UNIVERSIDAD DE PIURA Facultad de Ingeniería x
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Curso: Análisis Matemático II Práctica # 6 Lunes, 11 de Junio de 2012 hora: 3 pm Duración: 2 h Sin libros ni apuntes, solo calculadoras no programables
1. Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo par Integrales de Línea de Campos Vectoriales. El alumno deberá fundamentar sus afirmaciones y hará los gráficos que crea conveniente y por último se pide que explique cuales son las ventajas de este teorema. (3p) Si consideramos a
∇ f (vector gradiente) de una función de f, como una especie de derivada
de f , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una versión del teorema fundamental para integrales de línea TEOREMA: Sea C una curva suave dada por la función vectorial . Sea f una función diferenciable de dos o tres variables cuyo vector gradiente es continuo en C. Entonces: Dice que podemos calcular la integral de un campo vectorial conservativo cuando F = Esta integral de línea de
∇f
∇f
es el cambio total en f.
Si función z=f(x, y) y C es una curva plana:
y curva plana C P=(x1, y1) Si f es una función de tres variables f(x, y, z) y C una curva en el espacio que une los puntos P y Q, entonces: DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA P=(x2, y2) 0 x
b
f .dr f (r (t )).r ' (t )dt
C
z
a
P=(x1, y1, z1)
f x f y f z dt a x t y t z t Curva en el Como : f ( x, y, z ) y r (t ) ( x(t ), y (t ), z (t )) espacio=r(t)=(x,y,z) f x f y f z Entonces : f (r (t )) t x t y t z t b b b C f .dr a t f (r (t )) dt a f (r (t )) f (r (t )) a b
f .dr f (r (b)) f (r (a))
C
2. Enunciar y demostrar el Teorema de Green, el alumno demostrará una de las dos subtesis, concretamente la que no se ha desarrollado en las diapositivas. Luego diga que ventajas tiene. (5p) Sea una curva C suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada del plano, y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales contínuas en una región abierta que contiene a D entonces:
Vamos a demostrar el Teorema de Green considerando una situación particular, luego iremos generalizando su aplicación.
3. Dadas las superficies
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z = 4 + x +y
S1: el paraboloide
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; S2: el cilindro Z
x 2+ y 2 =2 x , S 3 :el plano z=x . Se pide (4p)
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a) Las regiones de integración. z4 =4+
E X
2
1
0
X
2
1
0
D y
De los esquemas grométricos se tiene que la región está dada por:
E {( x, y , z ) / ( x, y ) D; x z 4 x 2 y 2 } D {( x, y ) / 0 x 2; 2 x x 2 y 2 x x 2 } b) El área lateral del sólido.
(x
3
y 3 )dx ( x 3 y 3 ) dy
C
4. Use el teorema de Green para evaluar la integral: frontera SI C es la curva frontera de la corona circular, entre los círculos:
x2 y2 1 y x2 y2 9 (3p)
C es la
5. Si F(x, y) =
≤
t
e 2 y i + ( 1+2 x e 2 y ) j
t
y C: r(t)= t e i
≤1 , se pide: (5p)
a) Saber si F es conservativo. b) En caso afirmativo determine la función potencial f. ❑
c) Evalúe la integral
∫ F . dr C
+(1+t) j
en done 0
