SOFT-JAR-2009 Nº0009 2009
ECUACIONE ECUACIONES S DIFERENCIA DIFERENCIALES LES FRACCION FRACCIONARIA ARIAS S Y EL TEOREM TEOREMA A DEL PUNTO PUNTO FIJO FIJO DE BANA BANACH CH
´ TORRES LEDESMA CESAR Resumen. En este este articul articulo o se aplica el teorem teorema a del punto punto fijo de Banac Banach, h, para la demostraci´ on del teorema de existencia y unicidad de la soluci´on del on problema problema de valor inicial con derivadas derivadas de Caputo. Caputo. Palabras Palabras Claves : Teorema del Punto fijo de Banach, Derivada Fraccionaria de Caputo, Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias. Banach Fixed Point Theorem, Theorem, Caputo Caputo Fractional ractional Derivative Derivative,, Key Words Words : Banach Fractional Differential Equations.
1.
´n Intro Introduc ducci cion o
Aunque las herramientas de c´alculo alculo fraccionario han estado disponibles y han sido aplicadas a los diferentes campos de estudio, la investigaci´on de d e la teor´ıa sobr s obree las ecuaciones diferenciales fraccionarias recientemente se a empezado a desarrollar ([2] ([2],, [4], 4], [7], [7], [8]). [8]). Las ecuaciones diferencial que involucran al operador diferencial de Caputo de orden fraccionario 0 < α < 1, son importantes en el modelado de muchos fen´omenos omen os f´ısicos ısic os ([1], [1], [2], 2], [3], [3], [4], 4], [5]) [5]) y por consiguiente parece merecer un estudio independiente de su teor´ teor´ıa, paralela a la muy conocida cono cida teor´ teor´ıa de las ecuaciones diferencial ordinarias. En este paper se hace un estudio sistem´atico de las ecuaciones differenciales fracci fracciona onaria riass con deriv derivada adass de Caputo Caputo de orden orden 0 < α < 1, haciendo uso del conocido conocido teorema teorema del punto punto fijo de Banach. Banach. 2.
Prelim Prelimina inares res
Considerese el problema de valor inicial (PVI) para ecuaciones diferenciales fraccionarias cionarias dada por (2.1)
D α y (x) = f (x, y (x)), y(0) = y0 . ∗
donde f ∈ C ([0 ([0, h] × [y0 − k, y0 + k ]), Dα y es la derivada fraccionaria de Caputo de y y 0 < α < 1. Puesto que f es continua, el PVI (2.1 ( 2.1)) es equivalente a la siguiente ∗
Date : Agosto 26 del 2008. E-mail address: ctl
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ECUACIONES DIFERENCIALES FRACCIONARIAS Y EL TEOREMA DEL PUNTO ...
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ecuaci´on integral de Volterra [2] (2.2)
1 y (x) = y0 + Γ(α)
x
(x − t)α
1
−
f (t, y (t))dt, 0 ≤ t ≤ h
0
esto es, toda soluci´on de (2.2) es tambien soluci´on de (2.1) y viceversa. El resultado obtenido es basado en el teorema del punto fijo de Banach. ( [6] Teorema del Punto Fijo de Banach) Si X es un espacio de Banach y T : X → X es un operador contracci´ on, entonces T tiene un unico punto fijo. Teorema 2.1.
3.
Resultado
En este apartado se demuestra la existencia y unicidad de la soluci´on del PVI (2.1) haciendo uso del teorema del punto fijo de Banach. K. Diethelm and N. Ford [2] tienen demostrado la existencia y unicidad del PVI ( 2.1) haciendo uso del M´etodo de Picard y el teorema del punto fijo de Schauder. Sean 0 < α < 1, I = [0, h] y J = [y0 − k, y0 + k]. Sea f continua en I × J y acotada, es decir, existe M > 0 tal que Teorema 3.1.
|f (x, y )| ≤ M, ∀ (x, y ) ∈ I × J Adem´ as supongase que f satisface la condici´ on de Lipschitz con respecto a la segunda variable, es decir
|f (x, y) − f (x, z )| ≤ L|y − z |, ∀ x ∈ I.
(3.1)
Si Lk < M , entonces existen un ´ unico y ∈ C [0, h ], donde h ∗
∗
que satisface ( 2.1).
= m´ın h,
kΓ(α+1) M
1/α
Demostraci´ on. Sea U := {y ∈ C [0, h ] : y − y0 ≤ k }, puesto que U ⊂ C (R) y adem´ as U es cerrado, entonces U es un espacio de Banach. Ahora en U definase el operador T como sigue ∗
(3.2)
1 T y (x) = y0 + Γ(α)
x
1
(x − t)α
−
f (t, y (t))dt.
0
Ahora se probar´a que este operador satisface las condiciones del teorema 2.1. En efecto 1. T (U ) ⊂ U x
|T y − y0 | = ≤ ≤
1 Γ( ) ( α
1 Γ(α)
x − t)
0 x
α−1
(x − t)α
1
−
f (t, y (t))dt
|f (t, y (t))|dt
0
M M xα ≤ (h )α ≤ k Γ(α + 1) Γ(α + 1) ∗
luego tomando el m´aximo en el lado izquierdo de la expresi´on anterior se tiene T y − y0 ≤ k. Por lo tanto T y ∈ U siempre que y ∈ U .
´ TORRES LEDESMA CESAR
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2. Ahora se probar´ a que T es un operador contracci´ on x 1 (x − t)α 1 {f (t, y (t)) − f (t, z (t))}dt |T y − T z | = Γ(α) 0 x 1 ≤ (x − t)α 1 |f (t, y (t)) − f (t, z (t))|dt Γ(α) 0
≤
L Γ(α)
x
−
−
(x − t)α
1
−
|y (t) − z (t)|dt
0
L L(h )α Lk y − z xα ≤ y − z ≤ y − z M Γ(α + 1) Γ(α + 1) ∗
≤
ahora tomando el m´aximo en el lado izquierdo se tiene
T y − T z ≤
Lk y − z , M
< 1. Por lo tanto T es un operador contracci´on, y pero por hipotesis Lk M por el teorema del punto fijo de Banach existe un ´unico punto fijo, el cual es soluci´on del PVI.
Referencias
[1] I. Podlubny, “Fractional Differential Equations”, Academic Press, San Diego, 1999. [2] K. Diethelm and N. Ford, “Analysis of Fractional Differential Equations”, J. Math. Anal. Appl. 265, 229-248(2002). [3] L. V´ azquez y D. Usero, “Ecuaciones No Locales y Modelos Fraccionarios”, Rev. R. Acad. Cienc. Exact. F´ıs. Nat. 99 Nº2, 203-223(2005). [4] M. Caputo, “Linear models of dissipation whose Q is almost independent, II” , Geophy. J. Roy. Astronom. 13, 529-539(1967). [5] M. Seredynska and A. Hanyga, “Nonlinear Hamiltonian Equations with Fractional Damping”, J. Math. Phys. 41 Nº4, 2135-2156(2000). [6] R. Agarwal, M. Meehan and D. O’regan, “Fixed Point Theory and Applications” , Cambridge University Press, 2004. [7] R. Metzler, W. Schick, H. Kilian and T. Nonnenmacher, “Relaxation in filled polymers: A fractional calculus approach”, J. Chem. Phys. 103, 7180-7186(1995). [8] W. Gl¨ ockle and T. Nonnenmacher, “A fractional calculus approach to self similar protein dynamics” , Biophys. J. 68, 46-53(1995).
