DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE FÍSICA GENERAL Y QUÍMICA
DEPARTAMENTO D DE E ELECTRICIDAD Y Y M MAGNETISMO SEMESTRE 2012-1 PRIMER EX AM AMEN FIN AL A L . TIPO V
SOLUCIÓN INSTRUCCIONES: El tiempo máximo para la resolución del examen es de
2.5 horas. No se permite la consulta de documento alguno. Cada problema problema tiene tiene un valor de 2.0 puntos. Resuelva 5 de los l os 6 propuestos. Buena suerte.
1.- La figura muestra un arreglo de una superficie muy grande coincidente con el plano “xz” con una densidad superficial de carga μC y dos cargas puntuales Q1 = Q 2 = 25 [nC] colocadas m2
σ = −7.08
en los puntos M (4,4,0) [cm] y N (-4,4,0) [cm] respectivamente. Determine: a) El vector campo eléctrico en el punto A (0,1,0) [cm]. b) El vector fuerza eléctrica que actúa sobre la carga Q1. c) La diferencia de potencial VAB, donde B (0,7,0) [cm]. d) El trabajo necesario para colocar Q2 en el punto C (0,4,0) [cm]. 1. Resolución.
a) E A = E Aσ + E AQ1 + E AQ2 ;
E
AQ1
=
Aσ
=
2ε 0
7.08 × 10 −6
V = 400 × 103 − jˆ − 12 m 2 8.85 × 10
=
0
[ ]
−9 25 × 10 Q kV 4 ˆi 3 jˆ 1 = 9 × 10 9 − = − 72ˆi − 54 jˆ − 25 × 10 − 4 5 5 m r 2
(
1 4πε
E
σ
)
−9 25 × 10 1 4 ˆi − 3 jˆ = 72ˆi − 54 jˆ kV 2 = 9 × 10 9 E = m AQ2 4πε 2 25 × 10 − 4 5 5 0 r kV 3 V E = − 400 jˆ − 72ˆi − 54 jˆ + 72ˆi − 54 jˆ 10 = − 508 jˆ A m m Q
(
(
)
)
1 E =E + E = 1 1Q2 1σ 4 πε
b) FQ1 = Q1E1 ;
Q
2 ˆi − 400 × 103 jˆ V m 2 0 r 12
9 25 × 109 9 × 10 ˆi − 400 × 103 jˆ V ; E = m 1 64 × 10 − 4
V E = 35.16 × 103 ˆi − 400 × 103 jˆ 1 m
−3 F = 0.879ˆi − 10 jˆ 10 [ N] Q1
− 9 35.16 × 10 3 ˆi − 400 × 10 3 ˆj ; F = 25 × 10 Q1
(
)
c) VAB = VABσ + VABQ1 + VABQ2 1 V = VAQ1 − VBQ1 = ABQ1 4 πε
d) 2WC = Q 2 VC2 ; 2 WC
(
)(
Q Q 2 =0=V 1 − 1 ; ABQ2 r 4 πε r 0 A1 0 B1
VC 2σ = 0
)
;
VC 2Q1 =
1
1 4 πε
0
Q1
r C
3 V Ed = − 400 × 10 (0.06) = − 24[kV] ABσ = −
−
1
(
)(
= 9 × 10 −9 25 × 10 −9 r 2
) 0.104 − 0.108 = 2.8125[kV]
= 25 × 10 −9 2.8125103 = 70.31[μJ ]
1/4
2. Se tiene un arreglo de capacitores como lo muestra la figura, se sabe que C 2 = 90 × 10 −12 [F] , determine: a) La diferencia de potencial entre los puntos b y c, es decir, V bc si la carga en el capacitor 2 es Q2 = 4.5 × 10 -9 [C ]
b) El valor del capacitor C 1 si V ab = 50[V ] c) El valor del capacitor C 3 y su dieléctrico adecuado (utilizar los datos de la tabla). d) La energía almacenada por el arreglo. Dieléctrico
A[m ]
1 0.01 2 0.01 3 0.01 4 0.01 2. Resolución
d[m]
k e
0.01 0.01 0.01 0.01
10 11.3 25.2 11.3
E rup (V / m)
8,000 10,000 4,000 5,000
4.5 × 10 −9 = = 50[V ] a) V bc = C 2 90 × 10 −12 Q2
4.5 × 10 −9 = = 90 × 10 −12 [F ] C 1 = 50 V ab Q1
b) Q1 = Q2
c) Vac = Vab + V bc = 50 + 50 = 100[V] C 3
=
k eε 0 A d
1
=
E rupC 3 =
(11.3)(8.85 × 10−12 )(0.01) 0.01 1 C C
100[V ]
V = 10000 0.01[m ] m
= 100 × 10 −12 [F ]
se usará el dieléctrico 2
1
d) U = C eq Vac2 = 1 2 + C 3 (100)2 = (145 × 1012 )10000 = 0.725[μJ ] 2 2 C1 + C 2 2 3. En la figura se muestra un circuito donde ε1 = 12[V ] , r 1 = 2[Ω] , ε 2 = 6[V] , r 2 = 1[Ω ] , ε 3 = 6[V] , r 3 = 2[Ω] , ε 4 = 3[V ] , r 4 = 1[Ω] , R 1 = 18[Ω ] , R 2 = 9[Ω ] y R 3 = 28[Ω ] , obtener: a) La corriente eléctrica en cada una de las fuentes b) La energía eléctrica que se transforma en calor por segundo en el resistor R1 . c) La diferencia de potencial Vab . d) La energía suministrada por la fuente ε 2 en un segundo. 3. Resolución a) Aplicando LCK y LVK nodoB − I 1 + I 2 − I 3 = 0 malla I
20 I 1 + 29 I 2 + 0 I 3 = 18
malla II
0 I 1 + 29 I 2 + 11I 3 = 12 ;
J 2 = R1 I 12 = (18)( 0.3324 ) = 1.9888 s c) Vab = ε 4 + ε 3 − r 3 I 3 = 3 + 6 − 2(0.059) = 8.882[V ] d) U = ε 2 I 2 t = (6)(0.3914)1 = 2.3484[J] .
b)
I 1 = 0.3324[ A], I 2 = 0.3914[ A], I 3 = 0.059[ A]
P R1
2/4
4. La figura muestra dos conductores rectos muy largos y paralelos entre si y al eje “x”; el conductor 1 pasa por el punto O (0,0,4) [cm] y conduce una corriente I1= 20 [A]; el conductor 2 conduce una corriente I2=10 [A] y pasa por el punto P (0,0,-4) [cm], también se muestra una espira cuadrada de lado L=4 [cm] contenida en el mismo plano que forman los conductores, con centro en el punto A (10,0,0) [cm] y fluye a través de ella una corriente Ie=2 [A]. Calcule: a) El vector campo magnético en el punto A debido solo a la espira. b) El vector campo magnético en el punto A debido solo a la corriente que fluye por el conductor 2. c) El flujo magnético que provocan los conductores en la superficie enmarcada por la espira. d) La fuerza que experimentaría el lado “EF” de la espira debido a la corriente que transporta el conductor 1. 4. Resolución. 2 2µ 0ie 2 2 (4π × 10 −7 )2 (− j ) = a) Ba = = −56.57 × 10 −6 j [T ] π π (0.04 )
b) B A =
μ 0 I 2 ˆ 4 π × 10 −7 (10) ˆ − j = j = 5 × 10 5 jˆ [T ] − 2 2 π r A 2 2 π 4 × 10
(
c) φ = φ1 − φ 2 = φ=
μ 0 I1
2π
)
ln
r 2 r 1
−
μ 0I 2
2π
ln
r 2
=
r 1
μ 0
2π
ln
r 2 r 1
( I1 − I 2 )
(4π × 10 − )(0.04) ln 0.06 (20 − 10) = 8.7889 × 10 − [Wb]
7
8
2π
0.02
( )
d) FFE = i e FE × B = i e FE B − k = 2(0.04)
0.08(4 π × 10 −7 )20 ˆ [ N ] ( ( − k ) = − k ) = −5.333 × 10 −6 k 2πr 2π(0.06)
μ 0 I1 1
5. En la figura se muestra un toroide con 3000 espiras juntas y apretadas enrolladas sobre un núcleo de área transversal cuadrada de lado a= 5 [cm], radio interior r 1=10 [cm] y radio exterior r 2=15 [cm]; sobre una parte del toroide se encuentra una bobina de 300 vueltas y resistencia r b=0.3 [Ω], determine: a) La expresión para el cálculo del flujo magnético en una sección transversal del toroide, en función de su corriente. b) La inductancia mutua entre toroide y bobina. c) La diferencia de potencial, VAB , inducida en la bobina en t=5[ms] d) La magnitud de la corriente inducida que circula por el resistor R=0.5 [Ω], si este se conectase en las terminales A y B, en t=2[ms]. 5. Resolución. a) φ t
= ∫∫ B.d A = ∫∫ BdA cos θ
r 2
dA = θ dr
φ t =
∫ r 1
b) M = N b
φ t it (t )
c) i t (5[ms]) = 4[A ]
=
N b µ 0 N t a
2π
ln
r 2 r 1
=
VAB t (5[ ms]) = M
µ 0 N t it
2π r
300(4π × 10 −7 )(3000)0.05 2π
di t ( t ) dt
=M
d (cte) dt
adr
ln
15 10
φ t =
µ 0 N t it
2π r
ln
r 2 r 1
= 3.649[mH ]
= 0[V ]
3/4
d) VAB t =2[ ms] = M VABt = 2[ ms]
i t = 2[ ms] =
2 [ A] = 3.649[V] = M(m ) = 3.649 × 10 −3 −3 dt 2 × 10 [s ] di
=
R + r b
3.649 0.5 + 0.3
= 4.56 [A]
6. Se tienen dos solenoides devanados sobre un núcleo ferromagnético de permeabilidad , de sección transversal circular con diámetro d= 0.5 [cm]. El solenoide 1 tiene una longitud l 1=5 [cm], N1=150 [vueltas], y una resistencia interna r 1 =0.1 [Ω]; el solenoide 2 tiene una longitud l 2=10 [cm], N2=300 [vueltas], y una resistencia interna r 2 =0.2 [Ω]. Calcule: a) La inductancia propia de cada solenoide. b) La inductancia mutua entre los solenoides y el factor de acoplamiento. c) La inductancia equivalente entre los puntos A y C. d) La representación simbólica de esta conex ión empleando marcas de polaridad. 6. Resolución.
a)
L1 =
L2 =
N12 μA
(150) 2 100( 4π × 10 −7 ) π(0.005) 2 0.05
1
N 22 μA
=
(300) 2 100(4π × 10 −7 ) π(0.005) 2 0.1
2
b) M 12 =
k =
=
N1 N 2 μA
M12 L1 L 2
=
= 2.2 [mH]
(150)(300)100( 4π × 10 −7 ) π (0.005) 2 0.1
2
=
= 1.1[mH]
1.1 (1.1)(2.2)
= 1.1 [mH]
= 0.7071 → k = 70.71%
c) L eq = L1 + L 2 − 2M = 1.1 [mH] d)
4/4
