Solución de las preguntas 9,10,11 y 12 del cuestionario. 9. Cuando un pulso ondulatorio viaja por una cuerda tensa,¿Siempre se invertirá con una reflexión?.Explique.
Si una cuerda sometida a cierta tensión F se somete a una vibración transversalperpendicular a la misma, la perturbación producida viaja a lo largo de la cuerda conuna velocidad equivalente a: V = √F / ρ Dónde: ρ es la densidad lineal de la cuerda.Cuando cuerda.Cuan do el desplazamiento es periódico es decir se repite con cierta frecuencia υ, seproduce una onda transversal que viaja a lo largo de la cuerda Fig. nº 1.La relación entre longitud de onda, la velocidad V y la frecuencia υ es: V =ƛ.v Cuando las ondas están confinadas en el espacio, como en Fig. nº 2 se producenreflexiones en ambos extremos y, por consiguiente, existen ondas moviéndose en lossentidos que se combinan de acuerdo al principio de superposición. Para una curdadeterminada, existen ciertas frecuencias para las cuales la s up u p er e r po p o si s i ci c i ón ó n d e u ne ne s q u e m a v i b r a t o r i o e s t a c i o n a r i o e s d e n o minada ONDAS ESTACIONARIA. Siajustamos la tensión en la cuerda podemos conseguir que ambas ondas interfieran detal manera que se cancelen una con la otra, en ciertos puntos (N1, N2, N 3 , … ) conocidos como Nodos, donde no hay vibración.Ahora bien, en los puntos intermedios las dos ondas se refuerzan haciendo que larecta vibre en los puntos una amplitud máxima. Esto puntos intermedios son losAntinodos o Vientres.Para ciertas condiciones dadas, los Nodos y los An ti no do s so n pu nt os f ij os en la cuerda, cuerda, llamándose llamándose onda estacionaria. estacionaria. La cuerda podrá vibrar como mínimo con unnúmero distinto d e a n t i n o d o s s i e m p r e y c u a n d o s e a j u s t e l a t e n s i ó n a u n v a l o r ad ad ecuado. 10. Cuando todas las cuerdas de una guitarra se estiran a la misma tensión. ¿La velocidad de una onda que viaja sobre la cuerda más gruesa será mayor o menor que la de una onda que viaja sobre la cuerda más ligera?
Cuando todas las cuerdas de una guitarra se estiran a la misma tensión, ¿la velocidad de una onda que viaja sobre la cuerda más gruesa será mayor o menor que la de una onda que viaja sobre la cuerda más ligera? La velocidad de propagación es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal. Si todas las cuerdas tienen la misma tensión y longitud, la velocidad será menor en las cuerdas con mayor masa, es decir, en las más gruesas.
11. ¿Qué pasa con la longitud de onda de una onda sobre una cuerda cuando se duplica la frecuencia? Suponga que la tensión en la cuerda permanece constante.
La relación entre frecuencia, longitud de onda y velocidad es v=L.f llamo aquí L a la longitud de onda porque no tengo la letra lambda griega. Ahora despejando L, L=v/f Si duplicas la frecuencia la velocidad no cambia, a menos que cambies de cuerda, porque la velocidad de propagación solo depende del medio. La nueva longitud de onda L' será. L'=v/f' pero f'=2f por lo tanto L'=v/2f o sea L'=1/2 (v/f) Y como v/f es L te queda que L' = 1/2.L la longitud de onda se reduce a la mitad. Mientras el medio permanezca constante la longitud de onda será siempre inversamente proporcional a la frecuencia. 12. Demostrar que las funciones de onda estacionaria, esta dada por: Yn (x, t) Ancosn t. Senkn x = n Donde kn es el número de onda, ωn es la frecuencia angular y A n es la amplitud de “n” números de nodos.
Ya hemos visto que las ondas, por el hecho de propagarse exhiben necesariamente el argumento propio de la propagación. Ahora bien, cuando se trata de ondas estacionarias, las condiciones de contorno, es decir, el hecho de que las amplitudes deben ser nulas en los extremos, impone fuertes restricciones sobre las posibles frecuencias de propagación y además sobre la forma de la ecuación de la onda misma, que como vamos a ver, puede simplificarse. En efecto, sea y+ (y-) la onda que es propaga hacia la derecha (izquierda). y+=A sin(kx-ωt) y-=A sin(kx+ωt)
donde, como es usual k=2π/λ es el número de ondas y ω=2πf es la pulsación o frecuencia angular.
La suma de ambas ondas debe escribirse como: y(x,t) =y++ y- =Asinkx−ωt +Asinkx+ωt =2Acos(wt)sin (kx) Si la cuerda está fija por ambos extremos, (condiciones de contorno), debe cumplirse que las elongaciones en x=0 y x=L han de ser nulas en cualquier instante. Finalmente, las ecuaciones de las ondas estacionarias las escribiremos: Yn(x,t) = A ncos(ωnt)sin(knx) dondeA n es la amplitud del harmónico resonante de orden n, k n es el número de ondas (discretas por las condiciones de contorno) correspondiente y ωn la frecuencia angular correspondiente.
