EXERCÍCIOS DE MUDANÇA DE REFERENCIAL Serão propostos exercícios apresentados nas referências: -ALONSO, Marcelo; FINN, Edward. Física. Um Curso Universitario. Edgard Blücher, 1972. Vol 1 -NUSSENZVEIG, Hersh Moysés. Curso de Física Básica. São Paulo: Edgard Blücher, Vol 1 1) Uma criança, que está dentro de um ônibus, joga uma bolinha para cima com velocidade relativa a ela igual V ´ . Sendo V a velocidade velocidade do ônibus ônibus relativa a uma pessoa que está no ponto de ônibus, determine o vetor posição posição da bolinha em relação relação a essa pessoa.
0
D
2) Viajando na traseira de um caminhão aberto, que está acelerando uniformemente com aceleração de 3 m/s 2 numa estrada horizontal, uma pessoa lança uma bola para o ar de tal forma que possa voltar a apanhá-la sem sair do lugar sobre o caminhão. Em que ângulo com a vertical a bola deve ser lançada?
3) Um caminhão transporta um caixote de 200 kg a 90 km/h numa estrada horizontal. Avistando um obstáculo, o motorista freia com desaceleração desaceleração uniforme de 2,5 m/s 2 até parar. O caixote, em consequência consequência da freada, desliza desliza pela traseira traseira do caminhão com com coeficiente de atrito 0,25. a) Qual a velocidade do caixote no instante em que o caminhão para? b) A que distância de sua posição inicial na traseira do caminhão o caixote se encontra, quando para de deslizar?
4) A posição de uma partícula relativa a um sistema de coordenadas O é dada por r (6t 2 4t )u x 3t 3u y 3u z . A posição da partícula relativa a outro sistema de ˆ
ˆ
ˆ
coordenadas coordenadas O´ é r (6t 2 3t )u x 3t 3u y 3u z a) Determine a velocidade relativa ˆ
ˆ
ˆ
dos sistemas. b) Mostrar que a aceleração aceleração da partícula é a mesma em ambos ambos os sistemas.
5) Um corpo com velocidade de 50 m/s relativa à Terra move-se diretamente para o sul na latitude 450 N. a) Calcule aceleração aceleração centrífuga centrífuga do corpo. b) Calcule Calcule a aceleração aceleração de Coriolis.
6) Consideremos o caso de um corpo em repouso em relação à Terra (V ' 0) , num ponto de latitude . Ache a contribuição do termo centrífugo e chegue que podemos escrever, com boa aproximação, que g g 0 w 2 r cos 2 .
7) Determine a aceleração gravitacional experimentada por um observador O’ no Equador ( 0) . Qual seria o peso observado de uma massa de 2 kg, considerando o valor de g, que seria observado se a Terra não estivesse girando, como sendo 9,832 m/s2.
8) Um corpo cai de uma altura h na latitude . Encontre que o desvio devido à 8h 3 aceleração de Coriolis é dado por x w / 3 g
1/ 2
cos . Faca os cálculos para altura
de 100 m. Observação: considere a velocidade de queda V gt e w a velocidade angular da Terra.
9) Um disco de raio R= 6 m está contido em um plano horizontal e girando com velocidade angular w 2u z rad / s em torno de um eixo vertical que atravessa seu centro. ˆ
Uma partícula que se encontra a uma distância d= 3 m do centro do disco está, neste instante, em relação à superfície do disco, com velocidade v 10m / s na direção do centro do disco e aceleração a 4m / s 2 na direção tangente. Determine neste instante: a) o vetor aceleração
de Coriolis; b) o vetor aceleração centrípeta; c) o vetor aceleração relação a um referencial (fixo) posicionado no centro do disco.
a
da partícula em
Solução
1) A criança joga a bolinha para cima e ela vê a bolinha subir e voltar a sua mão. Então a equação da velocidade será:
V ' V ' g t 0
, que retrata o movimento apenas no eixo Y’.
Para a pessoa que está no ponto do ônibus, a bolinha tem a seguinte velocidade:
V V ' V V ' g t V 0 D D
Esta equação pode ser decomposta nos eixos X e Y: V x
V
V V ' g t y 0
e
D
Logo, para a pessoa que está no ponto, a bolinha terá o vetor posição dado por:
r x
y ( V t ) u D
x
(V ' t 0
1 2
gt
2
) u
y
2) Visto pelo referencial inercial, as equações para a bola são:
V V 0 g t V e 0 , onde
é a velocidade de lançamento e e da pedra no instante do lançamento. V 0
V e 0 a
velocidade da pessoa
Logo: V y V 0 y gt e V x V 0 x V e0 . Temos também: x (V 0 x V e0 )t e y V 0 y t 1 / 2 gt 2 . As equações para a pessoa no referencial inercial são: V e V e0 at e X e V e0 t 1 / 2at 2
Devemos ter: x X e , logo (V 0 x V e0 )t V e0 t 1 / 2 at 2 V 0 x t 1 / 2 at 2 V 0 x 1 / 2 at .
Então: V 0 x 1 / 2 a
2V 0 y
g
V 0 x V 0 y
O tempo que volta para a pessoa é t 2t subid a 2V 0 y / g
a g
tg 0,3 , logo 17 0 .
3) Transformando a velocidade temos 90 km/h=25 m/s.
O tempo que o caminhão leva para parar é obtido de v0 at 0 , logo t=10s. b) Velocidade do caixote em t=10s: vcaixote 25 10acaixote Sabendo que a força que atua é a força de atrito temos c N macaixote acaixote c g 2,45 , logo vcaixote 25 10.2,45 0,5m / s c) xcaixote xcaixote xca min hão xcaixote 25t 1 / 2acaixotet 2 127,56 xca min hão 25t 1 / 2at 2 125
Logo: xcaixote 2,56 m
4) a) r (6t 2 4t )u x 3t 3u y 3u z ˆ
ˆ
Temos V V v , onde V
V
d r
ˆ
ˆ
ˆ
d r
(12t 4)u x 9t 2 u y e ˆ
dt
ˆ
(12t 3)u x 9t 2 u y ˆ
dt
r (6t 2 3t )u x 3t 3u y 3u z
e
ˆ
ˆ
Logo
b) a 12u x 18t u y e a 12u x 18t u y ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
5) V 50m / s e 45o N
a) ac w ( w r ) . Observando as figuras apresentadas na teoria, verificamos que a aceleração centrífuga faz um ângulo de 45 o com a direção radial e
ac w2 r cos 3,34 10 2 cos 45
b) acoriolis 2w V . Observando as figuras apresentadas na teoria, verificamos que a aceleração de Coriolis está na direção Oeste e
(90 45) 2wV sen 135 7,292 103 sen135 acoriolis 2wV sen
6) O problema está pedindo o valor local da gravidade. Temos
g g 0 w ( w r ) .
O produto vetorial ( w r ) tem módulo igual a wr cos e direção perpendicular a
w.
Então w (w r ) w 2 r cos sen / 2 . Decompondo direção radial: w2 r cos 2 direção NS: w 2 r cos sen Logo g 2 ( g 0 w 2 r cos 2 ) 2 ( w 2 r cos sen ) 2
Mas w2 r (7,3 105 ) 2 6,4 106 3,4 102 ficando a aceleração local Como o segundo termo é da ordem de 10 -5 vezes menor que o primeiro podemos despreza-lo.
7) No Equador 0 , então g g 0 w 2 r 9,832 3,4 102 9,798 E o peso será P 2.9,798 19,596 N
8) Temos que a aceleração de Coriolis para um corpo que cai com velocidade V` tem uma contribuição igual a ` 2wV cos na direção leste. Nessa direção temos: d 2 x 2
dt
d 2 x 2
dt dx dt
2wV cos e fazendo V gt
2wgt cos . Admitindo que o corpo parte do repouso
wgt 2 cos . Novamente integrando e considerando que para t=o temos x=0
x
1
x
1
3
3
wgt 3 cos . Se o corpo cai de uma altura h,
w(
8h 3 g
)1 / 2 cos .
podemos escrever h 1 / 2 gt 2 , logo
Para o caso h=100 temos x (1,53 102 cos )m que é pequeno comparado a distância de queda.
9)
w 2u z ˆ
a 4u ˆ
v 10u r , ˆ
a) acoriolis 2 w v 2 (2u z (10u r )) 40 u ˆ
ˆ
ˆ
b) acentripeta w (w r ) 2u z (2u z 3u r ) 2u z 6u 12u r ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
c) a a acentripeta acoriolis 4u 12u r 40u 36u 12u r ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
