Software Tenso Estructuras B_sicas

SOFTWARE PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS, FUERZA Y ESFUERZOS DE ROTURA PARA TENSOESTRUCTURAS: "TENSODIS".

CAÑÓN MARTÍNEZ LUIS FELIPE ORTIZ LINARES HERNÁN DARÍO

Monografía para optar al título de Tecnólogo en Construcciones Civiles

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA TECNOLOGÍA EN CONSTRUCCIONES CIVILES BOGOTÁ 2013

SOFTWARE PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS, FUERZA Y ESFUERZOS DE ROTURA PARA TENSOESTRUCTURAS: "TENSODIS".

CAÑÓN MARTÍNEZ LUIS FELIPE ORTIZ LINARES HERNÁN DARÍO

Monografía para optar al título de Tecnólogo en Construcciones Civiles

Tutor: Ingeniero Milton Mena Serna.

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA TECNOLOGÍA EN CONSTRUCCIONES CIVILES BOGOTÁ 2013

Agradecemos a nuestras familias, aquellas que siempre estuvieron para brindar una mano cuando se necesitó, quienes fueron el motor para continuar hasta esta instancia. De igual forma agradecemos a quienes con su presencia y colaboración hicieron posible la realización de este trabajo para que fuera una realidad principalmente al Ingeniero Milton Mena quien como tutor supo guiarnos en el proceso de la manera más atenta posible, además al profesor Wilson Quijano quien desinteresadamente colaboró a enfocar el desarrollo del trabajo con el uso de las ecuaciones diferenciales, y a Andrés Villamarín laboratorista de estructuras en la Facultad Tecnológica quien dedicó parte de su tiempo a resolver dudas. También al constante apoyo de compañeros de clase como Yohana González, Darwin Gamba, Jheraldin Viña y Alejandro Sánchez que durante todo el desarrollo de la carrera estuvieron presentes para ser más que compañeros, y en el futuro cercano colegas. Y además de igual manera agradecemos a Natalia Carreño y Daniela Bocanegra por su apoyo incondicional y sincero.

Nota de aceptación:

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-------------------------------------------------Firma del presidente del jurado

-------------------------------------------------Firma del jurado

-------------------------------------------------Firma del jurado

Bogotá D.C. (24 de Septiembre de 2013)

CONTENIDO

Pág. INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 20 1

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ...................................................................... 21

2

JUSTIFICACIÓN ............................................................................................. 22

3

OBJETIVOS.................................................................................................... 23 3.1

OBJETIVO GENERAL ............................................................................. 23

3.2

OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................... 23

4

ALCANCE ....................................................................................................... 24

5

MARCO REFERENCIAL ................................................................................ 27 5.1

5.1.1

DISEÑO ............................................................................................. 27

5.1.2

SOFTWARE. ..................................................................................... 28

5.1.3

ESTRUCTURAS LIGERAS. .............................................................. 28

5.2

OTROS SOFTWARE. .............................................................................. 32

5.3

TENSO-ESTRUCTURAS. ........................................................................ 33

5.3.1

Definición y características ................................................................ 33

5.3.2

Historia .............................................................................................. 34

5.3.3

Clasificación de las tenso-estructuras. .............................................. 41

5.4

6

CONCEPTOS PREVIOS: ......................................................................... 27

ESTRUCTURAS EN EL SOFTWARE “TensoDis”. .................................. 46

5.4.1

Cables ............................................................................................... 46

5.4.2

Cercha Jawerth.................................................................................. 59

5.4.3

Membranas Tensionadas. ................................................................. 62

DISEÑO METODOLÓGICO ........................................................................... 73 6.1

TIPO DE INVESTIGACIÓN: Investigación Cuantitativa ........................... 73

6.2

POBLACIÓN ............................................................................................ 73

6.3

MUESTRA................................................................................................ 73

5

6.4 7

VARIABLES ............................................................................................. 73

RESULTADOS Y DISCUSIÓN ....................................................................... 75 7.1

CABLES ................................................................................................... 75

7.1.1

Cálculo de cables con cargas puntuales. .......................................... 75

7.1.2 Programación en Microsoft Visual Basic 2010 Express para cables sometidos a cargas puntuales. ....................................................................... 81 7.1.3

Cálculo de cables con cargas distribuidas. ........................................ 99

7.1.4 Programación en Microsoft Visual Basic 2010 Express para cables con cargas distribuidas. ................................................................................ 107 7.1.5

Cálculo Catenaria ............................................................................ 120

7.1.6

Programación en Microsoft Visual Basic 2010 Express: Catenaria. 126

7.2

CERCHAS JAWERTH ........................................................................... 143

7.2.1

Cálculo de reacciones. .................................................................... 144

7.2.2

Cálculo de la tensión previa: ............................................................ 145

7.2.3

Dimensionado de los cables ............................................................ 146

7.2.4

Dimensionamiento de los pendolones. ............................................ 147

7.2.5

Solicitaciones en apoyos ................................................................. 148

7.2.6

Dimensionado Tensor superior y puntal. ........................................ 149

7.2.7 Programación en Microsoft Visual Basic 2010 Express para Cercha Jawerth. ........................................................................................................ 151 7.3

MEMBRANAS ........................................................................................ 174

7.3.1

Desarrollo de ecuaciones. ............................................................... 174

7.3.2

Análisis de cambios de comportamiento. ........................................ 181

7.3.3

Membranas en Microsoft Visual Basic 2010 Express ...................... 189

8

CONCLUSIONES ......................................................................................... 194

9

RECOMENDACIONES ................................................................................. 196 9.1

Recomendaciones al momento de usar el software. .............................. 196

9.2

Recomendaciones al lector de este trabajo ........................................... 196

9.3

Recomendaciones a posibles investigadores futuros. ........................... 197

10 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................. 198 6

11 ANEXOS. ...................................................................................................... 201 11.1 Anexo A. Software TensoDis: ................................................................ 201 11.2 Anexo B. Catálogos de membranas ....................................................... 201 11.3 Anexo C. Tablas Cables comerciales..................................................... 201 11.4 Anexo D. Tenso estructuras en Bogotá.................................................. 201

7

LISTADO DE FIGURAS

Ilustración 1. Resilencia: Tela de araña ................................................................ 30 Ilustración 2. Homotecia: Caparazón Nautilus....................................................... 31 Ilustración 3. Membrana neumática expansible: Ala de una libélula. .................... 31 Ilustración 4. Tipi Norteamericano ......................................................................... 35 Ilustración 5. Yurt .................................................................................................. 36 Ilustración 6. Viviendas Tuareg. ............................................................................ 36 Ilustración 7. Tiendas Beduinas ............................................................................ 37 Ilustración 8. Estadio Olímpico de Munich. ........................................................... 38 Ilustración 9. Cúpula geodésica Richard Buckminster Fuller ................................ 39 Ilustración 10. Tensairiti ........................................................................................ 41 Ilustración 11. Puente ultraligero con Tensairitis ................................................... 42 Ilustración 12. Vigas Tensairiti: Estacionamiento en Montreux. ............................ 42 Ilustración 13. Easy Landing ................................................................................. 43 Ilustración 14. Estadio Único de la Plata (Argentina) ............................................ 44 Ilustración 15. Water Cube. ................................................................................... 45 Ilustración 16. Concreto Postensado ..................................................................... 47 Ilustración 17. Puene Verrazano Narrows. ............................................................ 47 Ilustración 18. Puente Inca de Queswachaca ....................................................... 48 Ilustración 19. Poleas en Torre de perforación. ..................................................... 49 Ilustración 20.Cables con cargas puntuales. ......................................................... 50 Ilustración 21. Esquema de cables sometidos a cargas puntuales. ...................... 51 Ilustración 22. Esquema de cables sometidos a cargas puntuales con apoyos a diferente nivel ........................................................................................................ 52 Ilustración 23. Cables sometidos a cargas puntuales. .......................................... 53 Ilustración 24.Diagramas para cables con carga distribuida. ................................ 54 Ilustración 25. Ecuaciones para cables con carga distribuida. .............................. 54 Ilustración 26. Cables sometidos a cargas distribuidas. ........................................ 55 Ilustración 27. Análisis desde el centro ................................................................. 55 Ilustración 28. Cables con apoyos no alineados horizontalmente ......................... 56 Ilustración 29. Catenaria ....................................................................................... 58 Ilustración 30. Ecuación general de la catenaria ................................................... 59 Ilustración 31. Cercha Jawerth. ............................................................................. 59 Ilustración 32. Cercha Jawerth .............................................................................. 60 Ilustración 33. Estados de carga ........................................................................... 61 Ilustración 34. Tensión previa en el cable superior. .............................................. 61 Ilustración 35. Tensión previa en el cable ............................................................. 62 8

Ilustración 36. Carga distribuida qp ....................................................................... 62 Ilustración 37. Módulo básico de membranas estructurales. ................................. 65 Ilustración 38. Estadio de la Arena de Raleigh ...................................................... 66 Ilustración 39. Aeropuerto Internacional de Denver .............................................. 67 Ilustración 40. Pretensión contra límites rígidos. ................................................... 68 Ilustración 41. Desviación de fuerzas-pretensión (curvaturas opuestas). ............. 69 Ilustración 42. Desviación de fuerzas-pretensión (curvaturas iguales). ................. 69 Ilustración 43. Red de cables. ............................................................................... 71 Ilustración 44. Modelo general de cables con cargas puntuales. ......................... 76 Ilustración 45. Cable con cargas puntuales (equilibrio en un punto con flecha conocida) ............................................................................................................... 78 Ilustración 46. Ventana de diseño de cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................... 82 Ilustración 47. Ventana de diseño de cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................... 83 Ilustración 48. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 84 Ilustración 49. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 85 Ilustración 50. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 85 Ilustración 51. Ventana de valores de carga en cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. .............................................. 86 Ilustración 52. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 88 Ilustración 53. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 89 Ilustración 54. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 90 Ilustración 55. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 91 Ilustración 56. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 92 Ilustración 57. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 93 Ilustración 58. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 95 Ilustración 59. Ventana Factor de seguridad en cables con cargas puntuales en Microsoft Visual Basic. .......................................................................................... 96

9

Ilustración 60. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................... 98 Ilustración 61. Esquema cables con cargas distribuidas con apoyos al mismo nivel. .............................................................................................................................. 99 Ilustración 62.Esquema cables con cargas distribuidas entre los puntos C y D .. 100 Ilustración 63. Esquema cables con cargas distribuidas con apoyos a diferente nivel. .................................................................................................................... 103 Ilustración 64. Esquema cables con cargas distribuidas con apoyos a diferente nivel. .................................................................................................................... 104 Ilustración 65. Esquema cables con cargas distribuidas con apoyos a diferente nivel ..................................................................................................................... 105 Ilustración 66. Ventana de inicio Cargas distribuidas. ......................................... 107 Ilustración 67. Ventana de ingreso de datos para Cables con cargas distribuidas con apoyos al mismo nivel. ................................................................................. 108 Ilustración 68. Programación cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................. 110 Ilustración 69. Programación cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................. 111 Ilustración 70. Ventana de resultados Cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................. 112 Ilustración 71. Programación cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................. 113 Ilustración 72. Ventana de ingreso de datos para Cables con cargas distribuidas con apoyos a diferente nivel. ............................................................................... 114 Ilustración 73. Programación cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................. 116 Ilustración 74. Programación cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................. 117 Ilustración 75. Ventana de resultados Cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................. 118 Ilustración 76. Programación cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................. 119 Ilustración 77. Esquema catenaria. .................................................................... 120 Ilustración 78. Esquema catenaria entre puntos C y D. ..................................... 120 Ilustración 79. Catenaria con apoyos al mismo nivel ........................................... 122 Ilustración 80. Catenaria con apoyos a diferente nivel ........................................ 124 Ilustración 81. Ventana de inicio Catenaria ......................................................... 127 Ilustración 82. Ventana Ingreso de Datos catenaria con apoyos al mismo nivel. 128

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Ilustración 83. Programación Catenaria con apoyos al mismo nivel con Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................. 130 Ilustración 84. Ventana de resultados catenaria con apoyos al mismo nivel ....... 131 Ilustración 85. Programación Catenaria con Microsoft Visual Basic 2010 Express. ............................................................................................................................ 133 Ilustración 86. Ventana Ingreso de Datos catenaria con apoyos a diferente nivel. ............................................................................................................................ 134 Ilustración 87. Programación Catenaria en Microsoft Visual Basic 2010 Exoress. ............................................................................................................................ 137 Ilustración 88. Programación Catenaria en Microsoft Visual Basic 2010 Exoress. ............................................................................................................................ 138 Ilustración 89. Programación Catenaria en Microsoft Visual Basic 2010 Exoress. ............................................................................................................................ 139 Ilustración 90. Ventana de resultados Catenaria con apoyos a diferente nivel ... 140 Ilustración 91. Programación catenaria con apoyos a deiferente nivel en Microsoft Visual Basic 2010 Express. ................................................................................. 142 Ilustración 92. Cercha Jawerth Estado de cargas permanentes. ........................ 143 Ilustración 93. Cercha Jawerth Segundo estado de cargas ................................ 144 Ilustración 94. Apoyos Cercha Jawerth ............................................................... 148 Ilustración 95. Triángulo de fuerzas .................................................................... 149 Ilustración 96. Triángulo de fuerzas puntal .......................................................... 150 Ilustración 97. Ventana inicio Cercha Jawerth..................................................... 151 Ilustración 98. Ventana de diseño cercha Jawerth. ............................................. 152 Ilustración 99. Ventana de imagen de referencia cercha Jawerth ....................... 153 Ilustración 100. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express ............................................................................................................... 155 Ilustración 101. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express ............................................................................................................... 156 Ilustración 102. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express ............................................................................................................... 157 Ilustración 103. Ventana de resultados de reacciones ........................................ 158 Ilustración 104. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express ............................................................................................................... 160 Ilustración 105. Ventana factores de seguridad y dimensionamiento .................. 161 Ilustración 106. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express ............................................................................................................... 164 Ilustración 107. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express ............................................................................................................... 165

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Ilustración 108. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express. .............................................................................................................. 166 Ilustración 109. Ventana Apoyos. ........................................................................ 167 Ilustración 110. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express. .............................................................................................................. 169 Ilustración 111. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express. .............................................................................................................. 170 Ilustración 112. Ventana Puntales ....................................................................... 171 Ilustración 113. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express. .............................................................................................................. 173 Ilustración 114. Membrana Plaza de Artesanos : Forma catenaria ..................... 175 Ilustración 115. Catenaria ................................................................................... 175 Ilustración 116. Gráfico Membranas Peso y distancia entre apoyos constante. . 183 Ilustración 117. Considerando los pesos de la membrana y la flecha constante con una distancia entre los apoyos variable .................................................. 185 Ilustración 118. Considerando la distancia en los apoyos de la membrana y la flecha constantes con el peso de los cables variable. .......................... 187 Ilustración 119. Ventana de inicio Membranas. ................................................... 189 Ilustración 120. Ventana Análisis membranas..................................................... 190 Ilustración 121. Ventana Análisis membranas..................................................... 191 Ilustración 122. Ventana Análisis membranas..................................................... 192 Ilustración 123. Ventana Análisis membranas..................................................... 193

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LISTADO DE TABLAS

Tabla 1. Resumen Tenso-estructuras ................................................................... 45 Tabla 2. Pesos comerciales en membranas........................................................ 181 Tabla 2. Analisis de membranas manteniendo una longitud y peso del cable constantes con variación en las flechas .............................................................. 182 Tabla 3. Análisis de membranas manteniendo constante la flecha y peso del cable constantes con variación en la longitud en los apoyos ........................................ 184 Tabla 4. Análisis de membranas manteniendo constante la flecha y la longitud en los apoyos con variación en el peso del cable .................................................... 186

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LISTADO DE ANEXOS

Anexo A. Software TensoDis: ................................................................ 201 Anexo B. Catálogos de membranas ....................................................... 201 Anexo C. Tablas Cables comerciales..................................................... 201 Anexo D. Tenso estructuras en Bogotá.................................................. 201

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GLOSARIO

ANÁLISIS ESTRUCTURAL: Determinación e interpretación del comportamiento de diferentes estructuras bajo la acción de diferentes fuerzas. ANCLAJES: Los anclajes son los elementos que mantienen rígida la membrana y la encargada de que esta no pierda tensión, cada membrana tiene una curvatura que permitirá la estabilidad estructural. Esta curva es lograda por un anclaje. Existen dos tipos de anclaje los exteriores e interiores, los anclajes exteriores son aquellos que trabajan tensiones mayores debido a que la superficie textil en comparación con los anclajes interiores son muy pequeñas. Además que los anclajes interiores son grandes casquetes esféricos que no generan cambios en la curvatura considerables. APOYOS DE PRIMER GÉNERO: Elemento que impide el desplazamiento de un cuerpo en una dirección APOYOS DE SEGUNDO GÉNERO: Elemento que impide el desplazamiento de un cuerpo en dos direcciones más no impiden la rotación del cuerpo respecto a la conexión del cuerpo con el apoyo. APOYOS DE TERCER GÉNERO: Elemento que impide el movimiento de un cuerpo libre, restringiéndolo por completo, este tipo de apoyos involucran tres incógnitas las cuales consisten en dos componentes de fuerza y un momento APOYOS: Son los elementos encargados de dar estabilidad a un cuerpo que se encuentra sostenido por él. CABLES: Son hilos de acero trenzados en espiral formando unidades llamadas torones con diferentes calibres, son los encargados de reforzar la membrana textil y que esta mantenga su posición y se encuentre unida a los diferentes anclajes de la tenso estructura, además de que varios de ellos unidos en forma cruzada forman la red donde es complementada por la membrana. Los cables se instalan de forma que puedan generar crestas y valles en la membrana buscando soportar cargas producidas por la gravedad, el peso de la estructura, el agua u otros factores que puedan generarle peso a la construcción. CARGA MUERTA: Es la carga vertical debida a los efectos gravitacionales de la masa, o de peso, de todos los elementos permanentes ya sean estructurales o no estructurales.

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CARGA VIVA: Es la carga debida al uso de la estructura, sin incluir la carga muerta, fuerza del viento o sismo. CARGA: Son fuerzas u otras solicitaciones que actúan sobre el sistema estructural y provienen del peso de todos los elementos permanentes en la construcción, los ocupantes y sus pertenencias, efectos ambientales asentamientos diferenciales y restricción de cambios dimensionales. CATENARIA: Curva formada por la acción de una cuerda sometida bajo su propio peso, sujeta bajo dos apoyos. Luz: Distancia recta entre dos apoyos Flexión mecánica: Se conoce como flexión a la deformación que sufre un cuerpo perpendicular dentro de su eje longitudinal. CERCHA: Estructura constituida por diferentes elementos conectados entre sí por nodos, conectados solo en sus extremos , utilizada para soportar aquellas cargas que actúan en su plano, por lo tanto pueden ser calculadas como estructuras bidimensionales. COMPRESIÓN: Presión ejercida a un cuerpo teniendo en cuenta una reducción en el volumen del cuerpo, cambiando su longitud en el sentido donde esta aplicada la carga DISEÑO: Se define como diseño al trabajo previo a la realización de un objeto o proceso que tiene como fin la construcción de este, partiendo de diferentes herramientas ya sean planos, bosquejos, esquemas, etc. que dejaran ver una idea clara de cómo deberá ser el producto final. El diseño involucra la creación y la creatividad como los pasos a seguir para que una idea pueda evolucionar y convertirse en lo que se tenía planeado. ECUACIÓN DIFERENCIAL: Es aquella ecuación que pretende resolver problemas donde las variables dependientes e independientes inmersa en ella, no puede resolverse por los métodos tradicionales, las ecuaciones diferenciales manejan las derivadas como la base fundamental para desarrollar los diferentes tipos de cálculo. ECUACIÓN EXPLICITA: Una ecuación se considera explicita cuando una de las variables independiente se expresa en función de la primera ESFUERZO CORTANTE: El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Este tipo

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de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión cortante. ESTÁTICA: Rama de la mecánica encargada del análisis de cargas a las que está sometido un cuerpo para encontrarse en equilibrio, es decir que todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no deberán afectarlo en el tiempo. ESTRUCTURA LIGERA: Construcción que dentro de sus componentes cuenta con materiales de poca densidad haciéndola fácil de manipular. ESTRUCTURA: Es un ensamblaje de elementos, diseñado para soportar las cargas gravitacionales y resistir las fuerzas horizontales. Las estructuras pueden ser catalogadas como estructuras de edificaciones o estructuras diferentes a las de las edificaciones. ESTRUCTURAS DE TRACCIÓN PURA: Las estructuras sometidas exclusivamente a tensiones de tracción se denominan, sistemas estructurales de tracción pura y son aquellas que actúan adaptando su forma según la distribución de las cargas a las que está sometida la estructura y desarrollando tensiones exclusivamente de tracción en todo el sistema. FLEXIÓN MECÁNICA: Se conoce como flexión a la deformación que sufre un cuerpo perpendicular dentro de su eje longitudinal. LUZ: Distancia recta entre dos apoyo MÁSTIL: El mástil es el poste encargado de que la estructura se encuentre en altura, y por la cual los cables se unen a un punto rígido que generara la forma y la estabilidad para que esta maneje un comportamiento estático. MEMBRANA: La membrana es el elemento que cubre la mayor parte de la superficie de la tenso-estructura y la encargada de crear el espacio cubierto, está compuesto por diferentes capas de PVC, teflón y poliéster que mejoran la durabilidad del material donde utilizando diferentes tipos de combinaciones se mejoran ciertas características del material. Los diferentes componentes de la tenso estructura están especialmente diseñados para que se adopten a la forma estructural de la obra, con sus diferentes tipos de anclaje y dimensiones a su vez asumiendo la capacidad de resistir condiciones externas como el viento, agua, fuego, hielo y garantizando su durabilidad, sin afectar características como la transparencia y el confort. Los hilos que hacen parte de la membrana son un conjunto de hilos más pequeños que entrelazados forman la malla. El PVC como

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material tiene la función de proteger el tejido contra los rayos UV, abrasión y agentes atmosféricos, que garantizan la vida útil del material. MOMENTO: Capacidad de una fuerza de generar un giro o rotación en un punto determinado de un cuerpo. Sistemas de unidades: Los sistemas de unidades son un conjunto de unidades convenientemente relacionadas entre sí que se utilizan para medir diversas magnitudes (longitud, peso, volumen, etc.)." PANDEO: Fenómeno en el cual un cuerpo cambia su forma cuando es sometido a una carga de compresión transversal a su eje longitudinal. PROGRAMACIÓN (INFORMÁTICA): Proceso en el cual se desarrollan diferentes tipos de órdenes por medio de un lenguaje determinado a un programa computacional el cual interpreta y depura las órdenes para obtener un resultado. SISTEMA DE UNIDADES: Los sistemas de unidades son un conjunto de unidades convenientemente relacionadas entre sí que se utilizan para medir diversas magnitudes (longitud, peso, volumen, etc.). SOFTWARE: Componentes informáticos encargados de soportar una determinada información para procesarla, manteniendo una continua operación de datos. TENSO-ESTRUCTURA: Las tenso-estructuras son un conjunto de sistemas estructurales que tienen como características el hecho de ser sometidos principalmente a esfuerzos de tensión, la ligereza de sus materiales, y la capacidad de cubrir grandes luces, incluyendo materiales sintéticos nuevos y reciclados de alta resistencia, producir confort, aislamiento térmico y acústico; en general determinan una forma eficaz y resistente, que da como resultado una estructura eficiente proyectada UNIDAD: Es una cantidad estandarizada que determina una magnitud física.

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RESUMEN

Con este proyecto se elaboró un programa informático para facilitar el análisis de las siguientes estructuras de tracción pura: cables con cargas puntuales y distribuidas, cerchas Jawerth; entregando datos relevantes como áreas de sección y esfuerzos de rotura, usando como plataforma Microsoft Visual Basic 2010 Express®. Además se trabajó un análisis de tenso-estructuras tipo membrana tensionada con gráficos de comportamiento en base a la ecuación de la catenaria. Para elaborar el programa se tuvieron en cuenta las investigaciones y los cálculos desarrollados anteriormente por otros investigadores, información que luego de analizarse dio parámetros para determinar ecuaciones generales que permitieron simplificar la programación, para desarrollar procesos funcionales por la reducción del proceso general con esta herramienta. Los resultados de la investigación son parte de un programa informático que recoge toda la información obtenida, la clasifica y la aplica al análisis de las estructuras nombradas anteriormente con la intención de entregar con mayor velocidad datos útiles como áreas de sección y esfuerzos de rotura. Es fundamental iniciar un programa que reúna los elementos de estas estructuras, este software describe el cálculo para 2 tipos de estructuras: cables, cerchas Jawerth, además de un análisis de comportamiento membranas (módulos básicos tipo silla de montar). Proyectado a ser mejorado y complementado con otros tipos de tenso-estructuras en el futuro.

Palabras clave: Tenso-estructura, software, diseño, cables, cercha Jawerth, membranas.

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INTRODUCCIÓN

El presente trabajo describe el desarrollo de un software para el cálculo de estructuras de tracción pura: cables y cercha Jawerth, de tal manera que se realiza una mirada general a los métodos de cálculos expuestos por investigadores interesados en este tema, y posteriormente se producen ecuaciones que generalizan las encontradas por estos autores para poder introducirlas en una plataforma desarrollada en Microsoft Visual Basic 2010 Express® llamada “TENSODIS” y crear un mecanismo rápido y eficiente para resolver estos problemas ingenieriles tales como encontrar el valor numérico de las reacciones y el dimensionado de los materiales en modelos como cables sometidos a cargas puntuales o distribuidas, catenarias, cerchas Jawerth. En complemento, el software incluye un análisis de comportamiento de tensoestructuras tipo membrana tensionada basada en la ecuación de la catenaria, entregando gráficos en casos específicos. Se presenta una definición amplia de una tenso-estructura como estructura ligera y sus características, involucrando al lector en la temática desde el concepto netamente teórico hasta su importancia en el medio de la construcción. Con el fin de Identificar los tipos de tenso-estructuras que se manejan en Bogotá, se tomaron fotografías a obras ya realizadas, presentando algunas de las aplicaciones de este tipo de sistemas.

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1

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

El análisis de cables y cerchas Jawerth actualmente maneja diferentes programas informáticos que entregan una imagen cercana del proyecto una vez finalizado como SAP2000, RISA2D, FTOOL sin embargo, en ocasiones es necesario corroborar datos de una manera más práctica y sencilla de tal forma que el Tecnólogo en construcciones civiles esté en la capacidad de usar esta herramienta y tome decisiones en función de esto. En cuanto a las membranas programas como Tectun, Mpanel, Formfinder, no están diseñados para personas que no conozcan de fondo el tema de las tensoestructuras, además estos programas no son muy conocidos y escasos, debido a la pobre manipulación de materiales tenso-estructurales en proyectos de construcción. A su vez, existen un pequeño grupo de programas que entregan una información mucho más geométrica del comportamiento de la estructura ante diferentes cargas, más sin embargo no parten de una plataforma independiente si no que son diseñados en programas para otros fines, como lo son Sketch up y Rhinoceros, donde su función está más enfocada a la representación visual de un plano o una serie de datos, y es necesario que el usuario tenga un conocimiento amplio de las herramientas, y de los componentes del programa además de las modificaciones que han hecho los programadores. Aunque es de reconocer que las tenso estructuras no son construcciones muy desarrolladas en el país, el Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10) considera ciertos parámetros para estructuras especiales y algunos de los materiales que componen la tenso estructura, además de que estas construcciones al momento de realizarse en el país deben adecuarse a los requerimientos que esta exige al ser ley, por lo que los programas pueden ser ineficaces. La necesidad de que una tenso estructura, las estructuras con cables y las cerchas Jawerth se adecue a los reglamentos y a las variables que contiene la ciudad de Bogotá, permite que los programas realizados anteriormente sirvan como un punto de partida para el desarrollo de un programa informático, que se adecue y facilite la implementación de tenso estructuras, disminuyendo posibles errores.

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2

JUSTIFICACIÓN

El Tecnólogo en construcciones civiles, no está en la capacidad de manejar software de alto nivel de complejidad como SAP2000, RISA2D, FTOOL entre otros, ya que estos son desarrollados para el análisis y diseño estructural. Más sin embargo si tiene conocimientos básicos de la mecánica de materiales y el análisis estático de estructuras, de tal manera que una herramienta más práctica, rápida y de menor complejidad que se adapte a su conocimiento y sus necesidades para participar objetivamente en un proyecto de construcción, es de total utilidad para corroborar datos. Las estructuras de tracción pura como: cables y cerchas Jawerth, como cualquier tipo de construcción, están sometidas a diferentes procesos y actividades para su desarrollo y culminación, para considerarse exitosas deben pasar por innumerables variables, si se tiene esto en cuenta, uno de los primeros pasos a seguir es dar una idea de lo que se pretende hacer, por esto el profesional para la construcción debe de considerar no solo lo que desea como proyecto si no los factores por los cuales debe atravesar si quiere que esta se logre. Por lo tanto es fundamental iniciar un proceso de interacción de los ingenieros y tecnólogos que lleguen a tener contacto con estas estructuras. Siendo las tenso estructura un tipo de construcción muy escaza realizada en el país, y son pocos los constructores capacitados para desarrollar este tipo de diseños, no hay gran variedad de software que permita introducir este sistema estructural de manera amplia al contexto colombiano, y con la entrada de un programa informático que permita conocer algunas de las bases de estas estructuras a través de los análisis de comportamiento de estas con diferentes variables como el peso, la longitud entre apoyos y la flecha; a futuro se puede mejorar de tal manera que se adapte a las necesidades constructivas Colombianas y en especial en la ciudad de Bogotá, permitirá que los profesionales en la construcción encuentren una herramienta útil, y que reduzca errores futuros.

22

3 3.1

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Elaborar un programa (software) que entregue datos relevantes como áreas y esfuerzos de rotura, que sirvan como base para el análisis de estructuras de tracción pura básicas (cables con cargas puntuales, distribuidas y catenarias, cerchas Jawerth), a través de Microsoft Visual Basic 2010 Express, basada en cálculos de baja complejidad, y que además muestre un análisis de comportamiento en membranas tensionadas, facilitando el desarrollo de las actividades del tecnólogo en construcciones civiles.

3.2

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Identificar los métodos de cálculo de estructuras de tracción pura: cables y cercha Jawerth, desarrollados por diversos autores, de tal manera que sean base para implementarlos en el programa. Desarrollar cálculos que determinen ecuaciones generalizadas para el diseño de las siguientes tenso-estructuras: cables con cargas puntuales y distribuidas, catenarias y cerchas Jawerth, con el fin de facilitar la programación en Microsoft Visual Basic 2010 Express. Realizar un programa para el análisis de estructuras de tracción pura: cables con cargas puntuales, distribuidas y catenarias, cerchas Jawerth teniendo en cuenta las recomendaciones de los cálculos hechas por otros autores, para entregar valores de áreas de sección y esfuerzos de rotura. Desarrollar un análisis cualitativo de membranas tensionadas simétricas a través de gráficas de comportamiento basadas en la ecuación de la catenaria para integrarlo como complemento al software.

23

4

ALCANCE

El presente proyecto desarrolla un software llamado “TensoDis” en Microsoft Visual Basic 2010 Express, el cual contempla estructuras de tracción pura como los son cables en 3 condiciones de carga: con cargas puntuales, cargas distribuidas y sometido a su propio peso (catenaria); una cercha Jawerth con un modelo específico que el software presenta, y finalmente contempla a las membranas tensionadas. En cuanto a las estructuras de tracción pura (cables y cercha Jawerth) el software permite calcular áreas de sección transversal, y esfuerzos de rotura según el estado de cargas. Sección cables: Cables con cargas puntuales: Se presenta un modelo generalizado con n cargas verticales dispuestas entre dos apoyos de segundo género, en el cual al momento de usar el software se deberá introducir datos de longitud entre apoyos (vertical y horizontal), magnitud de las cargas, número de cargas, flecha a una de las cargas y distancia de cada una de las cargas al primer apoyo, de tal manera que el software calcule las reacciones y determine cuál debe ser la carga de diseño, y según sea la opción del usuario, se puede entrar a verificar unas tablas comerciales para introducir ya sea un área o un esfuerzo de rotura para calcular el valor deseado. El software NO permite: Cambiar la dirección de las cargas, es decir siempre calcula con cargas verticales. Interactuar con la imagen, la imagen es de referencia. Calcular cargas puntuales y distribuidas a la vez. Cambiar las condiciones de apoyo. Calcular tensiones en cualquier punto.

Cables con cargas distribuidas Se presenta un modelo dispuesto entre dos apoyos de segundo género con una carga distribuida rectangular con valor de carga designada por el usuario del 24

software, además de esto se deberá ingresar la longitud entre apoyos (vertical y horizontal), un valor de flecha y al igual que en el caso de cargas puntuales se puede entrar a verificar unas tablas comerciales para introducir ya sea un área o un esfuerzo de rotura para calcular el valor deseado. El software NO permite: Cambiar el tipo de carga distribuida, es decir siempre calcula con cargas distribuidas rectangulares. Interactuar con la imagen, la imagen es de referencia. Calcular cargas puntuales y distribuidas a la vez. Cambiar las condiciones de apoyo. Calcular tensiones en cualquier punto.

Catenaria Se da un modelo de referencia en el cual se sostiene un cable apoyado en dos articulaciones, para trabajar esta estructura se debe ingresar el peso del cable, que si el usuario lo prefiere puede buscarlo en la opción verificar tablas, además se debe ingresar la distancia entre los apoyos y la flecha, además para realizar el cálculo se debe ingresar un valor c para que el software realice una iteración de tal manera que se calculen los valores de tensión máxima, mínima y la longitud de cable requerido, además de esto también se puede dimensionar el área o hallar el valor del esfuerzo de rotura como en los casos anteriores. El software NO permite: Interactuar con la imagen, la imagen es de referencia. Cambiar las condiciones de apoyo. Calcular tensiones en cualquier punto.

Sección Cercha Jawerth Se presenta un modelo de cercha Jawerth, que para poder dimensionar los cables superior e inferior, los pendolones, y los cables tensores, se deben introducir varios datos distribuidos en varias ventanas que siguen un proceso claro,

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inicialmente se eligen longitudes entre apoyos, entre pendolones y entre cerchas planas, y la magnitud de las cargas (permanentes y por viento), esto entregará valores de las reacciones. Luego se solicitan una serie de factores de seguridad para calcular la tensión previa en los cables superior e inferior y se puede elegir como en los casos anteriores como dimensionar los cables, de esta misma forma se introduce un factor de seguridad para calcular la tensión en los pendolones y se dimensiona al igual que los otros casos. A continuación se procede al diseño de los apoyos, primero se solicita un ángulo que determine al tensor inferior y al nivel del suelo tal como se muestra en la ilustración del programa, ángulo que se usará para calcular las reacciones en el tensor superior e inferior, y finalmente se abre una ventana para calcular la reacción en el puntal. El software NO permite: Cambiar el tipo de configuración de la cercha. Interactuar con la imagen, la imagen es de referencia, aunque al hacer doble click sobre esta se presenta una imagen para ver las referencias a las distancias. Cambiar las condiciones de apoyo. Calcular tensiones en cualquier punto.

Sección Membrana: En cuanto a las membranas, se presentan documentos acerca de cómo se ha trabajado el tema a nivel de diseño pero no se usan en la programación del software debido a las condiciones de conocimiento matemático actual de los autores de este documento ya que aún no se conocen temas como: Análisis por elementos finitos, cálculo multivariado, parametrización de ecuaciones diferenciales, regresiones, entre otros. Pero se realiza un análisis simple en base a la ecuación diferencial de la catenaria, para ver comportamientos según cambios en la distancia entre apoyos, la flecha y el peso, generando gráficas que indiquen curvas de comportamiento que se puedan aplicar a futuro para la realización de un modelo general. El software NO permite: Calcular membranas tensionadas. Hacer gráficas

26

5 5.1

MARCO REFERENCIAL

CONCEPTOS PREVIOS:

Para empezar se explicarán algunas generalidades acerca de los conceptos involucrados en esta monografía, que harán que el lector comprenda con mayor facilidad el texto y la naturaleza del desarrollo de los cálculos y el software. 5.1.1 DISEÑO Se define como diseño al trabajo previo a la realización de un objeto o proceso que tiene como fin la construcción de este, partiendo de diferentes herramientas ya sean planos, bosquejos, esquemas, etc. que dejaran ver una idea clara de cómo deberá ser el producto final. El diseño involucra la creación y la creatividad como los pasos a seguir para que una idea pueda evolucionar y convertirse en lo que se tenía planeado. En ingeniería civil existe la rama de la ingeniería estructural. Aunque este documento no tiene los alcances de esta rama, involucra el método estándar de ésta. La escuela de ingeniería de Antioquia1 nos presenta este método con sus objetivos principales Busca identificar, estudiar alternativas, seleccionar, analizar y verificar resultados de la solución estructural a un problema ingenieril, teniendo presentes los criterios de funcionalidad, economía y seguridad. En el diseño estructural completo se distinguen dos etapas: análisis y diseño. En el análisis estructural se determinan las fuerzas internas y deformaciones, el tamaño y propiedades de los materiales. El diseño busca seleccionar la forma y los materiales que conforme el sistema más eficiente.

1

ESCUELA DE INGENIERIA DE ANTIOQUIA. Estructuras: Ingeniería estructural. [en línea] [citado 26 de Mayo de 2013]. Disponible en internet: .

27

Este método requiere que las dos fases sean retroalimentadas entre sí, de tal forma que se diseñe, se verifique con el análisis y se rediseñe para empezar el ciclo, hasta encontrar la mejor solución. 5.1.2 SOFTWARE.

Es un conjunto de programas que controlan las actividades que realiza un computador, es elaborado por el hombre de tal manera que las instrucciones que se den a través de éste, sean interpretadas y realizadas por el computador. Se puede asemejar el software a la pensamiento humano, ya que este se asocia a la parte lógica del computador. Existen básicamente 2 tipos de software: el software de sistema y el software de aplicación. El primero es esencial para que el hardware funcione, es decir es el que administra los recursos físicos y además establece una interacción básica y fundamental con el usuario. Es la herramienta de los programadores. El segundo es del tipo de software que plantea este documento, donde los programas para o por los usuarios para realizar una tarea específica en la computadora. 5.1.3 ESTRUCTURAS LIGERAS.

Las estructuras ligeras deben su nombre al poco peso que poseen en relación a su longitud, área o volumen. Una definición más precisa y fácil de entender se pude resumir de la siguiente manera “…si se comparan objetos diferentes en situación de transmitir fuerzas iguales sobre distancias iguales, el que cumple este trabajo con la masa mínima es más ligero que los demás objetos. Los objetos que pueden transmitir fuerzas con una masa más pequeña se denominan construcciones ligeras…”2, esto además incide en las relaciones de costos, evidenciado en que se hace más eficiente una construcción con menos material.

2

W. HENNICKE, Jürgen. Ligero y amplio. Aspectos sobre el diseño y la construcción de amplias estructuras ligeras. [en línea] [citado 11 Mayo 2013]. Disponible en internet: < http://tdd.elisava.net/coleccion/10/hennicke-jUrgen-ca>.

28

“…Estas construcciones son muy esbeltas y tienen grandes luces entre apoyos. Esto se consigue evitando que las cargas se transmitan mediante esfuerzos de flexión, existiendo sólo esfuerzos de tracción y compresión...”3.

5.1.3.1 Estructuras ligeras en la naturaleza.

En la naturaleza, por efectos de la evolución y la selección natural que postuló Charles Darwin, se desarrollaron patrones de supervivencia en los cuerpos de los seres vivos de tal manera que superaran a la anterior versión de la especie, esto proporcionó ventajas a algunas de las especies por encima de otras en campos específicos, lo que es razón de la diferencia de tamaños, masa, forma, entre otras características. El desarrollo estructural natural, se basa en formas básicas prefijadas que se repiten sin perder su forma y además le permite disminuir su masa para hacerse más eficiente, ejemplos como la célula, las alas de un ave, los virus, caparazones entre otros tantos. De hecho en la célula se puede apreciar que funciona de tal manera que pueda ser blanda, pero con la posibilidad de adoptar estados de endurecimiento, lo que permite ver características de las estructuras neumáticas en ellas, ya que cuenta con una membrana que se somete a tracción debido a los fluidos internos que ejercen presión sobre la misma. Otro elemento importante en las estructuras ligeras es la fibra, que es un elemento alargado con capacidad de soportar cargas de tracción. De esta misma manera las construcciones fabricadas por animales también emplean inconscientemente el término de la ligereza, como en telarañas, presas de castores, casas, pajares, etc. Este tipo de configuraciones ha servido de inspiración a diversos ingenieros y arquitectos, para llegar a diferentes formas de interpretar los modelos desde la parte física hasta la matemática. Tres de las propiedades importantes para realizar construcciones desde la analogía a lo natural, se muestran a continuación: 3

SOFISTIK. Estructuras ligeras [en línea] [citado .

29

12

Febrero

2013].

Disponible

en

internet:

1. Resilencia: Definida por Holling (1973) como la capacidad de un sistema de integrar una perturbación sin afectar su funcionamiento general ni su estructura 4. Esta característica se evidencia en las estructuras cuyo diseño tiende al uso de configuraciones de tal manera que se trabajen esfuerzos de tensión, y se fabrica con materiales orgánicos. El ejemplo más importante de este tipo es la telaraña, ya que aunque está fabricada con delgadas fibras puede atrapar insectos en pleno vuelo, ya que posee propiedades de resistencia superiores al acero y mayor elasticidad que una pieza de nylon.

Ilustración 1. Resilencia: Tela de araña

Tomado de:http://elrincondedario.blogspot.com/2013/05/va-de-animales-aranas.html

2.

Homotecia: Es el crecimiento a partir de un módulo que se repite a diferentes escalas, esto permite crecer en masa, forma y volumen eficientemente. En la naturaleza se encuentran los sistemas L como los Nautilus que desarrollan sus caparazones espiralmente, repitiendo un módulo de segmento circular que incrementa de una manera definida.

4

MARROQUIN, Luis Alberto. Diseño de estructuras adaptables inspiradas en la naturaleza. [en línea] [citado 28 Junio 2013]. Disponible en internet: < http://es.scribd.com/doc/45175579/ESTRUCTURAS-ORGANICAS>.

30

Ilustración 2. Homotecia: Caparazón Nautilus

Tomado de: http://historiadelaculturaufasta.blogspot.com/

3. Membrana neumática expansible: Se evidencia en los diseños de alas de insectos, como mecanismos de expansión neumáticos e hidráulicos. Ilustración 3. Membrana neumática expansible: Ala de una libélula.

Tomado de: http://www.ojodigital.com/foro/mundos-diminutos-21-de-septiembre-al-20-de-octubre2010/341065-estructura.html

31

Lo anterior puede traducirse a cambios energéticos en el proceso de construcción y a generar excelentes propiedades de sismo resistencia.5 5.2

OTROS SOFTWARE.

Actualmente existen diferentes tipos de software para el diseño de tenso estructuras donde a partir de la interacción de datos del usuario con el computador se puede tener una imagen visual de una tenso estructura más sin embargo estos sistemas son más aplicados a la forma más que al comportamiento estructural, por esto al momento de pasar del diseño a la construcción es importante tener en cuenta que las cargas que actúan sobre cuerpo producen diferentes tipos de comportamiento que aunque a veces pueden ser asimilados necesitan de un conocimiento mucho más científico de los materiales y de la mecánica aplicada para el desarrollo de diferentes tipos de cálculos. Entre los programas más utilizados por parte de constructores son aquellos que entregan la forma del cuerpo, programas como Membranes24, Mpanel, Formfinder desing, Forten 32, consideran la geometría del cuerpo y entregan patrones de corte de las membranas más sin embargo algunos de ellos omiten el tipo de material de la membrana, como su peso y distribución en los cables, puesto que al ser estructuras diseñadas con materiales ligeros, son muchas despreciados las cargas que actúan a lo largo de la membrana. Los programas más adecuados para obtener un comportamiento más asertivo de una tenso estructura son ESI (Engineering Systems International S.A), Sofistik AG, y Optiflow, software que entregan una información real del comportamiento de las tenso estructuras, partiendo de diferentes simulaciones utilizando diferentes tipos de cálculo

5

MARROQUIN, Luis Alberto. Diseño de estructuras adaptables inspiradas en la naturaleza. [en línea] [citado 28 Junio 2013]. Disponible en internet: < http://es.scribd.com/doc/45175579/ESTRUCTURAS-ORGANICAS>.

32

5.3

TENSO-ESTRUCTURAS.

5.3.1 Definición y características

Se entiende por Tenso-estructuras al conjunto de sistemas estructurales que tienen las siguientes características: El hecho de ser sometidos principalmente a esfuerzos de tensión (es decir que son estructuras de tracción pura). Las estructuras sometidas exclusivamente a tensiones de tracción se denominan, sistemas estructurales de tracción pura y son aquellas que actúan adaptando su forma según la distribución de las cargas a las que está sometida la estructura y desarrollando tensiones exclusivamente de tracción en todo el sistema.6 Aquellos donde lograr la mayor ligereza posible de sus materiales es uno de sus objetivos, es por esto que están catalogadas dentro de las estructuras ligeras. Por lo general tienen la capacidad de cubrir grandes luces. Incluyen materiales sintéticos nuevos y reciclados de alta resistencia, que producen con alto grado de satisfacción, aislamiento térmico y acústico y confort En general determinan una forma eficaz y resistente, que da como resultado una estructura eficiente proyectada en pro de un desarrollo sostenible, llevando a reducir el gasto energético e impacto ambiental, esto le da la posibilidad de contribuir socialmente, pues es culturalmente adaptable.

Su nombre se debe a que se compone de elementos que son ubicados y usados de tal manera que la función principal de la estructura sea absorber esfuerzos de 6

DIEZ,Gloria: Diseño estructural en Arquitectura: introducción - 1a ed. - Buenos Aires: Nobuko, 2005. 222 p

33

tensión, además desarrollan estados de esfuerzos inducidos internamente con anticipación para soportar a las cargas externas. Esto se debe a las características de los materiales que se usan: cables, hilos y membranas; que por su naturaleza estructural no oponen resistencia significativa a deformarse a otro tipo de esfuerzo diferente a la tensión. Estos materiales además comprometen a las Tenso-estructuras dentro del grupo de las estructuras ligeras, ya que su peso es mínimo; hecho que se traduce en la capacidad de cubrir grandes luces, producir confort, generar aislamiento térmico y acústico, y más importante aún reducir su susceptibilidad sísmica que se puede deducir de la segunda ley de Sir. Isaac Newton, donde la fuerza es proporcional a la masa y la aceleración, por lo tanto si se reduce la masa de la estructura, menor será el efecto de la fuerza sísmica hacia la misma. Socialmente se ve como una estructura eficiente proyectada en pro de un desarrollo sostenible, llevando a reducir el gasto energético e impacto ambiental, además ser culturalmente adaptable por la versatilidad de su geometría y sus materiales.

5.3.2 Historia

La construcción de las tenso-estructuras comenzó siendo una alternativa antigua motivada por la necesidad de subsistir de los primeros pueblos nómadas. Las tenso-estructuras por su ligereza y fácil transporte, dieron un gran aporte al hombre antiguo donde las pieles de los animales que cazaba y los huesos o palos que encontraba daban el soporte de un nuevo tipo de estructura que hacía del factor tiempo un importante aspecto para la inclusión de su uso por parte de estas comunidades antiguas (ya que era de gran facilidad armarlas)7. Actualmente se conoce que fueron utilizadas por primera vez en la región en que hoy en día se encuentra Ucrania, aproximadamente 4000 años atrás; utilizando huesos de mamut previamente seleccionados, dispuestos en forma circular para formar la estructura, y las pieles de los animales que cazaban confeccionadas

7

CASTRO, Stephanie, et al. Tensoestructuras. [en línea] [citado 2 Noviembre 2012]. Disponible en internet:

< http://es.scribd.com/doc/44231231/TENSO-ESTRUCTURAS>.

34

rudimentariamente, en busca de cobijo ante las inclemencias climáticas y ante la imposibilidad de conseguir fuego en especial durante las temporadas de invierno. Gran variedad de formas y técnicas se han utilizado desde que el hombre conoce la construcción de estructuras tensables, en el cual algunos pueblos aún conservan estas técnicas donde las formas geométricas simples y materiales naturales, posibilitan la reutilización, desmontaje y transformación a lo largo del tiempo. Son ejemplo claro en la historia, construcciones como el “tipi” en Norteamérica que se hacía con varillas de madera y piel de búfalo. Ilustración 4. Tipi Norteamericano

Tomado de: http://velariasytensosestructuras.blogspot.com/2010/08/velarias-historiagrafica.html

En Asia, en la cultura Kazaja, se encuentran los “Yurts” que son construidos de planta circular con mástiles de madera que se cubren con fieltro compuesto de lana y otros materiales cuya función es resguardar y soportar las temperaturas más bajas, aislando el interior con el exterior de manera tal que se genera un ambiente más confortable para sus habitantes.

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Ilustración 5. Yurt

Tomado de: http://velariasytensosestructuras.blogspot.com/2010/08/velarias-historiagrafica.html

En África, los Tuareg y Gabra usaron cuero curtido para fabricar sus viviendas, que median alrededor de unos 15 m 2 (3 m *5 m) donde se encontraba dividida con zonas de recreación, de alimentación, una zona especial para la mujer y un lugar para la cama. Ilustración 6. Viviendas Tuareg.

Tomado de: http://i2.esmas.com/galerias/fotos/2011/11/_10-women-cooking-straw-tents-670-7bfce9f05b81-102f-9736-0019b9d5c8df.jpg

La cultura arábica de los Beduinos, desarrollaron viviendas rectangulares construidas por palos de madera, pieles y cuerdas como tensores, además de piedras como cimentación.

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Ilustración 7. Tiendas Beduinas

Tomado de: http://rlv.zcache.es/tiendas_e_inquilinos_beduinos_tierra_santa_photoc_tarjeta_postalr72a7b9785ac04b92bcb3b7f54d25c93b_vgbaq_8byvr_512.jpg

El progreso de las tenso estructuras tuvo su gran aporte cuando Frei Otto ingeniero y arquitecto alemán desarrollo y dio pie al estudio de las tenso estructuras como una nueva tecnología con grandes cualidades que no habían sido tomadas en cuenta en los procesos constructivos del siglo XX. El estudio de las tenso-estructuras en principio se vio reflejado en Los trabajos del ingeniero y arquitecto alemán Frei Otto desde 1920 y el Instituto de estructuras ligeras (ILEK) en Stuttgart desde 1960 que fueron los que dieron pautas de avance en esta tecnología, su exploración de las formas a través de la comparación con las estructuras naturales (telarañas, la caída natural de un cable, etc.) Frei Otto inicio su estudio para aplicarlo en un sistema constructivo con el comportamiento de los materiales textiles y las formas existentes en la naturaleza, las cuales por su evolución adoptaron formas eficientes con un mínimo de material. Funda en 1960 el Institut für Leichtbau, Entwerfen undKonstruieren (Instituto Para Estructuras Ligeras), de la Universidad de Stuttgart en Alemania,

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instituto que entrega grandes aportes constructivos y de diseño, instituto que se encargó de estudiar a fondo el comportamiento de las tenso estructuras. Algunas de sus obras más reconocidas, son: el pabellón alemán (1967) y el estadio olímpico de Múnich (1972); obras que mostraron al mundo la arquitectura de tracción, utilizando en ambas construcciones grandes membranas y grandes postes como mástiles, con unos pocos puntos de apoyo. Ilustración 8. Estadio Olímpico de Munich.

Tomado de: http://1.bp.blogspot.com/-gK0TIfKHvoo/TV3xf3bFzI/AAAAAAAAAHw/GVxEVzvcUT4/s1600/149121458.jpg

También se encuentran aportes de Vladimir Shújov, del reconocido Richard Buckminster Fuller con su cúpula geodésica y del desarrollo teórico, metódico y de rigor científico se dio en Estados Unidos, Alemania, Francia e Inglaterra.

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En Estados Unidos Richard Buckminster Fuller entrega un gran aporte a la ingeniera y al estudio de diferentes sistemas constructivos con materiales ligeros, Desarrollando un sistema vectorial de la geometría que llamo "EnergeticSynergetic geometría"8 que concibe que exista en la naturaleza un sistema vectorial, orientado direccionalmente, de fuerzas que proporciona la máxima resistencia con estructuras mínimas, como es el caso en las rejillas anidadas tetraedro de compuestos orgánicos y de metales. Diseñando diferentes cúpulas geodésicas que le dieron reconocimiento internacional, capaces de soportar su propio peso, cubriendo grandes luces. Ilustración 9. Cúpula geodésica Richard Buckminster Fuller

Tomado de: http://www.ison21.es/wp-content/uploads/2008/06/bucky-big.jpg

En Latinoamérica el desarrollo de las tenso-estructuras ha sido bajo.

8

R. Buckminster Fuller {Viernes 18 enero 2013 “http://www.britannica.com/EBchecked/topic/221902/R-Buckminster-Fuller”

39

14:24:35}.

Disponible

en:

De las primeras estructuras de este tipo instaladas en Latinoamérica, fue para el centro de convenciones del Hotel Crillón en Lima-Perú9. En los últimos años ha vendido aumentando en importancia, elemento que se ve reflejado en los simposios que se han venido desarrollando anualmente fomentados por la Red Latinoamericana de Tensoestructuras, el último se desarrolló en Santiago de Chile entre los meses de Julio y septiembre del 2012. Este último en su página web se presenta con el siguiente texto: “Las estructuras de telas y membranas han sido objeto de numerosas exploraciones e innovaciones que abarcan desde la construcción de pequeños objetos, a cubiertas de grandes dimensiones. La ligereza, el mínimo uso de material, la eficiencia estructuras y el bajo uso de energía son cualidades que hacen a las tenso estructuras elementos relevantes en el estado del arte en arquitectura, construcción, diseño e ingeniería. Los avances en este campo se han gatillado, por una parte a través de la incorporación de tecnologías en los procesos de diseño, en la fabricación de materiales y en técnicas de construcción; y por otra han sido producto de la exploración de nuevos usos, aplicaciones espacios producidos a partir de elementos tensados y neumáticos. Este simposio internacional es una instancia para conocer, presentar y debatir un conjunto de investigaciones, plataformas tecnológicas, proyectos y productos que están marcando el desarrollo de las tenso estructuras a nivel internacional” 10. La importancia de estudiar e implementar estas estructuras actualmente radica en su gran potencial para ofrecer las mismas características portantes y de seguridad que una edificación común. Actualmente los últimos trabajos desarrollados para el diseño de una tenso estructura por medio de programas informáticos se encuentran en el IV Simposio Latinoamericano de tenso estructuras desarrollado en Montevideo (Uruguay), donde el uso de plataformas como Rhinoceros se convierten en una alternativa para el cálculo y diseño en la conferencia de "Plataforma tecnológica basada en el Método de Force Density y Update Reference Strategy junto con la rigidez de los métodos no lineales" realizada por el Prof. Arq. Gerry D'Anza (Italia). 9

MARROQUIN, Luis Alberto. Tenso-estructuras: Guía Básica de Diseño. [en línea] [citado 8 Febrero 2013]. Disponible en

internet: < http://es.scribd.com/doc/68823104/Tensoestructuras>. 10

V Simposio latinoamericano de tenso estructuras Santiago de Chile 2012. {Martes 19 sep 2012 18:28:55}. Disponible en: “http://www.tens-scl.org”

40

5.3.3 Clasificación de las tenso-estructuras.

Existen 4 grandes grupos donde se pueden concentrar las tenso-estructuras: Tensairitis. Tensigritis. Estructuras neumáticas. Membranas tensionadas. De estos cuatro, el software desarrollado “TENSODIS” se ocupará de las membranas tensionadas. Además de relacionar algunos componentes básicos de todos los grupos como son los cables, y las cerchas Jawerth. Los primeros tres grupos se exponen en este capítulo, mientras que los últimos se exponen en el capítulo siguiente “Estructuras en el software TensoDis”.

5.3.3.1 Tensairitis.

El principio estructural que usa este sistema es el trabajo conjunto entre una viga tubular neumática y cables de acero que se enrollan de forma helicoidal, lo que genera alta resistencia como se muestra en la ilustración siguiente. Ilustración 10. Tensairiti

Tomado de: http://farm2.staticflickr.com/1028/4723818266_c7ea623b56_z.jpg

41

Los tensairitis son principalmente usados en la construcción de vigas para puentes ultraligeros11 para fines militares y transporte de maquinaria pesada. Ilustración 11. Puente ultraligero con Tensairitis

Tomado de: http://www.materialsource.com/sites/default/files/tensairity2.jpg

También se han desarrollado vigas con este principio estructural, con el fin de cubrir luces de gran tamaño como en Montreux, Suiza12. Ilustración 12. Vigas Tensairiti: Estacionamiento en Montreux.

Tomado de: http://www.tensinet.com/project_files/4278/Fig9-IMG_0197.jpg 11


internet: < http://es.scribd.com/doc/68823104/Tensoestructuras>. 12


internet: < http://es.scribd.com/doc/68823104/Tensoestructuras>.

42

5.3.3.2 Tensigritis. El término en inglés “Tensigrity” lo acuñó Buckminster Fuller, como una abreviación de “Tensional Integrity”13. El principio estructural de este tipo, está basado en componentes aislados comprimidos dentro una red tensada continua. Aquí las barras no hacen contacto entre sí, sino a través de los cables que están sometidos a tensión. A continuación se muestran algunos ejemplos.

Ilustración 13. Easy Landing

Tomado de: http://www.kennethsnelson.net/sculpture/outdoor/11.htm

13



43

Ilustración 14. Estadio Único de la Plata (Argentina)

Tomado de: http://4.bp.blogspot.com/Z80v5kDjGls/Tckbjnn96zI/AAAAAAAACMg/Ds3X7Xv9RHU/s1600/2011estadiociudaddelaplata2.jpg

5.3.3.3 Estructuras neumáticas.

El principio estructural de este sistema, está basado en los principios de la presión, de tal manera que estar haga parte de la estabilidad de la estructura, manteniendo a una membrana con una forma determinada por la dirección y fuerza que el aire dentro de esta genere. Este fenómeno a su vez otorga rigidez y firmeza14. Seguramente el ejemplo más básico, son los globos aerostáticos que se remontan al siglo XVII. En construcción, aparecieron con fines militares para las tiendas de campamento.

14



44

La geometría de estas estructuras es particular, ya que se producen superficies sinclásticas, debido al efecto de la presión interna. Aunque para la mayoría no tiene importancia una simple burbuja de jabón, para Frei Otto se convirtió en su forma de entender las estructuras livianas y los principios naturales de autoformación, ya que se generaban distintas posibilidades de agruparse y formar modelos más complejos15. Los resultados de la investigación de Frei Otto se pueden ver evidenciados en el Water Cube en China, diseñado para los juegos Olímpicos de Beijing 2008 por la firma PTW Architects. Ilustración 15. Water Cube.

Tomado de: http://images.chinahighlights.com/news/2010/07/beijing-water-cube-water-park.jpg

Tabla 1. Resumen Tenso-estructuras Ítem Principio estructural

15

Tenso-estructuras Tensairitis Tensigritis Vigas neumáticas con cables de acero enrollados helicoidalmente

Componentes aislados comprimidos dentro una red tensada continua

Estructuras neumáticas La presión de aire mantiene la membrana tensada con una forma determinada



45

Características

Alta resistencia a flexión

Aplicaciones

-Puentes ultraligeros. -Vigas de gran longitud

5.4

Las barras no hacen contacto entre sí, sino a través de los cables que están sometidos a tensión -Cubiertas -Esculturas

Se producen superficies sinclásticas, debido al efecto de la presión interna

-Fachadas -Cubiertas

ESTRUCTURAS EN EL SOFTWARE “TensoDis”.

5.4.1 Cables

Los cables poseen características únicas que lo hacen fundamental e imprescindible para las obras civiles, ya que son de gran resistencia, son adaptables, flexibles y además son económicos. Por su poca resistencia a la deformación, sólo tienen la capacidad de absorber esfuerzos de tensión. Forman una curva inversa a la que forman los arcos donde los esfuerzos de compresión son los encargados de soportar la estructura. En el cable las fuerzas externas hacen que cambie de geometría, pero ésta y las leyes de equilibrio siempre garantizarán esfuerzos de tensión. “El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Para cables sometidos a cargas uniformes en la proyección horizontal, adquieren una forma parabólica siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple; cables sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso (en este caso no es una carga uniforme) forman una curva llamada catenaria.”16 Como ejemplos de estos se pueden tener a los cables en una obra con concreto postensado:

16

ESCUELA DE INGENIERIA DE ANTIOQUIA. Cables: Cables sometidos a cargas puntuales. [en línea] [citado 19 de Abril de 2013]. Disponible en internet: < http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/cables/cables.htm>.

46

Ilustración 16. Concreto Postensado

Tomado de: http://www.constructorambsa.com/wp-content/uploads/2012/06/postensandos930x300.jpg

Los puentes colgantes como el Verrazano Narrows en Nueva York, el puente Inca de Queswachaca Ilustración 17. Puene Verrazano Narrows.

Tomado de: http://www.daniel.prado.name/imagenes/articulos/Viajes/Nueva-York/puenteVerrazano-Narrows-Bridge.jpg

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Ilustración 18. Puente Inca de Queswachaca

Tomado de: http://lh6.ggpht.com/_fL2fmDmYAmE/TQqfwMdjNRI/AAAAAAAAABs/m0DgZi1jpAM/image_thum b%5B1%5D.png?imgmax=800

Otros ejemplos son las poleas como las que se usan en diversas maquinarias en la construcción, como en la imagen siguiente donde se usa en una torre de perforación.

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Ilustración 19. Poleas en Torre de perforación.

Tomado de: http://thumbs.dreamstime.com/z/gr%C3%BAa-del-auge-de-la-torre-deperforaci%C3%B3n-con-el-gancho-de-leva-12156252.jpg

Para analizar estas estructuras, se presentan tres casos particulares según las cargas actuantes sobre ellos, a continuación se describirán los métodos de cálculo existentes para cada uno de estos casos.

5.4.1.1 CABLES CON CARGAS CONCENTRADAS:

Según Beer y Johnston: En su libro Mecánica Vectorial para ingenieros 17 Beer y Johnston presentan un método de desarrollo para el cálculo de los cables con cargas concentradas basado en los métodos de la estática, este se enunciará a continuación. Los autores consideran un cable flexible unido a dos apoyos A y B que soporta N cargas concentradas verticales. Además se supone que el peso del cable se pude ignorar en comparación con las cargas que soporta. Por lo tanto cualquier porción 17

BEER AND JOHNSTON, Mecánica vectorial para ingenieros: Cables con cargas concentradas, México D.F, 2007, pág. 385-386.

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del cable entre dos cargas se puede considerar como un elemento sujeto a dos fuerzas y, por consiguiente las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable. Con una carga donde se conoce la que la distancia horizontal desde el apoyo A a la carga; se debe conocer además las distancias horizontal y vertical entre apoyos. Se busca determinar la forma del cable (distancia vertical desde el apoyo A hasta cada uno de los puntos) y también se desea conocer la tensión T en cada uno de los segmentos del cable. Dibujando un diagrama de cuerpo libre para todo el cable, se encuentran 4 incógnitas y 3 ecuaciones de equilibrio, lo que quiere decir que estas ecuaciones no son suficientes para determinar las reacciones en los apoyos, de esta manera tomamos una ecuación adicional considerando el equilibrio de una de las porciones del cable. Ilustración 20.Cables con cargas puntuales.

Tomado de: BEER AND JOHNSTON, Mecánica vectorial para ingenieros: Cables con cargas distribuidas, México D.F, 2007, pág. 386.

Hallar esto sólo es posible si se conocen las coordenadas de un punto en el cable, teniendo esto se realiza la sumatoria de momentos en el punto igualada a 0, obteniendo una relación adicional entre las reacciones. Otro autor de la Escuela de ingeniería de Antioquía 18 plantea de manera similar pero más de forma más generalizada este método, a continuación se presenta este documento.

18


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Los cables sometidos a cargas puntuales adquieren una geometría tal que en cada punto de aplicación de una carga se forma un cambio de curvatura del cable. La forma final del cable dependerá de la magnitud de las cargas puntuales y de su punto de aplicación. Ilustración 21. Esquema de cables sometidos a cargas puntuales.

Tomado de : ESCUELA DE INGENIERIA DE ANTIOQUIA. Cables: Cables sometidos a cargas puntuales. [en línea] [citado 21 de Abril de 2013]. Disponible en internet: < http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/cables/cables.htm>.

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable se tiene un sistema de tres ecuaciones independientes y cuatro incógnitas. La dirección de las reacciones depende de la geometría del cable y que esta a su vez depende de las cargas aplicadas. Si en el cable analizado, sus dos apoyos están al mismo nivel, se puede solucionar el análisis vertical. Para las componentes horizontales se requiere de otra ecuación que resulta de la geometría del cable. Si se conoce al menos una flecha del cable en cualquier tramo, se podría determinar la dirección de una de las reacciones y así la componente horizontal. Para este caso especial la cuarta ecuación sería la tangente del ángulo θ y en ese caso las componentes de las fuerzas de reacción se expresan en función de θ, y se comprobará que la fuerza horizontal es constante en toda la longitud del cable e inversamente proporcional a la flecha. En el caso de tener varias cargas aplicadas, se hace necesario conocer al menos una de las flechas del cable. Así, se puede analizar el cable aplicando el método de los nudos, considerando cada punto de aplicación de carga como un nudo de cercha sometido a tracciones y cargas externas o el método de las secciones, cortando el cable por un punto donde se involucre la flecha conocida y tomando momentos con respecto al punto de corte. De esta manera se despeja la componente horizontal de la reacción.

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Para cables con apoyos no lineados horizontalmente, se puede plantear encontrando las reacciones en función de la distancia vertical entre el cable y la línea que une los dos puntos de apoyo, esta distancia se llama flecha: Ilustración 22. Esquema de cables sometidos a cargas puntuales con apoyos a diferente nivel

Tomado de: ESCUELA DE INGENIERIA DE ANTIOQUIA. Cables: Cables sometidos a cargas puntuales. [en línea] [citado 21 de Abril de 2013]. Disponible en internet: < http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/cables/cables.htm>.

Con el equilibrio horizontal se comprueba de nuevo que la reacción es constante, es decir que se transmite a lo largo del cable. Realizando el equilibrio de momentos respecto al apoyo B se obtiene la siguiente ecuación para la reacción vertical en A.

Con un punto m de flecha conocida se encuentra otra expresión que contiene Ay, de tal manera que se forme un sistema de ecuaciones y que se pueda encontrar el valor de la componente horizontal H.

Esta ecuación relaciona la componente horizontal de la tensión, la flecha del cable en un punto determinado y las cargas actuantes, se conoce como el teorema del cable: ·”En un punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto de la componente horizontal de la tensión por la flecha en ese punto, es igual al momento flector que actúa en esa sección si se considera el cable como una viga simplemente apoyada”.

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En el caso de que el apoyo en B esté por encima del apoyo A, la ecuación se conserva. Ilustración 23. Cables sometidos a cargas puntuales.


Para despejar H o Ym de esta relación se necesita conocer al menos una de las dos. En el diseño de estructuras con cables, el diseñador tiene la opción de fijar la flecha deseada o fijar la componente horizontal de la tensión, la cual permanece constante en toda la longitud. 5.4.1.2 CABLES CON CARGAS DISTRIBUIDAS: Al igual que con las cargas puntuales, en su libro Mecánica Vectorial para ingenieros 19 Beer y Johnston presentan el método de desarrollo para el cálculo de los cables con cargas distribuidas que se describe a continuación. Considerando un cable unido a dos puntos fijos A y B que soportan una carga distribuida. A partir de esto se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porción del cable que se extiende desde el punto más bajo C hasta un punto D del cable. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre son la fuerza de tensión To en C, la cual es horizontal a la fuerza de tensión T en D, la cual está dirigida a lo largo de la tangente del cable en D y, la resultante W de la fuerza distribuida soportada por la porción CD del cable.

19

BEER AND JOHNSTON, Mecánica vectorial para ingenieros: Cables con cargas distribuidas, México D.F, 2007, pág. 386-388.

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Ilustración 24.Diagramas para cables con carga distribuida.


Si se dibuja el triángulo de fuerza correspondiente se tienen las siguientes ecuaciones: Ilustración 25. Ecuaciones para cables con carga distribuida.


Según la Escuela de ingeniería de Antioquia20, se puede trabajar el problema como se enuncia: a. Cables sometidos a cargas uniformemente distribuidas en la proyección horizontal: La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto más bajo de este.

20


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Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parábola en el centro o considerarlo desde un extremo.

Ilustración 26. Cables sometidos a cargas distribuidas.

Tomado de: ESCUELA DE INGENIERIA DE ANTIOQUIA. Cables: Cables sometidos a cargas puntuales. [en línea] [citado 21 de Abril de 2013]. Disponible en internet: < http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/cables/cables.htm>

a. Desde el centro Ilustración 27. Análisis desde el centro

Tomado de: ESCUELA DE INGENIERIA DE ANTIOQUIA. Cables: Cables sometidos a cargas puntuales. [en línea] [citado 21 de Abril de 2013]. Disponible en internet: < http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/cables/cables.htm>

Se encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma de la curva del cable en función de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto a D se obtiene:

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Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posición x, determinando la forma de una parábola. Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a la sección indicada Obteniendo que la tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2:

Y que la tensión mínima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente horizontal de la tensión, H. b. Cables con apoyos no alineados horizontalmente: Ilustración 28. Cables con apoyos no alineados horizontalmente


Se realiza el equilibrio de momentos con respecto a B y seccionando el cable por m para hallar expresiones de Ay que permitan despejar las demás incógnitas como H.

Para xm=L/2

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La ecuación que define la forma del cable es una parábola con origen en el extremo izquierdo:

Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa ym en función de H, se deriva e iguala a cero:

Constituye la tangente en cualquier punto del cable Para dy/dx=0

5.4.1.3 CATENARIA En su libro Mecánica Vectorial para ingenieros 21 Beer y Johnston presentan el método de desarrollo para el cálculo de los cables que soportan su propio peso, describiendo una curva llamada catenaria. En las siguientes líneas se describirá tal método de manera general.

Considerando un cable que soporta su propio peso dado en unidades de peso por unidad de longitud. Si se analiza un tramo de longitud S de tal manera que el punto más bajo sea el origen de coordenadas en la dirección X, la carga que soporta será WS, tal como lo muestra la figura.

21

BEER AND JOHNSTON, Mecánica vectorial para ingenieros: Cables con cargas distribuidas, México D.F, 2007, pág. 386-388.

57

Ilustración 29. Catenaria


Introduciendo una constante c=To/w se llega a las siguiente expresión.

Analizando un tramo de longitud ds, se obtiene que por lo tanto se tiene:

, y que

,

Expresión que se integra para encontrar una función de la longitud de arco S, de la forma :, que sirve de base para encontrar una relación entre las coordenadas x, y.

Así, sabiendo que , se obtiene una relación de la siguiente forma , la cual luego de integrarse entre los límites (0,c) se obtiene la ecuación general de la catenaria.

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Ilustración 30. Ecuación general de la catenaria

Tomada de: BEER AND JOHNSTON, Mecánica vectorial para ingenieros: Cables con cargas distribuidas, México D.F, 2007, pág. 398.

5.4.2 Cercha Jawerth Ilustración 31. Cercha Jawerth.

Tomado de: Cerchas Jawerth {20 de Marzo 2013 18:24:15}. Disponible en: “http://www.tensostrutturetp.it/popup/foto/96.htm”.

Esta fue creada por el Ingeniero David Jawerth con la finalidad de cubrir grandes luces mediante una estructura liviana, que asegure respecto de la cercha tradicional economía de peso, material y mano de obra. Se diferencia de la cercha tradicional en que está constituida en su totalidad por cables y por ende de secciones muy reducidas lo que implica naturalmente, una

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disminución de masa y peso con respecto a los reticulados, donde la gran cantidad de barras comprimidas impide el uso de cables y obliga a un incremento de sus secciones transversales para evitar el pandeo, además aumenta el peso y por lo tanto sus costos. La diferencia entre estás cerchas y las membranas, es que en la cercha Jawerth, las dos familias de cables son independientes y además son planas, unidas entre sí mediante cables que se llaman pendolones, mientras que en las redes en forma de silla de montar, se hallan entrelazadas en un mismo plano alabeado, son tridimensionales. 22 Se usó en el estadio Olímpico de México para estabilizar la cubierta Ilustración 32. Cercha Jawerth

Tomado de: DIEZ,Gloria: Diseño estructural en Arquitectura: introducción - 1a ed. - Buenos Aires: Nobuko, 2005. Pág 156.

22

PERLES, Pedro, Temas de estructuras especiales: Cercha Jawerth, Buenos Aires, 2007, pág. 157.

60

5.4.2.1 Cálculo Cercha Jawerth.

El texto de referencia para el cálculo de esta estructura es el de Arquitecto Pedro Perles “Temas de estructuras especiales” donde lo trabaja con gran detalle 23, en esta sección se explicará a modo general el método usado, ya que para la realización del programa se muestra el método completo. Para empezar se analizan dos estados de carga, el primero con cargas permanentes debidas al peso de la estructura (y nieve según el lugar), y el segundo con cargas permanentes pero adicionando la acción del viento. Además de las cargas anteriores, se debe considerar una carga adicional que hará que la estructura permanezca en su estado estático, llamada tensión previa. Ilustración 33. Estados de carga

Tomado de: PERLES, Pedro, Temas de estructuras especiales: Cercha Jawerth, Buenos Aires, 2007. Pág 157-158.

Se analizan los estados de carga más críticos para cada uno de los cables, el superior y el inferior obteniendo relaciones de la tensión previa para cada uno de estos. Tensión previa en el cable superior (Calculada en el estado 2 de cargas) ya que el viento tiende a destraccionar el cable. Ilustración 34. Tensión previa en el cable superior.

Tomado de: PERLES, Pedro, Temas de estructuras especiales: Cercha Jawerth, Buenos Aires, 2007. Pág 158. 23

PERLES, Pedro, Temas de estructuras especiales: Cercha Jawerth, Buenos Aires, 2007. Pág 157-172.

61

Tensión previa en el cable inferior (Calculada en el estado 1 de cargas) ya que la carga permanente tiende a destraccionar el cable. Ilustración 35. Tensión previa en el cable

Tomado de: PERLES, Pedro, Temas de estructuras especiales: Cercha Jawerth, Buenos Aires, 2007. Pág 158.

El dimensionado de los cables se hace mediante la ecuación Para dimensionar los pendolones, primero se calcula la carga distribuida y se usa la ecuación siguiente: Ilustración 36. Carga distribuida qp

Tomado de: PERLES, Pedro, Temas de estructuras especiales: Cercha Jawerth, Buenos Aires, 2007. Pág 159.

Y este valor se multiplica por el espaciamiento entre los pendolones para hallar la carga axial que recibe cada uno de ellos. Y se dimensiona de igual manera que con los cables.

5.4.3 Membranas Tensionadas.

El principio estructural en este caso es la distribución de esfuerzos a través de la superficie de la membrana y los cables, para llevarla a elementos rígidos que trabajan compresión como los son los arcos, puntales y postes. También son conocidas como cáscaras blancas, se caracterizan por su instabilidad de forma pues cambia según el esquema de cargas debido a su falta de rigidez. Principalmente estos cambios en el esquema de cargas se dan por el 62

viento. En estos casos se aplica una tensión previa para evitar el cambio de la estructura de las cargas y por lo tanto evitar la inestabilidad de forma. Las membranas están constituidas por dos familias de cables de curvatura opuesta, la portante y la estabilizante conformando una forma alabeada como de silla de montar, quienes transmiten los esfuerzos a los cables de borde, que descargan las fuerzas al suelo a través de puntales y tensores. 24

Materiales El elemento principal en este modelo es la membrana, de tal manera que ésta debe estar fabricada con altos estándares de calidad para resistir los elevados esfuerzos de tensión, además de fenómenos físicos como la lluvia, la nieve, el fuego, la radiación ultravioleta, entre otros. Los materiales tensables utilizados están especialmente diseñados buscando la belleza y la funcionalidad dejando a un lado las formas de las construcciones tradicionales pero con una dinámica estructural y una ligereza en los materiales que las convierte en una excelente alternativa. Los tejidos hechos en poliéster con capas inferiores y superiores de PVC y los cables trenzados y mástiles representan el soporte y el esqueleto de la tenso-estructura. Esta tecnología que se convierte en un gran aporte a la construcción se puede llegar a combinar con las construcciones tradicionales sin llegar a comprometerla, además de sus innumerables ventajas es también capaz de cubrir grandes luces, brindando protección solar pero con el valor agregado de la transparencia del material. o Membrana La membrana es el elemento que cubre la mayor parte de la superficie de la tenso estructura y la encargada de crear el espacio cubierto, está compuesto por diferentes capas de PVC, teflón y poliéster que mejoran la durabilidad del material donde utilizando diferentes tipos de combinaciones se mejoran ciertas características del material. Los diferentes componentes de la tenso estructura están especialmente diseñados para que se adopten a la forma estructural de la obra, con sus diferentes tipos de anclaje y dimensiones a su vez asumiendo la capacidad de resistir condiciones

24


63

externas como el viento, agua, fuego, hielo y garantizando su durabilidad, sin afectar características como la transparencia y el confort. Los hilos que hacen parte de la membrana son un conjunto de hilos más pequeños que entrelazados forman la malla. El PVC como material tiene la función de proteger el tejido contra los rayos UV, abrasión y agentes atmosféricos, que garantizan la vida útil del material. o Cables Son hilos de acero trenzados en espiral formando unidades llamadas torones con diferentes calibres, son los encargados de reforzar la membrana textil y que esta mantenga su posición y se encuentre unida a los diferentes anclajes de la tenso estructura, además de que varios de ellos unidos en forma cruzada forman la red donde es complementada por la membrana. Los cables se instalan de forma que puedan generar crestas y valles en la membrana buscando soportar cargas producidas por la gravedad, el peso de la estructura, el agua u otros factores que puedan generarle peso a la construcción. o Anclajes Los anclajes son los elementos que mantienen rígida la membrana y la encargada de que esta no pierda tensión, cada membrana tiene una curvatura que permitirá la estabilidad estructural. Esta curva es lograda por un anclaje. Existen dos tipos de anclaje los exteriores e interiores, los anclajes exteriores son aquellos que trabajan tensiones mayores debido a que la superficie textil en comparación con los anclajes interiores son muy pequeñas. Además que los anclajes interiores son grandes casquetes esféricos que no generan cambios en la curvatura considerables. o Mástil El mástil es el poste encargado de que la estructura se encuentre en altura, y por la cual los cables se unen a un punto rígido que generara la forma y la estabilidad para que esta maneje un comportamiento estático. Principio estructural Como ya se mencionó, la superficie de la membrana es la encargada de distribuir los esfuerzos, es por esto que la forma que tome la membrana es fundamental para las características de resistencia que debe adquirir, de tal manera que una forma anticlástica (que es la que adquiere la membrana al ser sometida a tensión)

64

combinada con los elementos de apoyo, dé como resultado un flujo natural y equilibrado de las fuerzas que actúan sobre la superficie25. El equilibrio antes mencionado se consigue con las dos familias de cables (portante y tensora) de tal manera que se transmitan los esfuerzos a los cables de borde (relingas), que descargan las fuerzas a la cimentación mediante los puntales de compresión y los cables tensores. Lo anterior genera un módulo básico en forma de silla de montar como lo muestra la ilustración siguiente:

Ilustración 37. Módulo básico de membranas estructurales.

Tomado de: Membranas estructurales {20 de Marzo 2013 18:24:15}. Disponible en: “http://carpasycubrimientos.blogspot.com/2010/05/carpas-con-membranas-estructurales.html”

Este módulo, al igual que en las burbujas de jabón, se puede agrupar de tal manera que conforme estructuras de mayor complejidad, aumentando tanto los puntos altos como los bajos, generando superficies con formas nuevas. Además existen variaciones al modelo básico, como las membranas tipo tienda, las que poseen arcos interiores, entre otros. El Arquitecto Pedro Perles26 presenta una serie de ejemplos de este tipo de estructuras, como el Estadio de la Arena de Raleigh en Estados unidos, fruto del 25



65

Arquitecto Matthew Nowick. En esta construcción se usaron arcos parabólicos en concreto alrededor del estadio, y la red en forma de silla de montar está construida por cables de acero. Ilustración 38. Estadio de la Arena de Raleigh

Tomado de: http://farm4.static.flickr.com/3378/3181852583_66974bb1f2.jpg

Otro ejemplo es el Aeropuerto Internacional de Denver, del Arquitecto Curtis W. Frentress y el Ingeniero estructural Reinhold Meyer. Está conformado por formas asimiladas a los tipis vistos anteriormente. Este edificio trata de interaccionar con dos culturas, la del presente y la del pasado, en dos aspectos como son la forma y por el cambio de concepto de las construcciones tradicionales a las tensoestructuras, ya que combina el acero, el concreto en grandes volúmenes con las membranas y su sistema.

26


66

Ilustración 39. Aeropuerto Internacional de Denver

Tomado de: http://flydenver.com/Resources/img/IntImage.jpg

5.4.3.1 Cálculo de membranas.

Existen varios métodos de cálculo de las membranas tensionadas que se expondrán a continuación desde una visión meramente informativa, ya que ninguno de estos métodos es aplicado al software ya que contiene elementos matemáticos de alto nivel, que en la condición de tecnólogos no se ha alcanzado. Por lo tanto en la sección de resultados se deja planteado un método alterno con ecuaciones diferenciales, que contiene algunos análisis de gráficas en función de los cambios de pesos, de longitud y tensiones que puede llegar a conducir a futuro a un modelo generalizado. El proceso de diseño de las tenso-estructura ha venido tomando fuerza y ha avanzado gracias al desarrollo de los métodos computacionales, ya que permite hacer cálculos más precisos y en menor cantidad de tiempo que en el pasado, de hecho este tipo de estructuras se iniciaron con diseños físicos con telas, mallas de alambre, pompas de jabón, entre otros. Hoy en día se reconocen varias técnicas matemáticas que usan el “método de la densidad de la fuerza”, la “relajación dinámica” entre otras aplicaciones para determinar el equilibrio tridimensional. 67

A continuación se muestran algunos de los análisis de varios autores que se encuentran condensados en el libro “Textile composites and inflatable structures”27 Algunos conceptos según Rosemarie Wagner: El proceso de diseño, en general contiene los siguientes pasos: inicialmente un análisis estático preliminar, con este se llega a una forma de equilibrio para la membrana con condiciones límites y de distribución de esfuerzos, con esto se asegura una superficie de doble curvatura que absorba sólo esfuerzos de tensión, y finalmente con esta geometría se vuelve a analizar la estructura para determinar los patrones de corte para su fabricación. Rosemarie Wagner28, describe a los esfuerzos de tracción, a la geometría de la estructura y al mismo equilibrio como 3 factores que influyen en el tipo de equilibrio que resulte. Ahora se muestran algunos comportamientos: La pretensión contra límites rígidos permite estructuras a tensión simple (planas), y estructuras con curvatura simple o doble si la dirección de los hilos va sobre el eje de evolución de la curva hiperbólica, en este caso las fuerzas de tensión son independientes entre sí. Ilustración 40. Pretensión contra límites rígidos.

Tomado de: OÑATE, Eugenio. Textile Composites and inflatable structures. Ed. Springer. Holanda, 2005. Pág.3 27 28

OÑATE, Eugenio. Textile Composites and inflatable structures. Ed. Springer. Holanda, 2005. OÑATE, Eugenio. Textile Composites and inflatable structures. Ed. Springer. Holanda, 2005. Pág.2

68

Pretensión como resultado de la desviación de las fuerzas, donde las fuerzas de tensión con curvatura gaussiana negativa resulta de la desviación de las fuerzas a los nodos y esto produce una relación entre las fuerzas y la curvatura.| Cuando se aplican fuerzas iguales en ambas direcciones, se requieren curvaturas iguales. El cambio del radio y de las fuerzas es constante, es decir a alta fuerza la curvatura es baja para asegurar el equilibrio. Ilustración 41. Desviación de fuerzas-pretensión (curvaturas opuestas).

Tomado de: OÑATE, Eugenio. Textile Composites and inflatable structures. Ed. Springer. Holanda, 2005. Pág.3 Ilustración 42. Desviación de fuerzas-pretensión (curvaturas iguales).

Tomado de: OÑATE, Eugenio. Textile Composites and inflatable structures. Ed. Springer. Holanda, 2005. Pág.3 69

Dependiendo del cambio en longitud desde los enlaces del cable en el plano dentro de la superficie, la fuerza del cable cambia, a más largo el cable mayor la fuerza, teniendo como resultado una superficie de doble curvatura que a medida que cambia, las fuerzas también cambian de manera estable. En membranas el equilibrio tiene que estar en cada punto de la superficie. El estado plano de esfuerzos asume un tipo de equilibrio que también es resultado de una distribución de esfuerzos dada. Rosemarie Wagner29, muestra una ecuación del equilibrio normal a la superficie:

Donde bαβ como tensor de curvatura.

Algunos de los desarrollos en el diseño de las membranas, presentados por Lothar Gründig, Preter Strabel y Peter Singer30.

Contrario al diseño de estructuras convencionales, las membranas tensionadas requieren de un proceso de búsqueda de forma (Form finding) es realmente necesario debido a la estrecha relación que existe entre la geometría y la distribución de esfuerzos. Existen dos formas de encontrar la forma, la física y la analítica, la primera está basada en la realización de modelos, y la analítica trata de modelar matemáticamente las posibles formas. o Form Finding analítico: En general los métodos para hallar la forma están basados en el método de los elementos finitos, que en resumen las superficies son divididas en un número finito de elementos pequeños como enlaces o triángulos, así cualquier posibilidad geométrica se hace posible de calcular. Existen dos teorías establecidas en práctica, el enfoque lineal de la densidad de la fuerza usando enlaces como 29

OÑATE, Eugenio. Textile Composites and inflatable structures. Ed. Springer. Holanda, 2005. Pág.5 OÑATE, Eugenio. Textile Composites and inflatable structures. Ed. Springer. Holanda, 2005. Pág.29-46 30

70

elementos finitos, y de enfoque no lineal de la relajación dinámica basada en triángulos como elementos finitos. 

Método de la densidad de la fuerza:

Está enfocada matemáticamente a la solución de ecuaciones de equilibrio para cualquier red de cables sin la necesidad de requerir ninguna coordenada inicial de la estructura. Analizando el siguiente diagrama de una red de cables: Ilustración 43. Red de cables.

Tomado de: OÑATE, Eugenio. Textile Composites and inflatable structures. Ed. Springer. Holanda, 2005. Pág.31

Si S son las fuerzas interas y P las externas, en el nodo i se encuentra que la fuerza P se puede escribir como:

Acá Sa, Sb, Sc y Sd son fuerzas en las barras, y las expresiones con función coseno, se refieren a las proyecciones. También se puede escribir lo anterior en la forma (xm-xi)/a.

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En estas ecuaciones las longitudes son funciones no lineales de las coordenadas. Además las fuerzas pueden depender de los anchos de malla tomados o de las áreas de superficies parciales. Si se aplica el cambio de densidad de fuerza como

para cada enlace,

resultan ecuaciones lineales.

Los diferente valores q tienen que ser escogidos al avanzar dependiendo de la pretensión deseada.

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6

DISEÑO METODOLÓGICO

6.1

TIPO DE INVESTIGACIÓN: Investigación Cuantitativa Investigación Prospectiva El tipo de investigación prospectiva asociado a nuestra investigación está enfocada en lograr establecer las variables y condiciones necesarias para determinar el diseño de una tenso-estructuras, el desarrollo del mismo está vinculado con estudios anteriores que han tenido una corta pero significativa incidencia en los parámetros mínimos para el desarrollo del proyecto.

6.2

POBLACIÓN La población para el desarrollo de la investigación y diseño de un programa para tenso-estructuras está centrada en las estructuras que manejen un comportamiento principalmente a tensión y que se compongan de elementos que requieran un diseño diferente a los tradicionales, para ello también es necesario la vinculación de ingenieros experimentados en el área y que manejen todos los conceptos desde cálculos hasta el diseño final de una tenso-estructura.

6.3

MUESTRA Las tenso estructuras que en conjunto con sus componentes reúnan unas características para ser consideradas de un análisis y un cálculo básico tales que para la programación de sus variables y elementos puedan ser realizadas por un tecnólogo en Construcciones Civiles como lo son las siguientes: cables con cargas puntuales y distribuidas, cerchas Jawerth y membranas simples.

6.4

VARIABLES

Las variables que inciden en la generación de un programa informático para el diseño de una tenso-estructura son: Variable: Método de diseño Definición: Tipo, forma y/o mecanismo usado en el diseño de una tenso estructura.

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Subvariables: Software usado, métodos de cálculo Subvariable: Software usado Definición: Tipo de software usado en el cálculo y diseño. Indicador: Codificación del software. Atributo: Calidad, precisión Subvariable: Método de cálculo. Definición: Tipo de método matemático de cálculo usado en el diseño. Indicador: Precisión y realismo. Atributo: Calidad, realismo.

74

7

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

El software TENSODIS inicialmente trabaja con las estructuras más básicas dentro del conjunto de las tenso-estructuras que en este caso son los cables, pasando por los tres casos más generales como los son los cables cuando soportan cargas puntuales, cuando soportan cargas distribuidas y cuando únicamente soportan su propio peso y toman la forma de una catenaria. En segundo lugar se presenta el módulo de cálculo para un tipo general de cerchas tipo Jawerth. Finalmente se tendrá un modelo básico de membrana tipo silla de montar donde se podrá diseñar sobre una base geométrica que tendrá el software. El fin de desarrollar este tipo de estructuras se ve evidenciado en el hecho de que son los casos básicos más usados a nivel nacional, además que según se avanza en el uso del software, se aumenta el nivel de complejidad de la estructura. 7.1

CABLES

7.1.1 Cálculo de cables con cargas puntuales.

El caso más simple de analizar es cuando un cable cualquiera sujeto por dos apoyos de segundo género soportan cargas puntuales, a continuación se mostrará a través de un modelo general el cómo se calcula una estructura de este tipo y cómo se ingresó al software para hacer de manera automática el cálculo de las reacciones y proceder al diseño del cable según las especificaciones de algunas de las empresas que trabajan en el país. El siguiente esquema representa un cable dispuesto entre dos apoyos de segundo género de tal manera que resista el efecto de la o las cargas puntuales.

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Ilustración 44. Modelo general de cables con cargas puntuales.

Fuente: Los autores

Dónde: L= Longitud horizontal entre apoyos (luz). Lv= Longitud vertical entre apoyos (diferencia de alturas). Ay= Reacción vertical en el apoyo A. Ax= Reacción horizontal en el apoyo A. By= Reacción vertical en el apoyo B. Bx= Reacción horizontal en el apoyo B. P= Cada una de las cargas que se aplican al sistema. X= Distancia desde el apoyo A hasta la carga correspondiente. Θ= Ángulo formado por la horizontal y la diferencia de alturas entre apoyos.

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i= Punto en el cual se conoce la carga y su flecha o en su defecto la suma Y+XiTan Θ. Y=Flecha de un punto conocido. Y+XiTan Θ= Distancia desde la horizontal hasta el punto conocido. n= Número de cargas puntuales en el sistema.

Inicialmente se debe hallar la condición de equilibrio del sistema, lo que se reduce a encontrar las reacciones en los apoyos A y B, para esto se realiza el siguiente proceso: En este caso: n=8 i=6 1. Escribir las ecuaciones de equilibrio a. +→ Σ Fx=0 Ax-Bx=0

b. +↑ Σ Fy=0 Ay+ By – P1 – P2 – P3 – P4 – P5 – P6 – P7 – P8 =0 Se evidencia en esta ecuación que el equilibrio depende de las reacciones en los apoyos y de las cargas puntuales aplicadas, por esta razón la ecuación puede escribirse de una manera más general como:

c.

+

MA=0

L*By + Lv*Bx–P1X1–P2X2–P3X3–P4X4–P5X5–P6X6–P7X7–P8X8 = 0

77

Al igual que en la ecuación anterior, esta se puede escribir como una sumatoria.

Pero como el problema sigue sin ser resuelto (hallar las reacciones), se debe encontrar el equilibrio en un punto del cable correspondiente a la ubicación de la fuerza de la cual se conoce la flecha o la distancia del punto de aplicación de la carga a la horizontal formada desde el apoyo superior, tal como lo muestra la figura siguiente: Ilustración 45. Cable con cargas puntuales (equilibrio en un punto con flecha conocida)

Fuente: Los autores

78

2. Realizando el equilibrio en el eje X, se comprueba que la componente horizontal que se transmite a lo largo del cable es igual a la reacción generada en el apoyo. a. +→ Σ Fx=0 Ax - Tx=0

b. Para encontrar los valores de Ax y Ay, se realiza el equilibrio de momentos en el punto en el cual se conoce la flecha Y o la suma Y+XiTan, el cual se llamará “k” para efectos de la simplificación de la ecuación, además el número de carga en orden ascendente desde el apoyo A hasta el punto “k” se representará por “j”. +

Mk=0

Debido a la ecuación (1), el valor de Ax encontrado en la ecuación (5) es igual al de Bx 3. a. Reemplazando la ecuación (5) en la ecuación (3):

79

b. E igualando las ecuaciones (6) y (2) se obtiene la expresión:

Y se despejando el valor de Ay se obtiene la ecuación:

c. De igual manera se reemplaza este valor de Ay en la ecuación (2) para obtener el valor de By.

Con estas ecuaciones, ya se puede obtener el valor de las reacciones en A y en B así:

Continuando con la siguiente fase de diseño, se necesita un factor tal que se aumente el valor de las solicitaciones de manera que el diseño sea más seguro. Se llamará a este factor, el factor de seguridad (Fs), y a la carga aumentada se le

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llamará carga de diseño, de tal forma que la reacción mayor entre los apoyos A y B se multiplique por Fs. Así, para el dimensionamiento del cable se necesita además un valor de esfuerzo de rotura de diversos materiales, para esto la plataforma del programa contiene una base de datos en la cual se puede consultar este valor según datos comerciales. Ya obtenido este dato se procede al dimensionamiento del cable, que se limita a usar el concepto de esfuerzo como se muestra a continuación.

Donde σ es el esfuerzo de rotura encontrado en las tablas, F es el resultado del producto entre el factor de seguridad y la carga de diseño (reacción mayor). Ahora bien si despejamos de la fórmula (11) A, se conocerá el valor del área transversal requerido para el sistema.

A continuación, se muestra el desarrollo de la programación de esta estructura usando Microsoft Visual Basic 2010 Express©.

7.1.2 Programación en Microsoft Visual Basic 2010 Express para cables sometidos a cargas puntuales.

Los cables sometidos a cargas puntuales cuentan con una ventana principal donde se encuentra una breve reseña sobre los cables y una ventana para el desarrollo de los cálculos para áreas y esfuerzos de rotura que sirvan como base en el desarrollo de tenso estructuras básicas

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Ilustración 46. Ventana de diseño de cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express.

Fuente: Los autores.

Para el diseño de un cable con cargas puntuales, el software iniciará con la ilustración de la información necesaria que como mínimo el usuario deberá ingresar para desarrollar el ejercicio, así mismo en la parte superior derecha las unidades en las cuales el programa trabaja, y que son opcionales según se consideren adecuadas.

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Ilustración 47. Ventana de diseño de cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual

Basic 2010 Express. Fuente: Los autores

L= Longitud horizontal entre apoyos (luz). Lv= Longitud vertical entre apoyos (diferencia de alturas). n= Número de cargas puntuales en el sistema.

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Guardará los valores ingresados y abrirá una nueva ventana donde se ingresaran los valores de carga, como su distancia y el valor (K).

Designara el Sistema de unidades en el cual se trabajara todo el diseño del cable.

En la programación de esta ventana es necesario tener en cuenta que se utilizaron 4 variables, enfocadas principalmente a guardar la información ingresada en los textbox. Ilustración 48. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express.

Fuente: Los autores

En el momento en que se selecciona el sistema en que será trabajado el ejercicio automáticamente los label (etiquetas) cambian su información metros o pies, sabiendo que son medidas de longitud.

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Ilustración 49. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express.

Fuente: Los autores

La variable “a” servirá como guía para el desarrollo del ejercicio puesto que los label de las otras ventanas cambiaran conforme haya sido la selección del sistema. La variable “x” dividirá los valores de la Longitud horizontal que serán utilizados posteriormente en otras ventanas. Ilustración 50. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express.

Fuente: Los autores

Conociendo la cantidad de cargas puntuales en el cable, el programa lo llevara a una nueva ventana en la cual, el usuario deberá ingresar la fuerza y la distancia desde el Apoyo A (véase la figura) de cada una de las cargas. Así mismo después de ingresar los valores de carga, se le pedirá al usuario ingresar el valor K, valor en el cual se conoce la flecha de una de las fuerzas localizadas en el cable.

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Ilustración 51. Ventana de valores de carga en cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express.

Fuente: Los autores

Aceptar: Los botones aceptar guardaran la información ingresada en los diferentes cuadros, así mismo bloquearan el ingreso de nuevos datos evitando errores en el desarrollo del diseño. Seleccione opción: Entrega la opción de ingresar el valor K como flecha o como distancia horizontal al apoyo.

Calcular: Procesara los datos ingresados y enviara a una nueva ventana que mostrara los resultados de las reacciones en cada uno de los apoyos. Las variables para el cálculo de las reacciones será la siguiente:

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N° cargas: Cantidad de cargas ingresadas. D, J, R: Variables que irán contabilizando el número de cargas ingresadas. K: Sumatoria de las cargas. F: Valor de la carga. F1: Valor de la carga H: Distancia del apoyo A hasta la carga H1: Distancia del apoyo A hasta la carga L: Variable con un proceso secundario de multiplicar la fuerza por la distancia de una carga. M: Longitud horizontal del apoyo A hasta el B. N: Fuerza por la distancia de cada una de las cargas (l) dividida sobre la Longitud horizontal del apoyo A hasta el b (m). O: Sumatoria de (n). Q: Número de carga donde se conoce la flecha. T: Variable secundaria para obtener el valor de las reacción Ay. S: Variable secundaria para obtener el valor de la reacción Ay. Z1: Variable secundaria para obtener el valor de la reacción Ay. X: Variable secundaria para obtener el valor de la reacción Ay. Fdiseño: Valor de la fuerza de diseño. Ay1, ay2: Variables secundarias para obtener el valor de la reacción Ay. Ax1, ax2: Variables secundarias para obtener el valor de la reacción Ax. Ax: Reacción en el apoyo A con dirección en X. Ay: Reacción en el apoyo A con dirección en Y. By: Reacción en el apoyo B con dirección en Y.

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Ra: Reacción en el apoyo A. Rb: Reacción en el apoyo B. Flecha: Variable que tiene un valor textual igual a “Flecha” que se utiliza para la selección de la opción de la distancia entre el cable y la línea recta de la unión de los apoyos de una carga. Dapoyos: Variable que tiene un valor textual igual a “distancia horizontal al apoyo” que se utiliza para la selección de la opción de la distancia entre el cable y la horizontal de una carga. Ilustración 52. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express.


Las variables que comparten un paréntesis son matrices unidimensionales las cuales pueden guardar una cantidad N de valores, dependiendo del tamaño que el programador haya decidido para la misma.

Variable unidimensional31 Para nuestro caso el usuario puede ingresar 100000 valores de carga con su respectiva distancia desde el apoyo A, Cada valor quedara guardado en la variable “F”. F (0) = 125 Newton, F (1) = 3514 Newton, F (2) = 1 Newton…………F (99999) =12 Newton. 31

http://msdn.microsoft.com/es-es/library/02e7z943.aspx

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Fuente: Los autores. 91


Fuente: Los Autores.

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Después de ingresar los diferentes valores de carga, como las longitudes en los apoyos, se mostraran los datos ingresados como el resultado de las reacciones en los apoyos. Ilustración 57. Programación cables sometidos a cargas puntuales en Microsoft Visual Basic 2010 Express.


Continuar: Llevara a una nueva ventana donde se designara el factor de seguridad del cable como la reacción utilizada para calcular este valor.

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Las variables utilizadas para esta ventana fueron: Lh: Traerá el valor de la longitud horizontal ingresada en la ventana de cables. Lv: Traerá el valor de la longitud vertical ingresada en la ventana de cables. N: Traerá la cantidad de cargas ingresadas en la ventana cables. K: Traerá el número de la carga donde se conoce la flecha o la distancia vertical entre el cable y la horizontal. Sistema: Variable que define el sistema en que se hizo el desarrollo del cable. Longitud: Variable que define si la longitud se trabajó en metros o pies. Fuerza: Variable donde define si la fuerza se trabajó en Newton o Libras.

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La última ventana para el desarrollo del cable con cargas puntuales, entregara la fuerza de diseño encontrada a partir de los cálculos para el dimensionamiento del cable, para esto, el usuario ingresara el factor de seguridad, y un botón donde podrá buscar la carga de rotura para seleccionar uno de los tipos de cables como su distribuidor. Ilustración 59. Ventana Factor de seguridad en cables con cargas puntuales en Microsoft Visual Basic.


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La última ventana cuenta con 4 variables: Fdiseño: Llamará la variable utilizada en la ventana anterior a ella donde se realizó el procedimiento para hallar la fuerza de diseño. Cargarotura: Evaluara la fuerza de diseño y la multiplicara por el factor de seguridad. Factor: Será el valor introducido en la caja de texto (textbox). Fuerza: Llamará al texto de la etiqueta 9 (label9) de la ventana form3.

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98

7.1.3 Cálculo de cables con cargas distribuidas.

El siguiente esquema representa un cable dispuesto entre dos apoyos de segundo género de tal manera que resista el efecto de la carga distribuida. Ilustración 61. Esquema cables con cargas distribuidas con apoyos al mismo nivel.


Debido a que el peso del cable es insignificante respecto a la carga que se va a aplicar se desprecia. Inicialmente se halla el equilibrio general del sistema:

a. +→ Σ Fx=0

b. +↑ Σ Fy=0

c.

+

Md=0

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Reemplazando (15) en (13)

Para hacer el análisis de fuerzas, se determina un sistema de ejes coordenados, cuyo origen se encuentre en el punto más bajo del cable C. De esta manera se realiza el diagrama de cuerpo libre de un segmento del cable comprendido por el punto C y un punto D cualquiera. Ilustración 62.Esquema cables con cargas distribuidas entre los puntos C y D


Donde la flecha punteada representa la carga distribuida transformada en una puntual con respecto a la distancia x, y las fuerzas To y T son las fuerzas internas que se desarrollan en los puntos C y D del cable. Teniendo en cuenta lo anterior, se plantean las ecuaciones de equilibrio para este sistema.

d. +→ Σ Fx=0

e. +↑ Σ Fy=0

100

f.

+

Md=0

Se resalta en la ecuación (17) que la componente horizontal de la tensión T siempre va a ser igual a la tensión mínima, de tal manera que las reacciones horizontales Ax y Bx también serán iguales a To. Con estas expresiones se determinan unas nuevas para la magnitud de la fuerza T, además se debe tener presente que con el cálculo de momentos respecto al punto D se encontró la expresión (19) que da la forma del cable. Calculando el valor de la fuerza T se obtiene:

Y reemplazando las ecuaciones (17) y (18) en la (20):

Además se puede calcular el valor de la tangente del ángulo θ.

(22) Hasta este punto, la elevación de los apoyos es indiferente, pero en adelante se analizarán dos casos: apoyos de igual elevación y apoyos con elevaciones diferentes.

101

Para el primer caso: con apoyos de igual elevación, conociendo el valor de la flecha H, y la longitud entre apoyos L se encuentran los valores de tensión To y T. Ya que en la ecuación (19) se presentó la forma del cable como una parábola cuyo origen se encuentra en el punto más bajo C, este punto se encuentra en la mitad de la luz L entre apoyos, de esta manera se reemplaza X por L/2, Y por H, ya que H es la flecha en el punto C.

Y despejando To se obtiene:

Con esta expresión es fácil hallar la tensión T en cualquier punto reemplazando en la ecuación (21):

Esta será la fuerza de diseño que se usará. De igual manera se debe encontrar el valor de la pendiente en cualquier punto, reemplazando en la ecuación (22) x=L/2 y To.

Para cables con elevaciones de apoyos diferentes se presenta el siguiente diagrama ilustrativo:

102

Ilustración 63. Esquema cables con cargas distribuidas con apoyos a diferente nivel.


Inicialmente se realiza el equilibrio del sistema:

a. +→ Σ Fx=0

b. +↑ Σ Fy=0

c.

+ Σ MB=0

Si se toma el tramo desde el apoyo A al punto m, se encontrará una nueva expresión para Ay, de tal manera que se pueda determinar su valor ya que la ecuación (28) no es suficiente. 103

Ilustración 64. Esquema cables con cargas distribuidas con apoyos a diferente nivel.


d. + ΣMm=0

Ahora bien, se sabe que la pendiente del ángulo θ, es la relación entre la distancia vertical d y la horizontal L, de tal manera que despejando Ay se obtiene

Igualando las ecuaciones (28) y (29):

104

Para hallar la longitud de cable que se necesita se presenta el siguiente diagrama modelo Ilustración 65. Esquema cables con cargas distribuidas con apoyos a diferente nivel


En este caso no se conoce la posición exacta del punto más bajo C de curvatura, y además con la ecuación (19) se deben determinar las coordenadas ya, yb, xa y xb, de los apoyos A y B que satisfacen la misma. Teniendo en cuenta que xbxa=L, y que yb-ya=d, donde L es la luz entre apoyos y d es la distancia vertical entre los mismos. La longitud del cable desde el punto C al apoyo B se puede determinar con la fórmula de longitud de curvatura:

Hallando la diferencial de la ecuación (19) se obtiene:

Expandiendo el binomio de la raíz cuadrada:

105

Tomando la ecuación (19) evaluada en el punto con coordenadas yb y xb y reemplazando en Sb, se obtiene:

Al igual que los cables sometidos a cargas puntuales, se calculan las reacciones en los apoyos A y B, usando las mismas expresiones (9) y (10)

Continuando con la siguiente fase de diseño, se necesita un factor tal que se aumente el valor de las solicitaciones de manera que el diseño sea más seguro. Se llamará a este factor, el factor de seguridad (Fs), y a la carga aumentada se le llamará carga de diseño, de tal forma que la reacción mayor entre los apoyos A y B se multiplique por Fs. Así, para el dimensionamiento del cable se necesita además un valor de esfuerzo de rotura de diversos materiales, para esto la plataforma del programa contiene una base de datos en la cual se puede consultar este valor según datos comerciales. Ya obtenido este dato se procede al dimensionamiento del cable, que se limita a usar el concepto de esfuerzo como se muestra a continuación.

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Donde σ es el esfuerzo de rotura encontrado en las tablas, F es el resultado del producto entre el factor de seguridad y la carga de diseño (reacción mayor). Ahora bien si despejamos de la fórmula (11) A, se conocerá el valor del área transversal requerido para el sistema.

7.1.4 Programación en Microsoft Visual Basic 2010 Express para cables con cargas distribuidas. Ilustración 66. Ventana de inicio Cargas distribuidas.


107

En el software la pantalla de inicio para este tipo de estructuras, generará dos opciones de diseño tal cual se plantearon las ecuaciones anteriores. Llevará al usuario a una nueva ventana para realizar el diseño de un cable sometido a cargas distribuidas con apoyos al mismo nivel. Llevará al usuario a una nueva ventana para realizar el diseño de un cable sometido a cargas distribuidas con apoyos al mismo nivel. Cables sometidos a cargas distribuidas con apoyos al mismo nivel: Para el diseño de un cable con cargas distribuidas y apoyos al mismo nivel se utilizara una ventana común para los diferentes diseños donde se muestra. Los sistemas en que trabajara el programa como los valores que deberá ingresar para cada diseño Ilustración 67. Ventana de ingreso de datos para Cables con cargas distribuidas con apoyos al mismo nivel.


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El botón calcular procesara los datos ingresados y enviara a una nueva ventana donde se muestran los resultados.

Las variables a utilizar fueron las siguientes:

Q: Variable que contendrá el valor de la carga introducida en el cuadro de texto. L: Variable que contendrá el valor de la longitud entre apoyos. F: Variable que contendrá el valor de la flecha desde la horizontal al punto más bajo del cable. Fuerza: Variable de tipo textual que almacenará la unidad de la carga dependiendo del sistema de unidades que se haya seleccionado previamente. Sistema: Variable de tipo textual que almacenará el sistema de unidades que se haya seleccionado previamente. Longitud: Variable de tipo textual que almacenará la unidad de la longitud dependiendo sistema de unidades que se haya seleccionado previamente. Fuerzam: Almacenara la unidad de la carga para utilizarse en la muestra de los resultados obtenidos. Ay: Reacción en el apoyo A y B en la componente Y. Ax: Reacción en el apoyo A y B en la componente X. Ra: Reacción en el apoyo A. Rb: Reacción en el apoyo B.

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Ilustración 68. Programación cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express.

Fuente: Los Autores. 110



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Cuando el usuario ingresa a la ventana resultados encontrará los diferentes valores que el ingresó además de los resultados que se obtuvieron de ellos. El dimensionamiento del cable entrega los valores necesarios para encontrar la carga de rotura que deberá tener el cable así mismo un botón para buscar el cable más indicado. Ilustración 70. Ventana de resultados Cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express.


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Cables sometidos a cargas distribuidas con apoyos con diferencia de nivel:

Al igual que el cable con cargas distribuidas con apoyos al mismo nivel, la nueva ventana entregara los sistemas en que podrá ser trabajado el diseño y los diferentes valores que como mínimo deberán ser ingresados con la diferencia de un nuevo valor para la diferencia entre niveles. Ilustración 72. Ventana de ingreso de datos para Cables con cargas distribuidas con apoyos a diferente nivel.

Fuente: Los autores

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Variables utilizadas en esta ventana:

Fuerza: Contendrá el valor de la unidad de la fuerza dependiendo del sistema de unidades que se seleccione. Sistema: Contendrá el sistema de unidades que se haya seleccionado para calcular. Fuerzam: Contendrá el valor de la unidad de fuerza sobre longitud. Longitud: Contendrá el valor de la unidad de longitud dependiendo del sistema de unidades que se seleccione. Ax: Reacción en el apoyo A en la componente en X. Ay1: Sub-variable para calcular la reacción en el apoyo A en la componente en Y. Ay: Reacción en el apoyo A en la componente en Y. By1: Sub-variable para calcular la reacción en el apoyo B en la componente en Y. By: Reacción en el apoyo B en la componente en Y. Ra: Reacción en el apoyo A. Rb: Reacción en el apoyo B. q: carga por metro lineal. L: Longitud horizontal entre los apoyos. F: Flecha. Apoyos: Longitud vertical entre los apoyos. Rmayor: Reacción máxima entre las reacciones en los apoyos A y B.

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Los valores datos ingresados como los resultados de las reacciones como la carga de rotura para el diseño final del cable se muestran en la última ventana para los resultados de la carga distribuida con diferencia de nivel. Ilustración 75. Ventana de resultados Cables sometidos a cargas distribuidas en Microsoft Visual Basic 2010 Express.


Las variables utilizadas para la última ventana son: Rmayor: Reacción de la ventana anterior donde se busca la reacción mayor ente los apoyos A y B. Factor: Factor de seguridad ingresados en la caja de texto 1 (textbox1) para el dimensionamiento del cable. P: Multiplicación de la reacción mayor con el factor de seguridad. Fuerza: Contendrá el valor de la unidad de la fuerza dependiendo del sistema de unidades que se seleccione.

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119

7.1.5 Cálculo Catenaria

Considerando un cable que soportan únicamente la acción de su peso se presenta el siguiente diagrama, de tal forma que la carga está representada en carga por unidad de longitud. Ilustración 77. Esquema catenaria.


Donde S representa la longitud del cable desde el punto más bajo C hasta un punto cualquiera D, así la carga soportada en ese tramo es w*s. Si se analiza el tramo entre el punto C y el punto D se obtiene: Ilustración 78. Esquema catenaria entre puntos C y D.


120

a. +→ Σ Fx=0

b. +↑ Σ Fy=0

Por lo tanto de las ecuaciones (33) y (34), se puede deducir el valor de la tensión T en el punto D.

Si se simplifica tomando una constante c=To/w, entonces:

En la imagen , se ve el tramo CD , aunque se pudieron obtener las ecuaciones de equilibrio anteriores, aún no es posible hallar el equilibrio de momentos ya que se desconoce la distancia horizontal de W a D, entonces se toma un segmento diferencial tal como se muestra, entendiendo a la longitud del ese segmento como ds, la proyección horizontal como dx=ds*cosθ, entonces:

Integrado entre el punto O y S:

Despejando S:

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Si bien el concepto de derivada se refiere a la pendiente, entonces se puede escribir que dy=dx *tanθ, donde tanθ se puede hallar con las ecuaciones (33) y (34):

Reemplazando (36) en (37):

Integrando (38)

La expresión (39) es la ecuación de la forma de la catenaria desde el eje vertical y. Catenaria con apoyos al mismo nivel. Ilustración 79. Catenaria con apoyos al mismo nivel

Fuente: Los autores

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En un ejemplo práctico donde se conoce únicamente la ubicación de los apoyos, y la flecha de tal forma que con datos de un apoyo se puede trabajar la ecuación (39) para encontrar el valor de la constante c, entonces:

Donde h es la flecha y c es la distancia del punto más bajo de la catenaria hasta el origen del sistema de coordenadas. Reemplazando la ecuación anterior en (39)

La expresión (40), permite mediante un proceso de iteración calcular el valor de c, este proceso se da al interior del software. Una vez conocido el valor de la constante c, se pueden calcular las tensiones máximas y mínimas, y además la longitud requerida para el cable. La tensión mínima se calcula a partir de la simplificación hecha al principio, donde c=To/w, entonces:

Y la tensión máxima se calcula de igual forma que la mínima pero en vez de poner c, se usa la coordenada y del apoyo, es decir h+c, ya que en ese punto es donde se presenta más tensión.

En cuanto a la longitud, se usa la ecuación (36) y se multiplica por 2, ya que esta ecuación determina la longitud entre el punto C (que además es el punto medio) y el un punto D, en este caso el apoyo. Con la tensión máxima, se pueden diseñar los cables de dos maneras, la primera hallando un valor de área para un tipo de cable específico, o calculando el esfuerzo que debe resistir el cable para un área específica, para el primer caso se usa la ecuación (12) y para el segundo la ecuación (11).

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Catenaria con apoyos a diferente nivel. Ilustración 80. Catenaria con apoyos a diferente nivel


Si consideramos este tipo de esquema, se presentan algunas variaciones con respecto a cuándo los apoyos se encontraban al mismo nivel, ya que el punto más bajo c ya no se encontrará en la mitad, por esta razón se debe hallar las coordenadas xa, xb además de calcular las tensiones máximas y mínimas. Los datos que se requieren para la realización de este modelo, son la diferencia de alturas y separación entre los apoyos A y B, y la flecha con respecto al apoyo más bajo. Inicialmente se define: Lv: Diferencia vertical entre apoyos. L: Diferencia horizontal entre apoyos. h: Flecha (Desde el apoyo más bajo al punto más bajo) Pasando al plano cartesiano:

Como se trabajó anteriormente, la coordenada vertical de los apoyos, será

124

Además la expresión (39) generó una función de la curva, de tal manera que se puede evaluar el valor en cada uno de las condiciones de apoyo.

Reemplazando la expresión (43) en la (46) e igualando con (44)

Igualando las expresiones (45) y (47)

Igualando (49) y (48)

La expresión (50) permite evaluar a través de un proceso iterativo (explicado en la sección de programación de este modelo) el valor de la constante c al igual que se presentó en el modelo para catenaria con apoyos alineados horizontalmente. De

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tal manera de que luego de hallar c, se puede reemplazar este valor en la expresión (49) y hallar el valor de xb:

Y ya obtenido el valor de xb, se procede a sustituir este valor en la ecuación (43) para encontrar la coordenada x del apoyo A (xa).

La tensión mínima se calcula con la expresión (41), mientras que la tensión en cada uno de los apoyos deberá calcularse con una variación de la expresión (42).

Con la tensión máxima se puede calcular los cables de dos maneras, la primera hallando un valor de área para un tipo de cable específico, o calculando el esfuerzo que debe resistir el cable para un área específica, para el primer caso se usa la ecuación (12) y para el segundo la ecuación (11).

7.1.6 Programación en Microsoft Visual Basic 2010 Express: Catenaria.

Dividida en dos opciones principales la catenaria cuenta con una ventana principal para la historia y los datos técnicos más relevantes, el usuario podrá escoger el tipo de diseño que desea utilizar ya sea Catenaria con apoyos al mismo nivel o apoyos con diferente nivel.

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Ilustración 81. Ventana de inicio Catenaria


Catenaria con apoyos al mismo nivel

El diseño de un cable con catenaria con apoyos al mismo nivel cuenta con cinco cuadros de texto para ingresar la información mínima que el usuario deberá conocer para empezar su diseño, además de un botón para el ingreso a la

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ventana de tablas para buscar el peso de los cables con los que cuenta el programa actualmente. Ilustración 82. Ventana Ingreso de Datos catenaria con apoyos al mismo nivel.


Abrirá una nueva ventana donde se encuentran los principales cables trabajados por distintos distribuidores. Procesará los datos ingresados y entregara un valor tentativo a (c) que en dado caso de que no llegue a encontrarse un valor será necesario cambiar ciertos valores.

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Enviará al usuario una nueva ventana donde se encuentran los diferentes valores ingresados como el resultado de ellos. Las variables utilizadas para el cálculo de la catenaria con apoyos al mismo nivel fueron: Peso: Peso del cable ingresado en la caja de texto 1 (textbox1). Longitud: Longitud horizontal entre apoyos ingresada en la caja de texto 2 (textbox2). Flecha: Flecha del cable ingresada en la caja de texto3 (textbox3). Xb: Longitud horizontal desde el punto más bajo del cable al apoyo b. C: Valor de 0.001 que será evaluado progresivamente sumándole por ciclo 0.001. Val1: Primera ecuación a evaluar. Val2: Segunda ecuación a evaluar. Val4: Valor que tomara c si la ecuación cumple con la igualdad de mínimo tres cifras decimales. Val5: Valor que tomara c si la ecuación cumple con la igualdad de mínimo dos cifras decimales. Val6: Valor que tomara c si la ecuación cumple con la igualdad de mínimo una cifra decimal. Val7: Variable que guardara el valor de c siempre y cuando se cumpla la igualdad en como mínimo una cifra decimal. Valorc: valor c hasta el que se desea calcular la flecha ingresada en la caja de texto 4 (textbox4). A: Variable que tomara el valor textual de la unidad de longitud según sea la elección del usuario. Fuerza: Variable de tipo textual que guardara la unidad de fuerza dependiendo del sistema de unidades escogido. Sistema: Variable que guardara el sistema que se ha seleccionado para trabajar el cable.

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Ilustración 83. Programación Catenaria con apoyos al mismo nivel con Microsoft Visual Basic 2010 Express.


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La última ventana para la catenaria con apoyos al mismo nivel se entregará una lista de los datos ingresados como la tensión máxima y mínima para lograr la catenaria deseada como la longitud del cable.

Ilustración 84. Ventana de resultados catenaria con apoyos al mismo nivel

Fuente: Los autores

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Variables utilizadas para la última ventana del cable por catenaria con apoyos al mismo nivel. Sistema: Variable de tipo textual que guardara el sistema que se ha seleccionado para trabajar el cable introducido en la ventana anterior. Dapoyos: Longitud horizontal entre apoyos ingresada en la caja de texto 2 (textbox2) introducido en la ventana anterior. Pesocable: Peso del cable ingresado en la caja de texto 1 (textbox1) introducido en la ventana anterior. Fuerza: Variable de tipo textual que guardara la unidad de fuerza dependiendo del sistema de unidades escogido. Peso: Variable que guardara la unidad de fuerza por metro para el sistema de unidades seleccionado. Longitud: Variable que guardara la unidad de longitud para el sistema de unidades seleccionado. Flecha: Flecha del cable ingresada en la caja de texto3 (textbox3) en la ventana anterior. C: Variable que mide la longitud desde el origen al punto más bajo del cable introducido en la ventana anterior. Altura: Sumatoria de la flecha y c para conocer la altura total desde el origen hasta los apoyos. Tmax: Tensión máxima del cable. Tmin: Tensión mínima del cable. Scb: Longitud del cable desde el punto más bajo del cable hasta el apoyo b. Sab: Longitud total del cable.

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Ilustración 85. Programación Catenaria con Microsoft Visual Basic 2010 Express.


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Catenaria con apoyos a diferente nivel El diseño de un cable con catenaria con apoyos con diferente nivel estará divido en cinco cuadros de texto con la información que como mínimo el usuario deberá conocer, si se desea se podrán buscar los pesos de los cables que se encuentran en el programa para desarrollar correctamente el diseño, cuando se calculen los datos ingresados el programa automáticamente entregara el valor c para el desarrollo del resto de las ecuaciones. En caso de que no se encuentre un valor c para el desarrollo del programa es necesario reiniciar la ventana para un nuevo cálculo buscando un valor diferente para la flecha, longitud o apoyos con un nivel diferente. Ilustración 86. Ventana Ingreso de Datos catenaria con apoyos a diferente nivel.

Fuente: Los autores

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Abrirá una nueva ventana donde se encuentran los principales cables trabajados por distintos distribuidores.

Procesará los datos ingresados y entregara un valor tentativo a (c) que en dado caso de que no llegue a encontrarse un valor será necesario cambiar ciertos valores. Enviará al usuario una nueva ventana donde se encuentran los diferentes valores ingresados como el resultado de ellos.

Las variables utilizadas para esta ventana fueron:

Dapoyosh: Distancia horizontal entre los apoyos. DapoyosV: Distancia vertical entre los apoyos. Puntobajo: Distancia vertical desde el apoyo que se encuentre en un nivel inferior y el punto más bajo del cable. Pesocable: Peso del cable. coseh1: Sub-variable para calcular el coseno hiperbólico inverso de las ecuaciones para la catenaria. coseh2: Sub-variable para calcular el coseno hiperbólico inverso de las ecuaciones para la catenaria. Formula1: Primera ecuación para ser evaluada. Formula2: Segunda ecuación para ser evaluada C: Valor de 0.001 que será evaluado progresivamente sumándole por ciclo 0.001. A: Variable que tomara el valor textual de la unidad de longitud según sea la elección del usuario. Entrada1: Sub-variable para calcular las ecuaciones para la catenaria.

135

Entrada2: Sub-variable para calcular las ecuaciones para la catenaria. Val0: Valor que tomara c si la ecuación cumple con la igualdad de mínimo cuatro cifras decimales. Val1: Valor que tomara c si la ecuación cumple con la igualdad de mínimo tres cifras decimales. Val2: Valor que tomara c si la ecuación cumple con la igualdad de mínimo dos cifras decimales. Val3: Valor que tomara c si la ecuación cumple con la igualdad de mínimo una cifra decimal. Val6: Variable que guardara el valor de c siempre y cuando se cumpla la igualdad en como mínimo una cifra decimal. Sistema: Variable de tipo textual que guardara el sistema que se ha seleccionado para trabajar el cable. Fuerza: Variable de tipo textual que guardara la unidad de fuerza dependiendo del sistema de unidades escogido. Xb: Distancia horizontal desde el punto más bajo del cable al apoyo B. Xa: Distancia horizontal desde el punto más bajo del cable al apoyo A. TM: Tensión máxima en el cable. Yb: Distancia vertical desde el punto más bajo del cable al apoyo B. Ya: Distancia vertical desde el punto más bajo del cable al apoyo A. Valorc: valor c hasta el que se desea calcular la flecha ingresada en la caja de texto 5 (textbox5). Xb1: Sub-variable para calcular la distancia horizontal desde el punto más bajo del cable al apoyo B. Xb2: Sub-variable para calcular la distancia horizontal desde el punto más bajo del cable al apoyo B.

136

Ilustración 87. Programación Catenaria en Microsoft Visual Basic 2010 Exoress.


137

Ilustración 88. Programación Catenaria en Microsoft Visual Basic 2010 Exoress.

138

Fuente: Los autores. Ilustración 89. Programación Catenaria en Microsoft Visual Basic 2010 Exoress.


La última ventana para entregará los datos ingresados como los resultados de la tensión máxima del cable y las diferentes distancias. Ilustración 90. Ventana de resultados Catenaria con apoyos a diferente nivel


140

Las variables utilizadas fueron:

Sistema: Variable de tipo textual que guardara el sistema que se ha seleccionado para trabajar el cable. Fuerza: Variable de tipo textual que guardara la unidad de fuerza dependiendo del sistema de unidades escogido. C: Valor de 0.001 que será evaluado progresivamente sumándole por ciclo 0.001. Pesocable: Peso del cable Longv: Longitud vertical entre apoyos. Longh: Longitud horizontal entre apoyos. TM: Tensión máxima en el cable. Puntobajo: Distancia vertical desde el apoyo que se encuentre en un nivel inferior y el punto más bajo del cable Yb: Distancia vertical desde el punto más bajo del cable al apoyo B. Ya: Distancia vertical desde el punto más bajo del cable al apoyo A. Xa: Distancia horizontal desde el punto más bajo del cable al apoyo A. Peso: Variable de tipo textual que guardara la unidad de fuerza sobre longitud dependiendo del sistema de unidades escogido. Longitud: Variable de tipo textual que guardara la unidad de longitud dependiendo del sistema de unidades escogido.

141

Ilustración 91. Programación catenaria con apoyos a deiferente nivel en Microsoft Visual Basic 2010 Express.


142

7.2

CERCHAS JAWERTH

Para este tipo de estructuras se presentan dos estados de carga El primero es cuando se encuentra sometida a cargas permanentes tal como se muestra en la siguiente ilustración. Ilustración 92. Cercha Jawerth Estado de cargas permanentes.

Tomado de: PERLES, Pedro, Temas de estructuras especiales: Cercha Jawerth, Buenos Aires, 2007, pág. 157.

Como se aprecia, con fines simplificativos, se tomó la carga del peso como una distribuida, de tal manera que al repartirse en cada uno de los cables, cada uno recibe la mitad se ésta, que se llamará g/2.

Para evitar la destracción del sistema por efectos de la carga asociada al peso (con mayor efecto en el cable inferior), se aplica una tensión previa a cada una de los cables, buscando que se trabajen ambos cables sometidos a esfuerzos de tracción, por esto la dirección de estas fuerzas es divergente.32

32


143

El segundo estado de carga involucra la acción del viento en el sistema. El siguiente esquema muestra el segundo estado: Ilustración 93. Cercha Jawerth Segundo estado de cargas

Tomado de: PERLES, Pedro, Temas de estructuras especiales: Cercha Jawerth, Buenos Aires, 2007, pág. 158.

Aquí la carga permanente debido al peso, lo que hará que la cuerda superior trabaje con esfuerzos de tracción, por lo tanto sus reacciones serán divergentes y al cable inferior como mecanismo de arco y por lo tanto sus reacciones serán convergentes. En el caso de la fuerza de succión del viento hará que el comportamiento sea al contrario. Y la tensión previa hará trabajar el cable de tal forma que lo someta a esfuerzos de tracción.33

7.2.1 Cálculo de reacciones. Así dividiendo esta carga, las reacciones estarán dadas por las ecuaciones (15), (16) y (19), en las cuales el valor de la carga se reemplaza por g/2 y v/2. La dirección de las reacciones en el cable superior se darán hacía afuera ya que allí se presentan esfuerzos de tensión, y en el cable inferior se darán hacia adentro ya que en este se dan esfuerzos de compresión. 33


144

Reacciones producto de la acción del peso:

Reacciones producto de la acción de succión del viento:

7.2.2 Cálculo de la tensión previa:

La tensión previa se determinará de acuerdo a los estados de carga donde las solicitaciones sean mayores, de tal manera que se establezca un valor mínimo de tensión previa que se debe aplicar. La tensión previa del cable superior se calcula respecto al estado de carga con acción del viento, ya que esta última tiende a destraccionar el sistema. Hallando el equilibrio se obtiene la siguiente relación:

Dónde tal como se muestra en la ilustración: RTP: Reacción Tensión previa. R (g/2): Reacción por la acción del peso en el cable superior. 145

R (v/2): Reacción por acción del viento.

Ya que la tensión previa busca evitar el destraccionamiento, se despeja el valor de esta en la ecuación anterior de tal forma que el valor encontrado sea menor o igual que el de la tensión previa.

Y la tensión previa en el cable inferior se calcula con el estado de cargas permanentes ya que la carga debida al peso es aquella que tiende a destraccionar el sistema.

De estos dos valores de tensión previa se elige el mayor para usarla en ambos cables. A este valor se recomienda aplicar un factor de seguridad (Fs1). 7.2.3 Dimensionado de los cables

Se hace la sumatoria de fuerzas para hallar el estado en el cual la tensión es máxima. Estado 1: Cable superior Cable inferior Estado 2: Cable Superior

2s

Cable inferior

2i

El valor mayor de tensión T1s, T1i, T2s o T2i según sea el caso se convertirá en el valor de carga T, y se recomienda multiplicar por otro factor de seguridad F2 146

Este nuevo valor de carga T, permite diseñar los cables de dos maneras, la primera hallando un valor de área para un tipo de cable específico, o calculando el esfuerzo que debe resistir el cable para un área específica, para el primer caso se usa la ecuación (12) y para el segundo la ecuación (11). 7.2.4 Dimensionamiento de los pendolones.

Para esto se debe calcular la carga que recibe cada uno de los pendolones, se halla en primer lugar la carga distribuida que se reparte en ellos en función de las reacciones mayoradas con los factores de seguridad. De la expresión (24) se puede despejar el valor de esta carga:

Si se multiplica la ecuación (59) por la distancia d que hay entre los pendolones, se obtiene la carga que recibe cada uno de ellos.

A esta carga también se recomienda aplicar un factor de seguridad Fs3. Al igual que con la carga T, permite diseñar los cables de dos maneras, la primera hallando un valor de área para un tipo de cable específico, o calculando el esfuerzo que debe resistir el cable para un área específica, para el primer caso se usa la ecuación (12) y para el segundo la ecuación (11).

147

7.2.5 Solicitaciones en apoyos Ilustración 94. Apoyos Cercha Jawerth


Se debe calcular el ángulo ᶲ que forma la fuerza T con la horizontal. Para esto, se toma en cuenta el sector del cable superior que se muestra en la ilustración anterior, donde actúa la fuerza T y además se encuentra la carga distribuida del peso que se determinó con la ecuación (59). Realizando la sumatoria de fuerzas verticales en el apoyo B:

Con este ángulo, se puede calcular la distribución de fuerzas que se darán en el tensor y en el puntal, para esto se realiza un triángulo de fuerzas como se muestra a continuación de tal manera que se determinen los ángulos de incidencia y la magnitud de estas fuerzas.

148

Además del ángulo

, se solicita al diseñador que designe un ángulo θ. Ilustración 95. Triángulo de fuerzas


De acuerdo a esto los ángulos serán determinados como:

Y se puede calcular las fuerzas Nb y Tb

7.2.6 Dimensionado Tensor superior y puntal.

Para dimensionar el tensor superior, se recomienda aplicar un factor de seguridad Fs4. Y luego se diseña el cable de dos maneras posibles, la primera hallando un valor de área para un tipo de cable específico, o calculando el esfuerzo que debe resistir el cable para un área específica, para el primer caso se usa la ecuación (12) y para el segundo la ecuación (11).

149

Para el puntal se debe tener en cuenta la acción del tensor inferior sobre este, y se sigue el mismo procedimiento que en el apoyo B. El estado 1 es el menos favorable para el puntal, por lo tanto es ese el que se usará para calcular la fuerza en el tensor inferior Td y en el puntal Nd, descomponiendo la reacción en ese tensor T1i .

Dadas las distancias tanto vertical (Ly) como horizontal (Lx) desde el punto de anclaje del tensor al punto D, se calcula el ángulo θ1 que forma el tensor con el puntal que será igual al arcotangente de la relación entre estas dos distancias

Se produce el siguiente triángulo de fuerzas: Ilustración 96. Triángulo de fuerzas puntal


Dónde:

Y se calcula la fuerza Nd:

150

Y la compresión total N en el puntal será:

7.2.7 Programación en Microsoft Visual Basic 2010 Express para Cercha Jawerth.

La cercha Jawerth estará compuesta como los principales diseños del programa en una ventana principal, dividida a su vez en una ventana donde se encontrara la información más relevante acerca de la cercha Jawerth; y otra ventana para el diseño de una cercha partiendo de los diferentes valores ingresados por el usuario. Ilustración 97. Ventana inicio Cercha Jawerth.


151

El diseño de la cercha Jawerth está divido en las diferentes longitudes que el usuario debe conocer para realizar el diseño, así mismo las cargas que soportaran los cables de la cercha, y los diferentes sistemas de unidades en que se podrá trabajar. Para conocer la imagen de la cercha, con la descripción de cada una de las longitudes es necesario dar doble click sobre la imagen principal.

Ilustración 98. Ventana de diseño cercha Jawerth.


152

Ilustración 99. Ventana de imagen de referencia cercha Jawerth

Fuente: Los autores

Las variables utilizadas para el diseño de la cercha Jawerth son: Sistema: Variable que guardara el sistema que se ha seleccionado para trabajar la cercha. Cperm: Variable que guardara el valor de la carga permanente introducido en la caja de texto. Cvient: Variable que guardara el valor de la carga por succión del viento introducido en la caja de texto. Cperm1: Guardara el valor de la carga permanente por metro de la separación entre cerchas.

153

Cvient1: Guardara el valor de la carga por succión del viento por metro de la separación entre cerchas. Cperml: Dividirá la carga permanente por metro lineal de la separación entre cerchas por 2 para hallar las reacciones en cada uno de los dos cables principales. Cvientl: Dividirá la carga por succión del viento por metro lineal de la separación entre cerchas por 2 para hallar las reacciones en cada uno de los dos cables principales. Ayperm: Reacción en el apoyo A en la componente y por cargas permanentes. Axperm: Reacción en el apoyo A en la componente x por cargas permanentes. Ayvient: Reacción en el apoyo A en la componente y por carga por succión del viento. Axvient: Reacción en el apoyo A en la componente x por carga por succión del viento. Ruta: Enlace para agregar una imagen al picturebox (caja de imágenes) de la ventana principal de la cercha Jawerth. Dapoyo: Variable que guardara el valor de la distancia entre cerchas. Dma: Distancia entre la unión del cable y el puntal al punto más bajo del cable superior. Separ: Separación entre pendolones. Rmayor: Sumatoria de la reacciones por cargas permanentes y por succión del viento. Fuerza: Variable de tipo textual que guardara la unidad de fuerza dependiendo del sistema de unidades escogido. Longitud: Longitud frontal de la cercha en la caja de texto 1. Raperm: Reacción en el apoyo A y B por cargas permanentes. Ravient: Reacción en el apoyo A y B por cargas por succión del viento.

154

Ilustración 100. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express

Fuente: Los autores

155



156


Fuente: Los autores

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Procesara los datos ingresados en la anterior ventana y abrirá una nueva ventana donde se mostraran los resultados del cálculo de las reacciones. La ventana para los resultados resume los datos ingresados en la ventana anterior y a partir de ellos calcula las reacciones debidas a las cargas propias de la cercha y a las cargas por succión del viento Ilustración 103. Ventana de resultados de reacciones

Fuente: Los autores

158

El botón continuar será la confirmación de que se está de acuerdo con los datos ingresados y que a partir de ellos se evaluaran el conjunto de las partes que forman la cercha Jawerth.

Las variables que de la ventana resultados para la cercha Jawerth son: Sistema: Llamará al texto de la etiqueta 6 (label6) de la ventana anterior. Distancia: Llamará al texto de la etiqueta 11 (label11) de la ventana anterior. Dapoyo: Llamará el valor del cuadro de texto 7(textbox7) de la ventana anterior. Dcables: Llamará el valor del cuadro de texto 4(textbox4) de la ventana anterior. Dcableu: Llamará el valor del cuadro de texto 5(textbox5) de la ventana anterior Cvient: Llamará el valor del cuadro de texto 2(textbox2) de la ventana anterior. Carga: Llamará al texto de la etiqueta 4 (label4) de la ventana anterior. Longitud1: Llamará el valor del cuadro de texto 3(textbox3) de la ventana anterior Longitud2: Llamará al texto de la etiqueta 6 (label6) de la ventana anterior.

159



160

La siguiente ventana comenzará entregando datos progresivamente mientras se ingresen los factores de seguridad para la tensión previa, dimensionamiento del cable superior e inferior, y dimensionamiento de los pendolones. Ilustración 105. Ventana factores de seguridad y dimensionamiento

Fuente: Los autores

Las variables utilizadas para esta ventana son las siguientes: Factor1: Valor incluido en el caja de texto 1 (textbox1) como factor de seguridad para calcular la tensión previa en cada uno de los pendolones. Sistemalong: Unidad de longitud según el sistema que se haya seleccionado previamente. SistemaFd: Unidad de Fuerza según el sistema que se haya seleccionado previamente. Cargas: Sumatoria de las cargas permanentes y las cargas por succión del viento. Longitud: Longitud frontal de la cercha.

161

Lonpa: Longitud vertical entre la unión del cable con el puntal y el punto más bajo del cable superior de la cercha. Qp1: Sub-variable utilizada para calcular el valor de la tensión previa para aplicar a cada uno de los pendolones. Qp2: Sub-variable utilizada para calcular el valor de la tensión previa para aplicar a cada uno de los pendolones. Qp3: Sub-variable utilizada para calcular el valor de la tensión previa para aplicar a cada uno de los pendolones. Qp: Variable principal para calcular el valor de la tensión previa para aplicar a cada uno de los pendolones. Tp: Tensión previa para cada uno de los pendolones. Qpp1: Sub-variable utilizada para calcular el valor el dimensionamiento de los pendolones en función de la reacción máxima. Qpp2: Sub-variable utilizada para calcular el valor el dimensionamiento de los pendolones en función de la reacción máxima. Qpp3: Sub-variable utilizada para calcular el valor el dimensionamiento de los pendolones en función de la reacción máxima. Qpp: Sub-Variable para el cálculo de la carga distribuida en cada uno de los pendolones. Tpp: Variable para el cálculo de la tracción máxima sobre cada pendolón. Separ: separación entre pendolones en la cercha. Nr: Sub-variable para calcular la carga de rotura en cada uno de los dos cables multiplicada por el factor de seguridad. Factor2: Valor incluido en el caja de texto 2 (textbox2) como factor de seguridad para calcular la carga de rotura en los dos cables principales. Nr1: Carga de rotura para los dos cables principales sin factor de seguridad. Cargarotura: Distribución de la carga de rotura en los dos cables. Fuerza: Llamara a la variable fuerza de la ventana anterior para el sistema de unidades de esta ventana. 162

Pr: Carga de rotura para el dimensionado del tensor superior. Factor3: Valor incluido en el caja de texto 3 (textbox3) como factor de seguridad para calcular la carga de rotura del tensor superior. R: Reacción máxima para el cable superior de la cercha. Tangenteexterna: Cálculo del ángulo que forma la horizontal y la reacción máxima para el diseño de los apoyos en radianes. Tanexterna: Conversión de la tangente externa de radianes a grados. Rtp: Reacción debida a la tensión previa. X1: Sub-variable para calcular la división del cateto opuesto, con el cateto adyacente para la tangente externa. X: variable para calcular la división del cateto opuesto, con el cateto adyacente para la tangente externa.

163



164



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Ilustración 108. Programación Cercha Jawerth en Microsoft Visual Basic 2010 Express.

Fuente: Los autores

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Cada uno de los botones calcular ingresaran los factores de seguridad, y transmitirán el resultados a partir de la multiplicación de las cargas de rotura. Procesara los resultados que se obtuvieron en esta ventana para introducirlos en los cálculos posteriores de la cercha. Los apoyos de la Cercha, como el dimensionamiento de los tensores se evaluaran conociendo el ángulo que forma el tensor superior con la horizontal, y el factor de seguridad. Ilustración 109. Ventana Apoyos.


167

Variables utilizadas para el desarrollo de esta ventana: Longi: Longitud frontal de la cercha. Fuerza: Unidad de Fuerza según el sistema que se haya seleccionado previamente. Longitud: Unidad de longitud según el sistema que se haya seleccionado previamente. L2: Longitud dividida por 2 para el cálculo de las reacciones Nb y Tb. Exter: Valor de la tangente externa calculada en la ventana anterior. Gradorad: Valor equivalente a la tangente externa. Gradoentr: Valor del grado ingresado en la caja de texto 1 (textbox1). Alfa: Ángulo formado desde el tensor superior a la vertical. Beta: Ángulo formado desde la reacción máxima resultante a la vertical. Gamma: Ángulo formado por la reacción máxima resultante y la reacción Tb. Delta: Sub-variable para calcular la reacción Nb. Dseta: Sub-variable para calcular la reacción Nb y Tb. eta: Sub-variable para calcular la reacción Tb. Nb: Reacción del puntal a compresión. Tb: Reacción del tensor a tracción. R: Valor de la reacción del cable superior de la ventana anterior. Factor4: Factor de seguridad para calcular el dimensionado del tensor superior. Tbfc: Resultado de la multiplicación de la reacción Tb por el factor de seguridad. Rtp: Reacción debida a la tensión previa, calculada en la ventana anterior. Ravient: Reacción debida a la succión del viento calculada en la primera ventana de la cercha Jawerth. Raperm: Reacción debida a las cargas permanentes calculada en la primera ventana de la cercha Jawerth. 168



169



170

Al igual que los botones de las otras ventanas el botón calcular procesará los datos ingresados en las cajas de texto y mostrara los resultados obtenidos.

Guardara los resultados obtenidos en las anteriores ventanas y llevara al usuario a la última ventana donde se calculará la fuerza a compresión de los puntales. La última ventana calculará la compresión que el puntal, conociendo la distancia vertical del apoyo al primer cable como la horizontal del cable al apoyo, se conocerá la carga que se transmitirá a cada puntal y la que deberá de soportar. Ilustración 112. Ventana Puntales


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Procesara las distancias verticales como horizontales para abrir la etiqueta que mostrara el valor de la compresión total para cada uno de los puntales. Variables utilizadas para el desarrollo de esta ventana: Longitud: Unidad de longitud según el sistema que se haya seleccionado previamente. Dvert: Distancia vertical desde el cable inferior a la unión con el puntal y el suelo. Dhoriz: Distancia horizontal desde el apoyo al puntal. Exter: valor de la tangente externa calculado en la ventana anterior. Alfa: Ángulo formado por el tensor a tracción Td y la horizontal. Beta: Ángulo formado por el cable inferior y la vertical. Gamma: Ángulo formado por la reacción del cable inferior y el tensor a tracción Td. Delta: Sub-variable para calcular la reacción Nd y Nb. Iota: Sub-variable para calcular la reacción Nd. Kappa: Sub-variable para calcular el seno del ángulo formado por el tensor a tracción y la horizontal. Rd: Reacción del cable inferior. Nd: Compresión en el puntal a compresión por la reacción del cable Td. Nb: Reacción del puntal a compresión por la reacción del cable Tb. N: Sumatoria de las reacciones Nd y Nb. Fuerza: Unidad de fuerza según el sistema que se haya seleccionado previamente.

172



173

7.3

MEMBRANAS

7.3.1 Desarrollo de ecuaciones.

Como se mencionó anteriormente el método de cálculo que se trabajó para las membranas difiere de los ya desarrollados por razones académicas y de preparación matemática ya que no se dispone de conocimientos en análisis por elementos finitos, cálculo multivariado, parametrización de ecuaciones diferenciales, regresiones, dificultando la compresión total de los métodos usados y además de proponer una forma de programarlo. El problema se hace más complejo por las condiciones ya mencionadas, y en ese sentido se limitó el trabajo a una membrana tipo silla de montar con simetría en sus apoyos, es decir, las alturas de los apoyos no contiguos serán las mismas, de tal manera que se simplifique el modelo, y se puedan definir condiciones de frontera, y así analizar los diferentes comportamientos que puede llegar a tener la membrana a través de gráficos que revelen los cambios según varían algunos elementos dentro de la ecuación como se mostrará más adelante. Debido a esto, el software no permite interactuar con el usuario, tan sólo presenta los resultados de las gráficas y su análisis correspondiente para cada una de ellas. Método de análisis: Con el objetivo de analizar la membrana, se usó la ecuación de la catenaria desarrollada por medio de ecuaciones diferenciales para llegar a una ecuación que genere una familia de curvas de solución que al introducirse en un sistema de ecuaciones diferenciales nxn, se encuentre el comportamiento de la membrana general obteniendo los valores de tensión en cada uno de los puntos de la superfice, además de tener en cuenta que cada uno de ellos debe permanecer en equilibrio tal como se muestra a continuación. Se usa la ecuación de la catenaria para modelar este problema ya que la forma que se obtiene con la catenaria es la misma que se tiene en cada una de las direcciones de la membrana ya que esta sólo en su estado de cargas será sometida a su propio peso.

174

Las siguiente fotografía tomada en Plaza de los Artesanos en Bogotá, lo muestra. Ilustración 114. Membrana Plaza de Artesanos : Forma catenaria

Fuente: Ingeniero Milton Mena

Dennis Zill34, propone un método de solución de acuerdo a la siguiente figura: Ilustración 115. Catenaria

Tomado de: ZILL,Dennis. Ecuaciones Diferenciales con aplicación de modelado: Modelado con ecuaciones de orden superior, Intenational Thomson Editors.México D.F, 1997. Pág 238. 34

ZILL,Dennis. Ecuaciones Diferenciales con aplicación de modelado: Modelado con ecuaciones de orden superior, Intenational Thomson Editors.México D.F, 1997.

175

Donde el sistema de coordenadas cartesianas tiene como origen en el punto más bajo de la curva, y dicho punto está ubicado a C unidades del eje x, es decir el punto P1 tendrá coordenadas (0,c). Además de este punto P2 se toma otro punto a una distancia horizontal x de P1. Como se aprecia, las fuerzas que participan en ese segmento son la tensión To, y la tensión T2. Además existe otra fuerza debida al peso del cable, si se nombra a w como el peso del cable por unidad de longitud, y a S como la longitud de curva entre los puntos P1 y P2, la fuerza actuante en el segmento será ws. Ahora bien, si se desarrolla la sumatoria de fuerzas en el eje x se obtiene:

Y respecto al eje y:

Se conoce que

, por lo tanto usando las ecuaciones (65) y (66)

se puede empezar a escribir la expresión diferencial:

176

Ahora bien, también se conoce la expresión para calcular la longitud de arco, la cual permitirá conocer una expresión de S en función de y,x.

De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo se obtiene:

Si se deriva (67) se obtiene

Y en esta expresión se reemplaza (68) obteniendo:

Esta es la ecuación diferencial general de segundo grado que determina a una familia de soluciones de catenarias que al ser parametrizadas se pueden llevar a la forma de una membrana, de tal manera que considere las interacciones entre sí. Esta ecuación nos determina los momentos que suceden en cada uno de los puntos en función de la distancia que se recorra. Continuando, se busca la familia solución de la ecuación diferencial de segundo orden, ya que no es una ecuación lineal, debe resolverse con una sustitución donde

177

Entonces, reemplazando.

Utilizando el método de separación de variables

E integrando a cada lado

Despejando u(x)

Utilizando el método de separación de variables

Integrando se encuentra la solución general

178

Estas constantes C1, y C2, deben parametrizarse para poder encontrar la real familia de soluciones, debido a que no se cuenta con los conocimientos necesarios para realizar esto, se recurre a analizar el modelo condicionándolo a valores de frontera conocidos:

La pendiente en el punto más bajo debe ser igual a cero, ya que el punto más bajo está designado en x=0, se tiene que:

Además se tiene que el valor de ese mismo punto cuando x=0, la función en ese punto es:

Para

179

Y Para y(0)=c

Finalmente la expresión particular queda:

El diseño de una membrana estructural de cuatro puntales trabajada simétricamente se compone por dos cables principales un cable tensor y uno portante a lo largo de cada uno de los ejes, una membrana textil y los puntales, para hallar la forma es necesario tener en cuenta que los dos cables principales serán los que entregan en esencia la forma a la tenso estructura, y los encargados de transmitir la tensión a los diferentes apoyos, por tanto son los primeros cuerpos que deben ser analizados.

Para el análisis de la forma y el cálculo de las tensiones se aplican ecuaciones que describen el comportamiento de estos cables, la de la catenaria reúne muchas de las características que está una membrana estructural puesto que las cargas permanentes a las

180

diferentes ecuación sometida que va

estar sometida es la de su propio peso asemejándose a una red de cables de ancho mínimo y la utilizada en diferentes trabajos sobre estos cuerpos. Con las ecuaciones diferenciales se intenta generalizar un método para el cálculo de las tensiones y la forma pero hay que tener en cuenta que para poder desarrollar procedimientos de parametrización en las constantes C1 y C2 de la ecuación 1. Sin embargo utilizando problemas de valores iniciales es posible analizar una ecuación particular donde, es posible conocer el comportamiento de la membrana cuando se intercambian consecutivamente valores de flecha, distancia entre apoyos y peso de los cables entregando una valoración de cuáles son los pasos a seguir para el futuro desarrollo del diseño de una membrana.

7.3.2 Análisis de cambios de comportamiento. En la siguiente tabla se relacionan algunos de los pesos comerciales de membranas. Tabla 2. Pesos comerciales en membranas.

Marca yilong yilong yilong yilong Ferrari Ferrari Ferrari Ferrari Ferrari Ferrari Ferrari Ferrari Ferrari

Tabla de pesos comerciales en membranas. Peso Referencia gr/m2 Espesor 50902w2 900 0.003 51052w2 1050 0.003 51152w4 1150 0.003 51352w4 1350 0.003 Précontraint® 1002 1050 0.003 Précontraint® 1202 1050 0.003 Précontraint® 1302 1350 0.003 Précontraint® 1502 1500 0.003 Précontraint502 590 0.003 Précontraint702 S2 750 0.003 Précontraint702 Fluotop T2 750 0.003 Précontraint1002 S2 1050 0.003 Précontraint1002 Fluotop T2 1050 0.003

181

Peso gr/ml 2.7 3.15 3.45 4.05 3.15 3.15 4.05 4.5 1.77 2.25 2.25 3.15 3.15

Caso 1: Considerando los pesos de la membrana y la distancia de los apoyos constante con una flecha variable. Tabla 3. Analisis de membranas manteniendo una longitud y peso del cable constantes con variación en las flechas

Membrana

Peso del cable Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no1 4.834 Kg/m Membrana no 1 4.834 Kg/m Membrana no 1 4.834 Kg/m

Distancia entre apoyos 20 metros 20 metros 20 metros 20 metros 20 metros 20 metros 20 metros 20 metros 20 metros 20 metros 20 metros 20 metros 20 metros

Flecha 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

182

metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros

To 17552.25 18267.68 19118.46 20212.74 21484.23 23085.72 25201.62 28113.429 32393.77 39160.234 52184.3 52184.3 251691.877

Valor c Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg

3.63 3.778 3.954 4.16499 4.426 4.7569 5.193 5.793 6.675 8.101 10.752 10.752 52.0699

metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros

Color gráfica

Ilustración 116. Gráfico Membranas Peso y distancia entre apoyos constante.

Fuente: Desarrollado por los autores en www.footplot.com

183

Caso 2: Considerando los pesos de la membrana y la flecha constante con una distancia entre los apoyos variable Tabla 4. Análisis de membranas manteniendo constante la flecha y peso del cable constantes con variación en la longitud en los apoyos

Membrana Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1

Peso del cable 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248 3.248

Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m

Distancia entre apoyos 50 47 44 41 38 35 32 29 26 23 20 17 14 11 9

metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros

Flecha 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25


To 50249.807 42941.807 40499.31 36017.07 33178.31 27838.6 24135.88 20699.5 17483.98 14521.8 11793.487 9312.015 7070.89 5063.63 3861.87

184

Valor c Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg

15.4709 13.22 12.468 11.089 10.2149 8.571 7.431 5.373 5.383 4.47 3.62 2.86 2.17 1.55 1.18


Color gráfica

Ilustración 117. Considerando los pesos de la membrana y la flecha constante con una distancia entre los apoyos variable

Fuente: Desarrollado por los autores en www.footplot.com 185

Caso 3: Considerando la distancia en los apoyos de la membrana y la flecha constantes con el peso de los cables variable. Tabla 5. Análisis de membranas manteniendo constante la flecha y la longitud en los apoyos con variación en el peso del cable

Membrana Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1 Membrana no1

Peso del cable

Distancia entre apoyos

Flecha

To

Valor c Color gráfica

0.18 0.27 0.39 0.52 0.68 0.88 1.07 1.55 2.11 2.75 3.48 4.3 5.21 6.19 7.26 8.44 9.67 11

Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros Metros

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

186

metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros

65.35 98.03 141.6 188.811 246.3 319.52 388.5 562.8 766.14 998.52 1263.58 1561.32 1891.75 2247.58 2636.1 3064.56 3511.69 3694.09

Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg Kg

3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63

metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros metros

Ilustración 118. Considerando la distancia en los apoyos de la membrana y la flecha constantes con el peso de los cables variable.

Fuente: Desarrollado por los autores en www.footplot.com

187

Análisis Caso 1 (Considerando los pesos de la membrana y la flecha constante con una distancia entre los apoyos variable): Considerando los pesos de la membrana y la distancia de los apoyos constante con una flecha variable, el comportamiento de los dos cables principales tiende a disminuir la longitud del cable entre los apoyos aumentando la tensión del cable siempre y cuando la flecha vaya disminuyendo. El valor c, es decir la distancia vertical desde el origen de sistema de coordenadas al punto más bajo del cable, aumentará progresivamente y tendrá un comportamiento mucho más brusco siempre y cuando la flecha para el cable sea muy inferior, puesto que el cable tendera a convertirse de una hipérbole a una línea recta con una tensión mucho más fuerte. Análisis caso 2 (Considerando los pesos de la membrana y la flecha constante con una distancia entre los apoyos variable): Considerando los pesos de la membrana y la flecha constante con una distancia entre los apoyos variable, el comportamiento de los dos cables principales tiende a que el cable a menor distancia entre apoyos maneje una forma mucho más brusco manejando pendientes más pronunciadas. Las tensiones en los apoyos son mayores cuando existe una luz grande en comparación a cuando los apoyos tienen una menor distancia, así mismo la distancia c desde el origen de coordenadas tiende a ser mucho menor puesto que la longitud del cable cuando sus apoyos están más cerca maneja una hipérbole más pequeña. Análisis caso 3 (Considerando la distancia en los apoyos de la membrana y la flecha constantes con el peso de los cables variable): Considerando la distancia en los apoyos de la membrana y la flecha constantes con el peso de los cables variable, el comportamiento de los dos cables principales al no cambiar su distancia vertical desde el origen de coordenadas, y solo la tensión en los apoyos genera que la forma del cable varié tan poco que no puede ser vista tan fácilmente, teniendo en cuenta que se tomaron valores de comparación para el peso tan amplios y con tan poca variación en la forma del cable, que la forma con respecto al peso puede ser despreciada para casos prácticos donde se manejen los pesos comerciales de los grandes productores.

188

7.3.3 Membranas en Microsoft Visual Basic 2010 Express

Cabe mencionar que estas ventanas no cuentan con una programación puesto que su desarrollo se basa en la explicación e interpretación de las membranas debido a diferentes comportamientos. Ilustración 119. Ventana de inicio Membranas.


189

Los análisis del comportamiento de las membranas simétricas con cuatro puntales iniciará con una breve reseña y mostrara progresivamente la interpretación por medio de diferentes gráficas, cada una de ellas cuenta con un acercamiento cada vez que se clickea la imagen principal. La primera ventana explicará el porqué del análisis de las diferentes gráficas cada una de ellas describirá el comportamiento de los cables principales de la membrana variando progresivamente el valores de flecha, longitud entre apoyos y pesos del cable.

Ilustración 120. Ventana Análisis membranas


190

Comportamiento de una membrana manteniendo el peso y distancia de los apoyos constantes variando el valor de la flecha. Ilustración 121. Ventana Análisis membranas


191

Comportamiento de una membrana manteniendo el peso y las flechas constantes variando el valor de los apoyos. Ilustración 122. Ventana Análisis membranas


192

Comportamiento de las membranas manteniendo distancia entre los apoyos y flechas constantes con peso variable. Ilustración 123. Ventana Análisis membranas


193

8

CONCLUSIONES

Con el desarrollo del presente trabajo, se logró elaborar un software mediante Microsoft Visual Basic 2010 Express llamado “TensoDis”, que cumple con las características inicialmente planteadas, ya que contribuye al análisis de estructuras de tracción pura como los cables y la cercha Jawerth, entregando eficazmente datos relevantes como áreas de sección transversal y esfuerzos de rotura. Se concluye en este aspecto que los modelos matemáticos generalizados para facilitar la programación en Microsoft Visual Basic 2010 Express, tuvieron los elementos necesarios para satisfacer las necesidades de los autores en su labor de programadores y además satisfacer a los posibles usuarios, ya que permite corroborar datos de software más complejos, tener ordenes de magnitud al momento de iniciar un diseño que involucre alguno de los tipos de estructuras contemplados en el software “TensoDis”. En cuanto a las membranas tensionadas, se cumple el objetivo de analizar algunos comportamientos en función del cambio de peso, distancia entre apoyos, y flecha, de tal manera que la inclusión de las gráficas generadas a partir de estos aspectos dentro del software, aunque no permite calcular realmente una tenso-estructura de este tipo, si puede dar algunas características de comportamiento que podrán servir de base para el desarrollo de un software más sofisticado y con más alcance a nivel de análisis estructural y diseño. Además del software, se dieron a conocer los métodos de cálculo de estructuras de tracción pura: cables y cercha Jawerth, además de tensoestructuras tipo membrana desarrollados por diversos autores, de tal manera que en primer lugar fueron fundamentales para entender los conceptos dentro de este tipo de estructuras, y además fueron base para realizar generalizaciones y fortalecer los procesos de análisis propuestos por estos autores. Los desarrollos matemáticos de las membranas tensionadas que se trabajan en la actualidad, requieren de métodos más complejos de los estudiados hasta el momento por los autores en su calidad de estudiantes de Tecnología en construcciones civiles. Razón por la cual se plantearon

194

los objetivos de esta manera, con visión a realizar un mejoramiento y ampliación de las aplicaciones del software para que se convierta en una herramienta de mayor funcionalidad y versatilidad para el futuro Tecnólogo o Ingeniero civil. Las funciones del software TensoDis son muy básicas para realizar un diseño estructural, por lo tanto sirve como elemento de corroboración de datos, de comprensión del funcionamiento de las estructuras que TensoDis trabaja. Los desarrollos matemáticos y las gráficas de comportamiento en membranas, pueden servir como base para futuras investigaciones, en función de las ecuaciones ya planteadas y de la evaluación de diferentes condiciones mostradas.

195

9

9.1

RECOMENDACIONES

Recomendaciones al momento de usar el software.

Se recomienda enfáticamente al momento de usar el software, que se consulte el manual de funcionamiento, de manera que el usuario pueda conocer los alcances del programa y la forma adecuada de uso. Además es necesario seguir las indicaciones de instalación definidas en el archivo Guia de instalación.txt. La interacción del usuario con un software para el diseño de no solo tensoestructuras si no de otro tipo de cálculos permite una pauta para el reconocimiento de diferentes procesos matemáticas que por su complejidad no pueden ser desarrollados manualmente tan fácil, una herramienta practica como un programa disminuirá errores futuros en el desarrollo de cálculos además que resumirá un procedimiento que internamente el programa trabaja. Tensodis calcula las diferentes áreas, cargas de rotura y esfuerzos de rotura para cables con cargas puntuales, distribuidas y cables por catenaria, así mismo para las cerchas Jawerth por medio de la programación en Microsoft Visual Basic 2010 aumentado la precisión en los cálculos al trabajar con todas las cifras decimales de una ecuación, variable o constante, ahorrando además el tiempo que normalmente se llevaría desarrollar los cálculos manualmente. Para el desarrollo de las membranas simples de cuatro puntos simétricos, tensodis analiza el comportamiento de la membrana variando valores de flecha, distancia entre los apoyos, y pesos de las membranas.

9.2

Recomendaciones al lector de este trabajo

Este trabajo es el resultado de un proceso de recolección de información y clasificación de tal manera que sea funcional para la programación del software TensoDis, en ese sentido se recomienda estudiar los procesos matemáticos para entender de una manera más amplia los conceptos trabajados. En el segmento de membrana el lector debe interpretar dos espacios, en el primero donde se exponen los métodos trabajados por algunos autores y el segundo el análisis de gráficos en base a la ecuación de la catenaria.

196

En el primer espacio, se recomienda ampliar el margen matemático con las citas bibliográficas referenciadas, de tal manera que se amplíe el conocimiento en este aspecto. En el segundo espacio, se recomienda interpretar las gráficas de comportamiento como un análisis bidimensional, es decir no se considera aún el enlace total de la membrana. 9.3

Recomendaciones a posibles investigadores futuros.

De esta manera se recomienda a quien pretenda continuar con esta investigación, recurrir a métodos matemáticos generalizados para facilitar el desarrollo del software. Las gráficas de membranas y sus respectivos análisis, pueden servir de sustento teórico a quien desee ampliar la temática, o llevarla a otro tipo de investigación, como el desarrollo de un software de cálculo membranas tensionadas, un análisis del comportamiento general de una membrana, entre otros. Para esto es fundamental que se estudie la ecuación diferencial generada con sus respectivas constantes C1 y C2, de tal forma que se encuentre el método más adecuado para llegar a la magnitud de estos valores.

197

10 BIBLIOGRAFÍA

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199

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200

11 ANEXOS.

Se presentan en la carpeta anexos del CD adjunto, clasificados de la siguiente manera: 11.1 Anexo A. Software TensoDis:

En esta carpeta se encuentran los siguientes archivos: Manual de funcionamiento.docx Tensodis(2012-2013).rar 11.2 Anexo B. Catálogos de membranas

En esta carpeta se encuentran algunos catálogos de membranas, donde se relacionan los pesos de las mismas con otras características técnicas.

11.3 Anexo C. Tablas Cables comerciales.

En esta carpeta se encuentran tablas que relacionan las características técnicas de cables comerciales, en cuatro carpetas diferentes según los distribuidores: Accescables Camesa (importación) Emcocables Guayalres

11.4 Anexo D. Tenso estructuras en Bogotá.

En esta carpeta se encuentran fotografías tomadas por los autores que recogen dos centros comerciales en la ciudad que involucran: Centro comercial Centro Mayor. Centro comercial Titán Plaza.

201

Software Tenso Estructuras B_sicas

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