Ejemplo 1
Consideremos un juego de suma cero en el que lo que yo gano lo pierde el otro jugador. Cada jugador dispone de tres estrategias posibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en la distribución de diez monedas que se repartirán según las estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamada matriz de pagos. Mis ganancias, los pagos que puedo recibir, se muestran en verde, a la izquierda de cada casilla. Los pagos al otro jugador se muestran en rosa, a la derecha de cada casilla. Para cualquier combinación de estrategias, los pagos de ambos jugadores suman diez.
MATRIZ DE PAGOS Las estrategias del otro jugador A
B
C
A 9|1 1|9 2|8 Mi estrategia B 6 | 4 5 | 5 4 | 6 C 7|3 8|2 3|7 Por ejemplo. Si yo juego la tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B entonces yo recibiré ocho monedas y el otro jugador recibirá dos. Éste es por tanto un juego de suma cero. Se llama juego de suma cero aquél en el que lo que gana un jugador es exactamente igual a lo que pierde o deja de ganar el otro. Para descubrir qué estrategia me conviene más vamos a analizar la matriz que indica mis pagos, la de fondo verde. Ignoro cuál es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida por el otro jugador. Una forma de analizar el juego para tomar mi decisión consiste en mirar cuál es el mínimo resultado que puedo obtener con cada una de mis cartas. En la siguiente tabla se ha añadido una columna indicando mis resultados mínimos.
MATRIZ DE MIS PAGOS La estrategia del otro jugador A
B
C
mínimos
A
9
1
2
1
Mi estrategia B
6
5
4
4
C
7
8
3
3
En efecto,
Si yo elijo la tarjeta A, puedo obtener 9, 1 o 2, luego como mínimo obtendré un resultado de 1. Si elijo la tarjeta B, puedo obtener 6, 5 o 4, luego como mínimo obtendré 4. Si elijo la tarjeta C, puedo obtener 7, 8 o 3, luego como mínimo obtendré 3.
De todos esos posibles resultados mínimos, el que prefiero es 4 ya que es el máximo de los mínimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B ya que esa estrategia me garantiza que, como mínimo, obtendré 4. ¿Podemos prever la estrategia del otro jugador? Supongamos que el otro jugador quiere elegir también s u estrategia MAXIMIN. Mostramos ahora sólo los pagos asignados al otro jugador en los que destacamos el pago mínimo que puede obtener para cada una de sus estrategias. Subrayamos el máximo de los mínimos y su estrategia maximin.
MATRIZ DE PAGOS AL OTRO JUGADOR La estrategia del otro jugador A
B
C
A
1
9
8
B
4
5
6
C
3
2
7
mínimos
1
2
6
Mi estrategia
En efecto,
Si él elige A, su peor resultado sería si yo elijo A con lo que yo obtendría 9 y él 1. Si él elige B, su peor resultado sería si yo elijo C con lo que yo obtendría 8 y él 2. Si él elige C, su peor resultado sería si yo elijo B con lo que yo obtendría 4 y él 6.
Su estrategia MAXIMIN consiste por tanto en jugar la carta C con lo que se garantiza que, al menos, obtendrá 6. Éste es un juego con solución estable. Ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia. Supongamos que se empieza a repetir el juego una y otra vez. Yo jugaré siempre mi estrategia maximin (B) y el otro jugará siempre su estrategia maximin (C). Cada uno sabe lo que jugará el otro la siguiente vez. Ninguno estará tentado de cambiar su estrategia ya que el que decida c ambiar su estrategia perderá. Se llama punto de silla al resultado en el que coinciden las estrategias maximin de ambos jugadores. Ejemplo 2
Dos compañías A y B venden dos marcas de antigripales, La compañía A se anuncia por radio (A1), televisión (A2) y periódicos (A3). La compañía B, además de utilizar radio (B1), televisión (B2) y periódicos (B3), también manda por correo folletos (B4). Dependiendo del ingenio y la intensidad de la campaña de publicidad, cada compañía puede capturar una porción del mercado de la otra. La siguiente matriz resume el porcentaje del mercado capturado o perdido por la compañía A: B1
B2
B3
B4 Mínimo de la fila
8
-2
9
-3 -3
A2
6
5
6
8
5
A3
-2
4
-9
5
-9
8
5
9
A1
Máximo de la columna
Minimax
Maximin
8
La solución del juego se basa en asegurar lo mejor de lo peor para cada jugador. Si la compañía A selecciona la estrategia A1, entonces sin importar lo que haga B, lo peor que le puede suceder es que pierda 3% de la participación del mercado a favor de B. Esto se encuentra representado por el valor mínimo de las entradas de la fila 1. De manera similar, el peor resultado de la estrategia A2 es que capture 5% del mercado de B y el peor resultado de la estrategia A3 es que pierda 9% de la participación del mercado a favor de B. Los anteriores resultados se separan en la columna “mínimo de fila” y, para lograr lo mejor de lo peor , la compañía A escoge la estrategia A2 debido a que a e sta corresponde el mayor valor de la columna “mínimo de fila” denominado “Maximin”. Considerando ahora la estrategia de B se requiere escoger el valor mínimo “Minimax” de la columna “Máximo de la columna” para lograr lo mejor de lo peor de B debido a que la matriz de pago está dada para A.
Tenemos así que la estrategia a escoger es B2.
La solución optima del juego debe seleccionar las estrategias A2 y B2, es decir, ambas compañías deben anunciarse en televisión Esto indica que el resultado estará a favor de A debido a que su participación en el mercado aumentará un 5%, por lo tanto, decimos que el valor del juego es 5% y que A y B usan una solución de punto de equilibrio. Esta solución garantiza que ninguna compañía está tentada a seleccionar otra estrategia debido a que esto ocasionaría perdidas en la participación del mercado, es decir, en caso de que B decida moverse a cualquiera de las otras estrategias, A puede escoger quedarse con la elegida ocasionando así una perdida de participación de mercado para B del 6% u 8% según la estrategia elegida por B, de igual manera, si A decide cambiar a la estrategia A3 , B puede moverse a B3 ocasionando así un incremento del 9% en la participación del mercado a favor de B. Ejemplo 3
Dos jugadores A y B participan en un juego de lanzamiento al aire de una moneda. Cada jugador, desconocido para el otro, elige cara (C) o cruz (Z). Ambos jugadores revelarán sus elecciones de forma simultánea. Si concuerdan (CC o ZZ), el jugador A recibe 1 dólar de B, de otra forma, A paga 1 dólar a B. La siguiente matriz de pagos para el jugador A da los valores mínimo de la fila y máximo de la columna que corresponden a las estrategias de A y B, respectivamente: Bc
Bz Mínimo de la fila
1
-1 -1
-1
1
Ac Az Máximo de la columna
1
-1 1
Los valores máximo y mínimo del juego son -1 dólar y 1 dólar, respectivamente. Debido a que los valores no son iguales, el juego no tiene una solución de estrategia pura ya que si A utiliza una estrategia que ocasione perdidas a B, B puede moverse de tal forma que no le ocasione perdidas lo que indica que los jugadores pueden cambiar de estrategias según conveniencia y por esto es que una estrategia pura no es aceptable. Tenemos entonces que ambos jugadores deben usar mezclas aleatorias apropiadas de sus respectivas estrategias. En este caso, el valor óptimo del juego se dará en algún lugar entre los valores maximin y minimax , así: Valor maximin (más bajo) " valor del juego " valor minimax (más alto) Así, el valor del juego debe estar entre -1 dólar y 1 dólar.
Ejemplo 4:
Supongamos que los dos grandes productores de agendas electrónicas se proponen sacar al mercado un modelo nuevo con teléfono móvil incorporado. Pueden establecer un convenio con cuatro de las compañías telefónicas y uno de los dos productores podría desarrollar una compañía telefónica propia. La matriz de ganancias sería:
Vemos que en −5 hay un punto de equilibrio y corresponde a la elección de Entfone por parte de la
compañía CASIE y de Windtel por parte de la compañía PAM. Este es un punto de equilibrio en el que ninguno de los jugadores puede beneficiarse con un cambio unilateral de estrategia. En este caso el equilibrio se logra asumiendo CASIE una pérdida de 5 como mal menor y PAM una ganancia segura de 5.
