - 5 y - 0 + 9 + 0

2)

|£- = 0 - 3 x ( 2 y ) + 0 - 5 x - 1 6 y + 0 + 0

o\ '

dy _ dx

54.

12x2 - 3y2 + 12x - 5y+9

d y _ 12x2 - 3y2 + 12x - 5y + 9 dx 6xy + 5x + 16y

- 6 x y - 5x - 16y

En la ecuación: exyseny - cosx = 0 , y = f ( x ) . Hallar: ^

Solución: dx

sen y + exy

e ^ ^ (x y )

-—-seny dx y

-(-s e n x ) = 0

seny + exy •cosy •y '+ senx = 0

exy [1 •y + xy']seny + y'exy cosy + senx = 0 yexy seny+ x y'exy seny+ y' exy cosy+ senx = 0 - ( y exy sen y + senx ) exy ( cosy + xse ny)

2.2. EJERCICIOS PROPUESTOS Funciones dadas en forma implícita: 1. Dado: b2x 2 + a2y2 = a2b2 , hallar: 2. Dado: x 2 + y2 = r2 , hallar: *

3. y = tg (x + y ),

—£ dx3

dx

4. e * +y = x •y ; y " = ? 5. ey + xy = e ; hallar y" para x = 0

^4

dx¿

______________________________ Moisés Lázaro C. 6.

y - 2 p x , hallar: k = J(l +y'2)3

7.

[¿ 1

Comprobar que de: y2 + x2 = R 2 se deduce k = . donde k =

^(1 + y'2 )3

8. Demostrar que si: a x 2 + 2 b x •y+ cy2 + 2 g x + 2 /y + h = 0, se tiene: dy dx

__

ax + by + g bx+cy+f

d y dx

y

_

a

donde A es una constante que no de-

( bx + cy + f ) 3

pende de x e y. 9. Demostrar que si:

10 .

(a

+ b x ) e* = x , se tiene: x3 -j-|- = ^ x-j£ - y j o

O

Encuentre los puntos de la circunferencia cuya ecuación es: x + y = 25 , en los que la tangente es paralela a la recta cuya ecuación es 4 x = 3y

Funciones dadas en forma paramétrica:

11.

x

=

at2

y = bt3

.

12

13.

14.

15. 16.

x

=

acosí

y = asení x

=

d 2x = ? dy2

d2 p - ?

d3 y _ 9

d x 2

dx3

a(<|>-sen
y = a(l-cos<|>) Q x = a eos í Q y = asen í x = ai. cosí y = aísení

5

d2 V

’

.=

?

dx2

d 3y _ 9 dx3

•

d2 y __ 9 dx2

Demostrar que la función y = /(x ) dadas mediante las ecuaciones paramétricas:

A .

A .

O

y = e •c o s í, x = e sen í, satisface la relación: y"(x + y) = 2(xy' - y)

DERIVACION IMPLICITA_______________________________ ^

17.

Demostrar que la función y = f(x) dada mediante las ecuaciones paramétricas y = 3t - t 3, x

= 3 12 satisface la relación 36y" x —sen t

{

(y - ^ 3 x ) =x + 3

y = senkí

.

2

probar que: (1 - x 2 )

- x4^- + k2y = 0

d*

dx

x = / (í) •cosí - / ' (í)sent 19. Demostrar que si: < y = (í) •sení + / ' (í) •cosí

Se tiene: d s2 = d x 2 + d y 2 = [f(t) + f"(t)]2dt2

Respuestas: 1

o

9

a2 y3

3.

Jr J y5

2 ( y4 + 8y2 + 5)

y [ ( x -l ) 2 + ( y -l ) 2] x2 ( y - l ) 3

10.

3b eos t

12. y3

14.

11.

(4 , -3) , {-4, 3)

a sen3 t

eos2 t - 4 sen2 t 9 a2 eos7 t sen3 í

13.

15.

2a

a (1 - cosd

2 +12 a ( c o s t - í s e n í )3


DERIVADA LOGARITMICA APLICANDO PROPIEDADES Y DERIVA CIÓN IMPLÍCITA

Cuando una fundón está expresado en forma de cociente, productos o potendas e: tonces, antes de derivar, debemos aplicar logaritmo y sus propiedades. Las propiedades que se necesitan son I.- Ln(AB)*LnA+LnB

. ir i rs(A\ T«a II. • hxiñ.

~ Jk

^ _

Nota: ;;; “Ln’’ es la notódó» fá lio& iitkm '* Natural. Además .el logaritmo naturaitkne como base el número V* y ¡ por definición tenemos que.

f„ r IJtfí

III. LnA" = mLnA LnN = x c = > N = e*

Además, si y = Ln//

=>

y'^- ;

ft = ¡j{x) \

m’

= ^¡j-

EJERCICIOS 1.

Hallar:

y' = ^ , sabiendo que: y = xcosx

Solución: 1er.

Aplicar logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación: y = xcosx Lny = cosxLnx

2
v_ y

— = eos X

“ ■J + L n x [-se n x ]

=— Xcosx - senx Lnx

y' =y[x co sx -se n x L n x i y =x [i co s x -s e n x Lnx 2. Si y :

V (x + 2)2 V ( x + 3)3

, hallar: y' = ^

DERIVACION IMPLICITA_______________________________

Solución: Io ) Aplicando Ln:

Ln y = L nV *- 1 -L n ( ^(x + 2 )2 ^/(x + 3 )3 ) = l L n ( x - l ) - ( L n $ ( x + 2)2 + Ln^/(x + 3)3 ) = -| L n (x -l)-(J -L n (x + 2) + -|Ln (x + 3 )) Lny = l L n ( x - l ) - | L n ( x + 2 )--| L n (x + 3)

oo\ 1

¿ _ i _ l y 2 x —1

1 2 _ l _____ 3 3 x+2 2 x+3

y ' = y [ 2 ( r - 1) _ y

3 (x + 2)

3 ( x + 2 ) ( x + 3 ) - 4 ( x - l ) ( x + 3 ) - 9 ( x - l ) (x + 2) 6 ( x - l ) ( x + 2 ) ( x + 3) - 1 0 x 2 - 2x + 48

^

2 (x + 3)

^ 6 ( x - 1 ) (x + 2)(x + 3)

y =-

-Z*-1 x + 2 ) 2 sjix + 3) ^

( - 2 ) (5x2 + x - 24) y 6 (xx - 1 l ))((x x + 2)(x 2)(; + 3) 5 x 2 - x - 24 3 ( x - l ) ( x + 2 ) ( x + 3)

3 ( x + 2 )5/3 { x - 1 )1/2 (x + 3 )5/2

3. Si y = . V (x -l)s ( x -3 )u

, hallar: y' = 4^dx

Solución: Io)

Aplicando Ln: Lny = L n ( x - 2 ) 9 -L n -y /(x -l)5 ( x - 3 ) 11 = 9 L n ( x - 2 ) - l L n ( x - l ) 5 ( x - 3 ) 11 = 9 L n (x -2 )-i[5 L n (x -l) + llL n (x -3 )] Lny = 9 L n ( x - 2 ) - | L n ( x - l ) - ^ L n ( x - 3 )

Moisés Lázaro C. — 2o)

®

— Derivando: )/_ _ Q 1____ 5 _ 1 _____ 11 1 y x- 2 2 x-1 2 x - 3 y' _ 18 ( x - 1 ) ( x - 3 ) - 5 ( x - 2 ) ( x - 3 ) - l l ( x - 2 ) ( x - 1 ) y “ 2 (x -2 )(x -l)(x -3 ) 18 ( x2 - 4 x + 3) - 5 (x2 - 5x + 6 ) -1 1 ( x2 - 3x + 2) 2 (x -2 ) (x -1 ) (x -3 ) y' y

2 x 2 - 14x + 2 2 { x - 2) ( x - 1 ) ( x - 3 )

y =y

2 ( x - 7x + 1 ) 2 ( x - 2) ( x - 1 ) ( x - 3 )

(x - 2)

( x2 - 7x + l )

V (x -l)5 (x -3 )n

( x -2 ) (x -1 ) ( x -3 )

( x - 2 ) 8 ( x 2 - 7x + 11) ^ ( x - l f ( x - S ) 11 ( x - 1 ) ( x - 3 )

4.

Si y = xx

, hallar: y' •Édxl

Solución: 1° Aplicando Ln:

2

Ln y = xx *Ln x

2o Aplicando Derivada: ¿y = x x ix + Lnx -dfxx * 2

(i)

Reemplazar (2) en (1): ¥- = x x j¿ + x x [ x + 2 x L n x ]L n x

Haciendo:

ju = x x

Aplicando Ln:

Ln jl¿ = x Ln x

y = x x j ^ + (x + 2x Lnx)Lnx J y' = y x x [ ^ + x Lnx + 2x Lnx J

Derivando:

— - y ? •^ + 2x •Ln x fj X f _ ^.xx

^.x2 f 1 + x2 L n x + 2 x 2 Ln2 x

¿L = x + 2x Lnx M ju' = ju [x + 2x Lnx] dx

= jur = xv xx [x + 2x Lnx] ...(2)

y ^ x xX xx"_1 (1 + x 2 Lnx + 2x2 Ln2 x )


5.

.2

Si y = x

, hallar: y' = - g

X --1

2o Derivando:

Solución: Io Aplicando Ln:

yf _ i ■ 2 i y x 3 x

Lny = Lnx + Ln^ f-

1

2x

3 X2 + 1

y' _ 3 ( x2 + 1) + 2 ( x2 + l ) - 2 x 2 3 x (x

= Lnx +

¿

—

3x

+ 1)

+5

v ~ 3 x ( x 2+ l )

= L n x + 1 [Lnx2 - L n ( x 2 +1)] y =y = Lnx + ^ -[2 L n x -L n (x 2 +1)]

3x2 + 5 3 x (x

s----+1)

3x2 + 5

Lny = Lnx + -| L n x --jL n (x 2 +1)

x2 + l

3x ( x 2 + 1 )

y = =13

6.

dy Si y = (x +1) (arctgx)x , hallar: y' =dx Io Aplicar Ln:

Ln y = Ln (x +1) + x Ln (are tg x)

2o Derivando: y_

- ^ - + x (arc;sx) +Ln (arctgx) arctgx v ° '

y

1 — = |x + x 1+.x +Ln (are tgx) V

x +1

.

2x

arctgx

'

_j________ x_______

x2 + 1

(1 + x2 ) are tgx

a

'

+ Ln (are tgx)

2x are tgx + x + (1 + x ) are tgx Ln(arctgx) (1 + x

y' = (x + l)(a rc tgx)x

) are tgx 2x ar e tgx + x -f (1 + x

) ar e tgx Ln ( are tgx )

(1 + x2 ) ar e tgx

y'

= (are tgx)x 1 [2x

are

tgx + x + (1 + xz ) are tgx Ln (are tgx)]


Si y = xLnx , hallar: y' = ^

Solución: Io Lny = LnxLnx O

Ln y = Ln x 2o

-L = (2Lnx) (Lnx)' f = [2 L n x )(l) y' = y [2 L n x ](¿ ) y' = xLnx[ 2 Lnx] ( -^) y' = 2x Lnx~1 Lnx 1 - ex

8 . Si y = tgx _

1+

e*

hallar: y' = 4d x^-

Solución: I o Extraer Ln a ambos miembros: Ln y = Ln tg x + Ln

l-ex 1+e

Ln y = Ln tgx + Ln (1 - e x ) - Ln (1 + ex ) 2o Derivando:


Entonces:

s e n 2x

1 _ e*

2 (1 - e x )

1 + e*

( 1 + e x ) - e x s e n 2x (

1+ ex

- e x s e n2x ( l - e x )

( l - e x ) ( l + e x ) s e n 2x j/ _

2 - 2e 2x -

e x sen2x - e 2 x sen2x - e x s e n 2 x + e 2x se n2x

( l - e x ) ( l + e x ) s e n 2x

y =y

2 - 2 e 2 x - 2 e x s e n 2x (1

- e x ) ( l + e x )sen2x

y' = tgx

1- ex

2 - 2e 2x - 2e x s e n 2x

1+ ex

{ l - e x ) ( l + ex ) s e n 2x

2 t g x (1 (1

- e x senx)

e

+ ex

)2 s e n 2 x

9. Si: y = x 5(a + 3x) 3 ( a - 2 x )2 , hallar:

=

Io Lny = Lnx 5 + Ln (a + 3 x )3 + Ln (a - 2x )2 Lny = 5Lnx + 3Ln (a + 3x) + 2Ln (a -2 x ) 2 o — = 5 — + 3 — -r— y

x

j/ _

a + 3x

+2a -

2x

5 (a + 3x )(a - 2 x )+ 9x (a - 2 x )-4 x (a + 3 x )

y

x ( a + 3 x )(a -2 x )

y' = x 5 (a + 3 x )3 (a - 2 x )2

5 ( a + 3 x ) (a - 2 x ) + 9 x ( a - 2 x ) - 4 x ( a + 3 x ) x ( a + 3 x ) ( a - 2x )

S i g a s i m p l i f i c a n d o ...

10.

Si:

y :

W *-l$

hallar: y ' - —

V ( * - 2 )3 ^ / ( x - 3 )7 ’

dx

Io Lr¡ y = §L n ( x - l) - | - L n (x -2 )-| -L n ( x - 3 ) oo

1 ¿ _ 2 _ 1 _____ 3 _ ] _______ 7 y 5 x - 1 4 x - 2 3 x - 3 2 4 (x -2 )(x -3 )* ~ 4 5 (x ~ l)

{ x - 3} -140 { x - 1) ( x - 2)

60 ( x - 1 } ( x - 2 ) ( x - 3) , _ V

j> 1 2 4 { x 2 - 5 x + 6 ) - 4 5 { x 2 - 4 x + 3 ) - 1 4 0 ( x 2 - 3 x + 2 ) ] 6 0 (x -1)

(x -2 )

- 1 6 1 x 2 + 4 8 0 x - 271

( x -3 )


DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Si: y ~ / < x ) , entonces las notaciones siguientes se leen en la forma indicada: N O T A C IÓ N

SE LEE

= y' „d_

dx

d ~ áx

(~ )=

~ ~ ~

La l m derivada de y con respecto a x = y"

La 2da derivada de y con respecto a x

^

J = *~-f = y'"

La 3mderivada de y con respecto a x

í

J=

La 4ta derivada de y con respecto a x

= y^

..

I d (n-.r i ~

.....

~V

La n-ésima derivada de y con respecto a x

EJERCICIOS

1.

Si: y = cosax, hallar y ^

2 . Si: y = ax , hallar: y ^ Solución:

Solución: y '= - asenax = acos( ax+ -|-j

y' =

ax Lna = (Lna) ax

yff = - a 2 cosax = a2 cos^ ax + 2 -|- ^

y" = (Lna)ax Lna = (Lna )2 ax

yw= a3 senax = a3 cos( ax + 3-| j

yw= (Lna)2 ax Lna = (L n a )V

y 4 = - a 4 cosax = a4 cos( ax + 4-|- ) y(n)=(Lna)nax y^ =

= an cos^ ax + n|r)

n e Z+


3.

Si: y = e

Hallar y'n* x k

4 Si: y = Ln (1 + x ) . Hallar Solución:

Solución: y' = - k e~kx

y" = - ( l + x r 2 = - — L -

y" = fc2 e kx y" = - k e

(1 + x )2

-kx

■

y"' = - ( - 2 ) ( l + x r 3 = — (1 +x y4 = -2 •3(1 + x )“4 =- "2-3

y
)n k n e~kx,

(l + x)

y5 = 2 - 3 - 4 (l + x)-5 = —-3 4\D / -« ( l + x )5

4! ^ -1 . ( n - 1 ) !

y(n) = ( - i ) j

(n)

5. y = j - 7 . Hallar y'

(l + x ) n

Solución: (1 +X){ -1)-(Í -X)(1) ( l + x )2

y" = ~2 ( - 2) (1 + x)

(l + x )"

-2(l + x)-

= 2.2 (1 + x)

y" = 2.2 ( - 3 ) (1 + x)“4 = -2.2.3 (1 + x)-4 y4 = -2.2.3 ( - 4 ) (l + x ) 5 = 2.2.3.4 (l + x),-5

y (n)= 2 ( - l ) n n !( l + x)“(n+1) 6. y =

x e .xHallar y(n)

Solución: Para hallar la n-ésima derivada de un producto de dos funciones y = / / v , aplicaremos la fórmula de Si: y = 1°

jliv,entonces:

y' = fj!u + fio'

.Para Z N IB E L

ello hagamos la deducción correspondiente:

Moisés Lázaro C. <§> 2o

y' = f i " v + f t ’o' + M'v' + M o‘ = M" o + 2 n 'v ' + t i v "

3o

y'" = n'"v + 2(ju"o' + no") + n'o" + no'" = n " 'o + 3 n " v , + 3 n 'o " + n o ' "

4o i

y(4) = nw Q+ n'"o'+3 (n"'o' + n"o") + 3 (n"o" + n'o'")+ = n W o + 4 n"'o' + 6 n"o" + 4 ¿r't/" + //t;(4) //(4,u + 4//*3*ü^ + 6 ¿ /2>u<2>+ 4 / .<1>u<3) + ¿ru<4>

n

y<">=( / / <,)<”>=

Fórmula de Leibntz Que es similar al BINOMIO DE NEWTON. (¿i + u)n = ¿¿n +rijUn 1v +

En consecuencia, si y = x e x Hagamos:

ju = e x

v=x

Derivando:

juf = e x

i/ = l v" = 0

ü{n) = 0 Aplicando la fórmula de Leibniz: Y {n) = ( e xx)n = e xx + nex + 0 ... + 0 = ex (x + n)

+

n q{A)


7.

y = xsenx . Hallar: y ^

Solución: Io Hacer: // = sen x 2o

Derivar

//' = cosx = sen( x + -|-)

o=x

/ / = -se n x = sen /x + 2|r) jli

-1

o ^ -1 \ = -c o s x = senl/ x + 3

y" = 0

= senx = sen ( x + 4^- ) =sen^x + n-|-) 3o Aplicando la fórmula de Leibniz: y (n) = / / (n) u + n a 1" " 1’ y'+ H Í I ^ ,/<"-■V

+ ...

y (n) = sen ( x + n -| ) + n sen ( x + ( n - l ) | - ) . . . y (n^= sen ( x + n ^ - neos ( x + ^ n ) Pues: sen^ x + (n -l)-| ) = sen( x + ^ ;r --| ) = senA cos-| - eos A sen-|, siendo A = x + -|7r ^ (T = -c o s ( X + ^/T j

y " = -2 •2sen2x = -2 2 sen2x = - 2 2 c o s^ 2x + 3^ ) ~ ^ 2 ■2cos2x = -2 3 co52 x = -2 3 cos( 2 x + 4 ^ )

í

Moisés Lázaro C. 9. Si: y = x 2e 2x . Hallar: y ^ Solución: 1) Hacer:

ju = e 2x H' = -2 e “2x

u = x2 o' = 2x

//" = -2 e _2x

u" = 2

//"' = -2 3e_2x

o"' = 0

,z/(n>= (—l)n2ne 2x 2)

y(n) = ( - l ) n2ne“2xx 2 + n ( - l)n~12 n^1e - 2x(2x) + ^ j ^ ( - l ) n- 12l1 2e 2x(2) yln) = 2n-1e~2x [ 2 ( - l ) nx2 + 2 n ( - i r 1x + n(n2~1> ( - l ) n~2 ]

10 .

Hallar: / (n)(0). Si /(x) = Ln y-L

Solución: 1) Pero

/( x ) = LnT^ = L n O -L n (l-x ) /( x ) = - L n ( l - x )

2)

Derivar:

/ '( x ) =

= _ i _ = ( l _ x )-i

/"(x) = - l ( l - x ) - 2 ( - l ) = ( l - x r 2

r ( x ) = -2 (l-x )-3 (-l) = 2 (l-x )-3 / (4)( x ) = 2 ( - 3 ) ( 1 -

x

)^ (-1) = 2 -3 (1 -

/ (5* x = 2 - 3 ( - 4 ) ( 1 -

x

x

)^4

)_5 ( - l ) = 2 - 3 - 4 - ( l - x ) ‘

/ (n*(x) = ( n - l ) ! ( l - x ) -n 3) Luego: / (n) (0) = (n - l) ! 11.

De: b2x 2 +a2y2 = a 2b2 . Hallar a) y ’ = ^ 4 , dx

=

dx

5


Solución: ..2 y" = 0 a2 b2 (a2 b2 ) + a°6 y*

a) Derivar en b2 x 2 4- o2y2 = a2 b2 b2(2x) + a2(2yy') = 0

a4 b4 + a6 y2 y" = 0 ........... (3) 04 fa4

b2x + a2yy' = 0 .......(1)

6

aD y

h4

2

a

2 y2

y' = - ^ a y b) Derivar en la ecuación (3): Derivar con respecto a x en la ecuación (1)

0 + a6 t(2y y')y" + y2 y"] = 0

b2 + a2(y'y' + yy") = 0

2 yy' y" + y yw= 0

(2 )

b2 + a2 (y')2 + a2yy" = 0 .

2y

b* x a2 y

-a t yr \ ' + i r

Sustituir (1) en (2): ¿

u

a

To Ty + y b2 + a 2 [ - ^ - j

¿

y"' = 0 rrr

r\

y =°

+a2y y" = 0 2b6x + a4 y4 y" = 0 6 ..2

a4 b2 y2 + a2 b4 x2 + a° y¿ y" = 0

»

a r

a2 b2 (a2 y2 + b2 x 2 ) + a6 y2 y" = 0

12.

2b6 x

y =—

Demostrar que la función y = sen(marcsenx) satisface la ecuación diferencial. ( 1 - x 2) y " - x y ' + m2y = 0

Demostración: CÁLCULO DE Y' De

y = sen (m arcsen x ) y r= [ eos (marcsen x)] [ marcsen x ]' y' = [ eos (m arcsen x)]

rn

l

y' = m—, 1 — eos (maresenx) Vl-x2

Moisés Lázaro C.

(200)------------------------------------------------------------------------------------------------

CÁLCULO DE Y" y' = m{m - x 2 )~^z cos(marcsenx) y " = m f — ¿ -(1 - x 2 ) " 3/ 2 ( - 2 x ) c o s ( m a r c s e n x ) + (1 - x 2 )” ^ 2 [ - s e n ( m a r c s e n x ) ]

1

x-r------eos(m are sen x) — ^ sen (mare sen x) ]

y" = mí

l ( l - x 2) V l - x 2

Sustituir:

^

y, y', y "

d - x 2)

1-*

J

O p en la ecuación diferencial (1 - x ) y" - xy' + m y-

(l-x ^ l-x 2

eos (m are sen x ) — 02-y sen (m are sen x 1 -*

m eos (m are senx) + mo sen(marcsenx) /l-x z eos (m are sen x) - m2 sen (mare sen x) -

eos (m are senx) +

y ? o m sen (m are senx) = 0 13.

Demostración que la función y -cê x + c 2e 2x satisface la ecuación diferencial y" + 3 y' + 2y = 0 ( q , c2 son constantes).

Demostración: CÁLCULO DE Y ':

De:

y = qe~x + c2e~2x y' = Cle -x (-l) + c2e -2x(-2) y' = - c 1e “x - 2c2e 2x

CÁLCULO DE Y ":

y" = - Cle x(-1) - 2c2e“2x{-2)

Sustituir: y, y', y" en y" + 3y' + 2y OBTENEMOS (c1e~x + 4c 2e~2x) + {-cle~x - 2c2e~2x)+ 2{c1e-x + c2e“2x) = = Cje“x + 4c2e~2x - 3qe~x - 6c2e~2x + 2qe~x +


14.

Demostrar que la función y =Í * 2 e*e x satisface la ecuación diferencial. y " - 2 y ' + y = ex

Demostración: CALCULO DE Y ' De

CALCULO DE Y "

y = i x 2 ex

y" = ex + x e x + l [ 2 x e x + x 2 ex]

y' = i [ 2 x e x + x ex ]

y" = ex + x e x + x e x + l x 2 ex

y' = x ex + 4 x 2 ex

y" = ex + 2x ex + -L x 2 ex

Sustituir: y, y', y" en la ecuación y" - 2y' + y = ex (ex + 2 xex + l x 2 ex ) - 2 ( x e x + ¿ x 2 ex ) + \ x 2e x = = ex + 2xe^ + ± x 2e x -2 x e x - x 2ex + ^ x 2ex = e x

15.

o

9

9

Demostrar que la relación x - xy + y = c

satisface a la ecuación diferencial

(x -2 y ) y' = 2 x - y Demostración: CALCULO DE Y ':

de la ecuación x2 - xy + y2 = c2

Derivando con respecto a x:

2x - (x y' + y) + 2y y' = 0 2 x - x y ' - y + 2yy' = 0 y '(-* + 2y) = y - 2 x

=> <=>

16.

y

y-2x

- x + 2y

y

x-2y

( x - 2 y ) y '= 2 x - y

Demostrar que y, determinada como función de x por las ecuaciones x = sení e y = a é ^ t + b e ~ ^ t satisface a la ecuación diferencial (1 - x 2 ) ^ - j - x dxz

Demostración: dy

= 2y

Moisés Lázaro C. _y¡2t + bí_ *e —y¡2t Si: y - aj e

^ = ^¡2ae^t -y ¡ 2 b e ~ ^

dy Sustituir: (2) y (3) en (1): ^

j2aéJ* -Jibe-'®1

(4)

COSÍ

cj / dy\

cosí[2ae^¿ + 2be ^

d í W

(3)

] - [ ^ a e ^ - yf2.be '^‘ t ](-sent)

“

/j-\

cos2 í

" ’1 ]

2 _— j_ J dt\dx La formula de la 2da derivada paramétrica es: — \ = -

(

6)

~dt

X

Sustituir (2) y (5) en (6): ,, _ ■ rost [ 2 ( a d y

+ b e ~ ^ x ) ] + sent ( V2 a e ^ ‘t - \ ¡ 2 b

dx¿

)

e os3 í

d2 y _ c o s í ( 2 y ) + s e n í {y¡2 a e ^ ‘ t - y¡2 b e

)

(7)

dx¿

Sustituir (7) y (4) en (1 - x 2 )— £ - x

dx

eos2 t

ax

* - V2 b e

eos í ( 2 y ) + s e n í ( 7 2 o

obtenemos: ~^1

-sent

Jiae'&'-Jíbé

eos 3 í

2y + tgt(72 a 17.

COSÍ

‘ - V 2 b e- ^ *) - tgt {y¡2 a e ^ 1-y¡2 b e ~ ^ 1) = 2y

Demostrar que la relación y = Ln (xy) satisface a la ecuación diferencial: (xy - x) y" + x y '2 + y y' - 2y' = 0

Demostración: De la relación: Por propiedad de Ln:

y = Ln (x y)

y = Inx + Lny

y' = 1 + ül

Derivando:

xyy' = y+ xy' Derivar otra vez:

y y' + xy'y" + x y y "—y' + y'+ xy" y y' + x(y')2 + xy y" = 2y' + xy"

Ordenando: x y y" - x y" + x(y')2 + y y' - 2y' = 0 (x y - x) y" + x(y')2 + y y' - 2y' = 0

APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA 1.1. -

ECUACIONES DE LAS RECTAS: Tangente y Normal

Sea la curva C cuya ecuación es F(x,y) = 0. Sea la recta <£T que es tangente a la curva C en el punto (x0,y0) •

-

La ecuación de la recta tangente £ T es: y - y0 = m (x -x 0). donde m = tgO pendiente de

-

.

Pero la pendiente “m” desde el punto de vista del cálculo diferencial es la DE RIVADA DE y CON RESPECTO A X EN EL punto

(x0,y0).

Es decir: m = ^~ dx

(xoô)

E n to n ce s la e c u a c ió n d e la RECTA TANGENTE, será:

( x - x 0)

^ T -y-v (*o>J>o)

Si: ¥d x

= ±oo

, e n to n ce s

£T:

x - xn

=0

(x0’Vo)

C o m o la RECTA NORMAL es p e rp e n d icu la r a la recta TAN(3ENTE en el p u n to ( x 0 , y0), e n to n c e s la e c u a c ió n d e la RECTA NORMAL, será:

£ n : y - y 0 = - ^ - ( x - x 0) dx

Si: ^

= 0, entonces -*(xo»J>o)

: x - x0 = 0

Moisés Lázaro C.

(204)

r

Si la ecuación de la curva es y = / ( x ) , entonces m = —■

Si la ecuación de la curva es F(x,y) = 0, entonces m = - jdF dy dy

Si las ecuaciones paramétricas de la curva son:

x =
Si la ecuación polar de la curva es r = f{ 6) , entonces tg

r

=

Éd eL ’

dr

=r .

Donde // es el ángulo OPT ángulo for mado por el RADIO POLAR r = OP y la recta tangente . Donde: PT:

Segmento de la tangente polar

PN:

Segmento de la normal polar

OT:

Subtangente polar

ON:

Subnormal polar

[l.2. PROBLEMAS (T ) Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a) y = tg2x en el origen de coordena das.

b)

y = arcsen

en

Punt° de inter-

sección con el eje OX.

Solución:

Solución:

Io

y' = 2sec 2x V'] (0 , 0 )

= 2sec2 0 = 2(1)2 = 2

Io De y = arcsen I y' j '- M

2° Luego: Lr : y - 0 = 2 (x -0 ) y = 2x %

: y -0 = -L (x -0 )

y = -£ x

2o La

intersección

, obtenemos:

1 de

x —1

la

curva

y = arcsen —g- con el eje OX ocurre cuando y = 0, entonces:

APLICACIONES DE LA DERIVADA

0 = arcsen:^ L o

^= 0 < = > x-l = 0

d) y = Lnx en el punto de intersección con el eje OX.

<=>x = 1 l Luego: y ' ]i(0’0 ( ) “ 7 r F “_ 2

(205)

Solución: "

, " ' ■ """

Io El punto de intersección de la curva y = Lnx con el eje OX, ocurre cuan

3° Por lo tanto:

do y = 0 , entonces: 0 = Lnx o x = 1

£ T : y -0 =l ( x - l ) x - 2y - 1 = 0

2o De y = Ln x , obtenemos: y' =

£ n : y - 0 = - y ( x -1 ) 2

2 x + y -2 = 0

3° Por lo tanto:

c) y = arccos3x en el punto de inter sección con el eje OY.

^

m

Solución: Io El punto de intersección de la curva: y = arcos 3x o 3x = eos y con el eje OY ocurre cuando x = 0 , entonces: 3(0) = cosy <=> cosy = 0 o y = | 2o Derivando la ecuación 3x = cosy . obtenemos:

3 = (-seny)y' ^

sen y

1 2 e) y = e en los puntos de intersec ción con la recta y = 1. Solución: Io De y = e

i _ r2

, tenemos:

y' = - 2 x e 2o Intersección de \ ^

Lu<^

e

1 y =i

3o Porloianto: <£t : y --| = - 3 ( x - 0 ) 2y - n = -6 x <=> 6x + 2y - n - 0

entonces: 1= e1_x2 Lnl = 1 - x 2 0 = 1 - x2 o

'■

y - f = 3(x - ° )

6y - 3 tt = 2x - o 2x - 6y + 3tt = 0

x2 = 1 o

x = ±1

Los puntos de tangencia serán: A(l,l) y B(-i,l).

Moisés Lázaro C. Luego: 3”

= - 2(1|e‘

£ Ti : y - l = - 2 ( x - l ) o 2 x + y - 3 = 0 .1-1

= -2 < -D

£ n : y - l = ^ ( x - l ) o x - 2y + l = 0 £ j 2 : y - 1 = 2(x + I ) o 2 x - y - 3 = 0

2)

Escribir las

ecuaciones

de

la tangente

y

de

la normal

a la curva:

x 2 + y 2 + 2x - 6 = 0 en el punto cuya ordenada es y = 3 . Solución: Io

PUNTO DE TANGENCIA: O

Si y = 3 , reemplazando en la ecuación: O

x + y + 2 x - 6 = 0 , se tiene: x3 + 9 + 2 x - 6 = 0 x3 + 2x + 3 = 0

1

Resolver ésta ecuación por Ruffini: -1

0

2

1 -3

-1 1 -1

3

X = -1

Luego el punto de tangencia será:

3

0

S O L U C IÓ N E N T E R A

1,3) x 3 + y2 + 2 x - 6 :

2° PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE: Derivando:

3 x 2 + 2yy' + 2 =

se obtiene: Reemplazar el punto P (-1,3)

=>

3 (-l) + 2(3)y' + 2 = 3 + 6 y' + 2 =

6 y'-f 5 = 0 3o

ENTONCES:

£ T : y - 3 = - f ( x + l) : y - 3 - - | ( x + l)

5x + 6 y -1 3 = 0

6 x + 5y + 2 1 = 0

=>

yL


(3)

Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva: y4 = 4 x 4 + 6xy en el punto (1,2),

Solución: I o PEN DIENTE DE LA R ECT A TANGE NT E :

Derivar la ecuación:

y = 4x +6xy 4y3y' = 16x3 +6(xy' + y)

Reemplazar el punto (1,2)

4y y' = 16x +6xy' + 6y

4 (2 )V = 16(1)3 +6(l)y' + 6(2) 32y' = 16 + 6y' + 12 26y' = 28

2° Entonces:

( 4)

y] = ^13

lT : y - 2 = j f ( x - l )

<=>

14x + 13y + 12 = 0

y -2 = - i f ( x - l )

<=>

13x + 14y - 41 = 0

Hallar los puntos en que las tangentes a la curva y = 3 x 4 + 4 x 3 - 12x2 + 20 sean paralelas al eje de las abscisas.

Solución:

Si las tangentes a la curva son paralelas al eje de las abscisas entonces debe cumplirse que y' = 0 , puesto que y' =

es la pendiente de las

rectas tangentes, “0” es la pendiente del eje X y dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales. Veamos:

laciendo:

De

y = 3x4 + 4 x 3 - 12x2 + 20

Obtenemos:

y' = 12x3 + 12x2 - 24x

y' = 0

zi> o

12x3 + 12x2 - 24x = 0 12x(x2 + x - 2 ) = 0

<=> 12x(x + 2)(x -1 ) = 0 <=>

12x = 0

v

<=>

x =0

o

{0 , —2,1}

v

x + 2 = 0v x= 2

x -1 = 0 v

x =1

Moisés Lázaro C. (208)---------------------------------------------------------------------------Los puntos de tangencia, serán: A(0,20); B(-2,-12) y C(l,15) (5 )

¿En qué punto la tangente a la parábola y = x 2 - 7 x + 3 es paralela a la recta 5x+y-3=0?

Solución: Io La recta 5x + y - 3 = 0

será paralela a una recta tangente a la parábola

y = x 2 - 7 x + 3, si sus pendientes son iguales. y' _ Es decir y' = - 5 , donde:

2o De: y = x 2 - 7x + 3 ,

dx

. Pendiente de la recta tangente

m = - y5 = -5

: Pendiente de la recta 5x + y - 3 = 0

se obtiene:

y' = 2x - 7

Entonces:

2x - 7 = -5

x =1

(0

o

Reemplazando (i) en la ecuación de la parábola => y = 1 - 7(1) + 3 = - 3 Entonces, el punto de tangencia será: (1,-3) ( ó ) Hallar la ecuación de la parábola y = x 2 + bx + c , que es tangente a la recta x = y en el punto (1 , 1 ). Solución: Io Si la recta y = x es tangente a la parábola, entonces se cumple que: m = 1

y' = 1 , donde < o

y'

=^

es la p e n d ie n te d e x = y e s la p e n d ie n te d e to d a recta tan gente.

De: y = x + bx + c

Se obtiene: y' = 2x + b => 2 x + b = l ................................. (I) 2° El punto de tangencia es P(l, l ) ; en consecuencia satisface la ecuación (I) y a la ecuación de la parábola: Si (1,1)6 Parábola y 2 = x 2 +

bx + c=> 1

1 +■b + c <=> . 0 ...... (i) lili Si (1 , 1 ) satisface a la ecuación 2x + b = l => 2 + b = 1 <=> b = - l ...... |||■||iIi ||1 lllllil ■. . lilis ■ . Illllii si; II 3¿I ■3. ;si 3 Reemplazar (ii) en (i): - 1 + c = 0 <=> c= 1

2 Por lo tanto, la ecuación de la parábola será: y = x - x +1


( j ) ¿En qué punto de la curva y 2 = 2x 3 la tangente es perpendicular a la recta 4 x - 3 y + 2 = 0? Solución: Io Dos rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente son perpendiculares, sí y sólo sí rr^ m2 = - 1 ........... 2o Suponiendo que m1 es

(í) la pendiente de recta tangente => nr\=

m2 es la pendiente de recta 4x - 3y + 2 = 0 => m2= —^

(ii)

3o De la ecuación y 2 = 2x 3 , se obtiene: 2yy' = 6 x 2

=^ 4° Sustituir (ii) y (iii) en (i): Elevando al cuadrado:

»

( ± f x 1/2 ) ( f ) = -1 (| -x ^ ^ -j = l

<=^> v3

5° Sustituir x = 1/8 en y 2 = 2x 3 => y 2 = 2 ( ^ )

x =1/8

o y = ±^J

o

y = ±^.

6o El punto que satisface, es ^- g- , - - j

SJ Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva en el punto (2 , 2 ).

x=

l + t

n = —^— |- -1_ 2t2 2í

y

Solución: dy

1

LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE ES: 4 + =

dx

dt

Si:

Donde:

v = ^ + ± =>^ = - A - J t 2t 2t dt t3 2t dx _ 3 + 2t o• 1+ t Si: x = - j ~dt~~

d-L

2n Como x =

r

a x = 2 => 2 =

r

3_____ i _ dy _

dx ~

2 12 _

t3

3 1- 2~

6

+ t

~ 2(3 + 2 t )

A

2í3 = l + t »

2 r -t -l =0 í=1

Moisés Lázaro C. 3o Entonces:

6 + 1

~dx-

t= 1

_

7

2(3 + 2) “ 10

7 x -1 0 y + 6 = 0

4o En consecuencia:

: i>-2 = - f ( x - 2 ) <=> 10x + 7 y -3 4 = 0 ( ? ) Escribir ecuación de la tangente a la curva x = t c o s t , y = £sent en el origen de coordenadas y en el punto í = tt/4 .

7o La ecuación de la tangente en t = 7i/ 4 será: ra . .. n-fe _ fr + 4 / T -y

8

~ ar-4 \

+ 7r>/2 (/r + 4) = 0

Io El punto de tangencia en el origen es (0, 0 ) .

8(/r + 4)x + 8 (/r -4 )y -7 r 2%/2 +4\/2;r

2o La pendiente será:

- ;r2^ - 4 V 2 / r = 0

dy _ dt _ tcost + sent d* dx ~ - t sen¿ + cost dt

8 (/r + 4)x + 8 (/r - 4)y - 2^2-v/2 = 0 4(/r + 4)x + 4 ( /r - 4 ) y - /r 2-\/2 = 0

3o El punto de tangencia en í = zr/4 es: x = 7t¡4 cos /r/4 — 4 —

y

2

iL V2 4

2

^ 8 ^ 8

4° La pendiente en el origen será: OcosO + senO t= 0

/

8(/r - 4)y - n^2{n - 4) = -8(;r + 4)x

Solución:

dy dx

8

OsenO + cosO

(lO) Hallar el ángulo que forman entre sí la tangente a la espiral logarítmica r = a e kv>. Solución: Io Fórmula: tg // = - 3 7

f =o 2” Si r - a é " =• * , „ [ . » ' ] [ £

5° La pendiente en t = zr/4 , es:

= a e K(pK = rk

dy __ n/ 4 cos ;r/4 + sen ;r/4 d x _ í = ;ry^ - / r / 4 sen ;r/4 + cos 4 _ ;r + 4 _ -( ;r + 4) 4 - ;r ;r - 4 6

° La ecuación de la tangente en el ori gen será: : y - 0 = 0 (x - 0 )

y=o

Luego: tg// = ^ <=>tg// = £ <=>// = arctg-i (ll)

Hallar el ángulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto 0

0

0

para la lemniscata r = a cos

2

#.

0


Solución:

2)

mT : pendiente de las tangentes a la x = a cosí

C : x 2 + y2 = a2

3)

y = a sent

Para que las normales a E sean tan gentes a la C, debe cumplirse que: mN = mT .

- tt2 \~wn 201 L wu£.vi 4)

mN =

— , donde

se obtiene de E

PERO: dy

m T = cFx 1 doncle 3 7 se obtiene de c 3o Sustituir (i) en Io): t g //:

5) -¿ s e n 2 6 >

Veamos: De: x = a(cosí+ ísení) £: y = a (s e n t-íco s í)

<¡r eos 2 <9 02 sen 2 #

dy _ dx

= -cotg2(9 = cotg(- 29) tg// = tg(;r/2 + 2<9) <=>

jj .

-

k¡

son tangentes a la circunferencia 2 2 ? x + y =a .

C : x2 + y2 = a2

Sean: 1) mN : pendiente de las normales de x = a(cost + ísent) y = a (s e n í -

tcost)

x = acosí y = a sent 4y _ acost dx -asení

= -cotg t 6) Entonces: mN = - ¿ = -cotg í SON IGUALES

mT = -cotgt

Demostración:

= tg t

De:

2^26

(12) Demostrar que las normales a la en volvente de la circunferencia: x = a(cost + í sent); y = a(sení - icos t)

E:

a (cosí + fsent - cosí) a (-sent + ícost + sent)


ANGULO ENTRE DOS CURVAS Si las curvas C1 y C2 se cortan en el punto P for man un ángulo 0 que están definidas por sus rectas tangentes y Ju2 en PEs decir, el ángulo formado por las curvas C1 y C2 es el mismo que forman las rectas tangentes y £ 2 en P.

¿Como se halla el ángulo <9?

iV ? /

'"/Al

Si se conocen las pendientes de las rectas tangentes de las rectas tangentes £ , y £< ; é.

entonces el ángulo Ose halla por la fórmula: igff = m2 la pendiente de

,y

siendo mj la pendiente de £ 2

.

Si se conocen las ecuaciones de las curvas C i y C 2 , entonces: m2 = 'JT en

Punt° de tangencia P = (x0, y0)

ni! = — en el punto de tangencia P = (x0,y0 ) Halle el ángulo de intersección de las parábolas cuyas ecuaciones son y = ( x - 2 ) 2......

•••(I)

y = - 4 + 6x - x 2

... ( )

2

Solución: 1. La intersección de (1) con (2) se obtiene por igualación: (x - 2)2 = - 4 + 6x - x2 x2 - 4 x + 4 = - 4 + 6 x - x 2 2 x2 -1 0 x + 8 = 0 x2 -5 x + 4 = 0


jr x X = 4

= >E n (l):

y = 4 <=> A = (4,4)

x=l

=> En (2):

y = l <==> B = (l,l)

(x - 4 ) (x -1 ) = 0 < Los puntos de intersección son /\(4,4) y B (l,l). 2. Derivando en las ecuaciones (1) y (2): , y V(4>4) = 2(4 - 2) = 4 a) De y = (x - 2 ) => y' = 2 ( x - 2 ) < ^ y('U ) = 2 ( l - 2 ) = -2

b) De

s y(4,4) = ^ - 2(4) = -2 => y' = 6 - 2 x \ ^ y('U ) = 6 - 2 ( l ) = 4

y = -4 + 6 x - x

3. En consecuencia: a) El ángulo en el punto A(4,4): tg 6 = ^

=- y

<9= a r c tg (-| ) b) El ángulo en el punto B(l,l) es: ) Problema 2

Demuestre que las hipérbolas xy = a

y x 2 - y2 = b2 se cortan

entre sí formando un ángulo recto. Demostración: Debo demostrar que el producto de las pendientes de las rectas tangentes a las curvas Ci : xy = a2 y C2 : x2 - y2 = b2 , es igual a -1 . Veamos: De la ecuación: xy = a Obtenemos:

o

Debe cumplirse que m1 m2 = -1

x-^+y =0 dx y dy _ dx

Siendo:

m1 = - j

y

m2 = y

y x

Luego:

De la ecuación: x 2 - y2 = b2

= x#0

Obtenemos:

2x - 2y ^ = 0 -s ^

dy dx

-X y

y

0

Moisés Lázaro C. |f t o b t a a &

Demuestre que el círculo x2 + y2 = 8ax y la cicloide (2a - x)y2 = x3 a) Son perpendiculares en el origen. b) Se cortan en ángulo de 45° en otros dos puntos.

Solución: Q : x2 + y2 = 8ax 1.

Calculo de los puntos de intersección de las curvas C2 : ( 2 a - x ) y 2 = x 3

De Cj obtenemos: y2 = 8 a x - x 2

y = ± v8ia x - x

=>

Sustituir en C2 : (2a - x)(8ax - x2) = x3 (2 a -x )(8 a x ~ x 2) - x 3 = 0 x[(2 - x)(8a - x) - x2 ] = 0

(Dy

v ......................................

Xy - —

n 0

v

(2a - x)(8a - x ) - x 2 = 0 x2 - lOax + 16a2 - x2 = 0 -10ax + 16a2 = 0 \ )

Sustituir (2 ) en (T):

y = ±>/Ó = 0 , así obtenemos el punto A(0,0) .

Sustituir (3 ) en (T):

y = ± ^ 8 a ^ | a ) ~ ( § a )2 = ± ^ a

Así obtenemos dos puntos más:

2.

x -—5a ®a

y

Calculo de 4 - = y' en las curvas Cj y C2 . De Ci

x2 + y2 = 8ax Obtenemos:

2x + 2 y-^ = 8a x + y £ = 4a dy _ 4a - x dx ~ y

C ( t a>~ ^ a )


En el punto

De C2

ÉL

) será:

=-

4g- f a B ~

,

4a

A=—

dy dx

será:

En el punto C(

4a - 0

dy dx

En el punto A(0,0) será:

f °

=±3

~ 4

8, 4 a- Sra

dx

(2a - x)y2 = x 3 Obtenemos:

( - l ) y 2 + (2 a -x )2 y y ' = 3 x 2 - y 2 +2y y '( 2 a - x ) = 3 x 2 ,i _ 3 x 2 + y2 y _ 2y(2a - x )

s¡: y > o

=>

y=^

27^ 7

y'(°-°) = 0

En el punto A(0,0) será:

yf ]

/ s „ X2 En el punto B( -|a,â ) sera:

n 3( f a )2+ ( ^ a )2 y' 1 D= ———-— —— — = 7

/«

ifi

En el punto C¡ 4a, — U ° 3.

^

\

) será: ’

-1

= -2.

no existe.

3(faf +( - i M 2

y' 1 = ^ — '—- ■ = - 7 JC 2 ( - f a ) ( 2 - | a)

Angulos que forman las rectas tangentes a las curvas Cj y C2 : a) La recta tangente a la curva Cten el punto A es x = 0

<

eje y

La recta tangente a la curva C 2en el punto A es y = 0 «

ejex

El eje Y y ei X son perpendiculares en el origen. b) La pendiente de la tangente a Cj en B es m: = ^ La pendiente de la tangente a C2 en B es m2 = 7 Entonces: tgtf^ ^ ^

=> tg0 =

c) La pendiente de la tangente á

=* 0 = f

en C, es rr^ =

La pendiente de la tangente a C2 en C, es m2 = - 7 ,entonces: tgor = 1-i™ 2 * + ™

^

=>

tgar = ----------— = -1 a i + (_ l ) ( _ 7 )

=> cc = ^~ v 4

a = —f

4

Moisés Lázaro C.

<03.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN)

Una función / tiene un MÁXIMO RELATIVO (o máximo local) en un punto c e D om (/), si existe un entorno N(c) alrede dor de V \ tal que:

3.1. Definición 1

/(c )> /(x )

,

V x e N(c) n Dom (/)

NOTA: Si /(c) > f ( x ) , V x g J = intervalo contenido en el dominio de /, entonces el número f(c) recibe el nombre de valor MÁXIMO RELATIVO de / sobre J.

Una función / tiene un MINIMO RELATIVO (o mínimo local), en un punto c e Dom(/), si existe un entorno N(c) de c, tal que:

3.2. Definición 2

f ( c)
,

V x e N (c)n Dom (/)

NOTA: Si /(c) < / ( x ) , V x e J = intervalo contenido en el dominio de /, entonces el número /(c) recibe el nombre de VALOR MÍNIMO de f sobre J.

3.3. ACLARACIONES EN ESTAS DEFINICIONES

3)

Se llama VECINDAD de “c” a todo intervalo abier-

VECINDAD:

s

8

x e
4)

'

to cuyo centro es “c” y radio un número positivo ',

C+ O

& Se denota por N()-(c) = (c - S, c + S ) .

Una vecindad es un entorno de “c” .


5)

PROPOSICIÓN: Todo entorno N(c) de “c” contiene una vecindad de radio S > 0 . Para probar, basta tomar S = min{\c - a \ - c\}. a

c lc —a|

,\b vs(c) C (a, b) <

L

b |b-c|

ENTORNODEC

- VECINDADDEC, S = |c—al

3.4. Definición 3

Los valores extremos de una función son los máximos y mínimos relativos de la función.

3.5. Definición 4

El número /(c) será el máximo absoluto de/, si /(c) > / ( x ) ; V x e D om (/).

3.6. Definición 5

El número f(c) será el mínimo absoluto de/, si /(x) < / ( x ) ; V x e D om (/).

3.7. EJEMPLOS ACLARATORIOS 1.

Sea la función:

/(X):

/(x ) =

/ : [-8 ,7 ) ----> IR definida por:

4~2

^ -2

4 - |x + 3|

-8 < x < 0

x2 +3x

+1

0 < x <5

23 3

5
7+x

-8 < X< -3

1 -x

-3 < x < 0

x2 + 3 x

1 -1

+1

0
23 3

5
/ '( X ):

x2 - 4x + 3

0
0

5
Moisés Lázaro C.

-

En A ( - 8 ,- l ) ,

el número -1 = /(-8 ) es un mínimo relativo de /(x) sobre x e [-8 ,-3 } Pues:

En B (-3 ,4 ),

- l < 7

+x, V x

[-8 ,-3 )

el número 4 = /(-3 ) es un máximo relativo de f(x) sobre x

e [-8,0)

Pues: 4 > 4 - |x + 3|, En C(0,1),

g

V x e

[-8,0)

el número 1 = /(O) es un mínimo relativo de /(x) sobre x e [-3,1 ). 1 -x

,

x e

(-3 ,0)

,

x e

[0,1)

Pues: 1 < ~ - - 2 x23x + 1

-

En D( 1,7/3),

el número 7/3 ~ /(l) t es un máximo relativo de f(x) sobre

En E(3}1)«

el número 1 = f{3) es un mínimo relativo de /(x) sobre


En F(5,23/3), el número 23/3 = /(5) es un máximo relativo de /(x) sobre x e (3 ,7 ) Pues: 22- > ^ - 2 x2 + 3x +1, V x e (3 ,7) -1 = / ( —S) es el mínimo absoluto de / ( x ) , pues /(-8 ) < / ( x ) , V x e [-8 ,7 ). 22- = f (b) es el máximo absoluto de / ( x ) , pues /(5) > / ( x ) ,

4.

V

x e [-8 ,7 ).

PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCION

4.1.

Definición Los puntos críticos de una función f(x) definida sobre un in tervalo J = Dom(/) son de tres clases:

a) Los punte» x e J , tal que, f'{x) = 0 . Estos puntos se llaman PUNTOS SINGULA RES.

b) Los puntos x e J , tal que NO EXISTE f'{ x ) . c) Si J - la, b], entonces a y b también son punte» críticos. 4.2.

Ejemplos

Ejemplo 1.

Sea /(x ) = —í - + 2x - 3x - 1 , definida sobre J = (0,5) donde /'(x) = - x

Ejemplo 2.

+ 4x - 3

De /'(x ) = 0 , obtenemos: x = 3 , x = 1

= - ( x 2 - 4 x + 3)

que son los puntos singulares pertene

= -(x -3 )(x -l)

cientes al intervalo J.

Sea /(x) = (x - 3)2/3 + 2, xeJR donde:

/'(x ) = -| (x -3 )~1/3 3(x-3)V3

Punto crítico es: x = 3 e 5?, pues, NO

EXISTE / ' ( 3 ) .

Decimos p f ’(3) 3 f ’ (3) , porque

no sonnúmeros reales

> ^ /'( 3-) = -|= - 0 0 ^

Moisés Lázaro C. Ejemplo 3.

Sea la función: / : [-5 ,8 ] -----> IR definido por:

Los puntos críticos son: a) De /'(x) = 0 , obtenemos x = 4 .

-2 < x < 8 /(X ) =

23V2,

b)Los puntos x, donde NO EXISTE LA DERIVADA son: x = 0 ,

+ ^ ^ / 2 , - 5 < x < -2

x = 6,

x = -2 . c) Los extremos: x = - 5 , x = 8

i ( 6 x 2 - x 3r 2/3(1 2 x -3 x 2) , -2 < x < 8 f ’(x) =

y

2^2

, -5 < x < -2

3 4 - x

,

intervalo J - [-5 ,8 ] = D o m ( / ) .

-2 < x
SJ x ( 6 - x f /'(X ) =

23j 2

- 5 < x < --2

3

Ejemplo 4. Sea

/(x) = sen|x| =

donde:

senx sen(-x)

, ,

x >0 x <0

/(* ) =

senx -sen x

, ,

x >0 x <0

f'(x) =

cosx -eos x

, ,

x >0 x <0

Los puntos críticos son: a) De /'(x) = 0

x = 2k?r±f

b)

En

X

= 0 , NO

eos x = 0

=>

X

-eos x = 0

=>

X

eZ

EXI STE

/'(O)

y

del


0 .

NOTA: Los puntos x e D om (/), donde NO existe f'(x) se encuentran en: a) Los denominadores de / '( x ) , cuando /'(x) es de la forma f f(x) =

. 3\x) Igualando a cero el denominador (g(x) = 0) obtenemos los x e D om (/), tal que, / f ( x ) .

b) Las funciones VALOR ABSOLUTO. Si /(x) = h(x) + /^(x)|g(x)|, los x g Dy tal que, ^ f f{x) se hallan igualando a cero el valor absoluto (g(x) = 0 ).

Ejemplo 5.

De: /(x) =

2x - 1 obtenemos: 2

/'(X) =

/ /'(1 /2 ), pues x = \ e Df = JR

33V(2x -1)2

A

/'(l/2 ) = ± c o

-2 x -l = 0

-i Ejemplo 6.

En /(x) = |x -4x| \ ------- -—

jf

x3 -4 x = 0

x ( x - 2 ) ( x + 2) = 0 ^ - >

x = 0 x = 2 x = -2

Prueba: /(*) = ■

x —4x , x - 4 x > 0 - x 3 +4x , x3 -4 x <0

x - 4 x , x e [-2,0] u [2,+oo) /(*) = ■

-x 3 + 4 x , x(-oo,-2) yj (0,2)

3 x 2 - 4 , x e [-2,0] u [2,oo> -3 x 3 + 4 , x(-oo,-2) u (0,2)

En x = 0

/'( 0 H

-(0) + 4 = +4

« / /'(O)

/'(0 “ ) = 3(0) - 4 = - 4 En x = -2

/'( 2 +) = 3(2)2 - 4 = 8

*s

=>

/ /'(2)

*s

=>

X / '( —2)

/'(2 “ ) = 3(2)2 + 4 = -8 En x = -2

/'( - 2 +) = 3(-2)2 - 4 = 8

/'(-2 ") = 3 (-2 r+ 4 = -8 <-

Moisés Lázaro C. Ejemplo 7.

En: /(x ) = 2 (x - 2) x2 + 4

/(X) =

■2-

x¿ + 4

,

x >2

,

x <2

Donde:

-2 (x

/'(*) =

- 2 (x - 2) x +4

- 4x - 4)

( x2 +

x >2

4 )2

2( x2 - 4 x - 4 ) ( x2 + 4 )2

,

x <2

Los puntos críticos son: a) De f r(x) = 0, obtenemos: -2 (x 2 - 4x - 4) = 0

v

x = 2 + 2s¡2 e [2,oo)

2(x2 - 4x - 4) = 0 x = 2 -2 x /2

b) En x = 2 , % /'(2 ). Ejemplo 8. Sea

/ ( x ) = |x|a |x

- l\b , donde a y b son números racionales positivos.

Los puntos críticos son: a) De

= 0 se obtiene

/'(x)

b) Los

x

g

Dom(/) / /

x

= son

/'(x)

. x

=0

x = 1

Ejemplo 9.

Sea:

/(x)

=

> /4 x 2 - x 3

x e [-2 ,6 ]

Donde:

/'( x ) =

8x - 3x

3V<4x2-x 3)2

Los puntos críticos son: a) De /'(x ) = 0 , se obtiene x = 8/3 . b) Los x e [-2,6] = D om (/), donde //'(X )

, se obtienen del denominador:

x = 0 ; x = 4 ; pues / /'(O ), X /'( 4 ) . f ( x ) = 3- (3x- 8 ) 2 3

x (4 - x )

c) Los extremos:

x = -2 x =6

Ejemplo 10. Son puntos críticos: Sea:

f(x) = ^ ( x + 2)2 - ^ / ( x - 2 ) 2 /'(x ) = f (x + 2)“1/3 - f (x - 2)-1/ 3

3

^ ( x + 2} (x - 2)

x = -2

porque ^ f ' ( - 2)

x =2

porque / f /'(2)


5.

TEOREMAS RELATIVOS A LA DERIVADA

Teorema 11.

Sea la función / : /'(a+ ) > 0 ,

[ a , + 00)

-----» ]R derivable a la derecha de a. Si

entonces existe

tal que,

£ > 0

x[a,+oo)

implica f{a) < f ( x ) .

a

a
s

a+S

Prueba: Bastará probar: f(x) - f(a) > 0 .

wmMm

uxV

..

/,Uuiiplica I

Ae[u,

} -f“s para tocio s1:>1

3. Por hipótesis: f r{a+) > 0 y la relación en 2) se cumple V s > 0 . En particular dicha relación se cumple para s = 4 /'(a +). Así tendremos:

f r(a+)--kf'(a+) < — o < 4 /v ) <

/(* )-/(□ )

Entonces:. /(* )-/(g) > 0 , como x - a > 0

<

f / V )

/( x ) - /( a ) > 0 m > m

Ejemplo 1. Sea la función / : [2,+ao) -----> IR definida por /(x) = 3 1x —2 1. Analicemos la derivada de / a la derecha de x = 2 . / '( 2 +)= lim x -»2

x>2

x -2 >0

/ ( * ) - / ( 2 ) = ljm 3 ( x - 2 ) - 0 x - 2

x >2

x- 2

3

B1BM

¡2 2 4 )______________________________ Moisés

Lázaro C.

Como vemos, la derivada a la derecha de “2” es positivo, y Por lo tanto, para 2 < x < 2 + S siempre será posible que f(x) > f ( 2).

NOTA:

En esta función, sólo podemos hablar de la derivada a la derecha de 2. Por la izquierda de 2, la función no está definida. Pero si alargamos el dominio un poco a la izquierda, digamos ( 1 . 5 , + o o ) , entonces ya podemos hablar de la derivada de f(x) = 3|x-2| por la derecha y por la izquierda de 2 y notaremos que /'( 2+) = 3 y f'(2~) = -3 . Co mo vemos, existen las derivadas laterales en 2, pero son diferentes; lo cual nos afirma que no existe la derivada de la función en 2.

Corolario 11.1

Sea la función / : (a,b) -----> JR y sea x0 e (a,b>. S i/e s derivable en x0 y /'(x 0) > 0 , entonces existe £ > 0 , tal que, si x, y e (a,b)

a

x0 - S < x < x0 < y < x0 + S implican:

f(x) < f(a) < / ( y ) . Este corolario nos dice: Si x0 es un punto interioi del intervalo 0 ; además, si en unáj vecindad de Xq :
x

que /(x) < f(x q) < /(y). Prueba: 1. Si f(x) es derivable en x0 , entonces existen las derivadas por la derecha e iz quierda de x0 y son iguales.


<§> Es decir: /'(x q ) = lim

= lim ~ v

x>x

x< xo

2. Como / ,(x0)>0,entonces a) /'(xo)>0 En:

y b) / r(x0) > 0 .

a) Si f { x q ) > 0 , entonces (por Teo. 12) existe 8 > 0 tal que, y e (a,b>

En:

l!*0’ = / ' ( xo '

a

x

0

< y < X q + 6 , implica /(x0)< /(y).

Si /'(xq) > 0 , entonces existe

b)

S

> 0 tal que x e { a,b )

a

x0

-

S

implica /(x) < /(x0). [La prueba de b) es similar al Teo. 12] 3. Por a) y b) se concluye la demostración.

Corolario 11.2

Sea la función / : (a,b) -----> IR y x0 g (a ,b ). Si / es derivable en x0 y posee un máximo o un mínimo local en x0 , entonces f ( x 0) = 0 .

En el gráfico, se tiene: a) /(x 0) es máximo local. b) f(x 1) es mínimo local.

NOTA: a) Cuando decimos que f(x) posee máximo local en x0 , nos referimos que en una vecindad V^(x0) = ,x0 + S) de x0 , se cumple que f( x0)> f ( x ) , V x e V ¿ (x 0). I--------------- MÁXIMO LOCAL

b) Cuando decimos que f(x) posee mínimo local en x 1, nos referimos que en una vecindad Vs (xx) = (x1 - 8 , x1 + 8) de x1 , se cumple que f(x 1) < f ( x ) , V X

G

(X i )

.

MÍNIMOLOCAL--------------- 1

Moisés Lázaro C.

{226}

Tesis:

q :

/'(x 0) = 0

Si se prueba que /'(x 0)> 0

a

/'(x 0 ) < 0

en (x 0 -¿>,x0 - 5 ) , entonces /'(x 0) = 0 en

(x0 - S , x 0 +S). Veamos: 1. Supongamos que / posee máximo local en x0 . Es decir /(x 0)> f(x), para todo X G (Xq - S , X q + S ) .

2. Ahora, analizar la derivada a la derecha e izquierda de x0 . a)

A la derecha de x0 : 0 < x - x0 < S tenemos: i)

/( x ) < /( x 0), x0 < x < x 0 + 8 / ( x ) - / ( x 0) < 0 [ / U ) - / ( X 0 )] ^ Q

x -x 0

< 0 , pues x - x0 > 0

X

/'(*o) b)

< 0

A la izquierda de x0 : 0 < x0 - x < S <=> 0 > x - x0 > - S se prueba de mane ra similar, que: / ' (xq ) > 0 .

3.

Como /(x ) es derivable en x0 , se cumple que: / '( x j ) = Í'( xq ) = f ( x 0 ) . Por a), b) y 3) concluimos que: /'(x 0)> 0

a

/'(x 0)< 0 implica /'(x 0) = 0

NOTA: Para el caso que / posee mínimo local en x0 , la demostración es similar.


< §> 6.

FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO

Surge la siguiente interrogante: Si una función / : I -----> IR es continua en el intervalo /, su derivada f'(x) ¿es con tinua en /? Unas veces f'(x) sigue siendo continua en /, en otros casos no es continua en I.

Respuesta.-

Ejemplos:

1. Sea la función / : JR -----» IR definido por f(x) = |x |. En este caso, se tiene: a) f(x) = |x| es continua en IR . f 1 , x>0 b) f (x) = \ [ -1 , x < 0

Es discontinua en “0”. Por lo tanto no es continua en JR .

2. La función f(x) = ex es continua en I = <-oo,+qo) . Su derivada f'{x) = ex es tam bién continua en I = < - o o , + o o ) . 3.

o

n

El polinomio P(x) = a0 + ^ x + a2x +... + anx + ... es continua en todo IR. Su derivada P'(x) = ax + 2a2x +... + nanx n~1 + ... es continua en todo JR .

Definición.

Si una función / : / -----> IR posee derivada en-todos los puntos del in tervalo /, consideramos la función derivada / ': I -----> IR que asocia a cada x e / la derivada /'(x ). a) Si / es continua en I y su derivada / ' es continua en /, diremos que la función f(x) es de clase C 1. b) Si / y las derivadas de todo orden: / ', / " , / '" , , /^n+1^ ... son continuas en /, se dice que f es una función de clase C x .

Teorema 12.

Sea / : [a,fe] — > f? derivable en todos los puntos xe[a,b]. Si f r{ a ) < d < f f(b) entonces existe ce
Moisés Lázaro C.

Demostración: Antes de probar el Teorema, analizar la función / : [0,3] - — > JR definida por,

^

■

Su derivada es / ' : [0,3} ——> E ^

U

donde f'{0) = - 4 , /'{3} = 2 La función / cumple las hipótesis del teo rema. Se cumplen tres casos:

a) En c = 2 e (0,3) se tiene: /'(O) < f'(c) < /'(3) -4 < 0 < 2 b) En q = 1 e (0,3) se tiene: /'(O) < /'(q ) < f(3) -2

c) En c2 = 2,5 e (0,3) se tiene: /'(0) < f ( c 2) < f(3) 1

Prueba del Teorema: 1. Caso I Considerar d = 0 , estoes, si f ( a ) < 0 < f(b) entonces existe c e (a,b) tal que /'(c) = 0 . Aplicar el teorema 10 y el corolario 10.2. 2. Caso II Considerar d * 0 . En este caso construir la función auxiliar g(x) = /(x) - dx Al derivar obtenemos: g'(x) = /'(x) - d donde: g'(c) = /'(c )-d Evidentemente g'(c) = 0 <==> /'(c) - d = 0 f'(c) = d


Además

g'(a) = f f(a) - d g'(a)<0

u

g'(b) = f'(b )-d JJ

g'(b) > 0 <=> f f(b)>d

f'(a) < d

En consecuencia: /'(a) < d < /'(b)

Corolario 12.1

Si / : / ----- > IR es derivable en el intervalo I, entonces / no pue de tener discontinuidad de primera especie en I.

Antes de probar, ver un contra ejemplo de este corolario: Sea la función / : ¡R -----> R definido por /(x) = |x| Su derivada es f \ x ) = •

1 -1

, x >0 , x <0

Podemos apreciar que: a) /n o es derivable en “0”. b) f tiene discontinuidad de primera especie en “0”. Demostración del Corolario:

Según el corolario: Si elegimos un punto c e í que no sea extremo derecho ni extre mo izquierdo del intervalo J, se debe probar dos cosas: a) Si existe

lim f'(x) = L

L = f(c)

x - » c+

I>) Si existe

lim /'(x) = M

X->C~

> M = f(c)

’or lo tanto, L = M lo cual implica que f(x ) es continua en c.

Moisés Lázaro C.

Prueba de a) Por el método de reducción al absurdo. 1. Si fuese L > f f{c) , tomamos d que satisface /'(c) < d < L . Existiría S > 0 tal que: c < x < c + S =>

(*) para todo x e ( e ,c + £)

Prueba de b) Es similar la demostración. 3. Por a) y b) queda probado el corolario. Sea / : [a,b] -----> R . hj : fes continua en el intervalo cerrado [a, ib]. h2 : fes derivable sobre el intervalo abierto (a,b) . h 3 : y f(a) = f(b) <— un caso particular es cuando f(a) = 0 = f(b) .

Teorema 13

(De ROLLE)

HIPOTESIS

TESIS

^ Entonces existe un punto c e (a,b), tal que, /'(c) = 0 .

Demostración: Caso I 1) Supongamos que los valores máximo y mínimo se presentan en los extremos: a y b, respectivamente. si f(a) = MAXÍMO

/(a) > f(x)

V x e (a,b)

si /(b) = MÍNIMO

f(b)
V x e
APLICACIONES DE LA DERIVADA ----------------------------------------------------------------------------------------------- (231

2)

Pero mos:

f(a) = f(b)

[ f(a) = f(b) > f(x) ] DEF.DEMAX 3)

4)

el MAXIMO Y MINIMO COINCIDEN, entonces por (1) tendre

< a

[ f(b) = f(a) < f(x) ] esto Implica que: DEF. DEMIN

f(x) = f(a)

V g

Por hipótesis (h2 ) se tiene que / es derivable sobre (a, b ), por lo tanto al derivar en (*) se tiene f'(x) = 0 < PUES LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES CERO. En consecuencia puedo elegir cualquier x e (a,b) y siempre cumplirá la ecuación /'(x) = 0.

(iqqd)

ILUSTRACIÓN GRÁFICA DEL TEOREMA DE ROLLE:

Caso II 1) Por hipótesis se tiene que f(x) es continua en xe[a,b]. 2) Además f(á) = f ( b ) . 3) Pero f(x) es derivable en todo x e f(a) = f(b) , con a < c < b . 5) Supongamos que existe Mínimo en x = c , entonces por el teorema anterior se cumple que /'(c) = 0 , donde: /'(c) = Mínimo y f(c) < f(a) = f ( b) , con a < c < b . (lqqd)

Moisés Lázaro C.

(232) E je m p lo .

Sea la función /(x) = x - 4 x , definido en x e [-2,2] ¿Cumple el TEO REMA DE ROLLE?

Solución:

1) En primer lugar tenemos que todo polinomio es continua sobre su do minio, en consecuencia /(x) = x 3 - 4x será continua en x e [-2,2]. 2) Además f(x) = x 3 - 4 x es derivable sobre todo x e (-2,2) y /{-2 ) = f- 2)3 - 4(-2) = 0, /(2) * (2)3 - 4(-2) = 0 . Esto es: /(-2 ) = /(2) = 0 , 3) En consecuencia existe por lo menos un número x = c, tal que /'(c) = 0 con Veamos: De: /(x) = x 3 - 4 x Se obtiene: /'(x) = 3x 2 - 4 Haciendo: /'(x) = 0 <=

Teorema 14

3x - 4 = 0 x 2 = | <=> x =

e (-2,2)

V

(TEOREMA DEL VALOR MEDIO, DE LAGRANGE)

h1 : Si / es continua en el intervalo cerrado HIPOTESIS

[a, b], a < b .

h2 : Si/es derivable en el intervalo abierto
TESIS

x = —J=-e<-2,2>

ñ x)= m z M

x e

{a,b), tal que:


-(

Demostración: 1) En el segmento de recta AB conocemos dos puntosA(a,f(a)) y ecuación de la recta <£ : y = g(x) será: fia) = g{a) m -f(a ) ( x - a ) , donde S (x )-/(a ) = b-a f(b) = g(b) 2)

g(x) =

m -m

B(bJ(b))

(x - a ) + /(a)

b-a

pendiente de ÜL

La longitud “L ” del segmento vertical QP es: L = |QP| = \P -Q \ 3)

Donde: L = /(x) - g(x)

4)

Reemplazando (2) en (3): L = f{x)-

5)

6)

L(x) - /(x)-

/(b)-/(g) b-a

LA MAXIMA LONGITUD

f (b) - f[a) b-a

( x - a ) + f(á)

(x -a )-f(a )

de “L ” se obtiene cuando ocurre que:

L'(x) = 0 , donde L'(x) = dL dx Además, por hipótesis se sabe que, f[x) es derivable en x e (a,b) 7)

De (5), obtenemos:

L ’(x) = /'(x) -

m -f{a) b-a

(l-O ) -O

2 3 3

)—

; luego la

,£ }______________________________ Moisés Lázaro C. 2 4

Está conclusión significa que existe una RECTA t a n g e n t e a la gráfica de la función y = f(x) en x e (a,b) que es PARALELA al segmento AB . Se sabe por la Geometría Analítica que dos rectas son paralelas, sí y sólo sí, sus pen dientes son iguales. Además por el cálculo diferencial sabemos que la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE a una curva, en un punto x perteneciente a dicha curva, es la DERIVADA de la ecuación de la curva en el punto x. Según esto, tenemos que: PENDIENTE DE LA RECTA PENDIENTE DEL SEGMENTO AB

V*________________________________

V

=

TANGENTE QUE PASA POR P .

V,_____________________________ ______________________________ /

J

V

=

Donde:

/'(x) =

ñx)

“LA TASA INSTANTANEA DE VARIACION D E /S O B R E x ”

" “LA VARIACION MEDIA D E /S O B R E [a ,b ] ”

El TEOREMA DEL VALOR MEDIO se demuestra, también, aplicando el Teorema de Ro lie a una función que se obtiene del paso (5) excluyendo la constante - /(a ). En (5), setenía que, L(x) = /( x ) -

(x - a ) - f ( a )

Si excluimos el término -/( a ) , se obtiene: /(x) -

f(b)~ /(a)

' Í>-~Ú í ( x - a ) - h ( x )

Aplicando las hipótesis del Teorema de Rolle a la función h(x), obtenemos la demq tración del Teorema del Valor Medio. )

Ejemplo 1.

Sea la función /(x) = 9x - 2x3 , x e [-2,0]. ¿Existe algún x e (-2,0) , tal que, cumple el Teorema del Valor Medio?

APLICACIONES DE LA DERIVADA Solución: 1) f(x) = 9 x - 2x3 continua en [-2, 0]. 2) f {x) ~ 9 x - 2x3 es derivable en (-2,0), entonces: f'(x) = 9 - 6 x 2, V x e (-2,0). 8) Por el Teorema del Valor Medio debo re solver la ecuación: /' (x)-^

y ver

si existe algún valor x, tal que, x e <-2,0).

Veamos: 9 _ 6x2

[ 9 ( 0 ) - 2 (O)3 ] —^9 (—2) —2 (—2)3 ]

9 - 6 x 2 =1 V 2

- 1

A ~6 x = 2 = - f

y¡3

como vemos: 7.

V

X = - - ^

S

« - l . l e < - 2, 0 )

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Corolario 14.1

Si una función / : [a, b] -----> IR posee derivada nula en to dos los puntos x e (a,b) , entonces fes constante.

Demostración: Si f f(x) = 0, V x e (a,b) , debo probar que /(x) = cosntante .

Veamos: 1. Vamos elegir cualquier xe(a,b ] y en el intervalo ^ [a,x] aplicar el Teorema del valor medio: existe a c e ( a , x ) tal que f ( x ) - f(a) = f ' ( c ) ( x - a ) . 2. Por hipótesis /'(x) = 0 para todo XG
.

Í2361______________________________ Moisés Lázaro C.

3. Sustituir en 1: f(x )-f(a) = 0 => /(x) = /(a), V xe (a ,b ] 4.

Por lo tanto, f(x) = constante , sobre (a,b) .

Corolario 14.2

Si /, g : [a, b] -----> 5? son continuas, derivables en (a, b) y /'(x) = g'(x) para todo xe{a ,b ) entonces existe una constante c e JR tal que g(x) = /(x) + c para todo x e [a, b].

Demostración: Aplicar el corolario anterior a la función diferencia g - / .

^

H

Entonces

Corolario 14.3

Demostración:

g- / = c

, c = constante

Sea / : I -----» IR derivable en el intervalo abierto /. Si existe k e iR tal que |/'(x)| < Je para todo x e l entonces, para cual quiera que sean x,y e / se tiene |/(x) - /(y)| < Je|x - y |.

1. En el intervalo abierto I elegir x,y e I con y < x . Luego aplicar el Teorema del va lor medio en el intervalo cerrado [y, x] c=I . Así: / es continua en [y, x] y derivable en (a, b) . Entonces existe z e (x,y) tal que: /(x) - /(y) = /'(z)(x - y ). 2. Como |/'(z)| < k

y

|/(x)-/(y)|

= |/'(z)||x-y|

=> |/(x )-/(y )| < fc |x -y | , pues |/'(z)| = /c


8.

FUNCIÓN LIPSCHITZIANA

Definición:

Sea la fundón / : A ------- > IR . Diremos que la fundón f es

UPS-

si existe una constante c > 0 , tal que: x ,y e A implica: |/(x )-/(y )| ¿ c |x - y |.

CHITZIANA,

Ejemplo.

Sea la función / : [-A,A] -----> IR definido por /(x) = x 2 , A > 0 .P ro bar que / es una función Lipchitziana.

Demostración: Para cualquier x ,y e A tenemos: \f(x)-f(y)\ = |x 2 - y 2| = |x + y ||x - y |< 2 A |x - y | = c |x -y | , c > 0 Como:

x e [-A, A] -A < x < A V.

y e [-A, A] a -A < y < A > SUMAR: -2 A < x + y < 2A a

V--------------------------------------------------------------

1

|x + y| < 2A donde: 2A = c , c > 0 9.

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE EL T.V.M.

En los ejercicios de 1 al 6, hallar los valores x que satisface el Teorema del valor me dio. (l)

/( x ) = x 3 - 5 x 2 - 3 x , x

g

[1 ,3 ].

Solución: 1. Como /(x) es un polinomio, entonces es continua en [1,3] y derivable en (1,3). 2.

f'(x) = 3x 2 -lO x - 3 /'(c) = 3 c 2 - 1 0 c - 3


El T.V.M.

/ ,(c) = ^

rp )

_ (3 )3 —5 (3 )2 —3(3) —[(l)3 —5(1)2 -3 (1 )] 3 -1

3c2 -1 0 c -3 = — ■ ^ --7) 3c2 -

4.

®

10c - 3

= -10 <=

3c2 -1 0 c + 7 = 0 (3 c -7 )(c -l) = 0 c = l v c=l

c = |e < l,3 > . g[x) = ^ +x % t '5- , x e [l,5 ]

Solución: 1. g(x) es continua en [1,5]. g(x) es derivable en (1,5) . o

_ (x -6 )(2 x + 6 ) -( x

+ 6 x + 5 )(l)

(5 ) h(x) = 9 x - 2 x 3 , x e [-2 ,0 ] Solución: 1. h(x) es continua en V x € [-2,0]. h(x) es derivable en ( - 2, 0]. 2.

,

x - 12x - 4 1

I

(x - 6)2 - 5 , De g(x) = x2 x+ 6x -6

= -6 0

lg(l )= 1+1 +5

3.

_ _ 12 5

4.

(-

2)

9 - 6ucc2 = 0^- (-- 22)-) 9 - 6c2 = 1 <=> 6c2 = 8 c=> c2 = 2 <=> c = + -?=

-6 0

(c - 6 )2

,_

=> 77 c2 - 924x+2387 = 0 Al resolver, una de sus raíces es c = 3.7 e (1,5>.

= ~2

El T.V.M. es: 0-

_ g (5 )-g (l) 9'(c) = 5 -1

5.

> /i(-2 ) = 9 ( - 2 ) - 2 ( - 2 ) 3

. » . _ h(0)-h(- 2)

El T.V.M. es: - 12c - 41

=0

=> h'{x) = 9 - 6 x 2 => h'(x) = 9 - 6 c 2

/r\ 25 + 30 + 5 'g<5 >= - 5 - 6

3.

h(0) = 9(0) - 2(0)3

h(x) = 9 - 2x 3

(x - 6 )2

g[X) "

De:

4.

_

De estos valores: c = —j~ e ( -2 ,0 ) v3


(í)

4. H T.V.M. es:

Dada la función f(x) ■

x e

[ - 1 ,2 ] ; ¿existe

S '( c )

x 0 e < - l , 2 ) , tal que

verifique el Teorema del valor medio?

=

g ( 5 ) - s ( -4 ) 5 -(-4 )

3c + 6c + 1 —-

Solución: 1. La Ira. hipótesis del T.V.M. es que f(x) sea continua en [ - 1, 2].

^

3c2 + 6c + 1 = 25 < = > 3c2 + 6c - 24 = 0 c2 + 2 c - 8 = 0

(c + 4 ) ( c -2 ) = 0

2. Pero f(x) = — -—« es discontinua en

c = -4

v c=2

( X - 1 ) 2

x = 1 e ( - 1, 2) ; por tanto, no se podr ía seguir desarrollando los siguientes pasos. 3. Luego, /(x) no cumple el T.V.M. y no existe x 0 e ( - 1, 2) . © g(x) = x 3 + 3x 2 + x +1, x € [-4,5] Solución: 1. g(x), por ser polinomio, es continua en x e [-4 ,5 ]; además que es conti nua en x (-4 ,5 ). 2.

5(5)

y g(-4) se hallan fácilmente por el Teorema del residuo: DIVISIÓN SINTÉTICA. 5 1 3

1

41

1
’1 < x ~ 2

Solución: 1. /(x) es continua en x = 1 , porque: 1 = /( 1)= lim /(x) = lim f(x) x-+l+

2 . /'(* ) = '

X->1

3x - 2 x + l , 0 < x < l , i < x <■§ (2 - xf

/+(!) = --2 -2 = 2 = / : ( l) = 3 - 2 + l x >1

(2~x)

x <1

Luego, /(x) es derivable en x = 1. 1

-4

1

1

1

-4

4

-2 0

1 -1

5

-1 9

5 40 205 1 8

2-x

206 5(5)

3. De g(x) = x +3x + x + l g'(x) = 3x 2 + 6x + 1 g'(c) = 3c2 + 6c + l

3

g (-4 )

3. En los puntos x e ^ 0 ,-|J , f(x) es continua y derivable en ^0,-| ^ . 4. El T.V.M. es: m

= lÉ lz lñ

|_o

/(O) = (O)3 - (O)2 + 0

=0

Moisés Lázaro C. /'(C) = ^

2

f'(c) = 2 3c2 - 2 c + 1 = 2

v

Rpta.: x 0 9.

7 7 ^ = 2

(2-c)

3 c 2 ~ 2c - 1 = 0 (3c + l ) ( c - l ) = 0 (3 c + l ) ( c - l ) =

0

i <* * c=1

3

3 (2

- c )2 =

1

a+ b

Sea la función /(x) = ^ /(x-2 )2 defi nida en x e [0,4] ¿es válida para ésta función el Teorema de Rolle en el segmento [0,4]?

■

L^ c = l

5. c = l e ( 0 , | )

Q

¿Verifica /(x) = x - x el Teorema de Rolle para los intervalos [-1,0] y

10.

[0,1]?

Problemas Propuestos: Grupo 1

En los ejercicios del 1 al 8, hallar el valor de x que cumpla el T.V.M. 1.

/(x) = l - x

2

, X € [ 0, 2]

Rpta.: 1

2.

4.

11.

f(x)

Rpta.: 1 + V2

12.

f(x) = Lnsenx, xe[;r/6,5;r/6]

, x e [1,2] Rpta.: l[> /3 9 -3 ]

13.

/(x) = 4 senx , xe[0,i]

14.

/(x ) = V x 3 - 3 x + 2

/(x) = x 3 - 3 x 2 , x e [1,4]

3. /(x) = x

x = --3=e<-l,0> x = - ^ e <0,l> Verificar la validez del Teorema de Rolle para las siguientes funciones del 17-20. Rpta.:

/(x) = V l - x 2 ,x e [ 0 ,l] 15.

« p ía .:

16.

6.

/(x) = x 1/3 ,

X G

[-1,1]

8.

2/3

, x e [-1,1]

/(x) = cx + dx + e , xe[a,b]

, x e [1,2]

Comprobar que se verifica el Teo rema de Rolle para la función: /(x) = (x - l)(x - 2)(x - 3) Sea /(x) derivable en el intervalo [a,b], ab > 0 . Demostrar que: i

7. /(x) = l - x

= x 3+4x 2 -7 x -1 0 , x e [-l, 2]

a- b

a

m

b

Hb)

donde a
= /(c )-c /'(c )

APLICACIONES DE LA DERIVADA < g>

9.1.

OTROS PROBLEMAS RESPECTO AL T. V. M.

\ Problema 1 Probar que ex > 1 + x para todo x > 0 . Prueba: 1. Partiremos de la función /(x) = ex que es continua y derivable en todo x e . 2.

Aplicar el teorema del valor medio en el intervalo cerrado [0,x].

3. f{x) - e x es continua en [Q,x] y derivable en <0?x>, entonces por el T.V.M. existe un numero c e <0,x} tal que: f(x) - /(O) = f (c)(x - 0}, donde f (x) = ex ex -1 = ecx Como c € => c > 0 => ec > e° K M í

s i e S l y x >0 => x e c > x * Por transitividad: ex -1 > x ! Problema 2

> 1+ x , V x > 0 .

Probar que: |senx-seny| < |x - y |

Prueba: 1. Aplicar el T.V.M. a la función /(x) = senx sobre el intervalo cerrado [x,y], porque /(x) cumple todas las hipótesis del caso. 2.

Existe c e (x ,y )

> x < c < y tal que: /(x )- /( y ) = /'(c)(x -y )

Aplicar | . | : Pero: |cosc| < 1

sen x - sen y = eos c(x - y) |senx-seny| = |c o sc ||x-y| |senx-seny| < |x - y |

/(x) = senx donde /(y) = seny /'(x) = cosx f'(c) = cose

*

2 4 2

)______________________________ Moisés Lázaro C.

(Problema 3

Probar: nyn ( x - y ) < x n - y n < n xn (x -y ) Si 0 < y < x , n = 1,2,3,...

Prueba: 1. Aplicar el T.V.M. a la función /(x) = x n sobre el intervalo cerrado [y, x ] . 2.

y

c

Existe c e (y ,x ) <=o y < c < x tal que: /(* ) - /(y) = /'(c)(x - y ), donde /'(x) = nx n4

x n - y n = ncn_1(x -y ) ......................................................... 3.

4.

( 2*)

Pero: 0 < y < x => 0< y n_1 < x n_1, n = 1, 2 , 3 ,... Multiplicar por n: ny n_1 < n x n_1 Como: 0 < y < x x - y > 0 => nyn_1(x -y ) < nxn_1(x -y ) ....... (3*) Ahora, operemos (2*) con (3*): a) En (2*) hacemos c = x : x n - y n = nxn_1(x -y )> n y n_1( x - y ) ... (a*) b) En (2*) hacemos c = y: x n - y n =nyn” 1(x -y )< n x n- 1(x -y ) ... (b*)

5.

(a*) y (b*) prueban el problema.

[Problema 4

Si a > 1, entonces (1 + x)a > 1 + a x para todo a > -1 .

Demostración: 1. Si x = 0 , se cumple 1 = 1. 2.

o

c

x

Aplicar el T.V.M. a la función f(x) = (1 + x)a en el intervalo cerrado [0,x]. /(x )-/{0 ) = f(c )(x -0 )

4.

1

,

, dorare f(x ) = a ( l + x)**"1

(1 + x)“ -1 = «(1 + c)“ 1x .......(3*)

f(c) = a (l + c)0'" 1

Si se prueba que: a(l + c)a~l > 1, el problema estará probado.

x


Veamos: Como:

1

a >

a - l >0

a

[c > 0 => l + c > l] U (l + c f ^ l u

or(l + c)"_1 > a Como:

a > 1 => a( 1+ c)a 1 > 1

Como x > 0 , por x: 5.

=^> a( 1 + c)a 1x > x

Por (4*) y (3*): (l + x f - l > x

=>

(4*)

(l + x)a > l + x

Probar que: l- ^ < L n x < x - l, para x > 1. Prueba: 1.

•HUmHMMMHiMIMMUm

1

Aplicar el T.V.M. de /(x) = Lnx sobre [1, x ] : Existe c e (1, x) tal que f(x) - /(1) = f r{c)(x - 1) Como /(x) = Ln x < 2.

( 1 *)

/(l) = Lnl = 0

Sustituir en (1*):

Como:

L n x -0 = iC(Vx - l )

c > 1 => - < 1 c

x > 1 => x -

1>0

u

(2*) =>

Lnx = “ ( x - l) Lnx < x - 1 ...............

■i (x- l ) <(x(2 * * )

1)

Moisés Lázaro C.

{ 0 }

3.

Por otro lado, si iC > iX

p o r x - l> 0 :

=¿> - i( x - l) > --(x -l)

4.

Volver a (2*): L n x > —(x -1 )

5.

Por (4) y (2**): - —- < Ln x < x -1

Probar que x > Ln (1 + x ), x > 0.

*Problema 6

Prueba: El dominio de /(x) = Ln(l + x) es x > -1 . 1. Aplicar el T.V.M. a la función f(x) = Ln(l + x) sobre el intervalo [0,x]: 3c g (0,x) t.q. f(x) - /(O) = f'(c)(x - 0) ........................................... (1*) /(O) = Ln(l) = 0

2.

Si f(x) = Ln(l + x), entonces

/ 'W = T T 7

/'( c ) = iT7 3.

Sustituir en (1*): Ln(l + x) = T^ x

4. Luego:

1 + c 'x

Como: => => => =>

x >0 c >0 1+ c > 1 ^ 1 +< c 1 1+c


|P r o b le m a 7

Probar que: senx + tgx > 2 x ,

^0 <

x<

Prueba: 1. Aplicar el T.V.M. a la función /(x) = senx + tgx sobre [0,x]: 3c g <0,x> t.q. /(x )-/(0 ) = /'(c )(x -0 ) ....................................(1*) 2. Como: /(x) = senx + tgx

/( 0) = sen0 + tg 0 = 0 9 /'(x) = cosx + sec x /'(c) = cosc-f-sec2c

3. Sustituir en (1*): senx + tgx = (cose+ sec9 c)x 4. En 0 < x < -| se cumple que: cose + sec c > 2 por x >0 => (eosc +sec c)x > 2x o

5.

Volver a 3: senx + tgx >2x

Moisés Lázaro C. Corolario 14.4

Sea / continua en [a,b] y derivable en (a,b) Si existe lim f'{x) = L entonces existe f'(a+) yes f'(a+) = L. rt - » a+

Demostración: Basta probar que yn - » a y lim /'(yn) = L. Se trata de analizar el límite de la n— >co

derivada a la derecha de “a”.

yn

Veamos: 1. Elegimos arbitrariamente una sucesión de números reales xn >a con lim x n « di

2. Como/es continua en [a,b], entonces existe el siguiente límite lim

~

*1. 1

3. Aplicar el T.V.M. a la función f(x) sobre [a,xn] : para cada neiN existe y„ , .. a < y n
(3*)

Es evidente que yn -»a (porque a < yn < xn y xn -> a). Luego, en (3*) obtene mos: L = lim ^Xn)~{(- = lim /'(yn)

Corolario 14.5

Sea / : (a,b) -----» í? una función que es derivable, excepto, posiblemente en un punto c e (a, b ), donde / es continua. Si exis te lim f'(x) = L , entonces existirá /'(c) y además de eso x -> c

f(c) = L . Teorema 15

(TEOREMA GENERALIZADO DEL VALOR MEDIO 0 DE CAUCHY)

HlPÓTESIS

Si dos funciones /(x) y g(x) son continuas en [a,b] y son deri| vables en (a, b) , además g'(x) = 0 , V x e (a, £>) Entonces existe un número real c e (a,b), tal que:

T e s is


Prueba: 1. Construir una función que cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle. Sea la fun ción h(x) = [/(b) - f(a}] •[g(x) - g(a)) - [g(b) - g(a)] •[/(x) - f(a)} 3. Como /(x) y g(x) son continuas en [a,b] y derivables en (a,b), también h(x) es continua en [a,b] y derivable en
b'(x) = [/(b) - /(a )]. g'(x) - [g(b) - g(a)] •f'[x) => h'(c) = [/(b) - /(a )] • g'(c) - [g{b) - g(a)] * f (c) = 0

f f(c) zr /(b)-/(Q) De donde: ff'(c) ff(b)-s(a) Ejemplo:

Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones f(x) = x 2 +2 y g(x) = x 3 -1 en el intervalo [1, 2] y hallar c .

Solución: 1. f(x) = x 2 + 2 y g(x) = x 3 -1 son poli nomios y por tanto son continuas en [1, 2] y derivables en <1, 2). 2.

Para hallar c, deberá resolverse la ecuacion: / ( 2 ) —/ ( I ) _ f ( c ) S ( 2 ) - fí (l)

3.

De /(x) = x + 2 /'(x) = 2x

4.

ff'(c) *

f(2) = 6 /(l) = 3

-----> /'(c) = 2c

De g(x) = x -1 g'(x) = 3x 2 -

' s(2) = 7 >s(l) = 0 g'(c) = 3c2

5.

Reemplazar en 2: f r § = ^ T —>

1 = -2 . 7 3c

Moisés Lázaro C.

{ 0 }

10.

REGLA DE L’HOPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES INDE TERMINADOS DE LA FORMA £0 Y — 00

Teorema 16

(REGLA DE L’HOPITAL)

Supongamos que lim /(x) = 0 y lim g(x) = 0. x —> o

x —> a

Si existe xlim 44? , entonces existe xlim 44r y ^ 3 (x )’ ->a9W

lim 4 4 1 = lim 4 4 1

x - > a 9 ( x)

x —>a & (x )

Calcular: xlim 1 cosx -» 0 x2

Ejemplo 1.

Solución: Como

lim

1

lim

1

x —»0

x -> 0

c°sx = , Aplicamos L'Hopital (derivar numerador y denominador) u

c°sx = lim

x2

x -» 0

4 2x

0

(otra vez derivamos)

= lim cosx _ i x™

2

2

La regla de L’Hopital se puede aplicar, también, para las siguientes formas indetermi nadas: lim 4 4 = —, entonces lim 4 4 = lim 4 4 r c^ a 9(x) oo’ x->a9W x-â^W lim 0 4s( x)4 = ~oo >entoncesx - >lim 4 4 =x ^lim 44 o o 3 (x ) aoSM III. La indeterminación 0 •qo se debe convertir a una de las siguientes formas a)

0 -oo = -£L = Il

b)

0-oo = ^ = 0

Se le aplica L'Hopital


.

,

---------------------------------- — ----------------------------------(249)

La proposición es: Si lim /(x ) = 0 y lim g (x ) = cc, entonces lim f(x) g(x) = 0 •co x ->a

x —>a

x->a

= lim

/(*) = o

x ^ aJu J V

IV. La indeterminada

co -

co

=

lim -S¥

°

L= ^

xÔ jfjy

«

se debe convertir a la indeterminado ^ , para poder

aplicar L ‘Hopital. Proposición: Si: lim /(x) = oo y lim g(x) = oo , además, lim [/(x )-g (x)] = o o -o o ; entonces x->a

x ->a

la indeterminación

oo - oo

x —>a

se evita haciendo la siguiente transformación:

lim [/(x )-g (x )] = lim /(x)

x->a

x- >a

. Si lim

/(x)

x -* a * W

= 1, entonces se hace

i -iL Í ü i

=

Km LílL= 0 1 0■ x “>a 7ÜT

V. Los limites indeterminados l 00, 0o , algunos de los casos anteriores. NOTA:

oo°

se evitan aplicando logaritmo natural y

Hay casos en que deben combinarse la regla de L ’H OPITAL y los medios elementales.

Moisés Lázaro C. < §> 1 0 .1 .

PROBLEM AS

i.

lim

x c o s x -s e n x

s

o

,

= ¥r • Entonces:

x -> 0

ü x c o s x -s e n x _

x -» 0

x3

(xcosx - senx)' _ x -» 0

(x3 )'

cosx - xsenx - cosx _ x -> 0

3x2

j .^

-sen x

x -» 0

3x

(-sen x)' -c o s x = xi.lim To'-rr- = xi.lim —ó— = —é-3i -> 0 (3 x ) -> 0 3

2.

lim — - —

n , nx x -> 0 cotg ~ Y

= — • E n to n c e s : oo _

lim -

£ £

xÔxcotg^

71

71

_

O . go

|im

xÔtalL£l

_

1---------

x ~ > 0 iL sec2 £ £

2

3.

7T_______

_

— x— ----------------

2

2

71 J_

.2 2

JL

2

fon lgx~sen-x- = SL. Entonces: = lim * £ * .z£E** = £0 , luego: 0 -»0

x ^ q

x -s e n x

i.

x

2 sec x secta x + s e n x

v

2 sec2 x tg x + sen x

°

0

j

•

±

= l i m ----- - ----------- = -pr • d e riv a r o tr a v e z : xÔ senx 0 -

= l i m ------------------x -> 0 senx

l - cosx

2 2 secx secxtgx + sec2 x sec2 x +co sx lim — ------------------------------------- J-------x -» 0 cosx 2 2sec2 x tg x + sec4 x + co sx ornîiii lim — ------------------------ j-------- = i L 0+ l L t l = 3 x -» 0 cosx 1

4.

lim ( l - x ) t g - f x = 0 .o o , e n t o n c e s : lim (1 - x ) t g - f x = lim 1 --x = ¿ x -> l ¿ x -> lc o tg | -x

x -» l

A p lic a r L 'H o p it a l:

= -l i m -------- ---------- = j =L x —>l

cosec — x

~|

_ 2 5.

lim ( l “~c€&x)cotíj)C = Luego:

G.ac

Um (l-c o s x )c o ta x = lim

x-~»0

x~*0 secrx

x ~ »0

1

u

APLICACIONES DE LA DERIVADA < s >

6.

lim x x = 0o ,; i: x > 0

x >0

Hagamos: Tomar Ln Tomar límites

y = xx Lny = x •Lnx lim [Lny] = lim [x •Lnx]

Pero:

Ln lim

x -» 0

x -» 0

x —>0

Hagamos:

lim

Lnx

X - > °

por L' Hopital: o sea:

: lim

x -> °

Ln lim

-

1 ~2

=0

x -> 0

lim y = 1 lim x x = 1

x -> 0

Hagamos:

^

(

lim

Lny = lim [ tg^ r j Ln[ tg

t

)

Tomar Ln Tomar: Pero:

lim y = lim ( tg 4p ) Ln( t g ^ ) = lim x —>1 v } x ' x —>1

X —>1

4 ,

Por L' Hopital:

j = oo •0

xx

= xlim 1 -----—>1 ~ cosec2 -X yX

cota —

Moisés Lázaro C. < §> 2L2.

4 1 _= - 1

Ln lim y

- f '1

x —>1

lim y = e

-1

Ln lim y

X -> 1

x —>1

8.

tgx

lim ( 1 )

x -> 0 ' x '

Hacer:

k- í í

)* ’ — »

Lny = tgx Ln-^ lim (Lny)= lim tgx (L n l-L n x ) x

>0

x -»0

= - lim tg x Ln x = 0 •= - lim x ->0

x —>0

- lim

Por L' Hopital

s- t -

x -*0 - c o s e c

_ 1

= lim

x _^0

x

x cose c 2 x

^ °°

: lim ^nx. x ->0

: lim x ->0

Por L' Hopital:

x

_

2 sen x c o s x

lim (Lny) = 0 x -»0

Ln ( i t a j , ) = ° lim y = 1 x —>0

9. lim ( cotg x }senx = a>° Hacer:

y = ( cot9^)senx Lny = senx •Ln(cotgx) lim (Lny) = lim [senx(Lncotgx)] = 0*«s

x->0 cosecx

íir

Lnx cotg x


Por L' Hopital: = lim x

c o tg X

^ q -c o s e c x . cotg x

2

= lim>0

cosec x cotg

= lim _»0

cotg 2 x

x

o

x

= lim -ía^ x ->0 sen x

Por L' Hopital

= lim ^

se
x -> 0

cosx

Hm(Lny) = l M x -> 0

1

ln / lim y ) = 0 [ x-»o

10.

=>

}

lim y = i

x->o

lim ( l + x 2)* = 1“

x -»0

Hacer:

y = ( l + x 2 )x lny = —L n (l + x 2 ; lim (lny)= lim -Mn(l + x 2 ) = 00

x -> 0

Pero:

x -> 0 x

= lim

x -» 0

ln(1+x2) x

2x

Por L' Hopital

= lim

x -> 0

1

= lim -- - - - = -2. x ^ 0 l+ *

lim (lny) = 0 x h

>0

ln / lim y \ = 0 \x_>° I

lim y = 1 xÔ

1

*

0

Moisés Lázaro C.

(254) 11.

lim J9£z2L = ¿0

x -> 0 x - s e n x

x -1 Por L' Hopital: lim —x x- = lim ~sec-cosx

x_>0 x ~senx

otra vez por L'Hopital: lim S-,ec x

_ o 0

1

x -> 0

1=

x -> 0 1 - cosx

=

lim

2 sec x secx.tgx

x -> 0

lim 2 sg_xta« x -> 0

senx O

n 0

= lim 2 sec x ■lim x -> 0

= [2 ]

lim secLjc x --> » 0 cosx X

= [ 2 ] [ 1 ]= 2

12.

lim

x->oo e

— 00

Por L' Hopital:

x-»co e

lim

3x^

lim

6x

lim

_6_

x —>00 e x

X —>00 e x

X —>00 e x

= -£- = 0 i o

13.

i.

x + Lnx

lim — j-----

xôo

x Lnx

Por L' Hopital:

tgx x -> 0 senx

lim —+ .Lnx = x-»oo lim Lnx + x JxL n x


14.

i lim |r_ _ ln x

ln x J

lim x->l

lim2 lnx J = ^^

X —>1

Pero

lnx

x _ i =(

Por L' Hopital:

lim y-i

y y -i

= lim x-»l “

i

=

ln y

u “ ” l

L' Hopital:

1 -x ln x

- lim

00

—

00

jjlny-y +1 ( V -l)ln y

0 0

ln y + y i - - 1 + 0

1----- --

y —^1 ln y + ( y - l ) ^

= lim ÍM ± i 4 M

y

i

ln y + l - i

y

= iim _ y.l?.y_ = o y _ l l y ln y + y -1

lny + y i

'opital: = yllim i m ----------> l lny + y^ + 1 - 0 livr, Jny + 1 _ 1

O

Moisés Lázaro C. < §> 17.

lim

sen
0

Pero:

■lim

cp - » o

= lim0 -
1 — COS2

1 -C O S Í 5

2 - (1 + COS (p)

1 -c o s ( 1 - COS (p

(p

1 -C O S

__ 1 .

~~

l-c o s < p

^ - cos
= lim Tj— i— = _ !_ = 1 ^ 0 1 + cos^ 1 + 1 2 18.

lim

x -» 0

Pero: Por L'Hopital

= lim

9 9

x -+ 0

X sen¿ x

= lim = lim

xÔ x^C

Por L'Hopital

2 x - 2 se n x cosx

x - + 0 2 x sen2 x + 2 x 2 s e n x c o s x 2 x - sen 2x 2 x sen2 x + x 2 sen 2 x

= lim

2 - 2 eos 2 x 2 [ sen2 x + 2 x s e n x c o s x ] + 2 x s e n 2 x + 2 x 2 c o s 2 x

= lim ----- 9--------------------------------- 5------2 -2 c o s 2 x

x - + 0 2sen

x + 2xsen 2x + 2xsen 2x + 2x

cos2x

2 -2 c o s 2 x - i.iim -----------------------------------------------------

cos2x

x - > 0 2 sen x + 4 x s e n 2 x + 2 x

Por L'Hopital

= lim

4 sen 2 x

x - > 0 4 sen x cosx + 4 s e n 2 x + 8 x c o s2 x + 4 x c o s 2 x - 4 x

lim

4sen2x

x - + 0 6 sen 2 x + 1 2 x c o s 2 x - 4 x

Por L'Hopital

sen 2x

sen 2x

8 eos 2 x

= lim

x - * 0 1 2 eos 2 x + 1 2 eos 2 x - 2 4 x s e n 2 x - 8 x s e n 2 x - 8 x

8 12 + 1 2 - 0 - 0 - 0

8 =

24 =

1 3

cos2x


< §> 11.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Definición 1

Definición 2

Teorema 17,

Teorema 18.

Una función f(x) es creciente sobre un intervalo /, cuando se cum ple que: Si < x 2 =^> /(x i) < /(x 2) ; V x 1,x 2 e I Una función f(x) es DECRECIENTE sobre un intervalo /, cuando se cumple que: Si x1 < x2 => /(x 1)> /(x 2) ; V x 1,x2 e í Si /'(x) > 0 , para todo x perteneciente a un intervalo abierto í, entona ces f ( x ) es CRECIENTE sobre L Si f ( x ) < 0 , para todo x perteneciente a un intervalo abierto enton ces f ( x ) es DECRECIENTE sobre I.

Demostración del Teo. 17.

Demostración del Teo. 18.

1) Consideremos dos puntos Xj y x 2 perte-

1) Consideremos dos puntos x 1 \

neciente a /, tal que

neciente a /, tal que

Xi < x 2

2) Por el Teo. del V. Medio, existe algún

2) Por el Teo. del V. Medio, existe algún

x e , tal que: f ( x ) =

x g ( x 1, x 2 ),

3)

3) Por hipótesis, tenemos que:

f'(x)

>0

Xi < x 2

tal que: /'(x ) =

/(*2)-/(*i) x2~X1

Por hipótisis, tenemos que: /'(x )

; VxeI

<0

f ( x2 ) ~~f ( xl )

/(x 2 ) - / ( x l ) > 0

<

, V

x e

/

Q

x2 -Xi

x2 - x 1

<=> /( x 2) - f { x j ) < 0 , pues x2 - x 1 > 0

<=> /( x 2) - f { x 1) > 0 , pues x2 - x 1 > 0

/ ( x 2 ) < / ( x 1)

<=> 4)

4) Por (1) y (3) tenemos que:

Por (1) y (3) tenemos que: Xi < x2 => /( x 2) > f ( x 2) , V Xx,X2 G I

Xi < x2 => f ( x 1) < /( x 2 ) , V x 1, x 2 e /

Por lo tanto: /(x ) es DECRECIENTE sobre /.

Por lo tanto: /(x ) es CRECIENTE sobre I.

y =f(x)

1)

f (x )

es CRECIENTE en x e ( a , x 1)

2) f ( x 1) = 0 3)

f[x)

es DECRECIENTE en x g < x 1,x 2 >

4) / '( * 2 ) = 0 5) 6)

f [x ) es CRECIENTE en f'(x3) = 0

x e

( x 2,x 3 >

7) /(x ) es DECRECIENTE EN x e < x 3 ,a>

Moisés Lázaro C. Definición 3

NOTA:

Una función/se llama NO-DECRECIENTE sobre un conjunto 7¡ si para todo x1, x 2 e / , se cumple que: si x1 < x2 =^> f(x1) < f(x 2). /(x 1)< /(x 2) <=> f(x1) = f(x2) v /(x 1)< /(x 2) t1

-

Esta igualdad indica que en algún tramo de / (subconjunto de I) la función / ( x ) es constante (recta horizontal).

Definición 4

NOTA:

Una función / se llama NO-CRECIENTE sobre un conjunto I, si para todo xx, x 2 e / , se cumple que: si x1 < x 2 =5- /(x 1) > /(x 2). /(x x)> /(x 2) <=> /(x 1) = /(x 2) v /(x 1)> /(x 2) EJEMPLOS

/M =

( x - 1 ) -5

2

x

, 0 < x <

4

, 2 < x < 5

3(x) =

-6 -i(x -4 )2 , x >4

^+ 3 , x > 5

f ( x ) es NO DECRECIENTE. En el interva lo

2
se cumple:

V x1?x 2 e (2,5) .

Definición 5

NOTA:

f ( x 1 ) = /( x 2 ) ;

, - 2
g [x )

es NO CRECIENTE en el tramo

0
se

cumple:

g(x1) = g(x2 ) ,

V x 1, x2 e (0 ,4 )

Una función / se llama MONOTONA sobre el conjunto / , si sobre / , / es creciente o decreciente o no-creciente o no-decreciente. Según las definiciones 1 y 2 deducimos que: - Una función creciente es no-decreciente. - Una función decreciente es no-creciente.


< §> 12.

CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS

(CRITERIO DF, LVPRIMERA DERIVADA)

Teorema 19.

Sea c un punto crítico de f ( x ) , donde f'(c) = 0 v / ' (c) no existe. Si v3 (c) =
1. Si [/'(x )> 0 , V xe(c-< ?,c)

f(x)

a

< 0 , V x e (c ,c

f(c) esunMÁxi-

+ ¿ }]

MO relativo de /. c-S

c+6 ...........................9

0

f'<0

r> o CRECIENTE

2.

Si [/'(x )< 0 , V x e ( c -c > ,c )

!

DECRECIENTE

/'(x )> 0

a

¡

, V x g ( c , c + ^)]

/ (c )

es un MÍNIMO

relativo de f. c-5

c+8 f'<0

1

3. Si

{ [/ ' >

0, VX

€

(c — <5, c)

DECRECIENTE

f >0 !

f r> 0 ,

A

CRECIENTE

V x g ( c , C

+ ^ ) ]

}{c) no es MÁXIMO ni

V

MÍNIMO relativo de f.

,

[/'< 0 ,

V x e (c-d ,c)

c-8

í? ...........

0 f r> 0 CRECIENTE

a

/ ' < 0 , V x e (c ,c + b)]}

c+8 -

—9

c+8 9— 1 —

f'>0 CRECIENTE

!

— ....

f' < 0 DECRECIENTE

t* r - .....

................ 0 f'<0

DECRECIENTE

;

Moisés Lázaro C. Ejemplo:

/( X ) =

5.

Sea la función: -3 x 5 + 5x 3 + 54 , x < 2 -2 |x -4 ¡ + 2 , 2 < x < 5 (5 -x )e 5_x , x > 5

Tenemos: 1. Dom(/) = x e lR . 2. /(x) es continua en V x e IR . 3. Definir el valor absoluto en / . f(x) =

-3x 5 + 5x 3 + 54 2 (x -4 ) +2 -2 (x - 4) + 2 (5 -x )e 5~x

, , , ,

x <2 2 5

4. Derivar y factorizar: - 1 5 x 2 (x - 1 ) ( x + 1) , x < 2

/'(* ) =

Teorema 20.

2 , 2 5

6.

PUNTOS CRITICOS:

{0, -1, 1, 2, 4, 5, 6 }

Intervalos donde/crece y decrece. \J / oj '/^\\2//7\ lo \§/ r

i

i

i

rs

/(-1) = 52 es mínimo relativo de /. /(O) = 54 no es máx. ni mínimo de /(x) /( 1) = 56 es un máximo relativo de /. /( 2) = -2 es un mínimo relativo de/. /(4) = 2 es un máximo relativo de /. /(5) = 0 no es máx. ni mínimo relativo de/. / ( 6 ) = - — es un mínimo relativo de/.

(CRITERIO DE LASEGUNDADERIVADA)

Sea/una fundón derivable en un entorno de c. Si f ( c ) = 0 1) Si f"(c) < 0 => /(c) es un MÁXIMO relativo de /. ^

a

/ " ( c)

existe, entonces;

'/

2) Si /"(c )> 0 => /{c) es un MÍNIMO relativo de /. Prueba de 1)

Para afirmar que f(c) es un máximo relativo de/, debo probar que: / ' > 0 , V x g ( c - í , c ) a / ' < 0 , V x e (c ,c + £ }

APLICACIONES DE LA DERIVADA_______________________ .

.

Veamos: 1. Por hipófisis se tiene: /"(c) < 0 , además que / es derivable en N(c) = entorno de i entonces / es continua en N(c). 2. Como f"(c) existe, entonces: /"(c) = lim

lim £ M z l M . < 0

, * / : ' / . , ' „v?;7.*"
Existe una vecindad a) Si

x
b) Si

Vó(c) = (c- S, c + S)o: N(c) , tal V x e ( c - S , c ) , entonces

pero f'(c) = 0 =>

f„ *

■'" -

que:

=> /'(x )>0

x > c , V x £ (c ,c + (?), entonces --■ ■ XJ~¿^ <0 < 0 => /'(x) < 0

Por 3 a) y b) hemos llegado a la conclusión siguiente: 0~ 5

°t8

?__

f> 0

(c) — ( c —5, c) U ( c , C +

f '<0

S ) = vencidad reducido de c. S e llama así por que excluye al centro c.

Por lo tanto f(c) es un MAXIMO RELATIVO de /. (por 6.1). Prueba de 2)

Queda como ejercicio.

Ejemplo:

Sea f(x) = 2 cosx -cos2x , x e IR . Obtenemos: 1. /'(x) = - 2 senx + 2 sen 2x = -2 sen x + 2(2 sen x •eos x) = - 2 senx + ( l - 2 cosx) 2.

*./',

^ ~ i~-¿-^ < 0

777 <0

pero /'(c) = 0 => ^ 4.

~,x>'C

,;

Puntos singulares (críticos):

/

senx - 0

=> x = n^- +( - l ) n0°

______________________________ Moisés Lázaro C._______________ 3. 4.

Puntos críticos j n 7F,-|- + 2 n ;r,^ L + 2 n /rj La segunda derivada es: De f'(x) = -2senx + 2sen2x => f"(x) = -2cosx + 4cos2x = 2[4cos 2x - eos x - 2] a) /"{n¿r)>0 => / tiene mínimos relativos en x ~ m

b} / ' (x/3 + 2n¿r} < 0 => / tiene máx* relativos en x » ^ + 2nn c) /"(5;r/3 + 2nn) < 0

13. 13.1.

=> f

tiene máx. relativos en x =

2n;r

PROBLEMAS RELATIVOS A MAXIMOS Y MINIMOS FUNCIONES POLINOMICAS

(T ) Encuentre los valores máximos y mínimos relativos de /(x) = 3x 5 - 20x 3 +16 Solución: I o El Dominio de /( x ) , es x e R , por ser un polinomio. 2°

Son puntos críticos:

Los puntos singulares, es decir, los x e D o m (/), tal que, /'(x) = 0 Veamos: De f(x) = 3x 5 -2 0 ;r 3 +16 Obtenemos: f'(x) = 15x4 -6 0 x 2 ............................................... (a) = 1 5 x 2 (x2 - 4 )

f r(x) = 15x2 (x - 2)(x + 2) Luego: x es punto singular <=> /'(x) = 0 , con x e Dom(/) = R c=> 15x2 (x - 2)(x + 2) = 0 <=> x = 0 v x = 2 v x = -2 Total de puntos críticos = {0,2, -2 }

APLICACIONES DE LA DERIVADA 3°

(263)

Intervalos donde la función es crciente y decreciente.

a) f(x) es CRECIENTE:

<=> f'{x)> 0 15x2(x -2 )(x + 2) > 0

Simplificando los términos o 15x , por ser positivos b) /(x) es DECRECIENTE:

( x - 2)(x + 2) > 0 X E (-0 0 , -2 ) U (2, +oo) /'( X ) < o

15x2 (x - 2)(x + 2) < 0 ( x - 2)(x + 2)<0 x e ( - 2, 2} 4°

Dibujar en la recta real el dominio de / y los puntos críticos. Luego, analizar en qué intervalos /(x) es creciente o decreciente. <-oo,-2> f

5°

-2

\ <-2 ,0)

<0 , 2>

(2 , ® >

CRECIENTE

DECRECIENTE

DECRECIENTE

CRECIENTE

f'(X) > 0

f'(X) < 0

f'(X) < 0

f(x ) > 0

Por lo tanto: i) Existe máximo en x = -2 , donde

Máx(/) = /(-2) = 80

ii) Existe mínimo en x = 2, donde

Mín(/) = f{2) = -48

Cálculo de los puntos de inflexión:

Puntos de Inflexión = { x e Dom (/)/ f"{x) = 0} Veamos: Del paso 2o (a) obtenemos: /"(x ) = 15(4x3) - 60(2x) = 60x3 - 120x = 60x(x - 2 )

Moisés Lázaro C.

o

«

V

L£.

IC ,

/(O) = 16

V

1 II X

II X

x II

Haciendo f"(x) = 0 , tenemos: 60x(x -2 )

Donde: (0,16)

f{y¡2) = 16 -2 8 ^ 2 *23.60 /(-V 2 ) = 16 + 28V2 *55.60 (2 )

Hallar los máximos y mínimos de la función: f(x) = x 4 - 4 x 3 + 16x .

Solución: Io

Dom(/) = x € IR, por ser /(x) un polinomio.

2o

C Á C U L O DE L O S P U N T O S C R ÍT IC O S:

i) Son puntos críticos los x e D om (/), tal que, /'(x) = 0 .

Veamos: o

(0 )

-1

Haciendo /'(x) = 0 , tenemos: 4( x - 2 ) 2(x + 1) = 0 <=

x=2

4

x = —1

oo oo 1

/'(x) = 4(x - 2 )2 (x + 1 )

2 4 -12 8 2 4

i

/'(x) = 4 x 3 - 12 x 2 +16 .............

FACT0RIZAND0 POR RUFFINI 00 o

a

/(x) = x - 4x + 16x , obtenemos:

i 00 4^

De:

4 -4 4

0

12 -16 0

0

INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:

a)

/ ( x ) e s c r e c ie n t e

simplificando 4 ( x - 2 )

> / '( x ) > 0

4 ( x - 2 ) 2(x + 1)>0 x +1> 0

x > -1

por ser

positivo V x e R , x * 2 .

X e < -l,+ 8 )


b) f(x) es decreciente <=^> f'(x) < 0 4 (x - 2)2 (x +1) < 0 ..................................... , simplificar 4(x - 2)2 por <

x < - 1 <=> x

g

positivos V x e R con x * 2 .

< -o o ,-l)

<-1 , 2)

<2 ,«>

f '( x ) < 0

f '( x ) > 0

f'(X) > 0

DECRECIENTE

CRECIENTE

CRECIENTE

<-00,-1)

-1

Por lo tanto, existe un mínimo en x = -1 , donde: Mín(/) = /(-1 ) = (-1 )4 - 4

( - l ) 3 +16(-1) = -11

(-1,-11) 4o

g

Gr(/)

CÁLCULO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN:

Los puntos de inflexión son los x e D om (/), tales que, f"(x) = 0 , Veamos: En el paso 2o (a) teníamos: f'(x) = 4 x 3 - 12x 2 +16 /"(x ) = 12x2 - 24x

Del cuál obtenemos:

f"(x) = 12 x(x - 2 ) Haciendo:

/ f,(x)

/) Para

= 0 , obtenemos /(O) = (O)4 -

x

= 0 <=>

12x(x-2)

=0

<^=>

4 ( 0 )3

x

=0

v

x

=2

+ 1 6 (0 ) = 0

(0,0)

ii) Para x = 2 , obtenemos /(2) = (2) - 4(2) +16(2) = 16 5o

INTERVALOS DE CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD DE LA FUNCIÓN

Visto la función de arriba hacia abajo: /) / es cóncava, sí:

/"(x)

> 0

1 2 x (x -2 ) > 0 c = í

X G (-0 0 ,0 ) U ( 2 , oo)

(2,16)

g

Gr(/) g

Gr(/)

Moisés Lázaro C. < §>

© ACÓNCAVOj KCOÑCAVOj

XCÓÑCAVO) XCÓHCAVO)

ícomxas

ii) fes convexo, sí: f"(x) < 0

x e ( 0, 2 )

NOTA ACLARATORIA:

a) para el caso i, también se dice: CONCAVO HACIA ABAJO

vjy

b) Para ei caso ii, también se dice: CONCAVO HACIA ARRIBA

Hallar los máximos relativos y los mínimos relativos de la función: f(x) = { x - 4 )4(x + 3 )3 . Solución: I o Dom(/) = x € R , por ser /(x) un polinomio. CÁLCULO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS:

Son puntos críticas los x e Dom(jf), tal que, /'(x) = 0 Veamos: De /(x) = (x -4 )4(x + 3 )3 Obtenemos: /'(x) = (x -4 ) 4 [(x + 3)3]' + (x + 3)3 [(x -4 )4]' = (x - 4 )4 [3 (x + 3 )2] + (x + 3 )3 [4 (x - 4 )3] = (x - 4 )3(x + 3 )2 [3(x - 4) + 4(x + 3)] = (x - 4 )3(x + 3 )2 [7x] /'(x) = 7x(x - 4 )3(x + 3 )2* Haciendo f'(x) = 0 , obtenemos: 7x(x - 4) (x + 3) = 0 V

00 1 II X

o II X

V

X II

2o

APLICACIONES DE LA DERIVADA 3o

INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE: a)

/ ( x ) es CRECIENTE

<=>

/'( x ) > 0

0

7x(x - 4 )3(x + 3 )2 >0 Podemos simplificar los términos: x ( x -4 ) > 0 7 ( x - 4 ) 2 ( x + 3 )2 por ser x e < -o o , 0 ) u positivos para x a 4 y x * - 3 b)

/ ( x ) es DECRECIENTE

C

*

f'M < 0

7 x (x -4 )(x + 3)<0 (-«>, -3)

( 4 , oo)

(-3,0) -3

f

0

\

x e (0,4) <4 , QO>

(0,4) 4

f'(x) > 0

t (X)> 0

f'(x) < 0

f (x) > 0

CRECIENTE

CRECIENTE

DECRECIENTE

CRECIENTE

Por lo tanto: /) Existe un máximo relativo en x = 0, donde: Máx(/) = /(0) = 6912 » (0,6912) e Gr(/) ii) Existe un mínimo relativo en .x = 4 , donde: Mín(/) = /(4) = 0 « (4,0) e Gr(/)

P Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: *

/(x) = x 5 + x + l , x e [ - 1, 1].

Solución: I o Dom(/) = x e [-1,1] 2o

SON PUNTOS CRÍTICOS:

i)

Los extremos: x = -1

Donde:

ii)

a

x=1

/( -l) = (-l)5 + (-l) + l = - l

( - 1, - 1) e Gr(/) (1,3) e Gr(/)

/(1) = (1)5 + (!) + ! = 3 Los valores que resultan de resolver la ecuación /'(x) = 0

(VALORES SINGULARES).

Moisés Lázaro C. Veamos: f'(x) = 5 x

+1

Haciendo f'(x) = 0 tenemos: 5 x 4 +1 = 0 <=>

x4 - - -

<; ;> x 2

±J~4r <-

IM A G IN A R IO .

Luego: / x e [-1,1]//'(x ) = 0

3o

INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN f ( x )

/)

f(x) es creciente

ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:

<=>

/'(x) > 0 , con x e [ - l , l ]

<=>

5 x 4 +1 > 0

<=>

xeIR

a

x € [-1,1]

x e [ - 1 ,1 ] /'( x )< 0

ii) f[x) es decreciente

5x4 + l < 0

a

x e[-l,l]

a

(j>

x e[-l,l]

<¡> Es decir /(x ) es sólo creciente sobre todo x e [-1,1].

4o


Los puntos de inflexión son los x e Dom(/) = [-1,1], tales que /"(x ) = 0 . De: /'(x ) = 5x 4 +1, obtenemos f"(x) = 20x 3 Haciendo f"{x) Si

5°

X= 0

/( 0 )

=0 , tenemos: = (O)5

+(0)

+l

(0,1)

20x 3 = 0 <=> x 3 = 0 <=í> x = 0

<------—

EL G R A F IC O S E R Á :

X

y = x 5 f X+ 1

-1

-1

- 1/2

0.46

0 1/2 1

1 1.53 3

Máximo(/) = 3 <=> (1,3) € Gr(/) Mínimo(/) = /(-1 ) = -!<=> ( - 1 , - 1 ) e Gr(/)

PUNTO DE INFLEXIÓN


{269}

Hallar los máximos y mínimos relativos de la función:

(5 )

/(x) = 3x 4 - 8 x 3 + 6 x sobre [-Vfe,1/^]. Solución: Io

Dom (/) = x € [-% ,% ]

2o

SUS PUNTOS CRÍTICOS SO N : /)

Los extremos x

=

-V2

a

x

= V2

ii) Los valores singulares (ó sea los valores que resultan de resolver /'(x) = 0 . Veamos: De

/(x) = 3x 4 - 8 x 3 4- 6 x 2

Tenemos:

f'(x) = 12x3 - 2 4 x 2 + 12x = 1 2 x(x2 - 2x +1) /'( x ) = 12x(x - l ) 2

Haciendo /'(x ) = 0 , tenemos:

TOTAL DE PUNTOS CRÍTICOS

3o

12x(x -1 ) = 0

={-V 2 , 0 , V2 }

SOBRE

,

INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:

i)

f(x) es creciente c= > /'(x ) > 0 <=> <=> C=>

ii) f[x)

12x (x -1 )2 > 0

a

x e

x >0 X € {0, +00)

e s DE CR E CIE N TE

hemos simplificado 12(x —l)2 por ser positivo V x e

X€

I- V

/'(x) < 0

a

1 2 ( x - l )2

A

X <0

A

x

g <-y2,o)

x e [ - V 2, V2]

X G [ —V2, V2 ]

R c , on x

1.

Moisés Lázaro C < §> <-’/», 0)

<0, V4> f(x ) >

f(X) < 0

0

DECRECIENTE

CRECIENTE

(-)

(+>

Per lo tanto, existe un mínimo relativo en x = 0 , donde: Min(/) = /(O) = 3(0 )4 - 8(0)3 + 6(0 )2 = 0

c=^>

(0 , 0 ) e G r (/)

Además: a) /(-V 2) = 3 (-V2)4 - 8 H / 2)3 + 6 (-y 2)2 = 43/16 es un máximo relativosobre el intervalo (-Vi, 0 ) , por que se cumple que: /(-Ví2) = 43/16 > f ( x ) , V x e <-Vfc,0> b)

/(Vi) = 3(Vfe)4 - 8 (Vi)3 + 6 (y2)2 = 11/12 es un máximo relativo sobre el intervalo <0 ,y2> por que se cumple que: f(V2) = 1 1/ 12 > /(x ), V xG < 0 ,y2)

4o


Los puntos de inflexión son los x e (-Vi, Vi) , tales que, De:

/'(x) = 1 2 x 3 - 2 4 x 2 + 12x /"(x) = 36 x2 - 48x +12

f"(x)

= 12(3x2 - 4 x +1)

f"(x) Haciendo:

=12(3x - l)(x - 1 )

/" ( x ) = 0 , tenemos:

12(3x - 1 ) (x —1) = 0

, se obtiene:

/"(x) = 0

.


5o

EL GRÁFICO:

X

y = 3x4 - 8 x 3 +6x2

-1 /2

2.68

0

0

1/3

11/27

1/2

0.68

6o

INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD:

i) f e s

si f"{x) > 0

CONCAVO,

//) / es C O N V E X O , si /"(x ) < 0

(C O N C A V O H A C IA A B A J O )

12(3x - l)(x -1 ) > 0 -’/2

0

A

( C O N C A V O 1 IA C IA A R R IB A )

x e P / 2,1/ ]

(+)

(ó )

e

[ -

-'A

V¡ 'A 1

■ ■-HWW/W//W/////W////////////////I

x

12(3x - l)(x -1 )

xe

[-V

0

(+)

(+)

1/2,1/3)

2,

'A

------------------------------------- 1 —•

i

(-)

a

---------

(-)

x e <1/3,1/2]

Determinar condiciones sobre a, b, c7 y d para que la función definida por: /(x)

= ax

o

+bx

o

+ e x + d tenga un mínimo en

x

= 0 y un máximo en x = 1.

Solución: =

3 ax2

+2 bx + c

1°

f'(x)

2o

/"(x ) =

3o

Para que /(x) tenga un mínimo en x = 0 , debe cumplirse que:

6ax + 2b

Moisés Lázaro C < §> resolviendo ambas relaciones, obtenemos:

4o Para que

c =0

b>0

a

/(x) tenga un máximo en x = 1, debe cumplirse que: /'(D = o

/''(1)< 0

3a(l)2 + 2b(l) + c = 0

6a(l) + 2b <0

3a + 2b + c = 0

6a + 2b < 0

3a + 2b = 0

a
3a = -2b a

A

A

-4b

Luego:

(j)

a =-fb

, b > 0 , c, d son cualquier número real. O

Determinar los coeficientes p y q del trinomio cuadrado y = x■ + px + q , de modo que y = 3 sea un mínimo de este trinomio cuando x = 1

Solución: Io

Se sabe que

y = /(x)

Además si

f(x) = x + p x + q

Se tiene que

f'(x) = 2x + p , /"(x) = 2

Para que /(x ) tenga un mínimo en x = 1, debe cumplirse que: /'(1) = 0 v-

T

>

2(1) + p = 0

Además: /(1) = 3

1 + (—2){1) + q = 3

q=4


1 3 .2 .

FUNCIONES RACIONALES

®

M f =

- ;2_ V 2

Solución: Io

El dominio de f(x) es:

2o

PUNTOS CRÍTICOS:

¡R - { x = 1}, donde

Son puntos críticos los números Veamos:

7

\_

/'(x )

/'( X ) = /'(* ) = f'M =

x e

Dominio(/), tal que

.

( x - l ) ( 2 x - 2 ) - ( x 2 - 2 x + 2 ) ( 1)

(x-1)2 2 x 2 - 2x - 2 x + 2 - x 2 + 2 x - 2 ( x - 1)2 x

- 2x

( x - 1)2 x (x - 2 )

(x-1)2

haciendo f'(x) = 0, obtenemos: x(x - 2) = 0

3o

/ '( x ) = 0

x=0

x =2

IN T E R V A L O S D O N D E LA F U N C IÓ N ES CR ECIEN TE Y D E C R E C IE N T E :

a)

/(x ) es creciente

<==> f'{x) > 0 x(x - 2)

(x-1)2 simplifico (x -1 )

x =

>0

por ser positivo V x e K , con x * 1. <=>

x(x - 2) > 0

o

1

2

x e <-oo, 0) u <2, +oo)

1 es ASINTOTA VE

,2 J4 )______________________________ Moisés Lázaro C. b) /(x) es decreciente <=>

f r(x) < 0

<=>

x

<0,2), con x + 1.

e

MÁXIMO

MÍNIMO

x= 0

,

x=2

--------------------° ------------------f ' >0

f ' <0

CRECIENTE

DECRECIENTE

f

' >0

CRECIENTE

Luego: ?) Existe máximo relativo en x = 0 sobre el intervalo <-oo,l) donde

Máx(/) = /(O) =

■

= - 2 <=> (0,-2) e G r (/) ii) Existemínimo

relativo

en

x =2

sobre el

intervalo

Mín(/) = /(2) = 2 <=> (2,2) € G r (/). 5o

P U N T O S DE IN FLEXIÓ N :

Son puntos de inflexión, los x e Dominio(/), tal que /"(x ) = 0 . Veamos: De

:

f'(x) =+ (x-l)

Obtenemos :

f"(x) = 2^~x

+2x + X\

( x - l )3

Haciendo

:

f"(x) = 0

<— > - x 2 + 2x +1 = 0 <=>

6o

x = l± V 2 < ^ x = 2'4 x = -0.4

D IR E C C IÓ N D E C O N C A V ID A D :

a)

y = f{x) es convexo (visto de abajo hacia arriba) s

x._______

CONCAVO HACIA ARRIBA

<=>

/"(x ) > 0 2 (-x 2

( x - l )3 ^

,

, simplificar “2” y (x - 1)2, x + l

+ 2 x +1)

Q Por ser positivos. >

- x 2 + 2x - 1 > Q

x -l

(1,+qo)

donde


< §> *- 2 x - 1

:O

x —1

,

puntos críticos = {1 + y¡2 ,1 - \¡2} 1 + V2 « 2 .4

-0 .4

2.4

0

1 -V 2 * - 0 .4

(-) =>

b)

+

(-)

x e <-oo,-0.4 ) u <1,2.4)

y = /(x) es cóncavo (visto de abajo hacia arriba). CONCAVO HACIA ABAJO

*=>

/"(x) < 0 X e (_0.4,1) u <2.4, +oo>

7o

A S ÍN T O T A S O B L IC U A S :

La recta y = fcx + b será a s í n t o t a lim M

o b lic u a

si existen los límites:

=k

lim [ f [ x ) - k x ] = b X —>+00

Veamos:

Como

/(x) •

xz -2 x + 2 x - 1

Tenemos: xz - 2 x + 2

a)

lim -

x - 1

- = lim

X —>+CO

x ¿ - 2x + 2

x —^ +00

x

x

= lim X —>+co

b)

lim X-++C »

■

X2 - 2 x + 2 x —1

X

-

:

lim

x2 - 2x + 2 ~ x 2 + x x - X

X-++00 lim

-- X + 2 X - 1

~1 +— : lim — ^ = -1 = b X-++QO

Moisés Lázaro C.

< §>

Por lo tanto la asíntota oblicua será:

f(x) =

y = x -1

16

Solución: Io

El Dominio de /(x) es: I R - {0 ,2 ,-2 } con asíntotas verticales: x = 0 , x = 2, x = -2 . P U N T O S C R ÍT IC O S :

/'(* ) =

De / ( x ) , obtenemos:

x ( 4 - x 2 ) ( 0 ) ~ 16 [ x ( - 2 x ) + (4 - x 2 ) ( l ) ] x2

(4 - x 2 )2

x (4-x )

Haciendo /'(x) = 0 , obtenemos: 16(3x2 - 4 ) = 0 <=> 3o

3x2 - 4 = 0

IN T E R V A L O S D O N D E

<=>

/( x )

x = ±-y= ■J3 E S C R E C IEN T E Y

D E C R E C IE N T E :

a)

/ ( x ) e s c r e c ie n t e

/'(* ) = o 16(3x

- 4)


Simplificar “16”, “ x2 ” y (4 - x2 )2 , con x * 0, x * ±2 , por ser positivos: <í=>

3 x2 - 4 > 0

«= >

(V 3 x -2 )(V 3 x + 2 )> 0

-2

-2

V31

(+)

(-)

(+)

x e ( - a o , - 2 ¡ S ) u (2 /V 3 , + oo) , con x ^ ±2 b) /(x) es decreciente

f ’ (x)

<

0

x e< -2 /V 3,2 /V 3>

Hagamos el diagrama:

MÁXIMO

d ' V31

-2 y’ > 0

y'> 0

y'< 0

, con

x ^ 0

MÍNIMO

A V3

0 y'< 0

2 y'> 0

y' > 0

a) Existe máximo en x = -2/y¡3 , donde: M M f ) = f í - 2 / S ) - - z¡¡jM r ¥ = - 3 S

b) Existe mínimo en x = 2/y¡3 , donde mín (/) = / ( 2 / ) = 3V3 .

JS> S' = J T 7 Solución: Io Dominio: X€ R . 2” PUNTOS CRITICOS; obtenemos:

De y = l - f e . 4:+ x

/ =
= ( 4 + x 2 )2

Moisés Lázaro C.

Haciendo y' = 0 , obtenemos:

-4 x +16 = 0 4 x 2 -1 6 = 0 x = ±2

3 o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:

a) y = /(*) es creciente

y' > 0

> 0 ^simplificar (4 + x 2)2 -4 x 2 +16 > 0 4 x 2 -1 6 < 0 4(x 2 - 4) < 0 (x 2 - 4) < 0 ( x - 2)(x + 2)<0 -2

2

(+)

<+)

(-)

<=> x <-2, 2) b) y = /(x) es decreciente:

y' < 0 X E ( - 00,

-2) (2, U

+ 00)

Hacer el diagrama: MAXIMO

MÍNIMO

■"—

■ —

2

-2

y'< 0

y'> 0

y' < 0

/) Existe mínimo en x = -2 , donde mín(f) = f ( -2 ) = //) Existe máximo en x = 2, donde máx(/) = / (2) =

= -1 =1

APLICACIONES DE LA DERIVADA < §> 13.3. @

FUNCIONES IRRACIONALES G (x ) = | ( x - 9 ) ( x - 1 ) 5/ 3

Solución: I o Dom(G) = x e IR 2o PUNTOS

CRÍTICOS:

De G(x) , obtenemos:

G'(x) = f [ ( x - 9 ) f ( x - l ) 2/3+ (x + l) 5/3] = | ( x - 1 ) 2/3[ | ( x - 9 ) + ( x - 1 ) ]

G '( x ) = (x - 1 ) 2 /3 (x - 6 )

Haciendo G'(x) = 0

(x -1 )2/3(x - 6 ) = 0

3o INTERVALOS DONDE G(x)

x =l

x =6


a) G(x) es creciente <=> G'(x) > 0 <=>

( x - l ) 2 /3 ( x - 6 ) > 0 < = >

[ ( x - l ) 1 /3 ]2 (x - 6 ) > 0

simplificar [(x - 1)1/3]2 por ser positiva V x e R , con x ^ l

<=>

x -6 > 0

<=>

x > 6

< = >

x g (

b) G(x) es decreciente <

6 ,- h x > )

G'(x) < 0 x € 00 6 ( -

X

,

) , pues la solución es lo contrario de la anterior con x

€ ( - 0 0 ,1 ) U

(1,6)

*1

Moisés Lázaro C.

Hacer el siguiente diagrama para analizar: MÍNIMO

6 G '(x) > 0

G'(x) < 0

G'(x) < 0

Existe mínimo en x = 6 , donde Mín(G) = J -(6 - 9)(6 - 1)5/3 = - ~ ^ [ 2 5 . 4o PUNTOS

DE INFLEXIÓN:

De G'(x) obtenemos: G"(x) = (x - 1)2/3 + (x - 6) | (x - i r 1/3 ^ ( x - i r 1/3 [ ( x - l) + | ( x - 6)] ^(x —l) - 1/3 [ 3x - 3+32x --1g] = (X _ i ) - l / 3 ^ 5 x _ 1 5 j

G"(x) = -| (x -

1)“1/3(x -

5) = -|

SON PUNTOS DE INFLEXIÓN:

i) Los puntos donde G"(x) = G c=>

íx -5 )

=0

^

x=5

«) Los puntos donde no existe G "(x): Que se obtiene igualando a cero el deno minador y resulta x - 1 = 0 <=> x = 1. 5o INTERVALOS DE CONVEXIDAD Y

CONCAVIDAD:

(Vista la función de arriba hacia abajo)

i) G(x) es cóncavo <=> G"(x) > 0 5 (x-5) >o 3 3/^1 x -5

ii) G(x) es convexo

>o

<=>

G"(x) < 0

<=>

x e <1,5)

1

(+)

(->

<+)

X G (-0 0 ,1 ) U (5 ,+ °o )


(| í)

g(x) = 4 x 3 - 3 x

Solución: I o Dominio de g(x): x e Dom(g)

x - 3x > 0 x(x 3 - 3) > 0 x(x-> /3 )(x + >/3) > 0

2 o pu n tos c r ít ic o s :

De g(x), obtenemos: g'(x) =

x e [-•v/3,0]u[-\/3,+oo)

2 ,/x 3 - 3x

■\¡x - 3 x

Son puntos críticos: ¡ a) Los extremos de los intervalos cerrados del dominio, es decir: x = -\¡3 , x = 0 , x = y¡3 . b) Los puntos que resultan de g’(x) = 0: I <¿=21 = 0 => x 2 -1 = 0 <=> ( x - l) ( x + l) = 0 <=> |x = l| |x = —1 V

^

Jx3 - 3x

- NO PERTENECE Al DOMINIO

c) Los puntos donde no existe g'(x), que proviene de igualar a cero el denomina dor: x 3 - 3x = 0 <=> x(x 2 - 3) = 0 <=> x = 0 ,x = , x = -y¡3 Total de puntos críticos = { -y¡3 ,- 1 ,0 , \Í3 }. 3o INTERVALOS DONDE g{x) *) 9ÍX) es creciente


<=^> g'(x )>0 3

U 2 -l)

2 X 2

X> 1

V

a

xe{ S ,o )

, +oo)

>o

>0

x 2 >1 x < —1

x e ( —v/3,-l)u(>/3,+oo)

simplificar V-x3 - 3 x , simplificar a/ x 3 - 3 x , por ser positiva

-V31 -1

Vx e

0

< -V 3 ,0 )u (a /3 ,o o >

1 V31

.

Moisés Lázaro C.

ii) g(x) es decreciente: <=> g'(x) < 0 <=>

x2 - 1 < 0

<==> x 2 <1 <=>

-1 < x < 1

a

xe<-V3,0)u(>/3,oo)

<=3. x e < -l, 0> Hacer el siguiente diagrama y analizar: ^MÁX, V31 g'>o

g'
g' > 0

/) Existe máximo en x = -1 , donde: máx(S) = g (-l) = V - l + 3 =^2 « (-1,72)€ Gr(f) Es decir, x/2 es un máximo sobre el intervalo ( —v/3,0) ii) Los otros extremos de la función, son: a)

g(-^J3 )

=

3 a/ 3 + 3 a / 3 = 0

b) g(0) = >/o = 0

< = ^>

(V 3 ,0)eG r(/)

í'iíí% 2xJx

S"(x) = |

_______________

S"(x) = |

2yx- 3x

x v ®

v *r

3

( —v / 3 , 0 ) e G r ( / )

2

<=> (0,0) e Gr(/)

C) s(V3) = V 3 V 3 -3 V 3 = 0

-

7/1^
4x{x3 -3 x ) - 3 { x 2 - l ! 2

»3frf^-3x} ;. ......

=

.Á

/

3 ' ^

—3 x -

1 -2 -V3

1 Va'

3^X

-v

3ix2 , n2

**«* " '1 ' 2-^x3 -3x ■- ^ 1 7 ; ■ . :> r ;

1

::A

4x4 - 12x2 - 3x4 + 6X2 - 3 i& lw is E & S s :a ;í;:íy S Í ® i

APLICACIONES DE LA DERIVADA Haciendo g"(x) = 0 <=> x -6 x

- 3 = 0 <=> x

'I ? 1 ” ' 2 •■ = > .x »

Entonces, el punto de inflexión será: ^ ^ 3 +

13)

■(2.5,2.96)

/(x) =

I o DOMINIO: xeD om (/) <=> x e iR - { x 2 - l = 0} <=>

2 o PUNTOS CRÍTICOS:

/'(*)=■

x <=IR -

{ 1 ,- 1 } , donde

De f( x ) obtenemos f(x ) =

3 3 -Jx 2 - 1 _

( 3/ ? - l )

x = ± 1 son asíntotas verticales.

^ /x 2 - 1 - x-L (x2 - 1 ) _2/3 ( 2x )

3(x2 - 1 ) - 2 x 2

/'(*) :

3 ^ /(x 2 - l ) 2 ( 1 / x2 —1 )

Son puntos críticos: /) Los puntos que resultan de /'(x) = 0 <=> x 2 - 3 = 0

3 (x 2 - 1)4/3

= x/3 v x = ->/3

3o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:

a) /(x) es creciente

f'M > 0 x2 - 3

3(x2 -1)4/3

x2- 3 > 0

•0

,

Simplificar [
Moisés Lázaro C.

b) f(x) es decreciente <=> f'(x) > 0 x2- 3 <0 x2 < 3 -V 3 < x < -s/3

Ilustrando en un diagrama, tenemos: si f(x ) = y' -1 y'<0

y’ <0

y’ <0

y’ >0

Entonces: /)

/ ( x ) tiene m á x im o e n x =

h)

/ ( x ) tiene m ín im o e n

( x 2 - 1 ) 4 /3 ( 2 x ) - (

f"M =

x2

De f(x ) = 3 (

3 (x 2 - l ) - 4 ( x 2 -3 )

9

Haciendo f"{x) = 0

( x 2 _ 1)7 / 3

-j j ^ -

<=>

, ob ten em os:

- 1 ) 4/3 _

1 2 x (x 2

- 1 ) 1/3

3 (x2 _1)8/3 ( j X ■"■^- 3'(X

3 (x2 - 1}7/3

W

- 3

X x2

» =

Mín(/) = - || o ^>/3 , ijjL

- 3 ) | ( X 2 - 1 ) 1 /3 ( 2 x )

( x 2 - l ) 8/3

f " ( x ) = - 2 * - ____ 1____

7

Máx(/) = 3^

, donde

x = V3 , donde

4o PUNTOS DE INFLEXION: n x )= i

— J 3

= 2x9 (x 2 _1l ) 7/3 rL x 2 + 91J

(x 2 - 9) x =0 Y

(0,0)

v

x =3 Y

(3,-1)

v

: = -3 Y

(-3 ,-f)

e ^ d /)


( S ) /(x) = 2x + 2 - 3^/(x +1)2 Solución: I o DOMINIO: x e Dom(/) <=> X € Í ? 2o Derivar

f(x ) . De f(x) obtenemos /'(x) = 2 + 0 -3 -|(x + l )_1/3

f'(x) = 2

2^J x + 1 - 2

^77T

71 j

3/77T

Son puntos críticos: i) Los puntos que resultan de jf'(x) = 0

a/ x T

T -1= o

>/x + 1 = 1 , elevado al cubo. x +1 = 1 x =0 //) Los puntos donde no existe /'(x ). Esto se logra “igualando a cero el denomi nador” . 3 ¡-----Así: y/x + 1=0 , elevando al cubo. x + 1= 0

x = —1

3o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:

a) /(x) es creciente

<=> f'(x) > 0 2(3/771-1) 3V 77i -X^+ -1 > 0

(+)

> 0

,

simplificando el “2 ” y racionalizando tanto el numerador como el denomina dor, obtenemos. También se puede re solver por regla de los signos.

H

(+)

X E < - 0 0 , - 1 ) U <0, + o o )

b) /(x) es decreciente c=> f f(x) < 0 , el razonamiento es similar al anterior. c=> x e <-1, 0)

Moisés Lázaro C. Ilustrado en un diágrama, tenemos, si

f'(x) = y'

máx .

MÍNV

-1

o y' < 0

y>o

Entonces: /) Existe máximo en x = -1 , donde

Máx(/) = /(-1 ) = 2 (-l) + 2 - 3 \/0 = 0 <=> (-1,0)

ii)

Existe mínimo en x

= 0 , donde

Mín(/)

/(x) = ^ /(x -2 )2 + >/(x + 4 )2 = ( x - 2 )2 / 3

+ (

x

Gr(/)

= / (0) = 2 (0) + 2 - 3 ^/(0 + 1)2

=@

g

1

<=* (0,-1) e Gr(/)

- 4 ) 2/3

Solución: I o DOMINIO: X

G

Dom(/)

<=>

X

fl?

G

2 o PUNTOS CRÍTICOS: De /(x) obtenemos:

/'(x ) = f ( x - 2 r 1 / 3 + | ( x - 4 r ^ = | 3 ^ = + | ¥ ^

o

/'(x) = f

3/(x - 2 ) ( x - 4 )

Son puntos críticos: /) Los puntos x

g D om (/),

só/o se iguala a cero el num erador pues f =

0

o

a=

0

tal que, /'(x ) = 0

llx-4 + llx-2 = 0

.

Vx - 4 = - \ j x - 2 , elevando al cubo: x - 4 = - ( x - 2 ) <=> 2x = 6

x =3

»i) L o s puntos x e Dom(/), tal que. no existe /'(x ). Esto se consigue i j^|HMHHBSKnMéMW M8W iM 0M nSSSSKnHSM M M M !SM W tdni ’

? '“ "*r / **'" *-'* |4'-,T ) ( x ~ 4 ) « 0 , e t e w w ib M í# * C í , , ^ ( x - 2 ) ( x - 4 ) = o <=> v r?T ®

NOTA: I* Cuando Dando d denominador es cero la 3^x _

; Diyisióí) £ No«xtotepues: %s±«o y r«> no es número real.

2


3 o Intervalos DONDE f(x) es creciente y decreciente:

a) /(x ) es creciente

<=>

f'(x) > 0 3 /x -4 +3j ^ 2

> 0

, racionalizando el numerador y

3 /( x -2 ) ( x -4 ) x- 4 +x - 2 (x - 2) (x - 4)

2 (x - 3) (x - 2) (x - 4)

x-3 (x -2 )(x -4 )

b) f(x) es decreciente

{2,3)

>0

>0

2x - 6 (x -2 )(x -4 )

x g

denominador con x ^ 2 , x * 4 o y simplificando g- obtenemos:

>0

, simplificar 2

>0

u

(-)

(+)

(-)

< 4 , + oo)

/'(x ) < 0 , con un análisis similar, se obtiene: x e (-co, 2} u (3,4)

Ilustrando en el siguiente diagrama: si /'(x ) = y' m áx.

nmín/

3 y' <0

y*>0

y' < 0

y'> 0

Luego: i) Existe mínimo en x = 2 , donde: Mín(/) = / ( 2 ) = Vo + ^

Zf = Vi

(2,V i ) e Gr(/)

ii) Existe máximo en x = 3 , donde: Máx/(3) = > /(3 ^ 2 f +

=2

(3,2)eG r (/)

///) Existe Mínimo en x = 4 , donde: Mín(/) = /(4) = ^(4 - 2 )2 + 3V ( 4 - 4 ) 2 = ^/4

<=> (4 ,^ 4 )e G r {/)

(+)

Moisés Lázaro C.

13.4. @

FUNCIONES EXPONENCIALES f(x) = (x2 -2 x + 2)ex

I o DOMINIO: Dom(/) = x e B

Son puntes cnücos los x e Dom(/), tal que f ’ (x) = 0 Veamos De f(x) obtenemos

Haciendo f ( x ) - 0 tenemos

f ’( x ) - ( x 2 -2 x + 2 )e x + ex(2x ~ 2)

xzCx = 0

3o INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN CRECE Y a)

f{x)

es creciente

e * * 0 , V x e J?

DECRECE:

<— >f'{x) >0 x2ex v___ y > 0y ésta proposición es verdadera V x e R , con x ^ 0 luego /(x ) es CRECIENTE V x e í ? excepto para x = 0 .

b)

f(x)

es decreciente <^>

<=> f'(x) <0 x2ex < 0 ésta proposición es falso

V x e R . Luego,

f(x) NO ES DECRECIENTE en ningún intervalo.


{289}

En consecuencia, /(x) no tiene máximo ni mínimo. 4 o PUNTOS DE INFLEXIÓN:

De f'(x) obtenemos:

f"(x) = x 2e x + e x (2x) f ” (x) = x e x (x + 2 )

a) /(x)

ES CÓNCAVO

hacía arriba

=>

f ” (x) > 0 x e x(x + 2

Simplificar

ex

b) f(x)

< -qo,

- 2 ) u ( 0 , 4-go)

ES CÓNCAVO

por ser positivo.

-2

x(x + 2 ) > 0 xe

) > 0

hacia abajo

(+)

(-)

(+)

f"(x) < 0 x e ( - 2 ,0 )

Por lo tanto, son puntos de inflexión:

/) (-2 ,/(-2 )) = (-2,10e 2) «(-2,1.35) ¿i) (0 ,/( 0 )) = (0 , 2 )

@

S(x) = x V x

I o DOMINIO:

Dom(g) =

X e < - 00, +oo)


De g (x ), obtenemos:

g'(x) = x 2 [ex (-l)] + e X[2x] g'(x) = x e x (-x + 2 )

Son puntos críticos, los x e Dom (g), tal que g'{x) = 0 11

x e x (-x + 2) = 0 , e “x > 0 , V x e í ?

2

x (-x + 2 ) = 0

1

-1

1

2

3

x =0

v

x =2

Moisés Lázaro C. 3o INTERVALOS DONDE

LA FUNCIÓN CRECE Y DECRECE:

á) g(x) es creciente _ _ _ _ _ m^íÉfím

...........

Visto en un diagrama, tendremos: si y = g'(x)

VMÍN;/

MAX

0

2

Por tanto: i)

EXISTE

y'< 0

mínimo en x = 0 , Mín(g) = g(0) = 0 2 e° = 0

ii)

EXISTE

<

y '<0

(0, 0 )

máximo en x = 2 , Máx(g) = g(2)

= 2 2e -2 @

y'> o

(2,4e

) «¡ (2,0.54)

Hallar los puntos de inflexión de la función f{x) = ( a + í k ° -

Solución: De /(x ) obtenemos: /'(x) = ( a + ~ - j

e 0

= - l e - ° [a + ¿ -

+ e a [^0 + -^*2x 2

x]

ÍÍ¿ + x ¿ - 2 a * = —— Qe a

f'(x) =

y ( x - a ) ZC

/ " ( x ) = - 4 - ( x - a f e a (—i ) + e a *2 (x-a)

= —y (x -a )e ° £ -^ (x -a ) + 2 J = _ i (x _ 0 ) e - í [ z i l ^ 2 a]


( 19 )

La VARIABLE ALEATORIA X, tiene distribución ción de densidad es:

NORMAL

(ó

GAUSSIANA)

si su fun

donde los parámetros jli y a deben cumplir que:

/(X ) = -

l i!LzJL\2 L _ e " 2{— >

-00 < JU< +00

O D o m (/) = x e (~co,+ao)

PUNTOS CRÍTICOS:

Son puntos críticos los x e Dom (/), tales que, f { x ) = O, /'(x) = Veamos: De:

/(x ) obtenemos: 1

/'(* ) = ry¡2jr / (*) _

Haciendo:

.

/'(x) = 0

.

1 2

{x-vf va )

1

3 rz— (*
=>

ys= ay2n e=t e

P) &

x - // = 0

X = jU

<

INTERVALOS DONDE LA FUNCION ES CRECIENTE Y DECRECIENTE:

a) /(x ) es creciente

c=> f f(x) > 0 _i ix~^)2 '— K

—

a3^

(x-ju )e 2

a

>0

- (x - ju) > 0 <=> x - ju < 0 c=> x < / j

b) f(x) es decreciente

/'(* )< 0

x e

X E < - 0 0 , J U)

Moisés Lázaro C.

(292) Luego, existe máximo en x = //, donde:

Máx (/) = f { M) = — 1t = e0 °^ = _____ —L

PUNTOS DE INFLEXIÓN:

De

/'( x )

obtenemos: 1

/'( * ) =

Haciendo:

i* M\2

/

\/ \

—2i(£zü .__ )2

. _i(£zií)2 : ------1 __ ^ 2 cr t3 < x3^

/"(x) = 0 X = jU +
— V (x- fj .)2 + cr~

1

= 0 <=> { x - j u f = c r 2

Los puntos de inflexión serán:

13.5. 20)

^ju + cr,

=> X - ¡U~±
y

X = jU-CT

J2 ■e~1/'2j

FUNCIONES LOGARITMICAS /(x ) = x - L n ( l - x )

I o DOMINIO:

x e Dom (x) <=> 1 - x > 0 <=> 1 > x <=> x < 1 <=> x € ( - 0 0 ,1) ASINTOTA VERTICAL. X = 1

2 o PUNTOS CRÍTICOS: De f(x) obtenemos:

f ’ (x) = l - ^ X

f ' { x ) ^ x- X+ l Haciendo:

f'(x) = 0

2- x 1 —X

=0

2

- x =0

x = 2 £ Dom(/)


X G (-Q O , 1 )

/'(x )< 0 x g

(1 ,2 )

A

X E < - 0 0 , 1 )

a

Esto quiere decir q u e la función es só lo creciente en

@

( - oo , 1 )

x g

x e (-l,+ o o ).

f(x) = (x + 1) Ln2(x + 1) x

I o DOM INIO:

e D o m ( /) < = >

x +1

> 0 <=>

x

> - 1 <=

x e ( - 1 , + oo) ASÍNTOTA VERTICAL: X = - 1


De / (x) obtenemos:

3

/'( x ) = (x + 1) (2 Ln (x + 1)) ( ^ - ) J + L2n (x + 1)

= 2Ln(x + l) + L2 n(x + l) /'(x ) = [ 2 + Ln(x + 1)] Ln (x + 1) Son puntos críticos los x e D o m (/), tales que f'(x) = 0 o=>

[2 + Ln(x + 1)] Ln(x + 1) = 0 2 + Ln(x + l) = 0

e » 2.7182 e 2 * 7.388

v

Ln(x + 1) = -2

Ln(x + 1) = 0 x +l = l

x +1 =e

Ar *0.1354

e“ 2

■1 « -0.86

i -086

- 1

x =0

e Df

Moisés Lázaro C.

(294)

3° INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DECRECIENTE a) / es creciente: <=>

f'(x)>

^=>

[2 + Ln(x +1)] Ln(x +1) > 0

<=>

[2 + Ln(x + l ) > 0

0

Ln(x + l ) > - 2

Ln(x + 1)>0]

a

a

x +l> l

a

x

v

[2 + Ln(x + l ) < 0

Ln(x + 1)<0]

a

x +1 > e~2 [

x >e

- 1

e 2- 1

]

> 0

[

v

0

x
a

- 1

e -2-1

v

x

< 0

]

o y

Y

Dom(f)

Dom(f)

x e (-l,e

2

- l > u <0 , + qo) /'(x) < 0

b) / es decreciente

x g (e

2

-

1

,0 )

En un diagrama, podemos apreciar

máx.

MlN..

lo siguiente:

e_2- 1

o

y'> 0

Por lo tanto:

y '<0

y‘>0

o

i) Existe máximo en: x = e

- 1 , donde:

Máx(f) = f(e-2 -1 ) = (e “ 2 - 1 + 1) L2 n(e ~2 - 1 +1) = 4e“2 ii) Existe mínimo en:

x = 0 , donde:

Mín (/) = / (0) = (0 +1) L2 n(0 +1) = 0 4o PUNTOS DE INFLEXIÓN: obtenemos:

(e“2 - 1 , 4e-2)

De:

<=>

(0 ,0 ) e G r ( f )

/'(x ) = [2 + Ln(x + l)]L n(x + l)

/ '’ (x) = [ 2 + Ln (x +1)] (3 ^ ) + (Ln (x +1) (0 + 3^ ] =7

7

í [2 + 2 Ln(x + 1)]

/ ' ( x H ^ U + Lníx + l)]


Haciendo:

/"(x ) = 0

1 + Ln(x +1) = 0

Ln(x + 1) = -1

x + 1 = e,-i

x = e -1 - !

Si: x = e 1 - 1 =>

/ (e_1 -1) = (e"1 -1 +1) Lzn(e~x -1 +1) = e '1

(e

e ' 1 - 1 = 0.63

-l,e

f 0.37

(§ 5

/(x) = Ln(x2 - l ) + - J rT

1 ° CAMPO DE DEFINICIÓN:

x e Dom(x)

x2 - 1 > 0

x2 - 1 * 0

A

x2 > 1 <=>

(x > 1

V

X

<

-1)

A

X

* ±1

x € (-oo,- 1 ) u ( 1 , +oo) , asíntotas verticales: x ± 1 2o PUNTOS CRÍTICOS: De /(x ) obtenemos: /'(x ) = _

2x

, (x2 - l ) (0) - 1 (2x)

x2 - l

(x2 - ! ) 2

2x

2x

x2 - l

(x2 - l ) 2

Haciendo:

/'(x) = 0

2

x (x 2 -

2

)= 0

2 x (x 2 - l ) - 2 x (x2 - ! ) 2 2x (x - 2) (x2 -1 )

<=> x = 0 í Dj

v

x = >/2

v

Entonces los puntos críticos son: { -

3o INTERVALOS DONDE / CRECE Y DECRECE: f>

a) / es creciente:

0

2x (x2 - 2 ) (x2 - 1 ) 2

(x2 - l ) 2 > 0 , V x e 2F x ^ +1

x(x 2 -

2

>0

a

x

e

D’f

)>0

x(x + V2)(x-V2)>0

a

xeDf

x = —v/ 2 % /2 , - v / 2

}

Moisés Lázaro C.

-V2

- 1 0

(+) xe b)

( - ^ 2

-

/ '<

, +oo^

( ,/ 2

En un diagrama, tendremos: ^MÍNy

yMÍNy

0

2 x (x 2 - 2 ) (x2 - ! ) 2

<=>

(+)

, -l) u

/ es decreciente <=>

a/2 ’

1

-V2

<0

x e(-oo,-V

V?

-1

------------ 0

2)

u (

1 , V2 )

y' < 0

y' <0

y ' >0 !

Por lo tanto: i) Existe mínimo en x = - y [ 2 , donde: min(/) = /(-V 2 ) = L n (2 -l) + I l T = l <=> H /2 ,1 )

ii) Existe mínimo en x = *J~2 , donde:

min(/) = /(V2) = L n (2 -l) + 2^T = l <=> (>/2 ,1) 4o

PUNTOS DE INFLEXIÓN:

De:

/ ' (x) = 2 xlx

? , obtenemos:

(x2 - ! ) 2

rw = rw =

(x2 - 1)2 [2 (2x) + (x2 - 2) (2)] - 2 x ( x 2 - 2 ) [2 (x2 - 1) (2x)] (x2 - ! ) 4 -2 ( x 4 - 3 x 2 - 2 ) (x2 - ! ) 3

Haciendo: f"{x) = 0

x4 - 3 x 2 - 2 = 0

X

2 _

= X

2 _ 3 ± V 9 -4 (l)(- 2 ) =

y '> 0


*

(23)

- 1)

•

/(x ) = ^ -L n ^

,

3------ *1.33 —i-*— ^

1Í33)«<3r#|

(-1.89)2 -1

^MlNy

a>0

ae-«

c----------- — I o DOM INIO:

i y' < o

x e Dom (/)

* > 0

a

x >0 2o PUNTOS De:

r> o

x e ( 0 , +co)

Por lo tanto:

CRÍTICOS:

2

/(x ) =

, obtenemos:

—1

Existe mínimo en x = a Z

i + L n * [¿ .2 x ]

Mín(/) = /( a e ‘

-t/ 2 ) -

/¿_-i Ln e

£Z + xLnâ

= 4 4 4 )

x ( l + 2LnX)

_ a_

/'(* ) =

-e

Haciendo:

/'(x ) = 0

x (xl + 2L n—) =0 a1 x = 0 g DfJ

v

<^=> 1 + 2 Ln -a = 0 L naf = -

1

Z

x -a e

!*?

, donde

( a e 1/2 )2 L n ae 1/2

Moisés Lázaro C. 14. (J )

PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS Hallar dos números cuya suma sea k y cuyo producto sea máximo.

D ATO S:

Si la suma de dos números es k, entonces sean: I o número: x 2

o número: k - x

El producto será:

p(x) = x(k - x)

Para que el producto sea máximo debe cumplirse que: Veamos:

Si: p(x) = x (/c -x )

Entonces:

p (x) = x (-1) + (k - x) (1) = 0

p{x) = 0

-x + k -x = 0 - 2 x + /c = 0 Por lo tanto 1er número: 2

o número:

=^> x = k/2

k/2 k-

= k/2

Descomponer m en dos factores tal que la suma de ellos sea máximo. D ATOS:

numero: x

Si el producto de dos números es m, entonces sean 2

La suma será:

S (x) = x + -^

,

o número: — X

xÔ

Para que la suma S (x) sea máximo, debe cumplirse que: ^ = 0 Veamos: Si: S(x) = x + — ,

x*0

Tomemos:

x = \frñ

Entonces la solución será: =>

£ S (x ) =

1 —“ - = 0 X

1

er número:

2

o número:

x - m=0

Vm = ^/m yjm

x2 = m = ±Vm


(jí)

Un rectángulo tiene perímetro igual a P. Hallar sus dimensiones para que su área sea máxima.

D a to s: Sea P el perímetro, entonces:

Su área será:

p = 2x + 2y <

( 1)

y = ^ ( p - 2 x).

2

A = x y .......

( )

Reemplazar (1) en (2): A = x ^ (p -2 x ) A = ^ x ( p - 2 x) Luego, para que el área sea máxima, debe cumplirse que: -jÂ - 0 Veamos: Si: =*

A = —x ( p - 2 x )

Haciendo:

^ [ - 4x + p ] = 0 -4 x + p = 0

~dx^ = *2*[ x(— 2 ) + ( p —2 x ) (1 ) ]

=^> x =

Como sus lados son x e y, entonces: = l [ - 2 x + p - 2 x] = l [ - 4 x + p]

x ——

X

4

‘ i b -

(J )

Dos puntos móviles salen de los puntos A(a,0) y B(0,b) con a > 0 , b> 0 y van hacia el origen con velocidades V y V'; ¿en qué momento su distancia es mínima?

D ato s:

y Teniendo en cuenta que la distancia de punto P al Punto Q es función del tiempo, entonces la fórmula que expresa ésta dis^

4(t) =|P§|= ^ [Q -(-o f ]2 + [(-u 't)-Q ]2 d{t) = -\¡(a - vt'f + { b - v’ t f ’ Luego, para que la distancia de P a Q sea mínimo debe cumplirse que -^d(t) = 0

Moisés Lázaro C. Veamos:

Si d (t) = -J(a-vt)2 + ( b - v ' t f 2 { a - v t ) { - v ) + 2 { b - v ' t ) { - v’) _ q

Entonces:

2^{a - vt)2 + {b - v’ t)2

- 2 { a - v t ) { - v ) + 2 ( b - v ft)(vf) = 0 - a v + v2t - b v r+ v'2t = 0 t(v2 +v'2) = au + bu'

RESPUESTA:

( 5^

av + bu'

t=

La distancia de P a Q es mínima cuando el tiempo es t =

av + bv'

Se desea cercar un lote rectangular que tenga 4,000m 2 de superficie, con uno de sus lados a lo largo de un río recto. Si no se necesita cercar para el lado que da al río, ¿ que dimensiones requieren la menor cantidad de cerca?

Datos: Reemplazando (1) en (2), se tiene: p = 2 (áspa) + x Luego, para que la cantidad de cerca sea menor (mínima), debe cumplirse que: -dxf P = 0 El área del lote rectangular es: 4000

xy = 4,000

1

RESPUESTA:

4dx- p -

( )

Si uno de sus lados del lote da al río, entonces no debe tener cerca y por lo tanto el perímetro es: P = 2y + x .

2(4000)

Veamos:

2

( )

2 (4000)

+

1= 0

-2 (4000)+ x = 0 x 2 = 2(4000))

:40 S Las dimensiones de la cerca serán <

+1

. 4000

' 40V5

20S

=>

40S


(J )

Se desea construir una caja sin tapa y de base cuadrada disponiendo de 300 dm2 de material. Halle las dimensiones para que el volumen sea máximo. Supongamos que:

Datos:

x: lado de la base cuadrado h: altura de la caja A: Area total de la caja. V: Volumen de la caja AL: área lateral de la caja, donde: AL = p •h;P: perímetro. B: área de la base. Como: A = B + AL Entonces: 300 = x 2 + 4xh

,

.

,

1

300 - x2 4x

( )

Además: V = x 2h ..........

(2 )

Veamos:

Reemplazar (1) en (2): V=x

-d-V = l [ x ( - 2 x ) + (3 0 0 -x 2)(l)]

300- x 2 4x

= 1 [ - 3 x 2 +300]

V = | x (3 0 0 - x 2) Haciendo: ^ V = 0, tenemos

Para que el volumen sea máximo debe cumplirse que: V=0

RESPUESTA:

: 10

Longitud de la base es: x = 1 0 dm La altura es: h =

(^7)

-3 x 2 + 300 = 0 <=^> x 2 = 100

300 -

(ior = 5dm

4(10)

Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un circulo de radio R. Sea: A = x y ....................... ( )

Datos:

1

el área del rectángulo ABPC En el triángulo rectángulo OQP se tiene: |PQ|2 =|OP|2 -| O Q |2 \2

o

/

v2

Moisés Lázaro C. Luego, para que el área A del rectángulo ins

¿d = ñ 2 _ x i 4

4

crito sea máximo debe cumplirse que ~Â = 0

y2 = 4 R2 - x 2 y = yj'ÍR2 - x

Veamos: De (3) Obtenemos:

2

(2 )

-2 x

-¡I-A = X Í

***

Reemplazar (2) en (1):

'

r=---------

2

1J4 R2 - > ■ y 4

4 R2 - x2

- x ¿ + 4 R¿ - x ¿

A = x V4 / ? 2 - x

2

( 3)

x 2 + 4/?2 - x 2 = 0 => x = R>/2

Haciendo: -4-A =0 dx

RESPUESTA:

^ 4 R2 - x 2

Los lados del rectángulo serán:

' x = R j¿ = V4R 2 -(R V 2 ) = R > / 2

(jí)

Se inscribe un triángulo en un circulo de radio r. Determinar este triángulo para que su superficie sea máxima. Supongamos que el área del triángulo QAB Sea: A(b,h) =

b = \QB\ = x

(1)

Fijémonos que el área A depende de dos varia bles “b” y “h” . Ahora, lo que debemos hacer es expresar el área A en función de una sola variable. En el triángulo rectángulo QPO, se tiene:

\2

( h - r) 2 = r2 - ( f j =r (r -r )2 = ^ L _ ^

h - r = i-\/4r2 - x

2

1 h = ^y¡4r2 - x 2 +r 2

(2)


Reemplazar (2) en (1): A (x):

(3)

Para que el área sea máximo, debe cumplirse que: Veamos: d a _ 1

ác

2

757

A =0

Dividir por dos y transponer términos: 1

-2 x 2^4r2 - x 2

+° v ( ^ J

4

r2 - x 2 +r)(l)

r2 - x 2 + r = 0 2 ^ 4 r2 - x 2

-x 2 + 4 r2 - x

2

2

=x -

2

rz

Elevando al cuadrado: r2 (4r2 - x 2) = x 4 - 4r 2 x 2 + 4r 4

+ 2 r ^ 4 r2 - x2 = 0

-2 x 2 + 4 r 2 + 2 r^ 4

■x

2

- x2

4r 4 - r2 x 2 = x 4 - 4r 2 + 4r 4 x4 - 3 r 2 x2 =0

= 0

/ 2 x 2z (xz - 3 r 2) = 0

>c2 = 0

v

x 2 = 3r 2

x=0

v

x = r>/3

RESPUESTA:

El triángulo debe tener base b = r V3 y altura h = ^ 4 r2 - 3 r2 + r = -|r (J )

Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el sector de la parábola y = 4 p x cortado por la recta: x = 4 a

D ATOS:

Supongamos que el rectángulo inscrito sea QRTS cuya área A sea: A^ST\\TR\................

(1)

IS T U T - S ^ 4 a - x . .......................( 2 1 \TR\ = R - T = 2 y [ j ^ - ( - 2 4 ^ )

= 4 ^........................(3 )Reemplazando (2) y (3) en (1): A = (4a - x) (4 Jpx)

Moisés Lázaro C. Para que la función A tenga máximo debe cumplirse que: Veamos:

A = 0.

-^ A = ( 4 a - x ) [ - 0 = = ) + ( 4 j p x ) ( - l )

RESPUESTA:

(4a - x)(2p) - 4px = 0

La base: |ST| = 4 a --| a =-|a

8 a p -2 p x -4 p x = 0 8

@

La altura: |TR| = 4 ^ p ( f a) = 8 ^

ap = 6 px

Hallar un punto sobre la curva y = x 2 que esté más próximo al punto (6,3). Sea P(x,y) un punto cualquiera de la curva o

y = x , entonces el punto P será de la forma P (x,x2). La distancia \BP\ del punto B al punto P será

Luego, para que la distancia |BP| sea mínima debe cumplirse que Veamos:

-jL\BP\ =

|BP| = 0

2 (x _ 6 ) + 2 U _ -3 )(2 x ) = Q

2 ^ (x -6 )2 + (x2 -3 )2

Donde: 2 ( x - 6 ) + 2(x 2 - 3 ) (2x) = 0 2

[x -

+ 2 x3 -

6

6

2x 3 - 5x -

x] = 0

2

2

=>

(x - 2) (2x 2 + 4x + 3) = 0 x-

2

=0

<=>

x =2

=0

6

Resolviendo ésta ecuación por el méto do de Ruffini. 2

<=>

0

-5

-6

4

8

6

4

3

0

RESPUESTA:

El punto será P(2,4)


( ll|

En un plano coordenado se da un punto M(a,b) situado en el primer cuadrante. Hacer pasar por éste punto una recta, de manera que el triángulo formado entre ella y los semiejes positivos de coordenadas tengo la menor área posible.

Datos: ^ [

ab \

Reemplazar (2) en (1): A(x) = —— Donde: X 0 (x

Supongamos que la base del triángulo rectángulo AOB sea “x” y la altura “y”? entonces el área estará dado por la formula:

Haciendo:

-abx (x-af

Como los puntos A, M y B pasan por la recta entonces la pendiente del seg mento AM es igual a la pendiente del segmento MB, es decir:

a- 0

x-a

(12)

x- a

ab x-a

-abx + b(x - a) + ab(x - a ) = 0

bx2 - 2abx = 0 bx(x - 2a) = 0

RESPUESTA: -ab

+b-

-abx + bx2 - 2abx + ba2 + abx - a2b = 0

(1 )

b- y _ 0 -b

■ 4-A = o ax

(2 )

bx = 0 < x -2a=0 -

x =0 x =2a

Los lados del triángulo serán: x = 2a ; y = b +

ab 2a - a

■2b

La base inferior de un trapecio isósceles es el eje mayor de una elipse, los ex tremos de la base superior son puntos de la elipse. Demostrar que en el trapecio de este tipo, de área máxima la longitud de la base superior es la mitad de la longitud de la base inferior.

D atos:

Sea el trapecio ABCD inscrito en la elipse: +¿ = l a2

b2

Donde:

|DC| = base mayor del trapecio. |AB| = base menor del trapecio. h = altura A = área del trapecio

Moisés Lázaro C El área del trapecio es: A = ^\DC\+ \AB^h \DC\ = a - ( - a ) = 2a Pero:

|AB| = f Vb2 - h2 - ( - f Vb2 - h2 ) = ^ V b2 -b 2

Entonces:

A=

(2 a+f ^ i'b2 -

h2 h

2 a ( l + l x/fa 2 - h 2 ) h

=

2

A = a{l + j¡\jb2 - h 2 )h Para que el área del trapecio sea máximo debe cumplirse que: ^ A = 0 Veamos: é A =a

(1

+ i Vb2 - h 2 ) ( 1 ) + ^ 0 + i — ¿ Y~

b

..

b ^ ~ í?

/ W

(

° Z J b 2 - h 2 'h

0

by¡b2 - h 2 + b 2 - h 2 - h 2 = 0 b\/b2 - h 2 = 2 h2 - b 2 b2(b2 - h 2) = 4b 4 - 4b 2 b2 +b 4 3b 2 b2 = 4b 4

4h4 - 3bb2 = 0

b2 = 0

b=0

v

v

b2 (4b2 -3 b ) = 0

4b 2 - 3b = 0

b = | bV 3

.Labase: \AB\ = ^ b 2

=a

^13) Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10 cm. ¿Cuánto debe medir la ba se mayor para que el área sea máxima?


D a to s : 10

Sea el trapecio ABCD, donde:

B

|D C |= 10 + 2x

|DA| = 10 ; \AB\ = 10 ; |BC| = 10 El área del trapecio, es: A= Donde

.................

2

•d)

Veamos:

|DC| = 10 + 2x |AB| = 10

(2 )

h = VlO2 - x 2 Reemplazar (2) en (1): ,

{\DC\ + \AB\)h

^ -A = (10 + x) -2x W l0 2 -x ' 2 fÜ ^ x

d x"

XÍ1? 1 X>+ -y/lQ2 - X 2

2

= 0

-lO x - x 2 + 102 - x 2 = 0

(1 0 + 2 x + 1 0 )^ 1 0 ^

- 2 x 2 - 1 0 x + 100 = 0

x 2 + 5x - 50 = 0

A = (10 + x) VlO2 - x 2

x =-10 Para que el área sea máxima debe cumplirse que: A =0

(x + 10) (x - 5) = 0

V

x =5 RESPUESTA:

La base mayor mide: \DC\ - 10 + 2(5) = 2 0 cm

(14)

Un cono circular recto tiene un volumen de 120 cm3 ¿Que dimensiones debe tener para que su área lateral sea máxima?

Datos: 2 f radio: r I) Volumen del cono: V = \ n r h\ altura: h

r : radio de la base II) Area lateral del cono: AL = n r g i g : generatriz Lo que debemos hacer es expresar el AL en términos del radio r.

Moisés Lázaro C. Veamos: En el triángulo rectángulo AOB de la figura tenemos que: g =2 + r2 .. De (I):

3

(III)

V 360

3(120) = nr2h

Reemplazando (IV) en (III):

g=

(V): Reemplazar (V) en (II):

(IV)

M ) +r2 n r~ j

g =-V a/3602 + 7r2r6 AL = /rr—^--^3602 +,r2 r6 AL(r) = í j 3602 + ^ 2 r6

•Se quiere que: -j ÂL - 0 Veamos: 4dr- AL

1

6 * 2r5

r

2^ 3 60 2 + ;r2 r6

3rr

r2 V '

2

+ A

=0

6

73602 + ;r:

3;r2r6 - 3602 - ;r2r6 = 0 3602

c _ >

r = 5¡3 6 0 2 V 2n2

2jt2

í ff-

r

L fi« 2

, . 2 3602

lj36ü +;r

2 jT

V

T

.

w

(VI)

3 1/z 3 6 0 2 1/3?r2(3 _ 3 1/2 3 601/3 ~ 2 1/6^ 3

~Ar360^2 :~ *3602''3 ~2 1 / 2 ^ 3 6 0 2/2 ¡tí 2 l/3~2/3 2I 37 2.-'3 0 7 / 3602 \

V

\ 2 ff2 /


(15)

Halle las dimensiones y el volumen del cono circular recto, de volumen máximo que puede ser inscrito en una esfera de radio R.

Da t o s :

Reemplazar (II) en (I): V = ± n { 2 R h - h 2)h Como V debe ser máximo, debe cumplir se que:

Veamos: j t = ± x [ ( 2 R h - h 2)(l) + (2R-2h)h] = 0 ( 2 R h - h 2) + (2R-2h)h = 0

Sean:

2Rh-h2 + 2R h --2h¿ =0

R: radio de la esfera (dato conocido), r : radio de la base del cono. h : altura del cono. 1 o V =^7ir h ... (I) volumen del cono. Como vemos el volumen V está expre sado en función de dos variables “r” y “h”, lo que se debe hacer es expresar sólo en función de una variable.

4 /? h -3 h 2 = 0 <=> h= 0

v

0

(III)

h = ±R

Reemplazar (III) en (II) rz =2R

Veamos: En el triángulo rectángulo OAP, tenemos: r2 = R 2

~ { h - R) 2

= 4 R2

r=f V

2

r2 = R2 - h 2 + 2 R h - R 2 r2 = 2 R h - h 2 ................. (16)

(H)

Halle las dimensiones y el volumen del cilindro circular recto, de volumen máximo que puede ser inscrito en una esfera de radio R. R : radio de la esfera (dato conocido)

Dato s:

Sean i

r : radio de la base circular del cilindro h : altura del cilindro V : n r 2h

(I) VOLUMEN DEL CILINDRO

Moisés Lázaro C. Debemos expresar el volumen V, en función de

r2 -í¿ -4 = ° 4R 2 - h 2 - 2 h 2 = 0

V o de “h” :

4R2 -3 h 2 = 0

En el triángulo rectángulo OAP se tiene: r2 = R 2 -f

4R2 = 3

(II)

=#R2 h = -í^R S

... (III)

REEMPLAZAR (III) en (II): r2 = f i 2 - i ¿ 2

4J?2/3 ,

;i?V2/3

Reemplazar (II) en (I):

Luego el volumen del cilindro:

V=x(tf-£)h

sera:

Como el volumen V debe ser máximo entonces: R 2

(l7)

- i f )

(l) +

( ^ | íl) h ]

=

V=

4 ttR 3\¡3

0

Hallar las dimensiones del triángulo isósceles, de área máxima, circunscrito a una elipse donde uno de sus lados es paralelo al eje X.

Datos: 2

Sea el triángulo isósceles circunscrito ABC, circunscrito a la elipse \ +

2

a>b .

El problema consiste en hallar UC " en términos de 6 . 1. Ecuación de la elipse: b2x 2 + a2y2 = a2b2 2. Ecuación de la recta % y = mx + k donde “m” y wfc” son valores por hallarse. 3. Pero: íc = b + c . Ahora debemos hallar ££m’\


4. Reemplazar 2 en 1:

Como la recta es tangente a la elipse, entonces debe cumplirse que

b2x2 +a2(mx + k f = a2b2

A = B2 - 4ac = 0 .

b2x 2 + a2(m2x 2 + 2m k x + k2) = a2b2 Decir que el descriminante es igual a cero es equivalente a decir que las raíces de una ecuación de 2o grado sean iguales. NO TA:

b2x 2 + a2m2x 2 + 2mk a2x + a2k2 = a2b2 x 2 (b2 +a2m2 + 2mka2 + a2(k2 - b 2) =0

A

B

C

Luego: A = 4m2k2a4

-4(b2 + a2m2)a2

0

Simplificar 4a2 2+ a 2m )

m 2 k 2a -2 (b

m2k2a2 - b2(k2 - b2)

-

)= 0

(/c2 - b2) = 0

m2[ k2a2

- b 2)] = b2 (/c2 - b2 )

m2 [/c2a2 - a 2/c2 b2 (k2 - b 2 )

m 2 m m

1

m-

iA

2 ^

(5)

2

Igualando las ecuaciones (I) y (II):

Reemplazar 5 y 3 en 2:

b x+b+c

y = -l^ //c 2 - b 2 x + b + c -ab = Ahora, debemos hallar las coordena das del punto C.

a//c2 - b2x = 2ab + ac = a(2b + c)

X =

Pero: C=

-yfk2 - b 2x + ab + ac

n ÍÍ2 <=> <

y = - l Vfc2 - b y

=

- b

2X

a(2b + c ) _

a ( 2 b + c) V ( b + c)2 - b

_

2

a { 2 b + c) Ve2+

2b c

+ b + C

En consecuencia, las coordenadas de los puntos B y C, serán: B(0,b + c)

CI ° (2b + c ) , - b Ve2 + 2bc

Moisés Lázaro C. AREA DEL TRIANGULO RECTANGULO BRC:

\BR\ = 2 b + c A = \\RC\\BR\ .donde:

|i?C| =

a (2 b + c)

>/c^~+Zbc

A = ± a,i2b +c) (2 b + c) \]c2 + 2 be

A

i a (2 b + c )2 ^
Como el área debe ser máxima, entonces debe cumplirse que: ^ = 0 Veamos:
-def A = 42 a

<2c + 2b)

2^/c2 + 2bc

c2 + 2bc 2 (2

b + c) (c2 + 2 b c ) - ( 2 b + c )2 (b+c)

= 2a

(c2 + 2 bc) yjc2

a(2b + c)

2

+ 2

be

(c + 2 b c ) - ( 2 b + c) (b + c) (c2 + 2 b c ) ,jc 2 + 2 b c c 2 + be - 2 b 2

= ±a(2b + c)

(c2 + 2bc)y jc2 + 2 b c

■±a(2b + c)

(c + 2 b)(c - b) (c2 + 2 b c ) 3 / 2

_ i a ( 2 b + c) (c -b ) “

Haciendo 4^de = 0

2

(c2 + 2 bc)3 / 2

c - b = 0 <=> c = b

Luego, la altura del triángulo ABC es: |í?B| = 2b + c = 2b + b = 3b EL AREA DEL A ABC, ES:

La base del triángulo ABC, será: |AC |= 2 |/?C| =

2

g (2 b + c) _

-y/e2 + 2 bc

2

a(2 b+b) _ o Q ^ 3

^ b 2 + 2 b2

A = U 3 b ) ( 2 a S ) = 3abyf3


(18) Se tiene una plancha metálica cua drada de lado igual a 12 cm. Se debe cons truir de ella una caja cortando cuadrados iguales en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. Hallar las dimensiones de la caja de capacidad máxima que se puede construir de este modo.

5. La condición suficiente para que haya máximo es que V " ( x q ) < 0 , siendo x 0 punto singular. I o. Se halla V "(x ): De: V'(x) = 12(x -

Solución: 1.

(313)

)(x - 2) = 12(x2 -

8

x +12)

Obtenemos: V"(x) = 12 (2x -

8

)

6

Hagamos el dibujo correspondiente. x

= 2 4 ( x -4 )

b

2o. Con x = 2 obtenemos: V"(2) = 24 (-2) < 0 Con x = 2 .obtenemos: V"(2) = 24 (-2) < 0 D x

x

C

3o. Por tanto con x = 2 existe máximo. 6

|AB| = |BC| = 12

. Las medidas de la caja de capacidad máxima serán: altura = 2 cm .

\PQ\ = \QR\ = 1 2 - 2 x

Ancho = largo = 12 - 2 (2)

2. La caja por construirse debe tener vo lumen: V(x) = (1 2 -2 x ) = (12 -

2

(12

-

2

x)x

x )2 x

3. La condición necesaria para hallar el máximo de V(x) es que V'(x) = 0 .

= 8 cm PROBLEMA RELATIVO A LA FÍSICA. El alcance R de un proyectil sobre un plano inclinado que toma un ángulo a con la horizontal está dado por:

R=

Hallemos V' (x) = ^ . V'(x) = [(12 - 2x)]'x + (12 - 2x )2 [x]' = [2 ( 1 2 -

2

x)(- 2 )]x + ( 1 2 -

2V geos2 a

2

x )2 [1 ]

= (12 - 2 x )[-4 x + (12 - 2x)]

donde 0 es el ángulo de elevación del cañón o arma que dispara el proyectil y V la velocidad inicial de la misma. Hallar 6 para que R sea máxima.

= (12 - 2x)(12 - 5x)

Solución:

= 1 2 (6 -x ) ( 2 - x )

1.

4. Haciendo: Vf(x) = 0, obtenemos: x =6 v x =2

eos 9 •ser\(8 - a )

Para que R sea máxima debe cumplir dos condiciones: dR

I o. Que: d O : 0

Moisés Lázaro C.

2o. Que: 4dír < 0 dOá

Para un

■como

punto singular.

c o n s ta n te

2

. De:R{0) =

2V¿~ cos<9 • s e n ( 0 - a ) a •— v— * ' M

gcos

dR

3.

PROBLEMA RELATIVO A LA FÍSICA.

Un cuerpo de peso W es arrastrado sobre un plano horizontal mediante una fuerza cuya línea de acción forma un ángulo 6 con el plano y cuya magnitud P está da do por: fl . U)

2V¿

2V

v--------* v

(20)

-[jj'u+ ju- u']

¡usen 6 + eos 6

- [ - s e n # •sen(0 - a ) + cosO •c o s (# -a r )l

dR

Haciendo: -jj = 0, obtenemos:

eos 6 •eos ( 0 - a ) - sen 0 •sen ( 0 - a) = 0 s------------------------- v------------------------- ' eos[0 + 6 - a ] = 0

Donde // es coeficiente de rozamiento. Probar que el empuje es mínimo para tg 0 = ¡u. Solución: 1.

fi w Tenemos: P ( 6 ) =jlisen 9 + eos 6

cos[ 2 # - a ] = 0 =>

2 6 - a = arccos0

2.

2L

Para que el empuje P(6) sea mínimo debe cumplir dos cosas:

2

0=

dP

I o. Que: P'{0) = 0 , P'(0) = %

n + 2a

2o. Que P"(60)> 0 , siendo 0Q un 4. Como:

punto singular. 2V¿

dR de

gcos

2

- cos(2<9-a) ¿ir

2V d#2

(-sen ( 2

0

- a ) ) (2 )

Veamos: De:

g c o s 2 ¿ir

P(0)-

jLlW

, obtenemos:

¿ /s e n # + e o s # ’

dp _ [jusen9 + eos 9 ] [ jjw]' - [juw] [/¿ s e n 9 + e o s # ] '

R”(0) = - ^ V/L — sen(20-a) 2 gcos

[¿ /s e n # + eos # ] 2

¿ir

dp _

0 —[ ¿/ tu ] [ ¿ /e o s 9 — s e n 9 ]

n2 } .

K "(£ ± 2 £L) = _ _ i Y l_ sen(f ) '

^

f

gcos

¿ir

=— ^ < o gcos

6

¿r

. Luego, existe máximo en: # — 71+


(21)

PROBLEMA RELATIVO A LA FÍSICA.

El tiempo de oscilación de un péndulo compuesto alrededor de un eje distante h pies del centro de gravedad G, está dado por: T - 2 tt

3. Hallemos: ^dh ^2

4L = £‘2 nn dh

+k2 hg hg

h g ( 2 h ) - ( h 2 + k 2 )(g)

hg ■

[hgf

2tt

siendo k el radio de giro alrededor de G. Probar que T es mínimo para h = ±k y hallar su valor mínimo.

hg g(h2 - k 2 )

- 2n 2

2 (hgy

I h2 +k2 hg

Solución: 1. Tenemos que T es función de h. T(h) = 2n

4. Hacer: 4r=0 dh =>

hg

h2 - k 2 = 0 => h = ±k PUNTOS SINGULARES

2.

Para que T(h) tenga mínimo debe cumplir dos condiciones:

5. Con h = k .obtenemos: ¡k2 + k z

T(k) = 2ftyj~ÉL

-O

dh ~

n A

PARA ALGÚN PUNTO

dh2 >

SINGULAR.

kg

: 2 ttJ— Vs

(22)

ES EL VALOR MÍNIMO

De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos de un em budo de la mayor capacidad posible.

Solución: 1. Sea la hoja circular (fig. 1) de centro “0” y radio “R” . donde podemos apreciar el sector circular AOB cuyo arco es A B . 2. Del sector circular AOB deseamos construir un embudo (fig. 2.) de altura “h” y cu ya base tenga radio r = ^ 3. Debemos recordar que el área del sector circular AOB es: A' -

R2 0

y la longitud

Moisés Lázaro C. < §> 4.

De esto podemos deducir que el radio “r” de la base del embudo (o cono) se halla de la relación siguiente: 0R = longitud del arco AB

O R - 2nr

0R

nr = longitud de la circunferencia de

2

la base del embudo 5. El embudo tiene volumen cuya fórmula es: V = ^ n r 2 h . . Pero: r debe ser expresado en fun ción de 6 y R. h debe ser expresado en función de R y 0. fí R 7. En 4. Tenemos: r = 73¿71 —

6

De la fig. 2 y por Pitágoras h = ^R2 - r 2 R¿

■ m

= JLj4x2 - 0 2 ¿7T 8

. Reemplazar 7 en 5.

9. Para maximizar V(0) debe cumplir dos condiciones:

k2 V(0):, - j i - e 2M n 2 - e 2

(8 *

2 4 ;r

2

El volumen está expresado -en función de y son constantes.

R

7T

o.

< 0 , para algún punto singular.

0.

Veamos:

10.

De (8*) obtenemos:

dv_ d0

\_{e2U ^ 2 - e 2 +0(V 4jt 2 " -0 2 )'] _

Ró n

24

20^14 tt2 - 0 2 + 0 2 ■ 2>

k2- 62

0


= -Bl 24

n

= -£24

11.

n

\¡4x2

Haciendo: ^ - = 0 Sn26 - 3<93 = 0 1 (8n2

0=0

-3 0 2)= 0

8 iz2

v

-3 < 9 2 = 0

G2 =■ 0 =0

0 = ±27ry¡ ¿

v

solo escogemos

Porque es el único punto que maximisa la función V(8).

0=

(23) Un depósito abierto, de hoja de la ta, con fondo cuadrado, debe tener capacidad para V ’ Litros ¿Qué dimen siones debe tener dicho depósito para que en su fabricación se necesita la me nor cantidad de hoja de lata? Solución:

2. El problema pide las dimensiones que debe tener el depósito para que en su fabricación se use LA MENOR CANTI DAD de la hoja de lata. Es decir se pi de MINIMIZAR EL ÁREA CONFORMA DA por el AREA LATERAL 4 - AREA DE LA BASE, cuya expresión matemática es:

1. Sea el depósito abierto de base cua drado, cuyas dimensiones son: x = Longitud de la base cuadrada

A=AL+B (2 *

= 4 x y + x2

í A: área total del depósito sin tapa. | AL: área lateral. I B:

á rea d e la ba se .

y = altura del depósito n

v = x y : volumen del depósito, u

3. En 1 teníamos: v = x y

es constante (dato conocido) 4. Sustituir: y iiM M ia ; llllllllÉilllllllll

f

A = 4x

en (2*)

(?)

A(x) = ^- + x ¿

+x (4*)

Moisés Lázaro C. ■= ? 5. Para hallar las dimensiones y = ? de modo que A(x) tenga

iü =o dx

7. Haciendo:

x -2u = 0

mínimo, se debe hacer 2 cosas: 1°.

Cl X

=

0

x= <

CONDICIÓN NECESARIA PARA MINIMIZAR.

8

díA

2° .

> 0

< - CONDICIÓN SUFICIENTE PARA QUE

dx2

x 2(3x2) - ( x dx2

. De (4*) obtenemos: 4

3 -2u)(2x)

EXISTA MÍNIMO EN ALGÚN PUNTO SINGULAR.

6

. De (6 *) obtenemos:

‘ +4u

^- = - % + 2 x

dx

9. Se cumple: 2 (y

- 2ü)

■(6*) d2A

1

dx2_

-

1

_

9

( ^/ 2 u )3 + 4 u

t

-4u + 2x

X II

_

( 3 / 2 ^ )3

:6 > 0

Determinar la altura mínima h = OB que pueda tener la puerta de una torre vertical ABCD, para que a través de ella se pueda introducir en la torre una barra rígida MN de longitud cuyo extremo M resbalará a lo largo de la línea horizontal AB. La anchura de la torre es d < í . (ver. Fig. adjunta): Solución: Hacer otra fig. auxiliar. D

X. *(" y udT son constantes conocidos “

2. Se debe expresar h en términos de f/» ' " ' -C f *

APLICACIONES DE LA DERIVADA 4. Debemos expresar h en función sólo de x. En el triángulo rectángulo NRM, por el TEOREMA DE PITÁGORAS, tenemos: ■t2 = y 2 + (d + x )2

y 2 = í 2 - (d + x )2 => y = \ji2 - (d + x )2

5. Sustituir en (3*): h(x) =

: ^ 2 - ( d + x)2

La forma más sencilla de hallar ^

d+x

es aplicar, en primer lugar

logaritmo natural en ambos miembros.

Veamos: Ln(h) = Lnx + iL n [f -( d + x) ]-L n (d + x) derivar dh dx _

1

| __ 1

h

X

" 2

-2 (d + x)

i

e2-(d + x)2

d+x

_ (x + d) I f2 —(d + x)2 ] -x ( x + d)2- x [ l 2 - ( x + d)2 ] x(x+d ) [i2 - ( d + x ) 2 ]

h

_ ¿2 (x + d ) - (x + d)3 - x ( x + d)2 - x + + (x + d)2 x (x + d) [ í2 - ( d + x)2 ] _ ( 2 x + C2 d - ( x + d)3 - x £ 2 x(x + d )[í2 - (d + x)2 ] dh

ck

í2d -( x + d)3 x(x + d) [ f 2 - (d + x)2 ]

dh_ ^ dh = dx

M í2 d - ( x + d)3 ] x(x + d )[í2-( d + x)2 ] x ^ t 2 - ( d + x)2

(2d - ( x + d f

x+d

x(x + d) [ £2 - ( d + x)2

(2d - { x + d f (x + d)2 ^/í2 -(d + x)2

6

. Haciendo:

dx

r d - ( x + c/r

= 0 ,’ se obtiene: = 0

(x + d f = e 2d (x + d) = \fi2d

x=

l 2d - d

.(6*)


Sustituir (6 *) en (5): ,

(3J f d - d ) J f - [ 3J f d - d + d f

h=

-------------

3 / 2 --------------------

d+y¡rd-d

(3J J d - d ^ ( 2 - ( ( 2/3d ^ 3 f

3/e2 fá d

J £2 _ £ m d 2l3 3*2

= ^ 2 / 3 _ ¿ 2 /3 J

■2 4 /3

4 /3

c^ 3

íA / á d

“ 4 /3

= (f 2 / 3 - d 2 / 3 )yje213 - d 2 / 3 h = ( 4 /3 - d

2 / 3 )3 / 2

(25) Se va a construir un embalaje con tapapara contener 2m3 de naranjas. Se va dividir en dos partes mediante una se paración paralela a sus extremos cuadra dos. Encuentre las dimensiones del em balaje que requiere la menor cantidad de material.

A T = dos veces área de la base +

2x y área lateral + área de extremos cuadrados

(2 x + 2 y )x

x2

Que se puede expresar como: AT = 2 xy + (2 x - 2 y)x + x 2

Solución:

(1 *)

o

2. Pero: x y = 2

3.

« -v o l u m e n df, p a r a le l e p íp e d o

Sustituir 2 en (1*): AT = 2 x

- 4

= £ + 3 X

x

+ (2

2

x

+2

--^ )

+x2


4.

Para que AT sea mínimo debe cum plir dos requisitos:

6

(321

. Haciendo: £(AT) = 0

=0

= > - 6 x 3 - 8

2

1». Que £ (A T ) = 0 2°. Que -é-j(AT) > 0

dx

punto angular

<- Para algún punto singular.

Al sustituir en 2: 2 = ^

=1^

Veamos: 5.

7.

De A = —+ 3x 2 , obtenemos: j

L(A T ) = - 4

¿ t (AT) = 4

+6 .

3V6

en (5*

á -(A T )

+ 6 x = -

dbcJ

(26)

Al sustituir: x =

dx'

(5*) 8

, . ^

. - ( «

) + 6 > 0

. Conclusión: las dimensiones del em balaje son: 2 .- 2 ?/6 ; y 3M

p r o b le m a DE FÍSICA. La amplitud /d e la comente alterna que fluye en un circuito eléctrico con inductancia L, capacidad C y resistencia R en serie está dan do por: I = -

f

v--------

2 + (L - ^

) 2

donde v es la amplitud del voltaje alternante y u; = 2 ;r/ es la frecuencia de voltaje, además f e s ciclos por segundos. Demostrar que / es un máximo cuando / = — K = ciclos por segundo. 2 n y Le

Solución: 1.

En la formula de /tener en cuenta que:

\w Son variables i , constantes

1/

V R

Moisés Lázaro C. 2. Para derivar I debe expresarse en función sólo de la variable /. 3. Sustituir: w = 2nf en I:

1=

4.

Ahora hallemos

Pero antes, expresemos I como: -

1/2

I = v r 2 +( 2 '- * / - ¿ 7 ) ' -3 /2

di

i

df =

2U

r 2 + (2

^

5.

Al hacer

+

di

(

2

0+2

L x f - ^ f

= 0 , sólo corresponde que: 2 L n j - g ~ j = 0

=>

4;r2 L c / 2 - l = 0

=>

/ 2

= — i— 4A c

=>

f = — K= 2n ^L c

■(2 le)

(f


[ l5 . CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Introducción: Observemos los gráficos de las funciones /(x) y g(x) respectivamente.

f(x)=4 : ------

' 3 3(x + l)1,/3(x - 1)2/3 9

9(x + l)4/3( x - l ) 5/

Tenemos:

Tenemos:

1. En los intervalos:

( - o o ,-l) u ( -l ,l)

1. En los intervalos:

<-oo,-l) u(l,+o o)

f(x) es cóncavo hacia arriba.

g(x) es cóncavo hacia abajo.

2. En el intervalo: ( 1 , + co), f(x) es:

2. En el intervalo: (-1 ,1 ), g(x) es: cóncavo hacia arriba.

cóncavo hacia abajo. 3. B(1,0) es un punto de

INFLEXIÓN,

porque f(x) sufre un cambio de cur vatura: de cóncavo hacia arriba pasa a cóncavo hacia abajo. 4.

A ( - 1 ,0 ) A NO

ES

punto de inflexión,

porque f(x) no sufre cambio de cur vatura.

3. (-1 ,

es punto de inflexión, por

que g(x) cambia de curvatura: de cóncavo hacia abajo pasa a cónca vo hacia arriba. 4 . ( 1 , - -22-) es punto de INFLEXIÓN,

porque g(x) cambia de curvatura: de cóncavo hacia abajo.

Moisés Lázaro C. 0 En este capítulo nos toca responder dos interrogantes: 1. ¿Cómo se hallan los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, respecti vamente? 2. ¿Cómo se hallan los puntos de inflexión? La respuesta es: los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión se hallan analizando la segunda derivada de la función en estudio. El análisis que se deberá hacer con la segunda derivada / " ( x ) , es similar al análisis que se hizo con la primera derivada / '( x ), cuando buscábamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función /(x ), para luego hallar los máximos y mínimos relativos de / ( x ) . NOTA:

Visto el gráfico de las curvas desde arriba se observan dos curvaturas: cóncavo (cóncavo hacia arriba) y convexo (cóncavo hacia abajo).

A

A y G no son puntos de inflexión. B, C, D, E, F son puntos de inflexión. Resumen: Si la función /(x ) es dos veces diferenciable en un intervalo abierto /, en tonces al analizar la segunda derivada / " ( x ) , deducimos 1. Lo posibles puntos de

INFLEXIÓN

6

proposiciones básicas:

de la función /(x ) se hallan en:

a) Los: x e / , tal que /"(x ) = 0. b) Los: x g / , tal que 0 f " ( x ) . 2.

Si /"(x ) >0 , Vx g / , entonces f(x) es cóncava hacia arriba sobre I.

3.

Si /" (x ) < 0 , V x e í , entonces /(x ) es cóncava hacia abajo sobre /.

4.Si x 0 es un punto del intervalo J = (a,b), tal que: la segunda derivada cambia de signo al pasar de (a,x0) PUNTO DE INFLEXIÓN

/"(x)

hacia (x 0 ,b), entonces (x0 ,/(x 0)) se llama

de la gráfica de f ( x ) .

f"<0

I

f">0

5. Si /" (x ) (x0 ,/(x 0))

6.

í

i

NO CAMBIA NO ES

f” >0

i

f"<0

i

I

f"<0

i

f">0

I

i

f"> O

i

f"<0

de signo al pasar de
punto de inflexión.

Si x 0 e 1 = INTERVALO

ABIERTO

y

/(x )

es diferenciable sobre I, entonces

(x0 ,/( x 0)) es punto de inflexió <=> existe /" ( x 0)

a

/"(x 0)= 0

.

Antes de formalizar la definición de concavidad de una curva, hagamos dos ilustracio nes gráficas:

En ambas figuras observemos la posición de los punte® M y P, donde: M pertenece a la cuerda Py P.¿ , Py . P¿ e C r ( f ) . P pertenece al gráfico de /. En la fig.l, el punto P está por debajo del punto M, en este caso f (x) es “cóncav< hacia arriba”, pues “ordenada de P es menor que ordenada de M". En la fig. 2, el punto P está por encima del punto M. en este caso es “cóncavo hacú abajo”; pues “ordenada de P es mayor que ordenada de M”. La definición de concavidad se hace, precisamente comparando la “ordenada” de P con l¡ “ORDENADA” de M. siendo x¡ la abscisa común para ambos puntos y que x , e < X j.x 2 > .

Moisés Lázaro C. El problema consiste en hallar “Las ordenadas de P y de M siendo xt la abscisa común con x t e
1) En el eje x ¿ - j OA = x1 ; 2

OT = xt ;

se tiene los siguientes segmentosde rectas:

OB = x 2

) x t - x 1 es positivo, pues x t > x1. x 2 - x1 es positivo, pues x 2 > x1 .

3)

Establecemos la siguiente razón geométrica — x2

Es menor que 1, porque:

0 < (xt - x1) < (x2 - xx). < Ü Z ÍL < x 2 ~ X1

0

4)

,que es positivo y menor que 1 X1

1

Llamemos:

t = ——— x 2 - X1 I x t - x 1 = t ( x 2 - x 1)

0

En 2do lugar, hallemos las ordenas de P y de M. 5)

Como P s G r (/)

a

x t es la abscisa de P, entonces la ordenada de P es: / ( x t ) = / ( ( l - t ) x 1 + t x 2 ))

Luego: P = (xt , /(I - 1) x± + 1x2) 6

) Para hallar la ordenada de M, establecemos una proporción en el trapecio xt PiP2 x2 : M- P,

*2 - ^ 1

P2~P1

M-P,

=>

t■

=>

M = P1 +t(P2 - P 1)

P r2 - P 1

= (x1 ,/( x 1)) + í[(x 2 ,/{x 2 ) ) - ( x 1 ,/( x 1))] = (x i,/(x 1)) + t[x 2 - x x , / ( x 2 ) - / ( x 1)] = ( X !,í ( x 2

Como vemos, la ordenada de M es:

- x 1) , f ( x 1) + t lf{ x2) - f ( x 1)]

/ (x1) + 1[ f (x2) - / (x1)]

_________________________ APLICACIONES DE LA DERIVADA___________________________

Por lo expuesto, estamos preparados para definir la concavidad. Definición 1: La gráfica de la función / es cóncava hacia arriba en el intervalo (a ,b), si V x e (a,b) se cumple: / ( ( l - t ) x 1 + íx 2 ) < ( l - í ) / ( x 1) + í / ( x 2), t £ ( 0 , 1 ) ORDENADA DE/»

ORDENADA DE M

Definición 2: La gráfica de la función / es cóncava hacia abajo en el intervalo (a ,b ), si V x e (a,b) se cumple: f { ( l - t ) x 1 + t x 2) >

(1

- t ) / ( x 1) + í /( x 2), t e ( 0 , 1 )

Nuestro objetivo es relacionar la 2a derivada /" (x ) con las definiciones 1, 2 a través del siguiente teorema: Teorema 21:

Sea/diferenciable en el intervalo (a,b>:

a) Si f"(x) > 0 ,V xe< a ,b)= > la gráfica de / es cóncava hacia arriba sobre (a, b) b) Si /"(x) < 0 , Vx e (a,b> => la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre (a ,b ) Prueba de b) Debo probar que: HIPÓTESIS

j/" ( x )

> 0,

V x e (a,b)

/ ((1 - 1) xx + 1x 2 ) < (1 TESIS

í)/(X j

) + í/(x 2 )

con t e ( 0 , 1 ), para afirmar que / es cóncava hacia arriba sobre (a, b)

1) Sean Xi,x 2 e (a ,b ), con x1 < x 2 .

c1

X,

c2

Sea t e (0,t) , t fijo con x t e (x 1 ?x2) , donde xt = (1 - t)x1 + t x 2 . 2) Aplicando el T.V.M. sobre [xl 5 xt] implica que 3 q e (x ^ X j), tal que: P (c \ * ' 1'

f{ xt ) - f { x l) _ / ( ( l - Q x j + ¿x2 ) - / ( x 1) _ f { { l - t ) x 1 + t x 2 ) - f { x 1) ^ (1- 1) xt - 1x2 t (x2 - x1)

3) Ahora, aplicando el T.V.M. sobre [xí?x2] implica que 3 c 2 e (xt,x2) , tal que: f

\ __ /( x 2 ) - / ( x t ) _ /( x 2 ) - / ( ( l - ¿ ) x i + ¿x2 ) _ f { x 2 )~ } ( { l - t ) x 1 + t x 2 ) 2' x2 - x ¿ x2 - [ ( 1 - t)x2 + tx2 ] ( l - t ) ( x 2 - x 1)

Moisés Lázaro C. 4) Por hipótesis se tiene que /"(x ) > 0 , x e (a,b> , esto implica que /'(x ) es creciente Vx

e

(a,b) .

5) Como c1, c 2 e
( a ,b )

con

< c2

a

/ ' es creciente, entonces:

/ '( q ) < /'(¿2) f { ( l - t ) x 1 + t x 2 ) - f ( x 1)

<

f(x2 ) - f ( ( l - t ) x 1 + t x 2 ) (l-í){x

t ( x2 - x 1 )

2-

x 1)

( l - t ) f ( ( l - t ) x 1 + t x 2) - ( l - t ) f ( x 1) < t - f ( x 2) - t - f ( ( l - t ) x 1 + t x 2) f ( ( l - t + t x 2) - t - f ( ( l - t ) x 1 + tx 2 ) - ( l - t ) / ( x 1) < t - / ( x 2 ) - t - / ( ( l - t ) x 1 + tx2) / ( ( l - f ) x x + í x 2) < ( l - t ) f ( x 1) + t f ( x 2) 6

) Esto implica que / es cóncavo hacia arriba sobre (a,b) .

Prueba de b) Queda como ejercicio. Definición 3. Un punto (c,/(x)) sobre la gráfica de una función / (x) donde la di rección de concavidad cambia, se llama

PUNTO DE IN

FLEXION.

Esto implica que existe una vecindad: B(c,8) = ( c - 8 , c + 8) , tal que f(x) es cóncava hacia arriba en (c - S , c ) y cóncavo hacia abajo en (c,c + 8) . o viceversa. Teorema 22.

Sea (c , /(c)) un punto de inflexión de la gráfica de la función / (x),

diferenciable en el intervalo (a,b) con c e (a,b) . Si existe: /"(c )

=>

f"(c) = 0.

Prueba: La demostración es por reducción al absurdo. Las hipótesis son: ¡\ : (c,/(c)) es un punto de inflexión del G r f . Esto es, en una vecindad ( c - S , c + S) de c hay cambio de dirección de la concavidad. h2 : / (x) es diferenciable en (a,b) con c e . b3 : 3/' ' (c). La tesis es T : /"(c) = 0

,

~T : /"(c) > 0

Debo probar:

a

b3

- 7 ^

a

h2

=>

- f y

v

/"(c) < 0


Veamos: 1. Supongamos que: 0 2

: /"(c) > 0

Debo probar ~ 1\ : en (c - S , c + S) no hay

c /v rtt \ . Sea: g(x) = / '(x).

3. Si x = c

=>

cambio de dirección de la derivada.

g'(c) = / " (c).

4. Según la hipótesis: existe /"(c) = g'(c) > 0 . 5. La definición de g'(c) es g'(c)= lim X

>c

x

,x ^ c .

c

Si existe g'(c) y haciendo g'(c) = L > 0 , aplicamos la definición de límite: (V s > 0) (3 8 > 0), tal que, si: xeDom(/)

0<|x-c|<¿>

a

s(x)-g{c)

-L <8

c - S < x
. Como el valor absoluto se cumple V s > 0 , en particular se cumplirá para s = L , así tendremos: g(x)-g(c) x - c

-L

_ L

El cociente a)

g ( x ) - _g |( c ) _

<

g(x)-g(c)

es positivo para dos casos:

S i c - ¿ > < x < c , entonces x - c < 0, como g(x)

3

L < L

X - C

0

7.

<

/

/

X - c

c

<2L

A V A ¿= ~— p c+g >0, luego: g(x) - g(c) < 0 =>

g(x) < g(c) VX

E

(c,c + 5 )

C—8 X C b)

S i c < x < c + ¿>, entonces x - c > 0 , como ~ ~ ~ ~ > 0 , luego: g(x) - g(c) > 0 g(x)» => g(x) > g(c)

(

V x e ( c , c + S)

C 3< c+8 8

. Por a) afirmamos que: g(x) = f'(x) , es creciente sobre ( c - S , c ) . Por

b) afirmamos que: g(x) = f ' ( x) , es creciente sobre (c,c + S) . =>

f f(x) es creciente sobre ( c - S , c + S ) .

, ^ q\_____________________________ Moisés Lázaro C. 9. Como: g(x) = f r(x) NOTA:

3g'(c) = /"(c) => /'(x) es continua en x - c .

a

Si existe /'(c) => f(x) es continua en x = c. Igualmente, si existe /"(c) => f f(x) . es continua en x = c .

í /'(x) es creciente sobre (c - S,c + S) => f"{x) > 0 V x e (c - S,c + S) Ya tenemos: < [ f '( x) es continua en x = c Ahora nos falta probar si f(x) es cóncava hacia arriba sobre ( c - S , c + S ) . 10. Por hipótesis: /(x) es diferenciable en (a,b ) , en particular es diferenciable en: ( c - S , c + S)

c=

.

11. V x 1 ?x 2 e ( c - S,c + S) con x± < x 2 ; podemos aplicar el intervalos cerrados [x1 ?xt]

a

T.V.M.

a /(x) en los

[xt,x2] , donde xt = ( 1 - t ) x i + t x 2 , t e ( 0 ,1 ).

a) Aplicando el T.V.M. en [ x ^ x j : 3 q e (xlfxt) , tal que,

^ x*)^/(*i) = / '( c ^ . xt xi

b) Aplicando el T.V.M. en [xí,x 2 ] : 3 c 2 g (xl 5 x2) , tal que, c -5

x1

c1

x,

c2

x2

= /'( c2 ) ■

c+8

12. Donde: c - í> < x, <: C] < x. < c? < x2 < c + ó y como f'(x) es creciente sobre ( c - S ,c + S ) , entonces: /'(c 1 ) < / ' ( c 2) <

’

Xí = (^- í )xl

f ( ( l - t ) x 1 + t x 2) < ( l - t ) f { x 1) + t - f { x 2) ,

+ t x 2

con * e

,)

^0

,1 )

te{ 0 1

13. Entonces / es cóncava hacia acriba sobre ( c - S , c + S ) , lo cual es absurdo, porque la concavidad de / debería cambiar de dirección en c e ( c - 5 , c + $ ) Esto contradice a la hipótesis que afirma (c, f(c)) es punto de inflexión (~hj). 14. Igualmente, si suponemos que: f"(c) < 0 llegaremos a contradecir la hipótesis f\ 15. Por tanto: no puede ser f " (c) > 0 v / " (c) < 0 , entonces debe ser f " (c) = 0 .


< §>

O b s e r v a c ió n El recíproco del Teorema 23 no siempre es verdadero. Es decir si /"(c) = 0 , ello no necesariamente implica que (c,/(c)) sea un punto de inflexión. Ejemplo: Sea: f(x) = ( 2 x - l f - l / " = 0 => x = \

f'(x) = 6 (2 x - l ) 5 (2 ) = 1 2 (2 x - l

f"(x) = 1 2 0 (2 x

)5

l )4 ------* / " > 0 => x e R

.------ 2 ------ .

f ” (x) = 6 0 (2 x -l)4(2)

f">0

= 1 2 0 (2 x - 1)4

/" <

0

=>

f"<0

Como vemos, /" (x) no cambia de signo al pasar de ( -

00,1 /2 )

a

< 1 /2

, + 0 0 ), en

tonces la concavidad no varía manteniéndose siempre hacia arriba. Luego ( 1 / 2 , / ( 1 / 2 ) ) no es punto de inflexión de la gráfica de/: 15.1.

REGLAS PARA POSIBLES PUNTOS DE INFLEXION

Teorema 23.

Sea f(x) una función continua sobre el intervalo abierto (a,b) . Sea x 0 e ( a , b ) , donde / " ( x 0) = 0 ó / f " ( x 0) , entonces:

1) Si: / " ( x ) < 0 , V x e ( a , x 0 ) A f ( x ) > 0 , V x e ( x 0 , b ) ^ ( x 0 ,/(x0)) es pto. de inflexión 2) Si: / " ( x ) > 0 , V x e ( a , x 0 >A/ "(x)<0, VxG(x 0 , b ) ^ ( x 0 ,/(x0)) es pto. de inflexión f ’’(x) > 0 . .

Vx

e

,

A

f ”(x)>

.

Ilustración Gráfica:

f ” (x) < 0

0

,

«.

V x e (x0,b)_

V v

. .

,

A

_Vxe

f "( x)< . .

,

íxo/(*o))

0

. ,

V x e (x0,b)

no es punto de inflexión

Moisés Lázaro C. 15.2.

APLICACIONES AL TRAZADO DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION

Trazar el gráfico eje una función es muy importante ya que es una forma objetiva de apreciar el comportamiento de la función. Los pasos a seguir pueden ser los siguientes: 1. Determinar el dominio de la función f ( x ) . 2. Determinar las intersecciones con los ejes. 3. Verificar las simetrías con respecto a los ejes yconrespecto al origen. 4. Determinar las asíntotas: verticales (límiteslaterales en lospuntos de discontinui dad), las asíntotas horizontales y oblicuas (límites en x -> ±co).

5. Hallar la I a derivada / ' ( x ) , resolver

a)

/' = 0

b)

r> o

c)

/'< 0

a) 6

. Hallar la 2a derivada / " (x), resolver < b) c)

y determinar los extremos de la función

/(x).

/" = 0 /"

> 0

y hallar los puntos de inflexión

/"< 0

7. Construir la gráfica de la función. Ejemplo 1: Graficar: /(x) = 5(x -1

)2 / 3

,5/3

- ( x - 1 )'

Solución: 1. Dom(/) = x e í ? , porque la raíz cubica es cero, positiva o negativa. 2. Intersecciones: Con el eje x: hacemos /(x) = 0 =>

5 (x - 1)2 / 3 - (x - 1)5 / 3 = 0 (x - 1 ) 2 / 3 [ 5 - (

=>

x

-1)] = 0

(x - 1)2/3 (6 - x) = 0

=> 3. Simetría: no hay. 4. Asíntotas: no tiene.

x =1

v

x =6


5.

/'(x) = ? (x-l)'

4 (x-i)3

5 (3-x) 3 3^ T

/'(* ) =

a) f'(x) = 0

=>

x = 0, X /'(1). Los puntos críticos son: { 0 , 1 } .

b) f'{x) > 0

=*

4

(3-x)

•3^_ül > 0 , racionalizar.

X -l, < =>

^_____

0

+

X E (1 , 3) _2

^ T T ( - 1 ) - ( 3 - x )-(x -1)

c) /"(x ) = |

.1 0 9

3

x

3^

f

Extremos: a) Existe mínimo en x = 1 que es /(1) = 0 . b) Existe máximo en x = 3 que es /(3) = 3y¡4 « 4.76

6

.

3y 7 r i ( - i ) - ( 3 - x ) . i ( x - i r 3

r ( x ) = |3 -

_

10

.

9 a) / " (x) = 0

=>

x = 0 , X /" (!)-

b) f"(x)

=>

x < 0 : cóncava hacia arriba.

=>

x > 0 : cóncava hacia abajo.

> 0

c) / " ( x ) <

0

v3 - 9

Ejemplo 2. Graficar f ( x) = -------

( x — 1)

Solución: 1. Dom(/) = X£ JR - { x = 1} . 2

. Intersecciones: a) Con eje x: /(x) = 0 b) C o n e j e y : x = 0

=>

=>

x3 - 2 = 0

/(0) = -2

=>

x = ^¡2

Moisés Lázaro C. 3. Simetría: No hay 4. Asíntotas a) Verticales: x = 1 b) Horizontales: No hay, pues lim f(x)=±oo X -> + C O

c) Oblicuas: y = a x + b , donde: a = lim /(*)

b=

x

lim X

X -> ± c O

lim [ f ( x ) - b x ] = X —> ± 0 0

2

-

—> ±CO x ( x

x3 -

lim

lim

1)

X —>00

2

Mr = 1

Mr

■- X

(x - 1 )"

X —> ± 0 0

= lim x

X —> ± 0 0

2x

= lim

x2 -

X -> ± 0 0

-

- x -

2 x +1 2

2 x +1

=

2

La asíntota oblicua es y = x + 2 . 5

(x-1)2-3x2 -(x

3-2)-2(x-1)

_

(x + l ) ( x - 2

)2

( x- ir a) / '(x) = 0 b) f '( x) >

0

=> =>

(x +

1) ( x

-

x = —1

2)

(x - 1 ) 3 (x +

1) ( x

-

. Puntos críticos { - 1 , 2 }

ix = 2 2)2

( x -1)3

>0

M x- 1 > ° x c) /'(x ) < 0

e ( - o o , - l ) u (l,+ o o )

x e <—1,1)

y '>0

y '<0

Existe máximo en x = - 1 , que es /(-1 ) = -3 /4 .

6

. De:

/ '(x) = (x + 1^x q2) se obtiene: (x-l)J

/

„ _ (x + 1)3 [(x - 2 ) 2 + (x + l ) - 2 ( x - 2 ) - ( x + 1) (x - 2 ) 2 •3 (x - 1 )2

(x - 1 ) 6

y '>0

y '>0


/ " ( * ) = (x-iy

/" = 0

=>

x =2

f">

=>

x >2

=>

x <2

0

/ " < 0

,

x*l

Punto de inflexión: /(2) = 6

PROBLEMAS: Graficar las siguientes funciones hallando máximos y mínimos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento, decrecimiento y concavidad. 1

. f(x) = x 4 -

8

x 2 + 7.

Puntos críticos { 0 , 2 } . De: /"(x) = 0 se obtienen x = ±^¡^-

Asíntota y = 2, de / ' = 0 se obtienen x = 2, x = 4 . De / " = 0 , x = 1, § , 4.


f(x) = Ln(cos2x), x e [- n,n]

6.

/( x ) = -

-|x+2|

7.

,

x + e -2 “ -x~¿

x <0

,

í r W

x>0

- fM =

ex n X < 0

,

X + 1

,X<1 j X > 1

18. Esbozar la gráfica de una función f continua en JR, tal que cumpla las siguientes condiciones:

9. /(x) = ( x - l ) ( x z - 2 x r 1/3+ l

i) 10.

2 _ i & (x- 4 / 3 + x - l / 3)

Graficar / indicando crecimiento, con cavidad y valores extremos.

x >0

2x +1 r-

=

/(O) = -1 , /'(O) = 4 , /'( 8 ) = -5 .

f(x) = Ln|2sen hx\ l-x

8

17. Si f e s una función continua en R tal que:

/ (x) = i e ‘

/(O) = /(4) = /(12) = 0, / ( 6 ) = - 5 , / ( - 1) = 2, / ( 2 ) = 1

ii) /'( 2 ) = f (6 ) = 0 , /'(O) no existe. 11.

/(x) =

x +e

,

x <0

,

x >0

iii) f'(x) > 0 ,. Si O < x < 2 f'(x) < 0 , Si x < 0

5 x 2/3 - x 5/3 12.

/( x ) =

x

-2 x + 2

7^1

13.

X

f(x) = x 2 ^ 2 (1

15.

v

x < 1

iu) / " ( x ) > 0 , . S i - l < x < 0

,

X > 1

f"(x) < 0 , S i x < - l

XS-

,

X < ” 1

1

f(x) =

3

x -5

v

v

x>4

0
19. f(x) = \j(x + 4) 2 ( x - 5 ) , x e R

+xK

’

20.

f(x) = 3 s j( x -l)(x

21.

/(x) = -

, x e [0 ,3 ]

,

x < 1

,

x > 1

x+x-

i-

X -1

’

+ 2)2 , x e [ - 3 , 2 ]

x <5

6

x >5

x+1

(l-x )2 X2 - 2

-

,4/3

22. / ( X ) :

x 2 / 3 (x + 2) i / J - x ,2/3

,x <0

(x - 6 ) 1/3( x - 1 2 ) z m ,

16.

> 6

2
,

,

x

/(x) = X - — + -Í-

14.

v

f( x) =

( l - x ) 2 (l + x )3 X +

6 x -V 3

, X<1 X>1

x

>6

CAPÍTU LO B DIFERENCIALES 1. INCREMENTO DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE E INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN._____________________________________________________ Supongamos que x sea la variable independiente y /(x) sea una función de x. Como los números reales son bien ordenados, entonces la variable x puede expe rimentar cambios desde un valor x 0 hasta otro valor, tal que x 0 < x . Ver gráfico.

La diferencia x - x 0 se llama incremento de la variable x: Notación:

El incremento de x se denota por el símbolo A x . Así habremos obtenido la siguiente definición.

1.1. Definición:

el incremento de una variable x (denotado por A x) es el au mento o disminución que experimenta la variable x, desde el valor x 0 hasta otro valor x, esto es: A x = x - x 0 x = x0 + A x Ax Xq

0

— 337 —

x

= Xq

Ax

Moisés Lázaro C.____________________________ _ Aplicando suma de segmentos, se tiene: OX = x OX = QXo + XOX , pero x = x 0 + Ax

GX^ = x 0 x0x = x - x0 = A x

Si los puntos x 0 , X i, x 2 , x 3 , ... , xn son equidistantes entonces las siguientes dife rencias son iguales: X j- X q = x 2 - X i =X 3 - X 2 = ... = xn- x n_i = A x Así tendremos que: Xi = x 0 + A x x 2 = x 0 + 2Ax x 3 = x 0 +3 Ax

xn = x 0 + n A x Ahora» veamos cómo se comportan las imágenes de los puntos: x0 , xx , x 2 ...... Si x varia de x 0 hastax, siendo x 0 < x , donde A x = x ~ x 0 , entonces las imágenes de x 0 y x que son respectivamente / ( x 0) y f{ x) han sufrido también un cambio desde f ( x 0) hasta / ( x ) y la diferencia / ( x ) - / ( x 0} se llama incremento de lafun-

La NOTACIÓN

A f = f ( x 1) - f ( x 0) expresa el incremento d e / . ó

Como:

Ay = y - y0

=>

y = y0 +Ay

x - x0 = A x x = x0 + A x

=>

Ay = / ( x 0 + A x ) - / ( x 0)

Si x es una variable discreta y tuviéramos un conjunto de valores de x con sus respec tivas imágenes, tales como lo mostramos en el siguiente cuadro:

DIFERENCIALES

V2

= if

V3

=

(x 2 )

/ (x/3)

x.3

;

*n -l

o*

II > X

x2

1 X o II >

*i

Vi = / ( xi)

^X

*0

INCREMENTO DE X

X C\D 1

IMÁGENES DE X

X o

VALORES DE X

x3 - x 2

=

A x2

INCREMENTO DE Y

yi~y0 =Ay0

y i = y 0 + A Vo

y2 - y i = A y i

y2 = y i + A y 1

i > 3 ~ V 2 = A i>2

<=>

V 3 = l > 2 + A V2

I

i x n —x n-l = A x n-l

x n - x „ - l = A x n-l

< = > V n = V n - 1 + A Vn-1

x n-l = / ( x n-l> % = / ( x „)

Entonces el análisis matemático que haríamos, estaría basado en el comportamiento que experimentan las variaciones de la variable x y sus imágenes / ( x ) . Así por ejemplo:

A p l ic a c io n e s :

[TI En geometría Analítica:

en la ecuación cartesiana de la recta y = ax + b se tiene a = ■— = pendiente de la recta.

Ejemplo:

y = 2x + 5 , donde ^ = 2

Moisés Lázaro C. 2]

En economía: La ecuación de la demanda: q = -|-p +10 ,

r3| En física: e = vt + e0 e = 2f + 5 donde: 3.

^ 7

,

=•

e = espacio recorrido

t = tiempo

= 2 km/h = V = velocidad de un móvil

En Ax = x - x 0 , si “x tiende a acercarse a x 0 ” Ax tiende a acercarse a cero, en tonces Ax se convierte en dx. Es decir:

lim Ax = d x X°

X

4.

I----------Diferencial de X.

Igualmente: Si en el cociente 4 ” , llamado variación media de y con respecto a x, hallamos el límite cuando Ax tiende hacia cero,9 entonces el cociente 4^ tiende a Ax convertirse en “la derivada de y con respecto a x” . Así:

l i m „ f £ = |£ = y', siendo y = / (x) , y ' = / ' ( * ) = 7dx 77

Ax

0

Se llama: variación instantánea de y con respecto a x o razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.

5.

Numéricamente, al comparar Ay con dy, se cumple que “dy es una buena aproxi mación de Ax” .

Ejemplo:

Dado la función: y = / (x) = x - x Hallar: Ay y dx para x = 10, Ax = 0.1

Solución: a)

Ay = / ( x 0 + A x ) - / ( x 0)

b )

dy = y •dx Donde:

= /'(10) •dx

= / (10 + 0.1) —/ (10) = [10 - 1)2 - 1 0 •1]-[(10)2 - 1 0 ]

= (19)-(0.1) O)

........... _

Hay un error: Ay - d y = 0.01

II

t_____________

H

*T3

Ay = 1.91

t

/(x) = x 2 - x = 2x -1 /'(10) = 2(10) —1 = 19 f'(x)

DIFERENCIALES

<£> Como vemos: el dy es una buena aproximación de Ay. Para el presente ejemplo hay un error de 0.01 entre Ay y dy a este error le llamaremos: ERROR ABSOLUTO

y al cociente

se le llama ERROR RELATIVO al Ay. ERROR ABSOLUTO:

ERROR RELATIVO AL INCREMENTO DE:

1.2.

Ay - d y y=

Ay - d y Ay

ERROR RELATIVO Y ERROR PORCENTUAL APROXIMADO

Al usar notaciones matemáticas se tendría: Cuando una cantidad y0 = / ( x 0) se aproxima mediante la cantidad / ( x 0 + Ax) con un error Ay = / ( x 0 + Ax) - / ( x 0) , entonces se llama al valor |

ERROR RELATIVO

100)% se llama PORCENTAJE ERROR.

ER RO R R E LA TIV O = P O R C EN TAJE D E ERRO R =

Vo /A y

1^0

1

2

/ ( x ) = y 20

25

X

Respecto al ejemplo anterior:

Ay _

f ( x o)

/(*)

i Ov 11

Es decir:

J»0

X io o )%

)

al valor:

y

Moisés Lázaro C. a)

ERROR RELATIVO =

— = - ^ = ^ = 0 .2 5

b)

PORCENTAJE DE ERROR

yo

20

= ( ^ x 100 j% = (0.25 x 100)% = 25%

Cuando la función / = /(x) es continua, el Ay se aproxima por dy = d/ (x0) en tonces el ERROR RELATIVO serán respectivamente:

APROXIM ADO

y el

PORCENTAJE DE ERROR APROXIM ADO

0

1 '-"5; ~H

1

1

PORCENTAJE DE ERROR APROXIMADO =

10

f(x0)

X h -1

I

ERROR RELATIVO APROXIMADO = —77—^7- =

%

Problema 01. Dada la función continua y = f(x) = x 2 , si x0 = 2 , Ax = 0.4, hallar: el error relativo, error porcentual, error relativo aproximado, error porcentual aproximado, e =

■

Solución: X

2

2.04

y

/(2)

/ (2.04)

Luego: a)

ERROR RELATIVO = ^

yo

=

l í ^ ^ L / i 2)

5 .7 6 - 4

Donde: Si

= 0.44

Ax = x - x0 0.4 = x - 2

b)

ERROR PORCENTUAL

=|

100 j% = 44%

x = 2.4 f{2) = 22 = 4

c) De y = x

/(2.04) = (2.04)2 = 5.76

ERROR RELATIVO APROXIM ADO

d) e)

En x = 2

dy = 2(2) •(0.4) = 1.6

= ~ = ~ = 0.40 yo 4

ERROR PORCENTUAL A PR O X = | ^ ERROR ABSOLUTO

dy = 2x *dx

x 100 j % = 40 %

= Ay-dy = 1 .7 6-1.60 = 0.16

DIFERENCIALES

Problema 02. Dada la función y = f(x) = x2 + 5 x - 8 , hallar AY e varia de x0 = 1 a

= 0.8 .

Solución: 1) Ax = x1 - x 0 Ax = 0 .8 -1 = -0.2 2)

Ay = (/(x1) - / ( x 0) = / (0.8) - / (1) = [ (0.8)2 + 5(0.8) - 8 ] - [ l 2 + 5(1) - 8 ] = 0.64 + 4 - 8 - 1 - 5 + 8 = 4 .6 4 -6 AY = -1.36

Problema 03. Calcular la velocidad media de los siguientes movimientos: a)

S = (3í2 +5)m y t pasa de 2 a 3 seg.

b)

S = (2í2 + 5 £ - 3 ) m y ¿pasa de 2 a 3 seg.

Solución de a)

Solución de b)

1) La velocidad media es

1) La velocidad media es: 4Art

2) Pero: A£ = 3 - 2 = 1 Además: A S = S(3) - S(2) AS = 15

3) Ü = T = 15m/seg

donde:

A£ = 5 - 2 = 3

Además: AS = S(5)-S(2) AS = 57 2) ^| = -^ = 19m/seg

cuando x


DIFERENCIALES

Proposición.

Sea la función /: I c R -----> R , I es un intervalo abierto.

a) Probar que el diferencial de la función /e n Xq y h e s: d /( x 0 ; h) = f ( x 0)h, lo cual es la aplicación lineal

T(h) - m h

[Teslineal, si T{¡\ + ^ ) = T(h,) + T {^ ) y T(ah) = aT(h)] , h* 0 ,

h=0

Se lee: /(xo) + h/'(xo) es una buena aproximación de / { x 0 +h) en el intervalo

d)

Decimos que / es diferenciable en x0 e I sí y solo sí existe el número /'(x 0) tal que lim

l / ( * o + h > ~ h * o )-h /'(* o )|

h -* 0

h

Q

Recordemos la definición de la derivada de una función, y hagamos el gráfico siguien te: » f/vV

AY - f(x0 + h) - f(xQ)

1° Sabemos que f \ x 0 ) = ^lirn^ ^ x°~+h^

Si

h =

=>

X = Xq + h

x

-

x0

, donde h = A x = x - x0

2o Tenemos que la ecuación de la recta tangente £ T que pasa por el punto (x0, / ( x 0)) con pendiente /'(x0),es: y - / ( x 0 ) = / '( x o ) ( x - X 0 )

(1)

DIFERENCIALES

< §> 3o Como podemos apreciar, el punto A pertenece a la recta £ T . La primera compo nente del punto A es x = x 0 + h en consecuencia la segunda componente del pun to A se halla sustituyendo x = x 0 + h en la ecuación (1), Así obtendremos: y - / ( * o ) = /'( x o)(*o + ^ - * 0 )

=>

i > - f ( x Q) = h f ’(x0) (2 )

y = (/(x 0) + h/'(xo) = BA

De este modo las componentes del punto A, son A (x0 + h, f (x0 ) + h/'(x 0). 4o Por otro lado tenemos que: Donde: Luego:

BA = BR + RA __ RA = B A - BR

Pero

BA = f ( x 0) + h f { x 0) BR = /(x 0)

RA = f ( x 0) + h f { x 0) - f ( x 0) RA = h f ( x o )

................... (3)

como h = Ax = dx = x - x0 . / \ Incremento de x.

Diferencial de x.

Entonces la relación (3) se podrá escribir como:

RA = f { x 0)h

o RA = f ’(x0)dx

Esta ecuación es “ el diferencial de la función f(x)

Definición: H diferencial de la fundón /(x ) en xq y h es el producto de la de de la fundón multiplicado por el diferencial de x. NOTACIÓN^

1 d / ( x 0 . *) = /'(xo)h

Que también se escribe así:

{4}

dy = Y ’ ■dx

Como /'(x 0) = m es un nümero real único, pendiente de la recta tangente a /e n i y h es una variable, entonces la diferencial de /en x0 y h es la aplicación lineal. T(h) = mh he R 5° Ahora, veamos cómo es la segunda componente del punto P pertenece a la fun ción y = /(x ).

Moisés Lázaro C.

(346} Se tiene que: BP = BÁ + AP

BP = f ( x 0 + h)

Donde

(5)

{ BA = / (x0) + hf'(x0) Entonces la ecuación (5) se expresa del modo siguiente:

Donde:

/( x 0 + h) = f{x0) + hf'(x0) + AP

(6)

AP = f ( x 0 + h ) - f ( x 0) - h f ' ( x 0)

(7)

Dividir por h:

/(x° +^ /(Xo)- / ' ( x 0 )

Tomando límites cuando h tiende hacia cero: lim ^

h->0

lim / U q .± » - _ / ( « aI _

=

h

h->0

lim ^ =: h- » 0 h

lim

J

1¡m

f(X o )

\__________ )

f'(xo)

/'(x0 )

de ésta igualdad se desprende que el cociente ^

AP

h- * 0

es una función que

depende de la variable h, a ésta función llamémosla (p(h) de modo que se tendrá:

(8)

AP = (p(h)

m = - f

Hemos probado entonces, que la función
m

■

í ; T f ° / ' , ° T , l v - / ' ( * o ) . s¡ i i í Q

p r im e r o :

[|

segundo:

si h = 0

0

Lo cual quiére decir que
Q u e #>(0) = 0 lim

h- »0

=0

EN 0 .

o Sustituir (8 )! en (6 ): / (x0 4 =>

h) =

f

(x0 ) +

/ (x0 + b ) - / ( x 0 ) = A

h

/'( x 0) +

h

h f f( x 0 ) + h ( p { h )

f = hf'(x0) + h < p ( h )

(9)

DIFERENCIALES

Cuando la función
Lo cual quiere decir que, la expresión h f f(x0) es una buena aproximación al in cremento de la función /. A/

De (10) tenemos entonces:

/ ( x 0 + h ) - / ( x 0) ~ hf'(x o) / ( x 0 + h ) « / ( x 0) + h /'(x 0)

lo cual indica que la expresión / (x0) + h/'(x 0) es una buena aproximación de: ordenada del punto A

f ( x 0 +h) ordenada del punto P

Todo lo descrito anteriormente indica que, en el intervalo infinitésimo [x 0 , x 0 + h] la recta tangente £ T es aproximadamente igual a la gráfica de la función/. Problema 04. Usando diferenciables, calcúlese un valor aproximado de cada uno de los siguientes datos: a)

^123

Solución de a) 1) FÓRMULA:

b) eos 57° ^¡123 « ? /( x 0 + h ) « / ( x 0) + h/'(x0), donde:

f(x) = Vx < =* /'(*>=r3 iVr* x0 + h = 123 12 5 + (-2) = 123

2) Entonces: /(1 2 5 -2 )* /(1 2 5 ) + (-2)/'(125)

4.973

Moisés Lázaro C. Solución de b)

eos 57° « ? /(x) = cosx

1) FÓRMULA:

/ (x0 + h) ~ / (x0) + h/'(x 0 ) donde

Xq + h = 57° 6 0 - 3 = 57

2) Entonces:

cos(60 - 3 )« cos60° + (-3°) (-sen60°)

3o ->

« 1 + (0.052)4 1 + 0.09

I o -> 0.01745 x

x = 0.052 . 0.545

3. RAZÓN DE CAMBIO

1. Sea la fundón y = / (x) se lee ‘ Y es fundón de X ". Lo que quiere dedr que “x” e la variable independiente e ‘‘Y” es la variable dependiente. 2. Supongamos que x0 cambia en la cantidad Ax . Es dedr. a la cantidad x0 se le aumenta la cantidad A x, así habremos obtenidi una nueva cantidad que sería x = x0 + Ax

<=>

Ax = x - x0.

3. Como Y depende de X. entonces la imagen de x0 . que es /(x0) .cambiaré en 1¡ cantidad A / = AY . Es decir, a la cantidad /(x0) se le aumentará la cantidad AY así ©bténdreríios la cantidad:

DIFERENCIALES

f(x) = f ( x o)

AY = / ( x ) - / ( x o ) AY = / ( x + x 0 ) - / ( x 0) AY = y - y 0

4.

Simplificando lo dicho anteriormente tenemos: Si:

Ax = x - x0 .............................................

©

Entonces: Ay = / (x) - / (x0) .......................... Dividiendo ( 2 ) entre (T ) , tenemos:

©

Ay _ / ( x ) - / ( x 0 ) Ax

x - x0 ^ 0

x - x0

- éste cociente se llama: “ RAZÓN PROMEDIO DE CAMBIO de Y CON RESPECTO a X ”.

5.

Si al cociente que tenemos en 3, le sacamos límite cuando el incremento de x, o sea Ax , tiende acercarse a CERO, entonces obtenemos: “La derivada de y con respecto a x en el punto x 0

Es decir:

lim

4

¿ = lim

Ax ^ 0 Ax

x

1

-» x0

Í A M M = / ' ( Xo) x-x0 - Se lee “La derivada de / con respecto a x en el punto x 0

Donde el valor /'(x 0) = ^ x = x0

6

Se llama RA ZÓ N D E C A M B IO (instantáneo] de y con respecto a x en x 0 .

. Si “La variable Y es fundón de la variable xn y las dos , tanto x como y, son a sí vez “funciones que dependan de ia variable t que sea el tiempo, entonces, obtert dremos la función compuesta y = f ( x (t) ) . Ahora, derivar con respecto a t aplicando la regia de la cadena: dp

ré t ' ¿ 3 L dt

Moisés Lázaro C.

3.1.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Problema 05. En un cierto instante t0 , la longitud de un lado de un cuadrado es de 20,32 cm. y cada lado del cuadrado está aumentando en longitud a razón de 0,508 cm/min. ¿Cuál de la razón de cambio del área del cuadrado con respecto al tiempo y con respecto a la longitud de un lado en el instante í0 ? Solución:

A =L

AREA DEL CU AD RA DO

L = 20,32cm datos "S lado del cuadrado aumenta en longitud a dt razón de 0,508 cm/min = Se pide hallar: RAZON DE CAMBIO DEL AREA DEL CUADRADO CON RESPECTO AL TIEMPO =

dA

dt

RAZON DE CAMBIO DEL AREA DEL CUADRADO CON RESPECTO A LA LONGITUD DE UN LADO

1.

Pero:

L se lee: A es función de

Entonces:

dA

dA

dt

dt

dL

dt

L 2. Corno:

dA dt

A =L

L a L es función de t.

es la razón de cambio del área del cuadrado con respecto al tiempo

=>

dA dL

= 2L

©

DIFERENCIALES 3. Sustituir (2*) dA

dA dt

qr

< §>

en (1*): dL

= 2 (20,32 cm) (0,508 cm/min)

dA dL

4. #d L = 2L

2(20.32 cm)

4

rr = 20,65 cm 2 / min ’

dt

=>

dL

- 40.64 cm

Problema 06. La ley del movimiento de un punto sobre el eje x es x = 3 t - t Hallar la velocidad del movimiento de dicho punto para los instantes tQ = 0 , ti = 1 y í2 - 2 (x se da en centímetros, t en segundos). Solución: 1) Se pide calcular 2) Como

dx

x = 3t-t

Q

= velocidad del movimiento del punto. , entonces

4tat = 3 - 3í 2

^

Problema 07. Un voltaje constante de 12 voltios es lo que se suministra a un circui to. Si a medida que el circuito se calienta aumenta su resistencia a razón de 0 . 1 ohm io/seg, encuéntrese la razón de cambio de la co rriente cuando la resistencia es de 4 ohms. Use la ley de Ohm. E = R I Solución: Datos:

De la fórmula £ = ! ? • / , despejamos /: E = 12 voltios

Moisés Lázaro C.

< §> — = 0 . 1 ohm/seg R = 4 ohm .

^= De donde obtenemos: ^ = E | di dt ~

Luego:

v°lt'^ - ( 0 . 1 Ohm/seg) = -

ut

{4 ohm)

16ohm

_ J L .. dR dt R2

(0.1 ohm/seg)

S = (-0-75) (0.1) «fe/seg ■jj- = -(0.075 amp/seg)

Problema 08. Un depósito en forma de un cono invertido, tiene una altura de 10 metros y una base de 10 mts. de diámetro. Si el depósito está llenándose a razón de

o

2

m /seg?A qué velocidad se está elevando el nivel

del agua cuando el nivel se encuentra a 3 metros de la parte superior del depósito ? Solución:

o

DIFERENCIALES

El triángulo OSR es semejante al triángulo OTQ, entonces: j l

r-ÉÍL-'-A

- J l

5

10

1

10

©

2

Sustituir ( 3 ) en ( 2 ) : v=i

i

Luego:

1

dü

/oí2\dh

_ =^ ( 3 h 1

i sustituyendo los datos: 2m 3 /seg =

) 2/i

2

1,2 '

1

dh *

(7m )2 ^

=>

=> l£ = -k rn/se2 = Problema 09.

)— 'dt

© 8

m3 / seg = 49 ¿rm2 ^ ÉÍL = 0,0519 » 0.052 m/seg dt

De un recipiente cónico de 3 metros de radio y 10 de profundidad q sale agua a razón de 4m /minuto . Hallar la variación con respecto al tiempo, de la altura de la superficie libre y del radio de ésta cuan do la profundidad del agua es de 6 metros.

^ = 4m 3/min, donde V = volumen del cono QTS dh dt

=?

dr _ p ~dt~ '

r = 3mts h = 6 mis

1)

V = ± x r 2h

Moisés Lázaro C. 2) El triángulo QRS es semejante al trián gulo QOP:

8

) De (2) despejar la variable h

=x

7

,

9) Sustituir: h = ^ -r en 1: 3) r = ± h . r2 1 0 r

4) Sustituir (3) en (1)

3

1

v = M i hhf h V = -^Trfth3 , donde v ^ h - > t dv

3

/ o u 2 \ dh

10)

dt

11)

De:

10 _ r 2

dr

n

dt

3

^ = -4 ^ (3 h )w 10

5) 6

du dt

_ 9n h2 — " 102 1 d t

se tiene:

r= r

, si h = 6 3 (6 )

9

10

5

( 12 )

) Pero: h = 6 m y^- = 4m3/min 13)


7) Sustituir 6 en 5 4m3/min = f 4m

/min = 10

*

(6m)

di

4m3/ m i n = ^ ( 3 6 m 2) ^

dr _

10

3 ( 2 5 ) ( 4 m 3 /m in ) _

di

d h _ 102 (4m3 /min)= ^Q_m/min di

10 ;r (8 1 m

2171 m/min

9 ;r ( 3 6 m

Problema 10.

Un muchacho lanza una cometa a una altura de 150 metros. Sa biendo que la cometa se aleja del muchacho a una velocidad de 2 0 metros por segundo, hallar la velocidad a la que suelta el hilo cuan do la cometa se encuentra a una distancia de 250 metros del mu chacho.

Solución:

h = 150 mts 150

i

= 250 mts

^ = 2 0 m/seg dt

rj

~dt = ’ X

DIFERENCIALES

1) Por teorema de Pitágoras, se tiene x = ^ £2 -1 5 0 2) Derivar “x ” y

2

con respecto a “í” : dx _ dt

2í 2 -jl2

dx _

-1 5 0 2

i

dt

di

¿ e 2 ' iso2

3)

Sustituir datos:

20 m/seg = --r = = 2^Qm : \ j (2 5 0 m )2 2¿ in m/sea /s e g

^

- (1 5 0 m )

= £20Q &— dt

_d i _ _

20

ÔfTí/seg ) —

= 16 m/seg

Problema 11.

Si Bq es la longitud de un alambre de cobre a 0o centígrados la lon gitud í(T) , aT grados centígrados es aproximadamente. e(T) = /0(l + aT + bT2)

donde a = 0.16 x 10” 4 y b = 0.10 x 10~ 7 . Encuéntrese la razón de cambio de la lon gitud del alambre con respecto a la temperatura cuando T = 2 2 °C y iQ = lOOcm .

Datos:

@

t{T) = l0(l+aT+bT2) ...............................

Déla ecuación (T ), obtenemos: §

= £0 (a + 2bT)

®

Moisés Lázaro C. Sustituyendo los datos, se tendrá: = 100 cm (0.16 = 16 x

x 1

(T 4 +2

x 0 .10 x 1

+ 2 x 0 . 1 0 x 10

10 "4

5

(T 7

x

22°C)

x 22°C

= 16 x 10- 4 + 44 x 10~ 6 - 10_2(16 x 1CT2 + 44 x 10“ 4 = 10“2(0.16 + 0.0044) 4a?1 = 0.1644 xlO“ 2 cm/°C

Problema 12. Una plancha circular está siendo calentada y su diámetro está exponiéndose a razón de 0.02 x 10

cm /seg. Encuéntrese la razón de

cambio respecto al tiempo del área cuando el diámetro es de 3 cm. Datos: 1) Si el diámetro es D entonces tenemos ^ = 0.02 x 10- 2 cm/seg y si el radio es R, entonces tendremos:

2) Hallar:

=

0 02

— =0 .0 1 x

10~2

cm/seg

=?, siendo A = ttR 2 el área del circulo de radio R .

3) D = 3cm y R =

cm .

4) De la fórmula A = x R 2 , obtenemos: dA _

_

o d

dR

dt - 2n (3/2cm) (0.01 x 10 - y - = 0.03x10

2

;rcm2/seg

= 3 7r x 10~4 cm2/seg 3(3.1416)10

cm / seg

dA dt = 9.43 x 10 4cm/seg

;rcm/seg

DIFERENCIALES

< §> También se puede resolver del modo siguiente: Si

A = ttR ¿

D = diámetro

A = ,r (

R = radio

§ ) 2

A =f D 2 dA

d A _ 7t_n r\ dD dt ~ dt dA dt

dt

= ^-(3cm)(0.02

Problema 13.

x

nD dR 2

dt

10 z cm/seg) = 3 x 10

4

;rcm/seg

Un objeto de 5 metros de altura se encuentra justamente debajo de un foco de luz de la calle situado a 20 m. de altura. Suponiendo que el objeto se mueva a una velocidad de 4 m/seg Calcular:

a) La velocidad del extremo de la sombra. b) La variación de la longitud de la sombra en la unidad de tiempo. Datos: K P

La velocidad que se mueve el objeto es: V = 4 m/seg. dx

a) calcular - ¡ j : velocidad del extremo de la sombra. r

20

5

b)

dí

: variación de la longitud de la sombra en la

— - V = 3 m/seg.

*s e =v .t

(T )

unidad de tiempo.

¿= x-v.t

El triángulo SRT es semejante al triángulo SQP, luego: x -v t _ 5 _ 1 x 20 4

=>

(3 )

Como: i = x - v t

4

Sustituir ( 2 ) en ©

( )

4(x-uf) = x

£ = -| v t - v t =-^vt

=> 4 x - 4 v - t = x

d£ 1 ~dt = 3 V

4 x - x = 4 vt 3x = 4 ut x = -I v.t

^ =i¡j dt

3 V

Pero: v = 4 m/seg d£ dt

:^(4m/seg)

como u = 4m/seg => ^ = -|-{4m/seg) í

=> ^T = f ]mlseQ

= Í ( 4 m/seg)

Moisés Lázaro C.

< §>

Problema 14.

Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con vértice hacia abajo. Su altura es de 10u y el radio de la base 15u . El Q

agua sale por el fondo de modo constante a razón de lu /seg . Se o

vierte agua en el depósito a razón de cu /seg . Calcular c de modo que el nivel del agua asciende a razón de 4u/seg , en el instante en el que el agua alcance la altura de

2

u.

Solución: ^ = 4u/seg

h = 2u ©

\J= \nr2 h

©

j~ 15

= Jl

=>

10

^

r =— h ' 10 " 2

©

"

Sustituir ( 3 ) en (T ): ü= 3^(

2

h ) 2h

v = \ n ( l h2 )h v =-| 7rh3 áv_ dt

= -f ;r3 h2 ^ -. Pero -^ = ( c - l ) u 3/seg dt

( c - l ) u 3/seg = |;rh2^ Si: h = 2u

( c - l ) u /seg

4

4u 2 — seg

{c -1} = 36 ti c = 1 + 36 n Problema 15.

Un trozo de madera de 12 dm. de largo tiene la forma de un tronco de cono circular recto de diámetro 4dm y (a + h)dm en sus bases, donde h > 0 . Determinar en función de h el volumen del mayor cilin dro circular recto que se puede cortar de este trozo de madera, de manera que su eje coincida con el tronco de cono.

DIFERENCIALES

< §>

Solución: A) Triángulo APQ semejante al TRIÁNGULO ABC. Luego: 12

-y

2x

_

12

-y

"7T— 12~~

12

2 4 x = (12-y)h 2 4 x = 12 h - y h yh = 1 2 h - 2 4 x y=

B) Volumen del cilindro interior:

12

(h -

2

x)

©

Analizando: a) x - - 2 no puede ser.

v=n

(2

+ x)2y .................. b) Lo único que puede ser es:

C) Sustituir (T ) en (¡2):

x = -S p siendo x > 0

h -2 x ) 1 y = ;r (Q (2+, x)v2 LT -I 2 (Si— J

u= ^

( 2

¿ =^ [

2(2

dx

h

Si: x = 0 => -^-^ = 0 => h = 2 y=12

Si: h = 2

+ x)2 ( / ? - 2 x)

Luego: V = w(2 + 0r(12) = 48>r

+ x)(h- 2 x) + ( 2 + x )2 (—2 )]

= l|íL.2 ( 2 + x ) [ h - 2 x - 2 - x ] du _ 24;r

i)

ii)

x=

> 0 , el volumen será:

(2 + x ) { h - 3 x - 2 ) V=

Haciendo: ^ = 0, obtenemos: X

= -2

V

X

:

1 2 £ [ 2

+Íi £ ]

1 2 * (4 + h)¿

h-2 =^ ( 4 +hf

[í.-2 ( i ^ )

{h + 4)

Moisés Lázaro C.

(360) Problema 16.

Un triángulo rectángulo variable abe en el plano xy tiene su ángulo recto en el vértice B, un vértice A fijo en el origen, y el tercer vértice C sobre la parábola y = 1 + - ^ x 2 . El vértice B parte del punto (0,1) en el tiempo t - 0 y se desplaza hacia arriba siguiendo el eje y a una ve locidad constante de 2cm/seg . ¿Con que rapidez crece el área del triángulo cuando t = i segundos?

Solución: Igualando las ecuaciones (7) y (O) obtenemos: 2

¿ + l = l + 3^6 x

=>

2

X2 =-y-(2t)

■ e j I s Tt 5.

Sustituir (III) y (II) en 1. A = 2[

y = i+

£ * 2

^ = 2 cm/seg t = ^seg 2 dA

Se pide:

dt

t=4r

1. El área del triángulo rectángulo ABC es : A = f 2. De:

6

^ V í l ( 2 í + 1)

A = 3 i j z J t (2t + 1)

luego:

4 r = 3 i / f [ i 7 7 < 2 <+ 1

>+ ^ - 2

_ q ¡ 1 1” 2t +1 + ‘ " 2 Vi t+ 1 2ji

6

=3 #

.

^ = 2cm/seg se deduce:

Si: t =

dyy = 2 ^-.cfe seg =>

(ni)

dA di

y = 2 í + /c

3. Como el vértice B parte del punto (0 ,1 ) en el tiempo t = 0 , entonces. (5 ) ........ y= 2í + l , V t > 0 .

, obtenemos:

=

6(7/ 2)

+1

2s¡7/2

cm/seg

DIFERENCIALES

Problema 17.

Un tanque de agua cónico con vértice hacia abajo, tiene una altura de 5 metros y un radio de 1.50 m . Si la altura del agua en el tanque está disminuyendo a razón de 30cm/hr. Encuéntrese la razón a la que el volumen de agua decrece cuando la altura es de 2.40 metros.

Solución: dh ~dt

= 30cm/h = 0.30mts/h

dv_

Si h - 2.40mts

dt

©

v = í Bh

V = volumen del cono OAS

B = Area de la Base. h = altura del cono OAS.

v=±7rR2h

El triángulo OTS es semejante al triángulo guiente proporcionalidad: R 1.50

R = 1M h R = 0.30 h

OPQ,

entonces se puede establecer la si

Moisés Lázaro C. PROBLEMAS 1. Una escalera de 10 m. de largo está apoyada contra la pared de un edificio. La base de la escalera resbala alejándose de la pared a razón de 2m/seg. ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior de la escalera cuando se encuentra a 8 metros del piso?

R pta.: —| m/seg

2.

Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 16 dm3/min. ¿Si la presión se mantiene cons tante, cuál es la rapidez de cambio del radio cuando el diámetro mide 80 cm?

R pta.: -4f7T- dm/min

3.

Una avioneta vuela con velocidad constante de 500 km/h y con una inclinación de 45° hacia arriba. Hallar la rapidez de cambio de distancia de la avioneta a una torre de control en tierra, un minuto después de que éste pasó directamente a 3 km. arriba de ella (no consi derar la altura de la torre).

R pta.: 353.6 mi/h 4 . Al conectarse dos resistencias

y í?2 en paralelo, la resistencia total es

. Si

f?! y í?2 aumentan a razón de 0.01 Q /s y 0.02í2/s respectivamente ¿a razón de cuántos

ohms por segundo varia R en el momento en que R1 = 30 Q y R2 = 90 Q ? Rpta.: 11/1600 Q/s 5.

Un tanque esférico de agua de radio a contiene este líquido con una profundidad h y el vo lumen del agua en el tanque está dado por v = ~ 7rh2 {3a - h ). Suponga que un tanque esfé rico de 5m de radio se está llenando a razón de 400 L/min. Calcular a razón de cuántos metros por segundo se eleva el nivel del agua cuando h = 1.25 m .

Rpta.: 13.37/112;r = 0.38 pie/min

6.

o

El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 c m /m in . Calcule la rapidez de variación de la longitud de sus lados en el momento en que el área del triángulo es de 200cm2. R pta.: -0 .2 1 5 cm/min

7.

Se lanza una piedra a una laguna y produce ondas circulares cuyos radios crecen a razón de 0.5 m /s . ¿A razón de cuántos metros por segundo aumenta el perímetro de una onda cuando su radio mide 4m.

R pta.: xm/s 8. Un vaso de cartón con agua tiene la forma de un cono circular recto truncado de 15 cm. de altura y radios 2 cm y 4 cm, respectivamente. El agua se fuga del vaso a razón del00m 3/h. ¿A razón de cuántos cm. por hora disminuye la profundidad del agua cuando es de 10 cm.?

Rpta.: -27/(25tc)

LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA 1.

TEOREMAS RELATIVOS A FUNCIONES INVERSAS

Teorema 24.

Si f e s una función CRECIENTE sobre /entonces: / * es la inversa de /

1) /tiene inversa sobre / ( / ) . Donde

/ (/) = Rang(/) 2)

/* , también es CRECIENTE sobre / (/ ).

Prueba de 1) Para afirmar que la función / tiene inversa sobre / ( / ) , bastará probar que f e s inyectiva. Definición 1: / es inyectiva, si y sólo si, f(x{) = / ( x 2) => x^_ = x 2 ; V xj , x 2 e I p La prueba se hace por contradicción: [~ q => ~ p] <=> [p => q] Donde:

~q : Xj ^ x 2 ~ p : / ( X i ) ^ / ( x 2)

c=>

/(Xi) < / ( x 2)

v

/(Xi) > f ( x 2)

Veamos: 1. Supongamos: ~ q : x-l ^ x 2

<=>

Xj < x 2 v x 2 < xx

2. Si: x-^ < x 2 y / es CRECIENTE sobre /

=>

f ( x 1) < f { x 2)

3. Si: x2
=>

/(x 2 ) < / ( x 1) ~p

Acabamos de probar que ~q => ~p , lo que es equivalente haber probado p => q .

______________________________ Moisés Lázaro C. 4.

Luego / es inyectiva sobre / y por tanto / tiene inversa.

Prueba de 2) Si /* es CRECIENTE sobre / ( / ), debo probar: Si V y 1 )y2 e/(J) = Rang(/)

< V2

Esta demostración se hace por contradicción: <=>

< /*(V2 )

ñ ^ ) < ^ 2) v----------v----------,

[q => ~p

^

[p => q ], donde

v----------y----------✓

p

q

í ~q : x1 > x 2 [ ~P : / ( X i ) > / ( X 2 )

Veamos: 1. Supongamos ~p :

> x 2 c=> Xj = x 2

v

x±> x 2

2. Si xx = x 2 =>/ ( x x) = / ( x 2) contradice a p: /( x 1 ) < / ( x 2) 3. Si x 2 /( x 2 ) < / ( x 1) contadice a “p” . 4. Por tanto , debe cumplirse:

p yi
=>

q

, lo cual prueba que /*

es

/%i)
creciente V y 1 ?y2
1. / tiene inversa sobre /(/). 2 . / * , también, es decreciente sobre /(/). Donde J* és la inversa dé/, / ( / ) = Rang(/) /:

2.

/ — ►/ ( / ) = Rang(/)

DOS TEOREMAS RELATIVOS A LA CONTINUIDAD DE LA INVERSADE LA FUNCIÓN/, CUANDO/ES CONTINUA

Teorema 26.

Sea / una función estrictamente creciente y continua en el intervalo cerrado [a, fc>]. Sean r = f(a), s = f(b) y /* la inversa de / sobre Rango (/), entonces:

1

. /* es estrictamente creciente sobre f([a,b]).Es decir, se cumple: Si

Vi

< y2

=>

/ * ( y i ) < / * ( y 2)»

y2 e / ( [ a - b ] )

LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

2

. f ( [ a M = i m j ( b ) ] = [r,s]

3. /* es continua sobre [r,s ] = / ([a, b ]) Demostración: 1. Está probado en el teorema 16. 2. 1. Como / es continua en [a,b], entonces /([a,b]) = { / ( x ) / x e [ a , b ] } es la ima gen de [a,b] . 2. Como / es estrictamente creciente, entonces f([a,b]) también es un intervalo que tendrá un mínimo y un máximo en [a,b]. 3. Supongamos que /([a,b]) = [ / ( x 0 )>/(xi)] para algún x 0 , x 1 e[a,b] i

,

donde:

f / ( x 0 ) = m in { /( x ) :x G [a ,b ]}

<

[ / ( x 1 ) = m a x { / ( x ) : x e [ a , b]}

q___________

p_________________

Siendo así:

V xe[a,b]

=>

/ (x0) < f( x±) < f(b)

Debo probar que x0 = a y que x1 = b

4.

Como x1 e [o, bl , supongamos que X!

-

< 6

/ ( * l ) < / ( fc) -- time^wfenie)

t

5. Por tanto, no es x1 < b , si no: x-l > b 1 l esto implica que Xj = b 6

. A su vez, como x1,g [a , b]

7. Como x 0

e

=>

x-l <

[a , b ] , suponer que a a < x 0

=>

/

(a) < / (x0) ......

. Por tanto, no debe ser a < x0 , sino: a > x0l > implica que a = x0

9. Como x 0 e[a,b] 3.

=>

a
Debo probar dos cosas: A) Que/* es continua sobre el intervalo abierto ( f ( a ) , / (b)> B) Que

lim /*(y) = a y-*/{a)+

a

Pues f

) es

bJ

| 8

Contradice a “q”.

lim / *(y) = b y->/(*>)“

(f es estrictamente creciente) Contradice a “q” , pues /(Xq) es mínimo

Moisés Lázaro C.______________________________ A) 1. Sea y0

e =>

3x 0 e (a , b) , tal que, y0

= / (x0 )

2. Dado £ > 0, construimos la vencidad: x 0 - s < x 0 < x 0 + e , de modo que Xq —£ y Xq h- £ pertenezcan al intervalo (a , b) 3. Escoger S = min{/(x 0 ) - / ( x 0 - £ ) , f ( x Q+ £ ) - f ( x 0)} 4. Si: y e (y0 - c>, y0 + ¿’ ) c (/(a), /(b)) => /(x 0 - e) < y0 - £ < y < y0 + ¿>< /(x 0 + £■) ♦ 4, /(x0) /(x0)

5. Aplicar/*

=>

/( x 0 - £ ) < y < / ( x 0 +e)

=>

/ * ( / ( x 0 - e) < / * ( y) < / * ( / ( x 0 +

=>

x 0 - s < / * (y) < x 0 + £•

=>

~ £ < f * ( y ) ~ X o < £ ’ X0 = / * ( y 0)

=>

l/*(y)-/*(yo)l <

v Iy - Po I < s

Así, resulta que /* es continua sobre <(a),/(b)) B) Queda como ejercicio. Por tanto /* es continua sobre ((a), f (b)) Teorema 27.

Sea / una función estrictamente decreciente y continua en [a , b] y f* su inversa, entonces:

1

y

) f* es estrictamente decreciente sobre rango (/)

2)

f ( [ a , b ] ) = [f(b),f(a)]

3) /* es continua sobre [ / (b), /(a)] la demostración queda como ejercicio:

3.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

En el capítulo 1, demostramos el Teorema 10: “Si g[x) es derivable en x0 y f e s derivable en g{x0), entonces f ° g es derivable*

Para obtener la derivada de la inversa de una función aplicamos el teorema 10. A cc tinuación estudiemos el teorema de la función inversa.

0


DEMOSTRACION implica que g(y) -» g(b) esto es x ^ q Debo probar: g f(b ) =

5. Con este resultado afirmamos que g'(b) existe exi y g ’ (b) = j cuando

/(g (y))-/(g (b )

y^b

g(y)-g(b)

Veamos:

m *

1. Si g es la inversa de / , se cumplen: /(s(y)) = y

y ,

3. Si g es continua en b, entonces: lim g(y) = g(b) = a . Pues b = f{a) y -> b

implica g(b) = a , porque / y g son in versas. entonces

g ( y) ^ a

Luego: lim

fl(V >-g(b) , donde ÍS
y -» b = lim

lim

Se sabe que: (g ° f)(x) = I(x) , I(x) = x g(f(x)) = x Derivar:

g'(f(x))f'(x) = 1

Si existe g'{b), para S '( /( a ) ) /'( a )

x

= a , obtenemos:

= 1 , f(a) = b

g'{b)f'(a) = 1 => g'(b) = j±J

yeJ -{a },

S '( b ) =

.

(«=)

s ( / M ) = x

2. Si / es derivable en a e I , entonces / es continua en a.

4. Si

0

y-b

s(y)~

W 2)fJ.!£l

y = /(s(v)) . 9{y)*a

f’ia)

s(v) - a

Pues g(y) = x , además, cuando y

b

Moisés Lázaro C. Ejemplo:

Sea la fundón / : [ 0 ,+oo)

» [0 ,+oo) biyectiva. Si / * es

x ----- > y = (x) = T-x2 su inversa, hallar [/*(x)]' si existe. Soludón:

Se tiene: [ / * (x)]' =

, si f ’(x) * 0, x = / * ( y ) . Como / ' ( x ) = ^ x

y x = / * ( y ) = 2 J y , entonces [/* (x)]' = A- , siempre que y ^ 0 , esto es x * vv ILUSTRACIÓN GRÁFICA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA /*(y) = 2 ^ y

0

.

, y e <0,+oo)

Hallar la derivada de / * (y) en y = -j Se pide:

1

/* (i)

/'(a)

Debemos hallar: a y f ' ( x) : 1

) De/(x) = l x

2

) / ( a ) = 1 , porque a = /*(•!-) =

3) Luego, /'(1) = i ( l ) = -|. Por tanto: 4) Si /'(l) = tg cr

a

2

=>

f'(x) = ± x

a=l

4

=i =2

) = tg/?, entonces

/ (1) = 1 se puede escribir co-

mo tg ¡3 •tg a = 1, lo cual prueba que a + /? = -1-; esto es, a y /?son complementarios. En general si / * ( x ) es la inversa de /(x), donde y0 = / ( x 0) y / * ( y o ) “ xo Tenemos:

tg 0 - /'(x0) tga = (P)'{y0) = (/^ ( /( x 0))

si

a - ^ - 0

En ambos casos: ; 1) tgcr = tg ^ - 0 ^ = cotg 0


=t g ( ; r + f - 0 )

=cotg 9 Como: tqa = cotg#

t9 a = ¿

i f(/*íy0))

:

*0

= / * ( y 0)

DERIVADADEFUNCIONES INVERSAS QUE PROVIENEN DEFUNCIONES CRECIENTES 0 DECRECIENTES.

Proposición: Si la función /: I e l ? -----» i? es creciente sobre /. entonces / tiene inversa. Si / es decreciente sobre /. también tiene inversa.

Teorema 29. Sea f una función diferendabie sobre un intervalo / tal que f ( x ) > 0 , V x e l , entonces la fundón f * es diferendabie sobre el intervalo /(/), y además: V x € /{/): y0 = / ( % ) , x0 = / *(yo) ^ donde x0 = / * (y0) Demostración: 1) Como: /'(x) > 0,

V

x g

/=> /(

x

)

es creciente en V x e I .

2) Si: /(x) es creciente, lo es también / * , V x e / ( / ) . 3) Sea:

y0 = / ( x 0)

<=>

x 0 = / * ( y 0). [ / * ] ' ( y 0 ) = ,lim

4) Recordar las definiciones

h- > 0

•

/*(y0 +h)-/»(y0) h

f ’ ( X o ) = iim / ( * o + ^ ,.- ,/(*o,,),

/c >0 Debo probar:

lim / * ( y 0 + bh) - / * ( y 0 ) hÔ

* 1

lim

f(xa

+ h ) - f (xQ)

k->0

Veam os:

5)

Definimos:

K = / * (y0 + h) - / * (y0), donde

Si:

h= 0 =>k = 0

Si:

h^ 0 =>k &0

f* ( yo + h) = f*(vo) f * (VO +

=

K + Xq <“

y0 + h = f( k + x 0)

Definición de inversa de /.

h = /(K + x 0 ) - y 0 h = f ( K + x0) - f ( x 0 )

Moisés Lázaro C.

6

) Pero:.

lim /*-/*(yo>= ü m i Pero í h - /(fc + x° ) - / ( x o ) lim o h r^ + v-rw ’ ! / * ( % + >»)-/*(%) = *

= /c,1¡mn^ = J‘mn -> 0 Je — > 0 7ÍKT7W O

T

O1

-L lim Je - > 0

[/*]'(yo) = 7 (^y. Pues: h - >

0

<=> k - >

0

Que también denotamos por: D /* (y0 ) = y f(*o) NOTA:

1) Otra forma de denotar [ / *] es D f * , de modo que: D W f* = — / wi__*

2)

sobre / ( / ) f (I)

El teorema 25 se cumple también, cuando f r(x) < 0 , V x e /

Problema 1.

Hallar D/ *(2) para /(x) = x 2 - 2 x - 6 , Dom(f) = [ - 3 / 2 ,+qo)

Solución: 1) Fórmula: D / * ( y 0) =

y

0

= / ( x 0)

Debo hallar: x 0 e [ - 3/2 , + oo), conociendo y0 = 0 Veamos: 2

) como:

y0 = / ( x 0)

LA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA

3) Como:

x 0 = 4 , todo lo que habrá de hallar es: D / ( x ) y D/ (4 )

Veamos: si / (x) = x 2 - 2x D/(x) = 2 x - 2

6

=>

D /( 4) = 2 ( 4 ) - 2 = 6

4) Portante: D / * ( 2 ) = ~

Problema 2 .

Dado: / ( x )

, Dom(/) = [0, +C30 ) - { 2 } ; Hallar: D / * ( 3 / 5 ) . x

-4

Solución: 1) Fórmula: D / * ( y 0 ) =

y, donde y0 = / (x0 )

En primer lugar debo hallar x 0 sabiendo que y0 = j 2) Como:

y0 = / ( x 0) 3

5 =>

_

*o x0 2

-4

3 xq - 1 2 = 5x,o

x 0 = 3 e Dom (/) (3x0 + 4) (xq - 3)

3xg - 5x 0 - 1 2 = 0 3x 0 *o 3)

+4 -3

Como x 0 = 3 , ahora hallamos:

.

.

Problema 3 .

x 0 = - | í Dom(/)

D/ (x) y D / ( 3).

, .■=* £ / ( * ) - ........P 7 4 F .. :.. - W T

Dada la función / ( x ) =

x¿ - 2 x + 2 x -1

y,

X

* 1

a) Hallar los intervalos sobre los cuales /(x) tiene inversa continua b b) Hallar el valor de D/ * (■| )

Moisés Lázaro C. Solución de a) 1) En primer lugar, tenemos que /(x) es continua en ( - 00 , - 1 ) u ( 1 ,+qo) . 2) En segundo lugar, hallemos los intervalos sobre los cuales tiene inversa. Esto se logra resolviendo las inecuaciones

3)

a)

f>

0

b)

/ '<

0

(x - 1 ) (2x - 2) - (x - 2x + 2) (1)

Hallemos

f ' (x ) =

(x - 1 ) 2 x (x - 2)

=>

x(x-2

) > 0

2

+

x*l

(x-lf

=>

x e ( - o o , 0 ) u <2 ,+ 0 0 )

=>

x(x-2

) < 0

x*1 =>

xe{0 ,2 )-l

<=> 4)

xe

< 0

, 1 ) u <1 , 2 )

Afirmamos: /) Si / ' > 0 ,

V x e ( - c o , 0 ) u <2,+oo),

entonces

/(x)

es

creciente

en

V x e ( - o o , 0 ) u <2, + oo), por tanto /(x) tiene inversa /* continua sobre /« -o o ,0 )

u

( 2 ,+ c o ) ) = < - o o ,- 2 )

Donde:

u

< 2 ,+ c o ) .

u

<-oo,- 2 )

/ « - ° o , 0 >u< 2 ,+oo>) = ^ lim

/(x) ,

<2 ,+w>

lim f(x)\\u( lim f(x) , / \x ->2+

lim /(x)\

x -> 0

ii) Si

/'< 0 ,

V x e (0,1) u (1,2),

entonces

/(x)

es

decreciente en

V x e (0,1) u (1,2) por tanto / (x) tiene inverso / * continua sobre: /( ( 0 ,1 )

u

( 1 ,2 ) ) = ( - o o ,- 2 )

u

( 2 , +oo>

Donde: / ( ( 0 , l ) u ( l , 2 )) = / lim /(x) , lim / ( x ) \ u / lim f(x) , lim f(x) \x - + r

x - > 0+

= ( - 00 , - 2 ) U ( 2 , 4 -oo)

/

\x-+2~

x ~>1+


< §> Solución de b)

5/2

2) Como:

y0 = / ( x 0) 5 = Xq - 2Xq+2 2

=>

Xq - 1

5x 0 - 5 = 2xq - 4 x 0 + 4 = 2 xq —9xq + 9

0

x 0 = 3 e ( - 0 0 , 0) u ( 2, oo) (2x0 - 3 ) ( x 0 - 3 ) = 0 < C ^ ^ x

0

= 3 / 2 e < o o , l ) u <1 , 2 )

Como / * existe sólo cuando / es inyectiva, entonces a cada y0 le debe corres ponder un solo x 0 . i) Para el caso en que /(x) e$ CRECIENTE sobre <-oo,0) u (2,oo) se tiene que a y0 = -•, le corresponde sólo x 0 = 3 e (-co,0) u <2 ,oo) . Por tanto:

-

1-1 1 4

3

ii) Para el caso en que /(x) es decreciente sobre (0, l>u(l ,2) se tiene que a yo = j le corresponde sólo x 0 = Por tanto:

e

<0

, 1 ) u <1 , 2 )

Moisés Lázaro C.

NOTA:

1

4.

De: y =

x2 - 2 x + 2 1

_

-X

^

X —1

, '

y ± > /y 2 - 4 O

/ *(y) = l + ^ ^ - i

> x = / *(v)e <0 , 1 ) u ( 1 , 2 )

/ *(y) -

’

+y±^2i 1 + ^ ~ 2

—“

x = /*(y)e< -»,

0

) u <3, oo)

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

(T)

DERIVADA DEL ARCO SENO: D>aresenx = r y = /(x) = s e n x , x e [ - - | , -§]

Sea

/ * (y ) = x = arcseny

,

y e[-l,l]

Se sabe que: D / * (y ) =

Si f[x) = s e n x , x e [ - ^ , - | ] =>

D are sen y _ = i

D / ( x) = cosx sen2 x

z) si cos x = 0

z'z)

si cos x

> 0

X

=>

x e

= + _ — 2

| --| ,-| )

/(x )e /((-f,f))

D are sen y = - t= ¿ = , y e ( - 1 , 1 )

Por tanto: Dv are sen x = -==L= , V x e ( - l , l )

ye<-l,l> La función sen x es creciente en ^ zz'z) '

Como:

cosx > 0

=>

^

— L >0 cosx

>0

La función arcsen y es creciente en ( - 1 , 1 )


DERIVADA DEL ARCO COSENO: Dxare eos x = ? Sea:

íy = / ( x ) = c o s x

,

x e [ 0 ,;r]

/ * ( y ) = x = arccosy Pero:

,

/{x) = cosx, x e[0,jr] y

ye [ - 1 , 1 ] Se sabe:

D/ (y) = ^ L _

D f ( x ) - - senx Darccosy* = — ±— < 0 ’, V x e (\0 ,> j /) - senx

¡) si: -sen x = 0

<=>

x = 0,/T

ii) - s e n x < 0

V xe <0 , ^r )

-F,

, ye

< - 1

,1 >

Ti Por tanto: Dârccos x =

, x e ( - 1 ,1 ) l-X

Ejemplos: ®

Dado f(x) = are sen ^ l - x

2

, |x| < 1, hallar Dxf .

Solución: Dx f

f¡J|

(x) = —

l-X*

Dado / ( x ) = árceos

4- x l + x2

a) Hallar el dominio de /(x). b) Hallar los extremos de /(x) c) Bosquejar la gráfica de / (x) Solución: a)

Dom(/) = j x

e mj

Resolver la desigualdad:

|x|>/1

—X

, para

0

< |x| <

1

Moisés Lázaro C. 4 -x 2 1

4 -x 1 + x2

1

> - 1

+x

4 -x

A

1 + x2

4 -x 2

+ 1>0 ■> 0

+X

<1 -

1<0

1 + x2 A

1

< 0

+X

CO|CM

xe

’

,

_ u

’

+00

(1 + x2 ) ( - 2 x ) - (4 - x 2 ) ( 2 x )

b)

/'(x) = ~

(1+x2 )2 4

lOx

1+x2

v2

^5 (2 x2 -3)

-x2 y

J

’

2

Puntos críticos: /) De /'(x) = 0 , se obtiene x = 0 e Dom(/) —

x - V

m ) L o s x e D / / / / ' { x ) , son x =

I . » - # , x=

Intervalos donde /(x) es creciente y decreciente: /) De /'(x) > 0 => x > 0

a

x 2 > -| => x >

ii)

a

x2 > -| => x <

De /'(x) < 0 => x < 0

■


Los extremos son:

/ - J-|) = are cos(l) = 0

4>/t)=arccos^ =0 Asíntota horizontal: lim f ( x ) = arccos(-l) = n

y

X - » ±co

Asíntota vertical:

/)

lim / (x ) = are cos(l) = 0 X

ii)

lim f ( x ) = arccos(l) = 0

DERIVADA DEL ARCO TANGENTE: Dxarc tg x = ?

1

) Sea:

/(x) = y = tgx

2

) Donde:

3) Como:

,

x g ( - j / 2

x = / * (y) = arctgy

,

,

n!2)

y e l?

f(x) = tgx es creciente, V x e ( - W 2 , ní2)

Entonces /'(x) = sec2 x > 0

,

V

xg

{ - n i 2 , n¡2)

4) Pero: Df * ( y ) = - ^ sec

2

x

1

1 + tg2 -x

D are tg y = — 1 i r/

u e IR

Lo que es lo mismo: 5)

Dx arctg x = —L_ 1 +x

f ¡| 1)

, x

e

IR

DERIVADA DEL ARCO COTANGENTE: Dxarccotgx = ? Sea: / (x) = y = co tgx,

Donde:

x g (0 ,j>

x = / * (y) = arccotgy

,

yeí?


Como:

/(x) = cotgx es decreciente

V

x g

{0,

j

)

n

Entonces: f'(x) = -esc x < 0, V x e { 0 , f ) .

DERIVADA DEL ARCO SECANTE: Dxarcsecx = ? 1) Sea: /(x) = y = secc , x e [0,^r] —{ ^r/2} Donde: x = / * ( y ) = arcsecy , |y| > 1 2) Pero: /(x) = secx es creciente en

V

x g

( 0 , ^ > - {

Luegorse cumple que: f f(x) = secx tgx > 0 , x e ( 0 ,;r/ 2 } u ( ; r / 2 ,;r> .

Pues: a) sec x

b) tgx

> 0

,

X G (0 ,7 r / 2 )

< 0

, xe{W

p> 0 , x e l< 0

,

( 0

2

,^)

, 7i¡2)

x g ( j / 2 ,

n )

j

/2 }


3)

Por otro lado:

(+

secx) ( + tgx)

s ec x • t g x

(-s e c x ) (-tg x )

Darcsecy = — — , y Vy2 - 1

> 0

,

X G {0 ,7 1 1 2 )

> x e {n,nl2 )

|y| > 1

De: sec x = y => sec2 x = y 2 4)

D y are sec x = — , *- — , * 2 — 1i X y X

(? )

Ixl > 1

DERIVADA DEL ARCO COSECANTE:

1) Sea:

/(x) = y = cscx

Donde:

,

Dxarc esc x = ?

x e [ —tt/2 , n ¡ 2 ] - { 0 }

x = / * (y) = are esc y

,

|y| > 1

2) Pero: /(x) = cscx es decreciente en Vx e ( - n ¡ 2 , tu12) - { 0 } Luego:

3)

/'(x) = esex •cotgx < 0

,

V x e ( - W 2,0) u (0,^/2)

Además: D /* (y ) = 1

- [ ( + c s c x )(+ cotg x )] - [ ( - esex) ( - cotgx)]

- CSC X J CSC2 x - 1

Darccscy =

i - y Vy

, |y| > 1 - 1

<0 , xe

{

tz¡

2

,0 )

< 0 , x e { 0 , 7i¡2)


Lo que es lo mismo: Dv arccsc x = ------ t= L = X

,’ IIxI I> 1

5.

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICASINVERSAS COM PUESTAS V __ ___ ____ Si u = u(x)

®

Dx are sen(u) = - ^ M -

( ? ) Dx are cos(u) ==—

©

I...

,

u' = ^

@

Dx arccotg(u) = - i ^ U

®

D.arcsecCu)^ ^

Dk ore ctg(u) = y y jj^

! ^

j

í)x'arc áfe(áfa^ ; ' u{x)4tr{x)~l

2

Solución de ( ) Empleando la regla de la cadena:

si y —

u — -> x , entonces: ^ =

Asi tenemos: d [are cos(u(x))] = -^ (are eos u ) * ddu x

dx

1 2

Teorema 30.

du _ dx

u '(^ )

, U' W = f

Sea y = /(x) continua y monótona en [a, b], si /(x) es diferenciable dos veces en [a,b] y /'(x) ^ 0, V x e [a,b], entonces la segunda de rivada de: / * (y) = x es:

LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA <§>

Prueba:

1) La primera derivada de:

/ * (y) es:

2) Derivando por 2da. vez: [ / ' ( / * (y))]' = - [ / ' ( / * (y) ] “ 2 [ / " ( / * (y))l [(/*)'(y)] = - [ / '( / * ( y ) ]“ 2 [/ '(/ *(y ))]

f(r(v))

_

rw [/'(x )]3

Ejemplo.

Sea:

i

, pues / * (y) = x

f(x) = x 3 - 3 x 2 + 3 , x e [0,2]. Hallar [ / * ] " ( ^ )

Solución: 1

. /(x) es continua y decreciente.

4.

Ahora hallemos f

y f

Es continua en [0,2] porque / es poli nomio, /e s decreciente <— > / f < 0 /'(x) = 3x 2 - 6 x => 3 x ( x - 2 ) < 0 => x g ( 0 , 2 )

De:

/(x) = x 3 - 3 x 2 +3 f ( x ) = 3x 2 - 6 x A f ( i ) = /''( x ) = 6 x - 6 a / ' ' ( í )

2. Fórmula 5. Reemplazar en 2: ir

í " ( f * { f ) ) ... .....

.

(¥ )" 3.

[ / ' ( / • ( ¥ ) ) ] “ _I/'(xb)I3

Pero: / * ( f ) = x 0 « 19

8

/ * (xn)

f = f(x0)

—Xq —3 Xq + 3

xq - 2 4 x q + 5 = 0

Se obtiene: x 0 = \ e [0 , 2]

W 64 '2 4 3

= -3

Moisés Lázaro C. Proposición: De la fórmula [f*]"(y) = — ^

, deducimos las siguientes relaciones:

[/'(X )]3

A) Si: [ / * ] ' ( y ) < 0

•<0

i/':

f > 0 <=> [ / " > 0

A

/ ' >0]

V

[f"< 0

A

/' <

A

/ ' >0]

V

[ / " >

0

A

/ "

0]

/" >0 i/ ' ] 3 i l < 0 <=> [ / " < 0

<

0]

De todo esto, concluimos: ©

t/*]"(y ) 0 <=> / " > o CÓNCAVO HACIA ARRIBA

A) si / ' > 0, entonces / es CRECIENTE ©

[/*](y) > 0 <=>

/ " < 0

CÓNCAVO HACIAABÔ

'Q

[/ *] "( y ) <

0

<=> f " > 0 CÓNCAVO HACIA ABAJO

B) Si / ' < 0, entonces / es DECRECIENTE ©

[/ *]" (y ) >

0

<=>

/ " > 0

CÓNCAVO HACIA ARRIBA

Problema 0 1 . Sea f(x) = axS+ b x 2 + c x + d una función cuya inversa f * es de

creciente y cóncava hacia abajo en [ 0 , 2 ] y donde: / * ( 0 ) = 1, / * ( 2) = 0, a + d = 3 ( / * ) ' ( )=-

5

> (/*)"(

27

) = _ i 2 5 - Halle la función f M con su

respectivo dominio y rango. Grafique f(x) y / * . Solución: 1.

2.

Si / * es decreciente en [0,2]

=>

/ , también, es decreciente en:

[ /* (2), / * (0)3 y JO, 1} y por tanto:

f(x )< 0 . Vxe<0,l>

Si /* es cóncava hacia abajo =>

[ / *] ,< 0 , V x e (0,2)

3 Según el TEO. si: / ' < 0

=>

{[/* ]"< 0

<=>

/ " <0

(3*)

-

, Vxe <0,1)}


' / * ( 0 ) = 1 <=>/(1 ) 4. Si

f* (2 ) = O <=>

2

<=í> O = a + b + c + d

= /(O) <=>

= 0 +0 +0 +d

2

=>

d =2

a + 2 = 3 => |a = 1

a+d = 3 a+b+c+d=

5. Ahora, tenemos 3 ecuaciones

b + c = -3

0

d =2

6.

Por el TEO.

d=2

[ /*]' (y0)= , f * ( v o) = *o - ^0 = /'(/*(%»

27

(6*)

7(r(f)]

7. Por el TEO.

108 125

/'(/*( W 3» [/'(/*(% » ] 3

[ / * ] ff(y0)

>'(f(§)) [-§r

1 2 5 1

r ( /* ( f

8

) ) = - 4

(7*)

3 2 f Q~ 1 . Por otro lado: / (x) = ax + b x + c x + d, donde t [ d=2

/ (x) = x 3 + b x 2 + c x + 2

Por hallarse: b = ? , c = 2

/ ' ( x ) * 3 x 2 ,+2iÉ»C + C , cettao:

nxO ^bx .-2b-. r

.

i>+c = - 3 =>' & » - 3 - & , v

x ,:;0 .1 ) ! - 3 [ / * ( f ) ] Z+2 b [ / * ( f ) ] - 3

10. Reemplazando (6*) y (7*) en (9)

Moisés Lázaro C.

12.

Si: b = 0, en (9): /"(x) = 6 x , Vx e (0 ,1) Pero /"(x) = 6 x > 0 , Vx e (0 ,1} , lo cual contradice a (3*) luego el valor de b no es “0 ” .

13.

Si b = - 3 , en (9): f"(x) = 6 x - 6 = 6(x-l)<0

14.

Com:

15.

Reemplazar en (8 ):

b = -3

, en b + c = - 3

f(x) = x 3 - 3 x 2

,

V x e { 0,1) esto no contradice (3*)

-3 + c = -3=>

c =0

x e [0 , 1 ] + 2

/ ( x ) e [ / ( l ) , / ( 0 )] = [ 0 , 2 ]

16.

El gráfico es:


sen(-|-x)

,

0

2

Problema 0 2 . Dada la función: / ( x ) =

x >2

^-x2 - x + 2

a) Utilizando el criterio de la primera derivada, indique si /(x) tiene inversa. b) Hallar la derivada de la función inversa, en caso de existir la inversa de /. Solución de a) 1. Para saber si f{x) tiene inversa, debo probar que / (x) sea estrictamente creciente o decreciente en su respectivo dominio. 2. Pero: /'(x) =

—cos ( -f ^ )

»

TjrX-l 3. Si pruebo que f r(x) > 0 , V

0

2

, x>2 x g

Dj

o

/'<0,

V

x g

Dj ,

entonces afirmaremos que /

tiene inversa. Veamos:

4.

En consecuencia f(x) es estrictamente creciente sobre: Dom (/) = <0 , 2) u <2,+oo) y por tanto /(x) tiene inversa sobre Dom(/)

Solución de b)

La derivada de / * será:

Moisés Lázaro C. ,

0

,

x >2

f cos( f x )

-¿•x-l 2 1

/*(y) =

,

0

,

y>1

W 1 - y2 — -—

si y = sen ( -f * )

-

eos

sen

( í * ) ^

-vr si

y = -jrx2 - x + 2 = ¿ ( x - 2 )2 + l Ay = (x - 2 )2 + 4

( x - 2 )¿ = A y - A x-

2

= ±y]Ay-A

x = 2±2jy-17 X =

Problema 0 3 . Dada la función: f ( x ) = e

Hallar:

-ix 2

2 + 2yfy^l

sen(2;rx), x e [0,1/4].

[/*]"(j/0) . con y0 = e " 1 / 8 .


Solución: 1.

Fórmula: [ / * ] ' ( ^ ) = - - £ & > lj (yo)J

2.

Hallemos x 0 conociendo:

,

x 0 = / * ( y 0)

yo = / U 0)

y0 = / ( x 0) en /(x) = e

e

8

=e

e _ i

e

8

Ahora, hallemos:

2X0

2

-sen(2 ^Xo)

x° •sen (2 tt x0)

_ l ,

= e 2'

*0

= sen(2 /rx0 )

1

3.

1 / 2 ;rsen(2 ttx)

2

;rx 0 = f

*0

=■ = t

/'(1/4) y /"(1/4) , pues 1/4 = x 0

Veam os:

De f(x) = e a)

sen (2 ;rx)

=> f ' ( x) = - j e

2* •sen ( 2 x x ) + e 2* 2 x- eos (2?rx)

= ~ 2 e 2 [sen(2 ;r x) - 4; r- c os (2 ;r x)

b)

/ '( x ) = | e " 2 x [sen(2^x)-4w•cos(2^x)] + ( - i e ” ^JC)[2^
4.

Luego:

^

—

!1

l6* 1= 2 e M l - 1 6 * 2)

N * " ' 2]

Moisés Lázaro C.

(388)

Problema 0 4 . Dada la función f ( x ) = x

x

, x >i V2

a) Calcular. [ / * ] ( y 0) , para y0 = f b) Si: g = / * , calcular (con diferenciales) g ( 4 : ^ 4“) Solución de a) 1. Hallar, en primer lugar, el valor de x 0 = ? Se sabe que: x 0 = / * ( y 0) <=> y0 = / ( * 0 ) 9__

..

*0 + 1

4

2 xq

c=>

18 xl = 4xq + 4

<=>

4xq - 1 8 x 0 + 4 = 0

<=>

2 x q -9 x 0 +2= 2

0

2

2

<=>

(x0 -

2

0

-9

+2

4

8

- 2

4

-1

0

) (2 x 0 + 4 x 0 - l ) = 0

Sólo x 0 = 0 pertenece al intervalo: Por tanto: 2 =

(9/4)

2». Luego, Lueoo. hallaremos: f f

-§-)) = —

“/

/ (2 )

3.

4.

Portanto: [ / * f

=

=

x>

v2


Sofafitón de b)

Aplicar:

5. Se pide hallar:

g ( | -| ) = g ( f ) + ( - ^ ) g ' ( f )

6

. Como

0

g(x0 +h) = g(x0) + hg'{xQ) , donde x0 = f

^ /* < j

-

A "

'

,

v'

7. Reemplazar (6 ) en (5): g ( | - i ) = 2-■!•(

=

h

'

28 15

y = f(x) y existe / * sobre Dom(/) = (a , b) probar que:

Problema 0 5 .

a) [ f * ] m(y) = - 3[í(x)’ 2-{'[x)í(x) .Si / ' ( x ) > [/ (*)]

0

b) Si 3 [ f m{x)]2 - f ( x ) - f m(x) = 0 , / ' ( x ) > 0 , entonces / * es un polinomio de grado

<2 Solución de a) 1.

Se tiene: [/ * ]" ( y) = - { {x)3 , donde x = /*(y) c=^> y = /(x) U v-^/J =5 ,

2

r p f / m

r t ( x ) ] 3 r ( x ) - r ( x ) - 3 [ / ' ( x ) ] 2 [r ( x ) ] [ /'( x ) ] 6

-Í¿W ¿

( 3

[/'(x)]2 - / ' ( x ) - r ( x ) )

i / ’(x )]6 > ] - / W -/W a t / ( * Ii [/'Mi

,

si

f ’( x ) > 0

Solución de b) 3.

Si 3 [ / " ( x ) ] 2 - f ' ( x ) •f"(x) = 0 , entonces: [/*]"'(y) = o =>

=>

[ / * ] " (y) = a

[/*]'(y) = ay + b [/*](y) = ajV 2 + Í5y + C <= POUNOMIO DE GRADO < 2 a, b, c SON CONSTANTES

/gggx______________________________ Moisés Lázaro C. Problema 06. Sea /

una función

creciente

definida sobre

[2,oo)

y

seá

F (x ) = / |— y J. Demostrar que F es univalente y hallar F * en términos de / * . Solución: 1. La función F(x) es una composición de dos funciones, y se puede escribir de li[ siguiente forma: F {x) = f{g{x)) = (f o g)(x), siendo

g(x) = ^ T = l + 7 i T y

2. Dom(F) = Dom(/o g) = x e Dom(g)

g(x) eDo m( /)

a

= x e D o m g (x )

a

g(x)e[2,+oo)

=x e (l,2 ]

x e[l,2 )

-indica que el rango de

= Xe

3. Si g ( x ) e [ 2 ,+oo)

a

es [2; +oo>

( 1 , 2]

=>

2

=>

2 < 1 H— L - < + o o x- 1

=>

1 < —

Al invertir, en el límite: =>

g(x)

x- 1

1

< +oo

>x-

1

l> x -l 2>x>l

>— + 00 > 0

=>

x e (1, 2] = Dom(g)

4. De: g ( x ) = 1 + —+ , obtenemos g' (x) = -----x ~i (x-lr Si x e (1, 2] => l < x < 2 = > 0 < x - l => 0 < ( x - l ) 2 < l (x -1 )2

■>0

(x -1 )2

=> g'(x) < 0 Luego, g(x) es decreciente Vx

e <1, 2].

<0 ,

Vxe

5.

Además, si:

F (x) = {f ° g) (x) F'(x) = f'{g(x)) •g'(x)

f'isM) >

= (+) (-) = -pues

Luego: 6

. De:

0

,

porque g es creciente

g'(x) < 0

,

porque g es decrteciente

f f(x) < 0 , entonces F(x) es decreciente, por tanto F es univalente. Como: g ( x) =

F = g of

Se obtiene:

9(9*(x)) = x g*

F* = g * o / * F * ( z ) =

_

, la inversa de g se halla:

—t — r = X ff ~ 1

g * ( f * ( z ) )

g* = x g * - x

/*(*) f(z)- 1

x = (x-l)g* 9 * M = jzT í*{z)

7.

Ahora, falta hallar el recorrido de z. Como / es decreciente sobre [2 , + 0 0 ) también / *(z)

es decreciente sobre

/ [ 2 , + oo» Además: Si y = /(z) <==> z = / ( y ) , con y e [2 , +0 0 ) =>

y>2

=>

/(y) > / ( 2 ) ,

porque/ es creciente

z>/(2)

8 . CONCLUSION:

F*( z) =

/* (« )

z > / ( 2)

Moisés Lázaro C. / 2" Probar que / ( x ) = * ^ * , para x e [ - 2 , - 1 ] posee inversa.

Problema 0 7 .

Hallar / *. Solución: y,,/ f' 'i'* MW

''
^

2

HM 2.

/e s CRECIENTE

/' > 0 : \¡l ‘ XJ

>0

rr— ' / 1 +;

^ < 0

•es falso, esta relación

Afirmamos que / NO es CRECIENTE, en el intervalo V x e ( - 2 , - l ) 3.

/ e s DECRECIENTE

C=> / ' < 0

<0

es verdadero

l Afirmamos, que / es DECRECIENTE sobre

" Vxe<-l,-2>

V xe<-2,-l),

4. Hallemos la inversa de / ( x ) . Teniendo en cuenta que:

JTTT*i‘ /*

= X

Vl + (/ *)2 = x f * 1+ (/* ) 2 = x 2 l = x2

/ = (x2 - l ) ( / <

(/*)2

(/ * )2

( / * ) 2 - ( / * ) 2

= ~5~"

xe[->/2,-V5/2]

por lo tanto / tiene inversa. /[/

* (x)] = x

.


RANGO D E /

Como:

x e [ - 2 , - l ] / e s decreciente entonces el rango de fes: / ( x ) e [ / ( - 1 ) , / ( —2 )]:

/ ( - 2) =

=£

=-£ -

Pruebe que: y = f( x)

Problema 0 8 .

, donde:

-Va, - f

=

2 are tgx + are sen 1

+X

constante, cuan-

do x > 1. Hallar el valor de dicha constante. Solución: 1.

Si “y” es constante debe ser que y' = 0 . Veamos: (1 + x ) (2) - 2x (2x) (1 + x2 )2

y ' = 2 —1 1 + x* 1

_

2

-

^ + ) (l + x ¿ ) \ l - x ¿

1+ x

2

.

l +x¿

4x2

2(1 + x )(1 + x )

(1 +

x

2)4¡1

, analizar el signo de | l - x 2 |= |1 -x ||l + x|= = | x-l||x + l| = (x + l) = - ( l - x 2 ) Para x > l = > x - l > 0

2

1 + x2

,

2 (1

+x )

2.

—

- ( l + x2 ) ( l - x 2 )

f ' ( x ) = d ¿ = y ' = ° >Para

.2 \ 2

+ X'

-2 1 + x2

y x+l>2>0

2—= 0

1 + x2

x > 1

En consecuencia y = /(x) es constante, puesto que la derivada de una constante es cero. Si: d+p =0 x

4.

Para: x = 1, el valor de f(x) es /(1) = 2arctg(l) + arcsen(l) = Es decir: c = n

y- c

C = constante

3.

=>

/(x) = /r, V x > 1.

= ;r

Moisés Lázaro C. Problemas sobre Razón de Cambio y Teorema del Valor Medio. 1. Se está grabando un vídeo de una carrera desde un lugar que está a 40m de la pis ta siguiendo a un auto que se mueve a 290 km/h. a) ¿con qué rapidez cambia el ángulo 9 de la cámara cuando el auto se encuentra exactamente frente a ésta (es decir 9 = 0)? b) ¿con qué rapidez cambia el ángulo medio segundo después? R n tn

-

“ P™ -

—

dt

-

-

290

40 »

_

<**/<* t

oít —40 s e c 2

q

2. Un avión vuela a velocidad constante de 300km/h, pasa sobre una estación terres

tre de radar a una altura de lkm y se eleva a un ángulo de 30°. ¿A qué velocidad aumenta la distancia del avión respecto de la estación del radar 1 minuto más tarde? 3. Usando el Teorema del Valor Medio o el Rolle, verifique que:

— - < Ln x < x - 1 , para x > 1 4 . Por el T.V.M. demostrar que

< are tanx < x , V x > 0 X2 + 1

5.

TI /20 ! . 4o--------- ^

6

La piscina de la fig. tiene un ancho de 30 pies y está siendo llenada mediante una bomba a razón de 28 pies3/min. ¿Con qué velocidad sube el nivel del i agua en el instante en que ha alcanzado 4 pies en la parte más honda?

. Usando el T.V.M. demostrar que Ln(x +1) > y y y , V x > 0

7. El radio r de la base de un cono circular recto está creciendo a una razón de

3 cm/min y la altura h está creciendo a razón de 4 cm/min. ¿Con qué rapidez cam bia el área lateral de la superficie del cono cuando r = 5 cm y h = 12 cm ? 8

. Si se bombea agua en el tanque hemisférico que se muestra ¡--------------------------jt en la figura a razón de 22.5 pies/min. Si el radio r de la es- V / I fera es 1 0 pies, ¿con qué rapidez está subiendo el nivel del v i agua, cuando está a 5 pies de profundidad en el centro? 1 Fórmula: v = ^ 7 r h 2 ( 3 r - h ) Rpta.:

—- = -^r pies/min

9. Demostrar que x + tanx > Ln(l + x2) , V x e J 0 , -| [\

POLINOMIO DE TAYLOR 1.

POLINOMIOS DE TAYLOR Y APROXIMACIONES

Introducción: En este capítulo trataremos de aproximar un polinomio Pn(x) de

grado n hacía una función /(x) pasando por el pun to común x = a , es decir cuando f(a) = Pn(a). En un intervalo I muy pequeño que contiene el punto a la aproximación de Pn(x) a la función f(x) es casi exacta. cuando x —» a entonces Pn(x) —> f(x)

¿Qué hipótesis debe tener la función /(x) para poder ser aproximado por un poli nomio Pn(x) alrededor de un punto “a”?. Para que Pn(x) se aproxima a /(x) al rededor del punto “a” , la función /(x) debe ser derivable hasta el orden n + 1 en un intervalo I muy pequeño que contiene el punto a. ¿Qué forma tiene el polinomio Pn(x) alrededor del punto “a” y cómo se halla?. A continuación se da la forma del polinomio Pn(x) y después justificamos su exis tencia por medio de un teorema.

1.1.

DEFINICIÓN DEL n-ésimo POLINOMIO DE TAYLOR

Si/tiene n derivadas en el punto “a” , el polinomio. Pn(x) = / ( a ) + /'(a)x + ^ ( x - a )

2

+ ^ ( x - a ) 3 +... + ^ ( x - a ) n.

Se llama POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para /(x) en a.

Moisés Lázaro C.

NOTA:

Si a = 0, entonces. ff

p j x ) = /(O) + / '(0)x +

m

f (n)

x 2 + L m x 3 + ....+ Im x n

se llama POLINOMIO DE MACLAURIN de grado n p a r a /.

Si /(x) es una función tal que existe ff”j y si Pn(x) es un polinom

Teorema 1.

de grado n centrado en “a" cuya forma es: Pn{x) = c0 +c1(x-a) + c2( x - a r +... + cn( x - a f

P> ) - / ' ( a ) •

P;(a) = /"(ü).

'

Entonces: Pn(x) = / (a) + / ' ( a ) ( x - a ) + ^ p

(x _ a )2

+ •••+ ^ nj - ( x - a )

Demostración: Derivar la función polinomial Pn(x) y sustituir x por a. Así: 1.

Pn(x) = c0 + c 1 ( x - a ) + c 2 ( x - a )2 + c 3 ( x - a )3 + ... + cn( x - a ) n Pn'(x) = 0 + q

+2c 2 ( x - a ) + 3 - 0 3 ( x - a )2 + .... + ncn( x - a )n'“ 1

P„'(x) =

+

P {^ ( x ) =

0

0

2 c2

+ 2 .3 . c 3 ( x - a ) + ,... + n ( n - l ) c n ( x - a )n _ 2 +

P
2

•3 •c 3

Cn

+ ... + n ( n - l ) ( n - 2 )cn( x - a ) " ' 3

POLINOMIO DE TAYLOR

2.

Sustituir en Pn(x) y sus derivadas P íkl{x) en x = a. Pn(a) = c0

c0 =Pn(a) = f(a)

Pn'(a) = q

cx =Pn'(a) = /'(a)

P » = 2 c2

C2 = 5¿í£) = n £ i

Pn(3 )(a) = 2 . 3 . c 3

P(3)(g)

/ (3) (o)

Pnn(a) = n ( n - l ) ( n - 2 ) . . . 3 - 3 - l . c 3 „

3.

p ñn (o)

/ (n)(a)

Sustituir en (1) los coeficientes Q obtenidos en (2): Pn(x) = f (a)+ f '(a) (x - a) + ^ p ( x - a f +

+

(x _ a)n

I. EJERCICIOS En los ejercicios 1-5, hallar el polinomio de Maclauirin de grado n para la función dada: 1.

f(x) = e “x ,

n=3

2.

/ (x) = x e x ,

n=4

3.

/ ( x:) = 7 7 Y > n = 4

Rpta.:

P4 (x) = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4

4.

/(x) = senx

Rpta.:

P5 M = x - - ¿ x 3 +T¿ñX5

,n = 5

Solución:

1. B polinomio de Maclaurin de grado 3 buscado es: P3M = /(0)+/'(0)x

De:

+ JQ 21* 3

/(x) = e~x — >

/{0}=e^ = l

f ( x ) = e~x

f"(0)

/í3)(x) =-e-JC— / (3)(x) =-c"x

=-e° =-1

>/<3)(0} =-e° =-1

— > /í3í{0) =-e °= -l

Moisés Lázaro C.___________________ Sustituir en P3 (x), obtenemos:

2.

'

El polinomio de Maclaurin de grado n = 4 , buscado es:

P4 (x) = / ( 0 ) + / '( 0 )x + 2y p x

De:

2

/(x ) = xCx

+ ^ x

3

+ ^ fx

4

> / ( 0) = 0

/'(x) = ex + xex

— ► /'(0) = 1

f"(x) = e x + e x + x e x = 2ex + x - e x

— ► / " ( 0) = 2

/ (3)(x) = 2ex + e x + x e x = 3ex + x e x

— > / (3)(0) = 3

/ (4)(x) = 3ex + e x + x e x = 4ex + x e x

— > / (4 >(0) = 4

Sustituir en P4 ( x) , obtenemos: ^n(x ) ”

0

+ x + -2ix 2 + j i x 3 + 7 jX 4

= x + x 2 + i x3 + l x 4 II.

EJERCICIOS

5.

Hallar el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en ^que se aproxima a la funo

c i ó n / ( x ) = x -cosx. Solución: El polinomio de Taylor de grado 2 centrado en ;res: P2 (x) = f(ff) + f V ) (x-7t) +

(x - n 2

POLINOMIO DE TAYLOR

Sustituir en P2 (x): P2 (x) = - n 2 - 2n (x - n) + n 2

2

(x - ;r)2

6 . Aproximar Ln(1.2) mediante un polinomio de cuarto grado. Solución: Se pide aproximar /(x) = Ln(x)« P4 ( x) , para x = 1 •2. Como x = 1 •2 está cerca de 1, entonces hallemos P4 (x) alrededor de a = 1 .

P4 (x) = / ( l ) + / ' ( l ) ( x - l ) + ^ ( x - l ) De:

¿ / (x) = Lnx /'(x) = l f"M =

2

+ ^ (x -l)

3

+™ ( x - l

)4

----- > / ( 1) = 0 > /'(1 ) = 1

i

------ >

/ ” (!) = - 1 (3)/i \ _ .

3!

(4)/

Al sustituir los valores de /(1), /'(l). / " ( I ) , / í3 |(l) y / t(4)/ 1 <+,(1) en P4 (x), obtenemos: P4 (x) = 0 + ( x - l ) - i ( x - l ) 2 + | f ( x - l ) 3 + ^ ( x - l )4

P4 ( x ) = (x - 1 ) - ¿ ( x - 1 ) 2 + I ( x - 1 ) 3 - ¿ ( x - 1 ) 4

Como: / (x) = Lnx « P4 (x) para todo “x” cerca al número “1” entonces:

/ 4qq\_____

Moisés Lázaro C.

Ln (1.2)» P4 (1.2) * (1 . 2 - 1 ) »

0 .2

-

1

1

(1 . 2

(0 .2 ) 2

f + ¿ (1 . 2 ~ l )3 - i (1 . 2 -

- 1

(0 .2 ) 3

1)4

(0 .2 ) 4

w 0.1822666 Problema. Aplicar el polinomio de Maclaurin para calcular Ln(1.2). Solución: Como Ln(1.2) = Ln (1 + 0.2) = Ln (1 + x) = g (x ), para x = 0.2 y como x = 0.2 está muy próximo a “0” , entonces el polinomio de Maclaurin de cuarto grado que se aproxima a la función g(x) = Ln(l + x) alrededor “0” es: p4 W , s (0 ) + g '(0 ) x + f i x Donde:

g(x) = Ln(l + x) s 'W = T|7

+4

2

r i

3

+ ^ x

4

> g(0) = 0 — +

s (0) = 1

------ > (1 + x )2

g ( 3 ) ( x ) _ _ 22 _ (1 + x )3

V r

,(3)

+ 4>(x) = - — 66- 5- -----> 5 (4)(0 ) = -6 -------> (1 + xP

Sustituir en P4(x): P4(x) = 0 + x - ± x 2 + ± x 3 - j x 4 Por tanto: g(x) = Ln(l + x ) « P 4(x) s(0.2) = Ln(l + 0.2) * P4{0.2) * 0 .2 -¿ (0 .2 )2 + i(0 .2 )3 -| (0 .2 )4 « 0.1822666 Observación: El cálculo de muchas funciones elementales, tales como: ^ 04,

e0 2 sen30.7°, etc. se hacen por aproximación

diante los polinomios de Maclaurin.

POLINOMIO DE TAYLOR

1.2.

< §>

EL RESTO DE UN POLINOMIO DE TAYLOR

En los ejemplos anteriores hemos visto que es posible hallar polinomios Pn(x) que se aproximen a una función f(x) alrededor de un punto fijo “a” . Es decir: Pn(x) « / (x ), para todo x tal que x

> ap

y

N otación:

Pn{ x ) « / ( x ) , V x/x — ■» a Se lee “ Pn(x)se aproxima a /(x ), para todo x, tal que x tiende en acer carse hacía el número a\

Cuando se trabaja con aproximaciones, se debe tener especial cuidado de saber con qué precisión se está haciendo la aproximación. Cuando el error es mínimo afir mamos con mucha confianza que la aproximación es buena, Para medir la

P R E C IS IÓ N

del valor exacto de f{x) cuando es aproximado por el

polinomio de Taylor Pn(x ), usaremos el concepto de resto. Si denotamos por Rn(x) el resto, definimos: /ÓO Valor exacto

=

PrMl

+ ^nW

Valor aproximado

resto

De donde obtenemos: Rn(x) = / (x) - Pn(x). Al valor absoluto de Rn(x) le llamamos

ER R O R ,

es decir:

ERROR = |Pn(x)| = | /(x )-P n(x)| En la práctica, el error es imposible de hallarse en forma exacta, lo que se hace es ESTI dicho E R R OR mediante un procedimiento general conocido con el nombre de T E O R E M A DE T A Y L O R y el resto que en él se halla se llama la F O R M A DE LAGRANGE PARA

M AR

EL R E S T O .

Moisés Lázaro C. Teorema 2. (TEOREMA DE TAYLOR)

Si una función/ es derivable hasta el orden n + l en el intervalo [a,x] y / , están definidas sobre [a,x], entonces existe un z e (a, x>, tal que:

f(x) = f(a) + f'(a) { x - a ) + t -2^! ( x - a f + ... + í- ^ - { x - á f +Rn(x)

donde:

(1 )

fínW = fo rm a de

£C<*-a>n+1

LAGRANGE

x

â

a
r (n + l)

(2 )

R (x) = - ^ .. ( x - z ) " ( x - a )

X

(n + l)!

â

acz < x

Forma de CAUCHY

Además, Si /^n+1^ es integrable sobre [a , x ] , entonces X

(3)

K M -

l

i ;

x^z

(n + l )

(Z)

(x - z f dz

a
Observaciones: a) A ia igualdad 0

c)

se le llama p o l í g o n o

d e ta y lo r co n

residuo.

En (1) el coeficiente -
POLINOMIO DE TAYLOR

ILUSTRACION GRAFICA

a
d)

x< z< a

Cuando x se acerca al número a

,

entonces Pn(x) se acerca a / ( x )

x -» a

P„*f(x)

e) El polinomio Pn(x) depende de ^

> a f(x)

f) Como Pn(x) se construye alrededor de “a” , entonces es expresado en términos de la potencia de (x - a ). Así: g)

P„(x) = f{a) + f ' { a ) ( x - a ) + ^ p - ( x - a ) 2 + . . . + L ^ ( x - a ) n

En la práctica: “x “ se nos da y el número “a“ uno lo escoge teniendo cuidado que “x” esté cerca de “a” .

Ejemplos:

( l ) En 3/3XÉ donde:

Pn (x) = /

g'02

y

(3) + /'(3 ) (x - 3) + . . .

/(x) = ^

+

4 f-(x -

3 ) 1"

En el intervalo [3,3.02] se analiza el residuo para 3 < z < 3.02 . Otra forma de hacer:

M oisés Lázaro C.

3/-------- 3/---------V3Ü)2 = ij3 + 0.02 <

= 0.02 >—--------------- i----> s ( x ) = V3 + x a =0 ^

-

X

donde:

Pn(x) = g(0) + g'(0)x + ... + ^ x n En el intervalo [0,0.02] se analiza el residuo, para 0 < z < 0.2 . <2> En: e02 Luego:

^ °q 2

f(x) = ex

Pn(x) = /(0) + /'(0 )x + ^

x2+ +

xn

En el intervalo [0,0.2] se analiza el residuo para 0 < z < 0.2 . ( 3) En: L n (l.l) Luego:

^ ^ > / ( x ) = Lnx

Pn(x) = /(1) + /'(1) ( x - l) + ^ ( x - l )2 + ..... + ^ ( x - l ) n

En el intervalo [1,1.1] se analiza el residuo para 1 < z < 1.1. Otra forma de hacer: Ln (1.1) = Ln (1 + 0.1) < T ^ Luego:

x = 0. 1\ . " > g(x) = Ln (1 + x) a =0 ^

Pn(x) = g (0) + g' (0) + « X

x 2 +... + L L * "

En el intervalo [0,0.1] se analiza el residuo. © En:

e 0'2 < ^ Xa=="o 2^ > / W = eX Pn(x) = /(0) + / (0)x + ¿ ^ x 2 + ... + L ^ x ”

En el intervalo [- 0.2 , 0] se analiza el residuo para -0.2 < z < 0 .

POLINOMIO DE TAYLOR

También se puede hacer del siguiente modo: x = 0.2 0.2 hacemos En: ^ > g (x ) = < a =0 En el intervalo [ 0, 0.2 ] se analiza el residuo para 0 < z < 0.2 . (5) Ahora, el gran problema es analizar la ESTIMACIÓN DEL ERROR. -

NOTA: El error según la forma de Lagrange es: Rn(x) = NOTA:

j

j(n +1)

- o )n+1 a
(n + l)

El coeficiente |~fyr no se puede calcular porque el valor de conoce, todo lo que sabe es que a
“Z”

no se

I o Acotar la función f^ ^ z ) > VZ e [a , x] teniendo en cuenta que: a < z < x < x1, x 1 un valor conveniente. 2o Analizar en

[a ,x], si /

3o Supongamos que / entonces se tendrá: \f

V es creciente o decreciente. es acotado para a < z < x y que la cota sea M > 0 , |
fintl)

llL( x -a)na Luego: |J?„(x)| - — {n -¡-1)!'

x - a p 4'1

Si podemos escoger algún "‘n” tal que: | x -o [n+1< g ) c es un número real min; pequeño, entonces de la ¡gualda = |/(x)-P„(x)| obtenemos:

|/(x)~Pn(x) = |fín(x)| < ^ I x - a r ^ c

M oisés Lázaro C.

P „(x)-£ < f(x)
|/(x)-P„(x)| < e

esta desigualdad indica que Pn(x) difiere de f{x) poruña cantidad menor que e.

s es muy pequeño, casi cero

PROBLEMAS

Use la fórmula de Taylor con residuo para desarrollar /(x ) = e x en potencias de x -1 para n = 2 . Demuestre que para este desa rrollo el residuo es menor que 0.0005 y que e ° '9_>x =2.460 es correcto hasta la tercera cifra decimal.

Problemas 01.

Solución: Se pide hallar:

f(x) = e x

a) P2(x) con residuo, dados

— >n = 2 a= 1

,

se obtiene de (x - 1 )

b) Aproximar e 0,9 c) Estimar el residuo P 3(x ), para 0.9 < x < 1 Veamos:

a) P2 (x) = /( l) + / '( l) ( x - l) + ^ ( x - l ) 2 + P 3 (x) A

3)

donde P 3(x) = —j f - (x - 1)3 , 0 .9 < z < l De:

/(x ) = ex

> / ( l) = e

f'(x) = e x

— > /'(l) = e

f"(x) = e x

— > f"{l) = e

/ (3)(x) = ex — ► / (3)(z) = ez Luego: P2 (x) = e + e ( x - l) + | ( x - l )2 + P 3 (x) Donde:

R3 (x) = jj- (x - 1)3

,

0.9
POLINOMIO DE TAYLOR

b) e 0,9 = / (0.9)« P (0.9) = e + (0.9 -1 }+ 1 (0.9 - 1)2 = e [0.905] , cone.7182

c) R3(x ) = ^ ( x - 1)3

,

'«*«1

0.9 < z < 1

A continuación, estimemos el valor de R${x) , haciendo sucesivas acotado! Paso 1: De:

0.9 < z < 1, deducimos: 0 < x < z < 1 .......................................................... (*) e° < e x < Zz < e1 , esto porque la función ex es creciente. 1 < e x < e z < e ..................................................

(**)

Paso 2 : En (*) se tiene:

0
, sumar -1

-1 < x - 1 < 0 ,

elevar al cubo

- l < ( x - i \3r <0 í

- ES N E G A TIV O

Paso 3 : Como (x -1 )3 es negativo, al multiplicar ( x - 1)3

ex ( x - l )3

ez ( x - l )3

e ( x - l )3

3!

3!

3!

3!

* r3m

Luego:

Paso 4 : Para x = 0.9 :

(x-1)3 en (**) , obtenemos: 3!

3!

(-Q-D3 >H3(0 .9 )> e(- 0•1) 3!

3!

|/?3 (0.9) |< máx \R3 ( 0 . 9 ) \ < ^ f

( - 0 . 1)3 3!

’

e ( - 0 . 1)3 3!

e = 2.7182

M oisés Lázaro C.

=>

|fí3 (0.9)| < 0.0004530

=>

|R3(0.9)|< 0.0005

Problema 0 2 . Calcular L n l.2 , aproximando un polinomio de grado 5 y dé el error

estimado en este cálculo. Solución: Se pide Hallar: a) Hallar: L n l.2 , aproximando un polinomio de grado 5. b) Hallar: R6 ( x ) . Veam os:

x = 1.2 Se tiene como datos

\ a = 1 , porque 1.2 está cerca de 1. n-h

Se tiene: Lnl.2 = Lnx = / ( x ) , para x = 1.2 . Se pide hallar: L n x » P5 W , para x = 1.2 donde: fi3) f(4) P5(x) = / (1) + /'(1) (x -1 ) + ^ < x - 1)2 + ^ ( x - 1)3 + Li í ( x - 1)4 f(5) + —5T - ( x - 1 )5 +i?6(x) A6)

Donde:

/(x ) = Lnx

,

l< z < x

- — > /(l) = Lnl = 0

ñx)=\

-----> / '( « = 1

f " W = ~Ar X

----->

ra )= -i

í

f(3) _ 2! ( x ) - x3

-----> Jf(3)(1) “_ 0

(i 4) _ 3! j W — 7

----- > Jf (4>(1) -- -0

11

De:

R6 (x) = - - ^ ( x - l ) 6

2

a)

f(6) _ 5! Í U )- —

----- > / (5)(i) = 24 ----- >

f(6)

_

5!

,

x = 1.2

POLINOMIO DE TAYLOR

Sustituir en P$(x): > P5 (X) = 0 + (X -1) - \ (x -1 f + I i (x - 1)3 - £ (x - 1)4 + f i (x - 1)5 + R6 (x) = ( x ~ l ) - j ( x - l )2 + j ( x - l f - j ( x - 1)4 + -g- (x - 1)5 + R6 (x) Donde: R6 (x) =

i (x - 1)5 , l< z < x , x = 1.2

Para, x = 1.2, obtenemos: P5(1.2) = 0 .2 -1 (0.2)2 +1 (0.2)3 - 1 (0.2)4 + i (0.2)5 + Re (x) = 0.182333 b) El error es: P 6 (x) = De

6z

(x - 1)6 .

1 < z < 1.2

I

1

l< z 6 <( 1.2)6 (1 .2 )

<

~ 6" < z6

6(1.2)°

1< x

< 1.2 0 < x -1 < 0.2

^

0 < (x - l )6 < (0.2)6

- 6z

0 < ( x - l )6 <6.4 x 10“5

> --6Lz6( x - l ) 6 > - 6l ( x - l )6

(x -l)b ^

6(1.2)6 "

- i ( x - l ) 6
Para x = 1.2 |P 6(x)| < máx<¡

1-1 (1.2 -1 )6

|P 6(x)| < máx < I - \ (0.2)'

(1.2- l f 6(1.2)° (0.2)°

6 ( 1.2 )'

< máx { 1.06 x 10“5 , 3.57 x 10~6 j |ñ 6(x)| < 1.06 xlO -5

= máx|i(0.2)6 1,11(0.166)6

Moisés Lázaro C.

Problema 03.

a) Verifique que el desarrollo de F(x) = (1 - x )1/3 . en potencias de x para n = 2 por la fórmula de Maclaurin es: (1 - x )1/2 = 1 - ^ + f ?3(x). b) Determine, hasta la cuarta cifra decimal la cota superior de í?3(x) cuando 0 < x < 1/4 . Solución: a ) Deseamos hallar: P2(x) = /(0) + / ' ( 0 ) x + ^ x 2 +.R3(x) De:

/(x ) = (y1. -- xX)1* 2 /'(* )

->

/w =i

/'(O) = - i

-l 2^1 -4 a -* )

i- l/ 2

/"(x ) = ( - i ) ( - i )

(1 -

x )-3/2 (-Í) ->

4 ( l - x )3/2

f"(0) = - i

f ”(x) = - i ( - | ) ( l - x r 5/2(-l) f'" (x ) - - 2 ____1____

1

W

« (I ~ x f 2

3

8/i

(1-z)v5/2

r m 3

=

-

=> P 3(x) = —

16 (1-Z m

Sustituir en: P2(x) P2(x) = l - | x + - i^ x 2 +P 3(x) P2(x) = l - i x - - i - x 2 + P 3(x) R3(x )

=

1 __ 1 16

,5/2 '

(1 - z)'

0<

x
1

\5/2 o x3

POLINOMIO DE TAYLOR

Hallar s, tal que:

^ _ iA x3 >5/2 ■

16

< s , siempre 0 < x < j

Veamos:

Para hallar el número £*, que es muy pequeño, casi cero, se debe acotar la función siduo Rn = - j g — L - x3 a partir del intervalo 0 < x < ^ . (l -*)2 Para ello, procedemos del siguiente modo: I o Aplicar a Rn el valor absoluto y usar propiedades de valor absoluto. Así: l* n l:

1 16

1 5

16

(1 -z )2

2°

Debemos acotar la función

( 1)

¡ l - z \ 5/2

y la función |x|

|l_2|5/2

a partir del intervalo

0<

0
x< i

i

0 < x 3 <(±)

3, 1 1*1

< z < -\

0 > -z > -| l > l - z > f 5 /3

(i - z f 2

*3 '

| 1 - Z|2

Volver»(1): ¿ ¡ r ^ M |l-z|

3° Conclusión: Rn |< 0,002 .

3 < ¿ ( 4 ) ^ - 0 ,0 0 2 0 0 4 6 = 0,002.

M oisés Lázaro C.

PROBLEMAS PROPUESTOS

GRUPO 01. • Construir las gráficas de las funciones que se indican más abajo, determinando, el : campo de existencia de cada función, los puntos de discontinuidad, los puntos ex tremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los puntos de inflexión de sus gráficas, la dirección de las concavidades y las asíntotas de las gráficas. 01.

y = x -3 x

02. y

6 x2 - 4 x 4

03. y = (x -1 ) (x + 2)

04. y = (x - 2 )2 (x + 4)

05. y

06. y = x

(x2 - 5 )3 125

07. y : X 09. y = x + 2 -

o.

n - y = z -4 ,

08. y : 10. y

x4 + 3

1

__

12.

y = 4 4x + x2

13. y ■(4xx --21)2

14. y =

16 15. y = -xr2 (xl& - 4)

16. y = -

17. 19. 21. 23. 25.

18. 20. 22. 24. 26.

y = -
- 2x + 2

y = >/8 + x ->/ 8 - x y = V x 3 - 3x y = \/l —:-x y= y = ^ /(x-2 )2 + ^ /(x-4 )í

■ m il ^ j&„2áw\® I r' ; V-'/ f;rf 33. y = e 8— 2- 14

^


45. y = senx + sen2x 47. y = sen x + eos x

46. y = eos x - eos x 48. y •sen x + c osx

49. y = -

50. y = senx •sen2x

51. y = cosx * cos2x 53. y = arcsen (1 - a/ x 2" )

52. y = x + senx

o

o

sen (x + -j)

árese n x 54- y = ' r = = ^

l/l-x

55. 57. 59. 61.

y = 2 x -tg x 56. y = xarctgx y = xarctg—,si x^ O e y = 0 , si x = 0 58. y = x + 2 arcctg x y = | + arcctg x 60. y = lnshx y = Arch(x + -i-) 62. y = e senx

63. 65. 67. 69.

y = e arcsen^ y = lnsenx y = ln x - arctgx y = arctg (lnx)

71. y = x x

64. y = e arctgx 66. y = l n t g ( f - | ) 68. y = cosx-lncosx 70. y = arcsen ln(x + 1) o

72.

1

y

=x x

Construir las gráficas de las funciones siguientes, dadas en forma paramétrica: 73. x = í 2 - 2 í , y = í 2 +2£ 74. x = acos3 t , y = asent (a>0) 75. x = t e t , y = £e_t 76. x = £+ e_ í, y = 2í + e _2t 77. x = a(sh£-£), y = a(ch£-l) (a> 0)

Moisés Lázaro C.

— © --------------

RESPUESTAS GRUPO 01: 01.

ymáx = 0 cuando x = 0 ; ymín = - 4 cuando x = 2; el punto de inflexión es M 1(1 ,-2 ). 02. ymáx = 1 cuando x = ; ymín = 0 cuando x = 0 ; el punto de in flexión es M i 2(±1, ■03. ymáx = 4 cuando x = -1 ; ymín = 0 cuando x = 1; el punto de inflexión es M 1(0,2). 04. ymáx = 8 cuando x = -2 ; ymín = 0 cuando x = 2 ; el punto de inflexión es M (0,4). 05. ymín = -1 cuando x = 0 ; los puntos de in flexión son M 1j2(±V5;0) y 06. ymáx =-2 cuando x = 0 ; ymín =2 cuando x = 2 ; las asíntotas son x = 1, y = x - 1 . 07. Los puntos de inflexión son M 12(± 1, ± 2); la asíntota es x = 0 . 08. ymáx = -4 cuando x = - 1 ; ymín = 4 cuando x = 1; la asíntota es x = 0 . 09. ymín = 3 cuando x = 1; el punto de inflexión es M(-y¡2 ;0 ); la asíntota es x = 0 . 10. ymáx = cuando x = 0 ; los puntos de inflexión son M i 2 ; la asíntota es y = 0 . 11. ymáx = -2 cuando x = 0 ; las asíntotas son x = ±2 e y = 0 . 12. ymín = -1 cuando x = -2 ; ymáx = 1 cuando x = 2 ; los puntos de inflexión son 0(0 ;0) y M 12 |+2V¡3 ; ; la asíntota es y = 0 . 13. ymáx = 1 cuando x = 4; el punto de inflexión es M ; las asíntotas son x = 2 e y = 0 . 14. El punto de inflexión es O (0;0); las asíntotas son x = ±2 e y = 0 . 15. ymáx = - l i cuando x = - |; las asíntotas son x = 0 , x = 4 e y = 0.16. ymáx = - 4 cuando x = -1 ; ymín = 4 cuando x = 1; las asíntotas son x = 0 e y = 3x . 17. A(0;2) y B(4;2) son los puntos extremos; ymáx = 2>¡2 cuando x = 2 . 18. A (-8 ;-4 ) y B(8;4) son los puntos de los extremos. El punto de inflexión es 0(0 ;0 ). 19. El punto del extremo < A {-3 ;0 ); ymín = -2 cuando x = - 2 . 20. Los puntos de los extremos son A (-V 3;( 0(0:0) y B(y¡3;0); ymáx = y¡2 cuando x = -1 : el punto de inflexión es \¡3 + 2>/3

+

21.

ymáx = 1 cuando x = 0 : los puntos de inflexión sor

M 1i2(±1;0) . 22. Los puntos de inflexión son M Ô :!) y M 2(1:0); la asíntota es


x = -y¡3 ; los puntos de inflexión son M 1^-3 ;

, 0 (0 ; 0) y M 2

tas, x = ±1. 30. ymín = 3^r cuando x = 6 ; el punto de inflexión es

; las asínto 12 ; 3^— J; Ia

asíntota es x = 2 . 31. ymáx = - j cuando x = 1; el punto de inflexión es M l | 2;-~ j ; la asíntota, y = 0 . 32. Los puntos de inflexión son M l | -3a

j

y M 2(-a ,—•); la

asíntota es y = 0 . 33. ymáx = e cuando x = 4; los puntos de inflexión son M 121( 8 +22J2 ;e ~2 \I; la asíntota, y = 0 . 34. y = 2 cuando x = 0 ; los puntos de in flexión son M 1 2 (±1;

. 35. ymáx = 1 cuando x = ±1; ymín = 0 cuando x = 0 .

ymáx = 0,74 cuando x = e2 « 7,39 ; el punto de inflexión M(e ^ « 14,39;0,70); las asíntotas, x = 0 e y = 0 . 37. ymín = cuando x = -^= ; el punto de inflexión es

36.

2

j . 38. ymín = e cuando x = e ; el punto de inflexión es JVf|e2 ; -y-j; la asíntota es x = 1; y -> 0 cuando x —» 0. 39. ymáx = -4r» 0,54 cuando x = 4 r - 1 « - 0, 86 ; ymín = 0 cuando x = 0 ; el punto de inflexión es —- 1 « -0,63 ; j « 0,37 j ; y -> 0 cuando x -» -1 + 0 (punto límite extremo). 40. ymín = 1 cuando x = ±yÍ 2 ; los puntos de inflexión son M 12(± 1,89 ; 1,33); las asíntotas, x = ±1. 41. La asíntota es xy = 0 . 42. Las asíntotas son y = 0 (cuando x -» +oo ) e y = - x (cuando x —» -00 ). 43. Las asíntotas son x = ~ ; x = 0 e y = 1;

#4 ig \

Moisés Lázaro C.

la función no está determinada en el segmento J—i , O j. 44. Es una función periódica de período

. ymfn

= - 4 2 cuando x=-|;r + 2for: y , ^ = 4 2 cuan

(íc = 0, ±1, ± 2 , ...); los puntos de inflexión son Mk( -|,t + Ic/r ; 0 j . 45. Es una fun ción periódica de período 2 k . ym(n = ~|-s/3 cuando x =

■

:-R{44M4^04:^

+2

; ymáx = f-s/3

■ . -Xe

cuando x= -| + 2kn (#c = 0, ± 1 , ± 2 , ...); los puntos de inflexión sonMk(kn,0) y Nk |arccos^-*^] + 2/c^r ; — V Í 5 j. 46. Es una función periódica de período 2n . Es el segmento [~n,n] ymáx = 1 cuando x = ±| -; ymín = - 2 cuando x = ±;r; ymín =0 cuando x = 0 ; los puntos de inflexión son M 1 2 (± 0,57 ; 0,13) y M 3 4 (± 2,20 ; - 0,95). 47. Es una función periódica impar de período 2;r . En el seg mento [ 0 , 2 tt] : ymáx = 1 cuando x = 0 ; ymín =0,71 cuando x = j ; ymáx = 1 cuan do x = f ; ymín = -1 cuando x = n ; ymáx = -0,71 cuando x =

; ymín = - 1

cuando x = ^n ; ymáx = 1 cuando x = 2 ;r ; los puntos de inflexión son M1(0,36 ; 0,86); M 2 (l,2 1 : 0,86); M3(2 ,3 6 ;0 ); M4 (3 ,5 1 ;-0 ,8 6 ); Aí5 (4,35 ; -0 ,8 6 ) y M6(5,50 ; 0 ). 48. Es una función periódica de período 2n . ymín = 2 cuan^° x = 4"+ 2 ^^ ; ymáx =

donde x = - ^ n + 2 k/r ( k = 0 , ± 1 ,

± 2 , ...); las asíntotas son x = ~ ^n + kn . 49. Es una función periódica de período n ; los puntos de inflexión son Mk |j + kn ; ^ j

( k = 0 , ±1, ± 2, ...); las asíntotas son

x = ^7r + kn . 50. Es una función periódica par de período 2 n . En el segmento [0 ,n]: Vm áx = ^

cuando x

= árceos-^ ; ymáx = 0 cuando x = n ; ymín =

cuando

x = á r c e o s ; ymín = 0 cuando x = 0 ; los puntos de inflexión son Mj ^|r; 0 ); M 2 ( aresen^j-;

j

y M 3 1 n - aresen-—-; - 4^ - j . 51. Es una función periódica par

de período 2n . En el segmento [0 ,n]: ymáx = 1 cuando x = 0 ; ymáx = x = á r c e o s ; ymín =

cuando

cuando x = árceos-^ ; ymín = - 1 cuando x = n ; los

puntos de inflexión son M1 ( ; 0 j ; M 2 x | árceos

|

j

y

PROBLEMAS PROPUESTOS__________________________________

M3 ^ árceosj . 52. Es una función impar. Los puntos de inflexión son Mk(k7r :k7r) ( k = 0, ±1, ± 2 5 3 . Es una función par. Los puntos de los extremos son A12(±2,83 ;-1 ,5 7 ); ymáx ^1,57 cuando x = 0 (punto de retroceso); los puntos de inflexión son M 12(± 1,54 ; -0 ,3 4 ). 54. Es una función impar. Su campo de exis tencia es -1 < x < 1. El punto de inflexión 0(0; 0); la asíntota x = ±1. 55. Es una función impar. ymáx = -| -l + 2/c;r cuando x = j + k/r; ymín = -|;r + l + 2k;r cuando x=

q

2k +1 n + kn ; los puntos de inflexión son Mk(kn : 2kn); las asíntotas son x = —2—71

( k = 0, ±1, ± 2 ,...). 56. Es una función par; ymín = 0 cuando x = 0 ; las asíntotas son y = —f x - 1 (cuando x -> - oo ) e y = j x - 1 (cuando x - » +qo ). 57. ymín = 0 cuan do x = 0 (punto anguloso); la asíntota es y = 1. 58. ymín = 1 + ~ cuando x = 1; ymáx ”

^2

~ ^ cuanc^0 x ~ ~ 1 ;

punto de inflexión (centro de simetría) es (0, n) ; las

asíntotas, y = x + 2n (izquierda) e y = x (derecha). 59. Es una función impar: ymín ~ 1,285 cuando x = 1; ymáx « 1,856 cuando x = -1 ; el punto de inflexión es M ( 0 ,-| ) ; las asíntotas, y = j + n (cuando x - ^ - o o ) e y =

(cuando x —> +oo ).

60. Las asíntotas son x = 0 e y = x - ln2 . 61. ymín ® 1,32 cuando x = 1; la asíntota es x = 0 . 62. Es una función periódica de período 2 k . ymín = ^ cuando x = -|;r + 2/c;r; ymáx = e cuando x =

+ 2/ctt ( k = 0, ±1, ± 2 , ...); los puntos de inflexión son

-Mk ^ aresen.V5-1 - 2 + 2/c;r ; e 2 J y

m

í - aresen _ V 5 - 1— + (2fc + l)/r ; e ^ 2+1 j . 63. Los

puntos de los extremos son A(0;1) y B (l;4,81). El punto de inflexión es M(0,28 ; 1,74}. 64. El punto de inflexión es M (0,5 ; 1,59); las asíntotas, y * 0,21 (cuando x -> -oo ) e y « 4,81 (cuando x -> +co ). 65. El campo de determinación de la función es el conjunto de los intervalos (2 kn , 2/c^r + ¿r), donde k = 0 , ± l , ± 2 , ... La función es periódica de período 2 k \ ymáx = 0 cuando x=|- + 2for ( k ~ 0, ±1, ± 2 , ...); las asíntotas son x = kx . 66. El campo de determinación es el conjunto de los intervalos ||2/c- i E ’ (2íc + ! K ) . donde k es un número entero. La función es pe

Moisés Lázaro C. < §> riódica de período 2n . Los puntos de inflexión son Mk{2k7T ; 0) ( /c = 0 , ±1, ± 2 , ...); las asíntotas, x = +-| + 2kn . 67. El campo de determinación es x > 0 ; la función es monótona creciente; la asíntota es x = 0 . 68. El campo de determinación es |x - 2kn\ < j ( k = 0, ±1, ± 2 , ...). La función es periódica de período 2n ; ymín = 1 cuando x = 2kn ( k = 0, ±1, ± 2 , ...); las asíntotas son x =

+ kK . 69. La asíntota es

y « 1,57; y -» — cuando x - » 0 (punto límite del extremo). 70. Los puntos de los extremos son A 12 (± 1,31; 1,57); ymín = 0 cuando x = 0. 71. ymín = (^ ')e -0 ,6 9 cuando x = ^ « 0,37; y -» 1 cuando x -> +0 . 72. El punto límite del extremo es A{ + 0 ; 0 ); ymáx = e € «1 ,4 4 cuando x = e « 2,72; la asíntota es y = 1; los puntos de inflexión, M1(0,58 ; 0,12) y M2(4,35 ; 1,40). 73. xmín = -1 cuando t = 1 (y = 3 ); ymín = -1 cuando t = -1 ( x = 3 ). 74. Para obtener la gráfica basta con variar t entre los límites de 0 a 2n\ xmín = -a cuando t = n ( y = 0 ); xmáx = a cuando t = 0 ( y = 0 ); ymín = -a (punto de retroceso) cuando t = +

(x = 0); ymáx = +a (punto

de retroceso) cuando t = • ( x = 0 ); los puntos de inflexión cuando £ =

^

,

son ( X = ± ^ . V = ± ^ ) - 75. xmfn = - i cuando í = -1 (y = —e ); xmáx = i cuando t = 1 ( x =

Z ):los puntos de inflexión son í - , j cuando cuando £ = V2 ; las asíntotas, x = 0 e y = 0 . 76. xmín = 1

e ymín = 1 cuando t = 0 (punto de retroceso); la asíntota es y = 2x cuando t -> + qo 77. ymín = 0 cuando £ = 0 .

.


< §>

GRUPO 0 2 :

mp^liPi ÉIP'\iPMÎPiiPPW%1WfWW&✓ / %WP

Hallar y ', tomando previamente logaritmos para la función y = f ( x ) . 01. y = (x + l)(2x + l)(3x + l) a

02. y I

» =,/$ §

05. y =

(x +Zf ( x + l ) 3 (x + 3 ) 4

+1

Í^ 2 L _

08. y-

VxZL | x + 2)2 ^ x + 3)3

07. y = xx

08. y = x A

09. y = Vx

10. y = x ^

11. y = xx*

12. y = xsenx

13. y = (cosx)senx

14. y = (l + i ) >

15. y = (arctg x )>

16. Hallar la derivada xí. , si a) y = 3x + x3 ;

b) y ~ x --| s e n x ;

c) y = 0 ,lx + e^

Calcular la derivada y' = -—•de las siguientes funciones dadas en forma paramétrica.

17.

x = 2t - 1 y = t2 y- _

x= 18.

3 at

y=

23.

3at2

21

.

U-t3

x = a (eos £+£ sen t ) y = a(sen£ - t c o s t )

19.

24.

22 .

X = \k

y

x - a eos £

25.

y = b sen2 £

26.

27.

sen 3 f

yjcos2t

29.

x = a^lntg|- + cos£ -s e n íj y = a(sen£ + cos£)

+r

y = arcsen

a(l - r lft2

X = V tz + 1

f-1 i3-!--! x = a eos t y = bsen3 £

x = árceos yJcos2t

x = -£sL 1+ t2 y=

frfrf

l +r 20 .

M 1

t

+r

28.

x = e -t y = e 2í

/^ 2 q\______________________________ Moisés Lázaro C.

30. Calcular dx o í

•/

bolucion:

------------------

31. Hallar

.

32. Hallar ^

udyy _

dx

para t a s ea isue n t

—

si i X ° sen*) { y = a (l - cosí)

2 _

- =-

a (l-co st)

para t = 1, si l

sseenní t

i/ ad y y \ \

1-cosí

u I-— 1 *

\dxjt=^

se n^9

_

-«

= ------— = 1 l-co s-|

f x = ílní _^ l y ~~T

para í = -J, si 1 X 6 C° SÍ [ y = eêní

33. Demostrar que la función

y,

dada por las ecuaciones paramétricas:

x = 2t + 3t2 y = t2 + 2í3

^2 / , \3 satisface a la ecuación y = ( ^ ) + 2 ^ ) . 34. Para x = 2 se cumple la igualdad x 2 = 2x . ¿Se deduce de esto que (x2)' = (2x)' para x = 2 ? 35. Sea

y = %/a2 - x 2 . ¿Se puede derivar miembro a miembro la igualdad

x2 + y2 ~a2 ? Hallar la derivada y' =

de las siguientes funciones implícitas y :

36. 2 x - 5 y + 10 = 0

37. 4 + 4 = 1

39. x3 + x 2y + y2 =0

40. Vx+A/ y=Vu

41. 44? + 44^ = 4 o 2

42. y3 =-L_|

43. y - 0 , 3 s e ny = x

44. acos2(x + y) = b

45. tgy = xy

46, xy = arctg --

47. arctg (x +y) = x

Sil

++ 1++1 :'' ' l l i l i l

48. e y = x + y 51. arctg

= |-ln(x2 + y2)

a2

1

38. x 3 + y 3 = a 3

b2

¡111 _j> :

49. ln x + e * = c 52.

'111

11 I 111 1ÍB f¡ illS ft §¡ ¡1!| 11¡!

50. ln y + ~ = c

-\/x2 + y 2 = c arctg —

53. xy = y x

54. Hallar y' en el punto M( 1 ; 1), si 2y = 1 + xy3 Solución: Derivando, tenemos: 2y' = y3 + 3xy2y '. Haciendo x = 1 e y = 1, obte nemos 2yf = 1 + 3yC de donde yr= -1 .


55. Hallar las derivadas y' de las funciones y, que se dan a continuación, en los puntos que se indican: a) (x + y)3 = 27(x - y) cuando x = 2 e y = 1; b) ye y = e x +1 cuando x = 0 e y = 1: c) y2 = x + ln~ cuando x = 1 e y = 1. 56. ¿Qué ángulos

o

en los

; c) x = 1 ?

Solución: Tenernos y' = 1 - 2x . De donde: a) tg - 0 , cp- 0o ; c) tg^> = -1 ;

57. ¿Qué ángulos forman con el eje de abscisas, al cortarse con éste en el origen de coordenadas, las sinusoides y = senx e y ^ sen2x ? 58. ¿Qué ángulo forma con el eje de abscisas, al cortarse con éste en el origen de co ordenadas, la tangentoide y = tg x ? 59. ¿Qué ángulo forma la curva y = e ü'5* con la recta x = 2al cortarse con ella? 60. Hallar los puntos en que las tangentes a la curvay = 3x paralelas al eje de abscisas.

A

O

+ 4x

O

- 12x + 20 sean

rp

61. ¿En qué punto la tangente a la parábola y = x - 7 x + 3 es paralela a la recta 5x+y-3=0? 62. Hallar la ecuación de la parábola y = x2 + bx + c , que es tangente a la recta x = y en el punto (1; 1). o

o

63. Determinar el coeficiente angular de la tangente a la curva x +y - x y - 7 = 0 e n el punto (1; 2).

22)___________________________________ M oisés

Lázaro C.

64. ¿En qué punto de la curva y 2 = 2x 3 la tangente es perpendicular a la reóta 4 x - 3 y + 2 = 0? 65. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola y = Vx en el punto cuya abscisa es x = 4. Solución: Tenemos y' = 2vx ; de que, el coeficiente angular de la tangente será k ~ [y1x=4 ' Como el punto de contacto tiene las coordenadas x = 4 e y = 2, la ecuación de la tangente es y - 2 = j ( x - 4), o bien, x —4y + 4 = 0. En virtud de la condición de perpendicularidad, al coefi ciente angular de la normal es: k 1 = - 4 , de donde la ecuación de la normal es y - 2 = -4 (x - 4), o bien, 4x + y -1 8 = 0. 66. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = x 3 + 2x 2 - 4 x - 3 en el punto (-2 ; 5). 3 1---------

67. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = v x - l en el punto (1 ; 0 ). 68. Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a) y = tg 2x en el origen de coordenadas; x -1 en el punto de intersección con el eje OX; b) y = arcsen—rrc) y = árceos 3x en el punto de intersección con el eje OY; d) y - lnx en el punto de intersección con el eje OX; i 2 e) y = e * en los puntos de intersección con la recta y = 1 . l +t

69. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva punto

x=

t

v = -^- + ±

V

(2 ; 2 ).

— 2 í2

en el

2t

70. Escribir la ecuación de la tangente a la curva x - t c o s t , y = tsent en el origen | coordenadas y en el punto í = -f • 71. Escribir las ecuaciones de

la tangente y

de

la normal

a la cutj

x3 +y2 + 2 x - 6 = 0 en el punto cuya ordenada es y = 3 . 72. Escribir la ecuación de la tangente a la curva x5 + y5 - 2xy = 0 en el punto (1; 1


73. Escribir las ecuaciones de las tangentes y de las normales a la curva y = (x - l)(x - 2)(x - 3) en sus puntos de intersección con el eje de abscisas. 74. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y 4 = 4 x 4 6xy en el punto ( 1 ; 2 ). 75. Demostrar que el segmento de tangente a la hipérbola yx = a2, comprendido entre los ejes de coordenadas, está dividido en dos partes iguales por el punto de contacto. 76. Demostrar que en la astroide x 2/3 + y 2/3 = a2/3 el segmento tangente, comprendi do entre los ejes de coordenadas, tiene magnitud constante e igual a a. 77. Demostrar que las normales a la envolvente de la circunferencia x = a(cost + t sent ) , y = - 4 + 6x - x 2 son tangentes a la circunferencia x 2 + y 2 = a2 . 78. Hallar el ángulo de intersección de las parábolas y = (x - 2 )2 e y = -4 + 6x - x 2 . 79. ¿Qué ángulo forman entre sí las parábolas y = x 2 e y = x 3 al cortarse? 80. Demostrar que las curvas y = 4 x 2 + 2x - 8 e y = x 3 - x +10 son tangentes entre sí en el punto (3 ; 34). ¿Ocurriría lo mismo en el punto (-2 ; 4)? 81. Demostrar que las hipérbolas xy = a y x - y =b se cortan entre sí formando un ángulo recto. 82. Se da la parábola y 2 = 4x . Calcular la longitud de los segmentos tangente, nor mal, subtangente y subnormal en el punto ( 1 ; 2 ). 83. Hallar la longitud del segmento subtangente de la curva y = 2 X en cualquier punto de la misma. 84. Demostrar que la longitud del segmento normal a cualquier punto de la hipérbola equilátera x 2 - y 2 = a2 es igual al radio polar de dicho punto. 85. Demostrar que la longitud del segmento subnormal de la hipérbola x - y = a , en un punto cualquiera de la misma, es igual a la abscisa de dicho punto. 2 2 86. Demostrar que los segmentos subtangentes de la elipse % + = 1 y de la circunfea b 9

9

9

9

0

9

0

rencia x 2 + y 2 = a2 , en los puntos de abscisas iguales, son iguales entre sí, ¿Qué pro cedimiento de construcción de la tangente a la elipse se desprende de lo antedicho? 87. Hallar la longitud de los segmentos tangente, normal, subtangente, y subnormal a la cicloide i X s e n í | e n un pUnt 0 cualquiera t = t0 . y = a (l-c o s í)

/ÁnÁX M oisés Lázaro C. (424)---------------------------------------------------------------------------------

88.

Hallar el ángulo que forman entre sí la tangente a la espiral logarítmica r = ae el radio polar del punto de contacto. 89. Hallar el ángulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto lemniscata r 2 = a2 eos 2^. 90. Hallar la longitud de los segmentos polares: tangente, nornial, subtangente y i normal y el ángulo que forman entre si la tangente y el radio polar del punto contacto para ia espiral de Arquímedes r ~a
0 . ¿Con qué velocidad se alejarán es tos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro (x se da en centíme tros; t, en segundo)? 94. Los extremos de un segmento AB = 5 m se deslizan por las rectas perpendiculares entre sí OX y OY (Fig. 3). La velocidad de desplazamiento del extremo A es igual a 2 m/seg. ¿Cuál será la velocidad de desplazamiento del extremo B en el instante en que el extremo A se encuentre a una distancia OA = 3 m del origen de coordena das?

Fig. 4


95. La ley del movimiento de un punto material, lanzado en el plano vertical XOY (Fig. 4), formando un ángulo a respecto al horizonte, con una velocidad inicial üq , viene dada por las fórmulas (sin tomar en consideración la resistencia del aire) QÍ x = u0 teosa , y = tsena , donde t es el tiempo y g la aceleración de la fuerza de gravedad. Hallar la trayectoria del movimiento y su alcance. Determinar también la magnitud de la velocidad del movimiento y su dirección. 96. Un punto se mueve sobre la hipérbola y = ^

de tal modo, que su abscisa x au

menta uniformemente con la velocidad de una unidad por segundo. ¿Con qué ve locidad variará su ordenada, cuando el punto pase por la posición (5 ; 2) ? 97. ¿En qué punto de la parábola y2 = 18x la ordenada crece dos veces más de prisa que la abscisa? 98. Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 10 cm , mien tras que el otro, b, es variable y aumenta a la velocidad constante de 4 cm/seg . ¿A qué velocidad crecerán la diagonal del rectángulo y su área en el instante en que b = 30 cm ? 99. El radio de una esfera cree uniformemente con una velocidad de 5 cm/seg. ¿A qué velocidad crecerá el área de la superficie de dicha esfera y el volumen de la misma, cuando el radio sea igual a 50 cm ? 1 0 0 .

Un punto se mueve sobre la espiral de Arquímedes r = a

1 0 1 .

Una barra heterogénea

A

B

tiene 12 cm de longitud. La masa de la parte de AM

de la misma crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia del punto móvil M respecto al extremo A y es igual a 10 g cuando AM = 2 cm . Hallar la masa de toda la barra AB y la densidad lineal en cualquier punto M de la misma. ¿A qué es igual la distancia lineal de la barra en los puntos A y B?

A.

DERIVADAS DE ÓRDENES SUPERIORES DE FUNCIONES EXPLÍCITAS.

Hallar las derivadas de segundo orden de las funciones siguientes: 1 0 2 .

y = x8 +7x6 - 5 x + 5

107. / ( x ) = (1 + x 2 ) •a r c t g x

o

1 0 3 .

y =e

108.

y = (a r c s e n x )2

x

1 0 4 .

y = sen x

109.

y = ach ^ -

Moisés Lázaro C. < §>

110. Demostrar, que la función y - x ^ + 22x + 2 satisface a la ecuación diferencial 1 + y '2 =2 yy". 111. Demostrar, que la función y = | x V satisface a la ecuación diferencial y” - 2y' + y = ex . 112. Demostrar, que la función y = Q e~x + C2 e_2x para cualquier valor de las constantes Q y C2 satisface a la ecuación y " + 3y' + 2y = 0 . 113. Demostrar, que la función y = e 2xsen5x satisface a la ecuación y "- 4 y ' + 29y = 0. 114. Hallar y”' , si y = x 3 - 5x 2 + 7x - 2 . 115. Hallar /"'(3 ), si f(x) = (2x - 3)5 . 4 116. Hallar yv para la fundón y = ln(1 + x ). t 117. Hallar yVÍ para la función y = sen2x. I 118. Demostrar que la fundón y *=e~xcosx satisface a la ecuación diferencfel 119. Hallar /(O), /'(O ), /"(O) y /"'(O ), si f(x) = exsenx. 120. La ecuación del movimiento de un punto sobre el eje OX es x = 100 + 5t - 0, 0011 . Hallar la velocidad y la aceleración de dicho punto para los instantes: t 0 = 0 ; t 1 = 1 ; t2 = W . 121. Por la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 se mueve un punto M con una velocidad angu lar constante co. Hallar la ley del movimiento de su proyección M 1 sobre el eje OX, si en el momento t - 0 el punto ocupa la posición M 0(a,0) (Fig. 5). Y

o

F ig .

x

5

A


Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento del punto M 1. ¿A qué es igual la velocidad y la aceleración del punto M 1 en el momento inicial y en el momento en que pasa por el origen de coordenadas?. ¿Cuáles son los valores absolutos máximos de la velocidad y de la aceleración del punto ? 122. Hallar la derivada de orden n-ésimo de la función y = (ax + b)n , donde n es un número entero. 123. Hallar las derivadas de orden n-ésimo de las funciones a) y = ; b) y = Vx . 124. Hallar la derivada n-ésima de las funciones: a) y = senx; b) y = cos2x ; c) y = e”3x; d) y = ln (l± x ); g) y = sen2 x ; h) y = ln(ax + b ). 125. Empleando la fórmula deLeibniz, hallar y ^ , si: a) y = xex ; b) y = x 2e”2x; e) y = x 3 ln x .

c) y = (1- x 2)cosx ;

126. Hallar / n^(0), si f(x) = lny^y B.

DERIVADAS DE ÓRDENES SUPERIORES, DE FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMÉTRICA Y DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.

Hallar -^4dx para las funciones siguientes: c)

128. a)

M oisés Lázaro C.

f x = arctgí 130. a) \ i 2

f x = lnt ó) \ x

} y = isen 2 (

131. Hallar

l y = T^

, s¡ I X = etcost dy2 7 i y = e sent >eiu

132. Hallar -^4|- para í = 0 si \ X d* 2

+*

2x

} y = t

133. Demostrar que y, determinada como función de x por las ecuaciones x = sení e y = a e ^ + be~ty^ , satisface a la ecuación diferencial (1- x 2)-^-—+ x-^-= 2y dx2 dx y cualesquiera que sean las constantes a y b. Hallar y”' =

para las siguientes funciones.

134. j y ~ sec 1

,35.

[y-tgt 1 3 7 .

y ..-'

m

[ y = e t$ent

[y = t

jn í X = lnt Hallar ^ , si dxn

1 3 8 .

x -e -'c o s t

[ y =r

Conociendo la función y

= / ( x ) , hallar las derivadas

xn y

x "f

de la función in

versa x = / — 1(y). 1 3 9 .

Hallar y” , si x 2 + y2 = 1. Solución: Aplicando la regla de derivación de funciones compuestas tenemos 2x + 2yy' = 0 ; de donde yf =

e y" =

=~V ~~y ' •

Poniendo en lugar de y' su valor, obtendremos en definitiva: u" = y

v<¿ +x2 L ^ ~ .3 '

Determinar las derivadas y" de las siguientes funciones y = / ( x ) , dadas de forma implícita:

140. y2 = 2px .

141.

4 + iT = 1 có bz ,2

143. Dada la ecuación y = x + lny , hallar

dxz

142-

y"

2 dV¿

y = x + arctg y


144. Hallar y " en el punto (1; 1), si x 2 + 5xy + y 2 - 2 x + y - 6 = 0 145. Hallar y " en el punto (0 ; 1), si x 4 - xy + y 4 = 1 146. a) La función y está dada implícitamente por la x 2 + 2xy + y 2 - 4x + 2y - 2 = 0 . Hallar en el punto (1; 1). b) Hallar

ecuación

, si x 2 + y 2 = a2 .

RESPUESTAS GRUPO 02: 01. (1 + 2x)(l + 3x) + 2(1 + x)(l + 3x) + 3(x + 1)(1 + 2 x ). 02. (X+¿ ^ 03.

^ 2- ^ +2

-

a/ x ( x - 1 ) ( x - 2

)3

■■

06.-------3(x - 1 )

10. x ^

(x + 2)

. 04.

x s f Z I 05. .

}¡x2 + l '

* 3(x2 + l)

’

(x + 3)

2 î + l i n x j

’

(x-

2 )s ( x 2 -

1)

7x +

(x - l ) ( x - 3 ) ^ ( x - l ) 5 (x - 3 )11 ’

— .07. x x (l + lnx). 08. x x2+1 x ( l + 21nx).09.

n. x xxx x | i + lnx + ln 2 x |. 12. x senx

x2

+ cosx lnx

X

13. (cosx)senx x (cosx ln cosx-senx tg x ). 14. (1 + 7 ) [~ln ( l + T-) “ TTx 15. (arctg x)* ln arctg x h (1 £ ------- . 16. a) x„ = ~~~ 3(1 + x

y

) arctg x

07 ; b)

+ x2) ’

x,

y

2 2-

eosx

c) X„ = — 12— , 1 7 . | í 2 .18. f f V - 1 9 . - ^ V - 2 0 . t(2 ^ .2 1 .-fp .2 2 . - ± ¡ J - . 23. tg í . v

,

r

f

1+ 5e ¿

2

Í+

1

l - f

2

1 - 2 13

3

Vi

f(t2 + l )

24. a 25. a tg í. 26. -tg 3 1. 27. yxx = \[ ~ \1 para P&m ít <> °0 . 28. -2 e 3f. 29. tg í. 31.1. 32. oo . 34. No. 35. Si, ya que esta igualdad es una identidad. 36. \0 . 37. —ay .38. y . 2

2

{ 430)___________________________________ M oisés Lázaro C.

61. (1; -3 ). 62. y = x 2 - x +1. 63. Jc = jl.6 4 . ( ^ ; - ^ ) - 66. y - 5 = 0; x + 2 = 0. 67. x - 1 = 0 ; y = 0. 68. a) y = 2x ; y = —| x ; b) x - 2y - 1 = 0 ; 2x + y - 2 = 0 ; c) 6x + 2 y - ;r = 0 ; 2 x - 6y+ 3;r = 0 ; d) y = x - 1 ; y = l - x ; e ) 2 x + y -3 = 0 ; x - 2y +1 = 0 para el punto (1; 1); 2x - y + 3 = 0 ; x + 2y -1 = 0 para el punto (-1 ; 1). 69. 7 x - lOy + 6 = 0, lOx + 7 y -3 4 = 0 . 70. y = 0; (^ + 4)x + ( ^ - 4 ) y - ^ ^ = 0. 71. 5x + 6y -1 3 = 0, 6x - 5y + 21 = 0 . 72. x + y - 2 = 0 . 73. En el punto (1; 0): y = 2 x - 2 ; y = ; en el punto (2 ; 0): y = - x + 2 ; y = x - 2 ;enel punto (3 ; 0): y = 2x - 6 ; y = . 74. 14x - 13y +12 = 0 ; 13x + 14y - 41 = 0 . 75. Indicación. La ecuación de la tangente es 2xo"+ 2yo"= ^ * ôr consiSuiente, esta tangente corta al eje OX en el punto A (2x 0 ,0) y al eje O Yen el punto B(0,2y0 ). Buscando el punto medio del segmento AB, hallamos el punto (x0,yo ) • 78. 40°36'. 79. En el punto (0 ; 0) las parábolas son tangentes entre sí; en el punto ( 1 ; 1) se cortan bajo ángulo de arctgy » 8° 8 ' . 82. St = Sn = 2; t = n = 2^2 . 83. ^ . 87. T = 2asen^- tg-1 ; N = 2asenj¡ ; = 2asen2 tg-L ; S n = asent. 88. arctg-^ .89. -f + 2^ . 90. S ¿ = 4;r2a ; Sn = a ; í = 2 na V l + 4 ^-2 ; n = aV l + 4;r 2 ; tg// = 2 n . 91. S t = a ; S = ; í = Ja 2 + 0o v Po /2 2* n = — Jo + Po í tg// = -o . 92.3 cm/seg; 0; - 9 cm/seg . 93.15 cm/seg. 94. - ~ m/seg . 95. La ecuación de la trayectoria es y = xtg a z

;

„ 3 .x 2 . El alcance

2üq eos a

es igual a v
, indicación: Para determinar la

trayectoria hay que eliminar el parámetro t del sistema dado. El alcance es la abscisa del punto A (Fig. 4). Las proyecciones de la velocidad sobre los ejes: ~ magnitud de la velocidad es ^(^rj + [ w )

y

La

’ el vector de 13 velocidad está dirigido

por la tangente a la trayectoria. 96. Decrece con una velocidad de 0,4.97. ( f . f ) • 98. La diagonal crece con una velocidad de - 3 , 8 cm/seg, el área con una velocidad

PROBLEMAS PROPUESTOS______________________________ .

.

de 40 cm2/seg. 99. El área de la superficie crece con una velocidad de 0,2?r m /seg, el volumen, con una velocidad de 0,05;r m /seg . 100. ycm/seg. 101. La masa total de la barra es de 360g, la densidad en el punto M es igual a 5xg/cm , la densidad en el punto A es igual a cero, la densidad en el punto B es de 60 g/cm. 102. 56x + 210x . 103. e*2 (4x 2 + 2). 104. 2cos2x . 105. 2(1~-~j, . 106. — . 107. 2 arctg x + - ^ , 3(1 + x )

,/(a 2 + x 2 )3

1 + ^3

108. —2— + 2xar?e3n;o ■109. -ch-^. 114. y "' = 6 . 115. /"'(3) = 4320. 116. yV =l - x 2

( l - x 2 ) 3/ 2

“

y

'

v

/

..................

(x + 1 )5 '

117. i>VI —-64sen2x . 119. 0; 1; 2; 2. 120. La velocidad v = 5 ; 4,997; 4,7. La aceleración a = 0 ; -0 ,006 ; -0,06 . 121. La ley del movimiento del punto M 1 es x = a eoscot; la velocidad en el momento t es igual a -acó senú)t; la aceleración en el momento t: - am2eos coi. La velocidad inicial es igual a 0; la aceleración inicial: - acó2 ; la velocidad cuando x = 0 : ±aa) ; la aceleración cuándo x = 0 : 0. El valor máximo de la magnitud absoluta de la velocidad: acó . El valor máximo de la magni tud absoluta de la aceleración: acó2. 122. =n\an . 123.a) n !(l-x )^ n+1^, b) (_ i)n+11‘ 3:„:.d2n.z.3^. 124. a) sen(x + n -|) ; b) 2n cos( 2x + n -|-); c) (-3)ne“ 3x ; 2n *xn"3

d) ' ( - l) ” " 1!(l +^x) ^ ) (l(~+1x)n )n^+1 ;f) ( l - x2) n!n+f ; 9) 2 n~1senl” 2x + (n- 1)4-1; n+1 * L 2J h) ( - ir(ax- M+ b)nn - W e

i 25 a) x . e x + nex ; x 2 + 2 n ( - l ) " ~ 1 x + ü < ÍLd i(-l)n- 2 ]

b) 2 " ~ 1 ~2x [ 2 ( - l )n

;

c) ( l - x 2) x cos(x + -^1 - 2nx cos(x + -n(n - l)cos(x + (-l )n_1•1.3--..(2n-3) r ,0 . (-l)n6(n-4)! , _„ d) z+T [v ~ (2n - ’ e) cuando n > 4. 2nx~ 2~ n-3

;

M oisés Lázaro C.

136. - 6e3'( l + 3í + í2).137. rnntm . 138. 140. - 4 - 141. — f j . 142. aV

y3

146. a) i ; b)

dy2

[f'(x)]3

dy3

=

[ /'( x )]5

143. É x = ^ L ^ ; s¿f = X . 144.

y5

dx2

(1 - y )2

dy 2

y2

256

145.

16

.

y5

GRUPO 03. FUNCIONES EXPONENCIALES.

En los ejercicios de este párrafo x, y, z, t, u, u, s son variables independientes, a, b, c, d, m, n, p, q son constantes. 01. Derivar la función: 2) x 4 - i x 3 + 2,5x 2 -0 ,3 x + 0 ,l; 1) 3x 2 - 5 x + l ; 3) ax 2 +bx + c ; 6) q

\

0,8 mx2 t n x V x p V x

r: + Vi 3rVi

.

v »

10) 0, lt 3 _ A 2 + | £ 13) i tr\

1 5 >

5) 2 V ^ -1 + V 3 ;

4) \¡x +V% ;

(u + 1 ) ax

3

(u - 1 ) ;

+ bz

(o +

;

2

+c

b)x

:

9) 11)

mz + nz + 4p p + q

’

(x -0 ,5 ) ;

12)

V x (x 3 - V x + 1);

14) 0 ,5 -3 (a - x )¿ 16) ( muP+ n\v /

02.

/(x) = 3 x - 2 Hallar: / ( l) ; /'(l); /(4 ); /'(4); /(a2); /'(a2). 03. f(t) = Í ^ l . Hallar: /( - l) ; / ' ( - l ) ; /'(2 ); / '( ¿ ) .

04. /(x) = 2z

2

- 3z + Vi ^ 1

05. /(x) = 4 - 5 x + 2x - x .Mostrar que /'(a) = /'(-a ). En los ejercicios 06 - 24 derivar las funciones que se indican: 06.1) y = (x 2 - 3 x + 3)(x 2 + 2 x - l ) ; 2) y = (x3 - 3x + 2)(x4 + x 2 - 1) ; 3) y = ( ^ + l ) ( ¿ - l ) ;

4>


5)

y = ( ^ + 2 x )(l + \/xi ’ + 3 x); 7) y = (1 + ^ ) ( 1 + V 2 x )(l + V 3x)X

+ 1

x

— 1

6)

y = (x 2 - l) ( x 2 -4 )(x 2 -9 );

X 0 8 . *

y

0 9 .

-

s

3 f 2 + 1 —

t-

x 2 + 1

v3 -2 v V2 + V + 1

+ b ex + d a x

1 1 .

y

-

1 - x

u5

1 4 .

v3 - 2 '

y

1 2 .

3 1 5 .

=

1 - x 1 7 .

y

* 2 +

t) —

y

2 0 . t

+ 6

3 1 8 .

=

-

2 x 4 b 2 - x

a x

3 (1 -

y

’

2 3 .

x 2 ) ( l -

y

2 x 3 ) ’

+

2 1 . 2

•7 —

1 U 1

r

i

1) —

y

x

+x -

‘

1

-

x 3 + l

b x 2 2 4 .

+

( x 2

1 , ( 1

t2 + 1 + 1

’

a ,¡m

i

2 x 3 -

•

1

1

-

"

o

t2 - 3

*

3 ( x 2 - 1 )

1 + x 3

v2 - v + 1 a2 - 3

¿7t ——

1

b m 2

a 2 b 2 c 2

—

i ) y -

(x -

a )(x -

b ) (x -

c)

25. /(x) = (x 2 + x + l)(x 2 - x +1); hallar /'(O) y /'(1). 26. F(x) = ( x - l) ( x - 2 ) ( x - 3); hallar F'(0); F'(l) y F f(2). 27. F(x) = x + ¿ + -Xg^ +L1 ; hallar F'( 0) y F '( - l) . 28. s(t)=

5^7 + ^ ;

hallar s'(0) y s'(2) .

29. y(x) = (l + x 3) |5 - - ^ - j; hallar y'(l) y y'(a). 30. p( 31. p(z) =

; hallar
32. z(t) = (Vi3" + l ) i ; hallar z'(0). En los ejercicios 33 - 48 derivar las funciones que se indican. 33. 1) (x - a)(x - b)(x - c)(x - d );

5) ( 1 - x 2)10 ;

2) (x2 + 1)4 ;

6) (5x3 + x 2 ~4)5 :

12\ u ^ ( 2 x 3 + 3 x 2 ^ 6 x + l)4 .

3) {1 - x)20;

7) (x 3 - x )6 ;

4) (1 + 2 x f °

8) (7x2 - U ó f

M oisés Lázaro C.

34. v =(ss++4)¿ 3 37. y 1- x/Ix 1+ %/2x ' « • “ =(* )• 4 !^ - Í t 5

39. y = (1 - 2x■ 2t \4

41. y =(x 2 2- x 2+---ó-. l)2

42. y:

44. y =

45. y =yjl-X

\Jx2 + c

47. u = u-^/g2+u2

4^‘ V = 3v7=2* T- 1 + 4/ 25+2>3 • 50. y(x) = .J-^y ; hallar y'(2) .

+

1 + X

J l- x 4 -x 8

46. y =

36. y = 11 +yV¡ 2xx

35. s = - t - 5-. (1- í )2 38. y = V l - x 2 .

49. u(ü) = (o + o + 2 )2 ; hallar u'( 1). 51. y(x) = l-1 +xx 2¿ ; hallar y'(0) . FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

En los ejercicios 52-81 derivar las funciones que se indican. 52.

y = senx + cosx.

53.

55.

p = ^sen^ + cos^.

56.

^

-— • 1- cosx

y = t—

61.

u - senx x+cosx V - itg V

62.

sena ^ a a sena x senx ^ ~ 1+tgx i 4x . y = cosx--^cos

64.

y = ^tg 3x - tg x - fx .

65.

58.

67.

y = sen3x. . x +1

70. y = t e —

•

73. y = sen (sen x ) . 76. y = sen>/l + x 2 . 79.

y = ^ l + tg(x + ¿ ).

54. 57.

tgx ^ X • r* — sení 1+eost y = —

60.

y = eos2 x .

63.

y = 3sen 2x -s e n 3x .

y = xsec 2 x - tgx .

66.

y = sec 2 x 4-cosec2x

68.

y = a cos-|.

69.

y = 3sen(3x + 5).

71.

y =
72. yy = sen— X.

74.

y = eos3 4x .

75. y = V

59.

77. y = ctQ>Jl + x 2 . 1-Vx 80. y = eos 2-----i—. l +Vx

t s f

•

y = (1 + sen2x )4 . 9 81. y = sen (cos3x). 78.


82. Deducir las fórmulas: (sennxcosnx)' = n senn - 1xcos(n + l)x ; (sennx sen nx)' = n sen n~1x sen (n + l)x ; (cosn sennx)' = n eos n “1x cos(n + l) x ; (cosn x cosnx)' = -n cosn_1 x sen(n + l)x . FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

En los ejercicios 83 - 572 derivar las funciones que se indican. 83. y = xarcsenx. 86.

84. y = -

y = xarcsenx + v x - 1 2 . 87. y = — —

o“. *y —----------. co

85. y: =(aresen x )2 .

_

90. y = *Jx • arctg x . 93. y = — _ arctg x . 1+x 96. y = aresen (x -1 ).

árceos x X

92. y = aresen x . 95. y =

88.

arctg x

98. y = arctg x 2 .

99. y* = aresen—.

101.

102.

X

y = arctg2 .

103. y = árceos 1 ftC y = aresen—Sí 105.

•

sen a s e n x

107. y = arctg (x -

y ==xsen x arctg x .

91. y - (árceos x - aresen x)n 94. y = 177' 2x -~l . 97. y = árceos—j & aresenx

100.

y = aresen (sen x ).

y = ^ l- ( árceos x )2 .

104. y = ~ yjaresen yfx* + 2x . 106. y = árceos a + o cosx 1

+ bcosx

y jl + x 2 ) .

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

En los ejercicios 108 -132 derivar las funciones 108. y = x2 log3

109. y = ln2 x .

xlnx.

111. y = yjín x .

112. yy =log2x £ = !-.

x senx lnx.

“ 4-S' = +

-

111 y = M .

1 - lnx l + tax *

____________ M oisés Lázaro

118. y = x n ln x . 120.

123. 126. 129. 131.

121. y = ln(x 2 - 4 x ) . y = ln ( l- 2x). y = log3(x 2 -1 ). 124. y = lntgx . y = ln 4 senx . 127. y = arctg [ln(ax + b) y = log2[log 3(log5 x)]. y = arcsen2[ln(a 3 + x 3 )]

119. y = V l + ln2 x . 122.

125. 128. 130. 132.

y = lnsenx . y = ln árceos 2x . y = (1+ lnsenxf1. y = ln arctg V l + x 2 . y = ^lnsen-^p^.

FUNCIONES EXPONENCIALES

En los ejercicios 133 - 168 derivas las funciones que se indican. 133. y = 2 X . 134. y = 2 X . 135. y = — . 3X 136. y = 139. y = _et ■ 142. ^ = s eenx x 145. y = x 3 - 3 X . +ex 148. 1l------7 -e 151. y = x e x ( e o s x + senx). 154. y = e vJx + 1 157. v = asm3x. 160. y = é ^ x . _ eJ\n(ax2 + bx + c) 163. y — X2o 2 166. y = x e 02 . 168. y =

axx a .

137. y = x •10x . 140. y = x 3 e+x2* ■

138. y = xe x . 141. y = ex eos x . X

cosx 143. y = — • 146. y = 7 l + ex . l - 10x 149. y = ---------- ■ l + 10x

144. y = 2 hx .

152. 155. 158. 161.

153. 156. 159. 162.

y = e ~x . y = sen(2x ) . y -e y = sen(ex +3x " 2). _

a rcse n 2x

147. y = (x 2 - 2x + 3)ex 150. y =

1 + x2

y = 103x 3. y = 3senx . y = 23\ y = 101_ ser*43x .

164. y = lnsen^/arctge3x . 165. y = ae - b 2x 2 . 167. y = Ae

xsen( í»x + or).

PROBLEMAS PROPUESTOS______________________________ (

.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

En los ejercicios 169 - 184 derivar las funciones que se indican. 169. y = sh3x . 172. y = t h ( l- x 2 ). 175. y = ^/chx.

170. y = lnchx. 173. y = sh2x + ch2x . 176. y = e ch2x.

171. y = arctg(th x ) . 174. y = ch(shx). 177. y = th (ln x).

178. y = x s h x -c h x .

179. y = ^/(l + th 2x )3 .

180. y = ¿ t h f - i t h 3f .

18l . y

182.

y

=

4/ l ± |

Í.

y = l th x + # l n ± ± # ^ 2

8

1-V2thx

183. y = -^ch2x + \/xsh 2x . 184. y = x 2 e3xcosechx. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

En los ejercicios 185 - 201 derivar las funciones que se indican aplicando la regla de derivación logarítmica. 185. y = x x\ 188. y = (lnx)x . 191. y = (x ( x2- 5 ) 3 )

2

186. y = x x*. 189. y = (x + l ) 2/x.

187. y = (senxcosx) . 190. y = x 3ex sen2x.

192. yy = x lnx.

193. yy = (x +1)3^ *~ L

194. y = JVx s e n x 'J l-e * .

195. y =

197. y = x senx.

198. y = ( Tf ^ ) X .

200.

201•

*

y

y = (x 2 + i) senx .

*

^ 1 + arcsenx

.

196. y = x * . *

199. y = 2x’'/x .

y=

FUNCIONES DIVERSAS En los ejercicios 202 - 305 derivar las funciones que se indican. 202. y = (l + ^x)3 .

203. y = atg(f + b).

204. y = -^1 + ^ 2 p x .

205. y = a rc tg (x 2 - 3 x + 2 ) .

M oisés Lázaro C.

o

2 0 6 .

y

2 0 8 .

y

2 1 0 .

y

2 1 2 .

y

l g

:

5

( x - c

t g

|

o

+

s

y5^

3

y

f .

2 0 9 .

y = ^/x+Vx

211.

y

=

s e n

2 1 3 .

y

=

e

y

=

a r c t S

: s e n - | s e n 2 x

=

2

2 0 7 .

t g

.

8.

=

óeos

x ) .

■+-Ü

x

x

ao

x

y

:

2 1 6 .

y

=

2 1 8 .

y

:

2 2 0 .

y

=

s e n

- § - c t g - | .

2 2 2 .

y

=

l n ( x

+

2 2 4 .

y

=

-y/l +

t g 2 x

2 2 6 .

y

=

I * a r c t g

x

2 2 8 .

y

=

a r e s e n

yfseñx .

2 3 0 .

y

=

x

2 3 2 .

y

=

^

2 3 4 .

y

=

2 3 6 .

2 1 5 .

2 1 7 .

2 1 9 .

221

x

.

l n x

.

X + l 7

n

■

cos2 x

^ _

l- x z

e o s

• e

,

2 1 4 .

-

tg f +ctgf

y

.

^4x5+2

2 2 3 .

y

=

x a r c t g V x

.

2 2 5 .

y

=

e o s 2 x l n x

.

2 2 7 .

y

=

a r e s e n ( n s e n x ) .

2 2 9 .

y

=

- i - s e n 6 3 x

2 3 1 .

y

=

e o s

2 3 3 .

á r c e o s

s e n

2 3 5 .

y

=

l o g 3 ( x

y

arc,3 ^ ■

2 3 7 .

y

=

l n -

2 3 8 .

y

x

2 3 9 .

y

=

t g

2 4 0 .

y

= c o s x > / l

2 4 1 .

y

=

0 , 4

2 4 2 .

y

: X •1 0 ^

¿

> / a 2

+

+

x

t g 4

J

+

2

4

) .

x

.

1- x"

a r c t g

—

^

-

-—

s e n 8 3

x

.

0 , 8

x

aresenx - >

x

+

/

l - x

^ / x

a r e s e n

2

+

a r e s e n x

V

( l n

+

x

.

x ) .

s e n 2 x

.

.

.

y

V

i

: : l n a r c t g

■

yjl +

x - \ / x

x

.

- s

e

2 4 5 .

y

| c o s

2 * ^ —

tg2 2 x =

+

3

.

n

x

) .

1-ex 1+ex

l n

X +

246. y

- 3

•

2 4 3 .

^ 2 4 4 .

^ —

247. y = x ‘ !x /l

tJ x

2

- 1

+ Vx .

-

s e n

j


248. y =

249. y = x 3arctgx3 . yjl + sen2x

251. y = arcsen x + i 253. y = e .ln x

senx 250. y = lnlncosx oto _ arcsen4x L3L V ~ 1 - 4x '

254. y = ln 1 e-** .

255. y = 10*tgx .

256. y = sen2x * senx2.

257. y:

2 cosx ■ v/ c o s 2 x

259. y = ^ a r c t g x . 260. y = 2 lnx 262. y

261. y = ^/(a - x)(x - b) - (a - fa)arctg 263. y = e '

sen3x

2 sen xcosx

264. y = va 2 -

*2 -

aarccos —. a

265. y = Vx2 +1 -

+

+

n/>/> sen x 2x 266. yy = i— 7— + .1eos 7 - . l + ctgx + tgx

267’. y = \n(x + \lx 2 - 1 )-

268. y = eax(asenx-cosx). 270. y = ■ e -2x *

269. y = xe 271. y = ex (sen3x-3cos3x).

arctg

1 - eos X

272. y = 3x3arcsenx + (x 2 + 2 )> /l-x 2 . 273. y = 1 1 . Vl +e“Vx 274. y = 2 a r c sV6e n + 4x - x 2 . 275. y = ln(ex cosx + e_xsenx).

j.

M oisés Lázaro C.

283. y = lntg|---ctgxln(l + senx)-x. 284. y = 21rs(2x-3Vl-4x2 )-6arcsen2x. 285. y = —

+ lnVl + x2 + arctgx.

288. y = -|(3 - x ) 4 l -

2x - x 2 + 2arcsenf¿.-.

287. y = ln (x s e n x '\/l-x z

).

i

2 9 3

.

y

x 2 -a r c t g x + - k n x + l

vx

.

290. y = 5J ( l + x e ^ )3 .

(x + l ) 5

nni

•"

288. y = x>/l + x 2 senx

289. y = ^ 2< ^ 4 , 291. y=^=e

-

2

.

y = x£W gx _

292. y =

V

v—+----- 5—+f in ------

sen x 4cos

3sen x

x

8cos

x

1 + tg f

°

1 - tg f

294. y = l 1- xl>e^.:.1°” y..

ln x

(árceos x)

295. y = xyj{x2 +a 2)3 + ¿ |W x 2 +a 2+ ^ £ ln (x W x 2 +a 2 ). 296. y = x(aresenx )2 - 2x + 2V i - x 2aresenx . 297. y = lncos arctg e ~e— . 298. y = —-j==-arctg|emx ^ j . 299. y = jrln -p X +1— ln 4= arctg- v i -1 . 3 , / * - * +! V3 3 V3

300. y = ln^^ x ^l x +2arctg /t +- XX 31 + ^

301. y = (tg 2 x f9^ .

302. y = 3Í

x~5 ^/x 2 + 4

303. y = ln 4xiL ± £ ± l + l a r c tg ^ i + arctg 2- X 304. y = árceosX 305. y =

^ + ^1 2 ln 1 -(12x+2x )2 + ^ a r c t g ^ i . + 4x 6 a ^3

l + 8x°

306. Demostrar que la función y = lny~ r satisface la relación xy' +1 = ev . 307. Demostrar que la función y = 2¿ + -i-xVx^~+~1 +1n^jx + yjx 2 +1 satisface la rela ción 2y = xy' +■ln y '. 308. Demostrar que la función y = x satisface la relación (1 - x 2)y' - xy = 1. >/i-x 2


309. Calcular las sumas:

a) 1 + 2x + 3x 2 + ... + n x n 1 b) 2 + 2 •3x + 3 * 4 x 2 +... + n(n - l ) x n“ 2 .

FUNCIONES INVERSAS

310. Supongamos que la regla para derivar la función potencial fue establecida sólo para un exponente entero positivo. Deducir la fórmula para derivar la raíz, expli cando la regla para derivar la función inversa. 311. x = earcseny ; hallar la expresión para ^ mediante y, mediante x. 312. t = 2 - 3s + s3 ; expresar ^ mediante s. 313. u = j l n y” " ; comprobar la relación

^ = 1.

314. Teniendo en cuenta que las funciones arcsenVx y sen2x son recíprocamente inversas y que (sen2x)' = sen2x , hallar (arcsenVx)'. 315. Designemos la función, inversa a la función potencial exponencial y = xx , por el símbolo a{x) , es decir, supongamos que de y = xx se deduce x = a{y) .Hallar la fórmula para la derivada de la función y = a(x). 316. Las funciones que son inversas a las funciones hiperbólicas son designadas por los símbolos Arshx , Archx, Arthx . Hallar las derivadas de estas funciones. 317. s = te- í ; hallar 1_

.

4

318. y = y ~~^4 • Expresar dy dx

mediante x, mediante y. Mostrar que es válida la relación

dx _ i dy ~

319. x = y 3 - 4y +1. Hallar

.

320. t = arcsen 2S. Hallar la expresión para

ds

mediante s, mediante t.

321. Comprobar la validez de la relación ^ •-^ - = l, s ix e y s e relacionan por medio de la dependencia. 1) y = x 2 +ax + b ; 2) y = x~n ; 3) y = ln(x 2 - l ) .

___________________________________ M oisés Lázaro C.

FUNCIONES DADAS EN FORMA IMPLICITA

322. Aplicando la derivación mostrar que las derivadas de los dos miembros de igualdad sen2x = 1 - eos2 x son idénticamente iguales entre sí. 323-Aplicando la derivación mostrar que las derivadas de los dos miembros de igualdad

eos x

* + cos^ 2- * - " ^ + = tg x son idénticas entre sí. JL■+■senx

324 ¿A qué es igual al coeficiente angular de la tangente a la elipse

==1 er

325. ¿A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a la hipérbola xy = a (a = 0) en el punto (a,1) ? 326. ¿A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a la circunferencia (x -1 )2 +(y +3 )2 =17 en el punto (2,1)? En los ejercicios 327 - 347 hallar las derivadas de las funciones y dadas en forma implícita. i i i 327. ^ + ¿^ = 1 . x 2 + y 2 = a2 . 328. a2 b2 o o 329. x 3 + y 3 -3 a x y = 0 . 330. y cosx = a sen3x . 331. y 3 - 3y + 2ax = 0 . 332. y 2 - 2xy + b2 = 0 . 333. x 4 + y 4 = x 2y 2 . 334. x 3 + ax2y + bxy2 + y 3 = 0 . 335. sen (xy ) + eos (xy ) = tg (x + y ). 336. 2X + 2 V = 2 x +y . 337. 2ylny = x . 338. x - y = arcsen x - arcsen y . 339. x* = yx . 340. y = cos(x + y ). 1 1 2

342. x 3 + y 3 = a 3 . 344. x sen y - eos y + eos 2y = 0 .

341. cos(xy) = x . 343. y = 1 + xey . »•

>

s

f

■

346. y sen x - cos(x - y) = 0 .

347. y = x + arctg y . 348. Mostrar que la función y definida por la ecuación xy - lny = 1 , satisface también la re la ción y 2 + (x y - 1 ) - ^ - = 0 .



349. En la parábola y = x se han marcado dos puntos cuyas abscisas son = 1, x 2 = 3 . Por estos puntos pasa la secante. ¿En qué punto de la parábola la tangen te a está es paralela a la secante trazada? 350. Una cuerda está trazada de manera que pasa por el foco de la parábola y es per pendicular al je de ésta. Por los puntos de intersección de la cuerda y la parábola pasan tangentes. Demostrar que estas se cortan en ángulo recto. 351. Escribir la ecuación de la tangente y de la normal a la hipérbola y = 1/x en el punto cuya abscisa es x = -1/2 . Hallar la subtangente y la subnormal. 352. Mostrar que el segmento de la tangente a la hipérbola y = comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de contac to. 353. Mostrar que respecto a la hipérbola xy = a el área del triángulo formado por cualquier tangente y los ejes de coordenadas es igual al cuadrado del semieje de la hipérbola. 354. Un punto móvil se desplaza sobre una recta de modo que su distancia s del punto inicial al cabo de t s es igual s = - 4 13 + 1612 . a) ¿En qué momento se encontró en el punto inicial el punto referido? b) ¿En qué momentos fue igual a cero su velocidad? 355. Un cuerpo cuya masa es de 5kg efectúa movimiento rectilíneo de acuerdo con la ley s = l + t + t 2 , s viene expresada en centímetros, t, en segundos. Determinar la energía cinética del cuerpo al cabo de 5 s al iniciar el movimiento. 356. El ángulo a de giro de una polea en función del tiempo t viene expresado por la función a = t 2 + 3í - 5 . Hallar la velocidad angular para t - 5s . 357. Una rueda gira de modo que el ángulo de giro es proporcional al cuadrado de tiempo. La primera vuelta ha sido realizada en 8 s. Hallar la velocidad angular co al cabo de 32 s al comenzar el movimiento. 358. El ángulo 6, que se forma al dar una vuelta una rueda, al cabo de t segundos, es igual a 6 - at 2 - b t + c, donde a, b, c son constantes positivas. Hallar la velocidad angular co de la rotación de la rueda. ¿En qué momento es igual a cero de la velo cidad angular? 359. La cantidad de electricidad que pasa por un conductor a partir del momento de tiempo í = 0, se calcula con la fórmula siguiente Q = 2t + 3£ + l (colombios). Hallar la intensidad de corriente al final del quinto segundo. O

o

M oisés Lázaro C.

0 o

Q

360. En la línea y - x (x - 2) hallar los puntos en los cuales las tangentes sean parale las al eje de abscisas. 361. Mostrar que la línea y = x 5 + 5x -12 en todos sus puntos está inclinada hacia el eje Ox, formándose entre ellos un ángulo agudo. 362. ¿En qué puntos de la línea y = x 3 + x - 2 la tangente a ella es paralela a la recta y = 4 x - l? 363. Formar las ecuaciones de las tangentes a la línea y = x - en los puntos de su intersección con el eje de abscisas. 364. Formar la ecuación de la tangente a la línea y = x 3 + 3x 2 - 5, perpendicular a la recta 2x - 6y +1 = 0 . En los ejercicios 365 - 368 formar las ecuaciones de la tangente y de la normal a las líneas que se indican. 365. y = senx en el punto M (x 0,yg). 366. y = lnx en el punto M (x 0,y0). 367. y = —I 3— 5- en el punto cuya abscisa es x = 2a . 4cT + xz 3 368. y 2 = 2~¿~(cisoide) en el punto M (x 0,y0).

369. Mostrar que la subtangente a una parábola de n-ésimo orden y = x n es igual a ~ parte de la abscisa del punto de contacto. Indicar el modo de construir la tangente a la línea y = x n . 370. Hallar las subtangentes y las subnormales a la línea y = x , y = x , x y = 1. Indicar el modo de construir las tangentes a las líneas indicadas. 371. Formas las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola x = 4ay en su punto (x 0,y0) . Mostrar que la tangente en el punto cuya abscisa es x 0 = 2am tie ne la siguiente ecuación y = + am . O

O

Q

O

o

372. La cuerda de la parábola y = x2 - 2x + 5 une los puntos cuyas abscisas x 2 = 3 . Formar la ecuación de la tangente ala parábola paralela a

373. Formar la ecuación de la normal a la línea y = -—

en el punto cuya ’


374. Formar la ecuación de. la Oormal a la línea y = --
y la parábola

y = x2 - 4x + 5 están trazadas las normales a la parábola. Hallar el área del trián gulo engendrado por las normales y la cuerda que subtiende los referidos puntos

378. Mostrar que las tangentes a la hipérbola y = g- en los puntos de su intersección con los ejes de coordenadas son paralelas entre sí. 379. Trazar la tangente a la hipérbola y de modo que atraviese el origen de coordenadas. 380. En la línea y = —W hallar el punto en el cual la tangente sea paralela al eje de 1+X abscisas. 381. Hallar la ecuación de la tangente a la línea x (x + y) = a (x -y ) en el origen de coordenadas. 382. Demostrar que las tangentes a la línea y = 13++3x2 s- trazadas en los puntos en los x o

O

cuales y = 1 , se cortan en el origen de coordenadas. 383. Trazar la normal a la línea y = xln x que sea paralela a la recta 2x - 2y + 3 = 0 . 384. Hallar la distancia que media entre el origen de coordenadas y la normal a la línea y = e2x + x 2 , trazadas en el punto x = 0 . 385. Construir la gráfica de la función y = sen(2x - tt/3) y hallar el punto de intersec ción de las tangentes a la gráfica, trazadas en los puntos cuyas abscisas son x^ = G y x 2 = 5^r/12 . 386. Mostrar que la subtangente a la línea y = ae (donde a y b son constantes) tiene longitud constante en todos los puntos. 387. Mostrar que la subnormal a la línea y = xln(cx) (donde c es cualquier constante) en cualquier punto de la línea referida es la cuarta proporcional a la abscisa, a la ordenada y a la suma de la abscisa y de la ordenada del punto referido.

388. Mostrar que cualquier tangente a la línea y = y \ x - 4 x 2 se corta con el eje de ordenadas en un punto equidistante entre el punto de contacto y el origen de co ordenadas. 389. Mostrar que la tangente a la elipse ^ + ^5- = 1 en el punto M (x 0,y 0) tiene la siguíente ecuación

a2

b2

2

2

cr

b¿

■= 1 .

390. Mostrar que la tangente a la hipérbola

2

2

b¿

= 1 en el punto M (x 0,y0) tiene la

siguiente ecuación a - ybp = 1. 391. Demostrar que la normal a la elipse en cualquier punto que le pertenezca divide en dos el ángulo entre los radios focales de este punto (véase la fig. 6). Deducir el procedimiento para construir la tangente y la normal a la elipse.

392. Formar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola pendiculares a la recta 2x + 4y - 3 = 0.

2

2

- -y- = 1 que sean per

393. Una recta pasa por el origen de coordenadas y es paralela a la tangente trazada a una curva en un punto cualquiera M de la misma. Hallar el lugar geométrico P de los puntos de intersección de la recta referida con una teda que sea paralela al eje de ordenadas y que pase por el punto M. Hallar tales lugares geométricos para: a) La parábola y2 * 2 p x , c) La circunferencia x2 + y2 = a2 , d) La directriz y = Va^'-'x2 - alna

b) La logarítmica y ^ log^ x ,

,


En los ejercicios 394 - 399 hallar los ángulos que se forman al cortarse las líneas que se indican. 394. 1) y = e y = — ' **•— ; 2) y = ( x - 2 )2 e y = 4x - x 2 + 4 . 395. 1 ) x 2 + y 2=8 e y 2 = 2x ; 396. x 2 - y 2 = 5 y fg- + V = 1 397. x 2 + y 2 = 8ax e y 2 = 2gx_y .

2) x 2 + y 2 - 4 x = l y x 2 +y 2 +2y = 9.

398. x 2 = 4ay e y = —S q3 .> . x 2 + 4a 2 399. y = senx e y = cosx (0 < x < ;r). 400. Formar la ecuación de la tangente y de la normal a la línea =2 en el punto cuya abscisa es a. 401. Demostrar que la suma de los segmentos formados en los ejes de coordenadas por i i I la tangente a la curva x 2 + y 2 - a 2esigual a a para todos sus puntos. 2

2

2

402. Mostrar que el segmento de la tangente a la astroide x 3+ y 3 = a 3 limitado por los ejes de coordenadas tiene longitud constante e igual a a. 403. Demostrar que el segmento de la tangente a la tractriz y = -|ln a + -sia 2 - x 2 limitado por los ejes de ordenadas y el punto de a - yja2 - x 2

contacto, tiene longitud constante. 404. Mostrar que para cualquier punto M (x 0,y0) de la hipérbola equilátera x 2 - y 2 = a2 el segmento de la normal desde el punto M hasta el punto de inter sección con el eje de abscisas es igual al radio polar del punto M. 405. Mostrar que el segmento cortado por el eje de abscisas por la tangente en un pun to cualquiera de la curva A? x + \y - 1 , es proporcional al cubo de la abscisa del punto de contacto. 406. Demostrar que la ordenada de cualquier punto de la línea 2x y - x A = c (donde c es una constante) es una media proporcional entre la abscisa y la subnormal tra zada a la línea en el mismo punto. 407. Dadas las elipses cr2 ¿r2 = l cuyo eje 2a es común, mientras que los ejes 2b son diferentes (Fig. 7), demostrar que las tangentes trazadas en los puntos cuyas absci sas son las mismas, se cortan en un mismo punto que pertenece al eje de abscisas. 9

9

Moisés Lázaro C. y

Valiéndose de ello, señalar un procedimiento sencillo para construir la tangente a la elipse. 408. Mostrar que la línea y = ehxsenmx toca cada una de las líneas y = ehx , y = - e hx en todos los puntos que son comunes para ellas. 409. Para construir la tangente a la catenaria y = a ch — se procede de la manera si guiente: en la ordenada MN del punto M, que sirve de diámetro, se traza una se micircunferencia (Fig. 8) y se marca la cuerda NP = a ; la recta MP será la tangen te buscada. Demostrarlo.


DERIVACION GRAFICA

410. Al pasar la corriente eléctrica por el devanado del electroimán de un motor ha sido medida la temperatura, lo cual ha dado los siguientes resultados: Tiempo t (en m in.)........... Temperatura 0 °C ............... Tiempo t (en m in.)............... Temperatura 0 °C ...............

5 10 15 20 26 32,5 41 30 35 40 45 52,5 54,5 56,5 58 0

20

46 50 59,5

25 49 55 61

Construir una gráfica aproximada de la dependencia continua de la temperatura en función del tiempo. Después de haber efectuado la derivación de la gráfica, construir la gráfica que muestre a qué velocidad varía la temperatura en función del tiempo. 0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14 s

411. La figura adjunta presenta la curva de la subida que efectúa la válvula de admisión del cilindro de una máquina de vapor (de baja presión). Construir la curva de ve locidad aplicando la derivación gráfica. RESPUESTAS GRUPO 03: 01.1)

6x

- 5 ; 2) 4 x 3 - x 2 + 5x -0 ,3 ; 3) 2ax + b ; 4) «2

32 V?

;5) -Vxf + - xV ;

______________________________ Moisés Lázaro C.

10)

3 + 7 , 2 8 r 2-4 - g ; 1 1 ) 2 x - l ; 1 2 ) 3 , 5 x 2 > / x - l + ¿

(q -

14) 6

x ) ; 15) 1 " + - ^ . - — ^

;

;

1 3 ) 3 o2 + 2 c -

16) 2 t í ~ i ü £ . B . / ( 1 ) - 1 : f ( l ) = 2 ;

'

/(4) = 8; f(4) = 2,5: /(a2)-3 a 2 -2|a|: f(a2) = 3 -^ .0 3 . /(-1) = -5 ; f (-l) = -f /'{2) = ||: /'(A) = 3a4 + 10a3 - a2. 04.13.06.1) 4x3 - 3x2 - 8x + 9; 7 x 6 - 1 0 x 4 + 8 x 3 - 1 2 x 2 + 4 x + 3 ; 3) - ^ ( l + 7 ) ;

2)

•5 ) 4 ) 1 _60_____________ - 4 8 \ / 2 7 x 2_____ 5 '

, 9 t 6^

9 a/x^ + lOx^/x + 3 6 x x/x2 _

- r ____________ J ’ ' 3CQ/ ?O* 33V ?

X3^

1 + 12*

6 ) 2 x ( 3 x 4 - 2 8 x 2 + 4 9 ) ; 7 ) 1 + V2 ! ,# +

+ 2^

+

+ 2 x^

(x - 1)

08. J - - 4 2, . 09. 3t2- 6t; 1 . 10. u4l .f u3 + 5,)2- 2 . 11 , (1 + x 2 )2 •

12.

‘

4x 3(x _ 3¿

jy

V*

( f - 1)2

’

((,2 + u + l )2

(u - 2)

jg

2t + l ’

’ (1 - x 2 )2 (1 - 2 x 3 )2 '

3 -2 1

jg

(í 2 + t + l ) 2 '

n,

(í 2 - 3 f +

a + 2bx ' m(a + bm) '

6)2

„.

(cx + d)2 ' £

¿

¿

15.

6 x2

4 x 3 (2b 2 - x 2 ) '

( b 2 - x 2 )2

_ 16- ^ z i .

(x3 - l )2

{x +1)

20 ’

ad~ bc

‘

+ 1 + 2 x _ 3 x 2 _13- 2 u V - 5 ) u _

-1 )

6 x (l + 3x - 5 x 3)

n

'

.

. 07.

2 Vx

2j '

a2 - 3

1 + 2x + 3 x 2 - 2 x 3 - x 4 ‘

.3,2

(1 + x'

a2b2c2 [(x ~ b)(x ~ c) + (x - c)(x - a) + (x - a)(x - b) ’

(x - a)2 (x - b) 2 ( x - c )2

'

F '(-l) = £ • 28. s'(O) = AL ; s'(2) = AZ. 29. y'(l) = 16; y'(a) = 15a2 + J r - 1 . 30. ¿'(2) -

^ |cn

25. /'(O) = O ; /'(l) = 6 . 26. F'(O) = 11; F'(l) = 2; F'(2) = -1 . 27. F'(O) = - A ; ; p'{0) = 1. 31. (p'{\) = -A ± i . 32. x'(O) = 1. 33.1) 4 x 3 - 3 x 2(a + b + c + +d) + 2x(ab + ac + ad + be + db + cd) —(abe + abd + acá + bed) ; 2) 8x(x 2 + 1)3 ; 3) -20(1- x ) 19; 4) 60(1+ 2x)29; 5) - 2 0 x ( l- x 2)9; 6) 5(15x2 +2x)(5x3 + x2 - 4 ) 4 7)

6(3x 2 - l)(x 3 - x )5 ; 8 ) 6 (l4 x + -^ )(7x 2 -

10)

: 11J 5(*2+t

r

f + ó )5 ; 9)

4 (3 í 2 + - A - ) ( t 3 - - A

y2)4 ‘ 12) 24(^ + x + X) x (2x3 + 3x2

+ 3 )3 ;

+6x+1)3 •


34. (s +2)(s* 4) .35. (3~tI-~ . 36. — 3) (s +

39.

(1-f)

_

_ 40_ ^

44

( 1 - U) m +

2x3 + 4x7

7
4

- x

— TrJ= 2y(x

54

2-v/x (1

2+

2^/(1 -

eos

x

-\/l - x 2

(x2 - x + l

4g

)3

x (x 2 + 2o2 )

(pcos
^ (a2 - x

y

2 )3

o +
4^

J(x 2 + a2 )3

)3

^

7 ¥

2

a2 J a 2 + v 2

3 ^ / ( 2 x - l )4

(1-CO SX

-i1—-—-. (aco sa-se na)í^ y-------------57. 2 \a

sen cr /

,-0 58.-----------= -------x----------. 59. (1-— — -------------l)2 1 2 (1

+ t g x ) ( s e n x + x c o s x ) - x s e n x sec 2 x

s e n x + c o s x + x ( s e n x - co sx )

33 7 Ü

. 51. 0. 52. eos x - sen x . 53. - - - >sx XSt!l2 >,c

^

x

■

. 4i. _ y 2* - 1* . 42. y = -¡— S— - . 43. — --2fi-----•.

. 49. u'(l) = 9. 50. y'(2) =

2 )7

x ~Sgnx*CQSX . 55. x

3 -x

4J

8 )3

-x

1

37- - 3 31y [ ^ { l 4+--,------ 38- - , x V 2x)2

+ y¡2x)

+ sen x

+ tgx

+ cost

. 60. -s e n 20 x . «A

61. tg xsec x . 62. -sen x . 63.¿|-sen2x(2 -sen x). 64. tg x . 65. 2 xeos — 3X— . 66. - 16c°s2x 67. 3cos3x 68. - fs 69. 9cos(3x +1 5 ). 70. 3 e- n“ -3-f.------— - 2cosL2- T COS— 9 71. yl—+2tgx*cos L. x— . 72. x . 73. cos(senx) •cosx . 74. -12cos 4xsen4x . 75.

.

1

, 7 6 . xc° s^ t ^ -7 7 . -------------- 2x V1 + x

4 y tg | .c o s |

79.

*

2 x 2 eos2 (x + í ) l /1 + t9(x + 7 )

83. arcsenx +

yl-x

87.

. 80.

senf 2 1

x

. 81. - 3 sen3xsen(2eos3x).

l(arccosx )2 y 1 - x 2

. 85.

yl-x

. 86. aresenx . 2

-.. 88. senx •arctgx + xcosx * arctgx + xsenx .

(aresenx)2 ^

1

4 (1 + sen2x) 2sen2x .

V x ( l + V x )¿

— . 84. 2

, .7 8 .

3sen 2 y l + x 2 ’ ^/(l + x 2 )2

- x2

t+x

gg _ x + arccosxVl-V ^ gQ £I£Í9£ + _V x^ 9 L 0 . 92. — ¡J----- . 9 3 .------x2 J l - x 2

94_ 7 7 7 +xarcsenx 7(1-X2)3

2^

l + x2

^ - g(. _ i _ _^ arct9X (l+ x )(arctgx) J2x - x 2

98. _2s_ . 99.-------. 100. |x|7x2 - 4

<1 + * >

xV ?Î

. 101. |cosx|

71 + 2 x - 2 x 2

. 102 l + x2

7 l “ X2 - 7l^(arccosx)2

M oisés Lázaro C.

0

103.

}

(l + x )V 2 x (l-x )

. 104. — ' ‘

■ - - X +1 . 105. sena V(1- 2x -x 2)(x2+2x) ' ' X' cosa cosx

106. a^°2 , fa2 . 107. — +L= -. 108. 2xlog J3 x + -p% . 109. —x .110. Í5lnl° í± I. + bcosx x2) 2(1

112. xlnx~x +1 i i 3_ senxlnx +xcosx lnx + senx . 114. xln x

116.

x

§— s-. 117. —x **(1

(1 + lnx)

K—. 115.

— . 124.

ív 2 iíin .^ 2 --l)ln 3

so n 2x son2x

2

i—.

x 7 lnx

.

1

x n+ 1

xln x

. 118. x n_1(n ln x +1). 119.

+ x )

121. 4 ^ - 122. ctgx . 123.(x x2 -4 x

111.

ln 3

■ lnx — . 120. - t A t .

x jl7 \n zx

1 -2 x

2--------125,------------árceos 2 x -y/l - x 4

2

1C 126. 41n3 senx •ctgx . 127.------------q —r>--------- . 128. n (l + lnsenx)nn_1ctgx {ax + b) + ln [ax + b)] [1

i?q ___________i___________ no * x lo g 5 x l o g 3 (log5 x )ln21n31n5 *

x_____

- ni

‘ a r d g ^ / Í T ? (2 + x 2 )

*

+ x 3 )] ,___________

6 x 2 arcsen[ln(a3

* (a3 + x 3 ) J l - ln2 (a3 + x 3 ) ’

, x +3 132. l 23|ln2senü±3 133. 2x ln2. 134. 10x ln l0 . 135. 3 136. ¿Tx( l- x ln 4 ) . 137. 10x (l + x ln l0 ) . 138. ex (1 + x). 139. ^ .1 4 0 . x (in - i ) + 3 x z - x e a 141. ex (c o s x -s e n x). 142. -sene*2x (sen x -c o s x ). 143. - senxe+c°-sx . 144. ■ — 2

145. 3x2 - 3 x ln3. 146.

2

3

lnx

2 lnx

. 147. ex (x2 +1). 148. 149, 2 .1 0X lnlO 2< fi77' ’ d -ex)2 ‘ * (l + 10|Xx):\2

150. 6(xlx+1) . 151. ex (cosx + senx + 2 xc osx). 152. -e x . 153. 2 •102x 3 lnlO . 154. -2J77T ^ L . 155. 2X ln2 •cos(2x) ln a . v ' . 156. 3senx cosx •ln3 . 157. 3sen2xcosx • 158.

. 159. 23x •3X ln2 •ln3 . 160. - s f x

^ l - 4 x2 ’

'

2

x ^ iñ x ’

161. cos(ex2+3x-2)ex2 +3x- 2(2x + 3). 162. -12 •101_sen43x lnlO •sen33xcos3x . 163.

(2y +fr)> (a*2+! r cL _ . 164. cts^ rctf (e3x).e3x ,. 165. -2ab2xe~

2 {ax2

+bx

+ c) -y/ln(ax 2 + 5x + c)

(1

2

+ e 6x)^¡[ arctg(e3 x ) ] 2

166. -4-xe fl2 (a2 - x 2). 167. A e_lc x [¿ycos(x + a )-/e 2sen(¿yx + a)]


(453

( f + h a ). 169. 3di**dix . 170. thx . 171. a f c . 17- . ,

> x(4 + V

185. x x2+1(21nx + l). 186. x xX‘ xX (ln2x + lnx + i ) . 187. (sen x)cosx ( c£^ x - sen x ln sen x ) . 188. (lnx)x ( ¿ + lnlnx j . senx 189. 2 x\j(x + l ) 2

1

ln(x + 1 )

. 190. x 2ex sen2x(3 4- 2x 2 + 2x ctg2x).

191. - 2(x~2)(x „Tllx+.1}. 192. 2x lnx~1lnx . 193 57x 2 -3 0 2 x + 361 (x +1)2fyc-2 3 ( x - 5 )4 ^/(x + l ) 3

194.

'

’

2 0 ( x - 2 ) ( x - 3 )

^ / ( x - 3 )2

( l . c g x - l . ^ ) . 195.

196. x x 2( l- ln x ) . 197. x senx (cosx lnx+ -^ jp ). 198. (tty /^ T + T + ln7+T) • 199.

2(2 + lnx).200.

201. -x-4 - t -6x!± l 3 x (l-x

205.

1 + (x

209.

)

-x + cosx ln(x2 +1) (x 2 + l)scnx -2-~ x^ + l

3 M |! ± |. 202. i l ^ l . 203. , (x -1 )

fk eos

. . 204. - , _ _

+ fa|

2^1 + J I p x JZpx

x -3 =2---------, . 206. (x. -1cosx) +se” xlnlO .207. 42 sen 2x (cos x - 2). 208. sec2f5 . - 3 x + 2)

i +2Vx 6j¡1¡[x + W

2¡o.

2sen-^cos2x+ -l-cos-§-sen2x . 211. eC0SX(cosx-sen 2x) 2 2 2

212.

x4,(7y6" 4°) -213. e_x2 (—- 2 x ln x ) . 214. ® Í£ p H (V x + 4 .f. 215.-----^ -. 3/(x6_8 )2 U ' W? \ V I/ l +x 2 216. 2x 2e2x +3 . 217. . 218. 11/ , •219. _ 2(x cosx +senx) eos 2x

220.

1+ x

x sen x

+x

l ctg f- ^ - 4 sen2fcosec2f . 221. -----! E ¿ ¿ iE = . 2 7x 5 ^/(4x5 + 2 ) 8 '

223. arctgVx + 2(^ y) •224.

tg x (l + 2 tg x) eos2 Xyjl + tg2x + tg 4x

222.

— 1—

' ^

. 225. ^ ^ -2 s e n 2 x ln x . 226.

l + x4 l + x6

M oisés Lázaro C.

x 227. i "£°S*— 229. sen5 3x eos3 ^3x . 230. x aresen 2 2 *. 228. , CMX-------. ? f= y l - n sen x 2 y s e n x -s e n x ^ 1 - x2

231. -ís e n —

- + — .232.

00jl ln x - 2 234. —X^—sen

2 (l_ ln x \ l V

x

1+2^

+4^ V ,JC+^

233.

8 >/x ^ x + V x y x + yjx + yfx

^ 1 -x 2

2 x -c o s x

235_

/

23g

2 ^ 3 x -9 x 2

i

_23I _

?J 2 * 2 < iJ l_- xv2

(x 2 - senx) ln3

238. aresen (lnx) + rr,:l

_

—==2==. x - ^ l - x 2 (x + ^ / l - x 2 )

. 239.---- — -..9 sec2 \ — — ]. 240, — 2s---—

1 + sen2x

241. -Q,8|cos —2+1 -sen0,8xj|sen —2+1 + 0,8cos0,8xj. 242. 10^* [ l + -^ ln lo J . 1 246._-=^- ¡— 2 . 243._____ 4___ 244. __________ 1________ .245. tg2x sen22x ' (x2 +2x +2) arctg-¡-U ‘ ‘ ^x2 -1 ' ’ 2^x +3 ^/(l +x^/x +3f 247. x<8 +9+> . 248.-----. sen2x . 249. 3x2arctg x 3 + - & L . 250. ctgxincosx +tgxinSenx _ 4^/1 +Vx 2^(1 +sen2x)3 1+* ln cosx X +

.

.

251.1. / n i . 252. — á _ [ O Z + aresen4x1. 253. — V1 + x

( l - 4 x ) + V 1 + 4x

J

_ 1_

xln x

. 254. - J — . e

-1

255. 10x ts x ln 10 (tg x + —%—). 256. 2sen x (x sen x eos x 2 + eos x sen x 2). \ eos J X

257. — 2se" x . 258. 2~3x~x3 ) \ l±l +JxL . 259. -^ L .. 260. 2 ^ * H ^ \ r \ 2 . 261. JÜx - b cos2x^cos2x 2(1-x )(1 + x

1 -x

ln x

Vx

. 265. . 266. - cos2x . . 262. - 2(2cos02x +1>. 263.--------- L _ e^1+X . 264. (1+xJ-y/l^ 2 V 0+X 267. , *2 268. (a2 + l)senxeax. 269. e 1 cosx (1 + x senx). 270.------_4 2)

=

. tU Ü .

T J - p e ilA

C

. t u ¡ 7.

C

U T A

1X

V(x 2 - l )3

(1 + e

271. 10exsen3x. 272. 9x2arcsenx 273.----------(cosx - senx) (ex + e x ) ex eos x + e~ xsen x

£yg

arctgx

^2 + 4x - x2

sen(x - cosx) (1 + senx)

^/(l + x 2)3

278. exsenxcos3 x ( l + c tg x -3 tg x ). 279.

.

5fT -.—=■. 280. ,

5 5 1 l/(9 + 6 S V 7 )10

earctg-\A+

l n ( 2 x + .3 ) ................

_

(2x + 3)[2 + ln(2x + 3)] ^1 + ln(2x + 3)

^

^

[2x(eX

’ x4 (x2 + l ) ’

1 = .

+ 2x + 4 e x + l +

g -X ) _

(ex + e “ x )2

283. ln(1 +s0enx) . 284.------- 42=— ■.285. + 1 286. 2 x -3 -^ 1 - 4 x 2 ’

) (arctge

274.

4 V x A/( l + e ^ ) 3

281.

-2 x T “ ------------------------------9 „

/ . Í- IU .

’ 1^1 - 2x - x:2

(gx

_ e - X }]

o

)


I x _ _|_ 287. ----------l-x ‘

,

oco (1 + 2 x 2 )senx + x(l + x2 )cosx oco (x 2 - 32x - 73) (3 - x )3 x . ¿ 00 . . ¿Ou. ------------------7—¡ ........ 2 (x + 1 ) 6 yfx + 2

290. 3e^ (2+%/x) .291. 10^/d +xe^ )2 293.

e arctg x

294.

( l - x 2 )e 3x 1cosx

ln x

1+ X +

x

(l + x 2 )arctgx

(árceos x)

——2 —x

3 -2 x -3 x 2

“X

v

2- arctg x + -^ln 1 x +1

,

tgx + - r -

^1- x

árceos x

X

4 ct9 f

lntg2x

sen4x

2sen24 , 2y

.292.

*nx

296. (aresenx)2 . 297. e ~e~ . 298. 301. (tg2x)ct92

+X

£

n jm x

ae

, l

+be

302.

-m x

. 295. 4
. 299.

300.

+ 1

X y 1+ x

303.

3 x 2 + lOx + 20 15(x2 + 4) ^ x - 5 ) 2 ^

.M- 1

304. —2xnx’ ^¿ n---, sí n es un número par, y +l

^ -------, si n es un número impar.

2 nx”

|x|(xzn + l)

.3 ... 305. (1+24x, , . 309. a)% l - ( n +(l1 )-xxn)2+ n x n+ 1 ;b) 8x

n +1

(1 - x )3

cación: aplicar el valor de la suma x + x 2 +... + x n . 311. \¡1 - y2 earcseny y 312. — ^— . 314 2■ ¡-1— . 315. a'(x) = x [ l + lna(x)] . 316. (Arshx)': 3(s - 1 ) ijx - x 2 (Arch x)' = - J — ; (Arth x)' = —U . 317. Vx2- i

319. — 3y 328.

Vx

334. 337.

-4

. 318.

1_x

8x3

. 329. au-£--- ax— . 330. ?°2.^ 2 3x +y2senx . 331. — 2a ycosx 3(1 - ,

3 (1 - y z )

- ax

3x2 +2axy + by2 335 ax2 + 2bxy + 3y2

yCQS (x * y) (c°s(xy) 7 sen(xy)) - 1 xcos2(x + y)(cos(xy)-sen(xy))-l

< Jl - y 2 ( 1 -^ /l - x 2 )

2(1 + lny) •338-

341. -1±£!E1M .342. - 3£.343. xsen(xy) vx

•jft^xyiny ■

•)JX x2 -x y ln x

344.

^

>

1

- ( 1 + x 4 )2

’

2 V d - y ) 3(i + v)5

. 320. -2sln2 i - V l - 2 2s ’, rV c tg t. 324. >/2 . 325. - ai . 326. ln2 » v y

[Indi-

2 -n (n + l)x n ~ 1 + 2 (n2 - l)x n - n(n - l)x'

4

. 327.

-2 a2y

.

2x2 332. -V i- -* . 333. - xiV . y2yz- _v.2

-v ? - l

2 X~ V 2 1 -2 * señfx + y)

1 + sc»(x + y) ‘

.345.

seny 2 - y * *rrT* 2seh2y-seny-xcosy *

l-ffccosx

_ _ _ Q

___________________________________ M oisés Lázaro C.___________________________________

346-

•m (2,4): 351. y + 4x + 4 =Ó • 8j>>2x + 15 = O ; l a + f

subtangepte es igual a 1/2; la subnormal es igual a -8.354. a) tL = 0 , tz = 8 ; b) íj = Í)K; , í2 = 4 , í3 = 8 . 355.Í81,5* 103 erg. 356. a = 1 3 - f .357. o> = 2 n & .

?

358. a> = (2ai - b)1^-; la velocidad se reduce a cero cuando t = -A-s. 359.234. 360. (0,0); (2,0). 362. <1,0); (-l;-4 ). 363. y = 2x - 2 ; y = 2x + 2 . 364. 3x + y + 6 = 0 . 365. La tan-

gente es y - y0 = (* - x0 )cos x0 ; la normal es y - y0 = -(x - x0 )sec x0 . 366. La tangen te es x0 (y - yo) = * - x0 ; la normal es (y - y0) + x0 (x - x0) = 0 . 367. La tangente es x + 2y = 4a ; la normal es y = 2x - 3a . 368. La tangente es y - y0 = ~ xo) ’ la normal es y - y0 = - y°^2g~x°^ (x - x0). 370. Las subtangentes son iguales a -3 x 5 ; x 5 ( 3 a -x 0) -3 x 2 /2 y l/2 x 2 , respectivamente. 371. y = -^-(x - í r ) ; y - yo = j¡r(x - x0). 372. 2 x - y + 1 = 0 . 373. 2 7 x - 3 y - 7 9 = 0 . 374. 2 x - y - l = 0 . 375. 4 x - 4 y - 2 1 = 0. 377.3,75.379. x + 25y = 0 ; x + y = 0 . 380. (0,1). 381. y = x . 383. x - y - 3 e ' 2 =0. 384. -J=-. 385. 11 + ; 1 j . 392. 2x - y ± 1 = 0 . 393. Si y = f(x) es la ecuación de la. curva dada, la ecuación del lugar geométrico buscado es y = x f'(x ) . a) La parábola y2 = j p x ; b) la recta paralela al eje OX y = —j.; c) la curva “kappa” y Va2 - x 2 + x 2 = 0 ; d) la circunferencia x 2 + y2 = a . 3 9 4 . 1 ) ^ = 0 ,
^ = 2 , la normal es

a x -b y = a2 - b 2 . Cuando n es par las tangentes son ^ ± ~ = 2 , las normales son ax±by = a2 - b 2 .

Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de: Distribuidora - Imprenta - Editorial - Librería

M O S H E R A S .R .L . en el mes de Marzo del 2014 con un tiraje de 500 ejemplares Lima - Perú

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Carrion Moises Lazaro Analisis Matematico I Calculo Diferencial

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