Nama
: Hertin Rieuwpassa
Nim
: 20144202035
Kelas Tugas
:A : Matematika Diskrit
1. Perusahaan pakian membuat satu set pakian yang dapat dikombinasikan yang terdiri dari dua blus, dua pasang celana panjang, satu kemeja, dan satu blazer. Berapa kombinasi pakian yang dapat dibuat dari set pakian tersebut? Jika pada set pakian tersebut? Jika pada set pakian ditambahan sebuah Sweater, berapakah kombinasinya sekarang? (Cacatan: blzer harus dipakai tanpa blu, atau kemej, atau tidak dipakai sama sekali. Tetapi sweater bisa langsung dipakai tanpa blus atau kemeja.) 2. Enam orang melamar pekerjaan untuk 3 pekerjaan yang sama, yang masing-masing akan ditempatkan di Jakarta, Bogor, dan Bandung. Berapakah kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi tersebut? 3. Dalam berapa banyak cara huruf-huruf a , b , c ,d , e , f dapat disusun jika huruf b harus di sebelah kiri dan bersebelahan dengan huruf e? 4. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya laki-laki. a. Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10-orang b. Ulangi pernyataan (a) jika banyaknya laki-laki harus sama dengan banyaknya perempuan c. Ulangi pernnyataan (a) jika panitia iti harus terdiri dari enam lakilaki dan empat perempuan atau laki-laki dan enam perempuan? 5. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B={1,2 … ..10 } yang mempunyai anggota paling sedikit enam? 6. Berapa banyak permutasi bilangan yang dibentuk dari
{ 1,2,3,4,5,6,7,8 } ?
7. Berapa banyak bilangan bilangan bulat positif empat-angka antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999) yang habis dibagi 5 dan 7? 8. Sebuah kelompok terdiri 7 orang wanita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4-orang yang dapat dibentuk dari kelompok itujika paling sedikit harus ada 2 orang wanita didalamnya? 9. Sebuah club mobil antik beranggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri dari 5 orang.
Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wanita. 10. Berapa banyak solusi bilangan bulat tak-negatif dari x 1+ x 2 + x 3 ≤ 10 ? ketidaksamaan 11. Dari sejumlah besar koin 25-an, 50-an, 100-an, dalam berapa banyak cara 5 koin diambil? 12. Palindrome adalah barisan karakkter (huruf atau angka) yang bila dibaca dari depan atau dari belakang adalah sama. Contoh : KATAK, MALAM, 21477412, 36963. Untuk soal ini kita hanya meninjau palindrom yang dibentuk dari angka 0,1,….9 dengan ketentuan tidak boleh ada pengulangan angka pada setengah bagian (misalnya, 366191663 tidak dibenarkan karena 6 dipakai 2 kali) 13. Dari sejumlah besar CD (compact disc) didalam kotak yang berisi program-program aplikasi A,B,C,D, dan E, berapa banyak cara 10 CD dapat diambil 14. Sebuah pesan kawat dibentuk dari rangkaian lima gratis putusputus (dash) dan tiga buah titik (dot), berapa banyak pesan yang dapat dibentuk? 15. Sebuah kardus berisi banyak bola berwarna merah, biru, dan ungu. Akan diambil 10 buah bola saja. 16. Jabarkan bentuk perpangkatan (3 x−2 y) 4 n
17.
Buktikan
∑ C (−1)k ( n , k )=0 k=0
18. Tunjukkan bahwa sembarang 6 kelas kuliah pasti terdapat dua kelas yang dijadwalkan pada hari yang sama, dengan asumsi tidak ada kuliah pada hari sabtu(akhir pekan) 19. Sebuah kota bola bowling berisi 10 bola berwarna merah dan 10 buah bola berwarna biru. Seorang pemain memilih bola secara acak tanpa melihat ke dalam kotak. a. Berapa banyak bola yang harus diambil untuk memastikan paling sedikit tiga bola berwarna sama? b. Berapa banyak bola yang harus diambil untuk memastikan paling sedikit tiga bola berwarna biru? 20. Berapa peluang dari 5 buah kartu remi yang dibagi tidak mengandung ratu buah pun? 21. Sebuah dadu dan sebuah koin uang logam dilempar bersamaan. Berapa peluang angka yang muncul adalah gambar? 22. Ada sepuluh pasang sepatu di dalam lemari. Jika delapan sepatu diambil secara acak. Berapa peluang tidak ada sepasang sepatu yang terambil?
JAWABAN 1. Diketahui: Terdapat 2 pasang celana = 4 potong celana Terdapat 2 blus Terdapat 1 blazer Terdapat 1 kemeja Blazer harus dipakai diatas blus atau kemeja, atau tidak dipakai sama sekali. Tetapi sweater bisa langsung dipakai tanpa blus atau kemeja. Ditanya: a) Berapa kombinasi pakaian yang dapat dibuat dari set pakaian tersebut? b) Jika pada set pakaian ditambahkan sebuah sweater, berapakah kombinasinya sekarang? Misalkan: B1 = blus 1, B2 = blus 2, K = kemeja, B = blazer a) Berapa kombinasi pakaian yang dapat dibuat dari set pakaian tersebut ?
Kombinasi pakaian yang dapat dibuat dari blus, blazer, celana panjang, dan kemeja B1 + B B2 + B 2 pasang =12 kombinasi K+B celana panjang
X
b) Jika pada set pakaian kombinasinya sekarang ?
(
)
ditambahkan
sebuah
sweater,
berapakah
Kombinasi pakaian yang dapat dibuat blus, blazer, celana panjang, kemeja, dan sweater B1 + B
X4
2 (celana
)
pasang =16 kombinasi panjang
B2 + B K+B SWEATER
2. Diketahui : n = 6 ( jumlah pelamar ) 6! P ( 6; 1, 1, 1, ) = 1 ! 1 ! 1! =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 Maka, kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi adalah 720 cara. 3. Diketahui : n = 6 huruf, n = 5 huruf ( karena b dan e harus bersebelahan sehingga b dan e dihitung 1) Banyak cara 5 huruf akan disusun P(5,5) = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120 Banyak cara menyusun huruf b 1! = 1 Banyak cara menyusun huruf e 1! = 1 Maka, banyak cara untuk menyusun adalah 120 x 1 x 1 =120 cara
4. Belu 5. Belu
6. Diketahui : n = 8 ( jumlah bilangan ) Ditanyakan : P (8,8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 Jadi, ada 40.320 cara
7. Misalkan : A = menyatakan kejadian bilangan bulat yang habis dibagi 5 B = menyatakan kejadian bilangan bulat yang habis dibagi 7 A ∩ B = menyatakan KPK dari pembagi 5 dan 7 yaitu: 35 Bilangan positif antara 1000 dan 9999 adalah 9000
Sedangkan A
∪
B menyatakan kejadian bilangan bulat yang dipilih
habis dibagi 5 dan 7. Maka : |A|
=
⌊
9000 ⌋ 5
= 1800
|B|
=
⌊
9000 ⌋ 7
=1285
| A ∩ B|
=
⌊
9000 ⌋ 35
P(A
∪
B)
= 257
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B) =
1800 1285 257 + − =0,2+0,143−0,028=0,315 9000 9000 9000
Jadi, peluang bilangan yang dipilih habis dibagi 5 dan 7 adalah 0,315
8. Belum
9. Akan dibentuk panitia yang terdiri dari 5 orang yang terdiri dari paling sedikit satu pria dan satu wanita. Panitia terdiri dari 4 wanita dan 1 pria , dapat dibentuk dengan : 5! 6! 5x 4! 6 x5! x = x =5 x 6=30 C (5,4) x C (6,1) = ( 5−4 ) ! 4 ! ( 6−1 ) ! 1 ! 1 ! 4 ! 5 ! 1! Panitia terdiri dari 4 pria dan 1 wanita, dapat dibentuk dengan; 6! 5! 6 x5 x 4! 5 x 4! x = x =15 x 5=75 C (6,4) x C (5,1) = ( 6−4 ) ! 4 ! ( 5−1 ) ! 1 ! 2! 4 ! 4 ! 1!
10. Diketahui : n = 3 , dan r = 10 Jadi, C(n + r – 1, r) = C (3 + 10 – 1, 10) = C ( 12,10 )=
12! 12! 12 x 11 x 10 ! = = =6 x 11=66 2 x 1 x 10 ! ( 12−10 ) ! 10! 2 ! 10 !
11. Diketahui : n = 4 dan r= 5, maka, C(n + r – 1, r) C (4 + 5 – 1, 5) = C ( 8,5 ) =
12. 13. 14. 15.
8! 8! 8x 7 x6 x5! = = =56 ( 8−5 ) ! 5 ! 3 ! 5! 3 x 2 x 1 x 5 !
Belum Belum Belum Belum
16.
Diketahui : a = 3x, dan b = -2y Jadi, (a + b)4 = C(4,0) a4 + C(4,1) a3b+ C(4,2) a2b2+ C(4,3) a b3 +C(4,4) b4 = a4 + 4 a3b+ 6 a2 b2 + 4 a b3 +1 b4 = (3x)4 + 4(3x)3(-2y) + 6(3x)2 (-2y)2 + 4(3x)(-2y)3+ (-2y)4 = 81x4 – 216x3y – 108x2y2 + 24xy3 + 16y4
17.
Misalkan : ambil x = 1 dan y = -1 sehingga; n
(x + y)n =
∑ C ( n , k ) x n−k y k k=0
n
(1 + (-1))n =
∑ C ( n , k ) 1n−k (−1)k k=0 n
0 =
∑ (−1)k C ( n , k ) k=0
Terbukti
18. Diketahui : terdapat 6 kelas, dimana 2 kelas dijadwalkan pada hari yang sama , n = 3 Hari sabtu libur maka hanya 5 hari, n = 5 5! 5! 5 x 4 x 3 x 2! = = =60 Maka, P(5, 3) = ( 5−3 ) ! 2! 2!
19.
Belum
20. Diketahui : kartu remi poker terdiri dari 52 buah kartu, dengan kartu sebanyak 4. Mengambil 5 kartu dari 52 buah kartu 52 ! 52! 52 x 51 x 50 x 49 x 48 x 47 ! = = =311.875 .200 C(52, 5) = ( 52−5 ) ! 47 ! 47 ! Mengambil 5 kartu yang tidak mengandung ratu 52 – 4 = 48 buah kartu 48! 48! 48 x 47 x 46 x 45 x 44 x 43! = = =205.476 .480 C(48,5) = ( 48−5 ) ! 43! 43! Maka, peluang dari 5 kartu tersebut tidak mengandung 1 kartu ratu pun C ( 48, 5 ) 205.476 .480 = C ( 52,5 ) = 311.875 .200 =0,658 21. 22.
Belum Belum
