Electricidad y Magnetismo FIS 1533 Benjamin Koch
Pontificia Universidad Católica, Chile
2011
Contenido 1
Carga Eléctri Eléctrica ca y Campo Eléctrico Eléctrico
2
Ley Ley de Gauss Gauss
3
Potencial Eléctrico
4
Capacitanci Capacitancia a y Dieléctrico Dieléctricoss
5
Corriente, Corriente, Resistencia Resistencia y Fuerza Electromo Electromotriz triz
6
Circuitos Circuitos de Corrient Corriente e Directa Directa
7
Campo Magneéti Magneético co y Fuerzas Magnética Magnéticass
8 9
Campo Magnético Fuentes Fu entes de Campo Campo Magnético Magnético
10
Inducción Electromagnetica
11
Inductancia
12
Corriente Alterna
13
Maxwell y Ondas Electromagnéticas
14
Luz
Organización Clase: Ayudanía: 3 Is y 3 Cs: 1 Examen: Eximición:
LW 8.30-10.00 LW 14.00-15.30 Is: 29.08., 03.10., 07.11; Cs: 24.08., 28.09., 02.11. 02.12.2011 rendir todas, { } > , >
= · donde = · =( + + +
+ · )/
+ ·
(1)
y
Importante: Participar y preguntar!! Bibliografía: Young, Freedmn; Física Universitaria con Física Moderna, edición. Pearson Wesley, 1999. Materiales: www.fis.puc.cl/∼bkoch/
sistema SI
Magnitud física
Simbolo
Nombre
longitud tiempo masa corriente eléctrica tempereatura cantidad substancia int. luminosa
m s kg A K mol cd
Metro Segundo Kilogram Ampere Kelvin Mol Candela
nota: voltaje ( ) no es independiente:
=
Operaciones diferenciales Coordenadas cartesianas
x, y, z Gradiente = ˆ ∂ ∇
+ˆ ∂
+ˆ ∂
(2)
· = ∂ ∇
+ ∂
+ ∂
(3)
Divergencia Rotación × ∇
Volumen
ˆ = ∂
=
ˆ
ˆ
∂
∂
(4)
(5)
Operaciones diferenciales Coordenadas cilindricas
φ
Gradiente = ˆ ∂ ∇
+ ˆφ ∂φ + ˆ ∂
(6)
Divergencia · = ∂ ( ∇
) + ∂φ
φ + ∂
(7)
Rotación = ˆ ( ∂φ ∇×
−∂
φ )+ˆφ (∂
−∂
)+ˆ
(∂ (
φ ) − ∂φ
) (8)
Volumen
=
φ
(9)
Operaciones diferenciales Coordenadas esfericas
θ φ (cuidado aquí θ : π y φ : π )
Gradiente = ˆ ∂ ∇
+ ∂θ +
∂φ θ
(10)
Divergencia · = ∇
∂ (
)+
∂θ ( θ
θ θ ) +
∂φ θ
φ
(11)
Rotación = ∇×
ˆ
(∂θ (
θ
φ
θ )−∂φ
θ )+
ˆθ
(∂φ
θ
−
(θ )∂ (
φ ))+
ˆφ
(∂ (
φ )−∂φ
) (12)
Volumen
=
θ
θ φ
(13)
Distribución de delta
Wanted: “Mata integrales” δ ( ) Def: para cada función
( )δ (
( )δ ( − ) = ( ) (15)
−
) = ( ) (14)
3 dim.
Connexión con θ θ ( −
) = δ ( −
) (16)
Carga Eléctrica Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Carga Eléctrica Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Ley de Coulomb: =
− π | − |
(17)
permitividad del vacío = − Estructura matematica Comparar con ley de Newton Cargas positivas y negativas Fuerza entre dos cargas
Carga Eléctrica Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Ley de Coulomb: =
− π | − |
(17)
permitividad del vacío = − Estructura matematica Comparar con ley de Newton Cargas positivas y negativas Fuerza entre dos cargas
Carga Eléctrica Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
La carga eléctrica es cuantizada! Cantidad mínima (casi)
=
−
Puede ser + o Electron, positron Proton, anti-proton Neutron Mas exóticos: Muon, Antimuon, quarks, mesons ...
(18)
Carga Eléctrica Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
La carga eléctrica es cuantizada! Cantidad mínima (casi)
=
−
Puede ser + o Electron, positron Proton, anti-proton Neutron Mas exóticos: Muon, Antimuon, quarks, mesons ...
(18)
Carga Eléctrica Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
La carga eléctrica es conservada! El numero neto de cargas positivas y negativas no cambia, incluso cuando las partículas cambian.
( )=
( )+
−
(19)
Carga Eléctrica Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
La carga eléctrica es conservada! El numero neto de cargas positivas y negativas no cambia, incluso cuando las partículas cambian.
( )=
( )+
−
(19)
Densidades de carga Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Densidades de carga Volumen:
↔
ρ =
=
ρ
(20)
=
σ
(21)
=
λ
(22)
(23)
Area: σ =
↔
Linea:
↔
λ =
Permite escribir ec. (19) en forma diferencial ρ/
es flujo por area.
+∇·
Campo eléctrico Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Para una sola carga
se define el campo eléctrico =
=
ˆ
π
(24)
Para mas cargas se suman las fuerzas ⇒ se suman los campos eléctricos
= =
Ejemplo dos cargas con distancia Ayudantía
cargas en linea, plano
=
(25)
Lineas del campo eléctrico Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Indiquan hacía donda va una carga
,+
Como se ven si acercamos + y +?
+ y −? Plano lleno de +?
Dipolo eléctrico Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Vieron en ayudantía + y −:
Se define el momentum dipolar , = + − −
(26)
y distancia al centro del dipolo de un punto = − + + −
(27)
Momentum dipolar para muchas cargas ( ) =
ρ( )( − )
(28)
Conductores, aisladores Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Conductores, aisladores (Casos extremos) Conductor ideal Todas las cargas de un sistema pueden mover libre.
Aislador ideal Ninguna carga es disponible para crear flujo.
Donde conductores y donde aisladores?
Cargas inducidas Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Que pasa si acerco carga (campo) a conductor?
Donde van parejas + −?
Cargas inducidas Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Que pasa si acerco carga (campo) a conductor?
El conductor se polariza!
Cargas inducidas Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Que pasa si acerco carga (campo) a conductor?
El conductor se polariza!
Distribución de cargas en conductor Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Lennamos un conductor poco a poco con cargas
A donde van las cargas libres?
Distribución de cargas en conductor Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Lennamos un conductor poco a poco con cargas
Explica estructura del cable de alta voltaje!
Distribución de cargas en conductor Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Que pasa con lineas del campo electrico?
Hacía donde apuntan?
Distribución de cargas en conductor Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Siempre ortogonal!
Hacía donde apuntan?
Estructura de la materia Carga Eléctrica y Campo Eléctrico
Ley de Gauss Gauss
Ley de Gauss
Flujo eléctrico Gauss
Analogía flujo de agua
Φ
flujo eléctrico
=
( ) · (29)
Φ =
Depende de superficie , pero que es ? Con superficie cerrada:
Φ =
pero que es una superficie cerrada?
( ) ·
( ) ·
(30)
(31)
Flujo eléctrico Gauss
Analogía flujo de agua
Φ
flujo eléctrico
=
( ) · (29)
Φ =
Depende de superficie , pero que es ? Con superficie cerrada:
Φ =
pero que es una superficie cerrada?
( ) ·
( ) ·
(30)
(31)
Flujo eléctrico Gauss
Analogía flujo de agua
Φ
flujo eléctrico
=
( ) · (29)
Φ =
Depende de superficie , pero que es ? Con superficie cerrada:
Φ =
pero que es una superficie cerrada?
( ) ·
( ) ·
(30)
(31)
Ley de Gauss Gauss
Ley de Gauss:
Φ =
(32)
Con (31) y (20)
( ) · =
ρ
(33)
Nota: No depende de la forma de ! A que corresponde una carga en la analogía entre y flujo de agua ?
Ley de Gauss Gauss
Ley de Gauss:
Φ =
(32)
Con (31) y (20)
( ) · =
ρ
(33)
Nota: No depende de la forma de ! A que corresponde una carga en la analogía entre y flujo de agua ?
Gauss vs. Coulomb Gauss
Suponemos que sabemos Gauss y no sabemos Coulomb
Mas facil en coordenadas esfericas = ˆ φ θ φ Simetría: ( ) = ˆ ( ) π
Gauss:
=
( )=
π
π
( ) ·
Coulomb!
(34) (35)
Gauss dentro de conductor cargado Gauss
Campo dentro del conductor cargado? Con
ley de Gauss ⇒ =
Gauss dentro de conductor cargado Gauss
Campo dentro del conductor cargado? Con
ley de Gauss ⇒ =
Gauss en forma diferencial Gauss
Escribir ley de Gauss (fis) sin integrales?
( ) · =
ρ
(36)
Usar ley de Gauss (mat)
Esto para cualquier
( ) · =
· ∇
(37)
: ley de Gauss (forma diferencial) ρ ∇· =
(38)
Potencial Eléctrico
Potencial Eléctrico
Trabajo hecho por fuerza electrica Potencial Eléctrico
Trabajo infinitesimal a mover carga
∆
:
= · ∆ =
· ∆
(39)
Juntar trabajos infinitesimales de trabajo total a lo largo de una curva
=
Este trabajo define una energía ?Es esta energía una energía potencial?
(40)
Trabajo hecho por fuerza electrica Potencial Eléctrico
Pero es esta energía una energía potencial? Nota: Un trabajo no siempre da una energía potencial! Condición suficiente Si Que evite? Ejemplos?
· =
Ejemplo?
⇒ hay potencial
(41)
Trabajo hecho por fuerza electrica Potencial Eléctrico
Pero es esta energía una energía potencial? Nota: Un trabajo no siempre da una energía potencial! Condición suficiente Si Que evite? Ejemplos?
· =
Ejemplo?
⇒ hay potencial
(41)
Trabajo hecho por fuerza electrica Potencial Eléctrico
Pero es esta energía una energía potencial? Nota: Un trabajo no siempre da una energía potencial! Condición suficiente Si Que evite? Ejemplos?
· =
Ejemplo?
⇒ hay potencial
(41)
Potencial Eléctrico V Potencial eléctrico
Definición de
a traves del trabajo
( )−
( ) = − =−
( )−
( ) · = −
(42)
·
(43)
Definición diferencial de = −∇ ·
(44)
V vista general Potencial eléctrico
Con Gauss y (44): Ecuación diferencial · ∇ ∇
ρ =−
(45)
· ∇ es operador de Laplace Ecuación de Poisson, Donde ∇ Metodo de solución general via funciones de Green ( − ): · ∇ ( − ) = δ ( − ) da ∇
( − ) = −
π | −
|
(46)
solución general
( )=
Ω
( − )
− ρ(
)
=
π
Ω
ρ( )
| −
|
(47)
Ejemplos Potencial Eléctrico: Carga puntual Potencial eléctrico
Orígen en la posición de la carga
( )−
( )=−
· (48)
Elegir camino radial: = ˆ Calcular problema con resultado
( )=
π
(49)
Superficies equipotenciales Potencial eléctrico
Que pasa si elegimos algun camino en la esfera? = ˆθ + ˆφ
∆
=−
·
(50)
∆ = ! El potencial es constante. Estos caminos definen una superficie equipotencial (en rojo) Esta superficie donde el potenciál existe para cada campo electrico (conservativo)
Superficies equipotenciales Potencial eléctrico
Que pasa si elegimos algun camino en la esfera? = ˆθ + ˆφ
∆
=−
·
(50)
∆ = ! El potencial es constante. Estos caminos definen una superficie equipotencial (en rojo) Esta superficie donde el potenciál existe para cada campo electrico (conservativo)
Superficies equipotenciales Potencial eléctrico
Que pasa si elegimos algun camino en la esfera? = ˆθ + ˆφ
∆
=−
·
(50)
∆ = ! El potencial es constante. Estos caminos definen una superficie equipotencial (en rojo) Esta superficie donde el potenciál existe para cada campo electrico (conservativo)
Potencial de varias cargas Potencial eléctrico
Con mas cargas
=
⇒
(51)
sigue cierto para potenciales
=
(52)
Ejemplo potencial dipolo eléctrico Potencial eléctrico
Vieron en ayudantía + y −:
Se define el momentum dipolar , = ( + − − )
(53)
y distancia al centro del dipolo de un punto = − + + −
(54)
Momentum dipolar para muchas cargas ( ) =
ρ( )( − )
(55)
Ejemplo potencial dipolo eléctrico Potencial eléctrico
Vieron en ayudantía + y −:
= Expandir para /
=
π
| + − |
−
| − − |
(56)
( )≈
· ˆ π
+
(57)
Potencial Eléctrico y Conductor Cargado Potencial eléctrico
Como se comporta un potencial eléctrico a lo largo den un conductor cargado?
∆
=−
∆
=
·
porque es normal (o zero) a la superficie del conductor Nota: Truco muy util
(58) (59)
Potencial Eléctrico y Conductor Cargado Potencial eléctrico
Como se comporta un potencial eléctrico a lo largo den un conductor cargado?
∆
=−
∆
=
·
porque es normal (o zero) a la superficie del conductor Nota: Truco muy util
(58) (59)
Potencial Eléctrico y Conductor Cargado Potencial eléctrico
Como se comporta un potencial eléctrico a lo largo den un conductor cargado?
∆
=−
∆
=
·
porque es normal (o zero) a la superficie del conductor Nota: Truco muy util
(58) (59)
Conductor Cargado: ejemplo espejo Potencial eléctrico
Carga
enfrenta conductor plano: Sistema de coordenadas? Sabemos || = = || + ρ = ∂ Gauss: ∇ = ρ = σ ( φ)δ ( )
||
Sin espejo: dificil Con espejo:
Densidad de carga σ en superficie?
σ ( ) =
π (
+
)
/
(60)
Conductor Cargado: ejemplo espejo Potencial eléctrico
Carga
enfrenta conductor plano: Sistema de coordenadas? Sabemos || = = || + ρ = ∂ Gauss: ∇ = ρ = σ ( φ)δ ( )
||
Sin espejo: dificil Con espejo:
Densidad de carga σ en superficie?
σ ( ) =
π (
+
)
/
(60)
Conductor Cargado: ejemplo espejo Potencial eléctrico
Carga
enfrenta conductor plano: Sistema de coordenadas? Sabemos || = = || + ρ = ∂ Gauss: ∇ = ρ = σ ( φ)δ ( )
||
Sin espejo: dificil Con espejo:
Densidad de carga σ en superficie?
σ ( ) =
π (
+
)
/
(60)
Conductor Cargado: ejemplo espejo Potencial eléctrico
Carga
enfrenta conductor plano: Sistema de coordenadas? Sabemos || = = || + ρ = ∂ Gauss: ∇ = ρ = σ ( φ)δ ( )
||
Sin espejo: dificil Con espejo:
Densidad de carga σ en superficie?
σ ( ) =
π (
+
)
/
(60)
Conductor Cargado: ejemplo espejo Potencial eléctrico
Carga
enfrenta conductor plano: Sistema de coordenadas? Sabemos || = = || + ρ = ∂ Gauss: ∇ = ρ = σ ( φ)δ ( )
||
Sin espejo: dificil Con espejo:
Densidad de carga σ en superficie?
σ ( ) =
π (
+
)
/
(60)
Ejemplos Potencial Eléctrico: Condensador Potencial eléctrico
De ayudantía conocemos campo a dentro = ˆ σ
(61)
y a fuera =
Con = ˆ para
( )− ( ) = −
<
=
(62)
<
· = − σ ( − ) (63)
Dibujar ( ), ( ) ... Superficie equipotencial?
El Tubo de rayos catódicoos Potencial eléctrico
Movimiento de electron en condensador Newton = −ˆ
¨ =
(64)
σ
( ) = ˆ (
+
+
)+ˆ (
Así funcionaron las teles antiguas
+
) (65)
El Tubo de rayos catódicoos Potencial eléctrico
Movimiento de electron en condensador Newton = −ˆ
¨ =
(64)
σ
( ) = ˆ (
+
+
)+ˆ (
Así funcionaron las teles antiguas
+
) (65)
El Tubo de rayos catódicoos Potencial eléctrico
Movimiento de electron en condensador Newton = −ˆ
¨ =
(64)
σ
( ) = ˆ (
+
+
)+ˆ (
Así funcionaron las teles antiguas
+
) (65)
Capacitancia y Dieléctricos
Capacitancia y Dieléctricos
Capacitores Capacitancia y Dieléctricos
Hoy: Condensador → Capacitor Guarda carga eléctrica Para distinguir se define capacitancia:
=
(66)
=
(67)
Con (63)
Como mejor construir Capacitor?
Capacitores Capacitancia y Dieléctricos
Hoy: Condensador → Capacitor Guarda carga eléctrica Para distinguir se define capacitancia:
=
(66)
=
(67)
Con (63)
Como mejor construir Capacitor?
Capacitores Capacitancia y Dieléctricos
=
(68)
Como mejor construir Capacitor?
Cambiamos , se pue puede de cambiar ? = , ∼ ya vimos como hacer pequeno?
Capacitores Capacitancia y Dieléctricos
=
(68)
Como mejor construir Capacitor?
Cambiamos , se puede puede cambiar ? = , ∼ ya vimos como hacer pequeno?
Capacitores Capacitancia y Dieléctricos
=
(68)
Como mejor construir Capacitor?
Cambiamos , se puede puede cambiar ? = , ∼ ya vimos como hacer pequeno?
Combinar Capacitores Capacitancia y Dieléctricos
Dos maneras de combinar capacitores En serie: Paralelo:
= = =
=
= (69)
=
+
+ (72)
+
+
=
=
=
+
+
(70)
(71)
=
+
+
(73)
(74)
Dieléctricos Capacitancia y Dieléctricos
Se puede cambiar ? Polarisación pero tiene que ser isolador! →
(75)
Constante dielectrica > depende del material ( vacío, > depende dielectricum dielectricum real, ∞ conductor) Al nivel atomico? Calcular para para diplolo ideal de largo /
Ejemplos para Dieléctricos Capacitancia y Dieléctricos
Dieléctricos son aisladores o por lo menos malos conductores Material aire madera petroleo vidrio ceramica ...
/ /
− − − −
Estos son ordenes de magnitud, los numeros dependen de varios factores como temperatura y fecuencia.
Cargar un condensador Capacitancia y Dieléctricos
Cargamos un condensador Infinitesimal
∆
( →
+∆ ) =
= = · · · = −
∆
(76)
Completo
|∆
( →
)| =
∆ ∆
= ··· =
(77)
Energía del Campo Eléctrico Capacitancia y Dieléctricos
La enería que corresponde a Encontramos
se guarda en el campo electrico!
= (Importante y general, no solo capacitor!)
Analogía campo gravitacional?
(78)
Ley de Gauss en Dieléctricos Capacitancia y Dieléctricos
Ley de Gauss con dieléctricos
( ) · =
ρ
Ojo: aqui cuentan solamente cargas libres!
Relacion entre y cargas inducidas σ en el dielectrico? Que valores puede tener ? Ejemplo transicion entre a Ejemplo ley de Snell Ejemplo carga de espejo
(79)
Corriente, Resistencia y Fuerza Electromotriz
Corriente, Resistencia y Fuerza Electromotriz
Corriente, Resistencia y Fuerza Electromotriz Corriente eléctrica
La corriente o intensidad elćtrica es el flujo de carga por unidad de tiempo que recorre un material.
Simbolo , unidad:
[ ]=
Ampere
(80)
Corriente, Resistencia y Fuerza Electromotriz Resistencia
La resistencia elćtrica de un objeto es una medida de su oposiciń al paso de corriente.
=
(81)
Unidad “Ohm”
[ ]=
=
≡Ω
(82)
Potencia de una corriente con resistencia
=
(83)
Corriente, Resistencia y Fuerza Electromotriz Resistividad
La resistividad ρ es la resistencia elćtrica espec´fica de un material
=ρ
(84)
Unidades
[ ρ] = Ω · Material Cobre Cautschuk tierra agua
ρ en
−
Ω
Mostramos que = ρ donde es el flujo electrico.
(85)
Corriente, Resistencia y Fuerza Electromotriz Fuerza Electromotriz
Se define como el trabajo que el generador realiza para pasar por su interior la unidad de carga positiva del polo negativo al positivo, dividido por el valor en Culombios de dicha carga. O mas simple: “Todo que puede generar un voltaje” Undidad = Ejemplos:
Corriente, Resistencia y Fuerza Electromotriz Fuerza Electromotriz
Ejemplos: Pelo: Van de Graaf
Pila galvánica
Corriente, Resistencia y Fuerza Electromotriz Fuerza Electromotriz
Explicar ejemplos, Tipos de pila: Pila Batería, Pila combustible
Corriente, Resistencia y Fuerza Electromotriz Fuerza Electromotriz
Mostramos para pila real:
∆
=
−
donde is la fuerza electromotriz y es la resistencia interna. Potencia: = −
(86)
(87)
Corriente, Resistencia y Fuerza Electromotriz Conucción Metalica
Derivamos promedio de velocidad inducida
ˆ =
∆ | |
(88)
donde ∆ es promedio de distancia entre cargas, movimiento termico. Esto implica para resistividad ρ =
| | ∆
velocidad debido a
(89)
Esto explica porque se usa ρ( ) = ρ ( + α (
con α > .
−
))
(90)
Circuitos de Corriente Directa
Circuitos de Corriente Directa
Circuitos de Corriente Directa Resistores en serie y paraleo
En serie:
=
+
=
+
+
(91)
(92)
En paralelo:
+
Circuitos de Corriente Directa Reglas de Kirchhoff
Regla para nodos con patas:
=
(93)
=
Regla para mallas (circulos cerrados) con
=
=
diferencias de voltaje
(94)
Circuitos de Corriente Directa Medicion eléctrica
Medición directa: Voltaje en paralelo con Corriente en seria con
Como usar una resistencia de referencia para medir un voltaje con un instromento que mide corriente y vice versa
Circuitos de Corriente Directa Cargar y descargar un Capacitor
Sistema de capacitor encontramos
, interruptor, y resistencia
( )=
(− /(
))
:
(95)
Campo Magneético y Fuerzas Magnéticas
Campo Magneético y Fuerzas Magnéticas
Campo Magneético y Fuerzas Magnéticas Fuerza de Lorentz
Se dibujan de de “sur” al “norte”
Nota: Magentas les gusta alinearse (brújula) No hay cargas magnéticas ⇔ no hay “sur” “norte” solo. Analogía con dipolo eléctrico
Campo Magneético y Fuerzas Magnéticas Fuerza de Lorentz
Partículas cargadas con velocidad sienten una fuerza en un campo magnético = ( × + ) (96) Esto causa movimiento circular (espiral) de partículas cargadas con masa en campo magnético constante. El radio del circulo es
=
(97)
Campo Magneético y Fuerzas Magnéticas Fuerza de Lorentz sobre Conductor
Un cable con corriente siente la mísma fuerza de Lorentz
Encontramos
= ( × )
(98)
Campo Magneético y Fuerzas Magnéticas Fuerza de Lorentz sobre Espira de Corriente
Para una espira el integral de fuerzas
= ( × ) =
(99)
Pero la torsión NO esta cero!
Encontramos
| |= donde
(θ )
es el numero de vueltas de la espira
(100)
Campo Magneético y Fuerzas Magnéticas Motor Corriente Continua
Esto permite construir un motor de corriente continua:
Campo Magneético y Fuerzas Magnéticas Efecto Hall
Voltaje de Hall
= donde la constante de Hall cargas
y donde
=
se relaciona con el numero de es el ancho de la muestra (paralelo a )
(101)
