Soal Latihan 1 1.
Kota A dan kota B dihubungkan oleh tiga jalan alternatif . Kota B dan C dihubungkan oleh 4 jalan alternatif . Bila kita bepergian dari kota A ke kota C melalui kota B, ada berapa route berbeda yang bisa d itempuh?
2.
Dari
5 siswa akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara b endahara. Tentukan banyaknya susunan yang terjadi, bila: a. semua siswa berhak menempati salah satu dari ketiga jabatan b. siswa yang bernama Nazaruddin harus jadi bendahara
3. Ada 5 siswa putra dan 4 siswa s iswa putri. Mereka akan duduk berjajar . Ada berapa susunan cara mereka duduk, bila: a. Semua siswa boleh duduk bebas b. Duduknya berselang-seling antara putra dan putri c. Yang duduk dipinggir harus siswa putra 4. Suatu penyedia jasa seluler menyediakan 10 digit nomor seluler . Jika setiap nomor selalu dimulai ³ 0932´, ada berapa sambungan berbeda yang dapat disediakan oleh layanan tersebut? t ersebut? 5.
Dari
angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan disusun suatu bilangan. a. Berapa banyak bilangan tiga angka berlainan yang dapat disusun? b. Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari 4 00? c. Berapa banyak bilangan tiga angka berlainan yang nilainya lebih dari 43 0 dapat disusun?
6.
Diketahui
angka-angka
1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan
9.
Akan disusun bilangan dengan
4 angka. a. Berapa banyaknya bilangan bila angkanya boleh berulang? b. Berapa banyaknya bilangan genapnya ? c. Berapa banyaknya bilangan ganjilnya? d. Berapa banyaknya bilangan yang habis dibagi 5?
Soal Latihan 2 1. Dalam pemilihan murid teladan, suatu sekolah menyedialkan calon yang terdiri dari 4 orang putra dan 3 orang putrid. Akan dipilih sepasang murid teladan yang terdiri dari seorang putra dan seorang wanita. Berapa banyak pasangan yang mungkin terpilih ? 2. Dari 5 orang calon pengurus akan dipilih seorang ketua, wakil ketua, dan bendahara. Tentukan banayaknya susunan pengurus yang mungkin terpilih (tidak boleh merangkap jabatan) ! 3. Dari 7 orang pemain bulutangkis yang terdiri dari 4 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk pemain ganda yang terdiri dari ganda putra dan ganda putri. Berapa banyak cara menyusun pasangan ganda bulutangkis itu ? 4. Tersedia angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Berapa banyak bilangan ratusan dapat dibuat dari angka ± angka tersebut jika tidak boleh ada angka yang diulang ? 5. Tentukan nilai n dari : a. (n ± 1) ! = 10 (n ± 2) ! b. n ! = 42 (n ± 2) ! c. 5 nP3 = 4 n+1 P 3 d. nP2 = 72 e. nP5 = 18 n-2 P 4 6. Lima pria membeli 5 karcis bioskop. Berapa banyak cara dengan urutan berbeda mereka dapat duduk pada 5 kursi berderet yang tersedia«? 7. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5 akan dibentuk bilangan ribuan. Tentukan banyaknya bilangan ribua yang lebih dari 200 dan kurang dari 5000 ? 8. Enam putra dan 2 putri duduk pada 8 kursi berderet yang tersedia. Berapa banyak cara duduk dengan urutan berbeda jika : a. mereka dapat duduk di sembarang tempat b. putri harus duduk di ujung c. putra harus duduk di ujung. 9. Tujuh buah ensiklopedi iptek masing ± masing berjudul fisika, kimia, biologi, matematika, astroonomi, geologi, dan teknik. Berapa banyak cara menyusun ketujuh buku tersebut dengan urutan berbea pada rak buku jika : a. buku ± buku boleh diletakkan pada urutan sembarang b. buku matematika dan fisika hrs diletakkan di ujung c. buku fisika dan matematika di ujung dan buku kimia di tengah-tengah 10. Ada 3 kartu bergambar dan 4 kartu Ass. Berapa banyak cara kartu ± kartu dapat disusun dalam satu baris dengan berbeda jika : a. kartu-kartu boleh diletakkan di sembarang tempat b. kartu bergambar dan As masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang kartu begambar dan kartu As yang berdampingan ? 11. Jika angka / huruf berikut ini ditukar-tukar tempatnya, berapa banyak susunan huruf / angka yang berbeda yang dapat dibuat«? a. D, D, D, D, T, T, T, T, T c. a 2 b3c4 b. 599875 12. Berapa banyak susunan buruf berbeda yang dapat dibuat jika letak huruf dalam kata-kata berikut ditukar ? a. missisipi c. matematika b. disiplin d. surabaya 13. Suatu keluarga terdiri dari 6 orang. Dengan berapa cara mereka dapat duduk dengan urutan berbeda pada 6 kursi yang ; a. berderet b. melingkar Variasi PERMUTASI : 14. Kelas I terdiri 2 anak, kelas 2 terdiri dari 3 anak, kelas 3 terdir dari 3 anak yang duduk berderet. Berapa cara yang dapat ditenpuh jika : a. mereka boleh menempati bangku sembarang tempat b. kelas satu ada di ujung bangku c. kelas satu selalu berdampingan 15. Ada 7 foto dengan pose berbeda. Berapa penyusunan jika : a. 3 foto selalu berderet bersama
b. Foto boleh sidudun sembarang c. 3 foto tidak boleh berderat bersama. 16. Lima orang putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 bangku kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika : a. putra dan putri dapat duduk di sembarang tempat b. putra dan putri masig-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putrid yang dapat duduk berdampingan ? 17. Dalam suatu rapat Koalisi partai menjelang Pemilu, Partai A terdiri 4 orang, partai B terdiri 3 orang, dan partai C terdiri 3 orang duduk melingkar. Berapa banyak kemungkinan jika : a. partai A selalu duduk di ujung ? Selesaikanlah dengan kombinasi !! 1. Hitunglah nilai n ! a. nP3 = 8 nC4 c. nC13 = nC11 b. 4 nC2 = n+2C3 d. 4 nC2 = n+2C3 2. Berapa cara jika 5 orang menempati du abuah kursi yang tersedia ? 3. Dari 7 orang pemain bulutangkis, akan dibentuk pasangan ganda. Berapa banyak pasangan ganda yang dapat dibentuk ? 4. Dari 7 orang musisi akan dibentuk grup pemusik yang terdiri dari 4 orang. Berapa banyak cara untuk membentuk grup tersebut ? 5. Dari 15 orang peserta yang duduk melingkari meja, mereka saling bersalaman sekali. Berapa banyak kemunkinan banyaknya salaman yang terjadi ? 6. Di sebuah toko buku, seorang membeli 10 buku yang terdiri atas 2 buku tentang politik dan 3 buku tentang agama, dan 5 novel. Di took tersebut tersedia 5 buku politik, 7 buku agama, dan 8 novel. Tentukan banyak ara untuk memilij buku tersebut ! 7. Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 6 soal ulangan tetapi soal nomor 1 harus dikerjakan. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil murid tersebut ! 8. Seorang murid diminta mengerjakan 8 dari 13 soal ulangan tetapi soal nomor 1 dan 2 harus dipilih. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil murid tersebut ! 9. Dari 4 siswa putra dan 5 siswa putri akan dipilih empat orang pengurus koperasi. Berapa banyak pilihan berbeda yang dapat diperoleh jika : a. setiap siswa memiliki kesempatan sama untuk terpilih b. dipilih 2 siswa putra dan 2 siswa putri. 10. Diketahui P = {a, b, c, d, e, f, g}. tentukan banyaknya himpunan bagian yang memiliki anggota pasling sedikit 4 unsur ! 11. Seorang siswa diminta mengerjakan 8 dari 10 soal, teapi nomor 1 sampai 4 harus dikerjakan . berapa banyaknya pilihan yang dapat diambil siswa tersebut ? 12. Suatu dewan perwakilan rakyat terdiri dari 20 wakil pertain A, 50 wakil parai B dan 30 wakil partai C. Berapa banyak cara agar kita dapat membentuk komisi yang terdiri atas 4 wakil partai A, 10 wakil partai B, dan 6 wakil partai C ? 13. Di sebuah took buku seseorang membeli 10 buku ygterdiri dari 2 buku politik ,3 buku agama dan 5 novel. Di took tersebut tersedia 5 buku politik, 7 buku agama, dan 8 novel. Tentukan banyak cara memilih buku tersebut !@ 14. Dua belas teman akrab mengadakan pertemuan. Jika mereka saling berjabat tangan satu sama lain, berapa banyak salaman yang terjadi ? 15. Jka dalam suatu pertemuan terjadi 105 salaman, berapa banayak orang yang hadir ? Variasi KOMBINASI : 16. Berapa banyak segitiga yang berbeda yang dapat dibentuk dengan menghubungkan kelima titik sudut dari segi lima ? 17. Berapa banyak diagonal segi 6 ? (Ingat : rumus Banyak diagonal segi-n adalah nC2 ± n )«««««««««««««««««««««..(ada 9) 18. Terdapat 12 titik pada sebuah bidang. Tidak ada 3 titik yang terletak pada sebuah garis, kecuali 4 titik yang semuanya terletak pada garis yang sama. Berapakah banyaknya garis yang dapat dibentuk dengan menggabungkan 12 titik ? «««««««««««««««««««««..(ada 61) 19. Diberikan 5 huruf konsonan : p, q, r, s, t dan 3 huruf vocal a, i, u. Carilah banyaknya kata-kata yang terdiri dari 5 huruf yang terdiri dari 3 konsonan dan 2 huruf vocal yang berbeda ! ««««««««««««««««««(ada 3 600 cara)
20. Ada aberapa cara 2 tas atau lebih dapat dipilih dari 6 tas ? ««««««««««««««««««..(ada 57 cara)
Soal Latihan 3 1. Dalam pemilihan murid teladan, suatu sekolah menyediakan calon yang terdiri dari 4 orang putra dan 3 orang putri. Akan dipilih sepasang murid teladan yang terdiri atas seorang putra dan seorang putri. Berapa banyak pasangan yang mungkin terpilih ? 2. Dari angka 5,4,3,2,0 akan dibentuk 4 angka ribuan,m ratusan, puluhan dan satuan. Berapa susunan yang mungkin terbentuk jika : a. semua angka boleh berulang b. tidak boleh berulang 3. Dari 5 orang calon pengurus akan dipilih seorang ketua, wakil, dan bendahara. Tentukan banyak susunan pengurus yang mungkin terlilih ! 4. Dari 7 musisi akan dipilih 4 orang sebagai penabuh drum, gitaris melodi, gitaris bas, dan vokalis. Hitung susunan yang mungkin ! 5. Tentukan banyak mobil yang dapat memakai nomor polisi dengan angka-angka 2,5,6,8,3 yang lambangnya terdiri 5 angka tanpa berulang ! 6. Suatu kursi terdiri atas 10 buah kursi. Berapa banyak susunan duduk dengan urutan berbeda yang mungkin untuk 6 orang ? 7. Lima orang akan menonton konser. Berapa cara lima orang dapat duduk pada lima tempat yang berbeda ? 8. Pada suatu perlombaan pacuan kuda, seseorang bertaruh dengan memilih tiga kuda pertama yang sampai pada garis akhir dengan urutan yang tepat. Jika ada delapan kuda yang mengikuti perlombaan, berapa banyak cara berbeda yang mungkin diperoleh untuk menebak urutan ketiga ekor kuda tersebut ? 9. Seorang kandidat presiden hanya dapat mengunjungi 4 propinsi dari 8 propinsi yang ingin dikunjunginya. Berapa banyak cara dengan urutan berbeda, ia dapat mengunjungi propinsi-propinsi tersebut ? 10. Jika angka-angka atau huruf-huruf di bawah ini ditukar-tukar letaknya, berapa banyak susunan angka berbeda yang dapat dibuat ? a. 599875 b. 5552233 c. x 3 y2 z4 d. BATISTUTA e. MATEMATIKA 11. Suatu keluarga terdiri dari 6 orang. Dengan berapa cara mereka dapat duduk dengan urutan berbeda pada 6 kursi yang : a. berderet b. melingkar ? 12. 7 orang pemain bulutangkis akan dibentuk pasangan ganda. Berapa banyaknya pasangan ganda yang dapat dibentuk ? 13. Enam putra dan 2 putri duduk pada 8 kursi yang berderet yang tersedia. Berapa banyak cara duduk dengan urutan berbeda, jika : a. mereka dapat duduk di sembarang tempat b. putri harus duduk diujung c. putra harus duduk diujung
14. Dari 7 musisi akan dipilih 4 orang untuk mendirikan band. Hitunglah berapa kemungkinan yang terjadi ! 15. Pada saat pertemuan, setiap orang berjabat tangan satu dengan yang lain. Jika ada 105 kali jabat tangan, berapa banyak orang yang hadir dalam pertemuan ini ? 16. Dua belas teman akrab mengadakan pertemuan. Jika mereka saling berjabat tangan satu sama lain, tentukan banyak salaman yang dilakukan ! 17. Di sebuah toko buku, seorang membeli 10 buku yang terdiri dari 2 buku tentang politik dan 3 buku tentang agama, dan 5 novel. Di toko tersebut tersedia 5 buku politik, 7 buku agama, dan 8 buku novel. Tentukan banyaknya cara memilih buku tersebut ! 18. Jika P ={a,b,c,d,e,f}, tentukan banyaknya himpunan bagian yang memiliki anggota sekurang-kurangnya 4 anggota ! 19. Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 6 soal ulangan, tetapi soal nomor 1-3 harus dikerjakan. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil murid tersebut ! 20. Ada 10 putra dan 8 putri. Berapa banyak cara agar kita dapat memilih panitia yang terdiri atas 5 putra dan 4 putri ? 21. Hitunglah dengan teori binomial newton : a. (x ± 2)
4
b. (3x ± 2y)
5
22. Tanpa menentukan ekspansi binomial, tentukan suku yang ditentukan : a. suku kelima dari (x + 2y)
5
14
b. suku kesembilan dari (2m3 ± n) 23. Hitunglah peluang dari :
a. munculnya angka ganjil dari pelemparan sebuah dadu bermata enam b. terambilnya kartu As, King, Queen, Jack dari seperangkat kartu remi. c. munculnya dua angka dan satu gambar dari tiga koin yang dilempar bersamaan. d. munculnya jumlah mata dadu bilangan prima dari dua dadu bermata 6 yang dilempar bersamaan satu kali. 24. Sebuah kotak berisi 8 kelereng yang terdir 5 kelereng putih dan 3 kelereng merah. Dalam satu kali pengambilan diambil 2 butir kelereng secara acak yang kemudian dikembalikan lagi. Berapa peluang terambilnya : a. Dua-duanya putih b. Dua-duanya merah c. Satu merah dan satu putih. 25. Sebuah dadu dilempar 2 kali. Tentukan peluang munculnya : a. mata dadu genap pada lemparan pertama dan mata dadu ganjil pada lemparan kedua. b. Mata dadu genap pada lemparan pertama dan kedua.
26. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu remi. Tentukan peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu As! 27. Sebuah kantong berisi 9 manik biru, 6 manik kuning dan 4 manik merah. Sebuah manik diambil secara acak. Tentukanlah peluang terambil manik biru atau kuning ! 28. Satu kartu ditarik dari satu set kartu remi. Jika A = kejadian terambil kartu Jack, B = kejadian terambil kartu berwarna merah, dan C = kejadian ter mabil kartu sekop, tentukan : a. P(A)
b. P(B)
c. P(A!B) d. P(B!A)
e. P(C) f. P(B!C)
Soal Latihan 4 1.
Dari kelompok A yang terdiri dari 5 orang anggota dan kelompok B yang terdiri dari 4 anggota dipilih seorang untuk menjadi ketua. Berapa banyak cara pemilihan ketua jika tiap anggota kelompok A tidak merangkap sebagai anggota kelompok B dan sebaliknya?
2.
Ali mempunyai 4 baju dan 3 celana yang masing-masing berbeda jenisnya. Banyak cara Ali untuk berpakaian adalah ....
3.
Robby
akan pergi d ari Semarang ke Surabaya. Selanjutnya dari Surabaya perjalanan akan diteruskan ke Malang . Jika
dari Semarang ke Surabaya terdapat 4 rute dan dari Surabaya ke Malang terdapat 2 rute, maka banyaknya rute yang mungkin dari Semarang ke Malang adalah .... 4.
Dari angka angka 1,2,3,4,5,6, dan 7 akan dibuat bilangan 3 digit . Banyaknya cara yang mungkin adalah
5.
Dari angka-angka 1,2,3,4,5,6,7, dan 8 akan dibuat bilangan 3 digit yang lebih besar dari 300 . Banyaknya bilangan yang dapat dibuat adalah
....
....
6.
Dari angka-angka 2,3,4,5,6,7, dan 8 akan dibuat bilangan kurang dari 500 . Banyak cara yang mungkin adalah
7.
Dari angka-angka 2,3,4,5,6,7, dan 8 akan dibuat bilangan kurang dari 500 dengan syarat tidak boleh ada angka yang berulang. Banyak cara yang mungkin adalah
8.
....
....
Dari angka-angka 2,3,4,5,6,7, dan 8 akan dibuat bilangan ganjil yang terdiri dari 3 digit . Banyak bilangan yang dapat dibuat adalah ....
9.
Dari angka-angka 3,5,6,7, dan 9 akan dibuat bilangan genap yang terdiri dari 3 digit yang lebih dari 600 . Jika tidak boleh ada angka yang berulang, maka banyak bilangan yang dapat dibuat adalah
10.
....
Jika ada 10 orang dapat mengecat ruangan dalam waktu 10 jam secara bersama-sama, maka berapa lama waktu yang dibutuhkan 100 orang untuk mengecat 100 ruang secara bersama-sama?
11.
Sekelompok pelajar yang terdiri dari 5 pelajar pria dan 8 pelajar wanita. Banyaknya cara memilih 1 pelajar pria dan 1
12.
pelajar wanita?
Sekelompok pedagang pasar buah terdiri dari 10 pedagang dan 6 pedagang wanita . Banyak cara memilih pedagang pria dan
13.
1
pedagang wanita adalah
1
....
Sebuah walimatul ursy dihadiri oleh 25 pasangan suami istri . Jika wanita yang hadir berjabat tangan dengan wanita saja maka banyaknya jabat tangan yang terjadi antara 2 orang hanya terjadi sekali jabat tangan adalah
....
14.
Dari 10 titik akan dibuat segitiga . Maka banyak segitiga yang dapat dibuat adalah
15.
Sebuah perayaan dihadiri 20 pasangan suami istri . Jika laki-laki yang hadir boleh berjabat tangan dengan siapapun
....
kecuali dengan pasangannya sendiri, maka banyak jabat tangan yang terjadi j ika antara dua orang hanya terjadi sekali jabat tangan adalah 16.
....
Sebuah panitia yang beranggotakan 4 orang dipilih dari 5 pria dan 6 wanita . Jika dalam panitia tersebut diharuskan ada paling sedikit 2 wanita, maka banyak cara untuk memilih adalah
17.
....
Sepuluh tim mengikuti turnamen sepak bola. Setiap tim bertemu satu kali dengan setiap tim lainnya . Pemenang setiap pertandingan memperoleh nilai 3 yang kalah memperoleh nilai 0. Untuk pertandingan seri, kedua tim memperoleh nilai masing-masing 1. Di akhir turnamen, jumlah seluruh nilai 124. Banyak pertandingan yang berakhir seri adalah
....
18.
Berapa susunan huruf pada kalimat MATEMATIKA?
19.
Dua buah dadu dilempar bersama . Peluang munculnya mata dadu yang jumlahnya 10 adalah ....
20. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 10 bola putih . Jika diambil 2 bola b ersamaan, peluang memperoleh 2 bola berwarna sama adalah ...
Soal Latihan 5 Tentukan peluang munculnya mata dadu yang jumlahnya 8 pada pelemparan 2 buah dadu! Tentukan peluang munculnya semua angka pada pelemparan 5 buah uang logam! Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 2 bola putih. Tentukan peluang terambil bola merah, jika diambil 1 bola! Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih, diambil 2 bola sekaligus. Tentukan peluang terambil: (a) keduanya merah, (b) keduanya putih, (c) 1 merah dan 1 putih! Dalam suatu kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola putih, diambil 3 bola sekaligus. Tentukan peluang terambilnya: (a) ketiganya merah, (b) 2 merah dan 1 putih. Pada suatu perkumpulan yang terdiri dari 10 orang akan dipilih ketua dan sekertarisnya. Berapa banyak susunan hasil pemilihan tersebut? Terdapat bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5. Berapa banyak bilangan 3 angka dapat dibuat yang diambil dari angka tersebut tanpa pengulangan? Berapa banyaknya urutan yang dapat terjadi jika 7 gambar yang berbeda digantungkan dalam sebuah garis sehingga 1 gambar tertentu posisinya di tengah? Dalam berapa cara 6 buah buku dapat disusun pada sebuah rak buku? Terdapat 4 buku matematika yang berbeda, 3 buku fisika, dan 2 buku kimia yang berbeda. Buku-buku tersebut akan disusun pada sebuah rak. Ada berapa cara penyusunan tersebut jika buku yang sejenis harus berkelompok? Dalam berapa cara 8 orang dapat duduk pada keliling meja apabila ada 2 orang tertentu harus selalu bersamasama? Dalam suatu ruangan terdapat 15 orang. Mereka saling bersalaman. Berapa banyak salaman yang terjadi? Terdapat 5 titik di mana tidak ada 3 titik yang letaknya segaris. Berapa banyak garis yang bisa dibuat dari kelima titik tersebut? Dari 10 orang atlet akan dibentuk tim bola voli. Berapa banyak tim yang bisa dibuat? Terdapat 5 siswa putra dan 3 siswa putri, akan dipilih 2 siswa putra dan 2 siswa putri. Berapa banyak pemilihan tersebut dapat dilakukan? Dalam berapa cara 3 orang dapat dipilih dari 15 orang jika: (a) 1 orang pasti terpilih, (b) 2 orang sudah pasti tidak terpilih. Sebuah organisasi mempunyai 25 anggota, 4 di antaranya adalah dokter, akan dipilih 3 orang. (a) Berapa banyak cara pemilihan tersebut? (b) Berapa banyak pemilihan tersebut jika dokter tidak terpilih? (c) Berapa banyak pemilihan tersebut jika sekurang-kurangnya 1 dokter t erpilih? Dalam berapa cara 12 buku dapat dibagikan kepada 3 siswa sehingga setiap siswa menerima 4 buku? y y y
y
y
y
y
y
y y
y
y y
y y
y
y
y
Soal Latihan 6 1.
Misalkan dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan . Berapa banyak jalan yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke Jakarta melalui Bandung?Tunjukkan banyaknya rute perjalanan yang di tempuh dengan menggunakan diagram pohon, tabel, dan pasangan terurut!
2. Banyaknya bilangan ribuan ganjil yang dapat dibentuk dari angka-angka: adalah..... a. 200 d. 300 b. 250 e. 450 c. 256
0, 1,
2, 3, 4
3. Seorang siswa diminta mengerjakan 4 dari 9 soal yang disediakan. Jika soal Nomor 5 harus dikerjakan, maka banyaknya pilihan soal berbeda yang akan dikerjakan siswa tersebut adalah«.. 4.
Dari
lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak boleh berulang?
