Solucion Problemas Propuestos Apuntes de Clase-1

Simulación de sistemas S A M E T S I S

D N N Í A A T S D I S E U S D E G R D E A L V I A N N Ó I N C O A U I L U C M I A S N

7 0 0 2

2 0 0 7

APLICACIONES

APLICACIÓN 1.Los buques tanque llegan a un puerto petrolero con la distribución de tiempos entre llegadas que se ve en la tabla siguiente: Tiempo entre llegadas (días) 1 2 3 4 5 Probabilidad .20 .25 .35 .15 .05 El puerto tiene dos terminales, A y B. La terminal B es más moderna y, por lo tanto, más eficaz que la terminal A. El tiempo para descargar un buque tanque depende de la capacidad de éste. Un superbuque tanque necesita 4 días para descargar en la terminal A y 3 en la Terminal B. Un buque tanque de tamaño mediano necesita 3 días en la terminal PROBLEMAS PROPUESTOS

A y 2 días en la terminal B. Los buques tanque pequeños se descargan en 2 días en la terminal A y en 1 en la terminal B. Los buques tanques que llegan se forman en una sola cola en el puerto hasta que se desocupa una terminal para descarga. El servicio se da

TEMA:

ING. E. MURILLO

sobre la base primero que llega primero en ser atendido. El tipo de buque tanque y la frecuencia con la que llegan a este puerto se presenta en la siguiente tabla:

BACA PHOCCO, JULIA CHIQUICONDOR PINTO , NOHELIA TIPO DE BUQUE BUQUE TANQUE PROBABILIDAD PROBABILID AD DOCENTE:0.40HUAMÁN TANCO, MAYRA Superbuque tanque PEREZ GAMERO, JUDITH Superbuque tanque mediano 0.35 INTEGRANTES: SEQUEIROS VALENCIA, ERICA KARINA Superbuque tanque pequeño

0.25

Suponiendo que si los dos terminales están desocupados, los buques eligen el Terminal A para ser atendido, utilice la simulación de Montecarlo para la llegada de 15 buques y

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN

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Simulación de sistemas S A M E T S I S

D N N Í A A T S D I S E U S D E G R D E A L V I A N N Ó I N C O A U I L U C M I A S N

7 0 0 2

2 0 0 7

APLICACIONES

APLICACIÓN 1.Los buques tanque llegan a un puerto petrolero con la distribución de tiempos entre llegadas que se ve en la tabla siguiente: Tiempo entre llegadas (días) 1 2 3 4 5 Probabilidad .20 .25 .35 .15 .05 El puerto tiene dos terminales, A y B. La terminal B es más moderna y, por lo tanto, más eficaz que la terminal A. El tiempo para descargar un buque tanque depende de la capacidad de éste. Un superbuque tanque necesita 4 días para descargar en la terminal A y 3 en la Terminal B. Un buque tanque de tamaño mediano necesita 3 días en la terminal PROBLEMAS PROPUESTOS

A y 2 días en la terminal B. Los buques tanque pequeños se descargan en 2 días en la terminal A y en 1 en la terminal B. Los buques tanques que llegan se forman en una sola cola en el puerto hasta que se desocupa una terminal para descarga. El servicio se da

TEMA:

ING. E. MURILLO

sobre la base primero que llega primero en ser atendido. El tipo de buque tanque y la frecuencia con la que llegan a este puerto se presenta en la siguiente tabla:

BACA PHOCCO, JULIA CHIQUICONDOR PINTO , NOHELIA TIPO DE BUQUE BUQUE TANQUE PROBABILIDAD PROBABILID AD DOCENTE:0.40HUAMÁN TANCO, MAYRA Superbuque tanque PEREZ GAMERO, JUDITH Superbuque tanque mediano 0.35 INTEGRANTES: SEQUEIROS VALENCIA, ERICA KARINA Superbuque tanque pequeño

0.25

Suponiendo que si los dos terminales están desocupados, los buques eligen el Terminal A para ser atendido, utilice la simulación de Montecarlo para la llegada de 15 buques y


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Simulación de sistemas determine el número promedio de días que pasa un tanque en el puerto y el tiempo ocioso de cada una de las terminales. Utilice los números aleatorios de las celdas E 7 y C 5 para generar 2 los tiempos entre llegadas y el tipo de buque tanque que llega respectivamente.

0 0 7

PROPIEDADES DEL MODELO 1. Componentes: Buques y terminales 2. Variables: 2.1 Exógenos x = intervalo entre llegada de buques y = tipo de buque 2.2 Endógenas TDA = Intervalo de descarga en el terminal A TDB = Intervalo de descarga en el terminal B 2.3 Estado T= Tiempo de llegada del buque 3. Parámetros TS = 15 buques Tda = Tiempo de descarga en el terminal A Tdb = Tiempo de descarga en el terminal B 4. Relaciones funcionales x → Distribución empírica y → Distribución empírica

Distribución de Tiempos entre llegadas de los buques Tanques

Tiempo entre llegadas

Probabilidad


Probab

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Simulación de sistemas (días) X 1 2 3 4 5

Acumulada 0. 2 0 .2 5 0 .3 5 0 .1 5 0 .0 5

0.2 0 .4 5 0. 8 0 .9 5 1

2 0 0 7

Distribución para hallar el tipo de Buque Tanque

Nro 1 2 3

Tipo De Buque Tanque Y Superbuque tanque Superbuque tanque mediano Superbuque tanque pequeño

0.4

Probab Acumulada 0.4

0 . 35

0 .7 5

0 . 25

1

Probabilidad


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Simulación de sistemas

2 0 0 7

Tablas de Simulación

BUQUE

Celda E7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

r 0. 44 0. 46 0. 89 0 .5 0. 88 0. 64 0. 26 0. 81 0. 34 0 .6 9 0 .5 9 0 .0 2 0 .1 7 0. 7 0 .6 5

Tiempo entre llegadas X 2 3 4 3 4 3 2 4 2 3 3 1 1 3 3


Dia de llegada T 2 5 9 12 16 19 21 25 27 30 33 34 35 38 41

Página 5


Nro de buque 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 TOTAL

r (e7)

x

T

r (c5)

y

0.44 0.46 0.89 0.5 0.88 0.64 0.26 0.81 0.34 0.69 0.59 0.02 0.17 0.7 0.65

2 3 4 3 4 3 2 4 2 3 3 1 1 3 3

2 5 9 12 16 19 21 25 27 30 33 34 35 38 41

0.76 0.78 0.93 0.11 0.94 0.18 0.92 0.85 0.7 0.7 0.33 0.82 0.56 0.96 0.62

c C C A C A C C B B A C B C B

Terminal A TDA TdA ToA 2 2 2 4 2 4 2 3 3 4

2 3

33

4 7 11 16 18 23 27 30 33 37

40 44

2 1 2 1 0 1

Terminal B TDB TdB ToB

2 0 0 7

1

22

21

1 2

35 37

12 0

2 0 0 0

1 1

11

4

33

Respuestas: a) Nro promedio de días que pasa un tanque en el puesto: = (33 + 4) días / 15 buques = 2.47 días b) ToA= 11 días ToB= 33 días


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Simulación de sistemas APLICACIÓN 2 El gerente de una pequeña oficina de correos teme que el crecimiento de la localidad sature el servicio que se ofrece con una sola ventanilla. Decide obtener datos de muestra 2

0 se presenta un con respecto a 100 individuos que solicitan servicio. A continuación 0 7

resumen de los datos:

Tiempo entre llegadas (minutos)

Frecuencia

Tiempo de Servicio (minutos)

Frecuencia

1

8

1.0

12

2

35

1.5

21

3

34

2.0

36

4

17

2.5

19

5

6

3.0

7

3.5

5

100

100

Emplee la simulación de Montecarlo para estimar el tiempo promedio de espera y el promedio de inactividad de los empleados durante la llegada de 15 clientes. -

Utilice la secuencia de números aleatorios de las celdas B1 y E3 para generar los intervalos entre llegadas de los clientes y los tiempos de servicio respectivamente.

SOLUCIÓN 01.- PROPIEDADES DEL MODELO 1. Componentes: Personas y servicio de correos 2. Variables: 2.1 Exógenos x = intervalo entre llegada de personas y = intervalo de servicios 2.2 Endógenas


Página 7

Simulación de sistemas TE =Tiempo de espera TO= Tiempo ocioso 2.3 Estado

2 0 0 7

T= Tiempo de llegada de personas D= Tiempo de servicio 3. Parámetros TS = 15 clientes 4. Relaciones funcionales x → Distribución empírica y → Distribución empírica 02. Tiempo entre Frecuencia llegada (días) acumulada 1

0.08

2

0.43

3

0.77

4

0.94

5

1

1 0.9 0.8 0.7

n e u c e r F

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1

2

3

4

5

Tiempo entre llegada (min)


Página 8


2 0 0 7

Tiempo entre Frecuencia llegada (días) acumulada 1

0.12

1.5

0.33

2

0.69

2.5

0.88

3

0.95

3.5

1

1.2 1 0.8

e u c 0.6 e r 0.4 f 0.2 0 1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tiempo de se rvicio (min)


Página 9

Simulación de sistemas Respuestas:

Nro de cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 TOTAL

r (b1)

x

T

r (c3)

y

D

0.2 0.68 0.57 0.79 0.84 0.72 0.95 0.08 0.85 0.79 0.34 0.4 0.67 0.24 0.86

2 3 3 4 4 3 5 1 4 4 2 2 3 2 4

2 5 8 12 16 19 24 25 29 33 35 37 40 42 46

0.1 0.74 0.37 0.31 0.31 0.09 0.27 0.53 0.45 0.37 0.7 0.16 0.63 0.37 0.39

1 2.5 2 1.5 1.5 1 1.5 2 2 2 2.5 1.5 2 2 2

3 7.5 10 13.5 17.5 20 25.5 27.5 31 35 37.5 39 42 44

27

2 0 0 7

Te

To 2 2 0.5 2 2.5 1.5 4

0.5 1.5 2 0.5 1

48

2

1

21

a) Tiempo promedio de espera: = (1.0) min. / 15 clientes = 0.066 min. / clientes ó 1.0 mín b) % de inactividad= 1 – U = 1 – (27 / 48) = 0.4375

APLICACIÓN 3.- La biblioteca de la universidad tiene una copiadora para uso de los estudiantes. Estos llegan a la máquina con una distribución de tiempos entre llegadas mostradas en la siguiente tabla: Tiempo entre llegadas (minutos)

1

2

3

4

5

Probabilidad

.20 .25 .40 .10 .05


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Simulación de sistemas El tiempo promedio que se tarda en hacer una copia es 15 segundos. Un análisis de los datos acumulados muestra que el número de copias que hace un estudiante al pasar a la máquina tiene la distribución siguiente: Número de copias Probabilidad

6

7

8

9 10

2 0 0 7

.20 .25 .35 .15 .05

El bibliotecario cree que con el sistema actual, la cola en la máquina copiadora es demasiado larga y que el tiempo que un estudiante pasa en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio) es demasiado. Efectúe una simulación de Montecarlo para la llegada de 10 clientes y determine el tiempo promedio de espera y el tiempo ocioso de la máquina copiadora. Utilice los números aleatorios de las celdas A7 y B9 (tabla de números aleatorios) para generar los valores de los tiempos entre llegadas de los estudiantes y el número de copias solicitadas respectivamente.

Solución: Propiedades del Modelo COMPONENTES: Maquina copiadora, Alumnos

VARIABLES EXOGENAS: x: Intervalo entre llegadas de los estudiantes y: Tiempo de Servicio

VARIABLES ENDOGENAS: Wq: Tiempo de Espera Promedio de los estudiantes en Cola To: Tiempo ocioso de la maquina U: Utilización de la maquina copiadora

VARIABLES DE ESTADO: T: Tiempo de llegada de un usuario D: Tiempo de desocupación de la Maquina

PARÁMETROS:


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Simulación de sistemas Tiempo de Simulación: durante la llegada de 10 clientes

RELACIONES FUNCIONALES: D: Distribución Empírica

2 0 0 7

Distribución de Tiempos entre llegadas de los Estudiantes

Tiempo entre llegadas (días) 1 2 3 4 5

Probabilidad

Probab Acumulada

0.20 0.25 0.40 0.10 0.05

0.20 0.45 0.85 0.95 1.00

Distribución para hallar el número de copias que hace un estudiante al pasar por la maquina Numero de copias 6

Probabilidad 0.20


Probab Acumulada 0.2

Página 12

Simulación de sistemas 7 8 9 10

Estudiante Numero de Estudiantes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.25 0.35 0.15 0.05

0.45 0.80 0.95 1.00

2 0 0 7

Servicio

r (A7)

T. entre llegadas (min)

T. de llegada (min)

r (B9)

nº de Copias

0.55 0.82 0.09 0.55 0.89 0.49 0.59 0.39 0.76 0.98

3 3 1 3 4 3 3 2 3 5

3 6 7 10 14 17 20 22 25 30

0.62 0.03 0.47 0.68 0.93 0.29 0.23 0.72 0.75 0.01

8 6 8 8 9 7 7 8 8 6

Tiempo de Servicio (min) 2 1.5 2 2 2.25 1.75 1.75 2 2 1.5 18.75

T. de Desocupación (maquina)

Tiempo de Espera (estudiante)

5 7.5 9.5 12 16.25 18.75 21.75 24 27 31.5

0.5 0.5

El tiempo promedio de espera: Wq =∑ Te/c Wq = 0.5/10


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Tiempo ocioso de la Maquina 3 1 0.5 2 0.75 1.25 0.25 1 3 12.75

Simulación de sistemas Wq =0.05 min El tiempo ocioso de la máquina copiadora: 12.75 min Utilización:

U = (18.75/31.5)*100 U = 57.143%

2 0 0 7

APLICACIÓN 4 La demanda diaria de pollos en un minimarket es una variable aleatoria con distribución exponencial con una media de 5 unidades diarias. El administrador comienza el día con 15 pollos. Cada pollo tiene un costo de 13 soles y se vende a 20 soles. Se reduce el inventario diariamente. Si al final de un día en particular el dueño tiene menos de 8 pollos en stock, ordena un pedido suficiente para tener 15 pollos al inicio del siguiente día. Además se conoce que: - Cuando la demanda excede el inventario, no se permite tener pedidos pendientes pero se carga el costo de 3 soles por unidad, por no haber tenido el artículo en almacén (costo de escasez). - El costo de colocar un pedido para volver a tener artículos en inventario es de 10 soles (independiente de la cantidad ordenada). - El costo de mantener inventario de un día para otro es de 1.5 soles. Asumiendo que el costo de adquisición e inventario de los 15 pollos con los que empieza el negocio fueron absorbidos en la gestión anterior, determine Ud. utilizando la técnica de la simulación de Montecarlo: a) La utilidad total para un periodo de 15 días. b) El número de pollos que sobran al final del último día. Para generar la demanda diaria utilice los números aleatorios de la celda E8 (tabla de números aleatorios).

SOLUCIÓN 01.- PROPIEDADES DEL MODELO 1. Componentes: Personas y niveles de inventarios 2. Variables: 2.1 Exógenos x = demanda diaria de pollos


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Simulación de sistemas 2.2 Endógenas 2.3 Estado I = Nivel de inventarios 2 0 0 7

D= Tiempo de desocupación de la fotocopiadora. 3. Parámetros TS = 15 días C1 = Costo de escasez (S/ 3 / unidad) C2 = Costo de pedidos (S/ 10) C3 = Costo de mantenimiento (S/ 1.5) 4. Relaciones funcionales x → Distribución empírica x = - 5ln(1-r)

A.-

Inventario Cantidad # de de pollos Pedidos de pollos día congelados recibidos disponibles 1 2 3 4 5 6 7

15 13 10 9 8 4 14

11 -

15 13 10 9 8 15 14

Demanda Pedidos Inventario r (-5ln(1-r)) Ventas Excedente escasez Efectuados Final 0.30 0.44 0.15 0.15 0.57 0.16 0.99

1.78 2.90 0.81 0.81 4.22 0.87 23.03

2 3 1 1 4 1 14


13 10 9 8 4 14 -

9

11 15

Página 15

13 10 9 8 4 14 -

Simulación de sistemas 8 9 10 11 12 13 14 15

0 12 10 0 11 9 9 8

15 15 -

15 12 10 15 11 9 9 8

0.40 0.34 0.90 0.57 0.38 0.03 0.18 0.33

2.55 2.08 11.51 4.22 2.39 0.15 0.99 2.00

41

3 2 10 4 2 0 1 2

12 10 11 9 9 8 6

2 2 0 0 7 -

50

Ingreso por ventas (s/. 20 * 50)

11

1000

TOTAL INGRESOS Costo de compras (s/. 13 * 41) Costo de colocar un pedido (s/.10 * 3) Costo de inventarios (s/. 1.5 * 12) Costo de escasez (s/. 3 * 11)

COSTO TOTAL GANANCIAS

15 9

1000 533 30 18 33 614

386

B.Número de pollos = 6 pollos

APLICACIÓN 5 Un lote de estacionamiento dispone de 30 espacios para el estacionamiento de los vehículos. Es abierto de 8 a.m. a 4 p.m.. El intervalo entre la llegada de vehículos al lote L tiene distribución exponencial con un valor esperado de 3 minutos. La duración de estadía


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12 10 11 9 9 8 6

Simulación de sistemas de un vehículo S es normalmente distribuida con un valor esperado de 90 minutos y una varianza de 30 minutos. Si al llegar un vehículo no hay espacio libre, se aleja.

Se pide:

2 0 0 7

a) Construya un modelo de simulación (diagrama de flujo) que simule el funcionamiento del Lote de estacionamiento y determine el número de vehículos que se alejan durante un día de 8 horas (480 minutos).

Propiedades del Modelo Componentes: •

Vehículos

•

Espacios del lote de estacionamiento. Variables Exógenas:

•

L: Intervalo de llegada entre los vehículos

•

S: Tiempo de estadía. Variables Endógenas:

•

A: Número de vehículos que se alejan. Variables de Estado:

•

T: Tiempo de llegada de los vehículos.

•

TD(h): Tiempo de desocupación del espacio h. Parámetros

•

Tiempo de simulación = 480 minutos (8 a.m. – 4 p.m.)

•

Capacidad de Estacionamiento = 30


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Simulación de sistemas Relaciones Funcionales •

L; Distribución exponencial con media de 3 minutos.

•

S; Distribución Normal con media de 90 min. + 30 min.

2 0 0 7

DIAGRAMA DE FLUJO


Página 18

Simulación de sistemas INICIO 2 0 0 7

T=0 A=0

h=1 To 30 TD (h)=0

Imprimir

FIN

T> 480

A

Generar L

T=T+L

A

h=1 To 30

A=A+1

T>TD(h )

Generar S

TD(h)=T+S

PANTALLA INICIAL:


Página 19


2 0 0 7

En Microsoft Excel Objetos; Hoja1 (Parte a)

Cuando se hace clic en el botón Simular: Public rango Public i Private Sub cmdGenerar_Click() UserForm1.Show End Sub Private Sub cmdLimpiar_Click()


Página 20

Simulación de sistemas lim1 = rango + 1 & ":" & i + rango + 1 Rows(lim1).Select Selection.ClearContents Range("A1").Select

2 0 0 7

End Sub Se ejecuta el Formulario 1:

Cuando se hace clic en el botón Generar: Option Explicit Dim L, m1, m2, desviacion, T, TS, r1, r2, posicion, place, abandonan, j, k, n, q, c, contador, Acumulador Public rango Public i Dim D(30) Private Sub cmdGenerar_Click() m1 = Val(txtL.Text) m2 = Val(txtSm.Text) desviacion = Val(txtSd.Text)


Página 21

Simulación de sistemas TS = Val(txtTS.Text) T=0 place = 0 i=1

2 0 0 7

rango = 2 j = 0 contador = 0 PB1.Value = 0 PB1.Max = TS * 60 For k = 0 To 29 D(k) = 0 Next k

Do Until (T >= TS * 60) PB1.Value = T posicion = "B" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = i

Randomize r1 = Rnd() posicion = "C" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = Round(r1, 2) L = -m1 * Log(1 - r1) posicion = "D" & i + rango


Página 22

Simulación de sistemas Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = Round(L, 2) T=T+L posicion = "E" & i + rango

2 0 0 7

Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = Round(T, 2) For k = 0 To 29 n=0 c=0 For q = 0 To 29 If q = k And q < 29 Then q=q+1 n=0 End If If q = k And q = 29 Then q=q+1 n=1 End If If n <> 1 Then If D(k) <= D(q) Then place = k Else c=c+1 End If End If


Página 23

Simulación de sistemas Next q If c = 0 Then k = 29 End If

2 0 0 7

Next k If T >= D(place) Then posicion = "K" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = Val(T) - Val(D(place)) Acumulador = Acumulador + Val(T) - Val(D(place)) D(place) = 0 posicion = "H" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = place + 1 Randomize r2 = Rnd() posicion = "F" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = Round(r2, 2) posicion = "G" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = "=ROUND(NORMINV(" & r2 & "," & m2 & "," & desviacion & "),0)" posicion = "I" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = "=RC[-4]+RC[-2]"


Página 24

Simulación de sistemas D(place) = ActiveCell.Value posicion = "J" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = 0

2 0 0 7

Else posicion = "K" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = " " posicion = "G" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = " " Randomize r2 = Rnd() posicion = "F" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = " " posicion = "H" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = " " posicion = "I" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = " " contador = Val(contador) + 1 posicion = "J" & i + rango Range(posicion).Select ActiveCell.FormulaR1C1 = 1


Página 25

Simulación de sistemas End If i=i+1 Loop Range("A1").Select

2 0 0 7

Hoja1.i = i Hoja1.rango = rango Unload Me End Sub Cuando se hace clic en el botón Salir: Private Sub cmdSalir_Click() End End Sub

Respuestas:

Como se observa: Nro de vehículos que se alejan: 16 Tiempo Total Ocioso: 2916 min b) Suponiendo que el lote de estacionamiento tenga solamente 3 espacios y tomando en cuenta los intervalos de llegada (L) y las duración de las estadías (S) generados, determinar el número de vehículos que se alejan durante la llegada de 10 vehículos. Utilice para generar L, los números aleatorios de la celda C1 y para S los de la celda E8 (tabla de números aleatorios).

•

L; Distribución exponencial con media de 3 minutos.

•

S; Distribución Normal con media de 90 min. + 30 min.


Página 26

Simulación de sistemas HOJA DE EXCEL 2 0 0 7

Distribución Exponencial Media

3 Distribución normal Media

90

Desviación

30

Número de vehículo s

rC1

L

T

rE8

Z

S

h

1

0.82

5

5

0.30

-0.52

74

2

0.62

3

8

0.44

-0.15

3

0.13

0

8

0.15

-1.04

4

0.08

0

8

0.15

1

5

0.92

8

16

0.57

1

6

0.95

9

25

0.16

1

7

0.96

10

35

0.99

1

8

0.11

0

35

0.40

1

9

0.16

1

36

0.34

1


Td(h)

Tiempo Ocioso del lote

A

1

79

5

0

85

2

93

8

0

59

3

67

8

0

Página 27

Simulación de sistemas 10

0.52

2

38

0.90

1 21 2 0 0 7

Número de Vehículos que se alejan = 7 vehículos Capacidad ociosa del lote = 21 minutos

APLICACIÓN 6 Un semáforo en una intersección vehicular tiene una fase verde que actualmente demora 50 segundos y una fase roja de 40 segundos. El intervalo entre las llegadas de los vehículos a la intersección (en segundos) es una variable aleatoria con distribución empírica:

Intervalos entre llegadas Probabilidad

5

6

7

8

9

0.1

0.3

0.2

0.3

0.1

a) Construya un modelo de simulación (diagrama de flujo) para este sistema que permita determinar la duración de la fase verde, de tal manera que el tiempo promedio de espera de los vehículos que llegan a dicha intersección no sea mayor a 30 segundos. Utilice un tiempo de simulación de 5 horas.

SOLUCIÓN 01.- PROPIEDADES DEL MODELO 1. Componentes: Vehículos y semáforo 2. Variables: 2.1 Exógenos x = intervalo de llegadas 2.2 Endógenas Numero de vehículos en cola

2.3 Estado T = Tiempo de llegada de vehículos


Página 28

7

Simulación de sistemas 3. Parámetros TS = 15 vehículos Nro de estacionamientos = 3 4. Relaciones funcionales L → Distribución empírica

2 0 0 7

DIAGRAMA DE FLUJO


Página 29


2 0 0 7

Inicio

1

LEER R,V T=0 K=0 TE=0

R = R +V W=R IMPRIMIR TP = TE/K X

T = T+X

T>90

1

T<=V

TE=TE +R-T K=K+1

T<=R

2


V=V+W R=R+W

Página 30

Simulación de sistemas b) Mediante la simulación de Montecarlo determine la longitud promedio de vehículos en cola para esta intersección en un tiempo de simulación equivalente a la llegada de 15 vehículos. Utilice los números de la celda B9 (tabla de números aleatorios) para generar 2 0 0 7

los valores de la variable aleatoria.

02. Intervalo entre llegadas

Frecuencia acumulada

5 6 7 8 9

0.1 0.4 0.6 0.9 1

1 0.9 0.8 0.7 i c 0.6 n e u 0.5 c e r 0.4 F 0.3 0.2 0.1 0 5

6

7

8

9

Intervalo entre llegadas (se g)

Nro de vehículos

r (b9)

x

T

1 2 3 4 5

0.62 0.03 0.47 0.68 0.93

8 5 7 8 9

8 13 20 28 37


Nro de vehículos en cola

Página 31

Simulación de sistemas 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 TOTAL

0.29 0.23 0.72 0.75 0.01 0.66 0.96 0.24 0.33 0.86

6 6 8 8 5 8 9 6 6 8

43 49 57 65 70 78 87 93 99 107

1 1 02 0 1 7 1 1

5

Respuesta: Longitud promedio de vehículos en cola= 5 vehículos

APLICACIÓN 7 En un proceso productivo las piezas una vez procesadas son inspeccionadas para determinar si son rechazadas, reprocesadas o aceptadas para su posterior venta. Estadísticamente el 70% de las piezas son aceptadas, el 10% son rechazadas y el 20% reprocesadas. Una pieza reprocesada puede volver nuevamente a ser reprocesada. Utilice la técnica de simulación de Montecarlo para imitar el funcionamiento de este sistema durante la llegada de 15 piezas y responda las siguientes inquietudes: a) Si el costo de proceso es de $13 por pieza y el de reproceso $7. ¿Cuál sería el costo de un item que termine en ventas?

Solución Rechazo 0.1

Aceptación

Reproceso

0.8

1


Página 32

Simulación de sistemas 1 0.9 l 0.8 u m 0.7 u c 0.6 a a i c 0.5 n e 0.4 u c 0.3 e r F 0.2

2 0 0 7

0.1 0 Re ch az o

# de pieza

r

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0.84 - 0.16 0.54 0.93 - 0.48 0.56 0.7 0.98 - 0.49 0.59 0.11 0.98 - 0.75 0.76 0.95 - 0.52 0.63 0.09 0.77 0.12

A c ep ta ción

Rechazo

Re pr oc es o

Aceptación

Reproceso

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 1

1 1

14

5

Costo Procesamiento

N° de Piezas Rechazadas 1

1

1

1

Total Aceptadas 15 14

1

Reprocesas 5

Acumulado 230

Unitario 16.43

% Piezas aceptadas 93.33

Respuesta: El costo de un ítem que termine en ventas es de S/. 16.43 nuevos soles. b) En un lote de 5000 piezas ¿cuántas serán rechazadas?.


Página 33

Simulación de sistemas Nota: Utilice los números aleatorios de la celda C2 (tabla de números aleatorios) para generar valores para la variable aleatoria de si la pieza es aceptada, descartada o reprocesada. 2 0 0 7

Inicio

A=Re=Rp=0 Ca=Cu=p=0

A

Generar Final

P=P+1

No P<=500 0

Imprimir Re

Fin Final=R e

Re = Re + 1


Página 34

Simulación de sistemas Dim cont1 As Double Private Sub CommandButton1_Click() Dim Pa(3), x(3), P(3) As Double Pa(0) = 0

2 0 0 7

A: For i = 1 To 3 x(1) = 1 x(2) = 2 x(3) = 3 P(1) = 0.1 P(2) = 0.7 P(3) = 0.2 Pa(i) = Pa(i - 1) + P(i) Next i For k = 1 To 5000 Randomize r = Rnd() For i = 1 To 3 If r < Pa(i) Then y = x(i) i=3 Text1.Text = y Hoja1.Cells(cont1 + 1, 1) = y cont1 = cont1 + 1 End If Next i Next k End Sub

1 2 3

LEYENDA Rechazadas Aceptadas Reprocesadas TOTAL

CONTAR 483 3502 1015 5000


Página 35


APLICACIÓN 8.- La vida de 100 válvulas electrónicas al vacío, contenidas en una 2 igual a 6 meses computadora digital, esta distribuida normalmente con un valor esperado 0 0

7 las válvulas se y una desviación estándar de 2 semanas. En el caso de que todas

reemplacen al mismo tiempo el costo de tal operación será al precio de $2.00 por cada válvula. El costo de reemplazo de una válvula que falle estando la computadora en servicio será de $5.00 por unidad, mas el costo del tiempo en que la computadora queda fuera de servicio. En promedio, el costo que ocasiona una válvula en tiempo de maquina fuera de servicio, se calcula como $50.00 durante el día y $100.00 durante la noche. La probabilidad de falla durante el día es 0.7 y durante la noche de 0.3. Utilice la técnica de simulación en computadora para comparar los costos de las siguientes políticas de reemplazo: a) Reemplazar cada válvula a medida que van fallando. 1b).Reemplazar las 100 válvulas cada 5 meses, haciéndolo con las válvulas que fallan individualmente en el periodo interino. Construya un modelo de simulación (diagrama de flujo) para determinar una política óptima de reemplazo tiempo de simulación de 100 meses

Solución: MODELO DE SIMULACION PROPIEDADES DEL SISTEMA COMPONENTES DEL SISTEMA: Válvulas

VARIABLES EXOGENAS: x: probabilidad de Fallo de la válvula durante la operación( día o noche) y: vida útil de la Válvula contenida en la computadora digital


Página 36

Simulación de sistemas VARIABLES ENDOGENAS: co: Costo de inoperatividad de la computadora y remplazo de la 02 valvula 0 7

Cot: Costo por el cambio de las 100 válvulas CT: costo total

VARIABLES DE ESTADO: K: Tiempo de reemplazo de las 100 válvulas

PARÁMETROS: Tiempo de Simulación (TS) = 100 meses

RELACIONES FUNCIONALES: x :distribución empírica y: distribución normal

Costo de remplazo de 100 valvulas cada 5 meses

Nº DE SIMULACIONES 1 2 3 4 5

325 325 425 425 275

DIA 4 4 2 2 5


NOCHE 1 1 3 3 0

Página 37


COSTOS TOTAL DE REMPLAZO

MESES 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100

C. por reemplazo durante la operación 470 790 1110 1280 1500 1870 2440 2560 2930 3050 3320 3490 4060 4080 4400 4620 5090 5160 5430 5700 5620 6490 6360 6680 7400


C.total para 100 meses

2 0 0 7

11750 9480 8880 7680 7500 7480 7320 7680 5860 6100 6640 6980 4060 4080 4400 4620 5090 5160 5430 5700 5620 6490 6360 6680 7400

Página 38


2 0 0 7


Página 39

Simulación de sistemas CODIGO Private Sub CommandButton2_Click() Dim pa(2), c(2) For Z = 1 To 25 x=0

2 0 0 7

Cot = 0 CO = 0 CT = 0 c(1) = 50 c(2) = 100 pa(1) = 0.7 pa(2) = 1 For k = 1 To Val(ActiveSheet.Cells(5 + Z, 8)) j=0 For i = 1 To 100 Randomize j = j + Rnd() Next i y = 6 + 0.5 ^ (1 / 2) * (j - 100 / 2) * (12 / 100) ^ (1 / 2) If y < 100 Then Randomize aleatorio = Rnd() If aleatorio < pa(1) Then x = c(1) + 5 Else x = c(2) + 5 End If Cot = Cot + x CO = 100 * 2 End If CT = Cot + CO ActiveSheet.Cells(5 + Z, 9) = CT Next Next


Página 40

Simulación de sistemas End Sub Conclusion El tiempo óptimo de reemplazo para las válvulas es de 52 meses ya que, la frecuencia 2 de cambio de cada 52 meses minimiza los costos 0 0 7

APLICACIÓN 9 En el puesto de gasolina “El campeón”, ocurre lo siguiente: a) Los carros llegan al puesto a cada 12 a 16 minutos con una media de 14 minutos entre llegadas y distribución uniforme. b) Juan Pérez atiende exponencialmente, llevando en promedio15 minutos para atender un carro (4 minutos para llenar el tanque, 3 minutos para verificar el aceite y 8 minutos para contar el cambio). Se le sugiere las siguientes alternativas para mejorar el servicio: a) No hacer nada y dejar las cosas como están. b) Someter a Juan Pérez a un programa de capacitación, de modo que mejore su aritmética y de esta manera disminuir el tiempo de servicio de 15 a 6 minutos. c) Instalar una segunda bomba y contratar a un operario para operarla. El joven trabaja exactamente del mismo modo que Juan Pérez. d) Sugerir a Juan Pérez que descanse y contrate al mejor estudiante del grupo escolar de la nocturna, el emplearía 5 minutos para atender un carro. NOTA: Observe que este proceso no es de optimización, ya que no es posible definir una función objetivo a ser maximizada o minimizada. a) Mediante la simulación de Montecarlo determine la mejor alternativa de optimización en función al tiempo promedio de espera en cola. Utilice el tiempo de simulación equivalente a la llegada de 15 vehículos al sistema. Utilice los siguientes números aleatorios para generar los valores de las variables aleatorias: - Para la tasa de llegadas: Números aleatorios de la celda C7 (tabla de números aleatorios). - Para los tiempos de servicio: Números aleatorios de la celda D4 (tabla de números aleatorios).

SOLUCIÓN 01.- PROPIEDADES DEL MODELO 1. Componentes: Carros y el gasolinero


Página 41

Simulación de sistemas 2. Variables: 2.1 Exógenos x = intervalo entre llegada de autos 2 0 0 7

y = intervalo de atención 2.2 Endógenas Te =Tiempo de espera To = Tiempo ocioso 2.3 Estado T= Tiempo de llegada de los autos D= Tiempo de desocupación 3. Parámetros TS = 15 vehículos 4. Relaciones funcionales x → Distribución uniforme y → Distribución exponencial a) Nro de vehiculo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 TOTAL

r (c7)

x

T

r (d4)

y

D

0.47 0.64 0.43 0.98 0.55 0.84 0.16 0.6 0.67 0.06 0.94 0.34 0.07 0.42 0.12

14 15 14 16 14 15 13 14 15 12 16 13 12 14 12

14 29 43 59 73 88 101 115 130 142 158 171 183 197 209

0.54 0.07 0.92 0.12 0.54 0.97 0.8 0.62 0.36 0.91 0 0.16 0.94 0.36 0.66

12 1 38 2 12 53 24 15 7 36 0 3 42 7 16

26 30 81 83 95 148 172 187 194 230 230 233 275 282 298

Te

To 14 3 13

22 10 7 47 57 57 52 72 59 50 78 73

584

Tiempo promedio de espera en cola = 584 / 15 = 38.93 min


Página 42

Simulación de sistemas b) Nro de vehiculo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 TOTAL

r (c7)

x

T

r (d4)

y

D

0.47 0.64 0.43 0.98 0.55 0.84 0.16 0.6 0.67 0.06 0.94 0.34 0.07 0.42 0.12

14 15 14 16 14 15 13 14 15 12 16 13 12 14 12

14 29 43 59 73 88 101 115 130 142 158 171 183 197 209

0.54 0.07 0.92 0.12 0.54 0.97 0.8 0.62 0.36 0.91 0 0.16 0.94 0.36 0.66

5 0 15 1 5 21 10 6 3 14 0 1 17 3 6

19 29 58 60 78 109 119 125 133 156 158 172 200 203 215

2 0 0 7

Te

To 14 10 14 1 13 10

8 4 5 9 2 13 9 3 6

107

15

Tiempo promedio de espera en cola = 15 / 15 = 1 min

Nro de vehiculo

r (c7)

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.47 0.64 0.43 0.98 0.55 0.84 0.16 0.6 0.67 0.06 0.94 0.34

14 15 14 16 14 15 13 14 15 12 16 13

Operario 1

T

r (d4)

y

14 29 43 59 73 88 101 115 130 142 158 171

0.54 0.07 0.92 0.12 0.54 0.97 0.8 0.62 0.36 0.91 0 0.16

12 1 38 2 12 53 24 15 7 36 0 3


D

To

26 30 81

14 3 13

141

178

Operario 2 D

To

61 85

59 12

125 140 147

16

158 174

11 13

Te

7 10 10

1

Página 43

Simulación de sistemas 13 14 15 TOTAL

0.07 0.42 0.12

12 14 12

183 197 209

0.94 0.36 0.66

42 7 16

225

5 204 225

23 5

20

2 0 0 7

Tiempo promedio de espera en cola = 20 / 15 = 1.33 min d)

Nro de vehiculo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 TOTAL

r (c7)

x

T

r (d4)

y

D

0.47 0.64 0.43 0.98 0.55 0.84 0.16 0.6 0.67 0.06 0.94 0.34 0.07 0.42 0.12

14 15 14 16 14 15 13 14 15 12 16 13 12 14 12

14 29 43 59 73 88 101 115 130 142 158 171 183 197 209

0.54 0.07 0.92 0.12 0.54 0.97 0.8 0.62 0.36 0.91 0 0.16 0.94 0.36 0.66

4 0 13 1 4 18 8 5 2 12 0 1 14 2 5

18 29 56 60 77 106 114 120 132 154 158 172 197 199 214

Te

89

To 14 11 14 3 13 11

5 1 10 10 4 13 11 10

5

Tiempo promedio de espera en cola = 5 / 15 = 0.333 min La mejor alternativa es la d) por ser la que tiene el menor tiempo promedio de espera en cola

APLICACIÓN 10.- Un vendedor compra periódicos al precio de 50 céntimos de sol por cada uno y los vende a 1 sol la unidad. Al final de cada día el agente de publicaciones le pagará 15 céntimos de sol por cada periódico que no haya vendido. La demanda diaria D de los periódicos tiene la siguiente distribución de probabilidad (distribución empírica): D

75

80

85

90

95

100

105


110

115

120

Página 44

Simulación de sistemas p(D) 1

0.08 0.07 0.02 0.20 0.09 0.19 0.12

0.03

0.14

0.06

a)Suponiendo que el vendedor puede pedir cualquier cantidad de periódicos que se encuentre en el rango de valores de la demanda, construya un modelo de 2 0

0 simulación (diagrama de flujo) para este sistema logístico que permita determinar 7

el nivel óptimo de aprovisionamiento (número de periódicos a pedir diariamente), en un tiempo de simulación de 200 días.

Solución: Propiedades del Modelo COMPONENTES: Periódico, vendedor

VARIABLES EXOGENAS: D: Demanda

VARIABLES ENDOGENAS: UT: Utilidad Total Esperada

VARIABLES DE ESTADO: I: Nivel de Inventario

PARÁMETROS: Tiempo de Simulación = 200 C2: Costo de Pedido


Diagrama de flujo:


Página 45


2 0 0 7


Página 46

Simulación de sistemas Numero de Simulaciones

Pedidos diarios

1

2

3

4

75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125

7500 7924 8313 8698 8986 9120 8673 8544 8653 8077 7693

7500 7928 8288 8630 8880 8895 8889 8884 8648 8375 7893

7500 7928 8364 8703 8973 8980 8775 8807 8440 8341 7868

7500 7958 8283 8698 8816 8938 9008 8820 8389 8413 7940

5 75002 0 7941 0 7 8292 8677 8820 8853 8966 8663 8512 8617 7608

promedio 7500 7935 8308 8681 8895 8957 8862 8743 8528 8365 7800

El pedido optimo para tener una mayor utilidad es de 100 unidades diarios para obtener una utilidad promedio durante los 200 días de 8957 soles

Código del problema: Private Sub CommandButton1_Click() Dim pa(10), x(10) For COL = 1 To 5 D = 0 VN = 0

x(1) = 75 x(2) = 80 x(3) = 85 x(4) = 90 x(5) = 95 x(6) = 100 x(7) = 105 x(8) = 110 x(9) = 115 x(10) = 120


Página 47

Simulación de sistemas pa(1) = 0.08 pa(2) = 0.15 pa(3) = 0.17 pa(4) = 0.37 pa(5) = 0.46

2 0 0 7

pa(6) = 0.65 pa(7) = 0.77 pa(8) = 0.8 pa(9) = 0.94 pa(10) = 1

For t = 1 To 200 q = Cells(p + 7, 3) aleatorio = Rnd() For k = 1 To 10 If aleatorio < pa(k) Then D = Val(x(k)) k = 10 End If Next k If q <= D Then V = q * (1) End If If q > D Then s=q-D V = D * (1) + Val(s * (0.15)) End If VN = VN + (V - q * (0.5)) ActiveSheet.Cells(p + 7, COL + 3) = VN

Next t Next End Sub


Página 48

Simulación de sistemas 1

b) Mediante la simulación de Montecarlo determine la utilidad total esperada para un nivel de aprovisionamiento de 95 periódicos diarios en un tiempo de simulación de 20 días. Utilice los números de la celda A5 (tabla de números aleatorios) para 2 0 0 7

generar los valores de la variable aleatoria.

2

Solución: Propiedades del Modelo COMPONENTES: Periódico, vendedor

VARIABLES EXOGENAS: D: Demanda

VARIABLES ENDOGENAS: UT: Utilidad Total Esperada

VARIABLES DE ESTADO: I: Nivel de Inventario

PARÁMETROS: Tiempo de Simulación = 20 C2: Costo de Pedido


Demanda

Probabilidad

75 0.08 80 0.07 85 0.02 90 0.2 95 0.09 100 0.19 105 0.12 110 0.03 115 0.14 0.06 UNIVERSIDAD NACIONAL 120 DE SAN AGUSTÍN

Probab Acum. 0.08 0.15 0.17 0.37 0.46 0.65 0.77 0.8 0.94 1

Página 49


2 0 0 7

Tabla de Simulación DIA 1 2 3 4 5 6 7 8

r 0.29 0.99 0.99 0.71 0.85 0.78 0.64 0.37

D dema nda 90 120 120 105 115 110 100 90

Aprovisionami ento 95 95 95 95 95 95 95 95

C1 C2 consum sobrant faltant ingreso perdida o e e s s 90 5 45 -1.75 95 25 47.5 95 25 47.5 95 10 47.5 95 20 47.5 95 15 47.5 95 5 47.5 90 5 45 -1.75


Página 50

Simulación de sistemas 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.59 0.12 0.7 0.65 0.49 0.2 0.27 0.06 0.54 0.68 0.32 0.46

100 80 105 100 100 90 90 75 100 105 90 95

95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95

95 80 95 95 95 90 90 75 95 95 90 95

5 15 10 5 5 5 5 20 5 10 5

47.5 40 47.5 2 47.5 0 0 7 47.5 45 45 37.5 47.5 47.5 45 47.5 920

-5.25

-1.75 -1.75 -7

-1.75 -21

Utilidad Total = S/ 899.00

APLICACIÓN 11 Suponga que estamos determinando el punto de reorden R de una política de inventarios (Q,R). Con esta política pedimos Q unidades cuando el nivel de inventario desminuye a R o menos. La distribución de probabilidades de la demanda diaria se da en la siguiente tabla:

DEMANDA DIARIA (unidades) 12 13 14 15 16 17

PROBABILIDAD .05 .15 .25 .35 .15 .05

El tiempo de entrega también es una variable aleatoria y tiene la siguiente distribución:


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Simulación de sistemas TIEMPO DE ENTREGA (Días) 1 2 3 4

PROBABILIDAD .20 .30 .35 .15

2 0 0 7

Suponemos que la cantidad “pedir hasta tener” permanece igual, en 100 unidades. Nuestro interés en este caso es determinar el valor del punto de reorden R que minimice el costo total de inventario. Este costo es la suma del costo esperado de almacenamiento, el costo esperado de pedido y el costo esperado de escasez. La escasez es acumulativa. Esto es, un cliente espera hasta que se tiene el artículo. El costo de inventario se estima en 0.20 dólares por unidad por día, y se carga a las unidades en inventario al final del día. La escasez cuesta 1 dólar por cada unidad que falte. El costo de pedido es 15 dólares por pedido. Los pedidos llegan al inicio del día. a) Suponiendo que el punto de reorden R puede oscilar entre 0 y 50 unidades, construya un modelo de simulación (diagrama de flujo) para este sistema de inventario que permita determinar el valor de R que minimice el costo total de inventario, en un tiempo de simulación de 500 días. b) Mediante la simulación de Montecarlo determine el costo total de inventario para un punto de reorden igual 30 unidades en un tiempo de simulación de 20 días. Utilice los siguientes números aleatorios para generar los valores de las variables aleatorias: - Para la demanda: Números aleatorios de la celda C1 (tabla de números aleatorios). - Para los tiempos de llegada de los pedidos: Números aleatorios de la celda E8 (tabla de números aleatorios).

Dia

II

Unid

rE8

Tiep

Unid

rC1

Demanda


IF

Escas

Cost

Cost

Cost

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CT

Solucion Problemas Propuestos Apuntes de Clase-1

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