CARRERA
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE GEOLOGÍA Y PETRÓLEOS DE INGENIERÍA EN PETRÓLEOS, GEO A6
Solución de ecuaciones lineales en base de diferencias finitas y programación Mejía Obaco Byron
[email protected] bril !"1#
Resumen $a simulación de yacimientos en la industria petrolera ha demostrado demostrado ser muy importante en el desarrollo y puesta en marcha de importantes proyectos a tra%&s de la utili'ación de su herramienta la cual consiste consiste en un simulador num&rico num&rico el cual basa su funcionamiento funcionamiento en la resolución de un sin n(mero de ecuaciones por medio del m&todo de diferencias finitas . )l m&todo de diferencias finitas es una cl*sica apro+imación para encontrar la solución num&rica de las ecuaciones ,ue gobiernan el modelo matem*tico de un sistema continuo. )s %alioso %alioso familiari familiari'ars 'arse e con &sta apro+imació apro+imación n por,ue por,ue tal conocimie conocimiento nto refor'ar* refor'ar* la comprensión de los procedimientos de elementos finitos. B*sicamenteB*sicamente- en una solución por diferencias finitas- las deri%adas deri%adas son reempla'adas reempla'adas por apro+imaciones en diferencias finitas- con%irtiendo entonces un problema de ecuaciones difere diferenc ncial iales es en un probl problema ema algeb algebrai raico co f*cilm f*cilmen ente te resolu resoluble ble por por medio medios s comun comunes es especialmente especialmente matriciales/. 0na diferencia finita es una e+presión matem*tica de la forma f+ b/ 2 f+ a/. Si una diferencia finita se di%ide por b 2 a se obtiene una e+presión similar al cociente diferencial,ue ,ue difie difiere re en ,ue ,ue se emplea emplean n cantid cantidad ades es finita finitas s en lugar lugar de infin infinite itesim simale ales. s. $a apro+imación de las deri%adas por diferencias finitas desempe3a un papel central en los m&todos de diferencias finitas del an*lisis num&rico para la resolución de ecuaciones diferenciales. )l procedimiento ,ue se usa en el simulador num&rico es el siguiente4 utili'a el m&todo de las diferencias finitas para discreti'ar las tres ecuaciones ecuaciones fundamentales ,ue gobiernan el mo%imiento de los fluidos en el medio poro en base a m&todos y algoritmos matem*ticos se obtienen flujo gramas de %ariables y funciones ,ue resuel%en las ecuaciones antes mencionadas en la presente entrega nos encargaremos de mostrar al lector la base del funcionamiento y origen del m&todo de diferencias finitas utili'ado en el simulador de yacimientos petrolíferos usados hoy en día
Recursos Sistema de Ecuaciones
1.
)s a,uella en donde en cada t&rmino de la ecuación aparece (nicamente una %ariable o incógnita ele%ada a la primera potencia. 5or ejemplo4
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)
)s una ecuación algebraica lineal en las %ariables 61- 6!- 67- ... - 6n. Se admite ,ue los coeficientes a11- a1!- a17- ... - a1n y el t&rmino independiente 1- son constantes reales.
Los métodos numéricos son útiles para resolver problemas de transferencia de calor, dinámica de fluidos, y otras ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que modelan problemas físicos; sobre todo cuando los mencionados problemas no pueden ser resueltos por medio de técnicas de análisis exacto ya que presentan complejas geometrías, complicadas condiciones de contorno o iniciales, o bien, involucran ecuaciones diferenciales no lineales. n la actualidad, la cantidad de problemas que se abordan numéricamente aumentan día a día ya que los resultados se ajustan cada ve! más a la realidad. l proceso por medio del cual se obtiene la soluci"n aproximada de un problema gobernado por una ecuaci"n diferencial en derivadas parciales, está constituido por dos etapas que esquemáticamente se muestran en la siguiente figura. La primera etapa, llamada discretización, consiste en trasformar el dominio continuo en una malla de nodos, para luego convertir a la ecuaci"n diferencial parcial continua y a las condiciones auxiliares, ya sean de frontera o iniciales, en un sistema de ecuaciones algebraicas.
La segunda etapa del proceso de aproximaci"n requiere un método adecuado para obtener la soluci"n del sistema de ecuaciones algebraicas planteado. xiste una gran variedad de métodos numéricos para resolver las ecuaciones diferenciales parciales. #o obstante, los más usados en la actualidad son$
% &étodo de diferencias finitas % &étodo de elementos finitos Resolución
&étodo de diferencias finitas La aproximaci"n por medio de diferencias finitas es el método más antiguo aplicado para obtener la soluci"n numérica de ecuaciones diferenciales. 'e considera que la primera aplicaci"n (a sido desarrollada por uler en )*+. Las bases del método de diferencias finitas -&/0 consisten en la construcci"n de una malla de una manera estructurada, donde los nodos de la misma, en un espacio n dimensional, están locali!ados en las intersecciones de n familias de líneas rectas, el reempla!o de las derivadas continuas de la ecuaci"n diferencial por las expresiones equivalentes en diferencias finitas y la resoluci"n del sistema de ecuaciones que queda planteado como consecuencia de la anterior sustituci"n. l &/ es, tal ve!, el método más simple para aplicar, particularmente para mallas con una geometría uniforme. 'u mayor desventaja consiste en su incapacidad para tratar efectivamente la soluci"n de problemas sobre formas geométricas irregulares. •
iscreti!aci"n del dominio
1ara obtener la soluci"n numérica de una ecuaci"n diferencial en derivadas parciales utili!ando el &/ se debe, como primer paso, discreti!ar el dominio. 1ara ello, el dominio continuo del problema en estudio es reempla!ado por una malla. Las intersecciones de las líneas que constituyen la malla son denominadas nodos y es en donde se calcula la soluci"n numérica de la ecuaci"n diferencial parcial. 2sí, por ejemplo, para discreti!ar el dominio -x,t0 de un problema de propagaci"n unidimensional se deberán definir los tama3os de paso tanto temporal como espacial. stos tama3os de paso son determinados por medio de las expresiones$
donde #x y #t son dos números enteros positivos, L es la longitud del dominio espacial y tf indica el tiempo final en que se estudia el problema en cuesti"n. La divisi"n del dominio espacial en # x4) partes iguales de anc(o (x, y del dominio temporal en # t4) partes iguales de 5anc(o6 (t, da como resultado la discreti!aci"n del dominio al tra!ar líneas verticales y (ori!ontales a través de los puntos de coordenadas -x i; t j0, donde$
2proximaciones en diferencias finitas l pr"ximo paso para la resoluci"n numérica de una ecuaci"n diferencial parcial utili!ando el &/ es el reempla!o de las derivadas continuas de la ecuaci"n diferencial por las expresiones equivalentes en diferencias finitas. sto se logra utili!ando el desarrollo en serie de 7aylor de la variable dependiente alrededor de un punto particular de la malla. 1ara ello, la variable dependiente en un nodo de la malla es indicada utili!ando como subíndice y superíndice los índices que se utili!an para denotar dic(o nodo. 2sí, por ejemplo, la funci"n 7-x, t0 en el nodo -i;j0 es expresada de la siguiente manera$
1ara ejemplificar el procedimiento de aproximaci"n, se considerará la derivada parcial de primer orden de la funci"n 7 con respecto al tiempo. 1ara ello, se utili!ará el desarrollo en serie de 7aylor de 7 en -x i; t j0 y se lo evaluará en -x i; t j4)0. e esta manera se obtiene$
donde 8m4) es el término residual que está dado por$
l término residual 8m4) es el error asociado con el truncamiento de la serie de 7aylor. s importante conocer el orden de dic(o error, es decir, conocer la
forma en que el error tiende a cero cuando (t 9. :omo se puede observar, el término residual 8m4) depende de (t m4), por lo tanto, cuando (t 9, el error tenderá a cero como (t m4). →
→
n consecuencia, el orden de truncamiento de la serie de 7aylor para aproximar 7 j4) es m4). sto es indicado con el símbolo -(t m4)0. i 'i se despeja la derivada parcial de primer orden de la funci"n 7 con respecto al tiempo resulta$
donde
n particular, si se escribe el desarrollo en serie de 7aylor de primer orden, entonces, la expresi"n anterior está dada por$
donde el término de error es$
l término de error, que fue despreciado, se denomina error de truncamiento de la aproximaci"n en diferencias finitas para la derivada temporal de primer orden de la funci"n 7. La aproximaci"n recién obtenida es de primer orden y es llamada aproximaci"n de diferencias progresivas. el mismo modo, puede conseguirse una aproximaci"n de diferencias regresivas de primer orden. 1ara ello, se escribe el desarrollo en serie de 7aylor de 7 en -xi; t j0 y se lo evalúa en -x i; t j=)0.
1ara poder obtener una aproximaci"n en diferencias finitas para la derivada parcial de segundo orden de la funci"n 7 con respecto al espacio, es necesario escribir el desarrollo en serie de 7aylor de 7 de orden tres en -x i; t j0. valuando dic(o desarrollo en -x i=); t j0 y en -xi4); t j0 se obtiene$
espreciando el término de error, se obtiene una aproximaci"n de diferencias finitas de segundo orden$
sta aproximaci"n es denominada de diferencias centradas. 7rabajando de manera similar, es posible obtener las siguientes aproximaciones en diferencias finitas$
'oluci"n en diferencias finitas La soluci"n en diferencias finitas de una ecuaci"n diferencial parcial se obtiene al reempla!ar cada una de las derivadas parciales exactas en la ecuaci"n diferencial por su correspondiente aproximaci"n en diferencias finitas. e esta manera, es posible discreti!ar la ecuaci"n diferencial parcial. 2l aplicar la ecuaci"n discreti!ada en cada punto de la malla se obtiene un sistema de ecuaciones denominado sistema de ecuaciones de diferencias
finitas. l proceso de aproximaci"n requiere de la selecci"n de un método adecuado para obtener la soluci"n del sistema de ecuaciones algebraicas planteado.
Nomenclatura
• • • • •
61- 6!- 679 :ariables &/> &étodos de diferencias finitas -x,t0> ominio #x y #t> #úmeros enteros positivos 7-x, t0> /unci"n en el nodo
Conclusiones
•
0n es,uema de diferencias finitas puede tambi én utili'arse para apro+imar la segunda deri%ada de una funci ón en un punto de malla. )n este m ódulo se ha obtenido un es,uema de segundo orden ,ue apro+ima la deri%ada
•
segunda. Se pueden desarrollar programas de computadora- con distintos lenguajes de programación para solucionar problemas o modelar el mo%imiento de fluidos
Recomendaciones
•
$a apro+imación de las deri%adas por diferencias finitas desempe3a un papel
central
en
los m&todos
de
diferencias
finitas del an*lisis
num&rico para la resolución de ecuaciones diferenciales. 5or ende un trabajo de calidad garanti'ara un buen desempe3o de la resolución •
$as diferencias finitas pueden utili'arse para apro+imar deri%adas
Bibliora!"a
•
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