����� �� ������� ������� 146571 ���������� . A ��������� ������������� � �������� ���
����������� ���
��, ���� ������������, ���
�������������� �� �����.
. ���� ������� �, �� ����������,
, �����
� ��������� ��
����� �� ��������� ��� C������ � ����� ����������, ������ � ������������ ��������� �� ������ ��
������, ��� ��� ����� ��� ����� �������� ������� ��� �� ����� �������
���� � ����� ���������� ��� ���� �����
.
. ���� ���
=
���
〈, ̂〉 = proj ̂ 〈̂, ̂〉 ̂ = 〈, ̂〉̂ = 2 √ 2−1 2−1̂ �
C���
〈, ̂〉 = proj ̂ 〈 ̂, ̂〉 ̂ = 〈, ̂〉 ̂ = 0 = + = 2 √ 2−1 2−1̂ , ������� ���
����������, �� ������� ������� �� ��������� ��� �� ������ �� B��� ���� � ����� �� ����������, ����� �� �� ������ �� ��� ������ ��������, ���� ���� � ��������������� .
10
0,529�
�. D�������� � ����� �������� ����� � ������ � � �������; �. �� ���� ����� ����� � ���������� ���������� �� �������, ���� � � ���������� �����? �������
�. � ������ �� ����� �������� ����� � ������ � � ������� � ���� ���
=
���� � � ������ �� ����� �������� ���������. �����,
= 8,25�10
�. ����� ����, � ����� �������� ���� ���� ����� ����������, ���� �,
= =
���� � � ������ �� ���������� �� �������. ��������, ����, ���
= = 2,2 �10
��������� ��� ��� ����� ��� ��������� ���������, ��� �� ����������� ��
����� ���� ��
4
2
� ���
, ���� ����� � �������� �������� ��� ��� ��� ������������ ��
������. A ��������� ����������� �� ����� � � ����� ��� ������� �� ������ �� D�������� ������� �������� �� ������� ������� �� ����� �� �.
� ��������, ��� ����� ��
−4
.
;
= = 2 = = −3,2 �10 || = || = 2�10 = = || = 1,33�10 = 2,13�10 || =
�. � ����� �� � ���� ���� ���������
, ����
.
�������
�. ����� ����, � ����� ����� �� ����� ���� ���� ��� ��������, �������� �� �������.
�. C���
. C���
, ����
� ��� ������.
, �������� ���
��� � ��������, ������������ � ��������
, ���� � � ���� �� ����� ����. �����, , ������� ��� �������� �� �����.
. ���� ��� . C���
��������� ��� D��� ������ ��������� ���������, �� ������� ����� ��� ���������� ���������� ��� ������, ��� ������� ��� ��� ���� �������� ��������, ��� �����, ��
���������
= 100 0,4
� ����������� �������� ��
0,3
, ���� �� ������. C�����������
������������� ��� ����� �� �������, � ���� �� �������� ��� ������� � ����������� �� ���������� �� . D�������� � ����� �� , ������� ��� ���� � ����� �� ������ ��� ������ � ��� �� ������ ��� ���� ������ �����������.
�������
C��� �� ������ ��� ���������, � ����� ��������� ������������ ������������� ����� ���� ������ � ��� �� �������� �� ����, ���� ��� ����� �����������. �� ����������, �� ���� �����, �� ������ �� �������� �������� � �������� ��� ����� ������ � ����������� �������. �����,
����
Δ
= ⇔ 4 = Δ = 2 Δ = 2,66�10 −4 + 1
� � ��������� �� ����. �����,
.
��������� ��� ���� ������ �� ����� ������
����� ��� �������� �� �� ���������
���������� �� ���� .
�. �������� � ������, � ������� � � ������� �� ����� �������� ��� ��� ����� ��� ����� �� ����� , ���������� �� ����� , � ���� ������� ����� �� ������ ���������, �� ������ �� , , � ; �. ���� ���� ��� �������� ��� ����� �� �� ���� ��� � ����� ����� ����� �������� ����� ������� �� ���� ����? ����� ����, ��������� ��� � � ������ � ��� � ��������� ����� � ����� � � �� . �������
�� ��������� ����� ���������, ���������, ��� ����� �� ������������,
�. A ����� ��� ���� �����
0
.
� � ���������
=
���
〈 ,̂〉 = proj ̂ = 〈̂, ̂〉 ̂ = 〈,̂〉̂ = 0 �
〈 ,̂〉 = proj ̂ = 〈 ̂, ̂〉 ̂ = 〈,̂〉 ̂ = − 43 ̂ = + = − ̂ ‖‖ =
C���
, �����
���� ��������� �������������, �� ���� ���� �����.
. ���� ���
� ���
= 4 ⇔ = 2 −4 0,2
�. ���� ��� � ����� ��� ���� ����� � ����� �� ����� ����� �� , ������� ���
−4
���� � � ��������� ����� � ����� ���� ��� �������� �� �����
� � �����
���� ����, ���� ��������
. ���� ��������� ��� � �����
.
+ − ≪ − − − = ≪ − = −2 + + ̂ 4 4 =≪− =−−16 = − = 16 = 2 = 2 = − = ≪ = = = =
��������� ��� D��� ������ ����������� ���������
��� ������� �� ������ � ��� ��������� . ��� ����� �� ����� � ����� ���� �� ����� � ��� ������������ �� ������� �� ��������� �� �������� ��� ���� �� ���� ��� ��� �����, � ��� ��������� . �. ������ ���, �� , � ����� �������� ����� � ������������ � � ������� � ������� �� ��������� �� �� ����� �� ������; �. ���� ���� � ���������� �� ����� , �� ����� ����� ����� �� ������ �����, �� ��� ��� ���������� �� ������� ��� ����� ? �������
�. A ����� ��� ���� ����� � �����
�����, ����
, � ��� ��������� �� ������, � ���� ���
, ������
, ���
. ����
���, ���� , � ����� ���������� �� ��������� ����������� �� ����� �� ������, ���� ������� � ���� ���
�. A ������� �������� �� ��������� ��������� ������� � ���� ��� ����
� � ��������� �� ���������. �� ���� �� ��� � �����
�� ������� ��� �����
, ������
,
� ���������� . �� �����
����� ����� �� ������ �����, � ������� ��������� �� ��������� � ����, �� ����� ��� ����� ��
, ���� �,
.
��������� ��� ��� ������� �� ����������� �� ����������, ���� ���� �������
�������������, � �������� �� ������ �� ����. �������� � ����� �������� ���� � ����� ����� �� ���� ��� ��� .
≫
��
�������
= + + = 2 √ = 21+ = = 1+ = = 1− ≈ 1+ 1+ ≈ 1− 1+ ≈ 1− 1− = − + = 2− −1+ −1− = − ℓ = = ����� ���
, ����
�
.
��������, ���� ���
,
����
�������
�
�����,
,
.
.
��������� ��� �� ������ ������, ��� ����� ���� �� ����������� � ��������� ������ ��
������ ��������
���� ������� �� ����� �� ���� .
�. ������ ��� � ����� �������� �� �����, � ���� ���
, � ��� ��������� �� �����, ����� � ���������
.
�. ������ � ��������� �� ���� �., ������ ��� � ����� �� ��� ����� ��������� � ��� ��������� �� ���� �� ����� ���� ��� ������� �� �����
�������
.
= = + =0 ℓ = = 2 = = ℓ 2 = 2 ℓℓ = 2 = lim→ lim→ = lim→ =
�. ����� ���
. ��� ��������, .
. C�����������
�����,
.
�. �������� ������� � ������
. ���� ���
.
��������� ��� ��� ����� ��� ��������� ����� ���� �� �����������
−
������������� ����������� �� ����� �� ��� �����������.
������ ��� �����
�. ���� � � ��������� ������ �� ����� �� �����? �. ���� � � ����� �������� �� ����� ��� ���� � ��� ��������� �� ����������� �� �����? �. �� ��������� � ��� ��������� ����� ������ �� ����� ��������� ��� , ���� ��������� ���� ��� ����� ����������. ������ ��� ��� �������� �� ���� �. �� ����� �� ����� �������� �� ��� ����� ���������� ���� .
�������
≫
�. C��� � ����� ���� ������������� ����������� �� ����� �� ����������� ��
= − || = = || = ≫ =
�����, ������
.
�. C�����������
.
�����,
��������
���
.
�. ����
, ���������� ���
= =
, � ��� �������� �� ����� �������� �� ���
����� ����������.
��������� ��� D��� ������ ����� �� �����, ��� ��� �����
+
−
� ����� ��� ����� ������������� ������������, ��� �������� �� ����� �� ���������� �� �������������� �� ���� , ���� ������ � ������. D�������� ��������� ����� ���� ������.
̂ = ̂ = 2 = − = s en = c os = = sen = ̂ ̂ ̂ = − = = = 1,−1 1,0 ̂ = 0,1 ℝ
�������
C�����������
. �����,
�
.
A�����������,
. ���� ���
�����,
.
. D���� �����,
�
, �� ���� �������� ��
, ����
.
��������� ��� ��� ����� �������� ���� ����������� ���� ������������������ �� ����
= 60 12
, ���� �������� �� ������ �� ����. A ��������� ������ �� ����� �� ����� �� ����� � �������� ���� ��������� . A ����� ����� �� ������������������ � . C������ � ����� ����� �������� �� ������ �� ���������.
= cos
�������
= = = 2 = 2 = 1, 2 �10 = 10 = = cos cos = cos = = 2 = 7, 5 +1 �10 = 2 cos = +1 ̂ ̂ = −7,5ℝ+1�10 = 0, − 7, 5 +1�10 = 0, 1 − + + ≪ − ���� ���
. C���
D��� ���
, �������� ���
. ����������
, ����� ���
. C�����������
, �������, ��� ��������,
���
.
, ����
�������� ��
.
D��,
, �� ����
.
��������� ��� ��� ������� ����� �� �����
������ ��� ����� � ���� �������� � �������� ��� ������ �� ����� �� ��� ����� ����, �������� � ������ ������. A ��� ��������� ����� ����� ������ ��� ����� �������� . �. C������ � ����� �������� ��������� ���� ����� �� ������� �� ����� . �. ������ ���, �� � ����� ��� ��������� �� ��� ��������� � ����������, ��� ��������� �� ��������� ��������� �������. �. ������� ��� ��������� ���� � ������� ����� ���������, �� ������ �� , , � .
�������
+ – − + = proj ̂ = = proj ̂ = − √ ̂ = − ̂ = + ≈0 +0 = 0 = + − + = + = ! ∈ 0, = − = − = − = = 2 = 2 = + = −2 < <
�. � ������ �� ����� �������� ��������� ���� ����� � ���� ���
=
, ���� � � ��������� �����
�� �������
�� �����
� . �����,
.
�. D����� �� ����� �������� , � ����� ���������� � ��� ����� , �� �������� ��������, �� ����� ������� � �� ���������� ��������� � �� �����. C����������� ���� � ����� ���������� ��� ���� ����� � ��������� �� ������� �� ���� . ���� ���
�, ��������,
���� � ������
.
. ������� ���
. C���
, �������� ���
, ����
, ���� �����
. C���
. �������, �����,
��� � �����
, ���
, ������
��� � ����� ��������� �� ��������� �����������, �� ����� �� ������. �. � ������� �� �� ��������� ��������� ������� � ���� ���
. ����,
.
����� ��
��������� ��� ��� ����� ���������� ��������� ����� ����� �� ����
� ����������� , ��������� ��� ����� , � ������� ��� ��� ����� ����������, �� ���� � ����� ����������� , ��������� ��� ��� ����� . ��� � ��� �� ����� ���� ����������: �. � ����� ����� �������� � ��� ��������� ������ �. � ����� ����� �������� � ��� ��������� ������ �. A ����� ��� ����������� ������� � ������� �� �����.
.
.
�������
Φ Φ = = = − = = − = −2 = < < < < < Φ< = = = = = = 2
�. ���� ��� ���������
����������� . ����
, ������������ � ��������� ����������
�
� ����� �� ����� �������� ������� ����� ����������. ����
��� �� �����,
, ���� �
�������� � ������ ����� ����� ��������
�� ����
. �����,
. ���� ��� � ������� �� �����
� ������, � ������ ���� ������ ��
�. ���� � ���� ������� �� ����� ����������. � ���� �����, �� ���� �����: (1) � (2)
.
������������, . �� (1), ����� .
�� �� (2), ���������� � ��� �� ����� ���� ��� ��� , ���� � �������� � ������ �����
, � ��������� ���������� ��
����
� �����������
. ����,
=
. ������� ���, ����� ����, ��� �
< < = − = −
����� �������� ������ ������� ������ � ������ ���� ���� ��
.
�. ����� � �� ������ ������� � ������� �� ����� ����������. ���� ��� �� �����, ���� ��� � ����� ��������, �� �������� �� ���� ��������, ���� ����, ������� ��� ��� � ����� ��������� ��� ��� ��������� ������� � ����� ���������� ���� ����, � ��� ������ ������ . C��� � ����� ����� �� ����� � , ������ .
= + = −2
��������� ��� ��� ����� ����� �� ���������
����������� �������� ������ �� ������:
������ ��� ��������� �� ����� . D�������� � ����������� �� ����� �������� �� ����� ��
�. ����� ������, �. ������ ���� �� �����,
= ,, ∀ , , ∈ = 0, , ,,,, = = ∈ ℝ∀,, ∈ = ,,: = ,0 < || ≤ ,,∥ ⊥ , , ,0,0 || ≤ Φ= = = = = | | Φ = = = = = 2 = 0 = �� ������ �� , ��� ���� ��������� ������ � ������ �� ������ �� �����. �������
���� � ������ �� ������ ���������� ���� �����. ���� ��� � ����� ��������, �� , �������� �� ��������� ������������: (�) , ; � (��)
� , D��� �� �����
,
. C�� ������, � � ����� ������� �� �����, ��� , ���� � ��������� ���������� , �� ����� �
����������� . ����, ���������, � ���� ��� ����� � ���� �������� � � ��� ���������� � ���� �� ����� �. ����
. ������
. ��������,
, ���� � �������� � ������
.
�. C�����������, ����� ����, . ����,
. ���������� ��� .
�������� (�) � (��), � ����� �� ����� �������� ������� ��
�, ���� ��� �� �����, �����
. �
. ���, ���� ��� �� �����,
.
��������� ��� ��� ������ ��� ��������� �� ����
��� ��� ��������� �� ������ �������� . ��� �������� �������� �� ���� � �������� �� ������, ���� �������� �� ������ �� ����. ������ ��� � ����� �������� ������ �� �������� � �������� � � ���� ��� �
.
�������
���� ��� � ����� �������� �� �������� �� �������� � ����������� � ������������ �� ���� ������ ���������: (1) � ����� �������� ��������� ��� ��� ������ ������ �� ���� � ��������� ����������� �� ������ ; � (2) � ����� �������� ��������� ��� ���
2
– = = = = = − = + = 0, proj ̂ = 0 proj ̂ = = 0, = < < Φ = = = 0 = 2√ − Φ = √ − < < < < <
������ ������ �� ���� � ��������� ����������� �� ������ . ������� ��� � ����� �������� �� �������� �� ��� ������ ������ ��� ���������, �� ���� � ��������� ��� �����
, � ���� ���
. C��� � ������� �� ����� ����� ��������
������, �������
. ����
������� � . ����, ���������, �
C���
�
�� ����� �� �������� �� ��������, ���� �����
� ����� ������� �� ������ ��
. D���� �����, ������
. ���� ��������� �� ������������,
.
, �������� ���
, ���� �,
�
.
��������� ��� �� ��� ������������� �����, ����� ��� ��������� ������ �� ������
, ���� � ��� ��������� �� �� ����� , ���� �� ������ �� ����. D�������� � ����� ����� �� ����� �������� ��������� ���� ��� ������� �� ���������� �� ��� ������ �� ���� , �������� �� ����� . C�������� ����� �� �����: � . �������
����������
. ���� ��� �� �����, � ����� �� ����� �������� ������� ��
������ �
. ����������, �����,
��������� �, ����� ����,
. A ����� ��������� ����
. �����,
.
��������� ��� ��� ������ ������ �������� �� ����
���� ��������� ��� ��������� ����������� �������� � ����� ����� . C���������� � ���� ������, ������ ��� ������ ��������� �� ����� � , �������� � ������ �� ����. �. C������ � ����� ����� �������� ���� �� ��������� �������: , , � . �. D�������� � ����� �������� ��� ������� �� ���� ����� �� ����������� ������� � ������� �� ������ ���������.
�������
�. ���� � ������� �� ����� ����� �������� ������� ����������: (1) � ������ � ��������; (2) � ������ �������� � ���������; � (3) � ������� ��� ������. ����
= < = < < = 0 < < = < < 0 <0 = − = ���������, ��������:
����
;�
, ����
, ����
;
, ����
;
,
. �� ����� �� �����, ������ ����
, � ����� ����� �������� ��� � ������� ������, �� ������� �� �����������, �� , �� �� �����������, �� . �. ������� ��� � ����� �������� ���� ������������� ������. ����� � , ���������������, �� ������ ������� � ������� �� �����. ������ ��� � .
��������� ��� �� ������ �� ����, ����� ��� ������ ������� �������� �� ���� � �����
3
. C���������� � ���� ������ ����� ��� ������, ������ ��������, ��� ����� ������� � ������� ������, ���������������, � � � ��������� ��� ��� ����� . ������ � ��� �� �����, ������� � ����� ����� �������� ����:
�. �. �. �.
−
<< < < < < = 3 = = = = 4 < < = = = 4 = =3 < < = 3 − = = = = = 4 = 2 = ;
; ;
.
�������
�. ����
, � ����� ���������
��� �� �����, �. ����
���� ��������� �
. ��������,
, � ����� ���������
���� ��������� �
���� ��� �� �����, ��� �. ����
. �����, ����
, � ����� ���������
.
. ��������,
. ����,
.
���� ��������� �
. ��������, ���� ��� �� �����, ������ ��� . D���� �����,
�. ����
, � ����� ���������
.
.
���� ��������� �
. D��,